1. Đánh giá tiên nghiệm đối với ánh xạ ( K, K')-á bảo giác trên mặt phẳng
phức, trong đó có đánh giá cho tích phân Dirichlet và chuẩn Holder cho
các thành phần của ánh xạ.
2. Áp dụng các kết quả của ánh xạ ( K, K')-á bảo giác vào nghiên cứu sự
tồn tại nghiệm của bài toán biên Dirichlet cho phương trình á tuyến tính
elliptic đều và không đều với hai biến độc lập.
41 trang |
Chia sẻ: lylyngoc | Lượt xem: 2991 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Phương trình Elliptic á tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
với các đánh giá tiên nghiệm trong lớp Holder của chúng.
Các kết quả trong chương 1 đã được áp dụng trong chương 2 vào các
đánh giá tiên nghiệm và tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương
trình á tuyến tính elliptic đều và không đều. Đối với trường hợp elliptic không
đều, bài toán Dirichlet chỉ được xét trong các miền lồi với dữ kiện biên thoả
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
mãn điều kiện độ nghiêng bị chặn. Luận văn cũng đã chỉ ra rằng điều kiện độ
nghiêng bị chặn là tương đương với điều kiện ba điểm.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo nhiệt tình
của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn, Viện toán học. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đến thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám
hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán – trường Đại học sư phạm, Đại học Thái
Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên
trong lớp cao học toán K18B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong
suốt thời gian học tập và quá trình làm Luận văn.
Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn
nên Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý
kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc.
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012
Tác giả
Trần Thị Tâm
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Lớp hàm Holder
1.1.1. Liên tục Holder
Định nghĩa 1.1. Cho
0
x
là một điểm trong n và
f
là một hàm xác định trên
miền bị chặn
D
chứa
0
x
. Nếu
0 1
, ta nói rằng
f
là liên tục Holder với
số mũ
tại
0
x
nếu:
(1.1)
0
0
0
;
0
sup
x
x D
x x
f x f x
f
x x
hữu hạn. Ta gọi
0;x
f
là hệ số Holder bậc α của
f
tại
0
x
.
Nếu
f
là liên tục Holder tại
0
x
thì
f
liên tục tại
0
x
. Khi (1.1) là hữu hạn
với
1
,
f
là liên tục Lipschitz tại
0
x
.
Ví dụ 1.2. Hàm
f
trên
1 0B
được cho bởi
f x x
,
0 1
là liên tục
Holder với số mũ
và liên tục Lipschitz khi
1
, trong đó
1 0B
là hình
cầu đơn vị.
Định nghĩa 1.3. Ta nói
f
là liên tục đều Holder trong
D
với số mũ
nếu
đẳng thức:
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
(1.2)
;
,
sup , 0 1,
D
x y D
x y
f x f y
f
x y
hữu hạn. Ta nói
f
là liên tục Holder địa phương với số mũ
trong
D
nếu
f
là liên tục đều Holder với số mũ
trên mọi tập con compact của
D
.
1.1.2. Không gian
,kC
Cho
là tập mở trong n và
k
là một số nguyên không âm.
,kC
là
không gian các hàm
kf C
mà các đạo hàm riêng cấp
k
liên tục Holder
với số số mũ
trong
. Để đơn giản ta viết:
0, 0,, .C C C C
Và ta hiểu rằng với
0 1
ký hiệu này được sử dụng bất cứ khi nào, trừ khi
có quy ước khác.
Cũng như vậy, ta đặt:
,0 ,0, .k k k kC C C C
Chúng bao gồm các không gian
, k kC C
trong số các không gian
, ,, k kC C
với
0 1
. Ta cũng ký hiệu
,0
kC
là không gian
các hàm trên
,kC
có giá compact trong
.
Ta đặt:
(1.3)
,0; 0;
, ; ; ;
supsup , 0,1,2,...
sup .
k
k
k
k
k
k
u D u D u k
u D u D u
Với những nửa chuẩn này, ta định nghĩa các chuẩn tương ứng:
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
(1.4)
,
; ,0; ,0; 0;
0 0
, ; ; ;, ; ;
,
,
k
k
k k
j
C k k j
j j
k
C k k kk
u u u u D u
u u u u u D u
trên các không gian
kC
,
,kC
tương ứng. Đặc biệt, đôi lúc ta đưa vào
các chuẩn không thứ nguyên trên
kC
,
,kC
: nếu
bị chặn, với
d
là
đường kính của
, ta đặt,
(1.5)
,
; ,0; 0;
0 0
, ; ; ;, ; ;
,
.
k
k
k k
j j j
C k j
j j
k k k
C k k kk
u u d u d D u
u u u d u u d D u
Các không gian
kC
,
,kC
với các chuẩn tương ứng là những không
gian Banach.
Ta chú ý rằng, tích các hàm liên tục Holder cũng liên tục Holder. Thật
vậy, nếu
,u C v C
, ta có
uv C
trong đó
min ,
,
và
(1.6)
2max 1, ;
.
C C C
C C C
uv d u v
uv u v
1.2 Đánh giá đối với ánh xạ á bảo giác.
Nhiều khái niệm và phương pháp khác nhau trong lý thuyết hàm đóng
vai trò đặc biệt trong lý thuyết của các phương trình elliptic hai biến. Ở đây
chủ yếu quan tâm đến đánh giá tiên nghiệm phát sinh từ lý thuyết của ánh xạ
á bảo giác. Một ánh xạ khả vi liên tục
,p p x y
,
,q q x y
từ một miền
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
trong mặt phẳng
,z x y
tới mặt phẳng
w ,p q
là á bảo giác hay
K
á
bảo giác, trong miền
nếu với mỗi hằng số
0K
, ta có:
(1.7)
2 2 2 2 2x y x y x y y xp p q q K p q p q
với mọi
,x y
. Mặc dù bất đẳng thức (1.7) thỏa mãn cho
p
và
q
trong
1C
, trong phần này kết quả được phát triển cho
, p q
liên tục và có đạo
hàm yếu bình phương khả tích.
Khi
1K
, (1.7) kéo theo
p
và
q
là hằng số và do đó ta giả thiết
1K
.
Với
1K
, ánh xạ
w z p z iq z
là một hàm giải tích của
z
. Khi
1K
bất đẳng thức (1.7) có ý nghĩa hình học là tại mọi điểm không triệt tiêu
của Jacobian thì ánh xạ này giữa mặt phẳng
z
và mặt phẳng
w
sẽ bảo toàn
định hướng và ánh xạ đường tròn đủ nhỏ vào các đường elliptic đủ nhỏ với
tâm sai bị chặn đều, trong đó tỉ số của trục nhỏ tới trục lớn là bị chặn dưới bởi
1/2
2 1 0K K
.
Ta sẽ quan tâm đến lớp các ánh xạ tổng quát hơn
, ,x y p q
xác
định bởi bất đẳng thức:
(1.8)
2 2 2 2 2 'x y x y x y y xp p q q K p q p q K
trong đó
K
,
'K
là hằng số, với
1, ' 0K K
. Mặc dù ý nghĩa hình học là
không giống nhau, ta sẽ gọi các ánh xạ tuân theo (1.8) là
, 'K K
á bảo giác.
Trong sự phát triển tiếp theo, ta thấy rằng các ánh xạ thỏa mãn (1.7) và (1.8)
phát sinh từ phương trình elliptic hai biến với
p
và
q
biểu diễn các đạo
hàm cấp một của nghiệm.
Mục đích của phần này là đưa ra các đánh giá tiên nghiệm trong lớp
Holder cho ánh xạ
, 'K K
á bảo giác. Kết quả cơ bản sẽ là hệ quả của
những bổ đề liên quan đến công thức tính tích phân Dirichlet:
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
(1.9)
2 22
( ) ( )
( , )
rr
x y
z B z
r z Dw dx dy w w dx dy
B
D
của ánh xạ
, 'K K
á bảo giác
w
được lấy trên đĩa
rB z
. Khi đó để đơn
giản ta viết
rD
thay cho
,r zD
và
rB
thay cho
( )rB z
.
1.2.1 Đánh giá đối với tích phân Dirichlet đối với ánh xạ á bảo giác.
Bổ đề 1.4. Giả sử
w p iq
là
, 'K K
á bảo giác trên hình tròn
0( )R RB B z
thỏa mãn (1.8) với
0, 0K K
, và giả sử
p M
trong
RB
.
Khi đó với mọi
/ 2r R
, ta có
(1.10) 22
2 1/2( ) , ( 1) ,
r
r
r Dw dx dy C K K
R
B
D
với
2 2
1( )( ' )C C K M K R
. Nếu
' 0K
, kết luận vẫn đúng với
1.K
Chứng minh. Trước tiên chúng ta thiết lập đánh giá cho tích phân Dirichlet
trong hình tròn bán kính
/ 2.R
Từ (1.8) ta có với bất kỳ hình tròn đồng tâm
r RB B
, ta có:
(1.11)
2
2
2
( , )
( ) 2 '
( , )
=2 ' ,
rr
r
B
C
p q
z Dw dx dy K dx dy K r
x y
B
q
K p ds K r
s
D
với s là ký hiệu độ dài cung tròn
r rC B
lấy theo phương ngược chiều kim
đồng hồ. Mặt khác sử dụng
2
( )
rC
z Dw ds D'
, ta thấy:
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
(1.12)
1/2
2
2
1/2
1/222
ds ds Dq ds
ds Dw ds 2 ' .
Cr Cr Cr
Cr Cr
q
p p
s
p M r r
D
Thay vào (1.11) và thay
r
bằng
R
vào thành phần thứ hai của vế phải, ta thu
được:
(1.13)
2
1 2( ) '( )r k k r r D D
với
2
1 'k R K
,
2 2
2 8 .k M K
Bây giờ hoặc là
1( / 2)R kD
, ta có ước
lượng cần tìm; hoặc nếu không thì
1( )r kD
với
0 / 2r r R
nào đó và do
đó với mọi
r
đủ lớn. Bất đẳng thức vi phân (1.13) được lấy tích phân trong
miền
0 1 2r r r r R
và cho ta bất đẳng thức như sau:
2
1
2
2
1 1 2 11
1 '( ) 1
log
( ) ( )
r
r
r dr r
r k k rr k
D
D D
.
Lấy
1 2/ 2, r R r R
ta thu được:
(1.14)
2 2 28( / 2) '
log2
R M K R K
D
.
Ta chú ý rằng việc chứng minh đánh giá này không liên quan tới các hạn
chế lên
, 'K K
ngoài giả thiết
K
không âm. Ta cũng lưu ý rằng trong trường
hợp tổng quát ta cũng không thể thu được đánh giá trong toàn bộ hình tròn
rB
, bởi vì rằng tập các hàm giải tích
, 1,2,...nnw z n
tất cả đều thỏa mãn
1nw
trong
1z
, nhưng:
2
1
n
z
Dw dx dy
khi
n
.
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Mặt khác
2
1
( )n
z
Dw dx dy C
với bất kỳ
0
cố định, trong đó
( )C
độc lập với
n
.
Ta tiếp tục sử dụng (1.14) cho tích phân Dirichlet trong
/2RB
để đánh giá
cấp tăng cho
rD
. Từ bất đẳng thức,
2 21
2 2
x y x yp q p q
,
2 21 ,
2 2
x x yp q p
( 0),
ta thu được
22 1
.
2 2
x y y x x yJ p q p q w w
Do đó viết (1.8) dưới dạng,
22
2 'x yw w KJ K
,
và thế
2 1/2( 1)K K
(hoặc tương tương
2(1 ) / 2K
), ta tìm được
22
2 2
1 2 '
.
1
x y
K
w w
Vì vậy
(1.15)
2 2 222
2
2
2 2
1
1
1 2 '
.
1 1
x x xw w w
K
Dw
Do (1.8) là bất biến dưới phép quay, bất đẳng thức này vẫn có hiệu lực nếu
phép lấy đạo hàm theo hướng
sw
thay bởi
xw
.
Chúng ta sẽ áp dụng (1.15) để thu được đánh giá chính xác hơn của
r
s
C
pq ds
trong (1.11). Giả sử kí hiệu
( )p p r
là giá trị trung bình của p trên
đường tròn
rC
. Khi đó
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
(1.16) 2 21 ( )( ) .
2
r r r
s s s
C C C
p p
pq ds p p q ds rq ds
r
Ta sử dụng bất đẳng thức Wirtinger sau đây
2 2
2
2
0 0
( , ) ,p r p d p d
có nghĩa là
(1.17)
2 2 2( ) .
r r
s
C C
p p ds r p ds
(Kết quả này dễ dàng được chứng minh bằng cách khai triển
( , )p p r
thành chuỗi Fourier theo
và ứng dụng bất đẳng thức Parseval). Thay (1.17)
vào (1.16), ta thấy rằng:
2
2 2( )
2 2
r r r
s s s s
C C C
r r
pq ds p q ds w ds
,
và do đó từ (1.15),
2
2
2
2 4
2 '
.
2(1 ) 1
r r
s
C C
r K
pq ds Dw ds r
Thế bất đẳng thức này vào (1.11) và sử dụng lại hệ thức
2
rC
Dw ds
' rD
,
ta đi đến bất đẳng thức vi phân,
(1.18)
2 2
2
' , ' 1
2 1
r
r r kr k K
D D
.
Điều này kéo theo
2
d
r r
dr
D
1 22 ,kr
Từ phép lấy tích phân sau đây giữa
r
và
0r
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
(1.19) 22
0 0
0
( ) ( ) .
1
r
r r kr
r
D D
Đặt
0 / 2r R
và thay vào (1.14) ta thu được đánh giá (1.10) với
2 22 3max , 'C C K C K M K R
, với
2
2
32
,
log2
C K
3 2
2
4 1 .
1 1
C
Cuối cùng ta nhận thấy rằng khi
' 0K
các lý luận không bị ảnh hưởng khi
cho phép
1K
, và
C
được thay thế bởi
2
2 .C M
1.2.2 Đánh giá chuẩn Holder đối với ánh xạ á bảo giác.
Bổ đề tính toán sau đây của Morrey là một bước thiết yếu để từ đánh giá
cấp tăng của tích phân Dirichlet có thể nhận được đánh giá Holder trên chính
hàm đó.
Giả sử và Ω là các miền trong 2 . Ta ký hiệu nếu bao đóng
của chứa trong , tức là .
Bổ đề 1.5. Giả sử
1( )w C
và với
dist( , ) R
. Giả sử các
hằng số dương
, , ' 0C R
thỏa mãn
D
( )
2
2( , )
r zB
r z Dw dx dy Cr
với mọi đĩa
( )rB z
có tâm z và bán kính 'r R R . Khi đó với mọi
1 2,z z
thỏa mãn
2 1 'z z R
, ta có
2 1 2 1( ) ( ) 2
C
w z w z z z
.
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Sau đây là định lý về đánh giá tiên nghiệm Holder cho ánh xạ
, 'K K
á
bảo giác.
Định lý 1.6. Giả sử
w
là
, 'K K
á bảo giác trong miền
với
1, ' 0K K
và giả sử
w M
. Giả sử với hình tròn
dist , d
. Khi đó với mọi
1 2,z z
. Ta có
(1.20)
2 1
22 1 2
2 1 , 1 .
z z
w z w z C K K
d
trong đó
1 d ' .C C K M K
Nếu
' 0K
thì
1C C K M
và kết luận
này cũng đúng với
1K
.
Chứng minh. Đầu tiên giả sử
2 1 .
2
d
z z
Điều kiện của Bổ đề 1.4 và 1.5 áp
dụng với
R d
và
'
2
d
R
, vì vậy ta có:
2 12 1
z z
w z w z L
d
trong đó
1
2 2 2' 'L C K M K d C K M d K
.
Nếu
2 1
d
2
z z
thì
2
2 1 2 1
2 1 2 2 4
1 2
z z z z
w z w z M M M
d d
.
Do đó định lý được chứng minh với
1 max 4, .C K C K
Để kết thúc phần này, ta có một số chú ý sau.
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Chú ý 1.7.
1. Số mũ
1
2 21K K
là lớn nhất để cho Bổ đề 1.4 và Định lý 1.6 là
đúng. Điều này có thể thấy từ ví dụ của ánh xạ
K
á bảo giác
1
2 2, 1iw z r e K K có số mũ Holder tại 0z . Cùng một
kết quả (cho
1, ' 0K K
) với số mũ
nhỏ hơn có thể đạt được từ
chứng minh trực tiếp Bổ đề 1.4 bắt đầu với (1.11) và kết hợp với (1.15),
trong trường hợp này bất đẳng thức (1.17) không cần phải sử dụng tới.
2. Phản ví dụ chỉ ra rằng Bổ đề 1.4 và Định lý 1.6 không đúng với số mũ
1 2
2 1K K
khi
1K
và
0K
, đó là với
1
. Tuy nhiên nếu
một ánh xạ thỏa mãn (1.8) với
1K
, nó cũng thỏa mãn bất đẳng thức đó
với giá trị lớn hơn của
K
và kết quả tương ứng trong Bổ đề 1.4 và Định lý
1.6 khi áp dụng với số mũ
tùy ý gần đến 1.
3. Nếu bị chặn và được phủ và bởi N đĩa đường kính
2
d , chứng minh ta
thấy Định lý 1.6 vẫn đúng với giả thiết yếu hơn
p M
, với hằng số
C
trong (1.20) cũng phụ thuộc vào
N
và do đó phụ thuộc vào đường kính
của .
4. Đánh giá toàn cục. Nếu
w p iq
là
, 'K K
á bảo giác trong miền 1C
của
và
1w C
thì Định lý 1.6 được mở rộng cho đánh giá tiên
nghiệm Holder toàn cục cho
w
. Đặc biệt nếu
w M
và
0p
trên
khi đó
w
thỏa mãn một điều kiện Holder toàn cục với hệ số và số mũ
Holder chỉ phụ thuộc vào
, 'K K
,
M
và
. Để chứng minh, đặt
là
hợp hữu hạn các cung chồng lên nhau mà được duỗi thẳng bằng một đồng
phôi 1C phù hợp
, ,x y
được xác định trong lân cận của cung.
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Hàm
w
là bảo giác trong biến số
,
với hằng số
, 'K K
phụ thuộc vào
, 'K K
và
. Bằng phản xạ qua
0
để
, ,p p
và
, ,q q
trong mặt phẳng mở rộng
,
, áp dụng đánh giá
trong phần trước hàm
p iq
được định nghĩa là
, 'K K
á bảo giác.
Quay lại mặt phẳng
,x y
ta thu được đánh giá Holder cho
w
trong ; đó
là
1 2 1 2 1 2, ,w z w z C z z z z
,
trong đó
, ',K K
và
, ', ,C C K K M
. Nếu
p p
trên
với
1p C
và
1,
p M
, thì xét
p p
trong vị trí của
p
, ta thấy
w
cũng
thỏa mãn với đánh giá toàn cục, với
, C
phụ thuộc vào
, ', , 'K K M M
và
.
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Chương 2
Bài toán Dirichlet cho phương trình
elliptic á tuyến tính cấp hai
2.1 Đánh giá địa phương đối với chuẩn Holder cho đạo
hàm cấp một của nghiệm phương trình tuyến tính cấp
hai
Những kết quả phần trước sẽ được áp dụng để thu được đánh giá Holder
cho các nghiệm của đạo hàm cấp một của phương trình elliptic đều.
(2.1)
2xx xy yyLu au bu cu f
,
với
, , , a b c f
được xác định trong miền
của mặt phẳng
,z x y
. Ký
hiệu
, =z z
là giá trị riêng nhỏ nhất và lớn nhất của ma trận các
hệ số thỏa mãn
(2.2)
2 2 2 2 2 2 22 , , ;a b c
và giả sử
L
là elliptic đều trong
, tức là:
(2.3)
.
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
với hằng số
1
. Ta giả sử
sup f
. Chia (2.1) bởi giá trị riêng
cực tiểu
, Ta giả thiết rằng
1
và (2.2) cố định với
1
và
, khi
f
. Ta giả thiết như sau. Đặt:
, x yp u q u
,
ta có thể viết (2.1) thành
(2.4) 2
, x y y y x
a b f
p p q p q
c c c
Bằng phép lấy đạo hàm
p
là một nghiệm của phương trình elliptic đều dạng:
2
0x y y y
x
a b f
p p p
c c c
,
và tương tự ta có phương trình đối với
q
.
Nhân vế trái của (2.4) với
xcp
, ta thu được:
2 2 2 22 , x y x x y y x x y y xp p ap bp p cp cJ fp J q p q p
,
tương tự
2 2
x y yq q aJ fq
Cộng các bất đẳng thức này và lưu ý rằng
2 1 1a c , ta có
(2.5)
2 2
1
1 1 .
2
x y
x y
Dp Dq a c J f p q
J p q
.
Sử dụng bất đẳng thức,
22 2 211 1 , 0
2
x y x yp q p q
,
và cố định
1
(đặc biệt chọn
2
), từ (2.5) ta thu được:
(2.6)
2 2 2 22 1 1 / 2.Dp Dq J
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Do đó
w p iq
(hoặc
q ip
) xác định một ánh xạ
, 'K K
á bảo giác thỏa
mãn (1.8) với
(2.7)
1 ,K
2 2' 1 / 2K
.
Lấy
đủ nhỏ, hằng số
K
chọn tùy ý gần
1 / 2
.
Nếu
0f
, ta trực tiếp thu được từ bất đẳng thức (2.2) và (2.3):
2 2 2
1 .Dw Dp Dq a c J J
Trong trường hợp này ánh xạ
w p iq
là
K
á bảo giác với hằng số
1 / 2K
. Có thể chỉ ra rằng hằng số á bảo giác nhỏ nhất không vượt quá
1/ / 2K
.
Chúng ta thiết lập đánh giá cơ bản cho nghiệm của (2.1) mà nó cần
cho lí thuyết phi tuyến tính tiếp theo. Chúng ta sử dụng kí hiệu
1 21.2
dist , , min ,z z zd z d d d
và phần trong chuẩn và nửa chuẩn
1 2
22 11 2
,2 01,
,
2 1
sup d , supd z
z z z
Du z Du z
u f f
z z
Định lý 2.1. Giả sử u là nghiệm thuộc
2C
và bị chặn của phương trình:
2xx xy yyLu au bu cu f
,
với
L
là elliptic đều, thỏa mãn (2.2) và (2.3) trong miền
của 2 . Khi đó
với bất kỳ
( ) 0
, ta có:
(2.8)
20 01, / ,u C u f
( )C C
.
Đặc điểm quan trọng của kết quả này là đánh giá (2.8) chỉ phụ thuộc vào tính
bị chặn và không phụ thuộc vào tính trơn của các hệ số. Điều này ngược lại
với đánh giá Schauder phụ thuộc vào hằng số Holder của các hệ số.
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Chứng minh. Giả sử
1 2, z z
là một cặp điểm bất kỳ trong
, đặt
1,22d d
và
ký hiệu
' zz d d
,
'' ' dist( , )z z d d
. Ta lưu ý rằng
1 2, ''z z
. Ta áp dụng Định lý 1.6 với
', ''
trong vị trí tương ứng của
,
và
1K
,
2
'
[(1 )sup / ]
'
2
f
K
. Bất đẳng thức (1.20) với
w p iq
được trình bày trong các số hạng của gradient của
Du
, trở thành
với
2 1/2(1 ) ( 2 )
2 1
' '
2 1
' '
( ) ( )
(sup sup , ( ( )),
(sup ( ) sup );z z
Du z Du z
d C Du d f C C
z z
C
d Du z d f
d
do đó:
1 22 1
1,2 2
2 1
( ) ( )
(sup ( ) sup / ),z
Du z Du z
d C d Du z d f
z z
kéo theo
(2)
1, ; ' 1; ' 0; '
[ ] ([ ] / )u C u f
, với bất kỳ
'
.
Áp dụng bất đẳng thức trên cho
1, 0j k
, cụ thể là
(2.9)
1 1, 1 0
[ ] [ ]u u C u
,
1 1( ( ))C
cho ta bất đẳng thức sau
(2)
1, 1, 1 0 0
[ ] ( [ ] / ).u C u C u f
Chọn
sao cho 1
2
C
, ta thu được một hằng số thích hợp
( )C C
,
(2)
1, 0 0
[ ] ( / ),u C u f
đó là kết quả cần tìm (2.8).
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Từ (2.8) và bất đẳng thức (2.9), ta có đánh giá chuẩn như sau:
(2.10)
21, 0 0[ ] ,u C u f
( )C C
.
2.2 Đánh giá toàn cục đối với chuẩn Holder đạo hàm cấp
một của nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai
Định lý 2.1 về đánh giá địa phương có thể được mở rộng cho đánh giá
1, ( )C
dưới giả thiết tính trơn phù hợp với dữ kiện trên biên. Giả sử thêm
vào giả thiết của Định lý 2.1 là
2( )u C
với
là một miền 2C và 0u
trên
. Khi đó ta có thể khẳng định rằng
1, ,
u C
với
( , )
và
0 0
( , , , ).C C u f
Ta sẽ chứng minh điều khẳng định trên.
Ta đặt
01v u Du
, sao cho
v
thỏa mãn
01Lv f Du
và
1Dv
. Giả sử
được phủ bởi số hữu hạn của các cung chồng lên nhau,
trong đó chúng có thể duỗi thẳng thành các đoạn của
0
bằng một vi phôi
2C
phù hợp
( , ) ( , )x y
được xác định trong lân cận của cung. Khi lấy
đạo hàm của (2.6), ánh xạ
( , ), ( , )p p q q với , p v q v
là
( , ')K K
á bảo giác trong
( , )
với hằng số
( , ),K K
0
' '( , , / )K K f
. Cũng vậy,
0p
trên
0
. Lập luận tương tự như
trong Nhận xét 1.2.4(4) chứng tỏ rằng p và q và do đó
Dv
thỏa mãn một điều
kiện Holder toàn cục trong
, trong đó số mũ Holder
chỉ phụ thuộc vào
,
và hệ số Holder cũng phụ thuộc vào
0
/f
. Vì vậy,
1, 0
[ ] (1 ),u C D u
0
( , , / ),C C f
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
và bằng phương pháp nội suy ta thu được:
1, , 0 0, , , / , = , .u C u f
Nếu
2( )C
và
u
trên
, khi đó xét
u
thay vị trí của
u
và nhắc
lại rằng
0
u
có thể được đánh giá trong các số hạng của
sup
và
0
/f
.
Chúng ta suy ra đánh giá toàn cục sau đây
1, , 2 0
( , , , / )u C C f
,
( , )
.
Ta nhấn mạnh rằng, đánh giá này độc lập với bất kỳ tính trơn của
f
và
của các hệ số của
L
.
Tiếp theo ta trình bày ứng dụng của kết quả trên trong định lý sau.
Định lý 2.2. Giả sử
là một miền 2,C với
0
nào đó và giả sử
f
và
các hệ số của
L
thuộc không gian
( )C
. Giả sử
2 0( ) ( ),u C C
2, ( )C
thỏa mãn
Lu f
trong
,
u
trên
. Khi đó
1, ( )u C
và
1, ,
u C
, với
( , )
và
2 0
( , , , / )C C f
.
Chứng minh. Chứng minh được suy ra từ mục trước bằng phương pháp xấp
xỉ. Cụ thể là, nếu
, , , , 1,2...m m m ma b c f m
, là những hàm trong
( )C
hội tụ
tới
, , ,a b c f
, đều trong các miền con compact của
, những nghiệm tương
ứng
mu
của bài toán Dirichlet,
m m mL u f
trong
,
mu
trên
sẽ thuộc
2( )C
và có chuẩn
1, ( )C
bị chặn đều
1,m
u C
với
và
C
độc lập với
m
. Do đánh giá Schauder và tính duy nhất, dãy
{ }mu
hội tụ đến nghiệm u của
Lu f
. Theo đó thì
u
cũng thỏa mãn
1, ( )C
bị chặn
1,
u C
, như sự
khẳng định của chúng ta.
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
2.3 Tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho
phương trình elliptic đều á tuyến tính cấp hai.
Ta xét bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính dạng tổng
quát,
(2.11)
, , , , 2 , , , ,
, , , , , , , , 0
x y xx x y xy
x y yy x y
Qu a x y u u u u b x y u u u u
c x y u u u u f x y u u u
được xác định trong một miền bị chặn
trong mặt phẳng
,x y
. Liên quan
đến toán tử Q, ta giả thiết:
i) Hàm
, , , , ,..., , , , ,a a x y u p q f f x y u p q
được xác định với mọi
, , , ,x y u p q
trong 2 và
2, , ,a b c f C
với mọi
0,1
.
ii) Toán tử Q là elliptic đều trong
với
u
bị chặn, có nghĩa là các giá trị
riêng
, , , , , , , , ,x y u p q x y u p q của ma trận hệ số thỏa mãn:
(2.12)
21 , , , , ,u x y u p q
với
là hàm không giảm.
iii) Hàm
f
thỏa mãn các điều kiện:
(2.13)
1
f
u p q
(2.14)
2sign 1 , , , , ,
f
u v p q x y u p q
trong đó
không giảm và
v
là hằng số không âm.
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
Ta nói rằng miền
với biên
trong 2 thỏa mãn điều kiện mặt cầu
bên ngoài nếu tại mỗi điểm 0x luôn tồn tại một hình tròn nằm bên ngoài
và có duy nhất một điểm chung 0x với .
Định lý 2.3. Giả sử
là một miền trong 2 thỏa mãn điều kiện mặt cầu bên
ngoài và giả sử
là hàm liên tục trên
. Khi đó nếu
Q
là một toán tử
elliptic á tuyến tính thỏa mãn điều kiện (i) – (iii), thì bài toán Dirichlet
(2.15)
0Qu
trong
,
u
trên
,
có nghiệm
2, 0( ) ( )u C C
.
Chứng minh. Đầu tiên chúng ta chứng minh định lý dưới giả thiết hẹp hơn
(2.16) f
( const)
,
trong (2.13). Lập luận dựa trên định lý điểm bất động Schauder. Để xác định
ánh xạ
T
xuất hiện trong phát biểu của định lý đó ta quan sát như sau. Giả sử
v
là hàm bất kỳ với các đạo hàm cấp một liên tục Holder địa phương trong
, và giả sử
( , ) ( , , , , ),...x ya a x y a x y v v v
, là hàm liên tục Holder địa
phương trong
thu được khi thay
v
vào
u
trong các hệ số của
Q
. Khi
f
là bị chặn thì bài toán Dirichlet tuyến tính,
(2.17)
2 0xx xy yyau bu cu f
trong
,
u
trên
,
có duy nhất một nghiệm
2 0( ) ( )u C C
. Ta có
1 00
sup supu u C M
,
1 1C C
(diam
).
Ngoài ra, nếu
0sup v M
và nếu ta đặt
0 0( )M
, theo Định lý 2.1 ta có :
(2.18)
2
0 01, 0
2
0
diam , , ,
C diam .
u C u C C
M K
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
Ta đặc biệt lưu ý rằng đánh giá này chỉ phụ thuộc vào cận
0M
của hàm
v
được sử dụng trong ký hiệu hệ số của các phương trình của (2.17).
Giả sử ta xét không gian Banach
1, 1, 1,
1, ;
( ) { ( ) }C C u C u
,
trong đó
là số mũ Holder trong (2.18). Ta ký hiệu ánh xạ
T
của tập
1,
01, 0
{ , }G v C v K v M
,
bởi
u Tv
, trong đó u là nghiệm duy nhất của bài toán Dirichlet tuyến tính
(2.17) với
v G
. Từ (2.18) và
0 o
u M
, ta có
u G
và do đó
T
ánh xạ
G
vào chính nó. Do
G
là lồi, đóng trong không gian Banach
1 1
1;
{u C ( ) }C u
,
ta có thể kết luận từ định lý điểm bất động Schauder là
T
có một điểm bất
động,
u Tu
, trong
G
, chứng minh ánh xạ
T
là liên tục trong
1C
và ảnh
TG
là tiền compact trong
1C
. Điều này sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài
toán (2.15) dưới giả thiết (2.16).
Để chứng minh
TG
là tiền Compact trong
1C
, đầu tiên ta quan sát tập
hợp
G
, và từ đó
TG
là liên tục đồng bậc tại mọi điểm của
. Ta kết luận
rằng hàm
TG
cũng liên tục đồng bậc tại mọi điểm
0z
. Giả sử
w
là một
hàm chắn. Hàm
w
chỉ phụ thuộc vào giá trị tuyệt đối elliptic
0
(trong
phương trình (2.17)) và bán kính ngoài của đĩa tại
0z
, có tính chất là với bất
kỳ
0
và một hằng số
k
độc lập với
v G
, nghiệm
u Tv
của (2.17) thỏa
mãn bất đẳng thức
(2.19)
0( ) ( ) ( )u z z k w z
trong
.
26Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
25
Do
( ) 0w z
khi
0z z
, điều này kéo theo tính liên tục đồng bậc của tập
TG
tại
0z
. Vì vậy các hàm của
TG
là liên tục đồng bậc trên . Do TG là
một tập liên tục đồng bậc bị chặn trong
1,C
, nó là tiền compact trong
1C
.
Sự liên tục của tập
T
trong
1C
được chứng minh một cách tương tự: Giả
sử
, nv v G
,
1,2,...n
, và giả sử
1
0nv v
khi
n
. Xét
u Tv
và dãy
, 1,2,...n nu Tv n
Ta cần chỉ ra
1
0nu u
. Từ đánh giá Schauder chỉ ra
rằng có một dãy con phù hợp
{ } { }m nu u
hội tụ đều với đạo hàm cấp một và
cấp hai của nó trong tập con compact của
đến một nghiệm
u
trong
của
phương trình giới hạn (2.17) thu được khi thay
v
bởi các hệ số của
Q
. Ta kết
luận rằng
0( ) ( )u z z
, với mọi
0z
và do đó (theo tính duy nhất)
u u Tv
. Lập luận tương tự như trên, ta có thể khảng định (2.19) với
mu
thay thế bởi
u
, từ đó ta thu được giới hạn
0( ) ( )u z z
khi
0z z
. Vì vậy
u u
và ta có
mTv Tv
trên cho dãy con
{ }mv
.
Do dãy
{ }mTv
chứa trong
TG
, là tiền compact trong
1C
, một dãy con
{ }mTv
có chuẩn hội tụ trong
1C
tới
Tv
. Lập luận tương tự trên các dãy con
tùy ý của
{ }nv
, chứng tỏ
1
0nTv Tv
với mọi dãy. Sự thiết lập tính liên tục
của
T
trên
1C
và quan sát ta có thể kết luận sự tồn tại của một điểm cố định
u Tu
trong
G
.
Định lý này được chứng minh trong trường hợp đặc biệt là
/f
bị
chặn trên 2 , đặc biệt khi
0f
ta quay lại giả thiết (iii) ban đầu. Nó
sẽ hội tụ với giả thiết
( , , , , ) 1x y u p q
trong 2 , có thể đạt được từ
sự phân chia các hàm
, , ,a b c f
bởi
. Trong trường hợp này (2.13), (2.14) trở
thành
27Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
26
(2.20)
1f u p q
,
(2.21)
f
sign
(1 )u v p q
,
v
const.
Ta tiếp tục cắt cụt hàm
f
để rút gọn thành bài toán (2.15) trong trường
hợp
f
bị chặn ở trên. Cụ thể là, giả sử
n
là kí hiệu hàm số cho bởi:
,
( )
sign ,
N
t t N
t
N t t N
và định nghĩa cắt cụt của
f
bởi
( , , , , ) ( , , ( ), ( ), ( ))N N N Nf x y u p q f x y u p q .
Từ (2.20) ta có
(1 2 )Nf N N
. Xét tập hợp các bài toán,
(2.22) ( , , , ) 2 ( , , , )
( , , , ) ( , , , ) 0,
N xx xy
yy N
Q u a x y y Du u b x y u Du u
c x y u Du u f x y u Du
u
trên
.
Từ kết quả (2.21) nghiệm
u
bất kỳ trong họ này bị chặn, độc lập với
N
,
(2.23)
1sup sup (u C v
, diam
) M
.
Từ các kết quả trước của bài toán (2.15) với
f
bị chặn trong bài toán
(2.22), trong đó
Nf
bị chặn, suy ra với
( ), ( )M
tồn tại nghiệm
1, 2, 0( ) ( ) ( ).Nu C C C
Ngoài ra từ Định lý 2.1 ta suy ra đánh giá,
(2.24)
(2)
0 01,
( )N N Nu C u f
,
trong đó
( ), ( , , , )N N N NC C f f x y u Du . Từ (2.20) và (2.23), điều này trở
thành
1, 1
(1 )N Nu C u
,
( , , ,C C M
diam
), ( )M
.
Phép nội suy bất đẳng thức (2.9), với 1
2
C
, bị chặn đều , độc lập với
N
,
28Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
27
(2.25)
1,
( , , ,Nu C C M
diam
)
.
Áp dụng đánh giá trước và đánh giá Schauder bên trong miền cho họ
phương trình
0n NQ u
trên tập con compact, ta thu được một dãy con
n Nu u
hội tụ đến một nghiệm
u
của
0Qu
trong
thỏa mãn đánh giá
(2.25).
Điều đó chứng tỏ rằng
u
cũng thỏa mãn điều kiện bị chặn
u
và cho
mục đích này ta lập luận tương tự như trên. Theo kết quả của (2.20) và (2.23),
mỗi
nu
là một nghiệm của phương trình tuyến tính,
ij
ij 0,
i
n n n i nQ v a D v b D v f
, 1,2,i j
trong đó
11 , ( , , , ),...n n na x y a x y u Du
, và
( , ), ( , )in nb x y f x y
bị chặn độc lập với
n
. Tại điểm
0z
bất kỳ, phương trình này với hàm chắn
w
chỉ phụ thuộc
vào
,
và bán kính bên ngoài của đĩa tại
0z
. Vì vậy với bất kỳ
0
và
hằng số
k
phù hợp độc lập với
n
ta thu được bất đẳng thức
0( ) ( ) ( )nu z z k w z
trong
.
Giả sử
n
. Ta suy ra cùng một bất đẳng thức với
u
tại vị trí của
nu
, do đó
0( ) ( )u z z
khi
0z z
. Định lý được chứng minh.
Nhận xét 2.4.
1. Chứng minh định lý trước chỉ dựa trên đánh giá đạo hàm bên trong
miền do đó thu được điều kiện tổng quát hơn trên các hệ số và dữ liệu
bị chặn. Với đánh giá toàn cục, một sự biến đổi đơn giản của chứng
minh là cho một nghiệm
2, ( )C
khi
và
trong 2,C và
2, , , a b c f C
. Cùng với những giả thiết, nghiệm được
29Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
28
chứng minh bởi Định lý 2.3 cũng phải nằm trong
2, ( )C
. Để chứng
minh khẳng định này, đầu tiên ta quan sát phương trình
0Qu
sau đó
chèn
u
vào các hệ số, được các hệ số trong
( )C
khi
2, 0u C C
và
u
trên
, với
2, ( )C
. Theo kết
quả đánh giá toàn cục của phương trình tuyến tính, nghiệm
u
nằm
trong
1, ( )C
với
nào đó. Do vậy các hệ số của
Qu
nằm trong
C
. Nên
2,u C
, do đó các hệ số của
Qu
nằm trong
C
. Ta suy ra như vậy với
2,u C
như đã được khẳng định.
2. Điều kiện (2.14) được áp đặt để bảo đảm cho tính bị chặn đều của mọi
nghiệm có thể của bài toán Dirichlet cho
0NQ u
.
3. Điều kiện cấp tăng tuyến tính (2.13) đối với
/f
nhằm để đạt được
cận (2.25) bằng phép nội suy cho
1
u
qua các số hạng của
1,
u
và
0
u
.
2.4 Tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho
phương trình elliptic không đều á tuyến tính cấp hai
Nghiên cứu về phương trình elliptic không đều, ta sẽ thấy rằng không
giống như phần trước, khả năng giải được của bài toán Dirichlet nói chung là
liên kết chặt chẽ với dạng hình học của miền. Nét đặc trưng của phương trình
elliptic không đều đã được quan sát trong lí thuyết tuyến tính. Kết quả của
phần này nhấn mạnh vai trò quan trọng tính lồi của miền nhằm đảm bảo khả
năng giải được của bài toán biên Dirichlet.
30Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
29
Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính tổng quát có
dạng.
(2.26)
, , , , 2 , , , ,
, , , , 0.
x y xx x y xy
x y yy
Qu a x y u u u u b x y u u u u
c x y u u u u
( , ) ( , ), ( , ) ,u x y x y x y
trong đó
là một miền bị chặn trong 2 và
là hàm xác định trên
.
Điều kiện Dirichlet cho phương trình (2.26) sẽ được viết thành phương trình
của đường cong biên
3, ,z z z
Ta nói rằng
và
thỏa mãn điều kiện độ nghiêng bị chặn (với hằng số
K
)
nếu với mọi điểm
0 0, P z z
có mặt phẳng trong 3
0 0 0, u z a z z z a a z ,
qua
P
sao cho:
(2.27)
0
, ;
, .
p p
p
i z z z z
ii D a z K z
Điều kiện (i) có nghĩa là với mỗi
P
, đường cong
bị chặn trên và dưới
trong hình trụ
bởi mặt phẳng
pu z
và
pu z
và trùng với nó
tại
P
. Điều kiện (ii) có nghĩa là độ nghiêng của các mặt phẳng là bị chặn đều,
độc lập với
P
, bởi hằng số
K
. Hiển nhiên điều kiện độ nghiêng bị chặn kéo
theo sự liên tục của
.
Ta có nhận xét sau đây liên quan đến điều kiện độ nghiêng bị chặn.
Nhận xét 2.5.
1) Với mọi miền
,
nằm trong mặt phẳng (và thỏa mãn điều kiện độ
nghiêng bị chặn) nếu và chỉ nếu
là hạn chế của một hàm tuyến tính trên
31Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
30
. Tuy nhiên nếu
không nằm trong mặt phẳng và thỏa mãn điều kiện độ
nghiêng bị chặn, thì
phải là lồi. Từ (2.27) ta có:
0
≢
0 0, p pz z a a z z z ,
và do đó có giá là đường thẳng
0 0a a z z
tại mỗi
0z
, kéo
theo
là lồi.
2) Giả sử
là lồi và
,
thỏa mãn điều kiện độ nghiêng bị chặn.
Cho
, , 1,2,3i i iP z z i
, ba điểm phân biệt trên
. Nếu
1 2 3, ,z z z
là
thẳng hàng thì
1 2 3, ,P P P
cũng là thẳng hàng trên
, mặt khác các điểm sẽ xác
định một mặt phẳng thẳng đứng, mâu thuẫn với (2.27). Vì vậy
là tuyến tính
trên các đoạn thẳng của
.
3). Trên thực tế, một cách tương đối điều kiện độ nghiêng bị chặn tương
đương với điều kiện ba điểm sau đây: Cho
bị chặn và lồi. Ta nói rằng
đường cong
,
thỏa mãn điều kiện ba điểm với hằng số K. Nếu
mọi bộ ba điểm phân biệt trên
nằm trong một mặt phẳng có độ nghiêng
K
. Vào cuối phần này chúng ta chứng minh sự tương đương của các điều
kiện độ nghiêng bị chặn và điều kiện ba điểm với hằng số K.
Từ điều kiện ba điểm, mặt phẳng xác định bởi bất kỳ ba điểm không
thẳng hàng của
có độ nghiêng
K
. Vì vậy, nếu
là lồi (nghĩa là đoạn
thẳng nối 2 điểm bất kỳ của
nằm hoàn toàn trong
) và độ nghiêng của
mọi mặt phẳng
giao nhau trong đó ít nhất ba điểm không vượt quá K và
ngược lại điều này mạnh hơn từ các điều kiện ba điểm, kéo theo
là tập lồi
ngặt.
4). Không khó khăn để chứng tỏ nếu
2 2, C C
và độ cong của
là
luôn dương thì
,F
thỏa mãn một điều kiện độ nghiêng bị chặn với
32Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
31
một hàm số phụ thuộc vào độ cong cực tiểu của
và cận trên các đạo hàm
bậc nhất và bậc hai của
.
Nghiệm của bài toán Diricchlet cho phương trình (2.26) cần một đánh giá
tiên nghiệm cho gradien được giới hạn bởi bổ đề sau.
Bổ đề 2.6. Cho
là một miền lồi bị chặn trong 2 , và cho
là một hàm
xác định trên
thỏa mãn một điều kiện độ nghiêng bị chặn với hằng số
K
.
Giả sử
2 0u C C
thỏa mãn phương trình elliptic tuyến tính
(2.28)
2 0xx xy yyLu au bu cu
trong
, với
u
trên
. Khi đó
(2.29)
sup Du K
Ta nhấn mạnh rằng
L
chỉ cần là toán tử elliptic và không cần điều kiện
nào khác trên các hệ số.
Chứng minh. Đầu tiên ta chú ý rằng nếu
là hạn chế của một hàm tuyến
tính trên
thì từ tính duy nhất nghiệm
u
trùng với hàm này trong
và
kết luận (2.29) được giữ nguyên. Từ Nhận xét 2.4(1) trên ta thấy
có thể giả
thiết là lồi.
Từ (2.28) và tính elliptic của
L
ta có:
2 2 2
2 2 2
0 2 ,
0 2 .
xx xx xy xy xy xx yy
xy xy yy yy xy xx yy
au bu u cu c u u u
au bu u cu a u u u
Theo
2 0xx yy xyu u u
và đẳng thức cố định tại các điểm mà 2 0D u (Ta lưu ý
rằng
,u u x y
là mặt yên ngựa). Xét điểm
0 0 0,z x y
bất kỳ với
2 0xx yy xyu u u
và ký hiệu
0 , Axu x y By C
là mặt phẳng tiếp tuyến
tới mặt
,u u x y
tại
0 0,x y
. Hàm
0w u u
là nghiệm của (2.28) trong
, và tập
0w
phân chia một đĩa nhỏ về
0z
vào bốn miền
1 4,...,D D
trong đó
33Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
32
w
là xen kẽ dương và âm biết
0w
trong
1 3,D D
và
0w
trong
2 4,D D
. Giả
sử
'
1 1D D
,
'
3 3D D
là hợp thành của các tập trong
với
0w
và cho
'
2 2D D
,
'
4 4D D
được xác định một cách tương tự. Với mỗi miền
' '
1 4,...,D D
có ít nhất 2 điểm giới hạn trên
với
0w
, mặt khác nguyên lí cực đại yếu
kéo theo
0w
trên miền. Điều đó chỉ ra rằng
cắt biên đường cong
,
tại ít nhất bốn điểm. Từ Nhận xét 2.4(3) ở trên ta suy ra nếu bất
kì 3 điểm trong các điểm không thẳng hàng, thì
có độ nghiêng không vượt
K
. Mặt khác, nếu các điểm trên
với
0w
từ một tập các điểm thẳng
hàng
, (Nhận xét 2.4 (2)) thì
và
u
là tuyến tính và đồng nhất với
0u
trên
đoạn thẳng của
bao hàm
. Điều này kéo theo
0w
trên các miền
iD
,
điều này là mâu thuẫn. Vì vậy độ nghiêng của mặt phẳng tiếp tuyến tới bề mặt
nghiệm không thể vượt qua
K
tại điểm
2 0uD
.
Bây giờ xét tập
S
trên
2 0uD
. Giả thiết
S
, mặt khác
,u x y
sẽ là
tuyến tính và kết luận đó là không quan trọng. Nếu
0z s
và
0z
là giới hạn
của các điểm với
2 0uD
thì mặt phẳng tiếp tuyến liên tục tại
0z
phải có độ
nghiêng không vượt quá
K
. Khả năng còn lại của
0z
là một điểm trong của
S
, trong trường hợp này
0z
được chứa trong tập
G
mở trong đó 2 0D u trên
G
, ta có
u
là tiếp tuyến và mặt phẳng tiếp tuyến đó trùng với bề mặt
,u u x y
. Vì mọi điểm trên biến bất kỳ của
G
mà là phần trong
là giới
hạn của các điểm tại đó 2 0D u , ta kết luận
Du K
trên
G
và trong
trường hợp đặc biệt tại
0z
. Bổ đề đã được chứng minh.
Chúng ta thiết lập các định lý tồn tại sau đây cho phương trình (2.26).
34Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
33
Định lý 2.7. Giả sử
là một miền lồi bị chặn trong 2 và giả thiết rằng
phương trình,
( , , , , ) 2 ( , , , , )
( , , , , ) 0
x y xx x y xy
x y yy
Qu a x y u u u u b x y u u u u
c x y u u u u
là elliptic trong
với các hệ số
2, , ( )a b c C
với
(0,1)
. Giả
sử
là hàm xác định trên
thỏa mãn điều kiện độ nghiêng bị chặn với
hằng số
K
. Khi đó bài toán Dirichlet
0Qu
trong
,
u
trong
có một nghiệm
2, 0( ) ( )u C C
, với
sup Du K
.
Chứng minh. Ta chia các hệ số
, ,a b c
cho giá trị riêng lớn nhất
, , , ,x y u p q
và sau đó ký hiệu lại bởi phương trình
0Qu
. Toán tử
Q
có giá trị riêng cực đại là 1, nhưng giá trị riêng cực tiểu
có thể tiến tới 0
trong 2 . Ta xét họ phương trình
(2.30)
0Q u Qu u
,
0
,
với điều kiện bị chặn
u
trên
. Với mỗi
phương trình này là elliptic
đều và Định lý 2.2 khẳng định sự tồn tại của nghiệm
2, 0( ) ( )u C C
sao cho
u
trên
. Từ Bổ đề 2.5, nghiệm
u
thỏa mãn đánh giá gradient
đều,
(2.31)
sup Du K
,
độc lập với
. Từ nguyên lý cực đại ta cũng có
supu
. Như một hệ
quả, trong mọi miền con
'
, phương trình tuyến tính
(2.32)
2 0xx xy yyQ u a u b u c u u
35Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
34
trong đó tập
( , ) ( , , , ),...a x y a x y u Du
, có giá trị riêng cực tiểu
( , , , )x y y Du
với
, 'x y
, bị chặn dưới đều bởi một hằng số
( ') 0
chỉ phụ thuộc vào
'
, những giá trị riêng này bị chặn trên bởi 2
với mọi
1
. Định lý 2.1 khẳng định rằng trong tập con
nghiệm
của (2.32) với
u
trên
, đặc biệt nghiệm
u
, thỏa mãn đánh giá Holder
đều đối với gradient (độc lập với
)
, ''
Du C
,
( ' )
,
trong đó
( 'C C
,
sup
,
dist( '', '))
. Do đó, các hệ số
, , a b c
là
liên tục Holder địa phương với số mũ
trong
'
và bị chặn đều trong
''C
. Do
'
và
''
là tùy ý nên họ các nghiệm
u
của (2.32) cùng với
đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của chúng là liên tục đồng bậc trên tập
con compact của
và do đó, theo quá trình chéo hóa thông thường, có một
dãy
nu
của họ
u
hội tụ trong
tới một nghiệm
0u
của
0Qu
khi
0n
. Giới hạn gradient đều (2.31), bảo đảm sự hội tụ đều trên
và do đó
0u
trên
. Định lý đã được chứng minh.
Nhận xét 2.8.
1. Điều kiện hình học đối với
, như tính lồi, cần phải được áp đặt nói chung
đã được chỉ ra bởi phản ví dụ cổ điển, như trường hợp phương trình bề mặt
cực tiểu
(2.33)
2 21 2 1 0y xx x y xy x yyu u u u u u u
,
trong hình xuyến
,a r b
1/2
2 2r x y
. Nếu điều kiện bị chặn
h
(=
hằng số > 0) trên
, 0r a
trên
r b
và
h
đủ nhỏ, bài toán biên có
36Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
35
nghiệm catenoid nổi tiếng. Tuy nhiên, nếu
h
đủ lớn thì bài toán không có
nghiệm.
2. Giả thiết tính trơn tiềm ẩn trong điều kiện độ nghiêng bị chặn không được
làm yếu tổng quát cho phép giá trị
cận liên tục. Phản thí dụ chứng tỏ gằng
bài toán Dirichlet không cần một nghiệm cho giá trị biên liên tục thậm chí khi
đường cong biên là một đường tròn và các hệ số của phương trình trơn tùy ý.
3. Bước thiết yếu trong chứng minh Định lý 2.7 là sự rút gọn trong trường
hợp elliptic đều, trong đó có thể được làm bởi sự tồn tại của đánh giá tiên
nghiệm cận gradient toàn cục (Bổ đề 2.5). Cận gradient cũng có thể được thiết
lập dưới điều kiện cấu trúc phù hợp trên toán tử
Q
và sự giả thiết hình học
liên quan đến miền
. Trong trường hợp
lồi nó có thể thay thế mặt phẳng
của điều kiện độ nghiêng bị chặn bởi những hàm số phụ và siêu hàm số phụ
liên quan đến
Q
và tiếp tục với lý luận trong cùng một bản chất.
2.5 Sự tương đương của độ nghiêng bị chặn và điều kiện
ba điểm.
Đầu tiên giả thiết rằng
,
thỏa mãn một điều kiện độ nghiêng bị
chặn với hằng số
,K
vẫn lồi. Giả sử
1 2 3, ,z z z
là 3 điểm không thẳng hàng
trên
và giả sử
i i iu z a z z z
,
1,2,3i
,
là mặt phẳng trên và dưới tương đương tại điểm
,i i ip z z
thỏa mãn
(2.27). Giả sử
, 1,2,3i iu z az b a z z z i
37Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
36
là mặt phẳng đi qua
1 2 3, ,P P P
. Chứng tỏ
a K
(nếu
1 2 3, ,z z z
và
1 2 3, ,P P P
là
thẳng hàng, mặt phẳng
u z
với độ nghiêng
K
là liên tục). Theo (2.27)
ta có
(2.34)
, , 1,2,3i j i j i i j ia z z a z z a z z i j
.
Từ
1 2 3, ,z z z
là các đỉnh của tam giác không suy biến và
a
là một vectơ trong
2 , ta có
1,2,3i
hay
, 0j j i j
j
a c z z c
.
Từ (2.34) ta cũng suy ra:
2 i j j i i
j
a a c z z a a K a
,
hoặc
2 i j i j i
j
a a c z z a a K a
.
Do đó
a K
. Vì vậy điều kiện độ nghiêng bị chặn bao hàm điều kiện ba
điểm đối với cùng một hằng số
K
. Ngược lại, giả sử
,
thỏa mãn
điều kiện ba điểm với hằng số
K
trên miền lồi
. zCho
,A AA z z
là
điểm bất kỳ của
sao cho
Az
không là điểm trong của đường thẳng
. Tồn
tại một dãy các hình tam giác với các đỉnh ở những điểm không thẳng hàng
, , , i=1,2,...i iA B C
sao cho
,i iB C A
cũng như
i
và mặt phẳng
i
xác định bởi
, ,i iA B C
hội tụ đến một mặt phẳng giới hạn
. Có thể giả thiết
rằng đoạn
iAB
có một phương giới hạn trong đó xác định một đường thẳng
L
qua
A
nằm trong
có hình chiếu
zL
lên mặt phẳng
z
là một giá của
. Rõ
ràng
L
trùng với tiếp tuyến của
tại
A
. Cho
, Q LQ
và cho
biểu
thị mặt phẳng xác định bởi
,Q L
. Độ nghiêng của
không vượt quá
K
, từ
38Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
37
đó chuỗi mặt phẳng xác định bởi
,A Q
và
iB
có độ nghiêng giới hạn như
.
Xét chuỗi mặt phẳng chứa
L
và điểm
, Q LQ
, và cho các mặt phẳng
xác định bởi hàm số tuyến tính
Qu z
. Trong mặt phẳng
z
cho
H
ký
hiệu nửa mặt phẳng có bờ là cạnh
L
chứa
. Nếu
'Q Q
z z
với
z H
nào đó, thì bất đẳng thức không đổi với mọi
z H
, trong trường hợp đặc biệt,
với mọi
z
. Vì vậy có mặt phẳng trên và dưới tại A được xác định bởi.
sup , inf , z H
Q L
Q L
Q Qz z z z
.
Mặt phẳng
u z
và
u z
có độ nghiêng không vượt quá
K
và
nằm tương ứng trên và dưới
(trên
). Do đó chúng thỏa mãn điều kiện độ
nghiêng bị chặn tại hằng số
K
không đổi. Rõ ràng nếu
A
nằm trên đoạn thẳng
, thì đường thẳng chứa đoạn này có thể thay thế
L
trong lý luận trên. Vì
vậy điều kiện ba điểm kéo theo điều kiện độ nghiêng bị chặn với cùng một
hằng số
K
.
39Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
38
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày được các vấn đề sau:
1. Đánh giá tiên nghiệm đối với ánh xạ
,K K
-á bảo giác trên mặt phẳng
phức, trong đó có đánh giá cho tích phân Dirichlet và chuẩn Holder cho
các thành phần của ánh xạ.
2. Áp dụng các kết quả của ánh xạ
,K K
-á bảo giác vào nghiên cứu sự
tồn tại nghiệm của bài toán biên Dirichlet cho phương trình á tuyến tính
elliptic đều và không đều với hai biến độc lập.
40Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
39
Tài liệu tham khảo
[1] David Gilbang, Neil. S. Trudinger (2001), Elliptic Partial Differential
Equations of Second Order, Springer.
[2] L.Bers, M.Schechter (1964), Partial Differential Equations, New York
Interscience.
41Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- phuong_trinh_elliptic_a_tuyen_tinh_cap_hai_voi_hai_bien_doc_lap_6505._.pdf