Một số vấn đề về không gian Sobolev

-  PAGE 64 - Lời cảm tạ  Thời gian thắm thoát thoi đưa, chớp mắt mà em đã hoàn thành bốn năm đại học. Nhớ ngày nào, đầu khóa học, ba còn đưa đến trường gặp thầy cô mới, bạn bè mới với bao bỡ ngỡ lo lắng. Vậy mà cuối cùng em cũng trải qua bốn năm học. Bốn năm học tập với biết bao khó khăn, vất vả, có những lúc vấp ngã em tưởng như mình không thể vượt qua. Nhưng mong muốn được làm luận văn khi tốt nghiệp đã thúc đẩy em phấn đấu nhiều trong học tập. Cuối cùng với kết quả đạt được trong các năm đầu, em được bộ môn phân công làm luận văn dưới sự hướng dẫn của thầy Phạm Gia Khánh. Được làm luận văn là một niềm vui, niềm vinh dự lớn đối với em. Nhưng bên cạnh đó cũng có không ít nỗi lo và gặp nhiều khó khăn, nào là khan hiếm tài liệu, thời gian hạn hẹp, mà kiến thức thì mới và tương đối khó… Nhưng với kiến thức mà em được thầy cô bộ môn trang bị trong các năm qua cùng với sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Phạm Gia Khánh cũng như sự động viên giúp đỡ của gia đình, bạn bè, cuối cùng cuốn luận văn cũng được hoàn thành. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy hướng dẫn, các thầy cô khác trong bộ môn, cùng gia đình và bạn bè. Cần Thơ, tháng 5 năm 2009 Người viết Sinh viên. Phạm Trần Nguyệt Thảo PHẦN MỞ ĐẦU  1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Như đã biết, việc nghiên cứu quá trình động trong tự nhiên cũng như trong xã hội thường dẫn đến việc khảo sát một hay nhiều phương trình đạo hàm riêng bằng việc định lượng hóa các đặc trưng của đối tượng nghiên cứu bằng các đại lượng toán học. Nhưng ta cũng dễ nhận thấy rằng các quy luật tự nhiên thường dẫn đến các hệ thức phi tuyến giữa các tham biến nên cần phải xét phương trình vi phân phi tuyến. Tuy nhiên, khi đó xuất hiện những khó khăn toán học thực sự. Bởi vậy, khi xây dựng mô hình toán học chúng ta buộc phải bớt tính chính xác và bỏ qua những phần thêm phi tuyến bé hoặc chuyển sang tuyến tính hóa trong một lân cận của nghiệm đã cho bằng cách đưa bài toán về bài toán tuyến tính. Vẫn chưa đủ, để giải bài toán này ta lại có những sự thay đổi nhất định đối với giả thiết của bài toán tương ứng nghiệm của nó cũng có những thay đổi nhất định. Khi đó, việc tìm nghiệm cổ điển của bài toán mới vẫn còn rất phức tạp, vì thế, đầu tiên người ta xây dựng nghiệm suy rộng của nó, sau đó thiết lập độ trơn của chúng và chứng minh nó là nghiệm cổ điển của bài toán. Nói như vậy để thấy rằng, không gian nghiệm của bài toán được giải đã có nhiều thay đổi so với không gian nghiệm của bài toán thực tế ban đầu. Vì vậy, việc chọn các không gian hàm cho nghiệm của các bài toán có một vai trò quan trọng để đảm bảo tính đặt đúng của bài toán. Một không gian phiếm hàm tuyến tính được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng là không gian Sobolev. Có phần yêu thích toán học ứng dụng và được sự hướng dẫn gợi ý của thầy Phạm Gia Khánh để hoàn thành luận văn tốt nghiệp khóa học cũng như bước đầu làm quen với “Phương trình đạo hàm riêng hiện đại” em đã quyết định chọn đề tài “Một số vấn đề về không gian Sobolev”. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu nhằm nắm được các định nghĩa, định lí, tính chất liên quan đến không gian Sobolev. Đặc biệt quan trọng và cũng là mục tiêu chính đó là xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và giải các bài tập có liên quan đến nó. Qua đó, giúp củng cố các kiến thức đã được học trong suốt 4 năm đại học như: giải tích 1, 2, không gian tôpô, độ đo và tích phân Lebesgue, giải tích hàm… 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Quá trình làm luận văn đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu, nhưng chủ yếu là phương pháp tổng kết kinh nghiệm. Cụ thể, kết hợp phương pháp tổng hợp, so sánh, phân tích, nhận xét trong quá trình nghiên cứu lí thuyết. Đầu tiên, sau khi tìm được nguồn tài liệu tham khảo thì tổng hợp các kiến thức trong đó với các kiến thức sẵn có. Sau đó, tiến hành so sánh, phân tích chúng, chọn ra những kiến thức trọng tâm, đáng ghi nhớ, từ đó đưa ra những nhận xét riêng. Cuối cùng, tổng hợp, trình bày lại theo ý hiểu một cách rõ ràng. Phương pháp tổng hợp, phân tích, so sánh, đánh giá cũng được kết hợp sử dụng trong giải và sắp xếp các bài tập. Sau khi tổng hợp các bài tập từ các nguồn tư liệu khác nhau, sẽ tiến hành phân tích, so sánh, chọn lọc các bài tập hay phù hợp với nội dung lí thuyết sắp xếp chúng theo một trình tự hợp lí. Cuối cùng, tiến hành phân tích, đánh giá để giải một cách chi tiết, trình bày một cách rõ rang. 4. NỘI DUNG LUẬN VĂN Nội dung của luận văn gồm 2 chương. Chương 1. Gồm 4 §, trong đó §1. Không gian , §2. Biến đổi Fourier, §3. Hàm suy rộng, §4. Không gian Sobolev. Ở đây, chỉ tập trung giới thiệu một số định nghĩa, định lí, tính chất và các ví dụ có liên quan mà không quan tâm đến việc chứng minh các định lí, tính chất đó. Chương 2. Giải chi tiết và sắp xếp một cách tương đối hợp lí các bài tập có liên quan đến phần lí thuyết đã giới thiệu ở chương 1. PHẦN NỘI DUNG  CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1. Không gian 1.1 Không gian Cho là một không gian độ đo, trong đó là một tập con mở của không gian Euclide n chiều Rn, là -đại số trên tập đo được Lebesgue và là độ đo Lebesgue. Cho , ta định nghĩa không gian như sau Với , ta định nghĩa {là hàm đo được và } và Với , ta định nghĩa {là hàm đo được và hầu khắp nơi} và { hầu khắp nơi} Chú ý. Nói hầu khắp nơi tương đương với nói rằng . Nếu là hai hàm đo được thỏa hầu khắp nơi thì và được xem là giống nhau. Do đó, khi và chỉ khi hầu khắp nơi, với . Cho , chỉ số thỏa được gọi là số mũ liên hợp của p. Ta thấy, thì . Ngược lại, thì . 1.2 Một số định lí và bất đẳng thức 1.2.1 Bổ đề Cho a, b là hai số thực không âm, p, q là cặp số mũ liên hợp. Khi đó, . 1.2.2 Bất đẳng thức Hoder. Nếu thì và Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi R+ sao cho . 1.2.3 Bất đẳng thức Minkowski. Nếu thì , với . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi R+, sao cho . 1.2.4 Định lí. là không gian Banach. 1.2.5 Định lí. là không gian phản xạ, với . 1.3 Tích chập Cho , tích chập của và g được định nghĩa là 1.4 Giá của hàm 1.4.1 Định nghĩa. Cho là một hàm liên tục trên Rn. Giá của , kí hiệu là supp, là bao đóng của tập . Kí hiệu (Rn) là kí hiệu tập tất cả các hàm liên tục với giá compact. (Rn) thường được viết là (Rn). 1.4.2 Ví dụ Cho RR được xác định Khi đó, . Cho RnR được xác định , với Khi đó, (Rn) và supp. Cho và định nghĩa , với (Rn), và khi đó . Thật vậy, , với . Cho và định nghĩa , với và RnR được cho bởi hàm Khi đó, (Rn) và supp §2. Biến đổi Fourier 2.1 Kí hiệu (Rn), , với (Rn). đo được Lebesgue trên Rn. , với y thay đổi trên Rn, , , . Cho (Rn), tích chập , . Đa chỉ số N, . Cho Rn, với , và . Cho (Rn), biến đổi Fourier của được định nghĩa là . Với mỗi Rn, là một hàm đặc trưng trong Rn. 2.2 Tính chất cơ bản (Rn), . (Rn), ( Rn). (Rn), . , và . Nếu (Rn) và ( Rn) thì . Nếu (Rn) và (Rn), , thì Nếu (Rn) và (Rn) thì khả vi đến và Nếu (Rn), (Rn) và tồn tại, thì 2.3 Ví dụ (Gauss) ; ; . (Poisson) , với làm cho thì . (Fejer) ; . (de la Vallie Pousin) (cho ) . Khi đó, . 2.4 Định lí đảo của biến đổi Fourier Nếu (Rn) và (Rn) thì hầu khắp nơi. 2.5 Định lí Plancherel Nếu (Rn) thì (Rn), và ánh xạ (Rn) (Rn) được cho bởi được thác triển thành một đẳng cự (Rn) (Rn). 2.6 Không gian Schwartz S Không gian Schwartz S là không gian của các hàm tiêu chuẩn mà bất biến đối với các phép toán biến đổi, phép nhân cân bằng, mở rộng, nhân bởi hàm đặc trưng, tích ánh xạ, phép tính tích phân và phép biến đổi Fourier. Không gian Schwartz S được mô tả {(Rn):} Ở đây là đa chỉ số. Một vài chú ý Chú ý nên trù mật trong (Rn), . Một hàm , thuộc S nhưng không thuộc D. Cho một đa thức P và , và . khi và chỉ khi với mọi số nguyên và với mọi đa chỉ số ta có giới nội. là song ánh từ vào . Khi đó, ta có các kết quả i. . ii. . 2.7 Hàm suy rộng điều hòa 2.7.1 Định nghĩa. Không gian tôpô đối ngẫu của không gian Schwartz được gọi là không gian của những hàm suy rộng điều hòa. 2.7.2 Ví dụ Cho (Rn), , định nghĩa được xác định bởi Khi đó, do đó là liên tục. Nếu (Rn) (Không gian của các độ đo giới nội thông thường, đối ngẫu của (Rn)), xét Khi đó . Cho f là một hàm đo được trên Rn sao cho với mọi số nguyên không âm k ta có (Rn), với . Khi đó, xác định một hàm trong , do nên hàm đã cho là hàm điều hòa. Nếu là một độ đo thông thường trên Rn sao cho (Rn), theo cách xác định ở trên . Độ đo đã cho được gọi là độ đo điều hòa. 2.7.3 Định lí. Một hàm tuyến tính L trên S là một hàm điều hòa nếu và chỉ nếu tồn tại một hằng số và số nguyên l, m sao cho . 2.7.4 Toán tử trong . Cho T S’. Phép tịnh tiến. Nếu hRn, định nghĩa thì . Phép nhân với một phần tử của S. Cho , định nghĩa . Khi đó, . Nếu P là một đa thức trên Rn, PT được định nghĩa giống như trên cũng là một hàm điều hòa. Phép phản xạ. . Khi đó, . Phép tính vi phân. Cho một đa chỉ số , định nghĩa (Công thức trên cho ta một phép tính tích phân). Do đó, . Tích chập. Cho định nghĩa . Khi đó, . Lúc đó, ta xét hàm . Khi đó (Rn) và Điều này chỉ ra rằng, tích chập với một phần tử của S là một quá trình trơn. Với mọi hàm điều hòa T, thì . Biến đổi Fourier. Định nghĩa . Khi đó, . Kết hợp phép biến đổi Fourier và phép vi tích phân, ta có i. ii. 2.7.5 Ví dụ. Cho thỏa . Khi đó = , , vi phân là một trường hợp đặc biệt của tích chập. §3. Hàm suy rộng 3.1 Không gian các hàm chuẩn 3.1.1 Định nghĩa. Một hàm tiêu chuẩn trên Rn là một hàm khả vi vô hạn trên và triệt tiêu ở bên ngoài miền giới hạn, miền giới hạn có thể phụ thuộc vào hàm tiêu chuẩn. Không gian tất cả các hàm tiêu chuẩn trên được kí hiệu là . 3.1.2 Ví dụ. Cho RR được xác định bởi Dễ dàng kiểm tra là một hàm vô hạn khả vi, trừ trường hợp . Vì là hàm chẵn, ta chỉ cần kiểm tra tính khả vi tại . Ta có, Suy ra liên tục tại Hơn nữa, Do đó, tất cả đạo hàm của bằng 0 tại Một hàm tiêu chuẩn đối xứng cầu trên Rn được cho bởi Trong đó, là khoảng cách từ tâm đến x. 3.1.4 Một số tính chất Nếu thì với mọi số thực . Nếu thuộc và khả vi vô hạn trên thì cũng thuộc . Nếu thuộc thì mọi đạo hàm riêng của cũng thuộc . Cho hàm như trong ví dụ hàm tiêu chuẩn đối xứng cầu, khi đó cũng là một hàm tiêu chuẩn trên Rn triệt tiêu ngoài hình cầu tâm x0 bán kính . Cho (Rm) và (Rn-m). Nếu . thì (Rn). 3.2 Định nghĩa về dãy rỗng Chúng ta nói một dãy là một dãy rỗng trong nếu , trong tồn tại một tập con compact cố định sao cho supp với tất cả m, và tất cả đạo hàm của nó đều hội tụ đều đến 0 trên K. 3.3 Định nghĩa về hàm suy rộng Một hàm tuyến tính trên được gọi là một hàm suy rộng trên nếu với mọi dãy rỗng trong . Không gian các hàm suy rộng được kí hiệu là . 3.4 Định lí. Cho là một hàm khả tích địa phương trên một tập con mở Rn. Định nghĩa Khi đó, thuộc . Nhận xét. Cho , . Khi đó, . Ví dụ Hàm suy rộng Dirac. Cho Rn, định nghĩa (Rn) Dễ dàng chứng minh rằng (Rn). Trường hợp được gọi là hàm suy rộng Dirac. Cho được định nghĩa bởi , (R), n=1,2,... Khi đó, (R). Trường hợp , được gọi là hàm suy rộng lưỡng cực. Nhận xét. không được sinh ra bởi bất cứ hàm khả tích địa phương nào. Thật vậy, nếu tồn tại một hàm khả tích địa phương sao cho , khi đó với sao cho supp, , trên . Do đó, khi . Mặt khác, , với mọi . Vì vậy, khi là mâu thuẫn. 3.5 Tính chất của hàm suy rộng Nhắc lại. Cho , trong đó , , là các số nguyên dương, khi đó được gọi là một đa chỉ số. Kí hiệu một số phép toán liên quan đến đa chỉ số Rn Cho hai đa chỉ số . Khi đó, khi và chỉ khi , với mọi . là một đa chỉ số, ta định nghĩa phép toán vi phân là . Tính chất 1. Cho , với là tập mở con của Rn, và đa chỉ số . Khi đó, . Tính chất 2. Cho , Rn là tập mở và . Khi đó, . Tính chất 3. Cho , R là một tập con mở, , và một đa chỉ số , ta có công thức Leibniz . Ví dụ. Cho RR là hàm Heaviside được cho bởi Ta có Khi đó, . Nhận xét. Từ ví dụ trên, rõ ràng . 3.6 Tích chập của hàm suy rộng Cho hàm bất kì trên Rn và Rn, kí hiệu và . Suy ra và . Với (Rn), (Rn), và Rn, định nghĩa Dễ thấy (Rn). 3.6.1 Định nghĩa. Cho (Rn), và (Rn), RnRn được cho bởi , với mọi Rn. 3.6.2 Định nghĩa. Cho (Rn) Ta định nghĩa hàm suy rộng trên (Rn) là , (Rn). Định nghĩa 3.6.2 tương đương với điều kiện , với mọi (Rn). §4. Không gian Sobolev 4.1 Không gian Sobolev Cho là một tập mở con của Rn có biên là . Ta bắt đầu với định nghĩa. 4.1.1 Định nghĩa. Cho số nguyên m>0 và . Không gian Sobolev được định nghĩa là tập hợp tất cả các hàm thuộc có đạo hàm suy rộng đến m cũng thuộc. Ta có , không gian của tất cả các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong , thì trù mật trong , với . Nếu thì , với mọi đa chỉ số . Như vậy, , với . là một không gian véctơ. Trên ta trang bị một chuẩn , như sau Với , ta định nghĩa . Với , ta định nghĩa . Trường hợp đặc biệt , ta kí hiệu , cho , khi đó Với , ta có , chuẩn trên của hàm được kí hiệu là . Không gian có một phép toán nhân trong tự nhiên được định nghĩa , với Phép toán nhân trong này sinh ra . Trong trường hợp Rn, Rn) có một sự mô tả khác qua biến đổi Fourier. Cho Rn), là sự biến đổi Fourier của u. Chú ý. Rn)Rn) thì trù mật trong Rn), những hàm trong Rn) có sự biến đổi Fourier thích hợp, định lí Plancherel khẳng định rằng . Cho (Rn), theo định nghĩa ta có Rn), với mọi , như vậy được xác định tốt. Hơn nữa, Ta có. Do đó, Rn), với mọi . Ngược lại, nếu Rn) sao cho Rn), với mọi , thì Rn), với mọi . Vì thế Rn). 4.1.2 Bổ đề. Tồn tại hằng số chỉ phụ thuộc m và n sao cho với mọi Rn, Từ bổ đề, chúng ta có định nghĩa của Rn). 4.1.3 Định nghĩa Rn) Kết hợp với chuẩn . Từ định nghĩa trên cho phép chúng ta định nghĩa Rn), với mọi . 4.1.4 Định nghĩa. Cho , định nghĩa Rn) . Kết hợp với chuẩn . 4.1.5 Định lí. Với mọi p, , là một không gian Banach. * Xét không gian tích: lần) Với chuẩn , với Khi đó, ánh xạ là một phép đẳng cự. Ta có một số tính chất là không gian phản xạ, với . là không gian tách được, với . là không gian Hilbert tách được, với . 4.1.6 Định nghĩa. Cho , đặt bằng bao đóng của trong . là một không gian con đóng của . Phần tử của gần giống trong không gian định chuẩn bằng những hàm thuộc có giá compact trên . là không gian con thực sự của , trừ trường hợp Rn. 4.1.7 Định lí. Cho , khi đó Rn) = Rn). 4.1.8 Định lí. Cho , với mọi số nguyên thì Rn) = Rn). Trường hợp đặc biệt (Rn)=(Rn). Ta có thể nói rằng là một tập gồm các lớp hàm. Như vậy, khi nói “u là một hàm liên tục trong ” nghĩa là ta đang nói tới một lớp hàm mà có đại diện là hàm u liên tục. Kết quả sau đặc trưng cho khi R là một khoảng mở. 4.1.9 Định lí. Cho R là một khoảng mở, nếu thì u là hàm liên tục tuyệt đối. 4.1.10 Chú ý. Cho R là một khoảng mở giới nội, ví dụ . Khi đó, nếu thì ta có thể viết Như vậy, Lấy tích phân trên , ta được trong đó không phụ thuộc u. Cũng như vậy ta có Trong đó, và độc lập với u. 4.1.11 Chú ý. Không gian lớn hơn chứa không gian của những hàm trơn hơn. Lấy B(0,1) là hình cầu đơn vị trong . Khi đó, ánh xạ liên tục. Do đó, B(0,1)=i(B(0,1)) là một tập giới nội đều trong . Mặt khác, cho , ta có suy ra B(0,1) liên tục đều trong , từ định lí Ascoli-Arzela suy ra B(0,1) là tập compact tương đối trong . Hay nói cách khác, là một toán tử compact. Trên không gian , ta định nghĩa nửa chuẩn được xem là đạo hàm cao nhất của không gian định chuẩn . 4.1.12 Bổ đề (Bất đẳng thức Poincare). Cho là một tập mở giới nội trong Rn. Khi đó, tồn tại một số nguyên dương sao cho , . định nghĩa một chuẩn trên tương đương với chuẩn . Từ theo bất đẳng thức Poincare suy ra . Do đó, nó là một chuẩn. Ta có, và . Từ hai bất đẳng thức trên, ta có . 4.1.13 Ví dụ. Bất đẳng thức Poincare không đúng với miền không giới nội. Ví dụ, nếu lấy Rn và (Rn), xác định bởi , Đặt , thì , khi . Trong khi , khi . 4.2 Không gian đối ngẫu của không gian Sobolev Ở phần này ta xét không gian sobolev của số nguyên âm cũng như phân số. 4.2.1 Định nghĩa. Cho , q là số mũ liên hợp của p. Không gian đối ngẫu của không gian , với m là số nguyên lớn hơn 1, được kí hiệu là . Như vậy, là không gian đối ngẫu của . 4.2.2 Định lí. Cho , khi đó, tồn tại sao cho (2.1) Và . Khi là tập giới nội, ta có thể giả sử rằng . Giả sử định lí trên là đúng. Vì trù mật trong , hàm tuyến tính thì xác định duy nhất nên nó cố định trong . Cho , (2.1) được viết lại như sau Như vậy, có thể được xác định với hàm suy rộng . Một hàm trên thì được xác định với một hàm suy rộng, là đạo hàm suy rộng của một phần tử trong . Do đó, không gian đối ngẫu của được kí hiệu là . Định lí trên cũng đúng với không gian đối ngẫu của (trừ trường hợp ta không giả sử ngay cả khi giới nội), nhưng sự xác định với hàm suy rộng thì không thể. Thật vậy, không gian đối ngẫu của cũng bao gồm sự mở rộng của hàm suy rộng trên , nhưng sự mở rộng này không duy nhất. Cho , khi đó Do đó, giá trị của điểm được định nghĩa tốt. Nếu , , thì và . Cho không gian định chuẩn , liên tục trên và tính liên tục được thác triển đến . Suy ra , với . Với mọi miền xác định , hàm suy rộng Dirac thuộc không gian Sobolev của một số âm đủ lớn nào đó. Bây giờ, ta định nghĩa không gian Sobolev cho một số thực s bất kì. Định nghĩa. Cho , thì . Cho , , . là bao đóng của trong và là đối ngẫu của . Khi Rn và , (Rn)={(Rn) : (Rn)} và Không gian đối ngẫu của (Rn) là (Rn), khi s>0. 4.2.3 Định lí. Cho , khi đó (Rn)(Rn):(Rn)} 4.2.4 Chú ý. Nếu là hàm suy rộng Dirac thì Do đó, Và (Rn)(Rn). Điều này đúng cho , vì tích phân chỉ hữu hạn khi . Trường hợp đặc biệt, (R), . CHƯƠNG 2 BÀI TẬP Bài 1 a. Chứng minh rằng nếu là hàm liên tục có giá là tập compact thì supp supp + supp. Giải a. Gọi A, B lần lượt là giá của f và g. Giả sử Xét Dễ thấy tích phân khác không chỉ khi và . Nhưng nếu thì cả y và x-y lần lượt không thuộc vào B và A. Vì vậy, Vì cả A và B đều là compact nên A+B là compact. Vì vậy, supp supp + supp. Bài 2. Cho . Chứng minh rằng . Giải Trường hợp 1. . Theo bất đẳng thức Holder ta có Do đó, vế phải luôn lớn hơn hoặc bằng vế trái. Trường hợp đẳng thức xảy ra, giả sử . ( đẳng thức hiển nhiên đúng). Đặt . Khi đó, và . Hơn nữa, Trường hợp 2. . Khi đó, . Như vậy một chiều của bất đẳng thức xảy ra. Giả sử . Đặt . Khi đó, và . Trường hợp 3. . Một chiều của bất đẳng thức hiển nhiên đúng như trước. Giả sử . Cho . Chọn một tập đo được A sao cho và , . Định nghĩa trong đó, là kí hiệu hàm đặc trưng của A. Khi đó, và . Khi đó, Do đó, phần trên là đúng cho mỗi (). Bài 3. Cho hàm , ta nói hàm là đạo hàm suy rộng của f nếu với mọi Kí hiệu . Hãy chứng minh các tính chất sau của đạo hàm suy rộng a. Đạo hàm suy rộng là duy nhất hầu khắp nơi b. c. . Giải a. Với mọi , giả sử có thỏa và Suy ra , . Do đó, hầu khắp nơi. Hay đạo hàm suy rộng là duy nhất hầu khắp nơi. b. Với mọi , ta có Mà Suy ra Vậy . c. Với mọi , ta có Mà Suy ra Vậy . Bài 4. Giả sử là hàm Heaviside và các hàm suy rộng và được định nghĩa: với mọi hàm thử (R) và Hãy chứng minh các đẳng thức sau a. b. c. , trong đó d. , trong đó . Giải Giả sử (R) thỏa supp a. Ta có Vậy . b. Ta có Vậy . c. Ta có Vậy . d. Ta chứng minh . Thật vậy, Đặt . Khi đó, cũng là một hàm thử và Vậy . Bài 5. Cho và là hàm liên tục với giá compact. Chứng minh rằng . Giải Để chứng minh ta chỉ cần chứng minh , . Đầu tiên ta chứng minh là hàm liên tục. Giả sử supp. Chọn một tập compact C sao cho va , với h đủ nhỏ. Khi đó, là liên tục đều trên C. Khi đó, . Cho . Chọn sao cho và với . Do đó, hay là hàm liên tục. Xét , trong đó 1 xuất hiện ở vị trí thứ i. Khi đó, (1) với mọi , . Vì là liên tục trên C và bị giới nội nên theo định lí về sự hội tụ bị chặn của Lebesgue vế phải của (1) hội tụ về . Vì vậy . Bài 6. Cho ,, chứng minh rằng và . Giải + Với hoặc ta dễ dàng có được điều cần chứng minh. + Với , cho . Xét hàm số Khi đó hàm này là đo được. Hơn nữa, Do đó, ánh xạ là một hàm tuyến tính liên tục trên . Do đó, và Bài 7. Cho hàm suy rộng bất kì (Rn), các hàm tiêu chuẩn (Rn), Rn là điểm bất kì và là đa chỉ số bất kì. Khi đó, a. b. c. d. Nếu với mọi (Rn) thì . Giải a. Cho bất kì thuộc Rn Ngoài ra, ta có b. Ta sẽ chứng minh cho trường hợp với 1 ở vị trí thứ i. Trường hợp bất kì được chứng minh tương tự. Ngoài ra, c. Ta phải chứng minh rằng với mọi Rn. Do Từ câu a suy ra khi đó mà Tích phân cuối trên tập compact supp có thể được xem như giới hạn khi của tổng Riemann trong đó tổng được mở rộng trên tất cả điểm nút tích phân trên Rn. Do đó, trong (Rn). Do đó, d. Ta phải chứng minh rằng , với mọi (Rn). Ta có Mà (Rn) suy ra (Rn). Do đó, Suy ra Vậy . Bài 8. Cho (Rn) và (Rn), ta định nghĩa . Trong đó, là một không gian tôpô được sinh ra bởi một dạng hội tụ đặc biệt trên và là lớp các hàm suy rộng với giá compact. Chứng minh rằng a. b. , với là đa chỉ số bất kì. c. Cho (Rn) và (Rn) thì (Rn) và ==. Giải Đẳng thức a và b có thể được chứng minh tương tự đẳng thức a và b trong bài 7. Để chứng minh câu c, đặt supp(T) và supp(). Khi đó, K và H là compact. Từ định nghĩa, Ta có supp, nếu suy ra . Do đó, suppsupp(T)+supp() Vì supp là một tập đóng trong tập compact K+H nên nó là tập compact. Điều này chứng minh rằng (Rn). Trở lại vấn đề, để chứng minh câu c. ta cần chứng minh tại hàm gốc. Xét (Rn) sao cho trong đó (Rn) là một hàm ngưỡng của K+H. Khi đó , (1) Khi đó, xét và thì Do đó, trên –H. Từ đó, (2) Từ (1) và (2) ta có = (3) Lấy bất kì thuộc (Rn). Khi đó, sử dụng các tính chất của tích chập và (3), ta có Sử dụng câu d của bài 7, ta được . Bài 9. Cho (Rn), . Khi đó, a. Nếu hoặc thuộc (Rn) thì . b. Nếu ít nhất hai trong ba (Rn), thì c. Với bất kì đa chỉ số ta có . Giải a. Cho (Rn), ta có Nếu (Rn) thì ta có thể sử dụng câu c của bài 8 và nếu (Rn) thì ta có thể sử dụng câu d của bài 7 để có (1) Ngoài ra, từ (1) ta cũng có (2) Do tích chập có tính giao hoán nên vế phải của (1) bằng vế phải của (2). Do đó, ta có Do đó, vì là tùy ý, ta được Ta lại có, là tùy ý, ta được . b. Nếu (Rn) thì (Rn). Do đó, nếu ít nhất có 2 (Rn), , thuộc vào (Rn) thì cả và được xác định. Xét (Rn), ta có và vì (Rn). Do là tùy ý, ta chứng minh được b. Bây giờ, nếu (Rn) thì cả (Rn). Do đó, Vì (Rn) nên c. Cho (Rn) và đa chỉ số , ta có do là tùy ý, ta chứng minh được c. Bài 10. Cho (Rn), khi đó, . Một cách tổng quát, với đa chỉ số bất kì ta có Giải Cho (Rn). Khi đó, . Do đó . Ngoài ra, Do (Rn) là tùy ý nên . Với đa chỉ số bất kì ta có . Bài 11. Cho (Rn), và . Chứng minh rằng , được định nghĩa là , với , là một xấp xỉ đồng nhất thức, nghĩa là , (Rn), khi . Giải Do , Ta có Cho , chọn sao cho với mọi ta có . Bài 12. Cho . Chứng minh rằng (Rn) trù mật trong . Giải Xét S là lớp các hàm khả tích đơn giản (Tức là ). Khi đó, triệt tiêu bên ngoài tập có độ đo vô hạn nên . Xét , . Khi đó, tồn tại một dãy S sao cho hội tụ theo độ đo về f. Hơn nữa, . Do đó, và , khi . Suy ra, tập các hàm đơn giản không âm trù mật trong . Cho S và . Theo định lí Lusin, tồn tại một hàm (Rn) sao cho hầu khắp nơi, trừ một tập có độ đo bé hơn thỏa . Do đó, . Suy ra (Rn) trù mật trong . Cho (Rn), dễ thấy Trong đó, K là tập compact và . Do đó, . Bài 13. a. Đối với không gian S(Rn) toán tử Fourier F: S(Rn) S(Rn) là một đẳng cấu tôpô. Hãy chứng minh các công thức sau i) ii) iii) iv) v) vi) b. Các công thức i), ii), iii), iv), v), vi) trong câu a sẽ như thế nào, nếu dùng phép biến đổi Fourier theo công thức c. Chứng minh các công thức v), vi) trong câu a đối với trường hợp (Rn) hoặc (Rn) và S. Giải a. i) Ta có Vậy . ii) Ta có Vậy . iii) Ta có Đặt . Suy ra Khi đó, Vậy . iv) Ta có Suy ra . v) Ta có Đặt . Suy ra và . Khi đó, Vậy . vi) Ta có Suy ra . b. Ta có Suy ra i) Ta có Vậy . ii) Ta có Vậy . iii) Ta có Đặt . Suy ra Khi đó, Vậy . iv) Ta có Suy ra . v) Ta có Đặt . Suy ra và . Khi đó, Vậy . vi) Ta có Suy ra . c. Trước tiên, ta chứng minh với (Rn) hoặc (Rn) và S thì đều được xác định tốt. Thật vậy, + Với (Rn), Ta có Suy ra và + Với (Rn), Ta có Suy ra Và Như vậy với (Rn) hoặc (Rn) và S thì đều được xác định tốt. Bây giờ, ta sẽ chứng minh các công thức , cho trường hợp (Rn). Do S trù mật trong (Rn) nên (Rn) thì S sao cho . Tức là, sao cho thì . + Khi đó, ta có và Do đó, Vậy . Và Vậy . + Bây giờ, ta sẽ chứng minh các công thức , cho trường hợp (Rn). Do S trù mật trong (Rn) nên (Rn) thì S sao cho . Tức là, sao cho thì . + Khi đó, ta có Và Từ đó, . Vậy . Và . Vậy . Bài 14. a. Với S(Rn), hãy chứng minh công thức b. Hãy thiết lập công thức đối với với S(Rn) c. Dùng định nghĩa của phép biến đổi Fourier của S’ như sau S(Rn) tìm , với S’. Giải a. Trước tiên ta chứng minh rằng với mọi i ta có . Thật vậy, Khi đó, với mọi i ta có Suy ra . b. Trước tiên ta đi tìm công thức tính , với mọi i. Ta có Khi đó, với mọi i ta có Suy ra . c. + Tìm Vậy . + Tìm Vậy . Bài 15. Giả sử (R). Chứng minh rằng a. (R), , b. liên tục đều trên R, c. Nếu ta cũng có (R), chứng minh rằng khi . Không có thêm giả thiết (R), điều khẳng định trên có còn đúng không? Giải a. Ta có Từ định nghĩa chuẩn của (R) suy ra . b. Ta có , khi Suy ra liên tục đều trên R. c. Do (R) nên (R) và . Ta có Do đó, Cho , ta được Ta không cần đến điều kiện (R). Thật vậy, ta có thể chọn (R). (Khi đó, khi .) sao cho . Khi đó, Bài 16. Tìm biến đổi Fourier của các hàm số sau a. R, b. c. R d. e. f. g. a>0 hằng số, R. Giải a. R, . Ta có Xét . Ta có Mà Suy ra Đặt , ta được Đặt , ta được Suy ra . b. . Ta có Đặt . Khi đó, Bây giờ ta đi tính I. Ta có Suy ra Do đó, Vậy . c. R. Ta có Bây giờ ta tính tích phân Theo biến đổi Laplace ta có Do đó, Xét Đặt Khi đó, Đặt Suy ra Do đó, Nên Đặt . Khi đó Từ đó, Vậy . d. . Ta có Vậy . e. . Ta có Vậy . f. Ta có Vậy . g. , với a là hằng số lớn hơn 0. Ta có Vậy . Bài 17. Tính với a. b. Giải Ta áp dụng tính chất a. Ta có Suy ra Vậy . b. Ta có Do Nên Suy ra Đặt . Khi đó, ta có Ta có Do đó Vậy . Bài 18. Cho . Tính . Giải Ta có Mà Nên Suy ra Vậy . Bài 19. Cho . Với , tính . Giải Ta có Theo định lí đảo của phép biến đổi Fourier ta có Vậy . Bài 20. Tìm hàm f thỏa , . Giải Đặt Khi đó Và Biểu thức đã cho trở thành Suy ra Hay Từ đó Ta được Mà Vậy . Bài 21. Cho (R). Đặt và Nếu f liên tục, chứng minh rằng Áp dụng tìm hàm f thỏa: . Giải Ta có Áp dụng, đặt Theo chứng minh trên ta có Ta có Khi đó Vậy . Bài 22. Áp dụng định lí Plancherel để tính các tích phân sau a. b. c. . Giải Định lí Plancherel cho ta . a. Ta có Theo định lí Plancherel ta có Hay Do đó Suy ra b. Đặt Khi đó Theo định lí Plancherel ta có Hay Do đó Suy ra . c. Đặt Khi đó Đặt . Ta được Đặt . Ta được Theo định lí Plancherel ta có Hay Suy ra Bài 23. Giả sử . Chứng minh rằng . Giải Ta có . Bài 24. Chứng minh rằng với mọi hàm số S(Rn), với ta luôn có . Giải Với thì . Do đó, (Rn). Suy ra (Rn), và Khi đó, ta có , với mọi Rn. Suy ra . Bài 25. Xét dãy các hàm số R Chứng minh rằng là dãy cơ bản trong H-1(R). Giải Ta có Do nên , tức là sao cho thì và sao cho thì Khi đó sao cho và thì Từ đó, Vậy là dãy Cauchy trong H-1(R). Bài 26. Cho H-s(Rn), Hs+1(Rn). Chứng minh công thức tích phân từng phần . Giải Cách 1. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp. + Ta chứng minh công thức đúng với . Thật vậy, + Giả sử công thức đúng với . Tức là , với Ta phải chứng minh công thức đúng với . Tức là phải chứng minh , với i) Trường hợp ii) Trường hợp Suy ra công thức đúng với . Vậy ta chứng minh được công thức tích phân từng phần. Cách 2 Xét , 1 xuất hiện ở vị trí thứ j. Đặt và . Ta có Khi đó Vậy . Bài 27. Cho Hs(Rn), Hs(Rn), Hs(Rn), Hs-1(Rn), Hs-1(Rn). Chứng minh công thức Leibnitz Giải Xét , 1 xuất hiện ở vị trí thứ j. Đặt và Suy ra và Khi đó Ta có Chú ý. . Thật vậy, Vậy ta chứng minh được công thức Leibnitz . Bài 28. Ta định nghĩa hàm suy rộng Rn, bằng đẳng thức sau trong đó là phần tử diện tích mặt cầu bán kính a trong Rn. Tìm biến đổi Fourier của hàm Chứng minh rằng (Rn). Giải a. Ta thấy S(Rn) và supp. Như vậy, có giá compact. Do đó, Vì là hàm lẻ theo , và mặt cầu đối xứng qua tâm, nên ta có Do đó, . b. Do và mặt cầu là tập compact, nên tồn tại hằng số C sao cho Khi đó, ta có Suy ra (Rn) Vậy (Rn). Bài 29. Cho X là một không gian Banach. Ta nói hình cầu đơn vị là lồi ngặt nếu , thì , ta có . Xét xem hình cầu đơn vị trong , , có lồi ngặt không, Q là một miền bị chặn trong Rn. Giải + Ta chứng minh hình cầu đơn vị trong không lồi ngặt. Thật vậy, chọn , , , , với mọi . Khi đó, với mọi thỏa , ta có Suy ra không thuộc hình cầu đơn vị trong . Hay hình cầu đơn vị trong không lồi ngặt. + Ta cũng chứng minh được hình cầu đơn vị trong không lồi ngặt. Thật vậy, chọn , , , với mọi . Khi đó, với mọi thỏa , ta có Suy ra không thuộc hình cầu đơn vị trong . Hay hình cầu đơn vị trong không lồi ngặt. + Hình cầu đơn vị trong lồi ngặt. Thật vậy, , và thỏa , ta có Suy ra thuộc hình cầu đơn vị trong . Vậy hình cầu đơn vị trong lồi ngặt. Bài 30. Cho là một hàm khả tích địa phương trên một tập con mở Rn. Định nghĩa . Chứng minh rằng thuộc . Giải Dễ thấy là một hàm tuyến tính trên . Ta chứng minh nó liên tục. Cho là một dãy rỗng trong. Xét K là tập compact cố định sao cho supp, với mọi m. Khi đó, . Vì là một dãy rỗng nên Do đó khi . Bài 31. Giả sử dãy các hàm thuộc hội tụ yếu trong đến một hàm f, còn dãy , với , bị chặn trong , Q là một miền bị chặn trong Rn. Chứng minh rằng hàm f có đạo hàm suy rộng . Giải Vì bị chặn trong nên theo định lí Bolzano-Weierstrass tồn tại dãy con của hội tụ trong . Giả sử . Với mỗi hàm xác định một hàm suy rộng . Khi đó, Thật vậy, Tương tự, ta có . Theo công thức Ostrogradski, ta có Do đó theo nghĩa của đạo hàm suy rộng. Vậy tồn tại . PHẦN KẾT LUẬN  Phương trình đạo hàm riêng ra đời vào khoảng thế kỉ thứ XVII do nhu cầu của cơ học và các ngành khoa học khác. Nó ngày càng có vai trò quan trọng, được ứng dụng rộng rãi trong khoa học và công nghệ. Ngày nay, phương trình đạo hàm riêng trở thành một bộ môn toán học cơ bản vừa mang tính lí thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng. Trước sự phát triển như vũ bão của khoa học công nghệ, chắc chắn rằng phương trình đạo hàm riêng sẽ còn phát triển mạnh mẽ hơn nửa trong tương lai, mở ra một con đường cho những ai yêu thích nghiên cứu toán học ứng dụng. Trong quá trình học tập, được thầy cô giới thiệu, em cảm thấy rất có hứng thú với môn học này. Cho nên, khi được làm luận văn em đã xin được nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng. Tuy nhiên, khi bắt tay vào làm em mới thấy rằng, tuy trên thế giới phương trình đạo hàm riêng đã và đang phát triển mạnh, nhưng ở nước ta vẫn còn rất ít sách nói về đề tài này, nếu có thì cũng đi sâu nghiên cứu làm sáng tỏ lí thuyết, còn bài tập chỉ là gợi ý đơn giản. Vì thế, được sự gợi ý của thầy hướng dẫn, để bước đầu làm quen với phương trình đạo hàm riêng, trong luận văn của mình em tìm hiểu về không gian Sobolev - Đã được nhà toán học Sobolev S.L giới thiệu vào giữa thế kỉ XX, nó nhanh chóng trở thành một công cụ đắt lực trong việc giải phương trình đạo hàm riêng, do đó, nó được nhiều nhà toán học khác tiếp tục mở rộng và phát triển nhằm nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng ngày càng khó khăn phức tạp - Nhưng khác ở chỗ, trong luận văn của mình, em đi sâu chọn lọc một hệ thống các ví dụ minh họa, giải và sắp xếp tương đối hợp lí các bài tập liên quan đến không gian Sobolev. Chính vì thế, có thể xem cuốn luận văn như một tư liệu, hành trang cho em để sau này nếu có điều kiện sẽ tiếp tục nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng. Do đây là lần đầu tiên thực hiện nghiên cứu khoa học, nên em không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Em rất mong nhận được sự quan tâm, đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để luận văn của em được hoàn chỉnh hơn. TÀI LIỆU THAM KHẢO š«› [1] Nguyễn Minh Chương, Phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất bản Giáo dục, 2000. [2] D. Bahuguna – V. Raghavendra – B.V. Rathish Kumar, Sobolev Space and Applications, Alpha science. [3] Nguyễn Minh Chương, Lí thuyết phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất bản Khoa học và kĩ thuật, 1995. [4] Đặng Đình Áng, Nhập môn giải tích, Nhà xuất bản Giáo dục, 1998. [5] Đặng Đình Áng, Biến đổi tích phân, Nhà xuất bản Giáo dục, 2001. [6] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, Nhà xuất bản giáo dục. [7] GS.TSKH Phan Quốc Khánh, Toán chuyên đề, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh, 2000. [8] GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến, Bài giảng giải tích, Đại học Đà Nẵng, 2004. [9] M.A Trần Thị Thanh Thúy, Giáo trình Tôpô đại cương, Đại học Cần Thơ, 2004. [10] M.A Trần Thị Thanh Thúy, Giáo trình Độ đo và tích phân Lebesgue, Đại học Cần Thơ, 2007.