Một số bài tập lý thuyết nhóm

ểm tra được ( là các nhóm con của ( X, +). Tuy nhiên không là nhóm. Thật vậy, f( x = nhưng Do đó không là nhóm. Bài 7. Chứng minh rằng trong một nhóm có 2n phần tử, ngoài phần tử đơn vị còn có một phần tử là nghịch đảo cuả chính nó. Giải. Giả sử nhóm A có 2n phần tử A= Nhận xét nếu đều có nghịch đảo là thì = Do đó nếu A không có phần tử nào là nghịch đảo cuả chính nó ( ngoài e) thì 2n-2 phần tử tạo thành (n-1) cặp ( trong đó là nghịch đảo của nhau. Mỗi phần tử ở cặp này khác với mỗi phần tử ở cặp kia. Nên trong A còn có một phần tử không có phần tử nào là nghịch đảo của nó. Điều này mâu thuẫn. Do đó trong A ngoài e, còn có một phần tử khác là nghịch đảo của chính nó. Bài 8. Cho A là một bộ phận khác rỗng của nhóm X. Chứng minh rằng A là nhóm con của X khi và chỉ khi . Giải. Ta có = {}. Khi A là nhóm con của X thì Vì nên Mặt khác, mọi ta có nên . Vậy Giả sử . Do đó, mọi , ta có . Suy ra A là nhóm con của nhóm X. Bài 9. Cho A, B là nhóm con của nhóm X. Chứng minh rằng là nhóm con của X khi và chỉ khi hoặc . Giải. Giả sử hoặc . Khi đó hoặc . Do đó là nhóm con của nhóm X Giả sử và . Khi đó Ø và Ø nên tồn tại Vì là nhóm con của X nên Điều này vô lý vì Vậy ta phải có hoặc . Bài 10. Cho X là nhóm và . Chứng minh rằng nếu abc = e thì bca = e, cab = e ( với e là phần tử đơn vị của X ). Hơn nữa khi và chỉ khi ab = ba Giải. Ta có và = c(abc)ab = cab cab = e. Hơn nữa, nếu (ab)-1 = a-1b-1 thì (ab)-1 (ab) = e (ba)-1 (ba) = e = (ab)-1 (ba) ( do (ba)-1 = a-1b-1 = (ab)-1 ). Suy ra . Do đó ab=ba ( luật giản ước). Ngược lại nếu ab = ba, với mọi a, bX thì (ab)-1 = (ba)-1 nên Bài 11. Cho X là nhóm, . Chứng minh rằng khi và chỉ khi ab = ba. Giải. Ta có , mà nên ( luật giản ước ) Ta có , mà nên Bài 12. Cho X là một nhóm với phần tử đơn vị e. Chứng minh rằng nếu mọi có thì X là một nhóm Abel Giải. Ta có mọi ,. Do đó Mà thì ( theo bài 11). Vậy X là nhóm Abel. Bài 13. Cho H, K là các nhóm con của nhóm X. Chứng minh rằng HK=KH khi và chỉ khi HK là nhóm con của X, trong đó và Giải. Giả sử , . Ta xét , do nên tồn tại , sao cho . Nên . Mặt khác mọi , ta có , Lấy . Ta có Vậy HK là nhóm. Mọi . Khi đó . Do đó . Mặt khác, giả sử . Lấy ( HK là nhóm). Ta có. Do đó . Vì thế HK = KH Bài 14. Giả sử A là nhóm Abel, với mỗi số tự nhiên n> 1, ta đặt . Chứng minh rằng: a) là nhóm con của A b) Nếu (m, n) = 1 thì Giải. a) Mọi thì Ta có () ( do A là nhóm Abel), nên . Hiển nhiên e nên Ø Vậy là nhóm con của nhóm A. b) Vì ( m, n) =1 nên tồn tại Z sao cho mu+nv=1. Gọi , suy ra , khi đó Vậy Bài 15. Chứng minh rằng tập con khác rỗng A của nhóm cộng các số nguyên Z là nhóm con của Z khi và chỉ khi A = mZ, với Z Giải. Hiển nhiên A = =mZ = { mkZ } là nhóm con của Z Giả sử A là nhóm con của nhóm ( Z, +) Nếu thì A= 0Z Nếu thì A chứa những số dương. Suy ra tồn tại m là số nguyên dương nhỏ nhất thuộc A. Ta chứng minh A = mZ . Thật vậy, vì và A là nhóm nên mZ Với , thì (0 Do đó r =a- mp ( p, r Z ). Điều này mâu thuẫn với m là số nguyên dương nhỏ nhất thuộc A nên r = 0 a = mp mZ Vậy A= mZ Bài 16. Cho một họ những nhóm mà các phép toán ký hiệu bằng dấu nhân. Chứng minh tập hợp tích Descartes với phép toán xác định như sau: là một nhóm Giải. Đặt Giả sử thuộc X. Ta xét = Suy ra phép nhân có tính kết hợp Gọi là đơn vị của nhóm với mọi . Dễ thấy phần tử là phần tử đơn vị của X vì Giả sử , khi đó , với là nghịch đảo của trong thỏa Vậy X là một nhóm. Bài 17. Cho X là tập tùy ý. Kí hiệu Map(X, X) là tập hợp các ánh xạ từ X đến X. Với phép nhân ánh xạ Map(X, X) có lập thành nhóm hay không ? Tại sao ? Chứng minh rằng bộ phận S(X) của Map(X, X) gồm các song ánh từ X đến X là một nhóm với phép nhân các ánh xạ. Hãy tìm số phần tử của S(X) trong trường hợp X có n phần tử ( nN, n 1 ) Giải. • Ta có phép nhân các ánh xạ có tính kết hợp và ánh xạ đồng nhất là phần tử đơn vị. Nếu X = {0, 1, 2} và f: Khi đó f Map(X, X). Nếu Map( X, X) là nhóm thì f phải có phần tử nghịch đảo, giả sử đó là g Map(X, X), khi đó fg = 1X, điều này không thể vì fg(1) = f(g(1)) = 0 1X(1) = 1. Do đó f không có phần tử nghịch đảo. Vậy Map(X, X) không lập thành một nhóm • Ta có tích hai song ánh từ X đến X là một song ánh từ X đến X , phép nhân ánh xạ có tính kết hợp, ánh xạ đồng nhất của X là một song ánh nên Nếu thì f là một song ánh do đó f có ánh xạ ngược và Vậy S(X) là một nhóm với phép nhân ánh xạ. • Giả sử . Với mỗi hoán vị của X ta có một song ánh f : xác định bởi: , . Đảo lại, với mỗi song ánh , cho ta một hoán vị của X. Vậy số phần tử của S(X) bằng số hoán vị n phần tử đó là ! Bài 18. Cho Y là một bộ phận của tập hợp X. Chứng minh rằng bộ phận S( X,Y) của S (X) gồm các song ánh sao cho f(Y) = Y là một nhóm con của S(X) . Tìm số phần tử của S (X,Y) trong trường hợp X có n phần tử, Y có một phần tử. Giải. Ta có 1X(Y) = Y nên Ø. Giả sử . Khi đó f(Y) = Y, g(Y) = Y, do đó gf(Y) = g(f(Y)) = g(Y) = Y. Nên . Mặt khác Vậy nên S(X,Y) là nhóm con của S(X). Nếu X có n phần tử và Y có một phần tử thì S(X,Y) có (n-1) ! phần tử, nó ứng với số các hoán vị của n-1 phần tử của tập X\Y. Tổng quát số phần tử của S(X,Y) trong trường hợp X có n phần tử, Y có phần tử là k!(n- k) ! D. MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1) Cho X = R, trên X ta xây dựng phép toán (*): x*y = x+2xy+y (x, y) Chứng minh rằng (X, *) lập thành một nhóm Abel. 2) Trong X = Z Z, ta xây dựng phép toán (*): . Chứng minh rằng (X, *) lập thành một nhóm , không Abel. 3) Trong GL2(R), cho tập con Chứng minh rằng H là nhóm con của GL2(R). 4) a) Cho . Tính . b) CMR: là nhóm con giao hoán của nhóm S4. Nhóm này gọi là nhóm Klein. 5) Giả sử a, b là các phần tử của nửa nhóm X ( tức Ø và đóng kín đối với phép toán trên X ) sao cho ab=ba. Chứng minh , với mọi số tự nhiên . 6) a) Chứng minh rằng ( Z, . ) lập thành nhóm giao hoán , với p là nguyên tố b) Tìm phần tử nghịch đảo của trong Z11 7) Các mệnh đề sau đúng hay sai: a) Cho G là nhóm, , nếu HK=KH thì b) Với e là phần tử đơn vị của G. Nếu y2=e với mọi thì G là nhóm Abel. c) X là nhóm, Ø. Nếu thì AA-1=A. d) Cho (G, .) là một nhóm, với . Nếu xy = xz thì y = z. e) Cho G là nhóm, nếu H là tập con của G, Ø có chứa phần tử đơn vị và các phần tử của H đều có phần tử nghịch đảo thuộc H thì H là nhóm con của G. f) Trong một nhóm có 100 phần tử, ngoài phần tử đơn vị, không có phần tử nào là nghịch đảo của chính nó CHƯƠNG II. NHÓM HỮU HẠN SINH A. LÝ THUYẾT 1. Tâm giao hoán 1.1. Định nghĩa Cho G là một nhóm và Ø. Khi đó tập: được gọi là tâm của tập A. Trường hợp đặc biệt thì C(A) được kí hiệu là Ca và được gọi là tâm của phần tử a Trường hợp A = G thì C(A) được gọi là tâm của G và kí hiệu là Z(G). Tức là Z(G)= 1.2. Tính chất Cho G là nhóm. Khi đó i) C(A) ii) Z(G) 2. Định nghĩa Cho G là nhóm , với ta gọi là một hoán tử của G Nhóm con sinh bởi tập tất cả các hoán tử của G được kí hiệu là . Nếu G là nhóm thì 3. Định nghĩa Cho G là nhóm, i) Nhóm con nhỏ nhất của G chứa S được gọi là nhóm con sinh bởi tập S và kí hiệu là ii) Với . Ta nói nhóm con H được sinh bởi S hay S là tập sinh của H. Đặc biệt H = G, ta nói G là nhóm sinh bởi tập S hay S là tập sinh của G. iii) Nếu G có một tập sinh hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn sinh. Đặc biệt, nếu G có tập sinh chỉ gồm một phần tử thì G được gọi là nhóm xiclic. iv) Nếu thì 4. Định nghĩa Một nhóm G được gọi là nhóm xiclic nếu G được sinh bởi một phần tử a nào đó của G , G=. Khi đó a gọi là phần tử sinh của G. 5. Phân loại nhóm xiclic Giả sử G là nhóm xiclic sinh bởi a, . Khi đó xảy ra hai trường hợp sau i) Tất cả các lũy thừa am (Z ) khác nhau đôi một. Trường hợp này G là nhóm xiclic vô hạn. ii) Tồn tại những lũy thừa bằng nhau. Chẳng hạn ak = al thì G là nhóm xiclic hữu hạn 6. Cấp của phần tử 6.1. Định nghĩa Cho G là nhóm i) Cấp của G chính là lực lượng của G và kí hiệu là . Nếu hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn, ngược lại G được gọi là nhóm vô hạn. ii) Cấp của phần tử là cấp của nhóm và kí hiệu là . Nếu hữu hạn thì a gọi là phần tử có cấp hữu hạn. Ngược lại, a được gọi là phần tử có cấp vô hạn. iii) Nhóm G gọi là nhóm xoắn nếu mọi phần tử trong G đều có cấp hữu hạn. iv) Nhóm G gọi là không xoắn nếu trong G chỉ có duy nhất phần tử đơn vị có cấp hữu hạn. B) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP Bài toán 1. Cho phần tử x thuộc G. Chứng minh |x| = n = G C) MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI Bài 1. Cho G là nhóm. Chứng minh rằng: a) Nếu S bằng rỗng thì b) Nếu S khác rỗng thì = {|Z, i=} Giải. a) Hiển nhiên. b) Nếu S khác rỗng , đặt H = {|Z, i=} Ta sẽ chứng minh H=. Thật vậy, lấy hai phần tử x,y bất kỳ thuộc H. Khi đó , với Z (i=). Suy ra . Hay . Do đó , nên Hiển nhiên ta có Giả sử tồn tại là nhóm con của G chứa S. Lấy phần tử x bất kỳ thuộc H. Khi đó , với Z, i= . Vì và nên . Suy ra hay . Do đó . Theo định nghĩa của nhóm con sinh bởi tập hợp thì . Bài 2. Cho G là nhóm, A, B là hai tập con của G. Chứng minh rằng: a) Nếu thì b) c) Nếu thì . Giải. a) Lấy x bất kỳ thuộc . Khi đó , với Z, i=. Hay , với Z, i=. Do đó .Vậy b) Trước tiên ta chứng minh . Ta có nên (2.1) Lấy x bất kỳ thuộc . Khi đó với , , kZ, i= . Nếu , thì Nếu thì (do . Do đó . Nếu , , với l=1). Đặt Suy ra Hay . Do đó . Vì thế Vậy theo nguyên lý qui nạp thì Bài 3. Cho G là nhóm. Chứng minh rằng: a) Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G và K là nhóm con của G thì và HK=KH b) Nếu và thì và HiHk=HkHi, c) Nếu G là nhóm Abel và Giải. a) Ta chứng minh . Thậy vậy, ta có KH khác rỗng ( do K và H khác rỗng). Lấy k1h1, k2h2 bất kỳ thuộc KG với k1, k2 thuộc K; h1, h2 thuộc H. Khi đó . Vì nên . Vì nên . Do đó . Vậy Lấy x bất kỳ thuộc . Khi đó x thuộc K hoặc x thuộc H . Nếu x thuộc K thì (vì e). Nếu thì (vì . Suy ra hay Giả sử tồn tại M là nhóm con của G chứa . Lấy kh bất kỳ thuộc KH với . Khi đó nên ( vì ). Do đó Vậy Ta chứng minh KH=HK. Thật vậy, lấy kh bất kỳ thuộc KH với thì kh=khk-1k. Vì nên , do đó . Suy ra . Tương tự ta được . Vậy HK=KH . b) Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp theo n Với n=1 thì (*) hiển nhiên đúng Với n=2 thì (*) đúng do chứng minh trên Giả sử ta luôn có , với k>1, trong đó . Ta chứng minh , trong đó . Đặt . Theo giả thiết quy nạp thì . Vì nên theo kết quả câu a) ta có (do bài 2) . Vì thế . Vậy và c) Vì G là nhóm Abel và nên . Theo kết quả câu b) thì . Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 4. Cho H là nhóm con chuẩn tắc của G. Chứng minh rằng nếu H và G/H hữu hạn sinh thì G là nhóm hữu hạn sinh Giải. Gọi H= ; . Ta chứng minh . Đặt . Lấy g bất kỳ thuộc G. Nếu thì ( vì ) Nếu thì và với Z, j = Vì thế . Do đó . Nên . Suy ra . Nên . Do đó G = K hay G là nhóm sinh bởi tập hợp . Vậy G là nhóm hữu hạn sinh. Bài 5. Chứng minh rằng nếu H là nhóm con thực sự của G thì G = . Giải. Ta có nên ( 5.1). Lấy g bất kỳ thuộc G. Trường hợp . Giả sử tồn tại x thuộc G\H sao cho . Khi đó . Do đó ( do ) ( mâu thuẫn ) . Nên . Hay . Do đó . Vì thế tồn tại x’ thuộc sao cho gx= x’. Do vậy . Suy ra (5.2) Từ ( 5.1) và ( 5.2) ta suy ra G = . Vậy G = . Bài 6. Cho X là nhóm, . Chứng minh rằng: N, m n thì . Giải. Giả sử tồn tại Đặt d = m – n , d > 0. Lấy ( k Z). Chia k cho d ta được k = dp + r với Do đó N sao cho m n thì Ta có { xk|kZ } Do mọi m ,n N sao cho m n thì Từ đó suy ra N sao cho m n thì . Bài 7. Chứng minh rằng mọi nhóm có cấp vô hạn đều có vô hạn nhóm con. Giải. Nếu X = là nhóm xiclic có cấp vô hạn thì với mỗi số tự nhiên n, ta có là nhóm con xiclic của X và nếu thì nên X có vô hạn nhóm con. Nếu X không là nhóm xiclic • Nếu X có chứa một phần tử cấp vô hạn x thì A = là nhóm con xiclic cấp vô hạn của X, A có vô hạn nhóm con nên X cũng có vô hạn nhóm con • Nếu mỗi phần tử của X đều có cấp hữu hạn thì số các nhóm con xiclic sinh bởi các phần tử của X là vô hạn vì là tập vô hạn và hữu hạn. Bài 8. Chứng minh rằng nếu X là nhóm chỉ có các nhóm con tầm thường là {e }và X thì X là nhóm xiclic, hữu hạn, cấp nguyên tố. Giải. Lấy . Xét nhóm con . Vì nên = X. Vậy X là nhóm xiclic Nếu x có cấp vô hạn thì là nhóm con thực sự của X ( trái giả thiết ). Vậy X phải có cấp hữu hạn n. Nếu n không phải là số nguyên tố, tức n = n1n2 ( N, n1, n2 1 ), khi đó nhóm con là nhóm con thực sự cấp n2 của X ( trái giả thiết ) Vậy X là nhóm xiclic, hữu hạn, cấp nguyên tố. Bài 9. Chứng minh rằng nhóm con của nhóm xiclic là nhóm xiclic Giải. Giả sử X là nhóm xiclic, X = và A là một nhóm con của nhóm X Nếu thì A = là nhóm xiclic Nếu , gọi m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho Ta chứng minh Ta có nên (1) Nếu , vì nên nên Z sao cho x = an, chia n cho m ta được n = mq + r với Ta có Do m là dương só nguyên nhỏ nhất để nên r = 0, do đó hay (2) Từ (1) và (2) suy ra Bài 10. Giả sử X1, X2 là các nhóm xiclic có cấp nguyên tố lần lượt là n1, n2. Chứng minh rằng là nhóm xiclic khi và chỉ khi n1, n2 nguyên tố cùng nhau Giải. Giả sử X1 = có cấp n1 và X2 = có cấp n2. Dễ thấy nhóm = có cấp n1n2 • Giả sử (n1,n2) = 1 . Ta cần chứng minh |(a1a2)| = n1n2 . Thật vậy, ta xét Giả sử tồn tại kZ sao cho Do (n1,n2) = 1 nên Vậy cấp của trong nhóm là n1n2. Do đó là nhóm xiclic sinh bởi • Nếu (n1,n2) > 1 thì Mọi , ta có . Suy ra k n1n2 ( mâu thuẫn). Vậy (n1,n2) = 1. Bài 11. Giả sử X1, X2,…, Xk là các nhóm xiclic có cấp nguyên tố lần lượt là n1, n2,…,nk. Chứng minh rằng … là nhóm xiclic khi và chỉ khi Giải. Giả sử X1 = có cấp n1 X2 = có cấp n2 …. Xk = có cấp nk Dễ thấy … = có phần tử • Giả sử . Ta chứng minh cấp của là . Thật vậy ta xét: Giả sử Mà nên Vậy cấp của là Vì … có cấp nên … là nhóm xiclic sinh bởi • Nếu tồn tại thì Mọi … , ta có Vậy cấp của mọi phần tử của … đều nhỏ hơn hoặc bằng m nên luôn nhỏ hơn nên … không là nhóm xiclic. Bài 12. Giả sử X là nhóm xiclic sinh bởi phần tử a cấp n, b = ak. Chứng minh rằng: a) Cấp của b bằng trong đó d = ( n, k ). Suy ra mọi nhóm con của nhóm xiclic cấp n đều có cấp là ước của n. b) X = khi và chỉ khi d =1. Từ đó suy ra số phần tử của X. Giải. a) Ta có Mặt khác nếu bm = e thì akm = e nên , suy ra . Vì nên Vậy cấp của b là . Suy ra mọi nhóm con của nhóm xiclic cấp n đều có cấp là ước của n. b) Ta có X = khi và chỉ khi cấp của b bằng n tức hay d = 1. Vậy b là phần tử sinh của X khi và chỉ khi ( k, n ) = 1. Ta có các phần tử sinh của X chính là các phần tử có dạng ak ( 0 có cấp n và d là ước của n. Áp dụng bài 12 ta có có cấp là d. Giả sử X có nhóm con H cấp d khác nữa. Vì nhóm con của nhóm xiclic là nhóm xiclic nên tồn tại sao cho H = , với có cấp là d. Theo bài 12 thì cấp của b = ak là . Do đó d = nên . Do đó tồn tại x, y Z sao cho . Nên . Suy . Vì và H đều có cấp là d nên = H. Vậy có duy nhất nhóm con cấp d của X. Bài 14. Các nhóm sau có bao nhiêu nhóm con. Tìm cấp của chúng a) Nhóm xiclic cấp 12 b) Nhóm xiclic cấp 17 Giải. a) Số 12 có các ước là 1, 2, 3, 4, 6, 12 nên nhóm xiclic cấp 12 có 6 nhóm con có cấp 1, 2, 3, 4, 6, 12. b) Số 17 có các ước 1, 17 nên nhóm xiclic nhóm 17 có 2 nhóm con có cấp 1, 17. Nhận xét. Từ bài 12 và bài 13 ta có các kết quả : i) Giả sử X là nhóm xiclic sinh bởi phần tử a cấp n và b = ak. Khi đó b là phần tử sinh của nhóm con xiclic H của X cấp là với d = (n, k). Hơn nữa khi và chỉ khi (s, n) = (t,n) ii) Nếu a là phần tử sinh của nhóm xiclic cấp hữu hạn n thì các phần tử sinh khác của X là ar với r và n nguyên tố cùng nhau. Bài 15. a) Xét nhóm Z12 với phép cộng, ta đã biết Z12 là nhóm xiclic với phép cộng, phần tử sinh là Liệt kê các phần tử của , b) là nhóm xiclic với phép cộng, có phần tử sinh là . Tìm các phần tử sinh khác của Giải. a) Ta có , (12,3) = 3 nên cấp của là . Do đó = Ta có , (12,4) = 4 nên cấp của là . Do đó = b) Ta có 5, 7, 11, 13, 17 là các số nguyên tố cùng nhau với 18 nên các phần tử sinh khác của là . Bài 16. Giả sử X là nhóm, a và b là hai phần tử của X. a) Chứng minh rằng cấp của ab bằng cấp của ba b) Giả sử ab = ba và cấp của a, b là r, s. Khi đó nếu (r, s) = 1 thì cấp cùa ab là rs. Giải. a) Giả sử ab có cấp là k, khi đó Nếu m là cấp của ba thì m là ước của k (1) Và ta có Ta có Suy ra k là ước của m (2) Từ (1) và (2) ta đựơc m = k Vậy cấp của ab bằng cấp của ba. b) Do ab = ba nên . Mặt khác nếu thì (do (r,s)=1) (1) (do (r,s)=1) (2). Từ (1) và (2) suy ra . Vậy nếu ab = ba và cấp của a, b là r, s và (r, s) = 1 thì cấp cùa ab là rs Bài 17. Tìm cấp của các phần tử trong GL2(R) , , Giải. • Ta có , Do đó a có cấp là 2 • Ta có , Do đó b có cấp 2 • Ta có , Giả sử , ta chứng minh Thật vậy Do đó cấp của c là . Bài 18. Cho G là nhóm con của GL2(C) sinh bởi các phần tử và a) Chứng minh rằng G là nhóm cấp 8 b) Chứng minh rằng G chỉ có duy nhất một nhóm con cấp 2 Giải. a) Ta có và Nên ; ; ; ; ; Vậy b) Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta thấy A2 là phần tử duy nhấtcó cấp 2 Vậy là nhóm con duy nhất có cấp 2 ( vì nhóm có cấp 2 là nhóm xiclic ) Bài 19. Cho G là nhóm sinh bởi {x,y} thỏa x2 = y2. Chỉ ra những phần tử trùng nhau của các phần tử sau: ; ; ; ; ; Giải. Ta biết nếu thì Ta có Hay Nên . Tương tự ta được Bài 20. Cho G = thõa a3 = e; b7 = e; a-1ba = b3. Chứng minh rằng G là nhóm xiclic cấp 3 Giải. Giả sử a = e thì b2 = e. Do đó b6 = e hay b6 = b7 vì thế b = e ( mâu thuẫn). Do đó nên . Vì nên . Do đó . Suy ra . Kéo theo hay . Vì thế nên , suy ra ( do ). Nên do đó ( do ). Vì thế suy ra . Kéo theo nên . Từ đó hay b=e Vậy G = và D) MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1) Các mệnh đề sau đúng hay sai: a) Phần tử a của nhóm G có cấp là n Z+ nếu và chỉ nếu an = e ( e là đơn vị của G ) b) Nếu H và H, là hai nhóm con của nhóm xiclic X thì HH, là nhóm con xiclic của X c) Tồn tại nhóm xiclic cấp 8 có 5 nhóm con phân biệt d) Mọi nhóm xiclic cấp 8 đều có 4 nhóm con phân biệt 2) Chứng minh rằng tập X gồm các ma trận dạng , với nZ cùng với phép nhân hai ma trận lập thành một nhóm xiclic. Tìm phần tử sinh của X. 3) Chứng minh rằng tập X gồm tất cả các ma trận dạng , với xQ cùng với phép nhân hai ma trận lập thành một nhóm Abel. Hỏi nhóm X này có phải là nhóm xiclic hay không? Tại sao ? 4) Chứng minh rằng Z2 Z3 là nhóm xiclic nhưng Z2 Z4 , Z3 Z6 không là nhóm xiclic . 5) Cho p là số nguyên tố.Tìm số phần tử sinh của nhóm xiclic Z, rZ, r1 6) Tìm tất cả các phần tử sinh của các nhóm sau: a) Z12 b) Z7 c) Z9 7) Tìm tất cả các nhóm con của các nhóm xiclic cấp 12, 17. CHƯƠNG III. ĐỒNG CẤU NHÓM A. LÝ THUYẾT 1. Đồng cấu nhóm 1.1 Định nghĩa. Ánh xạ f từ nhóm X đến nhóm Y được gọi là đồng cấu nhóm nếu f bảo tồn phép toán, tức là f(xy)=f(x)f(y) với mọi Một đồng cấu nhóm f từ nhóm X đến nhóm X đựơc gọi là tự đồng cấu nhóm. Đồng cấu nhóm với f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh) được gọi là đơn cấu ( toàn cấu, đẳng cấu). Nếu tồn tại một đẳng cấu ta nói nhóm X đẳng cấu với nhóm Y . Kí hiệu 1.2. Định lý Cho G là nhóm, . Kí hiệu L(G) là tập tất cả các nhóm con của G, L(G,H) là tập tất cả các nhóm con của G chứa H. Khi đó tương ứng là một song ánh từ K(H,G) vào L(G/H). Hơn nữa, nếu ta kí hiệu S/H=S* và T/H=T* với thì i) . Khi đó ii) . Khi đó 1.3. Một số tính chất i) Nếu là đồng cấu nhóm thì f(e)=e và , ii) Nếu các ánh xạ và là các đồng cấu thì ánh xạ tích cũng là một đồng cấu nhóm. Đặc biệt tích của hai đơn cấu ( toàn cấu, đẳng cấu) là một đơn cấu ( toàn cấu, đẳng cấu) iii) Nếu là đẳng cấu nhóm thì đẳng cấu ngược cũng là đẳng cấu nhóm 2. Ảnh và tạo ảnh của đồng cấu nhóm 2.1 Định nghĩa Cho là đồng cấu nhóm, khi đó i) Ảnh của đồng cấu f ( kí hiệu là Imf) là tập được xác định: ii) Hạt nhân của đồng cấu f ( kí hiệu Kerf) là tập được xác định 2.2 Tính chất Cho là đồng cấu nhóm, khi đó i) Nếu thì ii) Nếu thì iii) iv) v) f là đơn cấu khi và chỉ khi vi) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf =Y vii) Nếu nhóm X đựơc sinh bởi tập A thì Imf được sinh bởi tập f(A) viii) Nếu thì ix) Nếu thì x) X/ Kerf Imf 2.3. Định lý. Cho G là nhóm, và K G. Khi đó HK/K H/H K 2.4. Định lý. Cho G là nhóm, H Gvà K G, H K. Khi đó K/H là nhóm con chuẩn tắc của G/H và G/K (G/H)/(K/H) B) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP Bài toán 1. Cho ánh xạ f: X Y. Chứng minh f là đồng cấu nhóm Phương pháp giải. Ta chứng minh : (i) X, Y lập thành nhóm với các phép toán tương ứng (ii) Mọi x1 , x2 X , ta có f (x1 x2 ) = f (x1) f (x2 ) Bài toán 2. Cho ánh xạ f: X Y. Chứng minh f là đơn cấu Phương pháp giải. Ta chứng minh : (i) f là đồng cấu nhóm (ii) f là đơn ánh hoặc Kerf = Bài toán 3. Cho ánh xạ f: X Y. Chứng minh f là toàn cấu Phương pháp giải. Ta chứng minh : (i) f là đồng cấu nhóm (ii) f là toàn ánh Bài toán 4. Cho ánh xạ f: X Y. Chứng minh f là đẳng cấu nhóm Phương pháp giải. Ta chứng minh (i) f là đơn cấu (ii) f là toàn cấu Bài toán 5. Chứng minh , với X, Y là các nhóm cho trước Phương pháp giải. Cách 1. Lập ánh xạ và chứng minh f là đẳng cấu nhóm Cách 2. Nếu X = G/H thì ta lập một toàn cấu nhóm sao cho Kerf = H Cách 3. Nếu X là nhóm xylic cấp n thì ta cần chứng minh Y là nhóm xylic cấp n. C) MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI Bài 1. Cho lần lượt là các nhóm con chính tắc của nhóm . Chứng minh rằng: và . Giải. Gọi , là các toàn cấu chính tắc. Xét tương ứng: Ta thấy là toàn cấu nhóm và . Do đó . Bài 2. Cho X là nhóm xiclic sinh bởi phần tử a. Chứng minh rằng: a) Nếu cấp của a là vô hạn thì X đẳng cấu với Z. b) Nếu cấp của a là số n hữu hạn thì X đẳng cấu với Zn Giải. a) Xét ánh xạ f: ZX nan Với mọi m, n Z, ta có Nên f là đồng cấu nhóm Hiển nhiên f là toàn ánh vì X là nhóm xiclic sinh bởi a. Nếu thì , do đó . Do a có cấp vô hạn nên m – n = 0 tức f là đơn cấu. Vậy f là đẳng cấu. b) Theo giả thiết nên ánh xạ: Zn X được xác định được xác định tốt, không phụ thuộc vào việc chọn lớp . Dễ dàng kiểm tra được là đẳng cấu nhóm. Bài 3. Chứng minh rằng: a) Mọi nhóm xiclic cấp vô hạn đều đẳng cấu với nhau. b) Hai nhóm xiclic cấp hữu hạn đẳng với nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp. Giải. a) Giả sử là các nhóm xiclic cấp vô hạn, Khi đó ánh xạ Rõ ràng là một đẳng cấu b) Nếu hai nhóm xiclic hữu hạn đẳng cấu thì hiển nhiên chúng cùng cấp. Ngược lại, giả sử là các nhóm xiclic cùng cấp n. Khi đó ánh xạ  là một đẳng cấu. Thật vậy, ta có , do đó f là ánh xạ và là đơn ánh, Hiển nhiên f là toàn ánh. Ngoài ra, ta có . Vậy f là đẳng cấu. Bài 4. Giả sử A và B là hai nhóm con chuẩn tắc của nhóm X sao cho và X = AB . Chứng minh rằng X đẳng cấu với nhóm Giải . Do AB = X nên với mỗi phần tử x của X viết được dưới dạng x = ab với và . Giả sử có với và thì . Vì nên do đó và . Vậy mỗi phần tử được viết một cách duy nhất dưới dạng x = ab, với . Mặt khác các phần tử của A giao hoán được với các phần tử của B. Thật vậy, với a, b tùy ý thuộc A, B, xét tích . Vì A và B là những nhóm con chuẩn tắc của X nên và . Vậy nên hay ab=ba. Ánh xạ là một đồng cấu do ab = ba, là đơn cấu do , là toàn cấu do X =AB. Vậy là đẳng cấu. Bài 5. Giả sử X là nhóm. a) Chứng minh là nhóm Abel b) Chứng minh rằng nếu thì X/H là nhóm Abel khi và chỉ khi Giải. Ta có a) Với mọi ta có nên , tức là là nhóm Abel b) Abel thì thì . Bài 6. Cho X và Y là hai nhóm xiclic cấp tương ứng là s và t và các phần tử sinh là x và y a) Chứng minh quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử với phần tử ,với k là một số tự nhiên khác không cho trước là một đồng cấu nhóm khi và chỉ khi sk là bội của t b) Chứng minh rằng nếu là đẳng cấu thì (s,k)=1. Giải. a) Nếu là đồng cấu nhóm thì . Vậy nên Ngược lại, nếu , ta chứng minh là đồng cấu nhóm. Đầu tiên, ta chứng minh là một ánh xạ. Thật vậy, nếu thì do đó . Bởi vậy tức là là ánh xạ. Ngoài ra, ta có b) Ta có . Do là đẳng cấu nên Thật vậy, do là đẳng cấu nên tức số phần tử của X và Y bằng nhau và thì Do đó là một phần tử sinh của Y nên . Vì t = s nên (s, k) = 1 Bài 7. Cho và . Chứng minh rằng: a) và b) Nếu thì và Giải. a) Vì và . Áp dụng định lý 2.3 với G được thay bởi A, H thay bởi và K thay bởi B, ta được = và (Tính chất 3.2 v chương I ) b) Giả sử . Theo tính chất 3.2 v chương I thì AC và AB là các nhóm con của G. Mặt khác, ( tính chất 3.2 vi) chương I ), ( do BC G, AC G, và BC AC ). Do đó Áp dụng định lý 2.3 với G thay bởi AC, H thay bởi BC , ta được và A /. Mặt khác . Thật vậy, vì . Lấy , suy ra a = bc với b B, c. Do đó . Suy ra Vì vậy Vậy AC/BC . Bài 8. Cho A và là toàn cấu . Chứng minh rằng Giải . Ta chỉ cần chứng minh f(A) Lấy . Do đó f là toàn cấu nên tồn tại sao cho y = f(x) Ta có yh = f(x)f(g) = f(xg) = f(gx) = f(g)f(x) = hy, Do đó . Vậy . Do đó Bài 9. a) Cho X là một nhóm giao hoán. Chứng minh rằng: Ánh xạ với k là một số nguyên cho trước, là một đồng cấu. Xác định Ker. b) Cho X là một nhóm. Ánh xạ là một đẳng cấu của nhóm X khi và chỉ khi X là nhóm Abel. Giải. a) Ta có ( vì X là nhóm Abel ) nên Kercấp x là ước của k b) Giả sử X là một nhóm Abel thì theo a) là một đồng cấu vì có cấp là ước của hay cấp x là ước của -1 Do đó là một đơn cấu, hơn nữa là một toàn cấu vì . Do đó là một đẳng cấu . Đảo lại, giả sử là một đẳng cấu, khi đó với mọi ta có Mặt khác suy ra hay ab = ba. Vậy X là một nhóm Abel. Bài 10. Chứng minh rằng có một đồng cấu duy nhất từ nhóm cộng các số hữu tỷ Q đến nhóm cộng các số nguyên Z. Từ đó suy ra nhóm cộng các số hữu tỷ Q không phải là một nhóm xiclic Giải. Giả sử f: Q Z là một đồng cấc từ nhóm cộng Q đến nhóm cộng Z. Nếu nghĩa là tồn tại một số hữu tỷ sao cho . Ta thấy rằng , từ đó. Vậy với mọi số nguyên , Giả sử n > 1, n Z và . Ta có với Như vậy n lại là ước của n1. Vô lý Vậy chỉ có một đồng cấu 0 từ nhóm cộng các số hữu tỷ Q và nhóm cộng các số nguyên Z, Q không đẳng cấu với Z nên Q không là một nhóm xiclic ( bài 3 ) Bài 11. Tìm tất cả các đồng cấu từ a) Z đến Z b) Z đến Z c) Một nhóm xiclic cấp n đến chính nó d) Một nhóm xiclic cấp n đến một nhóm xiclic vô hạn Giải. Ta có mỗi đồng cấu f : Zn Zm hoàn toàn được xác định bởi ( tức ) Theo bài 6 thì f là đồng cấu khi và chỉ khi . Bởi vậy ta có a) Mỗi đồng cấu f : Z6 Z18 hoàn toàn xác định bởi với và . Do đó k = 0, 3, 6, 9, 12, 15 nên có tất cả 6 đồng cấu f : Z6 Z18 đó là các đồng cấu xác định bởi: , b) Mỗi đồng cấu f : Z18 Z6 hoàn toàn xác định bởi với và . Do đó . Như vậy có 6 đồng cấu f : Z18 Z6 , đó là , , , , , c) Mỗi đồng cấu f : Zn Zn hoàn toàn xác định bởi với . Đặt . Xét ánh xạ Ta xét đồng cấu và toàn cấu chính tắc Ta thấy và đều là mở rộng của f. Do tính duy nhất của ánh xạ mở rộng nên . Suy ra . Nên . Do đó . Lấy g bất kỳ thuộc G thì hay . Vậy . Bài 14. Chứng minh rằng : a) Ảnh đồng cấu của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh. b)Nhóm thương của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh. Giải. a) Cho G là nhóm hữu hạn sinh với tập sinh là S, G’ là nhóm và là đồng cấu. Ta chứng minh = Imf. Thật vậy, Imf khác rỗng vì . Lấy bất kỳ thuộc Imf. Khi đó . Do đó . Nên Lấy y bất kỳ thuộc f(S) thì . Do đó , vì thế . Giả sử tồn tại chứa f(S) . Lấy y bất kỳ thuộc Imf thì tồn tại x thuộc G sao cho y = f(x). Vì nên , với Z, i=. Do đó và . Nên Imf. Vì thế . Vậy ảnh đồng cấu của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh. b) Cho G là nhóm, . Xét toàn cấu chính tắc Theo chứng minh trên thì Vậy nhóm thương của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh. Từ kết quả trên suy ra nếu G= và là toàn cấu nhóm thì G’=. Bài 15. Cho X là nhóm sinh bởi tập S với , Y là nhóm bất kỳ và là các đồng cấu nhóm. Chứng minh rằng f = g khi và chỉ khi với mọi Giải. Nếu f = g thì f(x) = g(x), . Do đó với mọi Nếu với mọi , ta phải chứng minh f = g. Thật vậy, với mọi x thuộc X ta có , Z, i=. Thế thì Nên , với . Vậy f = g Bài 16. Cho X là nhóm, Y là nhóm sinh bởi tập và đồng cấu nhóm . Chứng minh rằng f là toàn cấu khi và chỉ khi f là toàn ánh lên S’ Giải. Nếu là đồng cấu và là toàn ánh lên tập S’ thì với mỗi i= 1, 2, …, m luôn tồn tại để cho f(xi) = yi . Lấy y là phần tử bất kỳ thuộc Y, ta phải chứng minh tồn tại x thuộc X để cho f(x) = y. Vì nên . Chọn với xi thỏa f(xi) = yi; i = 1, 2,…,l. Hiển nhiên . Khi đó . Vậy f là toàn cấu . Nếu f là toàn cấu thì hiển nhiên f là toàn ánh lên tập S’ Bài 17. Cho Gi là nhóm, . Chứng minh rằng là nhóm hữu hạn sinh khi và chỉ khi Gi là nhóm hữu hạn sinh, . Giải. Cho là nhóm hữu hạn sinh. Xét phép chiếu chính tắc chỉ số i . Vì phép chiếu chính tắc là toàn cấu nên theo bài 14 thì Gi là nhóm hữu hạn sinh. Cho Gi là nhóm hữu hạn sinh, . Gọi , với . Ta chứng minh với Thật vậy, lấy x = (. Trong đó , nên , với Z, . Do đó . Vì thế x= Do vậy : Nên Do đó G = . Vậy =. D) MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1) Các phát biểu sau là đúng hay sai: a) Hay nhóm bất kỳ G, G, luôn tồn tại đồng cấu từ G và G,. b) Mọi đồng cấu nhóm là đơn cấu khi và chỉ khi hạt nhân của nó chỉ chứa phần tử đơn vị. c) Một đồng cấu nhóm có thể có hạt nhân là tập rỗng. d) Tồn tại duy nhất đồng cấu từ Z7 Z12. e) Có tất cả bốn đồng cấu từ Z3 Z12 f) Với X, Y là 2 nhóm xiclic cấp m, n tồn tại đẳng cấu nhóm từ X vào Y. g) Nhóm cộng các số hữu tỷ Q là một nhóm xiclic. h) Cho là đồng cấu nhóm, và X = . Khi đó f(x) có thể không là nhóm xiclic. 2) Cho G là nhóm và ( g1, g2 ) g1 g2 Chứng minh rằng f là đồng cấu nhóm khi và chỉ khi G là nhóm Abel. 3) Chứng minh rằng nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của X thì tồn tại một song ánh từ tập hợp các nhóm con chuẩn tắc của X chứa A đến tập hợp các nhóm con chuẩn tắc của X/A. 4) Cho G là nhóm và . Chứng minh rằng G Z35 5) Cho là đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y và A là nhóm con của X. Chứng minh rằng , với . 6) Cho là đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y và . Chứng minh rằng CHƯƠNG IV. ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ NHÓM GIẢI ĐƯỢC A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Cho G là nhóm, H G, a G (i) Tập Ha ={ ha|hH } được gọi là lớp ghép phải của a đối với nhóm con H (ii) Tập aH ={ah| hH } được gọi là lớp ghép trái của a đối với nhóm con H Nhận xét. Cho G là nhóm, H G. Khi đó, mọi a G, ta có |aH| = |Ha| = |H| ( ở đây ta hiểu |aH| là lực lượng của tập aH ) 2. Định nghĩa Cho X là nhóm và H X, số các lớp ghép trái ( hoặc phải ) của x theo nhóm con H được gọi là chỉ số của H trong X, kí hiệu 3. Định lý Lagrange Giả sử H là nhóm con của nhóm hữu hạn X. Khi đó là ước của và = 4. Công thức lớp X là hữu hạn, khi đó: =+, Chú ý. Cho X là nhóm. Khi đó (i) Nếu H X thì =. , ( X tùy ý ) (ii) Nếu X- hữu hạn, HX thì = (iii) Nếu X- hữu hạn, khi đóx X, là ước của 5. Định nghĩa Giả sử X là nhóm, khi đó: (i) Nếu có số nguyên dương m sao cho xm =e thì m được gọi là số mũ của x. (ii) Số nguyên dương m được gọi là số mũ của nhóm X nếu m là số nguyên dương sao cho xm = e, mọi x thuộc X iii) Cho p là một số nguyên tố. Nhóm X được gọi là nhóm strictly p-closed nếu tồn tại duy nhất H là p-nhóm con Sylow của G và G/H là nhóm giao hoán với số mũ là ước của p-1 6. Mệnh đề Cấp của nhóm hữu hạn X là một số mũ của nó. 7. Định nghĩa Giả sử p là số nguyên tố, khi đó: (i) Nhóm H được gọi là p- nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của p. (ii) Nhóm H được gọi là p- nhóm con của nhóm X nếu H X và H là p- nhóm. (iii) Nhóm H được gọi là p- nhóm con Sylow của nhóm X nếu H là p- nhóm con của X và H = pn là lũy thừa cao nhất của p chia hết 8. Tính chất. (i) Giả sử X là nhóm Abel, hữu hạn cấp m và p là số nguyên tố chia hết cho m. Khi đó X có chứa một nhóm con cấp p. (ii) ( Định lý Sylow 1 ) Giả sử X là nhóm hữu hạn, p là số nguyên tố chia hết cho . Khi đó luôn luôn tồn tại p- nhóm Sylow của X. (iii) ( Hệ quả Cauchy ) Nếu số nguyên tố p chia hết cấp của nhóm hữu hạn X thì trong X sẽ tồn tại phần tử cấp p. iv) ( Định lý Sylow 2 ) Giả sử X là nhóm hữu hạn và p là ước nguyên tố của . Khi đó: • Mọi p- nhóm con H của X đều nằm trong p-nhóm con Sylow nào đó của X • Nếu là p-nhóm con sylow của X chúng liên hợp với nhau, tức là x X sao cho P2 = x. P1. x-1 ( P1 =xP2x-1 ). • Nếu r là số các p- nhóm con Sylow của X thì r 1 ( mod p ), r v) Nếu = mpk ( m, p ) = 1, p nguyên tố, khi đó số p- nhóm con Sylow của X là ước của m. (vi) Nếu H là p- nhóm con Sylow cấp t duy nhất của X thì H X. (vii) Cho G là nhóm hữu hạn. Nếu G có đúng một p- nhóm con Sylow với mỗi p là ước nguyên tố của thì G là tích trực tiếp của các p- nhóm con Sylow của nó. 9. Định nghĩa. Cho dãy các nhóm con của nhóm G (*) sao cho . Dãy (*) được gọi là dãy chuẩn tắc của G và kí hiệu là Với (*) là dãy chuẩn tắc của G, khi đó i) Số n đựoc gọi là độ dài của chuỗi ii) Các được gọi là các số hạng của dãy iii) Các nhóm thương được gọi là các nhân tử của dãy 10. Định nghĩa. i) Dãy chuẩn tắc của G được gọi là dãy Abel nếu tất cả các nhân tử của dãy đều là nhóm giao hoán. ii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy xiclic nếu tất cả các nhân tử của dãy đều là nhóm xiclic iii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy hợp thành nếu tất cả các nhân tử của dãy đều là nhóm đơn. 11. Định nghĩa. i) Cho G là nhóm, H được gọi là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G nếu H1. Theo định lý Lagrange thì là ước của p. Do p nguyên tố nên = p, do đó X = . Vậy X là nhóm xiclic. Bài 3. Chứng minh rằng mọi nhóm cấp nhỏ hơn hoặc bằng 5 đều là nhóm Abel. Giải. Ta có mọi nhóm cấp 1,2,3,5 đều là nhóm Abel ( do 2,3,5 là các số nguyên tố nên mọi nhóm cấp 2,3,5 đều là nhóm xiclic do đó là nhóm Abel ). Ta chứng minh nếu = 4 thì X là nhóm Abel. Thật vậy nếu x X sao cho = 4 thì X là nhóm xiclic, do đó X là nhóm Abel. Nếu trong X không có phần tử nào cấp 4 tức là mọi x X, xe thì x2 = e. Do đó X là nhóm Abel. ( bài 12 chương I ) Bài 4. a) Cho X là nhóm hữu hạn, H X, K X. Chứng minh rằng = b) Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 15 đều là nhóm Abel. Giải a) Ta có HK/K H/HK. Do đó = = = b) Giả sử = 15 = 3.5 Nên trong X tồn tại 3- nhóm con Sylow, Gọi r là số 3-nhóm con Sylow, ta có r = 1 Do đó tồn tại duy nhất 3- nhóm con Sylow H, = 3 H X. Tương tự trong X cũng tồn tại 5- nhóm con Sylow của X Nếu s là số 5- nhóm con Sylow của X thì Tồn tại duy nhất 5- nhóm con Sylow K, = 5 KX ( KHK ) Ta thấy HK = (1) Vì nếu > 1 = 3 ( đều này không thể vì HK H, HK K và = nên HK = H nên HK H K mà không là ước của ) Ta có = = 15 = Mặt khác HKX HK = X (2) Ta có H, K là nhóm xiclic ( có cấp nguyên tố ) và ( ,) = 1 nên HK = X là nhóm xyclic Vậy X là nhóm Abel Bài 5. Cho G là nhóm hữu hạn, HG. a) Chứng minh rằng nếu H, G/H là p- nhóm thì G là p- nhóm b)Chứng minh rằng nếu H là p- nhóm, G là p- nhóm thì G/H là p- nhóm Giải . a) Ta có = pk ( do G/H là p-nhóm ) = pk = pkpl = pk+l ( H là p- nhóm ) G là p- nhóm. b) Nếu G là p- nhóm, H là p- nhóm Ta có = pm = pn ( H G, m n ), p nguyên tố G/H là p- nhóm Bài 6. a) Chứng minh rằng nếu nhóm Xlà p- nhóm hữu hạn thì b) Chứng minh rằng mọi p- nhóm đều là nhóm giải được. Giải . a) Xét công thức lớp: Do , tức Do đó là nhóm con thực sự của nhóm X. Do X là p- nhóm nên là nhóm con thực sự của nhóm X nên là lũy thừa của p là một bội của p Do đó b) Gọi X là p- nhóm và với n là số tự nhiên. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Với n = 0, 1 n = 0 thì là nhóm Abel nên X là nhóm giải được với chuỗi giải được là X n = 1 thì X là nhóm xiclic nên X là nhóm Abel, do đó X là nhóm giải được Giả sử định lý đúng cho mọi nhóm cấp pk xét tâm giao hoán Z(X) của X . Theo định lý Lagrange thì tồn tại số tự nhiên r n để . Theo a thì Z(X) khác nên r0 Vì thế ( X hữu hạn, Z(X)X ) Do giả thuyết quy nạp nên X/Z(X) là nhóm giải được. Theo bài 4 thì X là nhóm giải được Bài 7. a) Chứng minh rằng nếu X không phải là nhóm Abel thì X/Z(X) không phải là nhóm xiclic. b) Chứng minh rằng mọi nhóm cấp p2 đều là nhóm Abel với p là số nguyên tố. Giải . a) Giả sử X/Z(X) là nhóm xiclic z0 X, X/Z(X) = Mọi x, y X, tồn tại k, m Z sao cho , . Suy ra tồn tại z1, z2 Z(X) sao cho x = zz1, y = zz2 Ta có = Do đó X là nhóm Abel Vậy nếu X không phải là nhóm Abel thì X/Z(X) không thể là nhóm xiclic b) Giả sử p là số nguyên tố Ta có là p- nhóm theo 6a) thì Z(G) {e}. Do đó hoặc Nếu Z(G) = p G/Z(G) là nhóm xiclic G là nhóm Abel 7a) Nếu là nhóm xiclic G là nhóm Abel Bài 8. Nếu nhóm X khác không có nhóm con chuẩn tắc nào ngoài X được gọi là nhóm đơn. Chứng minh rằng nhóm giải được là nhóm đơn khi và chỉ khi nó là nhóm giải được cấp nguyên tố. Giải. Giả sử X là nhóm đơn giải được với dãy Abel là: Không mất tính tổng quát giả sử với mọi i= Do , nhưng X là nhóm đơn và nên . Vì X giải được nên Abel. Do đó nếu H là nhóm con của X thì H cũng là nhóm con chuẩn tắc của X. Mà X chỉ có hai nhóm con chính tắc tầm thường và X nên X chỉ có hai nhóm con tầm thường. Thật vậy, nếu X có thêm một nhóm con khác X và là K thì K cũng là nhóm con chuẩn tắc của X trái giả thiết X là nhóm đơn. Theo bài 8 chương II thì X là nhóm xiclic cấp nguyên tố nên X là nhóm giải được cấp nguyên tố. Giả sử X là nhóm giải được cấp nguyên tố thì ; X chỉ có hai nhóm con X và nên X không có nhóm con chuẩn tắc nào ngoài X và . Do đó X là nhóm đơn. Vậy X là nhóm đơn giải được Bài 9. Chứng minh rằng H, K là nhóm giải được thì là nhóm giải được. Giải. H là nhóm giải được nên ta có chuỗi giải được: K là nhóm giải được nên ta có chuỗi giải được : Không mất tính tổng quát giả sử Ta chứng minh và là nhóm Abel Thật vậy, mọi , , với Vì H giải được nên K giải được nên Ta có Do đó Mọi Ta có Do H giải được nên ( ) K giải được nên ( ) Ta có Do đó là nhóm Abel Vậy là nhóm giải được Bài 10. a) Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 6 đều giải được b) Hỏi mọi nhóm cấp pq với pq là các số nguyên tố có phải là nhóm giải được không ? Tại sao ? Giải . a) Trong X tồn tại 3-nhóm con Sylow Gọi r là số 3-nhóm con Sylow Trong X tồn tại duy nhất 3-nhóm con Sylow H do đó , Vậy H giải được, giải được do đó X giải được b) Với giải được. Không mất tính tổng quát giả sử p > q Khi đó theo định lý Sylow thì trong X tồn tại q – nhóm con Sylow Gọi r là số q – nhóm con Sylow Khi đó Tồn tại duy nhất q – nhóm con Sylow H nên , Nên H, X/H là nhóm giải được do đó X là nhóm giải được. Bài 11. Chứng minh rằng mọi cấp 30 đều giải được Giải. Ta có Trong X tồn tại 5-nhóm con Sylow Gọi r là số 5-nhóm con Sylow, theo định lý Sylow • r = 1, khi đó trong X tồn tại duy nhất 5-nhóm con Sylow H nên H giải được. Mặt khác = 6 X/H giải được Vậy X giải được • r = 6, khi đó trong X có 6 nhóm 5-nhóm con Sylow Tập hợp 6 nhóm 5-nhóm con Sylow có 25 phần tử (mỗi nhóm có 5 phần tử, trong mỗi nhóm đều có chung phần tử đơn vị và mỗi nhóm đều là nhóm xiclic ( do cấp nguyên tố ) nên ngoài phân tử đơn vị các phần tử ở mỗi nhóm là khác nhau nên bất kỳ 2 nhóm 5-nhóm con Sylow có chung một phần tử khác ngoài đơn vị thì chúng phải trùng nhau ) Do = 2.3.5 nên trong X tồn tại 3-nhóm con Sylow Gọi t là số 3- nhóm con Sylow Với t =10 loại do trong X không có đủ phần tử t = 1 Vậy tồn tại 3-nhóm con Sylow K trong X nên K giải được. Mặt khác, X/K giải được Vậy X/K giải được và K giải được nên X giải được Vậy mọi nhóm cấp 30 đều giải được . Bài 12. Chứng minh rằng mọi nhóm cấp pqr với p, q, r là các số nguyên tố r pq đều là nhóm giải được. Giải . Ta có Trong X tồn tại r –nhóm con Sylow Gọi a là số r –nhóm con Sylow. Do rpq nên a = 1 Trong X tồn tại duy nhất r-nhóm con Sylow H. Mặt khác Vậy H giải được, X/H giải được nên X giải được Vậy mọi nhóm cấp pqr ( p, q, r là số nguyên tố ), rpq đều là nhóm giải được. Bài 13. a)Chứng minh rằng mọi cấp 12 đều giải được. b) Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 588 là nhóm giải được Giải . a) Giả sử Trong X tồn tại 3- nhóm con Sylow Gọi r là số 3- nhóm con Sylow, khi đó Trong X tồn tại duy nhất 3- nhóm con Sylow H nên H X và |H| = 3. Mặt khác |X/H| = Ta có giải được, nên X/H giải được. Do đó X giải được. b) Giả sử Trong X tồn tại 7-nhóm con Sylow Gọi r là số 7-nhóm con Sylow Tồn tại duy nhất 7-nhóm con Sylow H của X nên H giải được. Mặt khác giải được. Do đó X giải được Vậy mọi nhóm cấp 588 là nhóm giải được D. MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: a) Mọi nhóm cấp 9 đều giải được b) Mọi nhóm cấp nguyên tố đều giải được c) Mọi nhóm hữu hạn có cấp chia hết cho 5 đều chứa nhóm xiclic cấp 5 d) Cho G là nhóm cấp 8, trong G tồn tại nhóm con cấp 3 e) Mọi nhóm cấp 45 đều có chứa nhóm con chuẩn tắc cấp 9 f) Mọi nhóm cấp 27 đều có chứa phần tử cấp 3 2) Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 28 đều giải được 3) Cho H, K là hai nhóm con giải được của nhóm X và Chứng minh rằng HK là nhóm giải được 4) Chứng minh rằng mọi nhóm cấp lẻ bé hơn 60 đều giải được 5) Chứng minh rằng Sn là nhóm giải được với n Bài toán 2. Chứng minh F là nhóm Abel tự do Phương pháp giải. Cách 1. Ta kiểm tra các tính chất (i) Mọi x, y G thì xy = yx (ii) Tồn tại tập hợp H là tập hợp con của G gồm các phần tử có cấp vô hạn sao cho G = Cách 2. Ta chứng minh G là nhóm con khác của nhóm Abel tự do có cơ sở hữu hạn F. Cách 3. Ta chứng minh G T, với T là nhóm Abel tự do C. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI Bài 1. Cho G là nhóm Abel hữu hạn sinh, trong đó mọi phần tử sinh của G đều có cấp hữu hạn. Chứng minh rằng G là nhóm hữu hạn. Giải. Ta chứng minh bằng quy nạp theo số phần tử sinh của G. Với n = 1 thì nên . Vậy G là nhóm hữu hạn . Cho G là nhóm Abel sinh bởi tập hợp , k > 1, trong đó . Giả sử các nhóm Abel sinh bởi tập hợp có lực lượng bé hơn k và các phần tử sinh có cấp hữu hạn đều là nhóm hữu hạn. Ta sẽ chứng minh giả thiết đúng cho trường hợp nhóm Abel hữu hạn sinh có lực lượng bằng k . Thật vậy theo bài 2 chương II thì = với và vì G là nhóm Abel và nên theo bài 3 chương II thì G = H . H, . Do đó Theo giả thiết quy nạp thì Mặt khác và do vậy vì thế Vậy G có cấp hữu hạn Bài 2. Chứng minh rằng nhóm con của nhóm Abel là hữu hạn sinh là hữu hạn sinh Giải. Cho G là nhóm Abel sinh bởi S với là nhóm Abel, H là nhóm con của G. Gọi F là nhóm Abel tự do sinh bởi . Xét ánh xạ Theo bài 13 chương III thì tồn tại duy nhất đồng cấu sao cho . Vì là toàn cấu lên hệ sinh của G nên theo bài 16 chương III thì là toàn cấu. Ta chứng minh là nhóm con của F Thật vậy, khác rỗng vì . Lấy a1, a2 thuộc thì nên Do đó . Nên Vì F là nhóm Abel tự do nên theo định lý 6 thì là nhóm Abel tự do có lực lượng cơ sở bé hơn hoặc bằng n. Do đó với Với mọi ta có với mi Z, i =1,2,...,k Suy ra , vì thế . Do đó Vậy H là nhóm hữu hạn sinh Bài 3. Cho G là nhóm Abel hữu hạn sinh không xoắn. Chứng minh rằng G là nhóm Abel tự do. Giải. Gọi n là số phần tử sinh của G. Ta chứng minh mọi nhóm Abel hữu hạn sinh không xoắn là nhóm tự do bằng quy nạp theo n Với n = 1 thì G là nhóm xiclic cấp vô hạn ( do G không xoắn ) nên GZ. Do đó G là nhóm Abel tự do. Giả sử rằng giả thiết đúng cho mọi nhóm có số phần tử sinh nhỏ hơn k. Ta chứng minh rằng đúng với n =k. Đặt H = { gG| mg , mZ } H khác rỗng vì Lấy khi đó tồn tại m1, m2 Z sao cho m1h1 Z, m2h2 Z Suy ra . Vì thế H là nhóm con của G. Mà G là nhóm Abel nên H G. Trong nhóm thương G/H nếu k( x + H ) = , k Z thì nên tồn tại mZ sao cho hay , do đó là nhóm không xoắn và G/H được sinh bởi tập ít hơn n phần tử chẳng hạn . Do đó theo giả thiết quy nạp thì G/H là nhóm Abel tự do. Theo mệnh đề 5 thì tồn tại sao cho . Xét ánh xạ Khi đó là đẳng cấu nên mà G/H là nhóm Abel tự do nên ta chỉ cần chứng minh H là nhóm Abel tự do. Thật vậy, G là nhóm Abel hữu hạn sinh, nên theo bài 2 thì H cũng là nhóm hữu hạn sinh Gọi . Với mỗi i, tồn tại mi Z* sao cho . Đặt thì . Do đó (3.1). Vì nên (3.2). Xét ánh xạ: . Khi đó f là đẳng cấu hay (3.3) Từ 3.1, 3.2, 3.3 ta suy ra H đẳng cấu với một nhóm con của Z. Do đó H là nhóm xiclic cấp vô hạn hay H là nhóm Abel tự do. Vậy G là nhóm Abel tự do. Bài 4. Chứng minh rằng mọi nhóm Abel hữu hạn sinh đều là ảnh đồng cấu của Zn, nZ* Giải. Cho , ta có Zn = với S,={e1, e2,…,en } với , Xét ánh xạ Theo bài 13 chương III thì tồn tại duy nhất đồng cấu F: Zn G sao cho theo bài 16 chương III thì F là toàn cấu. Nên G = F ( Zn ). Vậy mọi nhóm Abel hữu hạn sinh đều là ảnh đồng cấu của Zn . Bài 5. Cho G là nhóm Abel xoắn hữu hạn sinh. Chứng minh rằng tồn tại aZ sao cho đồng cấu là đồng cấu tầm thường Giải. Cho .Vì G là nhóm xoắn nên tồn tại ai thuộc Z* sao cho . Đặt thì a Z*. Khi đó Xét ánh xạ Lấy g1 g2 bất kỳ thuộc G, ta có ( vì G là nhóm Abel ) Nên . Do đó fa là đồng cấu. Lấy g bất kỳ của G. Khi đó tồn tại r1, r2,…, rnZ sao cho. Do đó . Vì thế ( vì ). Vậy Bài 6. Chứng minh rằng nếu G là nhóm Abel hữu hạn sinh thì , với H là nhóm các phần tử có cấp hữu hạn, F là nhóm Abel tự do. Giải. Gọi . Ta có và G là nhóm Abel nên Xét toàn cấu chính tắc Ta thấy và không xoắn ( do H là tập các phần tử có cấp hữu hạn ) . Theo bài 3 thì G/H là nhóm Abel tự do. Nên G/H =. Gọi . Khi đó F là nhóm Abel tự do ( vì nên , do đó có cấp vô hạn ). Ta sẽ chứng minh Lấy x bất kỳ thuộc thì Do đó Nên Do đó nên ( vì ) Tương tự ta được nên x = 0. Vậy . Lấy x bất kỳ thuộc G thì , tồn tại k1, k2, …, km Z sao cho Đặt thì . Xét Nên . Do đó . Nên G = H+F Vậy Bài 7. Cho G là nhóm Abel hữu hạn sinh. Chứng minh rằng mọi dãy tăng các nhóm con của G đều bị dừng Giải. Gọi là dãy tăng các nhóm con của G. Đặt Lấy x, x, bất kỳ thuộc . Khi đó tồn tại i, j thuộc Z sao cho Suy ra với . Do nên với mọi m, m, Z ta đều có . Hay nên Vì G là nhóm Abel hữu hạn sinh nên theo bài tập 2 thì G, cũng hữu hạn sinh. Do đó . Nên tồn tại k1, k2, …, kn Z sao cho xi , i= 1, 2, …, n. Suy ra x i G k với mọi iZ với . Nên mà . Do đó G, = Gk. Hay Vậy dãy trên bị dừng. Bài 8. Chứng minh rằng mọi nhóm Abel hữu hạn sinh xoắn là nhóm hữu hạn Giải. Cho G là nhóm Abel sinh bởi . Vì G là nhóm xoắn nên . Theo bài 1 thì G là nhóm hữu hạn. Bài 9. Chứng minh rằng nếu nhóm Abel G có cấp vô hạn mà các phần tử có cấp vô hạn của G nằm trong một nhóm con hữu hạn sinh khác thì G là nhóm hữu hạn sinh Giải. Cho G là nhóm Abel có cấp vô hạn. Đặt . Khi đó H là nhóm con của G chứa tất cả các phần tử có cấp hữu hạn. Trường hợp thì thì g có cấp vô hạn. Nên theo giả thiết thì G = K, với K là nhóm con hữu hạn sinh của G. Vì thế G là nhóm hữu hạn sinh. Trường hợp nếu H = G thì nhóm G không chứa các phần tử có cấp vô hạn ( mâu thuẩn giả thiết ). Vì thế H là nhóm con thực sự của G nên theo bài 5 chương II thì . Vì G\H là tập hợp các phần tử có cấp vô hạn nên theo giả thiết = Vậy G là nhóm hữu hạn sinh. Bài 10. Chứng minh rằng mọi nhóm đơn Abel là nhóm hữu hạn sinh. Giải. Cho G là nhóm đơn Abel. Nếu thì Ngược lại thì tồn tại , khi đó . Nên vì G là nhóm Abel nên . Do G là nhóm đơn và nên . Vậy G là nhóm xiclic. Bài 11. Cho G là nhóm Abel sinh bởi 2 phần tử đều có cấp 2. Chứng minh rằng G có một nhóm con có chỉ số 2. Giải. Gọi Với mọi g G, ta có g = ambn, m, n Z, khi đó với Nếu r = r, = 0 thì g = e Nếu r = 0 và r, = 1 thì g = b Nếu r = 1 và r, = 0 thì g = a Nếu r = r, = 1 thì g = ab Do đó . Gọi , khi đó Vậy H là nhóm cần tìm. Bài 12. Cho G là nhóm con Abel hữu hạn sinh xoắn. Chứng minh rằng với ( Ann(G) = m Z| gm = e, gG ) Giải. Cho , . Vì G là nhóm xoắn nên tồn tại ai thuộc Z* sao cho Đặt thì a thuộc Z * và , ta chứng minh Thật vậy với mọi g thuộc G thì tồn tại thuộc Z sao cho Suy ra ( vì ). Do đó Vậy Bài 13. Cho A là nhóm Abel hữu hạn với cấp , trong đó là các số nguyên tố đôi một khác nhau. Chứng minh rằng , với ( p là số nguyên tố ) Giải. Đặt n = |A| như thế nA = {0} Giả sử n = mm,, trong đó ( m, m, ) = 1 và m, m, > 1 ( Nếu không có sự phân tích nào như vậy thì A = A (p), với p là số nguyên tố duy nhất chia hết |A|). Ta sẽ chứng minh , trong đó B, C là các nhóm con có cấp tương ứng và m và m’ Vì ( m, m, ) = 1 nên tồn tại r, s thuộc Z sao cho rm + sm, = 1 Khi đó . Hay A = mA + m,A (13.1 ) Lấy . Khi đó . Do đó m,x = m,my = ny = 0. Tương tự ta được mx = 0. Từ đó x = ( rm + sm, )x = rmx + sm,x = 0 ( 13.2 ) Từ (13.1) và ( 13.2 ) ta có ( 13.3 ) Đặt với thì m,x = 0. Do đó . Nên ( 13.4 ) Nếu thì . Do đó ( 13.5 ) Từ ( 13.4 ) và ( 13.5 ) ta có mA = A Tương tự ta đượcAm = m,A. Kết hợp (13.3) ta được Nên (13.6 ) . Tiếp theo ta sẽ chứng minh . Do (m, m) = 1, n = mmnên nếu cần ta đánh số lại các số nguyên tố p1,…, pk. Ta có thể giả sử . Giả sử |Am| chia hết cho pi với i nào đó Gọi S là pi- nhóm con Sylow của A Ta có . Vì nên Mặt khác ( vô lí ). Do đó ( 13.7 ) Từ ( 13.6 ) và 13.7 ), ta có và Bằng quy nạp ta nhận được . Do là pi- nhóm, và do tính duy nhất của sự phân tích |A| ra thừa số nguyên tố nên ta có ( i = 1,2,…,k ) Bài 14. Cho A là nhóm Abel với cấp trong đó là các số nguyên tố đôi một khác nhau. Chứng minh rằng A là một nhóm xiclic đẳng cấu với Z và ZZ…Z Giải. Áp dụng bài 13 ta có . Trong đó nên là nhóm xiclic cấp Mà hai nhóm xiclic cùng cấp luôn đẳng cấu nhau Do đó A Z ZZ…Z Bài 15. Chứng minh rằng mọi nhóm Abel cấp qp, với q, p là số nguyên tố, đều là nhóm xiclic. Giải. Ta có p, q là ước của pq nên theo định lý Cauchy thì tồn tại a, b thuộc G sao cho |a| = p, |b| = q, ta sẽ chứng minh |ab| = pq Ta có vì , Giả sử tồn tại số nguyên k sao cho . Khi đó vì thế kéo theo mà ( p, q ) = 1 nên và nên Do đó |ab| = pq = |G| vậy G = là nhóm xiclic sinh bởi ab. Bài 16. Tìm tất cả các nhóm Abel sai khác một đẳng cấu có cấp 360. Giải. Ta có 360 =23.32.5 do đó theo định lý ta có tất cả 6 nhóm thỏa đề bài: 1. Z2 Z2 Z2 Z3 Z3 Z5 2. Z2 Z4 Z3 Z3 Z5 3. Z2 Z2 Z2 Z9 Z5 4. Z2 Z4 Z9 Z5 5. Z8 Z3 Z3 Z5 6. Z8 Z9 Z5 D. MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Chứng minh rằng nếu m chia hết cấp của nhóm Abel hữu hạn G thì G có chứa nhóm con cấp m. 2. Chứng minh rằng tích trực tiếp của các nhóm Abel là nhóm Abel. 3. Cho G là nhóm Abel. Cho H là tập con của G chứa phần tử đơn vị và tất cả các phần tử của G có cấp 2. Chứng minh rằng H là nhóm con của G. 4. Cho G, H và K là nhóm Abel hữu hạn sinh. Chứng minh rằng nếu thì . 5. Tìm tất cả các nhóm Abel sai khác một đẳng cấu có cấp 250. PHẦN LUẬN KẾT Trong luận văn em đã trình bày 18 dạng bài toán thường gặp trong lý thuyết nhóm và phương pháp giải, trình bày một số bài tập có lời giải và bài tập rèn luyện. Trong đó tự giải khoảng 65 bài, còn lại tập hợp từ sách và các luận văn của các anh chị khóa trước. Trong một số bài tập có bài mở rộng, vận dụng của bài trước đó  TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Huy Hiền, Đại số đại cương, NXB Giáo dục, 1998. [2] Bùi Huy Hiền, Bài tập Đại số đại cương, NXB Giáo dục, 1998. [3] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Bài tập Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục, 1999. [4] Mỵ Vinh Quang, Bài tập Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục, 1999. [5] Mỵ Vinh Quang, Đại số đại cương, NXB Giáo dục, 1999. [6] Hoàng Xuân Sính, Bài tập Đại số đại cương, NXB Giáo dục, 1999. [7] Nguyễn Hoàng Xinh – Lê Văn Sáng, Giáo trình lý thuyết nhóm, Tủ sách Đại học Cần Thơ, 2004. [8] Phạm Ngọc Anh, Một số tính chất của nhóm siêu giải được, Luận văn tốt nghiệp, 2008. [9] Võ Thanh Toàn, Một số tính chất của nhóm hữu hạn sinh và ứng dụng, Luận văn tốt nghiệp, 2006. [10] Phạm Thị Vui, Một số vấn đề về nhóm lũy linh, Luận văn tốt nghiệp, 2003. [11] John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, University of Rhode Island.