Phương pháp chọn điểm biên trong chứng minh bất đảng thức
Kĩ thuật chọn điểm biên trong áp dụng các bất đẳng thức trung bình . Cở sở của kĩ thuật chọn điểm biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên.Một dấu hiệu quan trọng là xét trường hợp dấu đẳng thức xảy ra và từ chiều của bất đẳng thức để từ đó ta phân tích sơ đồ tìm hệ số phù hợp và áp dụng được các bất đẳng thức trung bình
Bạn đang xem nội dung tài liệu Phương pháp chọn điểm biên trong chứng minh bất đảng thức, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
PAGE 45
Chương 2: Các kĩ năng mới chứng minh và sang tạo bất đẳng thức đại số .
Học viên : Phùng Đức Thành .
Pptoán sơ cấp 2009 - 2011
2.5 Kĩ thuật đổi biến trong việc áp dụng bất đẳng thức kinh điển .
Nhận xét :Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh hoặc khó nhận biết được phương hướng giải, ta có thể chuyển bài toán từ tình thế khó biến đổi về trang thái dễ biến đổi hơn bằng kĩ năng đổi biến để có thể áp dụng được các bất đẳng thức kinh điển dễ dàng hơn .
Ví dụ1:
Cho a,b,c > 0 và a+b+c 0
Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 3., và: 3.
. Mà x+y+z 0.
Suy ra
Vậy .
=
.
Bài tập:
Bài tập 1. Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh:
Lời giải :
+Đặt
+VT=
(Theo BĐT CôSi)
+VP=
(Áp dụng BĐT CôSi cho từng cặp)
ĐPCM. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1 hay x = y = z = 1
Bài tập 2: Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng
Lời giải :
§Æt x=a3 y=b3 z=c3 th× x, y, z >0 vµ abc=1.Ta cã
a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)ab, do a+b>0 vµ a2+b2-abab
a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0
T ương tự ta có
,
Céng theo vÕ ta cã
=++
= (đpcm)
DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1 .
Bµi tập 3 :Cho x, y, z > 0 t/m ®k :xyz = 1 .Tìm min của biểu thức sau :
Lời gi¶i:
§Æt
DÔ dµng CM ® îc :
Nh©n 2 vÕ víi a + b +c 0
Các file đính kèm theo tài liệu này:
Phương phps chọn điểm biên trong chứng minh bts đửng thức.doc
