Tóm tắt Luận án Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ...*** BÙI THỊ THUÝ DAO ĐỘNG PHI TUYẾN YẾU CỦA HỆ CẤP BA CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 62 52 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC Hà Nội – 2017 Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TSKH Nguyễn Văn Khang Người hướng dẫn khoa học 2: TS Trần Đình Sơn Phản biện 1: GS. TSKH Đỗ Sanh Phản biện 2: GS. TSKH Nguyễn Tiến Khiêm Phản biện 3: PGS. TS Lê Lương Tài Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi giờ ..’, ngày tháng năm 2017 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam 1 MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của luận án Trong kỹ thuật, nhiều máy và công trình được thiết kế, cấu tạo dựa trên các mô hình giảm chấn đàn nhớt cấp nguyên Kelvin-Voigt, mô hình Maxwell và mô hình tuyến tính tiêu chuẩnTuy nhiên với sự phát triển của khoa học công nghệ nói chung và cơ học nói riêng, càng ngày càng có nhiều vật liệu mới ra đời (như cao su tổng hợp, silicone), những mô hình đàn nhớt cổ điển với đạo hàm cấp nguyên không thể hiện được đầy đủ tính chất của vật liệu. Do đó xuất hiện các mô hình đàn nhớt cấp phân số. Với các vật liệu mới, các mô hình giảm chấn được tính toán với phần tử đạo hàm cấp phân số. Từ các bài toán thực tế ta đã biết rằng đối với những biến dạng lớn, tính phi tuyến của vật liệu xuất hiện. Quy luật dao động của cơ hệ không còn đơn thuần là quy luật tuyến tính, thay vào đó là quy luật phi tuyến. Do đó các nhà khoa học cần phải có sự nghiên cứu chuyên sâu về dao động phi tuyến của cơ hệ có đạo hàm cấp phân số để thiết kế những công trình, máy móc tối ưu phục vụ nhu cầu cuộc sống. Việc thiết lập và giải các phương trình vi phân mô tả đặc tính dao động phi tuyến của cơ hệ là rất cần thiết trong kỹ thuật hiện đại. 2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án Mục tiêu nghiên cứu của luận án là nghiên cứu các hệ dao động cơ học được biểu diễn về mặt toán học bởi các phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. Cụ thể, tìm nghiệm của các phương trình vi phân dao động phi tuyến của một số hệ đàn nhớt có chứa đạo hàm cấp phân số. 2 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu của luận án Đối tượng nghiên cứu của luận án là các hệ dao động được biểu diễn bởi các phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. Nội dung nghiên cứu là sử dụng phương pháp số Newmark, phương pháp số Runge – Kutta và phương pháp tiệm cận tìm nghiệm phương trình vi phân dao động phi tuyến của một số hệ đàn nhớt cấp ba có đạo hàm cấp phân số, tìm ra tính chất dao động mới của cơ hệ. 4. Cấu trúc của luận án Cấu trúc của luận án gồm: Phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận chung và những đóng góp mới của luận án. Chương 1: “Mô hình đàn nhớt cấp phân số”. Chương này giới thiệu một số kiến thức bổ trợ, các định nghĩa của đạo hàm và tích phân cấp phân số, mô hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính và phi tuyến. Từ đó cho ta một cái nhìn tổng quan về đạo hàm và tích phân cấp phân số và các mô hình đàn nhớt cấp phân số. Chương 2: “Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp số”. Chương này áp dụng hai phương pháp số Newmark và phương pháp số Runge – Kutta tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số, sau đó so sánh kết quả giữa hai phương pháp số.. Chương 3: “Tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp tiệm cận”. Trong chương này, nghiệm xấp xỉ của dao động cộng hưởng, điều kiện ổn định của nghiệm dừng dựa trên lý thuyết Lyapunov được khảo sát. Từ kết quả mô phỏng số, nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số của đạo hàm cấp phân số đối với đường cong biên độ tần số, điều kiện ổn định của hệ, so sánh giữa hệ có đạo hàm cấp nguyên và đạo hàm cấp phân số. 3 CHƯƠNG 1. MÔ HÌNH ĐÀN NHỚT CẤP PHÂN SỐ Chương 1 trình bày một số định nghĩa về đạo hàm và tích phân cấp phân số của các tác giả khác nhau. Sử dụng định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville, luận án đã trình bày mối quan hệ giữa định nghĩa này với các định nghĩa khác về đạo hàm và tích phân cấp phân số. Phần tiếp theo của chương trình bày một số mô hình đàn nhớt cấp phân số trong các hệ dao động. 1.1. Một số kiến thức bổ trợ Hàm Gamma    1 0 , 0x ss e x dx s      (1.12) Hàm Mittag – Leffler    0 , 0. 1 k k z z k            (1.32) Biểu thức hợp nhất giữa đạo hàm và tích phân cấp nguyên         1 0 lim . 1 n N n a N j j nt a t a D f t f t j N n j N                                (1.62) 1.2. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số Theo Riemann – Liouville  0, 1p n p n          11 , ( ) tn n pR p a n a d D f t t f d n p dt           (1.65) Theo Grünwald – Letnikov         1 0 lim . 1 p N G p a N j j pt a t a D f t f t j N p j N                                (1.66) Theo Caputo  0 1n p n              11 , t n p nC p a a D f t t f d n p           (1.83) 4 Theo hàm biến phức         1 1 2 p p C p f D f z d i z           (1.88) 1.3. Mô hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính Đàn nhớt tuyến tính là sự hợp thành từ các mô hình: đàn hồi tuyến tính,nhớt tuyến tính cấp nguyên và nhớt tuyến tính cấp phân số Hình 1.3. Mô hình đàn hồi tuyến tính  0.E D  Hình 1.4. Mô hình nhớt tuyến tính cấp nguyên  1.D   Hình 1.5. Mô hình nhớt tuyến tính cấp phân số  . tc D  1.3.1. Mô hình Kelvin – Voigt cấp phân số (hình 1.6 ) Phương trình vi phân chuyển động        .tmx t cD x t k x t F t    (1.107) Hình 1.6. Mô hình Kelvin – Voigt Hình 1.8. Mô hình Maxwell Hình 1.10. Mô hình tuyến tính tiêu chuẩn 1.3.2. Mô hình Maxwell cấp phân số (hình 1.8) Phương trình vi phân chuyển động          2 .t t t t cm c D x t m D x t cD x t F t D F t k k       (1.113) σ E σ c, α σ σ η σ σ x(t)  F t k c,α c,α  x t  F t k 1x 2x c,α  F t  x t 1x 2x 2k k1 5 1.3.3. Mô hình tuyến tính tiêu chuẩn cấp phân số (hình 1.10) Phương trình vi phân chuyển động                 2 1 2 1 1 2 1 2 . t t t t cm D x t k k mD x t k c D x t k k x t c D F t k k F t           (1.119) 1.3.4. Mô hình đàn nhớt của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số Hình 1.12. Mô hình ô tô Hình 1.14. Mô hình giá treo ô tô Ví dụ 1. Phương trình vi phân dao động của ô tô (hình 1.12) Gọi x và u là dịch chuyển của vật và bánh xe. Giả thiết độ cứng của lót trục có thể được biểu diễn bằng một lò xo tương đương với độ cứng k. Phương trình vi phân dao động của ô tô 1 11 1 1 1 2 2 2 .t t t t c kc c kck k k x x D x x D x D u u D u c m m mc m m mc            (1.128) Ví dụ 2. Phương trình vi phân dao động của giá treo ô tô (hình 1.14) Gọi x1, x2 và u là dịch chuyển của các vật và bánh xe. Ta có phương trình vi phân dao động 11 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 2 1 2 1 2 . (1.138) t t t t c c c c c kck x x D x x D x x m m m m m m m m c c c kck D u u D u u m m m m m m                      x1 u c1 k c2,α m2 x2 m1 c1,α x k m z u c2 6 1.4. Mô hình đàn nhớt cấp phân số phi tuyến Hình 1.16. Mô hình cổ điển Hình 1.17. Mô hình mới Lực đáp ứng của hệ đàn nhớt cổ điển có dạng nF kx cx   (1.139) Với các vật liệu mới, lực đáp ứng có chứa đạo hàm cấp phân số     pvF kx c x D xb x   (1.140) Trong đó: - Các hệ số: , ,k c  là các hệ số của vật liệu. - Các hàm điều chỉnh    ,c x b x là hàm của x với    0 0 1c b  . Hàm  b x để giải thích tác động của lực cản nhớt trong trường hợp biến dạng lớn. 1.5. Kết luận chương 1 Chương 1 trình bày một số kiến thức bổ trợ, các định nghĩa của đạo hàm và tích phân cấp phân số. Đồng thời cũng trình bày các mô hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính và các mô hình đàn nhớt cấp phân số phi tuyến. Từ đó cho ta một cái nhìn tổng quan về đạo hàm và tích phân cấp phân số. CHƯƠNG 2. TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA HỆ CẤP BA CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ Shimizu và Zhang [74] đã mở rộng phương pháp Newmark và Dương Văn Lạc [4] đã mở rộng phương pháp Runge – Kutta để tính toán dao động của hệ được mô tả bằng phương trình vi phân cấp hai có chứa đạo hàm cấp phân số. Trong chương này, luận án phát triển vF nF x x 7 ý tưởng trong các tài liệu [74] và [4] trình bày thuật toán tính toán dao động của hệ được mô tả bằng phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. 2.1. Phương pháp Newmark tính toán dao động của hệ động lực cấp ba 2.1.1. Ý tưởng của phương pháp Newmark Ta xây dựng phương pháp giải hệ phương trình vi phân cấp ba dựa trên phương pháp Newmark giải hệ phương trình vi phân cấp hai Trong đó véc tơ trạng thái của hệ ở thời điểm 1n nt t h   được suy ra từ véc tơ trạng thái đã biết ở thời điểm nt qua các khai triển Taylor của dịch chuyển, vận tốc và gia tốc  1 11 ,n n n nh h     q q q q (2.14) 2 21 1 1 , 2 n n n n nh h h             q q q q q (2.15) 2 3 3 1 1 1 . 2 6 n n n n n n h h h h              q q q q q q (2.16) 2.1.4. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 2.1.4.1. Phương trình vi phân dao động cấp phân số  p p 0 1 Xét phương trình vi phân dao động cấp phân số            0 0 1 R px t ax t b D x t cx t f t p      (2.25) trong đó a,b,c là các hằng số. Kết quả tính toán của hệ dao động được trình bày trong công bố số 1. Ví dụ 2. Lấy các số liệu 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, sin , 0.01 3 p a b c f t h             . Ta có phương trình vi phân dao động:  1/201.3 0.5 0.25 0 Rx x D x t x    (2.45) 8 Với các điều kiện đầu  0 0,x     0 1, 0 0x x  Ta có đồ thị dao động hình 2.2. Hình 2.2 cho thấy dao động của hệ có dạng dao động tuần hoàn. Hình 2.2. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba (2.45) 2.1.4.2. Phương trình vi phân dao động cấp phân số  1 2 p p Xét phương trình vi phân dao động cấp phân số            0 1 2 R px t a D x t bx t cx t f t p      (2.47) trong đó , ,a b c là các hằng số. Áp dụng quy tắc hợp thành ta có  0 R p nD x t tại thời điểm nt t      0 0 1 1 2 R p n n nD x t I I I p       (2.54) Trong đó       0 1 0 0 1 p p n n x x I p t t     (2.51)     2 0 1 1 1 1 1 1 2 , 2. 2 n n n p p p in n x ihx xh I n t h t ih                   (2.56)      2 1 12 1 1 2 3 3 1 2 6 p n n n n n n h I x x x p p hh p x h x                                       (2.59) Thay phương trình (2.59) cùng các công thức Newmark của nx 9 và nx vào (2.47) ta tính được giá trị của nx như sau           0 13 1 1 1 13 2 2 1 1 1 12 1 1 1 4 2 1 1 1 1 1 2 6 3 1 4 2 6 1 p n n n n n n n p n n n n n h a b c x f t a I I p h ph x x x x hh h h a x x p x h x p hh b x x h                                                                                          2 1 1 1 1 1 (2.62) 2 6 2 n n nh x h x                          Ví dụ 5. Lấy các số liệu 3 2, 1, 1, 1, sin . 3 p a b c f t            Ta có phương trình vi phân dao động:  3/20 sin 3 Rx D x t x x t           (2.65) Với các điều kiện ban đầu  0 0,x     0 0, 0 1x x  Đồ thị dao động được biểu diễn trên hình 2.5 có dạng dao động tuần hoàn theo thời gian. Hình 2.5. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba (2.65) Ví dụ 6. Lấy các số liệu  3 2, 10, 1, 10, 5sinp a b c f t      . Ta có phương trình vi phân dao động    3/2010 10 5sin Rx D x t x x t     (2.66) 10 Các điều kiện ban đầu  0 0,x     0 0, 0 1x x  . Với các giá trị khác nhau của , ta có đồ thị dao động hình 2.6. Từ hình 2.6 cho thấy khi tần số lực kích động tăng thì biên độ dao động giảm. Hình 2.6. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba (2.66) 2.2. Phương pháp Runge – Kutta tính toán dao động của hệ động lực cấp một 2.2.1. Ý tưởng của phương pháp Runge – Kutta Xét hệ phương trình vi phân dao động cấp một     0 0 0 t t t T t       y f ,y y y (2.70) Tính gần đúng giá trị  1it y bởi 1iy .  1 1 2 3 4 1 2 2 , 6 i i     y y k k k k (2.72) Với     1 2 1 3 2 4 3 ; 1 ; 2 2 1 ; 2 2 . i i i i i i i i h t h h t h h t h t h                     k f ,y k f ,y k k f ,y k k f ,y k (2.73) 2.2.2. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 11 2.2.2.1. Phương trình vi phân dao động cấp phân số   p 0 p 1 Xét dao động của hệ cấp ba được mô tả bởi phương trình            0 0 1 R px t ax t b D x t cx t F t p      (2.74) Trong đó , ,a b c là những hằng số. Đặt            , ,y t x t z t x t s t x t   (2.75) Phương trình (2.74) đưa được về hệ phương trình cấp một sau                  0 , , R p y t z t z t s t s t as t b D y t cy t F t           (2.76) Áp dụng quy tắc hợp thành             0 0 0 1 , 1 1 t R p p p y y D y t t d p p t            (2.80) Sau khi tích phân từng phần,    0 t p y d t     đưa được về tích phân xác định      1 0 0 ( ) t t p tI t y t d g d          (2.82) Xấp xỉ tích phân  iI t bởi công thức hình thang.           2 1 1 0 , 1 2 2i i i i i t j t j t i j h h I t g g g t i             (2.86) Khi đó, hệ phương trình (2.76) trở thành  tq f ,q (2.88) Trong đó    1 2 3 T T y z s f f f q , , ; f , , ; (2.89)                   1 2 1 3 , , 01 0 . 1 1 p p f z t f s t z t I t f as t b y t cy t F t p p                   (2.90) 12 Ví dụ 8. Lấy các số liệu như ví dụ 2 (trang 7). Ta có đồ thị dao động hình 2.9. So sánh ví dụ 2 và ví dụ 8 ta thấy: hình 2.2 (sử dụng phương pháp Newmark) và hình 2.9 (sử dụng phương pháp Runge – Kutta) có sự phù hợp giữa các kết quả được tính toán. Hình 2.9. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba (2.45) 2.2.2.2. Phương trình vi phân dao động cấp phân số   p 1 p 2 Xét dao động của hệ cấp ba được mô tả bởi phương trình            0 1 2 R px t a D x t bx t cx t F t p      (2.96) Trong đó , ,a b c là những hằng số. Từ (2.75), phương trình vi phân cấp ba (2.96) đưa được về hệ phương trình vi phân cấp một                  0 , , .R p y t z t z t s t s t a D y t bz t cy t F t           (2.98) Áp dụng quy tắc hợp thành đối với  0 R pD y t với 1 2p                  1 0 1 0 0 0 1 , 1 2 2 t R p p p p y y y D y t t t d p p p t                  (2.100) Tích phân     1 0 t p y d t       đưa được về tích phân xác định 13      2 0 0 ( ) t t p tI t y t d g d          (2.102) Xấp xỉ tích phân  iI t bởi công thức hình thang.           2 1 1 0 , 1 2 2i i i i i t j t j t i j h h I t g g g t i             (2.106) Khi đó, hệ phương trình (2.96) trở thành  tq f ,q (2.108) Trong đó    1 2 3 T T y z s f f f q , , ; f , , ; (2.109)                       1 2 2 1 3 , , 01 1 0 0 2 2 . p p p f z t f s t s t I t f a p y t z t p p bz t cy t F t                      (2.110) Ví dụ 10. Lấy các số liệu như ví dụ 5 (trang 9). Từ hình 2.5 ( sử dụng phương pháp Newmark) và hình 2.11 (sử dụng phương pháp Runge – Kutta), ta nhận thấy có sự phù hợp giữa các kết quả được tính toán. Hình 2.11. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba (2.65) 14 Ví dụ 11. Lấy các số liệu như ví dụ 6 (trang 9). Với các giá trị khác nhau của , ta có đồ thị dao động (hình 2.12). Từ hình 2.6 và hình 2.12, ta thấy có sự phù hợp giữa các kết quả được tính toán thông qua hai phương pháp số. Hình 2.12. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba (2.66) 2.3. Kết luận chương 2 Nhóm nghiên cứu của GS.Nguyễn Văn Khang (Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội) đã phát triển các phương pháp số Newmark và Runge – Kutta xây dựng các thuật toán số giải hệ phương trình vi phân có chứa đạo hàm cấp phân số. Một số kết quả đã được trình bày trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [4], [5] và [6]. Trong chương này, dựa trên ý tưởng của phương pháp tích phân Newmark và định nghĩa đạo hàm cấp phân số của Riemann – Liouville, một thuật toán số được phát triển để tính toán đáp ứng động lực của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. Dựa trên ý tưởng của phương pháp Runge – Kutta, xây dựng một thuật toán giải phương trình vi phân cấp ba của hệ có chứa đạo hàm cấp phân số. Đối với phương pháp Runge – Kutta, ta biến đổi phương trình vi phân dao động cấp ba có đạo hàm cấp phân số về hệ ba phương trình 15 vi phân cấp một. Do đó, phương pháp Runge – Kutta được tính toán và lập trình trên phần mềm Matlab thuận tiện hơn so với phương pháp Newmark. Qua các thí dụ tính toán trong nhóm nghiên cứu của tác giả nhận thấy hai phương pháp này cho kết quả chính xác tương đương nhau. CHƯƠNG 3. TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỘNG HƯỞNG CỦA HỆ PHI TUYẾN CẤP BA CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TIỆM CẬN Dao động cộng hưởng của các hệ phi tuyến cấp ba, cấp bốn và cấp n không chứa đạo hàm cấp phân số đã được GS.Nguyễn Văn Đạo nghiên cứu kỹ trong các tài liệu [18], [47]. Trong chương này, luận án áp dụng phương pháp tiệm cận nghiên cứu dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. Các kết quả tính toán bằng phương pháp tiệm cận trong một số trường hợp được so sánh với các kết quả tính toán bằng phương pháp số. 3.1. Dao động cộng hưởng của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 3.1.1. Dao động cộng hưởng cưỡng bức của hệ Duffing cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số Xét dao động của hệ Duffing được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số sau            2 2 3 sin ,ppx t x t x t x t x t D x t E t            (3.1) Kết quả tính toán của hệ Duffing được trình bày trong công bố số 3. 3.1.2. Dao động cộng hưởng của hệ van der Pol cưỡng bức cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số Xét dao động cưỡng bức của hệ phi tuyến cấp ba van der Pol cưỡng bức được mô tả bởi phương trình vi phân 16               2 2 2 1 sin ,pp x t x t x t x t x t x t D x t E t                 (3.41) Kết quả tính toán của hệ phi tuyến cấp ba van der Pol cưỡng bức được trình bày trong công bố số 4. 3.2. Dao động cộng hưởng tham số của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 3.2.1. Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát Coulomb và cản nhớt theo luật đạo hàm cấp phân số 3.2.1.1. Thiết lập biểu thức nghiệm bằng phương pháp tiệm cận Xét dao động tham số của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba sau 2 2 3 3 0 sign cos 0 p px x x x k x hx h x D x cx t                (3.78) Trong đó 0, , , , , , ,pk h h c    là những hằng số. Giả thiết hệ có cộng hưởng  2 21 , 2          (3.79) Áp dụng phương pháp tiệm cận tương tự như phần 3.1, ta được biểu thức nghiệm của phương trình (3.78) có dạng cos 2 x a t         (3.114)         2 3 2 2 1 0 2 2 4 3 2 2 1 0 3 1 cos2 sin 2 8 4 2 1 2 cos sin 2 2 2 1 3 sin 2 4 42 1 2 cos2 cos sin 2 2 2 2 p p p p da ac k h a ac dt p p a h d ac a k h a dt a ac p p a h                                                                         17 3.2.1.2. Đường cong biên độ tần số 2 2 0 2 2 2 2 2 1 0 0 0 3 cos 4 2 3 4 sin 0 4 2 4 p p p p p ka p c ha h a                               (3.118) 3.2.1.3. Khảo sát ổn định của dao động dừng Ta có điều kiện ổn định của hệ  2 3 1 00 0 4 3 2 cos sin 0 2 2 p p hp p k h a a                   (3.127) 2 2 2 2 0 0 0 1 2 0 0 02 0 0 3 3 3 cos 2 4 2 4 4 3 4 sin 0 2 2 p p p p p ka ka ha p h ha h a a                                    (3.128) 3.2.1.4. Đồ thị đường cong biên độ tần số Chọn bộ tham số 1, 1, 1, 0.01, 0.5, 0.1,p p k          00.05, 0.0025, 0.05, 2 h h c        . Ta có đồ thị đường cong biên độ tần số (hình 3.16 – 3.20). Hình 3.16. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi 18 Hình 3.17. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi Hình 3.18. Đường cong biên độ tần số khi h0 thay đổi Đường nét liền biểu diễn các nghiệm ổn định, nét đứt biểu diễn các nghiệm không ổn định và miền gạch chéo là các miền không ổn định. Ta nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số đạo hàm cấp phân số đối với đường cong biên độ tần số. Nếu cấp phân số 0.5p  và cho hệ số p thay đổi, các đường cong biên độ tần số được biểu diễn trên hình 3.16. Nếu hệ số 0.01p  và cấp phân số p thay đổi, ta được các đường cong biên độ tần số trên hình 3.17. Ta cũng có được các đường cong biên độ tần số trên hình 3.18 với hệ số ma sát 0h thay đổi. Từ các đồ thị trên, ta nhận thấy rằng khi cấp phân số p và hệ số ma sát 0h tăng thì biên độ dao động giảm; hệ số p tăng thì biên độ dao động không tăng nhưng pha dao động thay đổi. Với mỗi một giá trị của  , ta có một phương trình vi phân dao động tương ứng. Áp dụng phương pháp số Runge – Kutta, ta tính toán dao động của hệ. Sau đó, xác định được các biên độ dao động của hệ trong giai đoạn dao động điều hòa tương ứng với từng giá trị của  . Trên hình 3.20, những chấm tròn là những nghiệm tìm được thông qua phương pháp số. Ta có thể thấy rằng có sự phù hợp tốt giữa các kết quả giải tích và kết quả số. 19 Hình 3.19. Đường cong biên độ tần số khi 0.01; 0.5p p   Hình 3.20. Đường cong biên độ tần số khi MPS 0.01; 0.5p p   3.2.2. Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát động và cản nhớt theo luật đạo hàm cấp phân số 3.2.2.1. Thiết lập biểu thức nghiệm bằng phương pháp tiệm cận Xét dao động tham số của hệ có ma sát động 2 2 3 3 2 2 sign cos 0 p px x x x k x hx h x x D x cx t                (3.130) Biểu thức nghiệm của phương trình (3.130) có dạng cos 2 x a t         (3.166) Trong đó         2 3 2 2 1 2 2 2 2 4 3 2 2 1 2 2 2 3 1 cos 2 sin 2 8 4 2 1 4 cos sin 2 2 2 3 1 3 sin 2 4 42 1 4 cos 2 cos sin 2 2 2 2 3 p p p p da ac k h a ac dt p p a h a d ac a k h a dt a ac p p a h a                                                                          20 3.2.2.2. Đường cong biên độ tần số Phương trình đường cong biên độ tần số 2 2 0 2 2 2 2 2 1 0 2 0 3 cos 4 2 3 8 sin 0 4 2 3 4 p p p p p ka p c ha h a                                (3.170) 3.2.2.3. Khảo sát ổn định của dao động dừng Ta có điều kiện ổn định của hệ  2 3 1 20 0 2 8 3 2 cos sin 0 2 2 p p p p k h a a h a                     (3.179) 2 2 2 2 0 0 0 1 2 2 0 0 2 3 3 3 cos 2 4 2 4 8 3 8 sin 0 2 3 2 3 p p p p p ka ka ha p h a ha h                                      (3.180) 3.2.2.4. Đồ thị đường cong biên độ tần số Chọn các số liệu 1, 1, 1, 0.01, 0.5, 0.1,p p k          20.01, 0.001, 0.05,, 2 h h c        . Ta có đồ thị đường cong biên độ tần số (hình 3.23 – 3.29). Khi hệ số p thay đổi, cấp phân số 0.5p  , các đường cong biên độ tần số được biểu diễn trên hình 3.23. Nếu hệ số 0.01p  và thay đổi cấp phân số p, ta được các đường cong biên độ tần số trên hình 3.24. Ta nhận thấy khi cấp phân số p tăng thì biên độ dao động giảm, khi hệ số của đạo hàm cấp phân số p tăng thì biên độ dao động không tăng nhưng pha dao động thay đổi. Hình 3.25 chỉ ra các đường cong biên độ tần số với các giá trị khác nhau của hệ số ma sát h2 và 0.01, 0.5p p   . Từ đồ thị trên, 21 cũng có thể thấy được ảnh hưởng quan trọng của hệ số ma sát đối với đường cong biên độ tần số. Khi hệ số ma sát h2 tăng thì biên độ dao động giảm. Hình 3.23. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi Hình 3.24. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi Hình 3.25. Đường cong biên độ tần số khi h2 thay đổi Trên hình 3.29, những chấm tròn là những nghiệm tìm được thông qua phương pháp số Runge – Kutta. Sự phù hợp giữa các kết quả giải tích và kết quả số có thể nhận thấy rõ ràng. 22 Hình 3.28. Đường cong biên độ tần số khi p = 0.01; p = 0.5; h2 = 0.1 Hình 3.29. Đường cong biên độ tần số kết hợp MPS khi p = 0.01; p = 0.5; h2 = 0.005 3.3. Kết luận chương 3 Chương 3 áp dụng phương pháp tiệm cận tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. Ưu điểm của phương pháp là tính đơn giản, đặc biệt trong việc tính toán các xấp xỉ bậc cao và khả năng ứng dụng vào một lớp lớn các bài toán phi tuyến yếu. Sử dụng các phương trình biên độ tần số, các đường cong biên độ tần số được vẽ thông qua phần mềm Matlab, ta có thể thấy rằng có sự phù hợp giữa nghiệm số và nghiệm giải tích. Đường cong biên độ tần số chỉ ra những ảnh hưởng quan trọng của đạo hàm cấp phân số đối với các hệ động lực được xem xét. Ảnh hưởng của các hệ số và cấp của đạo hàm cấp phân số đối với nghiệm cũng được minh hoạ thông qua các đường cong biên độ tần số. Do đó, hệ có thể được tối ưu hoá thông qua việc chọn các tham số cấp phân số phù hợp. 23 KẾT LUẬN CHUNG VÀ NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN 1. Kết luận chung Tích phân và đạo hàm cấp phân số là một lĩnh vực của toán học đang được quan tâm nghiên cứu. Về phương diện cơ học, một số mô hình vật liệu mới mà quan hệ ứng suất biến dạng được mô tả bằng đạo hàm cấp phân số và một số quy luật cản, bằng thực nghiệm, thấy cần phải mô tả bằng tích phân và đạo hàm cấp phân số. Do đó việc nghiên cứu dao động của các cơ hệ có đạo hàm cấp phân số là cần thiết và có ý nghĩa thực tế. Trong luận án này áp dụng khái niệm đạo hàm và tích phân cấp phân số nghiên cứu dao động của một số cơ hệ cấp ba có phần tử cấp phân số. Các phương pháp sử dụng trong luận án là phương pháp số và phương pháp tiệm cận. 2. Những đóng góp mới của luận án Một số kết quả mới đã đạt được như sau: 1. Dựa trên ý tưởng của phương pháp tích phân Newmark và định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Riemann – Liouville, một thuật toán số tính toán đáp ứng động lực của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số đã được phát triển. 2. Áp dụng phương pháp Runge – Kutta và định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Riemann – Liouville đã xây dựng một thuật toán tìm đáp ứng của hệ động lực cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. Phương pháp này có ưu điểm trong việc tính toán và lập trình trên phần mềm Matlab. 3. Áp dụng phương pháp tiệm cận tính toán dao động cộng hưởng của một số hệ phi tuyến yếu cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số: hệ Duffing, hệ van der Pol, hệ có ma sát 24 Coulomb và hệ có ma sát động. Nội dung mỗi phần: thiết lập biểu thức nghiệm bằng phương pháp tiệm cận, đường cong biên độ - tần số, khảo sát ổn định của dao động dừng, đồ thị đường cong biên độ - tần số. 4. Những kết quả số mô phỏng số dao động hệ phi tuyến yếu cấp ba đã cho biết ảnh hưởng của những tham số trong đạo hàm cấp phân số đối với tính ổn định, đường cong biên độ tần số của hệ. Một vài thí dụ: • Đạo hàm cấp phân số p tăng: biên độ dao động giảm. • Hệ số p của đạo hàm cấp phân số tăng: biên độ dao động giảm trong trường hợp hệ Duffing; trong trường hợp hệ van der Pol, hệ có ma sát Coulomb và hệ có ma sát động, biên độ dao động không giảm nhưng pha dao động thay đổi. • Qua sự phân tích ảnh hưởng của các tham số đạo hàm cấp phân số đối với tính ổn định, có thể thấy rằng: khi tần số lực kích động càng lớn và các tham số đạo hàm cấp phân số càng nhỏ thì tính ổn định của nghiệm dừng càng tốt. Kết quả này đóng một vai trò quan trọng trong việc điều khiển và tối ưu hoá các hệ động lực. 3. Một số vấn đề có thể tiếp tục mở rộng nghiên cứu - Nghiên cứu áp dụng phương pháp số và phương pháp tiệm cận tính toán dao động của các hệ kỹ thuật có sử dụng các vật liệu mới như silicon, cao su tổng hợp. - Nghiên cứu áp dụng phương pháp số và phương pháp tiệm cận nghiên cứu dao động đàn hồi có cản cấp phân số. DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ 1. Nguyen Van Khang, Bui Thi Thuy, Truong Quoc Chien (2016), “Resonance oscillation of third order forced van der Pol system with fractional order derivative”, ASME Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, Vol.11, Issue 4, pp. 0410301-0410305. 2. Nguyen Van Khang, Tran Dinh Son, Bui Thi Thuy (2012), “Numerical calculating linear vibrations of third order systems involving fractional operators”, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 34, No. 2, pp. 91 – 99. 3. Nguyen Van Khang, Bui Thi Thuy, Truong Quoc Chien (2016), “Calculating resonance oscillation of third order Duffing system with fractional order derivative using the asymptotic method”, Journal of Science & Technology, No.112 (2016), pp. 65 – 69. 4. Bui Thi Thuy, Nguyen Van Khang, Truong Quoc Chien (2016), “Nonlinear oscillations in third order autonomous Duffing system involving fractional order derivatives”, Proceedings of the 4th International Conference on Engineering Mechanics and Automation – ICEMA4, Hanoi 25-26/08/2016, pp. 165 - 171. 5. Bùi Thị Thuý (2015), “Tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp tiệm cận”, Tuyển tập Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, Đà Nẵng 03-05/08/2015, tr. 247 – 254.