Tóm tắt Luận án Về một lớp các MD - Đại số tổng quát và lớp các MD (5, kc) - Phân lá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN ANH TUẤN VỀ MỘT LỚP CÁC MD-ĐẠI SỐ TỔNG QUÁT VÀ LỚP CÁC MD(5,kC)-PHÂN LÁ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2017 Công trình này được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS. Lê Anh Vũ 2. TS. Nguyễn Hà Thanh Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại:.. Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Quốc gia Việt Nam Thư viện Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh Thư viện Khoa học Tổng hợp TP. Hồ Chí Minh MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Khoảng năm 1870, Sophur Marius Lie (1842–1899) trong khi nghiên cứu về một số loại phép biến đổi hình học đã đặt nền móng cho một lý thuyết đặc biệt về sau gọi là Lý thuyết Lie. Ngày nay, Lý thuyết Lie, được hiểu là lý thuyết liên quan đến nhóm Lie và đại số Lie, đã phát triển vượt bậc với phạm vi ứng dụng đa lĩnh vực [3, 4, 12, 13] nên nhận được sự quan tâm đặc biệt của cộng đồng toán học. Tuy nhiên, bài toán cơ bản của Lý thuyết Lie là phân loại nhóm Lie và đại số Lie lại là bài toán khó và cho đến nay vẫn còn là bài toán mở. Kết quả cơ bản trong Lý thuyết Lie cho thấy khi hạn chế xét lớp các nhóm Lie liên thông đơn liên, chúng ta có một song ánh giữa tập các nhóm Lie liên thông đơn liên và tập các đại số Lie. Bởi vậy, mỗi phép phân loại trên một lớp nào đó các nhóm Lie liên thông đơn liên (tương ứng, đại số Lie) đều có thể “phiên dịch”' thành một phép phân loại trên lớp các đại số Lie (tương ứng, nhóm Lie liên thông đơn liên). Trong luận án này, tác giả tiếp cận bài toán phân loại trên lớp các đại số Lie. Theo Định lý Levi–Malcev [16, 17] năm 1945 cùng với kết quả của Cartan [6] năm 1894 và Gantmacher [10] năm 1939, bài toán phân loại các đại số Lie tổng quát được quy về phân loại các đại số Lie giải được. Có ít nhất hai cách tiếp cận bài toán phân loại các đại số Lie giải được: phân loại theo số chiều hoặc phân loại theo cấu trúc. Nhìn chung, cách cách tiếp cận theo số chiều rất khó vượt qua số chiều 6. Tuy nhiên, có thể tiếp cận vấn đề phân loại theo cấu trúc, tức là phân loại các đại số Lie giải được với một hay một vài tính chất bổ sung nào đó. Luận án này tiếp cận việc phân loại các đại số Lie giải được theo cấu trúc là số chiều của các K-quỹ đạo [15] của các nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng với đại số Lie đó. Dựa trên quan sát số chiều của các K-quỹ đạo của nhóm Lie Heisenberg -chiều và nhóm Lie Kim cương thực 4-chiều, Diep [9] năm 1980 đã đề xuất việc khảo sát lớp các nhóm Lie giải được (và đại số Lie tương ứng) có tính chất tương tự mà được gọi là các MD-nhóm và MD-đại số. Cụ thể hơn, một MDn-nhóm là một nhóm Lie thực giải được n-chiều mà các K-quỹ đạo chỉ có số chiều 0 hoặc số chiều cực đại. Đại số Lie của một MDn-nhóm được gọi là một MDn-đại số. Bài toán phân loại lớp MD chỉ mới giải quyết được lớp MD4 bởi Vu [23] năm 1990 và vẫn không có thêm kết quả nào đáng kể về lớp MDn với cho đến 2007. Để giảm bớt tính phức tạp khi phân loại lớp MDn, chúng ta xét thêm một hạn chế về số chiều của ideal dẫn xuất thứ nhất của mỗi đại số Lie thuộc lớp MDn đó. Cụ thể hơn, chúng ta sẽ lần lượt xét các lớp con MD của lớp MDn bao gồm các MDn-đại số có ideal dẫn xuất thứ nhất là k-chiều và phân loại lớp MDn dựa trên việc phân loại từng lớp con MD với . Theo ý tưởng này, gần đây, từ 2008 đến 2011, lớp MD5 đã được phân loại triệt để [24, 26]. Như vậy, những kết quả về phân loại lớp MD trong trường hợp tổng quát hay trong các trường hợp riêng cũng là những đóng góp cho bài toán về phân loại đại số Lie thực giải được theo hướng tiếp cận bằng cấu trúc [4, tr. 87]. Một điểm đặc biệt đáng chú ý khác đó là họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của một MD-nhóm lập thành một phân lá. Về mặt lịch sử, Lý thuyết phân lá bắt đầu xuất hiện trong công trình của Reeb [19] năm 1952 và ngày nay đã trở thành một công cụ kết nối lý thuyết phương trình vi phân thông thường và Tôpô vi phân [18, Mở đầu]. Chính vì vậy, phân lá trở thành một đối tượng cực kỳ thú vị trong Hình học hiện đại. Nói cách khác, K-quỹ đạo là “chiếc cầu nối” giữa lớp MD và lớp phân lá. Bởi vậy, bài toán nghiên cứu lớp MD là có ý nghĩa khoa học. Trong tôpô phân lá, bởi vì mỗi lá chính là một họ nghiệm của một hệ phương trình vi phân thích hợp nào đó nên tính chất hình học của các lá cũng chính là đặc trưng tôpô của họ nghiệm. Những tính chất hình học đặc biệt nhất của các lá dẫn tới hai lớp phân lá quan trọng và có nhiều ý nghĩa là phân lá trắc địa hoàn toàn và phân lá Riemann cũng được nhiều nhà toán học quan tâm khảo sát. Một hướng khác trong nghiên cứu tôpô phân lá là kết hợp lý thuyết phân lá và đại số toán tử. Năm 1982, Connes [7] đã liên kết một cách chính tắc mỗi phân lá với một C*-đại số ký hiệu là và đề ra ý tưởng là khảo sát vì cung cấp thông tin về không gian lá của phân lá đang xét. Một câu hỏi lập tức nảy sinh là làm thế nào để mô tả cấu trúc của ? Lý thuyết về các C*-đại số được khai sinh Gelfand & Neumark [11] năm 1943. Và ngay lập tức nhận được rất nhiều sự quan tâm của cộng đồng toán học. Năm 1975, Diep [8] đã sử dụng các K-hàm tử đồng điều BDF của Brown & Douglas & Fillmore [5] để đặc trưng cấu trúc toàn cục C*-đại số nhóm của nhóm Lie các phép biến đổi affine trên đường thẳng thực. Năm 1976, Rosenberg [20] đã sử dụng “Z’ep’s method” để đặc trưng cấu trúc toàn cục C*-đại số nhóm của nhóm Lie các phép biến đổi affine trên đường thẳng phức và một vài nhóm giải được khác. Một câu hỏi rất tự nhiên là: có thể mô tả C*-đại số Connes liên kết với phân lá bằng phương pháp K-hàm tử không? Đáng chú ý, câu trả lời là khẳng định! Các công trình của Torpe [22] năm 1985, Vu [23] năm 1990 và Hòa [1] năm 2014 đã thể hiện điều đó. Những lập luận trên cho thấy việc kết hợp giữa hướng nghiên cứu phân loại đại số Lie giải được theo cấu trúc với hướng nghiên cứu về cấu trúc C*-đại số Connes liên kết với các phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD-nhóm bằng phương pháp K-hàm tử là một vấn đề có ý nghĩa khoa học. Vì vấn đề đặt ra là rất rộng và đòi hỏi nhiều kỹ thuật phức tạp nên luận án này chỉ tập trung vào hai vấn đề cốt yếu như sau: Những kỹ thuật của Vu [23] trên lớp MD(4,1)-đại số và lớp MD(4,3)-đại số, Vu & Shum [24] trên lớp MD(5,1)-đại số và lớp MD(5,4)-đại số được phát triển để nghiên cứu một lớp MD-đại số tổng quát là lớp các MD-đại số có ideal dẫn xuất 1-chiều hoặc đối chiều 1. Những kỹ thuật của Vu [23] trên lớp MD4-phân lá, Vu & Thanh [25] trên lớp MD(5,3C)-phân lá và Hòa [1] trên lớp MD(5,4)-phân lá được vận dụng, phát triển để nghiên cứu lớp MD(5,kC)-phân lá. Đó cũng chính là cơ sở, xuất phát điểm để tác giả lựa chọn đề tài nghiên cứu của luận án này là Về một lớp các MD-đại số tổng quát và lớp các MD(5,kC)-phân lá. Luận án này này có hai mục đích chính: Thứ nhất, nghiên cứu bài toán phân loại các đại số Lie thực, giải được theo cấu trúc là số chiều của các K-quỹ đạo. Cụ thể hơn, tác giả nghiên cứu bài toán phân loại lớp các MD-đại số tổng quát có ideal dẫn xuất thứ nhất là 1-chiều hoặc đối chiều là 1. Thứ hai, nghiên cứu một lớp các phân lá cụ thể theo cả hai hướng trong tôpô phân lá. Chi tiết hơn, tác giả xét các MD(5,kC)-phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực của các MD(5,kC)-nhóm với . Cụ thể hơn, tác giả sẽ khảo sát tính chất hình học của các lá của các MD(5,kC)-phân lá trên phương diện toàn cục đồng thời nghiên cứu cấu trúc C*-đại số liên kết với các MD(5,kC)-phân lá bằng phương pháp K-hàm tử. Với mục đích nghiên cứu cụ thể như trên, luận án được bố cục bao gồm phần mở đầu, chương chuẩn bị, hai chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể hơn: Phần mở đầu: giới thiệu về xuất xứ đề tài, mục đích nghiên cứu và bố cục của luận án. Chương 1: trình bày vắn tắt những kiến thức chuẩn bị được sử dụng trong những chương về sau. Chương 2 – 3: trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu được với đầy đủ phép chứng minh. Phần kết luận: đề xuất những vấn đề mở có thể nghiên cứu tiếp theo. Các kết quả đạt được của luận án đã được báo cáo tại một số Hội nghị Toán học trong nước và quốc tế như sau: Hội nghị Đại số – Hình học – Tôpô tháng 11/2011 tại Đại học Thái Nguyên, tháng 12/2014 tại Tuần Châu, Quảng Ninh và tháng 10/2016 tại Cao Đẳng Sư phạm Đắc Lắc. Hội nghị Toán học phối hợp Việt – Pháp (VFJC) tháng 08/2012 tại Đại học Sư phạm, Đại học Huế. Hội nghị Toán học và Ứng dụng (ICMA-MU) tháng 01/2013 tại Đại học Mahidol, Bangkok, Thái Lan. Hội thảo khoa học tháng 10/2012, tháng 11/2014 và tháng 10/2015 tại Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Lớp MD Định nghĩa 1.7 (Biểu diễn đối phụ hợp). Cho nhóm Lie và là đại số Lie của . Ký hiệu là không gian đối ngẫu của . Tác động xác định bởi: ở đó ký hiệu để chỉ giá trị của tại còn là biểu diễn phụ hợp, được gọi là biểu diễn đối phụ hợp của trong . Định nghĩa 1.8 (K-quỹ đạo). Mỗi quỹ đạo ứng với K-biểu diễn được gọi là K-quỹ đạo của G trong . K-quỹ đạo của G qua F ký hiệu là . Định nghĩa 1.11 (Lớp MD). MD-nhóm là một nhóm Lie thực giải được mà các K-quỹ đạo chỉ có số chiều 0 hoặc chiều cực đại. Đại số Lie của MD-nhóm được gọi là MD-đại số. Lớp MD là tập tất cả các MD-đại số. Nếu số chiều là n thì ta sẽ có MDn-nhóm, MDn-đại số, lớp MDn. Định nghĩa 1.13 (Lớp MD và MD). Một MDn-đại số với được gọi là MD-đại số. Thêm nữa, nếu giao hoán (tương ứng, không giao hoán) thì được gọi là MD-đại số (tương ứng, MD-đại số). Lớp MD và MD tương ứng là tập tất cả các MD-đại số và MD-đại số. Tôpô phân lá Định nghĩa 1.5 (Phân lá). Phép phân hoạch của V bởi các đa tạp con liên thông được gọi là một Cr-phân lá nếu với mọi , tồn tại một Cr-bản đồ (hệ tọa độ địa phương) xác định trên một lân cận mở U của x sao cho mỗi thành phần liên thông của được mô tả bởi phương trình. Đa tạp V được gọi là đa tạp phân lá. Mỗi phần tử của được gọi là một lá và mỗi thành phần liên thông của được gọi là một tấm. Các số p và n–p tương ứng được gọi là số chiều và số đối chiều của , ký hiệu tương ứng là và . Định nghĩa 1.32. Nếu có phân thớ trơn sao cho mỗi thớ là một lá của thì ta bảo được cho bởi phân thớ . Nếu có nhóm Lie G tác động trơn, tự do hoặc tự do địa phương lên V sao cho mỗi -quỹ đạo là một lá của thì ta bảo được cho bởi tác động của G. Định nghĩa 1.34 (Không gian lá). Trên đa tạp phân lá V, chúng ta xét quan hệ tương đương thuộc cùng một lá. Khi đó, tập thương với tôpô thương của V được gọi là không gian lá của phân lá . Định nghĩa 1.8 (Phân lá tương đương). Hai phân lá cùng chiều và trên V được gọi là tương đương hay cùng kiểu nếu có một vi phôi (trơn) của V ánh xạ các lá của lên các lá của . Định nghĩa 1.9 (Phân lá đo được). Phân lá được gọi là phân lá đo được nếu đã trang bị một độ đo hoành đối với phân lá là một ánh xạ -cộng tính từ họ các tập con hoành Borel của V đến sao cho các tiên đề sau đây thỏa mãn: Tính đẳng biến Borel: nếu là song ánh Borel và thuộc lá chứa x với mọi thì. nếu K là tập con compact của một đa tạp con hoành. Định nghĩa 1.10 (Phân lá trắc địa hoàn toàn). Phân lá trên được gọi là trắc địa hoàn toàn nếu tất cả các lá của đều là những đa tạp con trắc địa hoàn toàn của . Phân bố tiếp xúc của một phân lá trắc địa hoàn toàn được gọi là phân bố trắc địa. Định nghĩa 1.11 (Phân lá khả trắc địa). Phân lá trên đa tạp V được gọi là khả trắc địa nếu tồn tại một mêtric Riemann g trên V sao cho là trắc địa hoàn toàn đối với g. Định nghĩa 1.12 (Phân lá Riemann). Phân lá trên đa tạp V được gọi là phân lá Riemann nếu tồn tại mêtric Riemann g, gọi là mêtric kiểu phân thớ, trên V sao cho phân bố trực giao là phân bố trắc địa. C*-đại số liên kết với phân lá Cho F là phân lá k-chiều, định hướng được trên V. Với mỗi , chúng ta định nghĩa: , ở đó là không gian vector thực 1-chiều các k-dạng tuyến tính thay phiên trên . Gọi là đồ thị của phân lá. Chúng ta trang bị cho không gian vector tích chập và phép đối hợp tương ứng là: thì trở thành một *-đại số. Với mỗi, gọi là phủ holonomy của lá chứa x. Chúng ta có một biểu diễn tự nhiên của trên không gian các nửa mật độ với bình phương khả tích trên và xác định được chuẩn trên . Định nghĩa 1.13 (C*-đại số liên kết với phân lá [19, Mục 5-6]). C*-đại số liên kết với phân lá , ký hiệu , là đầy đủ hóa của đối với . Mệnh đề 1.14. Nếu tương đương thì . Mệnh đề 1.15. Giả sử phân lá được cho bởi tác động của nhóm Lie G lên đa tạp phân lá V sao cho phỏng nhóm holonomy H của có dạng. Khi đó . Mệnh đề 1.16. Giả sử phân lá được cho bởi phân thớ (với thớ liên thông) . Khi đó, phỏng nhóm holonomy H của chính là đa tạp con của và . Phương pháp K-hàm tử Để đặc trưng một C*-đại số A bằng phương pháp K-hàm tử, chúng ta sẽ tìm cách nhúng A vào một dãy khớp ngắn, gọi là mở rộng (đơn): với là một ideal đóng hai phía và là các C*-đại số đã biết rõ ràng. Mở rộng xác định duy nhất phần tử nào đó và chúng ta có định nghĩa: Định nghĩa 3.9 (Bất biến chỉ số). Phần tử được gọi là bất biến chỉ số của C*-đại số A và được ký hiệu là . Hơn nữa trong K-lý thuyết đối với các C*-đại số, mở rộng sinh ra dãy khớp tuần hoàn 6-thành phần các K-nhóm: Mặt khác, theo Định lý hệ số phổ dụng [21, Định lý 4.2], chúng ta có đồng cấu ánh xạ thành cặp của . Khi mở rộng có là các nhóm abel tự do thì là đẳng cấu và chúng ta có thể đồng nhất với cặp của . Trong nhiều trường hợp phức tạp, nếu không thể nhúng A vào một mở rộng dạng với J và B có dạng thì cần phải dùng tới các mở rộng lặp gồm nhiều mở rộng đơn có dạng sau đây: ở đó, các C*-đại số và đều có dạng . Khi đó, các phần tử trong các KK-nhóm tương ứng với các mở rộng đơn trong mới đủ xác định kiểu ổn định của C*-đại số A cần mô tả như là một phần tử của . Dựa trên ý tưởng đó, chúng ta có định nghĩa: Định nghĩa 1.18 (Hệ bất biến chỉ số). Tập hợp được gọi là hệ bất biến chỉ số của C*-đại số A và cũng được ký hiệu là . Chương 2 LỚP MD(n,1) VÀ LỚP MD(n,n–1) Chương này trình bày kết quả nghiên cứu vấn đề thứ nhất của luận án, đó là nghiên cứu bài toán phân loại các đại số Lie thực, giải được theo cấu trúc là số chiều của các K-quỹ đạo. Như đã đề cập trong phần Mở đầu, để giảm bớt tính phức tạp khi xét bài toán phân loại các MDn-đại số tổng quát, chúng ta xét số chiều k của ideal dẫn xuất thứ nhất . Vì nên lớp MDn tổng quát khi đó được phân hoạch thành lớp con là các lớp MD mà mỗi phần tử của lớp con này là một MDn-đại số có ideal dẫn xuất thứ nhất k-chiều. Từ đó, bài toán phân loại lớp MDn tổng quát được quy về bài toán phân loại lớp con MD. Trong lớp con kể trên, hai trường hợp “dễ chịu nhất'” xảy ra khi hoặc . Bởi vậy, trong chương này, tác giả trình bày hai kết quả phân loại trên hai lớp con này, đó là phép phân loại trên lớp MD(n,1) và lớp MD(n,n-1). Số chiều ở đây là hữu hạn tùy ý. Phân loại lớp MD(n,1) Định lý 2.1 (Phân loại các MD-đại số). Cho là một đại số Lie thực giải được n-chiều với . Nếu thì là MD-đại số và chỉ có thể là đại số Lie affine thực hoặc đại số Lie Heisenberg thực hoặc các mở rộng tầm thường của chúng. Diễn đạt Định lý 2.12 theo một cách khác sẽ cho chúng ta một đặc trưng mới của đại số Lie Heisenberg thực như sau: Hệ quả 2.2 (Một đặc trưng mới của đại số Lie Heisenberg thực). Cho là một đại số Lie thực n-chiều với . Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: bất khả phân và . là một MD-đại số bất khả phân. là đại số Lie Heisenberg n-chiều với n lẻ. Phân loại lớp MD(n,n-1) Định lý 2.3 (Điều kiện cần và đủ của lớp MD(n,n-1)). Cho là một đại số Lie thực giải được n-chiều với và . Khi đó: Nếu giao hoán thì là một MD(n,n-1)-đại số bất khả phân. Nếu là một MD(n,n-1)-đại số thì giao hoán. Định lý 2.4 (Phân loại các MD(n,n-1)-đại số). Giả sử là một không gian vector n-chiều và là không gian con đối chiều 1 của . Khi đó, chúng ta có những khẳng định sau: Mỗi (n-1)-ma trận thực khả nghịch A luôn xác định một cấu trúc Lie trên sao cho là một MD(n,n-1)-đại số với ideal dẫn xuất thứ nhất giao hoán và chính là và A chính là ma trận của ánh xạ phụ hợp trên trong cơ sở đã chọn. Hai (n-1)-ma trận thực khả nghịch A và B xác định hai cấu trúc Lie đẳng cấu trên khi và chỉ khi tồn tại số thực và một (n-1)-ma trận thực khả nghịch C sao cho . Một số nhận xét Nhận xét 2.5. Trước tiên, kết quả đạt được trong Định lý 2.1 cho thấy lớp các MD-đại số khá đơn giản. Nếu xét về tính bất khả phân thì lớp này chỉ có đại số Lie affine thực hoặc đại số Lie Heisenberg thực. Nhận xét 2.6. Khẳng định của Định lý 2.4 cho thấy mỗi MD-đại số đều có dạng tổng nửa trực tiếp: Tiếp theo, hai ma trận thực khả nghịch A và B cùng cấp được gọi là đồng dạng tỷ lệ nếu và chỉ nếu tồn tại số thực và ma trận thực khả nghịch C cùng cấp với A và B sao cho . Do đó, khẳng định của Định lý 2.4 cho chúng ta một phân loại các MD-đại số bởi sự phân loại các ma trận thực khả nghịch theo quan hệ tương đương đồng dạng tỷ lệ đã biết. Thật vậy, giả sử hai MD-đại số và có ma trận biểu diễn của và trong cơ sở lần lượt là A và B. Khi đó, đẳng thức diễn tả rằng tương đương với , tức là khi và chỉ khi tồn tại số thực sao cho các dạng chuẩn Jordan của và trùng nhau. Ví dụ 2.7. Sự phân loại của các MD(5,4)-đại số bất khả phân trong [24, Định lý 3.1] cho chúng ta một minh họa rõ ràng của Định lý 2.4 khi . Chẳng hạn, chúng ta xét MD(5,4)-đại số với ma trận biểu diễn của có dạng như sau: Bằng tính toán, dạng chuẩn Jordan của chính là của [24, Định lý 3.1], tức là . ð Ví dụ 2.8. Bằng cách áp dụng Định lý 2.4, chúng ta cũng có thể liệt kê các MD(n,n-1)-đại số không đẳng cấu với n nhỏ . Chẳng hạn, xét hai MD(6,5)-đại số và như sau: Bằng tính toán, chúng ta có dạng chuẩn Jordan của và lần lượt là: Như vậy, chúng ta có hai họ MD(6,5)-đại số không đẳng cấu như sau: Họ với ma trận của toán tử trong cơ sở có dạng như sau: Họ với ma trận của toán tử trong cơ sở có dạng như sau: ð Nhận xét cuối chương. Chương này tiến hành phép phân loại trên lớp MD(n,1) và lớp MD(n,n-1) bằng cách cố định số chiều n của các đại số Lie đang xét. Một hướng khác trong phép phân loại trên lớp MD tổng quát là dựa trên ý tưởng của Arnal & Cahen & Ludwig [2], đó là cố định số chiều cực đại của các K-quỹ đạo. Ngoài ra, chúng ta cũng có thể kết hợp cả cố định số chiều của các đại số Lie đã xét và cố định số chiều cực đại của các K-quỹ đạo để phân loại. Chương 3 LỚP MD(5,kC)-PHÂN LÁ Chương cuối cùng này trình bày vấn đề nghiên cứu thứ hai: nghiên cứu lớp MD(5,kC)-phân lá tạo bởi các quỹ đạo chiều cực đại của các MD(5,kC)-nhóm. Như đã đề cập trong phần Mở đầu, Diep [9] năm 1980 đã đề xuất việc khảo sát lớp các nhóm Lie đặc biệt là lớp các MD-nhóm có các K-quỹ đạo chiều cực đại lập thành một phân lá mà được gọi là MD-phân lá. Nhờ ý tưởng đặc sắc của Connes [7] năm 1982 về việc kết hợp lý thuyết phân lá và đại số toán tử, mỗi phân lá được liên kết một cách chính tắc với một C*-đại số gọi là C*-đại số liên kết với phân lá. Những kết quả của Torpe [22] năm 1985, Vu [23] năm 1990 và gần đây Hòa [1] năm 2014 cho thấy C*-đại số liên kết với phân lá rất thích hợp với phương pháp K-hàm tử. Năm 2008, Vu & Shum [24] đã phân loại triệt để lớp MD(5,kC) thông qua việc phân loại bốn lớp con là lớp MD(5,1), lớp MD(5,2), lớp MD(5,3C) và lớp MD(5,4). Hiển nhiên, chúng ta cũng có bốn lớp MD(5,kC)-phân lá tương ứng tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD(5,kC)-nhóm. Trên cơ sở đó, năm 2014, Hòa [1] đã khảo sát K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá. Tuy nhiên, kết quả đó chỉ dừng lại ở hướng kết hợp lý thuyết phân lá và đại số toán tử. Bởi vậy, trong chương này, bằng cách kết hợp đồng thời mở rộng các kết quả của Vu & Thanh [25] và Hòa [1], toàn bộ lớp MD(5,kC)-phân lá sẽ được nghiên cứu trọn vẹn theo cả hai hướng trong Tôpô phân lá, đó là: nghiên cứu các đặc trưng hình học toàn cục và bất biến đại số toán tử. Hình học của các MD(5,kC)-phân lá Định lý 3.1 (K-quỹ đạo của các MD(5,kC)-nhóm). Với mỗi MD(5,kC)-nhóm G tương ứng với các MD(5,kC)-đại số được liệt kê như trong [24, Định lý 3.1], các K-quỹ đạo qua F có dạng cụ thể như sau: Nếu thì . Nếu thì . Giả sử G là một MD(5,3C)-nhóm. Nếu G lần lượt là một trong các nhóm , , , , , , thì tương ứng như sau: . . . . . . . Nếu . Đồng nhất và, chúng ta có: Giả sử G là một MD(5,4)-nhóm. Nếu G lần lượt là một trong các nhóm , , , , , , , , , thì tương ứng như sau: . . . . . . . . . . Nếu G lần lượt là một trong các nhóm , , . Đồng nhất , , với và . Khi đó, các tương ứng như sau: . . . Nếu . Bằng cách đồng nhất và , chúng ta có: Định lý 3.2 (Lớp các MD(5,kC)-phân lá). Với G là một trong các MD(5,kC)-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với các MD(5,kC)-đại số bất khả phân đã nêu trong Mệnh đề 3.1, gọi là họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của G và . Khi đó, là một phân lá đo được và gọi là MD(5,kC)-phân lá liên kết với G. Định lý 3.3 (Phân loại các MD(5,kC)-phân lá). MD(5,1)-phân lá được cho bởi phân thớ (trơn) trên . MD(5,2)-phân lá được cho bởi phân thớ (trơn) trên . Có đúng 2 kiểu phân lá trên 8 họ các MD(5,3C)-phân lá. Cụ thể hơn, mỗi tập dưới đây xác định một kiểu phân lá: . . Các kiểu này được ký hiệu tương ứng là và . Hơn nữa, các kiểu này được cho bởi các tác động trơn thích hợp của trên đa tạp phân lá . Có đúng 3 kiểu phân lá trên 14 họ các MD(5,4)-phân lá như sau: . . . Các kiểu này được ký hiệu tương ứng là , , . Hơn nữa, kiểu được cho bởi phân thớ trên , kiểu và được cho bởi các tác động thích hợp của trên đa tạp phân lá . Định lý 3.4 (Hình học của các MD(5,kC)-phân lá). Tất cả các MD(5,kC)-phân lá đã xét đều khả trắc địa và Riemann. C*-đại số liên kết với các MD(5,kC)-phân lá Để thuận tiện, chúng ta sử dụng một số ký hiệu như sau: Đối với MD(5,1)-phân lá và MD(5,2)-phân lá , các C*-đại số liên kết với chúng tương ứng được ký hiệu là và . Định lí 3.6 cho thấy 8 họ các MD(5,3C)-phân lá lập thành hai kiểu và ; 14 họ các MD(5,4)-phân lá lập thành ba kiểu , và . Nhờ Mệnh đề 1.85, các C*-đại số liên kết với các MD(5,3C)-phân lá kiểu và và các MD(5,4)-phân lá kiểu , và sẽ được ký hiệu tương ứng là , , , và . Định lý 3.5 (Mô tả giải tích cấu trúc , và ). Với các ký hiệu như trên, chúng ta có: Định lý 3.6 (Index của , , , ). trong KK-nhóm . , trong đó: trong KK-nhóm . trong KK-nhóm . trong KK-nhóm . Một số nhận xét Nhận xét 3.7. Trước tiên, kết quả đạt được trong Định lý 3.8 cho thấy lớp các MD(5,kC)-phân lá là lớp phân lá sở hữu những tính chất hình học đặc sắc, đó là lớp phân lá Riemann trắc địa hoàn toàn (vừa là phân lá trắc địa hoàn toàn vừa là phân lá Riemann). Theo quan điểm Hình học vi phân, đây là hai lớp phân lá quan trọng và có nhiều ứng dụng. Bởi vậy, lớp các MD(5,kC)-phân lá là “nguồn cung” các ví dụ cụ thể và phong phú cho lý thuyết phân lá tổng quát. Nhận xét 3.8. Bên cạnh đó, việc kết hợp lý thuyết phân lá và đại số toán tử trong nghiên cứu cấu trúc C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,kC)-phân lá cũng đã được thể hiện rõ. Cụ thể là: Các C*-đại số liên kết với MD(5,1)-phân lá, liên kết với MD(5,2)-phân lá và liên kết với các MD(5,4)-phân lá kiểu được mô tả (triệt để) tường minh giải tích trong Định lý 3.5. Các C*-đại số và liên kết với các MD(5,3C)-phân lá kiểu và được đặc trưng bởi bất biến chỉ số ; trong khi đó, C*-đại số và liên kết với các MD(5,4)-phân lá kiểu và tương ứng được đặc trưng bởi (hệ) bất biến chỉ số và . Tất cả các bất biến này đều được thể hiện cụ thể trong Định lý 3.6. Chú ý là các kết quả được chỉ ra trong Định lí 3.6 vẫn còn đúng đối với tất cả các MD(5,kC)-nhóm liên thông (không nhất thiết đơn liên), bất khả phân. Cụ thể hơn, nếu G là một MD(5,kC)-nhóm liên thông, bất khả phân thì bức tranh các K-quỹ đạo của G hoàn toàn trùng khớp với bức tranh các K-quỹ đạo của phủ đơn liên của G. Tiếp theo, họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của G cũng lập thành cùng một MD(5,kC)-phân lá như phủ đơn liên của G. Do đó, các kết quả liên quan đến MD(5,kC)-phân lá cũng như C*-đại số Connes liên kết với chúng đều không thay đổi. Nhận xét cuối chương. Hai lớp phân lá tổng quát hóa quan trọng và có nhiều ứng dụng của phân lá trắc địa hoàn toàn và phân lá Riemann là phân lá umbilic hoàn toàn và phân lá bảo giác. Bởi vậy, các kết luận của Định lý 3.8 vẫn đúng khi chúng ta thay “khả trắc địa” bởi “khả umbilic” và “Riemann” bởi “bảo giác”. Nói cách khác, lớp các MD(5,kC)-phân lá góp phần cung cấp những ví dụ tường minh cho lớp các phân lá đặc biệt trên không gian Euclid. Xa hơn, lớp MD(n,1)-phân lá cũng có những tính chất đặc biệt như vậy mà cụ thể là tính bảo giác. Vì vậy, khảo sát lớp MDn-phân lá tổng quát cũng là một bài toán lý thú. KẾT LUẬN Luận án này đã giải quyết được những vấn đề như sau: Phân loại triệt để lớp MD và lớp MD với số chiều tùy ý. Việc phân loại hai lớp này góp phần bổ sung hai kết quả vào bài toán phân loại các đại số Lie thực giải được theo hướng tiếp cận bằng cấu trúc. Phân loại và chỉ ra một số đặc trưng hình học của lớp các MD-phân lá. Những đặc trưng hình học này bổ sung thêm nguồn ví dụ và phản ví dụ về các phân lá đặc biệt trên một lớp đa tạp Riemann là không gian Euclid. Mô tả cấu trúc C*-đại số Connes liên kết với các MD-phân lá bằng phương pháp K-hàm tử. Kết quả này góp phần khẳng định thêm sự tương thích của phương pháp K-hàm tử với bài toán mô tả cấu trúc C*-đại số liên kết với các MD-phân lá. DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ Lê Anh Vũ, Nguyễn Anh Tuấn, Dương Quang Hòa (2013), “Phân loại tôpô các phân lá liên kết với các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 3-chiều”, Tạp chí khoa học Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh, 43 (77), 50–57. Le Anh Vu, Nguyen Anh Tuan, Duong Quang Hoa (2015), “On some geometric characteristics of the orbit foliations of the co-adjoint action of some 5-dimensional solvable Lie groups”, J. Science and Technology Development, 18 (K4), 114–122. Vu L. A., Hoa D. Q., Tuan N. A. (2014), “K-Theory for the Leaf Space of Foliations Formed by the Generic K-orbits of a Class of Solvable Real Lie Groups”, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 38 (5), 751–770. Vu L. A., Tuan N. A., Hoa D. Q. (2014), “K-Theory for the Leaf Spaces of the Orbit Foliations of the co-adjoint action of some 5-dimensional solvable Lie groups”, East-West Journal of Mathematics, 16 (2), 141–157. Vu L. A., Hieu H. V., Tuan N. A., Hai C. T. T., Tuyen N. T. M. (2016), “Classification of Real Solvable Lie Algebras Whose Simply Connected Lie Groups Have Only Zero or Maximal Dimensional Coadjoint Orbits”, Revista de la Unión Matemática Argentina, 57 (2), 119–143. TÀI LIỆU THAM KHẢO Dương Quang Hòa (2014), K-lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5-phân lá, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Sư phạm TP. HCM. Arnal D., Cahen M., Ludwig J. (1995), “Lie groups whose coadjoint orbits are of dimension smaller or equal to two”, Lett. Math. Phys., 33 (2), 183–186. Bordag L. A. (2015), Geometrical Properties of Differential Equations: Applications of the Lie Group Analysis in Financial Mathematics, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore. Boza L., Fedrian E. M., Nunez J., Tenorio A. F. (2013), “A historical review of the classifications of Lie algebras”, Rev. Un. Mat. Argentina, 54 (2), 75–99. Brown L. G., Douglas R. G., Fillmore P. A. (1977), “Extensions of C*-algebras and K-Homology”, Ann. of Math., 105 (2), 265–324. Cartan M. E. (1894), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, PhD. Thesis, Nony, Paris. Connes A. (1982), “A survey of foliations and operator algebras”, Proc. Sympos. Pure Math., 38 (Part 1), 521–628. Diep D. N. (1975), “Structure of the group C*-algebra of the group of affine transformations of a straight line”, Funct. Anal. Appl., 9 (1), 58–60. Diep D. N. (1999), Method of non-commutative geometry for group C*-algebras, Chapman & Hall/CRC Press, Cambridge. Gantmacher F. R. (1939), “On the classification of real simple Lie groups”, Sb. Math., 5 (2), 217–250. Gelfand I., Neumark M. (1943), “On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space”, Sb. Math., 12 (2), 197–213. Grebenev V. N., Oberlack M., Grishkov A. N. (2008), “Lie algebra methods for the applications to the statistical theory of turbulence”, J. Nonlinear Math. Phys., 15 (2), 227–251. Hernandez I., Mateos C., Nunez J., Tenorio A. F. (2009), “Lie Theory: Applications to problems in Mathematical Finance and Economics”, Appl. Math. Comput., 208 (2), 446–452. Kasparov G. G. (1980), “The operator K-functor and extensions of C*-algebras”, Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat., 44 (3), 571–636. Kirillov A. A. (1976), Elements of the theory of representations, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg. Levi E. E. (1905), “Sulla struttura dei gruppi finiti e continui”, Atti Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., 40, 551–565. Malcev A. I. (1945), “On solvable Lie algebras”, Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat., 9 (5), 329–356. Narmanov A. Ya., Kaypnazarova G. (2011), “Foliation theory and its applications”, TWMS J. Pure Appl. Math., 2 (1), 112–126. Reeb G. (1952), Sur certains propriétés topologiques de variétés feuilletées, Actualité Sci. Indust. 1183, Hermann, Paris. Rosenberg J. (1976), “The C*-algebras of some real -adic solvable groups”, Pacific J. Math., 65 (1), 175–192. Rosenberg J. (1982), “Homological invariants of extensions of C*-algebras”, Proc. Sympos. Pure Math., 38 (Part 1), 35–75. Torpe A. M. (1985), “K-theory for the leaf space of foliations by Reeb components”, J. Funct. Anal., 61 (1), 15–71. Vu L. A. (1990), “On the foliations formed by the generic K-orbits of the MD4-groups”, Acta Math. Vietnam., 15 (2), 39–55. Vu L. A., Shum K. P. (2008), “Classification of 5-dimensional MD-algebra having commutative derived ideals”, Advances in Algebra and Combinatorics, World Scientific, Singapore, 353–371. Vu L. A., Thanh D. M. (2006), “The geometry of K-orbits of a subclass of MD5-groups and foliations formed by their generic K-orbits”, Contributions in Mathematics and Applications: East-West J. Math., Special Volume, 169–184. Vu L. A., Hieu H. V., Nghia T. T. H. (2011), “Classification of 5-dimensional MD-algebras having non-commutative derived ideals”, East-West J. Math., 13 (2), 115–129.