[Tóm tắt] Luận án Tính điều khiển được của một số lớp phương trình parabolic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— VŨ MẠNH TỚI TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62 46 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Cung Thế Anh Phản biện 1: GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Thiệu Huy, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Phản biện 3: TS. Phạm Triều Dương, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi .... giờ .... ngày .... tháng .... năm ..... Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: Thư viện Quốc Gia, Hà Nội hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong khoảng hai thập kỉ gần đây, tính điều khiển được (bao gồm tính điều khiển được chính xác, tính điều khiển được về 0, tính điều khiển được xấp xỉ) đã được nghiên cứu đối với nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính và nửa tuyến tính. Bởi phương pháp duy nhất Hilbert (Hilbert Uniqueness Method (HUM)) đề xuất bởi J.-L. Lions (1988), tính điều khiển được của bài toán tuyến tính được qui về tính quan sát được của bài toán liên hợp tương ứng. Để thiết lập tính quan sát được của bài toán liên hợp tương ứng thông qua các bất đẳng thức quan sát, một trong những công cụ hiệu lực nhất là các ước lượng kiểu Carleman toàn cục. Còn tính điều khiển được của bài toán nửa tuyến tính được chứng minh bằng cách sử dụng tính điều khiển được của bài toán tuyến tính hóa tương ứng và phương pháp điểm bất động đề xuất lần đầu tiên bởi Zuazua (1991-1993) cho phương trình truyền sóng nửa tuyến tính một chiều. Một trong những lớp phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu nhiều là lớp phương trình tiến hóa kiểu parabolic, chứa đựng phương trình truyền nhiệt cổ điển, nhiều lớp phương trình parabolic xuất hiện trong hóa học, sinh học và trong cơ học chất lỏng. Nghiên cứu tính điều khiển được của các phương trình parabolic đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong khoảng hai thập niên gần đây. Sau những nghiên cứu tiên phong của Fursikov và Imanuvinov (1995,1996), Lebeau và Robbiano (1995) bằng công cụ ước lượng Carleman, đã có nhiều tiến bộ trong việc tìm hiểu về các tính chất điều khiển được của các phương trình parabolic không suy biến với các hệ số biến thiên. Các kết quả này cũng được mở rộng cho các bài toán parabolic nửa tuyến tính bởi Fabre et al. (1995), Fernández-Cara (1997), Zuazua (1997,1999), Fernández- Cara và Zuazua (2000), Doubova et al. (2002), Fernández-Cara 1 và Guerrero (2006). Các kết quả đạt được đều dựa trên công cụ chính là bất đẳng thức Carleman cho nghiệm của bài toán liên hợp tương ứng. Các bất đẳng thức Carleman được thiết lập khi này yêu cầu phần chính của phương trình là toán tử elliptic đều, miền bị chặn và không có thế vị kì dị. Bên cạnh đó, tính điều khiển được của các phương trình parabolic đều trong miền không bị chặn cũng đã được nghiên cứu bởi Cabanillas et al. (2001), Miller (2005), González-Burgos và Teresa (2007). Có thể nói ngày nay lí thuyết điều khiển được đối với các phương trình parabolic đều đã khá hoàn thiện trong cả trường hợp tuyến tính và nửa tuyến tính. Trong khoảng một thập kỉ trở lại đây, tính điều khiển được của phương trình parabolic suy biến, không có hoặc có thế vị kì dị, đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học. Những nghiên cứu này được thúc đẩy bởi nhiều bài toán vật lí khác nhau như mô hình tầng lớp biên Buchot và Raymond (2002), các mô hình di truyền quần thể cá, các mô hình khí hậu Bydyko-Sellers, . . . . Tuy nhiên, hầu hết các kết quả đạt được hiện tại chủ yếu trong trường hợp một chiều (xem Martinez et al. (2003), Cannarsa et al. (2005,2006,2008), Vancostenoble (2006,2011), Fotouhi và Salimi (2012) và các tài liệu trích dẫn trong đó), trong khi mới chỉ có rất ít kết quả điều khiển được trong trường hợp nhiều chiều, chủ yếu là trường hợp hai chiều đối với phương trình parabolic chứa toán tử div(A(x)∇u) bởi Cannarsa et al. (2016), phương trình parabolic chứa toán tử Grushin bởi Beauchard et al. (2014), phương trình Kolmogorov bởi Beauchard (2014), Rousseau và Moyano (2016), và một lớp phương trình suy biến nhiều chiều với số hạng đối lưu bởi Wang và Du (2010,2013,2014). Ngoài ra, các kết quả về tính điều khiển được của các phương trình suy biến/kì dị nửa tuyến tính vẫn còn rất ít. Đây đang là những vấn đề thời sự thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học. 2 2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Như đã đề cập đến trong phần Lí do chọn đề tài, việc nghiên cứu tính điều khiển được của các phương trình parabolic suy biến hoặc có thế vị kì dị trong trường hợp nhiều chiều hoặc trong trường hợp nửa tuyến tính đang là vấn đề thời sự hiện nay. Chúng tôi điểm qua một số kết quả tiêu biểu theo hướng nghiên cứu này: Một trong các lớp phương trình suy biến mà được nghiên cứu mạnh trong những năm gần đây là lớp phương trình chứa toán tử Grushin Gsu = ∆xu + |x|2s∆yu, s ≥ 0. Toán tử này được đưa ra đầu tiên bởi Grushin (1971). Chú ý rằng G0 = ∆ toán tử Laplace, và Gs khi s > 0, không là elliptic trong những miền có giao với mặt x = 0. Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình và hệ parabolic nửa tuyến tính chứa toán tử này đã được nghiên cứu gần đây trong cả trường hợp ôtônôm và không ôtônôm (xem C.T.Anh et al. (2008), C. T. Anh (2010), C.T.Anh và V.M.Toi (2012)). Tính điều khiển được của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin được nghiên cứu đầu tiên trong trường hợp hai chiều bởi Beauchard et al. (2014). Xem thêm kết quả gần đây bởi Beauchard et al. (2015). Tuy nhiên, tính điều khiển được của lớp phương trình này trong trường hợp nhiều chiều vẫn còn nhiều vấn đề mở. Một lớp phương trình parabolic rất được quan tâm khác là lớp phương trình parabolic chứa toán tử: A = −∆− µ/|x|2. Các kết quả về tính đặt đúng của bài toán cũng như dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình parabolic chứa tử A đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học (xem Baras và Goldstein (1984), Brezis và Vázquez (1997), Vázquez và Zuazua (2000), C.T.Anh và T.T.H. Yen (2011) và các tài liệu trích dẫn trong đó). Trong khi đó, tính điều khiển được của phương trình parabolic chứa toán tử này đã nhận được bởi Vancostenoble-Zuazua (2008) và Ervedoza (2008) cho trường hợp kì dị ở bên trong miền, và bởi Cazacu (2014) cho 3 trường hợp kì dị ở trên biên. Gần đây, trong trường hợp hai chiều, tính điều khiển được xấp xỉ cho phương trình parabolic chứa toán tử Grushin với thế vị kì dị µ/|x|2 đã được nghiên cứu bởi Morancey (2015) nhờ tính chất thác triển duy nhất của toán tử tương ứng. Hơn nữa, trong Cannarsa và Guglielmi (2014), các tác giả đã chứng minh tính điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển đủ lớn cho phương trình parabolic chứa toán tử Grushin với thế vị kì dị µ/|x|2 khi s = 1 và miền không gian là (0, 1)× (0, 1), tức là, với suy biến và kì dị ở trên biên. Như đã đề cập bởi Morancey (2015) hay bởi Cannarsa và Guglielmi (2014), tính điều khiển được về 0 là vấn đề hoàn toàn mở khi có suy biến và thế vị kì dị ở bên trong miền. Xét trường hợp toán tử parabolic suy biến và có thế vị kì dị: Pu = ut − (xux)x − λ x u, x ∈ (0, 1), α ≥ 0, (1) với các điều kiện biên tương ứng tùy thuộc vào α. Trong trường hợp toán tử (1) không có kì dị (β = 0), tính điều khiển được về 0 khi α ∈ [0, 2), (khi α ≥ 2, tính không điều khiển được về 0 được chứng minh bởi Cannarsa et al. (2004)), được chứng minh bởi Cannarsa et al. (2008) mà công cụ chính là đi thiết lập ước lượng Carleman dựa trên bất đẳng thức Hardy sau∫ 1 0 xu2xdx ≥ (1− α) 2 4 ∫ 1 0 u2 x2 dx, với mọi u ∈ C10 (0, 1). Các kết quả về tính điều khiển được của lớp phương trình parabolic một chiều tuyến tính/nửa tuyến tính suy biến không có thế vị kì dị đã được nghiên cứu bởi Martinez et al. (2003), Cannarsa et al. (2005,2006,2008), Martinez và Vancostenoble (2006). Trong trường hợp suy biến và có thế vị kì dị (toán tử cho bởi (1)), tính điều khiển được về 0 mới được Vancostenoble (2011) nghiên cứu cho trường hợp tuyến tính. Tính điều khiển được trong trường hợp nửa tuyến tính vẫn hoàn toàn mở. Từ những phân tích ở trên, chúng ta thấy rằng bên cạnh những kết quả đạt được, tính điều khiển được của các phương trình tiến 4 hóa kiểu parabolic suy biến hoặc có thế vị kì dị vẫn còn nhiều vấn đề mở. Nói riêng, những vấn đề mở mà chúng tôi quan tâm nghiên cứu trong luận án này bao gồm: • Tính điều khiển được của phương trình parabolic suy biến chứa toán tử Grushin trong trường hợp nhiều chiều. • Tính điều khiển được của phương trình parabolic suy biến chứa toán tử Grushin với thế vị kì dị kiểu Hardy µ/|x|2 trong trường hợp nhiều chiều. • Tính điều khiển được của phương trình parabolic một chiều suy biến với thế vị kì dị trong trường hợp nửa tuyến tính. 3. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Luận án tập trung nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin không có/có thế vị kì dị trong trường hợp nhiều chiều, phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến có thế vị kì dị. Cụ thể như sau: • Nội dung 1: Bài toán điều khiển được đối với phương trình parabolic chứa toán tử Grushin trong miền nhiều chiều. • Nội dung 2: Bài toán điều khiển được đối với phương trình parabolic chứa toán tử Grushin với thế vị kì dị kiểu Hardy trong miền nhiều chiều. • Nội dung 3: Bài toán điều khiển được đối với lớp phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến với thế vị kì dị. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU • Để nghiên cứu tính điều khiển được của bài toán tuyến tính, chúng tôi sử dụng phương pháp duy nhất Hilbert (HUM): Tính điều khiển được của bài toán tuyến tính được đưa về tính quan sát được của bài toán liên hợp tương ứng. Sử dụng khai triển Fourier và bởi đẳng thức Bessel-Parseval, vấn đề này được đưa về tính quan sát được đều theo tần số của hệ số Fourier. Bất đẳng thức quan sát được đều sẽ được thiết lập nhờ các bất đẳng thức Carleman mới và các đánh giá phù hợp của tốc độ tán xạ. 5 • Để nghiên cứu tính điều khiển được của bài toán nửa tuyến tính, chúng tôi sử dụng phương pháp điểm bất động đề xuất bởi Zuazua: Kết hợp tính điều khiển được của bài toán tuyến tính hóa tương ứng và các định lí điểm bất động phù hợp (trong luận án sử dụng định lí Schauder). 5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN Luận án đạt được những kết quả chính sau đây: • Đối với bài toán điều khiển cho phương trình parabolic chứa toán tử Grushin trong trường hợp nhiều chiều: Chứng minh được tính điều khiển được về 0 tại mọi thời điểm T > 0 khi s ∈ (0, 1) (suy biến yếu). Khi s = 1 (suy biến mạnh) ta chứng minh được tính điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển đủ lớn và tính không điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển quá nhỏ. Chứng minh được tính không điều khiển được về 0 khi s > 1 (suy biến quá mạnh). • Chứng minh được tính điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển đủ lớn của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin khi s = 1 với thế vị kì dị µ/|x|2 trong trường hợp nhiều chiều. • Chứng minh được tính điều khiển được về 0 của lớp phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến có thế vị kì dị. 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình đã công bố và danh mục Tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương: Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Chương 2 trình bày các kết quả tính điều khiển được về 0 của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin trong trường hợp hình hộp nhiều chiều. Chương 3 trình bày tính điều khiển được về 0 khi thời gian đủ lớn của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin khi s = 1 với thế vị kì dị kiểu Hardy bên trong miền trong trường hợp nhiều chiều. Chương 4 trình bày tính điều khiển được về 0 của một lớp phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến với thế vị kì dị. 6 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị, bao gồm: Các không gian hàm; lí thuyết điều khiển được cho các hệ tuyến tính trong không gian vô hạn chiều; một số bất đẳng thức thường dùng; và một số kết quả thường dùng. 1.1. MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM 1.1.1. Một số không gian hàm Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số không gian hàm cần dùng trong luận án như: Lp(Ω)(1 ≤ p ≤ +∞);H1(Ω);H10 (Ω),H2(Ω), với Ω là miền bị chặn trong RN . 1.1.2. Không gian hàm phụ thuộc thời gian Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số không gian hàm phụ thuộc thời gian cần dùng trong luận án như: C(0, T ;X);Lp(0, T ;X), với (1 ≤ p ≤ +∞); H1(0, T ;X), X là không gian Banach, T > 0. 1.2. LÍ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦAHỆ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU Trong mục này, chúng tôi trình bày về lí thuyết điều khiển được của hệ tuyến tính trong không gian vô hạn chiều. 1.2.1. Một số định nghĩa Trong mục này, chúng tôi trình bày một số định nghĩa điều khiển được hay dùng liên quan đến bài toán điều khiển trong không gian vô hạn chiều: điều khiển được chính xác; điều khiển được chính xác đến quỹ đạo; điều khiển được về 0; điều khiển được xấp xỉ. 7 1.2.2. Phương pháp duy nhất Hilbert (HUM) Trong mục này, chúng tôi trình bày phương pháp duy nhất Hilbert (HUM) mà được đưa ra đầu tiên bởi J.-L. Lions (1988) để đi nghiên cứu tính điều khiển được của hệ tuyến tính trong không gian vô hạn chiều. 1.3. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG 1.3.1. Một số bất đẳng thức kiểu Hardy Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bất đẳng thức kiểu Hardy cần sử dụng trong luận án: một số bất đẳng thức kiểu Hardy cho toán tử ∆ trong trường hợp nhiều chiều; Bất đẳng thức kiểu Hardy đối với toán tử Grushin; một số bất đẳng thức kiểu Hardy trong trường hợp một chiều. 1.3.2. Một số bất đẳng thức sơ cấp Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bất đẳng thức sơ cấp nhưng rất quan trọng và thường xuyên được sử dụng trong luận án: Bất đẳng thức Cauchy; Bất đẳng thức Young; Bất đẳng thức Ho¨lder; bất đẳng thức Gronwall. 1.4. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số số kết quả cần dùng đến trong luận án: Định lí điểm bất động Schauder trong không gian Banach; Bổ đề compact Aubin-Lions; Đẳng thức Bessel-Parseval; Công thức tọa độ cầu trong không gian RN , N ≥ 3. 8 Chương 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0 CỦA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CHỨA TOÁN TỬ GRUSHIN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin trong trường hợp hình hộp nhiều chiều. Đầu tiên, chúng tôi đặt bài toán và phát biểu kết quả chính của chương. Sau đó, chúng tôi đi chứng minh các kết quả bổ trợ bao gồm: tính đặt đúng của bài toán, khai triển Fourier, đánh giá tốc độ tán xạ, và đặc biệt là việc thiết lập bất đẳng thức Carleman mới. Tiếp theo, sử dụng phương pháp HUM, khai triển Fourier, các đánh giá về tốc độ tán xạ và bất đẳng thức Carleman mới vừa thiết lập, việc chứng minh tính điều khiển được đưa về tính quan sát được đều đối với tần số của hệ số Fourier của hệ liên hợp sau khi đã biến đổi Fourier. Tính không điều khiển được về 0 trong trường hợp suy biến quá mạnh được chứng minh trong phần cuối của chương. Nội dung của chương này dựa trên bài báo [1] trong Danh mục công trình đã công bố của chúng tôi. 2.1. ĐẶT BÀI TOÁN VÀ PHÁT BIỂU KẾT QUẢ CHÍNH Ta nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của phương trình parabolic tuyến tính chứa toán tử Grushin sau: ut −∆xu− |x|2s∆yu = v(x, y, t)1!, (x, y, t) ∈ Ω× (0, T ), u = 0, (x, y, t) ∈ ∂Ω× (0, T ), u(x, y, 0) = u0(x, y), (x, y) ∈ Ω, (2.1) ở đó Ω := Ω1 × (0, 1)N2 , Ω1 = (−1, 1)N1 ⊂ RN1 , hàm điều khiển v(·, ·, t) có giá nằm trong miền ω là miền con mở khác rỗng của Ω và s > 0. Ta nói rằng (2.1) là điều khiển được về 0 (tại thời điểm T ) nếu với mỗi u0 ∈ L2(Ω) cho trước, tồn tại điều khiển v ∈ L2(ω × 9 (0, T )) sao cho (2.1) có nghiệm u(x, y, t) thỏa mãn u(·, ·, T ) = 0. Mục tiêu của chương này là chứng minh kết quả sau. Định lí 2.1. Cho ω = ω1 × (0, 1)N2 là miền con mở khác rỗng của (0, 1)N1 × (0, 1)N2 . 1) Nếu s ∈ (0, 1), thì bài toán (2.1) là điều khiển được về 0 tại mọi thời điểm T > 0. 2) Nếu s = 1, tồn tại hai thời điểm T1 > T2 > 0 sao cho • với mọi T > T1 bài toán (2.1) là điều khiển được về 0 tại mọi thời điểm T , • với mọi T < T2 và với ω = (a, b)N1 × (0, 1)N2 , trong đó√ (N1 − 1)/N1 < a < b ≤ 1, bài toán (2.1) không điều khiển được về 0 tại thời điểm T . • Nếu s > 1 và ω = (a, b)N1×(0, 1)N2 , trong đó√(N1 − 1)/N1 < a < b ≤ 1, thì bài toán (2.1) không điều khiển được về 0 tại mọi thời điểm T > 0. 2.2. MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 2.2.1. Tính đặt đúng của bài toán Với S10(Ω) là bao đóng của C ∞ 0 (Ω) trong chuẩn ∥u∥S10(Ω) = (∫ Ω (|∇xu|2 + |x|2s|∇yu|2) dxdy)1=2 . Khi đó S10(Ω) là không gian Hilbert và hơn nữa phép nhúng S10(Ω) ,→ L2(Ω) là compact (xem chi tiết trong N.T.C. Thuy và N.M. Tri (2002)). Sử dụng phương pháp Galerkin, ta có kết quả tính đặt đúng: Định lí 2.2. Với mọi u0 ∈ L2(Ω) và v ∈ L2(ω×(0, T )) cho trước, bài toán (2.1) có duy nhất một nghiệm yếu u thỏa mãn ∥u∥2C([0;T ];L2(Ω))+∥u∥2L2(0;T ;S10(Ω)) ≤ C(∥u0∥ 2 L2(Ω)+∥v∥2L2(!×(0;T ))), ở đó C là hằng số dương không phụ thuộc vào u0 và v. 10 2.2.2. Khai triển Fourier Bởi Định lí 2.2, (2.1) có nghiệm u ∈ C([0, T ];L2(Ω)). Theo Định lí 9B.1 trong M. Pivato (2010), ta có thể khai triển Fourier u(x, y, t) theo y bởi: u(x, y, t) = ∑ u(x, t)φ(y), (2.2) trong đó α = (α1, α2, . . . , αN2) ∈ (N∗)N2 , φ(y) = 2 N2=2 sin(πα1y1) sin(πα2y2) · · · sin(παN2yN2), và u(x, t) = ∫ (0;1)N2 u(x, y, t)φ(y)dy. Thay (2.2) vào (2.1), ta nhận được mệnh đề. Mệnh đề 2.1. Với mọi α = (α1, α2, . . . , αN2) ∈ (N∗)N2 , thì u(x, t) là nghiệm yếu của bài toán ∂u ∂t −∆xu + (|α|π)2|x|2su = v1! trong Ω1 × (0, T ), u = 0 trên ∂Ω1 × (0, T ), u(x, 0) = u0;(x) trong Ω1, (2.3) với u0;(x) = ∫ Ω2 u0(x, y)φ(y)dy; v(x, t) = ∫ Ω2 v(x, y, t)φ(y)dy. 2.2.3. Tốc độ tán xạ Ta xét toán tử G;s, với mọi α ∈ (N∗)N2 , s > 0, được xác định bởi G;sφ := −∆xφ+ (|α|π)2|x|2sφ. Giá trị riêng nhỏ nhất của G;s được xác định bởi λ;s := min {∫ Ω1 (|∇xφ|2 + (|α|π)2|x|2s|φ|2)dx∫ Ω1 |φ|2dx | φ ∈ H 1 0 (Ω1) \ {0} } . Mệnh đề 2.2. Với mọi s > 0, tồn tại c∗ = c∗(s) > 0 và c∗ = c∗(s) > 0 sao cho c∗|α| 21+s ≤ λ;s ≤ c∗|α| 21+s ∀α ∈ (N∗)N2 . (2.4) 11 2.2.4. Bất đẳng thức Carleman Với s ∈ (0, 1], T > 0 và với mọi wT ∈ L2(Ω1) cho trước, ta đi thiết lập bất đẳng thức Carleman cho nghiệm w = w(x, t) của bài toán: ∂w ∂t +∆xw − (|α|π)2|x|2sw = 0 trong Ω1 × (0, T ), w = 0, trên ∂Ω1 × (0, T ), w(x, T ) = wT , trong Ω1. (2.5) Lấy ω′1 sao cho ω′1 ⊂ ω1 ⊂ Ω1. Để thiết lập bất đẳng thức Carle- man, ta xét hàm trọng σ(x, t) := Mβ(x) t(T − t) , (x, t) ∈ R N1× (0, T ), ở đó β thỏa mãn β ≥ 1 trong Ω1, |∇β| > 0 trong Ω1 \ ω′1, ∂nβ := −→n · ∇β > 0 trên ∂Ω1, và • nếu s ∈ [1/2; 1] thì β ∈ C4(RN1 ;R+) và D2β(ξ, ξ) < 0 trong Ω1 \ ω′1 với mọi 0 ̸= ξ ∈ RN1 , • nếu s ∈ (0, 1/2) thì β là hàm xác định trong Ω1, mà trơn lớp C4 trong Ω1 \ {0}, nhưng D2β(∇β,∇β) kì dị tại 0 và D2β(ξ, ξ) < 0 trong Ω1 \ (ω′1 ∪ {0}) với mọi 0 ̸= ξ ∈ RN1 . Hơn nữa, β có dạng β(x) = C0− N1∑ i=1 ∫ xi 0 √ sign(si)|si|2s + Cidsi với mọi |x| < ε, trong đó C0; Ci, i = 1, ..., N1 là các hằng số đủ lớn sao cho β ≥ 1 và βxi < 0 trong |x| < ε tương ứng. Ở đây, −→n là vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài của biên. Ta thiết lập được bất đẳng thức Carleman sau. 12 Mệnh đề 2.3. (Bất đẳng thức Carleman). Với s ∈ (0, 1], T > 0 và với mọi wT ∈ L2(Ω1) cho trước. Cho w = w(x, t) là nghiệm của bài toán (2.5). Khi đó tồn tại các hằng số dương K1 = K1(β), λ0 = λ0(β) và K2 = K2(β) sao cho∫ T 0 ∫ Ω1 M3|w|2e20 (t(T − t))3 dxdt ≤ K2 ∫ T 0 ∫ !′1 ( M3|w|2e20 (t(T − t))3 + M |∇xw|2 t(T − t) e 20 ) dxdt, (2.6) ở đó M = M(T, β, |α|) := K1max { T + T 2; |α|T 2}. 2.3. CHỨNG MINH KẾT QUẢ CHÍNH 2.3.1. Lược đồ chứng minh Định lí 2.1 Bởi phương pháp HUM, tính điều khiển được về 0 của bài toán (2.1) tương đương với tính quan sát được cho bài toán liên hợp wt +∆xw + |x|2s∆yw = 0, (x, y, t) ∈ Ω× (0, T ), w = 0, (x, y, t),∈ ∂Ω× (0, T ), w(x, y, T ) = wT (x, y), (x, y) ∈ Ω. (2.7) Định nghĩa 2.1. Bài toán (2.7) là quan sát được trong ω tại thời điểm T nếu tồn tại C > 0, sao cho với mọi wT ∈ L2(Ω), nghiệm w của (2.7) thỏa mãn ∥w(., ., 0)∥2L2(Ω) ≤ C ∫ T 0 ∫ ! |w(x, y, t)|2dxdydt. Với w là nghiệm của (2.7). Khi đó, như trong (2.2), ta có w(x, y, t) = ∑ w(x, t)φ(y), α = (α1, α2, . . . , αN2) ∈ (N∗)N2 , φ(y) = 2 N2=2 sin(πα1y1) sin(πα2y2) · · · sin(παN2yN2), và w(x, t) = ∫ (0;1)N2 w(x, y, t)φ(y)dy. 13 Khi đó w(x, t) là nghiệm của bài toán sau (liên hợp của (2.3)): ∂w ∂t +∆xw − (|α|π)2|x|2sw = 0, (x, t) ∈ Ω1 × (0, T ), w = 0, (x, t) ∈ ∂Ω1 × (0, T ), w(x, T ) = wT;(x), x ∈ Ω1. (2.8) Định nghĩa 2.2. (Tính quan sát được đều). Với ω1 là tập mở của (0, 1)N1 . Bài toán (2.8) là quan sát được trong ω1 đều theo α ∈ (N∗)N2 nếu tồn tại C > 0 (không phụ thuộc vào α), sao cho với mọi α ∈ (N∗)N2 và wT; ∈ L2(Ω1), nghiệm của (2.8) thỏa mãn∫ Ω1 |w(x, 0)|2dx ≤ C ∫ T 0 ∫ !1 |w(x, t)|2dxdt. 2.3.2. Bất đẳng thức quan sát được Định lí 2.3. Cho ω1 miền con bất kì của (0, 1)N1 . 1) Nếu s ∈ (0, 1), thì bài toán (2.8) quan sát được trong ω1 đều theo α ∈ (N∗)N2 . 2) Nếu s = 1, thì tồn tại T1 > 0 sao cho với mọi T > T1, bài toán (2.8) quan sát được trong ω1 đều theo α ∈ (N∗)N2 . Chứng minh dựa trên bất đẳng thức Carleman (2.6) và chặn dưới của tốc độ tán xạ (2.4). 2.3.3. Chứng minh tính không điều khiển được trong Định lí 2.1 Định lí 2.4. Cho ω1 = (a, b)N1 , ở đó √ (N1 − 1)/N1 < a < b ≤ 1. • Nếu s = 1 thì tồn tại T2 > 0, (T2 < T1) sao cho với mọi T < T2, bài toán (2.8) không quan sát được trong ω1 đều theo α; • Nếu s > 1, thì với mọi T > 0, bài toán (2.8) không quan sát được trong ω1 đều theo α. Chứng minh của định lí này bằng cách chọn hàm thử và sử dụng chặn trên của tốc độ tán xạ (2.4) mà sao cho tính quan sát được đều không xảy ra. 14 Chương 3 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0 KHI THỜI GIAN ĐỦ LỚN CỦA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CHỨA TOÁN TỬ GRUSHIN VỚI THẾ VỊ KÌ DỊ Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin với thế vị kì dị ở bên trong miền trong trường hợp nhiều chiều. Đầu tiên chúng tôi đặt bài toán và phát biểu kết quả chính của chương. Trong phần tiếp theo, sử dụng phương pháp HUM, chúng tôi chứng minh kết quả chính bằng cách chứng minh rằng hệ liên hợp tương ứng là quan sát được. Để chứng minh tính quan sát được ta đi chứng minh tính quan sát được đều đối với tần số của hệ số Fourier mà dựa trên bất đẳng thức Carleman mới và tốc độc tán xạ của hệ số Fourier. Chứng minh bất đẳng thức Carleman được đưa ra trong phần cuối của chương. Nội dung của chương này dựa trên bài báo [3] trong Danh mục công trình đã công bố của chúng tôi. 3.1. ĐẶT BÀI TOÁN VÀ PHÁT BIỂU KẾT QUẢ CHÍNH Cho Ω = Ω1 × Ω2 ⊂ RN1 × RN2 , N1 ≥ 3, N2 ≥ 1, là miền bị chặn với 0RN1 ∈ Ω1 và ∂Ω1 đủ trơn. Ta nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của bài toán điều khiển sau: ut −∆xu− |x|2s∆yu− µ|x|2 u = v1!, (x, y, t) ∈ Ω× (0, T ), u = 0, (x, y, t) ∈ ∂Ω× (0, T ), u(0) = u0, (x, y) ∈ Ω, (3.1) trong đó 1! là hàm đặc trưng của tập con mở khác rỗng ω của Ω, và µ ≤ µ∗ = µ∗(N1) với µ∗(N1) = (N1 − 2)2/4 là hằng số tốt nhất nhất trong bất đẳng thức Hardy cho toán tử Grushin (xem Định lí 3.3 trong L. Ambrosio (2004)). 15 Ta nói rằng bài toán (3.1) là điều khiển được về 0 tại thời điểm T nếu với mọi u0 ∈ L2(Ω) cho trước, tồn tại hàm điều khiển v ∈ L2(ω× (0, T )) sao cho bài toán (3.1) có nghiệm u(x, y, t) thỏa mãn u(·, ·, T ) = 0. Mục tiêu của chương này là chứng minh kết quả sau. Định lí 3.1. Với ω = ω1 × Ω2 là tập con mở của Ω sao cho 0RN1 /∈ ω1. Nếu µ 0 sao cho bài toán (3.1) điều khiển được về 0 tại mọi thời điểm T > T ∗. Để nghiên cứu bài toán (3.1), ta sử dụng không gian hàm S1;0(Ω) được định nghĩa là bao đóng của C ∞ 0 (Ω) theo chuẩn ∥u∥S1;0(Ω) = (∫ Ω (|∇xu|2 + |x|2s|∇yu|2 − µ|x|2u2)dxdy)1=2. Bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin hoặc phương pháp nửa nhóm, ta có sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của (3.1) thỏa mãn u ∈ C([0, T ];L2(Ω)) ∩ L2(0, T ;S1;0(Ω)). 3.2. CHỨNG MINH KẾT QUẢ CHÍNH 3.2.1. Khai triển Fourier và tốc độ tán xạ Với (γn)n∈N∗ là dãy không giảm các giá trị riêng của toán tử −∆y trong H2(Ω2)∩H10 (Ω2) và các hàm riêng tương ứng (φn(y))n∈N∗ , tức là, −∆yφn(y) = γnφn(y), y ∈ Ω2,φn(y) = 0, y ∈ ∂Ω2. Với mọi nghiệm yếu u(x, y, t) của (3.1) và điều khiển v(x, y, t), đặt un(x, t) = ∫ Ω2 u(x, y, t)φn(y)dy, vn(x, t) = ∫ Ω2 v(x, y, t)φn(y)dy, (3.2) thì khi đó thế (3.2) vào trong (3.1), ta nhận được kết quả sau: 16 Mệnh đề 3.1. Với u0 ∈ L2(Ω) cho trước và với u là nghiệm yếu duy nhất tương ứng của (3.1) với µ ≤ µ∗ và s = 1, thì với mọi n ∈ N∗, hàm un(x, t) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán ∂un ∂t −∆xun + γn|x|2un − µ|x|2 un = vn1!1(x) trong Ω1 × (0, T ), un = 0 trên ∂Ω1 × (0, T ), un(x, 0) = u0;n(x) trong Ω1, (3.3) trong đó u0;n(x) = ∫ Ω2 u0(x, y)φn(y)dy. Ta biết rằng giá trị riêng nhỏ nhất của −∆φ(x)+γn|x|2φ(x)− µ |x|2φ(x) trong H 2(Ω1) ∩H10 (Ω1) được cho bởi λn; := min  ∫ Ω1 ( |∇φ(x)|2 + ( γn|x|2 − µ|x|2 ) |φ|2 ) dx∫ Ω1 |φ|2dx  φ ∈ H10 (Ω1) \ {0}  . Mệnh đề 3.2. Với mọi N1 ≥ 3 và µ 0 và C∗ = C∗(µ) > 0 sao cho C∗ √ γn ≤ λn; ≤ C∗√γn ∀n ∈ N∗. (3.4) 3.2.2. Tính quan sát được đều của bài toán liên hợp Bởi phương pháp HUM, tính điều khiển được của bài toán (3.1) tương đương tính quan sát được của bài toán liên hợp của (3.1). wt +∆xw + |x|2∆yw + µ|x|2w = 0, (x, y, t) ∈ Ω× (0, T ), w = 0, (x, y, t) ∈ ∂Ω× (0, T ), w(x, y, T ) = wT (x, y), (x, y) ∈ Ω. (3.5) Ta nói rằng bài toán liên hợp (3.5) quan sát được trong ω tại thời điểm T nếu tồn tại C > 0 sao cho với mọi wT ∈ L2(Ω), nghiệm w của (3.5) thỏa mãn: ∥w(·, ·, 0)∥2L2(Ω) ≤ C ∫∫ !×(0;T ) |w(x, y, t)|2dxdydt. 17 Sử dụng (3.2), ta có được bài toán liên hợp của (3.3) như sau ∂twn +∆xwn − γn|x|2wn + µ|x|2wn = 0, (x, t) ∈ Ω1 × (0, T ), wn = 0, (x, t) ∈ ∂Ω1 × (0, T ), wn(x, T ) = wT;n(x), x ∈ Ω1, (3.6) với wn(x, t) = ∫ Ω2 w(x, y, t)φn(y)dy; wT;n(x) = ∫ Ω2 wT (x, y)φn(y)dy. Do vậy, bởi đẳng thức Bessel-Parseval, để chứng minh tính quan sát được của bài toán (3.5), ta chỉ cần chứng minh bài toán liên hợp (3.6) quan sát được trong ω1 đều theo n ∈ N∗, tức là, với mọi ω1 ⊂ Ω1, tồn tại C > 0 (không phụ thuộc vào n) sao cho với mọi n ∈ N∗ và wT;n ∈ L2(Ω1), nghiệm wn của (3.6) thỏa mãn ∥wn(·, 0)∥2L2(Ω1) ≤ C ∫∫ !1×(0;T ) |wn(x, t)|2dxdt. Định lí 3.2. Với ω1 ⊂ Ω1 sao cho 0RN1 /∈ ω1 và µ < µ∗. Khi đó tồn tại T ∗ > 0 sao cho với mọi T > T ∗, bài toán (3.6) quan sát được trong ω1 đều theo n ∈ N∗. Chứng minh dựa trên ước lượng Carleman cho nghiệm của (3.6) (Định lí 3.3 dưới đây) và tốc độ tán xạ (xem (3.4)). Ta xét hàm trọng sau như trong S. Ervedoza (2008): σ(x, t) = ( e2 sup − 1 2 |x|2 − e (x) ) (t(T − t))3 := β(x) (t(T − t))3 , trong đó λ là tham số dương được chọn đủ lớn, và ψ là hàm trơn thỏa mãn  ψ(x) = ln(|x|), x ∈ B1(0), ψ(x) = 0, x ∈ ∂Ω1, ψ(x) > 0, x ∈ Ω1 \B1(0), và tồn tại tập mở ω˜1 thỏa mãn ω˜1 ⊂ ω1 và m∗ > 0 sao cho |∇ψ(x)| ≥ m∗, x ∈ Ω1 \ ω˜1. (3.7) 18 Bất đẳng thức Carleman sau được chứng minh trong Mục 3.3. Định lí 3.3. Cho ω1 ⊂ Ω1 sao cho 0RN1 /∈ ω1. Nếu µ ≤ µ, thì tồn tại hằng số dương λ0 sao cho với mọi λ ≥ λ0, tồn tại K1 = K1(λ, β) và K2 = K2(λ, β) sao cho với mọi w ∈ C([0, T ];L2(Ω1))∩L2(0, T ;H10 (Ω1)), ta có bất đẳng thức K1 [ ∫∫ Ω1\B1(0)×(0;T ) e −2M M (t(T − t))3 |∇w|2dxdt + ∫∫ Ω1×(0;T ) e −2M M (t(T − t))3 |w|2 |x| dxdt + ∫∫ B1(0)×(0;T ) e −2M M3|x|2 (t(T − t))9 |w|2dxdt + ∫∫ Ω1\B1(0)×(0;T ) e −2M M3 (t(T − t))9 |w|2dxdt ] ≤ ∫∫ !1×(0;T ) e −2M M3 (t(T − t))9 |w|2dxdt + ∫∫ Ω1×(0;T ) |e−MGn;w|2dxdt: (3.8) Ở đây, M =M(λ, T, γn, β) = K2max{T 3 + T 4 + T 5 + T 6;√γnT 6}, và Gn;w = wt +∆w − γn|x|2w + µ|x|2w. 3.3. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CARLEMAN 3.3.1. Một số tính chất của hàm trọng Trong mục này chúng tôi chứng chứng minh một số tính chất của hàm trọng mà cần cho chứng minh Định lí 3.3, (Mệnh đề 3.3 trong luận án). 3.3.2. Chứng minh Định lí 3.3 Ta sẽ theo các bước chứng minh trong S. Ervedoza (2008) và xét thế vị γn|x|2 trong phần chính của toán tử để chỉ rõ sự phụ thuộc vào γn. Để chứng minh bất đẳng thức Carleman, ta cần đến bất đẳng Hardy cải tiến sau mà được suy ra từ Hệ quả 3, Mục 2.1.6 trong V. G. Maz’ja (1985). Bổ đề 3.1. Với miền bị chặn bất kì Ω1 của RN1 , tồn tại hằng số C0 > 0 sao cho∫ Ω1 |∇z|2dx− µ∗(N1) ∫ Ω1 |z|2 |x|2 dx ≥ C0 ∫ Ω1 |z|2 |x| dx, ∀z ∈ H 1 0 (Ω1). 19 Chương 4 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0 CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC MỘT CHIỀU NỬA TUYẾN TÍNH SUY BIẾN VỚI THẾ VỊ KÌ DỊ Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của một lớp phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến với thế vị kì dị bằng cách sử dụng định lí điểm bất động Schauder và phương pháp HUM mà ở đó chúng tôi sử dụng bất đẳng thức Carleman đã được thiết lập bởi Vancostenoble (2011). Nội dung của chương này dựa trên bài báo [2] trong Danh mục công trình đã công bố của chúng tôi. 4.1. ĐẶT BÀI TOÁN Đặt QT = (0, T )× (0, 1). Ta xét bài toán nửa tuyến tính sau: ut − (xux)x − λ x u+ f(x, t, u) = 1!h, (x, t) ∈ QT , u(0, t) = u(1, t) = 0, t ∈ (0, T ), u(0, x) = u0, x ∈ (0, 1), (4.1) ở đó u0 ∈ L2(0, 1), h ∈ L2(ω × (0, T )), 0 ≤ α < 1, và ̸= ω ⊂ (0, 1). Ở đây, 1! là hàm đặc trưng của ω và giả thiết rằng hàm f : QT × R → R là hàm liên tục theo cả ba biến, khả vi liên tục theo biến thứ ba và thỏa mãn f(x, t, 0) = 0. Hơn nữa giả sử tồn tại hằng số dương L > 0 sao cho với mọi (x, t) ∈ QT , |f(x, t, u)− f(x, t, v)| ≤ L|u− v| ∀u, v ∈ R. (4.2) Ta đặt λ(α) = (1−α)2/4 và xét toán tử Au = (xux)x+ λ x u với thế vị dưới tới hạnα ∈ [0, 1), 0 < β < 2− α, λ ∈ R,α ∈ [0, 1), β = 2− α, λ < λ(α). (4.3) 20 4.2. TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN 4.2.1. Không gian hàm và toán tử Với thế vị dưới tới hạn, tức là khi (4.3) thỏa mãn, miền xác định của toán tử A được xác định bởi D(A) := { u ∈ H1;0(0, 1)∩H2loc((0, 1]) | (xux)x+ λ x u ∈ L2(0, 1) } , trong đó H1;0(0, 1) := { u : [0, 1]→ R | u liên tục tuyệt đối trong [0, 1], √ xux ∈ L2(0, 1) và u(0) = u(1) = 0 } . Khi đó H1;0(0, 1) là không gian Banach với chuẩn ∥u∥H1;0 = ( ∫ 1 0 xu2xdx )1=2 . Ta có kết quả sau (xem, chẳng hạn, Định lí 6.1-6.4 trong Alabau- Boussouira-Cannarsa-Fragnelli (2006)). Bổ đề 4.1. Ta có các phép nhúng sau là compact: (i) H1;0(0, 1) ,→ L2(0, 1); (ii) D(A) ,→ H1;0(0, 1); (iii) H1(0, T ;L2(0, 1)) ∩ L2(0, T ;D(A)) ,→ C([0, T ];L2(0, 1)) ∩ L2(0, T ;H1;0(0, 1)). 4.2.2. Tính đặt đúng của bài toán Định lí 4.1. Giả sử rằng (4.3) và (4.2) thỏa mãn, và u0 ∈ L2(0, 1), T > 0 cho trước. Khi đó bài toán (4.1) có duy nhất nghiệm yếu u thỏa mãn u ∈ C([0, T ];L2(0, 1)) ∩ L2(0, T ;H1;0(0, 1)) ∩H1(0, T ;H−1;0(0, 1)), 21 trong đó H−1;0(0, 1) là không gian đối ngẫu của H 1 ;0(0, 1). Hơn nữa ta có đánh giá: ∥u∥2L2(0;T ;H1;0(0;1)) + ∥u∥ 2 C([0;T ];L2(0;1)) ≤ exp(C(η, α, λ, β)(1+T )(1+L)) ( ∥u0∥2L2(0;1) + ∥h∥2L2(!×(0;T )) ) , với hằng số dương C(η, α, λ, β) không phụ thuộc u0, T, L và h. Nếu u0 ∈ H1;0(0, 1), thì bài toán (4.1) có duy nhất nghiệm thỏa mãn u ∈ H1(0, T ;L2(0, 1)) ∩ L2(0, T ;D(A)) ∩ C([0, T ];H1;0(0, 1)). Hơn nữa ta có đánh giá ∥u∥2L2(0;T ;D(A)) + ∥u∥2L∞(0;T ;H1;0(0;1)) + ∥u∥ 2 H1(0;T ;L2(0;1)) ≤ exp(eC(η, α, λ, β)(1+L)(1+T ))(∥u0∥2H1;0 + ∥h∥2L2(!×(0;T ))) , với hằng số dương eC(η, α, λ, β) không phụ thuộc vào u0, T, L và h. Định lí 4.1 được chứng minh theo phương pháp compact. 4.3. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0 4.3.1. Tính điều khiển được về 0 của bài toán tuyến tính hóa Ta xét bài toán tuyến tính tương ứng với bài toán (4.1): ut − (xux)x − λ x u+ c(x, t)u = 1!h, (x, t) ∈ QT , u(0, t) = u(1, t) = 0, t ∈ (0, T ), u(0, x) = u0, x ∈ (0, 1), (4.4) trong đó c(x, t) ∈ L∞(QT ), h ∈ L2(ω × (0, T )). Sử dụng bất đẳng thức Carleman bởi J. Vancostenoble (2011) và theo phương pháp HUM, ta chứng minh được tính điều khiển được về 0 của (4.4). 22 Định lí 4.2. Với giả thiết (4.3) và c(x, t) ∈ L1(QT ), khi đó với mọi T > 0 và mỗi u0 ∈ L2(0, 1) cho trước, tồn tại h ∈ L2(ω × (0, T )) sao cho nghiệm u của (4.4) thỏa mãn u(·, T ) = 0, tức là, bài toán (4.4) điều khiển được về 0. Hơn nữa∫ T 0 ∫ ! h2dxdt ≤ CT ∫ 1 0 u20dx, (4.5) với CT = exp { C ( 1 + T + T 2k1 + 1 T + (1 + T )∥c∥1 + ∥c∥21 )} , ở đó hằng số dương C = C(2 − α, λ, β, γ, ω) và không phụ thuộc vào ∥c∥1, u0 và T . 4.3.2. Tính điều khiển được về 0 của bài toán nửa tuyến tính Định lí sau chứng minh bằng cách sử dụng Định lí 4.2 và định lí điểm bất động Schauder. Định lí 4.3. Giả sử T > 0 và u0 ∈ H1;0(0, 1) cho trước. Với các giả thiết (4.2) và (4.3), bài toán (4.1) điều khiển được về 0, tức là tồn tại điều khiển h ∈ L2(ω × (0, T )) sao cho bài toán (4.1) có nghiệm u thỏa mãn u(·, T ) = 0. Hơn nữa, hàm điều khiển thỏa mãn∫ T 0 ∫ ! h2dxdt ≤ CT ∫ 1 0 u20dx, (4.6) với hằng số CT = exp { C ( 1 + T + T 2k1 + 1 T + (1 + T )L+ L2 )} , ở đó C = C(α, λ, β, γ, ω) và không phụ thuộc vào L, u0 và T . Sử dụng tính trơn của nghiệm và Định lí 4.3, ta có kết quả chính của chương. Định lí 4.4. Giả sử T > 0 và u0 ∈ L2(0, 1) cho trước. Với các giả thiết (4.2) và (4.3), bài toán (4.1) điều khiển được về 0, tức là tồn tại h ∈ L2(ω × (0, T )) sao cho bài toán (4.1) có nghiệm u thỏa mãn u(·, T ) = 0. Hơn nữa, hàm điều khiển thỏa mãn∫ T 0 ∫ ! h2dxdt ≤ CT ∫ 1 0 u20dx, (4.7) với CT có dạng như trong Định lí 4.3. 23 KẾT LUẬN 1. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Trong luận án này, chúng tôi đã nghiên cứu tính điều khiển được của lớp phương trình parabolic chứa toán tử Grushin không có/có thế vị kì dị trong trường hợp nhiều chiều và lớp phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến có thế vị kì dị. Các kết quả chính đạt được là: • Đối với bài toán điều khiển của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin trong trường hợp hình hộp nhiều chiều: Chứng minh được tính điều khiển được về 0 tại mọi thời điểm T > 0 khi s ∈ (0, 1) (suy biến yếu). Khi s = 1 (suy biến mạnh) ta chứng minh được tính điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển đủ lớn và tính không điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển quá nhỏ. Chứng minh được tính không điều khiển được về 0 khi s > 1 (suy biến quá mạnh). • Chứng minh được tính điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển đủ lớn của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin khi s = 1 với thế vị kì dị µ/|x|2 trong trường hợp nhiều chiều. • Chứng minh được tính điều khiển được về 0 của một lớp phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến có thế vị kì dị. 2. KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Bên cạnh các kết quả đã đạt được trong luận án, một số vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu như: • Nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin với thế vị kì dị khi s ∈ (0, 1). • Nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của lớp phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến có thế vị kì dị trong trường hợp tới hạn. • Nghiên cứu tính điều khiển được của phương trình parabolic suy biến/kì dị khi điều khiển nằm trên biên (bài toán điều khiển biên). Đây là vấn đề rất khó, ngay cả trong trường hợp một chiều. 24 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 1. C. T. Anh and V. M. Toi (2013), Null controllability of a parabolic equation involving the Grushin operator in some multi-dimensional domains, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applica- tions, Vol. 93, 181-196. (ISI) 2. C. T. Anh and V. M. Toi (2015), Null controllability for semilin- ear degenerate/singular parabolic equations, Fixed Point The- ory, Vol. 16, 15-30. (ISI) 3. C. T. Anh and V. M. Toi (2016), Null controllability in large time of a parabolic equation involving the Grushin operator with an inverse-square potential, Nonlinear Differential Equations and Applications, Vol. 23, no. 2, 23:20. (ISI) Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại: • Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ VIII, Nha Trang, 08/2013; • Hội thảo quốc tế "On Equilibrium and Fixed Point Problems Theory and Algorithms", Viện NCCC về Toán, Hà Nội, 25-26/08/2014; • Hội thảo quốc tế "Some Selected Problems in Optimization and Control Theory", Viện NCCC về Toán, Hà Nội, 04-07/02/2015; • Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ XIII, Ba Vì, 23-25/04/2015; • Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; • Xêmina của phòng Phương trình vi phân, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. • Xêmina của Bộ môn Toán ứng dụng và Tính toán khoa học, Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội.