Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield

hiệu dao động nội trong bộ tương quan giống như bộ điều chế phát ngoại trừ hai điểm sau: Tần số trung tâm của tín hiệu dao động nội được cố định bằng độ lệch tần số trung tần IF. Mã DS không bị biến đổi bởi đầu vào băng gốc. GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 14 Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung Giá trị độ lợi xử lý của hệ thống tổng hợp được tính bằng tổng độ lợi xử lý của hai loại điều chế trải phổ trên: Gp(FH/DS) = Gp(DS) + Gp(FH) = 10log(số lượng các kênh) + 10log(BWDS/fb) (1.26) 6. Đồng bộ Đồng bộ tín hiệu trải phổ ở đầu thu cần yêu cầu ba loại đồng bộ: Đồng bộ sóng mang và pha (khôi phục sóng mang). Đồng bộ bit (khôi phục định thời bit). Đồng bộ chuỗi giả ngẫu nhiên. Đối với các hệ thống không kết hợp, như hệ thống giải điều chế FSK và DPSK không kết hợp, thì không cần mạch phục hồi sóng mang, quá trình giải điều chế được tiến hành bằng bộ giải điều chế sai phân. Còn hệ thống kết hợp thì phải yêu cầu cả ba loại đồng bộ. Quá trình đồng bộ được tiến hành qua hai giai đoạn: Đồng bộ thô (coarse synchronization). Tinh chỉnh đồng bộ (fine synchronization). 6.1. Đồng bộ cho hệ thống DS 6.1.1.Đồng bộ thô Đồng bộ thô là quá trình tìm kiếm tất cả các pha của tín hiệu đến khi pha của chuỗi tín hiệu nhận được có cùng pha với chuỗi giả ngẫu nhiên tạo ra ở máy thu. Kỹ thuật đồng bộ thô thường sử dụng là tìm nối tiếp từng bước (stepped serial search). Kỹ thuật này có thể thực hiện như sau: r(t) =  Ps g(t)cos(ù0t + è)  BPF fo ± fb  Env. Det. and Int.  SS g(t-iTc) PN Generator VCO  1  2 Áp ngưỡng Hình 1.14: Mạch đồng bộ thô DS GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 15 Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Tín hiệu thu có dạng:  Giới thiệu chung r(t) = Ps g(t)cos(ù0t + è) (1.27) Đầu tiên, công tắc S ở vị trí 1 có điện áp cố định cho phép cổng AND. Bộ dao động hoạt động ở tần số fc cho ra các xung clock điều khiển bộ tạo chuỗi giả ngẫu nhiên. Giả sử rằng bộ tạo chuỗi giả ngẫu nhiên ở máy thu và ở máy phát không đồng bộ nên tín hiệu vào BPF có phổ trải rộng. Tín hiệu này sẽ có mật độ phổ công suất nhỏ. Do đó mức công suất ở ngõ ra của BPF và của mạch tách sóng bao hình là mức thấp . Sau đó tín hiệu ngõ ra bộ tách sóng bao hình cho qua mạch tích phân. Nếu tín hiệu chưa đồng bộ thì ngõ ra của mạch tích phân sẽ không đủ lớn hơn điện áp ngưỡng của mạch so sánh. Khi công tắc S sẽ chuyển sang vị trí 2 thì cổng AND không hoạt động và dừng bộ tạo chuỗi giả ngẫu nhiên. Sau đó công tắc S chuyển sang vị trí 1 quá trình được lặp lại.. Đồng bộ thô được xác lập khi tích g(t)g(t - iTc) = g2(t) = 1, lúc này ngõ ra của mạch tách sóng hình bao và của mạch tích phân có mức cao nên ngõ ra của bộ so sánh cũng ở mức cao. Công tắc S chuyển sang vị trí 1 hay 2 không làm dừng hoạt động của bộ tạo chuỗi giả ngẫu nhiên. 6.1.2.Tinh chỉnh đồng bộ (Tracking or Fine Synchronization) Tín hiệu sau khi được đồng bộ thô sẽ đưa vào mạch tinh chỉnh đồng bộ, sử dụng DLL (Delay Locked Loop) như sau: VD  BPF  VDF  Env. Det. g(t + ô - Tc/2) S(t)  PN Generator  VCO  y(t)  LPF  ∑ + – g(t + ô + Tc/2) VA  BPF  VAF  Env. Det. Hình 1.15: Mạch tinh chỉnh đồng bộ DS Tín hiệu ngõ vào DLL liên quan đến tốc độ chuỗi giả ngẫu nhiên g(t) và chuỗi dữ liệu d(t). Bộ tạo chuỗi giả ngẫu nhiên ở máy thu sẽ tạo ra chuỗi giống như chuỗi thu được nhưng sẽ lệch một khoảng thời gian, tức là g(t + ô) và sau đó sẽ tạo ra hai chuỗi sớm và trễ một lượng Tc/2: g(t + ô - Tc/2) và g(t + ô + Tc/2). GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 16 Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield vD = g(t) g(t + ô - Tc/2)d(t)cos(ù0t + è) vA = g(t) g(t + ô + Tc/2)d(t)cos(ù0t + è)  Giới thiệu chung (1.28) (1.29) Các tín hiệu này cho qua các bộ BPF giống nhau có BW = 2fb và tần số trung tâm f0. Băng thông của BPF nhỏ hơn nhiều so với băng thông của chuỗi giả ngẫu nhiên nên chỉ cho giá trị trung bình của g(t) g(t + ô ± Tc/2) đi qua. Do đó ngõ ra của mạch lọc là: vDF ≈ d(t)cos(ù0t + è) vAF ≈ d(t)cos(ù0t + è) (1.30) (1.31) Ta thấy rằng giá trị trung bình của tích g(t)g(t + ô ± Tc/2) là hàm tự tương quan của nó: Rg(ô ± Tc/2) = g(t) g(t + ô ± Tc / 2) Mạch tách sóng bao hình sẽ loại dữ liệu d(t) nên tín hiệu ngõ ra là: R g (ô − Tc / 2)  (1.32) và R g (ô + Tc / 2) Ngõ vào của VCO là: y(t) = R g (ô − Tc / 2) - R g (ô + Tc / 2)  Rg(ô - Tc)  (1.33) -3Tc/2  -Tc  -Tc/2  Tc/2  Tc  3Tc/2 Rg(ô + Tc) Hình 1.16: VCO Input GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 17 Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung Nếu ô > 0 thì điện áp dương xuất hiện ở ngõ vào VCO làm tăng tần số của VCO và làm giảm ô. Tương tự, nếu ô < 0 thì điện áp âm xuất hiện ở ngõ vào VCO làm giảm tần số của VCO và làm tăng ô. 6.2. Đồng bộ cho hệ thống FH 6.2.1.Đồng bộ thô Như ta đã biết, hệ thống thông tin không kết hợp như FSK sẽ yêu cầu đồng bộ bit để cho phép phục hồi tín hiệu ở đầu thu. Hệ thống kết hợp yêu cầu thêm đồng bộ pha và sóng mang để cho phép giải điều chế tín hiệu. Trong hệ thống trải phổ, đồng bộ pha sử dụng để tạo lại dạng sóng chia (chipping waveform) giống với tín hiệu phát. Quá trình đồng bộ thô FH tương tự như kỹ thuật tìm nối tiếp trong hệ thống DS ngoại trừ bộ tạo chuỗi giả ngẫu nhiên điều khiển tần số nhảy. Sơ đồ khối của mạch đồng bộ thô FH như sau: Máy phát  Toång hôïp taàn soá  Acos(ùit + è)  BPF cos(ùit +ù0t +ö)  Env. Det. PN Generator  Toång hôïp taàn soá  Áp ngưỡng Clock fh  VCO  PN Generator  SS Điều khiển Clock fh đóng / ngắt Hình 1.17: Mạch đồng bộ thô FH Mạch bao gồm bộ trộn, bộ BPF có tần số trung tâm là f0 với băng thông gấp hai lần tốc độ nhảy (BW = 2fH), bộ tách sóng bao hình, bộ so sánh và VCO. VCO bao gồm xung clock, bộ tạo chuỗi giả ngẫu nhiên, bộ tổng hợp tần số. Xung clock được điều khiển bởi ngõ ra bộ so sánh và được truyền tới bộ tạo PN. Bộ tạo chuỗi PN và tổng hợp tần số của máy phát và máy thu giống nhau. Bộ tổng hợp tần số chỉ có một bộ dao động mà tần số của nó được điều khiển bởi chuỗi giả ngẫu nhiên. Do GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 18 Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung đó, khi chuỗi giả ngẫu nhiên thay đổi trạng thái (mỗi trạng thái tồn tại trong khoảng thời gian TH = 1/fH) thì bộ tổng hợp tần số sẽ nhảy từ f1 tới f2, …, fN và quay trở lại f1. Mạch đồng bộ thô dùng để điều chỉnh sao cho bộ tạo chuỗi PN ở máy thu đồng bộ với máy phát. Giả sử tần số ban đầu tại bộ tổng hợp tần số ở máy thu là f0 + fj trong khi đó tần số thu được là fi với fi ≠ fj. Tại ngõ ra của bộ trộn tần sẽ có tần số f0 + (fj - fi) và không đi qua được BPF. Do đó ngõ ra của mạch tách sóng hình bao là 0 và được so sánh với điện áp ngưỡng nên ngõ ra mạch so sánh là 0 không cho phép bộ dao động hoạt động. Ta thấy nếu tần số tín hiệu nhận được khác fi thì bộ tạo chuỗi PN sẽ không hoạt động và bộ tổng hợp tần số ở đầu thu giữ nguyên tần số. Khi tần số thu là fj thì sẽ có tín hiệu đi qua mạch BPF và ngõ ra bộ tách sóng sẽ lớn hơn điện áp ngưỡng nên ngõ ra của bộ so sánh là 1 bộ dao động hoạt động và bộ tạo chuỗi PN ở máy thu sẽ có trạng thái sớm hơn so với ở máy phát. Dạng sóng của các ngõ ra có dạng như sau: Tần số tín  fi  fj  fk  fl hiệu vào Ngõ ra bộ tổng hợp tần số Điện áp ngưỡng Ngõ ra mạch tách sóng Ngõ ra mạch SS fj + f0 fk + f0 fl + f0  TH = 1/fH Ngõ ra mạch điều khiển Hình 1.18: Dạng sóng của mạch đồng bộ thô FH Ta thấy rằng cần một thời gian đáp ứng cho bộ tách sóng nên thời gian bộ tạo chuỗi PN ở máy thu thay đổi trạng thái chậm hơn thời gian thay đổi trạng thái của máy phát. Ngoài ra, do sự đáp ứng chậm này, ngõ ra của bộ tách sóng giữ nguyên ở trên mức điện áp ngưỡng và vẫn điều khiển bộ dao động hoạt động trong suốt thời gian khi hai chuỗi PN không cùng trạng thái. GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 19 Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung 6.2.2.Tinh chỉnh đồng bộ Để hiệu quả trong tinh chỉnh, chúng ta cần phải thay thế VCO của mạch đồng bộ thô bằng một VCO mà tần số của nó có thể hiệu chỉnh trên hoặc dưới tần số nhảy. Tần số của VCO được điều khiển bởi điện áp. Điện áp này được đo bởi sự khác biệt pha giữa hai chuỗi giả ngẫu nhiên, dùng để tăng hay giảm tần số VCO để giảm sự khác biệt pha. Thông thường sử dụng PLL (Phase Locked Loop). Sơ đồ khối của hệ thống cho như sau: Transmission Acos(ùit + di(t)Ωt + è)  BPF f0  Env. Det. Vd Gate Vg  LPF cos(ù0t + ùjt +Ö)  Vc Frequency synthesizer  PN Generator  Vv  VCO Hình 1.19: Mạch tinh chỉnh đồng bộ FH (hay mạch tinh chỉnh cổng sớm trễ) Mạch BPF có băng thông đủ lớn để cho dữ liệu đi qua (BW = 2∆f). bộ điều khiển đóng/mở của mạch đồng bộ thô được thay thế bởi VCO hoạt động ở tần số fH. Tuy nhiên, có thể biến đổi trên hay dưới tần số fH nhờ tín hiệu điều khiển ở ngõ ra của mạch LPF làm cho xung clock ở bộ tạo chuỗi PN sẽ biến đổi giữa hai mức điện áp +1 và -1. Bộ tách sóng hình bao, không giống như trong mạch đồng bộ thô, có đáp ứng nhanh. Để đơn giản, ta giả sử rằng ngõ ra của mạch tách sóng hình bao đáp ứng ngay lập tức và không có thời gian trễ. Cổng giữa mạch tách sóng hình bao và mạch LPF gọi là cổng phát (transmission gate). Khi có tín hiệu ra của bộ tách sóng hình bao thì xung clock của VCO sẽ được truyền qua cổng và ngược lại. Nói chung, ta có thể thấy rằng đặc tính hoạt động của cổng như một quá trình nhân nếu xung clock của VCO biến đổi ở hai mức điện áp 1V và ngõ ra của mạch tách sóng là 0 khi không có tín hiệu ra và 1 khi có tín hiệu. Giả sử rằng đồng bộ thô đã được thiết lập, bộ tạo chuỗi PN giữa máy phát và máy thu sẽ trễ một lượng là ô. Trong suốt khoảng trễ này, hai chuỗi không cùng trạng thái nên ngõ ra mạch tách sóng sẽ có giá trị 0 và ngược lại. Do đó, dạng sóng vg = vívd sẽ có ba mức và được đưa vào mạch LPF nên ngõ ra là vc (giá trị trung bình của vg) điều khiển VCO. Nếu ngõ ra VCO đối xứng và ô = 0 thì vc = 0. Tuy nhiên, trong thực tế thì ô ≠ 0 nên vc sẽ ở một trong hai mức để tăng hay giảm tần số VCO. Phương pháp đồng bộ này gọi là cổng sớm-trễ (early-late gate). Khi |ô| < TH GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 20 Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung thì hệ thống được đồng bộ, ngược lại, hệ thống mất đồng bộ và phải thực hiện lại toàn bộ quá trình. Các dạng sóng mô tả hoạt động của mạch như sau: Tần số tín hiệu vào Toång hôïp taàn soá Ngoõ ra boä taùch soùng vd  +1 0  fi ± ∆f f0 + fi  fj ± ∆f f0 + fj  t  t +1 Ngõ ra của VCO vv Áp ra của cổng vg 0 -1 +1 0 -1  ô t t Hình 1.20: Sóng của cổng sớm trễ 7. Chuỗi giả ngẫu nhiên Thông thường, số lượng chip trên bit N và dạng sóng chip giống nhau cho tất cả các user trong hệ thống CDMA. Để phân biệt được hai dạng sóng nhận dạng thì hai chuỗi nhị phân của chúng phải khác nhau, chuỗi nhị phân này được gọi là chuỗi giả ngẫu nhiên (pseudonoise). Chuỗi giả ngẫu nhiên phải có tính chất sau: Tính cân bằng: tần suất xuất hiện của số bit 0 và bit 1 trong chuỗi là ½ (nghĩa là số lần xuất hiện của bit 0 và bit 1 chênh lệch tối đa là 1). Tính Run: mỗi đường chạy (run length) của một chuỗi nhị phân được định nghĩa là một chuỗi con chỉ chứa giá trị 0 hay 1. Nếu xuất hiện GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 21 Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung một số nhị phân khác thì sẽ bắt đầu đường chạy mới. Một chuỗi giả ngẫu nhiên phải có tính Run nghĩa là tổng số các đường chạy có chiều dài 1 bằng ½ tổng số các đường chạy, tổng số các đường chạy có chiều dài 2 bằng ¼ tổng số các đường chạy, tổng số các đường chạy có chiều dài 3 bằng 18 tổng số các đường chạy, … (số các đường chạy n 000100110101111 có 4 Run 0 (0,0,00,000) và 4 Run 1 (1,1,11,1111) (tổng cộng 8 Run, trong đó có 4 Run có chiều dài 1, 2 Run có chiều dài 2, 1 Run có chiều dài 3 và 1 Run có chiều dài 4) thoả mãn tính Run. Tính tương quan: nếu so sánh một chuỗi giả ngẫu nhiên với chính nó dịch đi một số bit bất kỳ nào đó thì độ chênh lệch giữa số bit giống nhau và khác nhau tối đa là 1 (hàm tự tương quan bằng -1). Để xây dựng chuỗi giả ngẫu nhiên có các tính chất trên, ta dựa vào lý thuyết trường Galois. 7.1. Lý thuyết trường Galois 7.1.1.Nhóm, vành và trường 7.1.1.1.  Nhóm (Group) Định nghĩa 1: Một nhóm là một tập hợp G cùng với một phép toán đại số kết hợp có phép toán ngược. Trong lý thuyết nhóm, thông thường phép toán này được gọi là phép nhân và quy ước dùng ký hiệu tương ứng. Các tính chất của nhóm: Tính duy nhất: Trong mọi nhóm G tồn tại duy nhất phần tử e thỏa mãn a.e = e.a = a (a ∈ G). Phần tử e được gọi là phần tử đơn vị của nhóm. Tính đảo: Trong mọi nhóm G, mỗi phần tử a có phần tử nghịch đảo duy nhất sao cho aa-1 = a-1a = e. Tính đóng: nếu a ∈ G và b ∈ G thì ab ∈ G. Tính kết hợp: Nếu a, b, c ∈ G thì (ab)c = a(bc). Số phần tử G của nhóm gọi là bậc của nhóm. Một nhóm được gọi là giao hoán (commutative) hay aben nếu phép toán trong nhóm là giao hoán. Như vậy, một nhóm giao hoán sẽ có thêm tính chất sau: Tính giao hoán: Nếu a ∈ G và b ∈ G thì ab = ba. Định nghĩa 2: Tập hợp các phần tử trong một nhóm G tạo thành một nhóm G' thì G' gọi là nhóm con (subgroup) của G. Nếu G' ⊂ G thì G' gọi là nhóm con thích hợp (proper subgroup) của G. GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 22có chiều dài n bằng 1 2 tống số các đường chạy). Ví dụ như chuỗi Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung Định nghĩa 3: Nếu tồn tại một số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho ak = e trong đó a ∈ G và e là phần tử đơn vị của nhóm giao hoán thì k gọi là số mũ (exponent) của a. Tập hợp các phần tử định nghĩa như sau: Ga = {ai: 1 ≤ i ≤ k} (1.34) là một nhóm con của G và được gọi là nhóm tuần hoàn (cyclic group) tạo ra bởi G. Nếu tồn tại một phần tử a sao cho Ga = G thì G có tính tuần hoàn và a gọi là phần tử nguyên thuỷ (primitive element) của G. Số mũ của a là bậc của Ga. Một nhóm tuần hoàn G bậc k sẽ có tính đẳng cấu với tập hợp X = 0,1,…,k-1 dưới phép cộng modul k (tức là tồn tại một song ánh (bijective mapping) hay ánh xạ 1-1 trên (one-to-one onto) từ G vào X). 7.1.1.2.  Vành (ring) và trường (field) Xét một tập hợp K với hai phép toán. Ta gọi một trong hai phép toán là phép cộng và phép toán kia là phép nhân. Giả thiết hai phép toán liên hệ với nhau bởi luật phân phối tức là với 3 phần tử a,b,c bất kỳ ∈ K thì ta có: (a + b)c = ac + bc a(b + c) = ab + ac (1.35) Định nghĩa 4: Một tập hợp K được gọi là một vành nếu trên đó đã xác định hai phép toán, cộng và nhân, sao cho cả hai đều có tính kết hợp, liên hệ với nhau bởi luật phân phối, phép cộng có tính giao hoán và có phép toán ngược. Một vành được gọi là giao hoán nếu phép nhân là giao hoán và không giao hoán trong trường hợp ngược lại. Chú ý rằng mỗi vành là một nhóm aben đối với phép cộng. Do đó, tồn tại phần tử 0 sao cho a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ K. Phần tử này cũng đóng vai trò đặc biệt trong phép nhân: tích của một phần tử với phần tử 0 là phần tử 0, nghĩa là a0=0a=0. Định nghĩa 5: Một vành giao hoán P chứa đơn vị và mỗi phần tử khác 0 đều có nghịch đảo gọi là một trường. Một trường bất kỳ có các tính chất sau: Ứng với mỗi cặp phần tử a,b ta có phần tử a + b được gọi là tổng của a và b. Phép cộng là phép giao hoán: a + b = b + a. Phép cộng là kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c. Tồn tại duy nhất phần tử 0 sao cho: a + 0 = 0 + a = a. Với mỗi phần tử a tồn tại duy nhất phần tử đối -a sao cho: a + (-a) = 0. Ứng với mỗi cặp phần tử a,b ta có phần tử ab gọi là tích của a và b. Phép nhân là giao hoán: ab = ba. Phép nhân là kết hợp: a(bc) = (ab)c. Tồn tại duy nhất phần tử đơn vị 1 sao cho: a1 = 1a = a. GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 23 Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung Với mọi phần tử a≠0, tồn tại duy nhất phần tử nghịch đảo a-1 để aa-1=a-1a=1. Phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng: (a + b)c = ac + bc. Trong vành các số nguyên, ta có thể định nghĩa phép chia như là nghịch đảo của phép nhân. Lúc đó, ta định nghĩa ước số chung lớn nhất gcd (greatest common divisor) của m và n là số nguyên k sao cho k\n và k\m: k = gcd(m,n) (ký hiệu \ chỉ n chia hết cho k hay k chia hết n, tức là tồn tại số nguyên q sao cho n = kq). Nếu k = 1 thì m và n gọi là hai số nguyên tố cùng nhau (relatively prime). Thuật toán Euclide dùng để xác định gcd(m,n) như sau: Nếu m = qn + r và nếu tồn tại một số k sao cho nó là ước số chung của hai trong ba đại lượng m, n, r thì nó cũng là ước số của đại lượng còn lại. Do đó, ta có: gcd(m,n) = gcd(n,r) Giải thuật sau có thể sử dụng để tìm ước số chung lớn nhất của hai số m và n với m > n (giải thuật Euclide): Đặt m1 = m, n1 = n. Tính r = m1 mod n1. If r ≠ 0 then m 1 = n1   và trở về bước 2. else gcd(m,n) = n1. Kết thúc. Đặc số của trường: Nếu K là một trường, đặc số của K là cấp chung của các phần tử khác 0K của K, nói riêng là cấp của phần tử đơn vị 1K trong nhóm cộng của trường K, tức là số nguyên dương s bé nhất sao cho s1K = 0K. Trường K gọi là có đặc số 0 nếu không tồn tại số nguyên s > 0 sao cho s1K = 0K. Người ta đã chứng minh rằng: trường K có đặc số 0 hoặc có đặc số nguyên tố p. Thí dụ như trường Q các số hữu tỷ, trường R các số thực hay trường C các số phức có đặc số 0 còn mỗi trường Zp các số nguyên mod p (p là số nguyên tố) có đặc số p. Định nghĩa 6: Mở rộng của một trường K là một trường E chứa K như là một trường con. Giả sử K là một trường cho trước, tập hợp tất cả các trường con của K là một tập hợp khác rỗng (K cũng là trường con của K). Nếu P là giao của tất cả các trường con của K thì P là một trường con của K không chứa bất kỳ trường con nào của K khác P và mọi trường con của K đều chứa P. Khi đó, trường con P gọi là trường con nguyên tố của trường K. Nếu K = P thì K gọi là trường nguyên tố. Ta có tính chất: mọi trường là một mở rộng của trường con nguyên tố của nó. Cho K là một trường có trường con nguyên tố là P. Nếu K có đặc số 0 thì P đẳng cấu với trường Q các số hữu tỷ còn nếu K có đặc số nguyên tố p thì P đẳng cấu với trường Zp các số nguyên mod p. GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 24n1 = r Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung 7.1.2.Vành các đa thức Xét một trường P tuỳ ý. Một đa thức f(z) bậc n trên trường P được viết như sau: f(z) = a0 + a1z + … + anzn = n i=0  i  i  (1.36) trong đó ai ∈ P ∀i và an ≠ 0. Xét hai đa thức f(z) và g(z) có bậc tương ứng là n và s (giả sử n ≥ s) với các hệ số tương ứng là ai và bi thì: f(z) + g(z) = n i=0  i  i  (1.37) trong đó ci = ai + bi nếu i ≤ s và ci = ai nếu i > s (bậc của đa thức tổng có thể bằng hay nhỏ hơn n). f(z)g(z) = n+s i=0  (1.38) trong đó di = ∑ a j b k j+ k =i (bậc của đa thức tích là n + s). Tập hợp các đa thức với hai phép toán nêu trên lập thành một vành giao hoán. Định lý 1: Với mọi đa thức f(z) và mọi đa thức khác không g(z) có thể tìm được các đa thức duy nhất q(z) và r(z) sao cho: f(z) = g(z)q(z) + r(z) (1.39) trong đó bậc của r(z) nhỏ hơn bậc của g(z) hay r(z) = 0. Nếu như r(z) = 0 thì ta nói đa thức f(z) chia hết cho đa thức g(z). Từ đó, ta định nghĩa ước số chung lớn nhất của hai đa thức f(z) và g(z) trên trường P là một đa thức có bậc cao nhất chia hết f(z) và g(z). Ta cũng có thể áp dụng giải thuật Euclide để tìm ước số chung lớn nhất của hai đa thức. Xét phép chia của một đa thức tuỳ ý khác 0 cho đa thức z - a. Ta có: f(z) = (z - a)q(z) + r(z) (1.40) Vì bậc của r(z) nhỏ hơn bậc của z - a nên r(z) là đa thức bậc 0. Từ đó suy ra: f(z) = (z - a)q(z) + f(a) (1.41) Định lý 2 (định lý Bézout): Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức g(x) = x-a là một hằng số bằng f(a). Nếu f(a) = 0 thì a gọi là nghiệm của đa thức f(z). Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x - a. GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 25∑ a z ∑ c z ∑ d i z i Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung Nếu f(a) = 0 thì ta có thể xác định f(z) chia hết cho (z - a)2 hay không bằng cách xác định xem q(z) có chia hết cho z - a hay không và quá trình tiếp tục cho đến khi xác định được số mũ của z - a. Định nghĩa 7: Một đa thức f(z) có bậc n gọi là đa thức monic nếu hệ số an=1. Ta có một số tính chất của vành các đa thức như sau: Một đa thức trên một trường có thể viết dưới dạng một đa thức monic nhân với một hệ số là phần tử của trường. Tích của hai đa thức monic là một đa thức monic. Nếu f(z) và g(z) là hai đa thức có gcd bằng 1 thì g(z)\h(z) nếu g(z)\f(z)h(z). Một đa thức monic có thể phân tích thành tích các đa thức monic tối giản (irreducible monic polynomial). Nếu một đa thức có thể viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức (mỗi đa thức có bậc lớn hơn 0) thì đa thức đó gọi là đa thức không tối giản. Ngược lại, ta nói đa thức đó tối giản. Gcd của một đa thức tối giản f(z) và một đa thức bất kỳ phải là 1 hay là f(z). 7.1.3.Cấu trúc trường Galois Vì mọi trường hữu hạn F đều có đặc số nguyên tố p và trường con nguyên tố P của nó đẳng cấu với trường Zp các số nguyên mod p nên ta có thể giả sử rằng F chứa trường Zp. Khi đó, F là một mở rộng hữu hạn của trường Zp và khi xem như không gian vector trên Zp thì F có một cơ sở gồm một số hữu hạn phần tử u1,…,un. Mọi phần tử w ∈ F có một dạng biểu diễn duy nhất thành một tổ hợp tuyến tính theo vector cơ sở: w = a1u1 + … + anun (1.42) n Định lý 3: Số phần tử trong một trường hữu hạn bằng một lũy thừa của đặc số nguyên tố p của trường đó. Định lý 4: Hai trường hữu hạn có số phần tử bằng nhau thì đẳng cấu. Định lý 5: Với bất kỳ các số nguyên tố p và số nguyên dương n cho trước luôn tồn tại một trường hữu hạn có q = pn phần tử. Từ định lý 4 và 5, ta suy ra tồn tại trường duy nhất (sai khác đẳng cấu) có pn phần tử. Trường này được gọi là trường Galois và ký hiệu là GF(pn). Định lý 6: Nhóm nhân các phần tử khác 0 của một trường hữu hạn là nhóm tuần hoàn. Định lý 7: Với một trường hữu hạn có đặc số p thì ánh xạ a đẳng cấu của trường đó. GVHD: TS. Phạm Hồng Liên ap là một tự Trang 26 Vì có p cách khác nhau để chọn hệ số ai thuộc Zp nên F có tất cả p phần tử. Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield 7.1.4.Đa thức tối giản và đa thức nguyên thuỷ  Giới thiệu chung 7.1.4.1.  Đa thức tối giản Ta xem xét một số ý tưởng cơ bản sau: Một trường hữu hạn có kích thước cho trước là duy nhất tức là các đa thức tối giản khác nhau có cùng bậc trên trường sẽ tạo ra các trường mở rộng có cùng cấu trúc. GF(qn) ⊂ GF(qm) ⇔ m n Tất cả các nghiệm của các đa thức tối giản nằm trong cùng một trường. n n n  m \ n f (z )∈I m  (1.43) trong đó Im là tập hợp tất cả các đa thức monic tối giản bậc m trên trường GF(q). Gọi f(z) là một đa thức bậc n trên trường GF(q). Định lý 8: (f(z))m = f(zm) Giải thuật xác định f(z) có phải là đa thức tối giản hay không: m = 1. n If g(z) ≠ 1 then f(z) chia hết cho g(z). f(z) không tối giản. Đến bước 6. If m < n/2 then m = m + 1. Trở về bước 2. f(z) tối giản. Kết thúc. Trong bước 2, để xác định g(z) ta sử dụng giải thuật Euclide đã đề cập để tính gcd của hai đa thức, nghĩa là phải tìm đa thức dư của hai đa thức, quá trình này n n GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 27Các phần tử của GF(qn) là các nghiệm của đa thức z p − z . Như vậy, đa thức z p − z có thể được phân tích như sau: z p − z = ∏ ∏ f (z) Tính g(z) = gcd( z p − z ,f(z)). có thể khó khăn do bậc của z p − z rất lớn. Giải thuật xác định r(z) = ( z p − z ) mod f(z): Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung g(z) = z, m = 1. h(z) = (g(z))p mod f(z). If m < n then m = m+1. g(z) = h(z). Trở lại bước 2. r(z) = [h(z) - z mod f(z)] mod f(z). Kết thúc. Ta sử dụng định lý 8 và hai kết quả sau: (a x b) mod n = [ (a mod n) (b mod n) ] mod n (a + b) mod n = [ (a mod n) + (b mod n) ] mod n Số lượng các đa thức tối giản trên trường GF(pn) tính theo công thức sau: Ni = 1 n  n  m    (1.44) Trong đó hàm µ được tính như sau: 1    j i = 1 i laø tích cuûa j soá nguyeân toá phaân bieät i laø öôùc soá cuûa moät soá chính phöông  (1.45) 7.1.4.2.  Đa thức nguyên thuỷ Một đa thức tối giản có phần tử nguyên thuỷ là nghiệm của nó gọi là đa thức nguyên thuỷ của trường. Người ta chứng minh được rằng một đa thức f(z) có bậc m là nguyên thuỷ nếu như số nguyên dương n nhỏ nhất để 1 - zn chia hết cho f(z) là n = 2m - 1. Sau khi xác định f(z) là đa thức tối giản, ta xác định f(z) có phải là một đa thức nguyên thuỷ hay không. Đầu tiên ta phải tìm các thừa số nguyên tố của pn - 1. pn - 1 = ∏ a ei i  i  (1.46) trong đó ai là các số nguyên tố. Số lượng các đa thức nguyên thuỷ có thể tính theo công thức sau: Np = p n − 1 j a i − 1 n i=1 i  (1.47) GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 28∑\m n µ m (p n ) µ (i) = (− 1) 0 ∏ a Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung Trong đó j là số các thừa số nguyên tố của pn - 1. Bảng 2.1: Số lượng các đa thức nguyên thuỷ ứng với một số giá trị n Giải thuật xác định đa thức tối giản f(z) có phải là đa thức nguyên thuỷ hay không: i = 1, j = số thừa số nguyên tố. g(z) = z     i   mod f(z). If (g(z) ≠ 1) and (i < j) then i = i + 1. Trở lại bước 2. If i = j then f(z) là đa thức nguyên thuỷ. Else f(z) không là đa thức nguyên thuỷ. Kết thúc. 7.2. Đặc tính tương quan 7.2.1.Một số khái niệm cơ bản Gọi ℜn là tập hợp tất cả các vector có n chiều tức là phần tử của ℜn gồm các vector có dạng như sau: x = (x0,x1,…,xn-1) trong đó xi ∈ ℜ ∀i ∈ [0,n-1]. Tích của hai vector x và y được định nghĩa là: = n−1 i=0  i  i  (1.48) GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 29n Np n Np n Np n Np 2 3 4 5 6 7 8 1 2 2 6 6 18 16 9 10 11 12 13 14 15 48 60 176 144 630 756 1800 16 17 18 19 20 21 22 2048 7710 8064 27594 24000 84672 120032 23 24 25 26 27 28 29 356960 276480 1296000 1719900 4202496 4741632 18407808  p n −1    a ∑ x y Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung Gọi T là quá trình thực hiện dịch vòng một vector sang trái một thành phần, tức là Tx = (x1,x2,…,xn-1,x0). Nếu ta thực hiện dịch vòng k lần một vector thì kết quả dịch sẽ là Tkx = (xk,xk + 1,…,xn-1,x0,x1,…,xk-2,xk-1). Nếu k = n thì Tnx = x. Trong trường hợp k > n thì ta sẽ có: Tkx = Tk mod nx. Tương tự như vậy, ta định nghĩa quá trình dịch phải như trên và được ký hiệu là T-kx. Ta có thể thấy rằng T-kx = Tn-kx và T-nx = x. Chu kỳ của x định nghĩa là số nguyên dương m nhỏ nhất sao cho Tmx = x. Dễ thấy rằng m < n. Ta định nghĩa chuỗi tuần hoàn tổng quát dài vô hạn xây dựng bởi x bằng cách thay thế vector x liên tục, tức là chuỗi tuần hoàn tổng quát của x có dạng: x-2,x-1,x0,x1,…,xn-1,xn,xn+1,… trong đó xi = xn+i. Từ vector x, ta gọi w là vector ngược của x nếu: wi = xn-1-i tức là w có dạng: w = (xn-1,xn-2,…,x1,x0) 7.2.2.Tự tương quan và tương quan chéo của các chuỗi Trong hệ thống thông tin dùng kỹ thuật trải phổ CDMA, các chuỗi giả ngẫu nhiên sử dụng trong hệ thống đòi hỏi các tính chất sau nhằm đảm bảo tách được tín hiệu đã trải phổ: Một chuỗi PN phải tách biệt với chính nó dịch chuyển đi một số chu kỳ bit. Một chuỗi PN phải tách biệt với các chuỗi khác sử dụng trong hệ thống. Các chuỗi này thường là chuỗi tuần hoàn. Xét hai tín hiệu x(t) và y(t). Đại lượng dùng để đo khả năng phân biệt giữa hai tín hiệu x(t) và y(t) dựa trên hai giá trị bình phương trung bình: ∞ −∞  2  dt = ∞ −∞  2 ∞ −∞  (1.49) Do năng lượng tín hiệu cố định nên khả năng phân biệt giữa x(t) và y(t) phụ thuộc vào giá trị tích phân thứ hai của (1.49). Giá trị của hàm: r= ∞ ∫ x(t)y(t)dt −∞  (1.50) càng nhỏ thì khả năng phân biệt giữa x(t) và y(t) càng lớn. Trong hệ thống CDMA, x(t) và y(t) là những chuỗi dùng cho những user khác nhau. Khi đó, hàm r chính là giá trị nhiễu đa truy nhập (MAI – Multiple Access Interference) giữa hai user. Từ đó, người ta đưa ra khái niệm hàm tương quan chéo nhằm thể hiện sự phân biệt giữa hai tín hiệu: GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 30∫ [y(t) − x(t)] ∫ [x (t) + y 2 (t)]dt − ∫ 2x(t)y(t)dt Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung rxy( ô) =  ∞ ∫ x(t)y(t + ô)dt −∞  (1.51) trong đó x(t) và y(t) có thể biểu diễn dưới dạng: x(t) = y(t) = ∞ n =−∞ ∞ n =−∞  n c n c  (1.52) (1.53) Từ đó, hàm tương quan giữa hai tín hiệu x(t) và y(t) có thể viết lại như sau: rxy(ô) = ∞ n =−∞  (1.54) Hay:  rxy(ô) = ∞ n =−∞  (1.55) Nếu ta thay thế x(t) bằng y(t) và ngược lại, ta có: ryx(ô) = ∞ n =−∞  (1.56) Hay:  ryx(ô) = ∞ n =−∞  (1.57) Từ đó, ta thấy rằng: rxy(ô) = ryx(-ô) (1.58) Trong các công thức của hàm tương quan chéo trên, nếu ta thay y(t) bằng x(t) thì sẽ được hàm tự tương quan của chuỗi x(t), tức là: rxx(ô) = ∞ n =−∞  (1.59) Hay:  rxx(ô) = ∞ n =−∞  (1.60) Nếu x(t) và y(t) có chu kỳ hữu hạn (giả sử là T) thì hàm tương quan chéo tuần hoàn của x(t) và y(t) có dạng: rxy(ô) = T −1 n =0  (1.61) Hay:  rxy(ô) = T −1 n =0  (1.62) 7.2.3.Đặc tính của hàm tương quan và tự tương quan Xét hai tín hiệu x(t) và y(t), ta có: GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 31∑ x ä(t − nT ) ∑ y ä(t − nT ) ∑ x(n)y(n − ô) ∑ x(n + ô)y(n) ∑ y(n)x(n − ô) ∑ y(n + ô)x(n) ∑ x(n)x(n − ô) ∑ x(n + ô)x(n) ∑ x(n)y(n − ô) ∑ x(n + ô)y(n) Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield rxx(0) = Ex và ryy(0) = Ey trong đó Ex và Ey là năng lượng của x(t) và y(t). Ta có:  Giới thiệu chung (1.63) ∞ n=−∞  2  = a 2 ∞ ∞ n=−∞ n=−∞ ∞ n=−∞ Như vậy: a2rxx(0) + b2ryy(0) + 2abrxy(ô) ≥ 0  (1.64) (1.65) Hay: Hay 2  b   b  Bất phương trình này luôn đúng ∀a,b trong đó b ≠ 0 nên ta có: (rxy(ô))2 - rxx(0)ryy(0) ≤ 0 rxy (ô) ≤ rxx (0)ryy (0) = E x E y Trong trường hợp y(t) = x(t) thì: rxx(ô) ≤ rxx(0) = Ex  (1.66) (1.67) (1.68) (1.69) Từ đó, người ta đưa ra khái niệm hàm tự tương quan chuẩn hoá và hàm tương quan chéo chuẩn hoá như sau: ñxx(ô) = ñxy(ô) = rxx (ô) rxx (0) rxy (ô) rxx (0)ryy (0)  (1.70) (1.71) Ta đã biết rằng: rxy(ô) = ryx(-ô) nên rxx(ô) = rxx(-ô) → hàm rxx là hàm chẵn nên ta chỉ cần xác định các giá trị ứng với ô ≥ 0. 7.2.4.Tương quan của chuỗi tuần hoàn Cho hai tín hiệu x(t) và y(t) thì hàm tương quan chéo giữa x(t) với y(t) và hàm tự tương quan là: 1 M→∞ 2M − 1 M  (1.72) 1 M→∞ 2M − 1 GVHD: TS. Phạm Hồng Liên M n=− M  (1.73) Trang 32∑ (ax(n) + by(n − ô)) ∑ x 2 (n) + b 2 ∑ y 2 (n − ô) + 2ab ∑ x(n)y(n − ô) = a 2 rxx (0) + b 2 ryy (0) + 2abrxy (ô)  a   a    rxx (0) + 2 rxy (ô) + ryy (0) ≥ 0 rxy(ô) = lim ∑−=n Mx(n)y(n − ô) rxx(ô) = lim ∑ x(n)x(n − ô) Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Nếu x(t) và y(t) là tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ T thì:  Giới thiệu chung rxy(ô) = rxx(ô) = 1 T−1 T n=0 1 T−1 T n=0  (1.74) (1.75) rxy(ô) và rxx(ô) là những chuỗi tương quan tuần hoàn có chu kỳ T và 1/T gọi là hệ số co chuẩn (normalization scale factor). Trong một số ứng dụng thực tế, tương quan dùng để xác định tính tuần hoàn trong một tín hiệu vật lý có nhiễu quan sát được. Ta xét một tín hiệu y(t) có dạng: y(t) = x(t) + n(t) (1.76) trong đó x(t) là một tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ T chưa biết trước và n(t) biểu diễn chuỗi ngẫu nhiên. Giả sử ta quan sát N mẫu của y(t) với 0 ≤ t ≤ N - 1. Giả sử y(t) = 0 khi t > 0 và t ≥ N, ta được hàm tự tương quan của y(t) với hệ số co chuẩn 1/M như sau: ryy(ô) = 1 M−1 1 M−1 M i=o i=0 + 1 M−1 1 M−1 M i=0 i=0 = rxx(ô) + rxn(ô) + rnx(ô) + rnn(ô) (1.77) 7.2.5.Các công thức của chuỗi nhị phân Lấy x và y là các chuỗi chỉ nhận giá trị 1 hay -1, hàm tương quan của x và y cho như sau: n −1−ô  i=o 0 vôùi ô ≥ n   (1.78) Ta định nghĩa hàm tương quan chéo tuần hoàn chẵn và lẻ của x và y cho bởi công thức sau: rxy (ô) = Cxy(ô) + Cxy(ô - L) rxy (ô) = Cxy(ô) - Cxy(ô - L) GVHD: TS. Phạm Hồng Liên (1.79) (1.80) Trang 33∑ x(n)y(n − ô) ∑ x(n)x(n − ô) ∑ [x(i) + n(i)][x(i − ô) + n(i − ô)] = M ∑ x(i)x(i − ô) ∑ [x(i)n(i − ô) + n(i)x(i − ô)] + M ∑ n(i)n(i − ô)  ∑0=i x i y i+ ô vôùi 0 ≤ ô ≤ n n + ô−1 Cxy(ô) =  ∑ x i−ô y i vôùi 1 − n ≤ ô < 0   Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung 7.3. Chuỗi nhị phân Một chuỗi ngẫu nhiên nhị phân độc lập, được gọi là chuỗi Bernoulli trong lý thuyết xác suất, đôi khi được xem như là một dãy "sấp ngửa", mỗi giá trị "0" hay "1" tương ứng với kết quả "ngửa" hay "sấp" trong một chuỗi các thử nghiệm tung đồng xu. Chuỗi ngẫu nhiên này có sự thay đổi không thể đoán trước được nghĩa là giá trị của nó tại một thời điểm không phụ thuộc vào các giá trị của chuỗi tại các thời điểm trước. Sự thay đổi của nó chỉ có thể biểu diễn bằng phương pháp thống kê. Tuy nhiên một chuỗi ngẫu nhiên đơn giản như trên cũng cần đòi hỏi bộ nhớ lớn vô hạn tại cả máy phát và máy thu. Do đó, người ta phải sử dụng các chuỗi giả ngẫu nhiên. Các chuỗi này không phải là một chuỗi ngẫu nhiên hoàn toàn tức là nó sẽ được lặp lại sau một chu kỳ nào đó nhưng nó có tính chất thống kê của một tín hiệu nhiễu trắng. Trong kỹ thuật trải phổ, chuỗi giả ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng nhất, quyết định tính chất của tín hiệu. Nếu như không nắm được tính chất biến đổi của tín hiệu thì chuỗi giả ngẫu nhiên phải thực sự là một chuỗi ngẫu nhiên. Sự tự tương quan: Hàm tự tương quan của một chuỗi ngẫu nhiên d(t) với độ rộng bit Tb định nghĩa như sau: Rd(ô) = E{d(t)d(t + ô)} Nếu d(t) = ±1 thì Rd(ô) có dạng như sau: Rd(ô) 1 (1.81) -Tb  0  Tb  ô Hình 1.21: Hàm tự tương quan của chuỗi ngẫu nhiên d(t) Chuỗi giả ngẫu nhiên g(t) có hàm tự tương quan là: RPN(ô) = E{g(t)g(t + ô)} Ta xét với ô = nTc với n ∈ N và Tc là độ rộng chip: RPN(ô = nTc) = E{g(t)g(t + nTc)} = E{-g(t + kTc)} (1.82) (1.83) Ở đây, g(t + kTc) là một chuỗi giả ngẫu nhiên và có giá trị trung bình là 1/L. Chuỗi g(t) có chu kỳ LTc nên hàm tự tương quan cũng có chu kỳ LTc. GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 34 Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield RPN(ô) 1  Giới thiệu chung -Tc  0  Tc  1/L  (L-1)Tc  LTc  (L+1)Tc  ô Hình 1.22: Hàm tự tương quan của chuỗi giả ngẫu nhiên g(t) Các điều kiện để chuỗi có phổ gần với tín hiệu nhiễu trắng: L → ∞  LTc → ∞  (1.84) Các tính chất của chuỗi: Hai chuỗi giả ngẫu nhiên độc lập với nhau nếu nhân với nhau sẽ cho một chuỗi giả ngẫu nhiên mới độc lập với hai chuỗi giả ngẫu nhiên đã cho. Trong một chu kỳ LTc, số bit 1 luôn luôn nhiều hơn số bit 0 là 1. Nếu đặt một cửa sổ có độ dài N bit trượt dọc theo suốt một chu kỳ LTc, mọi giá trị có thể có của một số nhị phân N bit sẽ xuất hiện một lần và chỉ một lần trừ giá trị 00…0 (N bit). Mật độ phổ công suất: Do RPN(ô) có chu kỳ LTc nên GPN(f) sẽ bao gồm các xung tại các vị trí là bội số của tần số 1/LTc. Ngoài ra GPN(f) cũng có một xung tại f = 0, đó là giá trị DC của chuỗi PN. Do số bit 1 lớn hơn số bit 0 là 1 nên giá trị DC của chuỗi là V/L trong đó chuỗi g(t) có giá trị ±V và công suất là V2/L2 → GPN(0) = (V2/L2)ä(f). Nếu một chuỗi ngẫu nhiên hoàn toàn, hàm mật độ phổ công suất có dạng là:   fc  c   2  (1.85) Tương tự, mật độ phổ công suất GPN(f) là: GPN(f) = V 2 L2  ä(f ) + V 2 L  ∞    c  2  (1.86) GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 35 Tc → 0   sin ðf f  ðf    f  sin ð(f + if / L) ∑−i= ∞ä f + i Lc  ð(f + if /c L)  Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  V 2 L2  GPN(f) V2/L ä(f)  Giới thiệu chung -fc  0  fc  f 1/LTc Hình 1.23: Hàm mật độ phổ công suất của chuỗi giả ngẫu nhiên 7.3.1.Chuỗi nhị phân có chiều dài cực đại (Maximal Length Binary Sequence) 7.3.1.1.  Tạo chuỗi thanh ghi dịch Chuỗi thanh ghi dịch hồi tiếp tuyến tính có chiều dài cực đại, gọi tắt là chuỗi m (m sequence) có thể được tạo ra từ thanh ghi dịch n trạng thái. Chuỗi m có chu kỳ là 2n - 1 và được tạo ra bằng một đa thức h(x): h(x) = h0xn + h1xn-1 + … + hn-1x1 + hnx0 (1.87) trong đó h0 = hn = 1 và các giá trị của hi (i ≠ 0,n) là 0 hay 1 theo quan hệ như sau: h0aj ⊕ h1aj-1 ⊕ h2aj-2 ⊕ … ⊕ hnaj-n = 0 Từ h0 = 1: aj = h1aj-1 ⊕ h2aj-2 ⊕ … ⊕ hnaj-n Như vậy: aj + n = h1aj+n-1 ⊕ h2aj+n-2 ⊕ … ⊕ hnaj GVHD: TS. Phạm Hồng Liên (1.88) (1.89) (1.90) Trang 36 Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung Để thuận tiện, đa thức h(x) có thể biểu diễn dưới dạng một vector nhị phân: h = (h0,h1,…,hn). Quá trình tạo chuỗi có thể được mô tả như sau: aj+n  aj+n-1 h1  aj+n-2 h2  aj hn Hình 1.24: Bộ tạo chuỗi ghi dịch tuyến tính Trong đó nếu hi = 0 thì không có đường liên kết và nếu hi = 1 thì có đường liên kết. Ta xét tương ứng các đa thức h(x) = x6 + x + 1 và h(x) = x6 + x4 + x3 + 1 sẽ có các bộ tạo chuỗi ghi dịch tuyến tính như hình (1.25a) và hình (1.25b) aj+6  aj+5  aj+4  aj+3  aj+2  aj+1  aj (a) aj+6 aj+5 aj+4 aj+3 aj+2 aj+1 aj (b) Hình 1.25: Thanh ghi dịch tuyến tính ứng với n = 6 a. Đa thức h(x) = x6 + x + 1 b. Đa thức h(x) =x6 + x4 + x3 + 1 Ta xác định được hàm số tạo chuỗi là: G(D) = a0 + a1D + a2D2 + … = ∞ i=0  (1.91) Ở đây, ta xem phép cộng thực hiện theo modulo 2 (tức là phép XOR). GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 37 ∑ m i D i Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung G(D) =  ∞ i=0  ∞ n i=0 j=1  n j=1   ∞   i=0  = n j=1 + a −1D −1 + G(D)]  (1.92) Từ đó, G(D) có thể biểu thị như hệ số của đa thức hữu hạn: G(D) = n j=1  n j=1  j  + a −1D −1 ]  =  g 0 ( D ) f (D)  (1.93) n j=1  được gọi là đa thức đặc tính (characteristic polynomial) của bộ tạo chuỗi ghi dịch. Các thuộc tính cơ bản của chuỗi ghi dịch tuyến tính: Mỗi chuỗi ghi dịch tuyến tính đều tuần hoàn với chu kỳ L ≤ 2n - 1. Do đó cho phép xác định chuỗi ghi dịch có chiều dài cực đại (chuỗi m) có chu kỳ L = 2n - 1. Ngoại trừ các trường hợp suy biến (g0(D) và f(D) có thừa số chung), chu kỳ L của G(D) là số nguyên dương L nhỏ nhất trong phép chia f(D) cho 1 - DL. Điều kiện cần để G(D) tạo ra một chuỗi m là f(D) có cấp n là tối giản (không thể triển khai thành thừa số). Tuy nhiên, điều kiện này không phải là điều kiện đủ. Ví dụ như cho n = 4 với L = 15 thì f(D) = 1 + D + D2 + D3 + D4 là hàm tối giản nhưng f(D) chia hết 1 - D5 (1 - D5 = (1 - D)f(D)). Do đó chu kỳ chuỗi là 5 chứ không phải là 15. Vấn đề tương quan: Trong thực tế các chuỗi nhị phân được truyền dưới dạng xung dương và xung âm, có được bằng cách thay thế 1 bằng -1 và 0 bằng 1 từ chuỗi a tạo ra. Do đó, người ta xây dựng hàm ÷ định nghĩa như sau: ÷(x) = (-1)x với x ∈ {0,1} (1.94) Nếu a là một chuỗi nhị phân {0,1} thì ÷(a) là chuỗi {1,-1} với bit thứ i của ÷(a) là ÷(ai). Ta có: Ti÷(a) = ÷(Tia) Ó÷(a) = ÷(a0) + ÷(a1) + … + ÷(aN-1) = L - 2w(a) (1.95) (1.96) trong đó w(a) là trọng số của chuỗi a (weight of the sequence), tức là số bit 1 trong chuỗi. GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 38∑ a i D i = ∑ ∑ h ja i− j D i = ∑ h j D j ∑ a i− j D i− j  ∑ h j D j [a − j D − j + ∑ h j D j [a − j D − j + 1 − ∑ h j D Trong đó f(D) = 1 − ∑ h j D j Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Như vậy:  Giới thiệu chung rau(k) = r÷(a)÷ (u)(k) = N−1 i=0 N−1 i=0  i  u  i + k ) = N −1 i=0  a i ⊕ u i + k  = ∑ ÷(a i ⊕ u i+ k )  (1.97) Hay: rau(k) = L - 2w(a ⊕ Tku) Do đó, hàm tự tương quan tuần hoàn của chuỗi là: ra(k) = L - 2w(a ⊕ Tka) 7.3.1.2. Các tính chất của chuỗi m  (1.98) (1.99) Chu kỳ của chuỗi nhị phân a tạo ra từ đa thức h(x) tối đa là 2n - 1 trong đó n là bậc của h(x). Nếu a có chiều dài cực đại thì h(x) là đa thức nguyên thuỷ của trường GF(2n). Chuỗi m có các tính chất sau: Tính chất 1: Chu kỳ chuỗi là 2n -1. Tính chất 2: Có đúng L = 2n - 1 chuỗi khác 0 tạo ra từ h(x) và chúng chính là các chuỗi a, T1a, …, TN-1a. Tính chất 3: Nếu lấy hai số nguyên khác nhau n và p với 0 ≤ n, p ≤ N thì tồn tại duy nhất một số nguyên k khác n và p sao cho: Tna ⊕ Tpa = Tka. Tính chất này gọi là tính dịch và cộng (shift and add) của chuỗi m. Tính chất 4: w(a) = 2n-1 = ½(L + 1). Tính chất 5: Hàm tự tương quan tuần hoàn của chuỗi m có hai giá trị ( two- L valued) và được cho bởi: ra(k) =  neáu k mod L = 0 neáu k mod L ≠ 0 Tính chất 6: Chuỗi a có tính chất ~a i = ~a 2i (∀i ∈Z) gọi là chuỗi m đặc tính (characteristic) và chuỗi này tồn tại duy nhất trong N chuỗi được tạo ra bởi đa thức h(x). Tính chất 7: Gọi q là một số nguyên dương và xét chuỗi u tạo ra từ a bằng cách lấy mẫu mỗi bit thứ q của chuỗi a thì chuỗi u được gọi là chuỗi chia nhỏ theo q của a (decimation), tức là ui = aqi và được ký hiệu là a[q]. Giả sử rằng a[q] khác không, khi đó a[q] có chu kỳ L/gcd(L,q). Chuỗi u là một chuỗi chia nhỏ của một chuỗi m có thể là chuỗi m hay không là chuỗi m. Nếu u là chuỗi m thì nó được gọi là chuỗi chia nhỏ thích hợp (proper decimation). Người ta đã chứng minh được rằng chuỗi u có chu kỳ L nếu và chỉ nếu gcd(L,q) = 1 và việc chia nhỏ thích hợp chuỗi m có chu kỳ n với các số nguyên lẻ sẽ tạo ra tất cả các chuỗi m có chu kỳ L. GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 39∑ ÷(a i )÷(u i+ k ) = ∑ ((− 1) (− 1) a ∑ (− 1) − 1 Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung 7.3.1.3.  Tính chất tương quan Xét hai chuỗi m là a và b với chu kỳ L = 2n - 1. Ta biết rằng rab(ô) luôn là một số lẻ (do phương trình (5.65) và L = 2n - 1 là một số lẻ). Người ta chứng minh được rằng rab(ô) + 1 là bội số của 8 trừ trường hợp a và b là hai chuỗi được tạo bởi hai đa thức đảo ngược (biểu diễn vector của hai đa thức này là các vector ngược của nhau) thì rab(ô) là bội số của 4. Ta có các tính chất: L−1 ô=0  (1.100) L−1 ô=0  ab  2  (1.101) Hàm tương quan chéo giữa a và b có thể có 2 giá trị, 3 giá trị hay nhiều giá trị. Golomb đã chứng minh được rằng: nếu hai chuỗi a và b được tạo ra bởi hai đa thức nguyên thuỷ khác nhau thì hàm tương quan chéo giữa chúng có ít nhất là 3 giá trị. Định lý 9: Gọi a và b là hai chuỗi m có chu kỳ L = 2n -1 sao cho b = a[q] trong đó q = 2m + 1 hay q = 22m - 2m + 1. Nếu n/gcd(n,m) là một số lẻ thì hàm tương quan chéo của a và b có 3 giá trị là: n + k 2   n + k − 1 − 2 2  (1.102) trong đó k = gcd(n,m). Người ta chứng minh được rằng nếu n mod 4 = 0 thì sẽ không tồn tại các cặp chuỗi có hàm tương quan chéo 3 giá trị. Thông thường giá trị k được chọn là nhỏ: 1 neáu n leû k=  2 Ta định nghĩa một giá trị t(n) như sau:  (1.103) t(n) = 1 + 2  n + 2     2   (1.104) trong đó ký hiệu [.] biểu thị phần nguyên. Nếu a và b có hàm tương quan chéo chứa 3 giá trị là -1, -t(n) và t(n) - 2 thì ta gọi a và b là hai chuỗi m mong muốn (preferred pair of m-sequences) và hàm tương quan chéo gọi là hàm tương quan chéo 3 giá trị mong muốn (preferred three- valued cross-correlation function). Gold đã chứng minh được rằng nếu n là một số GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 40∑ rab (ô) = 1 ∑ [r (ô)] = L2 + L − 1 = 2 2 n − 2 n − 1  − 1 + 2 − 1 neáu n chaün vaø n mod 4 ≠ 0   Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung lẻ thì cặp chuỗi m {a,a[2m + 1]} là một cặp chuỗi m mong muốn với điều kiện gcd(n,m) = 1.Kết quả này là một trường hợp đặc biệt của định lý trên. Kasami cũng đã chứng minh được định lý trên cho tất cả các chuỗi chia nhỏ bởi q = 2m + 1. Định lý 10: Gọi a và b là hai chuỗi m có chu kỳ L = 2n - 1 trong đó n chia hết cho 4. Nếu b = a[t(n) - 2] thì hàm tương quan chéo giữa a và b có 4 giá trị là: − 1  n  2 n + 2 2 n  2  (1.105) 7.3.2.Chuỗi Gold Xét hai chuỗi m là a và b có chu kỳ L = 2n - 1 được tạo ra từ hai đa thức nguyên thuỷ h(x) và g(x). Ta xét các điều kiện sau để a và b là cặp chuỗi m mong muốn: n mod 4 ≠ 0. b = a[q] trong đó q = 2m - 1 hay q = 22m - 2m + 1. 1 neáu n leû gcd(n,m) =  2 Khi đó một tập hợp các chuỗi định nghĩa bởi: a(D), b(D), a(D) + b(D), a(D) + Db(D), a(D) + D2b(D), … ,a(D) + DL-1b(D) tức là: G(a ,b) = {a ,b ,a ⊕ b, a ⊕ T1b, …, a ⊕ TL-1b} (1.106) gọi là tập chuỗi Gold cho cặp chuỗi m mong muốn. Bất kỳ hai chuỗi nào trong tập chuỗi Gold này đều có hàm tương quan chéo có 3 giá trị như công thức (1.102). Ứng với hai chuỗi m mong muốn a và b, có tất cả L + 2 chuỗi Gold. Ta dùng một tính chất sau: nếu h(x) và g(x) là hai đa thức nguyên thuỷ có cùng bậc n tạo ra hai chuỗi là a và b có chu kỳ L = 2n - 1 thì đa thức f(x) = g(x)h(x) sẽ tạo ra một chuỗi y cũng có chu kỳ L và có dạng Tia, Tjb hay Tia ⊕ Tjb. Từ đó, họ chuỗi Gold được tạo từ đa thức f(x) = g(x)h(x). Như vậy, họ chuỗi Gold có đặc tính tương quan tốt hơn họ chuỗi m và cũng có chu kỳ là L = 2n - 1. GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 41 − 1 + 2 = t(n) − 2 − 1 + 2 2 = t(n) − 3   − 1 − 2 2 = − t(n) − 1  neáu n chaün vaø n mod 4 ≠ 0 Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Một bộ tạo chuỗi Gold tiêu biểu cho như sau:  Giới thiệu chung aj+6  aj+5  aj+4 aj+3  6  aj+2  aj+1  aj  Gold output aj+6  aj+5  aj+4  aj+3  aj+2  aj+1  aj g(x) = x6 + x4 + x3 + 1 Hình 1.26: Bộ tạo chuỗi Gold tiêu biểu 7.3.3.Chuỗi Kasami Xét a là một chuỗi m được tạo ra bởi đa thức h(x) có chu kỳ L = 2n - 1 trong đó n là một số chẵn. Ta xét chuỗi b = a[s(n)] = a[2n/2 + 1] được tạo ra từ đa thức g(x). Từ tính chất của chuỗi chia nhỏ (tính chất 7), ta được chu kỳ của b là 2n/2 - 1. Ta định nghĩa tập: Ks(a) = {a, a ⊕ b, a ⊕ T1b, …, a ⊕ T L+1−2  b}  (1.107) Kasami đã chứng minh rằng hàm tương quan của các chuỗi trong tập Ks(a) có giá trị là -1, -s(n) hay s(n) - 2. Tập này được gọi là tập chuỗi nhỏ Kasami (small set of Kasami sequences). Tập Ks(a) có tất cả L + 1 chuỗi. Như ta đã biết, nếu n mod 4 ≠ 0 thì sẽ tạo ra tập chuỗi Gold G(a, b) với b=a[t(n)] từ đa thức h(x)h'(x) trong đó h'(x) là đa thức tạo ra chuỗi a[t(n)]. Cho n là số chẵn và a là một chuỗi m được tạo ra bởi đa thức nguyên thuỷ có bậc n. Gọi b = a[s(n)] là một chuỗi m được tạo ra bởi đa thức nguyên thuỷ h'(x) có bậc n/2 và g(x) là đa thức nguyên thuỷ tạo ra chuỗi a[t(n)]. Lúc đó tập hợp các chuỗi có chu kỳ L = 2n - 1 được tạo ra bởi đa thức f(x) = h(x)h'(x)g(x) gọi là tập chuỗi lớn Kasami (large set of Kasami sequences) và được ký hiệu là KL(a). GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 42 h(x) = x + x + 1 Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield Nếu n mod 4 = 0: n / 2 KL(a) = H t (n ) (a)∪  ∪ T i a[s(n)] ⊕ H t ( n ) (a) ∪  i=0   Giới thiệu chung  2 (2 ∪ i=0 n / 2  j=0   (1.108) Số chuỗi Kasami là: 2n/2(2n + 1) -1 Nếu n mod 4 = 2: n / 2 KL(a) = G(a, a[t(n)])∪  ∪ T i a[s(n)] ⊕ G(a, a[t(n)])  i=0   (1.109) Số chuỗi Kasami là: 2n/2(2n + 1) Trong đó a ⊕ A = {c: c = a ⊕ b và b ∈ A } Như vậy, hàm tương quan của các chuỗi Kasami có thể có các giá trị -1,-t(n), t(n) - 2, -s(n), s(n) - 2 và số lượng chuỗi Kasami là: n  n  2 n 8. So sánh các phương pháp trải phổ 8.1. DS - CDMA Khả năng chống nhiễu: Tín hiệu đến máy thu: r(t) = s(t) + n(t) Quá trình giải điều chế tác động đến nhiễu như sau: – Nhân r(t) với chuỗi PN: r(t)g(t) = s(t)g(t) + n(t)g(t)  (1.110) (1.113) (1.114) – Nhân với thành phần sóng mang được phục hồi ở máy thu: r(t)g'(t)cosùct = s(t)g(t) cosùct + n(t)g(t) cosùct Xét thành phần nhiễu: N(t) = n(t)g(t) cosùct Sau khi qua bộ LPF thì thành phần này được lấy trung bình như sau: GVHD: TS. Phạm Hồng Liên (1.115) (1.116) Trang 43[ ] 2 −2  )  −1 / 3 ∪ (T i a)[t(n)] ⊕ T ja[s(n)] 2 −2  ( )  n neáu n mod 4 = 2 2 2 2 + 1 ( ) 2 2 + 1 − 1 neáu n mod 4 = 0 Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung N=  ( k +1)Tb ∫ n(t)g(t) cos ùtdt kTb  (1.117) tiêu. Nếu chọn tần số sóng mang fc sao cho fc = k/Tb thì thành phần nhiễu bị triệt Ưu điểm của hệ thống CDMA: – Khả năng triệt nhiễu. – Độ bảo mật cao. – Chống hiện tượng fading. – Hệ thống linh động. – Cho phép xây dựng một hệ thống thông tin phân kênh theo mã cho phép truyền cùng lúc nhiều kênh trên cùng một tần số trong đó mỗi kênh thông tin được gán bằng một mã PN riêng. 8.2. FH - CDMA Trong hệ thống này, băng thông tín hiệu không được trải rộng ra trực tiếp mỗi kênh tần số ùi, nhưng trong phạm vi của N kênh truyền thì băng thông tín hiệu sẽ được trải rộng. Khả năng chống nhiễu: Hệ thống FH không có khả năng triệt nhiễu tốt bằng hệ thống DS. Để chống nhiễu tốt thì chỉ tăng độ lợi xử lý của hệ thống bằng cách tăng băng thông của mỗi kênh hay mở rộng số kênh truyền N. Ưu khuyết điểm: Nguyên lý FH cũng cho phép xây dựng một hệ thống thông tin đa kênh nhưng không sử dụng một kênh tần số như trong hệ thống DS mà sử dụng N kênh tần số. Với mỗi kênh thông tin sẽ sử dụng một nguồn mã PN riêng biệt cho nó để chọn ra các kênh tần số tương ứng. Với nhiều kênh thông tin thì phải thiết kế sao cho có ít nhất hai kênh thông tin không sử dụng cùng một lúc hai kênh tần số. Như vậy, nếu số lượng kênh thông tin càng nhiều thì việc thiết kế rất phức tạp. Do đó số lượng kênh thông tin được mở rộng có hạn. Ưu điểm lớn của FH là nó không phụ thuộc vào khoảng cách truyền như trong hệ thống DS vì tại mỗi thời điểm, mỗi kênh thông tin chỉ sử dụng một khe tần số, không có sữ thu nhận tín hiệu lẫn nhau giữa các máy thu đặt gần hay xa dẫn đến tín hiệu không bị giảm trên đường truyền. GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 44 Tách sóng đa truy nhập dùng mạng Hopfield  Giới thiệu chung 8.3. TH - CDMA Khả năng chống nhiễu: Thành phần nhiễu sau khi nhân với thành phần sóng mang được phục hồi trở thành: N(t) = n(t)cosùct Sau khi qua LPF: (1.118) N= ( k +1)Tb ∫ n(t) cos ùc tdt kTb  (1.119) Nếu Tb = kTc thì thành phần nhiễu bị triệt tiêu. Ưu khuyết điểm: Cho phép xây dựng hệ thống trong đó nhiều kênh thông tin sử dụng chung miền thời gian, chúng phải được thiết kế sao cho ít nhất hai kênh thông tin cùng một lúc không sử dụng chung một khe thời gian và điều này sẽ khó thực hiện khi mở rộng số kênh thông tin. GVHD: TS. Phạm Hồng Liên  Trang 45