Tiểu luận Đại số đồng điều-Giới hạn

BË GIO DÖC V€ ffi€O T„O TR×ÍNG ffi„I HÅC QUY NHÌN ********* HÀ DUY NGHĨA GIỚI HẠN TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐỒNG ĐIỀU Quy Nhìn, th¡ng 12 n«m 2009 iBË GIO DÖC V€ ffi€O T„O TR×ÍNG ffi„I HÅC QUY NHÌN ********* HÀ DUY NGHĨA GIỚI HẠN CAO HỌC TOÁN KHÓA 11 Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐỒNG ĐIỀU Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN ĐỨC MINH Quy Nhìn, th¡ng 12 n«m 2009 1MỤC LỤC Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1 Một số bài tập về phạm trù và hàm tử 3 1.1 gghfhfh-pham tru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Hàm tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 2 Giới hạn 10 2.1 Giới hạn thuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1 Tập thuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2 Hệ thuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.3 Giới hạn thuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Tính chất của giới hạn thuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2LỜI MỞ ĐẦU Cùng với sự phát triển của toán học hiện đại nói chung, lý thuyết phạm trù đã được các nhà toán học quan tâm và đã đạt được nhiều kết quả xuất sắc, vào những năm 1940 Samuel Eilenberg và Saunders Mac Lane là những người đầu tiên đưa lý thuyết Phạm trù, cho đến nay nó được phát triển mạnh mẽ. Một trong những khái niệm hay trong lý thuyết phạm trù đó là giới hạn trực tiếp và giới hạn ngược đã được giới thiệu rất nhiều ở một số tài liệu. Trong tiểu luận này, phần chính tôi giới thiệu khái niệm giới hạn và một số tính chất của nó qua tài liệu tham khảo [2]. Tiểu luận gồm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1: Giới thiệu các khái niệm về phạm trù, hàm tử và giải các bài tập về hàm tử. Chương 2: Là nội dung chính của tiểu luận bao gồm khái niệm giới hạn, các ví dụ về giới hạn, các định lý mô tả tính chất đặc trưng của giới hạn. Mặc dù bản thân đã rất cố gắng trong học tập, nghiên cứu và được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạn chế nên tiểu luận khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để tiểu luận được hoàn thiện hơn. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Đức Minh người đã tận tình giúp đỡ, cùng tập thể lớp cao học toán khoá 11 tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tiểu luận này. 3Chương 1 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ] 1.1 Phạm trù Quy ước 1.1.1. Trong lý thuyết tập hợp mới, phần tử , lớp thuộc là những khái niệm cơ bản không định nghĩa. Để chỉ phần tử x thuộc lớp A ta kí hiệu x ∈ A, lớp A được gọi là tập hợp nếu tồn tại lớp B nhận A làm phần tử của nó. Định nghĩa 1.1.2. Cho một Phạm trùP là cho các dữ kiện sau: 1. Cho một lớp Ob(P) mà các phần tử của nó thường gọi là các vật( và kí hiệu bởi các chữ cái in hoa A,B,C...) 2.Với mỗi cặp có (kể thứ tự)(A,B) của Ob(P), cho một tập hợp (có thể rỗng), kí hiệu là Mor P (A,B) và gọi là tập các xạ từ A đến B thường được ký hiệu là A f // B hay f : A −→ B ta thường goi A là nguồn còn B là đích của xạ f . 3.Với mỗi bộ 3 vật (A,B,C) cho một ánh xạ thường gọi là luật hợp thành Mor P (A,B)×Mor P −→ Mor P (A,C), (f, g) 7−→ g ◦ f các dữ kiện trên phải thỏa mãn hai tiên đề sau: a)Phép hợp thành có tính kết hợp :với 3 xạ A f // B g // C h // D bất kỳ ta luôn có h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f b)Với mỗi vật A ∈ Ob(P) tồn tại một xạ 1A ∈ Mor P (A,A) ( Gọi là xạ đồng nhất trên A, sao cho ∀B,C ∈ Ob(P)và∀ A f // B ∈ Mor P (A,B),∀ C g // A ∈ Mor P (C,A) ta luôn có f ◦ 1A = f, 1A ◦ g = g Ví dụ 1.1.3. a) Phạm trù các tập hợp: Ob(S) là lớp tất cả các tập hợp, 4các xạ là các ánh xạ, luật hợp thành là luật hợp thành các ánh xạ, các xạ đồng nhất là các ánh xạ đồng nhất. b)Phạm trù các môđun trên vành giao hoán R,ModR: Ob(Mod) là các môđun trên vành giao hoán R (cố định cho trước) các xạ là các đồng cấu R-môđun , luật hợp thành là luật hợp thành là luật hợp thành các đồng cấu, các xạ đồng nhất là các đồng cấu đồng nhất.Trong phạm trù này các Mor(A,B) kí hiệu Hom(A,B). c)Phạm trù các nhóm Gr. Ob(Gr) là các nhóm, các xạ là các đồng cấu nhóm, luật hợp thành là luật hợp thành các đồng cấu, các xạ đồng nhất là các đồng cấu đồng nhất. 1.2 Hàm tử Định nghĩa 1.2.1. Cho P và K là hai phạm trù. Một hàm tử thuận biến (tương ứng phản biến ) F từ phạm trùP vào phạm trù K kí hiệu F : P −→ K được hiểu là cặp ánh xạ (FO,FM) trong đó(FO : Ob(P) −→ Ob(K) vỔ FM : P −→ K sao cho: 1.∀A,B ∈ Ob(P),∀ϕ ∈ Mor P (A,B), ta có FM(ϕ) ∈ Mor K (FO(A),FO(B) ( tương ứng FM(ϕ) ∈ Mor K (FO(B),FO(A) 2.∀A ∈ Ob(P),PM(1A) = 1 FO(A) . 3.∀A,B,C ∈ Ob(P),∀f ∈ Mor P (A,B),∀g ∈ Mor K (B,C) ta có FM(g ◦ f) = FM(g) ◦ FM(f) ( tương ứng FM(g ◦ f) = FM(f) ◦ FM(g). Quy ước 1.2.2. Để dơn giản mỗi A ∈ Ob(P) ta ký hiệu F(A) thay cho FO(A) và với mỗi f ∈ Mor P (A,B) ta ký hiệu F(f) thay cho FM(f). Minh họa định nghĩa trên là hình vẽ sau P F // K A f     g◦f < << << << < F(A) F(f) {{www ww ww ww F(g)◦F(f) ##G GG GG GG GG B g // C F(B) F(g) // F(C) (Hàm tử thuận biến) 5P F // K A f     g◦f < << << << < F(A) B g // C F(B) F(f) ;;wwwwwwwww F(C)F(g)oo F(g)◦F(f)ccGGGGGGGGG (Hàm tử phản biến) Ví dụ 1.2.3. a) Hàm tử F : Gr −→ S xác định bởi : ∀A ∈ Ob(Gr),F(A) = A,∀ A f // B ∈ Mor Gr (A,B),F(f) = f . b) Hàm tử Hom, hàm tử tensor là các hàm tử phạm trù.ModR vào chính nó. 1.3 Bài tập Trong các bài tập sau, ta cho F :ModR −→ModR, là hàm tử thuận biến cộng tính. Bài tập 1.3.1. Nếu F là khớp trái thì với mọi dãy khớp các R-môđun 0 // X f // Y g // Z ta luôn có 0 // F(X) F(f) // F(Y ) F(g) // F(Z) (1.1) cũng là khớp. Giải Đặt U = Im g, V = Z/Im g, α : U ↪→ Z, β : Z → V , khi đó ta có hai dãy sau là khớp: 0 // X f // Y g ′ // U // 0 0 // U α // Z β // V // 0 Vì F là hàm tử cộng tính khớp trái nên hai dãy 0 // F(X) F(f) // F(Y ) F(g ′) // F(U) 60 // F(U) F(α) // F(Z) F(β) // F(V ) cũng là khớp, do đó F(f) là đơn cấu. Vì vậy để chứng minh (1.1) là khớp ta cần chứng minh : Im F(f) = Ker F(g). Trước hết phân tích g : Y −→ Z thành hợp thành của hai đồng cấu g′, α theo sơ đồ sau: Y g // g′ = == == == = Z F // F(Y ) F(g) // F(g′) ##HH HH HH HH H F(Z) U α @@







F(U) F(α) ;;wwwwwwwww Khi đó ta có :F(g) = F(α)F(g′), Suy ra :Ker F(g) = Ker F(g′) = Im F(f),(F(α) đơn cấu). Vậy dãy 0 // F(X) F(f) // F(Y ) F(g) // F(Z) là khớp. Bài tập 1.3.2. Nếu F là khớp phải thì với mọi dãy khớp các R-môđun 0 // X f // Y g // Z ta luôn có 0 // F(X) F(f) // F(Y ) F(g) // F(Z) (1.2) cũng là khớp. Giải Tương tự, đặt :U = Ker f, V = X/Ker f, α : U ↪→ X, β : X → V , khi đó ta cũng có hai dãy khớp ngắn 0 // U α // X β // V // 0 (1.3) 0 // V f ′ // Y g // Z // 0 (1.4) Trong đó : f ′ : X/Ker f → Y x+Ker f 7→ f(x) 71) Trước hết ta chứng minh hai dãy(1.3),(1.4) là khớp. Dãy (1.3) khớp là bình thường. Ta kiểm tra tính khớp của dãy (1.4) Trước hết ta chứng minh f ′ là ánh xạ, thật vậy ta có : ∀x+Ker f = x′ +Ker f ⇒ x+ x′ ∈ Ker f ⇒ f(x) = f(x′) Ngoài ra ta cũng có : Ker f ′ = {x ∈ X/Ker f |f ′(x) = f(x) = 0} = {0}(x ∈ Ker f), nên f ′ là đơn cấu, do đó để chứng minh (1.4) khớp ta cần chứng minh Im f ′ = Ker g. i) Imf ′ ⊂ Ker g Ta có ∀y ∈ Imf ′ tồn tại x + Imf ∈ V sao cho f ′(x + Im f) = y = f(x) khi đó g(f ′(x+ Im f)) = g(f(x)) = g(y) = 0⇒ y ∈ Ker g. Vậy Im f ′ ⊂ Ker g. ii) Ker g ⊂ Im f ′ ∀x ∈ Ker g ⊂ Y ⇒ g(x) = 0, vì f ′ là đơn cấu nên tồn tại z ∈ V sao cho f ′(z) = x từ đó suy ra x ∈ Im f ′. 2)Áp dụng tính chất khớp phải của F để chứng minh dãy(1.2) khớp Ta có Flà thuần biến và khớp phải nên hai dãy F(V ) F(f ′)// F(Y ) F(g) // F(Z) // 0 (1.5) F(U) F(α) // F(X) F(β) // F(V ) // 0 (1.6) là khớp, do đó F(g) là toàn cấu. Ta cần chứng minh Im F(f) = Ker F(g). Trước hết phân tích f : X → Y thành hợp thành của hai đồng cấu β′ và f ′ sao cho f = f ′ ◦ β như sơ đồ sau : X f // β = == == == = Y F // F(X) F(f) // F(β) ##HH HH HH HH H F(Y ) V f ′ @@







F(V ) F(f ′) ;;vvvvvvvvv 8Khi đó F(f) = F(f ′) ◦ F(β), Ngoài ra ta cũng có (1.5) và (1.6) cũng khớp nênF(β) là toàn cấu và Ker F(g) = Im F(f ′), do đó Im F(f) = ImF(f ′) = Ker F(g) Vậy dãy (1.2) là khớp. Bài tập 1.3.3. Nếu F là khớp thì với mọi dãy khớpX f // Y g // Z ta luôn có dãy F(A) F(f) // F(Y ) F(g) // F(Z) (1.7) Cũng là khớp. Giải Đặt A = Ker f,B = Imf = Ker g, C = Im g, khi đó ta có các dãy sau là khớp. 0 // A α // X β // B // 0 0 // Y γ // B θ // C // 0 0 // C g ′ // Z h // Z/C // 0 Theo đề bài F là khớp nên ta có các dãy sau là khớp 0 // F(A) F(α) // F(X) F(β) // F(B) // 0 (1.8) 0 // F(B) F(γ) // F(Y ) F(θ) // F(C) // 0 (1.9) 0 // F(C) F(g′)// F(X) F(h)// F(Z/C) // 0 (1.10) Với cách đặt như trên ta có thể phân tích f, g thành những hợp thành của các đồng cấu tương ứng theo sơ đồ giao hoán sau. X f // β = == == == = Y F // F(X) F(f) // F(β) ##HH HH HH HH H F(Y ) B γ @@







F(B) F(γ) ;;vvvvvvvvv 9Y g // θ = == == == = Z F // F(Y ) F(g) // F(θ) ##HH HH HH HH H F(Z) C F(g′) @@







F(C) F(g′) ;;wwwwwwwww Tức làf = γ ◦ β và g = g′ ◦ θ Khi đó ta có : F(f) = F(γ) ◦ F(β) F(g) = F(g′) ◦ F(θ) Do đó Im F(f) = Im (F(γ) ◦ F(β)) = Im F(γ), ( vì F(β) là toàn xạ) Tương tự ta cũng có :Ker F(g) = Ker F(θ) Im F(f) = Im F(γ), Im F(γ) = Ker F(θ). Suy ra Im F(f) = Ker F(g) Vậy dãy F(A) F(f) // F(Y ) F(g) // F(Z) là khớp. Cách giải khác Theo giả thiết ta có dãy 0 // Imf j // Y p // Y/Ker g // 0 là khớp nên Im f = Im j = Ker p = Ker g và dãy 0 // F(Im ) F(j) // F(Y ) F(p) // F(Y/Ker g) // 0 (1.11) cũng là khớp, do đó :Im F(f) = Im F(j) = Ker F(p) = Ker F(g). Vậy dãy F(A) F(f) // F(Y ) F(g) // F(Z) là khớp. 10 Chương 2 GIỚI HẠN 2.1 Giới hạn thuận 2.1.1 Tập thuận Định nghĩa 2.1.1. Một tập thuận là tập không rỗng I được sắp thứ tự theo nghĩa sau, mỗi i, j ∈ I tồn tại một k ∈ I sao cho i ≤ k và j ≤ k. Một ví dụ điển hình cho tập thuận là một lớp tập hợp con hữu hạn của một tập sắp thứ tự theo nghĩa bao hàm. Thật vậy, nếu A và B là hai tập con hữu hạn tùy ý thì cả A và B là chứa trong một tập hữu hạn A ∪B. 2.1.2 Hệ thuận Định nghĩa 2.1.2. Cho I là tập thuận, Khi đó lớp tập hợp các vật Ai, i ∈ I, trong phạm trù C, với i ≤ j có một xạ h(i, j) : Ai −→ Aj thỏa điều kiện: i) Nếu i ≤ j ≤ k thì h(i; k) = h(j; k) ◦ h(i, j). ii) h(i, i) = 1Ai . Lớp các vật và các xạ như vậy được gọi là hệ thuận. Một ví dụ đơn giản cho hệ thuận là ta chọn các vật là lớp các môđun con hữu hạn sinh của một môđun, và xạ là bao gồm các phép nhúng chính tắc, khi đó hệ thuận chính là tập các môđun và các xạ như vậy, sự sắp thứ tự trong tập này cũng theo nghĩa bao hàm . 2.1.3 Giới hạn thuận Giới hạn thuận của một phạm trù C tùy ý được định nghĩa bởi tính chất phổ dụng sau 11 Định nghĩa 2.1.3. Gọi {Ai, h(i, j)i, j ∈ I} là một hệ thuận của các vật và các xạ trên phạm trù C, Giới hạn của hệ là một vật A trong C với xạ tương ứng αi : Ai −→ A ,với i, j ∈ I, i ≤ j thì αi = αj ◦ h(i, j) (được viết gọn 〈A,αi〉) thỏa mãn điều kiện phổ dụng sau. Nếu có một cặp 〈B, fi〉cũng có tính chất như trên thì tồn tại duy nhất một xạ f : A −→ B sao cho biểu đồ sau là giao hoán. A f  B Ai fi ??~~~~~~~~ αi GG h(i,j) // Aj αj XX000000000000000fj ``@@@@@@@ và ký hiệu là: A = lim→ Ai Ví dụ 2.1.4. i) Gọi A là tổng trực tiếp A = ⊕iCi và I là tập sắp tứ tự. Đặt Ai = ⊕ k<i Mi, khi đó Ai với xạ nhúng chính tắc h(i, j) : Ai −→ Aj là một hệ thuận. Và hệ này có giới hạn là A với đồng cấu là phép nhúng chính tắc. ii) Gọi Cn = 〈cn〉 là nhóm xyclic cấp pn, ánh xạ h(n, n + 1) : Cn → Cn+1 thỏa h(n, n + 1)(cn) = pcn+1 là đồng cấu, do đó với mỗi m < k,m, p ∈ N ta xác định được đồng cấu h(m, k) : Cm → Ck thỏa h(m, k)(cm) = pm−kck. Vậy hệ {Cn, h(n,m), n,m ∈ N} là hệ thuận và lim→ Ai = Z(p∞) iii) Bao đóng đại số của trường F có thể được xây dựng bởi các nghiệm rời nhau của các đa thức trong vành F [X]. Với C là bao đóng đại số của F và E là mở rộng của F , khi đó mọi phép nhúng từ F vào C đều có thể mở rộng thành phép nhúng từ E vào C. Khi đó C cùng với xạ là các phép nhúng là giới hạn thuận của lớp các mở rộng của F. 2.2 Tính chất của giới hạn thuận Trong phạm trù các môđun giới hạn thuận luôn tồn tại. Cụ thể ta có định lý sau. 12 Định lý 2.2.1. Nếu {Mi, h(i, j), i, j ∈ I} là hệ thuận các R-môđun thì giới hạn thuận của hệ tồn tại. Chứng minh. Lấy M = (⊕iMi)/N với N là môđun con của ⊕iMi sinh bởi những phần tử có dạng: βjh(i, j)xi − βixi, i ≤ j, xi ∈Mi (2.1) trong đó βj là những ánh xạ từ Mi vào ⊕iMi i) Xây dựng đồng cấu từ Mi vào M Gọi αi : Mi −→M xác định bởi αixi = βixi +N khi đó αi là một đồng cấu từ Mi vàoM và đồng thời : αjh(i, j)xi = βjh(i, j)xi +N = βixi +N = αixi(?). ii) Giả sử tồn tại cặp 〈B, fi〉 cũng thỏa tính chất (?), ta chứng minh tồn tại duy nhất đồng cấu f từ M vào B sao cho biểu đồ sau là giao hoán. M f  B Mi fi >>|||||||| αi FF h(i,j) // Mj αj XX111111111111111fj aaBBBBBBBB Bây giờ ta xây dựng xạ f như sau,với mỗi fi : Mi −→ B ta xác định tương ứng f : M −→ B bởi f(βixi +N) = fixi, tương ứng này là một cấu xạ và nó thỏa điều kiện fαi = fi, Nhưng mỗi phần tử của N có dạng (2.1) nên f là ánh xạ tùy ý từ N vào 0. Kết hợp các điều kiện trên lại ta suy ra định lý đã được chứng minh. Mệnh đề 2.2.2 (Bài tập 2, Problem For Section 10.9 [2]). Chứng tỏ rằng trong phạm trù các môđun trên vành giao hoán, giới hạn trực tiếp của tích tensor là giao hoán, cụ thể là : lim→ (M ⊗Ni) = M ⊗ lim→ Ni Trong đó giới hạn thuận của Ni là tồn tại. 13 Chứng minh. Gọi N = lim→ Ni, hệ thuận {Ni, h(i, j)} chứa trong một hệ {M⊗ Ni, 1⊗h(i, j)},khi đó theo định nghĩa của giới hạn thuận mỗi fi : Ni −→ Bcó duy nhất một f : A −→ B sao cho biểu đồ sau là giao hoán , khi đó mỗi ánh xạ gi : M ⊗Ni −→ B cũng có một ánh xạ tương ứng duy nhất g : M ⊗N −→ B ánh xạ này là mở rộng của của fi ,vì vậy lim→ (M ⊗Ni) = M ⊗N = M ⊗ lim→ Ni Định lý 2.2.3 (Bài tập 4, Problem For Section 10.9 [2]). Giả sử rằng A,B,C là giới hạn thuận của hệ {Ai}, {Bi}, {Ci} của R-môđun.Giả sử rằng với mỗi i, dãy Ai fi // Bi gi // Ci là khớp, khi đó dãy A f // B g // C cũng khớp, và do đó giới hạn thuận là một hàm tử khớp. 14 KẾT LUẬN Trong phần nội dung chính của tiểu luận, tôi đã trình bày được khái niệm giới hạn đặc biệt tôi đã trình bày được trong phạm trù các môđun trên vành giao hoán, giới hạn trực tiếp của tích tensor là giao hoán. Trong khuôn khổ một tiểu luận và hạn chế về thời gian cũng trình độ nên một vài vấn đề trình bày chưa thật sự rõ ràng, chưa thật sự phong phú, rất mong được lượng thứ, chỉ bảo của Thầy cô giáo và các bạn để bài tiểu luận hoàn thiện hơn. 15 Tài liệu tham khảo 1. Nguyễn Đức Minh. Giáo trình Đại số đồng đều Tài liệu dành cho Cao học toán khóa 11. 2. Robert B. Ash. Abstract algebra, 3. Ngô Bảo Châu. Giáo trình hình học đại số, Tháng 8, 2003.