Phương trình sóng phi tuyến kirchhoff - Carrier

30 Chương 3 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI Trong chương này, chúng tơi vẫn xét bài tốn (2.1) – (2.4). Và ta sẽ chỉ ra rằng sự hội tụ của thuật giải lặp của chương này thực sự nhanh hơn sự hội tụ ở chương trước. Ta đưa thêm giả thiết: ( )4H ( )2 R R ,+∈ Ω× ×f C Với mỗi 0, 0> >M T ta đặt: ( ) ( ) ( ) * 2 2 2 2 2 2 2 , , , sup , , , r t u A f f fK K M f r t u r r u u∈  ∂ ∂ ∂ = = + + ∂ ∂ ∂ ∂  và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 1 1 10 , , , , , .m m m m m m mft u t F t f r t u u u r t uu− − − ∂µ = µ + ∇ = + − ∂ (3.1) 3.1. Thuật giải xấp xỉ ðịnh lí 3.1. Giả sử các điều kiện ( ) ( )1 4H H− đúng. Khi đĩ, tồn tại hằng số 0>M phụ thuộc 0 1,ɶ ɶu u và hằng số 0>T phụ thuộc 0 1, ,f u uɶ ɶ sao cho với mỗi 0 ∈u ( )1 ,W M T tồn tại dãy { } ( )1 ,⊂mu W M T sao cho nĩ thỏa mãn (2.5) (2.6)− , với ,m mFµ được định nghĩa như (3.1) . Chứng minh. Tương tự như định lí 2.1, ta xấp xỉ mu bằng dãy { }( )kmu , với ,m mFµ lần lượt được thay bởi ( ) ( ),k k m m Fµ . Bước 1: Xấp xỉ Galerkin. ðặt: ( ) ( ) 1 ( ) ( ) k k k m mj j j u t c t w = =∑ . (3.2) 31 Trong đĩ ( ) ( )k mjc t thỏa mãn hệ phương trình vi phân sau: ( ) ( )( ) ( )( ), ( ) ( ( ), ) ( ), ,1 ,k kk km j m m j m ju t w t a u t w F t w j k+ µ = ≤ ≤ɺɺ (3.3) ( ) ( ) 0 1(0) , ( ) ,k km k m ku u u t u= =ɶ ɺ ɶ (3.4) với 0 0→ɶ ɶku u mạnh trong 2V , 1 1→ɶ ɶku u mạnh trong 1V . Ta chuyển bài tốn (3.3) – (3.4) thành bài tốn tìm ( ) ( )k mjc t : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ),k k kkmj j m mj j m jc t t c t F t w+ λ µ = λɺɺ (3.5) ( ) ( ) ( ) ( )(0) , (0) .k k k k mj mj mj mjc c= α = βɺ (3.6) Bỏ qua chỉ số m, k ta viết ( ), ,j j jc t α β thay cho ( ) ( ) ( )( ), ,k k kmj mj mjc t α β . Từ (3.5) bằng việc lấy tích phân, ta cĩ: ( ) 0 0 ( ) ( ), t k j j j j m jc t t d F s w ds τ = α + β + λ τ∫ ∫ ( ) 0 0 ( ) ( ) , 1 . τ −λ τ µ ≤ ≤∫ ∫ t k j m jd s c s ds j k (3.7) Ta viết (3.7) thành phương trình sau: ( ) ( )( ) ( ), 0 .kmc t Uc t t T= ≤ ≤ (3.8) Trong đĩ ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2, ,... ; , ,... ;k kc c c c Uc Uc Uc Uc= = ( ) ( )( ) ( ) ( ),= γ +jj jUc t t Vc t với ( ) 0 0 ( ) ( ), , t k j j j j m jt t d F s w ds τ γ = α + β + λ τ∫ ∫ (3.9) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) , 1 . t k j m jjVc t d s c s ds j k τ = −λ τ µ ≤ ≤∫ ∫ (3.10) 32 Ở đây ( )0 ( ): , 0, ;R → =  k kmU X X X C T và ta dùng chuẩn trong X là: ( ) ( )0 1 sup ( ) ≤ ≤ = = ∑ k m k jX t T j c c t . Ta đặt: { }/ .= ∈ ≤ ρXS c X c Ta sẽ chứng minh rằng với ( ), , kmn Tρ được chọn thích hợp thì ánh xạ U: i) biến S thành chính nĩ; ii) 1 :− ≡ → n nU U U S S là ánh xạ co. Thật vậy, lấy tùy ý .c S∈ Ta đặt: 1 2( ) ( ( ), ( ),..., ( )),= kq t q t q t q t với ( ) ( ).j jq t t= γ (3.11) Từ (1.4), với chú ý { }jw là cơ sở trực chuẩn của 1V ứng với tích vơ hướng ( ).,.a , ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 0 1 0 1 , k k kk m m m m u s u s a u s u s C ∇ ≤ ≤ ( )2 10 0 0 1 1 1 . k j X j c s c C C C ρ = ≤ ≤ ≤∑ (3.12) Kết hợp (3.10), (3.12) ta được: ( ) 2 0 0 0 0 ( ) ( ) . t j jjVc t d c s dsC τ ρ≤ λ µ + τ    ∫ ∫ (3.13) Chứng minh i) và ii). i) Từ ( ) ( ) ( )3.8 3.10 , 3.13− ta được: ( ) ( )2 2( ) ( )1 1 ,2 2k km mX X X T XUc q D T c q D T cρ ρ≤ + ≤ + với 0 1 sup ( ) , k jT t T j q q t ≤ ≤ = = ∑ 2 0 0 .   = +    kD Cρ ρλ µ Ta chọn ρ > T q và ( ]( ) 0,∈kmT T sao cho: 33 ( )( ) 20 km TT qDρ< < ρ −ρ . Từ đĩ , .≤ ρ ∀ ∈ X Uc c S ii) Ta chứng minh bằng quy nạp rằng : ( ) ( ) ( )2 1 1( ) ( ) .(2 )! k n n n Xj jj U c t U d t D t c d n ρ = − ≤ −∑ Thật vậy, ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) t k j m j jj jUc t Ud t d s c s d s ds τ − ≤ λ τ µ −∫ ∫ 0 0 ( ) ( ) . τ ρ≤ τ −∫ ∫ t j jD d c s d s ds Suy ra ( ) ( ) ( )22 1 1 1( ) ( ) . 2 (2.1)! k j j X X j Uc t Ud t D t c d D t c dρ ρ = − ≤ − = −∑ Giả sử rằng với 1≥n , ( ) ( ) ( )2 1 1( ) ( ) .(2 )! k n n n Xj jj U c t U d t D t c d n ρ = − ≤ −∑ Ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) t kn n n n j mj j j j U c t U d t d s U c s U d s ds τ + + − ≤ λ τ µ −∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) . τ ρ≤ τ −∫ ∫ t n n j j D d U c s U d s ds Suy ra ( ) ( ) ( )2 21 1 2 1 0 0 1( ) ( ) (2 )! tk n n n n Xj jj U c t U d t D t c d d s ds n τ + + + ρ = − ≤ − τ∑ ∫ ∫ 34 ( ) ( ) 2 21 . 2 2 ! + ρ≤ −+ n X D t c d n Vậy ( )21 .(2 )! ρ− ≤ − n X X Uc Ud D T c d n Vì ( )21lim 0,(2 )! ρ→+∞ = n n D T n nên cĩ n sao cho: ( )21 1.(2 )! ρ < n D T n Vậy :nU S S→ là ánh xạ co. Do đĩ, theo nguyên lí ánh xạ co, nU cĩ duy nhất một điểm bất động trên S. Tức là hệ (3.3) (3.4)− cĩ nghiệm duy nhất ( ) ( )kmu t trên ( )0,   k mT . Bước 2: ðánh giá tiên nghiệm. Với ( ) ( ) ( )( ), ( ), ( )k k km m mS t X t Y t được đặt như trong chương 2, ta cĩ: ( ) ( )( )2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) (0) (0) ( ) ( ), ( ) ( )= + + µ +∫ ɺ t kk k k k k k m m m m m m mS t X Y s a u s u s Au s ds ( ) ( )( ) 2( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 ( ), ( ) 2 ( ), ( ) ( )+ + +∫ ∫ ∫ɺ ɺ ɺɺ t t t k kk k k m m m m mF s u s ds a F s u s ds u s ds ( ) 1 2 3 4(0) .∗ ∗ ∗ ∗= + + + +kmS I I I I * ðánh giá 1∗I . Vì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 2 . 2 .k k k k km m m m ms u s u s u s u sµ ≤ ∇ ∇ ≤ɺ ɺ ɺ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 1 . k k k m m mX s Y s S sC C ≤ ≤ µ µ nên 35 ( )2( )1 3 2 00 0 1 ( ) . t k m I S s ds C ∗ ≤ µ ∫ (3.14) * ðánh giá 2∗I . Từ (3.1) , ta cĩ: ( )( ) ( ) ( ) 21 22( ) 2 ( )1 1 10 0 ( ) 2 , , , , − − −  ∂  ≤ + −  ∂    ∫ k k m m m m m fF s r f r t u s u u r t u dr u 2 2 2 ( ) 0 1 0 0 14 ( ).kmK M K S sC≤ + + µ Suy ra ( )* 2 2 2 ( )02 0 1 0 0 0 14 ( ) . t k mI T K M K S s dsC + µ ≤ + + µ ∫ (3.15) * ðánh giá *3I . Từ bổ đề 1.6, kéo theo: ( )2 2( ) ( ) 0 0 ( )1( ) ( ) , 2 2 k k k m m m S s u s Au s∇ ≤ ≤ µ 2 2 2 2 1 1 10 2 1 1( ) ( ) ( ) . 2 2 2m m m M u s Au s u s − − − ∇ ≤ ≤ ≤ Do đĩ, 21 1( ) 2 22 2 2 2 ( ) 1 1 1 1 0 0 ( ) 2 8 ( ) ( ) k km m m F r s dr K K M K r u s u s dr r − ∂  ≤ + + ∇ + ∇  ∂∫ ∫ 12 2 22 ( ) 2 1 0 16 1 ( ) ( ) 2 −    + + +      ∫ k m m MK r u s u s dr ( ) ( ) 22 2 2 21 22 3 16 4 2 1 2MM K K M ≤ + + + +   22 22 ( ) 2 ( ) 1 20 0 2 ( ) 16 1 ( ) 2 k k m m MK Au s K u s   + + +    ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 22 3 8 2 2 2M K K M M≤ + + + + 36 ( )( )2 2 2 ( )0 1 2 0 0 2 4 2 ( ).+ + + µ k mC K K M S sC Suy ra ( ) ( ) ( )* 2 2 2 2 2 23 1 0 1 22 7 8 2 2 2 ≤ + + + + + I C T K M K K M M ( )( )2 2 2 ( )1 0 0 1 2 0 0 0 1 2 8 2 ( ) . t k m C C K K M S s ds C + + µ + + + µ ∫ (3.16) * ðánh giá *4I . Ta cĩ: ( ) ( ) ( )2 22* ( ) 2 2 24 0 10 0 0 0 2 ( ) . ( ) 2 ( ) 2 4≤ µ + ≤ +∫ ∫ t t k kk m m mI s Au s ds F s ds K M K T ( )2( ) ( )0 0 0 0 00 0 1 22 ( ) ( ) . t t k k m mS s ds S s dsC C   + µ + + µ µ  ∫ ∫ (3.17) * ðánh giá ( ) (0)kmS . Tồn tại 0>M khơng phụ thuộc vào m, k sao cho: 2 ( ) (0) . 2 ≤km MS (3.18) Từ ( ) ( )3.14 3.18− ta suy ra, ( ) ( )( )2( ) ( )1 2 3 0 0 ( ) ( , ) ( ) ( ) , t t kk k m m mS s E M T E M S s ds E S s ds≤ + +∫ ∫ (3.19) trong đĩ ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 2 2 2 2 2 21 1 0 1 1 2( , ) 3 2 19 8 2 2 2 ,2= + + + + + + +ME M T T C K M K C M M K ( ) ( ){ ( ) }2 2 2 22 0 0 0 0 1 0 1 1 1 2 0 0 1 3 2 1 2 8 2 ,= + µ + µ + + µ + + + µ E M C C C C K C M K C 3 0 0 0 1 12 .   = +  µ µ  E C ðặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 21 2 3 0 0 , . 2 = + + +∫ ∫ t t k k m m MS t E M T E M S s ds E S s ds Ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 22 3 2 3 .mk kmS t E M S t E S t E M S t E S t′ = + ≤ + (3.20) 37 ðặt ( ) ( )1−=Z t S t , thì từ ( )3.20 ta suy ra: ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }2 32 . ′ ′ = − ≥ − + S t Z t E M Z t E S t Do đĩ, ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 . Z t E MEZ t E M ′ ≥ − + (3.21) Từ ( )3.21 lấy tích phân hai vế, ta được: ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) 1 3 3 1 2 2 2 , exp−   ≥ + − −     E EZ t E M T E M t E M E M ( ) ( ) ( ){ } ( ) [ ] 1 3 3 1 2 2 2 , exp , 0, .−   ≥ + − − ∀ ∈     E EE M T E M T t T E M E M Ta lại cĩ: ( ) ( ) ( ){ } ( ) 1 3 3 1 2 20 2 2 2lim , exp 0, + − →    + − − = >        T E EE M T E M T E M E M M ( ) ( ) ( ){ } ( ) 1 2 23 3 1 20 2 2 lim , exp 0. T E E E M T E M T M M E M E M+ − − − →    + − − − = >        Do đĩ ta cĩ thể chọn được T > 0 đủ nhỏ sao cho: ( ){ }1 2 2 3 0 0 1 1 11 exp , 42T K K T T K K MC   α = + + <  µ  (3.22) với 2 2 1 1 2 12 , 2 = + +K M K K K ( ) 21 1 1 3 0 0 2 1 C K M K K C + + = µ ɶ , và ( ) ( ) 2 ( )1 , 0, . = ≤ ∀ ∈   k mS t M t TZ t Từ đây ta cĩ thể lấy ( ) ,kmT T k= ∀ . Suy ra: 38 ( ) 1( , )∈kmu W M T . Trong bước qua giới hạn lí luận tương tự như định lí 2.1, và định lí được chứng minh hồn tồn. ■ 3.2. Sự hội tụ cấp hai ðịnh lí sau đây chỉ ra sự hội tụ cấp hai của dãy { }mu đến nghiệm yếu của bài tốn (2.1) – (2.4). ðịnh lí 3.2. Giả các điều kiện ( ) ( )1 4H H− đúng. Khi đĩ, i) Tồn tại hằng số 0, 0M T> > thỏa ( ) ( )3.18 , 3.22 sao cho bài tốn (2.1) – (2.4) cĩ một nghiệm yếu duy nhất 1( , )∈u W M T . ii) Hơn nữa, dãy quy nạp tuyến tính { }mu , thỏa định lí 3.1, hội tụ mạnh đến u trong ( )1W T với bậc hai theo nghĩa: ( ) ( )1 2 , 1 β − ≤ ∀ α − β m T m W T T T u u m . Trong đĩ, Tα thỏa (3.22) và 4 1T TMβ α= < . Chứng minh. ðịnh lí được chứng minh theo hai bước. Bước 1: Chứng minh sự tồn tại của nghiệm yếu. Ta sẽ chứng minh { }mu là dãy Cauchy trong ( )1W T . ðặt 1+= −m m mv u u . Khi đĩ, mv thỏa mãn bài tốn: ( ) ( )1 1( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ),+ ++ µ + µ − µɺɺm m m m m mv t w t a v t w t t Au t w 1 1( ) ( ), , .m mF t F t w w V+= − ∀ ∈ (3.23) với (0) (0) 0.= =ɺm mv v Trong đĩ: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1, , , , , ,m m m m m m mfF F f r t u f r t u u u r t u u + − + ∂ − = − + − ∂ 39 ( ) ( )1 1, ,m m mfu u r t u u − − ∂ − − ∂ ( ) ( ) 2 2 1 2 1 , , , , , 2 − ∂ ∂ = + λ ∂ ∂m m m m f f v r t u v r t u u ( )1 1 ,0 1.− −λ = + θ − < λ <m m m mu u u ðặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 10 , .+= + µɺm m m m mY t v t t a v t v t Từ (3.23) thay = ɺmw v , ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( )( )1 0 , t m m m mY t s a v s v s ds+′= µ∫ ( ) ( )( ) ( ) ( )1 0 2 , t m m m ms s Au s v s ds+− µ − µ∫ ɺ ( ) ( ) ( )1 1 2 3 0 2 , . t m m mF s F s v s ds J J J++ − = + +∫ ɺ (3.24) * ðánh giá 1J . Vì: { }2 2 21 1 10 0( ) ( ) ( ) 2 ,+′µ ≤ ∇ + ∇ ≤ɶ ɶɺm m ms K u s u s M K nên ( ) ( )( ) ( ) 22 21 1 1 1 1 0 0 2 , 2 . t t m m mJ M K a v s v s ds C M K v s ds≤ ≤∫ ∫ɶ ɶ (3.25) * ðánh giá 2J . Ta cĩ: ( ) ( ) 2 21 1 0 0 0 12 ( ) 2 ( )+ +µ − µ = ∇ − ∇ ≤ ∇ ≤m m m m m ms s u u M v s M v s , suy ra ( ) ( ) ( )2 1 0 0 0 4 . .≤ ∫ ɺ t m m mJ M v s Au s v s ds ( ) ( )2 22 1 0 0 0 2 t t m mM v s ds v s ds   ≤ +    ∫ ∫ ɺ (3.26) * ðánh giá 3J . Ta cĩ: ( )( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 2 , , , 2 ,∂ ≤ ∂∫ ∫ ɺ ɺ t t m m m m m f v r s u s v s ds K v s v s ds u 40 ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 21 10 0 1 0 0 0 2 . . t t m m m mK v s v s ds K v s v s ds≤ ≤ +∫ ∫ɺ ɺ (3.27) Từ bổ đề 1.2, ta suy ra: ( )( ) ( ) ( ) ( )22 21 2 12 0 0 , , , , − − ∂ λ ≤ ∂∫ ∫ ɺ ɺ t t m m m m m f v r s s v s ds K v s v s ds u ( ) ( )21 2 1 1 0 0 . . t m mK K v s v s−≤ ∫ ɺ (3.28) Từ ( ) ( )3.27 , 3.28 suy ra: ( ) ( ){ } ( ) ( )2 2 23 1 1 2 11 0 1 0 0 0 . t t m m m mJ K v s v s ds K K v s v s−≤ + +∫ ∫ɺ ɺ (3.29) Từ ( ) ( ) ( ) ( )3.24 , 3.25 , 3.26 , 3.29 ta suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 20 0 2 3 0 00 1 0 1 0 t m m m m mv t C v t Y t K K v s C v s dsµ µ+ ≤ ≤ + +∫ɺ ɺ ( ) ( )1 4 1 2 1 1 . 2 − + m W T K K T v s (3.30) Áp dụng bổ đề Gronwall trong ( )3.30 , ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 2 4 0 0 1 2 1 2 30 1 1 exp . 2 − + µ ≤ +ɺ m m m W T v t C v t K K T v s T K K Suy ra, ( ) ( )1 1 2 1 .m T mW T W T v v − ≤ α (3.31) ðặt 4β = αT TM , do Tα thỏa (3.22) nên 1β <T . Khi đĩ, từ ( )3.31 sử dụng tính chất tổng cấp số nhân lùi vơ hạn ta cĩ đánh giá: ( ) ( )1 2 , , . 1+ β − ≤ ∀ α − β m m p m W T T T u u m p ðiều đĩ cĩ nghĩa { }mu là dãy Cauchy trong 1( )W T . Vậy, tồn tại 1( )∈u W T mà →mu u trong 1( )W T . Vì { } ( )1 ,mu W M T⊂ nên ta cĩ thể chọn dãy con { }jmu sao 41 cho: → jm u u yếu* trong 2(0, ; ),∞L T V →ɺ ɺ Jm u u yếu* trong 1(0, ; ),∞L T V →ɺɺ ɺɺ jm u u yếu trong 0(0, ; ).∞L T V Với 1( )∈u W T . Ta cĩ: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )20 0 , T m mt Au t u t Au t w t dtµ µ− ∇∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 , T m mt A u t u t w t dtµ≤ −∫ ( )20 0 ( ) ( ) ( ), ( ) T m t u t Au t w t dt+ µ − µ ∇∫ ( ) ( ) ( )(1 1 121 00, ; 0, ;mL T V L T VC w M u u ∞≤ µ + − ( )( ) ( ) ( ) )1 1 10, ; 0, ; 0, ;mL T V L T V L T VM u u u u∞ ∞ ∞+ + − , với mọi ( )1 10, ;∈w L T V . Suy ra, ( )20( ) ( ) ( ) ( )µ → µ ∇m mt Au t u t Au t yếu* trong 1(0, ; ).∞ ′L T V Vì ( )1 1 10 1 1( ) ( , , ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ,m m m mF t f r t u t K u t u t u t u t− −− ≤ − + − nên ( ) 0 1 11 1 1(0, ; ). (0, ; ) (0, ; ) ( , , ) 2 . ∞ ∞ ∞ − − − ≤ − + −m m m mL T V L T V L T VF f r t u K u u u u Vậy ( ), ,→mF f r t u trong 0(0, ; ).∞L T V Suy ra, với = → +∞jm m , tồn tại ( , )∈u W M T thỏa: 42 ( ) ( ) ( )2 10( ), ( ) ( ), , , , , .+ µ ∇ = ∀ ∈ɺɺu t w u t a u t w f r t u w w V Và 0 1(0) , (1) .= =ɶ ɺ ɶu u u u Hơn nữa, ( ) ( ) ( )2 00( ) , , 0, ; ,u u t Au f r t u L T V∞= −µ ∇ + ∈ɺɺ nên 1( , )∈u W M T . Bước 2: Chứng minh sự duy nhất nghiệm.Giả sử 1 2,u u là hai nghiệm của bài tốn, với: 1 2 1, ( , )∈u u W M T . Khi đĩ, 1 2= −w u u thỏa mãn bài tốn: ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 21 1 2 20 0 0( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ),+ µ ∇ + µ ∇ − µ ∇ɺɺw t v u t a w t v u t u t Au t v 1 2 1( , , ) ( , , ) , .= − ∀ ∈f r t u f r t u v V Thay = ɺv w , ta được: ( ) ( ) ( )( )2 210 0( ) ( ) ( ), ( )d dw t u t a w t w tdt dt+ µ ∇ɺ ( ) ( )( )2 21 2 20 02 ( ) ( ) ( ), ( )u t u t Au t w t+ µ ∇ − µ ∇ ɺ ( ) ( )1 22 , , ( ) , , ( ) , ( ) .= − ɺf r t u t f r t u t w t (3.32) Lấy tích phân hai vế ( )3.32 ta được: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 10 0 0 0 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( )′+ µ ∇ = µ ∇∫ɺ t w t u t a w t w t u s a w s w s ds ( ) ( )( )2 21 2 20 0 0 2 ( ) ( ) ( ), ( )− µ ∇ − µ ∇∫ ɺ t u s u s Au s w s ds ( ) ( )1 2 0 2 , , ( ) , , ( ) , ( ) .+ −∫ ɺ t f r s u s f r s u s w s ds Ta đặt: 2 20 00 1( ) ( ) ( ) .= +ɺX t w t b C w t Vì: 43 ( )2 21 1 10 0 0( ) 2 ( ) ( ) 2 ,′µ ∇ = ∇ ∇ ≤ɺu s u s u s M ( ) ( )2 21 20 0 1( ) ( ) 2 ( ) ,µ ∇ − µ ∇ ≤u s u s M w s 2 2 1 2 10 1( , , ( )) ( , , ( )) ( ) ,f r s u s f r s u s K w s− ≤ nên 22 1 21 1 0 0 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( ), ( ) t t X t C M w s ds M w s Au s w s ds≤ +∫ ∫ ɺ 1 1 0 0 2 ( ) . ( ) t K w s w s ds+ ∫ ɺ ( ) { }2 2 22 21 1 11 1 0 0 0 2 ( ) 2 ( ) ( ) t t C M w s ds M K K w s w s ds≤ + + +∫ ∫ɶ ɺ ( ) ( ) 2 1 1 12 1 1 0 0 0 2 2 ( ) .  + + ≤ + +     ∫ ɶ ɶ tM C K K M K K X s ds b C Theo bổ đề Gronwall thì ( ) 0=X t . Tức là, 1 2.=u u ■