Rèn kĩ năng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cho học sinh lớp 9 trường THCS Long Giang

đề tài: - Yêu cầu đối với học sinh trong thời đại mới. - Vai trò của môn toán trong trường phổ thông. - Thực trạng quá trình học tập của học sinh khi học phần “ Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình”. - Nhằm góp phần giúp học sinh có một định hướng cụ thể qua từng dạng toán cơ bản, tạo điều kiện giúp học sinh học tập có hiệu quả hơn, tự tin hơn khi gặp một số bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình nên tôi quyết định chọn đề tài: “ Rèn kĩ năng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cho học sinh lớp 9 trường THCS Long Giang”. II. Đối tượng – Phương pháp nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: học sinh lớp 91, 92 trường THCS Long Giang. Phương pháp nghiên cứu: + Nghiên cứu tài liệu. + Phương pháp điều tra. + Giả thuyết khoa học. III. Đề tài đưa ra giải pháp mới: Rèn kĩ năng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình thông qua bước phân tích bài toán, nhằm giúp cho học sinh tìm được các phương trình một cách dễ dàng hơn. IV. Hiệu quả áp dụng: Nếu học sinh nắm vững bước phân tích bài toán thì các em không còn lúng túng khi gặp loại bài này nữa, từ đó các em có niềm tin, say mê, hứng thú trong học toán, tạo cho các em tính tự tin, độc lập suy nghĩ, phát triển tư duy logic và suy luận toán học . V. Phạm vi áp dụng: Những bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình đối với học sinh lớp 9 trường THCS Long Giang. Long Giang, ngày….tháng 04 năm 2010 Người thực hiện Nguyễn Thị Đào Nguyên MỞ ĐẦU 1/ Lý do chọn đề tài: Để nắm vững và vận dụng được các kiến thức đã học vào thực tiễn đời sống thì bất cứ môn học nào cũng đòi hỏi học sinh phải có sự nỗ lực cố gắng trong học tập, chịu khó suy nghĩ tìm tòi, có tính kiên trì, nhẫn lại không nản lòng khi gặp khó khăn trong học tập cũng như trong cuộc sống sau này. Có như vậy thì các em mới làm chủ được tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có kỹ năng thực hành giỏi và có tác phong công nghiệp, vận dụng được các kiến thức đã học vào thực tế một cách linh hoạt, sáng tạo là người công dân tốt sống có kỷ luật, người lao động có kỹ thuật nhìn nhận được đâu là đúng, đâu là sai có chân lý rõ ràng. Trong trường phổ thông môn toán chiếm một vị trí khá quan trọng vì nó giúp các em tính toán nhanh, tư duy giỏi, suy luận, lập luận hợp lý lôgic, không những thế nó còn hỗ trợ cho các em học tốt các môn học khác như: vật lý, hóa học, sinh vật, kỹ thuật, địa lý … “Dù các bạn có phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì kiến thức và phương pháp toán học cũng cần cho các bạn …” (Phạm Văn Đồng) Môn toán là môn học giúp cho học sinh phát triển tư duy do tính trừu tượng, đòi hỏi học sinh phải biết phán đoán, lập luận, suy luận chặt chẽ, là môn học “thể thao của trí tuệ”. Để nắm được kiến thức và vận dụng được các kiến thức đã học đòi hỏi các em phải biết phân tích, tìm tòi, phán đoán … qua đó nó đã rèn luyện cho các em trí thông minh sáng tạo. Trong quá trình học tập của học sinh ở trường phổ thông, nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh. Để giúp các em học tập môn toán có kết quả tốt, có rất nhiều tài liệu sách báo đề cập tới. Giáo viên không chỉ nắm được kiến thức, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh dễ hiểu nhất. Chương trình toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em không những nắm chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận dụng để giải từng loại toán. Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn. Tuy nhiên, trong thực tế một số ít giáo viên chúng ta chỉ chú trọng việc truyền thụ kiến thức đầy đủ theo từng bước, chưa chú ý nhiều đến tính chủ động sáng tạo của học sinh. Thông qua quá trình giảng dạy môn toán lớp 9, đồng thời qua quá trình kiểm tra đánh giá sự tiếp thu của học sinh và sự vận dụng kiến thức để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình của bộ môn đại số lớp 9. Tôi nhận thấy học sinh vận dụng các kiến thức toán học trong phần giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình còn nhiều hạn chế và thiếu sót. Đặc biệt là các em rất lúng túng không biết giải bài toán như thế nào? Bắt đầu từ đâu? Hoặc khi đã có một số ý tưởng để giải bài toán thì cách lập luận không rõ ràng, mạch lạc, lời giải khi trình bày chưa thấy được mối tương quan, liên hệ giữa các đối tượng có trong bài. Mặc dù cũng có vài học sinh tìm được các phương trình, giải hệ phương trình tìm đúng kết quả của bài toán nhưng nhìn chung chưa khoa học và chuẩn xác. Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập các phương trình để giải toán, ngoài việc nắm lý thuyết thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập. Mặt khác, giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là nội dung kế thừa của lớp 8. Chỉ khác chăng đó là quá trình giải phương trình bậc nhất hay giải hệ phương trình mà thôi. Vì thế, nếu học sinh nắm vững các bước cơ bản và có kĩ năng giải tốt dạng bài toán bằng cách lập phương trình ở lớp 8 sẽ tạo đà, đặt nền tảng vững chắc, giúp học sinh dễ dàng giải các dạng toán này ở lớp 9. Nhằm góp phần giúp học sinh có một định hướng cụ thể qua từng dạng toán cơ bản, tạo điều kiện giúp học sinh học tập có hiệu quả hơn, tự tin hơn khi gặp một số bài toán dạng này nên tôi quyết định chọn đề tài: “Rèn kĩ năng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” cho HS lớp 9. 2/ Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9 trường THCS Long Giang, năm học 2009-2010 3/ Phạm vi nghiên cứu: Do thời gian nghiên cứu có hạn nên tôi chỉ áp dụng sáng kiến này đối với 2 lớp 91, 92 trường THCS Long Giang. 4/ Phương pháp nghiên cứu: a/ Nghiên cứu tài liệu: thu thập kinh nghiệm từ tạp chí giáo dục, từ các sách tham khảo, tài liệu chuyên môn. b/ Phương pháp điều tra: Tham khảo ý kiến cũng như phương pháp giảng dạy của đồng nghiệp thông qua các buổi sinh hoạt chuyên môn, dự giờ thăm lớp. Trò chuyện với học sinh về việc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Điều tra khảo sát kết quả học tập của học sinh Thực nghiệm dạy ở lớp 91, 92 trường THCS Long Giang. Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi dạy thực nghiệm thông qua kết quả kiểm tra một tiết và bài thi khảo sát chất lượng giữa HKII c/ Giả thuyết khoa học: Để có thể học tốt dạng toán này thì học sinh phải nắm vững các kiến thức liên quan. Từ những bài toán thực tế giáo viên giúp học sinh thất được toán học gắn liền với đời sống thực tế, toán học không phải là những con số khô khan, không biết nói. Nhờ vào tán học giúp chúng ta giải được các bài tón thực tế, đáp ứng được nhu cầu phát triển chung của xã hội; giúp ta định hướng được các công việc cần làm, tìm được lời giải tối ưu, mang lại hiệu quả thiết thực cho cuộc sống. Bản thân giáo viên phải tích cực chuẩn bị các bài tập thật phong phú và đa dạng, đưa học sinh vào các tình huống có vấn đề, muốn tìm được đáp số của bài toán đặt ra cần thấy được các mối liên hệ giữa các đối tượng có trong bài, tích cực suy nghĩ, tích cực trao đổi với nhóm hoặc với giáo viên nhằm tìm được kết quả sau cùng. Khẳng định cho học sinh thấy được nếu tiếp thu tốt các kiến thức toán học ta có thể học tốt các môn khoa học tự nhiên và khoa học xã hội từ những bài toán có liên quan đến hóa học, vật lý hay các câu đố vui dân gian,… B- NỘI DUNG 1/ Cơ sở lí luận: Mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con người có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo và nhân văn cao. Để đào tạo ra lớp người như vậy thì nghị quyết trung ương IV khóa VII năm 1993 đã xác định: “áp dụng phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề”. Nghị quyết trung ương II khóa VIII tiếp tục khẳng định “Phải đổi mới giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh ”. Định hướng này đã được pháp chế hóa trong luật giáo dục điều 24 mục II đã nêu “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng môn học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Trong đó, toán học có vai trò quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành khoa học khác. Nhà tư tưởng Bê-Cơn đã nói rằng: “Ai không hiểu toán học thì không thể hiểu biết một khoa học nào khác và cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của chính bản thân mình”. Sự phát triển của khoa học cũng đã chứng minh lời tiên đoán của Các Mác: “Một khoa học chỉ thật sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được những phương pháp nghiên cứu của toán học”. Do vai trò của toán học trong đời sống và trong công nghệ hiện đại, các kiến thức và phương pháp toán học được xem là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả hơn trong mọi lĩnh vực. Với vai trò mạnh mẽ của toán học nên yêu cầu đặt ra là phải làm cho học sinh nắm được các kiến thức toán học một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống, có năng lực vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán thực tế. Muốn vậy thì học sinh phải có phương pháp học tập thích hợp. Trong việc đổi mới phương pháp dạy học thì học sinh đóng vai trò chủ động trong việc tìm hiểu tri thức qua sự dẫn dắt, hướng dẫn của giáo viên. 2/ Cơ sở thực tiễn: Qua quá trình giảng dạy và đánh giá kết quả thực tế từ các bài kiểm tra qua các năm đứng lớp cho thấy: chỉ khoảng 20% học sinh giải tốt dạng toán này, khoảng 30% học sinh tìm được kết quả nhưng chưa trình bày rõ ràng và mạch lạc, khoảng 50% học sinh còn lại bỏ trắng cả bài vì không biết phải bắt đầu giải như thế nào? Có chăng là chép loáng thoáng từ các bài giải của bạn mà không có mở đầu và kết thúc. Từ thực tế trên cho thấy cần phải hình thành lại một số kĩ năng cơ bản: về cách lập luận, chọn ẩn số, thể hiện được mối liên quan giữa các đối tượng để thiết lập hệ phương trình, tìm lời giải cho bài toán là một yêu cầu thiết thực và tất yếu. 3/ Nội dung vấn đề: Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, tôi thấy cần phải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập. Để giúp học sinh bớt khó khăn và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” ở lớp 9, tôi thấy cần phải phân loại các dạng bài tập khác nhau. Mỗi dạng bài tập đều hướng dẫn học sinh cách lập các phương trình rồi giải hệ phương trình một cách thành thạo. Điều quan trọng là các em phải biết phương pháp giải từng dạng bài tập. Việc này đòi hỏi chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên, không chỉ giúp các em nắm vững lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương pháp học tập, rèn cho các em có khả năng thực hành. Nếu làm được điều đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ tiến bộ. “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” là phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số rồi dùng các phép biến đổi đại số để tìm ra đại lượng chưa biết thỏa mãn điều kiện bài cho. 3.1- ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI bài toán bẰNG cách lẬP hỆ phương trình : Trước hết phải cho các em nắm được các bước để “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” Bước 1 : Lập hệ phương trình gồm các công việc : - Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn số (Nếu có). - Biểu thị các đại lượng chưa biết khác theo ẩn. - Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập hệ phương trình. Bước 2 : Giải hệ phương trình. Tùy theo từng dạng hệ phương trình mà chọn cách giải thích thích hợp và ngắn gọn. Bước 3 : Nhận định kết quả và trả lời. Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không (Vì các em đặt điều kiện cho ẩn đôi khi thiếu chặt chẽ). Chú ý: Bước 1 có tính chất quyết định nhất. Thường đầu bài hỏi số liệu gì thì ta đặt cái đó là ẩn số. Xác định đơn vị đo và điều kiện của ẩn phải phù hợp với ý nghĩa thực tiễn. Tuy nhiên một vài trường hợp ta phải chọn ẩn trung gian. Ví dụ: Bài toán yêu cầu tính chu vi hình chữ nhật thì ta có thể gọi ẩn là chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật. Hoặc đề bài yêu cầu tính quãng đường AB thì ta có thể gọi ẩn là vận tốc và thời gian đi từ A đến B…. 3.2- PHÂN TÍCH BÀI TOÁN : - Trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn các em giải bài tập, giáo viên phải phân ra từng loại toán, giới thiệu đường lối chung từng loại, các công thức, các kiến thức có liên quan từng loại bài. Ở lớp 9 các em thường gặp các loại bài như : Loại toán : Bài toán về chuyển động. Bài tập năng suất lao động. Bài toán liên quan đến số học và hình học. Bài toán có nội dung vật lý - hóa học. Bài toán về công việc làm chung và làm riêng. Bài toán về tỷ lệ, chia phần. Khi bắt tay vào giải bài tập, một yêu cầu không kém phần quan trọng, đó là phải đọc kỹ đề bài, tự mình biết ghi tóm tắt đề bài, nếu tóm tắt được đề bài là các em đã hiểu được nội dung, yêu cầu của bài, từ đó biết được đại lượng nào đã biết, đại lượng nào chưa biết, mối quan hệ giữa các đại lượng. Cần hướng dẫn cho các em như tóm tắt đề bài như thế nào để làm toán, lên dạng tổng quát của phương trình, ghi được tóm tắt đề bài một cách ngắn gọn, toát lên được dạng tổng quát của phương trình thì các em sẽ lập được các phương trình dễ dàng. Đến đây coi như đã giải quyết được một phần lớn bài toán rồi. Khó khăn nhất đối với học sinh là bước lập hệ phương trình, các em không biết chọn đối tượng nào là ẩn, rồi điều kiện của ẩn ra sao? Điều này có thể khắc sâu cho học sinh là ở những bài tập đơn giản thì thường thường “bài toán yêu cầu tìm đại lượng nào thì chọn đại lượng đó là ẩn”. Còn điều kiện của ẩn dựa vào nội dung ý nghĩa thực tế của bài song cũng cần phải biết được nên chọn đối tượng nào là ẩn để khi lập ra phương trình bài toán, ta giải dễ dàng hơn. Muốn lập được phương trình bài toán không bị sai thì một yêu cầu quan trọng nữa là phải nắm chắc đối tượng tham gia vào bài, mối quan hệ của các đối tượng này lúc đầu như thế nào? lúc sau như thế nào? Ø Chẳng hạn khi giải bài toán : Phân tích: Ở đây, ta gặp các đại lượng: Số tấn cá đánh bắt trong tuần ( đã biết), tổng số tấn cá và số tuần đánh bắt (chưa biết): theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện. Chúng ta có quan hệ: (Số tấn cá đánh bắt trong tuần) x (số tuần đánh bắt) = Tổng số tấn cá. Ta chọn ẩn là một trong các đại lượng chưa biết. Ở đây, ta chọn x là số tuần đánh bắt theo kế hoạch và y là tổng số tấn cá đánh bắt theo kế hoạch (ẩn được đề xuất) để chuyển bài toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Quy luật trên cho phép ta lập bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán ( Giáo viên kẻ bảng và hướng dẫn học sinh điền vào bảng) Số tấn cá đánh bắttrong 1 tuần Số tuần Tổng số tấn cá Theo kế hoạch 20 x y Đã thực hiện 26 x - 1 y+10 Khi đó: Phương trình (1) được thiết lập dựa trên địnnh mức trong kế hoạch Phương trình (2) được thiết lập dựa trên việc thực hiện kế hoạch trong thực tế 20x = y 26(x-1)=y+10 Như vậy theo điều kiện đề bài ta có hệ phương trình: Ở chương trình lớp 9 thường gặp các bài toán về dạng chuyển động ở dạng đơn giản như : Chuyển động cùng chiều, ngược chiều trên cùng quãng đường… hoặc chuyển động trên dòng nước. Do vậy, trước tiên cần cho học sinh nắm chắc các kiến thức, công thức liên quan, đơn vị các đại lượng. Trong dạng toán chuyển động cần phải hiểu rõ các đại lượng quãng đường, vận tốc, thời gian, mối quan hệ của chúng qua công thức . Từ đó suy ra: ; Do đó, khi giải nên chọn 1 trong 3 đại lượng làm ẩn Dạng toán chuyển động cũng có thể chia ra nhiều dạng và lưu ý: -Chuyển động cùng chiều trên cùng một quãng đường đến khi gặp nhau thì: (S) ôtô 1 đi = (S) ôtô 2 đi Nếu hai xe cùng xuất phát mà ô tô 1 đến trước ôtô 2 là t giờ thì: (t) ôtô 2 đi – (t) ôtô 1 đi = t -Chuyển động ngược chiều trên cùng một quãng đường thì: (S) ôtô 1 đi + (S) ôtô 2 đi = S Nếu hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đường AB thì: (S) ôtô 1 đi = (S) ôtô 2 đi -Chuyển động trên dòng sông: Vxuôi dòng = VRiêng + V dòng nước Vngược dòng = VRiêng - V dòng nước -Chuyển động trên cùng một đường tròn: Hai vật xuất phát tại một điểm sau t giờ gặp nhau: +Chuyển động cùng chiều: Độ dài đường tròn (S) = (t).(v1-v2) (Giả sử v1, v2 là vận tốc của hai vật, v1>v2) +Chuyển động ngược chiều: Độ dài đường tròn (S) =(t).(v1+v2) Ví dụ: Một người đi từ A đến B gồm quãng đường AC và CB hết thời gian là 4 giờ 20 phút. Tính quãng đường AC và CB biết rằng vận tốc của người đó trên AC là 30 km/h, trên CB là 20 km/h và quãng đường AC ngắn hơn CB là 20km. * Phân tích: Đối với dạng toán này, GV cần hướng dẫn HS tóm tắt bài toán bằng sơ đồ hình vẽ: A C B y(km) x(km) vAC = 30 km/h; vCB = 20km/h tAB=4 giờ 20 phút = (giờ) SBC – SAC = 20 (km) Sau đó GV hướng dẫn HS lập bảng phân tích thông qua các câu hỏi: v (km/h) t (h) S (km) Quãng đường AC 30 x Quãng đường CB 20 y Quãng đường AB Theo đề bài ta biết được những ô nào? HS: vAC, vCB, tAB Đề bài yêu cầu tìm đại lượng nào? HS:Quãng đường AC và CB Hãy chọn các đại lượng đó là ẩn (SAC : x(km), SCB : y (km), đk 0<x<y) Quãng đường AC ngắn hơn CB là 20 km, ta có phương trình thế nào? HS:y – x = 20 hay –x + y = 20 (1) Biết quãng đường và vận tốc đi trên mỗi quãng đường, ta tính được đại lượng nào? HS:thời gian đi trên mỗi quãng đường Vì thời gian đi tổng cộng là 4 giờ 20 phút = (giờ) nên ta có phương trình thế nào? HS: (2) Từ (1) và (2) ta đã tìm được hệ phương trình của bài toán Sau khi phân tích xong, giáo viên cần cho học sinh thấy rằng : Như ta đã phân tích ở trên thì bài toán này còn có thời gian đi trên mỗi quãng đường chưa biết, nên ngoài việc chọn quãng đường là ẩn, ta cũng có thể chọn thời gian đi trên mỗi quãng đường là ẩn Nếu gọi thời gian đi trên quãng đường AC là x (km), đk x>0 Thời gian đi trên quãng đường CB là y (km), đk y>0 Khi đó ta có bảng phân tích như sau: v (km/h) t (h) S (km) Quãng đường AC 30 x 30x Quãng đường CB 20 y 20y Quãng đường AB Vì thời gian đi tổng cộng là 4 giờ 20 phút = (giờ) nên ta có phương trình thế nào? HS: x + y = (1) Quãng đường AC ngắn hơn CB là 20 km, ta có phương trình thế nào? x + y = -30x + 20y =20 HS: 20y – 30x = 20 hay -30x + 20y =20 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm được x và y Đến đây học sinh dễ mắc sai lầm là dừng lại trả lời kết quả bài toán Do đó cần khắc sâu cho các em thấy được bài toán yêu cầu tìm quãng đường nên khi có thời gian rồi phải tìm quãng đường. vTóm lại : Khi giải dạng toán chuyển động, trong bài có nhiều đại lượng chưa biết, nên ở bước lập hệ phương trình ta tùy ý lựa chọn một trong các đại lượng chưa biết làm ẩn. Nhưng ta nên chọn trực tiếp đại lượng bài toán yêu cầu cần phải tìm là ẩn nhằm tránh những thiếu sót khi trả lời kết quả. Song thực tế không phải bài nào ta cũng chọn được trực tiếp đại lượng phải tìm là ẩn mà có thể phải chọn đại lượng trung gian là ẩn. Đối với bài toán “làm chung – làm riêng một công việc” giáo viên cần cung cấp cho học sinh một số kiến thức liên quan như : - Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị công việc biểu thị bởi số 1. - Năng suất làm việc là phần việc làm được trong 1 đơn vị thời gian. Ta có công thức A = nt ; Trong đó: A : Khối lượng công việc n : Năng suất làm việc t : Thời gian làm việc - Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm. - Biết tìm năng suất làm việc như thế nào? thời gian hoàn thành, khối lượng công việc để vận dụng vào từng bài toán cụ thể. Khi ta nắm được các vấn đề trên rồi thì các em sẽ dễ dàng giải quyết bài toán. ØXét bài toán sau : Phân tích: - Trước hết phân tích bài toán để nắm được những nội dung sau : + Khối lượng công việc ở đây là lượng nước của một bể. + Đối tượng tham gia ? (2 vòi nước) + Số liệu đã biết ? (thời gian hai vòi cùng chảy). + Đại lượng liên quan: Năng suất chảy của mỗi vòi, thời gian hoàn thành của mỗi vòi. + Số liệu chưa biết ? (Thời gian làm riêng để hoàn thành công việc của mỗi vòi). - Bài toán yêu cầu tìm thời gian mỗi vòi chảy riêng để đầy bể. Gíao viên hướng dẫn học sinh lập bảng phân tích: Năng suất chảy trong 1 giờ Thời gian HTCV Cả 2 vòi (bể) 1 giờ 20 phút =giờ Vòi I x Vòi II y Qua bảng phân tích ta tìm được phương trình: += (1) Để tìm được phương thứ hai, ta dựa vào giả thiết còn lại của bài toán đó là:Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy bể Như vậy ta phải tính xem trong 10 phút =giờ vòi I chảy được bao nhiêu? Trong 12 phút = giờ vòi II chảy được bao nhiêu? HS:Trong 10 phút =giờ vòi I chảy được :(bể) Trong 12 phút = giờ vòi II chảy được : (bể) Như vậy ta có phương trình thế nào? += HS: (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: GV: Ngoài cách chọn ẩn này ra, ta còn cách chọn nào nữa hay không? HS: chọn x, y lần lượt là năng suất của mỗi vòi. Giáo viên hướng dẫn học sinh lập bảng phân tích tương ứng: Năng suất chảy trong 1 giờ Thời gian HTCV Cả 2 vòi (bể) 1 giờ 20 phút =giờ Vòi I x Vòi II y GV: Qua bảng phân tích ta có phương trình thế nào? HS: x +y = (1) GV: Để tìm được phương trình (2) ta thực hiện như cách 1. Như vậy ta có phương trình thế nào? x +y = x + y = HS:x + y = (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Đến đây học sinh dễ nhầm lẫn là lấy kết quả tím được để trả lời bài toán. Vì thế giáo viên cần nhắc nhở học sinh đây không phải là kết quả cuối cùng mà ta phải trả lời ở cột thời gian tức là lấy nghịch đảo kết quả tìm được để trả lời. Lưu ý: Dù chọn ẩn ở cột thời gian hay năng suất thì phương trình lập được bao giờ cũng dựa vào cột năng suất. * Ở chương trình đại số lớp 9 các em cũng thường gặp loại bài tìm 1 số tự nhiên có 2 chữ số, đây cũng là loại toán tương đối khó đối với các em; để giúp học sinh đỡ lúng túng khi giải loại bài thì trước hết phải cho các em nắm được một số kiến thức liên quan: - Cách viết số trong hệ thập phân: +Số có 2 chữ số được kí hiệu là: =10a+b +Số có 3 chữ số được kí hiệu là: =100a+10b+c Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm…; điều kiện của các chữ số. Quan hệ chia hết và chia có dư: + Chữ số hàng chục a chia hết cho chữ số hàng đơn vị b là a = b.q (q là thương) + Chữ số hàng chục a chia cho chữ số hàng đơn vị b được thương là q và dư là r thì: a = b.q + r Ví dụ : “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16, nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số đã cho.” Phân tích: Học sinh phải nắm được : - Số cần tìm có mấy chữ số ?(2 chữ số). - Quan hệ giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị như thế nào? (Tổng 2 chữ số là 16). - Vị trí các chữ số thay đổi thế nào? (Chữ số hàng chục thành hàng đơn vị và ngược lại) - Số mới so với ban đầu thay đổi ra sao? (Số mới lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị) - Muốn biết số cần tìm, ta phải biết điều gì? (Chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị). - Đến đây ta dễ dàng giải bài toán, thay vì tìm số tự nhiên có hai chữ số ta đi tìm chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị Nếu gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y Điều kiện của x và y ? (x,yN, 0 < x,y < 10). Tổng các chữ số là 16, vậy ta có phương trình thế nào? x + y = 16 (1) Số đã cho được viết thế nào? = 10x + y Đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số mới được viết như thế nào? = 10y + x Số mới lớn hơn số đã cho là 18 nên ta có phương trình ra sao? x + y = 16 -x + y = 2 (10y + x) – (10x + y) = 18 hay –x + y = 2 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 3.3- MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA VỀ CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP HÌNH THÀNH KĨ NĂNG: Trong phần soạn một số bài toán điển hình của từng loại, bản thân tôi không có tham vọng gì lớn chỉ mong đó là tài liệu tham khảo để các em học sinh luyện tập thêm. Loại 1 : Bài toán về chuyển động Ví dụ 1 :Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính thời gian dự định đi lúc đầu và quãng đường AB. Hãy xác định đối tượng tham gia vào bài toán? Đề bài yêu cầu ta tìm các đại lượng nào? Hãy chọn ẩn cho các đại lượng đó và xác định điều kiện tương ứng? Với giả thiết nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giơ, ta hiểu như thế nào? HS:Nếu thời gian dự định tăng thêm 2 giờ thì xe sẽ đi hết quãng đường AB Với giả thiết đó được biểu thị qua các ẩn x, y như thế nào? Tương tự, nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ, ta biểu thị qua các ẩn x, y như thế nào? Từ hai phương trình có được hãy lập hệ phương trình và giải hệ phương trình GV mời 1 HS lên bảng giải Sau khi HS giải xong, GV chú ý cho HS so sánh giá trị tìm được của ẩn với điều kiện ban đầu rồi kết luận Gọi thời gian dự định đi lúc đầu là x(h), điều kiện : x>0 Gọi độ dài quãng đường AB là y(km), điều kiện : y>0 Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ, tức là thời gian chạy bằng x+2 do đó: 35(x+2)=y (1) Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ, tức là thời gian chạy bằng x-1 do đó: 50(x-1)=y (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 35(x+2)=y 50(x-1)=y x = 8 y = 350 (TMĐK) Vậy quãng đường AB bằng 350 và thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ Ví dụ 2 : Giữa hai địa điểm A và B cách nhau 30 km, một xe máy và một xe đạp khởi hành cùng lúc tại A và B. Nếu hai xe đi ngược chiều nhau thì sau 40 phút chúng gặp nhau, còn nếu hai xe đi cùng chiều theo hướng từ A đến B thì sau 2 giờ chúng gặp nhau. Hãy tính vận tốc của mỗi xe? GV tóm tắt bài toán trên hình vẽ cho HS chọn ẩn và tính các đại lượng chưa biết qua ẩn? Trường hợp 1: Xe máy Xe đạp A C B x km/h y km/h 30km 40 phút Khi hai xe chuyển động ngược chiều, hai xe gặp nhau khi nào? Từ đó ta thiết lập được phương trình nào? Trường hợp 2: 30km A B D Xe máy Xe đạp x km/h y km/h 2 giờ Gọi x(km/h), y(km/h) lần lượt là vận tốc của xe máy và xe đạp, điều kiện: x>y>0 Sau 40 phút =giờ : Xe máy đi được x (km) Xe đạp đi được y (km) Do đó ta có phương trình: x + y = 30 x + y = 45 (1) Sau 2 giờ: Xe máy đi được 2x (km) Xe đạp đi được 2y (km) Ta có phương trình: 2x – 2y = 30 x + y = 15 (2) x + y = 45 x – y = 15 x = 30 y = 15 (TMĐK) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Vậy vận tốc của xe máy là 30 km/h Vận tốc của xe đạp là 15 km/h Bài tập hình thành kĩ năng : 1- Hai canô cùng khởi hành từ bến A và B cách nhau 85 km, đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi canô. Biết rằng vận tốc riêng của canô đi xuôi lớn hơn vận tốc riêng của ca nô đi ngược là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h. 2- Một ca nô đi xuôi từ đến B với vận tốc trung bình là 30 km/h sau đó đi ngược lại từ B về A. Tính quãng đường AB, biết thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút và vận tốc dòng nước là 3 km/h. 3- Lúc 7 giờ, một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 40 km/h. Sau đó, lúc 8 giờ 30 phút, một người khác cũng đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 60 km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ? 4- Một người đi xe đạp dự định đi hết quãng đường AB với vận tốc 10 km/h. Sau khi đi được nửa quãng đường với vận tốc dự định người ấy nghỉ 30 phút. Vì muốn đến B kịp giờ nên người ấy phải đi với vận tốc 15 km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB? Loại 2 : Bài toán về năng suất lao động Chú ý : Năng suất lao động là kết quả làm được, như vậy: Năng suất lao động trội = mức quy định + tăng năng suất. Ví dụ 1: Trong tháng 3, hai tổ trồng được 720 cây xanh. Trong tháng 4, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên cả hai tổ trồng được 819 cây xanh. Tính xem trong tháng 3, mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây xanh ? Đề bài yêu cầu tính gì? Hãy chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn Trong tháng 3, hai tổ trồng được 720 cây xanh nên ta có phương trình thế nào? Chú ý: Nếu làm vượt mức a% tức là đã làm đạt (100+a)% Hãy tính số cây xanh mà mỗi tổ trồng được trong tháng 4? HS : Tổ I : 115%x ; Tổ II : 112%y Tổng số cây trồng được trong tháng 4 là 819 cây. Như vậy ta có phương trình thế nào? So sánh kết quả với điều kiện đầu bài rồi trả lời Gọi số cây xanh tổ I trồng được trong tháng 3 là x(cây), điều kiện : 0<xN Số cây xanh tổ II trồng được trong tháng 3 là y (cây), điều kiện : 0<yN Trong tháng 3, hai tổ trồng được 720 cây xanh nên ta được: x + y = 720 (1) Trong tháng 4, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên trồng được 819 cây xanh. Do đó ta có phương trình: 115%x + 112%y = 819 115x + 112y = 81900 (2) x + y = 720 115x + 112y = 81900 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x = 420 y = 300 (TMĐK) Vậy trong tháng 3 tổ I trồng được 420 cây xanh, tổ II trồng được 300 cây xanh Ví dụ 2: Hai tổ sản xuất phải hoàn thành 90 sản phẩm. Tổ I vượt mức 15% kế hoạch của tổ. Tổ II vượt mức 12% kế hoạch của tổ. Do đó, cả hai tổ làm được 102 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi tổ phải làm bao nhiêu sản phẩm? Đề bài yêu cầu tính gì? Hãy chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất phải hoàn thành bao nhiêu sản phẩm? HS: 90 sản phẩm Như vậy ta có phương trình thế nào? Tổ I vượt mức 15% kế hoạch, vậy tổ I làm được bao nhiêu sản phẩm? HS: 115%x Tương tự, tổ II vượt mức 12% kế hoạch, vậy tổ I làm được bao nhiêu sản phẩm? HS: 112%y Khi thực hiện, cả hai tổ làm dược bao nhiêu sản phẩm? hãy lập phương trình ? HS: 102 sản phẩm So sánh kết quả với điều kiện đầu bài rồi trả lời Gọi số sản phẩm theo kế hoạch tổ I phải làm là x(sản phẩm), điều kiện: 0 < xN Số sản phẩm theo kế hoạch tổ II phải làm là y (sản phẩm), điều kiện: 0 < yN Vì hai tổ sản xuất phải hoàn thành 90 sản phẩm nên ta có phương trình: x + y = 90 (1) Tổ I vượt mức 15% kế hoạch, tổ II vượt mức 12% kế hoạch. Do đó, cả hai tổ làm được 102 sản phẩm, ta được phương trình: 115%x + 112%y = 102 115x + 112y = 10200 (2) x + y = 90 115x + 112y = 10200 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x = 40 y = 50 (TMĐK) Vậy theo kế hoạch: Tổ I phải làm 40 sản phẩm Tổ II phải làm 50 sản phẩm Bài tập hình thành kĩ năng: 1- Theo kế hoạch, trong quý I, phân xưởng A phải sản xuất nhiều hơn phân xưởng B 200 bình bơm thuốc trừ sâu. Khi thực hiện, do phân xưởng A tăng năng suất 20%, còn phân xưởng B tăng năng suất 15% nên phân xưởng A sản xuất được nhiều hơn phân xưởng B là 350 bình bơm. Hỏi theo kế hoạch mỗi phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu bình bơm? 2- Trong tuần đầu hai tổ sản xuất được 1500 bộ quần áo. Sang tuần thứ hai, tổ A vượt mức 25% kế hoạch, tổ B giảm 18% kế hoạch. Do đó, trong tuần này cả hai tổ sản xuất được 1617 bộ. Hỏi trong tuần đầu, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu bộ? 3- Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỉ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy, trong thời gian qui định, họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch? 4- Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Xí nghiệp I đã vượt mức kế hoạch 12%, xí nghiệp II đã vượt mức kế hoạch 10%. Do đó, cả hai xí nghiệp đã làm tổng cộng 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch? Loại 3 : Bài toán có liên quan đến số học và hình học Ví dụ 1 : Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số đó bằng 7 và nếu ta viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn số đã cho là 27 đơn vị. Gọi HS nhắc lại cách biểu diễn của một số dưới dạng lũy thừa theo cơ số 10 : =10x+y ... GV cho HS hoạt động theo nhóm (7’) dưới sụ gợi ý của GV : - Số cần tìm có mấy chữ số ? - Quan hệ giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị như thế nào? - Vị trí các chữ số thay đổi thế nào? - Số mới so với ban đầu thay đổi ra sao? Sau đó mời đại diện một nhóm lên trình bày HS nhóm khác nhận xét GV nhận xét chung Gọi số đã cho là =10x+y, trong đó xN, yN và 1 < x < 9, 1 < y < 9 Theo giả thiết: tổng hai chữ số đó bằng 7, ta được: x + y = 7 (1) Số được viết theo thứ tự ngược lại là : Vì số mới lớn hơn số đã cho là 27 đơn vị nên ta có phương trình: (10y+x) – (10x+y) = 27 hay –x + y = 3 (2) x + y = 7 -x + y = 3 x = 2 y = 5 (TMĐK) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : Vậy số phải tìm là 25. Ví dụ 2: Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông ,biết rằng nếu tăng các cạnh lên 3cm thì diện tích tăng lên 36cm2 và nếu giảm một cạnh 2cm, cạnh kia đi 4cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26cm2 GV hướng dẫn HS lập bảng phân tích: Cạnh 1 Cạnh 2 S Ban đầu x(cm) y(cm) (cm2) Tăng (x+3) (cm) (y+3)(cm) Giảm (x-2) (cm) (y-4) (cm) ĐK:x>2;y>4 Nếu gọi x(cm), y(cm) là độ dài hai cạnh góc vuông thì diện tíc của tam giác vuông này là bao nhiêu? HS: (cm2) Nếu tăng các cạnh lên 3cm thì diện tích tăng lên 36cm2, ta được phương trình thế nào ? Nếu giảm một cạnh 2cm, cạnh kia đi 4cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26cm2, ta được phương trình nào ? Giải hệ phương trình tìm x và y ? GV cho HS giải theo nhóm (10’) rồi mời đại diện nhóm lên trình bày HS nhận xét GV hoàn chỉnh bài cho HS Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông lầ lượt là x(cm), y(cm); điều kiện: x>2; y>4 Nếu tăng các cạnh lên 3cm thì diện tích tăng lên 36cm2, ta được phương trình : hay x + y = 21 (1) Nếu giảm một cạnh 2cm, cạnh kia đi 4cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26cm2, ta được phương trình : hay 2x + y = 30 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x = 9 y = 12 (TMĐK) x + y = 21 2x + y = 30 Vậy hai cạnh góc vuông cần tìm là 9(cm) và 12(cm) Bài tậphình thành kĩ năng: 1- Tìm một số có hai chữ số. Biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5, nếu viết xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số tự nhiên đó tăng 630 đơn vị. 2- Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết tổng các chữ số bằng 8, nếu đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số tự nhiên đó tăng lên 18 đơn vị. 3- Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 54m. Nếu giảm chiều dài đi 5m và tăng chiều rộng thêm 2m thì diện tích tăng thêm 9m2. Tính các kích thước của hình chữ nhật. 4- Cho một tam giác vuông : Nếu tăng mỗi cạnh góc vuông thêm 2m thì diện tích tăng 17m2. Nếu giảm một cạnh góc vuông đi 3m và giảm cạnh góc vuông kia 1m thì diện tích giảm 11m2. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông Loại 4 : Bài toán có nội dung vật lý, hóa học Để lập được phương trình, ta phải dựa vào các công thức, định luật của vật lý, hóa học liên quan đến những đại lượng có trong đề toán. Chú ý : Trong đó : D : khối lượng riêng m : khối lượng V : thể tích Ví dụ : Một vật có khối lượng là 124 gam, thể tích là 15cm3 là hợp kim đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng, bao nhiêu gam kẽm. Biết rằng 89 gam đồng thì có thể tích 10cm3 và 7gam kẽm có thể tích là 1cm3. Bài toán yêu cầu tính gì ? Hãy chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn. Vật có khối lượng là 124g (gồm đồng và kẽm) nên ta có phương trình thế nào ? GV : 89 gam đồng thì có thể tích 10cm3. Vậy x(g) đồng có thể tích bao nhiêu ? HS : (g) GV : 7gam kẽm có thể tích là 1cm3. Vậy y(g) kẽm có thể tích bao nhiêu ? HS : (g) Vật có thể tích là 15 cm3, ta được phương trình thế nào ? Giải hệ phương trình, so sánh điều kiện rồi trả lời Gọi khối lượng đồng trong hợp kim là x(gam) Và khối lượng kẽm trong hợp kim là y(gam) Điều kiện: x>0;y>0 Vì khối lượng của vật là 124 gam nên ta có phương trình : x+y = 124 (1) Vì thể tích của vật là 15cm3 ta có phương trình: (2) Từ (1) và 2 ta có hệ phương trình : x+y = 124 x = 89 y = 35 (TMĐK) Vậy khối lượng đồng trong hợp kim là 89g. Khối lượng đồng trong hợp kim là 35g. Bài tập hình thành kĩ năng: 1- Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axit. Loại I chứa 30% axit, loại II chứa 50% axit. Muốn có 50 lít dung dịch chứa 15% axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít dung dịch mỗi loại? 2- Một hợp kim đồng và nhôm nặng 11,250kg, có thể tích là 3,500dm3. Tính khối lượng của đồng và nhôm có trong hợp kim, biết rằng khối lượng riêng của đồng là 8,9g/cm3; của nhôm là 2,6g/cm3. Loại 5 : Bài toán về công việc làm chung, làm riêng Chú ý : Nếu mất n đơn vị thời gian (giờ, ngày...) để làm xong một công việc thì trong 1 đơn vị thời gian ấy sẽ làm được công việc. Ví dụ : Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước trong 12 giờ thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ và vòi thứ hai chảy trong 6 giờ thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi nếu chảy một mình thì phải mất bao lâu mới đầy bể ? GV cho HS phân tích đề, xác định các đối tương tham gia vào bài toán (qua bảng phân tích) Chọn ẩn cho bài toán ? Vòi I chảy trong x giờ thì đầy bể. Vậy trong 1 giờ, vòi I chảy được bao nhiêu phần của bể ? Tương tự cho vòi II, tính xem trong 1 giờ chảy được bao nhiêu phần của bể ? Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước trong 12 giờ thì đầy bể. Vậy trong 1 giờ, cả hai vòi chảy được bao nhiêu phần của bể ? Ta thiết lập được phương trình nào từ giả thiết trên ? Nếu mở vòi I chảy trong 4 giờ thì vòi I chảy được bao nhiêu phần của bể ? Nếu mở vòi II chảy trong 6 giờ thì vòi II chảy được bao nhiêu phần của bể ? Nếu mở vòi I chảy trong 4 giờ và vòi II chảy trong 6 giờ thì đầy bể, ta lập được phương trình nào ? Giải hệ phương trình có được, so sánh điều kiện để trả lời bài toán Gọi thời gian để vòi I chảy một mình cho đầy bể là x(giờ), điều kiện : x >12 Thời gian để vòi II chảy một mình cho đầy bể là y(giờ), điều kiện : y >12 Như vậy, sau 1 giờ : Vòi I chảy được (bể)  Vòi II chảy được (bể)  Cả hai vòi chảy được bể nên ta có phương trình : (1) Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ và vòi thứ hai chảy trong 6 giờ thì đầy bể, ta được : (2) x = 20 y = 30 (TMĐK Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : Vậy thời gian để vòi I chảy một mình cho đầy bể là 20(giờ). Thời gian để vòi II chảy một mình cho đầy bể là 30(giờ) Ví dụ 2 : Hai bạn A và B cùng hoàn thành một công việc trong 4 ngày hoặc A làm trong 3 ngày, B làm trong 6 ngày thì công việc cũng xong. Nếu làm riêng mỗi bạn phải mất bao nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc ? Đây là dạng toán tương tự như dạng toán vòi nước, GV cho HS hoạt động nhóm để giải (10’) Mời đại diện 2 nhóm lên trình bày, mỗi nhóm trình bày một trường hợp Trường hợp 1 : Hai bạn A và B cùng hoàn thành một công việc trong 4 ngày Trường hợp 2 : Bạn A làm trong 3 ngày, bạn B làm trong 6 ngày thì công việc cũng xong HS khác lên giải hệ phương trình, so sánh điều kiện và trả lời HS nhóm khác nhận xét, GV hoàn chỉnh bài cho HS và chốt lại : Với hai dạng toán công việc và vòi nước, ta thường trả lời các câu hỏi sau để thiết lập phương trình : Trong một giờ, cả hai vòi (hay hai người, hai đội,..) làm được bao nhiêu phần công việc ? Trong một giờ, mỗi vòi (hay mỗi người, mỗi đội,...) làm được bao nhiêu phần công việc ? Khi làm riêng với một đơn vị thời gian cho trước thì cả hai vòi (hay hai người, hai đội,...) làm được bao nhiêu phần công việc, ta sẽ thiết lập được phương trình Gọi số ngày để bạn A tự mình hoàn thành công việc là x (ngày), điều kiện : x > 4 Số ngày để bạn B tự mình hoàn thành công việc là y (ngày), điều kiện : y > 4 Trong 1 ngày : Bạn A làm được công việc Bạn B làm được công việc Cả hai bạn cùng làm được công việc Ta có phương trình : += (1) Trong 3 ngày, bạn A làm được công việc Trong 6 ngày, bạn B làm được công việc Theo giả thiết ta có phương trình : +=1 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : += +=1 x = 6 y = 12 (TMĐK) Vậy nếu làm riên, bạn A mất 6 ngày và bạn B mất 12 ngày mới hoàn thành công việc Bài tập hình thành kĩ năng: 1- Hai cần cẩu làm chung thì hoàn thành công việc sau 7giờ 30 phút. Nếu cần cẩu thứ nhất làm riêng trong 5 giờ và cần cẩu thứ hai làm riêng tiếp tục trong 1 giờ 40 phút thì mới được một nửa công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi cần cẩu phải làm trong bao lâu để xong công việc?. 2- Hai đội sản xuất cùng đào một con mương. Nếu để mỗi đội làm riêng cả con mương thì tính ra cả hai đội sẽ mất tất cả 25 ngày mới xong. Nếu góp sức làm chung thì cả hai đội chỉ mất 6 ngày. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội phải mất bao lâu để đào xong mương ? 3- Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước, sau giờ thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?. 4- Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 5 giờ 50 phút sẽ đầy bể. Nếu để hai vòi cùng chảy 5 giờ rồi khóa vòi I lại thì vòi II chảy thêm 2 giờ nữa mới đầy bể. Tính xem nếu để mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu mới đầy bể ? Loại 6 : Bài toán về tỉ lệ, về chia phần Ví dụ : Hai cửa hàng có tất cả 600 lít nước chấm. Nếu cửa hàng thứ nhất chuyển sang cửa hàng thứ hai 80 lít thì số nước chấm ở cửa hàng thứ hai sẽ tăng gấp đôi ở cửa hàng thứ nhất. Hỏi mỗi cửa hàng chứa bao nhiêu lít nước chấm? Đề bài yêu cầu tính gì ? Hãy chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn Hai cửa hàng có tất cả bao nhiêu lít nước chấm ? HS : 600 (lít) Từ đó hãy lập phương trình bài toán ? Nếu cửa hàng thứ nhất chuyển sang cửa hàng thứ hai 80 lít thì số nước chấm ở mỗi cửa hàng là bao nhiệu ? HS : Cửa hàng I : x – 80 (lít) Cửa hàng II : y + 80 (lít) Khi đó số nước chấm ở cửa hàng thứ hai sẽ tăng gấp đôi ở cửa hàng thứ nhất, vậy ta có phương trình thế nào ? HS giải hệ phương trình, so sánh kết quả và trả lời HS khác nhận xét, GV nhận xét chung Gọi số nước chấm có ở cửa hàng thứ nhất là x (lít), ở cửa hàng thứ hai là y (lít). Điều kiện : 0< x, y <600 Theo gia thiết thứ nhất ta có : x + y = 600 (1) Sau khi chuyển 80 lít sang, cửa hàng thứ hai có (y + 80) lít. Theo đề bài thì y + 80 = 2(x - 80) Hay 2x – y = 240 (2) x + y = 600 2x – y = 240 x = 280 y = 320 (TMĐK) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Vậy cửa hàng thứ nhất có 280 lít nước chấm. Cửa hàng thứ hai có 320 lít nước chấm. Bài tập hình thành kĩ năng : 1- Hai lớp 91 và 92 được mua tất cả thảy 380 tập giấy và được phân phối đều cho hai lớp theo tỷ lệ . Hỏi mỗi lớp mua được bao nhiêu tập giấy ? 2- Tổng số học sinh của hai lớp 9A và 9B là 55 học sinh. Nếu lớp 9A bớt đi 2 học sinh và thêm vào lớp 9B 3 học sinh thì số học sinh hai lớp bằng nhau. Tìm số học sinh mỗi lớp 3.4- BIỆN PHÁP THỰC HIỆN: Để thực hiện tốt yêu cầu đề ra trong việc phân tích bài toán “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” với thời lượng lên lớp chính khóa (2tiết) là rất khó. Do đó, bản thân tôi mạnh dạn đưa ra các biện pháp sau đây: 1/ Việc quan trọng nhất để góp phần thành công trong quá trình dạy học theo tôi đó là giáo viên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bị một hệ thống câu hỏi phù hợp, các bài tập trắc nghiệm, tự luận phù hợp. 2/ Phân tích kĩ các bài tập “mẫu” cho học sinh. 3/ Chia học sinh thành các nhóm nhỏ,mỗi nhóm có nhóm trưởng (Học sinh có học lực khá ,có uy tín với các bạn ).Tổ chức nhóm thảo luận các bài tập “mẫu” mà giáo viên đã giải ra giấy photo từ đó áp dụng giải một số bài tập mà giáo viên đưa ra. Sau đó cho các nhóm lên bảng trình bày bài giải của mình (có thuyết trình). Các thành viên còn lại của lớp có thể đặt câu hỏi phát vấn nhóm giải bài. (Nếu câu hỏi hay giáo viên phải kịp thời khen ngợi các em). 4/ Tăng cường quản lý học sinh trong các giờ tự học, tăng thời gian phụ đạo học sinh yếu - kém, phát hiện những lỗ hỏng kiến thức của học sinh để kịp thời điều chỉnh 5/ Lập ra các cán sự bộ môn để kiểm tra và hướng dẫn các tổ, nhóm làm bài tập; phân công học sinh khá – giỏi kèm học sinh yếu – kém có sự theo dõi, đánh giá của giáo viên. 6/ Tạo hứng thú cho học sinh trong các giờ học. 7/ Hướng dẫn học sinh cách học bài, làm bài, nghiên cứu trước bài ở nhà. 8/ Giáo viên phải chuẩn bị một số bài tập tương tự cho các em ( bản thân tôi photo các đề bài đã biên soạn ở trên phát cho các nhóm) về nhà thực hiện. Buổi sau ,bản thân tôi thu vở của các em, chấm và sửa từng câu văn, phép tính. Đây là một việc làm không khó, tuy nhiên nó đòi hỏi ở giáo viên sự tận tâm, tận tụy chịu khó trong công việc. Để góp phần thực hiện các biện pháp đề ra thì giáo viên và học sinh cần xác định nhiệm vụ của mình. ÄNhiệm vụ của giáo viên: tổ chức cho học sinh tìm kiếm các kiến thức cơ bản nhất của tiết học với các công việc cụ thể sau: - Đưa ra câu hỏi, bài tập nhằm định hướng cho hoạt động học tập của học sinh - Khéo léo gợi ý để các đối tượng học sinh đều trả lời được - Tổ chức cho học sinh làm việc cá nhân và trao đổi nhóm - Khẳng định kết quả làm việc của học sinh, đưa kiến thức mới vào hệ thống kiến thức hiện có của học sinh ÄNhiệm vụ của học sinh: - Trả lời các câu hỏi và giải bài tập theo yêu cầu của giáo viên - Đặt câu hỏi chất vấn khi gặp khó khăn, tự kiểm tra, tự điều chỉnh theo gợi ý của nhóm hoặc của giáo viên - Tự đánh giá, tự điều chỉnh kết quả hoạt động của mình Sau khi thực ngiệm đề tài đối với học sinh lớp 9 tại trường THCS Long Giang, tôi thấy học sinh có ý thức hơn, cẩn thận hơn, trình bày lời giải bài toán khoa học hơn, chặt chẽ hơn. Điều đó được thể hiện qua kết quả sau: ØTrước khi áp dụng đề tài: LỚP TSHS GIỎI KHÁ TB YẾU SL TL SL TL SL TL SL TL 91 28 3 10,7% 5 17,9% 8 28,6% 12 42,8% 92 26 2 7,7% 6 23% 6 23% 12 46,3% ØSau khi áp dụng đề tài: LỚP TSHS GIỎI KHÁ TB YẾU SL TL SL TL SL TL SL TL 91 28 6 21,4% 9 32,1% 10 35,7% 3 10,8% 92 26 3 11,5% 10 38,5% 11 42,3% 2 7,7% C - KẾT LUẬN 1/ Bài học kinh nghiệm: Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra từ thực tế qua những năm giảng dạy của bản thân tôi. Phần giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cũng rất đa dạng, tuy nhiên với khả năng của mình, tôi chỉ đề cập đến một số dạng đơn giản mà các em thường gặp trong chương trình. Tôi cũng chỉ đi sâu vào vấn đề nhỏ đó là hướng dẫn, giúp các em có kỹ năng lập hệ phương trình bài toán, bởi vì muốn giải được bài toán bằng cách lập hệ phương trình thì phải lập được hệ phương trình, có hệ phương trình đúng thì giải hệ phương trình có kết quả đúng, dẫn đến mới trả lời được điều mà bài toán đòi hỏi. Trong quá trình giảng dạy, chắc hẳn ai cũng mong muốn cho học sinh hiểu bài, chất lượng học tập của các em tốt hơn, tạo cho các em có đầy đủ điều kiện bước vào cuộc sống hoặc học lên nữa. Vì vậy nó đòi hỏi chúng ta là người tạo ra những sản phẩm ấy cần phải : - Có một kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với từng đối tượng học sinh. - Học sinh phải nắm vững lý thuyết, biết vận dụng thực hành từng loại toán, giải nhanh, thành thạo bằng nhiều cách. Trên cơ sở giải bài tập, biết đặt ra bài tập mới để kích thích sự say mê học toán của mình. 2/ Hướng phổ biến, áp dụng của đề tài: Do điều kiện và năng lực của bản thân còn hạn chế, tài liệu tham khảo chưa đầy đủ nên chắc chắn còn nhiều điều chưa chuẩn, những lời giải chưa phải là hay và ngắn gọn nhất. Nhưng tôi mong rằng đề tài này ít nhiều cũng giúp học sinh hiểu kĩ hơn về “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy, dự giờ thăm lớp của các đồng chí trong và ngoài nhà trường. Cùng với sự giúp đỡ tận tình của ban giám hiệu nhà trường, của tổ chuyên môn,…tôi đã hoàn thành đề tài: “ Rè kĩ năng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” cho học sinh lớp 9 trường THCS Long Giang 3/ Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài: Những biện pháp và việc làm của tôi như đã trình bày ở trên,bước đầu chưa đạt được kết quả chưa thật mỹ mãn đối với tâm ý của bản thân. Tuy nhiên, nếu thực hiện tốt tôi nghĩ nó cũng góp phần đổi mới phương pháp dạy học mà ngành đang quan tâm và chỉ đạo. Mặt khác, với cách trình bày như trên (nếu thành công), tôi thiết nghĩ , chúng ta có thể áp dụng cho một số phần khác như: Giải phương trình quy về bậc hai, Hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó… Tôi tin chắc rằng những kinh nghiệm của tôi cũng chỉ là một trong những biện pháp nhỏ bé trong vô vàn kinh nghiệm được đúc kết qua sách vở, cũng như của quý thầy giáo, cô giáo đi trước và các bạn đồng nghiệp. Vì vậy, bản thân tôi rất mong được sự góp ý, xây dựng của quý thầy giáo, cô giáo, cùng các bạn đồng nghiệp, nhằm giúp tôi từng bước hoàn thiện phương pháp giảng dạy của mình. Từ đó, bản thân tôi có điều kiện cống hiến nhiều hơn nữa trí lực của mình cho sự nghiệp giáo dục mà Bác Hồ kính yêu của chúng ta hằng mong ước và toàn Đảng, toàn dân ta hằng quan tâm. Tôi xin chân thành cảm ơn. Long Giang, ngày ….tháng 04 năm 2010 Người thực hiện đề tài Nguyễn Thị Đào Nguyên TÀI LIỆU THAM KHẢO TS Phạm Vĩnh Phúc, Th.S Đào Duy Thụ - Tài liệu tập huấn đổi mới phương pháp dạy học môn toán - Nhà xuất bản Giáo dục TS Lê Văn Hồng – Một số vấn đề đổi mới phương pháp môn toán – Nhà xuất bản Giáo dục Th.S toán học – KS tin học Lê Hồng Đức, nhà giáo ưu tú Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí – Rèn kĩ năng giải toán THCS toán 9 Phạm Gia Đức - Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên chu kỳ III – Nhà xuất bản Giáo dục Nguyễn Ngọc Đạm – Toán phát triển đại số 9 – Nhà xuất bản Giáo dục Phan đức Chính, Tôn Thân, Nguyễn Huy Đoan, Phạm Gia Đức, Trương Công Thành, Nguyễn Duy Thuận – SGK, SGV toán 9 – Nhà xuất bản Giáo dục MỤC LỤC Trang Bản tóm tắt đề tài. 1 A. PHẦN MỞ ĐẦU 2 1. Lý do chọn đề tài. 2 2. Đối tượng nghiên cứu 3 3. Phạm vi nghiên cứu 3 4. Phương pháp nghiên cứu 3 B. NỘI DUNG 4 1. Cơ sở lý luận 4 2. Cơ sở thực tiễn 4 3. Nội dung vấn đề 4 3.1. Đường lối chung để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. 5 3.2. Phân tích bài toán 5 3.3. Một số ví dụ minh họa về các dạng toán và bài tập hình thành kĩ năng. 13 3.4. Biện pháp thực hiện 24 C. KẾT LUẬN 27 NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC 1. Cấp trường (Đơn vị): - Nhận xét: Xếp loại: Ngày …… tháng …… năm 2010 TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC 2. Nhận xét đánh giá của HĐKH phòng GD & ĐT: - Nhận xét: - Xếp loại: Ngày …… tháng …… năm 2010 TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC 3. Nhận xét đánh giá của HĐKH SỞ GD&ĐT: - Nhận xét: - Xếp loại: Ngày …… tháng …… năm 2010 TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC