Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ

Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ Luận văn thạc sĩ – Ngành toán tối ưu và hệ thống 17 Chương II: HỆ MỜ VI PHÂN §2.1 HỆ THỐNG MỜ (HỆ MỜ) 2.1.1 Tập mờ 2.1.1.1 Nguyên lý chấp trung Trong tập cổ điển luôn tồn tại một nguyên lý mà theo nghĩa triết học là nguyên lý bài trung, theo nghĩa toán học là * ∅=∩ AA *    ∉ ∈ = Aakhi Aakhi aA 0 1)(µ , hàm thuộc { }1;0)( =aAµ *    = saipkhi dungpkhi pv 0 1)( , hàm giá trị mệnh đề (2.1.1) Thay đổi nhận thức cổ điển này bằng nguyên lý chấp trung – cơ sở của tập mờ đó là * ∅≠∩ AA * )(aAµ là hàm liên tục, nhận giá trị trên [ ]1;0 nghĩa là [ ]1;0)( ∈aAµ * [ ]1;0)( ∈pv cũng là hàm giá trị mệnh đề liên tục 2.1.1.2 Phần bù của tập mờ Cho Ω là không gian nền, một tập mờ A trên Ω tương ứng với một hàm thực nhận giá trị trong đoạn [ ]1;0 [ ]1;0: →ΩA là một hàm thuộc Aa ∈ ta có [ ]1;0)()( ∈= aaA Aµ )(aAµ là bậc thuộc của phần tử Aa ∈ Phần bù của tập mờ A là A thỏa mãn: * ∅≠∩ AA Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ Luận văn thạc sĩ – Ngành toán tối ưu và hệ thống 18 * Ω∈∀= aaa AA )()( µµ * Ω∈∀−= aaa AA )(1)( µµ 2.1.1.3 Các phép toán trên tập mờ Cho Ω là không gian nền, tập mờ Ω⊂A • Phép bù của tập mờ ∅≠∩ AA Ω∈∀= aaa AA )()( µµ Quy ước [ ]1;0)()( ∈= aAaAµ (2.1.2) • Phép giao hai tập mờ Cho Ω⊂BA, với hai hàm thuộc ( ) ( )aa BA µµ ; Cho T là một t – chuẩn, ứng với một t – chuẩn, tập giao của hai tập mờ A và B là một tập mờ. Ω⊂∩ BA T cho bởi hàm thuộc ( )( ) ( ) ( ) ( )( )aBaATaaBA BTAT ,==∩ ∩µ ( ) ( )( ) Ω∈∀= aaaT BA µµ , • Phép hợp hai tập mờ Phép hợp BA S∪ là một tập mờ trên Ω . Ưùng với mỗi S – t đối chuẩn ta có hàm thuộc ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Ω∈∀==∪ aaaSaBaASaBA BAS µµ ,, (2.1.3) 2.1.2 Trạng thái mờ Thông thường chúng ta quen dùng các biến ngôn ngữ để chỉ trạng thái, tính chất sự kiện hoặc đối tượng. Ví dụ: a) Tốc độ: cực chậm, rất chậm, chậm, vừa, nhanh, rất nhanh và cực nhanh b) Độ chính xác: Hỏng hóc, không chuẩn, vừa, chính xác và hoàn hảo c) Khả năng: kém(xấu), chưa được, tạm được, được, vừa phải, tốt Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ Luận văn thạc sĩ – Ngành toán tối ưu và hệ thống 19 d) Giá thành: đắt, đắt vừa, trung bình, rẻ vừa, rẻ, quá rẻ e) Độ tin cậy: xấu tệ (không tin được), tạm chấp nhận, trung bình, chập nhận được, tốt (đáng tin cậy) … Tất cả ngôn ngữ, trạng thái có thể logic hóa chúng bằng trải nghiệm, kinh nghiệm tri thức, các nhận thức quy ước của con người, khi đó biến trạng thái có một hàm giá trị ( ) [ ]1;0∈xv với x là một biến. Suy luận ngôn ngữ v(x) là một hàm thuộc liên tục nhận giá trị trên [ ]1;0 2.1.3 Tập mờ và không gian mờ Chúng ta đặt [ ]{ }: 0,1n nE u R= → là không gian chứa tất cả các tập mờ u của Rn sao cho chúng thỏa mãn: (i) u là chuẩn, tức là tồn tại 0 nx R∈ sao cho 0( ) 1u x = ; (ii) u là lồi, nghĩa là với ∈x , x I1 2 và ≤ λ ≤0 1 ta có { }λ + − λ ≥u( x ( )x ) min u( x ),u( x )1 2 1 21 ; (iii) u là nửa liên tục trên; (iv) [ ] { }= ∈ >nu cl x R :u( x )0 0 là compact. (2.1.4) Phần tử nu E∈ được gọi là mờ. Với < α ≤0 1 , tập [ ] { }α = ∈ ≥ αnu x R :u( x ) được gọi là tập mức α . Từ (i) - (iv) ta suy ra các tập mức α thuộc ncK ( R ) với ≤ α ≤0 1 . Ta ký hiệu [ ] [ ]{ }D u,v sup D u , v :α α   = ≤ α ≤   0 0 1 (2.1.5) là khoảng cách giữa u và v trong nE , trong đó [ ] [ ]D u , vα α    là khoảng cách Hausdorff giữa hai tập [ ] [ ]u , vα α của ( )ncK R . Khi đó ( )nE ,D0 là không gian metric đủ. Sau đây là một số tính chất của metric D0 . Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ Luận văn thạc sĩ – Ngành toán tối ưu và hệ thống 20 [ ]D u w,v w D u,v + + = 0 0 và [ ] [ ]D u,v D v,u=0 0 , (2.1.6) [ ] λ λ = λ D u, v D u,v0 0 , (2.1.7) [ ]D u,v D u,w D w,v   ≤ +   0 0 0 , (2.1.8) với mọi nu,v,w E∈ và Rλ ∈ . ******* Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ Luận văn thạc sĩ – Ngành toán tối ưu và hệ thống 21 §2.2 CÁC NGUYÊN LÝ VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN HỆ MỜ VI PHÂN 2.2.1 Các nguyên lý của điều khiển mờ Cho một hệ thống mờ, khi đó các nguyên lý điều khiển bao gồm: 2.2.1.1 Tiếp cận một cách tổng quát Mô tả các trạng thái của hệ thống, các đặc trưng tác động lên tiến trình (đều mờ) theo các luật mờ của hệ thống. Ví dụ: Chuyển động của một chiếc xe ô tô có các luật r như sau: Nếu xe chạy lệch xa tâm đường thì bẻ tay lái, vòng nhẹ để xe đi vào hướng chuẩn. - Các biến trạng thái: Độ lệch , vị trí, hướng đi, … - Các biến điều khiển: Bẻ tay lái, góc lái,… 2.2.1.2 Hình thức hóa các biến ngôn ngữ, trạng thái Sau khi xác định được các biến trạng thái, biến điều khiển phải tiến hành mã hóa chúng môt cách hình thức bằng các ký hiệu và tạo ra tập các biến trạng thái,… 2.2.1.3 Điều khiển mờ – Bộ xấp xỉ tổng quát Có thể xem các điều khiển mờ như là một bộ xấp xỉ tổng quát, nghĩa là một hàm điều khiển 1 2 pf(u ,u ,...,u ) với một độ chính xác ε - xấp xỉ, trong đó f là hàm liên tục xác định trên tập mờ 1 2 p(u ,u ,...,u ) - compact có số chiều hữu hạn. 2.2.2 Các phương pháp điều khiển mờ Đối với bài toán điều khiển các hệ mờ, chúng ta lần lược làm quen với các phương pháp phổ biến sau đây: Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ Luận văn thạc sĩ – Ngành toán tối ưu và hệ thống 22 2.2.2.1 Phương pháp tiếp cận logic mờ Phương pháp tiếp cận logic mờ (*) là phương pháp dựa trên suy luận logic của đại số gia tử: - Cần phải xác định luật mờ: R1- Nếu V là A thì W sẽ là B. (2.2.1) - Tích hợp các luật: R2- Nếu 1W là 1B và 2W là 2B thì thêm vào U sẽ là C,… (2.2.2) - Xác định bộ luật của hệ thống là hoàn toàn mờ hay một phần rõ. 2.2.2.2 Phương pháp Mamdani- Larsen Phương pháp Mamdani – Larsen là phương pháp logic mờ sử dụng t - chuẩn của Zadeh và t – chuẩn xác suất trong phép giao và các phép kéo theo RM và RP. Phương pháp Mamdani kết quả trung gian có hàm thuộc như sau ( )' 1 11 1 12 2 1B y Y, f (y) min min f (x ), f (x ) , f (y) ∀ ∈ =   (2.2.3) và phương pháp Larsen ( )' 1 11 1 12 2 1B y Y, f (y) f (x ), f (x ) .f (y)∀ ∈ = (2.2.4) 2.2.2.3 Phương pháp nội suy Phương pháp nội suy là phương pháp sử dụng các hàm thuộc của các biến trong các luật đơn điệu. Tính đơn điệu cho phép tiến hành nội suy giữa các giá trị của Y có được bởi các luật khác nhau R1, R2… ( )1 1 1 11 1 12 2f (y ) min f (x ), f (x )α = = ; ( )2 2 2 21 1 22 2f (y ) min f (x ), f (x )α = = (2.2.5). Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ Luận văn thạc sĩ – Ngành toán tối ưu và hệ thống 23 2.2.2.4 Phương pháp mờ vi phân Cho ∈ nu,v E nếu tồn tại ∈ nz E thỏa mãn = +u v z thì z được gọi là hiệu của u và v và được ký hiệu là −u v . Từ nay ta giả sử cho ∈ nu,v E sẽ tồn tại ∈ nz E thỏa mãn = +u v z . Cho khoảng  = +   I t , t a0 0 trong +R , >a 0 , ta nói rằng ánh xạ → nF : I E có đạo hàm Hukuhara HD F( )τ0 tại điểm Iτ ∈0 , nếu h F( h) F( )lim h → + τ + − τ0 0 0 và h F( ) F( h)lim h → + τ − τ −0 0 0 (2.2.6) tồn tại trong topo của nE và bằng HD F( )τ0 , giới hạn được lấy trong không gian metric ( nE , D0 ). Ở hai đầu mút của I, đạo hàm là đạo hàm một phía. Nếu → nF : I E là liên tục thì F khả tích. Ta có một số tính chất sau đây. Nếu → nF : I E khả tích thì t t t t t t F( s)ds F( s)ds F( s)ds, t t t= + ≤ ≤∫ ∫ ∫ 2 1 2 0 0 1 0 1 2 (2.2.7) và t t t t F( s )ds F( s)ds, Rλ = λ λ ∈∫ ∫ 0 0 . (2.2.8) Nếu → nF ,G : I E khả tích thì D F(.),G(.) : I R  →   cũng khả tích và t t t t t t D F( s)ds, G( s)ds D F( s),G( s) ds    ≤      ∫ ∫ ∫ 0 0 0 . (2.2.9) Chi tiết hơn về tính liên tục, khả vi và tính khả tích Hukuhara của ánh xạ → nF : I E có thể tham khảo [1 -6]. Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ Luận văn thạc sĩ – Ngành toán tối ưu và hệ thống 24 Metric D trên ( )ncK R cũng có các tính chất như metric D0, các khái niệm đạo hàm và tích phân Hukuhara của ánh xạ ncF : I K ( R )→ cũng có các tính chất tương tự như của ánh xạ → nF : I E . Xin tham khảo [13]. Phương trình vi phân điều khiển mờ H D x(t) f(t, x(t), u(t))= , (2.2.10) trong đó nx( t ) x E , t I= ∈ ∈0 0 , trạng thái ∈ nx( t ) E , điều khiển ∈ pu( t ) E và n p nf : I E E E× × → . Điều khiển khả tích pu : I E→ gọi là điều khiển chấp nhận được. Đặt U là tập tất cả các điều khiển chấp nhận được. Hệ mờ vi phân dạng tổng quát ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )   =  = ∈ ⊆ Ω ∈  →  0 0 dx t f t, x t , u t dt x t x S , u t U I u min (2.2.11) Hệ mờ vi phân dạng tuyến tính (khi đầu vào u và biến trạng thái x S∈ ⊂ Ω đều mờ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   = +   → dx t A t x t B t u t dt I u min (2.2.12)