Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ

r đối với những tổ hợp của xác suất trên đối với nhóm . Để làm điều đó, chúng ta thay thế phân bố gốc nG :π →G R bởi một hàm số mới : nπ → G Rnhư sau: 1 1 2 1 ( ) ( ,..., ) 0 neáu ngöôïc laïi n n h h h ... h h h ππ = = =⎧= ⎨⎩ Từ đó chúng ta có: ∑ ∏ ∈ = −= n n Ghh n i ii i nn ghfhhggp ),...,( 1 )( 11 1 )(),...,(~),...,( π vì thế p là chập của hai hàm số trên . Biến đổi Fourier cho ra: nG ∏ = = n i i i nn fq 1 )( 11 )(ˆ),...,(~ˆ),...,( χχχπχχ bởi công thức tính chập là độc lập của f(i) trong biến đổi Fourier. Mặt khác ∑ ∑ =〉〈= 〉〈= ∈ ∈ )...(ˆ)(.),... ),...,(~.),...,(),,...,(),...,(~ˆ 2121 111),..,(1 1 nnGg nnnGggn gg ggggn n χχχππχχχ πχχχχπ cho nên ∏ = = n i i i nn fq 1 )( 11 )(ˆ),...,(ˆ),...,( χχχπχχ Ví dụ trên là cơ sở để giới thiệu sự cần thiết để chứng minh những kết quả tổng quát sau. Định lý ([Evans and Speed, 1993]): Cho là phân phối có điều kiện của một mô hình cơ sở nhóm đối với cây sinh loài T được giới thiệu ở phần trên. Thì biến đổi Fourier của p có dạng ),...,( 1 nggp )(ˆ),...,(ˆ),...,( }{\)( )( )( 11 ∏ ∏ ∈ Λ∈ = rTVv vl l v nn fq χχχπχχ với )(vΛ là tập của lá có v như là cha. Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 42 Thay thế tọa độ gốc bởi tọa độ Fourier , kết quả của là các đơn thức của các tham số. niiip ..21 niiiq ..21 niiiq ..21 5.4. Toạ độ Fourier Mỗi một tọa độ Fourier của 2n hoặc 4n tọa độ được ký hiệu bởi . Chú ý, với phân phối tại gốc là phân phối đều và mô hình chúng ta đang xét có cấu trúc nhóm như Jukes-Cantor hay Kimura-2, Kimura-3, biến đổi Fourier từ theo và ngược lại theo định lý trên (ở phần 5.3) như sau: niiiq ..21 niiip ..21 niiiq ..21 ∑= n n n n jj jjn jj iii qiip ,..., ...1.. 1 1 1 21 ,)()...( χχ ∑= n n n n jj jjn ii niii pjjk q ,..., ...1.. 1 1 1 21 .)()...(1 χχ Ở đây iχ là đặc trưng của nhóm kết hợp đến phần tử thứ i của nhóm. Bảng đặc trưng của nhóm chúng ta sử dụng là và 2Z 2 2⊕Z Z sau: 111 110 1 0 - và 1111 1111 1111 1111 - -T - - G - -C A T G C A Nói cách khác, là chính là phần tử (i, j) tương ứng trong bảng đặc trưng trên. )( jiχ 5.5. Áp dụng tìm bất biến trên một cây sinh loài 5.5.1. Mô hình bài toán Để làm rõ vấn đề trên chúng ta xem xét một cây sinh loài cụ thể sau: Cho cây sinh loài có gốc với 3 lá với hình 8 sau: Hình 8: Cây sinh loài có gốc với 3 nút lá Để đơn giản, giả sử mô hình chúng ta đang xét là mô hình Jukes – Cantor với 4 trạng thái. Ngoài ra, các kí tự tại nút gốc có phân phối đều, nói cách khác xác suất xuất hiện các ký tự {A, G, C, T} tại gốc là bằng nhau và bằng 0.25. Theo hình dáng cây trên, chúng ta có 3 cạnh bằng nhau, cho nên ma trận xác xuất chuyển đổi như sau: Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 43 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 c c c c c c c c c c c c c c c c c ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ (Với ma trận trên ta có ràng buộc c0+3c1=1). 5.5.2. Các khả năng xảy ra trên các nút lá Như trên, vì cây có 3 lá, nên số trường hợp có thể xảy ra trên lá là 64 khả năng. (Xem Phụ lục 1) 5.5.3. Các lớp xác suất tương đương Trong 64 toạ độ trên, thì chỉ có 4 lớp tương đương sau: Lớp 1 có 4 toạ độ: 3 3 0 1 1 3 4 4AAA GGG CCC TTT p p p p c= = = = + c Lớp 2 có 36 tọa độ: 2 0 1 0 1 1 4 4 AAC AAG AAT ACA ACC AGA AGG ATA ATT CAA CAC CCA CCG CCT CGC CGG CTC CTT GAA GAG GCC GCG GGA GGC GGT GTG GTT TAA TAT TCC TCT TGG TGT TTA TTC TTG p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p c c c = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = + 2 31 112c c+ Lớp 3 có 24 tọa độ: 2 3 0 1 1 3 1 4 4 ACG ACT AGC AGT ATC ATG CAG CAT CGA CGT CTA CTG GAC GAT GCA GCT GTA GT TAC TAG TCA TCG TGA TGC p p p p p p p p p Cp p p p p p p p p p p p p p p c c c = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = + Đặt 0 1, 2,p p p là tổng các xác suất trong một lớp tương đương trên, ta có: 3 3 0 0 3p c c= + 1 3 1 1c m 2 2 1 0 1 0 19 9 18p c c c c c= + + 2 3 2 0 118 6p c c= + Vậy ánh xạ chúng ta cần xem xét , trong đó: : df →^ ^ Trong đó d = 2 (c0 và c1) và cây có 3 lớp đại diện cho 64 khả năng xảy ra ở các nút lá cho nên m = 3. Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 44 Vì thế thực tế ánh xạ chúng ta đang xét đó là: 2 3:f →\ \ 5.5.4. Chuyển đổi Fourier Sử dụng công thức chuyển đổi Fourier ∑= n n n n jj jjn ii niii pjjk q ,..., ...1.. 1 1 1 21 .)()...(1 χχ ta được: 3 2 2 3 0 1 2 0 0 1 0 1 1 3 2 2 0 1 2 0 0 1 0 1 9 27 27 1 1 1 1 1 5 1- - 9 81 27 9 9 9 3 AAA AAG q p p p c c c c c c q p p p c c c c c = + + = + + + = + = + + 31c 3 2 2 0 1 2 0 0 1 0 1 3 2 2 0 1 2 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 5 1- - 9 81 27 9 9 9 3 1 1 1 1 1 5 1- - 9 81 27 9 9 9 3 AAC AAT q p p p c c c c c q p p p c c c c c = + = + + = + = + + 3 1 3 1 c c 3 2 2 0 1 2 0 0 1 0 1 3 2 2 0 1 2 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 5 1- - 9 81 27 9 9 9 3 1 1 1 1 1 5 1- - 9 81 27 9 9 9 3 AGA AGG q p p p c c c c c q p p p c c c c c = + = + + = + = + + 3 1 3 1 c c 3 2 2 3 0 1 2 0 0 1 0 1 3 2 2 3 0 1 2 0 0 1 0 1 1 1 1 1- - 18 18 2 2 1 1 1 1- - 18 18 2 2 1 1 6 6 1 1 6 6 AGC AGT q p p p c c c c c q p p p c c c c c = + = + = + = + 1 1 - - 1 6 1 6 c c 3 2 2 0 1 2 0 0 1 0 1 3 2 2 0 1 2 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 5 1- - 9 81 27 9 9 9 3 1 1 1 1- - 18 18 2 2 1 1 6 6 ACA ACG q p p p c c c c c q p p p c c c c c = + = + + = + = + 3 1 3 1- 1 6 c c 3 2 2 0 1 2 0 0 1 0 1 3 2 2 3 0 1 2 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 5 1- - 9 81 27 9 9 9 3 1 1 1 1- - 18 18 2 2 1 1 6 6 ACC ACT q p p p c c c c c q p p p c c c c c = + = + + = + = + 3 1 1- 1 6 c c 3 2 2 0 1 2 0 0 1 0 1 3 2 2 3 0 1 2 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 5 1- - 9 81 27 9 9 9 3 1 1 1 1- - 18 18 2 2 1 1 6 6 ATA ATG q p p p c c c c c q p p p c c c c c = + = + + = + = + 3 1 1- 1 6 c c Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 45 3 2 2 3 0 1 2 0 0 1 0 1 3 2 2 0 1 2 0 0 1 0 1 1 1 1 1- - 18 18 2 2 1 1 1 1 1 5 1- - 9 81 27 9 9 9 3 1 1 6 6 ATC ATT q p p p c c c c c q p p p c c c c c = + = + = + = + + 1 3 1 - 1 6 c c 3 1c Tất cả q còn lại đều mang giá trị 0. Các q trên được chia thành 3 lớp tương đương: Lớp 1(có một tọa độ): 3 2 2 1 2 3 0 0 1 0 19 27 27 AAAq p p p c c c c c= + + = + + + Lớp 2 (có 9 tọa độ): 3 2 2 3 1 2 3 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 5 1- - 9 81 27 9 9 9 3 AAG AAC AAT AGA AGG ACA ACC ATA ATTq q q q q q q q q p p p c c c c c c = = = = = = = = = + = + + Lớp 3 (có 6 tọa độ): 3 2 2 3 1 2 3 0 0 1 0 1 1 1 1 1- - 18 18 2 2 1 1 6 6 AGC AGT ACG ACT ATG ATCq q q q q q 1- 1 6 p p p c c c c c = = = = = = + = + c 3 1 Đặt là tổng giá trị của từng lớp tương đương trên, thì 0 1 2, ,q q q 3 2 2 0 0 1 2 0 0 1 0 19 27 27 q p p p c c c c c c= + + = + + + 3 2 2 1 0 1 2 0 0 1 0 1 1 1- - 5 9 3 q p p p c c c c c c= + = + + 313 3 2 2 2 0 1 2 0 0 1 0 1 1 1- - 3 3 3 3 q p p p c c c c c c= + = + 31- 5.5.5. Kết quả tìm được Bất biến cần tìm là được: 2 3 0 2 1- 0q q q = Hay bất biến cần tìm: 2 3 0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 2 2 3 2 2 3 0 2 0 1 0 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1( )( - ) - ( - ) 0 3 3 9 3 8 16 4 80 8 4 4- - - 3 27 9 729 81 27 27 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p + + + + = ⇔ + + + 0= Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 46 5.6. Những tính chất của thành phần bất biến Cũng theo các tác giả [Evans and Speed, 1993] thì với phép biến đổi Fourier trên, chúng ta sẽ tìm được tất cả các thành phần bất biến trên cây sinh loài. Và một điều quan trọng nữa là các thành phần bất biến trên là những đa thức thuần nhất. Thành phần bất biến tầm thường nhất là 1i i p =∑ mà ta đã biết. Những thành phần bất biến tìm được ở đây là dữ liệu đầu vào để giải trình hợp lý ở chương sau. Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 47 Chương 6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỢP LÝ Chương này đưa ra phương pháp giải phương trình hợp lý dựa vào tính bất biến của cây sinh loài và mẫu dữ liệu quan sát. 6.1. Quỹ tích hợp lý trên một đa tạp Chúng ta mô tả một mô hình thống kê là một tập con của: 1 0 1 0 1 0 1{( , ,..., ) : , ,..., 0 ... 1} n n n np p p p p p p p p +Δ = ∈ > + + + =R vaø n giả sử rằng, mô hình được mô tả như là một tập nghiệm chứa trong bởi một hệ các phương trình các đa thức thuần nhất với các biến chưa biết . Các đa thức được biết như là thành phần bất biến ở chương 5. Gọi V là tập của tất cả nghiệm phức được cho bởi hệ các phương trình đa thức thuần nhất. Vấn đề cực đại hợp lý là tìm những điểm ở mô hình nΔ 0 1, ,..., np p p 0 1( , ,..., )np p p p= 0 nV V> = Δ∩ mà giải thích hợp lý nhất cho bởi véc tơ dữ liệu . Nghĩa là giải quyết vấn đề tối ưu với ràng buộc sau: 1 0 1( , ,..., ) n nu u u +∈` Cực đại hàm hợp lý 0 10 1 ... n u u n uL p p p= hay bài toán log tương đương với giả thuyết là 0 0log .... lognl u p u p= + + n 0p V>∈ . Tiếp cận của chúng ta là tìm tất cả các điểm tới hạn của hàm hợp lý cực đại L và sau đó chọn những nghiệm thực dương, những điểm đó là cực trị địa phương. Trong quá trình giải tìm cực đại hàm trên, chúng ta sẽ tìm tất cả điểm tới hạn trên đa tạp phức V. Cho sin gV ký hiệu những điểm kỳ dị của đa tạp V và tập . Đặt P là iđêan trên vành đa thức được sinh bởi các đa thức được xác định bởi V, hay: sin: \reg gV V V= 0 1[ , ,..., ]np p pR 0 1[ ] [ , ,..., ]/nV p p p P=R R Định nghĩa: Cho U là một tập mở 0 1\ ( . ... ( ))reg n iV p p p p℘ ∑ của V . Quỹ tích hợp lý Zu là tập các điểm p U∈ mà 0dL = . Iđêan hợp lý [ ]uI V⊂ R là iđêan của tập đóng của Zu trong V. 6.2. Ma trận Jacobi của các đa thức bất biến 6.2.1. Gradient- Vector vận tốc Cho khả vi. Khi đó gradient của f tại x, được ký hiệu : nf →\ \ ( )gradf x và định nghĩa là vector: Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 48 1 ( ) ( ( ),..., ( ))grad n f ff x x x x x∂ ∂= ∂ ∂ Với , tập c∈\ 1{ : ( ) }nc ( )M x f x c f −= ∈ = =\ c gọi là mặt mức. Về mặt hình học vector grad f(x) vuông góc với mặt mức của cM tại x. Vậy phương trình mặt phẳng tiếp xúc với cM tại 1( ,..., )na a a= là 1 1 1 ( )( ) ... ( )( ) 0n n n f fa x a a x a x x ∂ ∂− + + − =∂ ∂ 6.2.2. Ma trận Jacobi của các đa thức bất biến Đặt là tập các đa thức thuần nhất được sinh ra bởi iđêan P. Chúng ta mô tả ma trận Jacobi như sau: 0 1{ , ,..., }rg g g 1 0 1 1 1 2 0 2 1 2 0 1 1 1 1 n n r r r g p g p g p J g p g p g p g p g p g p ⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ " " " # # % # " n và ma trận chuyển vị của J là : TJ 1 0 2 0 0 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 r rT n n r g p g p g p g p g p g p J g p g p g p ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ " " # # # % # " n Chúng ta nhân J bởi ma trận đường chéo các phần tử trên đường chéo là các biến như sau: 0 1 1 1 0 1 0 1 2 2 0 10 1 0 1 0 1 0 0 . ( , ,..., ) n n n nn n r r n n p p p g gp p p 1 2 r g p p p g g gp p pJ J diag p p p p p p g g gp p p p p p ⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥= = ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ " "  " # # % # " Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 49 6.2.3. Không gian tiếp xúc Vì V là một đa tạp khả vi và p V∈ , tập vector tiếp xúc với M tại p được gọi là không gian tiếp xúc với V tại p và ký hiệu thì: pT V { : ( ), 1,...,gradnp iT V v v g p i m= ∈ ⊥ =P } Viết một các khác cho bởi hệ phương trình pT V : . 0 nv J v∈ =P , hay là Ker của ma trận trên . pT V J 0 1[ ] [ , ,..., ]/nV p p p=\ R P 6.3. Bài toán cực trị điều kiện Ta có bài toán tìm cực trị của hàm hợp lý chính là tìm cực trị hàm . Nói cách khác là tìm cực trị của hàm l với điều kiện ràng buộc . Ta có: :l V →\ 0 1 ... 0rg g g= = = = 0 0 ( ) ( ,..., )grad n n u ul p p p = Điều kiện cần: Nếu đặt cực trị với ràng buộc l 0 1 ... 0rg g g= = = = tại p, thì ( )grad pf p T V⊥ suy ra 0 0 0 ... 0n n n u uv v p p + + = với pv T V∈ vì nên tập các p thuộc tập: 0, 0,...,ip i≠ = n 0 0 n i i i uφ = =∑ với các vector 0( ,..., )nφ φ chạy trên tập Ker của ma trận trên J 0 1[ ] [ , ,..., ]/nV p p p P=\ R Phương pháp nhân tử hoá Lagrange: Từ trên, để tìm điểm nghi ngờ cực trị của l với điều kiện , ta lập hàm Lagrange 0 1 ... 0rg g g= = = = 1 0 0 0( , ) ( ) ... , ,( ,..., ) r r r rp l p g g p Vλ λ λ λ λ += − − − ∈ ∈^L Nếu p là điểm cực trị có điều kiện thì tồn tại sao cho ( ,10( ,..., ) r rλ λ +∈^ )p λ là nghiệm của hệ: 0 ( , ) 0 ( ) 0 ( ) 0r p p g p g p λ∂⎧ =⎪ ∂⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩ # L Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 50 Điều kiện đủ: Đặt *( *, )pH p λL là Hessian của hàm Lagrange theo biến p. Khi đó: Nếu L *( *, )pH p λL xác định âm, thì đạt cực đại tại . l *p ( Xem [Tạ Lê Lợi, 2002]) 6.4. Bậc của hợp lý cực đại Bậc hợp lý cực đại của mô hình thống kê đại số là số điểm tới hạn phức của logarit phương trình hợp lý đối với vector dữ liệu l 1nu +∈` và nó hữu hạn và bị chặn trên theo định lý sau: Định lý: Cho 0,..., rP g g= 〈 〉 là một iđêan trong với là đa thức thuần nhất có bậc là với . Thì bậc hợp lý cực đại của P là hữu hạn và bị chặn trên bởi 0[ ,..., ]np p_ ig id 0,...,i = r d0 1 0 1 0 0 0 ... 0,...., 0 ... r r r i i i r i i i n r i i D d d + + + ≤ − > > = ∑ Chứng minh: Xem [Hoşten et al., 2005]. 6.5. Các thuật toán Từ các phân tích trên ta xây dựng một số thuật toán sau giải phương trình hợp lý. Thuật toán 1: (Tính toán phương trình hợp lý) Input: Một iđêan thuần nhất và một vector 0[ ,..., ]nP p p⊂ \ 1nu +∈` . Output: Iđêan hợp lý uI của mô hình ( )V Pυ= cho dữ liệu u. Bước 1: Tính . Đặt Q là iđêan những quỹ tích điểm kỳ dị của V. ( 1) dim(c n V= + − ) Bước 2: Tính Ker M của ma trận trên J 0 1[ ] [ , ,..., ]/nV p p p P=\ R . Bước 3: Đặt 'uI là iđêan trong sinh bởi đa thức [ ]V\ 0 0 n i i i uφ = =∑ , với vector 0( ,..., )nφ φ chạy trên tập M. Bước 4: Iđêan uI bằng ' uI loại bỏ đi những điểm kỳ dị. (Chứng minh tính đúng thuật toán trên: Bước 1, tìm quỹ tích những điểm kỳ dị được chứng minh ở [J.S. Milne, 2005]. Các bước còn lại có được bởi sự phân tích ở phần đầu chương). Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 51 Thuật toán 2: (Tính toán cực đại địa phương của hàm hợp lý) Input: Iđêan hợp lý uI của mô hình V và dữ liệu u. Output: Danh sách của tất cả các cực đại địa phương cho phương trình hợp lý. Bước 1: Nếu dim đối với dữ liệu u, tính ra tập ( ) 0uI = uZ . Với mỗi một nghiệm dương thực hiện các bước sau: * 0up Z V>∈ ∩ Bước 2: Giải phương trình tuyến tính *( ).TJ p uλ = để thu các nhân tử Lagrange *iλ . Bước 3: Tính toán Hessian *( *, )pH p λL của hàm ( , )p λL . Bước 4: Nếu *( *, )pH p λL ở bước 3 là xác định âm thì xuất với giá trị hàm tương ứng. *p *(l p ) 6.6. Áp dụng giải phương trình hợp lý Xét ví dụ cây sinh loài ở chương 5, thành phần bất biến chúng ta tìm được là: 2 2 2 3 2 2 1 0 2 0 1 0 2 1 1 2 1 2 2 8 16 4 80 8 4 4- - - 3 27 9 729 81 27 27 g p p p p p p p p p p p p= + + + 3 0= và bất biến tầm thường là: 0 0 1 2 1 0g p p p= + + − = hay : 2 2 2 3 2 2 0 1 2 0 2 0 1 0 2 1 1 2 1 2 2 8 16 4 80 8 4 4: 1, - - - 3 27 9 729 81 27 27u 3I p p p p p p p p p p p p p p p= 〈 + + − + + + 〉 Giả sử bộ dữ liệu quan sát đếm được cho từng xác suất tương ứng là . 0 1 2, ,p p p (700,45,49)u = Kết quả sau khi chạy thuật toán 1: Xem phụ lục 2. Kết quả sau khi chạy thuật toán 2 tìm được số nghiệm của phương trình hợp lý là 5 nghiệm như sau: (0.2474737682, 2.5624447362, -1.8099185045) (0.8289181084, 0.1641242871, 0.0069576045) (0.1469015638, 0.7993903746, 0.0537080615) (-0.0296031392-i*0.2337477875,0.0376058385-i*0.0038708209, 0.9919973007+i*0.2376186084) (-0.0296031392+i*0.2337477875,0.0376058385+i*0.0038708209, 0.9919973007-i*0.2376186084) Trong 5 nghiệm trên có 2 nghiệm thực dương là: Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 52 (0.8289181084, 0.1641242871, 0.006957604546) (0.1469015638, 0.7993903746, 0.05370806152) Hàm Lagrange tương ứng: 0 1 2 0 0( , ) 700ln( ) 45ln( ) 49ln( )p p p p g 1 1gλ λ λ= + + + +L Với nghiệm thứ nhất nhân tử Lagrange tìm được tương ứng là: * 0 844.4742431640λ = , *1 =18.6903667449λ Ma trận Hessian tương ứng * * 0 1 2 1( , ) -7.000e+02 -3.441e-03 7.832e-02 -3.441e-03 -4.502e+01 -6.100e-04 7.832e-02 -6.100e-04 -4.899e+01 pH p p p p λ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ L Ma trận Hessian trên cho xác định âm, cho nên hàm hợp lý trên đạt giá trị cực đại cục bộ tại điểm trên và giá trị hàm hợp lý tương ứng là: -456.0927286l = Với nghiệm thứ hai nhân tử Lagrange tìm được tương ứng là: * 0 4765.0976562500λ = , *1 =64.9804763793λ Ma trận Hessian tương ứng * * 0 1 2 1( , ) -6.999e+02 -3.883e-01 3.407e-01 -3.883e-01 -4.486e+01 -7.124e-02 3.407e-01 -7.124e-02 -4.904e+01 pH p p p p λ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ L Ma trận Hessian trên cũng cho xác định âm, cho nên hàm hợp lý trên đạt giá trị cực đại cục bộ tại điểm trên và giá trị hàm hợp lý tương ứng là: -1495.955966l = Với 2 kết quả trên ta có thể kết luận, hàm hợp lý đạt giá trị cực đại toàn cục tại (0.8289181084, 0.1641242871, 0.0069576045) p = và giá trị hàm hợp lý tương ứng là . -456.0927286l = Kết quả chương trình với số cây khác xem phụ lục 4. Vì chúng ta xử lý bài toán trên những xác suất nên độ chính xác là cần thiết, vì thế độ dài phần lẻ được lấy ở chương trình là 10 con số. Và chương 7 sẽ cho chúng ta một cái nhìn tổng quan hơn về chương trình thực hiện giải phương trình hợp lý - áp dụng trên cây sinh loài. Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 53 Chương 7. CHƯƠNG TRÌNH THỰC HIỆN 7.1. Sơ đồ khối chương trình Hình 9: Sơ đồ khối chương trình tìm cấu trúc cây sinh loài Input: Các chuỗi DNA N := Số cây sinh loài được tạo ra từ các chuỗi trên i: = 1 Tính các thành phần bất biến của cây i Tính vector u từ các chuỗi Begin Giải phương trình hợp lý i<N Output: Cây sinh loài có hàm hợp lý lớn nhất Tính các lớp tương đương trên cây i End Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 54 7.2. Sơ lược về chương trình Bài toán trên được chia thành nhiều bài toán nhỏ tách rời nhau. Vì thế để chọn một ngôn ngữ lập trình phù hợp của từng công đoạn cũng cần được tính đến. Trong luận văn này, hai ngôn ngữ được chọn để viết và kiểm nghiệm đó là ngôn ngữ C++ và Singular. Gói phần mềm viết bằng C++ giải quyết phần đầu bài toán là xác định các xác suất xảy ra trên cây và đếm số lượng các vector dữ liệu u. Phần quan trọng nhất của chương trình là tìm các thành phần bất biến và giải phương trình hợp lý được viết trên ngôn ngữ Singular (Xem phụ lục 3). Singular là một hệ thống các phương pháp tính toán đa thức, đại số giao hoán và hình học đại số. Nó là một gói phần mềm rất hữu hiệu cho đại số thống kê. 7.3. Kết quả chương trình Xét cây sinh loài có gốc với 3 taxa, dữ liệu tương ứng với mỗi lá ở đây là những gen có tên là HIVenvSweden (dữ liệu lấy ở [Yang, Z. 1997]) có chiều dài 273 ký tự như sau: U68496:=GTAGTAATTAGATCTGAAAACTTCACGAACAATGCTAAAACCAT AATAGTACAGCTAAATAAATCTGTAGAAATTAATTGTGTAAGACCCGGCA ACAATACAAGAAGAAGTATACATATAGGACCAGGGAGAGCATATTATACA GGAGAAGTAATAGGAGATATAAGACAAGCACATTGTAACCTTAGTAGAAC AGACTGGAATAAAACTTTAAAACAGGTAGCTGAAAAATTAAGAGAACAAT TTAATACAACAATAGTCTTTAATCAATCC U68497:=GTAGTAATTAGATCTGAAAACTTCTCGAACAATGCTAAAACCATA ATAGTACAGCTAAATAAATCTGTAGAAATTAATTGTACAAGACCCAACAA CAATACAAGAAGAAGTATACATTTTGGACCAGGGAAAGCATTTTATGCAG GAGAAATAATAGGAGATATAAGACAAGCATATTGTACCCTTAATGGAACA GAATGGAATAACACTTTAAAACAGGTAGCTGAAAAATTAAGAGAACAATT TATTAAAACAATAGTTTTTAATCAATCC U68498:=ATAGTAATTAGATCTGAAAACTTCTCGAACAATGCTAAAACCATA ATAGTACAGCTAAATAAATCTGTAGAAATTAATTGTACAAGACCCAACAA CAATACAAGAAGAAGTATACATTTCGGACCAGGGAAAGCATTTTATGCAG GAGAAATAATAGGAGATATAAGACAAGCATATTGTACTCTTAATGGAGCA GAATGGAATAACACTGTAAAACAGGTAGCTGCAAAATTAAGAGAACAATT TAATAAAACAATAATCTTTAATCAATCC Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 55 Với 3 gen này mục đích chúng ta là tìm mối liên hệ tổ tiên giữa chúng. Có 2 dạng cây 3 taxa có gốc như hình 10. Cây 3 taxa hình móng Cây3 taxa hình lược Hình 10: Hai hình dạng cây 3 taxa có gốc Ta chọn mô hình Jukes – Cantor cho bài toán này. Với Cây hình móng: Chỉ có một trường hợp duy nhất, dữ liệu quan sát khi so dóng trên từng cột như Bảng 2. Bảng 2: Các mẫu và số lượng từng mẫu trên 3 chuỗi gen HIVenvSweden với cây hình móng (U68496, U68497, U68498) Các mẫu A A A A A T A G A A G G A C A A C C A C T A T T G A A G A G G G G C A A C C C C C T C T C C T T T G T T C C T T T Số lượng 113 1 1 2 1 2 1 3 6 2 39 2 34 1 1 1 1 1 61 Cây này có 3 lớp tương đương, số lượng từng lớp trên dữ liệu là u=(247, 25, 1), khi chạy chương trình cho kết quả: p= (0.903285626594, 0.094557322708, 0.00215705069738) và giá trị hàm hợp lý tương ứng ( ) -90.22670674l p = Với Cây hình lược: Có 4 lớp xác suất tương đương và 3 trường hợp xảy ra: Trường hợp 1: Các nút cây tương ứng (U68496,(U68496, U68496)) và số lượng các mẫu dữ liệu quan sát khi so dóng trên từng cột đối với trường hợp này ở bảng 3. Bảng 3: Các mẫu và số lượng từng mẫu trên 3 chuỗi gen HIVenvSweden với cây hình lược với trường hợp ((U68496,(U68497, U68498)) Các mẫu A A A A A T A G A A G G A C A A C C A C T A T T G A A G A G G G G C A A C C C C C T C T C C T T T G T T C C T T T Số lượng 113 1 1 2 1 2 1 3 6 2 39 2 34 1 1 1 1 1 61 Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 56 Vector dữ liệu tương ứng là: u = (247, 8, 17, 1) và kết quả khi chạy chương trình: p =(0.9027837320165, 0.03154973251390, 0.0640321523858, 0.001634383083735) và giá trị hàm ( ) -106.0495469l p = Trường hợp 2: Các nút cây tương ứng (U68497,(U68496, U68498)) và số lượng các mẫu dữ liệu quan sát khi so dóng trên từng cột đối với trường hợp này giống như bảng 2, vì thế tương tự như trường hợp 1. Trường hợp 3: Các nút cây tương ứng (U68498,(U68496, U68497)) và số lượng các mẫu dữ liệu quan sát khi so dóng trên từng cột đối với trường hợp này trên bảng 4. Bảng 4: Các mẫu và số lượng từng mẫu trên 3 chuỗi gen HIVenvSweden với cây hình lược với trường hợp ((U68498,(U68496, U68497)) Các mẫu A A A A A G A A C A G G A T A G A A G G A G G G G G T C A A C C A C C C C C T C T A C T C T C C T T A T T C T T T Số lượng 113 6 2 2 1 1 2 39 1 1 2 34 1 1 1 1 3 1 61 Vector dữ liệu tương ứng u = (247, 19, 6, 1), kết quả khi chạy chương trình: p =(0.9032484236332, 0.07179349581611, 0.0228400591792, 0.0021180213714) và giá trị hàm ( ) -104.0121158l p = Với kết quả trên thì ta thấy với trường hợp cây sinh loài thứ 2 thì các dữ liệu trên đựợc gán cho cây với thứ tự ((U68498,(U68496, U68497)) là “hợp lý” nhất. Xét về cây thì cây sinh loài giải thích tốt nhất cho dữ liệu trên là cây sinh loài hình lược, vì nó có hàm hợp lý cho kết quả lớn nhất. Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 57 Chương 8. TỔNG KẾT – ĐÁNH GIÁ Chương này tổng kết lại những công việc đã làm được, sau đó nêu ra những đóng góp và hướng phát triển của luận văn. 8.1. Tổng kết Luận văn đã nghiên cứu đến một lãnh vực đang được rất nhiều người quan tâm trong giai đoạn hiện nay. Luận văn cho ta một cái nhìn tổng thể về cây sinh loài và phương pháp để giải phương trình hợp lý, cũng như cách mô hình hóa bài toán và chọn phương pháp và giải quyết bài toán. Trong đó phương pháp được chọn là phương pháp đại số nói chung và đại số máy tính nói riêng. Ngoài ra, luận văn cũng cung cấp một gói phần mềm được sử dụng như là kiểm nghiệm những lý thuyết đưa ra. Vì kiến thức cũng như thời gian có hạn nên luận văn có nhiều khiếm khuyết như nội dung luận văn chưa được cô đọng, phần chương trình kiểm nghiệm các mô đun chưa tích hợp được các phần lại với nhau. Hạn chế lớn nhất phải kể đến là chương trình chỉ chạy được trên cây sinh loài 3 taxa, còn trường hợp 4 và 5 taxa chỉ chạy được ở những mô hình đơn giản. 8.2. Những đóng góp của luận văn - Đối với bản thân qua luận văn này đã thu thập kiến thức cơ bản về sinh học nói chung và việc nghiên cứu tiến hoá hiện nay nói riêng. Cũng qua luận văn này đã bổ sung cho tôi kiến thức về toán học, xác suất thống kê và nhất là đại số máy tính. - Luận văn này như là một tài liệu tham khảo ban đầu cho những ai quan tâm đến lãnh vực tính toán thống kê về sinh học phân tử, về cây tiến hóa. Ngoài ra cũng là tài liệu bổ ích cho một cái nhìn tổng quan về phương pháp ước lượng hợp lý cực đại và cách giải chúng bằng phương pháp đại số. Những lãnh vực được đề cập trong luận văn này đang được quan tâm và phát triển mạnh trên thế giới trong những năm gần đây. Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 58 8.3. Hướng phát triển Với những hạn chế đã nêu ở trên, hướng phát triển luận văn đưa ra chủ yếu là khắc phục những nhược điểm là làm sao để giải bài toán trên những cây sinh loài lớn hơn: - Cải tiến các thuật toán để có thể chạy tốt hơn. - Song song hóa để giải bài toán ước lượng hợp lý cực đại. - Một hướng khác cũng nên quan tâm là nghiên cứu đặc tính của từng cây cụ thể và tập trung giải quyết bài toán trên những cây riêng biệt đó. Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO [Hoàng Xuân Sính, 2003] Hoàng Xuân Sinh. Đại số đại cương. Nhà xuất bản GD, 2003. [Đào Hữu Hồ, 2002] Đào Hữu Hồ. Xác suất thống kê. Nhà xuất KHKT, 2002. [Tạ Lê Lợi, 2002] Tạ Lê Lợi. Giải Tích – Giáo trình cử nhân toán. Đại học Đà Lạt, 2002. [Benny Chor, 2005] Maximum likelihood Jukes-Cantor Triplets: Analytic Solutions. arXiv: q-bio.PE/0505054 v1 27 May 2005 [B. Chor, M. Hendy, B. Holland, and D. Penny, 2000] Multiple maxima of likelihood in phylogenetic trees: An analytic approach. MBE, 17(10):1529–1541, 2000. Earlier version appeared in RECOMB 2000. [Catanese et al., 2005] F Catanese, S Ho¸sten, A Khetan, and B Sturmfels. The maximum likelihood degree. American Journal of Mathematics, 2005. To appear. Cited on p. 10, 106 [Evans and Speed,1993] Steven N.Evans and Speed. Invariants of some probability models used in phylogenetic inference. The Annals of Statistics 1993, vol. 21, No. 1, 355-377. [Hoşten et al., 2005] S Hoşten, A Khetan, and B Sturmfels. Solving the likelihood equations. Foundations of Computational Mathematics, 2005. To appear. Cited on p. 108, 335, 343, 344 [J.S. Milne, 2005] J.S. Milne. Algebraic Geometry. Taiaroa Publishing Erehwon. Version 5.00. February 20,2005 [Lior Pachter and Bernd Sturmfels, 2005] Lior Pachter and Bernd Sturmfels. Algebraic Statistics for Computational Biology. Cambridge University Press 2005. [Luis D. Garcia, 2006] Luis David Garcia. Small Phylogennetic Trees. [Melvyn B. Nathanson,1999] Melvyn B. Nathanson. Elementary Methods in Number Theory . Springer, 1999. [Nguyen V.M. Man,2007] Nguyen V.M. Man. Computational Algebraic Statistics(CAS). [Sturmfels and Sullivant, 2005] Bernd Sturmfels and Seth Sullivant. Toric Ideals of Phylogenetic Invariants. [Yang, Z. 1997] Ziheng Yang. A program package for phylogenetic analysis by maximum likelihood. Computer Applications in BioSciences 13:555- 556 Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 60 Phụ lục 1. Tập các xác suất trình bày ở chương 5 pAAA=1/4*c0*c0*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^3+3/4*c1^3, pAAG=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pAAC=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pAAT=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pAGA=1/4*c1*c0*c0+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pAGG=1/4*c1*c1*c0+1/4*c0*c0*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pAGC=1/4*c1*c1*c0+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pAGT=1/4*c1*c1*c0+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pACA=1/4*c1*c0*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pACG=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c0*c1+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pACC=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c0*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pACT=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c0*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pATA=1/4*c1*c0*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c0*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pATG=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c0*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pATC=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c0*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pATT=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c0*c0*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pGAA=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pGAG=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pGAC=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c0*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pGAT=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c0*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pGGA=1/4*c1*c0*c0+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pGGG=1/4*c0*c0*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^3+3/4*c1^3, pGGC=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pGGT=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pGCA=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c0*c1+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pGCG=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pGCC=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c0*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pGCT=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c0*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pGTA=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c0*c1+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pGTG=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pGTC=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c0*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pGTT=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c0*c0*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pCAA=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pCAG=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c0*c1+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pCAC=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pCAT=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c0*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 61 pCGA=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c0*c1+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pCGG=1/4*c1*c1*c0+1/4*c0*c0*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pCGC=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pCGT=1/4*c1*c1*c0+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pCCA=1/4*c1*c0*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pCCG=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pCCC=1/4*c0*c0*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^3+3/4*c1^3, pCCT=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pCTA=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c0*c1+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pCTG=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c0*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pCTC=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pCTT=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c0*c0*c1=1/4c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pTAA=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pTAG=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c0*c1+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pTAC=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c0*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pTAT=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pTGA=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c0*c1+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pTGG=1/4*c1*c1*c0+1/4*c0*c0*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pTGC=1/4*c1*c1*c0+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pTGT=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pTCA=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c0*c1+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pTCG=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c0*c1+1/4*c0*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=3/4*c0*c1^2+1/4*c1^3, pTCC=1/4*c1*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c0*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pTCT=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pTTA=1/4*c1*c0*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c0*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pTTG=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pTTC=1/4*c0*c1*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c0*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^2*c1+1/4*c0*c1^2+1/2*c1^3, pTTT=1/4*c0*c0*c0+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1+1/4*c1*c1*c1=1/4*c0^3+3/4*c1^3; Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 62 Phụ lục 2. Tập các dữ liệu kết quả thực hiện trình bày ở chương 6 c = (n+1) - dim(V) = 2 Q:= <-192*p1^2 - 576*p1*p2 - 432*p2^2+756*p1+810*p2 - 486, - 576*p1^2 - 1728*p1*p2 - 1296*p2^2+972*p1+1782*p2 - 486, 384*p1^2+1152*p1*p2+864*p2^2 - 216*p1 - 972*p2> M = Ker( ) := <775168*p1^2*p2^2*gen(3) +11627520*p1^2*p2^2*gen(2) + 204649114632192*p1^2*p2^2*gen(1) + 2325504*p1*p2^3*gen(3) + 66276864*p1*p2^3*gen(2) + 767434179870720*p1*p2^3*gen(1) + 1744128*p2^4*gen(3)+52323840*p2^4*gen(2) + 920921015844864*p2^4*gen(1) + 1975872*p1^2*p2*gen(3) + 14539584*p1^2*p2*gen(2) + 3700197350079168*p1^2*p2*gen(1) - 1539648*p1*p2^2*gen(3) - 50959872*p1*p2^2*gen(2) + 1839387248964864*p1*p2^2*gen(1) - 3920832*p2^3*gen(3) - 101259504*p2^3*gen(2) - 1822005910233648*p2^3*gen(1) - 2102400*p1^2*gen(3) - 60298560*p1^2*gen(2) - 2339638635463488*p1^2*gen(1) - 2890566*p1*p2*gen(3) - 69060222*p1*p2*gen(2) - 5046845491193202*p1*p2*gen(1) + 2629503*p2^2*gen(3) + 45131337*p2^2*gen(2) + 876411667623555*p2^2*gen(1) + 1773900*p1*gen(3) + 50876910*p1*gen(2) + 1974070098672318*p1*gen(1) - 364014*p2*gen(3) + 7490718*p2*gen(2) + 87067895564682*p2*gen(1), 775168*p1^2*p2^2*gen(3) + 10077184*p1^2*p2^2*gen(2) + 2325504*p1*p2^3*gen(3) + 70927872*p1*p2^3*gen(2) + 51162278658048*p1*p2^3*gen(1) + 1744128*p2^4*gen(3) + 62788608*p2^4*gen(2) + 306973671948288*p2^4*gen(1) + 3518144*p1^2*p2*gen(3) + 37749568*p1^2*p2*gen(2) + 5725315696773056*p1^2*p2*gen(1) + 1246080*p1*p2^2*gen(3) + 3243264*p1*p2^2*gen(2) + 6256978794324480*p1*p2^2*gen(1) - 2340288*p2^3*gen(3) - 80025840*p2^3*gen(2) + 1456573961040912*p2^3*gen(1) - 3132672*p1^2*gen(3) - 85125056*p1^2*gen(2) - 3356546566796480*p1^2*gen(1) - 8246130*p1*p2*gen(3) - 151489470*p1*p2*gen(2) - 12422421565374378*p1*p2*gen(1) - 1598535*p2^2*gen(3) - 27016119*p2^2*gen(2) - 5667479873380377*p2^2*gen(1) + 4745592*p1*gen(3) + 132122826*p1*gen(2) + 5171724801198018*p1*gen(1) + 4078296*p2*gen(3) + 93163662*p2*gen(2) + 6095180048475222*p2*gen(1) - 1773900*gen(3) - 50876910*gen(2) - 1974070098672318*gen(1) J , 775168*p1^2*p2^2*gen(3) + 2325504*p1*p2^3*gen(3) + 45347328*p1*p2^3*gen(2) + 1744128*p2^4*gen(3) + 47091456*p2^4*gen(2) + 230230253961216*p2^4*gen(1) + 5355200*p1^2*p2*gen(3) + 54461952*p1^2*p2*gen(2) + 8363661940680768*p1^2*p2*gen(1) + 4964640*p1*p2^2*gen(3) + 29969856*p1*p2^2*gen(2) + 13016976252241536*p1*p2^2*gen(1) - 459792*p2^3*gen(3) - 64457856*p2^3*gen(2) + 5516397190398384*p2^3*gen(1) - 4660224*p1^2*gen(3) - 123711552*p1^2*gen(2) - 4949039207382912*p1^2*gen(1) - 15788844*p1*p2*gen(3) - 289782558*p1*p2*gen(2) - 22584712180858542*p1*p2*gen(1) - 7662492*p2^2*gen(3) - 104848263*p2^2*gen(2) - 15607396038950235*p2^2*gen(1) + 8045784*p1*gen(3) + 222790392*p1*gen(2) + 8734948040514888*p1*gen(1) + 10033956*p2*gen(3) + 223300476*p2*gen(2) + 13978410003807732*p2*gen(1) - 3547800*gen(3) - 101753820*gen(2) - 3948140197344636*gen(1) ' uI :=<12013588416*p2^3 + 148826033904*p1^2 + 118484015288*p1*p2 - 9505114572*p2^2 - 149625916917*p1 - 20725910325*p2 + 20557713033, 3325964017042946421278092794380392608*p1*p2^2 + 4983618577401699676273006787935157328*p2^3 + 22774007877394191975227302283935849888*p1^2 + 14264618759069671514915176286636353554*p1*p2 - 7849236572356881083751999247248463887*p2^2 - 22881274699550634255631609142426367189*p1 + 293064477807175251834460143692430423*p2 + 3123938321374671114025459142247553701, 296521570634524577657257064180480*p1^2*p2 + 678645469410592180933991906124096*p1*p2^2 + 399557794965576369841442093252256*p2^3 + 163472584389053652220661632656096*p1^2 - 626014046035479156390619894451652*p1*p2 - 805886945003862357039771874801974*p2^2 - 161563250873918603863505188608723*p1 + 412431155271902586749997779755821*p2 + 19936260526014638257361883471927> uI :=<57425888*p1^2 + 60331008*p1*p2 + 5850720*p2^2 - 58311573*p1 - 13781205*p2 + 8050185, 43118186428457088*p2^3 - 135923428146969968*p1*p2 - 88536193620103176*p2^2 + 5367437095038981*p1 + 53799892346655045*p2 – 1095761223392121, 28745457618971392*p1*p2^2 + Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 63 52276369682092096*p1*p2 + 549084854058576*p2^2 - 3253058199626023*p1 - 3973831866790983*p2 + 501604238561283, p0+p1+p2-1,128*p1^3 + 576*p1^2*p2 + 864*p1*p2^2 + 432*p2^3 - 108*p1^2 - 972*p1*p2 - 891*p2^2 + 486*p2 + 19936260526014638257361883471927> Trong đó: gen(n) =[0,0,….,1], ví dụ gen(3)=[0,0,1]. Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 64 Phụ lục 3. Trích một số SourceCodes chương trình viết trên Singular //Chương trình giải quyết cây 3 taxa hình móng. LIB "control.lib"; LIB "solve.lib"; killall(); int i,j; //Đây là các bất biến q của phép biến đổi Fourier. ring rQ = 0,(q1,q2,q3),dp; ideal Invariants = q2^3-q1*q3^2; // Đây là các lớp xác suất tương đương p. ring rP = 0,(p1,p2,p3),dp; //Ma trận chuyển đổi Fourier. matrix qtop[3][3] = 1,1,1, 1,1/9,-1/3, 1,-1/3,1/3; ideal Fourier = qtop*transpose(maxideal(1)); // Danh sách các đa thức bất biến map F = rQ, Fourier; ideal PInvariants = F(Invariants); ideal V=p1+p2+p3-1,PInvariants; matrix J=jacob(V); J; "dim(V)=";dim(V); ideal P=groebner(V); P; "dim(P)=";dim(P); // codim của V int c=nvars(rP)-dim(P); "c=";c; matrix J=jacob(P); ideal Q=minor(J,c); "Q=";print(Q); matrix Jn=J*transpose(diag(maxideal(1))); "Jnt=";Jn; qring q=std(P); matrix Jn=fetch(rP,Jn); "Jns=";Jn; //M là nhân của ma trận chuyển vị Jn module M=transpose(rightKernel(Jn)); "M=";M; //Vector dữ liệu u Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 65 matrix u[3][1]=247,25,1; ideal Ipu=groebner(flatten(M*u)); "Ipu=";print(Ipu); dim(Ipu); Ipu; ring rr = 0, (p1,p2,p3), dp; ideal Ipu=fetch(q,Ipu); ideal Q=fetch(rP,Q); //I chứa các nghiệm của phương trình hợp lý sau khi loại các điểm kỳ dị list I=sat(Ipu,p1*p2*p3*(p1+p2+p3)); I;dim(I[1]); for(i=2;i<=size(Q);i++) { list A=sat(I[1],p1*p2*p3*(p1+p2+p3)*Q[i]); A; I=A; "dim(I)=";dim(I[1]);vdim(I[1]); } ideal X=I[1],fetch(rP,P); dim(X); X; def AC=solve(X,30,0,"nodisplay"); setring AC; //SOL chứa danh sách các nghiệm hợp lý SOL; matrix Jn=transpose(fetch(rP,Jn)); Jn; matrix u=fetch(q,u); u; //Hàm trả về ma trận J sau khi thay thế các nghiệm vào proc Replace(matrix M,list SOL) { matrix Y=M; int ii,jj,kk; for(ii=1;ii<=nrows(M);ii++) { for(jj=1;jj<=ncols(M);jj++) { for(kk=1;kk<=nvars(rP);kk++) { Y[ii,jj]=subst(Y[ii,jj],var(kk),SOL[kk]); } } } return (Y); } matrix Y; //Đoạn chương trình chọn những nghiệm thực dương phương trình hợp lý for(i=1;i<=size(SOL);i++) { for(j=1;j<=size(SOL[i]);j++) { if(SOL[i][j]=1) Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 66 { break; } } if(j>size(SOL[i])) { SOL[i]; matrix Y=Replace(Jn,SOL[i]); Y; } } //Đoạn chương trình tính các nhân tử Lagrange LIB "presolve.lib"; LIB "solve.lib"; ring r = real, (x,y), lp; matrix Y[4][2]; //Chèn file ma trận Y tính được ở trên matrix K=Y*transpose(diag(maxideal(1))); K; matrix A[2][1]=1,1; matrix I=K*A; I; ideal M=flatten(I); M; ideal j= 113,46,114; j = M-j; ideal z=solvelinearpart(j,0); z; def AC=solve(z,30,0,"nodisplay"); setring AC; SOL; //Xác định ma trận Hessian là xác đinh âm hay không? LIB "linalg.lib"; ring r=real,(p1,p2,p3),lp; //Chèn file poly f bằng nhân tử Lagrange nhân với các gi matrix J=jacob(jacob(f)); print(J); //Ma trận I la một nghiệm của p //matrix I[3][1]=0.09439863069,0.6214192685,0.2841821009; I; int u,v,k; for(u=1;u<=nrows(J);u++) { for(v=1;v<=ncols(J);v++) { for(k=1;k<=nvars(rP);k++) { J[u,v]=subst(J[u,v],var(k),I[k,1]); } } } print(J); Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 67 " "; for(u=1;u<=nrows(J);u++) { for(v=1;v<=ncols(J);v++) { for(k=1;k<=nvars(rP);k++) { J[u,v]=J[u,v]*I[k,1]; } } } print(J); " "; //vector u //matrix l[3][1]=-700,-45,-49; matrix H[3][3]=diag(l)-J; print(H); //Xác định âm ma trận Hessian H, nếu âm trả về 0 pos_def(H); Một số hàm quan trọng sử dụng trong chương trình minor(matrix_expression,int_expression):returns the set of all minors (=subdeterminants) of the given size of a matrix. rightKernel(M): computes the right kernel of matrix M (a module of all elements v such that Mv=0). jacob( ideal_expression ):computes the Jacobi ideal, resp. Jacobi matrix, generated by all partial derivatives of the input. sat(id,j); id=ideal/module, j=ideal: return list of an ideal/module [1] and an integer [2]: [1] = saturation of id with respect to j (= union_(k=1...) of id:j^k) [2] = saturation exponent (= min( k | id:j^k = id:j^(k+1) )) solve(G [, m, n [, l]] [,"oldring"] [,"nodisplay"] ); G = ideal, m, n, l = integers (control parameters of the method), outR ring m: precision of output in digits ( 4 <= m) and of the generated ring of complex numbers; n: control of multiplicity n = 0, return all different roots n != 0, find all roots (with multiplicity) l: precision of internal computation in decimal digits ( l >=8 ) only if the basering is not complex or complex with smaller precision. solvelinearpart(id [,n] ); id=ideal/module, n=integer,(default: n=0): Return (interreduced) generators of id of degree <=1 in reduced triangular form if n=0 [non-reduced triangular form if n!=0] pos_def(A); A = constant, symmetric square matrix : Return int: 1 if A is positive definit , 0 if not, -1 if unknown. Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 68 Phụ lục 4. Một số kết quả chương trình trên cây sinh loài 4 taxa Với mô hình Neyman thì chương trình chạy cho kết quả tốt trên những cây 4 taxa, riêng mô hình Jukes – Cantor thì chương trình chỉ chạy được với dạng cây hình móng (hình 11). Hình 11: Cây sinh loài 4 taxa hình móng Với mô hình Jukes – Cantor, cây sinh loài 4 taxa hình móng (hình 11) có 5 lớp xác suất tương đương. Lấy u = (700,7,100,100,20). Chương trình chạy cho các kết quả 29 nghiệm hợp lý, trong đó có 2 nghiệm thực dương và nghiệm làm cực đại toàn cục hàm hợp lý là: (0.57910415483,0.34772086852,0.036090949833,0.037084026813,0.011796766418) và giá trị hàm hợp lý tương ứng là: -3083.02 Hình 12: Cây sinh loài 4 taxa hình cần trục Với mô hình Neyman, cây sinh loài 4 taxa hình cần trục (hình 12) có 4 lớp xác suất tương đương. Lấy u = (350, 7, 100, 20), chương trình chạy cho các kết quả 5 nghiệm, trong đó có 1 nghiệm thực dương: (0.59910005385, 0.20030240782, 0.06521874649, 0.13537879184) và giá trị hàm hợp lý tương ứng: -503.564 Sau đây một số hình dáng cây 4 taxa khác (không gốc và có gốc) Hình 13: Một số cây sinh loài 4 taxa Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 69 Phụ lục 5. Bảng đối chiếu Thuật ngữ Anh - Việt Thuật ngữ Tiếng Anh Thuật ngữ Tiếng Việt Ancestral maximum likelihood Cực đại khả năng tổ tiên Character group Đặc trưng nhóm Distance method Phương pháp khoảng cách Critical point Điểm tới hạn Evolutionary timeline Biểu đồ thời gian của tiến hóa Fossil Hóa thạch Homologous characters Đặc tính đồng dạng Homogeneous polynomial Đa thức thuần nhất Idean Iđêan Likelihood locus Quỹ tích hợp lý Maximum Likelihood Hợp lý cực đại Maximum Likelihood Estimation Ước lượng hợp lý cực đại Maximum parsimony Hà tiện tối đa Neighbor-joining Liên kết cận kề Paleontology Khảo cổ học Phylogenetic invariant Bất biến trên cây sinh loài Phenetics Ngoại hình học Record Di chỉ Singular point Điểm kỳ dị Species Các loài Tangent space Không gian tiếp xúc Taxa Nút lá cây sinh loài Variety Đa tạp Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 70 Danh mục các tên Abel, 12, 13, 16, 39, 40 AML, 33 ancestral, 33 ánh xạ, 12, 37, 38, 40, 44 Bậc của đa thức, 15 bất biến, 10, 11, 36, 37, 38, 39, 42, 45, 46, 47, 48, 51, 54 bất biến của cây sinh loài, 11, 38, 39, 47 bất biến tầm thường, 46, 51 Bayes, 19 biến cố, 18, 19, 24 Biến cố chắc chắn, 18 Biến cố không thể, 18 Biến cố ngẫu nhiên, 18 biến cố sơ cấp, 18 biến ngẫu nhiên rời rạc, 20, 21 Cây sinh loài, 3, 30, 32, 36, 42 cladistics, 30 Đa tạp đại số, 18 đa tạp tuyến tính, 18 đa thức thuần nhất, 15, 46, 47, 48, 50 đặc trưng, 10, 20, 21, 22, 40, 42 đại lượng ngẫu nhiên, 10, 20 đẳng cấu nhóm, 12 dạng tuyến tính, 15 det, 15 điểm kỳ dị, 47, 50 Định thức, 15 Distance method, 31, 69 DNA, 3, 9, 30, 31, 32, 38, 39 Độc lập tuyến tính, 16 độc lập tuyến tính tối đại, 17 đồng cấu nhóm, 12, 40 evolutionary timeline, 30 fossil, 30 Fourier, 38, 40, 41, 42, 44, 46, 64 gen, 3 genomics, 30 Gradient, 47 Hà tiện tối đa, 31, 69 hàm hợp lý, 23, 26, 27, 47, 49, 51, 52, 55, 56 hàm phân phối, 10, 20 hạng của hệ vector, 17 hạng tử, 14, 15 Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 71 Hạt nhân, 12 Hessian, 50, 51, 52, 66, 67 homologous characters, 9 iđêan, 13, 14, 39, 47, 48, 50 Jacobi, 47, 48 Jukes - Cantor, 34, 35 Ker, 49, 50, 62 không gian vector, 16, 17 Không gian vector, 16 Kimura, 10, 30, 35, 39, 42 Kỳ vọng, 20, 21 Lagrange, 49, 50, 51, 52, 66 likelihood, 26, 27, 28, 33, 59, 69 ln, 28 logarit, 26, 50 lớp xác suất tương đương, 43, 55 ma trận, 9, 10, 15, 17, 31, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 43, 48, 49, 50 Ma trận chuyển vị, 15 mẫu ngẫu nhiên, 21, 22, 23, 24 Maximum parsimony, 9, 31, 69 MLE, 3, 10, 25, 26, 27, 28 neighbor-joining, 31 Neyman, 10, 30, 39 nhóm, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 19, 30, 39, 40, 41, 42, 69 nhóm con, 13 nucleotide, 33, 34, 35 paleontology, 30 phân phối xác suất, 20 phenetics, 30 phép thử, 18 phép thử ngẫu nhiên, 18 phụ thuộc tuyến tính, 16, 17 phương pháp hợp lý cực đại, 9, 10, 22, 37 Phương sai, 20, 21 phương trình hợp lý, 11, 23, 24, 37, 47, 50, 51, 54, 57 phylogenetics, 30 Quỹ tích hợp lý, 47, 69 record, 30 species, 30 Tích của 2 biến cố, 18 tổ hợp tuyến tính, 17 Tổng của 2 biến cố, 18 trường, 1, 10, 14, 16, 17, 22, 26, 27, 33, 35, 36, 37, 43, 55, 56, 57 Ước lượng điểm, 22 Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ Bùi Văn Đồng Trang 72 ước lượng hợp lý cực đại, 3, 10, 12, 22, 23, 24, 25, 26, 57, 58 Ước lượng không chệch, 22 Ước lượng tham số, 22 vành con, 13 vành đa thức, 10, 14, 39, 47 vành giao hoán, 13, 14 vành thương, 14 vector, 16, 17, 47, 48, 49, 50, 54 Vector vận tốc, 47 xác định âm, 50, 51, 52