Một số vấn đề về hình học giả Euclide

. Ký hiệu: Q  P hay P  Q. Định nghĩa 6: Cho P là không gian vectơ con của Vnk. Đặt: Ta dễ dàng chứng minh được Q là một không gian vectơ con của Vnk và Q trực giao với P. Khi đó Q được gọi là phần bù trực giao của P. Ký hiệu: Q = P. Nhận xét 1: Từ định nghĩa ta nhận thấy có duy nhất một không gian vectơ con Q bù trực giao với không gian vectơ con P đã cho. Nhận xét 2: Nếu P  R thì R  P. Tính chất Mọi không gian vectơ con dương của Vnk đều là không gian vectơ giả Euclide. Thật vậy: Gọi P là không gian vectơ con dương của Vnk. Vì trên P ánh xạ * thỏa các tiên đề (E1*), (E2*), (E3*) của không gian vectơ giả Euclide nên nó cũng thỏa các tiên đề (E1), (E2), (E3) của không gian vectơ Euclide. Mặt khác, do P dương nên: P thì và . Do đó trên P ánh xạ * thỏa tiên đề (E4) của không gian vectơ Euclide. Vậy P là một không gian vectơ Euclide. Suy ra P là một không gian vectơ giả Euclide. Nhận xét: Nếu P dương thì P thỏa tất cả các tính chất của không gian vectơ Euclide. Mọi không gian vectơ con âm của Vnk đều là không gian vectơ giả Euclide. Thật vậy: Gọi P là không gian vectơ con âm của Vnk. Khi đó trên P ánh xạ * thỏa các tiên đề (E1*), (E2*), (E3*) của không gian vectơ giả Euclide. Do đó ta sẽ chứng minh * thỏa tiên đề (E4*) của không gian vectơ giả Euclide. Gọi m là số chiều của P và là một cơ sở tùy ý của P. Vì P âm nên P, thì . Đặt: . Đặt: Dễ thấy do là hệ độc lập tuyến tính. Ta kiểm tra bằng quy nạp rằng trực giao với các vectơ , , ..., . Thấy: Giả sử mệnh đề trên đúng tới h-1, ta chứng minh rằng mệnh đề trên cũng đúng với h. Với 1 ≤ i ≤ h - 1, ta có: Nhưng theo giả thiết quy nạp thì nên hệ thức trên trở thành: Vậy là một cơ sở trực giao của P thỏa . Do đó trên P ánh xạ * thỏa tiên đề (E4*) của không gian vectơ giả Euclide. Suy ra P là một không gian vectơ giả Euclide chỉ số 0. Nếu P là không gian vectơ con âm của Vnk thì P thỏa bất đẳng thức Schwarz: , ,P. Chứng minh: Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu hoặc thì hiển nhiên bất đẳng thức được thỏa. Trường hợp 2: Nếu và thì: - Nếu phụ thuộc tuyến tính thì p0 sao cho: Khi đó: - Nếu độc lập tuyến tính thì : Khi đó do P âm nên: Chọn , ta có: (Vì ) Vậy trong cả hai trường hợp ta luôn có: , ,P. Nhận xét: Bất đẳng thức Schwartz vẫn đúng cho trường hợp P là không gian vectơ con không dương hoặc không âm. Ta có thể chứng minh điều này dựa vào câu a của định lý bên dưới và cách chứng minh bất đẳng thức Schwartz dành cho không gian vectơ con âm ở trên. Số chiều lớn nhất có thể có của một không gian vectơ con dương của Vnk là k. Thật vậy: Gọi P là không gian vectơ con dương của Vnk. Giả sử dimP > k. Gọi Vn-k là không gian vectơ con sinh bởi (n – k) vectơ độc lập tuyến tính , , ..., nói trong tiên đề (E4*). Khi đó dễ thấy Vn-k là không gian vectơ con âm của Vnk. Mà dimP + dimVn-k > n nên PVn-k là không gian vectơ con khác không của Vnk. (1) Mặt khác P dương và Vn-k âm nên PVn-k = . (2) Từ (1) và (2) suy ra vô lý. Vậy ta có số chiều lớn nhất có thể có của P là k. Số chiều lớn nhất có thể có của một không gian vectơ con âm của Vnk là n-k. (Chứng minh tương tự tính chất 1.3.2.4.) trực giao với mọi không gian vectơ con của Vnk. (Tính chất này dễ thấy) Nếu P  Q thì PQ là không gian vectơ con đẳng hướng của Vnk hoặc không gian không. Thật vậy:  PQ thì do P  Q nên ta có: Suy ra là vectơ đẳng hướng hoặc vectơ không. Do đó ta có điều cần chứng minh. (P) = P và dimP + dim P = n. (Tính chất này ta công nhận, không chứng minh) Cho P, Q là các không gian vectơ con của Vnk. Khi đó: (PQ) = P + Q và (P + Q) = PQ Nếu P  Q thì P  Q (Tính chất này ta dễ dàng chứng minh) PP = và PP = Vnk khi và chỉ khi P không suy biến. * Chứng minh: (): Cho P là không gian vectơ con của Vnk thỏa mãn PP = và PP = Vnk. Khi đó, nếu có P và , P thì suy ra: P.  PP = Do đó P không suy biến. (): Cho P là không gian vectơ con không suy biến của Vnk. Khi đó, với PP thì do P nên , P. Vì P không suy biến nên suy ra: Vậy PP = Mặt khác: dimP + dim P = n (theo tính chất 1.3.2.8.) và PP  Vnk. Do đó PP = Vnk. Nếu P là không gian con của Vnk thì P không suy biến. Thật vậy: Vì P là không gian con của Vnk nên P là một không gian vectơ giả Euclide. Xét P và , P thì theo nhận xét ở mục 1.2.6 (phần Ý nghĩa của tọa độ trực chuẩn) cho không gian vectơ giả Euclide ta suy ra: Do đó P không suy biến. Nếu P là không gian con của Vnk thì P không suy biến. Thật vậy: Vì P là không gian con của Vnk nên P không suy biến (theo tính chất 1.3.2.11.). Do đó theo tính chất 1.3.2.10 ta có: PP = và PP = Vnk Mặt khác theo tính chất 1.3.2.8 thì: (P) = P Suy ra: (P) P = và (P) P = Vnk Từ đó ta có P không suy biến. Định lý (Sự phân tích các không gian vectơ con) Mọi không gian vectơ con P của Vnk đều có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp P = P0P1, trong đó P0 là không gian vectơ con đẳng hướng, P1 là không gian vectơ con không suy biến và P0  P1 (trường hợp P không suy biến thì ta xem P0 = , trường hợp P đẳng hướng thì ta xem P1 = ). Mọi không gian vectơ con không suy biến P của Vnk đều có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp P = P+P- , trong đó P+ là không gian vectơ con dương, P- là không gian vectơ con âm và P+  P- (trường hợp P dương (hoặc âm) thì ta xem P- = (hoặc P+ = )). Chứng minh: a) Đặt P0 = PP. Khi đó P0 là không gian vectơ con đẳng hướng. Vì P0 là không gian vectơ con của Vnk nên tồn tại không gian vectơ con N của Vnk sao cho: P0N = Vnk Vì vậy: P0(NP) = P Đặt P1 = NP. Suy ra: P1  P0 (Vì P0  P và P1 P) Ta sẽ chứng minh P1 không suy biến. Xét vectơ P1 sao cho , P1 Nhận thấy: , P0 (Do P1  P0) Vì P0P1 = P nên ta suy ra: , P Do đó : P  NPP = P0 P1 = Nên: Vậy P1 không suy biến và ta có điều phải chứng minh. b) Gọi P+ là không gian vectơ con dương có số chiều lớn nhất của P. Khi đó P+ không suy biến và P+(P+) = Vnk. Vì vậy: P+(P(P+)) = P Đặt P- = P(P+). Suy ra: P+  P- và P+P- = P Ta sẽ chứng minh P- âm. Giả sử tồn tại P- , sao cho . Khi đó P+ thì: và dương (trái điều kiện P+ là không gian con dương có số chiều lớn nhất của P) Vậy P- không dương. Do đó ta có bất đẳng thức Schwarz: , ,P- . Ta xét vectơ P- sao cho Khi đó, P- ta luôn có: Suy ra: , P- Mặt khác ta có: , P+ (Vì P+  P-) Do P+P- = P nên ta suy ra: , P Vì P không suy biến nên ta được: Vậy P- âm và ta có điều phải chứng minh. Hệ quả 1: Mọi không gian vectơ con P của Vnk đều có thể biểu diễn được dưới dạng P = P+P-P0, trong đó P+ là không gian vectơ con dương, P- là không gian vectơ con âm và P0 là không gian vectơ con đẳng hướng. Hệ quả 2: Mọi không gian vectơ con không suy biến P của Vnk đều là không gian vectơ giả Euclide. Từ đó P là không gian con của Vnk khi và chỉ khi P không suy biến. Hệ quả 3: Nếu P là không gian con của Vnk thì P cũng là không gian con của Vnk. Từ đó, nếu P  Q và P (hoặc Q) là không gian con của Vnk thì P  Q = . Định lý Cho P, Q là các không gian con của Vnk. Khi đó, điều kiện cần và đủ để P  Q là trong P tìm được cơ sở trực chuẩn và trong Q tìm được cơ sở trực chuẩn sao cho là hệ trực chuẩn của Vnk. Chứng minh: (): Vì P  Q và P, Q là các không gian con của Vnk nên P  Q = . Do đó, nếu ta lấy lần lượt trong P và Q các cơ sở trực chuẩn và thì hệ sẽ là hệ trực chuẩn trong Vnk. (): Nếu trong Vnk có một hệ trực chuẩn sao cho , lần lượt là cơ sở trực chuẩn của P và Q thì với  P,  Q, ta có: , Vậy . Do đó P  Q. 1.4. PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH LIÊN HỢP Dạng song tuyến tính Định nghĩa Cho không gian vectơ V trên trường số thực R. Khi đó ánh xạ: được gọi là một dạng song tuyến tính nếu thì: (i) (ii) Biểu thức tọa độ Trong Vn cho cơ sở và S là một dạng song tuyến tính. Đặt . Với ,Vn thì , có dạng: , Khi đó: (1) Gọi , lần lượt là ma trận cột tọa độ của , và thì từ (1) ta có: (2) Dạng (2) được gọi là dạng ma trận của dạng song tuyến tính S. Ma trận C được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính S đối với cơ sở . Sự liên hệ giữa dạng song tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính trong không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k Liên hệ giữa dạng song tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính Cho phép biến đổi tuyến tính . Xét ánh xạ Dễ dàng nhận thấy S là một dạng song tuyến tính và S xác định duy nhất (do tính duy nhất của và tích vô hướng xác định trên Vnk). Giả sử là một cơ sở trực chuẩn trong Vnk, A là ma trận của phép biến đổi tuyến tính đối với cơ sở trực chuẩn đó. Ta tìm ma trận C của dạng song tuyến tính liên hợp S đối với cơ sở trực chuẩn . Ta có: . Mà Vnk nên: , với Suy ra: , với j ≤ k. , với j > k. Vậy: Nếu có một phép biến đổi tuyến tính của Vnk thì xác định duy nhất một dạng song tuyến tính S sao cho , ,Vnk. Khi đó nếu có ma trận đối với một cơ sở trực chuẩn đã chọn thì S có ma trận thỏa , với j ≤ k, và , với j > k. Ngược lại, cho một dạng song tuyến tính S trong Vnk thì tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính sao cho . Thật vậy: Giả sử là một cơ sở trực chuẩn trong Vnk. Gọi là ma trận của S đối với cơ sở trực chuẩn đó. Xét phép biến đổi tuyến tính sao cho có ma trận đối với cơ sở là thỏa mãn , với i ≤ k, và , với i > k. Dễ dàng thấy rằng: . Ta sẽ chứng minh là duy nhất Thật vậy: Giả sử tồn tại phép biến đổi tuyến tính sao cho Khi đó: Nên: , Vnk. Theo nhận xét ở mục 1.2.6, ta suy ra: hay , Vnk. Vậy hay là duy nhất. Do trên nên ta có định lý: Định lý: Công thức thiết lập trong Vnk một sự tương ứng 1 – 1 giữa các dạng song tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính. Có thể xác định sự liên hệ giữa dạng song tuyến tính với phép biến đổi tuyến tính theo một cách khác như sau: Cho phép biến đổi tuyến tính và dạng song tuyến tính tương ứng. Ta xác định phép biến đổi tuyến tính bởi điều kiện: (3) Thật vậy: Giả sử là một cơ sở trực chuẩn trong Vnk. Đặt: , trong đó dmi là các số cần xác định. Ta có: Nên: , với i ≤ k. , với i > k. Đặt . Suy ra: Đặt: n – k dòng k dòng Ta nhận thấy: và Vậy: nếu là phép biến đổi tuyến tính của Vnk thỏa mãn điều kiện (3) thì ma trận D của thỏa mãn . Do đó là duy nhất. Kết luận: Cho một phép biến đổi tuyến tính thì tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn và ngược lại. Định nghĩa Cho phép biến đổi tuyến tính . Khi đó phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn , ,Vnk được gọi là phép biến đổi tuyến tính liên hợp của . Tính chất Thật vậy: Gọi A, A’, A” lần lượt là ma trận của , và đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn thì theo trên ta có: Suy ra: , trong đó id là ánh xạ đồng nhất từ . Thật vậy: Ánh xạ đồng nhất id có ma trận đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn là I thỏa Thật vậy: Gọi A, B lần lượt là ma trận của , đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn. Khi đó A + B là ma trận của đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn. Nhận thấy: Ma trận của là: Ma trận của là: Mà: Nên ta suy ra: Thật vậy: Mặt khác: Suy ra: Do đó theo nhận xét ở bài 2 ta có: Vậy: Thật vậy: Mặt khác: Suy ra: Do đó: Vậy: . 1.5. PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO Định nghĩa Đẳng cấu tuyến tính được gọi là đẳng cấu trực giao nếu với ,Vnk, ta có: , tức là bảo toàn tích vô hướng. Khi đó ta nói rằng Vnk đẳng cấu với V’nl. Ký hiệu: Vnk  V’nl. Tính chất của đẳng cấu trực giao Định lý: Hai không gian vectơ giả Euclide đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng số chiều và cùng chỉ số k. Chứng minh: (): Cho hai không gian vectơ giả Euclide Vnk và V’ml. Nếu Vnk  V’ml thì n = m và tồn tại một đẳng cấu tuyến tính sao cho , ,  Vnk. Gọi là cơ sở trực chuẩn của Vnk. Khi đó: , với i ≤ k, , với j > k, và , với i  j. Vì là đẳng cấu nên là một cơ sở của V’nl. Mặt khác: , ,  Vnk nên: , với i ≤ k. (1) , với j > k. , với i  j.  là cơ sở trực chuẩn của V’nl.  Trong có l vectơ sao cho , với . (2) (theo bài 2) Từ (1) và (2) suy ra k = l. (): Cho hai không gian vectơ giả Euclide Vnk và V’nk. Gọi , lần lượt là cơ sở trực chuẩn của Vnk và V’nk. Khi đó tồn tại một đẳng cấu tuyến tính sao cho: . Với ,Vnk thì: , Vậy đẳng cấu tuyến tính bảo toàn tích vô hướng nên là đẳng cấu trực giao. Do đó Vnk  V’nk. Quan hệ đẳng cấu giữa các không gian vectơ giả Euclide là một quan hệ tương đương. Thật vậy: Vnk  Vnk vì ánh xạ đồng nhất id: Vnk  Vnk là đẳng cấu tuyến tính thỏa mãn , ,  Vnk. Nếu Vnk  V’nk thì: Tồn tại đẳng cấu tuyến tính thỏa mãn , ,Vnk. Do đó tồn tại đẳng cấu tuyến tính ngược thỏa mãn , ,V’nk và , . Vậy V’nk  Vnk. Nếu Vnk  V’nk và V’nk  V’’nk thì: Tồn tại đẳng cấu tuyến tính thỏa mãn , ,Vnk. Tồn tại đẳng cấu tuyến tính thỏa , ,V’nk. Do đó tồn tại đẳng cấu tuyến tính thỏa mãn , ,Vnk. Vậy Vnk  V’’nk. Định nghĩa Đẳng cấu trực giao được gọi là phép biến đổi trực giao. Vậy phép biến đổi trực giao là phép biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng. Định lý Ánh xạ là một phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi nó bảo toàn tích vô hướng. Chứng minh: (): Hiển nhiên theo định nghĩa. (): Cho ánh xạ bảo toàn tích vô hướng của vectơ. Giả sử là một cơ sở trực chuẩn của Vnk. Khi đó: , với i ≤ k, , với j > k, và , với i  j. Đặt . Do bảo toàn tích vô hướng nên: , với i ≤ k. , với j > k. , với i  j.  là cơ sở trực chuẩn của Vnk. Vì , là các cơ sở trực chuẩn của Vnk nên tồn tại phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn: . Lấy Vnk, giả sử . Khi đó, theo ý nghĩa của tọa độ trực chuẩn ta có: , với i ≤ k. , với j > k. (1) Mặt khác do và là phép biến đổi tuyến tính nên: (2) Từ (1) và (2) suy ra: , Vnk hay . Vậy là phép biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng nên là phép biến đổi trực giao. Định lý Ánh xạ tuyến tính là một phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi nó biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn. Chứng minh: (): Hiển nhiên theo định nghĩa. (): Cho ánh xạ tuyến tính biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn. Gọi là một cơ sở trực chuẩn của Vnk. Khi đó: , với i≤k, , với j>k, và , với ij. Vì biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn nên ta suy ra là cơ sở trực chuẩn của Vnk. Do đó: , với i ≤ k, , với j > k, và , với i  j. Nhận thấy: với , thì: Lại có: , , Vnk, hay bảo toàn tích vô hướng. Vậy là ánh xạ tuyến tính bảo toàn tích vô hướng nên theo định lý ở trên ta suy ra là phép biến đổi trực giao. Hệ quả: Nếu , là các cơ sở trực chuẩn của Vnk thì tồn tại duy nhất một phép biến đổi trực giao sao cho . Định lý Ánh xạ tuyến tính là một phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi nó bảo toàn module của vectơ. * Chứng minh: (): Cho là phép biến đổi trực giao. Khi đó: , ,Vnk. Suy ra: , Vnk. , Vnk. Do đó bảo toàn module của vectơ. (): Cho ánh xạ tuyến tính bảo toàn module của vectơ, tức là: Vnk thì . Suy ra: , Vnk. Từ đó: ,Vnk thì ta có: (1) Mà do là ánh xạ tuyến tính nên: (2) Mặt khác: (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: Do đó bảo toàn tích vô hướng. Vậy là ánh xạ tuyến tính bảo toàn tích vô hướng nên theo định lý ở trên ta suy ra là phép biến đổi trực giao. Nhận xét Cho phép biến đổi trực giao . Khi đó ,Vnk ta có: , Vnk. , Vnk. Nên: Mặt khác: , ,Vnk. Suy ra: , Vnk. Do đó: , Vnk. Nên: Vậy: Ngược lại, nếu phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn thì ta có: , ,Vnk. Vậy là phép biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng. Do đó theo hệ quả 1 ta có là phép biến đổi trực giao. Vậy: phép biến đổi tuyến tính là phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi . Ma trận k – trực giao Trong Vnk, cho phép biến đổi trực giao . Ta lấy một cơ sở trực chuẩn và gọi A là ma trận của đối với cơ sở trực chuẩn đó. Khi đó A gọi là ma trận k – trực giao. Đặt . Khi đó ma trận của phép biến đổi tuyến tính liên hợp là thỏa: (D, Ik được xác định theo bài 4) Mà là phép biến đổi trực giao nên: Nên ta có: AD = DA = I (với I là ma trận đơn vị cấp n) Suy ra: (*) Ngược lại: Nếu trong Vnk, đối với một cơ sở trực chuẩn nào đó, ma trận A của phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn , thì là phép biến đổi trực giao (suy ra từ nhận xét ở phần trên). Nhận xét: Nếu A là ma trận k – trực giao thì detA = 1 (suy ra từ đẳng thức (*)). Định lý Phép biến đổi tuyến tính là phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi ma trận của đối với cơ sở trực chuẩn là ma trận k – trực giao. Chứng minh: (): Hiển nhiên theo định nghĩa. (): Vì A là ma trận k – trực giao nên ta suy ra: Do đó: hay Vậy là phép biến đổi trực giao. Hệ quả 1: Phương trình của phép biến đổi trực giao có dạng: , trong đó A là ma trận k – trực giao cấp n; [x], [(x)] lần lượt là ma trận cột tọa độ của vectơ , Vnk đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn. Hệ quả 2: Công thức đổi tọa độ trực chuẩn trong Vnk là , trong đó B là ma trận k – trực giao cấp n. Tính chất của phép biến đổi trực giao Tập hợp các phép biến đổi trực giao lập thành một nhóm, gọi là nhóm trực giao. Thật vậy: Vì nên phép đồng nhất id của Vnk là phép biến đổi trực giao. Vì tích của hai đẳng cấu trực giao là một đẳng cấu trực giao nên tích của hai phép biến đổi trực giao là một phép biến đổi trực giao. Vì đẳng cấu ngược của một đẳng cấu trực giao là đẳng cấu trực giao nên nghịch đảo của phép biến đổi trực giao là phép biến đổi trực giao. Do đó tập hợp các phép biến đổi trực giao lập thành một nhóm. Nếu vectơ riêng của Vnk không đẳng hướng thì giá trị riêng tương ứng với nó bằng 1 hoặc -1. Thật vậy: Giả sử là phép biến đổi trực giao có vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng và không đẳng hướng. Khi đó: . Ta có: Vì nên suy ra: Do đó: hoặc Phép biến đổi trực giao bảo toàn góc giữa hai vectơ. Thật vậy: Điều này suy ra ngay từ công thức tính góc giữa hai vectơ, tính chất bảo toàn tích vô hướng và bảo toàn độ dài vectơ của phép biến đổi trực giao. 1.6. PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG Định nghĩa Phép biến đổi tuyến tính được gọi là phép biến đổi đồng dạng nếu tồn tại số dương p sao cho: , với mọi ,Vnk. Số được gọi là hệ số đồng dạng. Nhận xét: Nếu p = 1 thì phép biến đổi đồng dạng chính là phép biến đổi trực giao. Định lý: Ánh xạ là phép biến đổi đồng dạng khi và chỉ khi tồn tại số p > 0 sao cho: , với mọi ,Vnk. Chứng minh: (): Hiển nhiên theo định nghĩa. (): Cho ánh xạ thỏa mãn: tồn tại p > 0 sao cho: , với mọi ,Vnk. (*) Giả sử là một cơ sở trực chuẩn của Vnk. Khi đó: , với m ≤ k, , với j > k, và , với m  j. Do thỏa (*) nên: , với m ≤ k. , với j > k. , với i  j.  là cơ sở trực giao của Vnk và , với m≤k, , với j>k. Đặt . Khi đó: , với m ≤ k. , với j > k. , với m  j.  là cơ sở trực chuẩn của Vnk. Vì , là các cơ sở của Vnk nên tồn tại phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn: . Lấy Vnk, giả sử . Khi đó, theo ý nghĩa của tọa độ trực chuẩn ta có: , với m≤k. , với j>k. (1) Mặt khác do và là phép biến đổi tuyến tính nên: (2) Từ (1) và (2) suy ra: , Vnk hay . Vậy là phép biến đổi tuyến tính của Vnk thỏa mãn tồn tại số dương p sao cho: , với mọi ,Vnk, nên theo định nghĩa ta suy ra là phép biến đổi đồng dạng. Hệ quả: Phép biến đổi đồng dạng biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực giao. Định lý Ánh xạ tuyến tính là phép biến đổi đồng dạng khi và chỉ khi tồn tại số p>0 sao cho: , với mọi Vnk. Chứng minh: (): Cho là phép biến đổi đồng dạng. Khi đó: tồn tại số p > 0 sao cho: , ,Vnk. Suy ra: , Vnk. , Vnk. (): Cho ánh xạ tuyến tính thỏa mãn: tồn tại số p > 0 sao cho , Vnk. Suy ra: , Vnk. Từ đó: ,Vnk thì ta có: (1) Mà do là ánh xạ tuyến tính nên: (2) Mặt khác: (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: Vậy là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn tồn tại số p > 0 sao cho: , với mọi ,Vnk, nên theo định lý ở trên ta suy ra là phép biến đổi đồng dạng. Các tính chất của phép biến đổi đồng dạng Tập hợp các phép biến đổi đồng dạng lập thành một nhóm, gọi là nhóm đồng dạng. Thật vậy: Vì phép đồng nhất id của Vnk là phép biến đổi trực giao nên id là phép biến đổi đồng dạng (theo nhận xét ở phần định nghĩa). Ta chứng minh tích của hai phép biến đổi đồng dạng là một phép biến đổi đồng dạng có hệ số bằng tích các hệ số đồng dạng. Gọi , là các phép biến đổi đồng dạng của Vnk lần lượt có hệ số đồng dạng là , . Khi đó: ,Vnk thì: Do đó phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn tồn tại số pq > 0 sao cho: , ,Vnk. Vậy theo định nghĩa ta suy ra là phép biến đổi đồng dạng hệ số . Ta chứng minh nghịch đảo của phép biến đổi đồng dạng hệ số là phép biến đổi đồng dạng hệ số . Gọi là phép biến đổi đồng dạng của Vnk có hệ số đồng dạng là . Khi đó: ,Vnk thì: , Do đó phép biến đổi tuyến tính ngược thỏa mãn tồn tại số > 0 sao cho: , ,Vnk và , . Vậy theo định nghĩa ta suy ra là phép biến đổi đồng dạng hệ số . Từ đó tập hợp các phép biến đổi đồng dạng lập thành một nhóm. Phép biến đổi đồng dạng bảo toàn góc giữa hai vectơ. Thật vậy: Điều này suy ra ngay từ công thức tính góc giữa hai vectơ và hai định lý ở trên. Mọi phép biến đổi đồng dạng đều có thể phân tích thành tích của một phép vị tự và một phép biến đổi trực giao hoặc tích của một phép biến đổi trực giao và một phép vị tự. Thật vậy: Cho là phép biến đổi đồng dạng hệ số của Vnk. Gọi là một cơ sở trực chuẩn của Vnk. Khi đó: , với m≤k, , với j>k, và , với m  j. Theo trên ta có: là cơ sở trực giao của Vnk và , với m≤k, , với j>k. Suy ra: là cơ sở trực chuẩn của Vnk. Từ đó ta có thể chứng minh tính chất này dựa vào hai sơ đồ sau: Trong đó: f, g là các phép biến đổi trực giao; là phép vị tự hệ số . Phép biến đổi tuyến tính là phép biến đổi đồng dạng khi và chỉ khi nó bảo toàn tính trực giao giữa các vectơ. Chứng minh: (): Cho là phép biến đổi đồng dạng. Khi đó: tồn tại số p > 0 sao cho: , ,Vnk. Từ đó: Nếu thì suy ra Do đó bảo toàn tính trực giao giữa các vectơ. (): Cho đẳng cấu bảo toàn tính trực giao giữa các vectơ, tức là: nếu (,Vnk) thì ta có . Gọi là một cơ sở trực chuẩn của Vnk. Khi đó: , j = và , với m≤k, , với j>k, , với m  j. Khi đó ta có: là cơ sở của Vnk và , với m  j (m,j=) (do là đẳng cấu và là một cơ sở trực chuẩn của Vnk) Nhận thấy: với m, t  k thì ta có: Suy ra: , với m, t  k. Đặt: , với m ≤ k. (1) Mặt khác: với m ≤ k và j > k thì ta có: Suy ra: , với m ≤ k và j > k. Do đó: , với j > k. (2) Từ (1) và (2) ta thấy: Nếu q = 0 thì: , j = . Suy ra: (m, j = ) Từ đó: với Vnk thì Xét: , j = . Suy ra: , j = (điều này trái với điều kiện là cơ sở của Vnk) Vậy q  0. Do đó trong Vnk, ta có cơ sở thỏa mãn và , với m  j (m, j = ) nên là cơ sở trực giao của Vnk và q>0. Từ đó: ,Vnk thì: , Suy ra: Vậy là phép biến đổi đồng dạng. Phương trình của phép biến đổi đồng dạng Định lý: Phép biến đổi tuyến tính là phép biến đổi đồng dạng hệ số khi và chỉ khi ma trận của đối với một cơ sở trực chuẩn là , trong đó A ma trận k – trực giao. Chứng minh: (): Dựa vào tính chất c ở trên, ta suy ra ma trận của đối với một cơ sở trực chuẩn là , trong đó A ma trận k – trực giao. (): Gọi , lần lượt là ma trận cột tọa độ của vectơ , Vnk đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn. Khi đó ta có: (1) Vì A là ma trận k – trực giao nên ta suy ra: Do đó: Nên: Suy ra: Hay: (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: , Vnk. Vậy là phép biến đổi tuyến tính của Vnk thỏa mãn tồn tại số p > 0 sao cho: , với mọi Vnk, nên theo định lý ở trên ta suy ra là phép biến đổi đồng dạng. Vậy: Phương trình của phép biến đổi đồng dạng hệ số là , trong đó A là ma trận k – trực giao cấp n; [x], [(x)] lần lượt là ma trận cột tọa độ của vectơ , Vnk đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn. CHƯƠNG II : KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE 2.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa Không gian afin thực An có nền là một không gian vectơ giả Euclide Vnk được gọi là một không gian giả Euclide n chiều chỉ số k. Ký hiệu: Enk. Không gian nền (không gian liên kết) của Enk ta ký hiệu là . Ta cũng gọi tích vô hướng trên Vnk là tích vô hướng của Enk. Nhận xét: Không gian giả Euclide có tất cả các tính chất của không gian afin. Mục tiêu trực chuẩn Mục tiêu afin của Enk thỏa mãn là một cơ sở trực chuẩn của Vnk (tức là , với i ≤ k, , với j > k, và , với i  j) được gọi là một mục tiêu trực chuẩn của Enk. O được gọi là gốc mục tiêu (gốc tọa độ); được gọi là vectơ đơn vị thứ i, . Tọa độ trực chuẩn Tọa độ afin của điểm X đối với mục tiêu trực chuẩn được gọi là tọa độ trực chuẩn, tức là: XEnk, XEnk Công thức đổi tọa độ trực chuẩn Trong Enk cho hai mục tiêu trực chuẩn và . Giả sử XEnk. Khi đó: Tương tự như công thức đổi tọa độ afin, ta có công thức đổi tọa độ trực chuẩn có dạng: (1) (2) Trong đó: A là ma trận chuyển cơ sở từ sang (cũng là ma trận chuyển mục tiêu từ sang ). [x], [x’] lần lượt là ma trận cột tọa độ của điểm XEnk đối với mục tiêu , . [a] là ma trận cột tọa độ của điểm O’ đối với mục tiêu . [a’] là ma trận cột tọa độ của điểm O đối với mục tiêu . Vì , là các cơ sở trực chuẩn của Vnk nên A là ma trận k – trực giao (tức là và ). Do đó , cũng là các ma trận k – trực giao. Ngược lại: mọi công thức dạng , trong đó B là ma trận k – trực giao, đều là công thức đổi tọa độ trong Enk. Khoảng cách giữa hai điểm Định nghĩa Khoảng cách giữa hai điểm M, N của Enk hay còn gọi là độ dài đoạn thẳng MN là module của vectơ . Ký hiệu: d(M,N). * Nhận xét: d(M,N) = d(N,M). Biểu thức tọa độ Cho và . Khi đó: , nếu . , nếu . 2.2. CÁC PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE Định nghĩa m – phẳng giả Euclide chỉ số p Giả sử cho Enk là không gian giả Euclide n chiều chỉ số k với nền là không gian vectơ Vnk. Vì Enk là không gian afin nên ta có thể nói về các phẳng của nó. Giả sử Amp là m – phẳng của Enk có phương là Vmp, trong đó Vmp là không gian con của Vnk (tức là Vmp là không gian vectơ con không suy biến của Vnk). Khi đó, do Vmp cũng là một không gian vectơ giả Euclide nên Amp là một không gian giả Euclide con của Enk. Vì vậy, ta gọi Amp là m – phẳng giả Euclide chỉ số p. Nhận xét: Không phải mọi m – phẳng của Enk đều là m – phẳng giả Euclide. Ví dụ: Các đường thẳng đẳng hướng không phải là m – phẳng giả Euclide. Như vậy, các phẳng trong không gian giả Euclide có các vị trí tương đối đã xác định như trong không gian afin. Sau đây, ta sẽ xét thêm một vài vị trí tương đối của các phẳng mà trong không gian afin chưa định nghĩa. Hai phẳng trực giao Định nghĩa 1: Hai cái phẳng P và Q của Enk được gọi là trực giao nếu phương của chúng trực giao với nhau. Ký hiệu: Q  P hay P  Q. Vậy: P  Q Định nghĩa 2: Hai phẳng P và Q của Enk được gọi là bù trực giao với nhau nếu phương của chúng bù trực giao với nhau. Vậy: hai phẳng P và Q bù trực giao với nhau Tính chất Nếu hai phẳng P và Q bù trực giao với nhau thì dimP + dimQ = n. Thật vậy: Vì P và Q bù trực giao với nhau nên . Suy ra: Do đó: dimP + dimQ = = n Nếu hai phẳng giả Euclide P và Q trực giao với nhau thì chúng có không quá một điểm chung. Thật vậy: Vì P và Q là hai phẳng giả Euclide trực giao với nhau nên Từ đó: nếu M, N  PQ thì Suy ra: hay M  N. Nếu P là cái phẳng giả Euclide và phẳng Q bù trực giao với P thì Q cũng là cái phẳng giả Euclide. Thật vậy: Vì P là cái phẳng giả Euclide nên là không gian vectơ con không suy biến của . Do đó cũng là không gian vectơ con không suy biến của . Suy ra Q là cái phẳng giả Euclide. Nếu hai phẳng giả Euclide P và Q bù trực giao với nhau thì chúng có một điểm chung. Thật vậy: Vì P và Q là hai phẳng giả Euclide bù trực giao với nhau nên chúng có không quá một điểm chung và Theo tính chất a ta có: dimP + dimQ = n Giả sử PQ = . Khi đó: dim(P + Q) = dimP + dimQ - + 1 = n – 0 + 1 = n + 1 > n Điều này vô lý vì (P+Q)  Enk Vậy P và Q có một điểm chung duy nhất. Nếu phẳng P trực giao với phẳng Q và phẳng S bù trực giao với phẳng Q thì P và S cùng phương. Thật vậy: Vì P trực giao với Q nên Vì S bù trực giao với Q nên Suy ra: hay P và S cùng phương. Hai phẳng phân biệt cùng bù trực giao với một cái phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau và có cùng số chiều. Thật vậy: Cho P và S là hai cái phẳng phân biệt cùng bù trực giao với phẳng Q. Khi đó: theo tính chất e ta có P và S cùng phương và Mà P và S phân biệt nên chúng song song nhau và có cùng số chiều. Qua một điểm M đã cho có một và chỉ một cái phẳng bù trực giao với một cái phẳng đã cho. Thật vậy: Giả sử P và S là hai cái phẳng cùng qua điểm M và bù trực giao với phẳng Q. Theo tính chất f ta có P và S cùng phương và Mà P và S cùng qua M nên PS  . Do đó P  S hay P duy nhất. 2.3. PHÉP DỜI Định nghĩa Phép afin f : Enk  Enk được gọi là phép dời (hay còn gọi là phép biến đổi đẳng cự) nếu nền là phép biến đổi trực giao. Định lý (Sự nhận biết phép dời) Ánh xạ f : Enk  Enk là phép dời khi và chỉ khi f bảo toàn khoảng cách giữa các điểm, tức là với mọi M, N  Enk thì ta có d(f(M),f(N)) = d(M,N). Chứng minh: (): Cho ánh xạ f : Enk  Enk là một phép dời. Khi đó theo định nghĩa ta có là phép biến đổi trực giao. Suy ra bảo toàn module của vectơ. Từ đó: với mọi M, N  Enk thì: Vậy f bảo toàn khoảng cách giữa các điểm. (): Cho ánh xạ f : Enk  Enk bảo toàn khoảng cách giữa các điểm. Xét tương ứng được xác định như sau: Lấy điểm I cố định thuộc Enk. Gọi I’ = f(I). Với , IEnk thì ! MEnk sao cho: . Suy ra ! M’Enk sao cho: M’ = f(M). Mà I’Enk nên ! sao cho: Đặt . Theo cách xác định trên ta có  là một ánh xạ từ . Lấy . Khi đó, ! NEnk sao cho: . Suy ra ! N’Enk sao cho: Vì f bảo toàn khoảng cách giữa các điểm nên ta có: d(f(M),f(N)) = d(M,N)  d(M’,N’) = d(M,N)     (1) Lại có: f bảo toàn khoảng cách giữa các điểm nên: (2) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: Vậy  là ánh xạ bảo toàn tích vô hướng nên  là phép biến đổi trực giao. Mặt khác: Suy ra hay  là ánh xạ nền của f. Do đó f là ánh xạ afin có nền là một phép biến đổi trực giao. Suy ra f là phép dời. Hệ quả: Phép dời không làm thay đổi tỷ số độ dài của hai đoạn thẳng tùy ý. Định lý Phép afin f : Enk  Enk là phép dời khi và chỉ khi f biến mục tiêu trực chuẩn thành mục tiêu trực chuẩn. Chứng minh: (): Cho phép afin f : Enk  Enk là một phép dời. Khi đó theo định nghĩa ta có là phép biến đổi trực giao. Suy ra biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn. Gọi là một mục tiêu trực chuẩn của Enk. Khi đó là một cơ sở trực chuẩn của (tức là , với i≤k, , với j>k, và , với i  j). Vì biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn nên là một cơ sở trực chuẩn của . Suy ra là một mục tiêu trực chuẩn của Enk. Do đó f biến mục tiêu trực chuẩn thành mục tiêu trực chuẩn. (): Cho phép afin f : Enk  Enk biến mục tiêu trực chuẩn thành mục tiêu trực chuẩn. Gọi là một mục tiêu trực chuẩn của Enk. Khi đó cũng là một mục tiêu trực chuẩn của Enk. Do đó phép biến đổi tuyến tính nền biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn . Suy ra là phép biến đổi trực giao. Vì phép afin f có nền là phép biến đổi trực giao nên theo định nghĩa ta suy ra f là phép dời. Tính chất Tập hợp các phép dời lập thành một nhóm con của nhóm các phép biến đổi afin của Enk. Nhóm này được gọi là nhóm dời. Thật vậy: Ta luôn có: Tích của hai phép dời là một phép dời: tính chất này dễ dàng được suy ra từ định nghĩa và các tính chất: - Tích của hai phép afin là một phép afin. - Tích của hai phép biến đổi trực giao là một phép biến đổi trực giao. - Nếu  có nền là ,  có nền là thì . có nền là (Với ,  là các ánh xạ afin). Nghịch đảo của một phép dời là một phép dời: tính chất này dễ dàng được suy ra từ định nghĩa và các tính chất: - Nghịch đảo của một phép afin là một phép afin. - Nghịch đảo của một phép biến đổi trực giao là một phép biến đổi trực giao. - Nếu phép afin  có nền là thì -1 có nền là . Vậy tập hợp các phép dời lập thành một nhóm con của nhóm các phép biến đổi afin của Enk. Phép dời biến cái phẳng thành cái phẳng có cùng số chiều với nó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến siêu phẳng thành siêu phẳng. Thật vậy: Vì phép dời là một phép afin nên nó biến cái phẳng thành cái phẳng có cùng số chiều, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến siêu phẳng thành siêu phẳng. Phương trình của phép dời Định lý: Phương trình của phép dời f đối với mục tiêu trực chuẩn có dạng: , trong đó A là ma trận k – trực giao cấp n; [x], [x’], [b] lần lượt là ma trận cột tọa độ của điểm X, f(X), f(O)Enk. Ngược lại, mỗi một phương trình có dạng như trên đều là phương trình của một phép dời trong Enk đối với một mục tiêu trực chuẩn đã chọn. * Chứng minh: Định lý này được suy ra ngay từ phương trình của phép biến đổi trực giao. 2.4. PHÉP ĐỒNG DẠNG Định nghĩa Phép afin f : Enk  Enk được gọi là phép đồng dạng nếu nền là phép biến đổi đồng dạng. Khi có hệ số đồng dạng là p, ta nói rằng f có tỷ số đồng dạng là p. Nhận xét: Phép dời là phép đồng dạng tỷ số 1. Định lý (Sự nhận biết phép đồng dạng) Ánh xạ f : Enk  Enk là phép đồng dạng khi và chỉ khi tồn tại số p > 0 sao cho với mọi M, N  Enk thì ta có d(f(M),f(N)) = p.d(M,N). Chứng minh: (): Cho ánh xạ f : Enk  Enk là một phép đồng dạng. Khi đó theo định nghĩa ta có là phép biến đổi đồng dạng. Vì là phép biến đổi đồng dạng nên tồn tại số p > 0 sao cho , với mọi . Từ đó: với mọi M, N  Enk thì: (): Cho ánh xạ f : Enk  Enk thỏa mãn tồn tại số p > 0 sao cho với mọi M, N  Enk thì ta có d(f(M),f(N)) = p.d(M,N). Xét tương ứng được xác định như sau: Lấy điểm I cố định thuộc Enk. Gọi I’ = f(I). Với , IEnk thì ! MEnk sao cho: . Suy ra ! M’Enk sao cho: M’ = f(M). Mà I’Enk nên ! sao cho: Đặt . Theo cách xác định trên ta có  là một ánh xạ từ . Lấy . Khi đó, ! NEnk sao cho: . Suy ra ! N’Enk sao cho: Nhận thấy: d(f(M),f(N)) = p.d(M,N)  d(M’,N’) = p.d(M,N)     (1) Lại có: (2) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: Do đó  là phép biến đổi đồng dạng. Mặt khác: Suy ra hay  là ánh xạ nền của f. Do đó f là ánh xạ afin có nền là một phép biến đổi đồng dạng. Suy ra f là phép đồng dạng. Hệ quả: Phép đồng dạng không làm thay đổi tỷ số độ dài của hai đoạn thẳng tùy ý. Tính chất Tập hợp các phép đồng dạng lập thành một nhóm con của nhóm các phép biến đổi afin của Enk. Nhóm này được gọi là nhóm đồng dạng. Thật vậy: Ta luôn có: Tích của hai phép đồng dạng là một phép đồng dạng: tính chất này dễ dàng được suy ra từ định nghĩa và các tính chất: - Tích của hai phép afin là một phép afin. - Tích của hai phép biến đổi đồng dạng là một phép biến đổi đồng dạng. - Nếu  có nền là ,  có nền là thì . có nền là (Với ,  là các ánh xạ afin). Nghịch đảo của một phép đồng dạng là một phép đồng dạng: tính chất này dễ dàng được suy ra từ định nghĩa và các tính chất: - Nghịch đảo của một phép afin là một phép afin. - Nghịch đảo của một phép biến đổi đồng dạng là một phép biến đổi đồng dạng. - Nếu phép afin  có nền là thì -1 có nền là . Vậy tập hợp các phép đồng dạng lập thành một nhóm con của nhóm các phép biến đổi afin của Enk. Phép đồng dạng biến cái phẳng thành cái phẳng có cùng số chiều với nó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến siêu phẳng thành siêu phẳng. Thật vậy: Vì phép đồng dạng là một phép afin nên nó biến cái phẳng thành cái phẳng có cùng số chiều, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến siêu phẳng thành siêu phẳng. Phép đồng dạng f : Enk  Enk có thể được phân tích thành tích của một phép vị tự và một phép dời của Enk. Thật vậy: tính chất này dễ dàng được suy ra từ định nghĩa và các tính chất: Tích của hai phép afin là một phép afin. Phép biến đổi đồng dạng có thể phân tích thành tích của một phép vị tự và một phép biến đổi trực giao. Nếu  có nền là ,  có nền là thì . có nền là (Với ,  là các ánh xạ afin). Phép afin f : Enk  Enk là phép đồng dạng khi và chỉ khi nó bảo toàn tính trực giao của hai đường thẳng bất kỳ. Chứng minh: (): Cho phép afin f : Enk  Enk là một phép đồng dạng. Khi đó theo định nghĩa ta có là phép biến đổi đồng dạng. Vì là phép biến đổi đồng dạng nên bảo toàn tính trực giao giữa các vectơ. Do đó f bảo toàn tính trực giao hai đường thẳng bất kỳ. (): Cho phép afin f : Enk  Enk bảo toàn tính trực giao của hai đường thẳng bất kỳ. Suy ra bảo toàn tính trực giao của hai vectơ bất kỳ. Do đó là phép biến đổi đồng dạng. Suy ra f là phép đồng dạng. Phương trình của phép đồng dạng Định lý: Đối với mục tiêu trực chuẩn , phương trình của phép đồng dạng f: EnkEnk (với tỷ số đồng dạng p > 0) có dạng: , trong đó A là ma trận k – trực giao cấp n; [x], [x’], [b] lần lượt là ma trận cột tọa độ của điểm X, f(X), f(O)Enk. Ngược lại, mỗi một phương trình có dạng như trên đều là phương trình của một phép đồng dạng trong Enk đối với một mục tiêu trực chuẩn đã chọn. * Chứng minh: Định lý này được suy ra ngay từ phương trình của phép biến đổi đồng dạng. 2.5. SIÊU MẶT BẬC HAI – SIÊU CẦU TRONG KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE Siêu mặt bậc hai Định nghĩa Trong không gian giả Euclide Enk cho một mục tiêu trực chuẩn . Tập hợp tất cả các điểm XEnk có tọa độ đối với mục tiêu đã chọn thỏa mãn một phương trình bậc hai đối với xi: (1) trong đó aij, ai, a  R, các aij không đồng thời bằng 0 và aij = aji, được gọi là một siêu mặt bậc hai trong Enk. Phương trình (1) có thể được viết thành: (2) với ma trận A = [aij]. Phương trình (2) được gọi là phương trình ma trận của siêu mặt bậc hai. Định lý Phép đồng dạng biến siêu mặt bậc hai thành siêu mặt bậc hai. Chứng minh: Trong không gian giả Euclide Enk cho một mục tiêu trực chuẩn . Giả sử siêu mặt bậc hai (S) có phương trình đối với mục tiêu đã chọn là: (*), trong đó A là ma trận đối xứng. Giả sử phép đồng dạng f : Enk  Enk có phương trình đối với mục tiêu trực chuẩn đã chọn là: , trong đó B là ma trận k – trực giao cấp n; [x], [x’], [b] lần lượt là ma trận cột tọa độ của điểm X, f(X), f(O)Enk. Khi đó ta có: (**) Thay (**) vào (*) ta được: Đặt: C = B-1ABx-1 [c] = p(B-1[a]) – Bx-1AxB-1[b] c = [b]xB-1ABx-1[b] – 2p(B-1[a])x[b] + p2a Vậy ta được ảnh (S’) của siêu mặt bậc hai (S) qua phép đồng dạng f sẽ có phương trình là: Xét: Cx = (B-1ABx-1)x = B-1ABx-1 = C Do đó C là ma trận đối xứng. Suy ra (S’) là một siêu mặt bậc hai. Hệ quả: Phép dời biến siêu mặt bậc hai thành siêu mặt bậc hai. Siêu nón đẳng hướng Trong không gian giả Euclide Enk cho một điểm I cố định. Xét tập hợp tất cả các đường thẳng đẳng hướng qua I (một đường thẳng được gọi là đường thẳng đẳng hướng nếu phương của nó được sinh bởi một vectơ đẳng hướng). Giả sử trong Enk cho một mục tiêu trực chuẩn và điểm I có tọa độ đối với mục tiêu đó là . Giả sử là điểm thuộc một đường thẳng đẳng hướng nào đó qua I. Khi đó ta có là một vectơ đẳng hướng. Do đó: Mà Nên ta có: (3) Đây là một phương trình bậc hai nên tập hợp tất cả các đường thẳng đẳng hướng qua I là một siêu nón bậc hai đỉnh I. Siêu nón này được gọi là siêu nón đẳng hướng. Siêu cầu Định nghĩa Trong không gian giả Euclide Enk cho một điểm I cố định. Tập hợp tất cà các điểm M sao cho d(I,M) = R, với R là một số thực không âm hoặc số thuần ảo cho trước, được gọi là một siêu cầu tâm I bán kính R trong Enk. Phương trình của siêu cầu Giả sử trong Enk cho một mục tiêu trực chuẩn và điểm I có tọa độ đối với mục tiêu đó là . Giả sử M là điểm thuộc siêu cầu có tọa độ là . Khi đó ta có: d(I,M) = R  [d(I,M)]2 = R2 (4) (5) Phương trình (4) được gọi là phương trình của siêu cầu tâm bán kính R. Từ phương trình (5) ta nhận thấy siêu cầu cũng là một siêu mặt bậc hai. Ta nhận thấy phương trình (5) có các đặc điểm: các hệ số của xi2 (ik) đều bằng nhau, các hệ số của xj2 (j>k) đều bằng số đối của các hệ số của xi2 và vắng mặt các số hạng chữ nhật xixj (ij). Bây giờ, ta xét vấn đề ngược lại: Một phương trình có các đặc điểm trên có phải là phương trình của một siêu cầu (đối với một mục tiêu trực chuẩn đã chọn) hay không? Giả sử ta có phương trình: (6) (7) Đặt . Gọi là điểm thuộc Enk có tọa độ thỏa mãn phương trình (7). Khi đó, từ phương trình (7) ta có: [d(I,M)]2 = Do đó khoảng cách từ điểm M thỏa mãn phương trình (7) đến điểm I là một số không đổi. Vậy (7) là phương trình của một siêu cầu. Suy ra (6) là phương trình của một siêu cầu. Vậy phương trình của một siêu cầu đối với một mục tiêu trực chuẩn đã chọn có dạng: Từ phương trình (7) ta có: Nếu thì (7) xác định cho ta một siêu cầu tâm , bán kính . Nếu thì (7) xác định cho ta một siêu nón đẳng hướng đỉnh . Nếu thì (7) xác định cho ta một siêu cầu tâm , bán kính . Dạng phương trình chính tắc của siêu cầu Nếu ta chọn gốc mục tiêu trực chuẩn trùng với tâm I của siêu cầu thì phương trình của siêu cầu tâm I bán kính R là: hay (nếu R0) Đây chính là phương trình chính tắc của siêu cầu. Siêu cầu trong không gian giả Euclide E21 và E32 Trong không gian giả Euclide E21, siêu cầu còn được gọi là đường tròn. Phương trình chính tắc của nó là: Do đó: - Nếu R  0 thì đường tròn trong E21 chính là một hyperbol. - Nếu R = 0 thì đường tròn trong E21 chính là cặp đường thẳng x1 = x2 và x1 = - x2. Đây là cặp đường thẳng đẳng hướng đi qua gốc tọa độ. Trong không gian giả Euclide E32, siêu cầu còn được gọi là mặt cầu. Phương trình chính tắc của nó là: Do đó: - Nếu R > 0 thì mặt cầu trong E32 chính là một hyperboloid một tầng. - Nếu R = 0 thì mặt cầu trong E32 chính là một mặt nón đẳng hướng. - Nếu R là số thuần ảo thì mặt cầu trong E32 chính là một hyperboloid hai tầng. 2.6. MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE Xây dựng mô hình Trong không gian xạ ảnh thực Pn, ta chọn một siêu phẳng Pn-1 làm siêu phẳng vô tận và gọi An là không gian afin tương ứng. Ta làm cho An trở thành một không gian giả Eclide n chiều chỉ số k Enk bằng cách xác định một tích vô hướng thỏa mãn các tiên đề (E1*), (E2*), (E3*), (E4*). Vậy ta được một mô hình Enk, gọi là mô hình xạ ảnh của không gian giả Euclide. Bây giờ, ta chọn trong không gian Enk một mục tiêu trực chuẩn , tức là (ik), (j>k) và (ij). Ta gọi là mục tiêu xạ ảnh sinh ra mục tiêu . Điều đó có nghĩa là Ai là giao điểm của đường thẳng An+1Ei với siêu phẳng Pn-1, , còn E là điểm thỏa , tức là E có tọa độ (1,1,...,1) đối với mục tiêu trực chuẩn . Khi đó, trong không gian xạ ảnh Pn, với mục tiêu đã chọn ở trên, phương trình của siêu phẳng vô tận Pn-1 là: Gọi T* là siêu mặt bậc hai của siêu phẳng vô tận Pn-1, có phương trình: T* gọi là cái tuyệt đối của Pn. Nếu n  3 thì T* chính là siêu mặt trái xoan hoặc là siêu mặt kẻ (ở đây ta không xét k=n vì đó trường hợp của không gian Euclide). Nếu n = 2 thì T* là cặp điểm trên đường thẳng vô tận có tọa độ xạ ảnh là [1;1;0] và [1;-1;0]. Ta nhắc lại rằng, điểm MEnk có tọa độ đối với mục tiêu là khi nó có tọa độ đối với mục tiêu xạ ảnh là , với xn+10 và . Thể hiện các khái niệm giả Euclide trên mô hình Khái niệm trực giao của hai đường thẳng Định lý: Hai đường thẳng của Enk trực giao với nhau khi và chỉ khi hai điểm vô tận của nó liên hợp với nhau đối với cái tuyệt đối T*. Chứng minh: Trong Enk với mục tiêu trực chuẩn đã chọn cho hai đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là , . Gọi A và B lần lượt là các điểm vô tận của a và b. Khi đó A và B lần lượt có vectơ đại diện là và . Do đó, đối với mục tiêu xạ ảnh đã chọn, điểm A có tọa độ xạ ảnh là , điểm B có tọa độ xạ ảnh là . Trong siêu phẳng Pn-1, ta chọn mục tiêu xạ ảnh là , trong đó E’ là giao điểm của An+1E với Pn-1. Khi đó tọa độ xạ ảnh của A và B đối với mục tiêu xạ ảnh của Pn-1 lần lượt là và . Từ đó : a và b trực giao với nhau khi và chỉ khi :  Đây chính là điều kiện để A và B liên hợp nhau đối với cái tuyệt đối T*. Vậy định lý được chứng minh. Khái niệm siêu cầu Định lý: Mỗi siêu mặt bậc hai trong không gian giả Euclide Enk là một siêu cầu khi và chỉ khi siêu mặt bậc hai sinh ra nó (tức là siêu mặt bậc hai trong Pn) cắt siêu phẳng vô tận theo cái tuyệt đối T*. Chứng minh: (): Cho siêu cầu (S) trong Enk có phương trình đối với mục tiêu trực chuẩn đã chọn là: , trong đó là tọa độ tâm của siêu cầu, R là bán kính. Bằng cách chuyển sang tọa độ xạ ảnh, ta đưa phương trình trên về dạng: Xét phương trình tọa độ giao điểm của siêu cầu (S) với siêu phẳng vô tận Pn-1: (vì x0(n+1)  0) Đây chính là phương trình của cái tuyệt đối T*. Vậy mọi siêu cầu của Enk đều cắt siêu phẳng vô tận theo cái tuyệt đối T*. (): Trong Pn cho siêu mặt bậc hai (S) cắt siêu phẳng vô tận theo cái tuyệt đối T*. Giả sử (S) có phương trình đối với mục tiêu xạ ảnh đã chọn (tức là mục tiêu xạ ảnh sinh ra mục tiêu trực chuẩn đã chọn trong Enk) là: Khi đó giao của (S) với siêu phẳng vô tận Pn-1 là: Mà siêu mặt bậc hai (S) cắt siêu phẳng vô tận theo cái tuyệt đối T* nên suy ra: Từ đó, phương trình của (S) sẽ trở thành: Suy ra (S) sinh ra trong Enk một siêu mặt bậc hai (S) có phương trình đối với mục tiêu trực chuẩn đã chọn là: Đây chính là phương trình của một siêu cầu. Vậy (S) sinh ra một siêu cầu (S) trong Enk. Vậy định lý được chứng minh. Khái niệm phép đồng dạng Định lý: Phép afin của Enk là phép đồng dạng khi và chỉ khi nó được sinh ra bởi phép biến đổi xạ ảnh trên siêu phẳng vô tận biến cái tuyệt đối T* thành chính nó. Chứng minh: Trong Enk cho phép afin f có biểu thức tọa độ đối với mục tiêu trực chuẩn đã chọn là: Ta có: Phép afin f được sinh ra bởi phép biến đổi xạ ảnh F bảo toàn siêu phẳng vô tận Pn-1: Phép biến đổi xạ ảnh F lại sinh ra trong siêu phẳng vô tận phép biến đổi xạ ảnh F’: hay [x’] = A[x], với A = [aij] và [x], [x’] là các ma trận: [x] = , [x’] = Trong Pn-1, cái tuyệt đối T* có phương trình: Từ đó, ảnh của T* qua phép biến đổi xạ ảnh F’ là siêu mặt bậc hai có phương trình: Ta có: Phép afin f là phép đồng dạng khi và chỉ khi tồn tại số p > 0 sao cho: , với B là một ma trận k – trực giao. Hệ thức này chứng tỏ ảnh của T* qua phép biến đổi xạ ảnh F’ chính là T*. Do đó: Phép afin f là phép đồng dạng khi và chỉ khi ảnh của T* qua phép biến đổi xạ ảnh F’ chính là T*. Vậy định lý được chứng minh. Hình học giả Euclide Ta đã ký hiệu Kn là nhóm các phép biến đổi xạ ảnh của không gian Pn và khi đó hình học xạ ảnh là hình học của nhóm Kn. Nếu trong Pn ta chọn siêu phẳng Pn-1 làm siêu phẳng vô tận thì tập hợp các phép biến đổi xạ ảnh bảo tồn Pn-1 làm thành một nhóm con của Kn. Nhóm này đẳng cấu với nhóm An của tất cả các phép afin của không gian afin An = Pn\Pn-1. Ta gọi Dnk là tập hợp tất cả các phép biến đổi xạ ảnh của Pn giữ nguyên Pn-1 và giữ nguyên cái tuyệt đối T* thì Dnk là một nhóm con của nhóm Kn. Mỗi phép biến đổi của nhóm Dnk sẽ sinh ra một phép đồng dạng của Enk (theo chứng minh ở trên) nên ta có thể xem Dnk là nhóm tất cả các phép đồng dạng của Enk. Hình học của nhóm Dnk được gọi là hình học giả Euclide n chiều chỉ số k. Từ định nghĩa trên và từ các tính chất của phép đồng dạng, ta suy ra khái niệm trực giao của hai đường thẳng, tỷ số độ dài của hai đoạn thẳng, siêu mặt bậc hai,… là những bất biến của nhóm Dnk và do đó là đối tượng nghiên cứu của hình học giả Euclide. Phép dời trong không gian giả Euclide E21 Trong phần này ta sẽ xét các phép dời có ma trận dạng 1 – trực giao. Giả sử ta có ma trận: Ta có: A là ma trận 1 – trực giao khi và chỉ khi: Xét phương trình (2) của hệ trên:  -  = 0 Phương trình (2) có thể viết được dưới dạng: (4) trong đó  là một ẩn số mới. Thay (4) vào (3) ta được: (5) Từ (1) và (5) suy ra:  (6) Xét phương trình (1): ta thấy rằng nghiệm tổng quát của nó có dạng: (7) Vậy từ (4), (6), (7) ta suy ra: nếu A là ma trận 1 – trực giao thì nó sẽ có các dạng sau đây: (a) (b) (c) (d) Như vậy ta có tất cả các phép dời có ma trận dạng 1 – trực giao sau đây: (a’) (b’) (c’) (d’) Các phép dời loại (a’), nếu a = b = 0, sẽ được gọi là phép quay hyperbolic với góc quay là . Vì vậy các phép dời loại (a’) là tích của một phép quay hyperbolic và một phép tịnh tiến. Phép quay hyperbolic biến mọi đường tròn thành chính nó và biến hai đường thẳng đẳng hướng X1 = X2 và X1 = - X2 thành chính nó. Nếu a = b = 0 thì phép dời loại (b’) là tích của phép quay hyperbolic với phép đối xứng qua gốc tọa độ. Nếu a = b = 0 thì phép dời loại (c’) (tương ứng, loại (d’)) là phép đối xứng qua đường thẳng (tương ứng, ). PHẦN KẾT LUẬN Luận văn với đề tài “Một số vấn đề về hình học giả Euclide” đã: Nghiên cứu được một số khái niệm cơ bản trong hình học giả Euclide như: không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k, trực giao, trực chuẩn, không gian con, phép biến đổi trực giao, phép biến đổi đồng dạng, không gian giả Euclide n chiều chỉ số k, tọa độ trực chuẩn, phép dời, phép đồng dạng, siêu mặt bậc hai, mô hình xạ ảnh của không gian giả Euclide,.... Nghiên cứu một số tính chất của các phép biến đổi trực giao và các phép biến đổi đồng dạng trong không gian vectơ giả Euclide. Từ đó rút ra được một số tính chất của các phép dời và các phép đồng dạng trong không gian giả Euclide. Trên cơ sở trình bày về các không gian vectơ con của không gian vectơ giả Euclide, luận văn còn khai thác kỹ các không gian vectơ con đặc biệt như không gian vectơ con dương, không gian vectơ con âm, không gian vectơ con không suy biến, các không gian vectơ con trực giao với nhau. Ngoài ra, luận văn còn chứng minh được một không gian vectơ con của không gian vectơ giả Euclide sẽ là một không gian vectơ giả Euclide khi và chỉ khi nó là một không gian vectơ con không suy biến. Các nội dung trong luận văn được sắp xếp và trình bày tương tự như quyển Giáo trình Hình học Euclide để giúp người đọc có sự liên hệ, so sánh nhằm rút ra những điểm giống và khác nhau giữa hình học giả Euclide và hình học Euclide. Đồng thời, trên cơ sở nghiên cứu mô hình xạ ảnh của không gian giả Euclide, luận văn cũng giúp người đọc biết mối liên hệ giữa hình học giả Euclide và hình học xạ ảnh. Có thể nói, đối với mỗi người, mỗi lần nghiên cứu một đề tài nào đó là một lần họ rút ra được nhiều kinh nghiệm quý báu. Qua việc nghiên cứu đề tài này, em có cơ hội ôn lại và nắm vững hơn những kiến thức đã được học, tự mình mở rộng thêm nhiều kiến thức mới,…. Trong đó, điều quan trọng và có ý nghĩa nhất chính là em đã được tập làm quen dần với việc tự tìm hiểu, nghiên cứu những kiến thức mới dưới sự gợi ý, hướng dẫn của các thầy cô giàu kinh nghiệm. Tuy đã cố gắng rất nhiều và được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy hướng dẫn, sự đóng góp ý kiến chân thành của bạn bè nhưng luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em hy vọng nhận được thêm sự đóng góp ý kiến nhiệt tình của quý thầy cô và các bạn để hoàn thiện hơn kiến thức cho bản thân và có thể tiếp tục nghiên cứu sâu hơn các lĩnh vực của Toán học, đặc biệt là lĩnh vực hình học.  TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thanh Bình, Nguyễn Hoàng Xinh; Giáo trình Đại số tuyến tính; Đại học Cần Thơ; Năm 2006. [2] Đặng Văn Thuận; Giáo trình hình học afin; Đại học Cần Thơ; Năm 1995. [3] Đặng Văn Thuận; Giáo trình hình học Euclide; Đại học Cần Thơ; Năm 1995. [4] Đặng Văn Thuận; Giáo trình hình học xạ ảnh; Đại học Cần Thơ; Năm 1995. [5] Đặng Văn Thuận; Bài giảng hình học phi Euclide; Đại học Cần Thơ; Năm 2002. [6] Văn Như Cương, Kiều Huy Luân; Hình học cao cấp; Nhà xuất bản Giáo dục; Năm 1978. [7] Nguyễn Cảnh Toàn; Hình học xạ ảnh; Nhà xuất bản Giáo dục; Năm 1979. [8] Văn Như Cương; Hình học xạ ảnh; Nhà xuất bản Giáo dục; Năm 1999. [9] Werner Greub; Linear Algebra (Graduate Texts in Mathematics) (Third Edition); Nhà xuất bản Springer; Năm 1967. [10] Các trang web:  HYPERLINK ""   HYPERLINK "" www.mat.univie.ac.at/~neretin/lectures/chapter2.ps