Tìm tập hợp điểm trong chương trình THCS

nªn SD MOA / SD MOB =. d. KÕt luËn TËp hîp ®iÓm M cÇn t×m lµ tia ph©n gi¸c Oz cña gãc xOy, lo¹i trõ ®iÓm a M M d d’ h 3. TËp hîp ®iÓm lµ hai ®­êng th¼ng song song a. Tãm t¾t lý thuyÕt: §Þnh lý: TËp hîp c¸c ®iÓm M c¸ch ®­êng th¼ng h cho tr­íc mét kho¶ng b»ng a ( a > 0) cho tr­íc lµ hai ®­êng th¼ng song song víi ®­êng th¾ng ®· cho vµ c¸ch ®­êng th¼ng ®ã b»ng a. b. C¸c bµi to¸n: Bµi to¸n 1: Cho D ABC, ®iÓm D chuyÓn ®éng trªn BC. VÏ DE song song víi AC; DF song song víi AB (E Î AB; F Î AC). T×m tËp hîp ®iÓm O lµ trung ®iÓm cña EF. A M E N O B K H F C D a H­íng dÉn gi¶i: a. PhÇn thuËn: V× DE // AB; DF // AC Þ tø gi¸c AEDF lµ h×nh b×nh hµnh suy ra trung ®iÓm O cña ®­êng chÐo EF còng lµ trung ®iÓm cña ®­êng chÐo AD. VÏ ®­êng cao AH, vÏ OK ^ BC (K Î BC) V× OK // AH, O lµ trung ®iÓm cña AD nªn OK lµ ®­êng trung b×nh cña D ADH Þ OK = AH ( kh«ng ®æi). §iÓm O c¸ch ®­êng th¼ng BC mét kho¶ng kh«ng ®æi AH nªn O n»m trªn ®­êng th¼ng a // BC vµ c¸ch BC mét kho¶ng AH b. Giíi h¹n: Khi D º B th× O º M ; khi D º C th× O º N VËy ®iÓm O di ®éng trªn ®­êng trung b×nh MN cña D ABC c. PhÇn ®¶o: LÊy O bÊt kú thuéc ®­êng trung b×nh MN cña D ABC, khi ®ã O lµ trung ®iÓm cña AD. KÎ AO c¾t BC t¹i D. Tõ D kÎ DE // AC, DF // AC (E Î AB; F Î AC), ta cã tø gi¸c AEDF lµ h×nh b×nh hµnh. V× O lµ trung ®iÓm cña ®­êng chÐo AD nªn O còng lµ trung ®iÓm cña ®­êng chÐo EF cña h×nh b×nh hµnh AEDF. d. KÕt luËn: TËp hîp trung ®iÓm O cña EF lµ ®­êng trung b×nh MN cña D ABC víi M, N thuéc c¸c c¹nh AB vµ AC. Bµi to¸n 2: Cho ®­êng th¼ng a. T×m tËp hîp t©m cña c¸c ®­êng trßn cã b¸n kÝnh R (R > 0) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng a. O y H x a H­íng dÉn gi¶i a. PhÇn thuËn: Gäi O lµ t©m ®­êng trßn b¸n kÝnh R tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng a, ta cã kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn ®­êng th¼ng a lu«n b»ng R. Do ®ã, O thuéc ®­êng th¼ng x vµ ®­êng th¼ng y s«ng song víi ®­êng th¼ng a vµ c¸ch ®­êng th¼ng a mét kho¶ng b»ng R. b. Giíi h¹n: O lµ ®iÓm tuú ý trªn hai ®­êng th¼ng x hoÆc y ®Òu vÏ ®­îc ®­êng trßn (O,R) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng a. c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm O bÊt kú thuéc ®­êng th¼ng x hoÆc ®­êng th¼ng y. VÏ OH ^ a (H Î a), ta cã OH = R. VÏ ®­êng trßn (O; OH). V× OH = R nªn ®­êng trßn (O; OH) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng a d. KÕt luËn: TËp hîp t©m O cña c¸c ®­êng trßn cã b¸n kÝnh R tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng a lµ hai ®­êng th¼ng x vµ y song song víi ®­êng th¼ng a vµ c¸ch ®­êng th¼ng a mét kho¶ng b»ng R. 4. TËp hîp ®iÓm lµ mét ®­êng th¼ng song song víi ®­êng th¼ng cho tr­íc a. Tãm t¾t lý thuyÕt: §Þnh lÝ: TËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu a M d d’ hai ®­êng th¼ng song song cho tr­íc lµ mét ®­êng th¼ng song song vµ n»m c¸ch ®Òu hai ®­êng th¼ng ®· cho b. C¸c bµi to¸n: Bµi to¸n 1: Cho hai ®­êng th¼ng song song d vµ d’ c¸ch nhau mét kho¶ng b»ng h (h>0). T×m tËp hîp t©m O cña c¸c ®­êng trßn tiÕp xóc víi c¶ hai ®­êng th¼ng d vµ d’. H­íng dÉn gi¶i: O d B A a d’ a. PhÇn thuËn: KÎ OA ^ d ( A Î d); OB ^ d’ ( B Î d’) Ta cã: d // d’ ( gt), OA ^ d Þ OA ^ d’ OA ^ d’, OB ^ d’ Þ A, O, B th¼ng hµng Þ OA = OB = R Þ OA = OB = R = AB= h Þ O c¸ch ®Òu hai ®­êng th¼ng d vµ d’ Þ O thuéc ®­êng th¼ng a n»m gi÷a hai ®­êng th¼ng d vµ d’ c¸ch mçi ®­êng th¼ng ®ã mét kho¶ng h. b. Giíi h¹n: O lµ ®iÓm tuú ý trªn ®­êng th¼ng a ®Òu vÏ ®­îc ®­êng trßn tiÕp xóc víi hai ®­êng th¼ng d vµ d’. c. PhÇn ®¶o: LÊy O bÊt k× thuéc ®­êng th¼ng a, kÎ OA ^ d; OB ^ d’ ( A Î d; B Î d’) Khi ®ã ta cã: OA = OB = h . VÏ (O; h) Þ A Î (O; h); B Î (O; h) Þ (O; h) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng d vµ d’.VËy O thuéc ®­êng th¼ng a. d. KÕt luËn: TËp hîp c¸c ®iÓm O t©m cña c¸c ®­êng trßn tiÕp xóc víi hai ®­êng th¼ng d vµ d’ song song c¸ch nhau mét kho¶ng b»ng h ( h > 0) lµ mét ®­êng th¼ng a n»m gi÷a hai ®­êng th¼ng d vµ d’ c¸ch mçi ®­êng th¼ng mét kho¶ng b»ng h. Bµi to¸n 2: Cho mét ®­êng th¼ng d vµ mét ®iÓm A kh«ng n»m trªn d cïng cè ®Þnh. Gäi (O) lµ mét ®­êng trßn di ®éng qua A vµ tiÕp xóc víi d t¹i B. T×m tËp hîp h×nh chiÕu M cña t©m O xuèng AB. H­íng dÉn gi¶i: O H N B d D A M a. PhÇn thuËn: KÎ OM ^ AB, khi ®ã M lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm O trªn AB, vµ MA = MB ( ®­êng kÝnh vµ d©y cung) KÎ AH ^ d , do Avµ d cè ®Þnh nªn AH cè ®Þnh . KÎ MN ^ d, do MA = MB nªn MN = AH VËy ®iÓm M di ®éng nh­ng lu«n c¸ch ®­êng th¼ng d mét kho¶ng kh«ng ®æi b»ng AH vµ M lu«n n»m cïng phÝa víi A so víi ®­êng th¼ng d. VËy ®iÓm M thuéc ®­êng th¼ng D // d c¸ch ®­êng th¼ng d mét kho¶ng AH, ®i qua trung ®iÓm cña AH. b. Giíi h¹n: Víi M lµ ®iÓm tuú ý trªn D lu«n lµ h×nh chiÕu cña mét ®iÓm O lµ t©m cña mét ®­êng trßn qua A vµ tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng d. c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm M bÊt kú thuéc D, nèi A víi M c¾t d t¹i B; dùng O lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M vµ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi d t¹i B. V× ®­êng th¼ng D // d vµ ®i qua trung ®iÓm cña AH Þ M lµ trung ®iÓm cña AB. Mµ OM ^ AB Þ OM lµ ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB Þ OA=OB . VÏ ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh OA, khi ®ã B Î (O; OA). V× OB ^ d, B Î d, B Î (O; OA) Þ (O; OA) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng d. d. KÕt luËn: TËp hîp h×nh chiÕu t©m O cña ®­êng trßn ®i qua ®iÓm A vµ tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng d cè ®Þnh lµ ®­êng th¼ng D // d n»m cïng mét nöa mÆt ph¼ng víi ®iÓm A bê lµ ®­êng th¼ng d, c¸ch ®­êng th¼ng a mét kho¶ng b»ng nöa kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A ®Õn d. 5. TËp hîp ®iÓm lµ ®­êng th¼ng hîp víi ®­êng th¼ng cè ®Þnh mét gãc kh«ng ®æi Bµi to¸n 1: Cho gãc xOy = 900 cè ®Þnh, ®iÓm A cè ®Þnh trªn tia Ox, ®iÓm B chuyÓn ®éng trªn tia Oy, vÏ D ABC ®Òu ( C vµ O kh¸c phÝa ®èi víi AB). T×m tËp hîp trung ®iÓm M cña BC. y x z C M D O E A B H­íng dÉn gi¶i: a. PhÇn thuËn: D ABC ®Òu, AM lµ trung tuyÕn Þ AM ^ BC Þ Ð AOB = Ð AMB = 900 Þ tø gi¸c OBMA néi tiÕp ®­îc trong mét ®­êng trßn Þ Ð AOM = Ð ABM, mµ Ð AOM = 600 MÆt kh¸c, do OA cè ®Þnh, nªn M thuéc ®­êng th¼ng hîp víi Ox mét gãc b»ng 600 b. Giíi h¹n: Khi B º O th× Cº D, nªn M º E ( E lµ trung ®iÓm cña OD) Khi B ch¹y xa v« tËn trªn tia Oy th× C ch¹y xa v« tËn trªn tia Dz nªn M ch¹y xa v« tËn trªn tia ED. VËy M chuyÓn ®éng trªn tia ED c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm M bÊt kú thuéc tia ED vÏ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AM t¹i M, c¾t tia Oy t¹i B, vÏ D ABC ®Òu. Ð AOB = Ð AMB = 900 Þ tø gi¸c OAMB néi tiÕp ®­îc trong mét ®­êng trßn Þ Ð ABM = Ð AOM mµ Ð AOM = 600 Þ Ð ABM = 600 . Ð ABM = 600, ÐABC =600 Þ M, B, C th¼ng hµng. D ABC ®Òu, AM ^ BC Þ M lµ trung ®iÓm cña BC. d. KÕt luËn : TËp hîp c¸c ®iÓm M lµ trung ®iÓm cña BC lµ tia ED thuéc ®­êng th¼ng hîp víi Ox mét gãc b»ng 600. Bµi to¸n 2: Cho gãc xOy = 900 cè ®Þnh, ®iÓm A cè ®Þnh trªn tia Ox, ®iÓm B chuyÓn ®éng trªn tia Oy, vÏ D ABC ®Òu ( C vµ O kh¸c phÝa ®èi víi AB). T×m tËp hîp c¸c ®iÓm C. H­íng dÉn gi¶i: y x z C D O A B a. PhÇn thuËn: VÏ D OAD ®Òu cã O n»m trong gãc xOy. V× O, A cè ®Þnh nªn D cè ®Þnh XÐt D OAB vµ D DAC cã: OA = AD ( do D OAD ®Òu) Ð OAB = Ð DAC ( Ð OAB +Ð BAC = = Ð DAC + Ð BAD = 600) L¹i cã AB = AC ( D ABC ®Òu), Do ®ã DOAB = D DAC (c.g.c) Þ Ð AOB = Ð ADC. Mµ Ð AOB =900, ®­êng th¼ng AD cè ®Þnh. VËy C thuéc ®­êng th¼ng cè ®Þnh Dz vu«ng gãc víi AD t¹i D b. Giíi h¹n: Khi B º O th× C º D Khi B ch¹y xa v« tËn trªn tia Oy th× C ch¹y xa v« tËn trªn tia Dz. VËy C chuyÓn ®éng trªn tia Dz vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng AD c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm C bÊt kú thuéc tia Dz vÏ ®­êng th¼ng AB ( B Î Oy ) sao cho ÐCAB = 600. XÐt D OAB vµ D DAC cã: + Ð AOB = Ð ADC ( = 900 ) + OA = AD ( D OAD ®Òu) + Ð OAB = Ð DAC ( Ð OAB + Ð BAD = Ð DAC + Ð BAD = 600) Do ®ã D OAB = D DAC ( g.c.g) Þ AB = AC Þ D ABC c©n t¹i A, mµ ÐBAC=600 nªn D ABC ®Òu. d. KÕt luËn: TËp hîp c¸c ®iÓm C lµ tia Dz cña ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AD. II/ TËp hîp ®iÓm lµ ®­êng trßn hoÆc mét phÇn cña ®­êng trßn 1. TËp hîp ®iÓm lµ ®­êng trßn a. Tãm t¾t lý thuyÕt: + TËp hîp c¸c ®iÓm M c¸ch ®iÓm O cho tr­íc mét kho¶ng kh«ng ®æi r ( r >0) lµ ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh r. + TËp hîp c¸c ®iÓm nh×n ®o¹n th¼ng cè ®Þnh AB d­íi gãc 900 lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. b. C¸c bµi to¸n: 1- TËp hîp c¸c ®iÓm M c¸ch ®iÓm O cho tr­íc mét kho¶ng kh«ng ®æi r ( r >0) lµ ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh r. Bµi to¸n 1: Mét ®­êng th¼ng AB = h chuyÓn ®éng sao cho hai mót cña nã chuyÓn ®éng trªn hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau. T×m tËp hîp trung ®iÓm M cña AB. H­íng dÉn gi¶i B A y x O M a. PhÇn thuËn: Gi¶ sö x vµ y lµ hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau t¹i O, hai ®iÓm A, B lÇn l­ît n»m trªn x, y. Do DAOB vu«ng t¹i O, OM lµ ®­êng trung tuyÕn nªn: OM = AB = h ( kh«ng ®æi). VËy ®iÓm M lu«n c¸ch O mét kho¶ng kh«ng ®æi AB Þ M thuéc ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh AB b. Giíi h¹n: Khi A hoÆc B trïng víi O th× OM vÉn b»ng AB Þ M thuéc ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh AB. c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm M tuú ý trªn ®­êng trßn (O; h). Trªn Ox lÊy ®iÓm A sao cho OA = OM. KÎ MA c¾t Oy t¹i B, ta cÇn chøng minh AB = h. V× M Î (O; h) Þ OM = OA =h. D MOA c©n t¹i M Þ Ð MOA = Ð MAO (1) D AOB cã Ð AOB = 900 Þ Ð OBA + Ð OAB = 900 (2) Mµ Ð BOM + Ð MOA = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) Þ Ð MBO = Ð MOB Þ MB = MO Þ MA = MB = MO Þ MA + MB = AB = h d. KÕt luËn: VËy tËp hîp trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB lµ ®­êng trßn (O; AB) Bµi to¸n 2: Cho ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB; C lµ mét ®iÓm di ®éng trªn ®­êng trßn; trªn tia BC lÊy ®iÓm D sao cho CD = CB. T×m tËp hîp ®iÓm D. H­íng dÉn gi¶i: a.PhÇn thuËn Ð ACB = 900 ( Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) Þ AC ^ BD, mµ CD = CB (gi¶ thiÕt) Þ D ABD c©n t¹i A Þ AD = AB = 2R D C A O B Mµ 2R kh«ng ®æi, nªn AD kh«ng ®æi. §iÓm A cè ®Þnh do ®ã D thuéc ®­êng trßn (A; 2R) b. Giíi h¹n: Khi C chuyÓn ®éng trªn (O;R), D chuyÓn ®éng trªn ®­êng trßn (A; 2R) c. PhÇn ®¶o: LÊy D bÊt kú thuéc ®­êng trßn (A; 2R), ta cã AD = 2R, BD c¾t (O;R) t¹i C. Ta cã AD = AB =2R Þ D ABD c©n t¹i A. MÆt kh¸c Ð ACB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) D ABD c©n t¹i A, AC ^ BD Þ AC lµ trung tuyÕn cña D ABD. VËy C lµ trung ®iÓm cña BD. d. KÕt luËn: TËp hîp c¸c ®iÓm D cÇn t×m lµ ®­êng trßn (A; 2R) 2- TËp hîp c¸c ®iÓm nh×n ®o¹n th¼ng cè ®Þnh AB d­íi gãc 900 lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Bµi to¸n 1: Cho nöa ®­êng trßn t©m O, ®­êng kÝnh AB, C lµ mét ®iÓm n»m trªn nöa ®­êng trßn ®ã, kÎ CD vu«ng gãc víi AB. Nèi O víi C, trªn OC lÊy ®iÓm E sao cho OE = CD. T×m tËp hîp ®iÓm E. C A F E E’ O D’ C’ B D H­íng dÉn gi¶i: a. PhÇn thuËn: KÎ b¸n kÝnh OF ^ AB th× ®iÓm F cè ®Þnh vµ OF// CD nªn Ð OCD = Ð EOF ( so le trong). Do OE = CD (gt) vµ OF = OC ( b¸n kÝnh cña ®­êng trßn t©m O), v× thÕ D OEF = D CDO ( c. g. c) Þ Ð OEF = Ð ODC = 900 . §iÓm E lu«n nh×n OF d­íi mét gãc kh«ng ®æi 900 nªn E thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh OF. b. Giíi h¹n: V× ®iÓm C chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB nªn khi C º A hoÆc Cº B th× D trïng víi A hoÆc B lóc ®ã ®iÓm E trïng víi O, cßn khi C trïng víi F th× D trïng víi O, lóc ®ã E º F . VËy E ch¹y trªn c¶ ®­êng trßn ®­êng kÝnh OF. c. PhÇn ®¶o: Trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh OF lÊy ®iÓm E’ kh«ng trïng víi O vµ F. Tia OE’ c¾t ®­êng trßn (O) ë C’ kÎ C’D’ ^ AB . Ta ph¶i chøng minh OE’=C’D’. ThËt vËy, Ð OE’F = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh OF); C’D’ ^ AB nªn Ð C’D’O = 900, OF = OC’. Do ®ã D C’D’O = D OE’F nªn C’D’ = OE. d. KÕt luËn TËp hîp c¸c ®iÓm E lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh OF. Bµi to¸n 2: Cho ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB . Gäi d lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i A, M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn ®­êng th¼ng d, BM c¾t (O) t¹i C. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N lµ trung ®iÓm cña BC. H­íng dÉn gi¶i: a. PhÇn thuËn B M N O A C d N lµ trung ®iÓm cña d©y cung BC cña ®­êng trßn (O) nªn Þ ON ^ BCÞ Ð BNO =900, mµ OB cè ®Þnh do ®ã N thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh OB. b. Giíi h¹n: M chuyÓn ®éng trªn c¶ ®­êng th¼ng d, N chuyÓn ®éng trªn c¶ ®­êng trßn ®­êng kÝnh OB.c. PhÇn ®¶o: LÊy N bÊt k× thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh OB, BN c¾t ®­êng trßn (O) vµ ®­êng th¼ng d lÇn l­ît t¹i C vµ M. Ta cã Ð BNO = 900, mµ BC lµ d©y cung cña (O; R) vµ ON ^ BC Þ N lµ trung ®iÓm cña BC . d. kÕt luËn: TËp hîp c¸c ®iÓm N cÇn t×m lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh BO. Bµi tËp 3: Cho ®iÓm A cè ®Þnh n»m trong ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh R (A kh«ng trïng víi O). T×m tËp hîp c¸c trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB khi B di chuyÓn trªn ®­êng trßn ®ã. H­íng dÉn gi¶i a. PhÇn thuËn B1 M1 A N O M2 B M B2 Gäi N lµ trung ®iÓm cña OA. Trong tam gi¸c OAB, MN lµ ®­êng trung b×nh, nªn MN = OB = R kh«ng ®æi. Khi A, O, B th¼ng hµng ®iÓm M1 lµ trung ®iÓm cña AB1 vµ M2 lµ trung ®iÓm cña AB2 ta ®Òu tÝnh ®­îc NM1= NM2= R. Do ®ã M n»m trªn ®­êng trßn t©m N b¸n kÝnh R. b. Giíi h¹n: Khi B º B1 th× Mº M1; khi Bº B2 th× Mº M2. VËy ®iÓm M thuéc ®­êng trßn (N; R). c. PhÇn ®¶o Trªn ®­êng trßn (N; R) lÊy ®iÓm M . VÏ ®iÓm B ®èi xøng A qua M. Trong tam gi¸c OAB ta cã nªn MN // OB Þ Hay OB = 2 MN = 2. R = R, khi A, O, B th¼ng hµng. VËy B Î (O; R). d. KÕt luËn TËp hîp c¸c trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB khi B di chuyÓn trªn ®­êng trßn (O; R) lµ ®­êng trßn (N; R). 2. TËp hîp ®iÓm lµ cung trßn: a. tãm t¾t lý thuyÕt: TËp hîp c¸c ®iÓm M t¹o thµnh víi hai mót cña ®o¹n th¼ng AB cho tr­íc mét gãc AMB cã sè ®o kh«ng ®æi lµ a (00 < a < 1800) lµ hai cung trßn ®èi xøng nhau qua AB. Chó ý: Khi a = 900 th× tËp hîp ®iÓm M lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB (®· nãi ë trªn) b. C¸c bµi to¸n: Bµi to¸n 1: Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Hai ®iÓm C vµ D trªn nöa ®­êng trßn sao cho OC ^ OD (C thuéc cung AD). AD c¾t BC ë I; hai tia AC vµ BD c¾t nhau ë P. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm I vµ P khi hai ®iÓm C vµ D chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn. P P2 y x P1 C I K D A O B H­íng dÉn gi¶i: a. PhÇn thuËn: Ð ADB = 900, suy ra Ð ADP = 900 Ð CAD = Ð COD = 450. Tam gi¸c ADP vu«ng c©n t¹i D nªn Ð APD = 450. Tam gi¸c ACI vu«ng c©n ë C nªn Ð AIC = 450, suy ra Ð AIB = 1350 C¸c ®iÓm P vµ I nh×n AB cè ®Þnh d­íi mét gãc 450 vµ 1350 nªn P vµ I lÇn l­ît n»m trªn cung chøa gãc 450 vµ 1350 vÏ trªn AB . b. Giíi h¹n: Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa hai cung chøa gãc nãi trªn, kÎ hai tia Ax vµ By vu«ng gãc víi AB, hai tia nµy c¾t cung chøa gãc 450 theo thø tù t¹i P1 vµ P2. Tõ O kÎ b¸n kÝnh OK vu«ng gãc víi AB. - NÕu C º A th× D º K, khi ®ã P º P1 cßn I º B - NÕu C º K th× D º B, khi ®ã P º P2 cßn I ºB VËy P ch¹y trªn cung P1PP2 cßn I ch¹y trªn cung AIB thuéc c¸c cung chøa gãc nãi trªn. c. PhÇn ®¶o: Trªn cung P1PP2 lÊy ®iÓm P’ bÊt k× kh¸c P1 vµ P2 nèi P’ víi A vµ P’ víi B c¾t nöa ®­êng trßn t©m O t¹i C’ vµ D’, BC’ c¾t AD’ t¹i I’. Ta ph¶i chøng minh I’ thuéc cung AIB vµ OC’ ^ OD’. ThËt vËy, tam gi¸c vu«ng AD’P’ cã Ð AP’D’ = 450 nªn lµ tam gi¸c c©n Þ Ð P’AD’ =450. V× Ð C’OD’ = 2Ð C’AD’ = 900, suy ra CO’ ^ O’D. MÆt kh¸c tam gi¸c AC’I’ còng lµ tam gi¸c vu«ng c©n nªn Ð AI’C’ = 450, suy ra Ð AI’B =1350, vËy I thuéc cung AIB. d. KÕt luËn: TËp hîp ®iÓm P lµ cung PP1P2 thuéc cung chøa gãc 450, tËp hîp ®iÓm I lµ cung AIB chøa gãc 450, c¸c cung nµy ®Òu dùng trªn ®o¹n AB vµ trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng chøa ®­êng trßn t©m O. Bµi to¸n 2: Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh. C lµ mét ®iÓm trªn nöa ®­êng trßn, trªn d©y AC kÐo dµi lÊy ®iÓm D sao cho CD = CB. T×m quü tÝch c¸c ®iÓm D khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®· cho Trªn tia CA lÊy ®iÓm E sao cho CE = CB. T×m quü tÝch c¸c ®iÓm E khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®· cho. A B B0 x E C D H­íng dÉn gi¶i: C©u a) Quü tÝch ®iÓm D a. PhÇn thuËn: Ta cã: AB cè ®Þnh, Ð ADB = 450 ( v× tam gi¸c BCD vu«ng c©n). VËy khi C chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB th× D chuyÓn ®éng trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh. b. Giíi h¹n quü tÝch: D©y AC thay ®æi phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm C trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh; AC lín nhÊt, b»ng ®­êng kÝnh nöa ®­êng trßn, khi C trïng víi B, khi ®ã D còng trïng víi B, vËy B còng thuéc quü tÝch. AC nhá nhÊt b»ng 0 khi C º A, khi ®ã D trïng víi B0 ( B0 lµ giao cña cung chøa gãc 450 vµ tia tiÕp tuyÕn Ax t¹i A cña nöa ®­êng trßn).VËy ®iÓm D chuyÓn ®éng trªn cung BB0 thuéc cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB. c. PhÇn ®¶o LÊy ®iÓm D tuú ý trªn cung BB0 thuéc cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB, nèi AD c¾t nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB t¹i C. Khi ®ã ta dÔ dµng chøng minh ®­îc CD = CB. ThËt vËy: + ta cã Ð ADB = 450 (v× D thuéc cung chøa gãc 450). +Ð ACB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB) +Mµ Ð BCD kÒ bï víi Ð ACB nªn Ð BCD = 900 Þ Ð CBD = Ð ADB = 450 Þ CD = CB. d. KÕt luËn : Quü tÝch c¸c ®iÓm D khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn lµ cung BB0 n»m trªn cung chøa cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB, trong nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C ( bÞ giíi h¹n bëi tiÕp tuyÕn Ax). C©u b) Quü tÝch c¸c ®iÓm E: a. PhÇn thuËn: Ta cã AB cè ®Þnh ; Ð AEB =1350 ( gãc ngoµi cña tam gi¸c vu«ng c©n BCE). VËy khi C chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB th× E chuyÓn ®éng trªn cung chøa gãc 1350 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh. b. Giíi h¹n: Khi C º A Þ E º B; khi C º B th× E º B; Khi C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB th× E º A. VËy ®iÓm E chuyÓn ®éng trªn cung chøa gãc 1350 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB. c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm E bÊt kú trªn cung chøa gãc 1350. Tia AE c¾t nöa ®­êng trßn t¹i C. V× Ð AEB lµ gãc ngoµi ®Ønh E cña tam gi¸c vu«ng BCE, mµ Ð AEB = 1350, do ®ã Ð CBE = 450, tõ ®ã Þ tam gi¸c BCE lµ tam gi¸c vu«ng c©n vµ CE = CB. d. KÕt luËn: Quü tÝch c¸c ®iÓm E khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn lµ cung chøa gãc 1350 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh n»m cïng mét nöa mÆt ph¼ng víi nöa ®­êng trßn bê lµ ®­êng th¼ng AB. Bµi to¸n 3: M lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n AM lÊy ®iÓm N sao cho AN = BM. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N. H­íng dÉn gi¶i a. PhÇn thuËn Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê lµ ®­êng th¼ng AB chøa nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB, dùng tia Ax ^ AB, trªn ®ã lÊy ®iÓm B’ sao cho AB’ =AB, x B’ I M B A N ta cã ®iÓm B’ cè ®Þnh D AMB = D B’NA v× cã AB = AB’ , Ð ABM = Ð B’AN vµ AN =MB, nªn Ð ANB’ = Ð AMB = 900. vËy ®iÓm N thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’. b. Giíi h¹n: Khi M º B th× N º A. Khi M º I ( lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB ) th× N º I . Khi M º A th× N º B’ . VËy N ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’ = AB . c. PhÇn ®¶o Trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB lÊy ®iÓm N bÊt k× kh¸c A, kh¸c B’. Tia AN c¾t nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB t¹i M . Ta ph¶i chøng minh AN = BM. ThËt vËy, hai tam gi¸c vu«ng AMB vµ B’NA cã AB = AB’, Ð NAB’ = Ð ABM nªn D MAB = D NB’A, do ®ã AN = MB. d. KÕt luËn: TËp hîp ®iÓm N lµ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’ ( víi B’ lµ giao cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’ = AB vµ tia Ax ^ AB t¹i A). PhÇn III. øng dông quü tÝch vµo Thùc tÕ vµ gi¶i to¸n Khi nghiªn cøu vÒ quü tÝch c¸c ®iÓm, ta cã thÓ thÊy rÊt nhiÒu c¸c øng dông cña gi¶i to¸n quü tÝch vµo viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n kh¸c, còng nh­ c¸c øng dông cña nã trong khoa häc kü thuËt. Ch¼ng h¹n, trong khoa häc øng dông quü tÝch ®Ó nghiªn cøu c¸c c¬ cÊu biÕn ®æi chuyÓn ®éng : biÕn chuyÓn ®éng th¼ng thµnh chuyÓn ®éng cong ( trßn) hoÆc biÕn chuyÓn ®éng th¼ng thµnh chuyÓn ®éng cong (trßn)... ®ã lµ øng dông cña quü tÝch ®iÓm di ®éng trªn ®­êng th¼ng vµ ®iÓm di ®éng trªn ®­êng trßn. Trong to¸n häc øng dông quü tÝch ®Ó gi¶i nhiÒu bµi to¸n kh¸c, song cã lÏ ®iÓn h×nh nhÊt lµ bµi to¸n dùng h×nh b»ng quü tÝch t­¬ng giao. V× lÝ do khu«n khæ cña ®Ò tµi cã h¹n, ë ®©y t«i xin tr×nh bµy hai bµi to¸n dùng h×nh ®· øng dông quü tÝch vµo ®Ó gi¶i ( ë d¹ng tãm t¾t, h­íng dÉn). Bµi to¸n 1; Dùng h×nh thang, biÕt ®­êng cao, c¹nh ®¸y lín vµ hai ®­êng chÐo cña nã Gîi ý gi¶i: a. Ph©n tÝch: A m B D dCB C H h n a Gi¶ sö dùng ®­îc h×nh thang tho¶ m·n yªu cÇu cña bµi to¸n - §o¹n th¼ng AB dùng ®­îc ngay. - §iÓm C c¸ch AB kho¶ng c¸ch b»ng ®­êng cao h Þ thuéc quü tÝch ®­êng th¼ngd // AB c¸ch AB mét kho¶ng h. §iÓm C c¸ch ®iÓm A mét kho¶ng b»ng m (kh«ng ®æi ) cho tr­íc Þ C thuéc quü tÝch ®­êng trßn (A; m) Þ C lµ giao cña hai quü tÝch trªn. - §iÓm D thuéc d vµ c¸ch ®iÓm B mét kho¶ng n cho tr­íc Þ D lµ giao cña quü tÝch ®­êng trßn ( B; n) vµ ®­êng th¼ng d. b. C¸ch dùng: - Dùng AB = a ®· cho - Dùng ®iÓm C thuéc ®­êng th¼ng d, d // AB vµ c¸ch AB mét kho¶ng CH = h cho tr­íc ®ång thêi C n»m trªn ®­êng trßn (A; m) ( trong ®ã AC =m ®· cho) - Dùng D : D thuéc ®­êng th¼ng d vµ ®­êng trßn (B; n) víi n = BD lµ ®é dµi ®· cho. Bµi to¸n 2: Dùng ®­êng trßn t©m (O; 2cm ) sao cho ®­êng trßn ®ã tiÕp xóc víi mét ®­êng th¼ng xy vµ víi ®­êng trßn (O’) cã b¸n kÝnh 2,5 cm ( cho kho¶ng c¸ch tõ O’ tíi xy lµ3 cm. d O O’ y x Gîi ý gi¶i a. Ph©n tÝch: Gi¶ sö dùng ®­îc ®­êng trßn (O; 2cm) tho¶ m·n yªu cÇu. Do (O) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng xy nªn t©m O cña ®­êng trßn ®ã thuéc quü tÝch ®­êng th¼ng d // xy c¸ch xy mét kho¶ng 2 cm MÆt kh¸c OO’ = 2 + 2,5 = 4,5 (cm) nªn O thuéc quü tÝch ®­êng trßn (O’;4,5cm) VËy t©m O cña ®­êng trßn cÇn dùng lµ giao cña cña (O’;4,5cm) vµ ®­êng th¼ng d b. C¸ch dùng: - Dùng ®­êng trßn (O’;4,5cm) - D­ng ®­êng th¼ng d // xy c¸ch xy mét kho¶ng 2cm - Giao cña d vµ (O’;4,5cm) lµ ®iÓm O. Tõ ®ã dùng ®­îc ®­êng trßn (O;2cm). PhÇn iv. Mét s« bµi to¸n chän läc vÒ tËp hîp ®iÓm I/ c¸c bµi to¸n tËp hîp ®iÓm lµ ®­êng th¼ng hoÆc mét phÇn cña ®o¹n th¼ng Bµi 1: Cho ®iÓm A n»m ngoµi ®­êng th¼ng d vµ cã kho¶ng c¸ch ®Õn d b»ng 2cm. LÊy ®iÓm B bÊt k× thuéc ®­êng th¼ng d. Gäi C lµ ®iÓm ®èi xøng víi ®iÓm A qua ®iÓm B. T×m tËp hîp quü tÝch ®iÓm C khi ®iÓm B di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d. H­íng dÉn gi¶i C H d 2cm A B K C H d’ a. PhÇn thuËn: KÎ AH ^ d; CK ^ d; khi ®ã ta cã: AH = 2cm (gt), CK //AH Þ Ð HAB =Ð KCB Þ D AHB = D CKB Þ AH = CK Þ CK = 2cm Þ C c¸ch ®­êng th¼ng d mét kho¶ng cè ®Þnh 2cm , nªn C thuéc ®­êng th¼ng d’ song song víi d c¸ch d mét kho¶ng 2cm vµ kh«ng cïng mét nöa mÆt ph¼ng víi ®iÓm A bê lµ ®­êng th¼ng d. b. Giíi h¹n: Khi ®iÓm B di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d th× C lu«n c¸ch d mét kho¶ng 2cm , C thuéc d’//d ( d’ c¸ch d 2cm) c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm C bÊt kú trªn ®­êng th¼ng d’, kÎ CK ^ d ( K Î d), kÎ AH ^ d (H Î d); nèi AC c¾t d t¹i B. Ta cÇn chøng minh AB = BC. ThËt vËy, xÐt D ABH vµ D CBK cã: AH = CK ( = 2cm) Ð AHB =Ð CKB (=900) Ð ABH = Ð CBK ( hai gãc ®èi ®Ønh) Þ D ABH = D CBK ( c¹nh gãc vu«ng vµ gãc nhän) Þ AB = BC d. KÕt luËn: TËp hîp ®iÓm C ®èi xøng víi ®iÓm A c¸ch ®­êng th¼ng d mét kho¶ng 2cm qua ®iÓm B ( B Î d), lµ mét ®­êng th¼ng d’ // d c¸ch ®­êng th¼ng d 2cm kh«ng cïng mét nöa mÆt ph¼ng víi ®iÓm A bê lµ ®­êng th¼ng d. Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC. Mét ®iÓm D di ®éng trªn c¹nh BC. Tõ D vÏ c¸c ®­êng th¼ng song song víi AB, AC c¾t AB, AC lÇn l­ît t¹i M vµ N. T×m tËp hîp trung ®iÓm I cña MN. H­íng dÉn gi¶i a. PhÇn thuËn: V× I lµ trung ®iÓm cña MN nªn IM = IN XÐt tø gi¸c AMDN, ta cã: AM // DN; AN // DM Þ AMDN lµ h×nh b×nh hµnh Do ®ã ®­êng chÐo AD ®i qua trung ®iÓm I cña MN, nªn IA = ID . Tõ A kÎ AH ^ BC khi ®ã AH cã ®é dµi kh«ng ®æi, tõ I vÏ IJ ^ BC th× IJ //AH vµ IJ lµ ®­êng trung b×nh cña D DHA. Do ®ã: IJ = AH kh«ng ®æi. A C B D H d I1 M N I2 I §iÓm I c¸ch ®­êng th¼ng BC mét kho¶ng kh«ng ®æi AH nªn I lu«n n»m trªn ®­êng th¼ng d //BC c¸ch BC mét kho¶ng AH b. Giíi h¹n: V× D chØ ch¹y trªn ®o¹n BC nªn I chØ ch¹y trªn ®o¹n I1I2 víi I1,I2 lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng d víi c¹nh AB vµ c¹nh AC. VËy I thuéc ®­êng trung b×nh cña D ABC. c. PhÇn ®¶o LÊy ®iÓm I bÊt k× trªn ®o¹n III2, AI c¾t BC t¹i D. C¸c ®­êng th¼ng kÎ tõ D song song víi AB, AC c¾t AB, AC lÇn l­ît t¹i M vµ N, khi ®ã ta cã AMDN lµ h×nh b×nh hµnh. Do ®ã IM = IN d. KÕt luËn TËp hîp ®iÓm I lµ ®o¹n III2 lµ ®­êng trung b×nh cña D ABC (III2 // BC). Bµi 3: Cho gãc xOy vu«ng, trªn tia Ox lÊy mét ®o¹n cè ®Þnh OA, trªn tia Oy lÊy mét ®iÓm B di ®éng. Dùng h×nh vu«ng ABCD víi hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i I. T×m tËp hîp ®iÓm I khi B ®i ®éng. H­íng dÉn gi¶i a. PhÇn thuËn: Gäi I lµ mét ®iÓm thuéc tËp hîp th× I lµ t©m cña h×nh vu«ng ABCD nªn cã: IA = IB = IC = ID. Tõ I kÎ IH ^ Ox, IK ^ Oy, xÐt hai tam gi¸c vu«ng IHA vµ IKB ta cã: IA = IB; Ð AIH = Ð BIK ( gãc cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc) A D t H I D1 K C1 B deO y C x I1 Þ D IHA = D IKB Þ IH =IK do ®ã ®iÓm I c¸ch ®Òu hai c¹nh cña gãc xOy cè ®Þnh. VËy I thuéc tia ph©n gi¸c cña gãc xOy. b. Giíi h¹n: Khi B º O th× I º I1 ( I1 lµ t©m h×nh vu«ng giíi h¹n AOC1D1) Khi B ch¹y trªn tia Oy th× I ch¹y trªn tia I1t n»m trªn tia ph©n gi¸c cña gãc xOy c PhÇn ®¶o: LÊy mét ®iÓm I’ tuú ý trªn tia I1t, vÏ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AI’ t¹i I’ c¾t Oy t¹i B’. Dùng I’H’ ^ Ox, I’K’ ^ Oy th× ta cã hai tam gi¸c vu«ng b»ng nhau: D I’AH’ = D I’B’K’ Þ I’A = I’B lóc ®ã ta dùng ®­îc h×nh vu«ngAB’C’D’ víi I’ lµ giao ®iÓm hai ®­êng chÐo theo yªu cÇu cña cña thiÕt. d. KÕt luËn: TËp hîp ®iÓm I khi B di ®éng trªn tia Oy lµ tia I’t n»m trªn tia ph©n gi¸c Ot cña gãc xOy. Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC cã c¹nh BC cè ®Þnh vµ ®Ønh A di ®éng trªn mét ®­êng th¼ng xy cè ®Þnh song song víi BC. T×m tËp hîp träng t©m G cña tam gi¸c ABC. H­íng dÉn: C’ C B M G I y’ x’ y x A Gäi G lµ mét ®iÓm thuéc tËp hîp th× G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC Nèi A víi G c¾t BC t¹i M th× M cè ®Þnh vµ MB = MC. Theo tÝnh chÊt träng t©m cña tam gi¸c ta cã Tõ C vÏ CC’ ^ xy khi ®ã CC’ cè ®Þnh. Gäi I lµ mét ®iÓm sao cho: th× I còng cè ®Þnh. Do ®ã Þ GI // xy //BC VËy G n»m trªn ®­êng th¼ng x’y’ // xy vµ ®i qua ®iÓm I cè ®Þnh ( I Î CC’ vµ C’I = 2CI) Khi A chuyÓn ®éng trªn xy th× G chuyÓn ®éng trªn x’y’. VËy tËp hîp träng t©m G lµ mét ®­êng th¼ng x’y’ // xy vµ ®i qua ®iÓm I cè ®Þnh Bµi 5: A M M1 d M2 B N I Cho (O) cã ®­êng kÝnh AB = 4, cã d©y cung AN. Trªn d©y cung AN ta lÊy M sao cho AN . AM = 5. T×m tËp hîp ®iÓm M. H­íng dÉn Tõ M kÎ ®­êng th¼ng d ^ AB t¹i I. ta cã hai tam gi¸c vu«ng ®ång d¹ng: D AMI ®ång d¹ng D ANB Þ Þ AM . AN = AI . AB Þ AI = Þ I cè ®Þnh Do ®ã ®­êng th¼ng d ^ AB t¹i I cè ®Þnh VËy tËp hîp ®iÓm M lµ ®o¹n th¼ng M1M2 n»m trªn ®­êng th¼ng d Ii/ c¸c bµi to¸n tËp hîp ®iÓm lµ ®­êng trßn hoÆc mét phÇn cña ®­êng trßn Bµi 1 D A O B P Q C Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB, BC lµ mét d©y cung bÊt kú. KÐo dµi BC mét ®o¹n CD = BC; DO c¾t AC t¹i P. T×m quü tÝch ®iÓm P H­íng dÉn a. PhÇn thuËn KÎ PQ // CO ( Q Î AB ). Trong D ABD, AC vµ DO lµ hai ®­êng trung tuyÕn nªn P lµ träng t©m. Bëi vËy Tõ ®ã suy ra PQ = AQ = CO Þ PQ = AO §iÒu nµy chøng tá Q lµ ®iÓm cè ®Þnh vµ P n»m trªn ®­êng trßn ( Q; R), ( R lµ b¸n kÝnh cña ®­êng trßn (O)). b. Giíi h¹n: Khi C di ®éng trªn ®­êng trßn (O) thi P chuyÓn ®éng trªn (Q; R) c. PhÇn ®¶o: LÊy P bÊt kú thuéc ®­êng trßn (Q; R) ; ta cã PQ = R = CO => Þ P lµ träng t©m cña D ABD Þ CD = CB d. KÕt luËn: TËp hîp ®iÓm P lµ ®­êng trßn (Q; R), víi Q thuéc AB sao cho AQ = AO Bµi 2: Cho D ABC cã c¹nh BC cè ®Þnh vµ ¢ = a kh«ng ®æi. T×m quü tÝch giao ®iÓm cña ba tia ph©n gi¸c trong cña tam gi¸c ®ã. H­íng dÉn a. PhÇn thuËn: Gäi I lµ giao ®iÓm cña 3 ®­êng ph©n gi¸c cña D ABC, ta cã: Ð BIC = 180 – (Ð B1- Ð C1) = 1800 – (Ð B +Ð C) : 2 = 1800 – ( 1800 – Ð A): 2= 900 + a kh«ng ®æi. B 1 1 A I C VËy I thuéc cung chøa gãc 900 + a dùng trªn ®o¹n th¼ng BC b. Giíi h¹n khi Aº B hoÆc A º C th× kh«ng cã I. VËy ®iÓm I thuéc cung chøa gãc 900 + a dùng trªn ®o¹n th¼ng BC trõ c¸c ®iÓm B,C. c. PhÇn ®¶o LÊy ®iÓm I bÊt k× thuéc cung chøa gãc 900 + a dùng trªn ®o¹n th¼ng BC vµ I kh¸c A, kh¸c B. kÎ tia Bx, Cy sao cho c¸c gãc Ð xBC; Ð yBC lÇn l­ît nhËn BI, CI lµm ph©n gi¸c. Bx c¾t Cy t¹i A. Ð BAC = 1800 – ( Ð ABC + Ð ACB) = 1800 – 2( Ð IBC +Ð ICB) = = 1800 – 2( 1800 – Ð BIC) = 1800 – 2.1800 +2 ( 900 +a ) =a . d. KÕt luËn: TËp hîp ®iÓm I lµ c¸c cung chøa gãc 900 +a dùng trªn ®o¹n th¼ng BC, trõ c¸c ®iÓm B; C. Bµi 3 M lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n AM lÊy ®iÓm N sao cho AN = BM. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N. H­íng dÉn a. PhÇn thuËn Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê lµ ®­êng th¼ng AB chøa nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB, dùng tia Ax ^ AB, trªn ®ã lÊy ®iÓm B’ sao cho AB’ =AB, ta cã ®iÓm B’ cè ®Þnh D AMB = D B’NA v× cã AB = AB’ , x B’ I M B A N Ð ABM = Ð B’AN vµ AN =MB, nªn Ð ANB’ = Ð AMB = 900. VËy ®iÓm N thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’. b. Giíi h¹n: Khi M º B th× N º A. Khi M º I ( lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB ) th× N º I . Khi M º A th× N º B’ . VËy N ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’ = AB . c. PhÇn ®¶o Trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB lÊy ®iÓm N bÊt k× kh¸c A, kh¸c B’. Tia AN c¾t nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB t¹i M . Ta ph¶i chøng minh AN = BM. ThËt vËy, hai tam gi¸c vu«ng AMB vµ B’NA cã AB = AB’, Ð NAB’ = Ð ABM nªn D MAB = D NB’A, do ®ã AN = MB. d. KÕt luËn: TËp hîp ®iÓm N lµ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’ ( víi B’ lµ giao cña ®­êng trßn ®­êng AB’ = AB vµ tia Ax ^ AB t¹i A). Bµi 4 Tõ hai ®Çu cña mét ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh kÎ hai tia song song Ax vµ By (thuéc cïng mét nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ ®­êng th¼ng AB). T×m quü tÝch giao ®iÓm cña hai ®­êng ph©n gi¸c c¸c gãc xAB; yAB. x y M A B H­íng dÉn Gäi giao ®iÓm cña hai ®­êng ph©n gi¸c c¸c gãc xAB; yAB lµ M Khi ®ã ta cã: Ð MAB + Ð MBA = ( Ð xAB +Ð yBA) = .1800 = 900. VËy ®iÓm M n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB Khi Ax, By trïng víi AB th× kh«ng x¸c ®Þnh ®­îc M. Nh­ vËy M thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB trõ hai ®iÓm A, B. Bµi 5: Cho h×nh thoi ABCD cã c¹nh AB cè ®Þnh. T×m quü tÝch giao diÓm O cña hai d­êng chÐo cña h×nh thoi ®ã. O B A C D H­íng dÉn Do hai ®­êng chÐo cña h×nh thoi vu«ng gãc víi nhau Nªn ta cã: AC ^ BD Bëi vËy O n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB ( trõ hai ®iÓm A, B) C. thùc nghiÖm Trong phÇn nµy xin ®­îc tr×nh bµy hai gi¸o ¸n vÒ gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ quü tÝch mµ trong nh÷ng n¨m c«ng t¸c võa qua b¶n th©n ®· ¸p dông ®Ò tµi vµo gi¶ng d¹y båi d­ìng cho häc sinh kh¸ giái t¹i tr­êng THCS Gia Phong ®¹t hiÖu qu¶. Gi¸o ¸n sè 1: TËp hîp ®iÓm lµ ®­êng ph©n gi¸c cña mét gãc A. Môc tiªu: 1.KiÕn thøc : Sau khi häc xong bµi häc häc sinh : - BiÕt c¸ch nhËn biÕt quü tÝch lµ ®­êng ph©n gi¸c - §­îc cñng cè thªm vÒ tÝnh chÊt ®­êng ph©n gi¸c cña mét gãc - BiÕt gi¶i bµi to¸n quü tÝch thuéc ®­êng ph©n gi¸c 2. Kü n¨ng: RÌn cho häc sinh kü n¨ng vÏ h×nh; c¸ch t×m lêi gi¶i vµ tr×nh bµy lêi gi¶i bµi to¸n quü tÝch ®iÓm. 3.T­ duy: RÌn luyÖn cho häc sinh c¸c thao t¸c t­ duy: ph©n tÝch,dù ®o¸n, tæng hîp... 4.Th¸i ®é: RÌn luyÖn tÝnh cÈn thËn; chÝnh x¸c, nghiªm tóc trong nghiªn cøu häc tËp B. ChuÈn bÞ Thµy: ®å dïng d¹y häc + nghiªn cøu tµi liÖu Trß: «n l¹i vÒ tÝnh chÊt tia ph©n gi¸c cña mét gãc; c¸ch gi¶i bµi to¸n quü tÝch. C. TiÕn tr×nh d¹y vµ häc I. KiÓm tra bµi cò: Nh¾c l¹i vÒ tÝnh chÊt tia ph©n gi¸c cña mét gãc? Vµ c¸ch gi¶i bµi to¸n quü tÝch? II. Bµi míi: Néi dung Ho¹t ®éng cña thµy vµ trß a. Tãm t¾t lý thuyÕt: §Þnh lÝ: TËp hîp c¸c ®iÓm n»m trong gãc xOy (kh¸c gãc bÑt) vµ c¸ch ®Òu hai c¹nh cña gãc lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ®ã. z y x O HÖ qu¶: TËp hîp c¸c ®iÓm M c¸ch ®Òu hai ®­êng th¼ng c¾t nhau xOx’ vµ yOy’ lµ bèn tia ph©n gi¸c cña bèn gãc t¹o thµnh, bèn tia nµy t¹o thµnh hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau t¹i O x’ x y’ y giao ®iÓm O cña hai ®­êng th¼ng ®ã. b. C¸c bµi tËp: Bµi to¸n 1: Cho mét gãc vu«ng xOy, trªn tia Ox lÊy ®iÓm A cè ®Þnh, B lµ ®iÓm chuyÓn ®éng trªn tia Oy. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm C sao cho D ABC vu«ng c©n t¹i C. H­íng dÉn gi¶i: a.PhÇn thuËn: VÏ CH ^ Ox ( H ÎOx), CK ^ Oy ( K Î Oy) y O K B z x C H A C’ XÐt D CAH ( Ð H = 900), vµ D CBK ( Ð K = 900 ) Cã: CA = BC ( D ABC vu«ng c©n t¹i C) Ð CAH = Ð CBK ( hai gãc nhän cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc). Do ®ã D CAH = D CBK( c¹nh huyÒn – gãc nhän) Þ CH = CK; Ð xOy cè ®Þnh, do ®ã C thuéc tia ph©n gi¸c Oz cña gãc vu«ng xOy. b. Giíi h¹n: Khi B º O th× C º C’; C’ lµ ph©n gi¸c Oz vµ D C’OA vu«ng c©n t¹i C’ Khi B ch¹y xa O v« tËn trªn tia Oy th× C ch¹y xa O v« tËn trªn tia Oz VËy C chuyÓn ®éng trªn tia C’z cña tia ph©n gi¸c Oz cña gãc xOy c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm C bÊt kú thuéc tia C’z . VÏ ®­êng th¼ng vu«ng gãc CA t¹i C c¾t tia Oy t¹i B. VÏ CH ^ Ox ( H Î Ox); CK ^ Oy (K Î Oy), ta cã CH = CK, Ð KHC =900 . XÐt D CAH vµ D CBK cã: Ð CHA = Ð BKC ( = 900 ); CH = CK ; Ð ACH= Ð BCK ( hai gãc nhän cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc), do ®ã D CAH = D CBH (gãc- c¹nh – gãc) Þ CA = CB D ABC vu«ng t¹i C, cã CA = CB Þ D ABC vu«ng c©n t¹i C. d. KÕt luËn: TËp hîp c¸c ®iÓm C lµ tia C’z cña tia ph©n gi¸c Oz cña gãc xOy. Bµi to¸n 2: Cho hai ®­êng th¼ng c¾t nhau t¹i ®iÓm A. T×m tËp hîp t©m c¸c ®­êng trßn tiÕp xóc víi hai ®­êng th¼ng ®ã. H­íng dÉn gi¶i: A x y x’ y’ t t’ z z’ B C O a. PhÇn thuËn: Gäi xx’ vµ yy’ lµ hai ®­êng th¼ng c¾t nhau t¹i A. §­êng trßn (O, R) tiÕp xóc víi hai ®­êng th¼ng t¹i B vµ C ( B Î xx’, C Î yy’) Ta cã OB ^ xx’; OC ^ yy’; OB = OC (= R) Þ O thuéc hai ®­êng th¼ng c¾t nhau zAz’ vµ tAt’, lµ bèn tia ph©n gi¸c cña bèn gãc t¹o thµnh bëi hai ®­êng th¼ng xAx’ vµ yAy’ b. Giíi h¹n: O lµ ®iÓm tuú ý trªn hai ®­êng th¼ng zAz’ vµ tAt’ ®Òu vÏ ®­îc ®­êng trßn (O) tiÕp xóc víi hai ®­êng th¼ng xAx’ vµ yAy’ c. PhÇn ®¶o: LÊy O bÊt kú thuéc ®­êng th¼ng zAz’, kÎ OB ^ xx’ ; OC ^ yy’ Ta cã: OB = OC Þ ®­êng trßn (O, OB) tiÕp xóp víi hai ®­êng th¼ng xAx’ vµ yAy’. Chøng minh t­¬ng tù khi lÊy O bÊt k× thuéc ®­êng th¼ng tAt’. d. KÕt luËn: TËp hîp c¸c t©m O cña c¸c ®­êng trßn tiÕp xóc víi hai ®­êng th¼ng xx’ vµ yy’ c¾t nhau t¹i A lµ hai ®­êng th¼ng zAz’ vµ tAt’ chøa bèn tia ph©n gi¸c cña bèn gãc t¹o thµnh bëi hai ®­êng th¼ng xAx’ vµ yAy’. Bµi tËp 3: Cho gãc xOy, trªn Ox lÊy ®iÓm A, trªn Oy lÊy ®iÓm B sao cho = T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M n»m trong gãc xOy sao cho tØ sè diÖn tÝch gi÷a tam gi¸c MOA vµ tam gi¸c MOB lµ . H­íng dÉn gi¶i: a. PhÇn thuËn: KÎ MI ^ Oy; MJ ^ Ox. DiÖn tÝch D MOA: SD MOA = MJ. OA DiÖn tÝch D MOB: SD MOB = MI. OB SD MOA = MJ. OA = MJ. OA SD MOB MI. OB MI. OB O y x z M I J A B Theo gi¶ thiÕt = Þ SD MOA / SD MOB =. Þ = 1 Þ MJ = MJ Þ M thuéc tia ph©n gi¸c Oz cña gãc xOy. b. Giíi h¹n §Ó tån t¹i tØ sè th× OB , OA kh¸c 0 Þ M kh¸c O. Khi A, B ch¹y xa O v« tËn trªn hai tia Ox, Oy th× M ch¹y xa v« tËn trªn tia Oz. VËy ®iÓm M thuéc tia ph©n gi¸c Oz cña gãc xOy ( trõ ®iÓm O) c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm M bÊt kú thuéc tia ph©n gi¸c cña gãc xOy M kh¸c O; trªn Ox lÊy ®iÓm A; trªn tia Oy lÊy ®iÓm B sao cho OB = 2OA; kÎ MI ^ Oy; MJ ^ Ox (JÎ Ox; IÎ Oy) DiÖn tÝch D MOA: SD MOA = MJ. OA DiÖn tÝch D MOB: SD MOB = MI. OB Suy ra: SD MOA = MJ. OA = MJ. OA SD MOB MI. OB MI. OB Mµ MI = MJ ( M thuéc tia ph©n gi¸c cña gãc xOy) , OB = 2 OA, nªn SD MOA / SD MOB =. d. KÕt luËn TËp hîp ®iÓm M cÇn t×m lµ tia ph©n gi¸c Oz cña gãc xOy, lo¹i trõ ®iÓm Ho¹t ®éng 1: nh¾c l¹i vÒ tia ph©n gi¸c cña mét gãc ? Nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt cña tia ph©n gi¸c cña mét gãc? HS: tr¶ lêi- GV chÝnh x¸c ho¸ vµ ghi b¶ng. ? TËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu hai ®­êng th¼ng c¾t nhau lµ g×? GV: cã thÓ gîi ý b»ng c¸ch vÏ hai ®­êng th¼ng xOx’ vµ yOy’ lªn b¶ng cho HS quan s¸t. HS: tr¶ lêi – GV chÝnh x¸c ho¸ Ho¹t ®éng 2: C¸c bµi to¸n luyÖn tËp: Bµi to¸n 1: Cho mét gãc vu«ng xOy, trªn tia Ox lÊy ®iÓm A cè ®Þnh, B lµ ®iÓm chuyÓn ®éng trªn tia Oy. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm C sao cho D ABC vu«ng c©n t¹i C. GV:- ®äc ®Ò – Ghi b¶ng -VÏ h×nh ? Bµi to¸n cho g×, hái g×? HS: ...... GV: Nªu dù ®o¸n cña em vÒ quü tÝch ®iÓm cña bµi to¸n trªn? HS: ( nªu dù ®o¸n) GV: ? §iÓm C cã quan hÖ thÕ nµo víi c¸c c¹nh cña gãc xOy ? VÏ CH ^ Ox ( H ÎOx), CK ^ Oy ( K Î Oy) so s¸nh CH vµ CK ? HS: .... CH = CK ? Tõ ®ã nªu quü tÝch cña ®iÓm C? GV: ? Nªu nhËn xÐt vÒ vÞ trÝ cña ®iÓm C khi B º O? khi B ch¹y xa O v« tËn trªn tia Oy? VËy em cã kÕt luËn g× vÒ quü tÝch cña C? GV? LÊy ®iÓm C bÊt kú thuéc tia C’z VÏ ®­êng th¼ng vu«ng gãc CA t¹i C c¾t tia Oy t¹i B. VÏ CH ^ Ox ( H Î Ox); CK ^ Oy (K Î Oy), ta cã CH = CK h·y chøng minh CA = CB? HS: tr¶ lêi – GV: chÝnh x¸c GV:? VËy quü tÝch cña ®iÓm C lµ g×? Bµi to¸n 2: Cho hai ®­êng th¼ng c¾t nhau t¹i ®iÓm A. T×m tËp hîp t©m c¸c ®­êng trßn tiÕp xóc víi hai ®­êng th¼ng ®ã. GV: vÏ h×nh GV:? Bµi to¸n cho g×? yªu cÇu ta lµm g×? ? Nªu dù ®o¸n cña em vÒ quü tÝch trong bµi to¸n trªn? HS: tr¶ lêi... GV: Gäi xx’ vµ yy’ lµ hai ®­êng th¼ng c¾t nhau t¹i A. §­êng trßn (O, R) tiÕp xóc víi hai ®­êng th¼ng t¹i B vµ C ( B Î xx’, C Î yy’) ? NhËn xÐt OB vµ OC víi c¸c ®­êng th¼ng xx’, yy’? ? VËy quü tÝch c¸c ®iÓm O lµ g×? HS: O thuéc hai ®­êng th¼ng c¾t nhau zAz’ vµ tAt’, lµ bèn tia ph©n gi¸c cña bèn gãc t¹o thµnh bëi hai ®­êng th¼ng xAx’ vµ yAy’ GV:? Nªu giíi h¹n quü tÝch ®iÓm O? GV: Em nµo chøng minh ®­îc phÇn ®¶o? HS: lªn b¶ng tr×nh bµy- GV chÝnh x¸c ho¸ ? VËy quü tÝch cña ®iÓm O lµ g×? Bµi tËp 3: O y x z M I J A B Cho gãc xOy, trªn Ox lÊy ®iÓm A, trªn Oy lÊy ®iÓm B sao cho = T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M n»m trong gãc xOy sao cho tØ sè diÖn tÝch gi÷a tam gi¸c MOA vµ tam gi¸c MOB lµ . GV: VÏ h×nh ? Nªu gi¶ thiÕt, kÕt luËn cña bµi to¸n ? Em nµo chøng minh ®­îc phÇn thuËn? HS: lªn b¶ng gi¶i HS : líp nhËn xÐt- GV chÝnh x¸c ho¸. ? Em nµo nªu ®­îc phÇn giíi h¹n quü tÝch? HS: M thuéc tia ph©n gi¸c Oz cña gãc xOy ( trõ ®iÓm O) ? LÊy ®iÓm M bÊt kú thuéc tia ph©n gi¸c cña gãc xOy M kh¸c O; trªn Ox lÊy ®iÓm A; trªn tia Oy lÊy ®iÓm B sao cho OB = 2OA; kÎ MI ^ Oy; MJ ^ Ox (JÎ Ox; IÎ Oy) em nµo chøng minh ®­îc SD MOA / SDMOB =? ?VËy quü tÝch cÇn t×m lµ g×? Ho¹t ®éng 3: Cñng cè ? Nh¾c l¹i c¸c b­íc gi¶ bµi to¸n quü tÝch? ? Nh¾c l¹i quü tÝch ®iÓm lµ tia ph©n gi¸c vµ hÖ qu¶ cña nã? III. H­íng dÉn häc ë nhµ: ¤n l¹i vÒ quü tÝch cung chøa gãc Lµm c¸c bµi tËp sau: 1/ Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Hai ®iÓm C vµ D trªn nöa ®­êng trßn sao cho OC ^ OD (C thuéc cung AD). AD c¾t BC ë I; hai tia AC vµ BD c¾t nhau ë P. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm I vµ P khi hai ®iÓm C vµ D chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn. 2/ Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh. C lµ mét ®iÓm trªn nöa ®­êng trßn, trªn d©y AC kÐo dµi lÊy ®iÓm D sao cho CD = CB. T×m quü tÝch c¸c ®iÓm D khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®· cho Trªn tia CA lÊy ®iÓm E sao cho CE = CB. T×m quü tÝch c¸c ®iÓm E khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®· cho. 3/ M lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n AM lÊy ®iÓm N sao cho AN = BM. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N. Gi¸o ¸n sè 2: TËp hîp ®iÓm lµ cung trßn (cung chøa gãc) A. Môc tiªu: 1.KiÕn thøc : Sau khi häc xong bµi häc häc sinh : - BiÕt c¸ch nhËn biÕt quü tÝch lµ cung chøa gãc - §­îc cñng cè thªm vÒ cung chøa gãc dùng trªn mét ®o¹n th¼ng cè ®Þnh - BiÕt gi¶i bµi to¸n quü tÝch thuéc cung chøa gãc 2. Kü n¨ng: RÌn cho häc sinh kü n¨ng vÏ h×nh; c¸ch t×m lêi gi¶i vµ tr×nh bµy lêi gi¶i bµi to¸n quü tÝch ®iÓm. 3.T­ duy: RÌn luyÖn cho häc sinh c¸c thao t¸c t­ duy: dù ®o¸n, ph©n tÝch, tæng hîp... 4.Th¸i ®é: RÌn luyÖn tÝnh cÈn thËn; chÝnh x¸c, nghiªm tóc trong nghiªn cøu häc tËp B. ChuÈn bÞ Thµy: ®å dïng d¹y häc + nghiªn cøu tµi liÖu Trß: «n l¹i vÒ quü tÝch cung chøa gãc; c¸ch gi¶i bµi to¸n quü tÝch. C. TiÕn tr×nh d¹y vµ häc I. KiÓm tra bµi cò: Nh¾c l¹i vÒ quü tÝch cung chøa gãc ? Vµ c¸ch gi¶i bµi to¸n quü tÝch? II. Bµi míi: Néi dung Ho¹t ®éng cña thµy vµ trß a. tãm t¾t lý thuyÕt: TËp hîp c¸c ®iÓm M t¹o thµnh víi hai mót cña ®o¹n th¼ng AB cho tr­íc mét gãc AMB cã sè ®o kh«ng ®æi lµ a (00 < a < 1800) lµ hai cung trßn ®èi xøng nhau qua AB. Chó ý: Khi a = 900 th× tËp hîp ®iÓm M lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. b. C¸c bµi tËp : Bµi to¸n 1: Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Hai ®iÓm C vµ D trªn nöa ®­êng trßn sao cho OC ^ OD (C thuéc cung AD). AD c¾t BC ë I; hai tia AC vµ BD c¾t nhau ë P. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm I vµ P khi hai ®iÓm C vµ D chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn. H­íng dÉn gi¶i: a. PhÇn thuËn: Ð ADB = 900, suy ra Ð ADP = 900 Ð CAD = Ð COD = 450. Tam gi¸c ADP vu«ng c©n t¹i D nªn Ð APD = 450. Tam gi¸c ACI vu«ng c©n ë C nªn Ð AIC = 450, suy ra Ð AIB = 1350 C¸c ®iÓm P vµ I nh×n AB cè ®Þnh d­íi mét gãc 450 vµ 1350 nªn P vµ I lÇn l­ît n»m trªn cung chøa gãc 450 vµ 1350 vÏ trªn AB . b. Giíi h¹n: Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa hai cung chøa gãc nãi trªn, kÎ hai tia Ax vµ By vu«ng gãc víi AB, hai tia nµy c¾t cung chøa gãc 450 theo thø tù t¹i P1 vµ P2. Tõ O kÎ b¸n kÝnh OK vu«ng gãc víi AB. - NÕu C º A th× D º K, khi ®ã P º P1 cßn I º B - NÕu C º K th× D º B, khi ®ã P º P2 cßn I ºB VËy P ch¹y trªn cung P1PP2 cßn I ch¹y trªn cung AIB thuéc c¸c cung chøa gãc nãi trªn. c. PhÇn ®¶o: Trªn cung P1PP2 lÊy ®iÓm P’ bÊt k× kh¸c P1 vµ P2 nèi P’ víi A vµ P’ víi B c¾t nöa ®­êng trßn t©m O t¹i C’ vµ D’, BC’ c¾t AD’ t¹i I’. Ta ph¶i chøng minh I’ thuéc cung AIB vµ OC’ ^ OD’. ThËt vËy, tam gi¸c vu«ng AD’P’ cã Ð AP’D’ = 450 nªn lµ tam gi¸c c©n Þ Ð P’AD’ =450. V× Ð C’OD’ = 2Ð C’AD’ = 900, suy ra CO’ ^ O’D. MÆt kh¸c tam gi¸c AC’I’ còng lµ tam gi¸c vu«ng c©n nªn Ð AI’C’ = 450, suy ra Ð AI’B =1350, vËy I thuéc cung AIB. d. KÕt luËn: TËp hîp ®iÓm P lµ cung PP1P2 thuéc cung chøa gãc 450, tËp hîp ®iÓm I lµ cung AIB chøa gãc 450, c¸c cung nµy ®Òu dùng trªn ®o¹n AB vµ trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng chøa ®­êng trßn t©m O. Bµi to¸n 2: Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh. C lµ mét ®iÓm trªn nöa ®­êng trßn, trªn d©y AC kÐo dµi lÊy ®iÓm D sao cho CD = CB. a/ T×m quü tÝch c¸c ®iÓm D khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®· cho b/ Trªn tia CA lÊy ®iÓm E sao cho CE = CB. T×m quü tÝch c¸c ®iÓm E khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®· cho. H­íng dÉn gi¶i: C©u a) Quü tÝch ®iÓm D a. PhÇn thuËn: Ta cã: AB cè ®Þnh, Ð ADB = 450 ( v× tam gi¸c BCD vu«ng c©n). VËy khi C chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB th× D chuyÓn ®éng trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh. b. Giíi h¹n quü tÝch: D©y AC thay ®æi phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm C trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh; AC lín nhÊt, b»ng ®­êng kÝnh nöa ®­êng trßn, khi C trïng víi B, khi ®ã D còng trïng víi B, vËy B còng thuéc quü tÝch. AC nhá nhÊt b»ng 0 khi C º A, khi ®ã D trïng víi B0 ( B0 lµ giao cña cung chøa gãc 450 vµ tia tiÕp tuyÕn Ax t¹i A cña nöa ®­êng trßn).VËy ®iÓm D chuyÓn ®éng trªn cung BB0 thuéc cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB c. PhÇn ®¶o LÊy ®iÓm D tuú ý trªn cung BB0 thuéc cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB, nèi AD c¾t nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB t¹i C. Khi ®ã ta dÔ dµng chøng minh ®­îc CD = CB. ThËt vËy: + ta cã Ð ADB = 450 (v× D thuéc cung chøa gãc 450). +Ð ACB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB) +Mµ Ð BCD kÒ bï víi Ð ACB nªn Ð BCD = 900 Þ Ð CBD = Ð ADB = 450 Þ CD = CB. d. KÕt luËn : Quü tÝch c¸c ®iÓm D khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn lµ cung BB0 n»m trªn cung chøa cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB, trong nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C ( bÞ giíi h¹n bëi tiÕp tuyÕn Ax). C©u b) Quü tÝch c¸c ®iÓm E: a. PhÇn thuËn: Ta cã AB cè ®Þnh ; Ð AEB =1350 ( gãc ngoµi cña tam gi¸c vu«ng c©n BCE). VËy khi C chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB th× E chuyÓn ®éng trªn cung chøa gãc 1350 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh. b. Giíi h¹n Khi C º A Þ E º B; khi C º B th× E º B; Khi C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB th× E º A. VËy ®iÓm E chuyÓn ®éng trªn cung chøa gãc 1350 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB. c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm E bÊt kú trªn cung chøa gãc 1350. Tia AE c¾t nöa ®­êng trßn t¹i C. V× Ð AEB lµ gãc ngoµi ®Ønh E cña tam gi¸c vu«ng BCE, mµ Ð AEB = 1350, do ®ã Ð CBE = 450, tõ ®ã Þ tam gi¸c BCE lµ tam gi¸c vu«ng c©n vµ CE = CB. d. KÕt luËn: Quü tÝch c¸c ®iÓm E khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn lµ cung chøa gãc 1350 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh n»m cïng mét nöa mÆt ph¼ng víi nöa ®­êng trßn bê lµ ®­êng th¼ng AB. Bµi to¸n 3: M lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n AM lÊy ®iÓm N sao cho AN = BM. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N. H­íng dÉn gi¶i a. PhÇn thuËn Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê lµ ®­êng th¼ng AB chøa nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB, dùng tia Ax ^ AB, trªn ®ã lÊy ®iÓm B’ sao cho AB’ =AB, ta cã ®iÓm B’ cè ®Þnh D AMB = D B’NA v× cã AB = AB’ , Ð ABM = Ð B’AN vµ AN =MB, nªn Ð ANB’ = Ð AMB = 900. vËy ®iÓm N thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’. b. Giíi h¹n: Khi M º B th× N º A. Khi M º I ( lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB ) th× N º I . Khi M º A th× N º B’ . VËy N ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’ = AB . c. PhÇn ®¶o Trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB lÊy ®iÓm N bÊt k× kh¸c A, kh¸c B’. Tia AN c¾t nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB t¹i M . Ta ph¶i chøng minh AN = BM. ThËt vËy, hai tam gi¸c vu«ng AMB vµ B’NA cã AB = AB’, Ð NAB’ = Ð ABM nªn D MAB = D NB’A, do ®ã AN = MB. d. KÕt luËn: TËp hîp ®iÓm N lµ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’ ( víi B’ lµ giao cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’ = AB vµ tia Ax ^ AB t¹i A). Ho¹t ®éng 1: Nh¾c l¹i vÒ cung chøa gãc ? Nh¾c l¹i tËp hîp ®iÓm lµ cung chøa gãc? ? Khi gãc a = 900 th× quü tÝch ®ã lµ g×? Ho¹t ®éng 2: Gi¶i bµi tËp Bµi to¸n 1: Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Hai ®iÓm C vµ D trªn nöa ®­êng trßn sao cho OC ^ OD (C thuéc cung AD). AD c¾t BC ë I; hai tia AC vµ BD c¾t nhau ë P. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm I vµ P khi hai ®iÓm C vµ D chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn. P P2 y x P1 C I K D A O B GV : vÏ h×nh ? Nªu gi¶ thiÕt, kÕt luËn cña bµi to¸n? ? Nªu dù ®o¸n cña em vÒ quü tÝch ®iÓm trong bµi to¸n trªn? HS: lµ c¸c cung chøa gãc 450 vµ 1350 vÏ trªn AB ? Em nµo chøng minh ®­îc phÇn thuËn? HS: lªn b¶ng gi¶i- GV uèn n¾n, chÝnh x¸c ho¸ ? Quü tÝch cña ®iÓm P ch¹y trªn cung nµo? V× sao? ? Quü tÝch cña ®iÓm I ch¹y trªn cung nµo? V× sao? Trªn cung P1PP2 lÊy ®iÓm P’ bÊt k× kh¸c P1 vµ P2 nèi P’ víi A vµ P’ víi B c¾t nöa ®­êng trßn t©m O t¹i C’ vµ D’, BC’ c¾t AD’ t¹i I’. Ta ph¶i chøng minh I’ thuéc cung AIB vµ OC’ ^ OD’. Em nµo chøng minh ®­îc? HS: lªn b¶ng gi¶i GV: ChÝnh x¸c ho¸ ? Nªu kÕt luËn vÒ quü tÝch cña bµi to¸n trªn? Bµi to¸n 2: Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh. C lµ mét ®iÓm trªn nöa ®­êng trßn, trªn d©y AC kÐo dµi lÊy ®iÓm D sao cho CD = CB. a/ T×m quü tÝch c¸c ®iÓm D khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®· cho b/ Trªn tia CA lÊy ®iÓm E sao cho CE = CB. T×m quü tÝch c¸c ®iÓm E khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®· cho. A B B0 x E C D GV: VÏ h×nh ? Bµi to¸n cã nh÷ng yªu cÇu g×? ? Em nµo tr×nh bµy ®­îc lêi gi¶i cña c©u a)? HS: lªn b¶ng gi¶i- Líp nhËn xÐt GV: ChÝnh x¸c ho¸ ? Em nµo tr×nh bµy ®­îc lêi gi¶i cña c©u a)? HS: lªn b¶ng gi¶i- Líp nhËn xÐt GV: cã thÓ gîi ý: + Ð ADB = ? + D chuyÓn ®éng trªn ®­êng nµo? GV: ChÝnh x¸c ho¸ ? LÊy ®iÓm D tuú ý trªn cung BB0 thuéc cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB, nèi AD c¾t nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB t¹i C. Khi ®ã chøng minh CD = CB? ? Qua hai phÇn chøng minh( thuËn vµ ®¶o) H·y kÕt luËn vÒ quü tÝch trªn? Khi C chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB th× E chuyÓn ®éng trªn ®­êng nµo? HS: Tr¶ lêi Líp nhËn xÐt GV: ChÝnh x¸c ho¸ ? LÊy ®iÓm E bÊt kú trªn cung chøa gãc 1350. Tia AE c¾t nöa ®­êng trßn t¹i C. Chøng minh CE = CB? ? Qua hai phÇn chøng minh( thuËn vµ ®¶o) H·y kÕt luËn vÒ quü tÝch trªn? Bµi to¸n 3: M lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n AM lÊy ®iÓm N sao cho AN = BM. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N. x B’ I M B A N GV: VÏ h×nh vµ h­íng dÉn nhanh häc sinh gi¶i bµi tËp nµy. NÕu cßn thêi gian GV cã thÓ gîi ý lµm bµi nµy: ? + Nªu dù ®o¸n cña em vÒ quü tÝch trªn? ? + Khi M º B th× N º ? M º I ( lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB ) th× Nº? Khi M º A th× N º ? VËy N ch¹y trªn ®­êng nµo? ? + Trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB lÊy ®iÓm N bÊt k× kh¸c A, kh¸c B’. Tia AN c¾t nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB t¹i M . H·y chøng minh AN = BM. ? Qua hai phÇn chøng minh( thuËn vµ ®¶o) H·y kÕt luËn vÒ quü tÝch trªn? Ho¹t ®éng 3: Cñng cè ? Nh¾c l¹i c¸c b­íc gi¶ bµi to¸n quü tÝch? ? Quü tÝch nh÷ng ®iÓm nh×n ®o¹n th¼ng AB d­íi mét gãc a kh«ng ®æi (00 < a < 1800) lµ g×? III. H­íng dÉn häc ë nhµ: 1. ¤n l¹i vÒ quü tÝch cung chøa gãc Lµm c¸c bµi tËp sau: Bµi 1: M lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n AM lÊy ®iÓm N sao cho AN = BM. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N. Bµi 2: Cho D ABC cã c¹nh BC cè ®Þnh vµ ¢ = a kh«ng ®æi. T×m quü tÝch giao ®iÓm cña ba tia ph©n gi¸c trong cña tam gi¸c ®ã. PhÇn IV. KÕt luËn §Ò tµi “ T×m tËp hîp ®iÓm trong ch­¬ng tr×nh THCS ” lµ mét ®Ò tµi khã, rÊt réng vµ hay. Qua qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, t×m hiÓu tham kh¶o tµi liÖu trong c¸c n¨m häc qua t«i nhËn thÊy ®©y lµ mét vÊn ®Ò rÊt bæ Ých, rÊt cÇn cho viÖc gi¶ng d¹y to¸n ë phæ th«ng ®Æc biÖt lµ ®èi víi häc sinh kh¸ giái. C¸c bµi tËp trong ®Ò tµi ®­îc ph¸t triÓn trªn c¸c bµi tËp cña s¸ch gi¸o khoa vµ c¸c s¸ch tham kh¶o, cã khi lÊy nguyªn c¶ bµi. Nã gióp c¸c em häc sinh hiÓu s©u s¾c h¬n c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ bµi to¸n tËp hîp ®iÓm, gióp c¸c em cã ®­îc hÖ thèng bµi tËp t­¬ng ®èi ®Çy ®ñ. §Ò tµi nµy t«i ®· ¸p dông t¹i tr­êng THCS x· Gia Phong ®èi víi c¸c ®èi t­îng häc sinh kh¸ giái. Sau khi ¸p dông t«i nhËn thÊy khi ®øng tr­íc bµi to¸n quü tÝch c¸c em kh«ng cßn cã t©m tr¹ng lo sî, ng¹i gi¶i; còng nh­ kh«ng cßn c¶m gi¸c nh­ ng­êi ®i trong bãng tèi...nã ®· ®em l¹i lîi Ých thiÕt thùc cho häc sinh vµ gi¸o viªn trong d¹y vµ häc. §©y lµ mét ®Ò tµi khã, réng, trõu t­îng, phøc t¹p, mang tÝnh khoa häc cao ®ßi hái ph¶i cã nhiÒu thêi gian cã nhiÒu tµi liÖu vµ ®ãng gãp. Víi ®iÒu kÞªn hiÖn nay b¶n th©n t«i nhËn thÊy nh÷ng yÕu tè trªn cã nh­ng ch­a ®ñ. V× vËy ch¾c ch¾n cßn cã nhiÒu thiÕu sãt. RÊt mong sù gãp ý cña c¸c thµy c«, c¸c ®ång nghiÖp T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thµy c« gi¸o, c¸c ®ång nghiÖp vµ ®Æc biÖt lµ thµy Ph¹m Hoµng Hµ, thµy NguyÔn V¨n Trµo ®· gióp ®ì t«i hoµn thµnh ®Ò tµi nµy! Ninh B×nh, ngµy 05 th¸ng 7 n¨m 2008 Ng­êi viÕt ®Ò tµi. §inh V¨n T­íc PhÇn V. Phô lôc Tµi liÖu tham kh¶o 1/ To¸n 9 Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 2005 2/ H×nh häc 7 Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 1996 (NguyÔn Gia Cèc; Ph¹m Gia §øc) 3/ To¸n 8 Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 2004 4/ Bµi tËp to¸n 9 Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 2005 (T«n Th©n; Ph¹m Gia §øc; NguyÔn Duy ThuËn) 5/ To¸n häc vµ tuæi trÎ sè 332- 2005 6/ Gióp häc tèt h×nh häc 9 Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 1994 (NguyÔn B¸ Kim; NguyÔn TiÕn Quang; Vò Kim Thuû) 7/ Gi¸o tr×nh thùc hµnh gi¶i to¸n s¬ cÊp NguyÔn V¨n Hµ- Tr­êng §HSPHN2 8/ To¸n n©ng cao vµ c¸c chuyªn ®Ò h×nh häc 9 Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 1997 (NguyÔn Ngäc §¹m; NguyÔn ViÖt H¶i; Vò D­¬ng Thuþ) 9/ N©ng cao vµ ph¸t triÓn to¸n 8 Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 2006 ( Vò H÷u B×nh) 10/ Bµi tËp n©ng cao vµ mét sè chuyªn ®Ò to¸n 8 Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 2004 (Bïi V¨n Tuyªn)