Tiểu luận Tính chất đồng liên tục và bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN ————oOo———— TIỂU LUẬN TÍNH CHẤT ĐỒNG LIÊN TỤC VÀ BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Thực hiện : Nhóm 4 Lớp : Giải tích K09 Khóa học : 2014 - 2016 Đắk Lắk, 09/2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN TÍNH CHẤT ĐỒNG LIÊN TỤC VÀ BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Học viên thực hiện : Nhóm 4 Lớp : Giải tích K09 NGƯỜI HƯỚNG DẪN PGS. TS. Thái Thuần Quang Đắk Lắk, 09/2015 DANH SÁCH HỌC VIÊN LÀM TIỂU LUẬN 1. Huỳnh Thị Thanh Hương 2. Hách Thị Hồng Hoa 3. Phạm Thị Yên Ly 4. Bùi Thị Phương Thảo 5. Nguyễn Thị Thu Hiền 6. Lê Vũ Nhất 7. Trịnh Thanh Hùng 8. Nguyễn Minh Phát 9. Đinh Hoài Lưu i MỤC LỤC MỤC LỤC ii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT iii MỞ ĐẦU 1 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Tính chất đồng liên tục và bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình. 7 2.1 Tính chất đồng liên tục của họ các ánh xạ chỉnh hình . . . 7 2.2 Tính bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình . . 10 KẾT LUẬN 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO 17 ii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT R : Tập các số thực. H (U ;F ) : Không gian vectơ của tất cả ánh xạ chỉnh hình từ U → F . (E, ‖.‖) : Không gian định chuẩn. (X, τ) : Không gian tôpô. iii MỞ ĐẦU Giải tích phức, hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức, là một nhánh của toán học nghiên cứu các hệ hàm số một hay nhiều biến và các biến số đều là số phức (các ánh xạ giữa Cn và Cm). Khoảng hơn 50 năm trước, dựa trên sự phát triển của Giải tích hàm, Giải tích phức đã nghiên cứu các ánh xạ giữa các không gian vector tôpô phức vô hạn chiều, đặc biệt là các không gian định chuẩn. Giải tích phức có nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khác của toán học, trong đó có lý thuyết số và toán ứng dụng. Một trong những đối tượng chính của giải tích phức là các ánh xạ giải tích phức, thường gọi là các ánh xạ chỉnh hình. Vì phần thực và phần ảo của một hàm giải tích một biến thỏa mãn phương trình Laplace, nên giải tích phức được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán vật lý hai chiều. Nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của Giải tích phức. Các kết quả đạt được theo hướng nghiên cứu này ngày càng nhiều và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Tiểu luận trình bày và làm sáng tỏ một vài vấn đề về Tính chất đồng liên lục và bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình mong sẽ là tài liệu tham khảo đối với những học viên quan tâm đến Giải tích phức mà cụ thể là hàm chỉnh hình. Nội dung của tiểu luận được trình bày trong hai chương: 1 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này dành cho việc trình bày các khái niệm, kiến thức cơ sở cần cho việc trình bày và chứng minh trong chương 2. Chương 2: Tính chất đồng liên tục và bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình. Chương này giới thiệu về tính chất đồng liên tục và bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình trong không gian Banach phức. Bên cạnh đó giới thiệu một số ví dụ và bài tập liên quan. 2 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ sơ cần cho những trình bày và chứng minh trong chương 2. 1.1 Một số khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.1.1 Giả sử E là không gian tuyến tính trên trường K (thực hoặc phức). Hàm ||.|| : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: (1) ||x|| ≥ 0,∀x ∈ E và ‖x‖ = 0⇔ x = 0. (2) ‖kx‖ = |k| ‖x‖ ,∀k ∈ K, ∀x ∈ E. (3) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ ,∀x, y ∈ E. Không gian tuyến tính E cùng một chuẩn trên đó được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn, hay nói gọn là không gian định chuẩn và ký hiệu là (E, ‖.‖) hay đơn giản là E. Nhận xét 1.1.2 Cho không gian định chuẩn (X, ‖.‖). Với mọi x, y ∈ X, đặt d(x, y) = ‖x− y‖ thì d là metric trên X. Do đó mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric với metric xác định như trên. Các tính chất và mệnh đề trong không gian metric đều đúng cho không 3 gian định chuẩn. Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian metric (X, d). Dãy {xn} ⊂ X gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu lim n,m→∞ d(xn, xm) = 0. Nhận xét 1.1.4 Mọi dãy hội tụ trong không gian metric đều là dãy Cauchy. Định nghĩa 1.1.5 Không gian metric (X, d) gọi là không gian đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. Không gian định chuẩn đầy đủ gọi là không gian Banach. Điều này nghĩa là một không gian Banach là một không gian định chuẩn E trên trường số thực hay số phức với một chuẩn ‖.‖ sao cho mọi dãy Cauchy (tương ứng với metric d(x, y) = ‖x− y‖ có giới hạn trong E). Định nghĩa 1.1.6 Cho tập X. Một họ τ các tập con của X gọi là một tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện: (1) X và ∅ thuộc τ . (2) Hợp của họ tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ . (3) Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ . Một tập X cùng một tôpô trên X gọi là một không gian tôpô. Để chỉ rõ τ là tôpô của không gian X ta viết (X, τ). Định nghĩa 1.1.7 Cho U là tập mở của E. Ánh xạ f : U → F là ánh xạ chỉnh hình nếu với mỗi a ∈ U tồn tại một hình cầu mở B (a; r) ⊂ U và chuỗi đa thức Pm ∈ P (mE,F ) sao cho f (x) = n∑ m Pm (x− a),∀x ∈ B (a, r). Chúng ta sẽ biểu thị H (U ;F ) không gian vectơ của tất cả ánh xạ chỉnh hình từ U → F . 4 Khi F = C ta có thể viết H (U ;C) = H (U). Định nghĩa 1.1.8 Cho không gian metric (X, d) . a) Với mỗi r < 0, x ∈ X. Tập S(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r} (hay S [x, r] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}) được gọi là hình cầu mở (đóng) tâm x, bán kính r. b) Điểm x gọi là điểm dính của tập hợp A nếu với mọi r > 0 sao cho S(x, r) ⋂ A 6= ∅. Tập các điểm dính của A gọi là bao đóng của A, kí hiệu là A¯ hay [A]. c) Điểm x gọi là điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại r(x) > 0 sao cho S(x, r) ⊂ A. Tập các điểm trong của A gọi là phần trong của A, kí hiệu là Ao hay intA. d) Điểm x gọi là điểm biên của tập hợp A nếu x là điểm dính của A và X A, tức là mọi r > 0 ta có S(x, r) ⋂ A 6= ∅và S(x, r)⋂(X A) 6= ∅. Tập hợp các điểm biên của A gọi là biên của A và kí hiệu là ∂A . Định nghĩa 1.1.9 Cho không gian metric (X, d) và K ⊂ X. Tập K gọi là compact nếu mọi dãy {xn} ⊂ K đều có một dãy con hội tụ tới một phần tử của K. Tập K gọi là compact tương đối nếu bao đóng K¯ là tập compact. Ví dụ 1.1.10 + Trong không gian Rn, tập compact tương đối là tập bị chặn. + Trong không gian metric, tập compact tương đối là tập hoàn toàn bị chặn (tức là có thể phủ nó bằng một số hữu hạn các hình cầu có bán kính nhỏ tùy ý ↔ mọi dãy trong đó đều rút ra được một dãy Cauchy). Định lí 1.1.11 Cho U là tập mở của E. Khi đó với mỗi f : U → F thì các mệnh đề sau là tương đương: 5 (a) f là hàm chỉnh hình (b) f là hàm liên tục và G – chỉnh hình (c) f là hàm liên tục và f |U ∩M là hàm chỉnh hình hạn chế trên không gian định chuẩn hữu hạn chiều M của E. Định lí 1.1.12 Cho U là tập mở của E, f : U → F. (a) f là G – chỉnh hình khi và chỉ khi f là G – chỉnh hình yếu. (b) f là hàm chỉnh hình khi và chỉ khi f là hàm chỉnh hình yếu. 6 Chương 2 Tính chất đồng liên tục và bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình. Trong chương này chúng tôi giới thiệu về tính chất đồng liên tục và bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình trong không gian banach phức.Trong suốt chương này hầu như các không gian là không gian Banach phức. Đặc biệt, các chữ E và F sẽ luôn luôn đại diện cho không gian Banach phức. 2.1 Tính chất đồng liên tục của họ các ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa 2.1.1 Cho X là không gian tôpô và F là không gian banach. 1. Họ F ⊂ F x được gọi là đồng liên tục nếu với mỗi a ∈ X và  > 0 tồn tại một lân cận V của a trong x sao cho: ‖f(x)− f(a)‖ ≤ ,∀x ∈ V, f ∈ F. 2. Họ F ⊂ F x được gọi là bị chặn địa phương nếu với mỗi a ∈ X tồn 7 tại một lân cận V của a trong X và hằng số c > 0 sao cho: ‖f(x)‖ ≤ c, ∀x ∈ V, f ∈ F Định nghĩa 2.1.2 Một không gian tôpô X được gọi là k-không gian nếu một tập A ⊂ X là mở khi A∩K là mở trong K với mỗi tập con compact K của X. Ví dụ 2.1.3 Mỗi không gian đếm được là một k-không gian. Mỗi không gian compact địa phương là một k-không gian. Bổ đề 2.1.4 Cho X là một k-không gian và Y là một không gian tôpô tùy ý. Khi đó ánh xạ f : X → Y là liên tục nếu và chỉ nếu f/K là liên tục với mỗi tập con compact K của X. Mệnh đề 2.1.5 Nếu X là một k-không gian thì C ((X;F ) , τc) là đầy đủ với mọi không gian Banach. Chứng minh Giả sử (fi) là một dãy suy rộng Cauchy trong C ((X;F ) , τc). Khi đó (fi (x)) là một dãy suy rộng Cauchy trong F với mỗi x ∈ F . Nếu chúng ta định nghĩa f : X → F bởi f (x) = lim fi (x) khi đó dễ thấy rằng dãy (fi) hội tụ đều tới f trên mỗi tập con compact củaX. Do đó f/K là liên tục với mỗi tập con compact K của X, từ đó X là một k-không gian và chúng ta kết luận f là liên tục.  Mệnh đề 2.1.6 Một không gian tôpô X là nửa compact hay đếm được tại vô cùng nếu tồn tại một dãy (Kn) ∞ n=1 của các tập con compact của X là chứa trong Kn nào đó. Ví dụ 2.1.7 Mỗi tập mở U ⊂ Cm là nửa compact. Thật vậy nó được thỏa mãn với 8 Kn = {x ∈ U : ‖x‖ ≤ n, dU (x) ≥ 1/n} Dễ dàng có kết quả sau Mệnh đề 2.1.8 NếuX là một không gian nửa compact thì C ((X;F ) , τc) là metric được với mọi không gian Banach F . Giả sử X là một không gian tôpô và F là một không gian Banach. Khi đó như thông thường ta ký hiệu FX là không gian vec tơ của tất cả các ánh xạ từ F vào X. Không gian tôpô hội tụ theo từng điểm là tôpô lồi địa phương τP trên F X sinh bởi họ các nửa chuẩn f → sup x∈A ‖f (x)‖, ở đây A chạy qua các tập con hữu hạn của X. Tôpô hội tụ theo từng điểm trên FX chính là tôpô tích Tychonoff. Định nghĩa 2.1.9 Cho X là một không gian tô pô và F là một không gian Banach. (a) Một họ F ⊂ FX được gọi là liên tục đồng bậc nếu với mỗi a ∈ X, và  > 0 , một lân cận V của a trong X thỏa mãn [‖f (x)− f (a)‖ ≤ ε với mọi x ∈ V và f ∈ F . (b) Một họ F ⊂ FX được gọi là bị chặn địa phương nếu với mỗi a ∈ X, một lân cận V của a trong X và một hằng số c > 0 thỏa mãn ‖f (x)‖ ≤ c với mọi x ∈ V và f ∈ F . Ví dụ 2.1.10 Nếu F là một họ hữu hạn các ánh xạ liên tục thì F là một họ liên tục đồng bậc. Tính chất 2.1.11 Từ định nghĩa ta thấy nếu F là họ ánh xạ liên tục đồng bậc thì mọi ánh xạ f thuộc F là liên tục. Điều ngược lại không đúng. Ví dụ 2.1.12 F = {fn : (0, 1)→ R|n ∈ N, fn (x) = 1/xn}. F gồm các hàm liên tục nhưng F không liên tục đồng bậc. 9 Bổ đề 2.1.13 Cho X là không gian tôpô và F là không gian Banach. Nếu mỗi họ F ⊂ FX thì F đồng liên tục. Khi đó, bao đóng F của F với tôpô hội tụ theo từng điểm cũng đồng liên tục. Mệnh đề 2.1.14 Cho X là không gian tôpô và F là không gian Banach. Khi đó, tôpô hội tụ compact và tôpô hội tụ theo từng điểm tạo ra tôpô tương tự trên mỗi tập con đồng liên tục của C (X;F ). Chứng minh Cho F là tập con đồng liên tục của tập C (X;F ). Ta luôn có τP ≤ τC và chỉ ra được rằng 2 tôpô này trùng khớp nhau trên F . Lấy K là tập compact của X và lấy  > 0. Khi đó, F đồng liên tục tại mọi điểm a ∈ K, lấy lân cận Vα sao cho ‖f(x)− f(α)‖ < ε,∀x ∈ Vα,∀f ∈ F . Khi đó K là tập compact, lấy tập hữu hạn A ⊂ K sao cho K ⊂⋃ {Vα : α ∈ A}, từ đó ta có: sup x∈K ‖f(x)‖ ≤ sup x∈A ‖f(x)‖+ ε ∀f ∈ F . Tương tự cách lập luận này ta chỉ ra tập F −F cũng đồng liên tục. Ta có thể lấy tập hữu hạn B ⊂ K để sup x∈K ‖f(x)− g(x)‖ ≤ sup x∈B ‖f(x)− g(x)‖+ ε, ∀f, g ∈ F . Vì vậy { f ∈ F : sup x∈K ‖f(x)− f0(x)‖ ≤ 2ε } ⊃ { sup x∈B ‖f(x)− f0(x)‖ ≤ ε } ∀f ∈ F  2.2 Tính bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa 2.2.1 Một hàm f ∈ H (D,F ) gọi là bị chặn địa phương nếu với mọi z ∈ D, tồn tại một lân cận U của z trong D sao cho f(U) bị chặn. 10 Ví dụ 2.2.2 Mọi ánh xạ tuyến tính liên tục với miền xác định hay miền giá trị là không gian banach là bị chặn địa phương. Định lí 2.2.3 Cho E là một không gian metric, F là không gian banach, nếu f bị chặn địa phương trên mọi tập compact của E thì f bị chặn địa phương trên E. Chứng minh. Ta chứng minh phản chứng. Giả sử f bị chăn địa phương trên mọi tập compact và tồn tại một điểm x0 ∈ E sao cho f không bị chặn trên mọi lân cận của x0 ∈ E . Chọn một dãy xn → x0, f (xn) ≥ n,∀n ∈ N.. Khi đó tập x0.x1 ,.... là một tập compac. Do đó f bị chặn trên E. (vô lý) Vậy f bị chặn địa phương trên E.  Định lí 2.2.4 Cho X là một không gian tôpô, khi đó mỗi đồng liên tục, tập bị chặn theo theo từng điểm của C(X) là compact tương đối trong C(X) với tôpô compact mở. Chứng minh Cho F là một đồng liên tục, tập bị chặn theo từng điểm trong C(X), và cho F là bao đóng của F trong CX . Khi đó, F rõ ràng bị chặn theo từng điểm, và do đó nó compact trong CX bởi định lí tích số Tychonoff. Bây giờ, tập F là đồng liên tục theo bổ đề 9.10 và do đó tôpô tích và tôpô mở compact trùng nhau trên F bởi mệnh đề 9.11. Do đó F là tập compact của (C(X), TC) và chứng minh được hoàn thành.  Ví dụ 2.2.5 Cho I = [a, b], hiển nhiên I là tập compact trong R. Xét ánh xạ h : I → R, kí hiệu không gian các hàm h đo được, bị chặn trên I và có giá trị trong R là B(I,R) = B(I). Dễ thấy B(I) là không 11 gian Banach với chuẩn ||h||B(I) = sup x∈I |h(x)|. Cho α,C1, C2 là các số dương. Kí hiệu K là tập hợp các hàm đo được bị chặn h : I → sao cho |h (a)| ≤ C1 và |h (x)− h (y)| ≤ C2|x− y|α,∀x, y ∈ I = [a, b]. Ta sẽ chứng minh được K bị chặn trên đoạn [a, b] và K đồng liên tục trên [a, b]. Vậy K là tập compact trong B(I). Sau đây thiết lập một số tính chất tôpô của không gian các ánh xạ liên tục, chúng ta chú ý đến ánh xạ chỉnh hình. Mệnh đề 2.2.6 Nếu U là một tập mở của E. Khi đó H(U ;F ) là một không gian vectơ đóng của (C(U ;F ), TC).(H(U ;F ), TC) nói riêng là đầy đủ. Chứng minh Cho (fi) là một lưới trongH (U ;F ) hội tụ về một ánh xạ f ∈ C (U ;F ) với tôpô compact mở. Cho a ∈ U, b ∈ E và ψ ∈ F ′ tập gi (λ) = ψofi (a+ λb) và g (λ) = ψof (a+ λb), với mỗi λ ∈ Λ = {λ ∈ C : a+ λb ∈ U}. Khi đó mỗi gi là chỉnh hình trong ∧ và lưới (gi) hội tụ về g đã cho trên mỗi tập compact của ∧ . Theo định lí Weierstrass về hàm chỉnh hình của một biến phức, hàm g là chỉnh hình trên ∧ . Khi đó theo định lí 1.1.11, 1.1.12 thì f ∈ H(U ;F ).  Hệ quả 2.2.7 Nếu U là một tập mở của Cn, khi đó (H(U ;F ), TC) là một không gian Fréchet. Mệnh đề 2.2.8 Cho U là một tập mở trong E. Với mỗi họ F ⊂ (H(U ;F ), các mệnh đề sau đây là tương đương: (a) F bị chặn trong (H(U ;F ), TC) 12 (b) F bị chặn địa phương (c) F đồng liên tục và bị chặn đều Chứng minh (a)⇒(b) + Giả sử F không bị chặn địa phương ⇒ ∃a ∈ U,∃(fn) ⊂ F ; (an) ⊂ U sao cho: ||an − a|| n, ∀n ∈ N + Ta đặt K = {an : n ∈ N} ⋃ {a} là tập hợp compact của U . Khi đó, F bị chặn đều trên K. Thật vậy: ∀x ∈ K , F bị chặn đều trên lân cận nào đó của x nếu ∃Vx là lân cận của x sao cho: F bị chặn đều trên Vx . Suy ra K ⊂ ⋃ x∈K Vx Vì K compact ⇒ ∃x1, ..., xn : K ⊂ n⋃ k=1 xk Mặt khác vì F bị chặn đều trên Vxk ⇒ ∃Mk : ||f(x)|| ≤ Mk∀x ∈ Vk,∀f ∈ F Chọn M = max 1≤k≤n Mk > 0 Khi đó ‖f(x)‖ < M ∀x ∈ K, ∀f ∈ F . Suy ra, F bị chặn đều trên K + Vậy, dãy bị chặn đều trong (H(U ;F ), TC) (b)⇒(a) Vì F bị chặn địa phương nên F bị chặn đều trong lân cận nào đó của mỗi điểm chứa trong U. ⇒ F bị chặn đều trên tập compact chứa trong U . 13 ⇒ F bị chặn trong (H(U ;F ), TC) . (b)⇒(c) + Vì F bị chặn địa phương nên ∀a ∈ U , tồn tại một lân cận V của a, ∃M > 0 sao cho ||f(x)|| ≤M ∀x ∈M, ∀f ∈ F Suy ra ||f(a)|| ≤M, ∀f ∈ F ⇒F bị chặn điểm. + F đồng liên tục := ∀a ∈ U, r > 0, c > 0 sao cho B(a; r) ⊂ U và sup x∈B(a;r) ||f(x)|| ≤ C ∀x ∈ B(a; r),∀f ∈ F + Ta có: f(x) = ∞∑ n=0 Pmf(a)(x− a) = f(a) + ∞∑ n=1 Pmf(a)(x− a) ⇒ ||f(x)− f(a)|| = ∞∑ n=1 Pmf(a)(x− a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy suy ra: ||f(x)− f(a)|| ≤ ∞∑ n=1 Pmf(a)(x− a) ≤ ∞∑ n=1 c ( ||x− a|| r )m = c ||x−a||r 1− ||x−a||r ≤ c||x− a|| r − ||x− a|| Khi x → a ⇒ f(x) → f(a) Suy ra ∀ > 0 , tồn tại một lân cận V của điểm a sao cho ‖f(x)− f(a)‖ ≤ 1 ∀x ∈ V , ∀f ∈ F 14 Vậy F đồng liên tục. (c)⇒(b) + Cho a ∈ U . Vì F bị chặn điểm ⇒ ∃c > 0 sao cho ||f(a)|| ≤ c ∀f ∈ F + Vì F đồng liên tục nên tồn tại một lân cận V của a trong U, chọn  = 1 sao cho ‖f(x)− f(a)‖ ≤ 1 ∀x ∈ V , ∀f ∈ F + Ta có ||f(x)|| = ||f(x)− f(a) + f(a)|| = ||f(x)− f(a)||+ ||f(a)|| ≤ 1 + c ∀x ∈ V, ∀f ∈ F Do đó F bị chặn địa phương.  Mệnh đề 2.2.9 Cho U là một tập mở của E. Khi đó mỗi tập con bị chặn của (H(U), TC) là compact tương đối 15 KẾT LUẬN Tiểu luận giới thiệu những kết quả lí thuyết ban đầu về tính chất đồng liên lục và bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình. Ngoài ra tiểu luận còn làm sáng tỏ việc chứng minh các định lí và bổ xung các ví dụ minh họa. 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Hàm biến phức, Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2009), NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội. [2] Giải tích phức, B.V.sabat, người dịch: Hà Huy Khoái (1995), NXB ĐH và TCCN. TIẾNG ANH [1] Comlex Analysis in banach spaces (1985), Jorge Mujica. 17