Vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp 8

PHẦN A ĐẶT VẤN ĐỀ Treân böôùc ñöôøng caûi tieán vaø ñoåi môùi phöông phaùp daïy hoïc cuøng vôùi nhöõng nhieäm vuï quan troïng maø Ñaûng vaø Nhaø nöôùc ta ñaõ vaïch ra thì traùch nhieäm cuûa ñoäi nguõ giaùo vieân chuùng ta laø phaûi hình thaønh ñöôïc ôû hoïc sinh nhöõng cô sôû, nhaân caùch cuûa ngöôøi Vieät Nam, coù loái soáng vaên hoùa laønh maïnh coù hoïc vaán cao, coù hieåu bieát vaø chieám lónh ñöôïc nhöõng noäi dung cuûa khoa hoïc töï nhieân vaø xaõ hoäi, goùp phaàn cho söï phaùt trieån cuûa ñaát nöôùc trong töông lai. Toán học là một bộ phận khoa học kỹ thuật cao nhất đồng thời là chìa khóa mở cửa tạo nền cho các ngành khoa học khác. Là bộ môn chiếm ưu thế quan trọng trong giáo dục đặc biệt là dạy học, nó đòi hỏi ở người thầy giáo một sự lao động nghệ thuật sáng tạo, tạo ra những phương pháp để dạy các em học sinh và giải các bài toán cũng là nhiệm vụ trung tâm của người thầy dạy toán. Trong chương trình đại số lớp 8 thì chương I “ Phép nhân và phép chia các đa thức” trong đó có các bài: “Những hằng đẳng thức đáng nhớ”. Với tất cả 3 tiết lí thuyết và 2 tiết luyện tập thì học sinh phần nào đã hiểu và nắm ñöôïc những kiến thức cơ bản về những hằng đẳng thức. Nhưng việc nắm chắc và hiểu sâu để sau này vận dụng vào các kiến thức có liên quan như: Phân tích đa thức thành nhân tử, tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức và xa hơn nữa là các dạng toán như: tìm cực trị, chứng minh chia hết … cũng được vận dụng những hằng thức rất nhiều. Do đó mức độ kiến thức mà các em đạt được chưa thể nói là thỏa mãn các yêu cầu người dạy và người học toán. Chính vì lí do đó tôi đã lựa chọn vieát saùng kieán kinh nghieäm vôùi ñeà taøi: “ Vận dụng những hằng đẳng thức vào giải toán lôùp 8” nhằm cung cấp cho học sinh phương pháp học và làm toán, nắm được kiến thức cơ bản, cách tư duy và phương pháp sử dụng linh hoạt những hằng đẳng thức vào giải toán. Từ đó tạo nên điều kiện để học sinh học tốt, lĩnh hội tốt những kiến thức liên quan sau này. Ñaây chæ laø nhöõng kinh nghieäm ít oûi qua quaù trình giaûng daïy moân toaùn lôùp 8, toâi cuõng maïnh daïn xin neâu ra ñaây ñeå ñöôïc cuøng trao ñoåi vôùi quyù ñoàng nghieäp vaø xin ghi nhaän moïi söï ñoùng goùp yù kieán ñeå toâi tích luõy theâm ñöôïc nhieàu kinh nghieäm hôn nöõa trong söï nghieäp “troàng ngöôøi” cuûa mình. PHẦN B GIAÛI QUYEÁT VAÁN ÑEÀ I. THÖÏC TRAÏNG. Trong thöïc teá giaûng daïy toaùn ôû tröôøng THCS noùi chung vaø ôû tröôøng THCS binh long noùi rieâng vieäc laøm cho hoïc sinh bieát vaän duïng caùc kieán thöùc ñaõ hoïc ñeå giaûi caùc baøi toaùn laø coâng vieäc raát quan troïng vaø khoâng theå thieáu ñöôïc cuûa ngöôøi daïy toaùn. Vì thoâng qua ñoù coù theå reøn luyeän ñöôïc tö duy logic, khaû naêng saùng taïo, khaû naêng vaän duïng cho hoïc sinh. Ñeå laøm ñöôïc ñieàu ñoù ngöôøi thaày giaùo phaûi cung caáp cho hoïc sinh caùc kieán thöùc cô baûn, caùc phöông phaùp vaän duïng vaø bieán ñoåi phuø hôïp giuùp cho hoïc sinh hieåu ñöôïc thöïc chaâùt cuûa vaán ñeà ñeå töø ñoù coù caùc kó naêng giaûi toaùn thaønh thaïo, thoaùt khoûi taâm lí chaùn naûn vaø sôï moân toaùn. Naêm hoïc 2006-2007 toâi ñöôïc nhaø tröôøng phaân coâng giaûng daïy boä moân toaùn lôùp 8A2 ngay töø ñaàu naêm hoïc. Sau khi hoïc xong noäi dung baøi “Nhöõng haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù” toâi ñaõ cho caùc em laøm baøi kieåm tra vieát, thôøi gian laøm baøi 15 phuùt vôùi muïc tieâu: Kieåm tra möùc ñoä naém kieán thöùc vaø kó naêng vaän duïng nhöõng haèng ñaúng thöùc vaøo laøm baøi taäp. Keát quaû thu ñöôïc nhö sau: Toång soá HS KEÁT QUAÛ ÑIEÅM TRÖÔÙC KHI VAÄN DUÏNG ÑEÀ TAØI 0 -> 3 3,5-> 4,5 Töø 5 trôû leân 8->10 38 7 15 16 2 Keát quaû treân ñaõ chöùng toû ñöôïc raèng: Haàu heát caùc em ñaõ ghi laïi ñöôïc noäi dung cuûa baûy haèng ñaúng thöùc nhöng khi cho caùc em baøi taäp caàn vaän duïng nhöõng haèng ñaúng thöùc ñoù thì còn có một số học sinh rất ngượng ngập, khoâng tìm ra lôøi giaûi, chưa chịu khó suy nghĩ, chöùng toû kiến thức còn mang tính nhồi nhét thụ động, đứng trước một bài toán tự mình giải còn chưa có niềm tin. Beân caïnh ñoù moät soá hoïc sinh coøn coù taâm lí chaùn naûn vaø toû ra sôï moân toaùn moãi khi vaøo hoïc tieát toaùn. Rất nhiều học sinh lớp 9 hiện nay cũng chưa hiểu và nắm chắc các hằng đẳng thức để có thể vận dụng linh hoạt vào giải các dạng toán. Kết quả là nhiều bài toán học sinh không giải được hoặc giải sai. Bên cạnh đó rất nhiều kiến thức về đại số liên quan đến những hằng đẳng thức nếu biết sử dụng những hằng đẳng thức để xử lí thì thì bài toán sẽ có nhiều cách giải ngắn gọn hơn, giúp các em phát triển tư duy một cách tích cực hơn. II. NGUYEÂN NHAÂN Trong chöông trình saùch giaùo khoa hieän nay thì khoâng phaûi baát cöù ngöôøi hoïc naøo cuõng coù theå ñaùp öùng ñöôïc nhöõng yeâu caàu ñöa ra, nhaát laø ñoái vôùi nhöõng ñoái töôïng laø hoïc sinh ôû vuøng saâu, vuøng xa, ôû ñòa phöông coù ñieàu kieän kinh teá coøn khoù khaên noùi chung vaø hoïc sinh cuûa tröôøng THCS Binh long noùi rieâng. Ñòa baøn cö truù roäng, xa tröôøng, kinh teá gia ñình khoâng oån ñònh, coøn khoù khaên neân ít nhieàu cuõng aûnh höôûng ñeán vieäc hoïc cuûa caùc em. Beân caïnh ñoù, moät soá hoïc sinh coøn ham chôi, löôøi hoïc, ngoài hoïc trong lôùp chöa taäp trung coøn coù taâm lí chaùn naûn vaø sôï hoïc moân toaùn. Khi kieåm tra caùc em veà lyù thuyeát thì coù veû nhö raát hieåu baøi nhöng khi yeâu caàu caùc em laøm theâm phaàn baøi taäp vaän duïng thì raát luùng tuùng vaø khoù khaên ñeå trình baøy. Caùch hoïc cuûa caùc em laø nhoài nheùt, hoïc thuï ñoäng, hoïc ñeå choáng ñoái söï kieåm tra cuûa giaùo vieân, caùc em cho raèng: chæ caàn hoïc thuoäc lyù thuyeát laø coù theå laøm ñöôïc baøi taäp maø caùc em queân raèng: “ Hoïc phaûi ñi ñoâi vôùi haønh” Vì vậy việc chuẩn bị tốt cho học sinh những kiến thức cơ bản về những hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là những phương pháp giải các bài toán có liên quan đến hằng đẳng thức thật vô cùng quan trọng. Qua ñoù giuùp caùc em khaéc saâu ñöôïc kieán thöùc, kích thích khaû naêng tö duy, khaû naêng quan saùt, saùng taïo, reøn cho caùc em kó naêng phaân tích, toång hôïp, tö duy suy luaâïn loâgic. Hôn theá nöõa giuùp caùc em seõ coù ñöôïc “nieàm tin” trong hoïc taäp. Với thực tế này tôi xác định phải tự tìm cho mình một cách dạy về các hằng đẳng thức sao cho phù hợp được với thực tế, kích thích được óc suy nghĩ của các em. Giúp các em nâng cao chất lượng của boä môn toán, caùc em coù tö duy ñeå linh hoaït söû duïng caùc haèng ñaúng thöùc vaøo giaûi toaùn khi caàn thieát, các em thấy hứng thú và yêu thích môn học hơn. Hôn theá nöõa giuùp caùc em coù nieàm tin ñeå lónh hoäi toát, hoïc toát caùc kieán thöùc sau naøy. III. GIAÛI PHAÙP 1. MOÄT SOÁ KIẾN THỨC CƠ BẢN * Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ. 1. (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 2. (A– B)2 = A2 – 2AB + B2 3. A2 – B2 = (A– B) (A+B) 4. (A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5. (A– B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 6. A3 + B3 = (A+ B) (A2 – AB + B2 ) 7. A3 – B3 = (A– B) (A2 + AB + B2 ) * Một số hằng đẳng thức tổng quát ( Daønh cho hoïc sinh gioûi) (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1) a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1) a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k) (a + b)n = an + nan-1b + an-2b2+…+a2bn-2 +nabn-1 + bn (a -b)n = an - nan-1b + an-2b2- …-a2bn-2 +nabn-1 - bn 2. VAÄN DUÏNG NHÖÕNG HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC VAØO GIAÛI TOAÙN: 2.1. Laøm theá naøo ñeå hoïc sinh traùnh ñöôïc nhöõng loãi cô baûn khi vaän duïng haèng ñaúng thöùc vaøo giaûi toaùn? Ngay sau khi hoïc xong hai haèng ñaúng thöùc: Bình phöông cuûa moät toång, bình phöông cuûa moät hieäu. Toâi coù môøi hai em hoïc sinh ( hoïc löïc trung bình khaù) leân baûng vôùi caùc yeâu caàu sau: Hoïc sinh 1: a/ Vieát coâng thöùc bình phöông cuûa moät toång hai bieåu thöùc A, B ? b/ Tính: ( x + 1)2 ; (2x + 3y)2 Hoïc sinh 2: a/ Vieát coâng thöùc bình phöông cuûa moät hieäu hai bieåu thöùc A, B ? b/ Ñieàn bieåu thöùc thích hôïp vaøo choã troáng: x2 – 6xy + ………..= (………. – 3y )2 ……… – 4y + 4 = ( ………. – 2 )2 Keát quaû caùc em thöïc hieän nhö sau: Hoïc sinh 1: a/ (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 b/ ( x + 1)2 = x2 + 2x + 1 ( 2x + 3y)2 = 2x2 + 12xy + 3y2 Hoïc sinh 2: a/ (A– B)2 = A2 – 2AB + B2 b/ Ñieàn bieåu thöùc thích hôïp vaøo choã troáng: x2 – 6xy + …3y2……..= (……x…. – 3y )2 ……y2… – 4y + 4 = ( ……y…. – 2 )2 Ñieàu ñoù chöùng toû raèng vôùi caùc bieåu thöùc A, B trong haèng ñaúng thöùc laø moät soá hoaëc chæ goàm moät bieán thì caùc em coù theå deã daøng vaän duïng ñöôïc haèng ñaúng thöùc vaøo laøm baøi taäp. Tuy nhieân khi A, B laø caùc bieåu thöùc phöùc taïp hôn thì caùc em laïi hay bò maéc phaûi sai laàm nhö baøi taäp treân. Vaäy laøm theá naøo ñeå caùc em haïn cheá ñöôïc toái ña nhöõng sai laàm treân? Tröôùc heát toâi löu yù caùc em phaûi söû duïng daáu ngoaëc vaø luõy thöøa cuûa caû bieåu thöùc ñoù hoaëc ta coù theå vieát haèng ñaúng thöùc döôùi daïng: 2x 2x 3y 2x 3y 3y ( + )2 = 2 + 2 . . . + 2 Ví duï 1: ( + )2 = 2 + 2 . .. + 2 = 4x2 + 12xy + 9y2 Sau khi höôùng daãn toâi ñaõ yeâu caàu moät hoïc sinh ñöùng taïi choã söûa choã baøi laøm sai cuûa baïn, keát quaû: x2 – 6xy + (3y)2 = (x – 3y )2 hay x2 – 6xy + 9y2 = (x– 3y )2 Qua tieát hoïc ñoù treân lôùp, phaàn lôùn caùc em ñaõ vaän duïng vaøo laøm ñöôïc baøi taäp vaø coøn vaän duïng vaøo caùc haèng ñaúng thöùc tieáp theo. Ví duï 2: Tính ( 2x2 + 3y)3 ? Keát quaû: ( 2x2 + 3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3 . 2.2. Vaän duïng haèng ñaúng thöùc vaøo laøm caùc daïng baøi taäp: 2.1.1. Ruùt goïn caùc bieåu thöùc. Ví duï 1: a/ (x + 3)(x2 – 3x + 9 ) – (54 + x3) b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x– y)( 4x2 + 2xy + y2) Sau khi ñöa ñeà baøi leân baûng cho caùc em thaûo luaän vaø trình baøy baøi laøm cuûa nhoùm mình thì toâi thaáy phaàn lôùn caùc nhoùm ñaõ laøm nhö sau: a/ (x + 3)(x2 – 3x + 9 ) – (54 + x3) = x3 – 3x2 + 9x + 3x2 – 9x + 27 – 54 – x3 = - 27 b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)( 4x2 + 2xy + y2) = 8x3 – 4x2y + 2xy2 + 4x2y – 2xy2 + y3 – 8x3 – 4x2y – 2xy2 + 4x2y + 2xy2 + y3 = 2y3 Taïm chaáp nhaän vôùi lôøi giaûi ñoù, toâi ñöa ra tieáp baøi taäp: Ví duï 2: Ruùt goïn bieåu thöùc: ( x + y + z )2 – 2( x+ y + z)(x + y) + (x+ y)2 Keát quaû laø haàu heát caùc em ñeàu khoâng laøm ñöôïc. Toâi ñaõ nhaän ra ñöôïc moät ñieàu, ñoù laø: Haàu nhö caùc em hoïc raát hình thöùc, sau khi coù ñeà baøi laø caùc em baét tay vaøo laøm taát caû nhöõng gì maø caùc em coù theå laøm ñöôïc maø khoâng quan saùt, tö duy ñeå coù theå tìm ñöôïc lôøi giaûi nhanh hôn, ngaén goïn hôn, thích hôïp hôn. Do ñoù ngay sau khi giôùi thieäu ñeà baøi toâi ñaõ ñaët caâu hoûi: “Caùc em haõy quan saùt kó ñeà baøi vaø thöû phaùt hieän caùc bieåu thöùc ñaõ cho coù gì ñaëc bieät ?” ñeå töø ñoù caùc em hình thaønh cho mình ñöôïc thoùi quen phaûi bieát quan saùt, bieát ñaët nhöõng caâu hoûi phaân tích, töï traû lôøi vaø tìm cho mình ñöôïc lôøi giaûi thích hôïp nhaát. Keát quaû laø caùc em ñaõ nhaän ra ñöôïc caùc haèng ñaúng thöùc trong caùc bieåu thöùc ñoù vaø raát töï tin baét tay vaø laøm baøi: Ví duï 1: a/ (x + 3)(x2 – 3x + 9 ) – (54 + x3) = x3 + 27 – 54 – x3 = - 27 b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)( 4x2 + 2xy + y2) = (2x)3 + y3 – [(2x)3 – y3] = 8x3 + y3 – 8x3 + y3 = 2y3 Ví duï 2: ( x + y + z )2 – 2( x+ y + z)(x + y) + (x+ y)2 = [( x + y + z ) – (x+ y)]2 = (x + y + z – x –y )2 = z2 Toâi nhaän thaáy caàøn phaûi löu yù cho caùc em thaáy ñöôïc: “A; B” trong caùc haèng ñaúng thöùc coù theå laø moät ñôn thöùc nhöng cuõng coù theå laø moät ña thöùc. 2.1.2. Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû: Tröôùc heát toâi chuaån bò baûng phuï: Haõy ñieàn caùc bieåu thöùc thích hôïp vaøo veá coøn laïi cuûa caùc haèng ñaúng thöùc : 1. A2 + 2AB + B2 = …….. 2. A2 – 2AB + B2 = …….. 3. A2 – B2 = …………... 4. A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = ………… 5. A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = ……….. 6. A3 + B3 = …………………… 7. A3 – B3 = ……………………. Qua baøi taäp ñoù giuùp caùc em linh hoaït khi bieán ñoåi hai veá cuûa haèng ñaúng thöùc vaø vaän duïng thaønh thaïo haèng ñaúng thöùc vaøo vieäc giaûi baøi toaùn daïng: Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû vaø caùc baøi taäp aùp duïng. Baøi taäp aùp duïng: Ví duï 1: Tính nhanh giaù trò cuûa caùc bieåu thöùc: a/ M = x2 + 4y2 – 4xy taïi x = 18 vaø y = 4 b/ N = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 taïi x = 6 vaø y = - 8 Giaûi a/ M = x2 + 4y2 – 4xy M = (x – 2y)2Taïi x = 18 vaø y = 4 ta ñöôïc: M = ( 18 – 2.4)2 = 102 = 100 b/ N = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 N = (2x – y )3 Taïi x = 6 vaø y = - 8 ta ñöôïc: N = ( 2.6 – (-8))3 = 203 = 8000 Löu yù hoïc sinh phaûi quan saùt ñeà baøi, phaân tích caùc bieåu thöùc thaønh nhaân töû roài môùi thay soá vaøo tính giaù trò. Ví duï 2: Laøm tính chia: a/ (x3 + 8y3) : (x + 2y) b/ ( x2 – y2 + 6x + 9) : ( x + y + 3) Giaûi a/ (x3 + 8y3) : (x + 2y) = (x + 2y)(x2 – 2xy +y2) : (x+ 2y) = x2 – 2xy +y2 b/ ( x2 – y2 + 6x + 9) : ( x + y + 3) = [(x2 + 6x + 9) – y2]: ( x + y + 3) = ( x + y + 3)( x - y + 3): ( x + y + 3) = x - y + 3 Hoïc sinh seõ thaáy luùng tuùng khi caùc em thöïc hieän pheùp chia ñoù nhö pheùp chia thoâng thöôøng do ñoù giaùo vieân caàn gôïi yù ñeå giuùp caùc em phaân tích ñeà baøi, tìm ñöôïc lôøi giaûi thích hôïp. MOÄT SOÁ BAØI TAÄP NAÂNG CAO DAØNH CHO HOÏC SINH KHAÙ GIOÛI Baøi taäp 1. Tính : a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 Giaûi a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052 A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042) A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004) A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2004 + 2005 A = ( 1 + 2002 ). 2005 : 2 = 2011015 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = … B =(232 - 1)(232 + 1) – 264 B = 264 – 1 – 264 B = - 1 * Chuù yù: Quan saùt vaø bieán ñoåi baøi toaùn baèng caùch söû duïng haèng ñaúng thöùc A2 – B2 Baøi taäp 2: Tìm giaù trò nhoû nhaát hay giaù trò lôùn nhaát cuûa caùc bieåu thöùc sau: a/ A = x2 – 4x + 7 b/ B = x2 + 8x c/ C = - 2x2 + 8x – 15 Giaûi a/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3 Daáu “ =” xaûy ra Û x – 2 = 0 Û x = 2 Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc A laø 3 khi x = 2. b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16 Daáu “ =” xaûy ra Û x – 4 = 0 Û x = 4 Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc A laø -16 khi x = 4. c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7 Daáu “ =” xaûy ra Û x – 2 = 0 Û x = 2 Vaäy giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc A laø - 7 khi x = 2. * Chuù yù: Ñeå tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc A ta caàn: Chöùng minh A > m vôùi m laø moät haèng soá. Chæ ra daáu “=” coù theå xaûy ra. Keát luaän: Giaù trò nhoû nhaát cuûa A laø m ( kí hieäu minA ) Ñeå tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc A ta caàn: Chöùng minh A < t vôùi t laø moät haèng soá. Chæ ra daáu “=” coù theå xaûy ra. Keát luaän: Giaù trò lôùn nhaát cuûa A laø t ( kí hieäu maxA ) Baøi taäp 3: Chöùng minh raèng neáu ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) thì a = b = c Giaûi ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac a2 + b2 + c2- ab - bc – ac = 0 2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac = 0 ( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = 0 ( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 = 0 ( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = 0 hay ( c – a)2 = 0 a = b hay b = c hay c = a a = b = c * Chuù yù: Quan saùt vaø bieán ñoåi baøi toaùn baèng caùch söû duïng caùc haèng ñaúng thöùc (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Baøi taäp 4. Chöùng minh raèng: a/ 7.52n + 12.6n 19 ( n N) b/ 11n+2 + 122n+1 133 ( n N) Giaûi a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n 19 Vì ( 25n – 6n ) ( 25 – 6) neân ( 25n – 6n ) 19 vaø 19.6n 19 Vaäy 7.52n + 12.6n 19 ( n N) b/ 11n+2 + 122n+1 133 = 112 . 11n + 12.122n = 12.( 144n – 11n) + 133.11n 133 Vì (144n – 11n) (144 – 11) neân (144n – 11n) 133 * Chuù yù: Quan saùt vaø bieán ñoåi baøi toaùn baèng caùch söû duïng caùc haèng ñaúng thöùc an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1) do ñoù (an – bn) (a- b) Baøi taäp 5. Tìm x, y, z bieát raèng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0 Giaûi 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0 Û (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0 Û ( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 = 0 Û ( x + y + z)2 = 0 ; ( x + 5)2 = 0 ; (y + 3)2 = 0 x = - 5 ; y = -3; z = 8 * Chuù yù: Quan saùt vaø bieán ñoåi baøi toaùn baèng caùch söû duïng caùc haèng ñaúng thöùc (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Baøi taäp 6: Cho x = ; y = Chöùng minh raèng xy + 4 laø soá chính phöông. Giaûi Ta coù : y = = + 4 = x + 4 Do ñoù: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2hay xy + 4 = laø soá chính phöông. IV. HIEÄU QUAÛ CUÛA ÑEÀ TAØI Naêm hoïc 2007-2008 toâi cuõng ñöôïc nhaø tröôøng phaân coâng giaûng daïy boâï moân toaùn 8 lôùp 8A5. Ruùt kinh nghieäm cuûa nhöõng naêm tröôùc chaát löôïng cuûa hoïc sinh thaáp neân ngay khi baét ñaàu vaøo daïy töø nhöõng haèng ñaúng thöùc ñaàøu tieân toâi ñaõ maïnh daïn vaän duïng ñeà taøi naøy vaøo giaûng daïy vaø keát quaû thu ñöôïc nhö sau: Toång soá HS KEÁT QUAÛ ÑIEÅM SAU KHI VAÄN DUÏNG ÑEÀ TAØI 0 -> 3 3,5-> 4,5 Töø 5 trôû leân 8->10 38 2 9 27 5 Keát quaû naøy chöùng toû raèng: Vieäc vaän duïng nhöõng kinh nghieäm neâu treân, trong thôøi gian chöa daøi nhöng keát quaû töông ñoái khaû quan maëc duø keát quaû cuõng chöa cao, chöa ñöôïc theo mong muoán cuûa baûn thaân nhöng duø sao cuõng ñaõ coù khôûi saéc veà chaát löôïng hoïc taäp,soá hoïc sinh yeáu keùm cuõng ñöôïc giaûm ñi. Vaø hôn theá nöõa laø kieán thöùc ñaõ ñöôïc khaéc saâu hôn, caùc em coù theå töï tin vaän duïng kieán thöùc ñaõ hoïc vaøo giaûi toaùn. PHẦN C KEÁT LUAÄN BAØI HOÏC KINH NGHIEÄM Toâi cuõng ñaõ ñöa noäi dung ñeà taøi ra ñeå trao ñoåi cuøng quyù ñoàng nghieäp trong toå chuyeân moân vaø ñöôïc söï höôûng öùng ñoàng tình cuûa quyù ñoàng nghieäp trong toå. Xin ñöôïc ruùt ra nhöõng kinh nghieäm sau: Taïo moái quan heä hôïp lí giöõa daïy kieán thöùc vaø daïy kó naêng, phöông phaùp suy nghó vaø haønh ñoäng. Caàn coù quan ñieåm laø: Tö duy quan troïng hôn kieán thöùc, naém vöõng phöông phaùp hôn thuoäc lí thuyeát. Daïy caùch suy nghó, daïy hoïc sinh thaønh thaïo caùc thao taùc cuûa tö duy (phaân tích, toång hôïp, töông töï…) Ñöøng boû qua maø haõy khai thaùc ngay caâu traû lôøi cuûa hoïc sinh, khuyeán khích caùc caâu traû lôøi toát. Vöøa giaûng, vöøa luyeän, vöøa vaän duïng kieán thöùc laø caùch toát nhaát ñeå hoïc sinh naém kieán thöùc. Khoâng chæ döøng laïi ôû nhöõng gì ñaõ bieát maø phaûi luoân tö duy, saùng taïo, tìm toøi vaø hoïc hoûi. Chaát löôïng hoïc taäp cuûa caùc moân hoïc noùi chung, chaát löôïng cuûa moân toaùn noùi rieâng coøn thaáp khoâng phaûi laø noãi traên trôû cuûa rieâng baûn thaân toâi, cuûa caùc ñoàøng nghieäp trong toå chuyeân moân, cuûa nhaø tröôøng maø cuûa toaøn xaõ hoäi, cuûa nhöõng ngöôøi luoân quan taâm ñeán söï nghieäp giaùo duïc cuûa nöôùc nhaø. Chaát löôïng hoïc taäp cuûa caùc em thaáp cuõng daãn ñeán taâm lí bi quan, chaùn naûn vaø ñoù cuõng laø moät trong nhöõng nguyeân nhaân caùc em nghæ, boû hoïc. Laø ngöôøi giaùo vieân ôû tröôøng phoå thoâng, coâng vieäc khoâng chæ laø ñaûm baûo truyeàn ñaït heát kieán thöùc trong saùch giaùo khoa ñoù laø ñieàu kieän caàn chöù chöa ñuû, maø ñoøi hoûi ngöôøi thaày giaùo phaûi ñi saâu hôn nöõa vaøo töøng vaán ñeà cuï theå, nghieân cöùu nghieâm tuùc vaø coù nhöõng hieåu bieát saâu saéc ñeå giuùp ñôõ caùc em ñaït keát quaû cao hôn, ñöa chaát löôïng hoïc taäp leân cao hôn. Toaùn hoïc raát phöùc taïp, noù goàm raát nhieàu daïng toaùn, moãi daïng toaùn laïi coù nhieàu caùch giaûi khaùc nhau nhöng giaûi caùch naøo laø nhanh nhaát, ngaén goïn nhaát, khoa hoïc nhaát thì ñieàu ñoù khoâng phaûi hoïc sinh naøo cuõng laøm ñöôïc maø noù phuï thuoäc vaøo vieäc naém kieán thöùc, vaän duïng nhöõng kieán thöùc cho phuø hôïp cuûa töøng ñoái töôïng hoïc sinh. Vôùi ñeà taøi neâu treân toâi ñaõ ñöa vaøo thöïc teá giaûng daïy trong naêm hoïc 2007- 2008 naøy vaø ñaït ñöôïc keát quaû töông ñoái khaû quan. Maëc duø vaäy vieäc vaän duïng vaøo baøi daïy vaãn coøn coù nhöõng haïn cheá nhö: khoâng ñuû thôøi gian ñeå vöøa phuï ñaïo ñöôïc cho hoïc sinh yeáu keùm trong tieát hoïc, vöøa giuùp caùc em khaù gioûi boài döôõng theâm nhöõng daïng baøi taäp naâng cao nhaèm cuûng coá, khaéc saâu, kích thích vaø taêng cöôøng reøn luyeän khaû naêng tö duy, saùng taïo, tìm toøi … thích hôïp vôùi töøng ñoái töôïng hoïc sinh. Ñeà taøi naøy chaéc chaén coøn nhieàu thieáu soùt, toâi raát mong ñöôïc söï ñoùng goùp cuûa quyù ñoàng nghieäp ñeå noäi dung ñöôïc hoaøn haûo hôn, goùp phaàn naâng cao chaát löôïng giaùo duïc, ñaùp öùng nhu caàu ngaøy caøng cao cuûa xaõ hoäi. Toâi xin chaân thaønh caûm ôn söï giuùp ñôõ cuûa quyù ñoàng ngieäp ñeå giuùp toâi hoaøn thaønh ñeà taøi naøy. Léc Hµ: th¸ng 04 n¨m 2009 Ng­êi thùc hiÖn