Vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào các tiết luyện tập về quan hệ vuông góc trong hình học không gian ở lớp 11 Trung học phổ thông

BCD). Vậy d(S, (ABCD)) = SH. Hình 11 ? Hãy tính độ dài SH =? ! SH2 = SA2 – AH2 Vì H là tâm của tam giác đều ABD cạnh a nên AH = Þ Þ SH = ? SC =? ! Tam giác SHC vuông tại H nên SC2 = SH2 + HC2. Mà HC = HO + OC = Þ Þ SC = b)? Yêu cầu học sinh tự trình bày. c)? Hãy chứng minh SB vuông góc với BC? ! Nhận xét: tam giác SBC có SB = (gt) BC = a (gt) SC = SC2 = SB2 + BC2 Þ tam giác SBC vuông tại B hay SB ^ BC d)? Yêu cầu của đề bài là gì? ! Tính tan j, với j = ((SBD), (ABCD)). ? Nêu cách xác định góc giữa hai mặt phẳng? ! - Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. - Tìm một đường thẳng vuông góc với giao tuyến, cắt cả hai mặt phẳng, giả sử giao điểm là M, N - Từ một giao điểm M (hoặc N) dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến tại K thì là góc giữa hai mặt phẳng. ? Hãy xác định góc j?. ! (SBD) Ç (ABCD) = BD SH ^ BD, SH cắt (SBD) và (ABCD) HO ^ BD Þ . . Khai thác bài toán về yếu tố liên quan đến thiết diện, ta có thể đưa ra bài toán sau: Bài 7 (Bài 8 – Hình học Nâng cao11 / trang 126) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P). Tính diện tích thiết diện. Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P). Bài toán đưa ra với mục đích củng cố, hệ thống lại những dạng toán quen biết vừa đan xen vào đó dạng toán mang tính chất tổng hợp. Hình 12 a), b), c) yêu cầu học sinh tự trình bày lời giải. d)? Tìm giao điểm của (P) với đường thẳng SC? ! Vì mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC nên (P) Ç SC = I với AI ^ SC. Mà SAC là tam giác đều cạnh nên I chính là trung điểm của cạnh SC. ? Hãy xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P). ! Nhận xét BD ^ (SAC) Þ BD ^ SC Mà (P) ^ SC nên (P) // BD. Vậy (P) là mặt phẳng chứa AI và song song với BD. Gọi M = AI Ç SO. Khi đó (P) Ç (SBD) = JK, với JK đi qua M và song song với BD. Vậy thiết diện của S.ABCD cắt bởi (P) là tứ giác AKIJ. ? Tính diện tích của thiết diện theo a? Thiết diện đó có gì đặc biệt? ! Tứ giác AKIJ có KJ ^ AI vì BD ^ (SAC), KJ // BD nên KJ ^ (SAC) Þ KJ ^ AI Ta có dt ( AKIJ ) = ; (vì H là trọng tâm của tam giác đều SAC ) Vậy dt ( AKIJ ) = e)? Hãy xác định góc giữa AB và mặt phẳng (P)? Lưu ý học sinh có thể sử dụng tính chất của mặt phẳng (P) ^ SC. ! Vì (P) ^ SC nên góc giữa mặt phẳng (P) và AB phụ nhau với góc giữa đường thẳng SC và AB. ? Hãy xác định góc giữa đường thẳng SC và AB? Từ đó suy ra kết quả cần tìm? ! Vì CD // AB nên góc đường thẳng SC và AB bằng góc giữa CD và SC. Vậy góc và góc phụ nhau Ta có Þ ? Có cách nào khác để xác định góc giữa AB và mặt phẳng (P) hay không? ! Cách 2: Trong mặt phẳng (SAC ) kẻ ON // SC cắt AI tại N. Vì SC ^ (P) nên ON ^ (P). Lấy E sao cho ONEB là hình bình hành Þ BE ^ (P) Vậy là góc giữa AB và mặt phẳng (P). Góc giữa BA và mặt phẳng (P) là mà 2.2.2. Sử dụng một số dạng bài tập nhằm tăng cường khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh trong giải bài tập hình học không gian. Trong quá trình dạy học phát hiện giải quyết vấn đề, yếu tố nhằm giúp học sinh phát hiện vấn đề lâu nay vẫn còn mờ nhạt. Học sinh thường được đạt vào tình huống có vấn đề hoặc được giáo viên giúp đỡ khá nhiều trong quá trình phát hiện vấn đề, học sinh thường chỉ tham gia nhiều vào quá trình giải quyết vấn đề. Tuy nhiên, nếu đưa ra một vấn đề hợp lí, một tình huống gợi vấn đề chứa đựng nhiều yếu tố kích thích thì quá trình phát hiện vấn đề sẽ là một trong những yếu tố quan trọng giúp học sinh có được sự chủ động trong khi học tập. Phát hiện vấn đề sẽ giúp học sinh dễ dàng hơn trong quá trình giải quyết vấn đề, từ đó chiếm lĩnh liến thức một cách tự nhiên hơn, logic hơn. Vì thế, xin đưa ra một số dạng bài tập nhằm tăng cường khả năng phát hiện vấn đề của học sinh: A) Tăng cường khả năng phát hiện vấn đề cho học sinh qua việc sửa chữa sai lầm trong lời giải Thông thường khi vận dụng các định lí để chứng minh các tính chất hoặc để tính toán, học sinh thường gặp các sai lầm: - Phát biểu định lí không chính xác. - Vận dụng các định lí trong trường hợp thiếu điều kiện. - Sử dụng các định lí về tương quan giữa các đường thẳng trong mặt phẳng đem mở rộng cho trường hợp trong không gian. Vận dụng dạy học phát hiện giải quyết vấn đề là một cách giúp học sinh tránh được những sai lầm này và củng cố kiến thức hiệu quả. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAD). Chứng minh AB vuông góc với SD. ? Tìm chỗ sai lầm trong lời giải sau: Hình 13 a) AB ^ AD AB Ì (SAB) AD Ì (SAD). Suy ra (SAB) ^ (SAD). ! Lời giải trên đã vận dụng sai định lí để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ? Nhắc lại điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc? ! Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. ? Hãy sửa chỗ sai lầm đó? ! Sai: chưa chứng minh đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia. Sửa chữa: AB ^ SA (gt) AB ^ AD (gt).Suy ra AB ^ (SAD). Mà AB Ì (SAB) Þ (SAD) ^ (SAB). b)? Tìm chỗ sai trong lời giải sau: Vì (SAD) ^ (SAB). Mà AB Ì (SAB), SD Ì (SAD) Þ AB ^ SD. !Sai lầm: hai mặt phẳng vuông góc không thể suy ra hai đường thẳng trong hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. Sửa chữa Cách 1: (SAD) ^ (SAB). (SAD) Ç (SAB) = SA AB Ì (SAB), AB ^ SA. Suy ra AB ^ (SAD) Þ AB ^ SD Cách 2: Vì AB ^ SA và AB ^ AD nên AB ^ (SAD) Þ AB ^ SD. Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với đáy. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. Hình 14 ? Hãy tìm chỗ chưa chính xác trong lời giải sau: SA ^ AB Þ SAB vuông ở A SA ^ AD Þ SAD vuông ở A Ta có ( theo định lí 3 đường vuông góc ) Vậy SBC vuông tại B. Chứng minh tương tự, ta có SCD vuông tại D. ! Thiếu sót của lí luận trên là phát biểu những điều kiện của định lí 3 đường vuông góc không chính xác. Định lí 3 đường vuông góc: cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng () và b là đường thẳng không thuộc () đồng thời không vuông góc với ().Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên ().Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’. Sửa chữa như sau: SA ^ mặt phẳng( ABCD) AB ^ BC Þ SB ^ BC (theo định lí 3 đường vuông góc ) Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác, đáy ABC là tam giác vuông ở đỉnh B. Cạnh bên SA vuông góc với đáy.Từ A kẻ các đường thẳng AK vuông góc với SB và AH vuông góc với SC. Chứng minh rằng: SC vuông góc với HK và AK vuông góc với HK. Hình 15 ? Nghiên cứu lời giải sau và tìm chỗ sai: Mặt khác HK thuộc mặt phẳng (AHK). Từ đó suy ra SC ^ HK Ta có: ! Lời giải trên dựa trên mệnh đề sai: “Một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng ấy” Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là đường thẳng ấy vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng. Như vậy, muốn kết luận SC ^ (AHK) ta phải chứng minh được SC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của hai mặt phẳng ấy, nghĩa là cần lí luận như sau: (1). Theo giả thiết ta có: SB ^ AK (2). Từ (1) và (2) suy ra AK ^ mặt phẳng( SBC) Þ AK ^ HK. Chứng minh tương tự cho trường hợp SC ^ HK. Ví dụ 4: Hình 16 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Qua đỉnh C của đáy, ta dựng mặt phẳng vuông góc với cạnh bên SA. Mặt phẳng này cắt các cạnh SA, SB, SD ở các điểm M, N, P. Chứng minh NP // BD. ? Tìm sai lầm trong lời giải sau: Gọi SH là đường cao của hình chóp. SH ^ mặt phẳng( ABCD) Þ SH ^ BD ABCD là hình vuông Þ AC ^ BD. Vậy BD ^ (SAC) Þ BD ^ SA. Theo giả thiết SA ^ (CPMN) nên ta có NP ^ SA. Hai đường thẳng BDvà NPcùng vuông góc với đường thẳng SAnên BD // NP. ! Phân tích sai lầm: trong ví dụ, kết luận đã dựa trên định lí: "Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau". Đó là định lí của hình học phẳng. Nhưng việc mở rộng ra trong hình học không gian thì đó lại là mệnh đề sai. Sửa chữa: Cách 1: Vì BD ^ SA và SA ^ mặt phẳng(CPMN) nên theo định lí “Một đường thẳng và một mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau”, ta có: BD // (CPMN) Ta lại có BD Ì (SBD) (CPMN) Ç (SBD) = NP. Suy ra BD // NP. Cách 2: Có thể chứng minh NP và BD cùng nằm trong mặt phẳng (SBD) NP và BD cùng vuông góc với mặt phẳng (SAC) Þ NP // BD. Ví dụ 5: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Từ đỉnh A kẻ các đường cao AH vuông góc với SB, AI vuông góc với SC, AK vuông góc với SD. Chứng minh rằng tứ giác AHIK nội tiếp được. ? Có nhận xét gì về lời giải sau: Ta có ( theo định lí 3 đường vuông góc ) Hình 17 Mặt khác, ta có AB ^ BC.Vậy BC ^ mặt phẳng(SAB) Þ BC ^ AH. Theo giả thiết AH ^ SB. Vậy ta có AH ^ mặt phẳng( SBC) Mà HI thuộc mặt phẳng (SBC) nên AH ^ HI Þ Chứng minh tương tự, ta có Vậy Tứ giác AHIK có tổng hai góc đối là 1800, vậy tứ giác AHIK nội tiếp được. ! Sai lầm của lời giải trên là chưa chứng minh AIHK là tứ giác phẳng, nghĩa là 4 điểm A, B, C, D nằm trên cùng một mặt phẳng. Cần bổ sung lời giải trên đây bằng chứng minh sau: Do AH ^ mặt phẳng(SBC) Þ AH ^ SC. Mặt khác theo giả thiết AI ^ SC Þ SC ^mặt phẳng(AHI). Lí luận tương tự ta có SC ^ mặt phẳng( AKI). Vì qua một điểm ở ngoài một đường thẳng ta chỉ có thể dựng được một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng ấy nên rõ ràng hai mặt phẳng (AHI) và (AKI) phải trùng nhau. Do vậy, 4 điểm A, H, I, K cùng nằm trên một mặt phẳng. Ví dụ 6: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang ABCD vuông góc tại A và B, SA vuông góc với đáy.Cho biết AB = BC = a; AD = SA = 2a. a)Tính diện tích xung quanh của hình chóp. Tính góc nhị diện cạnh SD. b)Mặt phẳng (P) qua CD và qua trung điểm M của cạnh SA.Tính diện tích mặt cắt của hình chóp do mặt phẳng (P) tạo ra. Hình 18.a ? Hãy nghiên cứu và cho nhận xét về lời giải sau: Câu b: Để dựng thiết diện, ta kéo dài AB và DC cắt nhau tại B’. Nối MB’ cắt SB tại N. Tứ giác MNCD là thiết diện cần dựng. Ta có: AC = a; AD = 2a; Từ đó suy ra AC ^ CD. SA ^ (ABCD) AC ^ CD Suy ra SC ^ CD Þ CD ^ MC. Vậy góc MCA là góc phẳng của nhị diện hợp bởi thiết diện và đáy. Ta lại có MC 2 = AC 2 + MA2 = 2a2 + a2 =3a2 MC = a Mà Mà . Vậy ! Nhận xét: Lời giải trên cho kết quả sai vì do những suy luận không đúng. Trong lời giải trên, do bị trực giác đánh lừa nên cho rằng hình chiếu của thiết diện MNCD trên đáy đúng là hình thang ABCD. Rõ ràng đây là một sai lầm vì ta mới chỉ có A là hình chiếu của M còn B không phải là hình chiếu của của N ( vì BN không vuông góc với đáy). Để có được hình chiếu của MNCD trên đáy, trong mặt phẳng (SAB) Hình 18.b ta kẻ NA’ ^ AB. Ta chứng minh được NA’ ^ (ABCD) và hình chiếu của thiết diện MNCD trên đáy là tứ giác AA’CD. Như vậy, ta có Vì và vì NA’ // SA nên Vậy Ví dụ 7: Hình 19.a Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, AC’ = 2a. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ACD’). ? Tìm chỗ sai trong lời giải sau: Dựng DH ^ AC. Ta sẽ chứng minh DH ^ (ACD’) Thật vậy: gọi M và N là trung điểm của AD’ và CD’ Þ MN // AC Mà DH ^ AC và DH ^ MN nên DH ^ (ACD’) Vậy d(D, (ACD’)) = DH. ! Phân tích sai lầm: Lời giải trên sai do sử dụng không đúng điều kiện để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. Sửa chữa: Xét tứ diện DACD’ là tứ diện có DA, DC, DD’ đôi một vuông góc Þ d(D, (ACD’)) = DH ( H là trực tâm của tam giác ACD’) Sử dụng kết quả của phần khai thác bài toán tam diện vuông ta có B) Tăng cường khả năng phát hiện vấn đề cho học sinh qua việc sửa chữa sai lầm khi vẽ hình Trong việc vẽ hình ta thường gặp những trường hợp vẽ hình sai do không chú ý đến yêu cầu của giả thiết, hoặc những nhận định, những kết luận do trực giác tạo ra, những điều này sẽ dẫn đến hoặc sẽ dẫn đến sự bế tắc trong cách giải hoặc sẽ dẫn đến những kết quả sai lầm. Hình 20.a Ví dụ 1: Cho hình chóp O.ABC, đáy ABC là một tam giác vuông có cạnh huyền BC = a, góc nhọn B bằng . Các mặt bên của hình chóp hợp với mặt đáy những góc bằng nhau và bằng . Tính diện tích xung quanh của hình chóp. ? Có nhận xét gì về gợi ý sau: Kẻ OH ^ (ABC) ta có Mặt khác kẻ HI ^ AB, HJ ^ BC, JK ^ AC theo định lí 3 đường vuông góc ta có OI ^ AB, OJ ^ BC, OK ^ AC. Sxq = SOAB + SOBC + SOAC = ++ Tính được OI, OJ, OK theo a, , . ! Hình vẽ trên không gợi ý liên hệ nào giúp ta thực hiện việc tính toán.Hình vẽ sai do không vận dụng hết các điều đã có trong giả thiết. Vì hình chóp đã cho có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng nhau nên có thể chứng minh được rằng HA = HB = HC, nghĩa là chân đường cao H phải trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Mặt khác, tam giác ABC là tam giác vuông góc tại A, nên tâm tròn ngoại tiếp của nó là trung điểm của cạnh huyền BC. Hình 20.b Từ những điều trên, suy ra chân đường cao H chính là trung điểm của cạnh huyền BC và có hình vẽ bên. Dựa vào hình vẽ này, ta có BC = a; AB = acos; AC = asin. ; ; . Từ đó ta tính được SI2 = SH2 + HI2; SK2 = SH2 + HK2 Tính toán tiếp theo hoàn toàn có thể thực hiện được. Ví dụ 2: Hình 21.a Cho hình chóp có đáy là một tam giác đều cạnh a. Một mặt bên của hình chóp vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại tạo với đáy góc . Tính diện tích xung quanh của hình chóp. ? Tương tự như ví dụ 1, lời giải của bài toán dễ gặp các hình vẽ như Rõ ràng, hình vẽ không thể hiện đúng giả thiết của bài toán. Thật vậy, giả sử có mặt bên (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC), khi đó, nếu kẻ Hình 21.b đường cao SH thì theo định lí: “ Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, nếu từ một điểm trong (P) ta kẻ đường vuông góc với (Q) thì đường vuông góc này phải nằm hoàn toàn trong mặt phẳng (P)”, đường SH nằm trong mặt phẳng (SAC). Từ đó suy ra điểm H nằm trên AC. Mặt khác, do Þ ∆ SIH = ∆ SJH Þ IH = JH, nghĩa là H nằm trên đường phân giác của góc B Þ ∆ ABC là tam giác đều. Vậy H chính là trung điểm của cạnh AC và ta có thể vẽ đúng như hình bên Ta có HI = HJ HJ // AA’ Þ HJ = AA’ = = SH = HJ.tan = Ta có thể tính được kết quả Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Dựng thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh DD’, trung điểm N của cạnh D’C’ và đỉnh A. Xác định góc giữa thiết diện và mặt phẳng đáy ABCD. ? Tìm sai lầm trong lời giải sau: Do hai mặt bên BB’A’A và CC’D’D song song với nhau nên giao tuyến của hai mặt phẳng này với mặt phẳng (AMN) cũng phải song song với nhau. Hình 22.a Vậy thiết diện chính là hình AMNB’ (N là trung điểm của D’C’) Góc giữa thiết diện với mặt phẳng đáy (ABCD) là , ta có: ! Lời giải trên mắc phải 2 sai lầm: - Xác định thiết diện chưa đủ căn cứ lí luận, chưa chứng minh được rằng MN // AB’. - Góc tạo bởi thiết diện và mặt phẳng đáy không phải là góc . Đây là góc xác định bởi hai mặt phẳng hay là góc nhị diện hợp bởi hai mặt phẳng. Do vậy, trước hết là xác định giao tuyến của hai mặt phẳng. Trong mặt phẳng AA’D’D, AM và A’D’ phải cắt nhau tại một điểm P. Điểm P nằm trong mặt phẳng (A’B’C’D’) và mặt phẳng (AMN) nên nó nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng này, tức PN là giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (A’B’C’D’). Hình 22.b Mặt khác ta có Þ . Vì suy ra PN đi qua B’ hay NB’ là giao tuyến của mặt phẳng (AMN) với mặt đáy A’B’C’D’ của hình lập phương. Vậy AMNB’ là thiết diện cần dựng. Trong mặt phẳng (DCC’D’), gọi Q = MN Ç DC. AQ là giao tuyến của của mặt phẳng (AMN) và mặt phẳng (ABCD) hay AQ là cạnh của góc nhị diện hợp với thiết diện và đáy. Từ đỉnh B’, ta kẻ B’I ^ AQ vì BB’ ^ (ABCD) và B’I ^ AQ Þ BI ^ AQ. Vậy góc B’IB chính là góc phẳng của nhị diện. Ta có: ; BB’ = AB. Kẻ NN’ // CC’ Þ BN’ // B’N // AQ. Vậy . Gọi cạnh của hình lập phương là a, ta tính được: N’K = a; KB = ; N’B = ; Thay vào (1), ta có . Như vậy, những sai lầm trên đây là do thiếu một số hiểu biết trong việc vẽ một số hình quen thuộc. Để sửa chữa những thiếu sót này, cần làm quen với một số cách vẽ những hình không gian thường gặp trong các đề toán. Sau đây là một số hình: C) Tạo cơ hội cho học sinh tham gia vào quá trình xây dựng đề bài Sau đây là một số ví dụ giáo viên đưa ra tình huống gợi vấn đề tạo cơ hội cho học sinh tham gia vào quá trình xây dựng đề bài. Khi đó, được phát huy ở vai trò mới học sinh dễ dàng và hứng thú hơn trong việc phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề. Ví dụ 1: Hãy quan sát hình vẽ và những nghiên cứu gợi ý để ra một bài toán phù hợp? * Gợi ý: - Tam giác BCD cân tại C. a) Nhận xét gì về tam giác BCD? b) Tìm điều kiện của AB để BH là đường vuông góc chung của AB và CD? c) Độ dài cạnh AB và cạnh của tam giác BCD là bao nhiêu Hình 24 để góc tạo bởi hai mặt phẳng (BCD) và (ADC) bằng 300? d) Tính BK theo độ dài cạnh AB và cạnh của tam giác BCD? ! Phân tích để phát hiện vấn đề: Tam giác BCD là tam giác đều vì chứng minh được BC = BD Dựa vào hình vẽ, ta có . Để BH là đường vuông góc chung của AB và CD thì AB ^ BH Þ AB ^ (BCD), hay hình chóp A.BCD có cạnh AB vuông góc với mặt phẳng đáy (BCD). Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là góc AHB. Vì nên ta có Giả sử tam giác BDC có độ dài cạnh là x, đường cao . Suy ra . d) Bài toán đề xuất: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD), cạnh AB bằng a, tam giác BCD đều có cạnh bằng 2a. a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD? b) Xác định góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và mặt phẳng (BCD)? c) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) theo a? Ví dụ 2: ? Hãy điền vào những chỗ … trong đề bài để có một bài toán: “Cho góc xOy nằm trong mặt phẳng (). Trên đường thẳng Oz vuông góc với mặt phẳng () tại O lấy một điểm C, trên đường thẳng Ox lấy điểm A và trên đường thẳng Oy lấy điểm B. Chứng minh tứ diện OABC có …(1)…. Từ O vẽ OH …(2)…mặt phẳng (ABC). Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng ” Bài toán tương đối quen biết trong phần khai thác từ bài toán đã biết nên nó gợi nhu cầu nhận thức và khơi dậy niềm tin ở khả năng ở học sinh. Hình 25 ! Vì Tương tự ta có OB ^ AC; OC ^ AB. Vậy tứ diện OABC các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.(1) Giả sử H là trực tâm của tam giác ABC, ta cũng chỉ ra được OH vuông góc với (2) mặt phẳng (ABC). Vì OABC là tam diện vuông nên ta có Hình 26 Ví dụ 3: ? Hãy nêu đề toán phù hợp với hình vẽ và những gợi ý sau: Gợi ý: - I là trung điểm của BC. Tam giác ABC và tam giác BCD cần …(4)…để BC vuông góc với mặt phẳng (ADI). - H nằm trên đường thẳng ID, tìm điều kiện để AH vuông góc với (BCD) (5) - Mặt phẳng (ADI) …(6)…mặt phẳng (ABC). - Mặt phẳng (ADI) …(7)… mặt phẳng (BCD). ! Phân tích: Vì I là trung điểm BC nên để BC (ADI) thì BC ^ AI và BC ^ DI. Suy ra tam giác ABC cân tại A và tam giác BDC cân tại D.(4) BC ^ (ADI), mà AH Ì (ADI) nên AH ^ BC Để AH ^ (BCD) thì AH ^ DI (5) Ta có (ADI) ^ (ABC) (6) (ADI) ^ (BCD) (7) Từ những lí luận trên, bài toán đề xuất: “Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cân tại A và tam giác BCD cân tại D. a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI)? b) AH vuông góc với DI, biết H nằm trên DI.Chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD). c) Chứng minh rằng mặt phẳng (ADI) vuông góc với (ABC), mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng (ADI).” Ví dụ 4: ? Điền vào những chỗ … để có một đề toán hoàn chỉnh phù hợp với hình vẽ “Cho hình chóp S.ABCD, cạnh SA …(8)…mặt phẳng đáy (ABCD), SA = a. Đáy ABCD là hình thang vuông có đường cao AB =a, BC = a, CD = 2a. a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông? b) Chứng minh SD vuông góc với …(9)…? c)Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CD? d) M là trung điểm của cạnh SC. Tính góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng …(10)…? e) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SCD)? ” Hình 27.a ? Hãy giải bài toán đó ! ! Phân tích: Để các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông thì SA (ABCD) (8). Vì SA (ABCD) nên SA AB Mà AD AB. Suy ra SD AB (9). I là trung điểm của AD, ta có BI // CD nên . SBI là tam giác đều có cạnh bằng nên . Ta cần tính góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) (10). Đề bài: “Cho hình chóp S.ABCD, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), SA = a. Đáy ABCD là hình thang vuông có đường cao AB=a, BC=a, CD = 2a. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông? Chứng minh SD vuông góc với AB? Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CD? M là trung điểm của cạnh SC. Tính góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD)? Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SCD)? ” Lời giải: Vì SA (ABCD) nên SA AB Þ ∆ SAB vuông tại A. Tương tự ∆ SAD vuông tại A. Vì SA BC; AB BC nên SB BC Þ ∆ SBC vuông tại B. Xét tam giác ACD có IC = (với I là trung điểm của AD) IC là trung tuyến của tam giác đó Þ ACD là tam giác vuông tại C Þ AC CD. Mà SA CD Þ SC CD, hay tam giác SCD vuông tại C. SA AB AD AB Þ SD AB. Hình 27.b Ta có BI // CD nên . Xét tam giác SBI có SB = (vì SB2 = SA2 + AB2) BI = (vì BI là đường chéo của hình vuông ABCI) SI = (vì SI2 = SA2 + AI2) Suy ra tam giác SBI đều Þ d) Gọi O là giao điểm của AC và BI Þ O là trung điểm của AC. Vì SA (ABCD) nên MO (ABCD) Þ . MO = ; BO = Þ e) Vì CI AD và CI SA Þ CI (SAD) Þ CI SD. Trong mặt phẳng (SAD), kẻ IJ SD. Ta có Vì ∆ DIJ đồng dạng với ∆DSA nên Xét tam giác vuông CIJ có . Vậy 2.2.3- Hình thành một số quy trình giải bài tập hình học không gian A) Quy trình xác định hình chiếu vuông góc của một đường thẳng trên một mặt phẳng. Khác với phép chiếu song song, phép chiếu vuông góc không bảo toàn khoảng cách, tỷ số khoảng cách, nên bài tập dạng này thường gây ra cho học sinh những khó khăn nhất định.Vì thế, nếu vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề để dạy quy trình thuật giải: xác định hình chiếu vuông góc của một đường thẳng trên một mặt phẳng bằng biện pháp phát triển tư duy logic thì sẽ giúp học sinh có được phương pháp để giải các bài tập liên quan. Nội dung này được trình bày thông qua hai hoạt động HĐ1: Phân tích các thao tác nhằm phát hiện quy trình HĐ2: Vận dụng quy trình vào giải các bài toán HĐ1: Phân tích các thao tác nhằm phát hiện quy trình Bài 1: Cho tứ diện đều OABC. Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng OA trên mặt phẳng (ABC). Bài toán đưa ra sau khi học sinh học về phép chiếu vuông góc (Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng – Hình học 11). Bài toán đưa ra cho học sinh chưa có ngay cách giải.Bài toán khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân vì học sinh vừa được học về phép chiếu vuông góc. Vận dụng dạy học theo 4 bước của Polya Bước 1:Tìm hiểu nội dung bài toán ? Bài toán yêu cầu tìm gì? ! Tìm hình chiếu vuông góccủa đường thẳng AO lên mặt phẳng(ABC)? Bước 2: Xây dựng chương trình giải ? Có thể tìm được hình chiếu vuông góc của một đường thẳng trên một mặt phẳng như thế nào? ! Đưa về tìm hình chiếu vuông góc của điểm thuộc đường thẳng Tìm hình chiếu của hai điểm A và O trên mặt phẳng (ABC). ? Hãy tìm hình chiếu vuông góc của hai điểm đó trên mặt phẳng (ABC)? Bước 3: Trình bày lời giải Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Vì OABC là tứ diện đều nên ta có OG ^ (ABC) Þ G là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC). Hình 28 Mặt phẳng (AOG) vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (ABC) chính là A. Vậy AG là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AO trên mặt phẳng (ABC). Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải: ? Có nhận xét gì về vai trò của AG và mặt phẳng ( ABC )? ! AG là giao tuyến của mặt phẳng ( AOG) và mặt phẳng (ABC)? ? Có nhận xét gì về hai mặt phẳng đó? ! mặt phẳng (AOG) là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC). AG là giao tuyến của mặt phẳng đó và mặt phẳng ( ABC ). Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA=a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ABCD là hình vuông cạnh a. Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng AD trên mặt phẳng (SBC). ? Hãy tìm hình chiếu của A, D trên mặt phẳng ( SBC). Hình 29 ! Ta sẽ tìm hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (SBC) Ta có BC ^ AB SA ^ (ABCD) Þ SA ^ BC Þ BC ^ (SBC),BC Ì (SBC) Þ mặt phẳng(SAB) ^mặt phẳng(SBC). Giao tuyến của mặt phẳng(SAB) và mặt phẳng( SBC) là SB. Do SA=SB=a, nếu gọi H là trung điểm của SA thì AH ^ SB Þ H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC) ? Có thể tìm được hình chiếu của D trên mặt phẳng (SBC) bằng phương pháp tương tự đối với điểm A không? ! Khó khăn. ? Lời giải của bài 1 có gợi ý gì cho bài này hay không? ! Ta sẽ tìm giao tuyến của mặt phẳng (AHD) và mặt phẳng (SBC) Vì (AHD) ^ (SBC) nên giao tuyến chính là hình chiếu của AD trên mặt phẳng (SBC) Mặt phẳng(SBC) và mặt phẳng(ADH) có BC//AD Þ giao tuyến là HK//BC Vì H là trung điểm SB Þ K là trung điểm của SC Vậy HK là đường thẳng cần tìm. ? Hãy chỉ ra thứ tự các bước đã thực hiện ở bài trên? ! Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng ta thực hiện: + Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm thuộc đường thẳng đó trên mặt phẳng. + Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng đã cho và đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chiếu. + Xác định giao tuyến của mặt phẳng chiếu với mặt phẳng vừa tìm được. Hai bài toán trên tương đối đơn giản vì thế sẽ tạo ra sự hứng thú và niềm tin ở khả năng bản thân trong quá trình tìm ra quy trình của dạng toán này. Bài 3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. M là trung điểm của cạnh BC. Xác định hình chiếu vuông góc của: a) AB trên mặt phẳng (A’B’C’D’) . b) AM trên mặt phẳng (A’B’C’D’). c) A’M trên mặt phẳng (BCC’B’). Nhận xét: a) - Từ hình vẽ, học sinh có thể tìm được hình chiếu của AB trên mặt phẳng(A’B’C’D’) là đường thẳng A’B’. Hình 30 b)? Hãy xác định hình chiếu vuông góc của A tr ên mặt phẳng( A’B’C’D’) ! Ta có AA’ ^ (A’B’C’D’) (1). Þ A’ là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A’B’C’D’) Ta cần tìm giao tuyến của mặt phẳng (AMA’) và mặt phẳng (A’B’C’D’) Gọi M’ là trung điểm của B’C’. Ta có MM’ // AA’ Þ M’ nằm trên mặt phẳng (AA’M) Þ A’M’ là giao tuyến của 2 mặt phẳng trên. Từ (1) ta có mặt phẳng (AA’M’M) ^ mặt phẳng (A’B’C’D’) Þ đường thẳng A’M’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AM trên mặt phẳng (A’B’C’D’) c) Ta có A’B’ ^ mặt phẳng (BCC’B’) Þ B’ là hình chiếu vuông góc của A trên (BCC’B’), giao tuyến của mặt phẳng (A’BM) và mặt phẳng (BCC’B’) là B’M Þ B’M là hình chiếu vuông góc của A’M trên mặt phẳng (BCC’B’). Nhận xét: Nhờ dự đoán đó,học sinh đã giải được bài toán trên dễ dàng hơn +Bước 1: tìm hình chiếu vuông góc của O (b ài 1); A (b ài 2)A, A’.(b ài 3) +Bước 2: các mặt phẳng là(OGA ) (bài1);(AHD)(b ài 2) (A A’M’M (bài3b),(A’BM) (bài 3c) +Bước 3:giao tuyến xác định được là: AG (bài 1). HK(bài 2), A’M’(bai 3b),B’M(bài 3c), ? Hãy nêu các bước (quy trình ) xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên một mặt phẳng? ! Đáp: Quy trình xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng a trên mặt phẳng(P): Bước 1: Chọn một điểm M Î a. Bước 2: Xác định hình chiếu vuông góc H của điểm M trên mặt phẳng (P). Bước 3: Xác định giao tuyến của mặt phẳng(a, MH) với mặt phẳng(P). Giao tuyến chính là đường thẳng cần tìm. HĐ2: Vận dụng quy trình để giải một số bài toán có liên quan Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông tâm O, SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng CD trên mặt phẳng (SAB)? ? Thực hiện theo quy trình để xác định hình chiếu vuông góc của CD trên mặt phẳng (SAB)? ! Bước 1: Chọn điểm M là trung điểm của CD. Bước 2: Xác định hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (SAB). Gọi N là trung điểm của AB. Ta có AB ^ MN. Hình 31 Mặt khác SO ^ (ABCD) Þ SO ^ AB Þ AB ^ (SMN), AB Ì (SAB) Þ mặt phẳng (SAB)^mặt phẳng(SMN) Giao tuyến của mặt phẳng(SAB) và mặt phẳng(SMN) là SN Kẻ MH ^SN Þ H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (SAB) Bước 3: Xác định giao tuyến mặt phẳng (CD, MN) và mặt phẳng(SAB). Ta có CD//ABÞ giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng d đi qua H và d //AB và d // CD. Vậy d là hình chiếu vuông góc của CD trên mặt phẳng (SAB) Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng B’C’ trên mặt phẳng (A’BC)? ? Hãy nhắc lại quy trình xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên một mặt phẳng. Thực hiện theo qui trình với đường thẳng B’C’ và mặt phẳng (A’BC)? ! Quy trình (đã nêu trên) Lời giải Bước 1: Chọn điểm E là trung điểm của B’C’. Hình 32 Bước 2: Xác định hình chiếu vuông góc của E trên mặt phẳng (A’BC). Gọi D là trungđiểm của BC Þ DE//BB’ Þ DE ^ BC. (1). Mặt khác A’E ^ mặt phẳng (BB’C’C) Þ A’E ^ BC . (2) Từ (1) và (2) Þ BC ^ mặt phẳng (A’DE), BC Ì mặt phẳng(A’BC) Þ mặt phẳng ( A’BC) ^ mặt phẳng (A’DE). Giao tuyến của 2 mặt phẳng này là A’D. Kẻ EH ^ A’D Þ H là hình chiếu vuông góc của E trên mặt phẳng (A’BC) Bước 3: Xác định giao tuyến của mặt phẳng (B’C’H) và mặt phẳng (A’BC) Ta có BC//B’C’ nên giao tuyến của 2 mặt phẳng trên là đường thẳng d qua H, d//BC Vậy d là hình chiếu vuông góc của B’C’ trên mặt phẳng (A’BC). B- Quy trình xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau * Bài toán về xác định đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau cũng là một dạng bài khó. Trong sách giáo khoa cũng đã nêu cách giải bài toán dạng này nhưng còn mang tính lý thuyết trừu tượng, học sinh chưa thể áp dụng trực tiếp để làm bài tập. Vì vậy giáo viên vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề hướng dẫn học sinh phát hiện một quy trình thuật giải để có thể giải được một lớp những bài toán dạng này Bài 1.(Bài tập Hình học 11 – tr 146) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh SA = h và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định đoạn vuông góc chung của các đường thẳng sau: a) SB và CD; b) SC và BD; c) SC và AB.Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SC và AB? Giáo viên đưa ra bài toán sau khi học sinh đã học lí thuyết bài khoảng cách. Bài toán có thể trở thành tình huống gợi vấn đề vì nó thoả mãn các điều kiện sau: - Bài toán trên bao gồm trong nó một vấn đề xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau mà học sinh chưa có ngay cách giải. - Bài toán khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân vì học sinh vừa được học định nghĩa đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và những kiến thức về khoảng cách (độ dài đoạn thẳng) lại tương đối quen thuộc. Cần củng cố cho học sinh lại các phương pháp xác định đường thẳng đã học trong mặt phẳng (đường thẳng xác định khi biết hai điểm mà nó đi qua, biết một điểm mà nó đi qua và đường thẳng vuông góc với nó.. ) và nhắc lại các cách xác định đường thẳng trong không gian. Đường vuông góc chung ∆ của 2 đường thẳng chéo nhau a và b là đường thẳng vuông góc và cắt mỗi đường thẳng ấy. Nếu đường vuông góc chung ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ dài MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đoạn thẳng MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b. Từ định nghĩa đó,có thể hướng dẫn cho học sinh giải bài toán theo 4 bước của Polya a ) SB và CD. Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán: ? Bài toán yêu cầu đi tìm gì? Hình 33 ! Bài toán yêu cầu tìm đoạn vuông góc chung của SB và CD? Bước 2: Xây dựng chương trình giải: ? Bài toán trên đã có cách giải chưa? ! Chưa. ? Có nhận xét gì về vị trí tương đối của SB và CD? ! SB và CD chéo nhau (không có mặt phẳng nào chứa 2 đường thẳng đó) ? Muốn xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, ta xác định như thế nào? ? Có thể dùng định nghĩa để xác định được đường vuông góc chung đó không? Từ đó, có thể xác định đoạn vuông góc chung được không? Bước 3: Trình bày chương trình giải ? Với giả thiết của bài toán những đường thẳng nào vuông góc với CD? ! SA, BC, AD. ? Trong những đường thẳng đó, có đường thẳng nào vuông góc với SB không? Vì sao? ! BC^ SB vì BC^ (SAB). Vậy BC là đoạn vuông góc chung của SB và CD. ? Hãy xác định đoạn vuông góc chung của SB và CD? ? Trình bày lời giải vào vở. Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải ? Ngoài vuông góc với CD,đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng nào? Mặt phẳng đó có đặc điểm gì? ! Mặt phẳng(SAB) là mặt phẳng chứa SB, song song CD.. ? Ngoài BC, điểm B là giao điểm của những đường thẳng nào? Những đường thẳng đó có đặc điểm gì? ! Là giao điểm của SB và BC, AB là hình chiếu của CD trên mặt phẳng (SAB). BC là đường thẳng vuông góc với hình chiếu AB. Từ nhận xét đó, có thể dự đoán các bước của quy trình: Bước 1: Tìm một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Bước 2: Tìm hình chiếu của đường thẳng còn lại trên mặt phẳng đó Bước 3: Xác định giao điểm của đường thẳng hình chiếu và đường thẳng nằm trên mặt phẳng, từ giao điểm đó kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng kia. Lời giải của phần a tương đối dễ dàng đối với những học sinh có sức học trung bình vì thế sẽ khích thích được ở học sinh sự hứng thú tham gia vào quá trình giải quyết bài toán.Tuy nhiên, người giáo viên cần dẫn dắt học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề của bài toán sư phạm mà mình đang hướng dẫn học sinh: đó là tìm quy trình xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. b) SC và BD Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán: ? Bài toán yêu cầu đi tìm gì? ! Bài toán yêu cầu tìm đoạn vuông góc chung của SC và BD? Bước 2:Xây dựng chương trình giải: ? Có thể dùng cách giải của câu a để tìm kết quả được không? ? Có nhận xét gì vị trí của SC và BD không? ? Có đường thẳng nào vuông góc với BD không? ? Có nhận xét gì về quan hệ của BD và mặt phẳng ( SAC)? Liệu đường vuông góc chung đang cần tìm có thể được xác định nằm trong mặt phẳng nào? ? Hãy xác định đường vuông góc chung của BD và SC? Bước 3: Trình bày chương trình giải ? Hãy trình bày lời giải vào vở? ! SC và BD chéo nhau SA ^ (ABCD) nên SA ^ BD, AC ^ BD vì ABCD là hình vuông. BD ^ (SAC) nên đường vuông góc chung của BD và SC nằm trong mặt phẳng (SAC). Gọi O = BD È AC, trong mặt phẳng (SAC) Trong mặt phẳng (SAC), dựng OH ^ SC, OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC. Bước 4:Nghiên cứu sâu lời giải ? Có nhận xét gì đặc biệt về quan hệ của 2 đường thẳng chéo nhau trong trường hợp này? ! Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau. ? Có thể dự đoán quy trình trong trường hợp này như thế nào? ! Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau và a ^ b. Bước 1: Dựng mặt phẳng (P) chứa a và (P) ^ b tại B. Bước 2: Trong (P) dựng BA ^ a tại A, AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. c) SC và AB. Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán: ? Bài toán yêu cầu đi tìm gì? ! Tìm đoạn vuông góc chung của SC và AB Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Bước 2:Xây dựng chương trình giải: ? Thế nào là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau? ? Hãy nêu vị trí của SC và AB? ! SC và AB chéo nhau, không vuông góc. ? Hãy nhắc lại quy trình xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đã sử dụng ở câu a? ? Hãy áp dụng quy trình đó vào bài tập này? Bước 3: Trình bày lời giải Hình 34 ! ( SCD) là mặt phẳng chứa SC và song song với AB. Mà AB ^ ( SAD).Trong (SAD) xác định AK ^ SD. Trong (SCD), vẽ KE // CD, với E Î SC Trong (KE, AB), vẽ EF // AK, với F Î AB. Vì AK ^ (SCD) nên AK ^ SC AK ^ AB Vì EF //AK nên EF ^ SC EF ^ AB. Vậy đoạn EF chính là đoạn vuông góc chung của AB và SC. ? Hãy tính độ dài EF? EF = AK = Bước 4:Nghiên cứu sâu lời giải ? Hãy nêu lại các bước xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau vừa sử dụng trong bài? ! Học sinh trả lời. Để làm rõ hơn dự đoán trên, cần đưa ra cho học sinh 2 bài toán sau: Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xác định đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AD’ và B’C. Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán: ? Bài toán yêu cầu tìm gì? ! Tìm đoạn vuông góc của hai đường thẳng chéo nhau AD’ và B’C. Bước 2:Xây dựng chương trình giải: ? Hãy dùng các bước trong dự đoán trên để tìm Hình 35 đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD’ và B’C. Bước 3: Trình bày lời giải Xét mặt phẳng(BCC’B’) chứa B’C và song song A’D. BC’ là hình chiếu của AD’ trên (BCC’B’). AB ^ (BCC’B’) Gọi I là giao điểm của BC’ và CB’ Þ I là tâm của mặt bên (BCC’B’). Trong mặt phẳng ABC’D’, kẻ IJ // AB (JÎD’A) Þ J là tâm của mặt bên ADD’A’ Ta có IJ là đoạn vuông góc chung của AD’ và B’C. Bước 4:Nghiên cứu sâu lời giải ? Hãy chỉ ra các bước vừa áp dụng trong bài? ! Bước 1: Tìm mặt phẳng (BCC’B’) chứa B’C và song song với AD’. Bước 2: Tìm hình chiếu của AD’ trên mặt phẳng (BCC’B’). Gọi I là giao điểm của BC’ và CB’. Bước 3: Dựng IJ // AB.(vì AB ^ (BCC’B’).IJ là đoạn vuông góc cần tìm. Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1, có đáy ABC là tam giác đều. Xác định đoạn vuông góc chung của AC và BC1. Lời giải. ? Có thể áp dụng các bước làm của bài 2 để giải quyết bài toán được không? (Gợi ý: Gọi I, I1 lần lượt là trung điểm Hình 36 của AC và A1C1. Ta có mặt phẳng (B I1C1) chứa BC1và song song AC ). ? Hãy xác định hình chiếu của AC trên mặt phẳng (BI1C1). (Gợi ý nếu học sinh không biết cách sử dụng tính chất (BI1C1) ^ (BII1B1)) ! Có AC ^ mặt phẳng (BII1B1), AC // I1C1 Þ I1C1 ^ mặt phẳng (BII1B1) Þ Mặt phẳng (BI1C1) ^ mặt phẳng (BII1B1). Giao tuyến của hai mặt phẳng này là BI1. Kẻ IH ^ BI1 Þ IH ^ (BI1C1) Từ H lại kẻ HK // I1C1 Þ HK là hình chiếu của AC trên mặt phẳng (BI1C1). Hơn nữa K Î BC1, từ K kẻ KJ // IH, J Î AC. Þ KJ là đoạn vuông góc chung của AC và BC1 Nhận xét: học sinh đã giải được 3 bài toán nhờ vận dụng các bước trong dự đoán. ? Từ nhận xét trên hãy nêu các bước (quy trình) cho dạng toán tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau? ! Trả lời: Quy trình xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a,b chéo nhau. Bước 1: Tìm mặt phẳng (P) chứa b và song song a Bước 2: Xác định hình chiếu vuông góc a’ của a trên mặt phẳng (P) Bước 3: Từ giao điểm B của a’ và b, kẻ đường thẳng song song với một đường thẳng đã xác định mà vuông góc với đường thẳng a. Đường song song này cắt a tại A. Đoạn thẳng AB chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b Bài tập áp dụng Bài 4: Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a.Gọi G là trọng tâm của tam giác đáy ABC. Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng (ABC)? Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SG? Bài 5: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC =a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng: a) OA và BC; b) AI và OC. Bài 6: Cho hai tam giác cân không đồng phẳng ABC và ABD có đáy chung AB. Chứng minh AB vuông góc với CD. Xác định đoạn vuông góc chung của AB và CD. Nhận xét: dạy học theo cách trên giúp học sinh hình thành một số quy trình giải bài tập hình không gian. Qua đó: Học sinh được đặt vào tình huống gợi vấn đề: giải các bài toán chưa có ngay lời giải hoặc thuật giải. Tuy nhiên, qua quá trình giải các bài toán đó, dưới sự dẫn dắt của giáo viên, thứ nhất học sinh giải quyết được bài toán, thứ hai học sinh rút ra được tri thức phương pháp để từ đó có thể giải được những bài toán cùng dạng. Cách dạy này không phải chỉ làm cho học sinh lĩnh hội kết quả của quy trình, mà còn ở chỗ làm cho học sinh phát triển khả năng tiến hành tìm ra những quy trình khác. Nói cách khác, học sinh được học bản thân việc học. 2.3. KẾT LUẬN CHƯƠNG II Trên cơ sở những lý luận của chương I, trong chương II luận văn đã trình bày định hướng vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy giải bài tập. Từ định hướng đó, luận văn đề xuất một phương án vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào các tiết luyện tập về quan hệ vuông góc trong HHKG của lớp 11 THPT nhằm nâng cao chất lượng dạy và học HHKG. CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1. MỤC ĐÍCH, NỘI DUNG, TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1.1. Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của phương án xây dựng trong luận văn. 3.1.2. Nội dung thực nghiệm Dạy thực nghiệm và kiểm tra 04 tiết học: Luyện tập bài 5: Khoảng cách. Luyện tập 2 tiết: Ôn tập chương III Ra đề kiểm tra 45 phút (sau ôn tập chương III) 3.1.3. Đối tượng thực nghiệm Thực nghiệm được tổ chức tại hai lớp 11D6 và 11D7 – trường THPT Thượng Cát, huyện Từ Liêm, Hà Nội. Đối tượng thực nghiệm chia làm hai loại: Lớp 11D6 có sức học trung bình, lớp 11D7 có sức học khá về môn toán. Cụ thể, theo kết quả điều tra về trình độ môn toán của học sinh trước khi dạy thực nghiệm là: Lớp Số học sinh Khá – Giỏi Trung bình Yếu - Kém HS Tỉ lệ HS Tỉ lệ HS Tỉ lệ 11D6 40 14 35% 17 42,5% 9 22,5% 11D7 38 16 42% 15 40% 7 18% Kế hoạch thực nghiệm: dạy học 3 tiết luyện tập. Sau khi dạy thực nghiệm, tổ chức kiểm tra 02 bài: 01 bài 15 phút (sau bài Luyện tập: Khoảng cách); 01 bài 45 phút (sau ôn tập chương III). 3.2. KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ, KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM 3.2.1. Các đề kiểm tra Đề 1 KIỂM TRA (Thời gian: 15 phút) Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = . Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh mặt phẳng (SIK) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB. Đề 2 KIỂM TRA (Thời gian: 15 phút) Cho hai tam giác cân không đồng phẳng ABC và ABD có đáy chung AB. Chứng minh AB vuông góc với CD. Xác định đoạn vuông góc chung của AB và CD. Đề 3 KIỂM TRA (Thời gian: 45 phút) Câu 1.(6 đ) Tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ D đến BC bằng a. H là trung điểm của BC, I là trung điểm của AH. a) Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a. b) Chứng minh DI vuông góc với (ABC). Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC. Câu 2. (4 đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA = SC, SB = SD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. Chứng minh rằng IK vuông góc với mặt phẳng (SBD) và IK vuông góc với SD. Gọi là mặt phẳng chứa IK và song song với SO. Hãy chứng tỏ mặt phẳng vuông góc với BD. 3.2.2. Ý đồ sư phạm Kiểm tra mức độ nắm vững tri thức, hình thành và phát triển khả năng phát hiện vấn đề, khả năng giải quyết vấn đề, khả năng phân tích và tìm lời giải trong các giờ luyện tập. Từ đó có kết quả làm cơ sở so sánh và đánh giá tính hiệu quả và cần thiết của luận văn. 3.2.3. Kết quả kiểm tra Kết quả kiểm tra thu được như sau: Điểm Lớp 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số bài 11D6 0 0 1 1 5 8 10 8 5 2 0 40 11D7 0 0 0 2 4 9 8 9 5 2 1 38 Phân tích: Lớp 11D6: - Điểm Khá – Giỏi: 37,5 % - Điểm Trung bình: 45 % Điểm Yếu – Kém: 17,5% Lớp 11D7: - Điểm Khá – Giỏi: 45 % Điểm Trung bình: 45 % Điểm Yếu – Kém: 10 % Nhận xét: Qua thực tế dạy thực nghiệm cho thấy: - Tính khả thi của phương án vì vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào các tiết luyện tập về quan hệ vuông góc trong HHKG của lớp 11 THPT không làm ảnh hưởng đến tiến độ chung của chương trình. - Học sinh hứng thú hơn trong các giờ luyện tập HHKG mà trước đó có một số đông học sinh rất ngại học. Không khí học tập sôi nổi hơn khi học sinh được phát huy tính chủ động, tích cực của mình, thể hiện rõ rệt khi được tham gia với vai trò mới: tìm chỗ sai lầm cho lời giải và được tự mình xây dựng một đề toán. Học sinh được học qua hoạt động và bằng hoạt động thông qua quá trình tham gia vào việc phát hiện và giải quyết vấn đề trong lúc giải các bài tập đó. - Học sinh nắm được kiến thức cơ bản. Phần lớn học sinh có kĩ năng xác định hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng, số đông học sinh biết cách xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, biết sử dụng tri thức phương pháp qua những bài toán quen biết để giải bài tập, linh hoạt hơn trong những tình huống khác nhau của bài tập. Xóa bỏ được một số sai lầm học sinh trong vẽ hình cũng như những suy luận thiếu căn cứ trong khi giải bài tập về quan hệ vuông góc. Học sinh dần có thói quen học tập tích cực, biết cách chủ động trong việc phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề. Một phần đã xóa bỏ được quan niệm ngại học HHKG. 3.2.4. Một số vấn đề nảy sinh từ thực nghiệm sư phạm Qua thực nghiệm sư phạm, chúng tôi thấy: thời gian và công sức chuẩn bị của giáo viên cho bài giảng nhiều hơn. Thời gian trên lớp cần thiết để giảng dạy theo yêu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học còn ít, nên khó khăn trong qua trình tổ chức tốt nhiều hoạt động học tập. Số học sinh trong một lớp học còn đông nên khó khăn cho việc tổ chức các hoạt động nhóm, ngoài ra trình độ học sinh trong một lớp còn có nhiều chênh lệch nên có những bài toán nêu ra là vấn đề với học sinh này nhưng lại không phải là vấn đề với học sinh khác.Vì thế, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề còn gặp những khó khăn nhất định. Kết hợp ứng dụng của công nghệ thông tin trong dạy học sẽ góp phần tốt hơn trong việc giảng dạy và nâng cao chất lượng dạy học.Từ đó phần nào khắc phục được khó khăn về thời gian, về tính trực quan … Vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào các tiết luyện tập về quan hệ vuông góc trong hình học không gian theo hướng hình thành và rèn luyện kĩ năng. người giáo viên có thể: giúp học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kĩ năng giải toán nói chung, đặc biệt là khả năng chủ động, tích cực trong qua trình phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề. KẾT LUẬN Đề tài “Vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào các tiết luyện tập về quan hệ vuông góc trong hình học không gian ở lớp 11 THPT” đã thu được những kết quả chính như sau: 1. Trình bày lý luận, các vấn đề liên quan đến đề tài: dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học các tiết luyện tập HHKG lớp 11 ở trường phổ thông, việc vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào các tiết luyện tập quan hệ vuông góc nhằm khắc phục thực tế còn ít hiệu quả và thiếu chủ động của học sinh trong những giờ học này. 2. Luận văn đã đưa ra định hướng vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào giải bài tập và một phương án vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong các tiết luyện tập về quan hệ vuông góc trong hình học không gian lớp 11. Đó là: - Khai thác từ một bài toán đã biết. - Sử dụng bài tập nhằm tăng cường khả năng phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề: sửa chữa sai lầm trong lời giải, tham gia vào việc xây dựng đề bài … - Hình thành quy trình xác định hình chiếu vuông góc của một đường thẳng trên một mặt phẳng, quy trình xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Những tình huống đó góp phần: - Tạo điều kiện để học sinh học được cách tự khám phá tri thức, chủ động chiếm lĩnh tri thức phương pháp và sử dụng những tri thức đó trong việc giải bài tập HHKG cũng như chủ động trong việc phát hiện và giải quyết vấn đề ở một số trường hợp. - Tạo cơ sở ban đầu cho giáo viên thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong quá trình dạy HHKG. 3. Kết quả thực nghiệm sư phạm bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của phương án. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu đề tài đã được hoàn thành, giả thuyết khoa học đề ra là có thể chấp nhận được. 4. Luận văn đã đạt được một số kết quả và thành công bước đầu. Vì thế, có thể nghiên cứu và áp dụng việc dạy học nhiều nội dung khác trong chương trình môn Toán ở THPT theo hướng vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất - Phan Thanh Quang. Sai lầm phổ biến khi giải Toán, NXBGD, 1996. [2]. Nguyễn Hữu Châu, Dạy học giải quyết vấn đề trong môn Toán, NCGD số 9 - 1995. [3]. Nguyễn Hữu Châu, Giải quyết vấn đề và một số cách phân loại vấn đề trong môn Toán ở Trường phổ thông, TTKHGD số 54 - 1996. [4]. Văn Như Cương (Chủ biên) – Trần Đức Huyên – Nguyễn Mộng Hy.Hình học 11, NXBGD, 2000. [5]. Nguyễn Văn Dự - Trần Quang Nghĩa – Nguyễn Anh Trường. Phương pháp giải Toán hình học không gian 11, NXB Đà Nẵng, 1997. [6]. Trần Văn Hạo (Chủ biên) – Nguyễn Cam - Nguyễn Mộng Hy - Trần Đức Huyên – Cam Duy Lễ - Nguyễn Sinh Nguyên – Nguyễn Vũ Thanh. Chuyên đề luyện thi vào đại học-Hình học không gian, NXBGD, 2001. [7]. Trần Văn Hạo - Nguyễn Mộng Hy - Khu Quốc Anh - Nguyễn Hà Thanh – Phan Văn Viện, Hình học 11, NXBGD, 2007 [8]. Nguyễn Mộng Hy – Khu Quốc Anh - Nguyễn Hà Thanh. Bài tập hình học 11, NXBGD, 2007. [9]. Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Nguyễn Sỹ Đức. Tính giải quyết vấn đề trong toàn bộ quá trình dạy học, TTKHGD số 65 – 1998. [10]. Nguyễn Bá Kim – Vương Dương Minh – Tôn Thân, Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn Toán ở trường THCS. NXB giáo dục, 1998. [11]. Nguyễn Bá Kim, Về định hướng đổi mới phương pháp dạy học. NCGD số 332 - 1999. [12]. Nguyễn Bá Kim – Phương pháp dạy học môn Toán. NXB Đại học sư phạm, 2006. [13]. Bùi Văn Nghị - Vương Dương Minh - Nguyễn Anh Tuấn. Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho GV THPT chu kì III (2004 - 2007), NXB đại học sư phạm, Hà Nội. [14]. Bùi Văn Nghị. Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể - Môn Toán. NXB Đại học Sư Phạm, 2008. [15]. Trần Thành Minh(Chủ biên) - Trần Đức Huyên - Trần Quang Nghĩa – Nguyễn Anh Trường. Giải Toán hình học 11. NXBGD, 2002. [16]. Vương Dương Minh, Tổ chức hoạt động của học sinh trong giờ học Toán ở trường phổ thông (tài liệu học chuyên đề của chuyên ngành LL & PPDH Toán), 2003. [17]. Đoàn Quỳnh – Văn Như Cương - Phạm Khắc Ban – Tạ Mân, Hình học nâng cao 11, NXBGD, 2007. [18]. G. Polya. Giải một bài toán như thế nào? (người dịch: Hà Sĩ Hồ, Hoàng Chúng, Lê Đình Phi, Nguyễn Hữu Chương).NXBGD, Hà Nội, 1995. [19]. G.Polya. Toán học và những suy luận có lý.(người dịch: Hà Sĩ Hồ, Hoàng Chúng, Lê Đình Phi, Nguyễn Hữu Chương).NXBGD, Hà Nội, 1995. [20]. G.Polya. Sáng tạo toán học(người dịch: Nguyễn Sĩ Tuyển, Phan Tất Đắc, Hồ Thuần, Nguyễn Giản).NXBGD, 1997. MỤC LỤC