Ứng dụng quá trình bán markov vào mô hình rủi ro trong bảo hiểm

ơng, ((Hn, ζn) , n > 0) là chính quy (xem Pyke (1961a)) có nghĩa là nó chỉ có một số hữu hạn các phép chuyển trên bất kì khoảng thời gian nào. Bây giờ với µ < 0, ta được: Mi (x) = P (M ≤ x | J0 = i) = ∑ j (1− υj) M˜ij (x) (3.189) trong đó M˜ = [ M˜ij ] là ma trận cho hàm tái tạo của quá trình ((Hn, ζn) , n > 0). Từ mệnh đề 7.5 chương 5 của Janssen and Manca (2006), ta biết rằng: lim x→∞ Mi (x) = 1, ∀i ∈ I. (3.190) Ta cũng thấy rằng Mi (0) = 1− υi, ∀i ∈ I. (3.191) Ta có thể bắt đầu từ hệ phương trình tích phân sau của dạng Wiener-Hopf được cho từ lập luận xác suất trực tiếp: Mi (x) =  ∑ j x∫ −∞ Mj (x− s) dQij (x) , x ≥ 0, 0, x < 0. (3.192) Với m = 1, ta có phương trình Wiener-Hopf cổ điển : M (x) =  x∫ −∞ M (x− s) dQ (x) , x ≥ 0, 0, x < 0. (3.193) Janssen (1970) chứng minh rằng hệ phương trình tích phân của dạng Wiener-Hopf này có duy nhất một nghiệm P , nghĩa là vectơ (M1, . . . ,Mn) của các hàm phân phối thỏa hệ 3.192. Chương 4 Các Mô Hình Rủi Ro Trong Bảo Hiểm 4.1 Mô hình ngẫu nhiên cổ điển cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản Trong phần này, trước hết ta sẽ phát triển ví dụ 3.1 trong chương 3 thành tổng quát và sau đó xét cho trường hợp riêng của quá trình Poisson cho các yêu cầu bồi thường bảo hiểm. Xét một công ty bảo hiểm, bắt đầu tại thời điểm 0 với số vốn ban đầu là một lượng u(u > 0) (đối với các công ty bảo hiểm có thể gọi là vốn dự trữ hoặc đối với các ngân hàng thì gọi là tài sản cố định). Hầu hết ở các quốc gia phát triển, vốn ban đầu được quy định bởi chính phủ và nó phụ thuộc vào vốn luân chuyển của công ty bảo hiểm. Thực vậy, rõ ràng vốn dự trữ này bảo vệ khách hàng khỏi rủi ro khi một công ty bảo hiểm không may phải chi một lượng lớn tiền bồi thường trong một khoảng thời gian ngắn, ví dụ như do một biến cố lớn nào đó mà công ty không đủ sức để chi trả tiền bồi thường. Vấn đề cơ bản mà các chuyên viên tính toán bảo hiểm phải giải quyết là đưa ra đánh giá khách quan cho vốn dự trữ cực tiểu này. Ta sẽ nghiên cứu để giải quyết vấn đề cơ bản này sau. Bất kì mô hình rủi ro nào liên quan đến công ty bảo hiểm đều được đặc trưng bởi ba quá trình cơ bản sau: (i) Thứ nhất là quá trình số lượng các yêu cầu bồi thường. Đây là một quá trình ngẫu nhiên, đếm số lần yêu cầu bồi thường từ phía khách hàng. (ii) Quá trình ngẫu nhiên thứ hai là quá trình ngẫu nhiên liên quan đến lượng tiền bồi thường. Đặc biệt, nó đưa ra hàm phân phối lượng tiền công ty phải chi trả khi có yêu cầu bồi thường. (iii) Quá trình cuối cùng liên quan đến thu nhập của công ty. Nhìn chung đây là quá trình quyết định. Thu nhập của công ty chính là phí bảo hiểm do khách hàng đóng và phí bảo hiểm này phải được xác định cho mỗi hợp đồng cụ thể. Với bất kì giả thiết nào về ba quá trình này, có sự tương ứng với một mô hình rủi ro ngẫu nhiên đặc biệt. Vấn đề quan trọng nhất này sẽ được trình bày sau. Trong phần này ta chỉ xét hai mô hình là: mô hình E.S Anderson (còn gọi là mô hình G/G) và mô hình Cramer – Lundberg (mô hình P/G). Các kí hiệu được lấy từ lý thuyết hàng đợi cho ta thông tin về hai hàm phân phối được sử dụng trong các mô hình này. Hàm phân phối thứ nhất về khai báo yêu cầu giải quyết quyền lợi bảo hiểm và hàm phân phối thứ hai về số 4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G 110 lượng tiền bồi thường (với G là một hàm phân phối bất kì và P trong Poisson là phân phối mũ âm). 4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G 4.2.1 Mô hình Giả thiết cơ bản cho mô hình G/G là: (i) Quá trình số lượng yêu cầu giải quyết quyền lợi bảo hiểm Đặt (Xn, n ≥ 1) là quá trình ngẫu nhiên của số lần khai báo giữa các yêu cầu bồi thường bảo hiểm liên tiếp. Giả sử rằng quá trình này là một dãy các biến ngẫu nhiên không âm độc lập cùng phân phối với A là hàm phân phối thông thường, như vậy: a) A(0) < 1. (4.1) b) ∫ ∞ 0 xdA(x) = α <∞. (4.2) (ii) Quá trình chi trả bồi thường Đặt (Yn, n ≥ 1) là dãy các số tiền chi trả bồi thường liên tiếp. Ta cũng giả sử rằng có một dãy các biến ngẫu nhiên không âm độc lập cùng phân phối, với B là hàm phân phối thông thường, như vậy: a) B(0) < 1. (4.3) b) ∫ ∞ 0 ydB(y) = β <∞. (4.4) Hơn nữa, dãy (Xn, n ≥ 1) và (Yn, n ≥ 1) độc lập và được xác định trên không gian xác suất đầy đủ (Ω,=, P ). (iii) Quá trình doanh thu bảo hiểm Giả thiết cổ điển là có một hằng số c dương là mức phí bảo hiểm trong một đơn vị thời gian, có nghĩa là trong khoảng thời gian [0, t], tổng doanh thu của một công ty bảo hiểm là ct. 4.2.2 Phí bảo hiểm Một trong những vấn đề chính của công ty là làm thế nào để cố định mức phí bảo hiểm tương đối hợp lí. Khi đó phải quan tâm hai điều kiện sau: a) Tuổi thọ của công ty bảo hiểm, đó là giai đoạn mà vốn công ty phải luôn dương với xác suất cao và lâu dài. Thực vậy, từ quan điểm kinh tế, vốn dự trữ lớn sẽ cho một hệ số an toàn cao nhưng nếu vốn dự trữ thừa quá mức có nghĩa là công ty thu phí bảo hiểm quá cao. 4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G 111 b) Vấn đề đáng quan tâm của mỗi công ty là phải chọn hệ số c càng thấp càng tốt nhưng không vi phạm độ an toàn kinh tế riêng của mỗi công ty. Để cố định giá trị c, ta xét quá trình tái tạo (Tn, n ≥ 0) của các thời điểm có yêu cầu giải quyết bồi thường bảo hiểm liên quan đến dãy (Xn, n ≥ 1), với X0 = 0. Đó là: Tn = n∑ k=0 Xk. (4.5) Theo thuyết tái tạo, quá trình đếm kết hợp (N(t), t ≥ 0), được xác định bởi 1.6 trong chương 1, cho ta tổng số yêu cầu bồi thường trong (0, t] và từ hệ thức 1.103 trong hệ quả 1.13 của chương 1, ta biết rằng: lim t→∞ H(t) t = 1 α (4.6) nếu H(t) = E(N(t)) (4.7) và với t lớn thì: E(N(t)) ≈ t α . (4.8) Bây giờ, từ hệ thức 4.4 tổng số tiền trung bình mà công ty phải trả cho các bồi thường bảo hiểm trong (0, t] xấp xỉ bằng: β α t. (4.9) Kết quả cuối cùng này chỉ ra rằng tổng số tiền bồi thường mà công ty bảo hiểm phải trả trong suốt thời gian (0, t] được xấp xỉ là c˜t, trong đó: c˜ = β α . (4.10) Theo đó nếu ta lấy giá trị c˜ này như mức phí bảo hiểm cố định trên một đơn vị thời gian thì nó được xem như một trò chơi giữa công ty bảo hiểm và khách hàng. Trò chơi này gần như được xem là công bằng tiệm cận. Đó là lý do tại sao c˜ được gọi là phí bảo hiểm thuần túy. Nhưng một cách không may mắn, sau này ta sẽ thấy rằng sự lựa chọn này sẽ dẫn đến sự phá sản của công ty trong [0,∞). Khi đó cũng đưa ra một hệ số an toàn dương η để: c = (1 + η)c˜ (4.11) hoặc c = (1 + η) β α . (4.12) Mặt khác, công ty phải chọn mức phí bảo hiểm c như sau: c > β α . (4.13) Bây giờ, c˜ được gọi là hệ số phí bảo hiểm. Vì thế, nếu ta đặt c = 1, thì hệ thức sẽ cho ta: α > β (4.14) 4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G 112 nghĩa là khoảng thời gian trung bình giữa hai yêu cầu giải quyết bồi thường liên tục lớn hơn số tiền bồi thường trung bình. Điều kiện này đảm bảo lợi ích của người nắm chính sách bảo hiểm. Phần lý thuyết này sẽ được làm sáng tỏ bên dưới. Kết luận: mỗi công ty bảo hiểm phải kiểm soát được hai tham số cơ bản đó là: vốn dự trữ ban đầu hoặc cổ phần u và hệ số an toàn η. Hơn nữa, khả năng để mở công ty bảo hiểm được quy định bởi pháp luật. 4.2.3 Ba quá trình cơ bản Bây giờ khảo sát ba quá trình ngẫu nhiên quan cơ bản trọng trong lý thuyết rủi ro. 1) Quá trình tích lũy tiền bồi thường bảo hiểm Nó là một quá trình ngẫu nhiên (U(t), t ≥ 0) được định nghĩa như sau: U(t) = N(t)∑ n=1 Yn (4.15) hoặc: U(t) = UN(t) (4.16) nếu Un = n∑ i=1 Yi, (4.17) luôn sử dụng quy ước cổ điển tổng của vô hạn tập rỗng bằng 0. Với mỗi t cố định, U(t) cho ta tổng số lượng yêu cầu bồi thường trong (0, t]. Ta đặt M(t, y) là giá trị của hàm phân phối U(t) tại thời điểm y. Ta viết: M(t, y) = ∞∑ n=0 P (Un ≤ y,N(t) = n). (4.18) Áp dụng hệ thức 1.12 trong chương 1, theo giả thiết hai quá trình ngẫu nhiên (Xn, n ≥ 1) và (Yn, n ≥ 1) độc lập dẫn tới: M(t, y) = ∞∑ n=0 P (Un ≤ y, P (N(t) = n) = ∞∑ n=0 (A(n)(t)− A(n+1)(t))B(n)(y). (4.19) 2) Quá trình rủi ro Là một quá trình ngẫu nhiên : (U(t)− ct, t ≥ 0) (4.20) mô tả tổng chi phí mà công ty phải trả cho đến thời điểm t, được dự phòng sao cho công ty vẫn không bị phá sản vào thời điểm này. 4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G 113 3) Quá trình rủi ro đối với tiền dự trữ (hoặc quá trình thặng dư) Nó mô tả quá trình ngẫu nhiên (α(t), t ≥ 0), trong đó: α(t) = u− U(t) + ct,t ≥ 0 (4.21) tại thời điểm t là tổng tài sản thực của công ty, giả sử rằng công ty vẫn hoạt động tốt vào thời điểm đó. Hai sơ đồ tiếp theo cho ta đường quỹ đạo điển hình của quá trình N và quá trình α. Hình 4.1: Quỹ đạo của quá trình N Hình 4.2: Quỹ đạo của quá trình α 4.2.4 Xác suất phá sản Bây giờ ta xét quá trình rủi ro cơ bản trong lý thuyết rủi ro. Từ quan điểm kinh tế ngặt, tuổi thọ của một công ty bảo hiểm được định nghĩa như thời gian dừng: T = inf {t : α(t) < 0} (4.22) Đây là một quan điểm quan trọng, ta không xét xác suất mà công ty vay nợ để giải quyết một rủi ro nhỏ. Rõ ràng, nếu biến cố {ω : T (ω) ≤ 0} xảy ra thì công ty bị phá sản trước hoặc vào thời điểm t. Ngược lại thì công ty không bị phá sản. Ta sẽ sử dụng kí hiệu sau cho xác suất phá sản và không phá sản trong thời gian horizon vô hạn, nghĩa là trên [0,∞): Ψ(u) = P (T <∞|α(0) = u), (4.23) 4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G 114 φ(u) = P (T = ∞|α(0) = u) = 1−Ψ(u). (4.24) Sự hiểu biết về hàm Ψ hoặc hàm tương ứng φ là cần thiết để ta có thể chọn các giá trị cho các tham số u và η sao cho đảm bảo các dịch vụ tốt cho khách hàng. Ví dụ, nếu u cố định, ta thấy rằng xác suất φ như một hàm của hệ số an toàn η: φ(u, η). (4.25) Nếu ta đặt điều kiện: φ(u, η) > ε, (4.26) ví dụ với ε = 0.99999, ta có thể chọn giá trị η cực tiểu như vậy điều kiện 4.26 được thỏa mãn. Với sự hỗ trợ của các kết quả bước ngẫu nhiên, ta có thể chứng minh rằng lý thuyết với hệ số an toàn dương là một điều kiện cần để không xảy ra phá sản trong [0,∞). Trong giai đoạn (Tn−1, Tn], chi phí của công ty tăng hay giảm là do các khoản thực phải chi được đưa ra bởi: Zn = Yn − cXn, n ≥ 1. (4.27) Dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối (Zn, n ≥ 1) (4.28) tạo ra các bước ngẫu nhiên của các giá trị liên tiếp: Sn = n∑ k=1 Zk. (4.29) Từ hệ thức 4.21 ta có: α(Tn) = u− Sn (4.30) với Sn là giá trị của quá trình rủi ro tại thời điểm Tn. Bây giờ ta xét biến ngẫu nhiên M được xác định bởi hệ thức 3.170 trong chương 3; từ 4.24 ta suy ra: φ(u) = P (M ≤ u). (4.31) Từ mệnh đề 3.40 trong chương 3, ta biết rằng hàm phân phối M không suy biến khi và chỉ khi bước ngẫu nhiên tiến đến −∞, hoặc: E(Zn) < 0. (4.32) Rõ ràng, từ hệ thức 4.27 điều kiện cuối cùng này cũng tương đương với bất đẳng thức 4.13. Trường hợp β − cα = 0 (4.33) phải được xem xét cẩn thận. Thực vậy, trong trường hợp này bước ngẫu nhiên được tạo ra bởi dãy ngẫu nhiên dao động 4.27, vì vậy với bất kì u > 0 ta có: P (∃n ∈ N0 : Sn > u) = 1. (4.34) Mặt khác, kết quả này chỉ ra rằng với bất kì vốn dự trữ ban đầu, công ty sẽ bị phá sản với xác suất bằng 1. Điều này cũng có nghĩa là trò chơi công bằng tiệm cận dẫn đến sự phá sản của công ty. 4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G 115 Vì vậy, bỏ qua hệ số an toàn, bước ngẫu nhiên (Sn, n ≥ 0) cũng sẽ tiến ra +∞ hoặc sẽ dao động. Trong cả hai trường hợp ta biết rằng M = ∞. (4.35) Theo đó, việc tính toán hàm xác suất không phá sản φ chỉ xảy ra khi bất đẳng thức 4.13 hoặc 4.14 được thỏa và nó cũng cần để cụ thể hóa một số giả thiết cơ bản để có các biểu thức giải tích dễ vận dụng hơn. Điều này có thể thực hiện được trong trường hợp của mô hình Cramer-Lundberg hoặc P/G. 4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G 4.3.1 Mô hình Để có được mô hình rủi ro riêng, ta có thể chỉnh sữa mô hình Anderson ở trên theo phương pháp sau: ta xem quá trình chi trả tiền bồi thường là một quá trình Poisson hoặc như ví dụ 1.2 trong chương 1 với: A(x) = { 1− eλx nếu x ≥ 0 0 nếu x < 0 (4.36) theo 4.2: α = 1 λ . (4.37) Khi đó điều kiện 4.13 hoặc 4.32 trở thành: c > λβ. (4.38) Vì vậy, nếu trong trường hợp tổng quát, bất kì mô hình Anderson nào được xác định bởi hai hàm phân phối A và B trên [0,∞) đã biết thì nó giải thích cho kí hiệu của mô hình rủi ro E.S Anderson (hay G/G) với kí tự G có nghĩa là “tổng quát”. Mặt khác, bất kì mô hình Cramer – Lundberg (hay P/G) được xác định bởi tham số λ dương thì nó xác định quá trình Poisson của các yêu cầu bồi thường bảo hiểm và bởi hàm phân phối tổng quát B trên [0,∞) cho lượng tiền bồi thường bảo hiểm. Điều này cũng giải thích cho kí hiệu P/G (P là “Poisson” và G là “tổng quát”) của mô hình riêng này. 4.3.2 Xác suất phá sản Bây giờ ta xét xem làm thế nào để có thể xây dựng phương pháp giải đặc trưng để có được các kết quả đơn giản cho hàm xác suất không phá sản φ. Từ bây giờ, ta giả sử rằng điều kiện 4.38 được thỏa mãn. Ngược lại thì φ đồng nhất với 0. Từ các quy luật xác suất chuẩn, với các điều kiện quan tâm đến thời điểm xảy ra yêu cầu bồi thường bảo hiểm đầu tiên, ta có φ(u) = ∫ ∞ 0 λe−λt ∫ u+ct 0 φ(u+ ct− y)dB(y)dt, u > 0. (4.39) Thay biến z = u+ ct ta được: φ(u) = λ c e λ c u ∫ ∞ c e −λ c z ∫ z 0 φ(z − y)dB(y)dz. (4.40) 4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G 116 Từ các định lí phân tích cổ điển, theo biểu thức 4.40 ta suy ra được đạo hàm của φ là: φ′(u) = ( λ c e λ c u )′ ∫ ∞ u e− λ c z ∫ z 0 φ(z − y)dB(y)dz + λ c e λ c u ( −eλc u )∫ u 0 φ(z − y)dB(y). (4.41) Sử dụng lại hệ thức 4.40 ta được: φ′(u) = λ c φ(u)− λ c ∫ u 0 φ(u− y)dB(y). (4.42) Lấy tích phân từng số hạng của đẳng thức cuối cùng trên [0, t] ta được: φ(t)− φ(0) = λ c ∫ t 0 φ(ξ)dξ − λ c ∫ t 0 ∫ ξ 0 φ(ξ − y)dB(y)dξ. (4.43) Áp dụng định lí Fubini liên quan đến sự hoán vị tích phân của số hạng cuối cùng trong thành phần thứ hai của 4.43, ta được: φ(t)− φ(0) = λ c ∫ t 0 φ(ξ)dξ − λ c ∫ t 0 ∫ y t φ(ξ − y)dB(y)dξ. (4.44) Tích phân hai lớp của thành phần thứ hai có thể được lấy tích phân từng phần, với: f(y) = t−y∫ 0 φ(v)dv(= t∫ y φ(ξ − y)dξ),dg(y) = dB(y). (4.45) Điều này cho ta kết quả sau: φ(t)− φ(0) = λ c φ(ξ)dξ − λ c ∫ t 0 φ(t− y)B(y)dy. (4.46) Cuối cùng, trong tích phân đầu tiên của hệ thức cuối đặt ξ = t− y, ta được: φ(t) = φ(0) + λ c ∫ t 0 φ(t− y)(1− B(y))dy. (4.47) Trước khi giải phương trình tích phân này, ta phải tính giá trị φ(0). Muốn vậy, trong hệ thức cuối ta cho t tiến ra ∞. Khi đó: φ(∞) = φ(0) + λ c φ(∞)L(∞) (4.48) trong đó: dL(y) = [1−B(y)]dy và như vậy L(∞) = ∫ ∞ 0 (1−B(y))dy = β. (4.49) Bây giờ, trở lại đẳng thức 4.48 ta có thể rút ra giá trị của φ(∞) là: φ(∞) = φ(0) 1− λβ c (4.50) 4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G 117 nhưng, theo điều kiện 4.38 ta có φ(∞) = 1 và vì vậy hệ thức cuối cho ta kết quả mong muốn: φ(0) = 1− λβ c . (4.51) Như vậy, dạng cuối cùng của phương trình tích phân 4.39 là: φ(t) = 1− λβ c + λβ c ∫ t 0 φ(t− y)dB ∗ (y), B ∗ (y) = 1 β ∫ y 0 (1−B(z))dz. (4.52) Sử dụng phép biến đổi Laplace ta dễ dàng giải được phương trình tích phân này. Với các quy ước tương tự như trong chương 1, hệ thức 4.52 dẫn đến φ˜(s) = ( 1− λβ c ) 1 s + λβ c φ˜(s)b˜ ∗ (s) (4.53) trong đó: b ∗ (y) = ( 1− B(y) β ) . (4.54) Từ phương trình đại số 4.53 ta được biểu thức trọn vẹn của phép biến đổi Laplace trong xác suất không phá sản φ như sau: φ˜(s) = ( 1− λβ c ) 1 s( 1− λβ c b˜ ∗ (s) ) . (4.55) Theo giả thiết 4.38 ta được 1− λβ c b˜ ∗ (s) > 1− λβ c b˜ ∗ (0) > 1− λβ c > 0,∀s > 0 (4.56) vì thế λβ c b˜ ∗ (s) 0. (4.57) Sau một dãy các khai triển, biểu thức mới của phép biến đổi Laplace φ là: φ˜(s) = ( 1− λβ c ) 1 s ∞∑ n=0 ( λβ c b˜ ∗ (s) )n . (4.58) Nghịch đảo từng thành phần trong hệ thức cuối này ta có dạng đầy đủ của xác suất không phá sản: φ(u) = ( 1− λβ c ) ∞∑ n=0 ( λβ c )n B ∗ (u)n. (4.59) Nếu ta muốn diễn đạt xác suất phá sản tại u thì từ đẳng thức 4.24 ta có: Ψ(u) = ( 1− λβ c ) ∞∑ n=0 ( λβ c )n B ∗ (u))(n), = ( 1− λβ c ) ∞∑ n=0 ( λβ c )n (1−B ∗ (u))(n). (4.60) Kết quả này đã được chứng minh bởi Jenssen (1969a) 4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G 118 Ví dụ 4.1. Mô hình P/P hay Lundberg Kí hiệu P/P có nghĩa là ta phải cụ thể hóa việc lựa chọn hàm phân phối B như là một hàm phân phối mũ âm vì thế: B(y) = { 1− e− 1β y, y ≥ 0, 0, y < 0. (4.61) Như ở đây: B ∗ (y) = B(y) (4.62) ta suy ra: b˜ ∗ (s) = 1 βs+ 1 (4.63) khi đó áp dụng kết quả 4.55 ta được: φ˜(s) = ( 1− λβ c ) 1 s( 1− λβ c ) 1 βs+ 1 . (4.64) Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược cho cả hai thành phần của hệ thức cuối này ta được: φ(u) = 1− λβ c e−( 1 β −λ c )u (4.65) và dĩ nhiên : Ψ(u) = λβ c e−( 1 β −λ c )u. (4.66) Sự tồn tại các công thức đầy đủ, đơn giản là ngoại lệ trong lý thuyết rủi ro vì nó đưa ra các biểu thức cho φ và Ψ quá đơn giản. Ngoài ra biểu thức Ψ cũng có thể được viết dưới dạng khác. Thực vậy, từ hệ thức 4.12 ta biết rằng: c = λβ(1 + η). (4.67) thay giá trị c trong biểu thức này vào hệ thức 4.66 ta có hệ thức mới là: Ψ(u) = 1 1 + η e− η 1+η u β . (4.68) Điều này cho ta một kết quả bất ngờ, với hệ thức 4.38 được thỏa, đó là: c > λβ, xác suất phá sản chỉ phụ thuộc vào η và β nhưng không phụ thuộc vào λ. Nói cách khác, kết quả này có nghĩa là nếu ta có hai công ty bảo hiểm với mô hình P/P tương ứng với các tham số (λ1, β) và (λ2, β), cả hai đều thỏa bất đẳng thức 4.38, khi đó hai công ty này bắt đầu với các điều kiện như nhau, có cùng xác suất phá sản khi và chỉ khi chúng có cùng hệ số tải an toàn η. Vì vậy, trong trường hợp này, từ quan điểm về lý thuyết phá sản, công ty nào có tham số λ lớn nhất sẽ ít nguy hiểm hơn khi cả hai công ty đều có cùng số lượng tiền bồi thường trung bình và hệ số an toàn. Ví dụ 4.2. 4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G 119 1) Ta xét một công ty bảo hiểm có lượng tiền bồi thường bảo hiểm cho khách hàng trung bình hàng năm là 2 tỷ đô la và 50.000 yêu cầu bồi thường bảo hiểm. Với số vốn dự trữ ban đầu u là 8.000.000 đô la. Ta có các dữ liệu cho công ty đó là: λ = 50.000 λβ = 2.000.000.000,u = 8.000.000 (4.69) và: β = 40.000. (4.70) Từ hệ thức 4.68 ta có: Ψ(8.000.000) = 1 1 + η e−200 η η+1 . (4.71) Bảng 4.1 đưa ra các giá trị của xác suất phá sản này như một hàm của thừa số an toàn. Hệ số an toàn Xác suất phá sản 0,01 0,1366752 0,03 0,0028661 0,05 0,0000696 0,07 0,0000019 0,10 0,000000011544 Bảng 4.1: Bảng 1.1 2) Ta giả sử rằng thừa số an toàn được cố định là 7% và ta xét xem điều gì sẽ xảy ra nếu: (i) Vốn dự trữ ban đầu có các giá trị liên tục sau: 4.000.000, 2.000.000, 1.000.000, 500.000. (ii) Với số vốn dự trữ là 8.000.000, lượng tiền bồi thường bảo hiểm cho khách hàng trung bình là 25.000 và 100.000. (iii) Số lượng yêu cầu bồi thường trung bình hàng năm liên tiếp là 70.000, 20.000.(vẫn với số vốn dự trữ là 80.000). Ta có kết quả sau: (i) Ψ (2.000.000) = 1 1.07 e− 0.07 1.07 · u 40000 = 0.9345794e−0.0654206 u 40000 (4.72) Kết quả được thể hiện trong bảng 4.2. Vốn dữ trữ Xác suất phá sản 4 000 000 0,0073472 2 000 000 0,0354853 4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G 120 1 000 000 0,1821047 500 000 0,4125424 Bảng 4.2: Bảng 1.2 (ii) Ở đây ta có: Ψ(8000000) = 1 1.07 e− 0.07 1.07 . 8000000 β = 0.9345794e−0.0654206 u β và các kết quả được thể hiện trong bảng 4.3: Lượng tiền bồi thường trung bình Xác suất phá sản 25000 0,00000000075655 150000 0,0285312 Bảng 4.3: Bảng 1.3 (iii) Trong trường hợp số lượng yêu cầu bồi thường trung bình hàng năm có các giá trị liên tiếp là 70 000, 20 000, và với số vốn là 8 000 000, thì lượng tiền bồi thường bảo hiểm trung bình hàng năm là 2,8 tỷ và 800 triệu. Với thu nhập trung bình hàng năm tương ứng là 996 tỷ và 856 triệu. Tuy nhiên, xác suất phá sản vẫn bằng 0.0000019. 4.3.3 Quản lí rủi ro bằng xác suất phá sản Kết quả đầy đủ của 4.68 cho ta cách giải quyết ba vấn đề cơ bản của quản lí rủi ro cho các công ty bảo hiểm. Vấn đề 1 : Cho dữ liệu cơ bản của công ty là (λ, β, η) và vốn dự trữ ban đầu là u. Làm thế nào để ta có thể tính được mức độ rủi ro của một công ty? Ta sử dụng kết quả của 4.68 để tính xác suất rủi ro trên [0,∞). Vấn đề 2 : Cho dữ liệu của một công ty là (λ, β) và vốn dự trữ ban đầu là u. Làm thế nào để tính được hệ số an toàn để xác suất phá sản trên [0,∞) sẽ không vượt quá giá trị tới hạn (1− ε)? Cũng sử dụng kết quả 4.68, ta giải bất phương trình: 1 1 + η e− η 1+η u β < 1− ε (4.73) hoặc phương trình: − ln(1 + η) + η η + 1 u β = ln(1− ε) (4.74) (được giải bằng phương pháp Newton) Vấn đề 3 : Cho dữ liệu của một công ty là (λ, β) và hệ số an toàn. Làm thế nào để tính được lượng vốn dự trữ ban đầu để xác suất phá sản trên [0,∞) sẽ không vượt quá giá trị tới hạn (1− ε)? Áp dụng kết quả 4.68, ta giải bất phương trình sau: 1 1 + η e− η 1+η u β < (1− ε) (4.75) 4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G 121 hoặc phương trình: − ln(1 + η) + η η + 1 u β = ln(1− ε) (4.76) ta có nghiệm duy nhất là η + 1 η β ln(η(η + 1)). (4.77) 4.3.4 Ước lượng Cramer Trong phần trước, ta tìm được biểu thức đầy đủ cho xác suất phá sản Ψ áp dụng kết quả 4.60. Để được kết quả hữu ích hơn, từ quan điểm tính toán, khả năng duy nhất là phải có được xấp xỉ tốt và đơn giản của hàm Ψ. Để làm được điều này, ta bắt đầu với phương trình tích phân 4.52 và từ hệ thức 4.23 ta biểu diễn xác suất phá sản Ψ như sau: Ψ(t) = λβ c (1−B ∗ (t)) + λβ c ∫ t 0 Ψ(t− y)dB ∗ (y). (4.78) Từ điều kiện 4.38 ta có: λβ c ∫ ∞ 0 dB ∗ (y) < λβ c < 1 (4.79) và theo đó phương trình tích phân 4.78 không thuộc kiểu tái tạo. Tuy nhiên, nó thuộc kiểu tái tạo khuyết. Để có thể áp dụng các kết quả của lý thuyết tái tạo trong chương 1, ta phải tìm hiểu vấn đề khó khăn này, đó là tại sao ta đặt: Ψˆ(t) = eRtΨ(t) (4.80) trong đó R là hằng số dương. Do đó, phương trình tích phân 4.78 có thể được viết dưới dạng e−RtΨˆ(t) = λβ c (1− B ∗ (t)) + λβ c e−Rt ∫ t 0 e−RtΨˆ(t− ydB ∗ (y)). (4.81) Nhân hai vế của phương trình 4.81 cho eRt ta được: Ψˆ(t) = λβ c (1−B ∗ (t))eRt + λβ c ∫ t 0 e−RtΨˆ(t− ydB ∗ (y)). (4.82) Phương trình cuối này sẽ thuộc kiểu tái tạo và theo hệ thức 4.52 cho ta: λβ c ∫ ∞ 0 eRydB ∗ (y) = 1 (4.83) khi và chỉ khi hàm từ [0,∞) 7→ R+, y 7→ λ c eRy(1− B(y)) (4.84) là một hàm mật độ. Mệnh đề 4.1 (Ước lượng Cramer của lý thuyết phá sản). Nếu: 4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G 122 (i) λβ c < 1 (4.85) (ii) Tồn tại một hằng số R dương, như vậy: λβ c ∫ ∞ 0 eRydB ∗ (y) = 1 (4.86) và (m =) λ c ∞∫ 0 yeRy(1− B(y))dy <∞, (m =)λ c ∫ ∞ 0 yeRy(1− B(y))dy = 1 (4.87) thì ta có công thức xấp xỉ sau: Ψ(u) ≈ Ce−λu (4.88) trong đó hằng số C có giá trị: C = ( 1− λβ c ) (Rcm)−1. (4.89) Trước khi đưa ra kết quả kế tiếp, trước hết ta phải viết giả thiết cơ bản 4.86 của mệnh đề 4.1 dưới dạng khác. Để thực hiện phép biến đổi này, ta biểu diễn tích phân∫ ∞ 0 eRydB ∗ (y) = 1 β ∫ ∞ 0 eRy(1− B(y))dy (4.90) lấy tích phân từng phần cho vế phải ta được:∫ ∞ 0 eRydB ∗ (y) = − 1 βR + 1 βR ∫ ∞ 0 eRydB(y). (4.91) Như vậy, giả thiết 4.86 trở thành: c λβ = − 1 βR + 1 βR ∫ ∞ 0 eRydB(y) (4.92) hoặc tương đương với: λ+Rc = λ ∫ ∞ 0 eRydB(y). (4.93) Dạng mới này của phương trình R 4.93 được gọi là phương trình Cramer-Lungberg. Phương trình này chỉ ra rằng sự tồn tại của giá trị R hữu hạn dương dẫn đến sự tồn tại của hàm phát sinh của hàm phân phối B, ít nhất là trên [0, R] và do đó hàm phân phối này có mômen của mọi bậc. Phương trình Cramer-Lungberg có một sự giải thích hình học đơn giản như sau: giá trị của R được cho bởi giá trị dương của giao điểm của đường cong mô tả hàm R 7→ λ ∫∞ 0 yeRydB(y) và đường thẳng d có phương trình được cho bởi thành phần đầu tiên của phương trình 4.93. Theo đó, độ dốc của tiếp tuyến t với đường cong C tại gốc có giá trị là λβ. Từ hệ thức 4.85 giá trị này nhỏ hơn độ dốc c của d. Hơn nữa, dễ thấy rằng hàm được định nghĩa bởi thành phần thứ hai của phương trình Cramer-Lundberg là một hàm lồi tăng. Điều này chỉ ra rằng phương trình này chỉ có một nghiệm R dương. Giá trị R luôn nhỏ hơn 1 (xem Gerber (1979)). Kết quả tiếp theo cho ta chặn trên của xác suất phá sản. 4.4 Các mô hình khuyếch tán cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản 123 Hệ quả 4.2. Theo giả thiết của mệnh đề 4.1, bất đẳng thức sau đúng với mọi u dương: Ψ(u) ≤ e−Ru. (4.94) Hệ quả 4.3. (i) Dưới giả thiết của mệnh đề 4.1 và hơn nữa, nếu phương sai σ2 liên quan đến hàm phân phối B, giả sử là hữu hạn thì: R < 2(c− λβ) λ(β2 + σ2) . (4.95) (ii) Hơn nữa nếu lượng tiền bồi thường là biến ngẫu nhiên bị chặn với M là chặn trên thì: 1 M ln c λβ < R. (4.96) 4.4 Các mô hình khuyếch tán cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản 4.4.1 Mô hình rủi ro khuyếch tán đơn giản Trong mô hình này (Cox and Miller (1965) và Gerber (1079)), ta sẽ xây dựng mô hình quá trình rủi ro vốn dự trữ hoặc thặng dư với một quá trình ngẫu nhiên có thời gian liên tục. Điều này có nghĩa rằng quá trình α thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên đơn giản: dα = µdt+ σdW (t), α(0) = u. (4.97) Quá trình W = (W (t), t ≥ 0) là một chuyển động Brown chuẩn được định nghĩa trên không gian xác suất đầy đủ (Ω,=, P ) và ta giả sử rằng: µ > 0, σ > 0. (4.98) Như trong tài chính ngẫu nhiên với thời gian liên tục (xem Merton (1999)), tham số đầu tiên được gọi là khuynh hướng và tham số thứ hai được gọi là linh hoạt. Mô hình này cho ta một biểu thức đơn giản cho quá trình α: α(t) = µt+ σW (t),t ≥ 0. (4.99) Với mô hình đơn giản này, ta có thể tính được giá trị chính xác của xác suất phá sản (xem Cox và Miller (1965)) trong khoảng thời gian horizon hữu hạn [0, t], đó là ψ(u, t) = P (T < t|α(0) = u) (4.100) với T được xác định bởi hệ thức 4.22 và ψ(u, t)được xác định bởi biểu thức sau: ψ(u, t) = 1− φ¯ ( u+ µt σ √ t ) + e− 2µ σ2 uφ¯ (−u + µt σ √ t ) (4.101) khi đó, để tránh sự lẫn lộn với kí hiệu của xác suất không phá sản, φ¯ mô tả hàm phân phối của biến ngẫu nhiên chuẩn đã được rút gọn. Ta chỉ ra rằng, cho t → ∞ ta được kết quả tiệm cận sau: ψ(u) = lim t→∞ ψ(u, t) = { e− 2µ σ2 u,µ > 0 1,µ < 0 (4.102) 4.4 Các mô hình khuyếch tán cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản 124 4.4.2 Mô hình rủi ro ALM Đây là mô hình thường dùng để ước lượng tài sản nợ và tài sản có của ngân hàng hoặc công ty bảo hiểm khi sử dụng quá trình ngẫu nhiên cho cả hai thành phần của bảng tổng kết tài sản. Điều này cho ta các mô hình hữu ích được sử dụng trong cả lý thuyết và thực tế của sự quản lí tài sản nợ và tài sản có (gọi tắt là ALM (Janssen (1991), (1993))). Bây giờ ta sẽ trình bày tóm tắt kiểu mô hình này cho công ty bảo hiểm. Ta đặt A = (A(t), t ≥ 0), B = (B(t), t ≥ 0) (4.103) là quá trình ngẫu nhiên liên tục của tài sản và trách nhiệm với giả thiết là chúng thỏa mãn hệ vi phân ngẫu nhiên đơn giản. dA(t) = µAdt+ σAdWA(t), dB(t) = µBdt+ σBdWB(t), A(0) = u,B(0) = 0 (4.104) trong đó: i) µA,µB,σA,σB,u đều dương. ii) WA = (WA(t), t ≥ 0),WB = (WB(t), t ≥ 0) là hai chuyển động Brown chuẩn độc lập. Vấn đề vi phân ngẫu nhiên 4.104 có cách nghiệm là: A(t) = u+ µAt+ σAWA(t) B(t) = µBt+ σBWB(t). (4.105) Như trên, ta cũng có: ψ(u, t) = P (T ≤ t|A(0) = u) ψ(u) = P (T ≤ ∞|A(0) = u) = limψ t→∞ (u, t). (4.106) Từ 4.105 ta có thể viết: A(t)−B(t) = u+ µAt+ σAWA(t)− µBt− σBWB(t). (4.107) Giả thiết độc lập giữa hai quá trình Brown chỉ ra rằng quá trình (AWA(t)−BWB(t), t ≥ 0) (4.108) tương đương xác suất với quá trình(√ σ2A + σ 2 BW (t),t ≥ 0 ) (4.109) trong đó quá trình W là một chuyển động Brown chuẩn. Bây giờ ta định nghĩa hai tham số mới như sau: µ = µA − µB,σ = √ σ2A + σ 2 B (4.110) khi đó theo hệ thức 4.107 ta có: A(t)−B(t) = µt+ σW (t). (4.111) 4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov 125 Như vậy ta thấy rằng với sự thay đổi của các tham số 4.110 , quá trình (A − B)được mô hình hóa chính xác như là mô hình rủi ro khuyếch tán đơn giản được cho bởi hệ thức 4.99 . Vì vậy, tất cả các kết quả của phần 4.97 đều có giá trị cho mô hình ALM , riêng các kết quả 4.101, 4.102 được cho ở đây là: ψ(u, t) = 1− φ¯ ( u(µA − µB)t√ (σ2A + σ 2 B)t ) + e −2µ (σ2 A +σ2 B ) u φ¯ ( −u+ (µA − µB)t√ (σ2A + σ 2 B)t ) (4.112) ψ(u) = limψ t→∞ (u, t) = { e −2 µA−µB σ2 A +σ2 B u nếu µA > µB 1 nếu µA < µB. (4.113) Chú ý 4.1. a) Với mô hình rủi ro ALM, nhà quản lí linh hoạt hơn trong việc xác định ảnh hưởng của việc thay đổi chiến lược. Đó là do có bốn tham số, hai trong số đó là µA, σA chỉ dùng cho phần tài sản nợ và hai tham số còn lại µB, σB dùng cho phần tài sản có. b) Với mô hình rủi ro ALM, tham số cơ bản R trở thành R = 2 µA − µB σ2A + σ 2 B . (4.114) 4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov Trong phần này, ta trình bày mô hình rủi ro bán-Markov thuần nhất (gọi tắt là SMRM). Mô hình này đầu tiên được giới thiệu bởi Miller và được phát triển đầy đủ bởi Janssen, sau đó cũng có nhiều tác giả khác nghiên cứu. 4.5.1 Mô hình rủi ro bán Markov (hay SMRM) Từ phần 1 của chương này, ta biết bất kì mô hình rủi ro nào cũng dựa trên ba quá trình cơ bản: i) Quá trình yêu cầu bồi thường bảo hiểm. ii) Quá trình về lượng tiền bồi thường bảo hiểm. iii) Quá trình về thu nhập của công ty bảo hiểm . Nhìn chung, hai quá trình đầu tiên là hai quá trình ngẫu nhiên và quá trình thứ ba là tất định. Các quá trình này được xác định trên không gian xác suất đầy đủ (Ω,=, P ). 4.5.2 Mô hình rủi ro bán Markov tổng quát (hay GSMRM) Trong mô hình rủi ro bán Markov, m là các kiểu yêu cầu bồi thường bảo hiểm có thể có và thuộc tập hợp: I = {1, ..., m} (4.115) tập hợp này được xem như tham số môi trường và nó có ảnh hưởng đến cả hai trong ba quá trình cơ bản đã nêu ở trên. 4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov 126 Đặt (Xn, n ≥ 1) , (Yn, n ≥ 1) tương ứng với dãy số lần đến giữa hai yêu cầu bồi thường bảo hiểm và dãy số lượng tiền bồi thường bảo hiểm liên tiếp. Quá trình (Jn, n ≥ 1) sẽ mô tả các kiểu của các yêu cầu bồi thường liên tiếp hoặc các trạng thái môi trường. Giả thiết cơ bản để có một SMRM là: P (Jn = j,Xn ≤ x, Yn ≤ y|(Jk, Xk, Yk), k = 1, ..., n− 1) = QJn−ij(x, y) (4.116) với J0 = j0, X0 = Y0 = 0. (4.117) Giả thiết này có nghĩa là quá trình ba chiều ((Jn, X, Yn), n ≥ 0) được gọi là quá trình (J-X) hai chiều của nhân Q, có các tính chất sau: (i) Tất cả các phần tử Qij của Q là các hàm hai chiều, với x bằng 0 và y âm. (ii) Tồn tại các giới hạn sau: lim x→∞,y→∞ Qij(x, y) = pij,i, j ∈ I, n∑ j=1 pij = 1,i ∈ I. (4.118) Mỗi ma trận Q được gọi là một nhân bán Markov hai chiều và quá trình (J-X-Y) tương ứng với một quá trình (J-X) hai chiều hoặc xích bán Markov hai chiều. Từ việc mở rộng trực tiếp các kết quả của phần 3.2, chương 3 ta có kết luận sau: (i) Quá trình các yêu cầu bồi thường liên tiếp (Jn, n ≥ 0) là một quá trình xích Markov thuần nhất với không gian trạng I và P = [pij ] là ma trận chuyển. (ii) Các quá trình ((Jn, Xn), n ≥ 0), ((Jn, Yn), n ≥ 0) là hai quá trình bán Markov của nhân AQ,BQ, với mọi i và j thuộc I: AQij(x) = Qij(x,+∞),BQij(y) = Qij(+∞, y) (4.119) (iii) Cho biến ngẫu nhiên Jn, n ≥ 0, biến ngẫu nhiên hai chiều (Xn, Yn), n ≥ 1 là độc lập có điều kiện và ta có: Fij(x, y) = P (Xn ≤ x, Yn ≤ y|J0, ..., Jn−2, Jn−1 = i, Jn = j) = { Qij(x, y)/pij nếu pij > 0 U1(x)U1(y) nếu pij = 0 (4.120) (iv) Tính chất cuối cho ta biến ngẫu nhiên Jn, n ≥ 0 và (Xn, n ≥ 1) phụ thuộc vào điều kiện và tương tự cho biến ngẫu nhiên (Yn, n ≥ 1). Hơn nữa: AFij(x) = P (Xn ≤ x, |J0, ..., Jn−2, Jn−1 = i, Jn = j) = Fij(x,+∞) , BFij(x) = P (Yn ≤ y, |J0, ..., Jn−2, Jn−1 = i, Jn = j) = Fij(+∞, y) . (4.121) Bỏ qua hệ thức điều kiện đối với Jn, ta có: Hi(x, y) = P (Xn ≤ x, Yn ≤ x|J0, ..., Jn−2, Jn−1 = i) = ∑ j pijFij(x, y) AHi(x) = P (Xn ≤ x, |J0, ..., Jn−2, Jn−1 = i) = Hi(x,+∞), (4.122) BHi(y) = P (Yn ≤ y, |J0, .., Jn−2, Jn−1 = i) = Hi(+∞, y) . 4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov 127 Bây giờ, ta trình bày các giá trị trung bình kết hợp với hàm phân phối có điều kiện khác được định nghĩa ở trên và ta thừa nhận ký hiệu sau: aij = ∫ ∞ 0 xdAFij(x), bij = ∫ ∞ 0 ydBFij(y), Aηi = ∫ ∞ 0 xdAHi(x) ( = m∑ j=1 pijaij ) ,Bηj = ∫ ∞ 0 ydBHi(y) ( = m∑ j=1 pijbij ) . (4.123) Trước hết, ta xét quá trình (Tn, n ≥ 1), T0 = 0 (4.124) được định nghĩa Tn = n∑ k=1 Xk,n ≥ 1 (4.125) là thời điểm đến của các yêu cầu bồi thường bảo hiểm liên tiếp. Tiếp theo là quá trình (Un,n ≥ 1) , U0 = 0 (4.126) được định nghĩa Un = n∑ k=1 Yk,n ≥ 1 (4.127) là tổng lượng tiền bồi thường liên tiếp chỉ sau các yêu cầu bồi thường bảo hiểm. Với phân phối đồng thời của quá trình (Jn, Tn, Un, n ≥ 0), ta có: P (Jn = j, Tn ≤ t, Un ≤ y|J0 = i) = Q(n)ij (x, y), Q (0) ij (x, y) = δijU0(x)U0(y), Q (1) ij (x, y) = Qij(x, y) (4.128) Q (n) ij (x, y) = ∫ x −∞ ∫ y −∞ n∑ k=1 Q (n−1) ij (x− x′, y − y′)Q(dx′, dy′), n > 1. Hiển nhiên, với quá trình ((Jn, Tn), n ≥ 0), ((Jn, Un), n ≥ 0), cả hai đều là quá trình tái tạo Markov (MRP), ta có: P (Jn = j, Tn ≤ t |J0 = i)=AQ(n)ij (t), P (Jn = j, Un ≤ y |J0 = i)=BQ(n)ij (y). (4.129) Chú ý 4.2. Tương tự các định nghĩa cơ bản của quá trình bán Markov đã nêu trong phần 3.2 (định nghĩa 3.1) chương 3, quá trình ba chiều ((Jn, Tn, Un), n ≥ 0) được gọi là quá trình tái tạo Markov (MRP) hai chiều của nhân Q. Nếu Q là ma trận bán Markov mở rộng hai chiều thì quá trình này được gọi là bước tái tạo Markov (MRW) hai chiều hoặc xích bán Markov (SMC) mở rộng. Ta kết thúc mục này với định nghĩa sau. 4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov 128 Định nghĩa 4.4. Các dãy (Xn, n ≥ 1) , (Yn, n ≥ 1) độc lập có điều kiện với dãy (Jn, n ≥ 1) cho trước khi và chỉ khi Fij(x, y)= AFij(x) BFij(y), ∀x, y ∈ R, ∀i, j ∈ I. (4.130) Từ các kết luận ở trên trong phần phụ này, ta có: 4.130 ⇔ Qij(x, y)=AFij(x)BQij(y) ⇔ Qij(x, y)=AQij(x)BFij(y) ⇔ Qij(x, y) = pijAFij(x)BFij(y). (4.131) Giả thiết này phù hợp với lý thuyết rủi ro và hơn thế nữa, nó được sử dụng để xét trường hợp đặc biệt sau: AFij(x)= AFj(x), i, j ∈ I,x ≥ 0, BFij(y)= BFj(y), i, j ∈ I,y ≥ 0. (4.132) Dạng đầu tiên của điều kiện 4.132 có nghĩa là hàm phân phối của thời gian đến giữa hai yêu cầu bồi thường bảo hiểm liên tiếp phụ thuộc duy nhất vào kiểu yêu cầu bồi thường bảo hiểm trong tương lai và dạng thứ hai là hàm phân phối của lượng tiền bồi thường bảo hiểm, nó chỉ phụ thuộc duy nhất vào kiểu của yêu cầu bồi thường bảo hiểm này và không phụ thuộc vào dạng trước đó. 4.5.3 Quá trình đếm số yêu cầu bồi thường Vẫn sử dụng các ký hiệu và khái niệm trong mục 3.5 của chương 3, ta trình bày quá trình đếm m + 1 kết hợp với quá trình bán Markov (SMP) của yêu cầu bồi thường bảo hiểm nhân AQ: ( ANj(t), t ≥ 0 ) , j = 1, ..., m, ( AN(t), t ≥ 0) (4.133) vì vậy, ở đây ANj(t) là tổng số yêu cầu bồi thường bảo hiểm loại j xảy ra trong (0, t] và AN(t) là tổng số yêu cầu bồi thường bảo hiểm trong (0, t]. Từ đây, ta giả sử rằng quá trình tái tạo Markov (MRP) của nhân AQ là ergodic với pi = (pi1, ..., pim) là phân phối dừng duy nhất liên quan đến P. Với Rij(t) = E ( ANj(t) |J0 = i ) , từ các hệ thức 3.53, 3.76 và 3.79 trong chương 3 ta có Rij(t) = ∞∑ n=0 AQ (n) ij (t), i, j ∈ I, lim t→∞ Rij(t) t = 1 Aµjj , i, j ∈ I, Aµjj = 1 pij ∑ k pik Aηk, j ∈ I. (4.134) Từ bây giờ trở đi ta sẽ giảm mũ A cho các biến đếm liên quan đến yêu cầu bồi thường bảo hiểm. Với phân phối đồng thời ( N(t), JN(t), TN(t) ) , áp dụng tính chất bán Markov ta 4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov 129 có: P ( N(t) = n, JN(t) = j, TN(t) ≤ t− h |J0 = i ) = P (N(t) = n, Jn = j, Tn ≤ t− h |J0 = i) , 0 ≤ h ≤ t = P (Tn ≤ t < Tn+1, Jn = j, Tn ≤ t− h |J0 = i) = P (Tn ≤ t− h, Tn+1 > t, Jn = j |J0 = i) = ∫ t−h 0 (1−AHj(t− z))dAQ(n)ij (z). (4.135) Với h = 0, ta được: P ( N(t) = n, JN(t) = j |J0 = i ) = ∫ t 0 (1−AHj(t− z))dAQ(n)ij (z) (4.136) hơn nữa, lấy tổng theo j ta được: P (N(t) = n |J0 = i) = m∑ j=1 ∫ t 0 (1−AHj(t− z))dAQ(n)ij (z) = m∑ j=1 AQ (n) ij (t)− m∑ j=1 ∫ t 0 m∑ k=1 AQjk(t− z))dAQ(n)ij (z) = m∑ j=1 AQ (n) ij (t)− m∑ k=1 AQ (n+1) ij (t). (4.137) Áp dụng các công thức sau: APij(t, n) = P ( N(t) = n, JN(t) = j |J0 = i ) , APi(t, n) = P (N(t) = n, |J0 = i) ( = m∑ j=1 APij(t, n) ) , (4.138) từ hệ thức 4.137 ta được các công thức hồi quy sau: APij(t, n) = m∑ k=1 APkj(t, n− 1)•AQik(t), APi(t, n) = m∑ k=1 APk(t, n− 1)•AQik(t), (4.139) hiển nhiên: Pij(t, 0) = δij(1−AHi(t)), Pi(t, 0) = 1−AHi(t). (4.140) Nếu ta chỉ quan tâm đến một loại yêu cầu bồi thường bảo hiểm gọi là j thì nó thỏa mãn để xét quá trình tái tạo dừng được đặc trưng bởi ( AGij, AGjj ) , ta có: P (Nj(t) = n |J0 = i) = { 1−AGij(t) nếu n = 0 AGij • ( AG (n−1) jj −AG(n−1)jj ) (t) nếu n ≥ 1. (4.141) 4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov 130 Với các giá trị trung bình AHij(t) = E (Nj(t) |J0 = i), các kết quả 2.7 và 1.16 trong chương 1 cho ta: Hij(t) = Gij(t) +Gij •Hjj(t), i 6= j, Hjj(t) = ∞∑ n=1 H (n) jj (t). (4.142) Cuối cùng, mệnh đề 1.19 trong chương 1 đưa ra tính chuẩn tắc tiệm cận: Nj(t) ≺ N ( t µjj , tσ2j µ3jj ) (4.143) µjj, σ 2 j tương ứng với giá trị trung bình và phương sai của biến ngẫu nhiên ATn(j |j ) được định nghĩa trong mục 3.6, chương 3 được xem là hữu hạn. 4.5.4 Quá trình tiền bảo hiểm tích lũy Đây là quá trình (U(t),t ≥ 0) trong đó: U(t) = N(t)∑ n=1 Yn(= UN(t)). (4.144) Ta biết rằng phân phối lề của U(t), với t cố định , rất quan trọng đối với các công ty bảo hiểm, ví dụ xem một năm là đơn vị thời gian, giá trị U(1) là tổng phí tổn mà công ty phải chi để bồi thường bảo hiểm vào năm t. Ta có hàm phân phối lề sau: Mij(t, y) = P ( U(t) ≤ y, JN(t) = j |J0 = i ) (4.145) vì vậy Mij(t, y) = P ( U(t) ≤ y, JN(t) = j |J0 = i ) , Mij(t, y) = ∞∑ n=0 ∫ t 0 (1−AHj(t− z))dQ(n)ij (z, y), Mij(t, y) = ∞∑ n=0 Q (n) ij (z, y) • (1−AHj(t− z)), (4.146) trong đó tích chập chỉ tác động vào biến thời gian. Trong trường hợp độc lập có điều kiện, kết quả cuối cùng trở thành: Mij(t, y) = ∞∑ n=0 ∫ t 0 (1−AHj(t− z))d(pijAFij(z)BFij(y))(n), Mij(t, y) = ∞∑ n=0 (pij AFij(z)) (n) (BFij(y)) (n) • (1−AHj(t− z)). (4.147) Chú ý rằng với m = 1, công thức cuối này cho ta kết quả 4.19 trong mô hình rủi ro của Anderson. 4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov 131 4.5.5 Quá trình tiền đóng bảo hiểm Ta áp dụng phép xấp xỉ như trong phần 4.2.2. Từ 4.143 ta biết rằng lim t→∞ AHij(t) t = pij m∑ k=1 pikηk , i, j ∈ I, (4.148) và theo đó, với t lớn thì: E (Nj(t) |J0 = i) ≈ tpiim∑ k=1 pikηk , i, j ∈ I, (4.149) và vì vậy, giá trị trung bình lượng tiền của Nj(t) yêu cầu bồi thường bảo hiểm loại j trên (0, t] xấp xỉ là Bηj∑ k pikηk t, (4.150) cuối cùng ta có: E ( UN(t) |J0 = i ) ≈ ∑ j pij Bηj∑ k pikAηk . (4.151) Hệ thức cuối chỉ ra rằng, với bất kì trạng thái ban đầu, tổng giá trị trung bình của lượng tiền bồi thường bảo hiểm nhiều hơn hoặc ít hơn c˜t với c˜ ≈ ∑ j pij Bηj∑ k pikBηk . (4.152) Theo đó, nếu ta lấy giá trị c˜ này như một mức phí bảo hiểm cố định trên một đơn vị thời gian thì ta có trò chơi công bằng tiệm cận giữa công ty bảo hiểm và người mua bảo hiểm. Ta sẽ chỉ ra rằng, giá trị của mức phí bảo hiểm này chỉ phụ thuộc vào số lượng trung bình của các yêu cầu bồi thường bảo hiểm, lượng tiền bồi thường bảo hiểm và phân phối dừng của xích Markov được nhúng của yêu cầu bồi thường bảo hiểm liên tiếp. Tất cả được tính toán dễ dàng với dữ liệu thống kê của các yêu cầu bồi thường bảo hiểm được khảo sát. 4.5.6 Quá trình rủi ro và rủi ro của vốn dự trữ Định nghĩa 4.20 và 4.21 vẫn có giá trị cho mô hình rủi ro bán Markov để quá trình rủi ro được xác định bởi (U(t)− ct, t ≥ 0) và quá trình rủi ro của vốn dự trữ được xác định bởi α = (α(t), t ≥ 0) với α(t) = u+U(t)− ct trong đó u là vốn dự trữ ban đầu thường lệ hoặc là tài sản cố định của công ty có mức phí bảo hiểm an toàn: c = (1 + η)c˜. (4.153) 4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát 132 4.5.7 Mô hình rủi ro bán-Markov dừng Sử dụng kết quả mục 3.10 trong chương 3, mô hình rủi ro bán Markov (SMRM) xảy ra trạng thái dừng nếu (J0, X1) có phân phối ban đầu như sau: P (J0 = i) = pii Aηi∑ k pikAηk , P (X1 ≤ x, J1 = j |J0 = i) = pijAηi x∫ 0 (1−AFij(z)dz, (4.154) vì vậy P (X1 ≤ x, J1 = j) = ∑ i piipij ∫ x 0 (1−AFij(z)dz∑ k pikAηk . (4.155) Ta biết quá trình (( JN(t), JN(t)+1, TN(t)+1 − t ) , t ≥ 0) dừng khi: P ( JN(t) = j, JN(t)+1 = k, TN(t)+1 − t ≤ x ) = pijpjk∑ i pijAηi ∫ x 0 ( 1−AFjk(z)dz ) . (4.156) Tiền lãi của mô hình trạng thái dừng trong lý thuyết rủi ro cổ điển (với m = 1) được nghiên cứu bởi Thorin (1975). 4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát 4.6.1 Xác suất phá sản và không phá sản Áp dụng 4.22 với tuổi thọ T của công ty T = inf {t : α(t) < 0} , (4.157) ta biết rằng biến cố “phá sản” xảy ra trước hoặc vào thời điểm t khi và chỉ khi T ≤ t và hiển nhiên biến cố bù của nó là “không phá sản” khi và chỉ khi T > t. Bây giờ ta phải nhập vào các loại yêu cầu bồi thường và ta sẽ sử dụng các công thức sau cho xác suất không phá sản và xác suất phá sản nhất thời. Nghĩa là trên khoảng thời gian horizon hữu hạn [0, t], φij(u, t) = P (T > t, Z(t) = j |Z(0) = i) , Ψij(u, t) = P (T ≤ t, Z(t) = j |Z(0) = i) (= 1− ϕij(u, t)) . (4.158) Xác suất tiệm cận không phá sản và phá sản trong khoảng thời gian horizon hữu hạn được định nghĩa: φij(u) = P (T = ∞, Z(t) = j |Z(0) = i) = lim t→∞ φij(u, t), Ψij(u) = P (T <∞, Z(t) = j |Z(0) = i) = lim t→∞ Ψij(u, t) (= 1− ϕij(u)) . (4.159) Ta có các kết quả sau: 4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát 133 (i) Với mỗi t cố định, ∀i, j ∈ I,φij(u, t) tăng đến u và Ψij(u, t) giảm. (ii) Với mỗi u cố định, ∀i, j ∈ I,φij(u, t) giảm xuống t và Ψij(u, t)tăng. (iii) ∀u, ∀t, ∀i, j ∈ I : φij(u, t) ≥ φij(u),Ψij(u, t) ≥ Ψij(u). (4.160) Một trong những vấn đề quan trọng của lý thuyết rủi ro là tối ưu hóa tham số an toàn η như vậy, xác suất phá sản, nhất thời hoặc tiệm cận, lớn hơn 1− ε với ε cố định dương, đây là một vấn đề tương đương với sự xác định tối ưu của khả năng thanh toán lề. Cũng như bình thường, nếu ta không quan tâm đến giá trị của Z(t) thì ta có các xác suất phá sản sau: φi(u, t) = m∑ j=1 φij(u, t),φi(u) = m∑ j=1 φij(u), Ψi(u, t) = m∑ j=1 Ψij(u, t),Ψi(u) = m∑ j=1 Ψij(u). (4.161) Hơn nữa, nếu ta bắt đầu với pi là phân phối ban đầu của J0 thì ta định nghĩa bốn xác suất phá sản và không phá sản cuối như sau: φ(u, t) = m∑ i=1 piiφi(u, t), φ(u) = m∑ i=1 piiφi(u), Ψ(u, t) = m∑ i=1 piiΨi(u, t), Ψ(u) = m∑ i=1 piiΨi(u). (4.162) Với mô hình trạng thái dừng, ta trình bày xác suất phá sản và không phá sản cuối cùng như sau: sφj(u) = 1∑ k pikηk ∑ l ∑ l′ ∞∫ 0 ( 1− AFll′(t) ) dt u+ct∫ 0 φl′j (u+ ct− y) dBFll′(y), sφ(u) = m∑ j=1 sφj(u), sΨ(u) = 1− sφ(u). (4.163) 4.6.2 Sự thay đổi mức phí bảo hiểm Ta bắt đầu với mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát của nhân Q = [Qij(., .)] và với c là mức phí bảo hiểm trên một đơn vị thời gian. Không mất tính tổng quát, ta xét mô hình rủi ro bán-Markov với c = 1. Thực vậy, ta xét các biến ngẫu nhiên mới sau: X ′ 0 = X0,X ′ n = cXn,n ≥ 1. (4.164) Nhân bán-Markov Q′ của quá trình ( Jn, X ′ n, Yn, n ≥ 0 ) được cho bởi: Q ′ Jn−1j (x, y) = P ( Jn = j,X ′ n ≤ x, Yn ≤ y| ( Jk, X ′ k, Yk, ) ,k = 1, ..., n− 1 ) , Q ′ Jn−1j (x, y) = QJn−1j (x c , y ) . (4.165) 4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát 134 Xét mô hình rủi ro bán-Markov với nhân Q′, ta có: p ′ ij = pij ,a ′ ij = caij ,b ′ ij = bij ,i, j ∈ I (4.166) vì thế Aη ′ i = c Aηi, Bη ′ i = c Bηi,i ∈ I, (4.167) và với hệ thức 4.134 µ ′ jj = cµjj, j ∈ I, (4.168) theo hệ thức 4.10 và 4.152 c˜′ = 1 c ∑ i pii Bηi∑ i piiAηi = c˜ c . (4.169) đưa hệ số an toàn η vào, theo hệ thức 4.153, ta biết rằng giá trị c′ được cho bởi: c′ = (1 + η)c˜′ (4.170) hoặc với 4.169 và 4.153: c′ = (1 + η) c˜ c = 1. (4.171) Như trong hệ thức cuối này hệ số an toàn η dương, đẳng thức cuối cho ta tỉ lệ c˜/c nhỏ hơn 1 và vì vậy theo hệ thức 4.169 và 4.167 điều kiện để có hệ số an toàn η dương cho quá trình ( Jn, X ′ n, Yn, n ≥ 0 ) là: ∑ i pii Bηi∑ i piiAη ′ i < 1. (4.172) 4.6.3 Giải pháp tổng quát cho vấn đề tiệm cận xác suất rủi ro của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát Từ kết quả của phần phụ cuối, ta xét mô hình rủi ro bán-Markov nhân Q = [Qij(., .)] với c = 1 và tập trung vào quá trình ((Jn, Yn −Xn), n ≥ 0) ; (4.173) Rõ ràng quá trình này được xem như một bước rủi ro bán Markov (SMRW) của nhân bán-Markov rQ được cho bởi rQij(z) ∫∫ {(ξ,ζ):ξ−ζ≤z} Qij(dξ, dζ). (4.174) Trong trường hợp đặc biệt độc lập có điều kiện, ta lấy: rQij(z) = pij ∫ +∞ −∞ BFij(z + ξ)d AFij(ξ). (4.175) 4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát 135 Ta biết rằng vị trí tại giai đoạn n của bước rủi ro bán Markov được cho bởi tổng riêng (Sn, n ≥ 0) liên quan đến dãy ngẫu nhiên ((Yn −Xn, n ≥ 0) và đưa ra biến ngẫu nhiên M được định nghĩa bởi hệ thức 3.187 trong chương 3, đó là M = sup {S0, S1, ..., Sn, ...}, với: φij(u) = P ( M ≤ u, lim n→∞ Jn = j |J0 = i ) , u ≥ 0, i, j ∈ I, (4.176) và từ đó biến cố không phá sản trên [0,∞) kéo theo không phá sản tại thời điểm yêu cầu bồi thường bảo hiểm đầu tiên, ta có: φij(u) = { 0,u < 0,∑ k ∫ u −∞ φkj(u− z)drQik(z),u > 0. , i, j ∈ I (4.177) bỏ qua j, ta được: φi(u) = { 0,u < 0,∑ k ∫ u −∞ φk(u− z)drQik(z),u > 0, i,∈ I (4.178) đó là hệ Wiener-Hopf của các phương trình tích phân và như vậy φi(u) = P (M ≤ u, |J0 = i) , u ≥ 0, i ∈ I (4.179) như trong hệ thức 3.192 trong chương 3. Bây giờ ta xét hệ 4.178 với giá trị u không âm, từ kết quả Jenssen (1970) được đề cập trong phần 3.16 của chương 3, hệ này có nghiệm P duy nhất khi và chỉ khi∑ k pik rηk < 0. (4.180) Vì vậy, nếu điều kiện không đủ thì bước rủi ro bán Markov ((Jn, Sn), n ≥ 0) sẽ tiến đến +∞ và sự phá sản trên [0,∞) là một biến cố tất yếu bất chấp J0, trong trường hợp này: φi(u) = 0,u ≥ 0,i ∈ I. (4.181) Như rηk= Bηk−Aηk, k ∈ I, (4.182) Điều kiện 4.178 tương đương với∑ k pik ( Bηk−Aηk ) < 0 (4.183) điều này tương đương với điều kiện 4.172 giả sử luôn được thỏa và tương đương với sự gia tăng hệ số an toàn dương để phá hủy trò chơi công bằng tiệm cận, nghĩa là có lợi cho công ty bảo hiểm, không có sự gia tăng này sự phá sản trong thời gian horizon vô hạn là tất yếu. Áp dụng định lí duy nhất của Jenssen (1970), ta có hệ thức sau đây là đúng: φij(u) = pijφi(u),i, j ∈ I,u ≥ 0. (4.184) 4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát 136 Định lý 4.5. Với mô hình rủi ro bán-Markov ergodic, với mỗi trạng thái ban đầu i sự phá sản trong thời gian horizon vô hạn xảy ra nếu điều kiện 4.172 không thỏa. Ngược lại, nếu điều kiện được thỏa thì với mỗi trạng thái i: φ+ij(u) = pijφ + i (u),i, j ∈ I,u ∈ R, (4.185) với φ+ij(u) = U0(u)φij(u), φ + i (u) = φi(u), i, j ∈ I, u ∈ R (4.186) và theo 4.176 φ+i (u) = ∑ k ∫ u −∞ φ+k (u− z)drQik(z),u ∈ R,i,∈ I. (4.187) Ta lưu ý rằng sự chuyển đến hàm φ+ij đã được thực hiện vì ta chỉ quan tâm đến xác suất không phá sản cho lượng vốn dự trữ u dương, dù các xác suất này có thể không nhất thiết bằng 0 với u âm. Hiển nhiên, với mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát, xấp xỉ số vẫn rất quan trọng. Chú ý 4.3. Ta biết rằng với m = 1, mô hình rủi ro bán Markov tổng quát (GSMRM) đưa ta trở lại mô hình G/G. Vì vậy, với trường hợp này, hệ 4.187 trở thành: φ+(u) = u∫ −∞ φ+(u− z)drQ(z),u ∈ R, rQ(z) = ∫ +∞ −∞ B(ξ + u)dA(ξ). (4.188) Kết luận Trong luận văn này tôi nghiên cứu về bán Markov và ứng dụng của nó trong bảo hiểm. Trong đó, tôi trình bày lý thuyết về quá trình tái tạo, quá trình xích Markov, quá trình trạng thái bán Markov và các bước ngẫu nhiên Markov để làm cơ sở xây dựng mô hình rủi ro bán Markov trong bảo hiểm. Sau đó tôi đưa ra một vài mô hình rủi ro cổ điển trong bảo hiểm như: + Mô hình rủi ro E.S Anderson. + Mô hình rủi ro Cramer Lundberg (P/G). Mô hình khuyếch tán cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản: + Mô hình rủi ro khuyếch tán đơn giản. + Mô hình rủi ro trong quản lý tài sản và vốn. Cuối cùng tôi ứng dụng quá trình bán Markov vào mô hình rủi ro trong bảo hiểm. Tài liệu tham khảo [1] Jacques Janssen Raimondo Manca. (2006) Applied Semi-Markov Process. Springer Publication. [2] Black Well D. (1948). A renewal theorem. Duke Math. J. 15. 145-150. [3] Baker C.T.H. (1977). The Numerical Treatment of Integral Equations. Clarendon Press, New York. [4] Christofidies N. (1975). Graph theory. An algorithmic approach . Academic Press, New York-London. [5] Chung K. L. (1960). Markov chain with stationary transition probabilities. Springer Publication. [6] Daley, D. J. (1965). On a class of renewal functions Proc. Cambridge Philos. Soc . 61 519-526. [7] De Dominicis R., manca R. (1984b), A computational procedure for the asymptotic analysis of a homogeneous semimarkov process. Statistics & Probability letters. 2, 249-253. [8] E. B. Dynkin. The theory of Markov Process. Dover Publication, Inc. Mineola, Newyork. [9] Feller W., (1957) An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume I . Second Edition, Wiley, New York. XV, 461. [10] Janssen J., R. Manca, (2001b, 1969b). Non-homogeneous semi-Markov reward pro- cess for the management of health insurance models.Proccedings ASTIN Washington. B174. [11] Parzen, E., (1962). Stochastic processes. Holden-Day Series in Probability and Statis- tics Holden-Day, Inc., San Fancisco. [12] Spitzer F. (1957). The wiener-Hopf equation whose kernel is a probability density. Duke Math. J. 24, 327-343. [13] S. P. Meyn and R. L. Tweedie. (1999) Markov Chains and Stochastic Stability. Beijing World Publishing Corporation. [14] Smith, W.L., (1954). Asymptotic renewal theorems.Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A64. 9–48. [15] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Việt Yên., (2000) Lý Thuyết Xác Suất. Nhà xuất bản giáo dục.