Tiểu luận Lọc ảnh bất biến tỷ lệ với đối xứng điểm và đối xứng đường

A. Giíi thiÖu Trong lÜnh vùc cña xö lý tÝn hiÖu sè nãi chung vµ ®Æc biÖt trong xö lý ¶nh, ng­êi ta ngµy cµng quan t©m ®èi víi nh÷ng vÊn ®Ò øng dông mµ kh«ng thÓ gi¶i quyÕt ®­îc b»ng nh÷ng ph­¬ng thøc xö lý bÊt biÕn tÞnh tiÕn tuyÕn tÝnh kinh ®iÓn, nh÷ng ph­¬ng thøc xö lý ®· næi tiÕng bëi nh÷ng kü thuËt ®· ®­îc ph¸t triÓn, cïng víi nh÷ng thuËt to¸n cã hiÖu qu¶ cao. TiÓu luËn nµy xem xÐt vµ nghiªn cøu mét líp ®Æc biÖt cña nh÷ng vÊn ®Ò øng dông nh­ vËy víi yªu cÇu ¶nh sau khi ®­îc xö lý kh«ng bÞ biÕn d¹ng khi cã thay ®æi kÝch cë cña ¶nh ®Çu vµo. Trong ph¹m vi líp c¸c hÖ thèng tuyÕn tÝnh, kh«ng tån t¹i mét xö lý bÊt biÕn tÞnh tiÕn nµo mµ cã mét ®Æc tÝnh nh­ thÕ. Ta gäi ph­¬ng thøc xö lý cã ®Æc tÝnh nh­ vËy lµ bÊt biÕn tû lÖ (scale-invariance hoÆc form-invariance). Xö lý bÊt biÕn tû lÖ quan t©m chñ yÕu trong läc ¶nh mçi khi mét ¶nh cã kÝch cë ch­a biÕt tr­íc. §Çu tiªn ph¶i ®­îc tiÒn xö lý ®Ó gi¶m nhiÔu hoÆc t¨ng c­êng biªn, sau ®ã ®­îc nhËn d¹ng bëi nh÷ng kü thuËt cã s½n ®Ó ph¸t hiÖn nh÷ng ®éc lËp tû lÖ. Tµi liÖu “Linear shift-variant filtering for form-invariant procesing of linearly scaled signals, signal processing 4 (1982) 209-214” ®· chØ ra r»ng trong líp cña hÖ thèng biÕn ®æi tÞnh tiÕn tuyÕn tÝnh, tån t¹i hä ®Çy ®ñ nh÷ng läc bÊt biÕn tû lÖ. ViÖc ®­a ra lâi (kernel) biÓu thÞ mét sè líp con cña mét xö lý m« t¶ ®a d¹ng cña nh÷ng vÊn ®Ò vËt lý trong lÜnh vùc cña xö lý ¶nh lµ rÊt quan träng. Ch¼ng h¹n nh­ m« h×nh cña nh÷ng hÖ thèng kh«i phôc suy gi¶m quang häc, dùng l¹i ¶nh tõ tÝch ph©n ®­êng, vµ m« h×nh cña hÖ thèng thÞ gi¸c ngo¹i biªn trong con ng­êi. Néi dung tiÓu luËn ®­îc tr×nh bµy qua 3 phÇn. PhÇn 1: Giíi thiÖu vÒ líp tæng qu¸t nhÊt cña läc bÊt biÕn tû lÖ vµ th¶o luËn vÒ mét sè khÝa c¹nh liªn quan. PhÇn 2: Ph©n tÝch líp nh÷ng bé läc ®­îc quan t©m trong nh÷ng øng dông ®· ®Ò cËp ë trªn vµ th¶o luËn kh¶ n¨ng khai th¸c nh÷ng thuéc tÝnh ®èi xøng cña chóng ®Ó gi¶m ®é phøc t¹p trong tÝnh to¸n. §Æc biÖt, nã ®· chØ ra r»ng cã thÓ dïng mét phÐp chuyÓn täa ®é thÝch hîp ®Ó chuyÓn xö lý biÕn ®æi tÞnh tiÕn tuyÕn tÝnh dùa trªn kernels mµ bÊt biÕn tÞnh tiÕn ®èi víi täa ®é gãc thµnh mét läc bÊt biÕn tÞnh tiÕn. Kernel nh­ vËy bao gåm nh÷ng bé läc ®èi xøng ®iÓm vµ ®èi xøng ®­êng. PhÇn 3: Tr×nh bµy mét sè vÝ dô xö lý nh»m minh ho¹ ¶nh h­ëng cña hai bé läc bÊt biÕn tû lÖ víi nh÷ng ®èi xøng ®­êng kh¸c nhau trªn ¶nh ®Çu vµo. B. Néi dung I/ Xö lý ¶nh bÊt biÕn tû lÖ Mét hÖ thèng tuyÕn tÝnh hai chiÒu ®­îc gäi lµ bÊt biÕn tû lÖ (hoÆc bÊt biÕn d¹ng) nÕu ®èi víi bÊt kú mét cÆp tÝn hiÖu vµo f(x,y) vµ tÝn hiÖu ra g(x,y), tÝn hiÖu ra Ag(b1x,b2y) ®­îc t¹o ra bëi tû lÖ f(a1x,a2y) cña tÝn hiÖu vµo. Trong ®ã: A, b1, vµ b2 lµ nh÷ng hµm thùc cña nh÷ng sè thùc a1 vµ a2 . Cho w(u,v;x,y) lµ hµm träng sè biÕn ®æi tÞnh tiÕn biÓu thÞ ®Æc ®iÓm cña hÖ thèng tuyÕn tÝnh, rµng buéc bÊt biÕn tû lÖ cã thÓ ®­îc kÕt hîp víi mèi quan hÖ tÝn hiÖu vµo-ra ®Ó thu ®­îc mét ph­¬ng tr×nh mµ w() lµ hµm ch­a ®­îc x¸c ®Þnh. g(x,y)= (1) Dùa trªn c¬ së cña kÕt qu¶ thu ®­îc tõ tr­êng hîp mét chiÒu, ta thu ®­îc líp nghiÖm tæng qu¸t nhÊt cña ph­¬ng tr×nh nµy lµ: w(u,v;x,y)=p(u,v,x,y)w0 (2) Trong ®ã p() biÓu diÔn tÝch cña nh÷ng lòy thõa tuú ý cña nh÷ng ®èi sè cña nã, s1 vµ s2 lµ nh÷ng sè thùc tuú ý, vµ w0 lµ mét hµm chÝnh quy cña c¸c biÕn sè cña nã. Gi¸ trÞ cña s1 vµ s2 x¸c ®Þnh nh÷ng hÖ sè tû lÖ ®Çu ra, mµ b1=a11/s1 vµ b2=a21/s2 vµ tham sè z x¸c ®Þnh th«ng qua ®iÒu kiÖn b1=b2z. Nh÷ng gi¸ trÞ cña sè mò xuÊt hiÖn trong p() ¶nh h­ëng hÖ sè biªn ®é A. Râ rµng sù biÓu diÔn cña nh÷ng bé läc biÕn ®æi tÞnh tiÕn ®· ®Þnh nghÜa trong ph­¬ng tr×nh (1) víi nh÷ng kernel tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh (2) chØ cã thÓ ®­îc thùc hiÖn trong miÒn kh«ng gian bëi mét kiÓu riªng biÖt cña ph­¬ng tr×nh (1). Nh­ vËy, nãi chung víi mét ¶nh vµo cã kÝch th­íc N*N th× ®é phøc t¹p trong tÝnh to¸n lµ N4. Tuy nhiªn, ta cã thÓ t×m ®­îc c¸c líp con cña bé läc bÊt biÕn tû lÖ mµ biÓu thÞ ph¹m vi øng dông quan träng vµ cho nh÷ng kü thuËt biÓu diÔn hiÖu qu¶ h¬n. XÐt líp con cña nh÷ng hµm träng sè. w(u,v;x,y)= (3) B»ng c¸ch ®Æt F(s1,s2) lµ khai triÓn Mellin cña f(x,y), ta ®­îc F(s1,s2)= (4) vµ b»ng c¸ch lÊy khai triÓn Mellin cña hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh (1), ta ®­îc G(s1,s2)=F(q1+t1s1,q2+t2s2)W0(s1-d1,s2-d2) (5) víi qi=1-ci-diti, i=1,2. Ph­¬ng tr×nh (5) chØ ra r»ng khai triÓn Mellin cã thÓ ®­îc sö dông ®Ó thu ®­îc mét mèi quan hÖ ®¹i sè tõ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n (1), víi nh÷ng kernel cña líp (3), nh­ x¶y ra víi khai triÓn Fourier trong tr­êng hîp bÊt biÕn tÞnh tiÕn. Sù kh¸c nhau c¬ b¶n ®ã lµ ph­¬ng tr×nh (5) chøa nguyªn nh©n ®Çu vµo (c¸i mµ kh«ng h¹n chÕ trong thùc tÕ) vµ nh÷ng biÕn s1 vµ s2 ®­îc vÞ tù vµ tÞnh tiÕn theo nh÷ng tham sè cña mçi window cô thÓ x¸c ®Þnh hÖ thèng trong líp (3). Mét sù phô thuéc nh­ vËy kh«ng cã trong líp con ®Æc biÖt (tøc lµ qi=0,ti=1,di=0) w(u,v;x,y)=u-1v-1w0(x/u,y/v) (6) Tõ ®ã: G(s1,s2)=F(s1,s2)W0(s1,s2) (7) Ph­¬ng tr×nh (5) vµ (7) ®­a ra mét kü thuËt biÓu diÔn cho nh÷ng hÖ thèng ®­îc ®Þnh nghÜa trong ph­¬ng tr×nh (3) vµ (6), ®­îc dùa trªn tÝnh to¸n cña khai triÓn Mellin. Mét tÝnh to¸n nh­ vËy cã thÓ ®­îc thùc hiÖn bëi khai th¸c mèi quan hÖ gi÷a khai triÓn Mellin vµ Fourier. ThËt ra, b»ng c¸ch ®æi biÕn x=X y=Y (8) ph­¬ng tr×nh (4) trë thµnh F(s1,s2)= (9) ®­îc nhËn d¹ng nh­ khai triÓn Fourier cña víi s1=-j vµ s2=-j. TÞnh tiÕn vµ vÞ tù xuÊt hiÖn trong ph­¬ng tr×nh (5) ®­îc gi¶i quyÕt b»ng viÖc lÊy mÉu l¹i mét c¸ch phï hîp f1 vµ t¨ng thªm nã bëi mét chuçi lòy thõa ë tr­íc khai triÓn Fourier. V× vËy, thuËt to¸n biÕn ®æi Fourier nhanh-FFT kinh ®iÓn cã thÓ ®­îc sö dông, víi ®iÒu kiÖn lµ ¸nh x¹ cña ph­¬ng tr×nh (8), ®i tõ f() vµo f1(), ®­îc thùc hiÖn mµ kh«ng lµm suy gi¶m nh÷ng tÝn hiÖu ®­îc xö lý. Gi¶ sö chØ cã ®é ph©n gi¶i, cã thÓ kiÓm tra ®­îc r»ng nÕu ®­a ra so s¸nh ®é ph©n gi¶i th× cÇn thiÕt ph¶i t¨ng thªm ®é phøc t¹p trong tÝnh to¸n lµ ln N trong sè l­îng vËt mÉu cña f1() ®­îc tÝnh tõ nh÷ng mÉu cña f(). V× vËy, ®é phøc t¹p tÝnh to¸n liªn quan víi thñ tôc nµy trë thµnh (N ln N)2 log N, céng víi nh÷ng phÐp to¸n cÇn thiÕt ®Ó thùc hiÖn ¸nh x¹ cña ph­¬ng tr×nh (8) mµ cã ®é phøc t¹p lµ (N ln N)2. §Ó kÕt luËn sù ph©n tÝch cña viÖc bæ sung cña nh÷ng líp (3) vµ (6), chó ý r»ng thñ tôc ®­îc giíi thiÖu ë trªn, gåm cã ¸nh x¹ loga ®­îc ®i kÌm víi tÝch cña khai triÓn Fourier cña tÝn hiÖu vµo vµ cña window, cã thÓ ®­îc hiÓu nh­ sù bæ sung mét kü thuËt bÊt biÕn tÞnh tiÕn chËp nhanh trong miÒn ®­îc ¸nh x¹ (). Thùc tÕ, phô thuéc ®Æc biÖt cña w0 trong ph­¬ng tr×nh (3) vµ (6) trªn tû sè cña nh÷ng täa ®é output vµ input, ®ã lµ phÐp ¸nh x¹ loga chuyÓn kernel biÕn ®æi tÞnh tiÕn thµnh mét ®¸p øng bÊt biÕn tÞnh tiÕn, tïy thuéc vµo sù kh¸c nhau cña nh÷ng biÕn míi. VÝ dô, trong tr­êng hîp ®¬n gi¶n h¬n cña ph­¬ng tr×nh (6), cho m= ln x, v= ln y, m’= ln u, v’= ln v, ph­¬ng tr×nh (1) trë thµnh g1(m,v)= (10) víi g1(m,v)=g() vµ h(m-m’,v-v’)=w0[exp(m-m’),exp(v-v’)]. MÆc dï kh«ng cã sù tiÕt kiÖm trong tÝnh to¸n liªn quan víi c¸ch tiÕp cËn ë tr­íc, nh­ng sù bæ sung cña nh÷ng kernels bÊt biÕn h×nh d¹ng bëi bÊt biÕn tÞnh tiÕn chËp gièng nh­ ph­¬ng tr×nh (10) cã thÓ lµ phï hîp víi hÖ thèng xö lý ¶nh ho¹t ®éng trong miÒn kh«ng gian (®· ¸nh x¹) II/ Xö lý bÊt biÕn tû lÖ víi ®èi xøng ®iÓm vµ ®èi xøng ®­êng Hai môc tiªu ®Ó nghiªn cøu nh÷ng líp con ®Æc biÖt cña hµm träng sè ®­îc ®Þnh nghÜa bëi ph­¬ng tr×nh (2) ®ã lµ ph©n tÝch c¸c líp ®Þnh h­íng xö lý cho nh÷ng øng dông cã liªn quan vµ t×m kiÕm nh÷ng l­îc ®å biÓu diÔn hiÖu qu¶ h¬n trong nh÷ng tr­êng hîp nãi chung, b»ng c¸ch lîi dông nh÷ng thuéc tÝnh cña mçi kernel cô thÓ. Trong phÇn nµy, ta xem xÐt bÊt biÕn d¹ng nh÷ng hµm träng sè mµ biÓu thÞ ®Æc ®iÓm mét sè øng dông xö lý ¶nh quan träng, gièng nh­ ®· ®­îc ®Ò cËp trong phÇn giíi thiÖu. §Ó giíi thiÖu nh÷ng líp con cña nh÷ng kernel nµy, mµ thuéc tÝnh chung cña nã lµ bÊt biÕn quay, ta b¾t ®Çu tõ bÊt biÕn d¹ng tæng qu¸t nhÊt ®ã lµ nh÷ng hµm ®èi xøng h×nh trßn xuÊt ph¸t tõ ph­¬ng tr×nh (2). §Çu tiªn ta xÐt nh÷ng hµm träng sè thuéc vÒ mét líp mµ lµ biÕn ®æi tÞnh tiÕn trong nghÜa chóng “më réng” víi kho¶ng c¸ch r=(x2+y2)1/2 cña ®iÓm hiÖn t¹i tõ gèc täa ®é (0,0). Chóng ®­îc thu tõ ph­¬ng tr×nh (2) b»ng c¸ch ®Æt z=1 ®Ó b1=b2, hoÆc s1/s2=(ln a1)/(ln a2). Trong tr­êng hîp nãi chung a1a2 biÓu thøc ®ã lµ w(u,v;x,y)=p(u,v,r)wr (11) vµ “sù më réng” t­¬ng øng cña wr theo hai luËt lòy thõa kh¸c nhau theo hai trôc u vµ v. Trong tr­êng hîp ®Æc biÖt s1=s2=1 (=-1) sù më réng (sù thu nhá) lµ tuyÕn tÝnh víi r. H×nh 1: Nh÷ng kÕt qu¶ cña ¸nh x¹ tõ hÖ to¹ ®é Cartesian (a) vµo hÖ täa ®é cùc (b) vµo hÖ täa ®é ln r- (c) cña mét window ®èi xøng ®iÓm tuyÕn tÝnh më réng víi r. Mét tËp c¸c ®­êng bao cña gi¸ trÞ kh«ng ®æi ®­îc ph¸c häa trong mçi mÆt ph¼ng H×nh 2: KÕt qu¶ ¸nh x¹ tõ hÖ to¹ ®é Cartesian (a) vµo hÖ täa ®é cùc (b) vµo hÖ täa ®é ln r- (c) cña mét window ®èi xøng xuyªn t©m tuyÕn tÝnh më réng víi r. Mét tËp c¸c ®­êng bao cña gi¸ trÞ kh«ng ®æi ®­îc ph¸c häa trong mçi mÆt ph¼ng. §Æc biÖt, xö lý lµ bÊt biÕn tÞnh tiÕn trong (c). §iÒu nµy cã nghÜa r»ng xö lý cña ¶nh vµo ®­îc thùc hiÖn víi mét gi¶i ph¸p mµ gi¶m (t¨ng) tõ gèc ®Õn biªn (periphery). NÕu thuéc tÝnh cña ®èi xøng trßn xung quanh ®iÓm hiÖn t¹i ®­îc giíi thiÖu, líp míi cña hµm träng sè ®­îc ®Þnh nghÜa w(u,v;x,y) =r-2wc{[(u-x)2+(v-y)2]/r2} (12) =r-2wc[1+r2/r2-2r cos(q-f)/r] ®Æt x=r cos q, y=r sin q, u=r cos f, v=r sin f vµ chän p()=r-2 ®Ó thu ®­îc hÖ sè biªn ®é A b»ng 1. Nh÷ng ®­êng bao (contours) cña h»ng sè trong ph­¬ng tr×nh (12) lµ nh÷ng ®­êng trßn cã t©m (x,y) víi ®­êng kÝnh tû lÖ víi r (®èi víi bÊt kú sùa lùa chän cña ®iÓm hiÖn t¹i (x,y)). Nãi c¸ch kh¸c, kernel cña líp (12) cã mét ®èi xøng ®iÓm xung quanh (x,y) vµ ®ång d¹ng víi nhau trªn kh¾p c¶ mÆt ph¼ng nh­ ®­îc ph¸c häa trong h×nh 1(a). Nh÷ng windows ®èi xøng ®iÓm cña ph­¬ng tr×nh (12) thuéc vÒ mét líp tæng qu¸t h¬n, biÓu thÞ sù phô thuéc trªn tû sè gi÷a täa ®é input, output vµ ®é lÖch cña biÕn gãc, nghÜa lµ víi líp r-2w1(r/r, q-f) (13) ®èi víi mèi quan hÖ tÝn hiÖu vµo-ra (1) cã thÓ ®­îc viÕt l¹i trong hÖ täa ®é cùc g1(r, q)= (14) vÒ b¶n chÊt g1(r, q)=g(r cosq, r sinq) vµ Hµm träng sè ®Þnh nghÜa trong ph­¬ng tr×nh (13) lµ nh÷ng kernels cña ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n m« h×nh vµ dùng l¹i ¶nh tõ tÝch ph©n ®­êng vµ kh«i phôc cña mét sè biÕn ®æi tÞnh tiÕn biÕn d¹ng quang häc, trong khi windows cña ph­¬ng tr×nh (12) m« h×nh hµnh vi cña hÖ thèng thÞ gi¸c ngo¹i biªn. Trong tr­êng hîp nµy, h×nh d¸ng cña windows ®­îc gi¶ sö lµ hai hµm Gaussian kh¸c nhau víi ®é lÖch chuÈn kh¸c nhau (phô thuéc vµo r). CÇn chó ý r»ng líp (13) bao gåm windows r-2w2(r/r, q-f) (15) mµ cã mét ®èi xøng ®­êng riªng biÖt, nghÜa lµ ®èi víi nh÷ng ®­êng nèi ®iÓm hiÖn t¹i víi gèc. Mét ph¸c th¶o cña windows ®èi xøng xuyªn t©m (radially) nh­ vËy ®­îc chØ ra trong h×nh 2(a). Tr­êng hîp ®èi xøng ®­êng tæng qu¸t, ®èi víi mét h­íng tïy ý (gièng nh­ h­íng th¼ng ®øng trong h×nh 3(a)) kh«ng ®­îc bao gåm trong líp (13) vµ cã thÓ ®­îc biÓu diÔn bëi ph­¬ng tr×nh (11). Quan t©m ®èi víi xö lý ¶nh ®èi xøng ®­êng xuÊt ph¸t tõ yªu cÇu nhiÒu khi ph¶i thùc hiÖn läc dùa trªn sù chän h­íng. Mét vÝ dô ®iÓn h×nh lµ ph¸t hiÖn s­ên cã mét h­íng cô thÓ: nÕu mét sù lµm tr¬n nhiÔu ®­îc thùc hiÖn ®Çu tiªn, läc ¶nh th«ng thÊp víi mÆt n¹ läc ®­îc më réng däc theo h­íng ®· chän lµ thÝch hîp (®Ó kh«ng lµm nh½n ngoµi cña biªn). H­íng nµy sÏ trë thµnh mét trôc ®èi xøng cña mÆt n¹. Quay l¹i víi nh÷ng kü thuËt thùc hiÖn cña ph­¬ng tr×nh (14), cÇn chó ý r»ng ph­¬ng thøc biÕn ®æi ®­îc th¶o luËn trong phÇn tr­íc vÉn ®­îc ¸p dông, söa ®æi mét c¸ch phï hîp ®Ó ®em vµo sù tÝnh to¸n mµ ph­¬ng tr×nh (14) biÓu diÔn mét c¸i ®­îc gäi lµ chËp “Mellin-type” ®èi víi täa ®é xuyªn t©m (radial coordinates), trong khi nã lµ mét biÕn ®æi tÞnh tiÕn (hoÆc “Fourier-type”) chËp ®èi víi täa ®é gãc. Cho nªn, lÊy biÕn ®æi Fourier-Mellin c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh (14) ta ®­îc: G’(s,w)=F’(s,w)W1’(2-s, w) (16) s lµ biÕn Mellin t­¬ng øng víi r vµ w biÕn Fourier t­¬ng øng víi q Ph­¬ng tr×nh (16) ®Þnh nghÜa mét ph­¬ng thøc thùc hiÖn cña ph­¬ng tr×nh (14) trªn sù tÝnh to¸n cña biÕn ®æi Fourier-Mellin, v× thÕ yªu cÇu N2 ln N log N phÐp tÝnh, céng víi sù tÝnh to¸n cña mét nöa ¸nh x¹ (8) (nghÜa lµ chØ ®èi víi r). Do biÕn ®æi Mellin chØ ®­îc tÝnh theo mét h­íng, v× vËy ®èi víi ph­¬ng tr×nh 5, yªu cÇu mét sè phÐp to¸n thªm vµo cña phÐp ¸nh x¹ tõ (x,y) vµo mÆt (r, q) lµ tû lÖ víi N2. H¬n n÷a, mét phÐp ¸nh x¹ nh­ vËy bao hµm mét truy xuÊt phi cÊu tróc vµo d÷ liÖu, ®ã lµ mét mÆt h¹n chÕ nghiªm träng ®èi víi hÇu hÕt hÖ thèng xö lý ¶nh nãi chung. H×nh 1(b) vµ 2(b) ph¸c häa kÕt qu¶ cña ¸nh x¹ thø nhÊt, tõ (x,y) vµo (r,q), trong tr­êng hîp cña nh÷ng windows ®èi xøng ®iÓm vµ ®èi xøng xuyªn t©m. Trong c¶ hai tr­êng hîp, cÇn chó ý r»ng nh÷ng ¸nh x¹ windows bÊt biÕn tÞnh tiÕn ®èi víi bÊt kú r cè ®Þnh. KÕt qu¶ cña ¸nh x¹ thø hai, tõ r vµo ln r, ®­îc chØ ra trong h×nh 1(c) vµ 2(c): xö lý ë ®©y lµ bÊt biÕn tÞnh tiÕn trong c¶ hai chiÒu. §èi víi tr­êng hîp ®èi xøng ®­êng kh«ng xuyªn t©m (h×nh 3(a)), kÕt qu¶ cña hai ¸nh x¹ ®­îc chØ ra trong h×nh 3(b) vµ 3(c), c¸i mµ mét bÊt biÕn tÞnh tiÕn côc bé (partial) (®èi víi h»ng q) ®¹t ®­îc trong mÆt ph¼ng (ln r, q). Nh÷ng nghiªn cøu nµy cho thÊy ph­¬ng tr×nh (14) cã thÓ ®­îc thùc hiÖn bëi mét hÖ thèng xö lý bÊt biÕn tÞnh tiÕn “kinh ®iÓn” ®­îc cung cÊp mét kü thuËt hiÖu qu¶ ®­îc ®­a ra ®Ó thùc hiÖn ¸nh x¹. Trong tr­êng hîp cña windows cña h×nh 3(a), kÕt luËn t­¬ng tù ®èi víi mçi cét cña mÆt ph¼ng (ln r, q). §Ó lîi dông bÊt biÕn tÞnh tiÕn côc bé cña windows, mét phÐp to¸n trong mÆt ph¼ng (w’,q), w’ lµ biÕn Fourier t­¬ng øng víi ln r: kÕt qu¶ ®é phøc t¹p tÝnh to¸n lµ N3 ln N. H×nh 3: KÕt qu¶ cña ¸nh x¹ cùc trªn mét window cã ®èi xøng ®­êng theo h­íng kh«ng xuyªn t©m. H×nh 4: Xö lý bÊt biÕn tû lÖ víi ®èi xøng ®­êng: (a) ¶nh 512*512, 8 bÝt/pel; (b) d÷ liÖu ra cña bé läc, t­¬ng øng víi ph¸c häa cña h×nh 3(a), läc th«ng thÊp theo trôc hoµnh vµ läc th«ng gi¶i theo trôc tung; (c) gièng nh­ (b) víi bé läc quay 900 NhiÒu kÕt luËn ®· chØ ra sù thùc hiÖn cña nh÷ng kernel cña ph­¬ng tr×nh (13) lµ hîp lÖ ®èi víi windows trong ®ã tû sè cña täa ®é vÐc t¬ bÞ ®¶o ng­îc, nghÜa lµ, ®èi víi líp: w2(r/r,q-f) (17) nh­ng thÓ hiÖn nh÷ng ®èi xøng kh¸c nhau ®èi víi tr­êng hîp cña ph­¬ng tr×nh (13). VÝ dô, líp ®èi ngÉu cña líp (12), r-2wc[1+r2/r2-2r cos(q-f)/r] (18) cã thÓ ®­îc gäi lµ mét ®èi xøng trßn gi¶ “pseudocircular” xung quanh ®iÓm hiÖn t¹i. ThËt ra, ®èi víi bÊt kú r cè ®Þnh, ®­êng bao cña gi¸ trÞ kh«ng ®æi vÉn lµ mét hä cña nh÷ng ®­êng trßn, nh­ng chóng kh«ng ®ång t©m xung quanh (x,y) nh­ trong tr­êng hîp cña ph­¬ng tr×nh (12). TÊt c¶ t©m n»m trªn ®­êng nèi gèc ®Õn (x,y), t¹i mét kho¶ng c¸ch tõ gèc tû lÖ víi r, vµ mçi b¸n kÝnh lµ tû lÖ víi r: bëi vËy, kÝch cë cña windows l¹i ngµy cµng t¨ng mét c¸ch tuyÕn tÝnh víi r. Quan t©m chÝnh ®èi víi líp windows cña ph­¬ng tr×nh (18) lµ v× mèi quan hÖ cña chóng víi nh÷ng biÕn ®æi tû lÖ. III/ Nh÷ng vÝ dô xö lý PhÇn nµy giíi thiÖu mét sè vÝ dô xö lý nh»m minh häa ¶nh h­ëng cña läc bÊt biÕn d¹ng khi sö dông nh÷ng bé läc ®èi xøng ®­êng (läc ®Þnh h­íng). Ta ®· chän mét lo¹i vÝ dô rÊt ®¬n gi¶n cña ®èi xøng ®­êng, ®ã lµ ®èi xøng ®èi víi hai trôc täa ®é x vµ y, nh­ d­íi d¹ng biÓu ®å ®­îc biÓu diÔn trong h×nh 3(a), ®Ó kÕt qu¶ xö lý (®Æc biÖt t¨ng c­êng biªn) ®­îc chó ý mét c¸ch ®Æc biÖt. Sù lùa chän hµm träng sè lµ kh«ng bÊt biÕn tÞnh tiÕn ®èi víi biÕn gãc vµ sù t¨ng kÝch th­íc cña chóng tuyÕn tÝnh víi kho¶ng c¸ch r cña ®iÓm hiÖn t¹i tõ gèc. Bëi vËy, chóng thuéc vµo líp: w(u,v;x,y)=r-2w0() (19) nh­ ®· ®­îc chän ®Ó cho ®¬n gi¶n w0 cã thÓ t¸ch ra ®­îc thµnh d¹ng: w0()=w01(w02( (20) ®Ó miÒn kh«ng gian thùc hiÖn cña ph­¬ng tr×nh (1) dÔ h¬n ë trong tr­êng hîp tæng qu¸t sao cho tho¶n m·n c¶ hai yªu cÇu vÒ bé nhí cña mÆt n¹ vµ ®é phøc t¹p tÝnh to¸n (N3). H×nh 4 chøa mét tËp ¶nh lµm vÝ dô, trong ®ã h×nh 4(a) lµ ¶nh gèc. C¸c bøc ¶nh nµy ®­îc lÊy tõ mµn h×nh ®­îc kÕt nèi víi mét hÖ thèng xö lý ¶nh VDS-701 vµ víi mét m¸y tÝnh chñ PDP-11/34. §é ph©n gi¶i ¶nh lµ 512*512 pixels, 8 bit mçi pixel. H×nh 4(b) lµ kÕt qu¶ cña sù xö lý biÓu thÞ mét t¸c ®éng lµm tr¬n däc theo trôc x vµ mét t¸c ®éng lµm nh½n biªn däc theo trôc y. Mét c¸ch cô thÓ h¬n, w01 cña ph­¬ng tr×nh (20) lµ mét h»ng, trong khi w02 lµ hai hµm Gaussian kh¸c nhau cã ®é lÖch chuÈn trong tû sè 1:3 vµ mét gi¶i th«ng biÓu thÞ trong miÒn tÇn sè. Mét chó ý trong h×nh 4(b) ®ã lµ xö lý t¨ng c­êng ®­êng bao lµ n»m ngang hoÆc gÇn nh­ n»m ngang, trong khi sù lµm tr¬n nh÷ng chi tiÕt theo chiÒu th¼ng ®øng. H×nh 5: KÕt qu¶ cña còng xö lý nh­ h×nh 4 ¸p vµo ¶nh gèc míi (a). BiÓu diÔn trong täa ®é cùc cña (a) ®­îc chØ ra trong (b), lµ trôc hoµnh. (c) lµ kÕt qu¶ cña läc ®èi xøng ®­êng mµ läc th«ng thÊp theo chiÒu ngang vµ läc th«ng gi¶i theo chiÒu th¼ng ®øng. (d) lµ gièng nh­ (c) víi bé läc bÞ quay ®i 900. Mét kÕt qu¶ ®èi ngÉu thu ®­îc nÕu nh÷ng mÆt n¹ ®­îc m« t¶ trªn bÞ quay ®i 90 ®é, nh­ cã thÓ ®­îc kiÓm tra trong h×nh 4(c). Trong c¶ hai tr­êng hîp, ®é ph©n gi¶i cña nh÷ng chi tiÕt ®­îc t¨ng c­êng bÞ gi¶m mét c¸ch tuyÕn tÝnh tõ t©m ®Õn ngo¹i biªn. Lç ®en trong miÒn trung t©m t­¬ng øng víi vïng t¹i ®ã, tïy thuéc vµo nh÷ng gi¸ trÞ nhá cña r, kÝch cë cña mÆt n¹ lµ qu¸ nhá ®èi víi kho¶ng c¸ch pixel, v× vËy kh«ng cã xö lý thùc sù nµo x¶y ra. Trong ¶nh gèc (h×nh 4a), “edge content” lµ th« trªn mäi h­íng. Trong h×nh 5(a), nã ®­îc tËp trung theo h­íng gÇn nh­ th¼ng ®øng, ®ã lµ ¶nh gèc thø hai mµ ®· qua cïng mét xö lý ®· ®­îc m« t¶ tr­íc ®©y. H×nh 5(b) chØ ra cïng mét ¶nh gèc trong täa ®é cùc, r lµ trôc th¼ng ®øng vµ q lµ trôc n»m ngang. NÕu ¸nh x¹ loga ®­îc ¸p cho trôc r, ¶nh kÕt qu¶ cã thÓ ®­îc xö lý bëi mét tËp c¸c bé läc (mçi c¸i cho mçi gãc) mµ bÊt biÕn tÞnh tiÕn ®èi víi täa ®é ln r, theo ph¸c häa cña h×nh 3(c). H×nh 5(c) ®­a ra kÕt qu¶ xö lý nh»m ®Ó thùc hiÖn mét läc th«ng thÊp theo trôc x vµ ®Ó t¨ng c­êng nh÷ng biªn n»m ngang. Mét kÕt qu¶ kh¸c thu ®­îc b»ng c¸ch quay 90 ®é cña hµm träng sè: nhiÒu néi dung th«ng tin ®­îc b¶o toµn, t¹i mét ®é ph©n gi¶i biÕn thiªn, gi¶m tõ t©m vÒ ngo¹i biªn (h×nh 5(d)) C. KÕt luËn Trong nh÷ng bé läc bÊt biÕn tû lÖ bæ sung, ®èi xøng ®iÓm vµ ®èi xøng ®­êng cã thÓ ®­îc khai th¸c ®Õn mét ph¹m vi ®Ó thu ®­îc hiÖu qu¶. TiÓu luËn ®· ®i vµo ph©n tÝch nh÷ng tr­êng hîp øng dông kh¸c nhau trong xö lý ¶nh vµ ®· th¶o luËn hai l­îc ®å thùc hiÖn trong miÒn biÕn ®æi vµ miÒn kh«ng gian. Nh­ mét b­íc ®ét ph¸, ®ã lµ ®· ®­a ra mét ph­¬ng ph¸p chuyÓn täa ®é nh»m chuyÓn läc biÕn ®æi tÞnh tiÕn tuyÕn tÝnh thµnh chËp bÊt biÕn tÞnh tiÕn. Nh÷ng l­îc ®å hiÖu qu¶ ®èi víi mét ¸nh x¹ nh­ vËy hiÖn ®ang ®­îc ®i s©u nghiªn cøu. Lêi kÕt: §Ó hoµn thµnh ®­îc ®Ò tµi nµy, ngoµi sù nç lùc vµ cè g¾ng cña b¶n th©n, t¸c gi¶ ®· nhËn ®­îc sù gióp ®ì qóy b¸u cña Quý ThÇy, TS Ng« V¨n Sü. Lµ mét häc viªn chuyªn ngµnh Tin häc vµ dï rÊt t©m ®¾c víi ®Ò tµi ®ang nghiªn cøu nh­ng víi thêi gian cã h¹n vµ khèi l­îng kiÕn thøc cña b¶n th©n cßn Ýt ái nªn ch¾c ch¾n tiÓu luËn kh«ng tr¸nh khái nh÷ng h¹n chÕ trong viÖc tiÕp cËn, nghiªn cøu vµ tr×nh bµy. T¸c gi¶ xin kÝnh träng c¶m ¬n sù gióp ®ì quý b¸u cña Quý ThÇy vµ mong ®­îc ®ãn nhËn tõ Quý ThÇy sù gãp ý ®Ó gióp t¸c gi¶ cã ®­îc hiÓu biÕt ®óng h¬n ®èi víi vÊn ®Ò ®ang nghiªn cøu ®ång thêi mong ®­îc sù l­îng thø cho nh÷ng s¬ suÊt trong tiÓu luËn nµy. Tµi liÖu tham kh¶o 1/ L­¬ng M¹nh B¸, NguyÔn Thanh Thñy: NhËp m«n xö lý ¶nh sè, NXB KH vµ KT-2003 2/ Anil K.Jain, Fundamentals of digital image procesing. 3/ Maher Asid-Ahmed, Image Procesing-Theory, Algorthms and Architecture 4/ C. Braccini, A. Grattarola, Scale-invariant image filtering with point and line symmetry 5/ C. Braccini, G. Gambardella, A. Grattarola, Digital image processing by mean of generalized scale-invariant filters, Proc. NATO Advanced Research Workshop on Issues in Acoustic Signal/Image Processing and Recognition, S. Miniato, 1982 6/ C. Braccini, G. Gambardella, Linear shift-variant filtering for form-invariant processing of linearly scale signals, Signal Processing 4 (1982) 7/ G. Robbins, T Huang, Inverse filtering for linear shift-variant imaging systems, Proc. IEEE 60 (1972) 8/ C. R. Carlson, R. W. Klopfenstein, C. H Anderson, Spatially inhomogeneous scaled transform for vision and pattern recognition, Opt. Lett 6 (1981) ` Môc lôc Néi dung Trang Giíi thiÖu ................................. ................................ ................................................................................. 1 Néi dung ................................. ................................ .................................................................................... 2 1. Xö lý ¶nh bÊt biÕn tû lÖ ................................. ................................ ............................ 2 2. Xö lý bÊt biÕn tû lÖ víi ®èi xøng ®iÓm vµ ®èi xøng ®­êng 4 3. Nh÷ng vÝ dô xö lý .............................................................................................................. 9 KÕt luËn ................................. ...................................................................................................................... 12 Tµi liÖu tham kh¶o ............................................................................................................................ 13