Luận văn Vận dụng phép duy vật biện chứng vào nghiên cứu toán học

oạt động phải biết cách tác động vào phương thức liên kết giữa các yếu tố tạo thành sự vật trên cơ sở hiểu rõ bản chất, quy luật, kết cấu của sự vật đó. Các quy luật dưới đây xem trong giáo trình [1], [3], [4]. 3.3.2. Quy luật thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập 3.3.3. Quy luật phủ định của phủ định II. GÓC NHÌN TRIẾT HỌC VỀ TOÁN HỌC. Triết học nghiên cứu về sự vận động và phát triển của sự vật và hiện tượng với vai trò của là khoa học của các ngành khoa học cụ thể thì toán học nghiên cứu về những đối tượng trong sự vận động và các tính chất bất biến của nó. Theo quan điểm của chủ nghĩa Mác-Lênin: “Vật chất dùng để chỉ thực tại khách quan được đem lại cho con người trong cảm giác, được cảm giác của chúng ta chép lại, chụp lại, phản ánh và tồn tại không lệ thuộc vào cảm giác”.Các đối tượng toán học đều có đặc điểm như vậy. Thế giới toán học như thể một thế giới vật chất thu nhỏ mà trong có các đối tượng toán học như thể vật chất, còn các tính chất trong toán học như thể các hiện tượng. Điều đó nói lên mối quan hệ biện chứng chặt chẽ giữa toán học và triết học. Nó thể hiện trong một số mặt chủ yếu sau: 1. Thế giới vật chất toán học. 1.1. “Vật chất có trước, ý thức có sau, vật chất quyết định ý thức”. Trong toán học, tất cả các đối tượng toán học đều là một thế giới vật chất sinh động. Từ những con số hay tập số, kí hiệu toán học, biểu thức toán học, phương trình toán học… đều là một dạng vật chất. Chúng có trước và tồn tại khách quan, không phụ thuộc vào cảm giác con người. Và vì vậy, chúng sẽ bị chi phối bởi cac quy luật khách quan, chẳng hạn: hằng đẳng thức, nguyên lý Đi-rich-lê về những chú thỏ và những chiếc lồng, quy luật tương ứng 1-1 của hàm số, các bất đẳng thức Cô-si, Bu-nhi-a-côp-xki… Tất cả các đối tượng toán học đều có trước những người khám phá ra nó. Tất cả đã vốn đều có trong thực tiễn. Thật vậy, ta có: Những con số hay tập số: Một đội tuyển bóng đá ra sân gồm 11 cầu thủ, lớp học gồm 30 học sinh, một ta bút chì có 12 cậy bút, … Những con số 11, 30, 12 là ngẫu nhiên khách quan. Nếu con người không khám phá thì tự bản thân nó vẫn mang bản chất là 11, 30 và 12, chỉ có điều nó chưa được gán cái tên là “11”, “30” và “12”… Như vậy, trước khi con người tìm ra số, thì bản thân nó vẫn tồn tại một cách khách quan. Việc con người khám phá chỉ mang tính chất định dạng lại. Kí hiệu toán học: Các kí hiệu toán học như “+”, “-”, “x”, “/” (cộng, trừ, nhân, chia), hay phép giao, phép hội, rồi tam giác, rồi hình lập phương… tất cả đều xuất phát từ thực tế. Đơn cử như phép cộng. Nó có thể xuất phát từ nhiều bài toán thực tiễn cơ bản. Đó là việc thêm một lượng đối tượng (người, đồ dùng, tiền ,…) vào một lượng đối tượng đã có trước đó để thu được một lượng lớn hơn. Hay các hình như tam giác, lập phương… tồn tại rất nhiều trong cuộc sống cho dù con người có khám phá ra hay không, nó mãi mãi vẫn vậy Biểu thức toán học: Các biểu thức toán học như công thức toán học, phương trình toán học là biểu thị mối liên hệ giữa các đối tượng vật chất toán học như các con số hay kí hiệu toán học. Nó cũng là dạng vật chất, xuất phát từ trong thực tiễn, đó là từ những tình huống, những bài toán cần tìm một đối tượng nào đó. Đơn cử như tình huống một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 30m, diện tích 200m2. Yêu cầu đặt ra là tính các cạnh của nó. Khi đó ta dễ dàng có các phương trình toán học a + b = 30 và a.b = 200. Với a là chiều dài, b là chiều rộng… Các quy luật toán học: Luật tương ứng 1-1 cho ta khái niệm về hàm số. Điều này thể hiện ở thực tiễn một cách rộng rãi. Như mỗi đồ dùng, vật dụng có một cái tên. Mỗi con vật gắn liền với một cái tên. Mỗi người có một số tiền lương nhất định… Tất cả đều xuất phát từ thực tiễn. 1.2. Vật chất tồn tại theo quy luật khách quan. Từ việc nghiên cứu thực tiễn, con người đã khái quát hóa nên các đối tượng toán học ấy. Các đối tượng này được con người định dạng lại bằng việc gán cho nó một cái tên như là “hàm số – đồ thị”, “tập số”, “phương trình”, “hình lập phương”… Tất cả những đối tượng đó đúng như triết học duy vật biện chứng khẳng định tính chất “tồn tại khách quan, độc lập với ý thức của con người, không ai tạo ra và không ai có thể tiêu diệt được”. Theo quan điểm triết học Mác – xít, thông qua hoạt động của mình, con người tác động vào giới tự nhiên tạo nên sự ảnh hưởng đến sự tồn tại và phát triển của giới tự nhiên. Tuy thế, sự tồn tại và phát triển của giới tự nhiên vẫn tuân theo những quy luật riêng của chúng, con người không thể quyết định hoặc thay đổi những quy luật đó theo ý muốn chủ quan của mình”. Trong toán học, từ những hoạt động toán học (khám phá các đối tượng, chứng minh các tính chất toán học) đã làm cho “thế giới toán học” phát triển ngày càng nâng cao, nhưng toán học vẫn có sự phát triển theo quy luật chung khách quan không phụ thuộc vào con người, con người không thể thay đổi được các quy luật đó. Nguyên lý Đi-rich-lê vẫn luôn đúng dù con người có tác động đên hay không. Hay như trong hình học phẳng “2 đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ 3 thì chúng song song với nhau” thì mãi mãi là như vậy… Cho dù “con người không thể tạo ra thế giới tự nhiên, nhưng có thể nhận thức được thế giới tự nhiên và cải tạo được thế giới tự nhiên”. Tất cả các đối tượng toán học đều tuân theo quy luật riêng của nó. Tuy nhiên con người có khả năng nhận thức được, tác động vào nó và khám phá ra nó, nhằm phục vụ cho mục đích con người. Việc nhận thức về toán học cũng đã làm cho con người hiểu rõ hơn về thế giới vật chất, nâng cao thế giới quan và phương pháp luận biện chứng của con người. 2. Sự vận động và phát triển của thế giới vật chất toán học. Thế giới vật chất toán học luôn luôn vận động và phát triển. Sự vận động và phát triển đó thể hiện là sự vận động trong nội tại toán học. Chẳng hạn như: Tập số: Số tự nhiên => số nguyên => số hữu tỉ => số thực => số phức… Các phép toán: phép cộng => phép nhân => lũy thừa => logarit… Phép biến hình: Phép tịnh tiến đồ thị, phép biến hình trong hình học, quỹ tích và tập hợp điểm, họ đường cong chứa tham số, giới hạn hàm số…   Sự vận động còn thể hiện ở phương trình và bất phương trình chứa tham số, khi tham số thay đổi phương trình và bất phương trình thay đổi… Hay ban đầu con người ta chỉ biết giải phương trình bậc nhất, nhưng sau đó con người đã biết giải phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn và thậm chí còn chứng minh được phương trình bậc năm không có phương pháp giải tổng quát.  Sự vận động phát triển đó còn là sự vận động và phát triển của các kiến thức toán học nói chung. Tất cả các kiến thức toán học phát triển hàng ngày hay ngày thậm chí hàng giờ. Không chỉ lý thuyết toán phát triển, mà công cụ giải toán cũng phát triển. Xin đơn cử: Nếu như hình học ban đầu chỉ giải theo phương pháp tổng hợp đơn thuần thông qua tính toán và trực quan thì sau đó đã có những công cụ mới giải toán mạnh hơn, phù hợp hơn như phương pháp vectơ, phương pháp quỹ tích…  Hay như trong vẽ đồ thị, từ việc dùng công cụ đại số xác định điểm để vẽ đồ thị cho đến công cụ giải tích (dùng bảng biến thiên) thông qua các tính chất đặc trưng như tính tuần hoàn, tính đối xứng, tính đồng biến, nghịch biến... Rồi với các bài toán đố, chỉ với những phép toán thông thường đa phần là tính nhẩm, hay là mò mẫm… thì rõ ràng việc giải một số bài toán này bất tiện và không nhanh chóng hơn bằng phương pháp dùng phương trình để giải… Toán học vận động theo cách thức cái mới ra đời thay thế cái cũ, cái tiến bộ ra đời thay thế cái lạc hậu. Nhưng sự thay thế đó không phải là phủ nhận hoàn toàn, mà là trên cơ sở kế thừa cái cũ. Điều này thể hiện rõ bản chất triết học trong toán học. Chẳng hạn, khi giải phương trình bậc 2 một ẩn, ta đã xây dưng được phương pháp cụ thể. Cũng từ đó một số phương trình bậc ba, bậc 4 dạng đặc biệt cũng được giải bằng cách đưa về phương trình bậc hai. Không chỉ thế, nhờ việc xét trường hợp vô nghiệm trên trường số thực khi delta âm, ngươi ta còn xây dựng lên trường số phức ơi nhiều tính chất và ứng dụng đặc biệt. Hay thay vì xét trường hợp hữu hạn riêng lẻ, người ta đã xây dựng nên trường hợp tổng quát thông qua phép quy nạp toán học…Và khi phương pháp toán học đã phát triển, người ta có thể kết hợp cả nhiều phương pháp như phương pháp vectơ, phương pháp giải tích, hay phương pháp đại số… Tất cả sự phát triển đó là tất yếu trong toán học, và vì sự tất yếu đó, nên khi xem xét kiến thức toán học phải ủng hộ cái mới, tránh thái độ bảo thủ. Sự phát triển và vận động đó cũng gắn liền với sự phát triển và vận động của tư duy các nhà toán học. Ngày nay, toán học phát triển một cách vượt bậc với những tính chất đa dạng và phong phú. Sự vận động đó đem lại cho con người nhiều ứng dụng, không chỉ đơn thuần là trong nội tại toán học mà còn trong các khoa học khác như tin học, hóa học, vật lý, sinh học, y học… Toán học ngày càng phát triển thì khả năng ứng dụng của nó vào thực tiễn ngày càng cao, càng hiệu quả. 3. Nguồn gốc vận động và phát triển của thế giới vật chất toán học. Nếu như triết học Mác-Lênin khẳng định thế giới vật chất vận động và phát triển theo quy luật mâu thuẫn thì trong toán học điều này thể hiện rất rõ. Mâu thuẫn là một chỉnh thể, trong đó có hai mặt đối lập vừa thống nhất với nhau, vừa đấu tranh với nhau. Trong toán học, các mặt đối lập thể hiện trong nhiều nội dung. Chẳng hạn, trong tập số tự nhiên, ta thấy số chẵn và lẻ với các tính chất trái ngược nhau, nhưng chúng lại thống nhất để tạo nên chỉnh thể tập các số tự nhiên. Hay số âm và số dương (trong chỉnh thể số thực). Rồi tính đồng biến, nghịch biến (trong chỉnh thể hàm số ); mệnh đề và phủ định của mệnh đề đó (trong chỉnh thể mệnh đề); tập hợp và phần bù của tập hợp; không gian và không gian đối ngẫu; bằng và khác, số đúng và số gần đúng; ngoại tiếp và nội tiếp…Những mặt đối lập liên hệ gắn bó chặt chẽ với nhau, làm tiền đề tồn tại cho nhau mà trong triết học gọi đó là sự thống nhất của các mặt đối lập. Thật vậy, số thực dương và số thực âm không tồn tại riêng lẻ, nếu không có số thực dương thì số thực âm cũng không có đồng thời không tồn tại tập số thực và ngược lại. Hay đối với số chẵn và số lẻ trong tập số tự nhiên, nếu số chẵn chia hết cho 2 (dạng 2k với k tự nhiên) thì số lẻ chia 2 dư 1 (dạng 2k+1). Rõ ràng nếu không có số chẵn thì không có số lẻ và sẽ không có tập số tự nhiên. Do đó chúng vẫn tồn tại đối lập mà thống nhất với nhau để hình thành chỉnh thể tập số tự nhiên…Cũng từ mâu thuẫn giữa các mặt đối lập này (quan hệ chia hết, không chia hết chẳng hạn) người ta đã phát triển thành ra tập số hữu tỷ với nhiều ứng dụng. Rồi cũng từ số hữu tỷ ta xây dựng nên số vô tỷ, để tạo nên chỉnh thể tập số thực. Cũng từ tập số thực, là động lực để xây dựng số ảo tạo nên trường số phức… Tất cả điều thể hiện: mâu thuẫn là động lực của sự phát triển. 4. Cách thức vận động, phát triển của thế giới vật chất toán học. Thế giới vật chất toán học vận động theo nhiều quy luật. Xong, thể hiện rõ nét với quy luật lượng chất. Triết học Mác-xit khẳng định: Sự biến đổi về chất dẫn đến sự biến đổi về lượng, chất mới sinh ra bao hàm một lượng mới tương ứng. Ví dụ, khi xét một tam giác thường, có ba cạnh, có thể bằng nhau hoặc khác nhau, nhưng một tam giác cân chắc chắn là có hai cạnh bằng nhau và khác cạnh còn lại, đến với tam giác đều, rõ ràng 3 cạnh bằng nhau. Hay một tứ giác có bốn cạnh có thể bằng nhau hoặc khác nhau nhưng một hình bình hành thì có 2 cặp cạnh bằng nhau từng đôi một, một hình vuông thì có 4 cạnh bằng nhau. Đối với biểu thức S=a+b, khi S thay đổi chắc chắn a hoặc b thay đổi. Rồi xét một phương trình đa thức. Nếu nó là phương trình bậc hai thì có tính chất về nghiệm là vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt; còn nếu nó là phương trình bậc ba thì có tính chất về nghiệm là có nghiệm, có hai nghiệm, có ba nghiệm phân biệt … 5. Phép duy vật biện chứng trong toán học. Trong triết học, phương pháp luận biện chứng là xem xét sự vật, hiện tượng trong sự ràng buộc lẫn nhau giữa chúng, trong sự vận động và phát triển không ngừng của chúng. Tất cả các chứng minh toán học đều là phương pháp luận biện chứng. Khi giải quyết một vấn đề toán học, các đối tượng toán học được nhà toán học xem xét dựa trên sự ràng buộc giữa chúng, và trong sự vận động không ngừng. Từ đó tìm ra quy luật chi phối chúng để tổng kết nên thành quả toán học. Xin đề cập ví dụ là giải bài toán tìm hai số nguyên dương x và y thỏa x + y = 3. Rõ ràng biểu thức trên đã cho thấy mối liên hệ ràng buộc giữa x và y. Và chúng còn mỗi quan hệ nữa chính là đều là các số nguyên dương, tức là x và y đều không nhỏ hơn 1 và không lớn hơn 3. Từ đó, x và y chỉ có thể bằng 1 hoặc 2. Kiểm nghiêm thấy x=1, y=2 hoặc x=2, y=1 là hai căp nghiệm. Một ví dụ đơn giản thôi, nhung ta thấy rằng, khi làm việc với các đối tượng toán học, chúng ta cần phải xét chúng trong sư ràng buộc, trong sự vận động và phát triển của chúng. Tất cả các đối tượng trong toán học đều có mối quan hệ biện chứng. Cụ thể, tất cả các công thức trong toán học đều thể hiện mối quan hệ biện chứng.Như xét định lý “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”: mối quan hệ biện chứng giữa 2 góc đối đỉnh; “hai tam giác có 2 cặp góc băng nhau thi đồng dạng”: mối quan hệ biện chứng giữa 2 tam giác, giữa các goc trong 1 tam giác. Nói rộng ra, tất cả các định lý, tính chất đều thể hiện mối quan hệ biện chứng trong đó.Ta còn có thể kể đến mối quan hệ biện chứng giữa biến số và hàm số, giữa các mệnh đề với quan hệ suy ra hay tương đương.. Trong triết học “thế giới vật chất có trước, phép biện chứng phản ánh nó là cái có sau. Thế giới vật chất luôn vận động và phát triển theo những quy luật khách quan”. Đúng như vậy, thế giới toán học (bao gồm tất cả đối tượng và tính chất các đối tượng) là cái có trước còn tất cả các chứng minh toán học là cái có sau. Con người có khả năng nhận thức được các quy luật của các đối tượng đó. Sự nhận thức này là từ phương pháp luận biện chứng đã nói ở trên. Như vậy, toán học và phương pháp luận biện chứng có mối quan hệ không thể tách rời nhau, mà gắn bó chặt chẽ với nhau. Nội dung này sẽ được cụ thể hóa bằng phần trọng tâm của chuyên đề. Đó chính là nội dung của chương 2 mà ta sẽ làm rõ sau đây. CHƯƠNG II: VẬN DỤNG PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT VÀO SÁNG TẠO TOÁN HỌC. Toán học là một khoa học cụ thể, có quan hệ chặt chẽ với triết học. Trong các quy luật khách quan về thế giới vật chất, toán học cũng vận động theo các quy luật khách quan đó. Là người nghiên cứu toán học, ta hiểu rằng, bất cứ một lời giải cho một bài toán cụ thể nào đều dựa vào mối quan hệ giữa các yếu tố trong giả thiết (đề bài). Nói rộng hơn, đó là sự thể hiện của mối quan hệ biện chứng giữa các yếu tố toán học. Trên cơ sở đó, xuất phát từ việc nghiên cứu kĩ về phép biện chứng duy vật, ta sẽ thu được những kết quả thú vị trong quá trình nghiên cứu toán học. Trong phần này, xin đưa ra quan điểm về việc vận dụng phép biện chứng duy vật vào sáng tạo toán học bằng việc xây dựng kiến thức về cách thức tiếp cận thông qua các vấn đề cụ thể. Từ đó, sẽ là cơ sở để chúng ta mở rộng vấn đề hơn trong những đề tài tương tự. I. VẬN DỤNG PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT VỚI CẶP PHẠM TRÙ “CÁI CHUNG – CÁI RIÊNG”. 1. Đặt vấn đề. Hẳn chúng ta đã biết định lý Pi-ta-go quen thuộc trong chương trình hình học lớp 8: trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương hai cạnh góc vuông. Nếu học xong nội dung của định lý này, chúng ta hiểu được định lý, có thể áp dụng vào giải một số bài toán liên quan đến công thức trong định lý thì quả thật chưa đủ. Bởi lẽ, đây là kiến thức tương đối thú vị về tam giác vuông, từ công thức của định lý này, ta có thể tìm ra các bộ số Pi-ta-go chẳng hạn bộ số (3,4,5) hay bộ số (6,8,10)…(vì 32+42=52; 62+82=102), hay có thể áp dụng kết hợp với tính đồng dạng để đo chiều cao của cây, của các công trình…còn rất nhiều ứng dụng vô cùng thú vị nữa. Tôi đặt ra vấn đề này bởi vì là một người học toán, nghiên cứu toán, nếu như sau mỗi một bài toán cụ thể nào đó, ta dừng lại và chấp nhận nó như một chân lý khách quan và là một thành quả của bản thân thì chưa đủ. Như vậy chúng ta chỉ tiếp cận được những cái rất khô và sơ cứng mà lâu nay ta nhầm tưởng và mặc định tính chất khô khan cho toán học. Thực ra, ta sẽ thấy toán học rất linh động, uyển chuyển, mới lạ, hào hứng và thú vị. Để có được chất nghệ thuật trong toán học, với mỗi vấn đề toán học, ta cần tìm hiểu nó một cách rõ ràng. Đồng thời đừng quên mở rộng vấn đề cho bài toán. Việc mở rộng này hoàn toàn không khó khăn. Chỉ bằng cách đặt những câu hỏi: Tại sao? Vì sao? Thiếu cái này thì sẽ thế nào? Thêm cái kia thì sẽ ra sao? Hay: Đối với vấn đề tương tự, liệu ta có thu được kiến thức tương tự không?...Và cuối cùng không quên đặt câu hỏi: Thực tế ứng dụng của bài toán là gì? Việc trả lời các câu hỏi trên không hề dễ, nhưng cũng chẳng khó. Điều quan trong ở đây chính là cách thức tiếp cận như thế nào? Và thực hiện nó ra sao? Đó chính là nội dung của việc ứng dụng phép biện chứng duy vật vào toán học mà ta sẽ làm rõ. Ta lần lượt đi vào các bài toán và đưa ra cách thức sáng tạo trong mỗi hướng tiếp cận để thu được những kết quả mới thú vị. Cái mà chúng ta thường gọi là sáng tạo toán học. Trước hết là từ bài toán vừa đề cập trên. Từ định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông, ta sẽ thu được định lý Hàm số cosin trong tam giác thường. Cụ thể như thế nào, chúng ta cùng nghiên cứu tiếp… 2. Vận dụng phương pháp. Bài toán 1: Từ định lý Pi-ta-go đến định lý Hàm số cosin trong tam giác. Theo định lý Pi-ta-go, ta có a2 = b2 + c2 (1) với a là cạnh huyền và b, c là các cạnh góc vuông. Trong nội dung này, ta có các yếu tố : thứ nhất là tam giác (cụ thể là tam giác vuông), thứ hai là cạnh (cụ thể là 1 cạnh huyền và 2 cạnh góc vuông), thứ ba là góc (cụ thể góc A = 900 , B+C = 900 ). Theo phép biện chứng duy vật, các yếu tố này sẽ quan hệ chặt chẽ với nhau, ràng buộc nhau, hay đối lập nhau. Ta thấy, mối quan hệ này là rõ ràng. Bởi trong tam giác vuông, hẳn phải có 1 cạnh huyền và 2 cạnh góc vuông. Yếu tố quan hệ này chưa làm rõ được vai trò mà chúng ta định hướng. Mối quan hệ mà chúng ta cần đề cập chính là tính chất vuông của tam giác. Từ đây đã xuất hiện mối liên hệ phổ biến giữa cái chung (là tam giác thường) và cái riêng (là tam giác vuông). Nó cho phép chúng ta đặt ra câu hỏi : Ở tam giác vuông thì có đẳng thức (1), vậy đối với tam giác thường ta sẽ có đẳng thức tương tự hay không? Trả lời câu hỏi này, tức là chúng ta đã có được sự sáng tạo trong bài toán. Đó là việc đi từ cái riêng để tìm ra cái chung, cái tổng quát. Ta sẽ phân tích để đưa ra câu trả lời cho câu hỏi vừa nêu. Từ mối quan hệ giữa cái riêng (tam giác vuông) và cái chung (tam giác thường) và mối quan hệ giữa yếu tố cạnh với tam giác, góc với tam giác, ta dự đoán hẳn phải có một biểu thức tổng quát nào cho tam giác thường tương tự như (1) và nó sẽ trở thành (1) khi mà góc A = 900. Từ đây cho ta một dự đoán, trong biểu thức tổng quát cho tam giác thường sẽ có hai vế. Một vế chứa a2 và vế còn lại chứa b2+c2, và một trong hai vế trên có thể chứa thêm một số hạng nào đó có chứa biểu thức liên quan đến góc A và số hạng này sẽ triệt tiêu khi A = 900. Lại chú ý rằng, cos900 = 0, thế nên có thể nói rằng, số hạng này sẽ chứa cos A. Bây gió ta để ý tới (1) xem có điều gì đặc biệt. Đây là đẳng thức thể hiện mối liên hệ giữa các cạnh. Và điều đặc biệt chính là đều có cấp bằng nhau (cấp 2 – chính là số mũ của a, b, c). Thế nên, trong số hạng đang xét, chắc hẳn sẽ chứa biểu thức bậc 2 và cosA (*) . Bây giờ ta khẳng định trong hệ thức tổng quát sẽ chứa: cả a2 và b2+c2 số hạng là tích của hai chiều dài nào đó (để đảm bảo cấp 2) với cosA hai vế đẳng cấp (có cấp bằng nhau) Cũng từ biểu thức (1) ta thấy b và c có vai trò như nhau và khác vai trò với a (cái chung – cái riêng), vì thế trong hệ thức tổng quát phải đối xứng đối với b và c tức là khi hoán đổi b và c cho nhau, hệ thức không thay đổi. Vì vậy, số hạng chưa biết phải có dạng là bội số của a2 .cosA, hoặc b.c.cosA hay b’.c’.cosA. Do đó, chúng ta có thể giả định hệ thức tổng quát như sau: Hoặc a2 = b2 + c2 + Ka2 .cosA (2) (K hệ số nào đó) Hoặc a2 = b2 + c2 + Kb.c.cosA (3) Hoặc a2 = b2 + c2 + Kb’.c’.cosA (4) ( với b’ và c’ có vai trò giống b và c) Việc đưa ra được các dạng của hệ thức trên thông qua phân tích mối quan hệ biến chứng giữa các yếu tố trong bài toán, và thực chất để có sự suy luận về dạng biểu thức tổng quát chính là chủ yếu dựa vào mối quan hệ phổ biến. Trong đó tập trung vào mối quan hệ cái chung-cái riêng, bản chất-không bản chất. Tính chất đẳng cấp, và dẫn đến tính đối xứng với b và c chính là sự thể hiện bản chất vấn đề. Đến đây, để đưa ra được hệ thức tổng quát từ ba hệ thức phỏng đoán trên thì quả thật không hề dễ. Bởi chúng có tính chất tương đương. Tuy nhiên, nếu dựa vào mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng, ta sẽ có được câu tra lời. Trong mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng, phép duy vật biện chúng khẳng định quy luật nào đúng cho cái chung thì cũng đúng cho cái riêng. Hệ thức chúng ta đang xây dựng có thể xem là một quy luật khách quan. Ở đây ta có thể xét cái riêng là một trường hợp đặc biệt của cái chung. Hệ thức là tổng quát cho một tam giác bất kì, nghĩa là nó cũng đúng với các tam giác đặc biệt. Với tam giác vuông tại A thì hiển nhiên thỏa mãn. Bây giờ ta xét đối với một tam giác có B trùng với C, nghĩa là có A = 0, a=0, b=c (ta đã xét đoạn thẳng AB như là một tam giác đặc biệt ABC với B trùng với C). Khi đó, (2) cho ta 0 = 2b2. Điều này không thỏa vì b khác 0. Nên (2) loại. Còn (3) cho ta 0 = 2b2 + Kb2, nên K = -2. Vậy hệ thức (3) là có thể chấp nhận. Đối với (4), ta thấy việc xây dựng các yếu tố b’, c’ phức tạp. Trên cơ sở có (3) ta sẽ dừng việc xét (4) mà thử kiểm tra tính chính xác của (3). Chẳng hạn ta áp dụng ngay với một tam giác đều. Khi đó, (3) cho a2 = a2 + a2 - 2a2cos600. Điều này hoàn toàn chính xác. Nếu vẫn chưa chắc ăn, chúng ta đi vào chứng minh hệ thức này. Tức là sẽ giải bài toán : “Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng a2 = b2 + c2 - 2b.c.cosA”. Hình 1.1 c a b A B C H Việc chứng minh này khá đơn giản. Trên cơ sở là xuất phát từ tam giác vuông, vì vậy ta sẽ phân tích tam giác thường thành tam giác vuông để áp dụng. Vẽ đường cao BH (**) (hình 1.1). Ta sẽ thu được 2 tam giác vuông tại H là HAB và HCB. Áp dụng định lý Pi-ta-go cho 2 tam giác này ta có BC2 = HB2 + CH2 và AB2 = HB2 + AH2 nên thế vào ta có BC2 = AB2 - AH2 + CH2 . Mà ta có CH2 = (AC – AH)2 = AC2 – 2AC.AH +AH2. Vậy thì BC2 = AB2 - AH2 + AC2 – 2AC.AH +AH2. = AB2 + AC2 – 2AC.AH. Trong tam giác vuông ABH tại H ta có AH = AB.cos A. Tóm lại BC2 = AC2 + AB2 -2AC.AB.cosA, hay a2 = b2 + c2 - 2b.c.cosA. Nhận xét: Trong (*) ta xét cosA, nếu không được, ta cũng có thể xét các hướng khác như cotgA, hay sin2A vì chúng đều triệt tiêu khi A= 900. Còn trong (**), ta có thế vẽ đường cao BH hoặc CK vì đều có thể chia tam giác đã cho thành hai tam giác vuông và đặc biệt, chia như vậy, ta có một tam giác vuông có cạnh huyền BC, dễ để tính a như trong hệ thức ở vế trái. Như vậy ta vừa hoàn thành một việc đó là sáng tạo toán học. Nói rộng ra, đó có thể xem là những phát minh. Một số chúng ta thường nghĩ rằng, phát minh toán học phải là những cái gì đó rất ghê gớm, phải là tìm ra vấn đề gì đó mới toanh. Vấn đề không hẳn là như vậy. Bởi vì làm gì có cái mới tuyệt đối, cái mới không dính líu gì đến cái cũ. Mọi phát minh khoa học dù là độc đáo, vĩ đại đến đâu cũng đều bắt nguồn từ cái cũ, kế thừa cái cũ và mở rộng cái cũ. Vì thế, việc chúng ta vừa làm vô cùng có ý nghĩa. Nó giúp chúng ta có những thành quả quan trọng trong công việc nghiên cứu của mình. Khi là một sinh viên đại học, hay một giáo viên, hay đại loại là người đã học qua chương trình toán phổ thông, chúng ta thấy rằng, kiến thức về định lý Hàm số cosin trong tam giác là bình thường. Nhưng giả định như chúng ta là một học sinh lớp 8, với cách thức tiếp cận như trên, rõ ràng ta đã có một phát minh lớn. Đây cũng là một điều nhắn nhủ đến các giáo viên toán. Hãy tập cho học sinh của mình làm quen với sáng tạo toán học. Nếu ta dừng nội dung bài toán ở đây, cũng có thể được. Vì đã cho chúng ta thành quả. Tuy nhiên, như vậy là chưa làm rõ hết vấn đề. Thứ nhất, tính chất tương tự của a, b, c hay nói khác đi, do vai trò như nhau của a, b, c nên ta sẽ còn hai hệ thức tương tư như hệ thức trên. Thứ hai, trong phần nghiên cứu trên, có lúc ta đã nhìn một đoạn thẳng như là một tam giác đặc biệt có hai đỉnh trùng nhau. Đó chính là mối liên hệ giữa cái chung và cái riêng triết học. Hệ thức trên đúng cho tam giác, vậy bằng cái nhìn biện chứng, cái nhìn tương đương, ta lại tiếp tục có thể xem tam giác là một trường hợp đặc biệt của một tứ giác có hai đỉnh trùng nhau. Thử theo lối suy nghĩ này, liệu ta có hệ thức nào cho tứ giác không? Ta bắt tay vào nghiên cứu bài toán thứ hai. Bài toán 2: Từ định lí Pi-ta-go đến hệ thức lượng trong tứ giác. Với bài toán này, nhiệm vụ của ta là sẽ đi tìm một hệ thức lượng trong tứ giác mà hệ thức a2 = b2 + c2 – 2bccosA là một trường hợp đặc biệt (quan hệ cái riêng – cái chung) khi một cạnh của nó bằng 0. Hình 1.2 a b c d A B C D E G Bây giờ giả sử ta xét tứ giác ABCD (hình 1.2). Đặt BC=a, CD=b, AB=c, AD=d. Ta thấy rằng, khi d=0, ta sẽ có tam giác ABC, tức là khi đó A trùng với D. Lúc này ta có hệ thức trong tam giác như trên. Trên cơ sở đó, nối AB với CD, thì khi d=0, hệ thức trở thành a2 = b2 + c2 – 2bccosE = b2 + c2 – 2bccosG (vì d=o thì góc E=D). Lại chú ý rằng khi d=0 thì AC=CD=b,BD=BE=c. Từ đó có thể dự đoán hệ thức tổng quát có dạng: a2+ Kd2 = b2 + c2 – 2BE.CEcosE (5) hoặc a2+ Kd2 = b2 + c2 – 2BD.ACcosG (6) (Việc thêm Kd2 để đảm bảo tính đẳng cấp bậc 2 giữa 2 vế, còn nếu là góc E thì tích chiều dài là BE.CE, góc G thì là BD.AC) Bây giờ ta lại dựa vào cái riêng để làm rõ cái chung. Nếu các hệ thức trên đúng cho tứ giác bất kì thì hiển nhiên đúng cho hình vuông. Ta xét hình vuông ABCD, nghĩa là sẽ có . Từ (5) ta có : . Điều này không đúng do vế phải vô hạn, vế trái hữu hạn. Nên (5) bị loại. Với (6) thì có ngay , dễ suy ra . Vậy có thể chấp nhận (6) với . Để kiểm định, ta thử xét với hình chữ nhật ABCD mà . Lúc này Thì có (6) trở thành . Đẳng thức này hoàn toàn đúng. Để chắc chắn hơn nữa ta đi vào chứng minh. Việc chứng minh hoàn toàn không khó. Xin dành cho bạn đọc kiểm chứng. Vậy ta có thể kết luận trong tứ giác ABCD, với G là giao điểm của hai đường chéo thì có hệ thức: Nhận xét: Như vậy, vận dụng phép biện chứng duy vật vào nghiên cứu toán học nghĩa là trước một vấn đề toán học, ta phải có cách nhìn biện chứng. Cần phải phân tích các yếu tố. Xem xét các yếu tố theo các mối quan hệ biện chứng với nhau. Trên cơ sở đó, xây dựng nên cách thức tiếp cận và hướng đi phù hợp. Khi xem xét một đối tượng toán học, điều quan trọng là phải hình thành cách nhìn biện chứng. Nhìn trong mối quan hệ trong - ngoài, nhìn trong sự tách biệt, nhìn trong sự tổng hợp, nhìn trọng sự cụ thể, nhìn trong sự tổng quát, nhìn trong sự tương ứng… Kết hợp với lối tư duy biện chứng, ta có thể đạt được những thành quả nhất định trong quá trình nghiên cứu của mình. Như trên, việc xem xét một tam giác vuông đã đưa đến giả định cho tam giác bất kì, việc xem xét đoạn thẳng như là một tam giác có 2 đỉnh trùng nhau, một tam giác như là một tứ giác có 1 cạnh bằng 0 đều cho ta những hướng đi tốt. Việc xây dựng và giải quyết vấn đề đều dựa vào phương pháp duy vật biện chứng. Mà cụ rõ nét nhất chính là dựa vào mối liên hệ phổ biến khi xét các yếu tố toán học với quan hệ ràng buộc, chặt chẽ với nhau. Trong đó nổi lên các mối liên hệ giữa cái chung-cái riêng, giữa cái bản chất-không bản chất. Nhờ đó, ta đã hình thành phương pháp nghiên cứu đi từ cụ thể đến khái quát. Chính là lối tư duy quy nạp toán học. Trong quá trình vận dụng, chúng ta đã lấy cái riêng để khái quát cái chung, lấy cái chung để soi rọi cái riêng, lấy cái không bản chất để tìm ra cái bản chất. Tuy nhiên, việc phân loại như trên theo từ bài toán cụ thể chỉ mang tính chất tương đối. Để có được cách tiếp cận và nghiên cứu một cách rõ nét, yêu cầu chúng ta phải rèn luyện tư duy toán học cũng như nắm vững bản chất của phép biện chứng duy vật, vận dụng có hiệu quả lối tư duy phương pháp luận của bài học. Để làm rõ hơn nữa nội dung của chuyên đề, xin đưa ra bài toán ba và cách thức tiếp cận vấn đề theo phép biện chứng duy vật. Bài toán 3: Từ định lý Pi-ta-go đến định lý diện tích các mặt trong tam diện vuông. Lại quay về với định lý xuất phát, định lý Pi-ta-go trong tam giác vuông. Các nội dụng chúng ta vừa khám phá là chúng ta nhìn nhận trong hình học phẳng. Mở rộng vấn đề cho hình học không gian sẽ là một kết quả lý thú cho định lý này. Xét tính chất tương ứng giữa các không gian, ta có một vài nhận định sau: -Một mặt phẳng trong không gian có thể xét tương ứng như là một đường thẳng trong mặt phẳng. - Một đường thẳng trong không gian có thể xét như là một điểm trong mặt phẳng. - Từ đó, một tam giác trong mặt phẳng có thể xét tương ứng như là một tứ diện trong không gian. Lúc này, yếu tố cạnh, độ dài đoạn thẳng, diện tích trong mặt phẳng sẽ tương ứng lần lượt với tam giác, diện tích tam giác, thể tích trong không gian. Bằng một số nhận định đó, áp dụng với định lý Pi-ta-go ta có thể mở rộng tam giác vuông cho tam diện vuông (tức tứ diện có 3 góc vuông tại một đỉnh). Khi đó, tương ứng với hệ thức của định lý Pi-ta-go: “trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương các cạnh góc vuông” liệu có phải là “trong tam diện vuông, bình phương diện tích của mặt đối diện với góc tam diện đó bằng tổng các bình phương diện tích của ba mặt kia” ? Hình 1.3 A B D C S Kết quả này là hoàn toàn có cơ sở, ta sẽ thử đi vào chứng minh tính đúng đắn của nó. Giả sử ta có tam diện vuông tại A là ABCD (hình 1.3). Đặt Áp dụng định lý Pi-ta-go cho các tam giác vuông tại A là ABC, ACD, ABD ta sẽ tính được . Từ công thức Hê-rông về diện tích tam giác BCD ta sẽ có với và nửa chu vi tma giác Từ đó ta tính được đúng bằng tổng các bình phương diện tích các tam giác ABC, ACD, ABD. Kết luận chung: Trong phần này, chúng ta đã vận dụng phép biện chứng duy vật thông qua “cái nhìn biện chứng” giữa các yếu tố toán học. Từ một vấn đề toán học cụ thể và đơn giản, ta đã sáng tạo nên một số kiến thức rộng hơn và ý nghĩa. Quá trình phát minh toán học đến đây rõ ràng ta thấy nó không phải là cái gì đó cao siêu lắm. Tất cả đều kế thừa từ những kiến thức cơ bản. Những kiến thức này là nền tảng để làm ra những phát minh. Trên cơ sở phương pháp biện chứng duy vật với việc tập trung vào nghiên cứu mối quan hệ giữa “cái chung” và “cái riêng” đã cho ta phương pháp nghiên cứu hiệu quả. Phương pháp này thể hiện theo các hướng “đi từ cái riêng đến cái chung” gọi là “khái quát hóa”, và “đi từ cái chung đến cái riêng” gọi là “đặc biệt hóa”. Phương pháp tiếp cận này đã được sử dụng từ rất lâu trong lịch sử toán học. Tuy nhiên, chuyên đề này đứng trên cở sở triết học để soi rọi vấn đề. Mong rằng sẽ hiệu quả và rõ ràng hơn với bạn đọc. Cũng từ nội dung này, xin đơn cử ra một số bài toán tương tự để đọc giả vận dụng và nghiên cứu: Bài tập vận dụng 1. Bài toán 1.1. Xem hình bình hành là một tứ giác đặc biệt, hãy mở rộng định lý: “Trong một hình bình hành, tổng các bình phương của bốn cạnh bằng tổng các bình phương hai đường chéo”. (KL: ta thu được định lý: “ trong một tứ giác lồi, tổng bình phương của bốn cạnh bằng tổng bình phương hai đường chéo cộng với bốn lần bình phương khoảng cách giữa hai trung điểm hai đường chéo”). Bài toán 1.2. Xem hình bình hành đóng vai trò như một hình hộp trong không gian, hãy mở rộng định lý trên ở bài 1.1. Bài toán 1.3. Bằng cách xét vị trí điểm tìm được ở các vị trí đặc biệt, hãy giải bài toán: “Tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong một tam giác đều đến các cạnh của nó bằng đường cao của tam giác ấy”. Bài toán 1.4. Mở rộng bài toán 1.3. đối với tứ diện đều. Bài toán 1.5. Bằng phương pháp khái quát hóa, hãy xác định công thức thể hiện mối liên hệ giữa các với , trong đó là hai nghiệm của tam thức bậc hai II. VẬN DỤNG PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT VỚI QUY LUẬT “LƯỢNG -CHẤT” 1. Đặt vấn đề. Hình 2.1 d A M M’ B Ở kiến thức bậc trung học, hẳn chúng ta rõ ràng bài toán cơ bản: “Trong mặt phẳng cho hai điểm A, B nằm khác phía nhau so với đường thẳng d. Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất”. Đây là bài toán khá đơn giản. Vì nó dựa vào kết luận quen thuộc: “Trong một tam giác, tổng hai cạnh bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại”. Vậy đáp số chính là: điểm M cần tìm là giao điểm của AB và d (hình 2.1). Thật thế, với bất kì điểm M trên d ta đều có . Thế nên, MA + MB nhỏ nhất khi có dấu bằng xảy ra, tức là A,M, B thẳng hàng. Khi đó M là giao của AB và d. Nếu xét bài toán trên như là một sự vật hiện tượng, thì ta thấy có các yếu tố về lượng và chất trong đó như: các điểm A, B, M, khoảng cách MA, MB, MA + MB và đường thẳng d (yếu tố lượng); A, B nằm khác phía, M thuộc d , MA + MB nhỏ nhất (yếu tố chất). Tuy nhiên, sự phân biệt chỉ mang tính chất tương đối. Bởi lẽ, xét “tính khác phía” của A, B là chất đối với hai điểm này, xong cũng có thể là lượng của cả bài toán. Mặc dù vậy, điều này không quan trọng lắm. Vì ta tập chung vào sự phân tích cụ thể nào đó để tìm ra hướng phát triển mới của bài toán. Đó mới là điều quan trọng. Ta thấy rằng, yếu tố quan trọng của bài toán tập trung chủ yếu vào tính chất “cùng phía” hay “khác phía” của A, B và sự “nhỏ nhất của tổng MA +MB”. Các yếu tố khác trong bài toán là “bình thường”. Nếu xét như trên, thì khi thay đổi tính chất “cùng phía” bởi “khác phía” thì rõ ràng tính chất bài toán sẽ thay đổi. Cũng chính từ đó, bài toán có thể theo hai hướng: một là mở rộng ra, hai là thu hẹp đi. Bây giờ ta bỏ hẳn yếu tố này đi. Tức là “A, B có thể cùng hoặc khác phía”. Thế thì rõ ràng bài toán đã có sự thay đổi về chất đáng kể. Khi đó, tính chất bài toán sẽ khác. Ta thấy rằng, bài toán lúc này sẽ rộng hơn, phức tạp hơn. Bởi vì, xét riêng mà nói, khi bỏ thuộc tính “cùng phía” hay “khác phía” trong giả thiết của bài toán cũng đồng nghĩa với việc tăng “lượng” của bài toán lên hai trường hợp rõ ràng. Ta đi vào nghiên cứu cụ thể vấn đề bài toán bằng cách vận dụng quy luật lượng chất xem kết quả thế nào… 2. Vận dụng phương pháp. Bài toán 4: Cho hai điểm A, B và đường thẳng d. Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB nhỏ nhất. Hình2.2 d A B M’ A’ M Nếu xét theo quan điểm “cái chung – cái riêng” thì thấy rằng bài toán cơ bản trên chỉ là trường hợp riêng của bài toán 4. Do đó, ta có thể sử dụng phương pháp “khái quát hóa” để giải bài toán này. Tuy nhiên, bài toán đưa ra chủ yếu là vận dụng quy luật lượng chất để nghiên cứu mở rộng vấn đề, thế nên ta không tập trung vào việc giải mà chủ yếu là mở rộng, sáng tạo ra vấn đề mới. Rõ ràng, với việc áp dụng này, ta đã đưa bài toán đến hướng tổng quát hơn, rộng hơn vì tính chất bài toán đã thay đổi. Trước hết, ta giải bài toán này. Nhờ việc bỏ đi tính chất “khác phía” của A, B mà bài toán đã hướng chúng ta đến cách giải quyết thông qua việc phân chia thành hai trường hợp rõ ràng. Trường hợp 1: A, B nằm khác phía. Đây là trường hợp đã giải quyết như trên. Bây giờ ta tập trung vào trường hợp 2: Trường hợp 2: A, B nằm cùng phía. (hình 2.2). Trong trường hợp này, bài toán của chúng ta đã phát triển phức tạp hơn. Việc phát triểnnày sẽ là sự kế thừa. Dự đoán rằng, việc chứngminh trườn g hợp 2 sẽ kế thừa trường hợp 1, hoặc ngược lại. Ta sẽ tìm cách để phân tích quá trình thừa này bằng cách đưa trường hợp 2 về trường hợp 1. Khi đó, câu hỏi đặt ra là giữa “nằm cùng phía” và “nằm khác phía” của A, B có mối quan hệ như thế nào? Đó chính là ta có thể đưa từ khác phía về cùng phía và ngược lại bằng cách di chuyển A hoặc B qua đường thẳng d. Tuy vậy, do A, B đều cố định nên việc làm này là không thể được. Điều này đưa đến chúng ta gợi ý: ta có thể thay thế A (hoặc B) bởi một điểm khác có tính chất tương tự. Từ đây ta nghĩ ngay đến việc lấy một điểm A’ đối xứng của A qua d. Và việc làm này là hoàn toàn có thể. Ta sẽ kiểm định. Vì A’ và A đối xứng qua d nên với mọi điểm M thuộc d thì MA + MB = MA’+MB. Lúc này ta đã đưa trường hợp 2 về trường hợp 1 và điểm A’ đóng vai trò là A trong trường hợp 1. Vậy đáp án của bài toán trong trường hợp 2 chính là điểm M cần tìm là giao của A’B và d. Với định hướng như trên, ta tiếp tục mở rộng bài toán bằng cách thay đổi các yếu tố về “lượng” và “chất” của bài toán. Tuy nhiên, việc thay đổi này không dễ nhưng cũng không khó. Thay đổi phải dựa vào các yếu tố đặc biệt và then chốt mới có thể cho kết quả tốt, như trên là một ví dụ. Xong, nhìn ra yếu tố này cũng đòi hỏi có sự phân tích và xem xét một cách thấu đáo. Ta xét thấy các yếu tố: hai điểm A, B không có gì đặc biệt, yếu tố cần để ý chính là đường thẳng d. Nếu xét theo phương diện tương quan, ta có thể nhìn d như là sự trùng nhau của hai đường thẳng nào đấy. Khi đó nó sẽ gợi ý cho ta rằng, khi hai đường thẳng này không trùng nhau thì sao. Vậy là đưa đến định hướng tách d thành hai đường thẳng song song a, b nào đấy. Thì rõ ràng M cũng sẽ tách thành hai điểm. Ta có bài toán 5: Bài toán 5: Cho hai điểm phân biệt A, B không thuộc hai đường thẳng song song a và b. Tìm điểm M trên a, điểm N trên B sao cho AM+MN+NB nhỏ nhất. Ta sẽ phân tích để xác định lời giải cho hướng đi này. Giả sử lúc này d được tách thành hai đường thẳng song song a, b. Dựa vào tính chất về vị trí tương đối của đường thẳng và điểm (để ý A, B không thuộc a, b) sẽ nảy sinh các trường hợp: a b N’ B N M A M’ Hình 2.3 Trường hợp 1: Hai điểm A, B nằm về hai phía khác nhau của hai đường thẳng a, b (hình 2.3). Trong trường hợp này, bài toán khá đơn giản. Chỉ cần nối AB, khi đó nó sẽ cắt a, b lần lượt tại M, N chính là điểm cần tìm. Thật vậy Với bất kì điểm M trên a, N trên b ta đều có Thế nên AM + MN + NB nhỏ nhất khi A, M, N, B thẳng hàng. Đây là sự biện luận hoàn toàn giống trường hợp 1 của bài toán 5. Trường hợp 2: A nằm khoảng giữa a b N B N’ M’ A’ a A M Hình 2.4 của a, b và khác phía với B (hình 2.4) Bằng cách lấy A’ đối xứng với A qua a, ta sẽ đưa về trường hợp 1 dễ dàng. Kết quả chính là M, N lần lượt là giao của A’B với a, b. Khi B nằm khoảng giữa a và b và khác phía với A thì làm tương tự. Trường hợp 3: A và B nằm khoảng giữa của a, b. Hoàn toàn tương tự, bằng cách lấy đối xứng của cả A và B qua a, b để đưa về trường hợp 1. a b A A’ A’’ N M Hình 2.5 M’ B Trường hợp 4: Khi A, B nằm cùng phía so với cả a và b (hình 2.5) . Trường hợp này cũng tương tự như trường hợp 2 của bài toán 4. Với lối tư duy như vậy, ta cũng sẽ định hướng để quy về trường hợp 1. Bằng cách lấy đối xứng của A qua đường thẳng a là A’. Nếu A’ nằm khoảng giữa a, b thì đó là trường hợp 2. Còn nếu A’ nằm về bên kia so với B thì ta có trường hợp 1. Việc tính toán chi tiết xin dành cho bạn đọc. Bây giờ ta xét một bài toán đại số. Bài toán 6: Cho các số dương a, b thỏa Tìm giá trị nhỏ nhất của . Ta tiếp tục phân tích bài toán để làm rõ thêm vấn đề. Trước hết, để ý rằng trong biểu thức M có chứa . Điều này ngụ ý cho chúng ta hướng tới việc ghép thành các cặp rồi áp dụng bất đẳng thức Cauchy. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có (với x dương, dấu “=” xảy ra khi ). Đây là bất đẳng thức đơn giản mà chúng ta đã làm quen từ khi học trung học. Vậy cứ theo lối tư duy này, áp dụng với x lần lượt bằng a, b ta sẽ có và . Từ đây dễ thu được (dấu “=” xảy ra khi ). Từ đó ta suy ra giá trị nhỏ nhất của M là 4, đạt được khi . Tuy nhiên, điều này lại không thỏa điều kiện Nghĩa là không đảm bảo yêu cầu bài toán. Tức đây là một cách giải chưa hợp lý (nhiều bạn cũng hay mắc phải sai lầm như thế này). Vậy vấn đề nằm ở chỗ nào? Ta thấy rằng, cách giải trên là hoàn toàn hợp lý cho bài toán: “Cho các số dương a, b thỏa. Tìm giá trị nhỏ nhất của ”. Từ đó cho thấy, với việc thêm điều kiện “”, bài toán đã trở nên phức tạp hơn. Vấn đề tiếp cận cách giải cũng nằm ngay trong yếu tố điều kiện Nếu bài toán có đáp số, khi đó dấu “=” sẽ xảy ra. Cũng từ đây, kết hợp với tính chất “bình đẳng” (có vai trò như nhau) của a và b gợi cho ta đến kết quả là M sẽ đạt giá trị nhỏ nhất nếu . Khi đó, . Vậy là kết quả bài toán có thay đổi. Với sự phân tích này, ta tìm cách giải bài toán thông qua việc phân tích biểu thức M. Trên cơ sở điều kiện “dương” của “a và b”, ta cũng nghĩ tới việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy. Nhưng phải phân tích M như thế nào để làm sao cho điều kiện dấu “=” xảy ra khi . Lúc này ta nghĩ ngay đến việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy với biểu thức dạng , trong đó m, n là các số cần tìm để dấu “=” xảy ra ứng với . Khi có dấu “=” thì ta được , thêm với điều kiện sẽ có Như thế phải phân tích M về dạng có chứa , với (tương tự với b). Ta có thể chọn bất cứ n nào để có m. Nhưng để ý rằng, trong M chỉ chứa . Thế nên, nếu thêm vào các số dạng này (thông qua chon n) thì rất khó phân tích và áp dụng. Cái thuận lợi của chúng ta chính là điều kiện . Gầm gợi ý cho ta việc thêm vào M biểu thức có chứa . Điều này đồng nghĩa với việc chọn (thì . Vậy ta có thể phân tích M như sau: . Đến đây ta hoàn toàn có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy. Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy ta có , và (có dấu “=” khi , đồng thời từ điều kiện a, b dương và suy ra (dấu “=” khi ). Lúc này ta được (dấu “=” khi ). Suy ra giá trị nhỏ nhất của M là 5 khi . Bài toán giải xong. Nhận xét: Việc áp dụng quy luật “lượng- chất” thông qua cách thêm điều kiện vào bài toán cơ bản: “Cho hai số dương a, b. Tìm giá trị nhỏ nhất của .” ta đã có bài toán hay hơn rất nhiều. Đây cũng chính là hướng mở rộng của bài toán cơ bản. Từ một bất đảng thức cơ bản (hiển nhiển đúng với mọi a, b dương), ta đã thu bất đẳng thức rất hay hơn (với điều kiện ). Tuy nhiên, ta không dừng lại ở đây mà tiếp tục phân tích bài toán xuất phát từ cách giải bài toán. Từ cách giải trên, ta có thể tìm ra được giá trị nhỏ nhất cho các biểu thức có chứa Theo hướng này ta sẽ mở rộng bằng cách thêm các hệ số vào các số hạng dạng trên như và có lời giải một cách dễ dàng vì . Nếu như chưa tiếp cận phương pháp này thì quả thật với bài toán: “Cho hai số dương a, b thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của hoàn toàn không dễ. Cũng bởi cách này, ta thay bằng hệ số tổng quát để có bất đẳng thức: . Từ đây ta sẽ thu được bài toán tổng quát sau: “Cho hai số dương a, b thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: , với ”. Đến đây ta thấy, với mỗi cách cho các giá trị khác nhau, ta sẽ có được một bất đẳng thức mới. Chẳng hạn, trong bài toán 5 là trường hợp ứng với . Đây là một hướng mở rộng rất hiệu quả để tìm thêm những bất đẳng thức mới. Có nhiều hướng mở rộng khác nhau, như trên là một ví dụ, hoặc bằng cách thêm vào các yếu số khác như không phải cặp hai số dương a, b mà còn có thể mở rộng cho ba, bốn, … n số dương nào đó. Điều này bạn xin dành cho bạn đọc. Một hướng mở rộng khác có thể rất thú vị chính là từ điều kiện nhìn kỹ ta không khỏi băn khoăn: tại sao lại là 1 mà không thể là số khác? Câu hỏi này ngụ ý cho chúng ta hướng đi mới đó chính là thay 1 bởi một số dương m nào đó tổng quát hơn. Tức là ta có bài toán: “Cho hai số dương a, b thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của ”. Với điều kiện này, cộng với việc xét trường hợp dấu “=” xảy ra, ta sẽ thấy kết quả là M khi nhỏ nhất khi . Tương tự như trên ta có thể tách để M chứa để đảm bảo cho trường hợp dấu “=” xảy ra. Thế nên: . Đến đây nảy sinh ra hai vấn đề. Thứ nhất, nếu (và ) suy ra thì ta có . Thế thì M sẽ đạt giá trị bé nhất là khi . Còn nếu , tức thì M không đạt giá trị nhỏ nhất. Tuy nhiên, cũng trong trường hợp này đưa chúng ta đến một kết quả khá thú vị là ta có thể đổi điều kiện thành để có được giá trị nhỏ nhất của M. Tóm lại, ta thu được kết quả sau: 1) với 2) với . Với những kết quả này, cho m các giá trị khác nhau, ta sẽ thu được các bất đẳng thức khác nhau. Không chỉ dừng lại ở đó, ta còn có thể mở rộng theo hướng khác như thêm các hệ số vào a, b để có các điều kiện khác nhau dạng , rồi tổng quát tiếp thành . Việc tìm lời giải cho bài toán tổng quát khi xét điều kiện dạng này xin dành cho đọc giả ở mục các bài toán đề cập. Kết luận chung: Phần này là nội dung ứng dụng của quy luật “lượng-chất” vào giải toán. Điều này tập trung chủ yếu vào việc thêm hoặc bớt các yếu tố về “lượng” hay “chất” để thu được những bài toán rộng hơn, khái quát hơn. Việc thêm bớt này không đơn giản mà phụ thuộc vào cách nhìn nhận và đánh giá vấn đề để phát hiện nên các “yếu tố đặc biệt” và ta tác động chủ yếu vào nó nhằm tạo ra “bước nhảy” để tạo nên những kết quả như mong đợi. Trước mỗi vấn đề toán học ta có nhiều cách giải quyết khác nhau. Mong rằng đây cũng là một cách hữu hiệu để đưa chúng ta đến những sáng tạo toán học. Để củng cố tốt hơn cho phần này, xin đề cử một số bài toán mong rằng đọc giả khai thác tiếp. Bài tập vận dụng 2. Bài toán 2.1. Bằng cách xét tương ứng đường thẳng trong mặt phẳng như là một mặt phẳng trong không gian (3 chiều), hãy mở rộng bài toán 4 để thu được lời giải cho bài toán: “Trong không gian cho mặt phẳng (P) và hai điểm phân biệt A, B không nằm trên (P). Tìm điểm M trên (P) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất”. Bài toán 2.2. Dựa vào phân tích như bài toán 6, hãy mở rộng bài toán theo các hướng xét điều kiện , . Bài toán 2.3. Tổng quát bài toán 6 với bộ n số . Bài toán 2.4. Từ cách giải phương trình bậc 2 kết hợp với phương pháp mũ hóa, hãy xây dựng phương pháp giải một số dạng phương trình bậc 4 đặc biệt sau: với . Bài toán 2.5. Phân tích các yếu tố bình đẳng trong bài toán nghiệm nguyên dương: “tìm hai số nguyên dương a, b sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng” để thu được lời giải cho bài toán tổng quát với 3 số, 4 số, 5 số. KẾT LUẬN Toán học và triết học có quan hệ chặt chẽ với nhau trong đó phương pháp biện chứng duy vật như là một nòng cốt không thể thiếu trong toán học. Đó là một trong các phương pháp khởi nguồn cho những phát minh toán học ra đời. Xong, việc vận dụng phương pháp này trên từng lĩnh vực toán học cụ thể đòi hỏi người nghiên cứu toán phải có những kiến thức nhất đinh mà trước hết phải nắm được bản chất của phép biện chứng duy vật hay phương pháp biện chứng duy vật. Cách nhìn nhận và tiếp cận vấn đề theo nhiều chiều, nhiều hướng khác nhau của phương pháp là chìa khóa để tìm ra những lời giải thấu đáo cho nhiều bài toán khó. Qua chuyên đề này, ngoài việc vận dụng phương pháp biện chứng duy vật vào sáng tạo toán học còn muốn gửi đến bạn đọc yêu toán và các bạn thích nghiên cứu toán những góp ý nhỏ sau: 1) Phải nắm thật vững các khái niệm cơ bản, các định nghĩa cơ bản. Đây là điều tối cần thiết cho một người nghiên cứu toán học. 2) Phải nhìn nhận một đối tượng toán học theo nhiều cách khác nhau. Không nhất nhất lúc nào “nó cũng là nó”. Chẳng hạn, 5 không phải lúc nào cũng là 5, mà 5 có thể là 0+5, 1+4,2+3,…; tam giác có thể là một tứ giác có 1 cạnh bằng 0 hay có 2 đỉnh trùng nhau;…Đồng thời phải biết nhìn theo hướng tương đương. Chẳng hạn, tam giác trong mặt phẳng có vai trò giống tứ diện trong không gian, hình bình hành trong mặt phẳng như một hình hộp trong không gian,… 3) Khi lĩnh hội một kiến thức toán học mới, hãy đặt câu hỏi: Kiến thức này có thể mở rộng được không? Trường hợp đặc biệt của nó là gì? Với vấn đề tương tự, liệu có kiến thức tương tự không? Và cố gắng trả lời chúng. Đây chính là việc “khái quát hóa” hay đặc biệt hóa” và “tương tự hóa” một kiến thức toán học. Với dạng này, ta nên chú ý đến mối liên hệ “cái chung-cái riêng”. Lấy “cái chung” và “cái riêng” soi rọi cho nhau. 4) Sau khi đã tiếp thu kiến thức toán học nào đấy, hãy thử đặt mình vào vị trí của tác giả của kiến thức đó để thử hình dung xem người đó đã suy nghĩ như thế nào, định hướng như thế nào. 5) Không ngừng tìm tòi và sáng tạo để có những sản phẩm của mình. Đồng thời, không ngừng tiếp thu những kiến thức toán học mới để thúc đẩy quá trình sáng tạo. 6) Tạo thói quen độc lập sáng tạo, tích cực tư duy và luôn có “hoài nghi toán học”. Nghĩa là trước một vấn đề toán học cần làm rõ, ta hãy đưa ra những câu hỏi: Nó là gì? Tại sao? Vì sao?...và tự mày mò, dự đoán, vận dụng kiến thức đã học mà làm rõ chúng để có được hiểu biết về bản chất của chúng. 7) Khi gặp các vấn đề xung quanh cuộc sống, hãy thử tìm xem có mối liên hệ với toán học không, từ đó hãy vận dụng kiến thức toán học của mình để giải thích chúng, cải biến chúng và không quên mở rộng chúng. Tức là phải biết “lôi toán học vào cuộc sống”. 8) Tích cực tìm hiểu những kiến thức của các khoa học khác đặc biệt là triết học để phục vụ tốt hơn cho toán học và cho cuộc sống thực tiễn của bản thân. Và kết hợp phát triển toán học trong các ứng dụng của các khoa học khác. 9) Tìm hiểu và xây dựng thêm nhiều phương pháp nghiên cứu. Từ đó, trước mỗi vấn đề toán học, hãy tiếp cận chúng theo các phương pháp khác nhau. 10) Hãy tập cho bản thân thói quen sáng tạo toán học, hình thành sự say mê sáng tạo. Luôn có niềm tin vào hướng đi toán học của mình. Kết thúc chuyên đề xin có lời nhắn nhủ: hãy tìm cái đẹp trong những con số và những con người! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. C. Mác và Ph. Ăng-ghen, toàn tập, NXB Chính trị Quốc gia, H.1995. [2]. V.I. Lê-nin, toàn tập, NXB Tiến bộ, M. 1984. [3]. Giáo trình triết học Mác-Lênin, NXB Chính trị Quốc gia, H. 1999 [4]. PGS.TS Vũ Tình, Giáo trình triết học (dùng cho cao học và nghiên cứu sinh không thuộc chuyên ngành triết), NXB Chính trị - Hành chính, H. 2010. [5]. Lê Hải Châu, Kể chuyện thi toán quốc tế (3 tập), NXB Giáo dục, 1988. [6]. Lê Trần Chính, Nguyễn Quý Dy, Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán (3 tập), NXB Giáo dục, 2002. [7]. Hoàng Chúng, Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường phổ thông, NXB TP. Hồ Chí Minh, 1993. [8]. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đại số 10, NXB Giáo dục, 2009. [9]. Lê Thị Hương, Nguyễn Kiếm, Hồ Xuân Thắng, Những bài toán cơ bản và nâng cao chon lọc 8 (2 tập), NXB Đại học Sư phạm, 2004. [10]. Nguyễn Mộng Hy, Bài tập hình học 11, NXB Giáo dục, 2007. [11]. Lê Quang Nẫm, Tìm tòi để học toán, NXB Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh, 2000. [12]. Đào Tam, Phương pháp dạy học môn toán, NXB Đại học Sư phạm, 2000. [13]. Nguyễn Cảnh Toàn, Tập cho học sinh làm quen với nghiên cứu toán học, NXB Giáo dục, 1999. [14]. Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ, NXB Giáo dục, 2000. [15]. M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physis (4 volumes), Acad. Press, 1972-1979.