Trực quan hoá một số bài toán quỹ tích là đường tròn bằng lập trình mô phỏng nhằm phát triển tư duy trừu tượng

I. §Æt vÊn ®Ò. 1. C¬ së lý luËn. ë tr­êng THCS, H×nh häc lµ mét m«n häc cã tÝnh trõu t­îng cao, cã nh÷ng d¹ng to¸n khã trong ®ã ph¶i kÓ ®Õn d¹ng to¸n "Quü tÝch". ChÝnh v× thÕ bªn c¹nh trang bÞ cho häc sinh nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n cÇn ph¶i h×nh thµnh cho c¸c em nh÷ng c¸ch thøc s¬ khai cÇn thiÕt ®Ó tiÕp cËn vµ tõng b­íc gi¶i lo¹i to¸n nµy. Lµ ng­êi d¹y häc ch¾c ai còng biÕt V.I.Lªnin kh¼ng ®Þnh: "Con ®­êng nhËn thøc lµ ®i tõ trùc quan sinh ®éng ®Õn t­ duy trõu t­îng". C¸i trùc quan mµ Lªnin nãi ë ®©y kh«ng ph¶i lµ trùc quan th«ng th­êng mµ ph¶i lµ "trùc quan sinh ®éng". 2. C¬ së thùc tiÔn. HiÖn nay, ë c¸c tr­êng (nhÊt lµ c¸c tr­êng ë n«ng th«n) tØ lÖ häc sinh häc kÐm to¸n rÊt cao. Trong ®ã phÇn lín c¸c em ng¹i häc ph©n m«n H×nh häc ®Æc biÖt lµ d¹ng to¸n quü tÝch. D¹ng to¸n nµy ®­îc ®­a vµo c¸c líp cuèi cÊp THCS víi thêi l­îng kh«ng nhiÒu l¾m. Nh­ng nã l¹i cã mÆt kh¸ nhiÒu trong c¸c ®Ò thi häc sinh giái c¸c c¸c cÊp. To¸n quü tÝch kh«ng nh÷ng khã häc ®èi víi häc sinh mµ cßn khã d¹y ®èi víi gi¸o viªn v× c¸c dông cô trùc quan hç trî gi¶ng d¹y hÇu nh­ kh«ng cã mµ c¸c dông cô thñ c«ng tù t¹o cña gi¸o viªn th× l¹i thiÕu chÝnh x¸c, thiÕu thÉm mü, thao t¸c khã kh¨n, thËm chÝ nhiÒu khi m©u thuÉn víi lý thuyÕt lµm mÊt lßng tin cña häc sinh. Do ®ã mµ nhiÒu khi c¸c em ngé nhËn trong gi¶i to¸n. Qua kh¶o s¸t thùc tÕ ë tr­êng t«i gi¶ng d¹y b»ng hai bµi to¸n sau ®©y: Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, cã c¹nh BC cè ®Þnh. Gäi I lµ giao ®iÓm cña ba ®­êng ph©n gi¸c trong. T×m quü tÝch ®iÓm I khi A thay ®æi. Bµi 2: Cho ®­êng trßn (O; R) vµ mét ®iÓm A n»m ngoµi ®­êng trßn. P lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn ®­êng trßn. Gäi M lµ mét ®iÓm thuéc ®o¹n AP sao cho AM = k.AP (víi k >0). T×m quü tÝch ®iÓm M. KÕt qu¶ thu ®­îc: Tæng sè Sè HS chØ ra ®­îc quü tÝch ë bµi 1 Sè HS chØ ra ®­îc quü tÝch ë bµi 2 Líp 9/3 39 5 (13%) 1 (2,5%) Líp 9/4 40 4 (10%) 0 Nh×n vµo kÕt qu¶ ®iÒu tra trªn ch¾c bÊt cø gi¸o viªn d¹y to¸n nµo còng tr¨n trë: t¹i sao HS l¹i kh«ng gi¶i ®­îc to¸n quü tÝch. ChØ thÞ 40- CT cña Ban bÝ th­ cã yªu cÇu: "TÝch cùc ¸p dông mét c¸ch s¸ng t¹o c¸c ph­¬ng ph¸p tiªn tiÕn hiÖn ®¹i, øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo ho¹t ®éng d¹y häc". HiÖn t¹i, mét sè tr­êng THCS trong huyÖn ®· ®­îc trang bÞ phßng m¸y vi tÝnh nh­ng hiÖu qu¶ sö dông ch­a cao. Chñ yÕu c¸c tr­êng th­êng dïng ®Ó ®¸nh v¨n b¶n hay r¶i r¸c d¹y tin häc v¨n phßng cho häc sinh. Ch­a thÊy tr­êng nµo sö dông c«ng nghÖ th«ng tin nãi chung vµ m¸y tÝnh nãi riªng nh­ mét ®å dïng d¹y häc. Tr­íc ®©y trong lóc d¹y nghÒ tin häc líp 9, t«i ®· thö giíi thiÖu mét sè bµi to¸n quü tÝch vµ dùng h×nh c¬ b¶n b»ng phÇn mÒm The Geometer's Sketchpad. Sau khi xem c¸c em rÊt thÝch vµ hiÓu bµi to¸n rÊt nhanh. GÇn ®©y t«i ®­îc tiÕp xóc víi phÇn mÒm d¹y häc Violet cña ng­êi viÖt cã giao diÖn th©n thiÖn, mang tÝnh s­ ph¹m cao vµ t­¬ng ®èi dÔ sö dông. Trong bé phÇn mÒm nµy cã m«®un lËp tr×nh m« pháng cho phÐp tr×nh bµy c¸c bµi to¸n quü tÝch còng nh­ dùng h×nh gióp gi¸o viªn dÔ dµng trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vµ mang l¹i nh÷ng hiÖu qu¶ kh«ng ngê tíi. ChÝnh v× thÕ t«i m¹o muéi trao ®æi víi c¸c thÇy c« vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp s¸ng kiÕn nhá: "Trùc quan ho¸ mét sè bµi to¸n quü tÝch lµ ®­êng trßn b»ng lËp tr×nh m« pháng nh»m ph¸t triÓn t­ duy trõu t­îng". 3. Giíi h¹n ®Ò tµi. §Ò tµi nµy chØ giíi thiÖu c¸ch m« pháng trùc quan mét sè bµi to¸n quü tÝch lµ ®­êng trßn (®Æc biÖt lµ bµi: "Cung chøa gãc" - H×nh häc 9 - TiÕt 46, Bµi 6) b»ng c¸ch dïng ng«n ng÷ Violet Script nh»m h×nh thµnh cho häc sinh nh÷ng kiÕn thøc vµ kü n¨ng c¬ b¶n khi lµm to¸n quü tÝch. Nãi c¸ch kh¸c lµ t¹o cho häc sinh nh÷ng "lèi mßn" trªn con ®­êng nhËn thøc ®Ó c¸c em cã thªm tù tin gi¶i to¸n khi kh«ng cã thÇy c« bªn c¹nh. §Ó bµi viÕt ®­îc gän h¬n, t«i xin nªu c¸ch h­íng dÉn t×m ra quü tÝch vµ m« pháng quü tÝch chø kh«ng tr×nh bµy lêi gi¶i chi tiÕt. II. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò. 1. KiÕn thøc c¬ b¶n. 1.1. Quü tÝch lµ g×? Quü tÝch lµ tËp hîp nh÷ng ®iÓm cã mét sè tÝnh chÊt chung nµo ®ã vµ chØ nh÷ng ®iÓm cã tÝnh chÊt ®ã mµ th«i. 1.2. C¸ch gi¶i bµi to¸n quü tÝch: Khi gi¶i bµi to¸n quü tÝch ta th­êng ph¶i chøng minh c¶ hai phÇn: phÇn thuËn vµ phÇn ®¶o. PhÇn thuËn: Nh÷ng ®iÓm cã tÝnh chÊt T th× n»m trªn h×nh H. (NÕu bµi to¸n quü tÝch cã xÐt giíi h¹n th× ë phÇn nµy cã thªm phÇn Giíi h¹n quü tÝch). PhÇn ®¶o: Nh÷ng ®iÓm n»m trªn h×nh H th× cã tÝnh chÊt T. 1.3. Hai yÕu tè chÝnh trong bµi to¸n quü tÝch: Trong bµi to¸n quü tÝch cã hai lo¹i yÕu tè chÝnh ®ã lµ: yÕu tè cè ®Þnh vµ yÕu tè chuyÓn ®éng. ViÖc t×m ra mèi liªn hÖ gi÷a hai lo¹i yÕu tè nµy lµ kh©u cèt yÕu ®Ó gi¶i bµi to¸n quü tÝch. 2. Mét sè bµi to¸n minh ho¹. Bµi to¸n quü tÝch "cung chøa gãc". AMB Cho ®o¹n th¼ng AB vµ gãc a (00 < a < 900). T×m quü tÝch (tËp hîp) c¸c ®iÓm M tho· m·n = a. Tr­íc hÕt GV cho HS lµm bµi to¸n cô thÓ sau: Bµi to¸n 1: AMB Cho ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh, t×m quü tÝch (tËp hîp) c¸c ®iÓm M n»m trong mÆt ph¼ng sao cho = 900. C¸ch lµm: §Çu tiªn GV h­íng dÉn häc sinh vÏ mét sè vÞ trÝ cña ®iÓm M. Ch¼ng h¹n: M1, M2, M3... nh­ bªn. Ta ®­îc h×nh vÏ nh­ sau: Sau ®ã ®Æt c©u hái: a) C1: Em cã nhËn xÐt g× vÒ c¸c vÞ trÝ cña ®iÓm M (chóng th¼ng hµng hay kh«ng)? TL: Chóng kh«ng th¼ng hµng. C2: C¸c vÞ trÝ cña M cã thÓ n»m trªn ®­êng th¼ng hay ®­êng trßn? TL: M cã thÓ n»m trªn ®­êng trßn. C3: M c¸ch ®Òu ®iÓm nµo? GV cã thÓ gîi ý (nÕu HS kh«ng tr¶ lêi ®­îc): M cã c¸ch ®Òu trung ®iÓm O cña AB kh«ng? b) Råi yªu cÇu häc sinh nèi O víi c¸c vÞ trÝ cña M. c) d) e) H×nh 1 g) C4: So s¸nh c¸c ®o¹n th¼ng võa vÏ? TL: Chóng b»ng nhau v× ®Òu b»ng mét n÷a c¹nh huyÒn AB. VËy ®iÓm M n»m trªn ®­êng nµo? TL: M n»m trªn ®­êng trßn (§­êng trßn ®­êng kÝnh AB). AMB Kh«ng nh÷ng 3 ®iÓm nãi trªn mµ mäi ®iÓm M tho¶ m·n = 900 ®Òu thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Sau ®ã GV cho HS xem m« pháng quü tÝch võa t×m ®­îc ®Ó ghi nhí l©u h¬n (trªn m¸y h×nh ¶nh sÏ sinh ®éng h¬n). a) b) c) d) e) f) H×nh 2 Khi M º A hoÆc M º B th× gãc AMB lµ gãc t¹o bëi ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB lÇn l­ît t¹i A hoÆc B. *L­u ý: trong bµi to¸n trªn nÕu yªu cÇu t×m quü tÝch nh÷ng ®iÓm M sao cho tam gi¸c AMB vu«ng t¹i M th× ph¶i trõ hai ®iÓm A vµ B (v× khi M º A hoÆc M º B th× kh«ng tån t¹i tam gi¸c AMB). a) b) c) d) e) f) Sau khi häc sinh n¾m ®­îc quü tÝch ë bµi to¸n trªn th× GV cho HS quan s¸t sù m« pháng trªn m¸y (nh­ mét sè h×nh chôp ®­îc d­íi ®©y) H×nh 3 g) h) i) C1: Theo quan s¸t, em cã nhËn xÐt g× vÒ quü ®¹o chuyÓn ®éng cña ®iÓm M? TL: §iÓm M chuyÓn ®éng trªn hai cung trßn. GV h­íng dÉn HS chøng minh nhËn ®Þnh trªn. * PhÇn thuËn: (Tr­íc hÕt, xÐt mét n÷a mÆt ph¼ng bê lµ ®­êng th¼ng AB). AMB GV (nãi ®ång thêi tr×nh diÔn trªn m¸y): Gi¶ sö M tho· m·n = a vµ n»m trong n÷a mÆt ph¼ng ®ang xÐt. H·y chøng minh cung trßn ®i qua ba ®iÓm A, M, B lµ cè ®Þnh (kh«ng phô thuéc vµo M). x y a a a b) a) Trªn n÷a mÆt ph¼ng bê lµ ®­êng th¼ng AB kh«ng chøa ®iÓm M kÎ tia tiÕp tuyÕn Ax cña §.Trßn ®i qua 3 ®iÓm A, M, B Khi ®ã ÐBAx =a do ®ã tia Ax cè ®Þnh T©m O ph¶i n»m trªn ®­êng th¼ng Ay vu«ng gãc víi Ax t¹i A VËy O cè ®Þnh, kh«ng phô thuéc vµo M MÆt kh¸c O ph¶i n»m trªn ®­êng trung trùc d cña AB a a a a a H×nh 4 c) d) e) n m y x y x x a d) c) y O cè ®Þnh v× Ay vµ d cè ®Þnh. e) H×nh 4 Chó ý: GV cÇn gi¶i thÝch cho häc sinh lµ tia Ay lu«n c¾t d (v× 00 < a < 900 nªn Ax kh«ng thÓ trïng víi ®­êng th¼ng AB do ®ã Ay kh«ng vu«ng gãc víi AB). VËy M thuéc cung trßn AmB cè ®Þnh. * PhÇn ®¶o: AM'B LÊy bÊt k× ®iÓm M' thuéc cung AmB. Ta cÇn chøng minh = a. m (PhÇn nµy do HS tù chøng minh - sö dông kiÕn thøc vÒ gãc néi tiÕp vµ gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung). a) GV (nãi vµ m« pháng trªn m¸y): trªn n÷a mÆt ph¼ng ®èi cña mÆt ph¼ng ®ang xÐt, ta cßn cã cung Am'B ®èi xøng víi cung AmB còng cã tÝnh chÊt nh­ cung AmB. Mçi cung nh­ thÕ ®­îc gäi lµ cung chøa gãc a dùng trªn ®o¹n AB. m' H×nh 5 b) * KÕt luËn: AMB Víi ®o¹n th¼ng AB vµ gãc a (00 < a < 900) cho tr­íc th× quü tÝch c¸c ®iÓm M tho· m·n = a lµ hai cung chøa gãc a dùng trªn ®o¹n AB. Sau khi gi¶i xong GV nªu mét sè chó ý: Hai cung chøa gãc nãi trªn lµ hai cung trßn ®èi xøng nhau qua AB. Hai ®iÓm A, B ®­îc coi lµ thuéc quü tÝch. Khi a = 900 th× hai cung nãi trªn lµ hai n÷a ®­êng trßn (Bµi to¸n 1). ë h×nh 4e) AmB lµ cung chøa gãc a th× AnB lµ cung chøa gãc 180-a. GV h­íng dÉn dùng cung chøa gãc a trªn ®o¹n AB theo c¸c b­íc d­íi ®©y: (PhÇn nµy còng ®­îc m« pháng trªn m¸y) Dùng ®­êng trung trùc d cña AB H×nh 6 a) b) c) d) e) f) Dùng ®­êng th¼ng Ay ^ Ax Dùng tia Ax sao cho = a. ABx Dùng cung trßn t©m O b¸n kÝnh OA (hoÆc OB) Gäi O lµ giao ®iÓm cña Ay vµ d Bµi to¸n 2: Cho ®­êng trßn (O; R) vµ mét ®iÓm A n»m ngoµi ®­êng trßn. P lµ mét ®iÓm bÊt k× trªn ®­êng trßn. T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña AP khi P chuyÓn ®éng trªn ®­êng trßn. T­¬ng tù bµi to¸n 1, ë bµi nµy GV còng cho HS vÏ tr­íc mét sè vÞ trÝ cña ®iÓm M. Ch¼ng h¹n: M1, M2, M3... nh­ h×nh d­íi ®©y: Sau ®ã cho HS nhËn xÐt vÒ c¸c vÞ trÝ cña M. TL: M cã thÓ n»m trªn ®­êng trßn nµo ®ã (v× chóng - M1, M2, M3 kh«ng th¼ng hµng). B©y giê yªu cÇu HS chØ ra c¸c yÕu tè cè ®Þnh vµ yÕu tè chuyÓn ®éng vµ sù liªn hÖ gi÷a chóng. H×nh 7 TL: -YÕu tè cè ®Þnh: §­êng trßn (O; R) cè ®Þnh nªn O cè ®Þnh vµ R kh«ng ®æi; ®iÓm A cè ®Þnh. -YÕu tè chuyÓn ®éng: P chuyÓn ®éng nªn trung ®iÓm M cña AO còng chuyÓn ®éng. Do M lµ trung ®iÓm cña AP nªn ta nghÜ ®Õn ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c AOP. Gäi N lµ trung ®iÓm cña AO - N cè ®Þnh. Do MN lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c AOP nªn (kh«ng ®æi) VËy M n»m trªn ®­êng trßn Lêi gi¶i: ............. Sau khi gi¶i xong GV cho HS xem l¹i m« pháng quü tÝch trªn m¸y: H×nh 8 Bµi to¸n 2': Cho ®­êng trßn (O; R) vµ mét ®iÓm A n»m trong ®­êng trßn. P lµ mét ®iÓm bÊt k× trªn ®­êng trßn. T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña AP khi P chuyÓn ®éng trªn ®­êng trßn. (C¸ch lµm bµi to¸n nµy hoµn toµn t­¬ng tù bµi to¸n 2 ë trªn) 2. §Ò tµi nµy cã kÌm theo mét ®Üa CD - Tr×nh bµy trªn nÒn cña phÇn mÒm t¹o bµi gi¶ng Violet. Môc lôc I. §Æt vÊn ®Ò. 1 1. C¬ së lý luËn. 1 2. C¬ së thùc tiÔn. 1 3. Giíi h¹n ®Ò tµi. 2 II. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò. 3 1. KiÕn thøc c¬ b¶n. 3 1.1. Quü tÝch lµ g×? 3 1.2. C¸ch gi¶i bµi to¸n quü tÝch: 3 1.3. Hai yÕu tè chÝnh trong bµi to¸n quü tÝch: 3 2. Mét sè bµi to¸n minh ho¹. 3 F Bµi to¸n 1: 3 F Bµi to¸n 2: 8 F Bµi to¸n 2': 10 F Bµi to¸n 2*: 10 F Bµi to¸n 3: 10 F Bµi to¸n 4: 11 3. KÕt qu¶ ®¹t ®­îc. 13 III. KÕt luËn - KiÕn nghÞ. 13 1. KÕt luËn. 13 2. KiÕn nghÞ. 13 Phô lôc 14 Môc lôc 14