Niên luận tìm hiểu phương pháp chia đôi để tính gần đúng nghiệm thực của một phương trình

MỤC LỤC Trang CHƯƠNG I: TỔNG QUAN 4 Mô tả bài toán 4 Mục tiêu cần đạt 4 Hướng giải quyết 4 Môi trường cài đặt 4 CHƯƠNG II: LÝ THUYẾT 5 1. Cơ sở lý thuyết 5 1.1 Nghiệm thực của phương trình một ẩn và ý nghĩa hình học 5 1.2 Sự tồn tại nghiệm thực của phương trình, minh họa trên đồ thị (cho ví dụ). 6 1.3 Điều kiện hội tụ của phương pháp chia đôi 7 1.4 Thuật toán của phương pháp chia đôi 7 2. Lưu đồ 8 CHƯƠNG III: HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG 9 CHƯƠNG IV: KẾT LUẬN 16 Kết quả đạt được 16 Hạn chế 16 Thu hoạch về chuyên môn và kinh nghiệm 16 Hướng phát triển 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO 17 CHƯƠNG I TỔNG QUAN 1. MÔ TẢ BÀI TOÁN Nghiệm thực của một phương trình f(x) là số thực a thoả f(a) = 0. Phương pháp chia đôi là phương pháp được giới thiệu trong học phần Phương pháp tinh của trường Đại Học Bạc Liêu. Phương pháp chia đôi là tìm cách thu nhỏ dần khoảng cách li nghiệm bằng cách chia đôi liên tiếp các khoảng cách li nghiệm đã tìm ra. Để tìm nghiệm thực của một phương trình cần tìm hiểu khoảng cách li nghiệm. Nếu [a, b] là một khoảng trong đó hàm f(x) liên tục và đơn điệu, đồng thời f(a).f(b) <0 thì [a, b] được gọi là một khoảng cách li nghiệm của phương trình f(x). 2. MỤC TIÊU CẦN ĐẠT Tìm hiểu và cài đặt phương pháp chia đôi để giải phương trình đa thức bậc n bất kỳ. Giao diện thân thiện với người sử dụng và các chức năng cần thiết. Kết quả chính xác. 3. HƯỚNG GIẢI QUYẾT Thiết lập chương trình để sử dụng nhập vào các thông tin cân thiết: phương trình cần tìm nghiệm, khoảng cách li nghiệm, sai số…. Chọn nhập sai số là điều cần làm vì trong bất kỳ môn khoa học nào sai số là cần thiết và là điều cần phải nghĩ tới. Trong quá trình thực thi chương trình phải xử lí các ngoại lệ, các lỗi có thể xảy ra trong quá trình nhập. Tạo giao diên than thiện, các thao tác dễ nhập, phù hợp với người sử dụng. 4. MÔI TRƯỜNG CÀI ĐẶT Chương trình cài đặt được sử dụng bằng các ngôn ngữ như: Pascal, C, Delphi, Visual Basic, Visual C++, Java. CHƯƠNG II LÝ THUYẾT 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1. Nghiệm thực của phương trình một ẩn và ý nghĩa hình học a. Nghiệm thực của phương trình một ẩn. - Ý tưởng: Cho phương trình f(x) = 0, f(x) liên tục và trái dấu tại 2 đầu [a, b]. Giả sử f(a) < 0,f(b) < 0 (nếu ngược lại thì xét –f(x) = 0) và có f(a).f(b) < 0. Khi đó trên [a, b] tồn tại một số lẻ nghiệm thực x [a,b] của phương trình f(x), trên [a,b] phương trình có ít nhất 1 nghiệm . - Cách tìm nghiệm : Đặt [a0,b0] = [a,b] và lập vào khoảng lồng nhau [ai,bi] (i=1, 2, 3,…) [ai, (ai-1 + bi-1)/2] nếu f((ai-1 + bi-1)/2)>0 [ai,bi] = [bi, (ai-1 + bi-1)/2] nếu f((ai-1 + bi-1)/2)<0 Như vậy: - Hoặc nhận được nghiệm đúng ở một bước nào đó: = (ai-1 + bi-1)/2 nếu f((ai-1 + bi-1)/2) = 0 - Hoặc nhận được 2 dãy {an} và {bn}, trong đó: {an}: là dãy đơn điệu tăng cà bị chặn trên {bn}: là dãy đơn điệu giảm cà bị chặn dưới n→ nên lim an = lim bn = là nghiệm phương trình. Ví dụ: Tìm nghiệm dương của phương trình f(x) = x2 + 2x – 0,5, trong khoảng [0,1] theo phương pháp chia đôi, ta có kết quả sau: Số bước lập i a b c = (a+b)/2 f(a) f(b) f(c) (a+b)/2 1 0 1 0,5 -0,5 2,5 0,75 0,5 2 0 0,5 0,25 -0,5 0,75 0,0625 0,25 3 0 0,25 0,125 -0,5 0,0625 -0,23438 0,125 4 0,125 0,25 0,1875 -0,23438 0,0625 -0,08984 0,0625 5 0,1875 0,25 0,21875 -0,08984 0,0625 -0,01465 0,03125 6 0,21875 0,25 0,234375 -0,01465 0,0625 0,023682 0,015625 7 0,21875 0,234375 0,2265625 -0,01465 0,023682 0,004456 0,007813 b. Ý nghĩa hình học của nghiệm. Một đường cong y = f(x) liên tục đơn điệu tăng hay đơn điệu giảm nối liền hai điểm A(a,f(a)), B(b,f(b)) ở hai miền khác nhau của trục hoành sẽ cắt trục hoành tại điểm có tọa độ ( x0,0) và đó chính là nghiệm của phương trình f(x) = 0. Nói cách khác, nghiệm của phương trình f(x) = 0 có ý nghĩa hình học là giao điểm của đồ thi hàm số y = f(x) và trục hoành. Ví dụ: Xét phương trình : x2 – 2x = 0 ta có đồ thị sau: Ta thấy đồ thị của hàm số y = x2 – 2x (đường cong đó) cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (0,0) và (2,0). Do đó, x = 0 và x = 2 là nghiệm của phương trinh. 1.2. Sự tồn tại nghiệm thực của phương trình Nếu hàm số f(x) liên tục [ab] và f(a), f(b) trái dấu nhau f(a)*f(b)<0 thì phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a,b). Ví dụ: Xét y = f(x) = x – 2 trên [1,3], f(x) liên tục trên [1,3] và f(1) = 1 - 2 = -1 f(3) = 3 - 2 = 1 f(1)*f(3) = (-1)*1 = -1<0 Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (1,3). Ta có thể thấy qua đồ thị sau: 1.3. Điều kiện hội tụ của phương pháp chia đôi. Nếu ta thực hiên vô hạn lần phương pháp chia đôi với khoảng [a,b] thì hoặc tại một lần nào đó, điểm giữa khoảng là nghiệm đúng của phương trình f(x) = 0; hoặc ta nhận được một dãy vô hạn các khoảng lồng nhau thu nhỏ dần [a1,b1], [a2,b2],…, [an,bn] sao cho: f(an).(bn) < 0 b – a 2n và bn – an = ,n = 1, 2, … b – a 2n Vì n→ n→ bn – an = → 0 khi n → ∞ nên lim an = lim bn = µ. Cho n → +∞ trong bất đẳng thức f(an).(bn) < 0, do sự liên tục của hàm số f(x), ta có: [f(µ)]2 ≤ 0 f(µ)] = 0. Vậy µ = α. 1.4. Thuật toán của phương pháp chia đôi. - Khai báo hàm f(x) - Nhập a, b sao cho f(a) < 0 và f(b) < 0 Lập c = (a + b)/2 nếu f(c) > 0 → b = c ngược lại a = c trong khi (|f(c)| > ) /* | a – b | > và f(c)! = 0 */ - Xuất nghiệm c. 2. LƯU ĐỒ KHỐI Start Nhập hàm f(x), a, b, sai số c = (a + b)/2, tính f(c) f(c)*f(a)<0 End Thay b = c Thay a = c Tính e = (b – a)/2 e < Sai Đúng, dừng c là nghiệm gần đúng CHƯƠNG III HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG Để bắt đầu kích hoạt chạy file NienLuan1.exe như thế này Đầu tiên ta đưa đĩa vào trong ổ đĩa cho đĩa chạy, sau đó mở ổ đĩa ra có hình như sau: Ta kích đúp vào biểu tượng hình như sau với tên : NienLuan1.exe Chương trình sẽ chạy và xuất hiện giao diện có hình như sau: Trên giao diện chính này chúng ta sẽ thấy rõ yêu cầu hay tên đề tài, đồng thời cũng cho biết những thông tin về GVHD và SVTH, và có ba nút chức năng trên giao diện ứng với những số trên bàn phím hay chúng ta có thể dùng phím mũi tên để chọn từng nút trên giao diện. Ở hình trên nếu ta chọn: Phím 1 ứng với phần giới thiệu đề tài. Phím 2 ứng với phần Demo. Phím 3 là thoát khỏi chương trình. Nếu ta chọn phím số 1 là nút giống như hình sau: Ở mục này chỉ giới thiệu tổng quát về đề tài của Niên Luận 1. Nếu chúng ta chọn phím số 2 là nút như sau: thì nó sẽ bắt đầu chương trình như sau: Đầu tiên chúng ta chọn bậc của phương trình (ví dụ chọn bậc là 3): như trong hình: Nhập vào số 3 như trên là bậc của phương trình 3 Sau đó nhấn nút ENTER à rồi nhập hệ số của phương trình: (ví dụ cho phương trinh: x3 - x – 1= 0) a[0] = 1 tương ứng với hệ số tại vị trí x3 a[1] = 0 tương ứng với hệ số tại vị trí x2 a[2] = -1 tương ứng với hệ số tại vị trí x1 a[3] = -1 tương ứng với hệ số tại vị trí x0 như hình sau: Nhập từng hệ số của phương trình Sau khi nhập hệ số của phương trình xong ta nhấn nút ENTER sẽ xuất hiện hình sau: à nhập khoảng cách ly nghiệm vào : ví dụ khoảng cách ly nghiệm là [12,1] như hình trên. Sau đó ta nhấn phím ENTER sẽ xuất hiện kết quả như bản sau: Kết quả Sau đó ta nhấn vào bất kỳ một nút nào trên bàn phím sẽ thoát khỏi chương trình trên. Nếu ta chọn phím số 3 là nút giống như hình sau: Khi ta bấm vào phím số 3 thì chương trình sẽ kết thúc. CHƯƠNG IV KẾT LUẬN 1. Kết quả nhận được Xây dựng một chương trình Demo tương đối hoàn thiện, cũng có thể nói là đáp ứng được yêu cầu của đề tài đặt ra. Tương đối dễ sử dụng với giao diện thân thiện. 2. Hạn chế Chưa xây dựng đầy đủ các dạng của phương trình mà chỉ mới thực hiện trên phương trình đa thức bậc n. Cách bố trí các thành phần trên giao diện còn chưa đẹp lắm, còn có những hạn chế về ngôn ngữ lập trình. 3. Thu hoạch về chuyên môn và kinh nghiệm Việc thực hiện đề tài giúp củng cố lại kiến thức toán học đã học và tìm hiểu, học hỏi thêm những kiến thức chưa được học. Rèn luyện kỹ năng lập trình, nâng cao khả năng tự học và khả năng giải quyết vấn đề của bài toán. 4. Hướng phát triển Hoàn thiện thêm để có thể thực hiện trên nhiều loại đa thức như phương trình lượng giác, phương trình mũ…Có biện pháp làm tròn số hợp lí để cho kết quả chính xác hơn. Xây dựng giao diện đẹp và dễ sử dụng hơn. Thực hiện bằng nhiều ngôn ngữ lập trình khác để có kết quả tốt hơn. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Dương Việt Hằng, bài giảng PHƯƠNG PHÁP TÍNH, Khoa Công nghệ thông tin, Đại Học Bạc Liêu. [2]. GS. Tạ Văn Đĩnh, PHƯƠNG PHÁP TÍNH, Nhà xuất bản giáo dục 1999. [3]. Trần Văn Minh, PHƯƠNG PHÁP SỐ, Nhà xuất bản Khoa học Kĩ thuật, Hà Nội 1998