Một số ứng dụng của phương pháp toạ độ trong việc giải toán ở trường THPT

VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña 2 mÆt ph¼ng- Chïm mÆt ph¼ng Cho 2 mÆt ph¼ng (P): Ax+ By+ Cz+ D=0, (P’): A’x+ B’y+ C’z+ D’= 0. Khi ®ã: (P) ≡ (P’)⇔ A:B:C:D=A’:B’:C’:D’ (P)  (P’) ⇔ : : ' : ' : ' : : : ' : ' : ': ' A B C A B C A B C D A B C D    = ≠ (P) c¾t (P’) ⇔ A:B:C≠ A’:B’:C’ 10 10 M Mo d d' u u' NÕu (P) c¾t (P’) theo ®−êng th¼ng (∆) th× mäi mÆt ph¼ng qua (∆) cã ph−¬ng tr×nh: λ (Ax+ By+ Cz+D) + µ (A’x+ B’y+ C’z+ D’)=0, ( 2 2 0λ µ+ ≠ ).  Ph−¬ng tr×nh cña ®−êng th¼ng: Cho 2 mÆt ph¼ng (P): Ax+ By+ Cz+ D=0, (P’): A’x+ B’y+ C’z+ D’= 0, (P) ∩ (P’)= (∆). Khi ®ã ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (∆) lµ: Ax By Cz D 0 (1) A’x B’y C’z D’ 0 (2)    + + + = + + + = mp(1) cã vect¬ ph¸p tuyÕn 1 ( , , )n A B C= 
, mp(2) cã vect¬ ph¸p tuyÕn 2 ( ', ', ')n A B C= 
. Khi ®ã: 1 2,u n n  = 


lµ vect¬ chØ ph−¬ng cña (∆).
§−êng th¼ng (∆) qua ®iÓm M( 0 0 0, ,x y z ) cã vect¬ chØ ph−¬ng ( , , )u a b c 
cã: + Ph−¬ng tr×nh tham sè lµ: 0 0 0 x x at y y bt z z ct      = + = + = + + Ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c lµ: 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = (a.b.c ≠ 0).  VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña c¸c ®−êng th¼ng Cho ®−êng th¼ng (d) qua M0( 0 0 0, ,x y z ) cã vect¬ chØ ph−¬ng ( , , )u a b c 
, ®−êng th¼ng (d’) qua M( 0 0 0' , ' , 'x y z ) cã vect¬ chØ ph−¬ng ( ', ', ')u a b c 
. Khi ®ã: + d vµ d’ ®ång ph¼ng ⇔ 0, ' 0u u MM   = 


. + d c¾t d’ ⇔ 0, ' 0 : : ': ' : ' u u MM a b c a b c        = ≠ 


+ d d’ ⇔ a: b: c = a’: b’: c’≠ ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0' : ' : 'x x y y z z− − − ( tøc lµ , 'u u 

cïng ph−¬ng nh−ng kh«ng cïng ph−¬ng 0 0 'M M 
). + d ≡d’ ⇔ u 
; 'u 
; 0 0 'M M 
cïng ph−¬ng. 11 11 u u' d1 d2 Mo Mo' h ⇔ a: b: c = a’: b’: c’= ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0' : ' : 'x x y y z z− − − . + d vµ d’ chÐo nhau ⇔ 0, ' 0u u MM   ≠ 


.  VÞ trÝ t−¬ng ®èi gi÷a ®−êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Cho ®−êng th¼ng (d): 0 0 0 x x at y y bt z z ct      = + = + = + qua M( 0 0 0, ,x y z ) cã vect¬ chØ ph−¬ng ( , , )u a b c
vµ mp(P): Ax + By + Cz + D=0 cã vect¬ ph¸p tuyÕn ( , , )n A B C=
( 2 2 2 0A B C+ + ≠ ). + (d) c¾t (P) khi vµ chØ khi: Aa + Bb + Cc ≠ 0. + (d) song song víi (P) khi vµ chØ khi: 0 0 0 Aa Bb Cc= 0 Ax By Cz D 0    + + + + + ≠ + (d) n»m trªn (P) khi vµ chØ khi: 0 0 0 Aa Bb Cc = 0 Ax By Cz D = 0    + + + + +  Kho¶ng c¸ch Trong kh«ng gian cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 vµ ®iÓm M0 ( 0 0 0, ,x y z ). Khi ®ã kho¶ng c¸ch tõ M0 tíi (P) ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau : 0 0 0 0 2 2 2 Ax( ,( )) By Cz Dd M P A B C + + + = + + . Cho ®iÓm M1 vµ ®−êng th¼ng (d) ®i qua M0 vµ cã vect¬ chØ ph−¬ng u
. Khi ®ã kho¶ng c¸ch tõ M1 tíi (d) ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: 0 1 1 1 ; ( ,( )) M M u d M d M H u     = = 


. • Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng chÐo nhau: Trong kh«ng gian cho 2 ®−êng th¼ng chÐo nhau cã ph−¬ng tr×nh tham sè: (d1): 0 0 0 x x at y y bt z z ct      = + = + = + (d2): 0 0 0 ' ' ' ' ' ' x x a t y y b t z z c t      = + = + = + ; Kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®−êng th¼ng (d1) vµ (d2) ®−îc 12 12 P (d) (d') w n tÝnh theo c«ng thøc: ( ) 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 22 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 ' ' ' , ', ' ' ' '( , ) , ' ' '' ' ' ' a b c a b c u u M M x x y y z z d d d u u c ab c a b c ab c a b     − − − = = + + 




.  Gãc
Trong hÖ täa ®é trùc chuÈn Oxyz cho 2 ®−êng th¼ng (d) vµ (d’) cã vect¬ chØ ph−¬ng lÇn l−ît lµ: (u =
p, q, r) vµ 'u
=(p’, q’, r’). Gãc gi÷a 2 ®−êng th¼ng (d) vµ (d’) ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: cos((d), (d’)) = 2 2 2 2 2 2 ' ' ' . ' ' ' pp qq rr p q r p q r + + + + + + . §Æc biÖt: (d) ⊥ (d’) ⇔ pp’ + qq’+ rr’ = 0.
Gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng: Trong hÖ täa ®é trùc chuÈn Oxyz cho: (P): Ax + By + Cz + D = 0 ( 2 2 2 0A B C+ + ≠ ), ( , , )n A B C=
vµ (P’): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 ( 2 2 2' ' ' 0A B C+ + ≠ ), ' ( ', ', ')n A B C=
. Khi ®ã: Gãc α gi÷a (P) vµ (P’) ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: cosα = 2 2 2 2 2 2 ' ' ' . ' ' ' AA BB CC A B C A B C + + + + + + . §Æc biÖt (P) ⊥ (P’) khi vµ chØ khi: AA’ + BB’ + CC’ = 0.
Gãc gi÷a ®−êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Trong kh«ng gian cho (P): Ax + By + Cz + D = 0, ( 2 2 2 0A B C+ + ≠ ) vµ ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh: 0 0 0 x x at y y bt z z ct      = + = + = + , ( 2 2 2 0a b c+ + ≠ ). 13 13 Khi ®ã: gãc ϕ gi÷a (d) vµ (P) ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: sinϕ = 2 2 2 2 2 2 . Aa Bb Cc A B C a b c + + + + + + , 0 ≤ ϕ ≤ 900. §Æc biÖt: (d) (P) hoÆc (d) ⊂ (P) khi vµ chØ khi: Aa+ Bb+ Cc = 0. 14 14 A B C D A' B' C' D' y z a b c x Chương 2: Mét sè líp bµi to¸n gi¶I b»ng ph−¬ng ph¸p to¹ ®é 2.1. Các bài toán tính toán
Ph−¬ng ph¸p gi¶i: + Chän hÖ täa ®é thÝch hîp: - Trong mÆt ph¼ng, chän hÖ täa ®é cã 2 ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau, gèc täa ®é lµ giao ®iÓm cña 2 ®−êng th¼ng ®ã. - Trong kh«ng gian, chän hÖ täa ®é cã ®Ønh vµ c¸c trôc Ox, Oy, Oz lµ tam diÖn vu«ng hoÆc ta vÏ thªm mét sè ®−êng ®Ó ®−îc mét tam diÖn vu«ng. G¾n c¸c trôc Ox, Oy, Oz thÝch hîp. + BiÓu diÔn c¸c ®iÓm ®9 cho qua hÖ täa ®é võa chän. T×m ph−¬ng tr×nh c¸c ®−êng, mÆt ®9 cho. + Sö dông c¸c kiÕn thøc h×nh häc gi¶i tÝch, ph−¬ng tr×nh ®−êng, mÆt, c¸c c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch, diÖn tÝch, gãc, thÓ tÝch ®Ó lµm s¸ng tá yªu cÇu bµi to¸n. Bµi 1. Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã 3 kÝch th−íc lµ a, b, c. Hmy tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng chéo nhau BD vµ CD’ theo c¸c kÝch th−íc a, b, c. Giải: Chän hÖ to¹ ®é Oxyz sao cho c¸c tia Ox, Oy, Oz trïng víi c¸c tia AB, AD, AA’( Hình 2.1). Theo c¸ch ®Æt ®ã vµ theo bµi ra ta cã: A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); D(0, b, 0); A’(0, 0, c); C(a, b, 0). V×: CD’  (A’BD) nªn d(CD’, BD) = d[C, (A’BD)]. MÆt ph¼ng A’BD cã ph−¬ng tr×nh: 1x y z a b c+ + = . Do ®ã: d(CD’, BD) = d[C, (A’BD)]= 15 15 A B C x y M N P = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0 1 1 1 1 abc a b b c c a a b c + + − = + ++ + . VËy kho¶ng c¸ch gi÷a BD vµ CD’ b»ng 2 2 2 2 2 2 abc a b c b a c+ + . Bµi 2. Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i C. Trªn c¸c c¹nh BC, CA, AB lÇn l−ît lÊy c¸c ®iÓm M, N, P sao cho: MB NC PA MC NA PB= = . Chøng minh r»ng: a) CP ⊥ MN. b) CP= MN. Giải: Chän hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxy sao cho: O ≡C, tia Ox ≡CA, tia Oy ≡CB (hình 2.2). Ta cã to¹ ®é c¸c ®iÓm: C(0, 0); A(1, 0); B(0, 1). Tõ gi¶ thiÕt ta ®Æt: MB NC PA k MC NA PB= = = ( k > 0). Do ®ã: BM kMC CN k NA AP kPB      = = = 





1 1 1 1 1 1 CM CBk kCN CAk kCP CA CBk k          = + ⇒ = + = + + + 






Hình 2.2 1(0, )1 ( ,0)1 1( , )1 1 M k kN k kP k k          + ⇒ + + + ⇒ 1( , )1 kMN k k − + 
; 1( , )1 1 kCP k k+ + 
. a ) Ta thÊy: . 0MN CP = 

⇒ MN CP⊥ . b) 2 2 22 2 1 1 1 1 (1 ) k kMN k k k           − + = + = + + + 
; 22 22 2 1 1 1 1 (1 ) k kCP k k k            + = + = + + + 
. VËy MN= CP (®pcm). 16 16 O x y z d1 d2 A B S(0, 0, a) E D C Bµi 3. Cho h×nh chãp SABC cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu cã c¹nh lµ 2a, c¹nh SC vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng(ABC) vµ cã SC= a. Gäi d1 lµ ®−êng th¼ng ®i qua ®Ønh S vµ trung ®iÓm E cña c¹nh BC, d2 lµ ®−êng th¼ng ®i qua C vµ trung ®iÓm D cña c¹nh AB. TÝnh gãc vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng d1 vµ d2. Giải: Chän hÖ trôc to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz sao cho: O ≡ C, c¸c ®iÓm D, S lÇn l−ît n»m trªn c¸c trôc Oy, Oz (Hình 2.3). Khi ®ã: Ox  AB. Ta cã: C(0, 0, 0); D(0, 3a , 0); B(a, 3a , 0); E( 2 a , 3 2 a , 0); S(0, 0, a). CD⇒ 
=(0, 3a , 0); SE 
=( 2 a , 3 2 a , -a). C¸c ®−êng th¼ng d1 vµ d2 lÇn l−ît cã VTCP lµ SE 
vµ CD 
. ⇒ cos( SE 
,CD 
) = 23 62 43. 2 a a a = . VËy gãc gi÷a 2 ®−êng th¼ng SE vµ CD lµ gãc tho¶ mmn: cos( SE 
,CD 
)= 6 4 . §Ó tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®−êng th¼ng SE, CD ta lËp ph−¬ng tr×nh mp(P) chøa CD vµ song song víi SE. Hình 2.3 Mp(P) qua C(0, 0, 0) nhËn SE 
vµ CD 
lµm cÆp VTCP. Gäi 3 0 0 30 0 , , ,3 3 22 2 2 a a n CD SE aa a aaa               = = − − 


= ( 2 3a− , 0, - 2 3 2 a ). Do ®ã ph−¬ng tr×nh mp(P) lµ: 2 3a− x- 2 3 2 a z =0. Tõ ®ã ta cã: 17 17 d(d1, d2)= d(S, (P))= 3 4 4 3 2 5 533 4 a a a a = + . VËy kho¶ng c¸ch gi÷a SE vµ CD lµ d(d1, d2)= 5 5 a . 2.2. Các bài toán giải phương trình, hệ phương trình
Ph−¬ng ph¸p gi¶i: + Sö dông bÊt ®¼ng thøc vect¬: u v u v+ ≤ + 



dÊu “ = ” x¶y ra ⇔ .u k v= 

(k >0), u v u v− ≥ −



dÊu “=” x¶y ra ⇔ .u k v=

(k > 0) + Sö dông sù t−¬ng giao cña c¸c ®−êng trong mÆt ph¼ng: Trong mÆt ph¼ng cho ph−¬ng tr×nh c¸c ®−êng y= f(x), y= ax+ b. Khi ®ã: nghiÖm cña f(x) = ax+ b lµ hoµnh ®é giao ®iÓm cña 2 ®−êng y= f(x) vµ y= ax+ b. Bµi 4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2 22 10 6 13 41x x x x+ + + − + = .(1) Gi¶i: Ta cã: (1) 2 2( 1) 9 ( 3) 4 41x x⇔ + + + − + = . Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy chän c¸c vect¬ cã to¹ ®é: 2( 1,3) ( 1) 9u x u x= + ⇒ = + +

; 2( 3,2) ( 3) 4v x v x= − + ⇒ = − +

. 2 2( 1) 9 ( 3) 4u v x x⇒ + = + + + − +

. MÆt kh¸c: ( 1 3 ,3 2) (4,5)u v x x+ = + + − + =

2 24 5 41u v⇒ + = + =

. Mµ: u v u v+ ≥ + 



nªn: 2 22 10 6 13 41x x x x+ + + − + ≥ . DÊu “=” x¶y ra u kv⇔ = 

víi k > 0 nªn : 1 3 2 2 9 33 2 x x x x + = ⇔ + = − − 75 7 5x x⇔ = ⇒ = . VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®m cho lµ: 7 5x = . 18 18 Bµi 5. T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã 1 nghiÖm duy nhÊt: 2 2 2 2 6 8 0 (1) 2 1 0 (2) x y x y x y mx    + − − + = + − − = Gi¶i: Ph−¬ng tr×nh (1) lµ ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn(C), t©m I1( 1 2 , 3); b¸n kÝnh R1= 5 2 . Ph−¬ng tr×nh (2) lµ ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (C’), t©m I2(m, 0); b¸n kÝnh R2 = 21 m+ . HÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi (C) tiÕp xóc (C’). + Tr−êng hîp 1: (C) vµ (C’) tiÕp xóc ngoµi nhau: ThÕ th×: I1I2 = R1+ R2. Nh−ng: I1I2 = 2 21 32m       − + , R1+ R2 = 5 2 + 21 m+ , nªn ta cã: 2 21 32m       − + = 5 2 + 21 m+ 2 2 25 371 5( 1)4 4m m m m⇔ + + + + = − + ⇔ 25( 1)m + 7 m= − 2 25( 1) 49 14m m m⇔ + = − + ( m≤ 7). 22 7 22 0m m⇔ + − = 2 11 2 m m     = ⇒ = − VËy cã hai gi¸ trÞ m = 2, m = - 11 2 ®Ó hai ®−êng trßn ®m cho tiÕp xóc ngoµi nhau. + Tr−êng hîp 2: (C) vµ (C’) tiÕp xóc trong: Tøc lµ: I1I2 = 1 2R R− hay: 2 21 32m       − + = 25 12 m− + 2 2 21 59 1 5( 1)4 4m m m m⇔ − + + = + − + + 22 7 22 0m m⇔ + − = 2 11 2 m m     = ⇒ = − VËy cã hai gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ®m cho cã nghiÖm duy nhÊt. 19 19 A B CO x y 1 2 -2 Bµi 6. BiÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh sau theo m: 24 2x mx m− = + − Gi¶i: Ta xÐt ®−êng cong y= 24 x− (1) ( 2,2x   ∈ − ) vµ ®−êng y= 2mx m+ − .(2) XÐt ®−êng cong: 2 2 2 0 y 4 4 y x x y    ≥ = − ⇔ + = (I) Hình 2.4 ⇒ (I) lµ nöa phÝa trªn trôc Ox cña ®−êng trßn t©m O(0, 0) b¸n kÝnh R= 2 cã ph−¬ng tr×nh: 2 2 4x y+ = . XÐt: y= 2mx m+ − (2) lµ ®−êng th¼ng (∆) cã hÖ sè gãc k= m vµ víi mäi gi¸ trÞ cña m ®−êng th¼ng (∆) lu«n ®i qua ®iÓm A(1, 2). VËy ph−¬ng tr×nh ®m cho cã nghiÖm khi ®−êng th¼ng (∆): y= 2mx m+ − c¾t nöa ®−êng trßn t©m O(0, 0), b¸n kÝnh R= 2 víi y > 0. XÐt (d) lµ tiÕp tuyÕn ®i qua A(1, 2), khi ®ã kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn (d) b»ng 2 2 42 32 1 0 mm m m     = −− ⇔ = ⇔ + = Gọi 2 ñiểm B(-2, 0) và C(2, 0), hệ số góc của ñường thẳng AB: kAB = 23 , hệ số góc của ñường thẳng AC: kAC= -2. Vậy: Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm khi 0 < m < 23 ; -2 < m < 4 3− . Phương trình có 1 nghiệm khi 23 < m; m< -2. 2.3. Các bài toán giải bất phương trình, hệ bất phương trình
Sö dông bÊt ®¼ng thøc vect¬: .u v u v≤ 



; .u v u v≤ 



; u v u v− ≥ − 



; wu v w u v+ + ≤ + + 





;
Sö dông sù t−¬ng giao cña c¸c ®−êng trong mÆt ph¼ng. Bµi 7 . Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 1 2 3 50 3 12x x x+ + − + − ≤ . 20 20 m xO B D2 2 C A x+ m- 2= 0 x= m I-2 -2 Gi¶i: TËp x¸c ®Þnh: x 3 50 ,2 3       ∈ . Trong không gian Oxyz chän: u 
= ( 1x + , 2 3x − , 50 3x− ). u⇒ = 
1 2 3 50 3x x x+ + − + − = 48 4 3= ; (v =
1, 1, 1) v⇒ =
3 . Ta cã: .u v = 

12 vµ .u v = 

1 2 3 50 3x x x+ + − + − . Mµ .u v ≤ 

.u v 

hay 1 2 3 50 3 12x x x+ + − + − ≤ . VËy bÊt ph−¬ng tr×nh ®óng víi 3 50 ,2 3x       ∈ . Bµi 8. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: 2 2 2 2 (3 1) 2 0 4 x m x m m x m    − − + − < + = (I) 1. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm. 2. T×m m ®Ó hÖ cã ®óng mét nghiÖm. 3. T×m m ®Ó hÖ cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Gi¶i: Hình 2.5 (I) ⇔ 2 2 ( )( 2 ) 0 (1) 4 (2) x m x m x m    − − + ≤ + ≤ XÐt hÖ to¹ ®é Oxm, ta cã: + C¸c ®iÓm M(x, m) tho¶ mmn (1) thuéc phÇn mÆt ph¼ng giíi h¹n bëi 2 ®−êng th¼ng x- m = 0 vµ x- 2+ m= 0. + C¸c ®iÓm M(x, m) tho¶ mmn (2) thuéc phÇn trong h×nh trßn t©m O(0, 0) b¸n kÝnh R= 2 (kÓ c¶ ®−êng viÒn). + C¸c ®iÓm tho¶ mmn hÖ thuéc miÒn g¹ch trong h×nh vÏ 2.5, víi to¹ ®é A, D lµ nghiÖm cña hÖ: 2 2 0 ( 2, 2) 4 ( 2, 2) x m A x m D        − = − − ⇒ + = To¹ ®é cña B, C lµ nghiÖm cña hÖ: 2 2 2 0 (0,2) 4 (2,0) x m B x m C        − + = ⇒ + = 21 21 ChiÕu 2 cung AB vµ CD lªn Om ta ®−îc: Im 2,2  = − . VËy: a) HÖ cã nghiÖm khi m∈ 2,2    − . b) HÖ cã ®óng mét nghiÖm khi: 2 0 2 2m m− < < ∪ ≤ < . c) HÖ cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi: 0 2m< < . 2.4. Các bài toán chứng minh bất ñẳng thức
Ph−¬ng ph¸p gi¶i: + Sö dông c¸c c«ng thøc: . .u v u v≤ 



; u v u v+ ≤ + 



; u v u v− ≥ − 



. + Chän hÖ täa ®é thÝch hîp biÓu diÔn c¸c ®iÓm qua hÖ täa ®é, sö dông c¸c kiÕn thøc h×nh häc ®Ó gi¶i bµi to¸n. Bµi 9. Cho ba sè thùc a, b, c bÊt k×, chøng minh r»ng: 2 2 2 2( 1) ( ) ( 1) ( ) 2b c a b c a+ + − + − + − ≥ . Gi¶i: Trong mÆt ph¼ng Oxy chän c¸c vect¬ cã to¹ ®é: 2 2( 1, ) ( 1) ( )u b a c u b a c= − − − ⇒ = + + −

2 2( 1, ) ( 1) ( )v b c a v b c a= − − ⇒ = − + −

; Ta cã: ( 2,0) 2u v u v+ = − ⇒ + =



; 2 2 2 2( 1) ( ) ( 1) ( )u v b c a b c a+ = + + − + − + −

; Mµ: u v u v+ ≤ + 



nªn: 2 2 2 2( 1) ( ) ( 1) ( ) 2b c a b c a+ + − + − + − ≥ (®pcm). Bµi 10. Cho bèn sè thùc a, b, c, d tho¶ mmn: { 2 2 13a bc d+ =+ = Chøng minh r»ng: ac+ bd+ cd 9 6 2 4 +≤ . Gi¶i: Do 2 2 1a b+ = ⇒ Gäi M(a, b) th× M∈ (C): 2 2 1x y+ = . V× c+ d= 3, gäi N(c, d) th× N∈(d): x+ y- 3 = 0. 22 22 O y J x 3 31 1 -1 (d) I ⇒ ( , )MN c a d b− −
2 2 2( ) ( )MN c a d b⇒ = − + −
= 2 2 2 2 2 2a b c d ac db+ + + − − Mµ ta l¹i cã: 2 2 1a b+ = ; 2 2 2( ) 2 9 2c d c d cd cd+ = + − = − . ⇒ 2 1 9 2 2 2MN cd ac bd= + − − − 
10 2( )cd ac db= − + + . Hình 2.6 ⇒ 210 2 MN ac bd cd −+ + = . Do ñó: ac bd cd+ + ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi vµ chØ khi MN ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. VËy MN lµ ®o¹n IJ vu«ng gãc víi (d), ®−êng IJ lµ ph©n gi¸c cña gãc phÇn t− thø nhÊt nªn I 2 2( , )2 2 ; J( 3 3 ,2 2 )⇒ 2 2 3 22 2 2 IJ        = − = 11 3 22 − . ⇒ ac bd cd+ + 210 9 6 2 2 4 IJ− +≤ = . DÊu “=” x¶y ra 2 3;2 2a b c d⇔ = = = = . 2.5. Các bài toán tìm cực trị
Ph−¬ng ph¸p gi¶i: B−íc 1: Chän hÖ täa ®é thÝch hîp biÓu diÔn c¸c ®iÓm cÇn thiÕt qua hÖ täa ®é. B−íc 2: ThiÕt lËp biÓu thøc gi¶i tÝch cho ®èi t−îng cÇn t×m cùc trÞ. B−íc 3: Lùa chän ph−¬ng ph¸p t×m cùc trÞ: Ph−¬ng ph¸p tam thøc bËc hai, sö dông bÊt ®¼ng thøc hoÆc sö dông ®¹o hµm. Bµi 11. Cho c¸c sè thùc x, y, z tho¶ mmn: x+ 2y+ z = 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P= 2 2 2 2 2 2( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 2)x y z x y z− + − + − + − + − + − . Gi¶i: 23 23 A B MI A' P Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz lÊy ®iÓm A(1, 1, 1); B(2, 2, 2). Bài toán quy về tìm ñiểm M(x, y, z) nằm trong mp: x+ 2y+ z = 0 ñể: AM+ BM ñạt giá trị nhỏ nhất với A(1, 1, 1); B(2, 2, 2). Ta xét vị trí tương ñối của A, B với mp (P): x+ 2y+ z = 0. Ta có: (1+ 2.1+1).(2+ 2.2+ 2) = 32 > 0 VËy A, B cùng phía với mp(P). Gọi A’ là ñiểm ñối xứng của A qua (P) thì ñiểm M cần tìm là giao ñiểm của A’B và mp(P). Thật vậy: MA’= MA⇒ MA+ MB = MA’ + MB= A’B. Với mọi ñiểm M’∈( P) ta có: M’A= M’A’. ⇒ M’A + M’B = M’A’+ M’B > A’B= MA + M ⇒ M =M’. (P) có vect¬ ph¸p tuyÕn n
(1, 2, 1). Đường thẳng (d) qua A(1, 1, 1) vuông góc với (P) cã vect¬ chØ ph−¬ng là n
(1, 2, 1). VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) lµ: 1 1 2 1 x t y t z t      = + = + = + Gäi I= (d) ∩ (P) ⇒Täa ®é cña I lµ nghiÖm cña hÖ: 1 1 2 1 2 0 x t y t z t x y z        = + = + = + + + = ⇒ I( 1 1 1 , ,3 3 3 − ). ⇒Täa ®é ®iÓm A’ lµ: A’( 1 5 1 , ,3 3 3 − − − ) ⇒ 'AB 
( 7 11 7 , ,3 3 3 ). 24 24 ⇒ §−êng th¼ng A’B ®i qua B(2, 2, 2) nhËn u 
(7 ,11, 7) lµm vect¬ chØ ph−¬ng cã ph−¬ng tr×nh lµ: 2 7 2 11 2 7 x t y t z t      = + = + = + VËy ®iÓm M cÇn t×m lµ giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng A’B víi mp(P). Täa ®é cña M lµ nghiÖm cña hÖ: 2 7 2 11 2 7 2 0 x t y t z t x y z        = + = + = + + + = ⇒M 4 4 4 , ,9 9 9       − . VËy ®iÓm M 4 4 4 , ,9 9 9       − lµ ®iÓm cÇn t×m. Khi ®ã: A’B= 219 3 . ⇒ Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ: 219 3 khi x= z= 4 9 , y= 4 9 − . Bµi 12. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A= cos sina x a x+ + + víi ; 1x R a∈ ≥ . Gi¶i: Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy chän c¸c vect¬ cã to¹ ®é: (1,1) 2u u⇒ =

; ( cos , sin ) 2 2 sin( )4v a x a x v a x pi = + + ⇒ = + +

. A= .u v 

= cos sina x a x+ + + .u v≤ 

= 2(2 2 sin( ))4a x pi + + . 4 2 2A a⇒ ≤ + . DÊu “=”x¶y ra khi vµ chØ khi: 1 1 cos sina x a x = + + ⇔ cos sin( ) 14 sinx x x pi      = + = 24x k pi pi⇒ = + . VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña A lµ: 4 2 2a + khi 24x k pi pi= + (k∈ Z). 25 25 A B C D A' B' C' D' x y z M 2a a M(x, y) B(1, 0) x y A O H Bµi 13. Cho h×nh l¨ng trô tø gi¸c ®Òu ABCD.A’B’C’D’ c¹nh ®¸y dµi gÊp ®«i chiÒu cao. §iÓm M trªn c¹nh AB, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña gãcϕ =' 'A MC . Gi¶i: Gi¶ sö ®é dµi cña c¹nh lµ 2a, ®é dµi cña ®−êng cao lµ a. Chän hÖ to¹ ®é Axyz nh− sau: A(0, 0, 0), c¸c tia AB, AD, AA’ lÇn l−ît trïng víi c¸c tia Ax, Ay, Az. §Æt AM =x0 khi ®ã: A’(0, 0, a) ; C’(2a, 2a, a); M(x0, 0, 0). 'MA⇒ 
= (-x0, 0, a); 'MC 
=(2a-x0, 2a, a). ⇒cosϕ = 2 0( )'. ' 0 '. ' '. ' x aMA MC MA MC MA MC − = ≥ 

VËy maxϕ =900 ⇔ x0 = a. ⇔ M lµ trung ®iÓm cña AB. VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña gãc ϕ lµ: ϕ =900. 2.6. Các bài toán tìm quỹ tích
Ph−¬ng ph¸p gi¶i: B−íc 1: ThiÕt lËp hÖ trôc to¹ ®é thÝch hîp, tõ ®ã suy ra to¹ ®é cña c¸c ®iÓm cÇn thiÕt. B−íc 2: ThiÕt lËp biÓu thøc gi¶i tÝch cho ®iÓm cÇn t×m quü tÝch, tõ ®ã suy ra quü tÝch cña nã. Bµi 14. Cho 2 ®iÓm A, B cè ®Þnh. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M sao cho: MA= 2MB. Gi¶i: Chän hÖ trôc to¹ ®é vu«ng gãc Oxy sao cho: O ≡ A và 1e AB≡ 

. Trôc Ox chøa A, B, trôc Oy vu«ng gãc víi AB t¹i A.Ta cã: A(0, 0); B(1, 0). Theo gi¶ thiÕt MA= 2MB, ta cã: 2 2 2 22 (1 )x y x y+ = − + 2 2 2 24 (1 2x y x x y  ⇒ + = − + + . 26 26 O y xA(a, 0) B(b, 0) H M(0, m) N(x, y) 2 2 2 2 24 2(3 8 4) 3 0 3 3x x y x y             ⇔ − + + = ⇔ − + = . ⇒ TËp hîp c¸c ®iÓm M lµ ®−êng trßn t©m H( 4 ,03 ), b¸n kÝnh R= 2 3 . VËy quü tÝch c¸c ®iÓm M cÇn t×m lµ ®−êng trßn t©m H, b¸n kÝnh R= 2 3 , ®iÓm H tho¶ mmn: n»m trªn ®−êng th¼ng AB, cïng phÝa víi 2 ®iÓm A, B. Bµi 15. Cho 2 ®iÓm A, B cè ®Þnh vµ mét ®−êng th¼ng ∆ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng AB nh−ng kh«ng ®i qua A, B. Mét ®iÓm M ch¹y trªn ∆. T×m tËp hîp c¸c giao ®iÓm N cña c¸c ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi MA, MB t¹i A vµ B. Gi¶i: Chän hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxy sao cho: trôc Ox lµ ®−êng th¼ng chøa A, B, trôc Oy lµ ®−êng th¼ng ∆. Theo c¸ch chän ®ã ta cã: A(a, 0), B(b, 0), M(0, m), N(x, y). Khi ®ã: ( , )MA a m−
; ( , )MB b m= −
; ( , )NA a x y= − −
; ( , )NB b x y= − −
. §Ó NA ⊥ MA, NB ⊥ MB th×: ( ) 0. 0 ( ) 0. 0 a a x myMA NA b b x myMB NB        − + == ⇔ − + == 



2 2 (1)0 0 (2) x a b a ax my abb bx my y m         = + − + = ⇔ ⇔ − + = = Khö m tõ (2) thay vµo (1) ta cã ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cÇn t×m: x= a+ b. ⇒TËp hîp c¸c giao ®iÓm N lµ ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi Ox t¹i H cã hoµnh ®é OH = a+ b . VËy: TËp hîp c¸c giao ®iÓm N lµ ®−êng th¼ng song song víi ∆ , c¸ch ∆ mét kho¶ng b»ng a+ b . 27 27 A B O y x y x A B CD O H 2.7. Các bài toán dựng hình
Ph−¬ng ph¸p gi¶i: + Ta chän hÖ to¹ ®é thÝch hîp. + Dïng c¸c sè ®¹i sè ®Ó x¸c ®Þnh vÞ trÝ vµ kÝch th−íc cña c¸c h×nh. + Dùa vµo ®ã ta dùng h×nh vµ biÖn luËn c¸c tr−êng hîp cã thÓ x¶y ra. Bµi 16. Dùng gãc α , biÕt tgα = 25 . Gi¶i: + C¸ch dùng: - Trong hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng Oxy ta lÊy ®iÓm A(2, 0); ®iÓm B(0, 5). - VÏ tam gi¸c OAB. Khi ®ã: OBA lµ gãc cÇn dùng. + Chøng minh: Theo c¸ch dùng ë trªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh + BiÖn luËn: Bµi to¸n lu«n cã nghiÖm h×nh. Bµi 17. Dùng 1 h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 2p cho tr−íc néi tiÕp trong mét vßng trßn cã b¸n kÝnh R cho tr−íc. Gi¶i: + C¸ch dùng: Chän hÖ to¹ ®é nh− sau: Gèc to¹ ®é trïng víi t©m cña ®−êng trßn. Trôc hoµnh, trôc tung lÇn l−ît lµ 2 ®−êng kÝnh vu«ng gãc cña ®−êng trßn. Gi¶ sö h×nh ch÷ nhËt cÇn dùng cã c¸c c¹nh cã ®é dµi lÇn l−ît lµ: a, b tho¶ mmn: a+ b= p (a> b >0). 28 28 Ta sÏ cã: 2 2 24 0 a b R a b p a b      + = + = > > 2 2 2 2 8 2 8 2 p R p a p R pb        + − = ⇒ − − = - Ta dùng ®iÓm B( 2 a , 2 b ). - LÊy ®iÓm A ®èi xøng víi B qua Oy. - Dùng D ®èi xøng víi A qua Ox, C ®èi xøng víi B qua Ox. ⇒ ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt cÇn dùng. + Chøng minh: Theo c¸ch dùng ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. + BiÖn luËn: Bài to¸n cã nghiÖm h×nh khi p > 2 28R p− hay p > 2R. 29 29 A B C D x y zMH Chương 3: Mét sè bµi to¸n vËn dông Bài 1. Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña x, y ta ®Òu cã: 2 2 2 2 2 24cos cos sin ( ) 4sin sin sin ( ) 2x y x y x y x y+ − + + − ≥ . Gi¶i: Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy chän: ( )( ) 2 2 22cosxcosy, sin x y 4cos xcos y sin (x y) u u= − ⇒ = + −

( ) ( )2 2 2(2sinxsiny,sin x y ) 4sin xsin y+sin x yv v= − ⇒ = −

. Ta cã: ( ) ( )(2cosxcosy+2sinxsiny, sin x y +sin x y )u v+ = − −

( ) ( )(2cos x y ,2sin x y )= − − . ( ) ( )2 24cos x y 4sin x y 2u v⇒ + = − + − =

. Theo tÝnh chÊt: 2u v u v+ ≥ + = 



. 2 2 2 2 2 24cos cos sin ( ) 4sin sin sin ( ) 2x y x y x y x y⇒ + − + + − ≥ . DÊu “=” x¶y ra cotgx.cotgy 1 2x y pi ⇔ = ⇔ + = (®pcm). Bµi 2. Cho tø diÖn ABCD vu«ng t¹i A. Gäi M lµ 1 ®iÓm bÊt k× trong ∆BCD vµ α, β, γ lÇn l−ît lµ gãc gi÷a AM vµ c¸c mÆt ph¼ng (ABC), (CAD), (DAB). Chøng minh: sin2α + sin2β + sin2γ = 1. Gi¶i: Chän hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz nh− sau: O ≡ A, c¸c tia Ox, Oy, Oz lÇn l−ît trïng víi c¸c tia: AB, AC, AD. Gi¶ sö M lµ ®iÓm bÊt k× trong BCD△ vµ M(x, y, z). ( , , )AM x y z⇒ 
lµ vect¬ chØ ph−¬ng cña ®−êng th¼ng AM, 3(0,0,1)e 
lµ vect¬ ph¸p tuyÕn cña mp(ABC). Khi ®ã: sin 2 2 2 z x y z α = + + . 30 30 x m O x+ m- 2 =0 m=1 x- m =0 1 2 2 1 T−¬ng tù nh− vËy ta cã: 2 2 2 sin x x y z β = + + ; 2 2 2 sin y x y z γ = + + . VËy 2 2 2 2 2 2 2 2 2sin sin sin x y z x y z α β γ + ++ + = + + =1 (®pcm). Bµi 3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2 2sinx 2 sin sinx 2 sin 3x x+ − + − = . Gi¶i: Trong kh«ng gian Oxyz chän c¸c vect¬ cã to¹ ®é: 2 2 2 2)(sin ,1, 2 sin ) sin 1 ( 2 sin 3u x x u x x= − ⇒ = + + − =

. ( ) 22 2 21, 2 sin ,sin 1 ( 2 sin ) sin 3v x x v x x= − ⇒ = + − + =

. Ta cã: . 3u v = 

, 2 2. sin 2 sin sin 2 sin 3u v x x x x= + − + − = 

. Mµ: .u v u v≥ 



. VËy dÊu “=” x¶y ra khi: 2 2 sin 1 2 sin 1 sin2 sin x x xx − = = − 0k= > . 2sin 1 2 ( ) sin 12 sin 0 x x k k Z x x pi pi    = ⇔ = + ∈ ⇔ ⇔ = ≥ . VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ: 22x k pi pi= + (víi k ∈ Z). Bµi 4. T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: log [ ( )] log (2 )1 1x x m xx m x m+ >− + − + .(1) Gi¶i: Ta xÐt 2 tr−êng hîp: + Tr−êng hîp 1: 0 x m 1 1 0( ) 2 0 2 0 x x m x x m x x m         > − + > ⇔ − > + > > + − > (I) XÐt hÖ to¹ ®é vu«ng gãc Oxm, c¸c ®iÓm M(x, m) tho¶ mmn (I) ®−îc biÓu diÔn b»ng miÒn g¹ch trong h×nh vÏ. 31 31 VËy hÖ (I) cã nghiÖm khi vµ chØ khi m ≥ 1. + Tr−êng hîp 2: 0 0<x m 1 < 1 0 0 ( ) 2 0 2 1 0 x x m x x m x x m x m           > − + − < ⇔ < + < < + < − + > (II) XÐt hÖ to¹ ®é vu«ng gãc Oxm, c¸c ®iÓm M(x, m) tho¶ mmn (II) lµ mét tËp rçng. VËy (II) v« nghiÖm. VËy (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi m ≥ 1. Bµi 5. Cho 2 236 16 9x y+ = . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A= y - 2x + 5. Gi¶i: Ta cã: 2 236 16 9x y+ = ⇔ (6x)2 + (4y)2= 9, y - 2x + 5 = 1 4 4y - 6 3 x +5. Trong mÆt ph¼ng Oxy ta chän: u 
=(6x, 4y) ⇒ 2 236 16u x y= + 
= 3. v
=( 1 3− , 1 4 )⇒ v =
1 1 9 16+ = 5 12 . .u v 

= 2x y− + ≤ 512 . 2 236 16x y+ hay 2x y− + ≤ 54 ⇔ 5 24 x y − ≤ − + ≤ 54 . VËy: 5 55 2 5 54 4x y − + ≤ − + + ≤ + ⇔ 15 252 54 4x y≤ − + + ≤ . DÊu “=” x¶y ra khi: 6 4 1 1 3 4 x y = − ⇔ -9x= 8y . VËy: MaxA= 25 4 khi x= 2 5 − ; y= 9 20 . MinA= 15 4 khi x= 2 5 ; y= 9 20− . Bµi 6. Qua giao ®iÓm A cña 2 vßng trßn ( 1ω ), ( 2ω ) hmy dùng mét c¸t tuyÕn c¾t ( 1ω )t¹i P, c¾t ( 2ω ) t¹i Q sao cho: AQ- AP = m cho tr−íc. Gi¶i: + C¸ch dùng: 32 32 x y A P Q O'(a, b) O"(c, d)(w1) (w2)B - Chän hÖ to¹ ®é vu«ng gãc nh− sau: Gèc to¹ ®é ë A, trôc hoµnh Ax  O’O”, trôc tung lµ c¸t tuyÕn chung AB cña hai vßng trßn. Gäi to¹ ®é cña t©m O’ lµ (a, b), to¹ ®é cña t©m O” lµ (c, b). Theo ®ã ta cã: Ph−¬ng tr×nh cña vßng trßn 1ω lµ: 2 2 2 2 0x y ax by+ − − = . Ph−¬ng tr×nh cña vßng trßn 2ω lµ: 2 2 2 2 0x y cx by+ − − = . Quay c¸c trôc to¹ ®é mét gãc ϕ . Ta cã: x= x’cosϕ - y’sinϕ . y= x’sinϕ + y’cosϕ . Ph−¬ng tr×nh cña 2 vßng trßn ( 1ω ), ( 2ω ) lÇn l−ît lµ: 2 2 ' 'x y+ - 2x’(acosϕ + bsinϕ )- 2y’(bcosϕ - asinϕ )= 0. 2 2 ' 'x y+ - 2x’(ccosϕ + bsinϕ )- 2y’(bcosϕ - csinϕ )= 0. C¾t 2 vßng trßn bëi c¸t tuyÕn APQ cã ph−¬ng tr×nh y’= 0 th× ta cã: 'x P = 2(acosϕ + bsinϕ ); 'x Q = 2(ccosϕ + bsinϕ ). Theo bµi ra ta cã: 'x Q - 'x P = m hay: 2( ccosϕ - acosϕ ) = m 2( ) m cos c a ϕ⇒ = − . VËy muèn cã c¸t tuyÕn APQ cÇn dùng ta chØ viÖc quay trôc Ax mét gãc ϕ mµ 2( ) m cos c a ϕ = − hay ϕ arccos 2( ) m c a = − . + BiÖn luËn: §Ó dùng ®−îc c¸t tuyÕn APQ tháa mmn yªu cÇu bµi to¸n ta cÇn cã: 2m c a≤ − tøc lµ: 2 ' ''m O O≤ . 33 33 a a a A A' B B' C C' D D' x y z Bµi 7. Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh b»ng a. Chøng minh r»ng: kho¶ng c¸ch tõ 1 ®iÓm bÊt k× trong kh«ng gian ®Õn mét trong c¸c ®−êng th¼ng AA’ , B’C’, CD kh«ng thÓ ®ång thêi nhá h¬n 2 a . Gi¶i: Chän hÖ to¹ ®é Axyz: B∈Ax; D∈Ay; A’∈Az Khi ®ã: A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); D(0, a, 0); A’(0, 0, a); C(a, a, 0); B’(a, 0, a); C’(a, a, a); D’(0, a, a). Ta cã ph−¬ng tr×nh cña c¸c ®−êng th¼ng AA’, B’C’, CD lÇn l−ît lµ: AA’: 0 0 x y z t      = = = ; B’C’ : x a y t z a      = = = ; CD : 0 x t y a z      = = = Gäi M(x,y,z) lµ mét ®iÓm bÊt k× trong kh«ng gian. Ta cã: d1= d(M, AA’) 2 2 2 2 , ' 1' AM AA x y x y AA     + = = + 


. d2= d(M, B’C’) = ' , ' ' ' ' B M B C B C     


2 2( ) ( )x a z a= − + − . d3= d(M, CD) = 2 2 , ( ) CM CD y a z CD     = − + 


. Ta cã: ( ) ( )2 2 2d M,AA’ + d M, CD + d (M,B’C’)= 2 2 2 2 2( ) ( )x y z x a z a+ + + − + − 2( )y a+ − . Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski, ta cã: 2 2( )x x a+ − ≥ 2 2 a dÊu “=” x¶y ra khi: 2 a x = . 2 2 2( ) 2 ay y a+ − ≥ dÊu “=” x¶y ra khi: 2 ay = . 34 34 O x y (d2): y= x + 3 (d2): y= x+1 (d1): y= x- 1 (d1): y= x - 3 3 -3 -3 -1 2 2 2( ) 2 a z z a+ − ≥ dÊu “=” x¶y ra khi: 2 a z = . VËy: ( ) ( )2 2 2d M,AA’ + d M, CD + d (M,B’C’) 232 a≥ , hay: 2 2 2 2 1 2 3 3d +d +d 2 a≥ .(1) Theo ®¼ng thøc (1) th×: 2 2 21 2 3d ;d ;d kh«ng ®ång thêi nhá h¬n 2 2 a tøc lµ: ( )1,3d ii∃ = : 22 2 2i ia ad d≥ ⇔ ≥ (®pcm). Bµi 8. Chøng minh r»ng ,x y∀ ∈ R ta lu«n cã: 2 2 2 210 4 28 74 6 4 4 10 10x x y y x x y y+ + + + − − + + + ≤ .(1) Gi¶i: VÕ tr¸i= ( )2 2 2 25 (2 7) ( 3) (2 1)x y x y+ + + − − + + . Trong mÆt ph¼ng täa ®é chän 2 vec t¬ cã täa ®é : 2 2( 5,2 7) ( 5) (2 7)u x y u x y+ + ⇒ = + + +

, 2 2( 3,2 1) ( 3) (2 1)v x y v x y= − + ⇒ = − + +

, (8,6) 10u v u v⇒ − = ⇒ − =



. Ta l¹i cã: u v u v− ≤ − 



⇔ ( )2 2 2 25 (2 7) ( 3) (2 1)x y x y+ + + − − + + 10≤ . VËy: 2 2 2 210 4 28 74 6 4 4 10 10x x y y x x y y+ + + + − − + + + ≤ (®pcm). Bµi 9. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt: 2 2 2 1 0 x y x x y m    + + ≤ − + = (I) Gi¶i: Víi m > 0 th× hÖ v« nghiÖm, ta xÐt víi m ≤ 0. (I) ⇔ 2 2( 1) 2 (3) (4) (5) x y y x m y x m       + + ≤ = + = − 35 35 x y a b O Gäi X1, X2, X3 lÇn l−ît lµ tËp nghiÖm cña (3), (4), (5). Ta cã: • X1 lµ tËp c¸c ®iÓm thuéc h×nh trßn (C ) t©m I(-1, 0), b¸n kÝnh R= 2 (kÓ c¶ ®−êng viÒn). • X2 lµ tËp c¸c ®iÓm trªn ®−êng th¼ng (d1): y= x + m. • X3 lµ tËp c¸c ®iÓm trªn ®−êng th¼ng (d2): y= x - m. • (C ) tiÕp xóc víi (d1) ⇔ d(I, d1)= 2 1 2m⇔ − + = 3 1 m m    = ⇒ = − Víi m= 3, ta cã: d( I, d2)= 1 3 2 2 − − > ⇒ (C) kh«ng c¾t d2. ⇒ (I) cã 1 nghiÖm duy nhÊt. Víi m= -1, ta cã: d( I, d2)= 1 1 2 2 − + < ⇒ (C) c¾t d2. ⇒ (I) cã 2 nghiÖm, kh«ng tho¶ mmn yªu cÇu ®Ò bµi⇒ m= -1 (lo¹i) . • (C ) tiÕp xóc víi (d2) ⇔ d(I, d2)= 2 1 2m⇔ + = 1 3 m m    = ⇒ = − Víi m= 1⇒d(I, d1)= 1 1 2 2 − + < ⇒ (C) c¾t d1⇒ m =1 (lo¹i). Víi m =-3⇒d(I, d1)= 1 3 2 2 − − > ⇒ (C) kh«ng c¾t d1⇒ m= -3( tho¶ mmn). VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi m= ± 3. Bµi 10. Trong mp cho 2 ®−êng th¼ng c¾t nhau a vµ b. T×m quü tÝch nh÷ng ®iÓm M sao cho tÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ M tíi a vµ b b»ng 1 sè kh«ng ®æi k2( 2 0k ≠ ). Gi¶i: Chän hÖ täa ®é trùc chuÈn Oxy sao cho Ox, Oy lµ hai ®−êng ph©n gi¸c cña c¸c gãc hîp bëi 2 ®−êng th¼ng (a) vµ (b). Khi ®ã: ph−¬ng tr×nh 36 36 cña c¸c ®−êng th¼ng (a) vµ(b) lÇn l−ît lµ: y+ cx= 0 vµ y- cx= 0. Gäi M(x, y) lµ ®iÓm cÇn t×m. Kho¶ng c¸ch tõ M tíi (a) vµ (b) lÇn l−ît lµ: d1= d( M; (a))= 21 cx y c + + ; d2= d( M; (b))= 21 y cx c − + ; VËy ta t×m quü tÝch c¸c ®iÓm M sao cho d1d2 = d( M; (a)).d( M; (b))= k 2 tháa mmn: 21 cx y c + + . 21 y cx c − + = k2 ⇔ 2 2 2 2 21 y c x k c − = + ⇔ 2 2 2 2 2(1 )y c x k c− = ± + . ⇒ Quü tÝch c¸c ®iÓm M lµ hai ®−êng hypebol mµ a, b lµ 2 ®−êng tiÖm cËn, hypebol thø nhÊt cã 2 ®Ønh lµ A1( 21 ,0k c+ ); A2(- 21 ,0k c+ ); hypebol thø hai cã 2 ®Ønh lµ: B1(0, 21k c+ ); B2(0, - 21k c+ ). Bµi 11. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: 1 2 2007 1 2 2007 20082007 2007 20062007 2007 1 1 ... 1 1 1 ... 1 x x x x x x      + + + + + + = − + − + + − = Gi¶i: Trong mÆt ph¼ng Oxy chän: ( 1 , 1 )( 1,2007)i i ix x ia = + − ∀ = 
. Khi ®ã ta cã: 2( 1,2007ia i= ∀ = 
2007 2007 2 1 ia i ⇒ =∑ = 
.(1) 2 22007 2007 2007 1 1 1 1 1 i i ia x x i i i             = + + −∑ ∑ ∑ = = = 
2007.2008 2007.2006 2007 2= + = .(2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: 2007 2007 1 1 i ia a i i =∑ ∑ = = 

®¼ng thøc nµy chøng tá c¸c ai 
cïng chiÒu, cïng ph−¬ng vµ cïng ®é lín ⇒ x1 = x2 = … = x2007. 2008 11 1 ... 1 20071 2 2007 2007 2007x x x xi⇔ + = + = = + = ⇔ = . VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt: x1 = x2 = … = x2007= 1 2007 . 37 37 y f'(y) f(y) 0 - + 2- Bµi 12. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt A= 2 2 2 2( 1) ( 1) 2x y x y y− + + + + + − . Gi¶i: Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy ta chän c¸c vect¬ cã to¹ ®é: 2 2( 1, ) ( 1)u x y u x y= − ⇔ = − +

; 2 2( 1, ) ( 1)v x y v x y= − − ⇒ = + +

. 2 2 2 2( 1) ( 1)u v x y x y⇒ + = − + + + +

; 22 1u v y+ = +

. Do u v u v+ ≤ + 



nªn: 2 2 2 2 2( 1) ( 1) 2 1x y x y y− + + + + ≥ + . 2 2 2 2 2( 1) ( 1) 2 2 1 2A x y x y y y y⇒ = − + + + + + − ≥ + + − . XÐt f(y)= 22 1 2y y+ + − + Víi y 2≤ , ta cã: 2 2 2f(y)= 2 1+y 2 '( ) 1 1 yy f y y + − ⇒ = − + 2 2 0 1 '( ) 0 2 1 3 1 3 yf y y y y y    > ⇒ = ⇔ = + ⇔ ⇔ = = . Ta cã b¶ng biÕn thiªn: Víi y 2≤ th× f(y) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt t¹i y= 1 3 , f(y)= 2 3+ . + Víi y> 2, ta cã: f(y) = 2 22 1 2 2 1 2 5 2 3y y y+ + − ≥ + ≥ > + . VËy A≥ 2 3+ ,x y R∀ ∈ . Víi x=0, y= 1 3 th× A= 2 3+ . VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ 2 3+ . 38 38 z yx A B C D K H S Bµi 13. Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD, c¸c mÆt bªn t¹o víi ®¸y 1 gãc β. §iÓm K lµ trung ®iÓm cña SB. Hmy tÝnh gãc ϕ gi÷a 2 mÆt ph¼ng (AKC) vµ (SAB) theo β. Gi¶i: Ta thÊy: H×nh chãp S.ABCD cã c¸c ®Ønh kh«ng lµ tam diÖn vu«ng. NÕu gäi H= AC BD∩ th× t¹i ®Ønh H cã 3 trôc vu«ng gãc víi nhau từng ®«i mét, nªn ta chän hÖ trôc täa ®é Oxyz nh− sau: H ≡O, c¸c tia Ox, Oy, Oz lÇn l−ît trïng víi c¸c tia HA, HB, HS. Gi¶ sö c¹nh cña h×nh vu«ng ABCD lµ a 2 , khi ®ã c¸c ®iÓm to¹ ®é t−¬ng øng lµ: H(0, 0, 0); A(a, 0, 0); B(0, a, 0); C(-a, 0, 0); D(0, -a, 0); S(0, 0, 2 2 a tgβ ); K(0, ,2 2 a h ) víi 2 2 ah = . tgβ . Víi c¸ch chän nh− vËy, ta cã: Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng( AKC) lµ: hy- az =0. Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (SAB) lµ: 1x y z a a h+ + = ⇔ 0hx hy az ah− − − = . Gäi ϕ lµ gãc gi÷a 2 mÆt ph¼ng (AKC) vµ (SAB). Ta cã: cosϕ = cos( 1 2,n n 

), víi: 1(0, )n h a− 
; 2 ( , , )n h h a− 
; ⇒ cosϕ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .0 . . . . 2 h h h a a a h h a h h a h a h a + − − = + + + + + . Chia c¶ tö vµ mÉu cho 2a ta ®−îc: cosϕ = 2 2 2 1 1. 1 2 h a h h a a                   − + + . 39 39 y xHQ I P BA(a, 0) C(0, c) M N K J O ⇒cosϕ = 2 2 2 11 2 1 1. 12 tg tg tg β β β − + + = ( ) 2 2 2 3 1 2 2cos 1 . 22cos tg β ββ − + 2 2 2 2 3cos 1 1 1 cos 12cos . cos 2 cos β ββ β β       − = + = 2 2 2 2 2 3cos 1 3cos 1 cos 1 2(cos 1)2cos . cos β β β ββ β − − = + + . VËy gãc ϕ gi÷a (AKC) vµ (SAB) lµ gãc tho¶ mmn: cosϕ = 2 2 3cos 1 2cos 1 β β − + . Bµi 14. Cho tam gi¸c ABC cã ®−êng cao CH. Gäi I, K lµ trung ®iÓm cña c¸c ®o¹n AB vµ CH. Mét ®−êng th¼ng d di ®éng lu«n lu«n song song víi c¹nh AB c¾t c¹nh AC ë M vµ c¾t c¹nh BC ë N. Dùng h×nh ch÷ nhËt MNPQ víi 2 ®iÓm P, Q trªn AB. Gäi J lµ t©m h×nh ch÷ nhËt MNPQ. Chøng tá 3 ®iÓm I, K, J th¼ng hµng. Gi¶i: Chän hÖ to¹ ®é vu«ng gãc Oxy sao cho O ≡ H, c¸c tia Ox, Oy lÇn l−ît trïng víi c¸c tia HB, HC. Ta cã: H(0, 0); A(a, 0); B(b, 0); C(0, c). I lµ trung ®iÓm cña AB nªn I cã to¹ ®é lµ: I( ,02 a b+ ). K lµ trung ®iÓm cña CH nªn K cã to¹ ®é lµ: K(0, 2 c ). Đ−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh y= m (0 < m< c). §−êng th¼ng AC cã ph−¬ng tr×nh: 1 0x y cx ay ac a c + = ⇔ + − = §−êng th¼ng BC cã ph−¬ng tr×nh: 1x yb c+ = 0cx by bc⇔ + − = . 40 40 A BC D E K MN H V× M= d∩AC nªn to¹ ®é cña M tho¶ mmn hÖ ph−¬ng tr×nh: ( )0 y my m a c m cx ay ac x c          = = ⇔ −+ − = = . VËy M( ( )a c m c − , m). T−¬ng tù ta cã to¹ ®é cña N lµ: N( ( )b c m c − , m). §iÓm P lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña N trªn Ox nªn to¹ ®é cña P lµ: P( ( )b c m c − , 0). J lµ trung ®iÓm cña ®o¹n PM nªn J cã to¹ ®é lµ: J( ( )( ) ,2 2 a b c m m c + − ). Ta cã: ( , )2 2 a b cIK += − 
; ( )( ,2 2 m a b mIJ c + = − 
)⇒ .mIK IJc= 

. ⇒3 ®iÓm I, K, J lµ th¼ng hµng (®pcm). Bµi 15. Cho hai h×nh vu«ng ABCD vµ BKMN cã chung ®Ønh B vµ ®Ønh M n»m trªn DB kÐo dµi. Chøng minh r»ng trung tuyÕn BE cña tam gi¸c ABK n»m trªn ®−êng th¼ng chøa ®−êng cao BH cña tam gi¸c BNC. Gi¶i: Chän hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxy sao cho: O ≡B, c¸c tia Ox, Oy lÇn l−ît trïng víi c¸c tia BK, BA. Víi c¸ch chän ®ã, ta cã: B(0, 0); C(-1, 0); A(0, 1); D(-1, 1). Gi¶ sö N( 0, -n) ⇒ K(n, 0), E( 1 ,2 2 n ). Ta cã: 1( , )2 2 nBE = 
; ( )1,NC n= −
⇒ . 02 2 n nBE NC = − + = 

. VËy BE ⊥ NC hay BE n»m trªn ®−êng th¼ng chøa ®−êng cao cña BNC△ . Bµi 16. Cho ®−êng trßn t©m O b¸n kÝnh b»ng a, cã hai ®−êng kÝnh vu«ng gãc víi nhau lµ AB vµ CD. Trªn tia CD lÊy 2 ®iÓm M, N sao cho: CN OM= 

. 41 41 y x O P C(0, a) D(0, -a) M(0, -l) B(a, 0) N A(-a, 0) §−êng th¼ng AM c¾t ®−êng trßn t¹i P. Hmy xÐt xem khi N thay ®æi trªn ®o¹n CO, tam gi¸c ANP cã vu«ng t¹i N kh«ng? NÕu tam gi¸c ANP vu«ng khi ®ã ®iÓm N n»m ë vÞ trÝ nµo? Gi¶i: Chän hÖ trôc to¹ ®é vu«ng gãc Oxy sao cho: O trïng víi t©m O cña ®−êng trßn, trôc Ox trïng víi tia OB, trôc Oy trïng víi tia OC. §Æt CN= OM = l (0≤ l≤ a). Ta cã täa ®é c¸c ®iÓm: O(0, 0); B(a, 0); C(, a); A(-a, 0); N(0, a-l); M(0, -1). HÖ sè gãc m cña ®−êng th¼ng AN lµ: y y a lN Am x x aN A − − = = − Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AM: 1 0x y lx ay al a l+ = ⇔ + + =− − ( 1)a y x l − + ⇒ = To¹ ®é giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng AM vµ ®−êng trßn t©m O lµ nghiÖm cña hÖ: 2 2 2 0 (1) (2) lx ay al x y a    + + = + = Rót x tõ (1) thay vµo (2) ta cã: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 2 ) 0 ( ) 2 0 0 ( ) 2 0 2 a y l a y yl ly a y al l a l y a ly y y a l y a l a ly a l               + + + − + = ⇔ + − = ⇔ + + = = ⇔ + + = ⇒ = − + + Víi y= 0 ta cã: x= -a ®ã chÝnh lµ to¹ ®é cña ®iÓm A(-a, 0). + Víi yP= 2 2 2 2a l a y − + ta thay vµo (1) ®−îc: xP= 2 2 2 2 ( )a a l a l − + . HÖ sè gãc cña ®−êng th¼ng NP lµ: k 2 2 2 2 2 ( )( 2 ) ( ) y y a l a l a lN P x x a l aN P − − + + = = − − . 42 42 A B C A1 O x y z B2 C2 a a b B1 A2 Tam gi¸c ANP vu«ng t¹i N ⇔ AN ⊥ NP ⇔ k. m = -1 1k m − ⇔ = VËy AN ⊥ NP ⇔ 2 2 2 2 2 ( )( 2 ) ( ) a l a l a l a a l a a l − + + = − − − ⇔ 2 2( ) . 0a l l− = . ⇔ 0l l a    = = Do ®ã: Tam gi¸c ANP vu«ng t¹i N khi N ≡ C hoÆc N ≡O, c¸c tr−êng hîp kh¸c tam gi¸c ANP kh«ng vu«ng t¹i N. Bµi 17. Cho tam gi¸c ®Òu ABC c¹nh b»ng a. VÏ hai tia Aa, Bb cïng chiÒu vµ cïng vu«ng gãc víi (ABC). Gäi 1A , 1B lµ 2 ®iÓm di ®éng trªn Aa, Bb sao cho: A 1A + B 1B = l. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña 1A , 1B sao cho △ 1A 1B C cã diÖn tÝch nhá nhÊt. Gi¶i: Ta vÏ h×nh l¨ng trô tam gi¸c ®Òu ABC.A2B2C2. Gäi O, O2 lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña CB vµ C2B2. Khi ®ã: OO2, OA, BC vu«ng gãc víi nhau tõng ®«i mét. Ta chän hÖ trôc to¹ ®é Oxyz nh− h×nh vÏ: §Æt BB1 =t ⇒ AA1= l- t ; (0 t l≤ ≤ ). Ta cã: C( , 2 a − 0, 0); B1(a, 0, t); A1(0, 3 2 a , l- t ); 1 (CB a= 
, 0, t); 1 3( , , )2 2 a aCA l t= − 
. Ta cã: 1 1 1 1 1 ,2S CB CAABC     = 

△ . Mµ : 1 1 0 0 , , ,3 3 22 2 2 t at a CB CA aa a al tl t              = − − 

. =( 3 ,2 a t− 32 a t la− , 2 3 2 a ) 43 43 x+ y =2 x+ y= -2 x y O (C) -2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 1 1 3 9 3 , 34 4 4 a t a t aCB CA a tl l a    ⇒ = + − + + 

= 2 2 2 2 2 4 33 3 4a t a lt a l a− + + 1 1 2 2 2 2 2 41 33 32 4S a t a lt a l aABC⇒ = − + +△ Ta t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm f(t) = 2 2 2 2 2 4 33 3 4a t a lt a l a− + + . ⇒ f(t) = 2 2 2 2 4 1 33 ( )2 4 4 l a t a l a− + + . Ta thÊy f(t) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi t = 2 l . VËy A1( 3(0, , )2 2 a l ; B1(a, 0, 2 l ). Bµi 18. BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña hÖ: 2 2 2 log ( ) 12( 1) ( ) 4 x y m x y     + = + + = (II) Gi¶i: §k: 10 2( 1) 1 1 2m m< + ≠ ⇔ − < ≠ − (II) 2 2 2 2( 1) (1) ( ) 4 (2) x y m x y    + = + ⇔ + = Gäi X1 vµ X2 lÇn l−ît lµ tËp nghiÖm cña (1) vµ (2). Ta cã: + X1 lµ tËp c¸c ®iÓm ë trªn ®−êng trßn (C) t©m O(0, 0) vµ b¸n kÝnh R= 2( 1)m + . + X2 lµ tËp c¸c ®iÓm trªn ®−êng th¼ng (d1): x+ y =2 vµ (d2): x+ y= - 2. + Do tÝnh ®èi xøng nªn: d(O, d1)= d(O, d2)= 2 . • d1 vµ d2 kh«ng cïng c¾t (C) khi: R < 2 ⇔ 2( 1)m + < 2 ⇒ m < 0. ⇒ HÖ ®m cho v« nghiÖm. 44 44 A O'' O' H a x y P I • d1 vµ d2 cïng lµ tiÕp tuyÕn cña (C) khi: R = 2 ⇔ 2( 1)m + = 2 ⇒ m= 0⇒ HÖ cã hai nghiÖm ph©n biÖt. • d1 vµ d2 cïng c¾t (C) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt. ⇔ R > 2 ⇔ 2( 1)m + > 2 ⇒ m > 0 ⇒ HÖ cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. VËy: + Víi m < 0 hÖ v« nghiÖm. + víi m = 0 hÖ cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. + Víi m > 0 hÖ cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. Bµi 19. Cho 1 ®iÓm A cè ®Þnh trªn ®−êng th¼ng a cho tr−íc, 1 ®−êng trßn t©m O’ b¸n kÝnh r cho tr−íc. Hmy dùng 1 ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi ®−êng trßn t©m O’ vµ tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng a t¹i A. Gi¶i: + C¸ch dùng: Chän hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng nh− sau: Trôc Ax ≡ a, trôc Ay lµ ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi a t¹i A. - LÊy ®iÓm I(0, -r). - Nèi IO’. - Dùng ®−êng trung trùc (d) cña O’I. - O”= (d) ∩ Ay . - §−êng trßn t©m O”, b¸n kÝnh R lµ ®−êng trßn cÇn dùng. + Chøng minh: Theo c¸ch dùng trªn ta cã: - (O”, R) tiÕp xóc víi Ax t¹i A - O”I= O’’O’ =O”A+ AI= R+r ⇒ (O”) tiÕp xóc (O’) + BiÖn luËn: - Víi ®iÓm I’(0, r) víi c¸ch dùng t−¬ng tù ta sÏ cã thªm mét nghiÖm h×nh. VËy bµi to¸n lu«n cã 2 nghiÖm h×nh. 45 45 Bµi 20. Cho x, y, z lµ 3 sè d−¬ng tho¶ mmn: x+ y+ z ≤ 1. Chøng minh r»ng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z x y z + + + + + ≥ . Gi¶i: Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy ®Æt: 1( , )u x x = 
; 1( , )v y y =
; 1( , )w z z = 
. 1 1 1( , )u v w x y z x y z ⇒ + + = + + + + 


2 2( )1 1 1( )u v w x y z x y z +⇒ + + = + + + + 


. Ta cã: 2 2 1 u x x = + 
; 2 2 1 v y y = +
; 2 2 1 w z z = + 
. 2 2 2 2 2 2 1 1 1 u v w x y z x y z ⇒ + + = + + + + + 


. Do wu v w u v+ + ≤ + + 





nªn: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1( ) ( )x y z x y z x y z x y z + + + + + ≥ + + + + + (1) Mµ: 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1( ) 81( ) 80( )x y z x y z x y z x y z x y z             + + + + + = + + + + + − + + ≥ 2.9(x+ y+ z). 1 1 1 x y z       + + - 80(x+ y+ z)2.(2) Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki ta cã: (x+ y+ z). 1 1 1 x y z       + + 2 1 1 1( . . . )x y z x y z ≥ + + = 9. (3) Tõ (2) vµ (3) ⇒ 2 2 1 1 1( ) 2.9.9 80x y z x y z       + + + + + ≥ − =82. KÕt hîp víi (1) ⇒ 2 2 22 2 2 1 1 1 82x y z x y z + + + + + ≥ . DÊu “=” x¶y ra khi: x= y= z= 1 3 . 46 46 A B C D VËy 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z x y z + + + + + ≥ (®pcm). Bµi 21. Cho tø diÖn ABCD. T×m ®iÓm M trong kh«ng gian sao cho: 2 2 2 2MA MB MC MD+ + + ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Gi¶i: Gi¶ sö trong hÖ to¹ ®é Oxyz ta cã: A(a1, a2, a3); B(b1, b2, b3); C(c1, c2, c3); D(d1, d2, d3) vµ M(x, y, z). Ta ®Æt h = 2 2 2 2MA MB MC MD+ + + 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h x a y a z a x b y b z b⇔ = − + − + − + − + − + − + 2 2 1 2( ) ( )x c y c+ − + − 23( )z c+ − 2 2 21 1 3( ) ( ) ( )x d y d z d+ − + − + − 2 2 1 1 1 1 2 2 2 24 2( ) 4 2( )h x a b c d x y a b c d y⇔ = − + + + + − + + + 24z+ 3 3 3 32( )a b c d z− + + + + 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3a a a b b b+ + + + + + 21c + 2 2 2 2 2 2 3 1 2 3c c d d d+ + + + 22 2 3 3 3 31 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 a b c da b c d a b c dh x y z                + + ++ + + + + + ⇒ = − + − + − 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3( ) ( ) ( ) 1 16 a b c d a b c d a b c d  + + + + + + + + + + + − + 2 2 2 1 2 3( 1 4 a a a ++ + 2 2 2 1 2 3b b b+ + + 2 1c 2 2 2 2 2 2 3 1 2 3 )c c d d d+ + + + + Ta có: 116 2 1 1 1 1( )a b c d+ + + 2 2 2 21 1 1 1( ) 1 4 a b c d+≤ + + ; 2 2 2 2 2( ) 1 16 a b c d+ + + 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 1 4 a b c d+≤ + + ; 2 3 3 3 3( ) 1 16 a b c d+ + + 2 2 2 2 3 3 3 3( ) 1 4 a b c d+≤ + + ; ⇒ 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3( ) ( ) ( ) 1 16 a b c d a b c d a b c d  + + + + + + + + + + + − + 2 2 1 2( 1 4 a a ++ 2 3a + 2 2 2 1 2 3b b b+ + + 2 1c 2 2 2 2 2 2 3 1 2 3 )c c d d d+ + + + + ≥ 0. 47 47 x y z O A B C N a b c Vậy h nhá nhÊt ⇔ 4 h nhá nhÊt ⇔ 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 a b c d x a b c dy a b c d z          + + + = + + + = + + + = ⇔ M lµ träng t©m tø diÖn ABCD. Bµi 22. Cho gãc tam diÖn vu«ng Oxyz. §iÓm N cè ®Þnh n»m trong gãc tam diÖn, mÆt ph¼ng (P) qua N c¾t Ox, Oy, Oz t¹i A, B, C. Gäi kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn c¸c mÆt ph¼ng (OBC), (OCA), (OAB) lµ a, b, c. 1. TÝnh OA, OB, OC ®Ó thÓ tÝch tø diÖn OABC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 2. TÝnh OA, OB, OC ®Ó OA + OB + OC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Gi¶i: Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxyz, theo gi¶ thiÕt ta cã: N(a, b, c ). Khi ®ã: ph−¬ng tr×nh (P) qua N cã d¹ng: (P): m(x- a) + n(y- b) + k(z- c) = 0 (víi m, n, k > 0). Theo gi¶ thiÕt giao ®iÓm cña (P) víi Ox, Oy, Oz lÇn l−ît lµ: A, B, C. Ta cã: A( ma nb kc m + + , 0, 0) ⇒ ma nb kc m + + ; B(0, ma nb kc n + + , 0) ⇒ ma nb kc n + + ; C(0, 0, ma nb kc k + + ) ⇒ ma nb kc k + + . 1. Ta cã: VOABC= 1 . .6 OAOB OC = 31 ( ) 6 . . ma nb kc m n k + + . Theo bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã: 3 3( ) 3 . . . . . 3 . . . . . . ma nb kc m a n b k c a b c m n k m n k≥ = + + . ⇒ 31 ( ) 6 . . ma nb kc m n k + + 27 9 . . . .6 2a b c a b c≥ = . 48 48 VËy Min VOABC = 9 . .2 a b c khi m.a= n.b= k.c, khi ®ã: OA= ma nb kc m + + = 3a; OB= ma nb kc n + + = 3b; OC= ma nb kc k + + = 3c. 2. Theo bµi ra ta cã: OA+ OB+ OC= ma nb kc m + + + ma nb kc n + + + ma nb kc k + + = a+b+c+ nb ma kc ma kc nb m n m k n k                   + + + + + Theo bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã: OA+ OB+OC 2 2 2a b c ab ac bc≥ + + + + + = ( )2a b c+ + DÊu “=” x¶y ra khi: 2 2 2. . . nb ma m n kc ma b n a m c k m k kc nb n k          = = ⇒ = = = . Khi ®ã: OA= ma nb kc m + + =a+ b. a b + c. a c = a + ab ac+ , t−¬ng tù OB= b+ ba bc+ ; OC= c+ ca cb+ . VËy Min(OA+ OB + OC) = ( )2a b c+ + khi OA= a + ab ac+ ; OB= b+ ba bc+ ; OC= c+ ca cb+ . Mét sè bµi tËp tù gi¶i Bµi 1. Cho 2 ®iÓm A, B cè ®Þnh. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M sao cho: AM: BM=k víi 0 < k ≠ 0). Bµi 2. Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’. Gäi M, N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AD vµ BB’. Chøng minh MN ⊥ A’C. X¸c ®Þnh gãc gi÷a MN vµ c¹nh AB. Bµi 3. T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: m x x m m− + + > . Bµi 4 Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ: 49 49 2 2 1x y x y a    + = + ≤ Bµi 5. Tuú theo m, biÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: 2 2 2 2 2 2log (1 ) log [2(1 )]m mx m x m+ +− − = + + (11) Bµi 6. Dùng tam gi¸c ®Òu biÕt ®−êng cao lµ h. Bµi 7. Cho xy + yz + zx = 4. T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña biÓu thøc: A= 4 4 4x y z+ + Bµi 8. Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh a. Trªn c¹nh BD vµ B’A lÊy ®iÓm M, N sao cho BM= B’N= t. Gäi ,α β lÇn l−ît lµ c¸c gãc t¹o bëi MN víi c¸c ®−êng th¼ng BD vµ AB’. 1. TÝnh ®é dµi ®o¹n MN theo a vµ t. T×m t ®Ó ®é dµi MN ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 2. Chøng minh r»ng: cos2α + cos2 β = 1 2 . 3. TÝnh α vµ β khi MN ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi 9. Cho c¸c sè thùc x, y, z tho¶ mmn: x+ y- 3z = 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 2 2 2 2 2 22 4 6 14 2 2 2 3x y z x y z x y z x y z+ + − − − + + + + + − − + . Bµi 10. Cho 2 ®−êng trßn 1( )C vµ ( 2C ) vµ 1®−êng th¼ng ∆. Hmy dùng h×nh vu«ng ABCD cã 2 ®Ønh A vµ C lÇn l−ît n»m trªn 1( )C vµ 2( )C cßn 2 ®Ønh B, D n»m trªn ∆. Bµi 11 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: y = 2 2 2 22 x 2 2 x+2qx p p x q− + + − 50 50 KẾT LUẬN §Ò tµi “Một số ứng dụng của phương pháp tọa ñộ trong việc giải toán ở trường THPT” ñã giải quyết cơ bản vấn ñề ñặt ra ở ñầu. Đó là, ñề tài ñã ñưa ra ứng dụng của phương pháp tọa ñộ trong việc giải các bài toán giải phương trình, giải bất phương trình, chứng minh bất ñẳng thức hay các bài toán tìm quỹ tích, tìm cực trị, dựng hình. Thông qua ñề tài này người ñọc sẽ thấy rõ ñược ưu ñiểm của phương pháp tọa ñộ trong việc giải các bài toán: lời giải ngắn gọn, dễ hiểu hơn. Ngoµi mét sè bµi tËp cã lêi gi¶i, ®Ò tµi cßn ®−a ra mét sè bµi tËp ®Ó ng−êi ®äc tù lµm nh»m cñng cè thªm c¸c kiÕn thøc ®m nªu ë ®Ò tµi vµ ng−êi ®äc vËn dông c¸c kiÕn thøc ®ã ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n kh¸c b»ng ph−¬ng ph¸p to¹ ®é. 51 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Đậu Thế Cấp ( chủ biên), Nguyễn Hoàng Khanh, Nguyễn Lê Thống Nhất, Lương Xuân Thu, Nguyễn Tiến Việt, (2002), Tuyển chọn các phương pháp giải toán sơ cấp, NXB Giáo dục. 2. Nguyễn Minh Chương, Lê Đình Phi, Nguyễn Công Quỳ, (1965) Hình học sơ cấp, NXB Giáo dục. 3. Văn Như Cương, (2004) Hình học giải tích, NXB Đại học sư phạm. 4. Đào Văn Dũng, (2007) Ba phương pháp giải bài toán hình học không gian, NXB Giáo dục. 5. Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí, (2007), Phương pháp giải toán hình học giải tích trong không gian, NXB Hà Nội. 6. Tạp chí toán học tuổi trẻ, NXB giáo dục. 7. Trần Đình Thì, (2008), Dùng Hình học giải tích ñể giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất ñẳng thức…, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 8. Lê Mậu Thống, Lê Mậu Thảo, Trần Đức Huyên, (2005), Phân loại và phương pháp giải toán hình học 12, NXB Hà Nội. 9. VưGotxki, (1975)Sổ tay toán học sơ cấp, NXB Tiến bộ. 52 52