Sơ đồ chia sẻ bí mật dựa trên không gian vectơ Brickell

LỜI GIỚI THIỆU 1. Bỏ phiếu điện tử - thực trạng Trong suốt nhiều thế kỷ gần đây trong lịch sử thế giới, các cuộc bầu cử đã giữ một vai trò quan trọng trong việc xác lập các thể chế chính trị của các quốc gia từ lớn đến nhỏ. Trong thế giới hiện đại, việc bỏ phiếu bầu quốc hội (ở Anh, Mỹ là Hạ Nghị Viện, ở Nga là Duma quốc gia ) là một trong số những sự kiện quan trọng nhất của đất nước. từ những năm 1990, khi internet bùng nổ, một câu hỏi đã được quan tâm là: liệu một ngày nào đó, có thể thực hiện việc bỏ phiếu qua internet? Nhiều nước ở châu Âu đã chuẩn bị nghiên cứu với nhiều dự án cùng nhiều chiến lược khác nhau, dưới nhiều góc độ: Kỹ thuật, Luật, Chính sách, Xã hội. Ngoài ra, bỏ phiếu điện tử cũng được nghiên cứu ở các nước khác như Mỹ, Braxin, Mêhicô, Nga, Ấn Độ. Người ta đã bỏ ra rất nhiều công sức vào việc cải tiến các phương thức bầu cử, khiến cho các cuộc bầu cử ngày càng trở lên tốt hơn. Các phương thức này được thay đổi theo từng thời kỳ, theo sự tiến bộ của xã hội. Trong xu thế thực hiện “chính phủ điện tử” thì việc số hóa cuộc bầu cử để thay thế cho phương thức truyền thống là điều sẽ phải diễn ra trong tương lai gần. Trong các ứng dụng an toàn thông tin, thì bỏ phiếu điện tử (E-Voting) là ứng dụng đòi hỏi tính bảo mật cao nhất. Vì chính sự thành công hay thất bại của nó có ảnh hưởng nhiều nhất đến bộ mặt chính trị, xã hội của tổ chức, quốc gia đó. 2. Bỏ phiếu điện tử và sơ đồ chia sẻ bí mật Sơ đồ chia sẻ bí mật không phải là một lĩnh vực mới mẻ của an toàn bảo mật thông tin, nhưng hứa hẹn sẽ mang đến nhứng ứng dụng rộng khắp, quan trọng nhất là ứng dụng bỏ phiếu điện tử. Sơ đồ chia sẻ bí mật chính là phương thức dùng đề chia một bí mật ra làm nhiều phần riêng biệt sau đó phân phối tới những người tham gia. Trong đó chỉ những người được chỉ định trước mới có khả năng khôi phục bí mật bằng cách gộp những phần thông tin của họ, những người không được chỉ định sẽ không thu được bất kỳ thông tin gì về bí mật. CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. Cơ sở toán học 1.1.1.Ước số - Bội số 1.1.2.Số nguyên tố 1.1.3.Phép chia hết và không chia hết 1.1.4.Phi Euler 1.1.5.Đồng dư 1.1.6.Số nghịch đảo 1.1.7.Thặng dư bậc hai 1.1.8.Nhóm 1.1.9.Nhóm nhân 1.1.10.Nhóm Cylic 1.1.11.Không gian vectơ 1.1.1.12.Trường hữu hạn 1.1.1.13.Các thuật toán trong trường hữu hạn 1.1.1.14.Độ phức tạp của thuật toán 1.2. Các hệ mật mã Sơ đồ khối một hệ truyền tin mật Nguồn tin Bộ mã hóa Kênh mở (không an toàn) Bộ giải mã Nhận tin Thám mã Kênh an toàn Nguồn khóa Bản rõ Bản mã Bản mã KD KE B A Bản rõ Định nghĩa : Một hệ mật mã là một bộ năm (P, C, K, E, D) trong đó : P là tập hữu hạn các bản rõ (có thể có) C là tập hữu hạn các bản mã (có thể có) K là tập hữu hạn các khóa Với mỗi k K, có một hàm lập mã ek E: ek: P → C và một hàm giải mã dk D: dk: C → P sao cho dk(ek(x)) = x với mọi x P 1.2.1.Mã cổ điển B A Bản tin mật mã Kênh công cộng Kênh an toàn Bản tin gốc Bộ mã hoá Bộ giải mã Hinh 1.1 Sơ đồ truyền tin trong hệ mật khoá đối xứng Hệ mã cổ điển (hệ mã đối xứng) là hệ mật mã mà khóa mã hóa có thể dễ dàng tìm được từ khóa giải mã và ngược lại. Trong nhiều trường hợp, khóa mã hóa và khóa giải mã là giống nhau. Hệ mật mã cổ điển yêu cầu người gửi và người nhận phải thỏa thuận một mã trước khi tin tức được gửi đi, khóa này phải được cất giữ bí mật. Độ an toàn của hệ này phụ thuộc vào khóa. Nếu để lộ khóa, thì bất kỳ người nào cũng có thể mã hóa và giải mã thông điệp đó. Ưu điểm: Thủ tục mã hóa và giải mã đơn giản, dễ cài đặt. Tốc độ tính toán nhanh Nhược điểm: Độ an toàn không cao Yêu cầu một kênh truyền riêng để trao đổi khóa Ứng dụng: Do ưu điểm về tốc độ lập mã cũng như giải mã, Các hệ mã cổ điển thường được dùng để mã hóa những dữ liệu có khối lượng thông tin lớn nhưng không quá quan trọng về mặt đảm bảo bí mật. 1.2.1.1. Mã dịch chuyển Định nghĩa : Mã dịch chuyển: (P, C, K, E, D) P = C = K = Z26 với k Î K, định nghĩa ek(x) = (x + k) mod 26 dk(y) = (y – k) mod 26 (x, y Î Z26) 1.2.1.2. Mã thay thế Định nghĩa Mã thay thế: (P, C, K, E, D) P = C = Z26, K = S (Z26) Với mỗi π є K, tức là một hoán vị trên Z26, ta xác định eπ(x) = π (x) dπ(y) = π -1(y) với x, y є Z26, π -1 là nghịch đảo của π 1.2.1.3. Mã Affine Định nghĩa Mã Affine: (P, C, K, E, D) P = C = Z26, K = { (a, b) є Z26 x Z26 : (a, 26) = 1 } với mỗi k = (a, b) є K ta định nghĩa: ek(x) = ax + b mod 26 dk(y) = a-1(y – b) mod 26 , trong đó x, y Z26 1.2.1.4. Mã Vingenere Định nghĩa Mã Vingenere: (P, C, K, E, D) Cho m là số nguyên dương. P = C = K = (Z 26 )m với mỗi khoá k = (k1, k2,…,km) Î K có: ek(x1, x2,…, xm) = (x1 + k1, x2 + k2,…, xm + km) dk(y1, y2,…, ym) = (y1 – k1, y2 – k2,…, ym – km) các phép cộng phép trừ đều lấy theo modulo 26 1.2.1.5. Mã Hill Định nghĩa Mã Hill: (P, C, K, E, D) Cho m là số nguyên dương. P = C = (Z 26 )m K = { k Î (Z 26 )mxm mxm : = 1 } với mỗi k Î K định nghĩa: ek(x1, x2,…, xm) = (x1, x2,…, xm).k dk(y1, y2,…, ym) = (y1, y2,…,ym).k-1 1.2.1.6. Mã hoán vị Định nghĩa Mã hoán vị: (P, C, K, E, D) Cho m là số nguyên dương. P = C = Z26 , K = Sm = = với mỗi k = π Î Sm , ta có Trong đó π-1 là hoán vị nghịch đảo của π 1.2.2. Mã hóa khóa công khai (1) Public key (2) Bản mã Kênh công cộng Bản tin gốc A Bản tin gốc Bộ lâp mã (public key) Bộ giải mã (public key) Hinh 1.2 Sơ đồ truyền tin trong hệ mật mã khoá công khai B Là loại mã hóa trong đó quá trình lập mã và giải mã dùng hai khóa khác nhau(một bí mật và một công khai). A muốn gửi một bản tin cho B, A sẽ dùng khóa công khai cua B để lập mã, sau đó gửi bản mã cho B. B với khóa bí mật của mình có thể dẽ dàng giải mã bản tin mã hóa để thu được bản tin gốc. Ưu điểm: -Độ an toàn của các hệ mã này là rất cao -Bản mã và khóa công khai có thể truyền trên kênh truyền chung Nhược Điểm: -Tốc độ mã hóa và giải mã chậm Ứng dụng Sử dụng chủ yếu trên các mạng công khai như Internet, khi mà việc trao chuyển khóa bí mật tương đối khó khăn. Ứng dụng để mã hóa những dữ liệu không quá lớn và yêu cầu bí mật cao. 1.2.2.1. Mã RSA Hệ mật này sử dụng tính toán trong Zn, trong đó n là tích của 2 số nguyên tố phân biệt p và q. Ta thấy rằng f(n) = (p – 1).(q – 1). Định nghĩa Cho n = p.q trong đó p và q là các số nguyên tố. Đặt P = C = Zn và định nghĩa: K = {(n, p, q, a, b): n = p.q, p, q là các số nguyên tố, a.b º 1 mod f(n)} Với K = (n, p, q, a, b) ta xác định: eK (x) = xb mod n và dK (y) = ya mod n (x, y Î Zn) Các giá trị n và b được công khai và các giá trị p, q, a được giữ kín 1.2.2.2. Mã Elgamal Hệ mật mã ElGamal được T.ElGamal đề xuất năm 1985, dựa vào độ phức tạp của bài toán tính lôgarit rời rạc, và sau đó đã nhanh chóng được sử dụng rộng rãi không những trong vấn đề bảo mật truyền tin mà còn trong các vấn đề xác nhận và chữ ký điện tử. Bài toán logarithm rời rạc trong Zp là đối tượng trong nhiều công trình nghiên cứu và được xem là bài toán khó nếu p được chọn cẩn thận. Cụ thể là không có một thuật toán thời gian đa thức nào cho bài toán logarithm rời rạc. Để gây khó khăn cho các phương pháp tấn công đã biết, p phải có ít nhất 150 chữ số và (p – 1) phải có ít nhất một thừa số nguyên tố lớn. Hệ mật Elgamal là một hệ mật không tất định vì bản mã phụ thuộc vào cả bản rõ x lẫn giá trị ngẫu nhiên k do G chọn. Bởi vậy sẽ có nhiều bản mã được mã từ cùng một bản rõ. Bài toán logarithm rời rạc trong Zp: Đặc trưng của bài toán: I = (p, a, b) trong đó p là số nguyên tố, a Î là phần tử nguyên thuỷ (hay phần tử sinh), b Î Mục tiêu: Hãy tìm một số nguyên duy nhất a, 0 £ a £ p – 2 sao cho: aa º b (mod p) Ta sẽ xác định số nguyên a bằng log a b. Định nghĩa mã hoá công khai Elgamal trong : Cho p là số nguyên tố sao cho bài toán logarithm rời rạc trong là khó giải. Cho a Î là phần tử nguyên thuỷ. Giả sử P = , C = x . Ta định nghĩa: K = {(p, a, a, b): b º aa (mod p)} Các giá trị p, a, b được công khai, còn a giữ kín. Với K =(p, a, a, b) và một số ngẫu nhiên bí mật k Î , ta xác định: eK(x, k) = (y1, y2). Trong đó: y1 = ak mod p y2 = x. bk mod p với y1, y2 Î ta xác định: dK(y1, y2) = y2(y1a) – 1 mod p CHƯƠNG 2 CHỮ KÝ ĐIỆN TỬ 2.1. Chữ ký điện tử là gì ? Về căn bản, khái niệm chữ ký điện tử (electronic signature) cũng giống như chữ viết tay. Bạn dùng nó để xác nhận lời hứa hay cam kết của mình và sau đó không thể rút lại được. Chữ ký điện tử không đòi hỏi phải sử dụng giấy mực, nó gắn đặc điểm nhận dạng của người ký vào một bản cam kết nào đó,nó là đoạn dữ liệu ngắn đính kèm với văn bản gốc để chứng thực tác giả của văn bản và giúp người nhận kiểm tra tính toàn vẹn của nội dung văn bản gốc.Chữ ký điện tử được tạo ra bằng cách áp dụng thuật toán băm một chiều trên văn bản gốc để tạo ra bản phân tích văn bản (message digest) hay còn gọi là fingerprint, sau đó mã hóa bằng private key tạo ra chữ ký số đính kèm với văn bản gốc để gửi đi. khi nhận, văn bản được tách làm 2 phần, phần văn bản gốc được tính lại fingerprint để so sánh với fingerprint cũ cũng được phục hồi từ việc giải mã chữ ký số. So sánh chữ ký thông thường và chữ ký diện tử Chữ ký thông thường Chữ ký điện tử Vấn đề ký một tài liệu Chữ ký chỉ là một phần vật lý của tài liệu Vấn đề ký một tài liệu Chữ ký điện tử không gắn kiểu vật lý vào bức thông điệp nên thuật toán được dùng phải “không nhìn thấy” theo một cách nào đó trên bức thông điệp Vấn đề về kiểm tra Chữ ký được kiểm tra bằng cách so sánh nó với chữ ký xác thực khác. Tuy nhiên, đây không phải là một phương pháp an toàn vì nó dễ bị giả mạo. Vấn đề về kiểm tra Chữ ký điện tử có thể kiểm tra nhờ dùng một thuật toán “kiểm tra công khai”. Như vậy, bất kì ai cũng có thể kiểm tra được chữ ký điện tử. Việc dùng chữ ký điện tử an toàn có thể chặn được giả mạo. Bản copy thông điệp được ký bằng chữ ký thông thường lại có thể khác với bản gốc. Bản copy thông điệp được ký bằng chữ ký điện tử thì đồng nhất với bản gốc, điều này có nghĩa là cần phải ngăn chặn một bức thông điệp ký số không bị dùng lại. 2.2.Định nghĩa về sơ đồ ký điện tử Một sơ đồ chữ ký S là một bộ năm S = (P , A , K , S , V) trong đó: P là một tập hữu hạn các thông báo có thể có, A là một tập hữu hạn các chữ ký có thể có, K là một tập hữu hạn các khoá, mỗi khoá K Î K gồm có hai phần K=(K’,K''), K' là khoá bí mật dành cho việc ký, còn K'' là khoá công khai dành cho việc kiểm thử chữ ký. Với mỗi K =(K’,K''), trong S có một thuật toán ký sigk’ : P → A, và trong V có một thuật toán kiểm thử verk” : PxA → {đúng,sai} thoả mãn điều kiện sau đây đối với mọi thông báo x Î P và mọi chữ ký y Î A : verk” (x, y) = đúng ↔ y = sigk’ (x ) Với sơ đồ trên, mỗi chủ thể sở hữu một bộ khoá K =(K’,K''), công bố công khai khoá K'' để mọi người có thể kiểm thử chữ ký của mình, và giữ bí mật khoá K’ để thực hiện chữ ký trên các thông báo mà mình muốn gửi đi. Các hàm verk” và sigk’ (khi biết K’) phải tính được một cách dễ dàng (trong thời gian đa thức), tuy nhiên hàm y = sigk’ (x ) là khó tính được nếu không biết K’ - điều đó bảo đảm bí mật cho việc ký, cũng tức là bảo đảm chống giả mạo chữ ký. 2.3. Sơ đồ chữ ký RSA Sơ đồ chữ ký RSA được cho bởi bộ năm S = (P , A , K , S , V) trong đó P = A =Zn , với n =p.q là tích của hai số nguyên tố lớn p,q, K là tập các cặp khoá K =(K’,K''), với K’ = a và K'' = (n,b), a và b là hai số thuộc Z* n thoả mãn a.b ≡ 1(modf (n)). Các hàm sigk’ và verk” được xác định như sau: sigk’ (x) = x a modn , verk” (x,y ) = đúng ↔ x ≡ y b (modn). Dễ chứng minh được rằng sơ đồ được định nghĩa như vậy là hợp thức, tức là với mọi x Î P và mọi chữ ký y Î A: verk” (x,y ) = đúng ↔ y = sigk’ (x) Chú ý rằng tuy hai vấn đề xác nhận và bảo mật theo sơ đồ RSA là có bề ngoài giống nhau, nhưng nội dung của chúng là hoàn toàn khác nhau: Khi A gửi thông báo x cho B, để B có căn cứ xác nhận đó đúng thực là thông báo do A gửi, A phi gửi kèm theo chữ ký sigk’ (x), tức là A gửi cho B (x, sigk’ (x)), trong các thông tin gửi đi đó, thông báo x hoàn toàn không được giữ bí mật. Cũng tương tự như vậy, nếu dùng sơ đồ mật mã RSA, khi một chủ thể A nhận được một bản mật mã ek’(x) từ B thì A chỉ biết rằng thông báo x được bảo mật, chứ không có gì để xác nhận x là của B. Nếu ta muốn hệ truyền tin của ta vừa có tính bảo mật vừa có tính xác nhận, thì ta phải sử dụng đồng thời cả hai hệ mật mã và xác nhận (bằng chữ ký). Giả sử trên mạng truyền tin công cộng, ta có cả hai hệ mật mã khoá công khai S1 và hệ xác nhận bằng chữ ký S2. Gi sử B có bộ khoá mật mã K = (K', K'') với K' = (n, e) và K'' = d trong hệ S1, và A có bộ khoá chữ ký Ks = (K’s , K''s) với K’s = a và K''s = (n,b) trong hệ S2. A có thể gửi đến B một thông báo vừa bảo mật vừa có chữ ký để xác nhận như sau: A ký trên thông báo x trước, rồi thay cho việc gửi đến B văn bản cùng chữ ký (x,sigk’s(x)) thì A sẽ gửi cho B bản mật mã của văn bản đó được lập theo khoá công khai của B, tức là gửi cho B ek’((x, sigk’s (x)). Nhận được văn bản mật mã đó B sẽ dùng thuật toán giải mã dk’’ của mình để thu được (x, sigk’s (x)), sau đó dùng thuật toán kiểm thử chữ ký công khai verk”s của A để xác nhận chữ ký sigk’s(x) đúng là của A trên x. 2.4.Sơ đồ chữ ký Elgamal Sơ đồ chữ ký ElGamal được đề xuất năm 1985, gần như đồng thời với sơ đồ hệ mật mã ElGamal, cũng dựa trên độ khó của bài toán lôgarit rời rạc. Sơ đồ được thiết kế đặc biệt cho mục đích ký trên các văn bản điện tử, được mô tả như một hệ: S = (P , A , K , S , V) trong đó P = Z*p , A = Z*p x Zp-1, với p là một số nguyên tố sao cho bài toán tính lôgarit rời rạc trong Z*p là rất khó. Tập hợp K gồm các cặp khoá K=(K’,K''), với K’=a là một số thuộc Z*p , K'' =(p, α , β), α là một phần tử nguyên thuỷ của Z*p , và β=αamodp. K’ là khoá bí mật dùng để ký, và K'' là khoá công khai dùng để kiểm thử chữ ký. Các thuật toán ký và kiểm thử chữ ký được xác định như sau: Với mỗi thông báo x, để tạo chữ ký trên x ta chọn thêm môt số ngẫu nhiên k Î Z*p-1 , rồi tính : sig k’ (x,k ) = (γ , δ) với γ = α k modp, δ = (x – a.γ). k-1 mod(p -1). Thuật toán kiểm thử được định nghĩa bởi: verk” (x,(γ , δ)) = đúng ↔ β γ . γ δ ≡ α x (modp). Dễ thấy rằng sơ đồ chữ ký được định nghĩa như trên là hợp thức. Thực vậy, nếu sigk’(x,k ) = (γ , δ) thì ta có : β γ . γ δ ≡ α aγ. α kδ modp ≡ α x modp, vì k.δ +a.γ ≡ x mod(p -1). Do đó, verk” (x,(γ , δ)) = đúng. CHƯƠNG 3 SƠ ĐỒ CHIA SẺ BÍ MẬT 3.0. Định nghĩa : Sơ đồ chia sẻ bí mật là một phương thức để chia sẻ một bí mật ra nhiều phần sau đó phân phối cho một tập hợp những người tham gia sao cho các tập con nào đó trong số những người này được chỉ định có khả năng khôi phục lại bí mật bằng cách kết hợp dữ liệu của họ. Một sơ đồ chia sẻ bí mật là hoàn hảo nếu bất kỳ một tập hợp những người tham gia mà không được chỉ định sẽ tuyệt đối không thu được thông tin gì về bí mật. 3.1 Các thành phần của sơ đồ chia sẻ bí mật : Người phân phối bí mật (Dealer): Là người trực tiếp chia bí mật ra thành nhiều phần Những người tham gia nhận dữ liệu từ Dealer (Participant) ký hiệu P Nhóm có khả năng khôi phục bí mật (Acess structure): Là tập con của P trong đó có các tập con có khả năng khôi phục bí mật. 3.2 Một số sơ đồ chia sẻ bí mật: 3.2.1 Sơ đồ chia sẻ bí mật sơ khai: Một sơ đồ chia sẻ bí mật đảm bảo tính bảo mật là sơ đồ trong đó bất kỳ người nào có ít hơn t phần dữ liệu (là số lượng đủ để khôi phục bí mật) không có nhiều thông tin hơn một người không có dữ liệu. Xem xét sơ đồ chia sẻ bí mật sơ khai trong đó cụm từ bí mật “password” được chia thành các phần “pa…”,”ss…”,”wo…”và ”rd…”. Một người không có một trong các phần bí mật đó chỉ biết mật khẩu có 8 chữ cái. Anh ta sẽ phải đoán mật khẩu đó từ 226=8 tỷ khả năng có thể xảy ra. Một người có một phần trong số 6 phần của mật khẩu đó sẽ phải đoán 6 chữ cái tương đương với 226 khả năng. Hệ thống này không phải là một sơ đồ chia sẻ bí mật bảo mật bởi vì một người tham gia có ít hơn t phần dữ liệu thu được một phần đáng kể thông tin về bí mật.Trong một sơ đồ bảo mật, mặc dù một người tham gia chỉ thiếu một phần dữ liệu cũng có thể sẽ đối mặt với 268 = 208 tỷ khả năng. 3.2.2 Sơ đồ chia sẻ bí mật tầm thường Có một vài sơ đồ chia sẻ bí mật trong đó yêu cầu tất cả những người tham gia phải cùng nhau khôi phục lại bí mật : Mã hóa bí mật thành một số nguyên S. Đưa cho mỗi người tham gia i một số ngẫu nhiên ri (trừ một người). Đưa cho người cuối cùng một số (S- r1 - r2 -…- rn-1). Bí mật chính là tổng của các số của tất cả những người tham gia vào sơ đồ. Mã hóa bí mật bằng 1 byte S. Đưa cho mỗi người tham gia i một byte bi (trừ một người), đưa cho người cuối cùng byte (S XOR b1XOR b2 …XOR bn-1) 3.2.3 Sơ đồ chia sẻ bí mật có ngưỡng giới hạn (Threshold secret sharing schemes) Mục tiêu của sơ đồ dạng này là chia một ít dữ liệu D ra thành nhiều phần D1,D2,…,Dn sao cho : Nếu biết k hoặc nhiều hơn các phần Di có thể dễ dàng suy ngược lại D Nếu biết k-1 hoặc ít hơn các phần Di không thể suy ngược lại D Sơ đồ này được gọi là sơ đồ ngưỡng giới hạn (k,n). Nếu k = n thì tất cả mọi thành viên phải cùng nhau mới có thể suy ngược lại bí mật. Dưới đây là 2 sơ đồ bí mật dạng (k,n). 3.2.3.1 Sơ đồ chia sẻ bí mật Blakley Hai đường thẳng không song song nằm trong cùng một mặt phẳng cắt nhau tại một điểm duy nhất. Ba mặt phẳng không song song trong không gian cắt nhau tại một điểm duy nhất.Tổng quát hơn, bất kỳ n mặt siêu phẳng nào cũng cắt nhau tại một điểm cụ thể. Bí mật có thể được mã hóa là một đơn tọa độ của giao điểm đó. Nếu bí mật được mã hóa bằng cách sử dụng tất cả các tọa độ, mặc dù chúng là ngẫu nhiên, khi đó một người tham gia (ai đó sở hữu một hoặc nhiều các siêu mặt n chiều) thu được thông tin về bí mật do anh ta biết nó nhất định phải nằm trên mặt mà anh ta sở hữu. Nếu một người trong cuộc mà thu được nhiều thông tin hơn một người ngoài cuộc về bí mật, khi đó hệ thống này không còn bảo mật nữa. Nếu chỉ có một trong số các tọa độ được sử dụng, khi đó một người trong cuộc không biết về bí mật hơn một người ngoài cuộc (thí dụ:Bí mật phải nằm trên trục x trong hệ trục tọa đồ Decac). Mỗi người tham gia được đưa đủ thông tin để định nghĩa một siêu mặt; bí mật được khôi phục bằng cách tính toán điểm giao nhau của các mặt và lấy một tọa độ cố định của giao điểm đó. Sơ đồ của Blakley trong hệ tọa độ không gian 3 chiều: Thông tin của mỗi người tham gia là một mặt phẳng và bí mật chính là giao điểm của 3 mặt phẳng đó. Thông tin của 2 người không đủ để chỉ ra được bí mật mặc dù chúng đã thu hẹp được phạm vi của bí mật là 1 điểm nằm trên giao tuyến của 2 mặt phẳng đã biết. Sơ đồ của Blakley có hiệu quả không gian ít hơn sơ đồ của Shamir dưới đây; trong khi với sơ đồ của Shamir, mỗi một phần chia chỉ lớn bằng bí mật ban đầu. Các phần chia của Blakley lớn hơn t lần, với t là số người tham gia vừa đủ thu được bí mật. Sơ đồ của Blakley có thể được thu gọn bằng cách giới hạn mặt nào có thể sử dụng làm phần chia. Kết quả thu được sẽ là một sơ đồ tương đương với sơ đồ của Shamir. 3.2.3.2 Sơ đồ chia sẻ bí mật Shamir Ý tưởng về sơ đồ ngưỡng giới hạn của Shamir dựa trên tính chất: Hai điểm có thể định nghĩa một đường thẳng, 3 điểm định nghĩa được 1 parabol, 4 điểm định nghĩa được một hình lập phương, cứ như thế một cách tổng quát cần n+1 điểm để định nghĩa một đa thức bậc n. Giả sử chúng ta muốn sử dụng sơ đồ ngưỡng (k,n) để chia sẻ bí mật S với k < n. Sự lựa chọn giá trị của k và n quyết định sức mạnh của hệ thống. Chọn ngẫu nhiên (k-1) hệ số a1,…, ak-1 và đặt a0 = S. Xây dựng đa thức f(x)=a0 + a1x + a2x2 +…+ak-1xk-1 Chúng ta sẽ vẽ n điểm bất kỳ ví dụ tập i = 1,2,..,n tính được (i, f(i)). Mỗi người sẽ nhận được một cặp tọa độ thỏa mãn điều kiện là đầu vào và đầu ra của đa thức trên. Đưa bất kỳ một tập k các cặp tọa độ trên, chúng ta có thể dễ dàng các hệ số của đa thức bằng phép nội suy và tính được a0 là bí mật. Ví dụ: Bước 1: Chia sẻ bí mật Giả sử bí mật của chúng ta là một mã số ATM :1234 (S = 1234) Chúng ta muốn chia bí mật thành 6 phần (n=6), với bất kỳ 3 phần trong đó (k=3) có đủ khả năng suy ngược lại bí mật. Một cách ngẫu nhiên chúng ta thu được 2 số 166,94 (a1=166;a2=94) Đa thức của chúng ta do đó sẽ là f(x)=1234 + 166x + 94x2 Chúng ta lấy 6 điểm thỏa mãn là nghiệm của đa thức đó (1,1494);(2,1942);(3,2578);(4,3402);(5,4414);(6,5614) Chúng ta đưa cho mỗi người tham gia trong sơ đồ một điểm khác nhau (cả x và f(x)) Bước 2: Khôi phục bí mật Chúng ta hãy coi (x0,y0)=(2,1942); (x1,y1)=(4,3402); (x2,y2)=(5,4414) Chúng ta sẽ tính toán hệ số Lagrange Do đó : Bí mật của chúng ta chính là hệ số tự do của đa thức. Nghĩa là S=1234 3.3.Sơ đồ chia sẻ bí mật dựa trên không gian vector Brickell 3.3.1.Sơ đồ chia sẻ bí mật cơ bản Điều bí mật là 1 phần tử trong trong trường giới hạn GF(q). Người phân phối chọn một vectơ a = (a0,…, at) với t bất kỳ, mà aj ÎGF(q) và a0 là bí mật. Đánh dấu những người tham gia bằng Pi với 1 ≤ i ≤ n. Với mỗi Pi, người phân phối sẽ lấy 1 vectơ đơn vị vi trên GF(q). Tất cả các vectơ vi , 1 ≤ i ≤ n sẽ được công khai. Phần chia mà nguời phân phối đưa cho Pi sẽ là si = vi .a Ký hiệu ei là vectơ đơn vị t chiều thứ i (ví du e1=(1,0,…,0)) Định lý 1: Đặt γ = (Pi1,…,Pik) là tập những người tham gia (1)Những người tham gia trong γ có thể chỉ ra được bí mật nếu tập ‹ vi1,…,vik › chứa e1 (2)Những người tham gia trong γ không nhận được một ít thông tin nào về bí mật nếu tập ‹ vi1,…,vik › không chứa e1 Chứng minh: Đặt M là ma trận với các hàng vi1,…,vik. Đặt s = (si1,…,sik). Để chứng minh (1), đặt w là vectơ sao cho wM = e1. Khi đó wMa = a0 . Do đó w.s = a0. Để chứng minh (2), đặt w0 ,…, wt là cột của vectơ M. Nếu w0 khi đó tồn tại d sao cho d.wi = 0 với 1≤ i ≤ t và d.w0 = 1. Do đó dM = e1 nhưng điều này trái với giả thiết e (vi1,…, vik). Do đó w0 Î (w1,…, wt). Vì vậy tồn tại b sao cho Mb = 0 và b0 ≠ 0. Thông tin duy nhất mà những người tham gia trong γ biết về a0 là Ma = s . Nhưng s = Ma = M(a + αb) với tất cả α Î GF(q). Bởi vậy cho trước bất kỳ c0 Î GF(q), tồn tại c = (c0,…,ct) với ci Î GF(q), 1 ≤ i ≤ t sao cho Mc = s. Do đó những người tham gia trong γ không thể loại bỏ bất kỳ phần tử nào trong GF(q) có khả năng là a0 3.3.2.Sơ đồ chia sẻ bí mật đa cấp Trong phần này chúng ta sẽ đưa ra một chứng mính có sẵn là bất kỳ cấu trúc truy cập đa mức (multilevel access structure) nào cũng có thể tìm được trong một sơ đồ chia sẻ bí mật hoàn hảo. Sau đó chúng ta sẽ đưa ra 1 cấu trúc khác yêu cầu khối lượng tính toán ít hơn cho công việc của người phân phối. Sơ đồ đa cấp cơ bản: Đặt Γ là một cấu trúc truy cập đa mức với các mức l1< l2 <…< lR. Đặt Nr là số người tham gia ở mức lr. Đánh dấu những người tham gia bằng Pi với 1 ≤ i ≤ n và đặt Li là cấp của Pi. Chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ chia sẻ bí mật cơ bản. Vì thế chúng ta chỉ cần chỉ ra Dealer sẽ chọn các vectơ vi như thế nào. Với mỗi Pi, Dealer sẽ lấy một xi Î GF(q). Đặt vi là vectơ lR hướng (1, xi, xi2,…, x, 0,…, 0). Chú ý rằng nếu l1 = 1 và Pi là một người tham gia có Li = 1, khi đó vi = e1. Định nghĩa một hàm đa thức fj(x)= . Phần chia si mà Dealer đưa cho Pi sẽ thỏa mãn si = fL(xi). Để hoàn chứng minh tồn tại 1 sơ đồ chia sẻ bí mật cho bất kỳ cấu trúc truy cập đa cấp nào, chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng với bất kỳ cấu trúc truy cập đa cấp nào cũng có 1 phương thức cho Dealer chon xi sao cho chứa e1 nếu {Pi1,…, Pik } Î Γ. Trong phần còn lại của đoạn này chúng ta sẽ đưa ra 3 phương thức khác nhau để Dealer chon xi. Định lý 1: Đặt Γ là một cấu trúc đa truy cập với các mức l1 < l2 <…< lR. Đặt Lr là số những người tham gia có cùng cấp lr. Gọi n là tổng số người tham gia. Nếu q >. Khi đó có một sơ đồ chia sẻ bí mật hoàn hảo với Γ trên GF(q). Chứng minh: Chúng ta sẽ sử dụng cấu trúc sơ đồ đa cấp cơ bản. Chúng ta chỉ cần chỉ ra Dealer sẽ chọn xi như thế nào. Đặt v0 = e1 (mặc dù không có người tham gia P0). Giả sử Dealer đã chọn xi với tất cả i sao cho 0 ≤ i ≤ h. Đặt Ω là tập các khoảng con được nối với nhau bởi vài tập con có kích thước Lh-1 của vectơ vi { vi | 0 ≤ i ≤ h }. | Ω | < (lR-1) Dealer khi đó sẽ chọn xh sao cho vector LR thành phần Vh = (1, xh, xh2,…, xhL, 0,…, 0) không nằm trong bất kỳ khoảng con nào trong Ω. Để thấy điều đó là có thể thực hiện được, đặt H Î Ω, w = (w0, w1,…, wLh-, 0,…, 0) là một vectơ pháp tuyến của H. Khi đó =0 có nhiều nhất Lh-1 nghiệm trên GF(q) Giả sử rằng k người tham gia Pi1,…,Pik của mức cao nhất k cố gắng tìm lại bí mật và giả sử không có tập con nào của tập này chứa l người tham gia của mức cao nhất l với bất kỳ l < k. Các vector vi1,…,vik là độc lập và được chứa trong một khoảng kích thước k tạo bởi bởi e1,….,ek. Do vậy e1Î (vi1,…,vik) và do đó theo định lý 1, những người tham gia có thể chỉ ra được điều bí mật. Bây giờ giả sử rằng 1 tập γ Γ của những người tham gia thử tìm lại bí mật Đặt γ = {Pi1,…,Pik}. Do các vectơ e1,vi1,…,vik là độc lập. Theo Định lý 1, những người tham gia này không thu được bất kỳ thông tin nào về a0. Sơ đồ của Blakley cũng có thể chỉnh sửa để bổ sung một cấu trúc truy cập đa mức. Dealer lại một lần nữa chọn g là trục tọa độ thứ nhất và một dãy các mặt phẳng Fi sao cho: F1 F2 ... FR , F1 g là không rỗng và G không là tập con của FR. Điều bí mật là P = F1g. Một người ở mức r sẽ được cho trước một điểm trên Fr-1. Các điểm phải được chọn sao cho bất kỳ r người tham gia nào của mức cao nhất r có thể chỉ ra điểm P và mặt phẳng F, được tạo ra bởi một nhóm của những người tham gia trong đó với bất kỳ r không có một tập con nào của r người tham gia mà tất cả có mức cao nhất r, F G phải là rỗng. Công thức này cũng được Simmons tìm ra [6]. Một vấn đề đáng quan tâm khác là khối lượng tính toán cần thiết để cho Dealer xây dựng lên hệ thống.Với hệ thống ban đầu của Blakley thì Dealer phải làm phép kiểm tra để chắc chắn rằng các điểm là nằm trong vùng chung, phương pháp rõ ràng để làm việc này yêu cầu lần nhưng nếu các điểm đã được chọn cẩn thận thì không phép kiểm tra nào là cần thiết. Cũng vậy không phép kiểm tra nào là cần thiết cho sơ đồ của Shamir. Thật không may là thuộc tính này lại không nằm trong cấu trúc với sơ đồ đa mức trên. Cách thông thường để thực thi sơ đồ trình bày trong Định lý 1 sẽ yêu cầu rất nhiều phép kiểm tra để chắc chắn rằng các điểm nằm trong vị trí chung. Tuy nhiên chúng ta cũng đã tìm ra một cách xây dựng không yêu cầu kiểm tra. Mô hình đầu tiên mà chúng ta đề cập đến chỉ khả thi nếu không có quá nhiều mức trong đó. Chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ đa mức cơ bản và vì thế chúng ta sẽ dễ dàng miêu tả cách mà Dealer chon xi. Để minh họa, giả sử rằng chúng ta muốn cho phép mức 2 hoặc 3. Chọn q = p2. Đặt α là một đại số bậc 2 (algebraic of degree 2) trên GF(p) (Ví dụ α thỏa mãn một đa thức bậc 2 tối giản trên GF(p) ). Dealer lấy 1 phần tử yi trong GF(p) với mỗi người tham gia Pi sao cho nếu i ≠ j và Li = Lj , khi đó yi ≠ yj Với một người tham gia ở mức 3, Dealer sẽ đặt xi = yi. Với một người tham gia ở mức 2, anh ta sử dụng xi = αyi. Hệ thống này sẽ có các thuộc tính mong muốn. Để thấy rằng 3 người tham gia Pi, Pi, Pi với Li = 2, Li= Li = 3 có thể chỉ ra bí mật. Coi như ma trận M tạo thành bởi vi1, vi2, vi3. Định thức của ma trận này là một đa thức với α có bậc cao nhất là l. Có thể chỉ ra rằng giới hạn trong đa thức này là khác 0. Do α là một số đại số bậc 2, giá trị của đa thức đó phải khác 0. Trong công thức chung hơn, với các mức l1<….< lR , Dealer lấy α1,…, αR-1 mà αR thỏa mãn một đa thức không thể rút gọn bậc trên Dealer sau đó đặt xi = αLiyi. Chứng minh hệ thống này có các thuộc tính mong muốn, là một mở rộng cho lý luận bên trên. Chúng ta sẽ không đưa nó vào đây bởi vì định lý dưới đây xây dựng các sơ đồ đa mức hiệu quả hơn. Định lý 2: Đặt Γ là cấu trúc truy cập đa mức với các mức 1= l0 Nr + 1 với 1 ≤ r ≤ R.Đặt β = RLR2. Khi đó có một sơ đồ chia sẻ bí mật hoàn hảo cho Γ trên GF( qβ) có thể xây dựng được trong thời gian đa thức (N1,…, NR, q). Chứng minh: Một lần nữa, chúng ta chỉ cần chỉ ra Dealer sẽ lấy xi như thế nào để sử dụng trong sơ đồ đa mức cơ bản. Nếu không có người tham gia nào ở mức 1 thì thêm 1 người tham gia P0 với L0 =1. Dealer chọn một yi cho mỗi Pi sao cho yi ≠ yj nếu Li = Lj và i ≠ j. Định nghĩa ρ(i) là một số nguyên j sao cho Li = lj. Dealer cũng lấy α thỏa mãn bậc không rút gọn được RlR2 trên GF(p). Đặt xi = yi αR-ρ(i) . Đặt γ = {Pi1,…, Pik} là một tập của k người tham gia, mỗi người trong đó có mức cao nhất là k và giả sử là không có tập con nào của γ mà chứa nhiều hơn l người tham gia có mức cao nhất là l với mọi l < k. Gọi nj là số người tham gia đó có cấp cao nhất lj. Đặt M’(γ) là ma trận trong đó có các hàng là các vectơ vi1,…, vik Đặt M(γ) là ma trận bao gồm mỗi k cột đầu tiên của M’(γ). M(γ) về cơ bản là giống ma trận M’(γ) khi các cột bị rời đi có giá tri là 0. Để chỉ ra M = M(γ) không phải là số ít, chúng ta sẽ chỉ ra rằng đinh thức của M có thể được viết dưới dạng đa thức theo α với bậc nhỏ hơn Rl2R. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng đa thức này không bằng 0 bằng cách chỉ ra rằng giới hạn số của nó là khác không. Xem như định thức của m là một đa thức theo α. Đặt M = (mi,j). Nhớ lại là định thức là tổng các phép nhân sơ cấp của M mà mỗi phép nhân sơ cấp là phép nhân của các số hạng m1,c1 ,…,mk,ck với dấu thích hợp mà c1,…,ck là một phép hoán vị của 1,…, k. Mọi phép nhân khác 0 cơ bản sẽ thỏa mãn ci ≤ Li với 1≤ i ≤ k Số mũ lớn nhất của α trong hàng i của M là (R-ρ(i))(Li-1). Do đó số mũ lớn nhất của α trong phép nhân sơ cấp Đặt T-1 =0 và đặt Tj =ni với 0 ≤ j ≤ R. Số mũ của α trong kết quả của một phép nhân khác 0 sẽ là . Phép tính tổng này thu được kết quả nhỏ nhất khi {CTr-1+1,…, CTr} = {Tr-1+1,…, Tr} với 0 ≤ r ≤ R Đặt Dr là ma trận con nr x nr của M được tạo bởi các hàng và các cột Tr-1+1,…, Tr Đặt z là số mũ nhỏ nhất của α trong định thức của M. Khi đó số hạng θα2 với θGF(q) trong định thức cuả M thỏa mãn θα2 =|Dr| Khi đó mỗi Dr là một phép nhân của ma trận Van der Monde, |Dr| ≠0. Do vậy hệ số của αz là khác không. Như vậy, bởi vì M(γ) không phải là số ít, những người tham gia trong γ có thể chỉ ra a0. Giả sử bây giờ γ là 1 tập của k-1 người tham gia mỗi người có mức tối đa là k và không có tập con γ’ chứa nhiều hơn l người tham gia của mức tối đa l với bất kỳ l<k. Đặt γ’=γ U {P0}. Bây giờ γ’ là tập hợp của k người tham gia với mức tối đa là k và không có tập con cua γ’ mà chứa nhiều hơn l người tham gia có mức tối đa là l với mọi l<k. Ma trận M(γ’) sẽ vì thế mà không phải là số ít. Do vậy e1 (vi|Pi Î γ) Từ định lý 1, những người tham gia trong γ không nhận được thông tin về giá trị của a0 3.3.4.Sơ đồ riêng phần (compartmented schemes) Trong một sơ đồ Riêng phần, có các tập tách rời của những người tham gia C1,…,Cu. Cấu trúc truy cập bao gồm các tập con của những người tham gia chứa ít nhất ti trong Ci với i=1,…,u và tổng số ít nhất t người tham gia. Đặt n là tổng số những người tham gia. Định lý 3: Đặt Γ là cấu trúc truy cập riêng phần (compartmented access structure). Nếu q>, khi đó có một sơ đồ chia sẻ bí mật với Γ trên GF(q) Chứng minh : chúng ta có thể thừa nhận rằng T = t- ≥ 0. Dealer chọn 1 vectơ a = (a0,…,at-1) với a0 là bí mật. Đặt T0 = T, đặt Ti = T+ với 1≤ i ≤ u. Đánh dấu những người tham gia bằng Pr,i với Pr,i nằm trong phần Cr. Với người tham gia Pi Dealer sẽ lấy 1 vector t thành phần trên GF(q) theo dạng : Với vài vr,i GF(q). Như trong Định lý 1, Dealer sẽ phải cẩn thận để chọn ra xr,i Đặt đánh dấu theo thứ tự từ điển sắp xếp các cặp. Ví dụ : (r,i) (s,j) nếu r < s hoăc (r = s và i<j).Đặt v0,0 = e1. Giả sử rằng Dealer đã chọn xr,i với tất cả (r,i) (s,j). Khi đó Dealer phải chọn xs,j ≠1 do vậy vectơ v = s,j không nằm trong bất kỳ khoảng con nào được span bởi một tập hợp của các vectơ bao gồm ít nhất tr của vr,i với mỗi r < s và ít nhất t*s = min(ts-1,j-1) của vs,i với i < j và tổng của tối đa T + t*s + với (0,0) (r,i) (s,j) Do q > , có thể thấy rằng điều đó là có khả năng bằng cách sử dụng lý luận tương tự với chúng như trong Định lý 1 Một tập của những người tham gia trong Γ có thể chỉ ra bí mật vì vectơ vr,i là độc lập. Ngược lại giả sử một tập γ = Pr,i ,|(r,i) Є I} của những người tham gia không có trong Γ Giả sử có Cs sao cho γ không chứa ít nhất ts những người tham gia trong Cs. Đặt M là ma trận với các hàng vr,i với (r,i) I. Đặt M’ là ma trận bao gồm các cột 1,Ts +1,…,Ts + ts của M. Có mỗi ts hàng phân biệt trong M’, chúng tương ứng với các vectơ vr,i với r = s và (r,i) I, và vectơ (1,1,…,1). Đặt {i1,…, its-1} = {i|(s,i) I}. Đặt M’’ là ma trận bao gồm các hàng e1, vs,i1,….,vs,i. Khi đó |M’’| = |M’’11| với M’’11 là ma trận M’’ với hàng thứ nhất và cột đã bị loại bỏ. Nhưng M’’ lại là một ma trận Van de Monde với hàng ij nhân với xTs,ij với 1≤ j ≤ ts-1. Vì vậy |M’’11| ≠0. Do vậy e1 không nằm trong (vr,i| (r,i) I ). Nếu γ chứa ít nhất tr người tham gia từ Cr với 1 ≤ r ≤ u, nhưng không chứa tổng của ít nhất t người tham gia, khi đó những người tham gia trong γ không nhận được thông tin về a0 vì vậy e1 và vectơ vr,i với (r,i) I là độc lập Cách xây dựng giới thiệu trong Định lý 3 yêu cầu Dealer kiểm tra theo hàm mũ rất nhiều khoảng con. Thật dễ dàng đưa ra một sự thực thi có hiệu quả trong trường hợp mà t= Dealer có thể chọn a0 làm bí mật một cách đơn giản và ngẫu nhiên lấy b1,…,bu sao cho a0 =. Khi đó anh ta sẽ sử dụng một sơ đồ giới hạn với 1 giới han ti và bí mật bi để phân phối các phần đến những người tham gia trong Ci. Tuy nhiên chúng ta đã không tìm ra một cấu trúc tổng quát đầy đủ cho cấu trúc truy cập riêng phần 3.4.Vấn đề chống gian lận trong sơ đồ chia sẻ bí mật 3.4.1.Mô hình PVSS không tương tác Như ta đã biết, mọi sơ đồ chia sẻ bí mật đêu tồn tại ít nhất 2 giao thức. Đó là: (1). Giao thức Phân phối: Bí mật được Dealer phân phối tới tập những người tham gia (2). Giao thức khôi phục dữ liệu: Trong đó bí mật được khôi phục lại bằng cách gộp thông tin của những người tham gia nằm trong một tập hợp được chỉ định trước. Các sơ đồ cơ bản (Blakley và Shamir) giải quyết những vấn đề đó trong trường hợp tất cả những người tham gia trong sơ đồ là trung thực.Trong trường hợp một hoặc nhiều người trong sơ đồ không trung thực thì sơ đồ không còn tác dụng nữa.Để giải quyết vấn đề này chúng ta sử dụng VSS Sơ đồ chia sẻ bí mật có xác minh (VSS),sẽ kiểm tra các gian lận bao gồm: 1) Dealer gửi thông tin sai đến cho 1 hoặc nhiều người trong sơ đồ và 2) Người tham gia cung cấp sai thông tin trong thủ tục khôi phục bí mật Chúng ta sẽ tìm hiểu sơ đồ chia sẻ bí mật có khả năng xác minh được 3.4.1.1.Sơ đồ chia xẻ bí mật xác minh công khai, không giao tiếp (PVSS) Chúng ta chú ý rằng một nét đặc trưng khác của PVSS là không có các kênh truyền riêng và bí mật giữa Dealer và những người tham gia. Tất cả các quá trình truyền tin đều qua các kênh công cộng (đã được ủy thác) sử dụng mã hóa khóa công khai. Do vậy bí mật sẽ chỉ được tính toán ẩn(hiden). Trong một sơ đồ PVSS, một Dealer D muốn phân phối các phần chia của bí mật S ∑ tới n người tham gia P1,…,Pn. Một cấu trúc truy cập monotone (monotone access structure) miêu tả những tập con nào của những người tham gia được chỉ định khôi phục lại bí mật. Ví dụ một cấu trúc truy cập có thể là một sơ đồ (t,n) nghĩa là bất kỳ tập con nào với t hoặc nhiều hơn số người tham gia sẽ có đủ khả năng khôi phục bí mật ; bất kỳ tập con nào ít hơn t người tham gia sẽ không thu được thông tin gì về bí mật (trừ trường hợp năng lực tính toán của máy tính cực lớn) Các thủ tục trong PVSS: Chú ý trong quá trình khởi tạo, không có sự giao tiếp giữa Dealer và người tham gia. Người tham gia có thể rời bỏ hoặc một người khác có thể tham gia vào sơ đồ một cách tự động.Yêu cầu duy nhất là mỗi người tham gia giữ một khóa công khai đã được đăng ký. Quá trình khởi tạo: Mọi tham số của hệ thống được sinh ra như một phần của quá trình khởi tạo. Ngoài ra mỗi người tham gia Pi sẽ đăng ký một khóa công khai được dùng trong thủ tục mã hõa Ei. Toàn bộ tập hợp những người đang tham gia vào PVSS phải là một tập con của những người tham gia đã đăng ký. Không làm mất tính tổng quát, giả sử những người tham gia P1,…,Pi tham gia toàn bộ vào PVSS dưới đây. Giao thức phân phối bí mật : Giao thức này có 2 bước: Phân phối các phần bí mật: Việc phân phối bí mật S ∑ được thực hiện bởi Dealer Dealer sẽ tạo các phần chia riêng si cho mỗi người tham gia Pi với 1≤ i ≤ n. Với mỗi người tham gia Pi, Dealer sẽ công bố phần chia đã được mã hóa Ei(si).Dealer đồng thời cũng công bố một chuỗi PROOFD để chỉ ra rằng mỗi Ei mã hóa một phần chia si Ngoài ra chuỗi PROOFD đưa Dealer đến giá trị của si , và nó cũng đảm bảo thủ tục khôi phục bí mật sẽ trả về kết quả s tương tự. Xác minh các phần chia: Bất kỳ bên nào biết được các khóa công khai của phương thức mã hóa Ei có thể xác minh các phần chia.Với mỗi người tham gia Pi,một thuật toán xác minh không cần giao tiếp có thể được chay trên PROOFD để xác minh rằng Ei(si) là một mã hóa đúng của phần chia của người Pi. Do vậy mỗi người có thể xác minh một phần chia, nó có thể được dùng để loại bỏ tình huống một người tham gia phàn nàn trong khi đã nhận một phần chia đúng.Trong trường hợp một hoặc nhiều sự xác minh có lỗi, chúng ta khi đó sẽ nói rằng Dealer lỗi và thủ tục này bị bỏ dở (Nếu nằm trong mức sai sót có thể chấp nhận được thì có thể tiếp tục chạy sơ đồ đó và coi như nó là sơ đồ (k,n-c) với c là số phần bị lỗi). Giao thức khôi phục lại bí mật: Cũng bao gồm 2 bước Giải mã các phần chia: Những người tham gia giải mã các phần chia của họ từ Ei(si). Không bắt buộc tất cả những người tham gia phải thành công khi làm việc đó, miễn là một tập được chỉ định của những người tham gia thực hiện thành công. Những người tham gia sẽ thu được si cùng với chuỗi PROOFPi chỉ ra rằng phần chia của bí mật là đúng. Kết hợp các phần chia: Chuỗi PROOFPi được sử dụng để lọai trừ những người tham gia không trung thực hoặc bị lỗi khi giải mã phần chia của họ.Việc khôi phục lại bí mật có thể hoàn tất bằng các phần chia của bất kỳ tập nào đã được chỉ định từ trước là có khả năng khôi phục bí mật. Chúng ta đã đưa thêm yêu cầu cho thủ tục khôi phục bí mật. Đó là những người tham gia phải cung cấp bằng chứng về sự chính xác của quá trình giải mã thông tin phần chia của họ. Bằng chứng đó đồng thời không ảnh hưởng lẫn nhau bởi vậy bất kỳ một bên nào cũng có thể lấy ra những phần chia chính xác và gộp chúng lại với nhau. Chúng ta đã giới hạn sự miêu tả cho những sơ đồ PVS không tương tác bằng cách yêu cầu tất cả các PROOF có thể được xác minh một cách không tương tác. Trên thực tế, một cách tự nhiên đã làm giảm số lượng tương tác giữa những người tham gia thậm chí nhiều hơn so với các sơ đồ VSS. Những sơ đồ VSS không tương tác vẫn còn bao gồm một quá trình trong đó những người tham gia đưa ra những phàn nàn nếu họ nhận được một phần chia không chính xác. Rồi thì những điều phàn nàn này phải được giải quyết để quyết định xem sự phân chia thông tin của bí mật có thực hiên một cách thành công hay không. Trong PVSS chúng ta đã thậm chí loại bỏ cả bước giao tiếp này: Do bất kỳ bên nào cũng có thể xác minh đầu ra của Dealer, do đó không cần mỗi người tham gia kiểm tra chính phần chia của họ. 3.4.1.2.Sơ đồ chia sẻ bí mật đồng cấu (Homomorphic secret sharing) Khái niệm chia sẻ bí mật đồng hình là của Benaloh, trong đó sự liên quan của nó tới một vài ứng dụng của chia sẻ bí mật đã được miêu tả, nói riêng trong bỏ phiếu điện tử. Một cách dễ hiểu, chia sẻ bí mật đồng cấu đề cập tới việc kết hợp các phần chia của các bí mật độc lập sao cho quá trình khôi phục từ các phần chia được kết hợp này trả về một bí mật được kết hợp. Trong trường hợp của PVSS, có một toán tử trên các phần chia và một toán tử trên các phần chia đã được mã hóa sao cho với tất cả những người tham gia : Ei( si ) Ei(s’i) =Ei(si s’i) Như vậy bằng cách giải mã phần chia được tổng hợp qua toán tử , bí mật phục hồi được sẽ tương đương với s s’, thừa nhận rằng sơ đồ chia sẻ bí mât cơ bản là đồng hình . Trong phần sau chúng ta sẽ giới thiệu một sơ đồ bầu cử điện tử dựa vào sơ đồ PVSS đồng hình. 3.4.1.3.Sơ đồ PVSS đặc biệt Chúng ta sẽ miêu tả cách xây dựng cấu trúc truy cập ngưỡng giới hạn (t,n), nhưng chúng có thể áp dụng vào bất kỳ cấu trúc truy cập monotone nào của các sơ đồ chia sẻ bí mật đã có. Đặt Gq là một nhóm các số nguyên tố có bậc là q, sao cho việc tính toán logarit rời rạc trong nhóm này là không thể. Đặt g,G là ký hiệu các generator được lựa chon một cách độc lập của Gq , vì vậy không người nào biết log của g đối với G. Chúng ta giải quyết vấn đề chia sẻ một cách hiệu quả. Dealer sẽ làm được việc này bằng cách đầu tiên sẽ lựa chọn s R Zq và sau đó phân phối các phần chia của bí mật S=Gs. Phương pháp này cho phép chúng ta làm cho bằng chứng yêu cầu đơn giản và hiệu quả. Chúng ta sẽ sử dụng giao thức của Chaum và Pedersen như là một giao thức con để chứng minh rằng logg1 h1 = logg2 h2 với các generator g1,h1,g2,h2 Gq. Chúng ta sẽ ký hiệu giao thức này là DLEG(g1,h1,g2,h2), và nó tồn tại các bước sau đây, ở đó người kiểm tra biết α thỏa mãn h1 = g1α và h2 = g2 α : Người kiểm tra gửi a1 =g1w và a2 = g2w đến người xác minh với w R Zq Người xác minh gửi một yêu cầu ngẫu nhiên c R Zq đến người kiểm tra Người kiểm tra đáp ứng lại với r = w-αc(mod q). Người xác minh kiểm tra xem a1 = g1r h1c và a2 = g2rh2c Sự khởi tạo Nhóm Gq và các generator g,G được lựa chọn bằng cách sử dụng một thủ tục công khai thích hợp. Người tham gia Pi sẽ tạo một khóa bí mật xi R Zq* và đăng ký yi = Gxi làm khóa công khai của nó. Giao thức phân phối: Giao thức này có 2 bước: Phân phối các phần chia: Không mất tính tổng quát, giả sử rằng Dealer muốn phân phối bí mật cho những người tham gia P1,..,Pn. Dealer sẽ lấy một đa thức ngẫu nhiên có bậc lớn nhất là t-1 với các hệ số trong Zq: p(x)= Và đặt s=a0. Dealer sẽ giữ bí mật đa thức này nhưng sẽ công bố phần liên quan cj = Gαj với 0 . Dealer đồng thời cũng công bố các phần chia đã được mã hóa Yi =yip(i) ,với 1 , sử dụng khóa công khai của những người tham gia. Cuối cùng, đặt Xi = Dealer chỉ ra rằng các phần chia đã được mã hóa là không thay đổi bằng cách đưa ra chứng minh tính duy nhất của p(i) với 1 , thỏa mãn : Xi = gp(i) và Yi = yip(i ). Chứng minh không giao tiếp là n bước trong các thủ tục của DLEQ(g,Xi,yi,Yi) Ứng dụng phương pháp của Fiats-Shamir, yêu cầu c của giao thức được tính bằng hàm băm của Xi, Yi, a1i, a2i với 1 . Sự kiểm chứng gồm có yêu cầu chung c và n đáp ứng ri. Xác minh các phần chia Người xác minh sẽ tính Xi = Từ các giá trị Cj. Sử dụng yi , Xi ,Yi ,ri với 1 và c như là đầu vào, Người xác minh tính toán a1i, a2i bằng công thức: a1i = gXic , a2i =yirYic Và kiểm tra giá trị hash của Xi ,Yi , a1i ,a2i , với 1 có phù hợp với c Giao thức khôi phục bí mật : Giao thức này có 2 bước Giải mã các phần chia: Bằng cách sử dụng khóa bí mật của họ, mỗi người tham gia sẽ tìm thấy phần chia của mình Si = Gp(i) từ Yi bằng cách tính Si = Yi1/Xi. Họ công bố Si cộng với một bằng chứng giá trị Si là kết quả giải mã đúng từ Yi Đến đây đủ để chứng minh giá trị của α thỏa mãn yi =Gα và Yi =Siα, cái mà được thực hiện bởi phiên bản không tương tác của giao thức DLEQ(G,yi,Si,Yi) Gộp các phần chia: Không làm mất tính tổng quát, giả sử những người tham gia Pi đưa ra những giá trị đúng cho Si với i=1,…,t. Bí mật G thu được bằng hệ thức Lagrange = = G= Gp(0) =GS Trong đó là một hệ số Lagrange. Chú ý rằng những người tham gia không cần và cũng không tìm hiểu giá trị của các số mũ p(i). Chỉ các giá trị liên quan Si =Gp(i) là yêu cầu bắt buộc cho quá trình xây dựng lại bí mật S=Gs. Đồng thời cũng chú ý rằng những người tham gia cũng không phơi bày khóa bí mật si của họ. Bởi vậy người tham gia Pi có thể sử dụng khóa của mình trong nhiều lần sử dụng PVSS. Kiểu mã hóa của các phần chia đã được tối ưu về hiệu suất. Tuy nhiên nếu cần cũng có thể sử dụng sơ đồ mã hóa Elgamal chuẩn để thay thế. Rõ ràng sơ đồ là đồng cấu. Ví dụ cho trước đầu ra của Dealer là các bí mật GS1 và GS2 , bí mật được gộp GS1+S2 có thể thu được bằng cách áp dụng giao thức khôi phục bí mật cho phần chia gộp đã được mã hóa Yi1,Yi2. Chúng ta sẽ sử dụng cấu trúc này trong phần bỏ phiếu điện tử 3.5. Bỏ phiếu điện tử một ứng dụng của sơ đồ chia sẻ bí mật Trong phần này chúng ta sẽ miêu tả một cách ngắn gọn cách để xây dựng một sơ đồ bầu cử trực tuyến bỏ phiếu kín phổ biến, có thể xác minh được. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng bằng cách sử dụng sơ đồ PVSS của chúng ta sẽ thu được một sơ đồ bỏ phiếu bầu cử điện tử đơn giản và hiệu quả. Chúng ta sẽ đi theo kiểu sơ đồ bỏ phiếu có xác minh của Benaloh, trong đó giả sử có một cái gọi là bảng tin mà những người tham gia trong sơ đồ sẽ post thông điệp của họ. Những người tham gia bao gồm những người có thẩm quyền kiểm phiếu A1,…,An, một tập các cử tri V1,…,Vn , một tập những người giám sát. Những tập này cần không tách biệt nhau.Ví dụ trong một cuộc bầu cử có phạm vi nhỏ, một người tham gia có thể đóng cả 2 vai trò người bỏ phiếu và kiểm phiếu. Một cuộc bỏ phiếu sẽ gồm 2 giai đoạn. Trong giai đoạn thử nhất, những người bỏ phiếu sẽ tham gia bỏ phiếu kín trong đó chứa những lá phiếu theo một định chuẩn đã được mã hóa. Do vậy cử tri không cần phải dấu mặt trong sơ đồ này. Một việc không quan trọng là việc tránh bỏ phiếu hai lần. Chỉ có những lá phiếu đúng chuẩn mới được chấp nhận. Trong giai đoạn thứ hai những người kiểm phiếu sẽ sử dụng khóa bí mật của họ để cùng nhau tính toán kết quả cuối cùng cho những lá phiếu hợp lệ. Những thủ tục đó sẽ được trình bày dưới đây. Về mặt kỹ thuật, mỗi cử tri sẽ đóng vai trò là 1 Dealer trong sơ đồ PVSS, trong khi mỗi người kiểm phiếu sẽ đóng vai trò một người tham gia. Quá trình khởi tạo PVSS được chạy, và chúng ta giả sử rằng mỗi người kiểm phiếu đã dăng ký một khóa công khai yi. Giao thức bỏ phiếu Một người cử tri sẽ bỏ phiếu v {0,1} mà không để lộ giá trị của v bằng cách sử dụng thủ tục phân phối cho PVSS, sử dụng một giá trị bí mật ngẫu nhiên s R Zq vaf tinhs toán giá trị U= Gs+v. Ngoài ra cử tri sẽ xây dựng một bằng chứng PROOFU chỉ ra rằng v {0,1} mà không để lộ bất kỳ thông tin về v. PROOFU ám chỉ giá trị C0 =gs được công bố như một phần của thủ tục phân phối trong PVSS và chỉ ra: logG U =logg C0 logG U =1+ logg C0 Phiếu bầu cho cử tri V bao gồm đầu ra trong thủ tục phân phối của PVSS, giá trị U và PROOFU. Do khả năng xác minh công khai của sơ đồ PVSS và PROOFU , phiếu bầu có thể được kiểm tra bởi bảng tin (bulletin board) khi mà cử tri đưa ra lựa chọn của họ. Không có một sự dính dáng nào của người kiểm phiếu trong quá trình này. Giao thức kiểm phiếu Giả sử các cử tri Vj ,j=1,..,m có các lá phiếu hợp lệ. Giao thức kiểm phiếu sử dụng giao thức khôi phục bí mật của sơ đồ PVSS đặc biệt, ngoại trừ đầu tiên chúng ta phải khai thác thuộc tính đồng cấu của nó. Chúng ta đầu tiên phải gom tất cả các phần chia đã mã hóa tương ứng của từng người, đó là chúng ta sẽ tính giá trị Yi* : Yi* = =yi Tiếp theo, mỗi người kiểm phiếu Ai sẽ áp dụng giao thức khôi phục bí mật cho giá tri Yi*, trong đó sẽ đưa ra G=Gdo thuộc tính đồng cấu. Kết hợp với =G, chúng ta thu được G, trong đó tổng số T=, 0 có thể tính toán được một cách hiệu quả. KẾT LUẬN Bỏ phiếu điện tử có nhiều ưu điểm. Các cử tri có thể tham gia bỏ phiếu ở mọi nơi. Ưu điểm của nó là tăng số lượng cử tri tham gia bỏ phiếu. Ngoài ra bỏ phiếu điện tử được thực hiện nhanh, rẻ và tiện lợi. Nhờ đặc điểm này mà các cuộc bầu cử có thể diễn ra thường xuyên hơn cho phép các công dân chuyển nhanh các ý kiến của họ bất cứ lúc nào. Nhưng bỏ phiếu điện tử còn có một hạn chế là đến nay, chưa có một giải pháp hoàn thiện nào được tìm thấy trên lý thuyết cũng như trong thực tế đảm bảo tính an toàn tuyệt đối. Luận văn đi sâu tìm hiểu một sơ đồ chia sẻ bí mật, đó là sơ đồ dựa trên không gian vector Brickell và ứng dụng của sơ đồ chia sẻ bí mật trong mô hình bỏ phiếu điện tử. Kết quả chính Kết quả của đồ án gồm có: Tìm hiểu các vấn đề cơ bản của mật mã học Giới thiệu sơ đồ chia sẻ bí mật Đưa ra một thuật toán cho mô hình bỏ phiếu điện tử Hướng phát triển Với việc ứng dụng các sơ đồ chia sẻ bí mật, bỏ phiếu điện tử không chỉ được thực hiện bằng các máy tính các nhân thông qua mạng internet, mà còn được thực hiện bằng các thiết bị cầm tay có năng lực xử lý cũng như khả năng lưu trữ hữu hạn như the thông minh, điện thoại di động… Từ kết quả của đồ án, hướng phát triển tiếp theo là xây dựng một quy trình bỏ phiếu điện tử trong một pham vi nhỏ cho phép các thành viên trong một tổ chức có thể bỏ phiếu lấy ý kiến từ xa bằng cách sử dụng máy tính các nhân. Sau đó nghiên cứu cách triển khai sơ đồ chia sẻ bí mật này trên điện thoại di dộng giúp việc bỏ phiếu đơn giản và tiện lợi hơn nữa. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]Josh C. Benaloh &Jerry Leichter –Generalized secret sharing and monotone funtions.to appear in Advanced cryptology . [2]G .R .Blakley . Safeguarding cryptographic keys in proceeding AFIPS [3]M.Ito ,A.Saito &T.Nishizeki –Secret sharing scheme reliazing general access structure [4]Adi Shamir –How to share a secret [5] Gustavus J. Simmons -How to (really) share a secret [6] Gustavus J. Simmons –Robust share secret schemes [7] Ernest F. Brickell -Some ideal secret sharing schemes [8] Compartmented secret sharing based on Chinese Remainder Theorem [9] Trịnh Thu Hiền – Hệ mật đường cong Eliptic ứng dụng trong bỏ phiếu điện tử [10] Phan Đình Diệu- Lý thuyết mật mã và an toàn thông tin –– NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2002