Tập xác định duy nhất các hàm nguyên trên trường đặc số dương

Vấn đề tìm các tập xác dịnh duy nhất hàm trên trờng đặc số dơng là một trong những vấn đề mới của lý thuyết số. Cho đến nay mới chỉ có rất ít công trình theo hớng nghiên cứu này. Luận văn có mục đích giới thiệu những kết quả mới nhất nhằm tìm ra những cách tiếp cận sâu hơn. Nội dung nghiên cứu bao gồm: -Trình bày bài toán đặt ra trên trờng đặc số dương, -Xây dựng một số tập xác định duy nhất các hàm nguyên trên trường đặc số dơng, -Tính toán một số ví dụ cụ thể. Trong quá trình nghiên cứu nhân tử hoá của hàm phân hình ( trong mặt phẳng phức ), F. Gross [7], năm 1976, đã đa ra khái niệm tập xác định duy nhất. Cung cấp những ví dụ về tập xác định duy nhất các hàm nguyên phức (khác hằng) đã trở thành chủ đề của một số bài báo gần đây. Lý thuyết Nevanlinna đã trở thành công cụ chính đợc sử dụng để xây dựng những ví dụ đó. Boutabaa, Escassut và Haddad [5] đã nghiên cứu tập xác định duy nhất cho các hàm nguyên phi Archimed (trong trờng đặc số 0) và nếu thu hẹp để nghiên cứu các đa thức, thì có một sự biểu thị đẹp về mặt hình học cho tập xác định duy nhất hữu hạn. Định lý A (Boutabaa, Escassut và Haddad [5]). Cho K là trờng có đặc số 0. Cho F là họ những đa thức khác hằng với hệ số trên K. Khi đó, một tập hữu hạn S trong K là tập xác định duy nhất cho F nếu và chỉ nếu S là cứng affine. 2 Số húa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Cherry và Yang [6], năm 1999, đã mở rộng định lý này cho trường hợp những hàm nguyên phi Archimed khác hằng một biến trên trường đặc số 0, đầy đủ tương ứng với một giá trị tuyệt đối phi Archimed. Trong suốt luận văn, K sẽ luôn là một trờng đầy đủ tương với một giá trị tuyệt đối phi Archimed. ''Tập xác định duy nhất'' luôn có nghĩa là tập xác định duy nhất kể cả bội của họ A∗(K ) những hàm nguyên phi Archimed khác hằng trên K . Ta có thể coi các đa thức trên trường bất kỳ là trờng hợp đặc biệt của các hàm nguyên phi Archimed một biến trên K . Do đó, khi phát biểu bài toán nào cho họ các hàm nguyên phi Archimed, mệnh đề đó cũng đúng với các đa thức. Voloch đã cho một chứng minh thuần tuý ''đại số - hình học''của định lý (Boutabaa, Escassut và Haddad [5]) và làm rõ rằng định lý cũng đúng trong trờng đặc số dơng cho những tập có lực lợng nguyên tố với n. Nghĩa là, Định lý B (Định lý của Voloch [3]). Cho K có đặc số p ≥ 0 và đầy đủ tương ứng với một giá trị tuyệt đối phi Achimed. Cho A∗(K ) là họ những hàm nguyên phi Archimed khác hằng trên K. Cho S là một tập có lực lượng hữu hạn n, giả sử nguyên tố với p nếu p > 0. Khi đó, S là tập xác định duy nhất của họ A∗(K ) nếu và chỉ nếu S là cứng affine. Vậy, điều gì sẽ xảy ra khi đặc số p chia hết lực lợng của một tập ? Trong [6], Cherry và Yang đã cho một ví dụ về một tập 3 phần tử là cứng affine, nhng không là một tập xác định duy nhất trong trờng đặc số 3. Vì không có tập cứng affine có lực lợng 2, nên cũng không có tập xác định duy nhất có lực lượng 2 trong trờng đặc số 2 ( hoặc trong trường đặc số bất kì ). Một số câu hỏi tiếp theo đợc đặt ra là: Có hay không tập xác định duy nhất có lực lợng p trong trờng đặc số p ? Tồn tại hay không tập hữu hạn cứng affine có lực lợng n mà không là tập xác định duy nhất và khi n là một bội, nhng không là luỹ thừa của đặc số ? Mục đích chính của luận văn là trình bày lại các kết quả của Boutabaa, Cherry và Escassut [3] một cách có chọn lọc theo bố cục riêng nhằm cụ thể hoá nội dung ở trên và trả lời các câu hỏi vừa nêu. .