Phương trình hàm cauchy cộng tính và tính ổn định

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THANH THẢO PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2016 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI Phản biện 1: PGS. TSKH Trần Quốc Chiến Phản biện 2: GS. TSKH Nguyễn Văn Mậu Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Trường Đại Học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết về phương trình hàm là một lĩnh vực được ra đời và phát triển mạnh mẽ trong lịch sử của ngành Giải tích Toán học. Trong đó, phương trình hàm Cauchy là một trong những dạng phương trình hàm cơ bản, đóng vai trò nòng cốt về phương pháp luận cũng như phương pháp giải cho hầu hết các dạng toán liên quan. A.M. Legendre được xem như là người đầu tiên đưa ra lời giải của phương trình hàm Cauchy, đồng thời cũng là người khởi nguồn cho việc nghiên cứu về lớp hàm cộng tính. Có thể thấy tính chất của hàm cộng tính có mối liên hệ chặt chẽ đến cách xác định lời giải của phương trình hàm Cauchy cộng tính. Vì vậy việc nghiên cứu các tính chất của hàm cộng tính có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết của phương trình hàm Cauchy nói riêng và phương trình hàm nói chung. Bên cạnh một số cách tiếp cận phương trình hàm như: nghiên cứu định tính (xác định một số đặc trưng của hàm số) hoặc nghiên cứu định lượng (ước lượng số nghiệm, xác định các dạng nghiệm cụ thể), nghiên cứu nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục, xác định nghiệm liên tục hay gián đoạn... thì tính ổn định nghiệm của phương trình hàm cũng là một trong số những hướng nghiên cứu chính khi tiếp cận phương trình hàm. Chính vì tất cả các lí do nêu trên, tôi chọn đề tài: “Phương trình hàm Cauchy cộng tính và tính ổn định” để nghiên cứu. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu – Nghiên cứu các tính chất của hàm cộng tính và mối liên hệ giữa hàm cộng tính với phương trình hàm Cauchy cộng tính. 2 – Nghiên cứu tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng tính. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu: Phương trình hàm Cauchy cộng tính. 3.2. Phạm vi nghiên cứu: Tính chất của hàm cộng tính và tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng tính. 4. Phương pháp nghiên cứu – Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, các bài báo khoa học và các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài của luận văn) để thu thập thông tin nhằm phục vụ cho việc phân tích, làm rõ các vấn đề có trong đề tài. – Nghiên cứu các tài liệu thu thập được, tổng hợp và hệ thống lại, đồng thời trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của Thầy hướng dẫn, của chuyên gia và của các đồng nghiệp. 5. Nội dung Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo thì nội dung luận văn gồm hai chương Chương 1. Phương trình hàm Cauchy cộng tính Chương 2. Tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng tính. 3 CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH 1.1. GIỚI THIỆU Sự nghiên cứu về hàm cộng tính bắt nguồn từ A.M. Legendre – người đầu tiên tìm cách xác định lời giải của phương trình hàm Cauchy ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + với mọi , .x y∈ Đến năm 1821, A.L. Cauchy bắt đầu đề xuất những nghiên cứu có tính hệ thống về phương trình hàm Cauchy cộng tính trong sách Cours d’Analyse của mình. Hàm cộng tính chính là nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính nêu trên. Vì vậy trong chương này, chúng ta sẽ tập trung nghiên cứu về hàm cộng tính. Đầu tiên ta định nghĩa như thế nào là một phương trình hàm. Sau đó xem xét phương trình hàm Cauchy cộng tính và chỉ ra rằng những hàm cộng tính liên tục hoặc khả tích địa phương là tuyến tính. Hơn nữa, chúng ta nghiên cứu dáng điệu của các hàm cộng tính phi tuyến không liên tục, từ đó chỉ ra rằng chúng biểu hiện một dáng điệu rất lạ: đồ thị của chúng trù mật trong mặt phẳng. Tiếp theo, chúng ta đề cập một cách ngắn gọn về cơ sở Hamel và ứng dụng của nó trong việc xây dựng lớp hàm cộng tính không liên tục. Chúng ta cũng sẽ xem xét dưới những tiêu chuẩn khác để nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính là tuyến tính. Bên cạnh đó, chương này cũng sẽ đề cập đến một số hàm cộng tính phức tạp khác. Kết thúc chương là tập hợp các nhận xét, nơi chúng ta nêu ra một số vấn đề mở rộng và phát triển liên quan tới phương trình hàm Cauchy cộng tính. 1.2. PHƯƠNG TRÌNH HÀM 4 Phương trình hàm là những phương trình mà yếu tố chưa biết chính là các hàm. Giải một phương trình hàm nghĩa là tìm tất cả các hàm thỏa mãn phương trình hàm đã cho. Và để thu được một lời giải hoàn chỉnh, các hàm phải được hạn chế trong một điều kiện tự nhiên đặc biệt (chẳng hạn như giải tích, bị chặn, liên tục, lồi, khả vi, đo được hay đơn điệu). 1.3. NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH Trong phần này, chúng ta giới thiệu về phương trình hàm Cauchy cộng tính và xác định nghiệm chính quy của nó. Định nghĩa 1.1. Một hàm :f →  được gọi là một hàm cộng tính nếu nó thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính ( ) ( ) ( ) (1.1)f x y f x f y+ = + với mọi ,x y∈ . Định nghĩa 1.2. Một hàm :f →  được gọi là một hàm tuyến tính khi và chỉ khi nó có dạng ( )f x cx= ( )x∀ ∈ với c là một hằng số tùy ý. Đồ thị của một hàm tuyến tính ( )f x cx= là một đường thẳng (không thẳng đứng) đi qua gốc tọa độ và do đó được gọi là tuyến tính. Dễ thấy rằng, các hàm tuyến tính đều thỏa mãn phương trình hàm Cauchy. Vậy câu hỏi nảy sinh ở đây là, ngoài hàm tuyến tính ra thì còn có hàm nào khác cũng thỏa mãn phương trình hàm Cauchy nữa hay không? Chúng ta bắt đầu với việc chứng minh rằng, chỉ những nghiệm hàm liên tục của phương trình hàm Cauchy mới là hàm tuyến tính. Kết quả này đã được Cauchy khẳng định vào năm 1821. 5 Định lý 1.1. Cho :f →  là một hàm liên tục thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1). Khi đó f tuyến tính; vì vậy, ( )f x cx= với c là một hằng số tùy ý. Lưu ý rằng trong Định lý 1.1, chúng ta sử dụng tính liên tục của hàm f để kết luận f khả tích. Tính khả tích của hàm f làm cho nghiệm hàm của phương trình hàm Cauchy cộng tính trở nên tuyến tính. Vì vậy, mọi hàm cộng tính khả tích đều tuyến tính. Định nghĩa 1.3. Một hàm :f →  được gọi là khả tích địa phương khi và chỉ khi nó khả tích trên mọi khoảng hữu hạn. Có thể kết luận rằng mọi nghiệm khả tích địa phương của phương trình hàm Cauchy cộng tính đều tuyến tính thông qua một chứng minh đã biết của Shapiro (1973). Mặc dù chứng minh của Định lý 1.1 là khá ngắn gọn và chỉ vận dụng các tính toán thông thường, tuy nhiên nó chưa làm sáng tỏ vấn đề liên quan giữa tính cộng tính và tính tuyến tính. Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra một chứng minh khác để có thể hiểu rõ hơn về dáng điệu của nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính. Trước tiên, ta bắt đầu với định nghĩa sau đây. Định nghĩa 1.4. Một hàm :f →  được gọi là thuần nhất hữu tỷ khi và chỉ khi ( ) ( )f rx rf x= (1.5) với mọi x∈ và với mọi số hữu tỷ r . Định lý sau đây sẽ chỉ ra bất kỳ nghiệm nào của phương trình hàm Cauchy cộng tính cũng thuần nhất hữu tỷ. Định lý 1.2. Cho :f →  là một nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1). Khi đó f là một hàm thuần nhất hữu tỷ. Hơn nữa, f tuyến tính trên tập hợp số hữu tỷ  . 6 Định lý 1.3. Cho f là một nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1). Nếu f liên tục tại một điểm thì nó liên tục tại mọi điểm. Định lý 1.4. Cho f là một nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1). Nếu f liên tục tại một điểm thì f tuyến tính; vì vậy, ( )f x cx= với mọi x∈ . 1.4. NGHIỆM KHÔNG LIÊN TỤC CỦA PHƯƠNG TRÌNH CAUCHY CỘNG TÍNH Trong phần trước, chúng ta đã chỉ ra rằng một nghiệm liên tục của phương trình Cauchy cộng tính thì tuyến tính. Hay nói cách khác, hàm cộng tính liên tục thì tuyến tính. Thậm chí, khi chúng ta nới lỏng điều kiện liên tục thành liên tục tại một điểm, thì hàm cộng tính vẫn tuyến tính. Trong nhiều năm, sự tồn tại của hàm cộng tính không liên tục là một vấn đề bỏ ngỏ. Các nhà toán học không thể chứng minh được mọi hàm cộng tính là liên tục, cũng không thể chỉ ra một ví dụ về hàm cộng tính không liên tục. Mãi đến năm 1905, một nhà toán học người Đức là G. Hamel đã thành công trong việc minh chứng sự tồn tại của hàm cộng tính không liên tục. Bây giờ chúng ta tìm hiểu về nghiệm phi tuyến của phương trình Cauchy cộng tính. Đầu tiên, chúng ta chứng tỏ rằng nghiệm phi tuyến của phương trình Cauchy cộng tính biểu thị một dáng điệu rất kì lạ. Định nghĩa 1.5. Đồ thị của một hàm :f →  là tập hợp { }( , ) | , ( ) .G x y x y f x= ∈ = Định lý 1.5. Đồ thị của mọi nghiệm hàm phi tuyến :f →  của phương trình Cauchy cộng tính trù mật khắp nơi trong mặt phẳng 2 . 7 Vậy đồ thị của một hàm cộng tính liên tục là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Trong khi đó, đồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến trù mật trong mặt phẳng 2 . Tiếp theo, ta giới thiệu khái niệm của cơ sở Hamel để xây dựng một hàm cộng tính gián đoạn. Xét tập hợp { }| 2 3, , ,S s s u v w u v w= ∈ = + + ∈  với mỗi phần tử của tập hợp là một tổ hợp tuyến tính hữu tỷ của 1, 2, 3 . Hơn nữa, tổ hợp hữu tỷ này là duy nhất. Vì vậy, giả sử một phần tử s S∈ có hai tổ hợp tuyến tính hữu tỷ khác nhau, ví dụ như 2 3 ' ' 2 ' 3,s u v w u v w= + + = + + thì ', 'u u v v= = và 'w w= . Để chứng minh điều này chúng ta lưu ý rằng giả thuyết này dẫn tới ( ') ( ') 2 ( ') 3 0.u u v v w w− + − + − = Đặt ( '),a u u= − ( ')b v v= − và ( ')c w w= − , ta thấy rằng biểu thức trên được thu gọn thành 2 3 0.a b c+ + = Tiếp theo, chúng ta chỉ ra rằng 0a b c= = = . Thật vậy, biểu thức trên cho ta 2 3 ,b c a+ = − bình phương hai vế, ta được 2 2 22 6 2 3 .bc a b c= − − Điều này kéo theo b hoặc c phải bằng không. Thật vậy, vì nếu b và c đồng thời khác không, chúng ta có thể chia hai vế cho 2bc và thu được 8 2 2 22 36 2 a b c bc − − = Điều này mâu thuẫn với 6 là một số vô tỷ. Nếu 0b = , thì 3 0a c+ = ; suy ra 0c = (vì 3 a c = − là một số hữu tỷ trái với thực tế rằng 3 là một số vô tỷ). Tương tự, nếu 0c = , ta có được 0b = . Vì vậy cả b và c đều bằng không. Điều này ngay lập tức dẫn đến 0a = . Nếu chúng ta đặt { }1, 2, 3 ,B = thì mỗi phần tử của S là một tổ hợp tuyến tính hữu tỷ duy nhất của các phần tử thuộc tập hợp B . Khi đó, tập hợp B được gọi là một cơ sở Hamel của tập hợp S . Về mặt hình thức thì một cơ sở Hamel được định nghĩa như sau. Định nghĩa 1.6. Cho S là một tập các số thực và B là một tập hợp con của S . Khi đó B được gọi là một cơ sở Hamel của S nếu mọi phần tử của S là một tổ hợp tuyến tính hữu tỷ (hữu hạn) duy nhất của B . Nếu tập hợp S là tập hợp số thực  , sử dụng tiên đề chọn có thể chỉ ra rằng tồn tại một cơ sở Hamel của tập hợp  . Chứng minh của điều này nằm ngoài phạm vi của tài liệu. Có thể nhận xét rằng, tồn tại một mối liên kết khăng khít giữa các hàm cộng tính và cơ sở Hamel. Để mô tả một hàm cộng tính, ta chỉ cần cho các giá trị trên một cơ sở Hamel, và các giá trị này có thể phân bố tùy ý. Đây chính là nội dung của hai định lý tiếp theo. Định lý 1.6. Cho B là một cơ sở Hamel của  . Nếu hai hàm cộng tính có cùng giá trị tại mỗi phần tử của B , thì chúng bằng nhau. 9 Định lý 1.7. Giả sử B là một cơ sở Hamel của  . Cho :g B → là một hàm tùy ý xác định trên B . Khi đó tồn tại một hàm cộng tính :f →  sao cho ( ) ( )f b g b= với mọi b B∈ . Với sự xuất hiện của cơ sở Hamel, tiếp theo chúng ta có thể xây dựng một hàm cộng tính phi tuyến như sau. Giả sử B là một cơ sở Hamel của tập số thực  . Cho b B∈ là một phần tử tùy ý của tập hợp B . Ta định nghĩa hàm    \x B bg x x b    0 khi 1 khi Theo Định lý 1.7, tồn tại một hàm cộng tính :f →  sao cho ( ) ( )f x g x= với mọi x B∈ . Lưu ý rằng, hàm f có thể không tuyến tính đối với x B∈ và x b≠ , vì ta có ( ) ( ) .f x f b x b ≠ Vì vậy f là một hàm cộng tính phi tuyến. Nhận xét 1.1. Không có ví dụ cụ thể nào về một cơ sở Hamel của  , chúng ta chỉ biết được nó tồn tại mà thôi. Đồ thị của một hàm cộng tính gián đoạn trên tập  không dễ dàng để vẽ hay biểu diễn vì tập { }( ) |f x x∈ là trù mật trong  . 1.5. CÁC TIÊU CHUẨN KHÁC CỦA SỰ TUYẾN TÍNH Đồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến f là trù mật trong mặt phẳng. Vì vậy, mọi hình tròn luôn chứa một điểm ( ),x y sao cho ( )y f x= . Chúng ta cũng thấy rằng một hàm cộng tính f là hàm tuyến tính khi bắt buộc f phải liên tục. Người ta có thể làm suy giảm điều kiện liên tục này thành liên tục tại một điểm mà f vẫn tuyến tính. Trong phần này, chúng ta sẽ đưa ra một số điều kiện tựa chính quy làm cho một hàm cộng tính trở nên tuyến tính. 10 Định lý 1.8. Nếu một hàm cộng tính thực bị chặn một phía hoặc đơn điệu thì tuyến tính. Nhận xét 1.2. Lưu ý rằng vì f bị chặn trên  và f tuyến tính nên ( ) 0f x = với mọi x∈ . Thật vậy, giả sử 0x là một số sao cho ( )0 0f x ≠ . Bằng phương pháp quy nạp chúng ta chứng minh được ( ) ( )0 0f nx nf x= với mọi n∈ . Ta có thể làm cho ( )0nf x lớn tùy ý khi ta tăng n . Điều này mâu thuẫn với tính bị chặn của ( )f x . Vì vậy ( ) 0f x = với mọi x∈ . Trong định lý tiếp theo chúng ta không chỉ giả sử rằng f bị chặn trên  , hơn thế ta giả sử f bị chặn trên một khoảng đóng [ ],a b với , .a b∈ Định lý 1.9. Nếu f là một hàm thực cộng tính bị chặn trên đoạn [ ],a b , khi đó f tuyến tính; vì vậy, tồn tại một hằng số c sao cho ( )f x cx= với mọi x∈ . Định nghĩa 1.7. Một hàm f được gọi là nhân tính nếu và chỉ nếu ( ) ( ) ( )f xy f x f y= với mọi x và y . Định lý 1.10. Nếu hàm cộng tính f cũng là hàm nhân tính, khi đó f tuyến tính. Nhận xét 1.3. Từ những gì chúng ta đã nghiên cứu, có thể thấy rằng các nghiệm liên tục, đơn điệu hoặc đo được :f →  của phương trình hàm Cauchy cộng tính luôn có dạng ( )f x cx= , với c là một hằng số thực tùy ý. Vì vậy chúng giải tích. Chúng ta cũng đồng thời biết được phương trình hàm Cauchy cộng tính có nghiệm không chính quy. Điều này tùy thuộc vào thực tế là nghiệm tổng quát của phương trình hàm Cauchy cộng tính có thể được quy ước một cách tùy ý trên một cơ sở Hamel cố định và có thể mở rộng ra trên  theo một cách duy nhất. Vì vậy, tồn tại các khả năng sau đây: 11 Nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính là chính quy (trong trường hợp này là giải tích) hoặc không chính quy (trong trường hợp này là không có tính liên tục, không đơn điệu trên bất kì khoảng riêng nào và cũng không đo được). Một khả năng tương tự có thể được phát biểu cho nhiều phương trình hàm. Tiêu biểu là người ta có thể giả sử các tính chất chính quy yếu của một hàm chưa biết (chẳng hạn như tính đo được, tính chất Baire, tính đơn điệu, tính liên tục) và sử dụng phương trình hàm và để dẫn tới các tính chất chính quy bậc cao hơn. Kết quả của quá trình này được gọi là lý thuyết chính quy đối với phương trình hàm và Jarai (2005) đã đưa ra một bài báo cáo tuyệt vời về kết quả này. 1.6. HÀM CỘNG TÍNH TRÊN MẶT PHẲNG 2 Định lý 1.11. Nếu 2:f →  là hàm cộng tính trên mặt phẳng 2  thì luôn tồn tại các hàm cộng tính 1,A 2 :A →  sao cho ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2, ,f x x A x A x= + 1 2, .x x∀ ∈ Định lý 1.12. Nếu 2:f →  là hàm cộng tính liên tục trên mặt phẳng 2 thì tồn tại các hằng số 1 2,c c sao cho ( )1 2 1 1 2 2,f x x c x c x= + , 1 2, .x x∀ ∈ Kết quả này có thể được làm mạnh hơn bằng việc làm yếu giả thiết về tính liên tục của hàm 2:f →  . Điều này thể hiện qua bổ đề sau đây. Bổ đề 1.1. Nếu một hàm cộng tính 2:f →  là liên tục theo từng biến thì nó liên tục tại điểm. Theo kết quả này, có thể thay tính tuyến tính của các hàm cộng tính giá trị thực trên mặt phẳng bằng giả thiết tính liên tục theo từng biến. Ngoài ra có thể mở rộng Định lý đối với các hàm cộng tính trên n  . 12 Định lý 1.13. Nếu : nf →  là một hàm cộng tính liên tục trên n  , thì tồn tại các hằng số 1 2, ,..., nc c c sao cho ( )1 2 1 1 2 2, ,..., ...n n nf x x x c x c x c x= + + + , 1 2, ,..., nx x x∀ ∈ . 1.7. HÀM CỘNG TÍNH TRÊN MẶT PHẲNG PHỨC Trong phần này, chúng ta sẽ nêu ra một số kết quả liên quan đến hàm cộng tính nhận giá trị phức trên mặt phẳng phức. Định nghĩa 1.8. Hệ thống số phức  là một tập hợp các cặp số thực có thứ tự ( ),x y với phép cộng và phép nhân được định nghĩa bởi ( ) ( ) ( ), , ,x y u v x u y v+ = + + ( )( ) ( ), , ,x y u v xu yv xv yu= − + với mọi , , , x y u v∈ . Như vậy một số thực có thể được viết thành x hoặc ( ),0x . Cho i biểu thị số thuần ảo ( )0,1 , chúng ta có thể viết lại biểu thức ( ) ( ) ( )( ), ,0 0,1 ,0x y x y= + thành ( ), .x y x iy= + Nếu ta biểu thị vế trái của phép biểu diễn trên bởi z , ta có z x iy= + . Số thực x được gọi là phần thực của z và được kí hiệu bởi Re z . Tương tự, số thực y được gọi là phần ảo của z và được kí hiệu bởi Im z . Nếu z là một số phức có dạng x iy+ , khi đó số phức x iy− được gọi là liên hợp của z và được kí hiệu bởi z . Một hàm tùy ý :f →  có thể được viết thành ( ) ( ) ( )1 2 ,f z f z if z= + (1.9) với 1 :f →  và 2 :f →  được cho bởi ( ) ( )1 Ref z f z= và ( ) ( )2 Im .f z f z= (1.10) Nếu f là hàm cộng tính, kết hợp (1.9) và (1.10) ta có 13 ( ) ( )1 1 2 1 2Ref z z f z z+ = + ( ) ( )1 2Re f z f z = +  ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 2Re Re ,f z f z f z f z= + = + ( ) ( )2 1 2 1 2Imf z z f z z+ = + ( ) ( )1 2Im f z f z = +  ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2 2Im Im .f z f z f z f z= + = + Định lý 1.14. Nếu :f →  là hàm cộng tính, khi đó tồn tại hàm cộng tính :kjf →  ( , 1,2k j = ) sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 12 21 22Re Im Re Im .f z f z f z if z if z= + + + Định lý tiếp theo liên quan đến dạng của hàm cộng tính liên tục giá trị phức trên mặt phẳng phức. Định lý 1.15. Giả sử :f →  là một hàm cộng tính liên tục, khi đó tồn tại các hằng số phức 1c và 2c sao cho ( ) 1 2 ,f z c z c z= + (1.11) trong đó z biểu thị cho số phức liên hợp của z . Lưu ý rằng, không giống với các hàm cộng tính liên tục nhận giá trị thực trên tập số thực, những hàm cộng tính liên tục nhận giá trị phức trên mặt phẳng phức không tuyến tính. Tính chất tuyến tính có thể được khôi phục nếu có một giả thiết điều kiện chính quy mạnh hơn chẳng hạn như tính giải tích hoặc khả vi thay cho tính liên tục. Định nghĩa 1.9. Một hàm :f →  được gọi là giải tích khi và chỉ khi f khả vi trên  . Định lý 1.16. Nếu :f →  là một hàm cộng tính giải tích, khi đó tồn tại một hằng số phức c sao cho ( )f z cz= vì vậy, f tuyến tính. 14 CHƯƠNG 2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH 2.1. GIỚI THIỆU Một công thức hoặc phương trình đã biết có thể được áp dụng để làm mô hình cho một tiến trình vật lý nếu một sự thay đổi nhỏ trong công thức hoặc phương trình chỉ gây nên một sự thay đổi nhỏ trong kết quả tương ứng. Khi điều này xảy ra, chúng ta nói công thức hay phương trình đó ổn định. Ứng dụng điều này trong Toán học, một phương trình hàm như phương trình hàm Cauchy cộng tính ( ) ( ) ( ) 0f x y f x f y+ − − = có thể không đúng với mọi ,x y∈ nhưng có thể xấp xỉ đúng, nghĩa là ( ) ( ) ( ) 0f x y f x f y+ − − ≈ với mọi ,x y∈ . Điều này có thể được phát biểu như sau ( ) ( ) ( )f x y f x f y ε+ − − ≤ (2.1) với ε là một số dương nhỏ tùy ý và với mọi ,x y∈ . Chúng ta sẽ chỉ ra rằng khi có một sự thay đổi nhỏ trong một phương trình cụ thể như phương trình hàm Cauchy cộng tính thì chỉ có một tác động nhỏ đến nghiệm của nó. Đây chính là bản chất của lý thuyết ổn định. Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra kết quả của Hyers cùng với định lý của Th.M. Rassias – định lý tổng quát hóa kết quả của Hyers. Chúng ta cũng đồng thời chỉ ra một số sự tổng quát hóa liên quan đến tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng tính. 2.2. DÃY CAUCHY VÀ CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa 2.1. Một dãy { }nx các số thực được gọi là một dãy Cauchy nếu với mọi 0ε > , tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi số tự nhiên , n m N≥ , số hạng nx và mx thỏa mãn 15 .n mx x ε− < Định lý 2.1. Một dãy các số thực hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy. Ví dụ 2.1. Các dãy sau đây là dãy Cauchy: (a) 1 1 , n n n ∞ = +      (b) 1 1 1 11 ... . 2! 3! ! nn ∞ =  + + + +    Ví dụ 2.2. Các dãy sau đây không phải là dãy Cauchy: (a) ( ){ } 1 1 ,n n ∞ = − (b) ( ) 1 1 . n n n n ∞ =  − +     Bây giờ ta nhắc lại cách tính tổng của một cấp số nhân. Định lý 2.2. Cho [ )0,1r∈ , khi đó 2 1 11 ... 1 n n n rS r r r r − −= + + + + = − và 2 11 ... ... . 1 nS r r r r = + + + + + = − Hơn thế nữa 1 0 0 . n k k n k k S r r S − ∞ = = = < =∑ ∑ 2.3. ĐỊNH LÝ HYERS Năm 1942, Hyers thu được kết quả quan trọng đầu tiên về lý thuyết ổn định bắt nguồn từ bài toán của Ulam. Chúng ta sẽ nêu ra kết quả gốc của Hyers trong định lý dưới đây. 16 Định lý 2.3. Nếu :f →  là một hàm thực thỏa mãn ( ) ( ) ( ) , , f x y f x f y x yδ+ − − ≤ ∀ ∈ với δ là một số dương nào đó, khi đó tồn tại duy nhất một hàm cộng tính :A →  sao cho ( ) ( )f x A x δ− ≤ với mọi x∈ . Để chứng minh định lý này, chúng ta cần chứng tỏ rằng (i) ( ) 1 2 2 n n n f x ∞ =         là một dãy Cauchy với mỗi giá trị cố định x∈ ; (ii) Nếu ( ) ( )2lim , 2 n nn f x A x →∞ = thì A là một hàm cộng tính trên  ; (iii) Hơn nữa, A thỏa mãn ( ) ( )f x A x δ− ≤ với mọi x∈ ; (iv) A là duy nhất. Nhận xét 2.1. Nói chung, chứng minh của Định lý 2.3 vẫn đúng với các hàm 1 2:f E E→ với 1E và 2E là các không gian Banach. Kết quả tiên phong của D.H. Hyers có thể được mô tả theo cách dưới đây: phương trình hàm Cauchy ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + ổn định với bất kì cặp không gian Banach nào. Hàm ( ) ( ) ( ) ( ),x y f x y f x f y+ − − được gọi là sai phân Cauchy của hàm f . Hàm với một sai phân Cauchy bị chặn được gọi là gần cộng 17 tính (xấp xỉ cộng tính) (hay 𝜖 – cộng tính nếu sai phân Cauchy bị chặn bởi hằng số 𝜖). Dãy ( )2 2 n n f x        được gọi là dãy Hyers-Ulam. Nhận xét 2.2. 2.4. TỔNG QUÁT HÓA CỦA ĐỊNH LÝ HYERS Có thể chứng minh một kết quả ổn định tương tự như Định lý Hyers (Định lý 2.3) đối với hàm không có sai phân Cauchy bị chặn. Aoki (1950) lần đầu tiên chứng minh một kết quả như vậy đối với hàm cộng tính. Sau đó Rassias (1978) cũng chứng minh một kết quả tương tự cho ánh xạ tuyến tính trên không gian Banach. Trong định lý dưới đây, chúng ta đưa ra kết quả của Rassias có thể khái quát hóa nhiều hoạt động trong lý thuyết về tính ổn định của phương trình hàm. Định lý 2.4. Nếu :f →  là một hàm thực thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( )p pf x y f x f y x yδ+ − − ≤ + với số 0δ > nào đó, [ )0,1p∈ và với mọi ,x y∈ , thì tồn tại duy nhất một hàm cộng tính :A →  sao cho ( ) ( ) 2 2 2 p pf x A x x δ − ≤ − với mọi x∈ . Nhận xét 2.3. Nếu 0p = thì Định lí 2.4 trở thành Định lí 2.3. Nhận xét 2.4. Định lí 2.4 đúng với mọi { }\ 1p∈ . Nếu 1p < , ta có ( ) ( )2lim . 2 n nn f x A x →∞ = Nếu 1p > , ta có ( ) lim 2 . 2 n nn xA x f →∞  =     18 Gajda (1991) đưa ra một ví dụ để chứng tỏ rằng Định lí 2.4 không đúng với 1p = . Ông đã thành công trong việc xây dựng một ví dụ về một hàm liên tục bị chặn :g →  thỏa mãn ( ) ( ) ( )g x y g x g y x y+ − − ≤ + với mọi ,x y∈ , với ( ) 0 lim . x g x x→ = ∞ Hàm g tiến rất gần về 0. Cụ thể, Gajda (1991) đã xây dựng hàm g như sau. Với một số cố định 0θ > , cho :g →  được định nghĩa bởi ( ) ( ) 0 2 2 ,n n n g x xφ ∞ − = =∑ ,x∈ với hàm :φ →  được cho bởi 𝜙(x) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 16𝜃 nếu 1 ≤ x < ∞ 16 𝜃x nếu− 1 < x < 1 − 16 𝜃 nếu−∞ < x ≤ −1 (2.22) Cách xây dựng của hàm g cho ta thấy Định lí 2.4 không còn đúng khi 1.p = Cụ thể, điều này được chứng minh thông qua Định lý sau đây. Định lí 2.5. Hàm g được định nghĩa ở trên thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) (2.23)g x y g x g y x yθ+ − − ≤ + với mọi ,x y∈ . Nhưng không tồn tại hằng số [ )0,δ ∈ ∞ và hàm cộng tính :A →  thỏa mãn ( ) ( )g x A x xδ− < (2.24) 19 với mọi .x∈ Định lý 2.6. Tồn tại một hàm liên tục :f →  thỏa mãn ( ) ( ) ( )f x y f x f y x y+ − − ≤ + (2.25) với bất kì ,x y∈ , và với ( )lim . x f x x→∞ = ∞ Nhận xét 2.5. Bất kì kết quả nào tương tự với Định lí 2.4 cũng được biết đến như là tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias của phương trình hàm tương ứng. Tính ổn định của phương trình hàm cộng tính sẽ được làm rõ hơn trong các bài toán dưới đây. Bài toán 2.1. Tính ổn định của phương trình hàm Jensen Giả sử hàm f thỏa mãn ( ) ( ) 2 2 f x f yx yf ε ++  − ≤    (2.30) với ε là số dương tùy ý cho trước và với mọi ,x y∈ . Khi đó tồn tại duy nhất một hàm cộng tính :A →  sao cho ( ) ( ) ( )0 4f x A x f ε− − ≤ , x∀ ∈ . Lời giải. Cho 0y = trong (2.30) ta được ( ) ( )0 2 2 f x fxf ε +  − ≤    (2.31) Tiếp tục thay x bởi x y+ vào (2.31), ta được ( ) ( )0 2 2 f x y fx yf ε + ++  − ≤    , ,x y∀ ∈ Ta có 20 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 0 2 2 2 . f x f y f x y f f x f y x yf f x y fx yf ε + + + + + − ≤ −     + ++ + −    ≤ Suy ra ( ) ( ) ( ) ( )0 4f x f y f x y f ε+ − + − ≤ hay ( ) ( ) ( ) ( )0 4 .f y f x y f x f ε− + + − ≤ (2.32) Đặt ( ) ( ) ( )0g x f x f= − , thay vào (2.32) ta được ( ) ( ) ( ) 4 .g x y g x g y ε+ − − ≤ Theo tính ổn định của hàm cộng tính, tồn tại duy nhất một hàm cộng tính :A →  sao cho ( ) ( ) 4 .g x A x ε− ≤ Suy ra ( ) ( ) ( )0 4f x f A x ε− − ≤ hay ( ) ( ) ( )0 4 .f x A x f ε− − ≤ Vì vậy, phương trình hàm Jensen có tính ổn định. Bài toán 2.2. Tìm cặp hàm , :f g →  thỏa mãn phương trình ( ) ( ) ( )f x y g x g y+ = + , ,x y∀ ∈ (2.33) Bài toán 2.3. Giả sử , :f g →  là các hàm thỏa mãn ( ) ( ) ( )f x y g x g y ε+ − − ≤ (2.35) với ε là một số dương tùy ý cho trước và với mọi , x y∈ . Khi đó tồn tại duy nhất một hàm cộng tính :A →  sao cho ( ) ( ) ( )0 4f x A x f ε− − ≤ và ( ) ( ) ( )0 2g x A x g ε− − ≤ 21 với mọi , x y∈ . 2.5. MỘT SỐ VẤN ĐỀ MỞ RỘNG Vào năm 1941, Hyers đã phát biểu lý thuyết về tính ổn định của phương trình hàm trên không gian Banach. Đây chính là nội dung của định lý tiếp theo. Định lý 2.7. Cho 1E , 2E là hai không gian Banach và hàm 1 2:f E E→ thỏa mãn ( ) ( ) ( )f x y f x f y δ+ − − ≤ (2.42) với 0δ > nào đó và với mọi 1,x y E∈ . Khi đó giới hạn ( ) ( )lim 2 2n n n A x f x− →∞ = (2.43) tồn tại với mỗi 1x E∈ và 1 2:A E E→ là hàm cộng tính duy nhất thỏa mãn ( ) ( )f x A x δ− ≤ (2.44) với mọi 1x E∈ . Hơn nữa, nếu ( )f tx liên tục tại t với mỗi giá trị cố định 1x E∈ , khi đó A tuyến tính. Để chứng minh kết quả này, Hyers xây dựng ánh xạ cộng tính A từ hàm đã cho f . Phương pháp của ông ấy được gọi là phương pháp trực tiếp và được sử dụng rộng rãi trong việc nghiên cứu tính ổn định của nhiều phương trình hàm. Ngay sau khi Hyers nêu ra một khẳng định trả lời cho câu hỏi của Ulam, một số lượng lớn các bài báo lần lượt được đưa ra bàn về câu hỏi của Ulam và định lý của Hyers. Không có lí do gì để sai phân Cauchy ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ − − bị chặn như trong phát biểu của Định lý 2.7. Và dựa vào quan điểm này, Th. M. Rassias đã cố gắng làm yếu điều kiện của sai phân Cauchy và chứng minh thành công. Kết quả này được biết đến như là tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias đối với phương trình hàm Cauchy cộng tính. 22 Định lí 2.8. Cho ,X Y là hai không gian Banach, nếu hàm :f X Y→ thỏa mãn bất đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( ) (2.46)p pf x y f x f y x yθ+ − − ≤ + với 0θ ≥ nào đó, [0;1)p∈ và với mọi ,x y X∈ , khi đó tồn tại duy nhất một hàm cộng tính :A X Y→ sao cho ( ) ( ) 2 (2.47) 2 2 p pf x A x x θ − ≤ − với mọi x X∈ . Hơn nữa, nếu ( )f tx liên tục tại t với mỗi giá trị cố định x X∈ , khi đó A tuyến tính. Một mở rộng khác của Định lí 2.3 và 2.4 có thể được đề xướng bởi việc xem xét bất đẳng thức dưới đây ( ) ( ) ( ) ( ),f x y f x f y x yφ+ − − ≤ với 2: Xφ +→ , với X là một không gian Banach. Vào năm 1951, D.G. Bourgin đã lần đầu tiên xem xét bất đẳng thức này và phát biểu mà không chứng minh, rằng: Nếu φ phụ thuộc vào x và y ; là hàm đơn điệu, không tăng, và đối xứng đối với x và y , hơn thế nữa chuỗi ( ) 0 1 1 2 ,2 2 2 k k k k x yφ ∞ =       ∑ hội tụ với mỗi x∈ , khi đó ( ) ( ) ( ).f x A x xψ− ≤ với ( ) ( ) 0 1 1 2 ,2 . 2 2 k k k k x x xψ φ ∞ =  =     ∑ Định lí 2.9. Cho G và E lần lượt là một nhóm abel và một không gian Banach riêng biệt với nhau, và [ ): 0,G Gϕ × → ∞ là một hàm thỏa mãn 23 ( ) ( )( 1) 0 , 2 2 ,2 (2.51)k k k k x y x yϕ ∞ − + = Φ = < ∞∑ với mọi ,x y G∈ . Nếu một hàm :f G E→ thỏa mãn bất đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( ), (2.52)f x y f x f y x yϕ+ − − ≤ với mọi ,x y G∈ . Khi đó tồn tại duy nhất một hàm cộng tính :A G E→ sao cho ( ) ( ) ( ), (2.53)f x A x x x− ≤ Φ với mọi x G∈ . Hơn nữa, nếu ( )f tx liên tục tại t với mỗi x G∈ cố định, khi đó A tuyến tính. 24 KẾT LUẬN Qua một thời gian tìm hiểu và nghiên cứu về phương trình hàm Cauchy cộng tính và tính ổn định, luận văn đã hoàn thành và đạt được mục tiêu nghiên cứu của đề tài với những kết quả cụ thể như sau 1. Tổng quan và hệ thống định nghĩa cũng như tính chất của hàm cộng tính liên tục, gián đoạn, hàm cộng tính trên mặt phẳng thực và mặt phẳng phức, chỉ ra mối liên hệ giữa hàm cộng tính và hàm tuyến tính. 2. Trình bày tổng quan về • Định lý Hyers – kết quả quan trọng đầu tiên về lý thuyết ổn định bắt nguồn từ bài toán của Ulam • Tổng quát hóa của Định lý Hyers (hay Định lý Hyers suy rộng) • Một số vấn đề mở rộng về tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng tính được phát biểu trên không gian Banach. Với những gì đã khảo sát được, luận văn sẽ là một tài liệu hữu ích cho bản thân khi tiếp tục đi sâu nghiên cứu về lĩnh vực này, và cũng hy vọng là nguồn tư liệu cho những ai quan tâm đến phương trình hàm Cauchy cộng tính và tính ổn định của nó. Trong điều kiện về thời gian và khuôn khổ của luận văn nên chúng tôi chưa đi sâu nghiên cứu về tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng tính theo một số tiêu chuẩn khác, và trong nhiều không gian khác nhau. Đó là hướng phát triển của luận văn.