Tóm tắt Luận văn Phương trình hàm một biến và tính ổn định

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VÕ THỊ NGUYỆT PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60. 46. 0113 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2014 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI Phản biện 1: PGS.TSKH. Trần Quốc Chiến Phản biện 2: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 06 năm 2014. Có thể tìm hiểu Luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết các phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu của Giải tích toán học khá gần gũi với học sinh khối trung học chuyên toán nói chung và đối tượng học sinh năng khiếu toán nói riêng. Các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú và thường xuất hiện trong các kỳ thi IMO, VMO, ... Các nhà toán học tiếp cận phương trình hàm theo nhiều mục tiêu nghiên cứu khác nhau. Và một trong những vấn đề đáng để nhiều nhà toán học quan tâm trong những thập niên gần đây là sự ổn định của phương trình hàm. Lý thuyết phương trình hàm phát triển đến một thời điểm nào đó thì các nhà toán học lại thắc mắc rằng “Có nhất thiết các luận điểm của các định lý chỉ đúng với các giả thiết đã cho hay không?”. Hay “Nếu thay đổi một ít giả thiết thì các nghiệm của nó có lệch quá xa so với nghiệm ban đầu không?”. Và trong quá trình nghiên cứu lại nảy sinh một vấn đề là “ Nếu thay một phương trình hàm bằng một bất phương trình hàm thì các luận điểm, các định lý có còn xấp xỉ đúng hay không? và nghiệm của chúng sẽ như thế nào?”. Đây là vấn đề mở đầu cho việc nghiên cứu về tính ổn định của một phương trình hàm. Xuất phát từ những vấn đề mấu chốt này, tôi quyết định chọn đề tài “PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH” để tìm hiểu và nghiên cứu. 2 2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu thế nào là tính ổn định của một phương trình hàm một biến và khảo sát tính ổn định của một số phương trình hàm một biến như phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính và phương trình hàm Abel. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của đề tài là tính ổn định của một số phương trình hàm một biến. Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính, phương trình hàm Abel và phương trình hàm liên hợp. 4. Phương pháp nghiên cứu - Thu thập các bài báo khoa học và các tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến tính ổn định của phương trình hàm một biến. - Nghiên cứu các tài liệu thu thập được và phân tích, tổng hợp, trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả đang nghiên cứu. 5. Đóng góp của đề tài Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến tính ổn định của phương trình hàm một biến nhằm xây dựng một giáo trình đặc biệt dạy cho học sinh giỏi toán. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm: phần mở đầu, hai chương và kết luận - Chương 1. Trình bày về phương trình hàm một biến với các vấn đề như: phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trình hàm D’Alembert, một số họ cơ bản của phương trình, 3 các phương trình liên hợp, thuật toán Lévy cho phương trình Abel và phương trình hàm và mạng các căn thức. - Chương 2. Trình bày về tính ổn định của một số phương trình hàm một biến như phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính và phương trình hàm Abel. 4 CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN 1.1. PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 1.1.1. Phương trình hàm Cauchy Định nghĩa. Phương trình hàm Cauchy là phương trình hàm có dạng ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + với mọi số thực x và y. Hàm f thỏa mãn phương trình + = + " Î ¡( ) ( ) ( ), x,yf x y f x f y được gọi là hàm cộng tính. Bài toán 1.1. (Bài toán phương trình hàm Cauchy) Cho hàm :f ®¡ ¡ là hàm số liên tục trên ¡ và thỏa mãn ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + (1.1) với mọi số thực x, y. Ta sẽ chỉ ra được tồn tại một số thực a sao cho ( ) , xf x ax= " Î ¡ . Nhận xét. 1. Trong bài toán trên, ta thấy chỉ cần giả thiết f liên tục tại một điểm 0x Î ¡ cho trước là đủ. Khi đó hàm f(x) thỏa mãn (1.1) sẽ liên tục trên ¡ . Thật vậy, theo giả thiết thì 5 0 0lim ( ) ( )x x f x f x® = . Và với mỗi 1x Î ¡ ta đều có 1 0 1 0( ) ( ) ( ) ( ), .f x f x x x f x f x x= - + + - " Î ¡ Từ đó suy ra: [ ] 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). x x x x f x f x x x f x f x f x f x f x f x ® ® = - + + - = + - = Điều này chứng tỏ f liên tục tại mọi điểm 1x tùy ý thuộc ¡ . Hay f liên tục trên ¡ . 2. Kết quả của bài toán 1.1 sẽ không thay đổi nếu ta thay ¡ bằng [ );a + ¥ hoặc ( ];-¥ b tùy ý. Định lý 1.1. Cho hàm :f ®¡ ¡ thỏa mãn phương trình hàm Cauchy ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + với mọi số thực x và y. Khi đó tồn tại một số thực a sao cho ( )f q aq= với mọi số hữu tỉ q. Tất cả những gì chúng ta cần làm là rút ra kết luận khi thay số hữu tỉ q bằng số thực x bất kỳ. Để làm được điều này nhanh chóng, bước cuối cùng chúng ta sử dụng giả thiết rằng f là một hàm liên tục. Chú ý, định lý 1.1 không cho giả thiết f là hàm liên tục. Kết quả sau đây là công cụ đầu tiên cho bước cuối cùng của chứng minh này. 6 Định lý 1.2. Giả sử rằng :f ®¡ ¡ và :g ®¡ ¡ là các hàm liên tục sao cho ( ) ( )f q g q= với mọi số hữu tỉ q. Khi đó ( ) ( )f x g x= với mọi số thực x. Chứng minh. Kết quả này bắt nguồn từ cơ sở lí luận rằng bất kỳ số thực nào cũng có thể được xấp xỉ chặt chẽ một cách tùy ý bằng các số hữu tỉ. Ví dụ, chúng ta có thể viết x với một sự khai triển số thập phân vô hạn và cho iq là số hữu tỉ thu được bằng cách khai triển số thập phân có kết thúc của x ii x lim q ®¥ = Định lý 1.3. Cho :f ®¡ ¡ là một hàm liên tục thỏa mãn phương trình hàm Cauchy ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + với mọi số thực x và y. Khi đó tồn tại một số thực a sao cho: ( ) ,f x ax x= " Î ¡ . Chứng minh. Từ định lý 1.1, ta thấy rằng tồn tại một số thực a sao cho ( )f q aq= với mọi số hữu tỉ q. Nhưng ( )f x và ( )g x ax= là các hàm liên tục. Do đó, từ định lý 1.2 ta suy ra ( ) ( )f x g x= với mọi số thực x. Tức là ta có ( )f x ax= với mọi số thực x. 7 1.1.2. Ứng dụng của phương trình hàm Cauchy Định lý 1.4. Giả sử :f ®¡ ¡ thỏa mãn phương trình hàm Cauchy ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + (1.5) với mọi số thực x, y và f là hàm đơn điệu tăng trên ¡ , nghĩa là ( ) ( ),f x f y x y£ " £ Khi đó ( ) ,f x ax= với 0,a x³ " Î ¡ . Hệ quả. Cho hàm :f ®¡ ¡ xác định, có đạo hàm trên ¡ và thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + (1.6) với mọi số thực x, y. Khi đó ( ) ,f x ax a= Î ¡ tùy ý. Định lý 1.5. Giả sử :f ®¡ ¡ thỏa mãn đồng thời hai phương trình ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + (1.7) ( ) ( ) ( )f x y f x f y= (1.8) với mọi số thực x, y. Khi đó ( ) 0,f x x= " hoặc ( ) ,f x x x= " . Ứng dụng của phương trình hàm Cauchy sẽ được minh họa cụ thể qua một số bài toán sau: Bài toán 1.2. Xác định các hàm f liên tục trên \{0}¡ thỏa mãn điều kiện: ( ) ( ) ( ), , \{0}f xy f x f y x y= + " Î ¡ (1.10) 8 Bài toán 1.3. Xác định các hàm f(x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn điều kiện ( ) ( ). ( ), ,f x y f x f y x y+ = " Î ¡ (1.12) 1.2. PHƯƠNG TRÌNH HÀM JENSEN Phương trình hàm Jensen là phương trình hàm có dạng ( ) ( ) , , 2 2 x y f x f yf x y+ +æ ö = " Îç ÷ è ø ¡ (1.13) và được xét như một phiên bản của phương trình hàm Cauchy dùng trung bình. Một lần nữa hàm f luôn được giả thiết là hàm liên tục. Để đơn giản, ta giả sử rằng miền xác định của hàm f là toàn bộ trục số thực. Nghiệm của phương trình dễ dàng thu được từ kết quả của phần trước. 1.3. PHƯƠNG TRÌNH HÀM D’ALEMBERT Phương trình hàm D’Alembert là phương trình hàm có dạng ( ) ( ) 2 ( ) ( ), ,f x y f x y f x f y x y+ + - = " Î ¡ (1.18) Định lý 1.6: (Định lý nghiệm của phương trình hàm D’Alembert). Giả sử : ,f ®¡ ¡ liên tục và thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) 2 ( ). ( ), ,f x y f x y f x f y x y+ + - = " Î ¡ Khi đó f là một trong các hàm sau: ( ) 0, ( ) 1, ( ) ( ), ( ) ( ), . f x x f x x f x cos x x f x cosh x x = " Î = " Î = a " Î = b " Î ¡ ¡ ¡ ¡ trong đó ,a b là các hằng số thực khác 0. 9 Bây giờ ta xét một bài toán ứng dụng định lý nghiệm của phương trình hàm D’Alembert như sau Bài toán 1.4. Cho ( 0),a aÎ ¹¡ tìm các hàm f(x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) 2 ( ). ( ), ,f x y a f x y a f x f y x y+ + + - + = " Î ¡ (1.26) Bài toán 1.5: Cho ( 0),a aÎ ¹¡ tìm các hàm f(x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn điều kiện: ( ) ( ) 2 ( ). ( ), ,f x y a f x y a f x f y x y- + - + + = " Î ¡ (1.32) Nhận xét. Từ cách giải và kết quả của bài toán 1.4 và bài toán 1.5 thì ta có các bài toán khi cho a các giá trị cụ thể khác nhau. 1.4. TUYẾN TÍNH HÓA Đôi khi những bài toán phức tạp có thể được giải quyết một cách khá đơn giản. Ví dụ, giả sử rằng chúng ta được yêu cầu tìm một nghiệm của phương trình 2( ) ( ) 1, 1f x f x x- = > (1.39) Chúng ta có thể nhận thấy rằng ở phương trình này nếu f là hàm tăng thì nó phải tăng rất chậm, chẳng hạn ta bình phương x lên thì điều đó chỉ làm cho f tăng lên chút ít. Nó sẽ hấp dẫn hơn khi ta thay đổi bài toán với một hàm tăng nhanh hơn. Đặt ( ) ( ), ( 0)xF x f a a= > . Tương đương với (log ) ( ).aF x f x= Sau đó cho 0x > ta có: 2 2 (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x F x F x f a f a f a f a - = - é ù= -ë û 10 hay (2 ) ( ) 1, 0F x F x x- = " > (1.40) Phương trình này nhắc ta tính chất của logarit. Hàm 2( ) logF x x= thỏa mãn phương trình (1.40) vì 2( ) ( )a af x F log x log log x= = (1.41) Xét phương trình (1.41) ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) (2 ) 2 1 a a a a a a f x f x log log x log log x log log x log log x log log log x log log x - = - = - = + - = Vậy phương trình (1.41) thỏa mãn phương trình (1.39) với mọi a > 0. Phương pháp riêng được biết đến ở đây là tuyến tính hóa. Nó có thể được dùng để chuyển đổi một số phương trình phức tạp thành một phương trình đơn giản hơn. Trong ví dụ ở trên, tính chất phi tuyến tính là trên miền xác định của hàm số. Tuy nhiên phương trình sau đây phi tuyến tính trên miền giá trị của f. [ ]2( 1) ( )f x f x+ = (1.42) Chúng ta giả sử rằng ( ) 0,f x x¹ " . Chúng ta có thể đưa về phương trình tuyến tính này bằng cách đặt ( ) ( ), 0aF x log f x a= > . Chú ý rằng nếu phương trình nghiệm đúng với mọi x thì f phải tuyệt đối chặt chẽ. Sau đó phương trình trở thành ( 1) 2 ( )F x F x+ = và ta có thể dễ dàng tìm thấy một đáp án ( ) 2xF x = . Như vậy, chúng ta có thể kết luận rằng một nghiệm của phương trình ban đầu là 11 2( ) x f x a= (1.43) Nói chung, chúng ta tìm đến một phương trình tuyến tính bằng cách thay thế một hàm f bằng một hàm F. [ ]( ( )) ( )F x f xr j = (1.44) trong đó các hàm r và j được chọn tùy vào sự tuyến tính đối với từng phương trình cụ thể. Không may, một số phương trình hàm không thể đơn giản hóa bởi kỹ thuật tuyến tính hóa. Tuy nhiên, nó đánh giá xem xét một cách thận trọng để hoàn thành đưa về một phương trình mà nó có thể đơn giản bởi các phép biến đổi. Bài toán 1.6. Có tồn tại hay không các hàm :f ®¡ ¡ và :g ®¡ ¡ sao cho: [ ] 2( )f g x x= và [ ] 4( )g f x x= (1.45) với mọi số thực x. 1.5. MỘT SỐ HỌ PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN Một trong những họ phương trình hàm một biến đơn giản nhất có dạng: [ ]( ) ( )f x f x= a (1.57) với mọi số thực x và :a ®¡ ¡ là một hàm cho trước. Nếu không có giả thiết rằng f là một hàm liên tục thì lời giải đầy đủ sẽ dễ dàng và được viết như dưới đây. Trước hết, ta viết: 1 ( ) ( )x xa = a và 1( ) ( ( ))n nx x+a = a a (1.58) với *n Î ¥ . Để thuận lợi, ta định nghĩa 0a là hàm số xác định bởi 12 0 ( )x xa = . (1.59) Ta gọi dãy: 2 2( ), ( ), ( ) ........x x xa a a là chu trình của x. Áp dụng liên tiếp (1.57) n lần ta có ( ) ( )nf x f xé ù= aë û (1.60) Khi đó f là hàm hằng theo biến x. Bài toán 1.7. (1996, Putnam): Cho a là một số thực bất kỳ. Tìm (có chứng minh) tất cả các hàm liên tục :f ®¡ ¡ sao cho 2( ) ( )f x f x a= + với mọi số thực x. Bài toán 1.8. Tìm các hàm thỏa mãn phương trình -+ = ¹12 ( ) ( ) , 0f x f x x x (1.61) 1.6. PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN HỢP VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN HỢP 1.6.1. Phương trình hàm liên hợp Ta gọi phương trình hàm dạng [ ] [ ]( ) ( ) ,f x f xa =b trong đó a b, là các hàm đã cho trước, là phương trình hàm liên hợp. Với ( ) .x s xb = . Ta có phương trình hàm: [ ]( ) . ( )f x s f xa = (1.63) Phương trình (1.63) được gọi là phương trình hàm Schroder. 13 Nếu f là một nghiệm của phương trình (1.63) và giả sử f có một hàm ngược 1g f -= , thì 1g f -= là nghiệm của phương trình [ ]( ) ( )g sy g y= a (1.64) Phương trình (1.64) được gọi là phương trình Poincare. Phương trình hàm dạng [ ]( ) ( )f x f x aa = + (1.65) trong đó a là hàm cho trước được gọi là phương trình hàm Abel. Phương trình [ ] [ ]( ) ( ) pf x f xa = (1.66) trong đó 1p ¹ được gọi là phương trình BottCher. Với phương trình này ta quan tâm tới lớp hàm không âm f(x). Một dạng phương trình nữa được chú ý là phương trình giao hoán. Phương trình giao hoán được xác định bởi: [ ]( ) ( )f x f xa a= . (1.67) Tất cả các phương trình mà ta đã xét ở trên là các trường hợp đặc biệt của một họ các phương trình được gọi là phương trình liên hợp sau đây: [ ] [ ]( ) ( )f x f x=a b (1.68) Trong đó ,a b là các hàm cho trước. Rõ ràng khi =a b , chúng ta nhận được một phương trình giao hoán, khi ( ) .x s x=b ta nhận được phương trình Schroder ,v.v... 14 1.6.2. Thuật toán Lévy cho phương trình Abel Chúng ta xét trường hợp đặc biệt của phương trình Abel khi 1a = , nghĩa là [ ]( ) ( ) 1f x f xa = + . Chú ý rằng, nếu f(x) là một lời giải bất kỳ cho phương trình Abel (1.65) thì ( )f x c+ (với c là hằng số tùy ý) cũng là nghiệm của phương trình Abel. Nếu hàm ( )n xa là một xấp xỉ nhân, người ta có thể biến đổi phương trình Abel về phương trình S và tìm nghiệm như trong mục trước. Ngược lại người ta có thể biến đổi hàm ( )n xa bằng cách dùng x x a® + . Trong trường hợp này đa số các công thức tường minh của phương trình hàm có dạng phương trình hàm Abel. Giả sử 0x$ sao cho: 1 0 0 1 ( ) ( )lim 1, ( ) ( ) n n n nn x x x x x + +®¥ - = " - a a a a (1.69) Thì nếu giới hạn: 0 1 ( ) ( )( ) lim ( ) ( ) n n n nn x xf x x x+®¥ - = - a a a a (1.70) tồn tại, nó là một lời giải của phương trình Abel [ ]( ) ( ) 1f x f x= +a 1.6.3. Thuật toán Koenigs cho phương trình Schroder Ta chú ý rằng nếu f(x) là một lời giải bất kỳ cho phương trình Schroder [ ]( ) . ( )f x s f x=a thì ta nhân nó với một hằng số bất kỳ (tức là . ( ),k f x k Ρ ) cũng là lời giải cho phương trình Schroder. Nếu dãy na là một cấp số nhân thì ta có tìm thấy lời giải cho 15 phương trình Schroder. Hàm ( )n xa được gọi là xấp xỉ hình học nếu tồn tại một số (0; 1)sÎ sao cho ( )lim n nn x s®¥ a (1.71) tồn tại hữu hạn và khác 0. Trong trường hợp này, ta nói rằng hàm ( )n xa có độ biến đổi s trên miền xác định các giá trị x. Trong đó, ( )n xa xấp xỉ hình học với độ biến đổi s độc lập với x, một nghiệm của phương trình Schroder được cho bởi ( )( ) lim n n n xf x s®¥ a = . (1.72) Với cách chọn đặc biệt của s mà nó có tính chất (1.71). Điều này là dễ dàng kiểm tra bằng cách thế trực tiếp với phương trình Schroder. Thật vậy [ ] [ ] 1 1 ( ) ( )( ) lim . lim . ( ) n n n n n n x xf x s s f x s s + + ®¥ ®¥ a a a a = = = Phương pháp đặc biệt cho trong phương trình (1.72) đưa tới một lời giải mà người ta thường gọi là thuật toán Koenigs. 1.6.4. Một thuật toán cho phương trình Bottcher Nếu f(x) là một nghiệm bất kỳ của phương trình Bottcher (1.66), thì [ ]( ) qf x cũng là nghiệm với số mũ q bất kỳ. Phương trình Bottcher có thể theo cách tự nhiên để đưa về một phương trình tuyến 16 tính hóa khi hàm a ( )n x được xấp xỉ như một hàm lũy thừa. Một nghiệm của phương trình Bottcher có thể thu được nếu giới hạn ( ) lim ( ) p nn n f x xa - ®¥ é ù= ë û (1.73) tồn tại. 1.6.5. Giải phương trình giao hoán Dễ thấy rằng các hàm ( ) (x)nnf x a= thỏa mãn phương trình giao hoán [ ] [ ]( ) ( )f x f xa a= với Î ¥n . Một trong những cách giải phương trình giao hoán là thông qua một lời giải của phương trình Schroder, Abel hay Bottcher tương ứng. Chẳng hạn, giả sử g thỏa mãn phương trình Schroder, [ ]( ) . g( )g x s x=a , hơn nữa giả sử g là đơn ánh với hàm ngược 1g - khi đó với bất kỳ hằng số c, sao cho [ ]1( ) . ( )f x g c g x-= (1.74) thỏa mãn phương trình giao hoán. Điều này được suy ra dễ dàng bằng cách dùng sự kiện 1g- thỏa mãn phương trình Poincare. Ta có: [ ] ( ) ( ) [ ] 1 1 ( ) g . ( ) g . ( ) ( ) f x c g x c g x f x - - é ù= ë û é ù= ë û = a a a a Nếu g thỏa mãn phương trình Abel [ ]( ) ( )g x g x a= +a thì với mỗi hằng số c, hàm [ ]1( ) ( ) cf x g g x-= + thỏa mãn phương 17 trình giao hoán. Cuối cùng, nếu [ ] [ ]( ) g( ) pg x xa = (phương trình Bottcher) thì hàm [ ]{ }1( ) g ( ) cf x g x-= thỏa mãn phương trình giao hoán với mọi c. 1.7. PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ MẠNG CÁC CĂN THỨC Lý thuyết mạng căn thức hay còn gọi là lý thuyết các căn lồng nhau có quan hệ mật thiết với lý thuyết về đệ quy. Vì vậy sẽ chẳng có gì ngạc nhiên khi thấy rằng một số bài toán về mạng các căn thức được nghiên cứu bằng cách sử dụng phương pháp của phương trình hàm. Định lý 1.7. Cho ( )f x thỏa mãn phương trình hàm [ ] 2( ) 1 ( 1)f x x f x= + + (1.84) và thỏa mãn bất phương trình 1 ( ) 2( 1) 2 x f x x+ £ £ + (1.85) với mọi 1x ³ . Khi đó ( ) 1f x x= + . 18 CHƯƠNG 2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN 2.1. ĐỊNH NGHĨA TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho phương trình hàm ( ) 0G f = , với G là hàm cho trước, : ff D ® ¡ có miền xác định là fD và 2 2( ) : D fG f Ì ®¡ ¡ . Nếu với mỗi 0e > cho trước tùy ý, tồn tại 0d > sao cho ( ) , , fG f x y D£ e " Î thì tồn tại duy nhất hàm : fg D ® ¡ thỏa mãn ( ) 0G g = và ( ) ( )f x g x- £ d . Khi đó hàm ( ) 0G f = được gọi là ổn định. Ví dụ: Giả sử hàm f thỏa mãn ( ) f( ) 2 2 x y f x yf + +æ ö - £ eç ÷ è ø với e là một số dương bé tùy ý cho trước và với mọi ,x y Î ¡ . Khi đó, tồn tại duy nhất một hàm cộng tính g: ®¡ ¡ sao cho ( ) ( ) (0) ,f x g x f x- - £ e " Î ¡ và phương trình hàm Jensen được gọi là ổn định. 2.2. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CỘNG TÍNH Định lý 2.1. (Định lý Hyers). Nếu hàm :f ®¡ ¡ là một hàm thực thỏa mãn 19 ( ) ( ) ( ) , ,f x y f x f y x y+ - - £ d " Î ¡ với d dương nào đó, thì tồn tại duy nhất một hàm cộng tính :A ®¡ ¡ sao cho ( ) ( ) , .f x A x x- £ d " Ρ Để chứng minh định lý này, ta phải chứng tỏ rằng: (i). 1 (2 ) 2 n n n f x ¥ = ì ü í ý î þ là một dãy Cauchy với mỗi giá trị cố định x Ρ . (ii). Nếu (2 )( ) lim 2 n nn f xA x ®¥ = thì A là một hàm cộng tính trên ¡ . (iii). Hơn nữa, A thỏa mãn ( ) ( ) , .A x f x x- £ d " Ρ (iv). A là duy nhất. Định lý 2.2. (Định lý Hyers mở rộng). Nếu :f ®¡ ¡ là một hàm thực thỏa mãn ( )( ) ( ) ( ) p pf x y f x f y x y+ - - £ d + (2.12) với d dương nào đó, [ )0;1p Î và với mọi ,x y Î ¡ thì tồn tại duy nhất một hàm cộng tính :A ®¡ ¡ sao cho: 2( ) ( ) , 2 2 p pf x A x x x d - £ " Î - ¡ 20 Chú ý: 1. Định lý 2.1 là hệ quả của định lý 2.2 trong trường hợp 0p = . 2. Định lý 2.2 đúng với mọi { }\ 1p Î ¡ . Nếu 1p < ta có (2 )( ) lim 2 n nn f xA x ®¥ = . Nếu 1p > ta có ( ) lim 2 2 n nn xA x f ®¥ æ ö= ç ÷ è ø . 3. Năm 1991, Gajda đã chỉ ra một ví dụ chứng tỏ rằng định lý 2.2 không đúng nếu 1p = . Gajda đã xây dựng một ví dụ về một hàm liên tục bị chặn :g ®¡ ¡ thỏa mãn: ( ) ( ) ( )g x y g x g y x y+ - - £ + với bất kỳ ,x y Ρ , với 0 ( )lim x g x x® = ¥ . Hàm g của Gajda tiến rất gần về 0. Gajda đã xây dựng hàm g như sau. Cho một số 0q > cố định, :g ®¡ ¡ được định nghĩa bởi: 0 ( ) 2 (2 ),n n n g x x x ¥ - = = f " Îå ¡ trong đó :f ®¡ ¡ là hàm cho bởi: 21 1 ,1 6 1( ) , 1 1 6 1 , 1 6 x x x x x ì q £ < ¥ï ï ïf = q - < <í ï ï - q - ¥ < £ -ïî Điều này chứng tỏ định lý 2.2 không còn đúng khi 1p = . Định lý 2.3: Tồn tại một hàm liên tục :f ®¡ ¡ thỏa mãn ( ) ( ) ( )f x y f x f y x y+ - - £ + (2.24) với bất kỳ ,x y Ρ , và với ( )lim x f x x®¥ = ¥ . Bài toán 2.1: ( Xét tính ổn định của phương trình hàm Jensen đã đưa ra ở ví dụ mục 2.1). Giả sử hàm f thỏa mãn ( ) ( ) 2 2 x y f x f yf + +æ ö - £ eç ÷ è ø (2.29) với e là số dương tùy ý cho trước và với mọi ,x y Î ¡ . Khi đó tồn tại duy nhất một hàm cộng tính :A ®¡ ¡ sao cho ( ) ( ) (0) 4 ,f x A x f x- - < e " Î ¡ Bài toán 2.2. Tìm cặp hàm , :f g ®¡ ¡ thỏa mãn ( ) ( ) ( ), ,f x y g x g y x y+ = + " Î ¡ (2.32) Bài toán 2.3. Giả sử hàm , :f g ®¡ ¡ thỏa mãn ( ) ( ) ( )f x y g x g y+ - - £ e (2.34) 22 với e là số dương tùy ý cho trước và với mọi ,x y Î ¡ . Khi đó tồn tại duy nhất một hàm cộng tính :A ®¡ ¡ sao cho { ( ) A( ) (0) 4( ) A( ) (0) 2f x x fg x x g- - £ e- - £ e với mọi ,x y Î ¡ . 2.3. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM NHÂN TÍNH. Định nghĩa 2.2. Phương trình hàm có dạng ( ) ( ) ( ), , \ {0}f xy f x f y x y= " Î ¡ (2.43) được gọi là phương trình hàm nhân tính. Hàm f(x) liên tục trên \{0}¡ và thỏa mãn (2.43) được gọi là hàm nhân tính. Bây giờ ta đi xét tính ổn định của phương trình (2.43). Định lý 2.4: Giả sử 0, : \{0}fd > ®¡ ¡ sao cho ( ) ( ) ( ) , , \ {0}f xy f x f y x y- £ d " Î ¡ (2.44) Khi đó, hoặc 1 1 4 ( ) : , \ {0} 2 f x x + + d £ = e " Î ¡ (2.45) hoặc f là hàm nhân tính với mọi , \ {0}x y Î ¡ . Định lý 2.5. Giả sử :j ®¡ ¡ là một hàm thực bất kỳ. Cho :f ®¡ ¡ là một hàm thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( )f xy f x f y x- £ j (2.47) với mọi ,x y Ρ . Khi đó, f là một hàm bị chặn hoặc f là một hàm nhân tính. 23 2.4. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM ABEL Trong phần này, ta xét phương trình hàm Abel dưới dạng: ( ) ( ) ( )f x y g xy h x y+ = + - (2.52) với , ,f g h là các hàm thực và ,x y" Ρ . Định lý 2.6. Nếu hàm số , , :f g h ®¡ ¡ thỏa mãn bất phương trình hàm ( ) ( ) ( )f x y g xy h x y+ - - - £ e (2.53) với 0e ³ nào đó và ,x y" Î ¡ , thì tồn tại duy nhất một hàm cộng tính :A ®¡ ¡ sao cho: 2 ( ) (0) 22 , 4 ( ) ( ) (0) (0) 21 , xf x A f g x A x f h æ ö - - £ eç ÷ è ø - - + £ e 2 ( ) (0) 22 4 xh x A h æ ö - - - £ eç ÷ è ø với mọi x Î ¡ . 24 KẾT LUẬN Luận văn trình bày hệ thống các kiến thức về một số phương trình hàm một biến và tính ổn định của các phương trình hàm một biến, cụ thể: - Trình bày các định lí, các bài tập liên quan đến phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trình hàm D’Alembert. - Nêu ra các phương trình hàm liên hợp và cách giải các phương trình hàm liên hợp. - Định nghĩa được thế nào là tính ổn định của một phương trình hàm một biến và qua đó đã xét tính ổn định của phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính và một dạng của phương trình hàm Abel. Tôi mong muốn luận văn sẽ góp phần phục vụ cho việc giảng dạy về phương trình hàm cho đối tượng học sinh chuyên toán nói chung và học sinh năng khiếu toán nói riêng.