Tiếp cận khái niệm Giới hạn

rong qu¸ tr×nh h×nh thµnh kh¸i niÖm còng nh­ vËn dông kh¸i niÖm. Trªn ®©y lµ nh÷ng biÓu hiÖn TTCNT cña häc sinh trong qu¸ tr×nh chiÕm lÜnh kiÕn thøc, gi¸o viªn khi dùa vµo nh÷ng biÓu hiÖn nµy cã thÓ ®Þnh h­íng cho viÖc ph¸t huy TTCNT cña häc sinh nh»m n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y häc m«n To¸n nãi chung, chñ ®Ò Giíi h¹n nãi riªng. 1.1.4.3. §iÒu kiÖn ph¸t huy TTCNT cña häc sinh trong d¹y häc Muèn ph¸t huy TTCNT cña häc sinh, gi¸o viªn cÇn ph¶i tæ chøc m«i tr­êng häc tËp ®¶m b¶o : TÝnh s½n sµng häc tËp vµ tÝnh ho¹t ®«ng cao. a) TÝnh s½n sµng häc tËp: Gåm cã hai thµnh tè c¬ b¶n: + Kh¶ n¨ng häc tËp khi ®øng tr­íc mét kiÕn thøc nµo ®ã (h×nh thµnh vµ vËn dông kiÕn thøc…); + Chñ ®Þnh ®èi víi kiÕn thøc vµ m«i tr­êng häc tËp (cã ®éng c¬, høng thó, ý chÝ häc tËp…). ThiÕu mét mÆt nµo trong hai yÕu tè trªn ®©y còng ®Òu ¶nh h­ëng ®Õn tÝnh s½n sµng häc tËp: + Cã kh¶ n¨ng mµ thiÕu chñ ®Þnh th× häc sinh kh«ng s½n sµng häc tËp, v× kh«ng muèn ho¹t ®éng; + Cã chñ ®Þnh mµ thiÕu kh¶ n¨ng th× häc sinh còng kh«ng s½n sµng häc tËp, v× kh«ng biÕt ho¹t ®éng. V× vËy, gi¸o viªn cÇn ph¶i tæ chøc m«i tr­êng häc tËp, x©y dùng nh÷ng biÖn ph¸p s­ ph¹m thÝch hîp lµm cho viÖc d¹y häc phï hîp víi kh¶ n¨ng häc tËp cña häc sinh, ®ång thêi t¹o ®­îc ®éng c¬, g©y høng thó, ý chÝ häc tËp cña häc sinh,…th× míi ph¸t huy ®­îc TTCNT cña häc sinh. b) TÝnh ho¹t ®éng cao: ThÓ hiÖn ë néi dung d¹y häc vµ ph¶i dùa trªn nh÷ng tiªu chuÈn sau: + Mçi ho¹t ®éng cña gi¸o viªn vµ häc sinh ®­îc x¸c ®Þnh cô thÓ, râ rµng, cã thÓ nhËn thøc ®­îc, c¶m nhËn ®­îc, h×nh dung ®­îc. + Néi dung d¹y häc chøa ®ùng nh÷ng liªn hÖ phï hîp ®Ó ®¶m b¶o c¸c quan hÖ vµ ho¹t ®éng cña thÇy vµ trß ®Òu h­íng vµo tæ chøc vµ kÝch thÝch hµnh ®éng häc sinh, tøc lµ néi dung d¹y häc ph¶i x©y dùng ®­îc d­íi d¹ng nh÷ng t×nh huèng cã vÊn ®Ò. VËy ®Ó b¶m b¶o ®­îc tÝnh ho¹t ®éng cao trong d¹y häc, ng­êi gi¸o viªn cÇn ph¶i lùa chän néi dung d¹y häc ®¸p øng ®­îc hai tiªu chuÈn trªn vµ tæ chøc m«i tr­êng häc tËp, x©y dùng nh÷ng biÖn ph¸p thÝch hîp tõ ®ã x¸c ®Þnh thiÕt kÕ x©y dùng ph­¬ng thøc d¹y häc sao cho kÝch thÝch tÝnh chñ ®éng, tù quyÕt, kh¶ n¨ng tù thÓ hiÖn, ®¸nh gi¸,…trong häc tËp, ph¸t triÓn nh÷ng c¬ héi häc tËp, ®éng c¬ häc tËp, x©y dùng mèi quan hÖ t­¬ng t¸c gi÷a gi¸o viªn vµ häc sinh, häc sinh vµ häc sinh. 1.1.5. C¸c ph­¬ng thøc s­ ph¹m nh»m ph¸t huy TTCNT cña häc sinh trong d¹y häc néi dung chñ ®Ò Giíi h¹n 1.1.5.1. Nh÷ng ph­¬ng h­íng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh trong d¹y häc §Ó ph¸t huy TTCNT cña häc sinh lµ mét trong nh÷ng nhiÖm vô chñ yÕu cña ng­êi gi¸o viªn trong qu¸ tr×nh d¹y häc. V× vËy, nã lu«n lµ trung t©m chó ý cña lý luËn vµ thùc tiÔn d¹y häc. Tõ thêi cæ ®¹i c¸c nhµ s­ ph¹m tiÒn bèi nh­ Khæng tö, Aristot…®· tõng nãi ®Õn tÇm quan träng to lín cña viÖc ph¸t huy TTCNT cña häc sinh vµ ®· cã nh÷ng ®Þnh h­íng vµ biÖn ph¸p ®Ó ph¸t huy TTCNT cña häc sinh. J. A. Komenxki nhµ s­ ph¹m lçi l¹c cña thÕ kû XVII ®· ®­a ra nh÷ng ®Þnh h­íng, biÖn ph¸p d¹y häc lµ b¾t häc sinh ph¶i t×m tßi, suy nghÜ ®Ó tù n¾m ®­îc b¶n chÊt cña sù vËt hiÖn t­îng. J. J. Rux« còng cho r»ng, ph¶i h­íng häc sinh tÝch cùc tù giµnh lÊy kiÕn thøc b»ng c¸ch t×m kiÕm, kh¸m ph¸ vµ s¸ng t¹o. A. Distecvec th× cho r»ng, ng­êi gi¸o viªn tåi lµ ng­êi cung cÊp cho häc sinh ch©n lý, ng­êi gi¸o viªn giái lµ ng­êi d¹y cho häc sinh tù t×m ra ch©n lý. K. D. Usinxki nhÊn m¹nh tÇm quan träng cña viÖc ®iÒu khiÓn, dÉn d¾t häc sinh cña c¸c gi¸o viªn. Trong thÕ kû IX, c¸c nhµ gi¸o dôc Cæ, Kim, §«ng, T©y, ®· trao ®æi bµn luËn ®Ó t×m kiÕm con ®­êng nh»m ph¸t huy TTCNT cña häc sinh trong d¹y häc. Chóng ta th­êng kÓ ®Õn t­ t­ëng c¸c nhµ gi¸o dôc næi tiÕng nh­: B.P.£xip«p, M.A.Danil«p, M.N.Xcatkin, I.F.Kharlam«p, I.I.Xam«va (Liªn X«), Okon (Ba Lan), Skinner (MÜ)… ë ViÖt Nam c¸c nhµ lý luËn d¹y häc còng ®· viÕt nhiÒu vÒ ph¸t huy TTCNT cña häc sinh nh­: GS. Hµ ThÕ Ng÷, GS. NguyÔn Quang Ngäc, GS. §Æng Vò Ho¹t …, mµ cô thÓ GS. §Æng Vò Ho¹t ®· nªu lªn 6 ®Þnh h­íng lµ: i) Gi¸o dôc ®éng c¬, th¸i ®é häc tËp, trªn c¬ së thÊm nhuÇn môc ®Ých häc tËp, ®éng viªn khuyÕn khÝch kÞp thêi dùa vµo tÝnh tù nguyÖn cña häc sinh; ii) Thùc hiÖn d¹y häc nªu vÊn ®Ò lµ ®Þnh h­íng, ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n nhÊt; iii) TiÕn hµnh so s¸nh c¸c sù vËt, hiÖn t­îng, tiÕn hµnh hÖ thèng hãa, kh¸i qu¸t hãa tri thøc; iv) VËn dông tri thøc vµo nhiÒu hoµn c¶nh kh¸c nhau, gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c nhau; v) G¾n liÒn lý luËn víi thùc tiÔn, khai th¸c vèn sèng cña häc sinh; vi) Ph¸t triÓn ý thøc tù kiÓm tra, tù ®¸nh gi¸ cña häc sinh. Tõ nh÷ng ph­¬ng h­íng chung ®ã, cÇn ph¶i cã nh÷ng ®Þnh h­íng ph­¬ng thøc s­ ph¹m thÝch hîp ®Ó ph¸t huy TTCNT cña häc sinh trong d¹y häc ®Æc thï m«n to¸n. 1.1.5.2. Mét sè ®Þnh h­íng vµ ph­¬ng ph¸p ®Ó ph¸t huy TTCNT cña häc sinh trong d¹y häc m«n To¸n Trong qu¸ tr×nh d¹y häc ph¶i t¹o ®­îc ®éng c¬ høng thó ®Ó häc sinh cã c¬ héi ph¸t huy tÝnh chñ ®éng ®éc lËp tù gi¸c chiÕm lÜnh kiÕn thøc, ta cã thÓ tæng quan vÒ mét sè ®Þnh h­íng biÖn ph¸p s­ ph¹m thÝch hîp nh»m ph¸t huy TTCNT cña häc sinh trong qu¸ tr×nh d¹y häc theo ®Æc thï m«n To¸n: i) KiÕn thøc bµi d¹y lµm sao cã ®­îc tÝnh kÕ thõa ph¸t triÓn trªn kiÕn thøc ®· häc, sù liªn hÖ víi thùc tiÔn, gÇn gòi víi cuéc sèng, víi suy nghÜ h»ng ngµy, tháa m·n nhu cÇu nhËn thøc cña häc sinh; ii) Sö dông c¸c ph­¬ng tiÖn d¹y häc, dông cô trùc quan cã t¸c dông tèt trong viÖc kÝch thÝch høng thó ph¸t huy TTCNT cña häc sinh; iii) X©y dùng, s¾p xÕp, bæ sung vµ khai th¸c c¸c vÝ dô vµ ph¶n vÝ dô trong qu¸ tr×nh d¹y häc; iv) Ph¸t triÓn kh¶ n¨ng chuyÓn ®æi ng«n ng÷ th­êng sang ng«n ng÷ To¸n häc, kh¶ n¨ng thùc hiÖn c¸c thao t¸c t­ duy c¬ b¶n; v) LËp vµ sö dông c¸c b¶ng tæng kÕt, biÓu ®å, s¬ ®å thÝch hîp ®Ó lµm râ nguån gèc vµ mèi liªn kÕt logic cña c¸c kiÕn thøc trong qu¸ tr×nh d¹y häc; vi) Lùa chän vµ sö dông mét c¸ch hîp lý hÖ thèng c¸c bµi tËp vµ sö dông khai th¸c c¸c t×nh huèng dÔ m¾c sai lÇm. §Ó häc sinh tù kiÓm tra, kh¾c phôc c¸c khã kh¨n vµ söa ch÷a nh÷ng sai lÇm th­êng gÆp trong qu¸ tr×nh lÜnh héi kiÕn thøc. 1.1.5.3. C¸c ph­¬ng thøc s­ ph¹m nh»m ph¸t huy TTCNT cña häc sinh trong d¹y häc vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n Ta ®· biÕt n¾m v÷ng ®­îc hÖ thèng kh¸i niÖm Giíi h¹n th× häc sinh cã kh¶ n¨ng vËn dông v÷ng ch¾c cã hiÖu qu¶ c¸c kiÕn thøc vÒ Giíi h¹n, ®ã lµ c¬ së ®Ó häc tèt vÒ chñ ®Ò Giíi h¹n nãi chung, qua ®ã rÌn luyÖn n¨ng lùc gi¶i bµi tËp to¸n cña néi dung Giíi h¹n nãi riªng. Tr­íc hÕt ta cÇn x¸c ®Þnh râ mèi liªn hÖ trong ho¹t ®éng nhËn thøc cña häc sinh lµ: gi¸o viªn h­íng dÉn vµ kÝch thÝch TTCNT cña trß råi huy ®éng c¸c ph­¬ng ph¸p ph­¬ng thøc s­ ph¹m t¸c ®éng vµo (chñ thÓ) häc sinh, tõ ®ã häc sinh cã nhu cÇu hiÓu biÕt vµ huy ®éng cao ®é kh¶ n¨ng h­íng tíi tri gi¸c tiÕp ®Õn biÓu t­îng sau cïng (kh¸ch thÓ) kh¸i niÖm Giíi h¹n , cô thÓ ®­îc minh häa theo s¬ ®å sau : Gi¸o viªn Ph¸t huy TTCNT H­íng dÉn Sö dông c¸c ph­¬ng thøc s­ ph¹m (Chñ thÓ) Häc sinh Cã nhu cÇu hiÓu biÕt Huy ®éng cao ®é kh¶ n¨ng (Kh¸ch thÓ) Kh¸i niÖm Giíi h¹n BiÓu t­îng Tri gi¸c (H×nh 1) Nh­ vËy, qu¸ tr×nh ph¸t huy tÝnh tÝch cùc ho¹t ®éng nhËn thøc cña häc sinh kh«ng ph¶i lµ qu¸ tr×nh ®­a th«ng tin vµo häc sinh theo ®Þnh h­íng mét chiÒu xem häc sinh nh­ lµ c¸i m¸y thu th«ng tin thô ®éng, cô thÓ ë ®©y bµn ®Õn d¹y häc vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n qua thùc hiÖn c¸c ph­¬ng thøc sau: Ph­¬ng thøc 1: X¸c ®Þnh râ c¸c c¸ch x©y dùng kh¸i niÖm Giíi h¹n. Tr­íc hÕt hiÓu râ, x¸c ®Þnh ®óng ®­îc c¸ch x©y dùng kh¸i niÖm To¸n häc lµ: + M« t¶ kh«ng ®Þnh nghÜa: Ch¼ng h¹n nh­ viÖc ®Þnh nghÜa giíi h¹n 0 cña d·y sè lµ: ''d·y sè (; n = 1,2,3,…) gäi lµ dÇn ®Õn 0 hay cã giíi h¹n 0 khi n +, nÕu cµng nhá khi n cµng lín, tøc lµ nÕu cã thÓ nhá bao nhiªu tïy ý miÔn lµ chän n ®ñ lín''. + Hay ®Þnh nghÜa d­íi d¹ng kiÕn thiÕt – qui n¹p nh­ : Con ®­êng ®i tíi ®Þnh nghÜa giíi h¹n d·y theo ng«n ng÷ ", " nµy lµ kiÕn thiÕt- qui n¹p, tõ viÖc m« t¶: ''Khi n cµng lín th× cµng bÐ vµ bÐ bao nhiªu còng ®­îc'', ®­îc chuyÓn qua ng«n ng÷ ", " b»ng c¸ch chän miÒn gi¸ trÞ cô thÓ ®Ó tiÕn tíi kh¸i qu¸t hãa cho mäi, (®Æc biÖt cÇn sù gióp ®ì trùc quan cña trôc sè) lµ: ''ta nãi r»ng d·y sè thùc cã giíi h¹n lµ L (LR), khi n + nÕu víi mäi sè d­¬ng cho tr­íc( nhá tuú ý) tån t¹i mét sè tù nhiªn , sao cho víi mäi n > th× 1. Ch¾c ch¾n, nh÷ng kü x¶o ''thªm, bít'' nh­ vËy rÊt khã kh¨n ®èi víi häc sinh. Qua ®ã ta thÊy, quan ®iÓm "Gi¶i tÝch hçn hîp" nhÊn m¹nh mèi quan hÖ biÖn chøng gi÷a hai thµnh phÇn: §¹i sè hãa /xÊp xØ, nh»m ®¹t tíi x¸c ®Þnh mét tØ lÖ thÝch hîp gi÷a chóng. Chó ý tíi c¸c biÖn ph¸p, ph­¬ng thøc s­ ph¹m thÝch hîp nh»m ph¸t huy TTCNT cña häc sinh. §Ó thÊy râ sù kh¸c biÖt gi÷a c¸c xu h­íng trong d¹y häc Gi¶i tÝch ë c¸c tr­êng THPT, cÇn ph¶i so s¸nh chóng trªn cë së ph©n tÝch nhiÒu yÕu tè kh¸c nhau. Tuy nhiªn ë ®©y chØ dùa chñ yÕu viÖc ph©n tÝch so s¸nh mèi quan hÖ gi÷a mÆt §¹i sè vµ mÆt xÊp xØ cña Gi¶i tÝch. 1.3. Thùc tiÔn d¹y häc chñ ®Ò kh¸i niÖm giíi h¹n Qua thùc tiÔn vµ dù giê gi¶ng d¹y m«n To¸n ë tr­êng THPT , cho thÊy: Chñ ®Ò Giíi h¹n lµ mét trong nh÷ng ch­¬ng khã cña Gi¶i tÝch THPT. Ngay c¶ ®èi víi häc sinh kh¸ khi tiÕp cËn víi víi ng«n ng÷ Gi¶i tÝch nh­” ®ñ bД, “ x dÇn vÒ a” , “d·y sè dÇn ra v« cùc “ ...mµ nÕu kh«ng cã tr×nh ®é t­ duy, kh¶ n¨ng nhËn thøc nh÷ng vÊn ®Ò trõu t­îng th× khã cã thÓ lÜnh héi ®­îc chñ ®Ò nµy, nªn c¸ch d¹y chñ yÕu lµ cung cÊp tri thøc, tiÕn hµnh c¸c bµi tËp mÉu vËn dông, mµ nguyªn nh©n cã thÓ lµ b¾t nguån tõ nh÷ng vÊn ®Ò sau ®©y: - Mét lµ, phÇn lín gi¸o viªn chØ nghÜ ®Õn viÖc d¹y ®óng, d¹y ®ñ, d¹y kh¸i niÖm, ®Þnh lý, kiÕn thøc chñ ®Ò Giíi h¹n chø ch­a nghÜ ®Õn viÖc d¹y thÕ nµo; - Hai lµ, tÝnh chÊt vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n qu¸ trõu t­îng v× : nã kh«ng t¹o ®­îc mèi liªn hÖ gi÷a h×nh häc víi ®¹i sè, tõ ®ã dÔ cã c¶m t­ëng r»ng nã kh«ng thùc sù to¸n häc. Häc sinh rÊt khã n¾m ®­îc kh¸i niÖm v« cïng lín, v« cïng bÐ , v« cùc, nhÊt lµ giíi h¹n kh«ng thÓ tÝnh trùc tiÕp b»ng c¸ch dïng ph­¬ng ph¸p ®¹i sè vµ sè häc quen thuéc. MÆt kh¸c, khã kh¨n n÷a trong nhËn thøc kh¸i niÖm giíi h¹n lµ nh÷ng khã kh¨n liªn quan ®Õn ng«n ng÷: "giíi h¹n", "dÇn vÒ", "nhá tïy ý" cã ý nghÜa th«ng th­êng kh«ng t­¬ng hîp víi kh¸i niÖm giíi h¹n d¹ng h×nh thøc khiÕn cho ®a sè häc sinh khi häc vÒ vÊn ®Ò nµy võa gÆp khã kh¨n vÒ mÆt nhËn thøc nªn dÔ r¬i vµo bÞ ®éng bëi hµng lo¹t c¸c ®Þnh lý ®­îc thõa nhËn kh«ng chøng minh, võa lµm cho viÖc ¸p dông trë nªn m¸y mãc dÉn ®Õn viÖc lÜnh héi kiÕn thøc mét c¸ch ch­a thÓ trän vÑn. - Ba lµ, c¸c ho¹t ®éng chØ ®¹o, nghiªn cøu, båi d­ìng gi¶ng d¹y cßn nÆng vÒ t×m hiÓu, lµm quen vµ khai th¸c néi dung ch­¬ng tr×nh vµ S¸ch gi¸o khoa. ThiÕu sù chuÈn bÞ ®ång bé ®èi víi c¸c m¾t xÝch trong mèi quan hÖ rÊt chÆt chÏ lµ môc tiªu, néi dung, ph­¬ng ph¸p, ph­¬ng tiÖn gi¶ng d¹y … ViÖc cô thÓ hãa, quy tr×nh hãa nh÷ng ph­¬ng ph¸p d¹y häc vÒ chñ ®Ò kh¸i niÖm Giíi h¹n ®Ó gióp gi¸o viªn sö dông trong gi¶ng d¹y ch­a lµm ®­îc bao nhiªu. Ngoµi ra còng thiÕu c¸c th«ng tin cÇn thiÕt vÒ ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc nãi riªng vµ ®æi míi gi¸o dôc nãi chung trªn thÕ giíi; - Bèn lµ, c¸c kiÓu ®¸nh gi¸ vµ thi cö còng ¶nh h­ëng râ rÖt tíi ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y; ®¸nh gi¸ vµ thi cö nh­ thÕ nµo th× sÏ cã lèi d¹y t­¬ng øng ®èi phã nh­ thÕ Êy. Tãm l¹i, víi kiÓu d¹y häc thÇy truyÒn thô kiÕn thøc nãi chung, chñ ®Ò Giíi h¹n nãi riªng theo c¸ch thô ®éng trß ngåi nghe, nh÷ng g× thÇy gi¶ng th­êng kh«ng cã sù tranh luËn gi÷a thÇy vµ trß, ®iÒu thÇy nãi cã thÓ coi lµ tuyÖt ®èi ®óng … Mét ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y vµo kinh nghiÖm, kh«ng xuÊt ph¸t tõ môc tiªu ®µo t¹o, kh«ng cã c¬ së kiÕn thøc vÒ nh÷ng quy luËt vµ nguyªn t¾c cña lý luËn d¹y häc sÏ lµm cho qu¸ tr×nh häc tËp trë nªn nghÌo nµn, lµm gi¶m ý nghÜa gi¸o dôc còng nh­ hiÖu qu¶ bµi gi¶ng. V× vËy cÇn t¨ng c­êng c¸c ho¹t ®éng ph¸t hiÖn, tù kh¸m ph¸, ý thøc häc tËp cña mçi häc sinh: + Gi¶m nhÑ lÝ thuyÕt trõu t­îng, coi träng vai trß trùc gi¸c, rÌn luyÖn kh¶ n¨ng dù ®o¸n vµ suy luËn cã lÝ ; + Ph¸t huy TTCNT cña häc sinh trong tiÕn tr×nh x©y dùng kiÕn thøc theo qui n¹p trong viÖc h×nh thµnh c¸c kh¸i niÖm Giíi h¹n. Mét mÆt nã phï hîp víi qui luËt nhËn thøc " tõ trùc quan sinh ®éng ®Õn t­ duy trõu t­îng ... " nªn dÔ dµng h¬n cho viÖc lÜnh héi kiÕn thøc cña häc sinh. MÆt kh¸c, khi tham gia ph­¬ng thøc nµy lµ c¬ héi ®Ó häc sinh tham gia tÝch cùc vµo viÖc x©y dùng kiÕn thøc míi, rÌn luyÖn c¸c thao t¸c t­ duy nh­ Ph©n tÝch, Tæng hîp, Kh¸i qu¸t hãa,... tõ ®ã ph¸t huy TTCNT . 1.4. KÕt luËn ch­¬ng 1 Tõ sù ph©n tÝch c¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn viÖc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc nhËn thøc cña häc sinh trong d¹y häc m«n To¸n víi c¸c quan ®iÓm Gi¶i tÝch vÒ ®Æc ®iÓm chñ ®Ò Giíi h¹n ë tr­êng THPT cho thÊy: + §æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc nh»m ph¸t huy TTCNT cña häc sinh lµ ph­¬ng ph¸p d¹y häc hiÖu qu¶ nhÊt, ®Ó ®¹t ®­îc yªu cÇu vÒ sù c¹nh tranh trÝ tuÖ trªn con ®­êng héi nhËp vµ ph¸t triÓn toµn cÇu, ®ång thêi ®¸p øng ®­îc môc tiªu mµ x· héi ®ang ®Æt ra. + §­a ra mét sè quan ®iÓm Gi¶i tÝch vÒ ®Æc ®iÓm chñ ®Ò Giíi h¹n, ®©y ®­îc coi lµ néi dung quan träng, c¬ b¶n nÒn t¶ng vµ khã cña Gi¶i tÝch To¸n häc ë THPT , v× vËy khi häc vÒ néi dung nµy chÝnh lµ qu¸ tr×nh biÕn ®æi vÒ chÊt trong nhËn thøc ®èi víi häc sinh. Nh÷ng kÕt luËn trªn ®©y, lµ c¬ së cho viÖc ®Þnh h­íng, thiÕt kÕ x©y dùng 5 ph­¬ng thøc s­ ph¹m thÝch hîp, ®Ó d¹y häc kh¸i niÖm vÒ chñ ®Ò Giíi h¹n theo h­íng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh nh»m n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y häc To¸n nãi chung vµ chñ ®Ò Giíi h¹n nãi riªng ë tr­êng THPT. ch­¬ng 2 c¸ch tiÕp cËn kh¸i niÖm GIíI H¹N Vµ VIÖC PH¸T HUY TÝNH tÝCH cùc NHËN THøc Cña HäC SINH TRONG D¹Y HäC chñ ®Ò GiíI H¹N ë THPT 2.1. c¸ch tiÕp cËn kh¸i niÖm GIíI H¹N ë THPT Thùc tÕ trong ch­¬ng tr×nh m«n To¸n ë THPT c¸c kh¸i niÖm ''Giíi h¹n vÒ d·y sè vµ hµm sè, hµm sè liªn tôc'' ®­îc tr×nh bµy theo c¸c c¸ch tiÕp cËn kh«ng gièng nhau cña mçi tµi liÖu riªng biÖt. XÐt trong c¸c bé SGK Gi¶i tÝch - §¹i sè líp 11 cña c¸c nhãm t¸c gi¶ ta sÏ thÊy râ h¬n ®iÒu ®ã. 2.1.1. C¸c c¸ch tiÕp cËn kh¸i niÖm “giíi h¹n d·y sè” 2.1.1.1. C¸ch 1: Cña nhãm t¸c gi¶ Ng« Thóc Lanh chñ biªn, 1995 theo ng«n ng÷ '','' Con ®­êng ®i tíi ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm Giíi h¹n d·y sè lµ qui n¹p, tõ viÖc m« t¶: ''Khi n cµng lín th× cµng bÐ vµ bÐ bao nhiªu còng ®­îc'', ®­îc chuyÓn qua ng«n ng÷ ", " b»ng c¸ch chän miÒn gi¸ trÞ cô thÓ ®Ó tiÕn tíi kh¸i qu¸t hãa cho mäi : ''ta nãi r»ng d·y sè thùc (; n = 1,2,3,…) cã giíi h¹n lµ L (LR), khi n + nÕu víi mäi sè d­¬ng cho tr­íc (nhá tuú ý) tån t¹i mét sè tù nhiªn sao cho víi mäi n > th× th× 0 nªn +1= 1. Vµ nªn = 0 V× un 0 ; vn 0 mµ nªn kh«ng tån t¹i: f(x) Nh­ng nÕu ta yªu cÇu: xn 0 vµ xn0, th× dÔ thÊy tån t¹i: f(x). Khi häc sinh lµm viÖc víi vÝ dô nµy, c¸c em dÔ ph©n biÖt ®­îc sù kh¸c nhau gi÷a hai kh¸i niÖm: f(x) vµ gi¸ trÞ f(0) cña hµm sè. MÆt kh¸c, ®a sè bµi to¸n t×m giíi h¹n lim f(x) khi x dÇn tíi a b»ng ®Þnh nghÜa ®Òu r¬i vµo tr­êng hîp f(x) kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x =a khi ®ã víi mäi d·y (xn) tho¶ m·n: (xn) D, (xn) a lµ ®Ó f(xn) x¸c ®Þnh trªn D. + Thø hai: Cã sù kh¸c nhau ®èi víi møc ®é yªu cÇu cña hµm y = f(x) cã giíi h¹n khi x a. §ã lµ, vÒ tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè f(x), (SGK chØnh lÝ hîp nhÊt n¨m 2000) ë d¹ng 2, ®· tr×nh bµy lµ kh«ng chØ râ yªu cÇu cña f(x) x¸c ®Þnh trong mét l©n cËn nµo ®ã cña ®iÓm a. Nh­ng ë d¹ng 3, l¹i yªu cÇu f(x) x¸c ®Þnh trong mét l©n cËn nµo ®ã cña a vµ cã thÓ kh«ng x¸c ®Þnh t¹i ®iÓm a, ta minh chøng qua vÝ dô sau: VÝ dô 8: TÝnh : T×m giíi h¹n cña hµm sè f(x) = khi x -2 .Ta thÊy tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè nµy lµ D = . Theo d¹ng ba th× cÇn mét l©n cËn cña -2, nh­ng ë ®©y f(x) l¹i kh«ng x¸c ®Þnh trong mét l©n cËn cña -2. Do ®ã kh«ng thÓ tån t¹i giíi h¹n cña f(x) khi x -2. Ng­îc l¹i, theo nh­ ë d¹ng hai kh«ng yªu cÇu l©n cËn cho nªn ta chän d·y bÊt kú (xn) -2+ vµ (xn) -2 th× ta cã ngay giíi h¹n f(x) = 0. Víi ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm nh­ ë d¹ng ba, häc sinh chØ cã c©u tr¶ lêi lµ ®óng trong tr­êng hîp hµm sè x¸c ®Þnh trong kho¶ng chøa ®iÓm a, cßn tr­êng hîp hµm sè x¸c ®Þnh trong ®o¹n cã ®Çu mót ®iÓm a th× kh«ng gi¶i ®­îc. Tuy nhiªn trong ®Þnh nghÜa ë d¹ng 2, khiÕn cho häc sinh ®ång nhÊt ngo¹i diªn cña kh¸i niÖm t¹i mét ®iÓm cña hµm sè víi ngo¹i diªn kh¸i niÖm mét phÝa cña hµm sè t¹i a. Thùc tÕ th× giíi h¹n mét phÝa chØ lµ mét phÇn trong kh¸i niÖm giíi h¹n hµm sè, cã nghÜa lµ cã ngo¹i diªn nhá h¬n. Do ®ã ®Ó ph©n biÖt ngäai diªn cña hai kh¸i niÖm giíi h¹n hµm sè vµ giíi h¹n mét phÝa, cÇn cho häc sinh xÐt c¸c vÝ dô cô thÓ d­íi d¹ng bµi tËp . VÝ dô 9: XÐt: f(x) = Lóc ®ã, th× f(x) kh«ng tån t¹i, nh­ng f(x) cã giíi h¹n ph¶i vµ giíi h¹n tr¸i tøc lµ: f(x) vµ f(x) ®Òu tån t¹i. §iÒu quan träng l­u ý, khi d¹y häc chñ ®Ò Giíi h¹n lµ lµm sao cho häc sinh hiÓu râ b¶n chÊt, lÜnh héi ®­îc néi dung vµ ý nghÜa cña kh¸i niÖm, n¾m ®­îc tinh thÇn c¬ b¶n ®Ó tõ ®ã cã kü n¨ng vËn dông vµo gi¶i to¸n. NÕu d¹y phÇn lý thuyÕt qu¸ trõu t­îng th× häc sinh kh«ng nh÷ng kh«ng n¾m ®­îc kiÕn thøc mµ cßn khã cã thÓ häc tèt ®­îc nh÷ng néi dung cßn l¹i cña Gi¶i tÝch. 2.1.3. C¸c c¸ch ®Þnh nghÜa sù liªn tôc - gi¸n ®o¹n hµm sè t¹i mét ®iÓm Cã nhiÒu ®iÓm kh¸c nhau vÒ ®Þnh nghÜa ''hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm'' ë trong c¸c bé SGK Gi¶i tÝch - §¹i sè líp 11 cña c¸c nhãm t¸c gi¶ trªn, tõ ®ã cã nhiÒu quan ®iÓm vÒ ''®iÓm gi¸n ®o¹n''. Ta nh×n nhËn ®iÓm kh¸c nhau ®ã: 2.1.3.1 . C¸ch1 : Cña nhãm t¸c gi¶ Ng« Thóc Lanh chñ biªn, 1995 §èi víi SGK §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 (chØnh lý hîp nhÊt 2000) l¹i ®­a ra ®Þnh nghÜa hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm nh­ sau: ''Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (c; b). Hµm sè f(x) ®­îc gäi lµ liªn tôc t¹i ®iÓm a ( c ; b ) nÕu f(x) = f(a)''. NÕu t¹i ®iÓm x = a, hµm sè kh«ng liªn tôc th× nã ®­îc gäi lµ gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x = a. Theo s¸ch nµy, hµm sè f(x) gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x = a nÕu x¶y ra mét trong hai ®iÒu kiÖn: i) Kh«ng tån t¹i f(x); ii) Tån t¹i f(x) nh­ng (x) f(a). Nh­ vËy, nÕu t¹i ®iÓm x = a hµm sè kh«ng x¸c ®Þnh th× ta kh«ng xÐt tÝnh liªn tôc còng nh­ tÝnh gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm ®ã. §iÒu nµy còng ®­îc kh¼ng ®Þnh trong h­íng dÉn gi¶ng d¹y to¸n 11 lµ: " Ta kh«ng ®Æt vÊn ®Ò xÐt tÝnh liªn tôc hay gi¸n ®o¹n cña c¸c ®iÓm kh«ng thuéc tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ". Nh­ng ®Õn phÇn bµi tËp, ngay tõ bµi tËp 1 ®· ®­a ra yªu cÇu: xÐt xem c¸c hµm sè sau ®©y cã liªn tôc t¹i mäi ®iÓm cña x kh«ng ? nÕu chóng kh«ng liªn tôc th× chØ ra c¸c ®iÓm kh«ng liªn tôc ®ã ? trong ®ã cã xÐt hµm sè y=; c©u tr¶ lêi ®­îc cho trong s¸ch bµi tËp §¹i sè- Gi¶i tÝch 11 lµ: Hµm nµy kh«ng liªn tôc t¹i x=0; x=2. Râ rµng hai gi¸ trÞ 0 vµ 2, kh«ng thuéc tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®· cho. Nh­ vËy, theo h­íng dÉn trªn th× ta kh«ng xÐt tÝnh liªn tôc hay gi¸n ®o¹n cña hµm sè t¹i 2 ®iÓm nµy. C©u tr¶ lêi nh­ vËy lµ cã m©u thuÉn gi÷a phÇn lý thuyÕt vµ phÇn bµi tËp. 2.1.3.2 . C¸ch 2 : Cña nhãm t¸c gi¶ Phan §øc ChÝnh chñ biªn, 1996 §èi víi SGK §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, Ban khoa häc tù nhiªn (1996) vµ SGK §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 (1996), ®­a ra ®Þnh nghÜa hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm : '' Hµm sè y = f (x) gäi lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x = a nÕu : i) f(x) x¸c ®Þnh t¹i x = a ; ii) f(x) = f(a)''. C¸ch ph¸t biÓu nµy cã ­u ®iÓm lµ lµm râ c¸c thuéc tÝnh b¶n chÊt cña kh¸i niÖm hµm sè liÖn tôc t¹i mét ®iÓm, nh­ng qu¸ dµi dßng. Hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i ®iÓm x = a th× gäi lµ gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x = a. Nh­ vËy theo s¸ch nµy, hµm sè f(x) gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x = a nÕu x¶y ra Ýt nhÊt mét trong ba ®iÒu kiÖn sau : i) f(x) kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x=a; ii) Kh«ng tån t¹i f(x) ; iii) Tån t¹i f(x) nh­ng f(x) f(a). 2.1.3.3. C¸ch 3 : Cña nhãm t¸c gi¶ TrÇn V¨n H¹o & Ng« Thóc Lanh chñ biªn 2000 §èi víi SGK §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, ®Þnh nghÜa hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm t­¬ng tù nh­ SGK chØnh lý hîp nhÊt n¨m 2000. ''Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (c;b). Hµm sè f(x) ®­îc gäi lµ liªn tôc t¹i ®iÓm a(c;b) nÕu f(x) = f(a)''. Hµm sè f(x) kh«ng liªn tôc t¹i ®iÓm x = a th× gäi lµ gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x = a, tuy nhiªn sau ®ã s¸ch ®· ®­a ra chó ý: " Nh­ vËy mét hµm sè f(x) lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x = a nÕu vµ chØ nÕu 3 ®iÒu kiÖn sau ®­îc tháa m·n ®ång thêi: i) f(x) x¸c ®Þnh t¹i x=a; ii) f(x) tån t¹i; iii) f(x) = f(a). Mét hµm sè lµ gi¸n ®o¹n t¹i x = a khi vµ chØ khi mét trong ba ®iÒu kiÖn kh«ng ®­îc tháa m·n ". VËy l¹i cã sù kh«ng thèng nhÊt trong ®Þnh nghÜa vÒ c¸c kh¸i niÖm liªn tôc - gi¸n ®o¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm. Qua ph©n tÝch trªn ta thÊy, cã nh÷ng quan ®iÓm vµ sù kh«ng thèng nhÊt vÒ c¸c kh¸i niÖm chñ ®Ò Giíi h¹n, do ®ã sÏ khã kh¨n cho häc sinh trong hiÓu vµ n¾m v÷ng kiÕn thøc, dÉn tíi khã kh¨n vµ sai lÇm trong øng dông vµo bµi tËp. 2.1.4. VÒ viÖc më réng kh¸i niÖm giíi h¹n cña d·y sè vµ hµm sè 2.1.4.1. Mét sè vÊn ®Ò vÒ giíi h¹n v« cùc cña d·y sè Ta biÕt: Kh«ng cã kh¸i niÖm ''sè d­¬ng v« cùc: +'', ''sè ©m v« cùc: -'',''sè v« cùc: '', mµ chØ lµ qui ­íc ký hiÖu: +, -, ®­îc sö dông trong lý thuyÕt Giíi h¹n. + Nh­ SGK bËc Phæ th«ng ë nhiÒu n­íc trªn thÕ giíi vµ trong khu vùc, ng­êi ta dïng hai kÝ hiÖu +vµ -. NÕu vËy, cã sù kh¸c biÖt víi SGK ë PTTH cña n­íc ta lµ chØ sö dông cã kÝ hiÖu lµ ®Ó viÕt Giíi h¹n v« cùc cña d·y sè. +Thùc tÕ, trong viÖc kh¶o s¸t hµm sè ë líp 12 ta chØ xÐt tÝnh chÊt hµm sè lµ + hay - kh«ng xÐt chung chung ë v« cùc . + H¬n n÷a, ngay c¶ bËc §¹i häc khi xÐt tËp hîp sè thùc R më réng còng chØ bæ sung hai phÇn tö lµ + vµ - mµ kh«ng sö dông kÝ hiÖu , tøc lµ: = R. V× vËy, nªn khi xÐt giíi h¹n v« cùc cña d·y sè nãi riªng, chñ ®Ò Giíi h¹n nãi chung ph¶i xÐt cô thÓ chØ râ rµng, giíi h¹n + hay giíi h¹n - tøc lµ un = + hoÆc un = - . Do R lµ mét tËp hîp s¾p thø tù nªn kh«ng thÓ kÕt luËn chung chung giíi h¹n lµ hay viÕtun= . Cho nªn, víi c¸ch nh×n nhËn nµy th× ph¶n ¸nh ®óng b¶n chÊt tÝnh giíi h¹n v« cùc cña d·y sè, khi xÐt trªn tËp hîp s¾p thø tù cña sè thùc R, nÕu nh­ vËy th×: VÝ dô 10: XÐt vµ víi q > 1. Nh­ng cßn c¸c giíi h¹n d·y sè vµ víi q M , n > n0 . KÝ hiÖu : un = +''. +) ''D·y sè un ®­îc gäi lµ cã giíi h¹n - khi n dÇn tíi d­¬ng v« cùc nÕu víi mçi sè d­¬ng M tån t¹i sè nguyªn d­¬ng n0 sao cho: un n0 , KÝ hiÖu : (un ) = -''. +) HoÆc ®Ó ®¬n gi¶n vµ lµm râ mèi quan hÖ gi÷a hai kh¸i niÖm () ta xem ®Þnh nghÜa d·y sè un cã giíi h¹n - th«ng qua + nh­ sau: ''D·y sè un ®­îc gäi lµ cã giíi h¹n - nÕu (-un ) = +”. b) VÒ kÝ hiÖu: +, - cã thÓ xem nh­ lµ Giíi h¹n cña d·y sè XÐt vÝ dô 15: = 0; = +; = - . Qua vÝ dô 15 nµy ta thÊy, víi ''mét sè thùc rÊt lín'' lµ nãi ®Õn mét sè cô thÓ ë “tr¹ng th¸i tÜnh t¹i, cè ®Þnh''. Cßn b¶n chÊt cña + vµ - kh«ng ph¶i lµ nh÷ng sè thùc cô thÓ rÊt lín nµo ®ã, mµ ®óng ra nãi ®Õn l©n cËn cña + tøc lµ kho¶ng (a, +) vµ l©n cËn cña - lµ kho¶ng (-; a ) víi R, do ®ã kh«ng thÓ thùc hiÖn c¸c qui t¾c hay phÐp to¸n ®¹i sè trªn chóng, nh­ng kÕt qu¶ giíi h¹n (nÕu cã) cña d·y sè un cã thÓ lµ: Giíi h¹n h÷u h¹n (0, h»ng sè L0 ) hoÆc Giíi h¹n v« cùc (), nªn ta cã thÓ xem kÝ hiÖu + vµ - nh­ lµ giíi h¹n cña d·y sè. Thùc ra, cã thÓ ®Þnh nghÜa ®­îc c¸c giíi h¹n v« cùc + vµ -, nh­ng ®Þnh nghÜa nµy kh¸c h¼n vÒ b¶n chÊt so víi ®Þnh nghÜa cña giíi h¹n h÷u h¹n. Nh­ vËy, khi thùc hµnh trong gi¶i to¸n häc sinh dÔ bÞ lÉn lén, gi÷a hai kh¸i niÖm ''giíi h¹n h÷u h¹n'' vµ ''giíi h¹n v« h¹n v« cùc'', trong viÖc biÕn ®æi c¸c phÐp to¸n vÒ giíi h¹n vµ dÉn ®Õn sai lÇm trong kÝ hiÖu nh­: = ? ; (+) - (+) = 0 ? ; 0 . = 0 ?... c) Kh«ng ph¶i mäi d·y sè ®Òu cã giíi h¹n h÷u h¹n hoÆc v« cùc () VÝ dô 16: D·y sè un = (-1)n kh«ng cã giíi h¹n h÷u h¹n vµ giíi h¹n v« cùc. VÝ dô 17 : XÐt vµ víi q 0 -  + (0.) (v« ®Þnh)+  -  -  0(0.) (v« ®Þnh) 0 0(0.) (v« ®Þnh)L'0 L'0 -  + + - (0.) (v« ®Þnh)- + +  *)Qui t¾c 4 - Sö dông víi phÐp to¸n: = KÕt qu¶ ®­îc thÓ hiÖn ë b¶ng 4 nh­ sau :  -  0 L0 +L0 -  (v« ®Þnh) 0  0 (v« ®Þnh) 0 0 - +  (v« ®Þnh)+-  -  0+ - - +  + L'0 L' 0 -  + + (v« ®Þnh) 0 0 (v« ®Þnh) Qua lËp 4 b¶ng nµy ta thÊy, nÕu chØ xem giíi h¹n v« cùc kiÓu chung chung lµ th× sÏ kh«ng cã kÕt qu¶ ë c¸c dßng vµ cét chia nhá cña 4 b¶ng trªn ( mçi b¶ng gåm 5 cét vµ 5 dßng chÝnh). Ngoµi ra, ë b¶ng 4 vµ b¶ng 5 sÏ kh«ng cã kÕt qu¶ - vµ + mµ chØ lµ , ®©y còng chÝnh lµ nh÷ng khã kh¨n vµ sai lÇm g©y th¾c m¾c cho häc sinh trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n vÒ t×m giíi h¹n nãi chung, giíi h¹n v« cùc nãi riªng, nhÊt lµ trong viÖc kh¶o s¸t hµm sè . 2.2. VÝ dô minh häa d¹y häc chñ ®Ò Giíi h¹n theo h­íng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh Theo tµi liÖu SGK thÝ ®iÓm n¨m 2004 cña Bé Gi¸o dôc - §µo t¹o, §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, kh¸i niÖm chñ ®Ò Giíi h¹n bao gåm c¸c néi dung vÒ: d·y sè, hµm sè vµ hµm sè liªn tôc, cô thÓ nh­ sau: Giíi h¹n d·y sè: Giíi h¹n 0giíi h¹n L 0D·y sè dÇn ra v« cùcun = 0un = L(un – L) =0un = -un= + Khi ®ã ®Þnh nghÜa giíi h¹n d·y sè ®­îc ph¸t biÓu nh­ sau: .) un = 0 | un | M (M lµ mét sè d­¬ng tïy ý cho tr­íc), kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã. .) un = - un +f(x) -> Lf(x)= Lf(x) = Lf(x) = Lf(x) = Lf(x) = Lf(x) ->+f(x)= + f(x) = +f(x) =+f(x) = +f(x) =+f(x) -> -f(x)= -f(x) = -f(x) = -f(x) = -f(x) = -TËpx¸c®ÞnK hoÆc K\ ( a ; b ) ( a ; x0 ) ( x0 ; b ) ( -; b ) ( a ; +) c) Hµm sè liªn tôc: §Þnh nghÜa hµm sè liªn tôc ®­îc ph¸t biÓu d¹ng nh­ sau: “ Hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn kho¶ng K, ®­îc gäi lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x0 K, nÕu “. 2.2.1. Thùc hiÖn kÕ ho¹ch bµi häc theo ph­¬ng ph¸p d¹y häc tÝch cùc víi kh¸i niÖm chñ ®Ò giíi h¹n 2.2.1.1. X©y dùng kÕ ho¹ch bµi häc X©y dùng kÕ ho¹ch bµi häc cô thÓ, thÓ hiÖn mèi quan hÖ t­¬ng t¸c gi÷a gi¸o viªn víi häc sinh, gi÷a häc sinh víi häc sinh nh»m gióp häc sinh ®¹t ®­îc môc tiªu bµi häc. a) C¸c b­íc x©y dùng kÕ ho¹ch bµi häc chñ ®Ò giíi h¹n a1. X¸c ®Þnh môc tiªu cña bµi häc chñ ®Ò giíi h¹n, c¨n cø vµo chuÈn kiÕn thøc, kÜ n¨ng vµ yªu cÇu vÒ th¸i ®é trong ch­¬ng tr×nh ë tr­êng THPT a2. Nghiªn cøu SGK vµ c¸c tµi liÖu liªn quan chñ ®Ò giíi h¹n ®Ó : - HiÓu chÝnh x¸c, ®Çy ®ñ nh÷ng néi dung bµi häc vÒ chñ ®Ò giíi h¹n . - X¸c ®Þnh nh÷ng kiÕn thøc, kÜ n¨ng, th¸i ®é c¬ b¶n cÇn h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn ë häc sinh khi häc chñ ®Ò nµy. - X¸c ®Þnh tr×nh tù l«gic cña bµi häc chñ ®Ò giíi h¹n . a3 . X¸c ®Þnh nh÷ng kh¶ n¨ng ®¸p øng nhiÖm vô nhËn thøc cña häc sinh : - X¸c ®Þnh nh÷ng kiÕn thøc kÜ n¨ng mµ häc sinh ®· cã vµ cÇn cã khi häc chñ ®Ò giíi h¹n . - Dù kiÕn nh÷ng khã kh¨n t×nh huèng cã thÓ n¶y sinh vµ c¸c ph­¬ng ¸n gi¶i quyÕt trong b­íc ®Çu tiÕp cËn chñ ®Ò vÒ giíi h¹n. a4 . Lùa chän ph­¬ng ph¸p d¹y häc; ph­¬ng tiÖn thiÕt bÞ d¹y häc ; h×nh thøc tæ chøc d¹y häc vµ c¸ch thøc ®¸nh gi¸ thÝch hîp nh»m gióp häc sinh häc tËp tÝch cùc, chñ ®éng, s¸ng t¹o, ph¸t triÓn n¨ng lùc tù häc qua häc chñ ®Ò giíi h¹n . a5 . X©y dùng kÕ ho¹ch bµi häc chñ ®Ò giíi h¹n : X¸c ®Þnh môc tiªu, thiÕt kÕ néi dung, nhiÖm vô, c¸ch thøc ho¹t ®éng, thêi gian vµ yªu cÇu cÇn ®¹t cho tõng ho¹t ®éng d¹y cña gi¸o viªn vµ ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh. b ) CÊu tróc cña mét kÕ ho¹ch bµi häc chñ ®Ò giíi h¹n ®­îc thÓ hiÖn ë c¸c néi dung sau . b1. Môc tiªu bµi häc : - Nªu râ yªu cÇu häc sinh cÇn ®¹t vÒ kiÕn thøc, kÜ n¨ng, th¸i ®é khi häc chñ ®Ò giíi h¹n . - C¸c môc tiªu ®­îc biÓu ®¹t b»ng ®éng tõ cô thÓ, cã thÓ l­îng ho¸ ®­îc. Môc tiªu kiÕn thøc : gåm 6 møc ®é nhËn thøc: + NhËn biÕt : NhËn biÕt th«ng tin ghi nhí t¸i hiÖn th«ng tin . + Th«ng hiÓu : Gi¶i thÝch ®­îc, chøng minh ®­îc. + VËn dông : VËn dông nhËn biÕt th«ng tin ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò ®Æt ra. + Ph©n tÝch : chia th«ng tin ra thµnh c¸c phÇn th«ng tin nhá vµ thiÕt lËp mèi liªn hÖ phô thuéc lÉn nhau gi÷a chóng. + Tæng hîp : ThiÕt kÕ l¹i th«ng tin tõ c¸c nguån tµi liÖu kh¸c nhau vµ trªn c¬ së ®ã t¹o lËp nªn mét mÉu h×nh. + §¸nh gi¸ : Th¶o luËn vÒ gi¸ trÞ cña mét t­ t­ëng, mét ph­¬ng ph¸p, mét néi dung kiÕn thøc. §©y lµ mét b­íc míi trong viÖc lÜnh héi kiÕn thøc ®­îc ®Æc tr­ng bëi viÖc ®i s©u vµo b¶n chÊt cña ®èi t­îng, hiÖn t­îng. Môc tiªu kÜ n¨ng: Gåm hai møc ®é lµm ®­îc vµ th«ng th¹o vÒ d¹ng to¸n chñ ®Ò giíi h¹n . Môc tiªu th¸i ®é : T¹o sù h×nh thµnh thãi quen, tÝnh c¸ch nh»m ph¸t triÓn con ng­êi toµn diÖn theo môc tiªu gi¸o dôc. b2. ChuÈn bÞ cña gi¸o viªn vµ häc sinh : - Gi¸o viªn chuÈn bÞ c¸c thiÕt bÞ d¹y häc ( tranh ¶nh, m« h×nh, hiÖn vËt ...), c¸c ph­¬ng tiÖn vµ tµi liÖu d¹y häc cÇn thiÕt liªn quan ®Õn kh¸i niÖm giíi h¹n. - Gi¸o viªn h­íng dÉn häc sinh chuÈn bÞ bµi häc, lµm bµi tËp, chuÈn bÞ tµi liÖu ®å dïng cÇn thiÕt phôc vô cho viÖc häc chñ ®Ò giíi h¹n . b3 . Tæ chøc c¸c ho¹t ®éng d¹y häc : Tr×nh bµy râ c¸ch thøc triÓn khai c¸c ho¹t ®éng d¹y - häc cô thÓ tõng bµi vÒ chñ ®Ò giíi h¹n . b4 . H­íng dÉn c¸c ho¹t ®éng nèi tiÕp : X¸c ®Þnh nh÷ng viÖc häc sinh cÇn ph¶i tiÕp tôc thùc hiÖn sau giê häc ®Ó còng cè, kh¾c s©u, më réng bµi cò hoÆc ®Ó chuÈn bÞ cho viÖc häc bµi míi qua häc kh¸i niÖm giíi h¹n . 2.2.1.2. Mét sè h×nh thøc tr×nh bµy kÕ ho¹ch bµi häc cña chñ ®Ò giíi h¹n a ) ViÕt thø tù hÖ thèng c¸c ho¹t ®éng, c©u hái theo thø tù trªn xuèng d­íi. b ) ViÕt hÖ thèng c¸c ho¹t ®éng theo 2 cét : + Ho¹t ®éng cña gi¸o viªn; + Ho¹t ®éng cña häc sinh . c ) ViÕt hÖ thèng c¸c ho¹t ®éng theo 3 cét : + Ho¹t ®éng cña gi¸o viªn; + Ho¹t ®éng cña häc sinh ; + Néi dung ghi b¶ng , hoÆc tiªu ®Ò néi dung chÝnh vµ thêi gian thùc hiÖn. d ) ViÕt hÖ thèng c¸c ho¹t ®éng theo 4 cét : + Ho¹t ®éng cña gi¸o viªn; + Ho¹t ®éng cña häc sinh ; + Néi dung ghi b¶ng ; + Tiªu ®Ò néi dung chÝnh vµ thêi gian thùc hiÖn . 2.2.1.3. Ph©n chia hÖ thèng c¸c nhãm ho¹t ®éng theo tr×nh tù kÕ ho¹ch bµi häc vÒ chñ ®Ò giíi h¹n Nhãm 1: KiÓm tra, hÖ thèng, «n l¹i bµi cò c¸c kiÕn thøc liªn quan ®Õn kh¸i niÖm giíi h¹n vµ chuyÓn tiÕp sang bµi míi; Nhãm 2: H­íng dÉn, diÔn gi¶i, kh¸m ph¸, ph¸t hiÖn t×nh huèng, ®Æt vµ nªu vÊn ®Ò liªn quan ®Õn kh¸i niÖm giíi h¹n ; Nhãm 3 : §Ó häc sinh tù t×m kiÕm, kh¸m ph¸, ph¸t hiÖn thö nghiÖm, qui n¹p suy diÔn, ®Ó t×m ra kÕt qu¶, gi¶i quyÕt vÊn ®Ò kh¸i niÖm giíi h¹n ; Nhãm 4 : Rót ra kÕt luËn, tæng kÕt, hÖ thèng kÕt qu¶, hÖ thèng ho¹t ®éng vµ ®­a ra kÕt luËn gi¶i quyÕt vÊn ®Ò vÒ giíi h¹n; Nhãm 5 : TiÕp tôc còng cè, kh¾c s©u kiÕn thøc, rÌn luyÖn kü n¨ng ®Ó vËn dông vµo gi¶i bµi tËp vÒ giíi h¹n vµ ¸p dông vµo cuéc sèng . 2.2.1.4. Tr×nh tù cña lËp kÕ ho¹ch bµi häc chñ ®Ò giíi h¹n - §äc kÜ bµi häc trong SGK, s¸ch gi¸o viªn, s¸ch tham kh¶o cã liªn quan ®Õn kh¸i niÖm chñ ®Ò Giíi h¹n; - Tr¶ lêi c¸c c©u hái, gi¶i bµi tËp vÒ kh¸i niÖm chñ ®Ò giíi h¹n ; - H×nh dung ph­¬ng ph¸p d¹y häc, ph­¬ng tiÖn d¹y häc, thiÕt bÞ d¹y häc hÖ thèng c¸c c©u hái tr¾c nghiÖm kh¸ch quan vµ ph­¬ng ph¸p ®¸ng gi¸ khi d¹y häc chñ ®Ò giíi h¹n ; - ChuÈn bÞ hÖ thèng c¸c nhãm ho¹t ®éng theo tr×nh tù trªn ®Ó viÕt kÕ ho¹ch bµi d¹y cô thÓ cho tõng bµi vÒ chñ ®Ò giíi h¹n ; - H×nh thµnh c¸ch d¹y bµi häc, c¸ch tæ chøc giê häc vÒ chñ ®Ò giíi h¹n ( chó ý sö dông ph­¬ng tiÖn d¹y häc, thiÕt bÞ d¹y häc , ®¸nh gi¸ kÕt qu¶ trong d¹y häc). - ViÕt kÕ ho¹ch bµi d¹y chñ ®Ò giíi h¹n theo cÊu tróc trªn . 2.2.1.5. Thùc hiÖn kÕ ho¹ch bµi häc vÒ chñ ®Ò giíi h¹n a ) KiÓm tra sù chuÈn bÞ ( cã thÓ thùc hiÖn ®Çu giê häc hoÆc cã thÓ ®an xen trong qu¸ tr×nh d¹y häc kiÕn thøc giíi h¹n ) - KiÓm tra viÖc n¾m v÷ng bµi häc cò cã liªn quan ®Õn kiÕn thøc giíi h¹n . - KiÓm tra t×nh h×nh chuÈn bÞ bµi häc (lµm bµi tËp, chuÈn bÞ tµi liÖu vµ ®å dïng häc tËp cÇn thiÕt ). b ) Tæ chøc d¹y vµ häc bµi míi - Gi¸o viªn giíi thiÖu bµi häc míi : nªu nhiÖm vô häc tËp vµ c¸ch thøc thùc hiÖn ®Ó ®¹t ®­îc môc tiªu bµi häc ; t¹o ®éng c¬ häc tËp cho sinh ; - Gi¸o viªn tæ chøc, h­íng dÉn häc sinh suy nghÜ, t×m hiÓu kh¸m ph¸ vµ lÜnh héi néi dung bµi häc, nh»m ®¹t ®­îc môc tiªu bµi häc víi sù vËn dông ph­ng ph¸p d¹y häc phï hîp . c ) LuyÖn tËp còng cè Gi¸o viªn h­íng dÉn häc sinh cñng cè kh¾c s©u nh÷ng kiÕn thøc kÜ n¨ng th¸i ®é ®· cã th«ng qua ho¹t ®éng thùc hµnh luyÖn tËp cã tÝnh tæng hîp n©ng cao theo nh÷ng h×nh thøc kh¸c nhau vÒ kiÕn thøc giíi h¹n . d) §¸nh gi¸ - Trªn c¬ së ®èi chiÕu víi môc tiªu bµi häc, gi¸o viªn dù kiÕn mét sè c©u hái bµi tËp kh¸i niÖm giíi h¹n vµ tæ chøc cho häc sinh tù ®¸nh gi¸ vÒ kÕt qu¶ häc tËp cña b¶n th©n vµ cña b¹n . Gi¸o viªn ®¸nh gi¸ tæng kÕt vÒ kÕt qu¶ giê häc . e) H­íng dÉn häc sinh häc bµi vµ lµm viÖc ë nhµ - Gi¸o viªn h­íng dÉn häc sinh luyÖn tËp, cñng cè bµi cñ th«ng qua lµm bµi tËp thùc hµnh, tù «n luyÖn, hÖ thèng l¹i c¸c kiÕn thøc giíi h¹n ®· häc. - Gi¸o viªn h­íng dÉn häc sinh chuÈn bÞ bµi häc míi. 2.2.2. Minh häa d¹y häc vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n theo h­íng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh §Ó ph¸t huy TTCNT cña häc sinh cÇn x©y dùng ph­¬ng tiÖn trùc quan t­îng tr­ng (m« h×nh, h×nh vÏ, s¬ ®å, ®å thÞ, biÓu b¶ng,…) lµm chæ dùa trùc gi¸c. X©y dùng hÖ thèng vÝ dô vµ ph¶n vÝ dô kÕt hîp víi c¸c ph­¬ng tiÖn trùc quan tæ chøc cho häc sinh h×nh dung ®­îc néi dung kh¸i niÖm, ph¸t hiÖn dÊu hiÖu b¶n chÊt cña kh¸i niÖm vµ kh¸i qu¸t h×nh thµnh kh¸i niÖm. Theo nh­ ®Þnh h­íng nhãm t¸c gi¶ §oµn Quúnh chñ biªn lµ kh«ng dïng ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm Giíi h¹n th«ng qua ®Þnh nghÜa ng«n ng÷ '','', '', '' chñ yÕu do häc sinh khã cã thÓ lÜnh héi ®­îc c¸c ®Þnh nghÜa qua h×nh thøc ®ã. Nh­ng ngay c¶ khi kh«ng cßn sö dông ®Þnh nghÜa nh­ vËy n÷a vµ theo ®Þnh nghÜa kiÓu m« t¶ th× ng­êi ta thõa nhËn r»ng kh«ng thÓ ®ßi hái häc sinh hiÓu mét c¸ch s©u s¾c b¶n chÊt s©u s¾c vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n, chÝnh v× vËy chØ yªu cÇu häc sinh hiÓu kh¸i niÖm mét c¸ch trùc quan vµ b­íc ®Çu h×nh dung ®­îc thÕ nµo lµ giíi h¹n d·y sè, hµm sè tõ ®ã biÕt lÜnh héi, vËn dông c¸c ®Þnh nghÜa, ®Þnh lý, ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n vÒ giíi h¹n. Thùc tÕ ®©u ®ã trong c¸ch d¹y häc gi¸o viªn th­êng l­ít qua ®¹i kh¸i c¸c ®Þnh nghÜa vµ chØ tËp trung luyÖn tËp cho häc sinh c¸c thñ thuËt tÝnh giíi h¹n, khö c¸c d¹ng v« ®Þnh hay xÐt tÝnh liªn tôc. KÕt qu¶ cuèi cïng kh«ng Ýt häc sinh kh«ng nh÷ng biÕt gi¶i c¸c bµi tËp liªn quan mµ cßn gi¶i thµnh th¹o nh­ng rèt côc l¹i kh«ng hiÓu b¶n chÊt kh¸i niÖm vÒ giíi h¹n vµ liªn tôc. 2.2.2.1. VÝ dô minh häa d¹y häc kh¸i niÖm Giíi h¹n d·y sè a) Môc tiªu +) VÒ kiÕn thøc: HiÓu ®­îc mét c¸ch trùc quan, vµ n¾m ®­îc b¶n chÊt kh¸i niÖm giíi h¹n cña d·y sè cã thÓ lµ: 0 ; L0; , th«ng qua xÐt c¸c vÝ dô. +) VÒ kÜ n¨ng: Gióp häc sinh biÕt vËn dông ®Þnh nghÜa vµ c¸c kÕt qu¶ c¬ b¶n ®Æc biÖt ®Ó nhËn biÕt chøng minh d·y sè cã giíi h¹n vµ tÝnh giíi h¹n d·y sè. +) VÒ t­ duy: B­íc ®Çu h×nh thµnh kiÓu t­ duy logÝc, linh ho¹t, ph¸t triÓn suy luËn to¸n häc g¾n liÒn víi sù v« h¹n, liªn tôc, biÕn thiªn +) VÒ th¸i ®é: Cã th¸i ®é häc tËp tÝch cùc, ®éc lËp, ph¸t huy tÝnh s¸nh t¹o. b) ChuÈn bÞ ph­¬ng tiÖn trùc quan d¹y häc +) Thùc tiÔn: Häc sinh biÕt biÓu diÔn s¾p xÕp thø tù c¸c sè thùc trªn trôc sè. +) Ph­¬ng tiÖn: ChuÈn bÞ b¶ng biÓu, ®Ó minh häa giíi h¹n d·y sè trªn trôc sè. c) Gîi ý vÒ ph­¬ng ph¸p d¹y häc Sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p d¹y häc c¬ b¶n sau mét c¸ch linh ho¹t nh»m ph¸t huy TTCNT gióp häc sinh tù t×m tßi, ph¸t hiÖn chiÕm lÜh tri thøc chñ ®éng: + Gîi më, vÊn ®¸p ; + Ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò; + Tæ chøc ®an xen ho¹t ®éng häc tËp c¸ nh©n vµ nhãm d) VÝ dô minh häa d¹y häc kh¸i niÖm Giíi h¹n d·y sè theo h­íng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh. *) X©y dùng ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm Giíi h¹n d·y sè: §Ó gîi nhu cÇu cho häc sinh nhËn thøc, h×nh dung ®­îc néi dung kh¸i niÖm, ph¸t hiÖn dÊu hiÖu b¶n chÊt vµ kh¸i qu¸t h×nh thµnh, cñng cè, kh¾c s©u kh¸i niÖm vÒ Giíi h¹n cña d·y sè ®iÒu quan träng lµ häc sinh hiÓu ®­îc b¶n chÊt kh¸i niÖm mÖnh ®Ò, kh«ng nªn coi träng lËp luËn chÆt chÏ chÝnh x¸c to¸n häc, ®­a ra xÐt vÝ dô gióp häc sinh h×nh dung giíi h¹n cña d·y sè: B­íc 1 : Tæ chøc cho häc sinh ph¸t hiÖn b¶n chÊt kh¸i niÖm giíi h¹n d·y sè VÝ dô 20: XÐt d·y sè un = ; n = 1,2,3,… (?1): ViÕt mét sè c¸c sè h¹ng d¹ng khai triÓn cña d·y sè ®ã ? (!) : Lµ -1,. (?2) :Th«ng qua biÓu diÔn c¸c sè h¹ng cña d·y un = trªn trôc sè nhËn xÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña c¸c ®iÓm ®ã víi ®iÓm 0 ? (!) : Khi n t¨ng ®iÓm biÓu diÔn “chôm l¹i “ quanh ®iÓm 0 (ë h×nh vÏ). un un+2 0 un+1 ( D·y cã giíi h¹n 0) (?3): Khi n+th× kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm un víi ®iÓm 0 tøc |un- 0| = |un| = ? nhËn xÐt ? (!) : Kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm un ®Õn ®iÓm 0, tøc | un| = trë nªn nhá bao nhiªu còng ®­îc (nh­ng kh«ng thÓ b»ng 0), khi n cµng lín. (?4) : H·y minh häa râ qua lËp b¶ng ? (!) : Cô thÓ n 1 2 … 10 11 … 76 77 …1000000 1000001 1000002 … 1 … … … ... (?5) : Mäi sè h¹ng ®· cho, kÓ tõ sè h¹ng thø mÊy trë ®i, th× ®Òu cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhá h¬n sè d­¬ng () lµ V× sao ? ( !) : Víi sè d­¬ng tøc lµ |un| = 1000000, nghÜa lµ b¾t ®Çu tõ sè h¹ng thø 1000001 trë ®i; (!) : V× khi ®ã th× |un| ”; + Thay bëi - M ( hoÆc M ); + Bá dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña Un miÒn gi¸ trÞ cña Un = ? ; + Thay côm tõ “nhá tïy ý “ , bëi côm tõ “lín tïy ý “ ; th× ®ã lµ néi dung hai ®Þnh nghÜa vÒ kh¸i niÖm giíi h¹n ©m v« cùc ( d­¬ng v« cùc), h·y ph¸t biÓu ? (!) : §Þnh nghÜa 3: "un = + un > M , víi M lµ mét sè thùc d­¬ng lín tïy ý cho tr­íc, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i". (!): §Þnh nghÜa 4: "un = - un > - M, víi M lµ mét sè thùc d­¬ng lín tïy ý cho tr­íc, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i ". (? 10): Mèi liªn hÖ gi÷a hai ®Þnh nghÜa 3 vµ ®Þnh nghÜa 4 ? (!) : Xem ®Þnh nghÜa d·y sè un cã giíi h¹n - th«ng qua + nh­ sau: ''D·y sè un ®­îc gäi lµ cã giíi h¹n - nÕu (- un ) = +”. B­íc 3: NhËn d¹ng cñng cè, kh¾c s©u kh¸i niÖm vÒ Giíi h¹n cña d·y sè (?11): Ph©n biÖt râ ''giíi h¹n h÷u h¹n '' vµ ''giíi h¹n v« h¹n”minh häa trôc sè ? + Khi n t¨ng c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c sè h¹ng cña d·y sè un cã giíi h¹n h÷u h¹n lµ L (víi LR) th× chôm l¹i quanh ®iÓm L. +Víi n t¨ng c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c sè h¹ng cña d·y sè un cã giíi h¹n v« cùc: + (hoÆc - ) lµ mét ''qu¸ tr×nh biÕn thiªn'' ®i xa m·i theo chiÒu d­¬ng (hoÆc chiÒu ©m) cña trôc sè v­ît qua mäi ®iÓm M ( hoÆc - M ) cho tr­íc dï sè thùc d­¬ng M lín tïy ý ®Õn ®©u th× ®iÓm biÓu diÔn cña d·y sè un ®Òu n»m bªn ph¶i ®iÓm M ( hoÆc ®Òu n»m bªn tr¸i ®iÓm M ) cã thÓ kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®­îc minh häa râ ë h×nh vÏ : un un+2 L un+1 ( D·y cã giíi h¹n L) -M (D·y cã giíi h¹n - ) M un un+1 un+2 (D·y cã giíi h¹n +) §©y lµ b­íc kh«ng thÓ thiÕu ®­îc khi häc vÒ kh¸i niÖm míi, ®Ó còng cè cho häc sinh ta dïng c¸c bµi to¸n mµ trong ®ã ph¶i tr¶ lêi c¸c c©u hái nh­: “ kÓ tõ sè h¹ng nµo trë ®i th× nhá h¬n mét sè d­¬ng (cho tr­íc nhá tïy ý nh­ng kh«ng thÓ b»ng 0) ?”, b»ng c¸ch cho : Lµm bµi kiÓm tra (15 phót) sau ®©y: C©u 1 : Cho d·y sè un = . C¸c kho¶ng nµo cho sau ®©y chøa tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña d·y (cã thÓ trõ ra mét sè h÷u h¹n sè h¹ng cña d·y) ? A. B. C. D. C©u 2 : Cho d·y sè un = C¸c kho¶ng nµo cho sau ®©y chøa tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña d·y (cã thÓ trõ ra mét sè h÷u h¹n sè h¹ng cña d·y) ? A. B. C. (2;3) D. C©u 3 : H·y cho biÕt d·y nµo cã giíi h¹n ? A. un = víi q 0. Nh­ng lÊy (***) trõ ®i (****) ta cã : x - x = 1 hay x = -2 . VËy tõ ®ã ta dÉn ®Õn -2 lµ mét sè d­¬ng. C¸c nghÞch lý trªn cho thÊy c¸c phÐp to¸n vµ qui t¾c ®¹i sè kh«ng gi¶i thÝch ®­îc c¸c phÐp to¸n liªn quan ®Õn quy tr×nh v« h¹n. Nh­ vËy, nhu cÇu tÊt yÕu lµ kh¸m ph¸ phÐp to¸n míi ®Ó gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò liªn quan ®Õn nghÞch lÝ trªn. §èi víi c¸ch d¹y d¹ng nµy phï hîp víi tiÕt d¹y tù chän, ngo¹i khãa. Qua ®©y cho häc sinh thÊy ®­îc sù h¹n chÕ cña phÐp to¸n vµ qui t¾c ®¹i sè trong viÖc gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò liªn quan tíi sù v« h¹n. MÆt kh¸c t¹o ®éng c¬ tiÕp thu kh¸i niÖm míi, còng nh­ cho häc sinh ý thøc ®ù¬c tÇm quan träng cña kh¸i niÖm giíi h¹n vµ cã nhu cÇu høng thó häc vÒ kh¸i niÖm giíi h¹n. Thùc tÕ, trong d¹y häc tïy vµo tõng ®èi t­îng häc sinh ®Ó cã ph­¬ng ph¸p d¹y häc phï hîp, kh«ng ph¶i nh÷ng c©u hái ®Æt ra ®Òu ®­îc häc sÞnh tr¶ lêi ®óng nh­ mong ®îi, v× vËy trªn ®©y lµ nh÷ng c©u hái vµ tr¶ lêi ®Þnh h­íng m¾t xÝch cña vÊn ®Ò, ®Ó ph¸t huy ®­îc TTCNT cña häc sinh khi x©y dùng vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n d·y sè, ®ßi hái b¶n th©n mçi gi¸o viªn, ph¶i tinh tÕ, lùa chän sö lý c¸c t×nh huèng, vËn dông nh÷ng biÖn ph¸p, ph­¬ng thøc s­ ph¹m thÝch hîp sao cho ®¹t ®­îc kÕt qu¶ trong qu¸ tr×nh d¹y häc . 2.2.3. D¹y häc bµi tËp vÒ Giíi h¹n víi chøc n¨ng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh. Trong d¹y häc, bµi tËp to¸n ®­îc sö dông víi nh÷ng chøc n¨ng kh¸c nhau nh­: d¹y häc, ph¸t triÓn, gi¸o dôc, kiÓm tra. Mçi bµi tËp to¸n cô thÓ cã dông ý vµ nh÷ng chøc n¨ng kh¸c nhau, nh­ ë ®©y víi chøc n¨ng d¹y häc bµi tËp ®­îc x©y dùng nh»m h×nh thµnh ý thøc tù còng cè ®µo s©u, hÖ thèng hãa kh¸i niÖm vµ rÌn luyÖn kü n¨ng kü x¶o cho häc sinh ®èi víi c¸c kiÕn thøc vÒ kh¸i niÖm chñ ®Ò giíi h¹n ®· häc, bµi tËp nh­ thÕ nµy lµ h×nh thøc tèt nhÊt ®Ó ph¸t huy TTCNT cña häc sinh. 2.2.3.1. Bµi tËp vÒ Giíi h¹n lµ ph­¬ng tiÖn ph¸t huy TTCNT cña häc sinh Trong d¹y häc To¸n ë tr­êng phæ th«ng, cã thÓ xem viÖc gi¶i to¸n lµ h×nh thøc chñ yÕu cña ho¹t ®éng to¸n häc ®èi víi häc sinh. HÖ thèng bµi tËp to¸n lµ cÇu nèi g¾n liÒn lÝ thuyÕt víi thùc tiÔn, ®ång thêi bµi tËp lµ h×nh thøc tèt nhÊt ®Ó rÌn luyÖn tÝnh tÝch cùc trong ho¹t ®éng nhËn thøc ë häc sinh, ®©y lµ mét ph­¬ng tiÖn rÊt cã hiÖu qu¶ vµ kh«ng thÓ thay thÕ ®­îc trong viÖc gióp häc sinh n¾m v÷ng tri thøc, ph¸t triÓn t­ duy, h×nh thµnh kü n¨ng, kü x¶o vËn dông to¸n häc vµo thùc tiÔn. V× vËy, lµm bµi tËp to¸n nãi chung vµ gi¶i bµi tËp vÒ chñ ®Ò Giíi h¹n nãi riªng lµ mét ph­¬ng tiÖn tèt ®Ó ph¸t huy TTCNT cña häc sinh. 2.2.3.2. VÝ dô minh häa d¹y häc luyÖn tËp vÒ c¸c bµi to¸n tÝnh Giíi h¹n vµ xÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè theo h­íng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh. i) VÝ dô d¹ng bµi tËp vÒ Giíi h¹n v« cùc vµ dÇn vÒ v« cùc cña hµm sè Thùc tÕ cho thÊy c¸c d¹ng bµi tËp vÒ giíi h¹n cña hµm sè nh­: khö c¸c d¹ng v« ®Þnh,…nãi chung häc sinh còng ®· ®­îc lµm quen vµ thùc hµnh t­¬ng ®èi nhiÒu ë c¸c lo¹i s¸ch tham kh¶o, nh­ng ®èi víi d¹ng bµi tËp nµy häc sinh th­êng gÆp khã kh¨n bëi v× c¨n b¶n ë SGK ch­a ph©n biÖt v« cùc râ rµng ra + vµ - mµ th­êng dïng chung chung lµ , nªn khi tÝnh giíi h¹n cña hµm sè cïng lµ mét c¸ch tiÕn cña x tíi ®iÓm gi¸p ranh x = a nµo ®ã, mµ vÒ hai phÝa kh¸c nhau cña ®iÓm x = a ®ã lµ , nh­ng kÕt qu¶ dÉn ®Õn hai gi¸ trÞ hoµn toµn kh¸c nhau, ch¼ng h¹n lµ: + vµ - . HoÆc khi , hoµn toµn xa nhau nh­ng hµm sè dÇn vÒ hai phÝa cña mét gi¸ trÞ lµ L+; L ®èi víi d¹ng bµi tËp nµy sö dông ph­¬ng tiÖn biÓu ®å, ®å thÞ lµm chæ dùa trùc quan b¶n chÊt cña vÊn ®Ò, cô thÓ ®­îc minh häa râ qua c¸c d¹ng bµi tËp sau: Bµi tËp 1: Cho hµm sè vµ ®­êng th¼ng y = x (cã ®å thÞ h×nh 5). a) Quan s¸t vµ nªu nhËn xÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®å thÞ trªn hÖ trôc täa ®é, dù ®o¸n giíi h¹n cña hµm sè khi x 0+, x 0 - , x-, x + ? b) KiÓm tra l¹i c¸c nhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n nªu trªn b»ng c¸ch t×m : , , , , = 0 ?, = 0 ? Gi¶i: a) Quan s¸t ®å thÞ vµ nªu nhËn xÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®å thÞ trªn hÖ trôc täa ®é, dù ®o¸n giíi h¹n cña hµm sè + Khi x 0+, th× + vµ ®å thÞ cña hµm sè cµng ®i lªn cµng s¸t dÇn bªn ph¶i víi trôc tung tøc : = +. + Khi x 0- , th× - vµ ®å thÞ cña hµm sè cµng ®i xuèng cµng s¸t dÇn bªn tr¸i víi trôc tung tøc lµ : = -. + Khi x -, th× - nghÜa : = -vµ ®å thÞ cña hµm sè cµng ®i xuèng cµng s¸t dÇn phÝa d­íi víi ®­êng th¼ng y = x tøc lµ : = 0 . + Khi x+, th× + nghÜa : = + vµ ®å thÞ cña hµm sè cµng ®i lªn cµng s¸t dÇn phÝa trªn víi ®­êng th¼ng y = x tøc lµ : = 0 . KÕt hîp sö dông kÕt qu¶ cña qui t¾c vÒ xÐt dÊu phÐp to¸n chia v« cùc, ta cã: = = + ; = = -; = = - ; = = +; = = ; = = . (h×nh 5- cña bµi tËp 1 ) (h×nh 6- cña bµi tËp 2) Bµi tËp 2 : Cho hµm sè = (cã ®å thÞ nh­ h×nh 6) a) Dùa vµo ®å thÞ vµ nªu nhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n cña hµm sè = khi , , , , , ? b ) KiÓm tra l¹i c¸c nhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n nªu trªn b»ng c¸ch t×m : , , , , , ? Gi¶i :a) Dùa vµo ®å thÞ vµ dù ®o¸n giíi h¹n cña: = = -, = +, = +, = -, = 2 +, = 2 + . KiÓm tra l¹i c¸c nhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n nªu trªn b»ng c¸ch t×m : , , , , , KÕt hîp sö dông kÕt qu¶ cña b¶ng 4 qui t¾c phÐp to¸n chia v« cùc, ta cã: *) V×(2x2-15x+12) = -1 0 th× ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm hay kh«ng trong kho¶ng (a;b) ? Cho vÝ dô minh häa ? Gi¶i : Víi hµm sè f(x) liªn tôc trªn [a;b]. NÕu f(a).f(b) > 0 th× ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 cã thÓ cã nghiÖm hoÆc v« nghiÖm trong kho¶ng (a;b), ch¼ng h¹n: XÐt hµm sè f(x) = x2 – 1 liªn tôc trªn [-2;2] vµ f(-2). f(2) = 9 > 0. Ph­¬ng tr×nh x2 – 1 = 0 cã nghiÖm x = 1 trong kho¶ng (-2;2). XÐt hµm sè (x) = x2 + 1 liªn tôc trªn [-1;1] vµ f(-1). f(1) = 4 > 0. Ph­¬ng tr×nh x2 + 1 = 0 v« nghiÖm trong kho¶ng (-1;1) mµ cßn v« nghiÖn trªn R. Bµi tËp 5: Cho hµm sè f(x) kh«ng lªn tôc trªn ®o¹n [a;b], nh­ng f(a).f(b) 1,64 = nªn Gi¶ thuyÕt H0 bÞ b¸c bá. VËy ph­¬ng ph¸p d¹y ë líp thùc nghiÖm tèt h¬n so víi ph­¬ng ph¸p d¹y ë líp ®èi chøng. 3.4. KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm Qu¸ tr×nh thùc nghiÖm cïng nh÷ng kÕt qu¶ rót ra sau thùc nghiÖm cho thÊy: môc ®Ých thùc nghiÖm ®· ®­îc hoµn thµnh, tÝnh kh¶ thi vµ hiÖu qu¶ cña c¸c quan ®iÓm ®· ®­îc kh¼ng ®Þnh. Thùc hiÖn c¸c ph­¬ng thøc ®ã sÏ gãp phÇn ph¸t huy TTCNT cña häc sinh, ®ång thêi gãp phÇn quan träng vµo viÖc n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y häc m«n To¸n ë tr­êng THPT. KÕt luËn LuËn v¨n ®· thu ®­îc nh÷ng kÕt qu¶ chÝnh sau ®©y: 1. §· hÖ thèng hãa c¸c quan ®iÓm cña nhiÒu nhµ khoa häc vÒ c¸ch ph¸t huy TTTCN cña häc sinh trong d¹y häc nãi chung, còng nh­ trong d¹y häc ®Æc thï cña bé m«n To¸n nãi riªng ; 2. LuËn v¨n lµm s¸ng tá nhËn ®Þnh c¸c quan ®iÓm gi¶i tÝch tõ ®ã ®· hÖ thèng hãa, ph©n tÝch, diÔn gi¶i ®­îc nh÷ng c¸ch tiÕp cËn chñ ®Ò kh¸i niÖm giíi h¹n ; 3. §· ®Ò xuÊt ®­îc xu h­íng d¹y häc phï hîp víi viÖc tËp luyÖn cho häc sinh ph¸t huy ®­îc TTCNT cô thÓ lµ x©y dùng ®­îc n¨m ph­¬ng thøc s­ ph¹m th«ng qua d¹y häc chñ ®Ò c¸c kh¸i niÖm giíi h¹n cña gi¶i tÝch ë bËc THPT; 4. §· phÇn nµo lµm s¸ng tá thùc tr¹ng vÒ d¹y häc chñ ®Ò c¸c kh¸i niÖm giíi h¹n b»ng viÖc m« t¶ nh÷ng khã kh¨n, sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i To¸n vÒ chñ ®Ò nµy mµ nguyªn nh©n chñ yÕu cña nh÷ng khã kh¨n, sai lÇm nµy lµ sù ch­íng ng¹i vÒ nhËn thøc khi häc c¸c kh¸i niÖm giíi h¹n. §Æc biÖt trong viÖc më réng kh¸i niÖm giíi h¹n cña d·y vµ hµm sè sÏ kÐo theo mét sè vÊn ®Ò cÇn quan t©m khi d¹y häc vÒ c¸c kh¸i niÖm nµy ; 5. ThiÕt kÕ c¸ch thøc, vÝ dô minh ho¹ d¹y häc theo h­íng nh»m ph¸t huy TTCNT cña häc sinh th«ng qua d¹y häc kh¸i niÖm vµ d¹y häc bµi tËp vÒ chñ ®Ò giíi h¹n; 6. §· tæ chøc thùc nghiÖm s­ ph¹m ®Ó minh häa tÝnh kh¶ thi vµ hiÖu qu¶ cña nh÷ng gi¶i ph¸p ph­¬ng thøc ®· ®Ò xuÊt x©y dùng; Nh­ vËy, cã thÓ kh¼ng ®Þnh r»ng: Môc ®Ých nghiªn cøu ®· ®­îc thùc hiÖn, NhiÖm vô nghiªn cøu ®· hoµn thµnh vµ Gi¶ thuyÕt khoa häc lµ chÊp nhËn ®­îc. Tµi LiÖu Tham Kh¶o [1] Lª Quang Anh, (1995) Giíi h¹n d·y sè, Nxb §ång Nai. [2] NguyÔn Ngäc B¶o, (1995) Ph¸t triÓn tÝnh tÝch cùc, tÝnh tù lùc cña häc sinh trong qu¸ tr×nh d¹y häc, Nxb Gi¸o dôc. [3] NguyÔn VÜnh CËn, Lª Thèng NhÊt, Phan Thµnh Quang, (1996) Sai lÇm phæ biÕn khi gi¶i to¸n, Nxb Gi¸o dôc. [4] Phan §øc ChÝnh, Ng« H÷u Dòng, (1996) Bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, Nxb Gi¸o dôc. [5] Phan §øc ChÝnh, Ng« H÷u Dòng, Hµn Liªn H¶i, TrÇn V¨n H¹o, (1995) Bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 Ban TN, Nxb Gi¸o dôc. [6] Phan §øc ChÝnh, TrÇn V¨n H¹o, Ng« Xu©n S¬n, (1996) Bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 Ban KHTN, Nxb Gi¸o dôc. [7] Vò Cao §µm, (2005) Ph­¬ng ph¸p luËn nghiªn cøu khoa häc, Nxb- KHKT. [8] Vâ Giang Giai, NguyÔn Ngäc Thu, (2006) Mét sè bµi to¸n vÒ d·y sè c¸c ®Ò thi OLYMPIC 30-4, Nxb §HQG HN. [9] TrÇn V¨n H¹o (Chñ biªn phÇn I), Cam Duy LÔ Ng« Thóc Lanh (Chñ biªn phÇn II) Ng« Xu©n S¬n, Vò TuÊn, (2000) Bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch11 (S¸ch chØnh lý hîp nhÊt 2000), Nxb Gi¸o dôc. [10] TrÇn V¨n H¹o, cïng céng sù, (2004) Bé 2, bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, Nxb Gi¸o dôc. [11] Ph¹m V¨n Hoµn, NguyÔn Gia Cèc, TrÇn Thóc Tr×nh, (1981) Gi¸o dôc häc m«n to¸n , Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi. [12] TrÇn B¸ Hoµnh cïng, céng sù, (2002) ¸p dông d¹y vµ häc tÝch cùc trong m«n to¸n, Nxb §HSP. [13] NguyÔn Th¸i Hße, (1989) T×m tßi lêi gi¶i c¸c bµi to¸n vµ øng dông vµo viÖc d¹y to¸n, häc to¸n, Nxb Gi¸o dôc. [14] NguyÔn Phô Hy, (2003) øng dông giíi h¹n ®Ó gi¶i to¸n THPT, Nxb Gi¸o dôc. [15] Phan Huy Kh¶i, (1998) To¸n n©ng cao §¹i sè vµ Gi¶i tÝch líp 11, Nxb §H QG Hµ Néi. [16] Phan Huy Kh¶i, (2001) Giíi thiÖu c¸c d¹ng to¸n luyÖn thi ®¹i häc (tËp III), Nxb Hµ Néi. [17] Phan Huy Kh¶i, (2000) To¸n båi d­ìng häc sinh THPT, Nxb Hµ néi. [18] Kharlamop I. F, (1987) Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh nh­ thÕ nµo? (tËp I), Nxb Gi¸o dôc. [19] Kharlamop I. F, (1987) Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh nh­ thÕ nµo? (tËp II), Nxb Gi¸o dôc. [20] NguyÔn B¸ Kim, (1999) Häc tËp trong ho¹t ®éng vµ b»ng ho¹t ®éng, Nxb Gi¸o dôc. [21] NguyÔn B¸ Kim, (2006) Ph­¬ng ph¸p d¹y häc m«n To¸n, Nxb Gi¸o dôc. [22] NguyÔn B¸ Kim, Vò D­¬ng Thôy, (1997) Ph­¬ng ph¸p d¹y häc M«n To¸n, Nxb Gi¸o dôc. [23] NguyÔn B¸ Kim,Vò D­¬ng Thôy, Ph¹m V¨n KiÒu, (1997) Ph¸t triÓn lý luËn d¹y häc m«n To¸n ( tËp 1)-NCKHGD, Nxb Gi¸o dôc. [24] Ng« Thóc Lanh, cïng céng sù, (1992) Bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 , Nxb Gi¸o dôc. [25] Ng« Thóc Lanh, (1997) T×m hiÓu gi¶i tÝch phæ th«ng, Nxb Gi¸o dôc. [26] Lª Quang Long, (1999) Thö ®i t×m nh÷ng PPDH hiÖu qu¶, Nxb Gi¸o dôc. [27] NguyÔn V¨n MËu, (2001) Giíi h¹n d·y sè vµ hµm sè, Nxb Gi¸o dôc. [28] TrÇn Thµnh Minh, (2000) Gi¶i to¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch líp 11, Nxb Gi¸o dôc. [29] Bïi V¨n NghÞ, cïng céng sù, (2005) Tµi liÖu BD TX cho gi¸o viªn THPT chu kú III, ViÖn nghiªn cøu SP. [30] Lª ViÕt Ng­, Phan V¨n Danh, NguyÔn §Þnh, Lª V¨n H¹p, NguyÔn Hoµng, (1998) To¸n cao cÊp Gi¶i tÝch-hµm mét biÕn(tËp hai), Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi. [31] Ph¹m Quèc Phong, (2004) Chuyªn ®Ò n©ng cao to¸n THPT §¹i sè vµ Gi¶i tÝch, Nxb §H QG. [32] NguyÔn Lan Ph­¬ng, (2000) C¶i tiÕn ph­¬ng ph¸p d¹y häc to¸n víi yªu cÇu tÝch cùc hãa ho¹t ®éng häc tËp theo h­íng gióp häc sinh ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò qua phÇn gi¶ng d¹y ''quan hÖ vu«ng gãc trong kh«ng gian'' líp 11 THPT. LuËn ¸n tiÕn sÜ . [33] TrÇn Ph­¬ng, NguyÔn §øc TÊn, (2004) Sai lÇm th­êng gÆp vµ c¸c s¸ng t¹o khi gi¶i to¸n, Nxb Hµ Néi . [34] Polia.G, (1997) Gi¶i bµi to¸n nh­ thÕ nµo?, Nxb Gi¸o dôc. [35] Polia.G, (1995) S¸ng t¹o to¸n häc, Nxb Gi¸o dôc. [36] Polia.G, (1995) To¸n häc vµ nh÷ng suy luËn cã lý, Nxb Gi¸o dôc. [37] §oµn Quúnh, cïng céng sù, (2004) Bé 1, bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, Nxb Gi¸o dôc. [38] §oµn Quúnh, cïng céng sù, (2006) Tµi liÖu båi d­ìng –gi¸o viªn- m«n To¸n, Nxb Gi¸o dôc. [39] TrÇn QuyÕt Th¾ng, cïng céng sù, (1995) Kû yÕu héi nghÞ chuyªn ®Ò ®æi míi ph­¬ng ph¸p DH m«n to¸n ë PT,Vinh. [40] TrÇn V¨n Th­¬ng, Ph¹m §×nh, Lª V¨n §ç, (1995) Ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch líp 11, Nxb Gi¸o dôc. [41] §Æng ThÞ D¹ Thñy, (1999) Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh trong lµm viÖc víi SGK - NC GD. [42] Lª V¨n TiÕn, (2000) Mét sè quan ®iÓm kh¸c nhau vÒ gi¶ng d¹y gi¶i tÝch ë tr­êng phæ th«ng, T¹p chÝ Nghiªn cøu Gi¸o dôc, sè 338 vµ sè 339. [43] NguyÔn C¶nh Toµn, (2006) Nªn häc to¸n thÕ nµo cho tèt? , Nxb Gi¸o dôc. [44] TrÇn Thóc Tr×nh, (1998) C¬ së lý luËn d¹y häc n©ng cao, Nxb Hµ Néi. [45] Th¸i Duy Tuyªn, ( 2001) Gi¸o dôc häc hiÖn ®¹i, Nxb §H QG.