Tiểu luận Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh Trung học cơ sở thông qua việc phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán

1 Tiểu luận Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS thông qua việc phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán 2 1. Đặt vấn đề: ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh, có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt trong dạy học Toán ở trường phổ thông. Các bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy hình thành kỹ năng, kỹ xảo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải toán co vai trò quyết định đối với chất lượng giờ dạy học Toán. Tuy nhiên, thực tiễn ở các trường phổ thông cho thấy chất lượng dạy học Toán còn chưa tốt, thể hiện ở năng lực giải toán của học sinh còn hạn chế do học sinh vi phạm nhiều sai lầm về kiến thức, phương pháp toán học. Trong đó, một trong những nguyên nhân quan trọng là giáo viên còn chưa chú ý một cách đúng mức việc phát hiện, tìm ra nguyên nhân và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán để từ đó có nhu cầu về nhận thức sai lầm, tìm ra nguyên nhân và những biện pháp hạn chế, sửa chữa kịp thời các sai lầm này, nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh đồng thời nâng cao hiệu quả dạy học toán trong các trường phổ thông. Với lí do đó, qua việc quản lý và giảng dạy, chúng tôi đề cập tới “Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải toán”, nhằm nghiên cứu các sai lầm phổ biến của học sinh phổ thông khi giải toán, đồng thời đề xuất các biện pháp sư phạm để hạn chế và sửa chữa các sai lầm nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường phổ thông. Việc sửa chữa sai lầm là một hoạt động quan trọng, G.Polia cho rằng: “Con người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình, A.A.Stoliar phát biểu: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”, còn theo J.A.Komenxkee thì: “Bất kỳ một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay đến sai lầm đó, và hướng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa, khắc phục sai lầm”. 3 Nguyên tắc sửa chữa sai lầm cho học sinh khi giải toán thì cần phải tạo động cơ học tập sửa chữa các sai lầm. Học sinh thấy việc sửa chữa sai lầm là một nhu cầu và cần phải tham gia như một chủ thể một cách tự nguyện, say mê, hào hứng. Tạo cho học sinh có động cơ hoàn thiện tri thức. Cần lấy hoạt động học tập của học sinh để làm cơ sở cho quá trình lĩnh hội tri thức. Hơn nữa các nguyên tắc phải tập trung vào phong trào hoạt động, rèn luyện các kỹ năng học tập của học sinh. Việc sử dụng các biện pháp sư phạm nhằm hạn chế và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải toán, giáo viên cần phải lưu ý, có 3 phương châm đó là: tính kịp thời, tính chính xác và tính giáo dục. Ba phương châm hỗ trợ, bổ sung cho nhau làm cho các biện pháp thực hiện đúng mục đích và kết quả. 2. Nội dung: 2.1. Những sai lầm thường gặp trong giải toán đại số: Khi xem xét các sai lầm của học sinh, có thể sắp xếp theo từng chủ đề kiến thức hoặc từ phương diện hoạt động toán học. Trong bài viết này, chúng tôi đề cập tới những sai lầm chủ yếu của học sinh khi giải toán, theo một số chủ đề kiến thức tìm ra nguyên nhân và cách khắc phục sai lầm của học sinh. 2.1.1. Sai lầm khi biến đổi biểu thức: Những sai lầm khi biến đổi biểu thức thường mắc khi sử dụng các đẳng thức không phải là hằng đẳng thức, đó là các “á hằng đẳng” đúng với điều kiện nào đó. Đôi khi sai lầm xuất hiện do hiểu nhầm công thức. Thí dụ 1: Rút gọn: P = 2 2(1 ) (1 )x x   Lời giải sai lầm: ? Ta có: P = 1 + x + 1 – x = 2 Phân tích sai lầm: ! Nhớ rằng: 2a = a với a ≥ 0. Do đó phải sử dụng hằng đẳng thức 2a a Lời giải đúng là: P = 1 1x x   2x nếu x >1 2 nếu -1 ≤ x ≤ 1 -2x nếu x < -1 P = 4 Thí dụ 2: Rút gọn: Q = 3 22 2x x x x   ? Ta có: Q = 2 3 2( 2) 2x x x x   = 3 2 3 22 2 0x x x x    ! Có thể thay x = -1 vào biểu thức Q thì thay Q = (-1). 3 2( 1) 2 ( 1) 2( 1) 1 1 2           . Chứng tỏ kết quả rút gọn trên là sai ! Vì sao? HS nên nhớ rằng chi có 2a b a b nếu a ≥ 0. Lời giải trên chỉ đúng khi x ≥ 0. 2.1.2. Sai lầm khi giải phương trình, bất phương trình: Những sai lầm khi giải phương trình thường mắc khi HS vi phạm quy tắc biến đổi phương trình, bất phương trình tương đương. Đặt thừa hay thiếu các điều kiện đều dẫn đến những sai lầm, thậm chí sai đến mức không giải được nữa! Một số sai lầm còn do hậu quả của việc biến đổi công thức không đúng, như đã chỉ ra ở mục 2.1 . Thí dụ 2: Giải phương trình: 3 3 2 1 2x x x      ? Điều kiện căn thức có nghĩa: 3 3 2 0 1 0 x x x         3 3 2 0 1 x x x             21 2 0 1 x x x         2 0 1 x x       2 1 x x      Vậy không tồn tại giá trị của x để hai căn thức đồng thời có nghĩa nên phương trình vô nghiệm. ! Có thể chỉ ra với x = 1 thì cả hai căn thức đều có nghĩa và x = 1 chính là nghiệm của phương trình. HS đã sai khi giải bất phương trình (x – 1)2(x + 2) ≤ 0  x + 2 ≤ 0. Thí dụ 3: Giải phương trình: 2 1 1 1x x x     ? Điều kiện để căn thức có nghĩa: 5 2 1 0 1 0 x x        ( 1)( 1) 0 1 0 x x x        1 0 1 0 x x       1 1 x x      1x  Khi đó phương trình có dạng: ( 1)( 1) 1 1x x x x      Vì x ≥ 1 nên 1 0x   , chia hai vế cho 1x  ta có: 1 1 1x x    Vì với x ≥ 1 thì 1 1x x   nên 1 1 1x x    Vậy phương trình vô nghiệm. ! Sai lầm khi giải hệ: 2 1 0 1 0 x x       nhiều HS tưởng rằng: A . B ≥ 0 A ≥ 0 A ≥ 0 B ≥ 0 ở lời giải trên thiếu x = -1 và đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình. HS đã quên rằng . 0 0 A B A     0 0 0 A Bconghia A B       Lời giải đúng là: Điều kiện căn thức có nghĩa: 2 1 0 1 0 x x        1 1 1 x x x          1 1 x x     Thay x = -1 thoả mãn phương trình Với x ≥ 1 làm như lời giải trên. Tóm lại: Phương trình có nghiệm x = -1. Thí dụ 4: Giải và biện luận phương trình: 2 55 0 2 aa x      (*) theo tham số a. ? Điều kiện: x ≠ 2. Khi đó (*) (a - 5) (x - 2) + 2a + 5 = 0  (5 - a) (x - 2) = 2a + 5  x(5 - a) = 15  6 Nếu a ≠ 5 thì x = 15 5 a Nếu a = 5 thì phương trình vô nghiệm. ! Sai lầm của học sinh không để ý x = 15 5 a khi nào không là nghiệm của phương trình. Vì nghiệm phải thoả mãn x ≠ 2 nên khi 15 5 a = 2  a = 5 2  thì phương trình vô nghiệm. Lời giải phải bổ sung điều này và kết luận đúng là: Nếu 5 5 2 a a      thì x = 15 15 a Nếu 5 5 2 a a      thì phương trình vô nghiệm Thí dụ 5: Giải phương trình 2x + 3x  = 16 (*) ? Điều kiện: x ≥ 3. Ta có: (*) 3 16 2x x    x – 3 = 256 – 64x + 4x2  4x2 – 65x + 259 = 0  7 37 4 x x      Thoả mãn x ≥ 3. Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 7 hoặc x = 37 4 ! Sai lầm khi viết 3 16 2x x    x – 3 = 256 – 64x + 4x2 Cần lưu ý HS rằng: 2 0b a b a b      (không cần đặt điều kiện a ≥ 0). Ta có x = 37 4 không là nghiệm. Thí dụ 7: Giải bất phương trình: 2 1 1 52 3 xx x    (*) ? (*)  x + 5 < 2 2 3x x   (x + 5)2 < x2 – 2x – 3  12x + 28 < 0  x < 7 3  7 ! HS sai lầm khi nghĩ rằng 1 1 a b   b < a Mà đúng ra 1 1 a b   0a b ab    0 0 ab a b ab a b       2.1.3: Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức: Các sai lầm thường bắt nguồn từ việc vận dụng các bất đẳng thức cổ điển mà không để ý tới điều kiện để bất đẳng thức đúng, hoặc sử dụng sai sót các quy tắc suy luận khi từ bất đẳng thức này suy ra bất đẳng thức kia. Thí dụ 1: So sánh: x + 1 x và 2 ? áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số x và 1 x ta có: 1 1 1. 1 2 x x x x         1 2x x   đẳng thức xảy ra  1x x   2 1x   1x   ! Sai lầm vì không để ýđến điều kiện của các số a, b trong bất đẳng thức Cauchy: 2 a b ab  Với a ≥ 0 và b ≥ 0. Lời giải đúng: Xét x + 21  x =   x x 21   x x 21 ≥ 0  x > 0  x + 21  x   x x 21 < 0  x < 0  x x 1 < 2 Thí dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a ta có: a(1 – a) 1 4  (*) ? áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số a và 1 –a ta có: 8 1 1(1 ) 2 2 a aa a      1(1 ) 4 a a  ! Lại vẫn sai như đã phân tích ở thí dụ 1, vì a và 1 – a chỉ không âm khi a  0;1 Lời giải đúng là: (*)  2 1 4 a a   2 1 0 4 a a    21 0 2 a      hiển nhiên đúng với mọi a Thí dụ 3: Chứng minh rằng nếu: a + b + c > 0 (1) ab + bc + ca > 0 (2) abc > 0 (3) thì a > 0; b > 0; c > 0 ? Do vai trò bình đẳng của a, b, c nên ta chỉ cần chứng minh a > 0. Giả sử a < 0 thì từ (3)  bc < 0. Từ (2)  a(b + c) > -bc > 0  b + c < 0 Từ a 0. ! Khi phủ định a > 0 để thực hiện phép chứng minh phản chứng thì phải biết xét a ≤ 0. Lời giải trên thiếu trường hợp a = 0. 2.1.4. Sai lầm khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Những sai lầm khi tìm giá trị lớn nhât và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay của biểu thức nhiều ẩn thường do vi phạm quy tắc suy luận lôgíc: “Nếu f(x) ≥ m (m hằng số), với mọi x  A và tồn tại x0  A sao cho f(x0) = m thì giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền A là m” (có quy tắc tương tự cho giá trị lớn nhất của f(x). Đối chiếu với biểu thức nhiều ẩn cũng có quy tắc tương tự. Thí dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của: F (x, y) = (x + y)2 + (x + 1)2 + (y – 2)2 ? với mọi x, y  R thì: (x + y)2 ≥ 0 9 (x + 1)2 ≥ 0 (y – 2)2 ≥ 0 Vậy F (x, y) ≥ 0 x, y  R Từ đó suy ra minF(x,y) = 0 ! Sai lầm của lời giải là không chỉ ra các giá trị của x, y để F(x, y) = 0. Nhớ rằng: F(x, y) ≥ 0 x, y  R và nếu tồn tại x0, y0 sao cho F(x, y) = 0 thì mới kết luận được minF(x;y) = 0. Đối với bài toán này, không tồn tại x0; y0 để F(x0;y0) = 0 Lời giải đúng là: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski với a1 = -1 a2 = 1 a3 = 1 b1 = (x + y); b2 = x + 1; b3 = y -2 ta có: 1 ( 1).( ) 1.( 1) 1.( 2)x y x y       13. ( , ) 1 3 ( ; ) ( ; ) 3 F x y F x y F x y     Đẳng thức xảy ra 31 2 2 3 bb b a a a    4 2 1 3 3 5 3 xx y x y y                Vậy: minF(x;y) = 1 4 3 3 x   ; 5 3 y  Thí dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: f(x) = 2 2 1 12 5x x x x         ? Đặt t = 1x x  thì 2 22 1 2x t x    nên f(x) = g(t) = 2 22 3 ( 1) 2 2t t t t R        . Đẳng thức xảy ra 1t  Do đó min f(x) = 2 1t  ! Sai lầm là chuyển bài toán không tương đương. Giá trị nhỏ nhất của f(x) không trùng với giá trị nhỏ nhất của g(t) với t thuộc R. Có thể thấy ngay với t =1 10 thì không tồn tại x và thực ra sai lầm ở lời giải này lại trở về sai lầm ở thí dụ 1 vì không có giá trị của x để (x) = 2 Thí dụ 3: Tính giá trị nhỏ nhất của: f(x) = 1 3 x x   ? Ta có f(x) = 13 3 3 x x     áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương 3x  và 1 3x  ta có: 13 2 2 3 1 3 x x         với mọi x ≥ 0 Đẳng thức xảy ra khi  213 3 1 3 x x x       Thấy ngay không có giá trị của x thoả mãn vì  23 3 3 9 1x x      Vậy f(x) không có giá trị nhỏ nhất. ! Không có giá trị của x để f(x) = -1 thì chỉ suy ra được giá trị min f(x) > - 1 và lời giải trên không đi đến được min f(x) Thí dụ 4: Cho x, y là các số nguyên dương, thoả mãn: x + y = 2011. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x(x2 + y) + y(y2 + x). (Trích đề thi HSG tỉnh Toán 9 năm học 2010 – 2011) Có không ít học sinh đã có lời giải sai lầm: ? Ta có P = (x + y)3 – 3 (x + y)xy + 2 xy = 20113 - 6031 xy áp dụng BĐT xy ≤ 2 2        yx = 4 20112 (*) => P ≥ 20113 - 6031 . 4 20112 => P ≥ 4 2013.20112 (**) Giá trị nhỏ nhất của P là 4 2013.20112 ! Dấu bằng ở bất đẳng thức (*) không xảy ra do điều kiện x, y nguyên dương nên dấu bằng ở bất đẳng thức (**) không xảy ra. 2.1.5. Sai lầm khi giải bài toán phương trình bậc hai. 11 Khi giải toán về phương trình bậc hai, các sai lầm xuất hiện do không chú ý đến giả thiết của các định lý mà đã vội vàng áp dụng hoặc là lạm dụng suy diễn những mệnh đề không đúng hoặc xét thiếu các trường hợp cần biện luận. Thí dụ 1: Tìm m để phương trình: (m – 1)x2 + (2m -1)x + m + 5 = 0 Có hai nghiệm phân biệt? ? Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi:  > 0  (2m – 1)2 – 4(m- 1)(m + 5) > 0  -20m + 21 > 0  m < 21 20 ! Có thể chỉ ra với m = 1 < 21 20 mà phương trình chỉ có 1 nghiệm x = -6. Nhớ rằng ax2 + bx + c = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt 0 0 a      Thí dụ 2: Biết rằng (x;y) là nghiệm của hệ: 2 2 2 6 x y m x y m        Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: F = xy – 6(x + y) ? Ta có: x2 + y2 = -m + 6  (x + y)2 – 2xy = -m2 + 6  m2 – 2xy = -m2 + 6  xy = m2 -3 Do đó: F = m2 – 6m – 3 = m2 – 6m – 3 = (m – 3)2 – 12 Vậy min F = -12  m = 3 F không có giá trị lớn nhất vì F là hàm bậc hai với hệ số m2 là a = 1 > 0 ! Lời giải không đặt điều kiện để tồn tại x và y. Do đó đã xét với mọi m thuộc R. 2.2. Phân tích các nguyên nhân dẫn tới sai lầm của học sinh trung học cơ sở khi giải toán 2.2.1. Nguyên nhân 1: Hiểu không đầy đủ và chính xác các thuộc tính của các khái niệm toán học. 12 Chúng ta biết rằng: Khái niệm là một trong các sản phẩm của tư duy toán học. Mỗi khái niệm đều có nội hàm và ngoại diện. Tập hợp các dấu hiệu đặc trưng cho bản chất của các đối tượng được phản ánh trong khái niệm chính là nội hàm của khái niệm. Tập hợp các đối tượng có chứa các dấu hiệu trên chính là ngoại diên của khái niệm. Việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên của một khái niệm sẽ dẫn HS tới sự hiểu không trọn vẹn, thậm chí sai lệch bản chất khái niệm. Từ đó các sai lầm khi giải toán sẽ xuất hiện. Mặt khác nhiều khái niệm trong toán học là mở rộng hoặc thu hẹp của một khái niệm có trước đó. Việc HS không nắm vững khái niệm này sẽ dẫn tới việc không hiểu và không thể có biểu tượng về khái niệm khác. Nhiều khi người ta hay nói tới sự “mất gốc” của HS về kiến thức thì trước hết cần hiểu rằng: đó là sự “mất gốc” về các khái niệm. Như vậy qua các dẫn chứng cụ thể trên chúng ta có thể thấy từ việc không nắm vững các thuộc tính của khái niệm, học sinh có thể bị dẫn tới các sai lầm trong lời giải. Chúng tôi xin lưu ý tới nguyên nhân này vì nếu giáo viên không có các biện pháp kịp thời thì chính từ đó sẽ gây ra hậu quả lớn cho học sinh, thể hiện qua sơ đồ sau (sơ đồ 1): Không nắm vững nội hàm Nhận dạng sai Không nắm vững các thuộc tính Không nắm vững ngoại diên Học sinh Biến đổi sai Kí hiệu sai Chứng minh sai Vẽ hình sai Diễn đạt sai Thể hiện sai Không phát hiện Không phân tích Không củng cố Không phân loại Giáo viên 13 2.2.2. Nguyên nhân 2: Không nắm vững cấu trúc lôgic của định lí. Định lí là một mệnh đề đã được khẳng định đúng. Cấu trúc thông thường của định lí có dạng A  B. Trong cấu trúc của định lí A  B thì A là giả thiết của định lí và cho chúng ta biết phạm vi sử dụng được định lí. Người ta còn nói A là điều kiện đủ để có B. Nhưng khá nhiều học sinh lại không nắm vững hoặc coi thường giả thiết A nên dẫn tới sai lầm khi giải toán. Khi học định lí Viét thuận, nhiều học sinh chỉ nhớ tổng và tích hai nghiệm là bao nhiêu, chứ không để ý tới giả thiết của định lí là phương trình phải là phương trình bậc hai có nghiệm (a 0, 0   ) do đó học sinh sẽ mắc sai lầm khi áp dụng định lí này. Khi học về bất đẳng thức Cauchy, học sinh không để ý tới giả thiết chỉ áp dụng bất đẳng thức cho các số không âm nên khi gặp bài toán so sánh x + 1/x với 2 số đã áp dụng ngay để có kết luận sai lầm x + 1/x > 2 với x ≠ 1 và x + 1/x = 2 với x = 1.(?) Tóm lại việc không nắm vững cấu trúc logic của định lí sẽ dẫn học sinh tới nhiều sai lầm trong khi học toán và giải toán. Chúng tôi xin lưu ý bởi sơ đồ sau (sơ đồ 2): ĐịNH Lí A  B Không nắm vững A Không nắm vững B Khôn g có A vẫn suy ra B Không có A suy ra không có B Sử dụng định lí chưa đúng Sử dụng B mà không có A Có B suy ra có A Có A nhưn g suy ra khôn Lời giải sai Học sinh Giáo viên 14 2.2.3. Nguyên nhân 3: Thiếu các kiến thức cần thiết về lôgic: Suy luận là một hoạt động trí tuệ đặc biệt của phán đoán – một trong các hình thức của tư duy. Hoạt động suy luận khi giải toán dựa trên cơ sở của lôgic học. Học sinh thiếu các kiến thức cần thiết về lôgic sẽ mắc sai lầm trong suy luận và từ đó dẫn đến các sai lầm khi giải toán. Ngay việc sử dụng từ nối “và”, “hoặc” vẫn là điều khó khăn của rất nhiều học sinh. Lẽ ra cần khẳng định: tam giác cân hoặc vuông thì lại khẳng định tam giác là tam giác vuông cân. Khi biến đổi phương trình tích AB = 0, học sinh vẫn viết A = 0 và B = 0. Không nắm được phép phủ định học sinh rất khó khăn khi dùng phương pháp chứng minh phản chứng. Việc “phủ định không hoàn toàn” sẽ dẫn tới sai lầm trong lời giải phủ định a > 0 là a < 0 gây cho lời giải thiếu trường hợp a = 0. Trong SGK thì các phép chứng minh được trình bày theo phương pháp tổng hợp mà không qua phương pháp phân tích để dẫn tới cách chứng minh trong khi đó thì giáo viên lại không thể hiện dưới dạng tường minh các kiến thức về quy luật, quy tắc, phương pháp suy luận đã được sử dụng. 2.2.4. Nguyên nhân 4: học sinh không nắm vững phương pháp giải các bài toán cơ bản: Học sinh không nắm vững phương pháp giải các bài toán cơ bản thì dẫn tới sai lầm trong lời giải. Không nắm vững phương pháp giải học sinh không nghĩ ra được đủ các khả năng cần xét và dẫn tới đặt điều kiện sai. Không nắm vững phương pháp giải, học sinh sẽ biện luận không đủ các trường hợp xảy ra của bài toán. 2.3. Bốn biện pháp sư phạm chủ yếu nhằm hạn chế và sửa chữa sai lầm cho học sinh. 2.3.1. Biện pháp 1: Trang bị đầy đủ chính xác các kiến thức về bộ môn Toán: * Tình huống 1: Dạy toán học như thế nào để tránh sai lầm cho học sinh khi giải toán? Giáo viên cần dự đoán trước (bằng kinh nghiệm bản thân hoặc trao đổi với đồng nghiệp), các khả năng không hiểu hết những thuộc tính của khái niệm. 15 Nếu dự đoán được các sai lầm trên thì chắc chắn giáo viên sẽ chuẩn bị bài giảng của mình để đề phòng trước sai lầm cho học sinh. Sự chủ động đề phòng sai lầm xuất hiện bao giời cũng mang tính tích cực hơn là sửa chữa sau này. Những sai lầm của học sinh về khái niệm toán học mang dấu ấn khó phai và rất mất công chỉnh lại cho chính xác. ở đây cũng cần lưu ý phân biệt việc chưa hiểu hết với hiểu sai. Có những khái niệm khó, học sinh không hiểu hết các thuộc tính ngay một lúc mà phải qua các hoạt động nhận dạng và thể hiện mới đi tới sự trọn vẹn. Chính việc chưa hiểu hết các thuộc tính của khái niệm sẽ rất dễ dẫn đến hiểu sai khái niệm. Do đó có những sai lầm của học sinh phải làm cho học sinh hiểu hết các thuộc tính của khái niệm thì mới mong học sinh hết hiểu sai. Ví dụ: Khái niệm hàm số, học sinh cần phải hiểu rõ ba thuộc tính của khái niệm đó là: + Tập X, Y là các tập hợp số. + Mỗi giá trị của x đều có giá trị y tương ứng. + Giá trị tương ứng y là duy nhất. * Tình huống 2: Dạy các định lí toán học như thế nào để học sinh tránh sai lầm khi giải toán? Nói tới định lí toán học là nói tới một khẳng định đúng (dù chúng ta có dạy phép chứng minh định lí hay không). Tuy nhiên, việc quan trọng mà giáo viên cần quan tâm đầu tiên là cấu trúc lôgic của định lý. Như chúng tôi đã phân tích, việc không nắm vững cấu trúc định lí sẽ dẫn học sinh tới sai lầm khi giải toán. Các định lí toán học thường được diễn đạt theo cấu trúc A  B. Ai cũng biết A là giả thiết và B là khẳng định, kết luận của định lí. Nhưng chúng tôi xin lưu ý thêm: A cho biết dùng định lí khi nào và B cho biết sẽ kết luận, suy ra được gì khi có A. Dạy định lí toán học có thể được thực hiện theo hai con đường, con đường suy diễn và con đường có khâu suy đoán. Nhằm hạn chế và đề phòng các sai lầm của học sinh khi giải toán chúng tôi thấy cần thiết phải phân tích rõ giả thiết của định lí. Học sinh nhiều khi không quan tâm tới giả thiết định lí mà chỉ quan tâm tới kết luận của định lí nên dẫn tới sai lầm. Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) có nghiệm x1, x2 thì tổng và tích các nghiệm của nó là: 16 1 2 1 2. bx x a cx x a         Cấu trúc của giả thiết:    0 0a     . Trước khi dùng định lí này phải kiểm tra hoặc đặt điều kiện để bài toán thoả mãn đồng thời hai điều kiện của giả thiết. Học sinh rất hay quên điều kiện a ≠ 0. Nhiều học sinh vẫn tính tổng và tích các nghiệm của phương trình x2 – x + 1 = 0 mặc dù phương trình này vô nghiệm. Giáo viên cần tạo ra những thí dụ mà các điều kiện của giả thiết chưa thoả mãn hoàn toàn để học sinh thấy rằng mọi điều kiện của giả thiết là không thể thiếu được. Giáo viên cũng cần nêu ra ở thí dụ để thuyết phục chứ không chỉ dừng lại ở việc nhắc nhở. Các thí dụ, mà đặc biệt các phản thí dụ bao giờ cũng tạo ấn tượng đối với học sinh. Ví dụ: x nếu x ≥ 0 - x nếu x < 0 ở đây x = -x khi x < 0 ( nhưng khi x = 0 thì x = - x). Điều này chứng tỏ x < 0 chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần để tránh sai lầm cho học sinh. Khi dạy một định lí cần chỉ ra cho học sinh các hướng dẫn ứng dụng của định lí để tạo ra sự nhạy cảm của học sinh khi đứng trước một bài toán biết nghĩ tới việc vận dụng định lí nào. Điều đặc biệt cần lưu ý là khi dạy định lí toán học cho học sinh là giáo viên cần cho học sinh thấy rõ phương pháp phân tích chứng minh định lí. Chính biện pháp này giúp cho học sinh dễ đi tới chứng minh đúng trong giải toán sau này. * Tình huống 3. Cung cấp các kiến thức về lôgic như thế nào để học sinh tránh sai lầm khi giải toán? Theo thực nghiệm của chúng tôi, việc đưa các ví dụ theo ngôn ngữ tự nhiên cần đi trước các thí dụ theo ngôn ngữ toán học. Đây chính là con đường đi từ “trực quan sinh động” đến “tư duy trừu tượng” của nhận thức. Chẳng hạn có thể nêu mệnh đề A = Trời nắng ; B = Đội mũ thì thông thường học sinh được nhắc nhở “Nếu trời nắng thì đội mũ” nên học sinh dễ hình dung ra ý nghĩa của phép kéo theo A  B. x 17 A là đủ để có B nhưng lưu ý là nhiều học sinh vẫn đội mũ khi trời không nắng, nghĩa là A chưa phải là điều kiện cần để có B. Đặc biêt, nếu A  B là đúng thì đây là một ví dụ để nhấn mạnh mệnh đề đảo B  A không đúng, học sinh có thể thấy ngay việc mình đội mũ không làm cho trời nắng. Chẳng hạn, nếu A = số tự nhiên có tận cùng là 0 ; B = số tự nhiên có tận cùng là 5 ; C = số tự nhiên chia hết cho 5 thì ta có  A B C  đồng thời  C A B  do đó  A B C  là tiêu chuẩn chia hết cho 5 của số tự nhiên. Khi kiểm tra một số chia hết cho 5 hay không chỉ cần kiểm tra A hoặc B. Từ đó phủ định mệnh đề này ta có ( )A B C , qua đây học sinh nắm rõ bản chất của dấu hiệu chia hết cho 5. Giáo viên có thể chủ động đưa ra các suy luận sai để học sinh phân tích và tránh vấp phải sau này. Đặc biệt cần làm cho học sinh nắm được phương pháp phân tích đi lên, phân tích, tổng hợp, phản chứng, quy nạp. Giáo viên cần tận dụng bất cứ cơ hội nào, miễn là hợp lí, để khắc sâu kiến thức lôgic cho học sinh. Chẳng hạn với học sinh khá giỏi lớp 9, đối với hệ phương trình: 2 bx y a x by c c       Thì việc phân tích hai yêu cầu sau đây là khác nhau chính là tăng cường kiến thức lôgic. - Tìm a sao cho với mọi b luôn tồn tại c để hệ có nghiệm. - Tìm a sao cho tồn tại c để hệ có nghiệm với mọi b Học sinh nắm vững các kiến thức về lôgic sẽ hạn chế được nhiều sai lầm khi giải toán. * Tình huống 4: Trang bị phương pháp giải các bài toán cơ bản như thế nào để tránh sai lầm của học sinh khi giải toán? Có thể nói rằng các loại toán cơ bản trong chương trình Đại số THCS đều có phương pháp giải. Việc trang bị các phương pháp giải này chính là làm cho học sinh có điều kiện nắm vững các loại toán cơ bản: Ví dụ: Giải phương trình: ax2 + bx + c = 0 a = 0 a ≠ 0 18 b = 0 b ≠ 0 Ä = b2 – 4ac c = 0 c ≠ 0 PT có nghiệm Ä 0 vô định VN duy nhất VN nghiệm kép 2 nghiệm phân biệt Việc rèn luyện cho học sinh lập các sơ đồ như trên vừa làm học sinh nắm vững phương pháp giải, vừa phát triển tư duy cho học sinh. Từ đó học sinh có thể tránh sai lầm khi giải toán. Tuy nhiên cũng cần lưu ý học sinh là với một loại toán có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau, học sinh cần biết lựa chọn phương pháp giải tối ưu để giải quyết bài toán cụ thể. Từ lời giải một bài toán cụ thể, giáo viên cần gợi ý cho học sinh tìm ra phương pháp giải cho một lớp bài toán. Biện pháp này giúp học sinh hiểu bản chất lời giải cụ thể và tư duy khái quát hoá được phát triển. Tránh tình trạng “làm bài nào biết bài ấy”. Nhờ thực hiện biện pháp 1, trong đó có việc trang bị các kiến thức về lôgic cho học sinh mà việc thực hiện kiểm tra sự có lí của từng bước suy luận thực hiện được thuận lợi. Mỗi khi có lời giải sai là một dịp tốt để giáo viên cho học sinh thực hành thao tác các dấu hiệu nhận biết sâu sắc một cách thú vị và giờ học toán sẽ hấp dẫn và học sinh tích cực hoạt động, nói đúng ra là có điều kiện để tích cực hoạt động. 2.3.2. Biện pháp 2: Học sinh được thử thách thường xuyên với những bài toán dễ dẫn đến sai lầm trong lời giải. Đây là biện pháp thường trực, kể cả khi sai lầm nào đó đã được phân tích và sửa chữa cho học sinh. Để thực hiện biện pháp này, giáo viên phải biết đặt các bài toán có chứa các “bẫy”. Với bài toán “Chứng minh với mọi a, b, c thì (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) ≥ 8a2b2c2 đã lôi cuốn 98,5% học sinh tham gia và có lời giải. Tuy nhiên, khá đông học sinh bị sai lầm trong lời giải của mình khi nhân các bất đẳng thức cùng chiều. Như vậy, để đạt mục đích sư phạm thì “bẫy” phải làm cho bài toán có tính thử thách để đo độ vững vàng về những kiến thức cụ thể của học sinh. 19 2.3.3. Biện pháp 3: Theo dõi một sai lầm của học sinh khi giải toán qua các giai đoạn: *Giai đoạn 1: Sai lầm chưa xuất hiện ở giai đoạn này giáo viên có thể dự báo trước các sai lầm và thể hiện ở các chú ý đối với học sinh. Chẳng hạn giáo viên có thể chú ý bất đẳng thức Cauchy chỉ được áp dụng với các số không âm, vì vậy để chứng minh a (1 – a) ≤ 1 4 bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và 1 –a là sai lầm. Tất nhiên, để dự báo tốt giáo viên phải được trang bị hiểu biết về các sai lầm của học sinh khi giải toán và phải có năng lực chuyên môn, kinh nghiệm sư phạm. *Giai đoạn 2: Sai lầm xuất hiện trong lời giải của học sinh: Đây là giai đoạn đòi hỏi giáo viên phải kết hợp được ba nguyên tắc kịp thời, chính xác, giáo dục cùng với sự tích cực hoá của học sinh để vận dụng các hiểu biết về việc kiểm tra lời giải nhằm tìm ra sai lầm, phân tích nguyên nhân và sửa chữa lời giải. Quy trình ở giai đoạn này là giáo viên theo dõi thấy sai lầm  giáo viên gợi ý để học sinh tìm ra sai lầm  học sinh tự tìm ra sai lầm  giáo viên gợi ý chỉnh lời giải  học sinh thể hiện lời giải đúng  giáo viên tổng kết và nhấn mạnh sai lầm đã bị mắc. Nhiều sai lầm của học sinh khá tinh vi, có khi giáo viên không phát hiện kịp thời. Giai đoạn này đòi hỏi giáo viên phải có thái độ đối xử khéo léo sư phạm để tăng hiệu quả giáo dục. Tuỳ theo mức độ sai lầm mà giáo viên quyết định sử dụng các biện pháp sư phạm thích hợp. Có khi giáo viên cần đưa ra lời giải đúng để học sinh tự đối chiếu và tìm ra sai lầm của lời giải sai, đây cũng là một gợi ý để học sinh nhận ra sai lầm. Có khi giáo viên chủ động đưa ra lời giải sai để học sinh nhận dạng các dấu hiệu tìm ra sai lầm. 20 Có khi giáo viên đưa ra nhiều lời giải khác nhau để học sinh phân biệt sự đúng sai của lời giải, có thể sử dụng phương pháp trắc nghiệm toàn lớp để mọi học sinh đều phải suy nghĩ và có ý kiến. Ngược lại, nếu giai đoạn này giáo viên không kịp thời phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán thì các sai lầm sẽ ngày càng trầm trọng, giáo viên không hoàn thành nhiệm vụ dạy học, học sinh sẽ sút kém về kết quả. * Giai đoạn 3: Sai lầm đã được phân tích và sửa chữa. Giáo viên cần xây dựng hoạt động học cho học sinh và thử thách thường xuyên học sinh qua các bài toán dễ dẫn đến các sai lầm đã sửa. Sự nỗ lực của thầy và trò chưa dứt bỏ một sai lầm thì sai lầm đó lại bước vào một vòng tồn tại mới. Điều quan trọng là làm sao, cuối cùng có thể qua nhiều vòng giáo viên cần xoá hẳn sai lầm cho học sinh. Việc chia ba giai đoạn đối với một sai lầm chỉ có ý nghĩa nhấn mạnh thời điểm của sai lầm. Trong một thời điểm dạy học giáo viên có khi đồng thời tác động đến cả ba giai đoạn, bởi vì vừa “phòng tránh” các sai lầm chưa xuất hiện, vừa lo phân tích và sửa chữa các sai lầm đang xuất hiện đồng thời lo xoá hẳn những sai lầm đã sửa chữa. Sơ đồ sau chỉ rõ sự kiên trì để xoá bỏ một sai lầm của học sinh. Chúng Sai lầm chưa xuất hiện Sai lầm xuất hiện Phòng tránh Phân tích sửa chữa Củng cố thử thách Sai lầm được xoá bỏ 21 Chúng ta có thể khẳng định rằng, học sinh còn mắc nhiều sai lầm trong khi giải toán, nếu những sai lầm của học sinh được hệ thống lại thì sẽ giúp giáo viên dễ phát hiện trong lời giải của học sinh; những sai lầm đó xuất phát từ nhiều nguyên nhân về kiến thức, để từ đó giáo viên có biện pháp phân tích, sửa chữa sai lầm cho học sinh khi giải toán, nâng cao chất lượng giảng dạy học bộ môn Toán ở trường phổ thông. III. Kết luận Đề tài đã chỉ ra các sai lầm của học sinh khi giải toán là hiện tượng phổ biến hiện nay, kể cả học sinh khá giỏi môn toán. Các sai lầm này có thể hệ thống lại, chẳng hạn theo từng loại toán chủ yếu nhằm giúp giáo viên dễ phát hiện và sửa chữa cho học sinh. Đề tài đã phân tích các nguyên nhân chủ yếu về kiến thức của học sinh gây nên các sai lầm khi giải toán và đề xuất ba phương châm chỉ đạo (tính kịp thời, tính chính xác, tính giáo dục) để việc sử dụng bốn biện pháp sư phạm nhằm hạn chế và sửa chữa sai lầm cho học sinh có hiệu quả. Nếu người giáo viên nắm bắt được các sai lầm phổ biến của học sinh khi giải toán, đồng thời biết cách phân tích và sử dụng các biện pháp dạy học thích hợp để hạn chế, sửa chữa các sai lầm này thì năng lực giải toán của học sinh sẽ được nâng cao hơn. Với kinh nghiệm của 20 năm dạy toán cho nhiều đối tượng và quản lý chuyên môn, có thể bước đầu được khẳng định tính khả thi, tính hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất. IV. Khuyến nghị - đề xuất: 22 Các kết quả nghiên cứu còn có thể phát triển theo nhiều hướng. Chẳng hạn, nghiên cứu các sai lầm của học sinh khi giải toán trong phân môn hình học hoặc trong các môn học khác ở trường trung học cơ sở. Nội dung có thể làm tài liệu tham khảo bổ ích hoặc triển khai thành các chuyên đề bồi dưỡng nghiệp vụ cho giáo viên giảng dạy toán THCS. Xác nhận của Phòng GD & ĐT Trưởng Phòng Xác nhận của UBND huyện Chủ tịch