Một ví dụ về tập compact không lồi có tính chất điểm bất động

Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 263 MỘT VÍ DỤ VỀ TẬP COMPACT KHÔNG LỒI CÓ TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG. AN EXAMPLE FOR THE FIXED POINT PROPERTY OF NON-CONVEX SET. SVTH: ĐOÀN THỊ NGỌC CẢNH Lớp: 05TT, Trường Đại Học Sư Phạm GVHD: Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH Khoa Toán, Trường Đại Học sư Phạm TÓM TẮT. Mục tiêu của đề tài là chỉ ra một tập compact không lồi trong 2 là một không gian điểm bất động. ABSTRACT. The aim of this topic is to show an example for the fixed point property of non-convex compact set in 2 . 1. Mở đầu. Cho X là không gian topo, X được gọi là có tính chất điểm bất động hay X là không gian điểm bất động nếu mỗi ánh xạ liên tục từ X vào X đều có một phần tử x  X sao cho f(x)=x . Năm 1912, Brouwer đã chứng minh định lí: Mỗi quả cầu đơn vị đóng trong n đều có tính chất điểm bất động. Năm 1935, Schauder chỉ ra rằng kết quả của Brouwer có thể mở rộng được như sau Định lí (Schauder). Mỗi tập lồi compact trong không gian metric tuyến tính lồi địa phương đều có tính chất điểm bất động. Theo định lí Schauder ta có Định lí. Mỗi tập lồi compact trong không gian định chuẩn đều là không gian điểm bất động. Mục đích của đề tài này là chỉ ra một ví dụ cho thấy rằng có tập compact không lồi trong không gian định chuẩn là không gian điểm bất động. 2. Kiến thức chuẩn bị. Định nghĩa 2.1. X là không gian topo, A  X. Ánh xạ f:A  X liên tục .x  A gọi là điểm bất động của f nếu f(x)=x.Tập tất cả các điểm bất động của f kí hiệu là Fix(f). Định nghĩa 2.2. X là không gian topo, X là không gian điểm bất động hay có tính chất điểm bất động nếu mọi ánh xạ liên tục f:X  X đều có điểm bất động. Định lý 2.1. Cho X là không gian điểm bất động , Y là không gian đồng phôi với X thì Y cũng là không gian điểm bất động. Định nghĩa 2.3. X là không gian topo,  là lớp các ánh xạ liên tục f:X  X. Nếu mỗi ánh xạ thuộc  đều có điểm bất động thì X được gọi là không gian điểm bất động đối với lớp  . Định nghĩa 2.4. ( ánh xạ compact). X, Y là không gian topo, ánh xạ liên tục f:X  Y là ánh xạ compact nếu ( )f X là tập compact trong Y. Định nghĩa 2.5. X là không gian topo, A  X. Một ánh xạ liên tục r:X  A được gọi là một phép co rút nếu  a  A thì r(a)=a và A được gọi là co rút của X (tồn tại một phép co rút từ X vào A). Mệnh đề 2.1. Cho X là không gian topo Hausdorff, A là một co rút của X thì A đóng trong X. Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 264 ox Định lí 2.2. Mỗi co rút của một không gian điểm bất động là một không gian điểm bất động . Bổ đề 2.1. (Bổ đề dán) Cho X,Y là các không gian topo và ánh xạ f: X  Y. 1, , nF F là hữu hạn các tập đóng của X với X= 1 n k k F   . Nếu | kF f : kF  Y liên tục với mọi k  {1,2,3,...,n} thì f:X  Y liên tục. Định lí 2.3. Cho (K,d) là một không gian metric compact. Giả sử với mọi n   , tồn tại nZ  K mà nZ là không gian điểm bất động và n :K  nZ liên tục sao cho d( n (x),x)< 1 n ; với mọi x  K suy ra K là không gian điểm bất động. Định lí 2.4. (Định lí  -xấp xỉ) Cho (K,d) là một không gian metric compact .Giả sử với mỗi  >0, tồn tại Z  K mà Z là không gian điểm bất động và  : K→Z liên tục sao cho d(  (x),x)<  , với mọi x  K. Khi đó K là không gian điểm bất động . 3. Tập compact không lồi trong 2 có tính chất điểm bất động. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy.(C) là hình tròn đơn vị tâm O (xem hình1).  i    {0}, iOA là các bán kính của hình tròn với oA  Ox, 1A  Oy, iOA là phân giác của góc 1o iA OA ,  i  2. Đặt D= 0 i i OA    . Oy 1 a a a a b b b a 1 2 2 3 3 0 n bn -1 bn r1 1r' r2 r2' rn' nr o (C) Hình 1. Tập compact không lồi. Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 265 Bổ đề 3.1. D là tập compact không lồi. Với mọi n   , Đặt Dn= 1 n i i OA   . Bổ đề 3.2. Dn có tính chất điểm bất động . Định lí 3.1. Tồn tại một tập compact không lồi trong 2 có tính chất điểm bất động . 4. Kết luận. Đề tài đã chỉ ra được có một tập compact không lồi trong 2 có tính chất điểm bất động. Hướng nghiên cứu sắp tới của đề tài là tìm hiểu thêm về tính chất điểm bất động của một số tập compact khác trong n . TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Hoàng Trí (2003), Giải tích hàm nâng cao ,tài liệu cao học ĐHĐN. [2] J. Dugundji and A.Granas (2003), Fixed point theory, Springer. [3] R. Engelking (1989), General Topology, Heldermann Verlag Berlin.