Vẽ đường phụ trong chứng minh hình học phẳng.

Kinh nghiÖm gi¶ng d¹y: vÏ ®­êng phô trong chøng minh h×nh häc ph¼ng. --------------- A. §Æt vÊn ®Ò: T rong khi häc h×nh häc ph¼ng, nãi chung häc sinh ®Òu c¶m thÊy Ýt nhiÒu khã kh¨n. Nghiªn cøu nguyªn nh©n, ta thÊy cã mÊy ®iÓm d­íi ®©y: 1. Häc sinh ch­a cã nh÷ng kh¸i niÖm c¬ b¶n râ rµng. 2. S¸ch gi¸o khoa biªn so¹n tuÇn tù theo hÖ thèng lý luËn, kh«ng tæng hîp tõng lo¹i lµm cho ng­êi häc khã n¾m c¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n. 3. Trong c¸c s¸ch gi¸o khoa, c¸c bµi lµm mÉu qu¸ Ýt, h­íng dÉn vµ gîi ý kh«ng ®Çy ®ñ nªm khã tiÕp thu vµ nghiªn cøu. 4. Häc sinh th­êng chØ häc “vÑt” c¸c ®Þnh lý vµ c¸c quy t¾c, kh«ng biÕt vËn dông mét c¸ch sinh ®éng nh÷ng ®Þnh lý vµ c¸c quy t¾c ®ã. T«i sÏ ®óc rót kinh nghiÖm vµ sÏ tæng hîp c¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh tõng lo¹i bµi tËp h×nh häc ph¼ng trong bµi viÕt kh¸c. Trong bµi viÕt nµy, t«i xin tr×nh bµy nh÷ng kinh nghiÖm h­íng dÉn häc sinh C¸ch vÏ ®­êng phô trong chøng minh h×nh häc ph¼ng. B. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò: K hi chøng minh ®Þnh lý h×nh häc, trõ mét sè bµi dÔ, phÇn nhiÒu ph¶i vÏ thªm ®­êng phô míi chøng minh ®­îc. V× ®­êng phô cã nhiÒu lo¹i, nªn kh«ng cã mét ph­¬ng ph¸p vÏ cè ®Þnh, ®ã lµ mét viÖc khã trong lóc chøng minh h×nh häc ph¼ng. Trong s¸ch gi¸o khoa v× kh«ng biÕt nªn b¾t ®Çu nãi nh­ thÕ nµo, nªn thµ kh«ng nãi cßn h¬n nãi kh«ng râ. §Ó gióp ®­îc phÇn nµo cho häc sinh, t«i xin nªu mét sè ph­¬ng ph¸p vÏ ®­êng phô trong chøng minh h×nh häc ph¼ng, nh­ng ch¾c ch¾n kh«ng sao tr¸nh khái thiÕu sãt, rÊt mong ®­îc gãp ý, bæ sung, cã thÓ lµm s¸ng tá vÊn ®Ò, biÕn ®æi c¸ch gi¶i, cung cÊp t­ liÖu, ®Ó bµi viÕt nµy ngµy mét hoµn thiÖn, gióp ®­îc phÇn nµo ®éng viªn häc sinh tù ®éng nghiªn cøu, t¹o thµnh tËp qu¸n kiªn tr× ®µo s©u suy nghÜ trong chøng minh h×nh häc ph¼ng cho häc sinh. Sau mçi môc ®Ých cña viÖc vÏ thªm ®­êng phô, t«i tr×nh bµy mét vÝ dô mÉu. ®Ó tr¸nh viÖc gi¶i thÝch trèng rçng, t«i hÕt søc cè g¾ng dïng c¸c vÝ dô chøng minh cô thÓ, s¸ng sña, mét mÆt võa lµm cho häc sinh ghi ®­îc c¸c Ên t­îng s©u s¾c, mÆt kh¸c võa t¨ng thªm phÇn høng thó häc tËp cho hä. Trong vÝ dô cã phÇn “suy xÐt” hoÆc “ph©n tÝch”. Qu¸ tr×nh gîi ý sÏ nu«i d­ìng n¨ng lùc suy nghÜ, t¨ng c­êng b¶n lÜnh gi¶i quyÕt vÊn ®Ò cho häc sinh. ®ång thêi häc sinh ph¶i ph¸t huy n¨ng lùc s¸ng t¹o, vËn dông linh ho¹t c¸c ®Þnh lý vµ c¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh. I. Môc ®Ých cña viÖc vÏ ®­êng phô. Nãi chung, vÏ ®­êng phô nh»m s¸u môc ®Ých d­íi ®©y: 1. §em nh÷ng ®iÒu kiÖn ®· cho cña bµi to¸n vµ nh÷ng h×nh cã liªn quan ®Õn viÖc chøng minh tËp hîp vµo mét n¬i (mét h×nh míi), lµm cho chóng cã liªn hÖ víi nhau: B A D C K L M N E F G H VÝ dô 1. Hai ®o¹n th¼ng song song vµ b»ng nhau th× h×nh chiÕu cña chóng trªn mét ®­êng th¼ng thø ba còng b»ng nhau. GT: AB = CD AE, BF, CG, DH ®Òu ^ MN KL: EF = GH Suy xÐt: Sù b»ng nhau cña AB vµ CD vµ sù b»ng nhau cña EF vµ GH kh«ng thÊy ngay ®­îc lµ cã liªn quan víi nhau. Hai ®o¹n th¼ng cÇn chøng minh b»ng nhau lµ EF vµ GH. Tõ ®Þnh lý “ Nh÷ng ®­êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi mét ®­êng th¼ng kh¸c th× song song víi nhau”, Ta biÕt AE // BF // CG // DH vµ cã thÓ dùng thªm EK // AB; GL // CD ®Ó t¹o nªn hai h×nh b×nh hµnh. Tõ ®Þnh lý “c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh b»ng nhau” ta cã EK = AB; GL = CD. Nh­ vËy tøc lµ ta ®· dêi vÞ trÝ cña AB vµ CD ®Õn EK vµ GL, ®Ó t¹o thµnh hai c¹nh t­¬ng øng cña hai tam gi¸c EKF vµ GLH trong ®ã ta cÇn chøng minh hai ®o¹n th¼ng EF vµ GH b»ng nhau. Muèn cã EF = GH ta chØ cÇn chøng minh D EKF = D GLH. Sau ®©y lµ phÇn h­íng dÉn häc sinh t×m c¸ch ®Ó vÏ thªm ®­êng phô: C©u hái Dù kiÕn tr¶ lêi cña häc sinh - Muèn chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau, ta lµm nh­ thÕ nµo ? - NÕu chän tr­êng hîp (1), cÇn ph¶i vÏ thªm ®­êng phô nµo ? - Chøng minh hai ®o¹n th¼ng ®ã lµ hai c¹nh t­¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau (1); hoÆc lµ hai c¹nh ®èi cña hbh (2); hoÆc cïng b»ng hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau kh¸c (3). VÏ thªm EK // AB vµ GL // CD, hoÆc tõ A, C dùng ®­êng th¼ng song song víi MN Bµi chøng minh cô thÓ: Chøng minh: Lý do: 1. Dùng EK//AB, GL//CD 2. AE//BF; CG//DH 3. Ta cã c¸c tø gi¸c AEKB vµ CGLD lµ h×nh b×nh hµnh. 4. EK = AB = CD = GL. 5. EK//GL 6. Ta rót ra KEF = LGH 7. EFK = GLH 8. VËy D EFK = D GHL 9. EF = GH 1. Tõ mét ®iÓm cã thÓ dùng mét ®­êng th¼ng // víi mét ®­êng th¼ng cho tr­íc. 2. Hai ®­êng th¼ng cïng ^ víi mét ®­êng th¼ng kh¸c th× // víi nhau. 3. Tø gi¸c cã hai cÆp c¹nh ®èi // víi nhau lµ h×nh b×nh hµnh. 4. C¹nh ®èi cña hbh th× b»ng nhau vµ suy ra tõ gi¶ thiÕt. 5. Suy tõ gi¶ thiÕt vµ 1: Hai ®­êng th¼ng cïng // víi hai ®­êng th¼ng kh¸c // víi nhau th× còng // víi nhau. 6. Gãc ®ång vÞ cña hai ®­êng th¼ng // víi mét c¸t tuyÕn th× b»ng nhau. 7. Gãc vu«ng b»ng nhau. 8. Tr­êng hîp b»ng nhau cña tam gi¸c vu«ng 9. Hai tam gi¸c b»ng nhau th× c¹nh t­¬ng øng cña chóng còng b»ng nhau. Chó ý: B¹n thö tõ A vµ C dùng ®­êng th¼ng // víi MN, xem cã thÓ lµm cho ®o¹n th¼ng ®· cho vµ ®o¹n th¼ng cÇn chøng minh trë nªn cã liªn hÖ víi nhau ®­îc kh«ng ? 2. T¹o nªn ®o¹n th¼ng thø ba hoÆc gãc thø ba, lµm cho hai ®o¹n th¼ng hoÆc hai gãc cÇn chøng minh trë nªn cã liªn hÖ. A B E E C D VÝ dô 2: GT: A + E + C = 3600 KL: AB//CD. Suy xÐt: Tõ E dùng EF//AB, nÕu chøng minh ®­îc EF//CD th× sÏ cã AB//CD. Chøng minh: Lý do: 1. Tõ E dùng EF//AB. 2. Th× A + 1 = 1800 3. Ta cã A + E + C = 3600 4. C + 2 = 1800 5. EF//CD 6. AB//CD 1. Tõ mét ®iÓm cã thÓ dùng mét ®­êng th¼ng // víi mét ®­êng th¼ng cho tr­íc. 2. Hai gãc trong cïng phÝa cña hai ®­êng th¼ng // vµ mét c¸t tuyÕn bï nhau. 3. Theo gi¶ thiÕt. 4. Suy tõ 2 vµ 3. 5. Theo ®Þnh lý, c¸ch nhËn ra hai ®­êng th¼ng //. 6. §­êng th¼ng // víi mét trong hai ®­êng th¼ng // cho tr­íc th× còng // víi ®­êng th¼ng kia Chó ý: B¹n thö tõ E dùng ®­êng // víi AB vÒ bªn tr¸i: xem ®­êng ®ã cã thÎ lµm trung gian ®Ó chøng minh AB//CD ®­îc kh«ng ? 3. T¹o nªn ®o¹n th¼ng hay gãc b»ng tæng, hiÖu, gÊp ®«i hay 1/2 ®o¹n th¼ng hay gãc cho tr­íc, ®Ó ®¹t môc ®Ých chøng minh ®Þnh lý. VÝ dô 3: (t¹o nªn ®o¹n th¼ng b»ng 1/2 ®o¹n th¼ng cho tr­íc). A E B C F D Cho tam gi¸c c©n ABC ®¸y BC, lÊy trªn AB kÐo dµi mét ®o¹n BD = AB. Chøng minh r»ng trung tuyÕn CE = 1/2 CD. GT: AB = AC KÐo dµi AB, vµ BD = AB; AE = EB. Nèi CD vµ CE KL: CD = 2CE Ph©n tÝch: 1. Muèn chøng minh CD = 2CE, ph¶i cã mét trong hai ®iÒu kiÖn d­íi ®©y: a) 1/2 ®é dµi CD = ®é dµi CE. b) 2 lÇn ®é dµi CE = ®é dµi CD. 2. NÕu lÊy a) cña 1, ®Ó cã 1/2 CD = CE, th× ph¶i chia ®«i CD ë F, vµ nghiªn cøu xem cã hîp víi mét trong hai ®iÒu kiÖn d­íi ®©y kh«ng: a) CF = CE. b) DF = CE. 3. NÕu lÊy a) cña 2, ®Ó cã CF = CE, l¹i cÇn ph¶i cã mét trong hai ®iÒu kiÖn sau: a) CF vµ CE lµ c¹nh t­¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau. b) CF vµ CE ®Òu b»ng mét ®o¹n th¼ng thø ba. . . . . . . 4. NÕu lÊy a) cña 3, ph¶i nèi BF vµ muèn D BFC = D BEC, ta l¹i cÇn ph¶i cã mét trong nh÷ng ®iÒu kiÖn sau: a) BE = BF; 2 = 1; BC = BC (cgc) b) 2 = 1; BC = BC; BCF = BCE. (gcg). 5. Nghiªn cøu kü a) vµ b) cña 4. Ta thÊy chØ cã a) phï hîp víi gi¶ thiÕt. V× BF lµ ®o¹n th¼ng nèi liÒn ®iÓm gi÷a cña hai c¹nh, nªn b»ng 1/2 AC. Theo gi¶ thiÕt th× AB = AC, BE = 1/2 AB. Thay vµo sÏ ®­îc BF = BE, vµ v× BF//AC, nªn cã cÆp gãc so le trong 2 = ACB; tam gi¸c ABC c©n, nªn 1 = ACB, ta suy ra 1 = 2. cßn BC th× chung. Cuèi cïng ta ®­îc D BCF = D BCE, th× còng chøng minh ®­îc CD = 2CE. Trong ph©n tÝch trªn, nÕu lÊy b) cña 1; b) cña 2; b) cña 3 … suy ®o¸n t­¬ng tù, ta còng ®­îc kÕt qu¶ nh­ trªn, do ®ã cã nh÷ng ph­¬ng ph¸p chøng minh kh¸c nhau. Chøng minh: Lý do: 1. Chia ®«i CD t¹i F, nèi BF 2. V× AB = BD; CF = FD 3. Do ®ã BF//AC 4. Tõ 1=ACB=2 5. Vµ BF = 1/2 AC = 1/2 AB = BE 6. BC = BC 7. Cã D CBF = D CBE 8. CF = CE 9. VËy CD = 2CE 1. Mçi ®o¹n th¼ng ®Òu cã mét ®iÓm gi÷a qua 2 ®iÓm kÎ ®­îc mét ®­êng th¼ng. 2. Theo gi¶ thiÕt vµ suy tõ 1. 3. ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm gi÷a cña 2 c¹nh mét tam gi¸c th× // víi c¹nh thø ba vµ b»ng 1/2 c¹nh ®ã. 4. Hai gãc ®¸y cña mét tam gi¸c c©n b»ng nhau; gãc so le trong b»ng nhau. 5. Suy tõ 3 vµ gi¶ thiÕt 6. Kh«ng ®æi. 7. cgc 8. C¸c yÕu tè t­¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau. 9. Suy ra tõ 8 vµ gi¶ thiÕt. VÝ dô 4: (t¹o nªn ®o¹n th¼ng b»ng tæng hai ®o¹n th¼ng). NÕu tæng hai ®¸y cña mét h×nh thang b»ng mét c¹nh bªn, th× ®­êng ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ víi c¹nh bªn ®ã ®i qua ®iÓm gi÷a cña c¹nh bªn kia. A D GT: H×nh thang ABCD, AD//BC AD + BC = AB; F lµ ®iÓm gi÷a cña CD F KL: Ph©n gi¸c cña A vµ B ®i qua F B C G Suy xÐt: Muèn chøng minh mét ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm gi÷a cña mét ®o¹n th¼ng th× t­¬ng ®èi khã, chøng minh mét ®­êng th¼ng chia ®«i mét gãc dÔ h¬n. Ta sÏ dïng ph­¬ng ph¸p chøng minh gi¸n tiÕp ®Ó chøng minh ®Þnh lý nµy. §Þnh lý ®¶o cña ®Þnh lý nµy lµ “NÕu trong h×nh thang ABCD, AD//BC, AD + BC = AB, F lµ ®iÓm gi÷a cña CD, nèi AF vµ BF, th× AF chia ®«i gãc A vµ BF chia ®«i gãc B”. V× ®­êng ph©n gi¸c (cña A vµ B) chØ cã mét, vµ qua hai ®iÓm chØ kÎ ®­îc mét ®­êng th¼ng (AF, BF) nªn ta kh«ng cÇn chøng minh ®Þnh lý thuËn mµ chøng minh ®Þnh lý ®¶o còng ®­îc. Chøng minh: Lý do: 1. Kh«ng dùng ph©n gi¸c cña A vµ B, nèi AF, BF, kÐo dµi AF vµ BC gÆp nhau ë G. 2. Tõ AD//BC 3. Cã 1 = G; D = FCG 4. DF = FG 5. VËy D ADF = D GCF 6. Rót ra AD = CG 7. BG = AB 8. 2 = G 9. Nh­ng 1 = G 10. Nªn 1 = 2 11. AF lµ ph©n gi¸c cña A 12. T­¬ng tù BF lµ ph©n gi¸c cña B 13. VËy ph©n gi¸c cña A vµ B qua F 1. Qua hai ®iÓm kÎ ®­îc mét ®­êng th¼ng; ®­êng th¼ng cã thÓ kÐo dµi v« tËn; V× AD//BC, AF kh«ng // víi BC th× ph¶i c¾t BC. 2. Theo gi¶ thiÕt. 3. Gãc so le trong cña hai ®­êng th¼ng // vµ mét c¸t tuyÕn b»ng nhau. 4. Theo gi¶ thiÕt. 5. cgc 6. Suy tõ 5 7. Thay 6 vµo gi¶ thiÕt AD + BC = AB 8. Gãc ®¸y cña tam gi¸c c©n BAG. 9. Chøng minh ë 3. 10. Suy tõ 8 vµ 9 11. Theo ®Þnh nghÜa cña d­êng ph©n gi¸c. 12. Chøng minh gièng tõ 2 ®Õn 11. 13. Suy tõ 11 vµ 12; ®­êng th¼ng ®ia qua 2 ®iÓm vµ ®­êng ph©n gi¸c cña mét gãc chØ cã mét. VÝ dô 5: (t¹o nªn ®o¹n th¼ng b»ng 2 lÇn ®o¹n th¼ng cho tr­íc). Kho¶ng c¸ch tõ trùc t©m ®Õn mét ®Ønh cña tam gi¸c b»ng hai lÇn kho¶ng c¸ch tõ t©m cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ®Õn c¹nh ®èi diÖn víi ®Ønh ®ã. GT: AK, BD lµ ®­êng cao cña D ABC B c¾t nhau ë G, ®­êng trung trùc HE, HF K c¾t nhau ë H L G F KL: BG = 2HE; AG = 2HF. H A D E C Suy xÐt: Muèn chøng minh BG=2HF, ta cã thÓ t×m c¸ch dùng mét ®o¹n th¼ng kh¸c b»ng 2HE. Nh­ng nÕu kÐo dµi HE gÊp ®«i ®Ó ®¹t môc ®Ých trªn, th× ®o¹n ®ã vÉn kh«ng cã liªn hÖ g× víi BG c¶, nªn ph¶i nghÜ c¸ch kh¸c. Tõ gi¶ thiÕt E lµ ®iÓm gi÷a cña AC, ta thö nèi CH vµ kÐo dµi ®Õn L sao cho HL = CH. H lµ ®iÓm gi÷a cña CL, HE trë thµnh ®o¹n th¼ng nèi hai ®iÓm gi÷a cña hai c¹nh DCAL. Tõ ®Þnh lý “§­êng trung b×nh cña mét tam gi¸c b»ng 1/2 c¹nh thø ba” ta cã LA = 2HE. Xem kü hai ®o¹n LA vµ BG, ta cã thÓ chøng minh chóng lµ c¹nh ®èi cña mét h×nh b×nh hµnh, nªn gi¶i ®­îc bµi nµy. Chøng minh: Lý do: 1. Nèi CH vµ kÐo dµi mét ®o¹n HL = CH, nèi LA, LB 2. LA//HE 3. BD//HE 4. Nªn LA//BD 5. T­¬ng tù ta cã LB//AK 6. Tø gi¸c LAGB lµ h×nh b×nh hµnh 7. BG = LA. 8. LA = 2HE. 9. BG = 2HE. 10. T­¬ng tù ta cã AG = 2HF 1. Qua hai ®iÓm kÎ ®­îc mét ®­êng th¼ng; ®­êng th¼ng cã thÓ kÐo dµi v« tËn. 2. §o¹n th¼ng nèi liÒn ®iÓm gi÷a hai c¹nh cña tam gi¸c th× // víi c¹nh thø ba. 3. Hai ®­êng th¼ng cïng víi ®­êng th¼ng thø ba th× // víi nhau. 4. Suy tõ 2 vµ 3. 5. Theo c¸ch chøng minh tõ 2 ®Õn 4. 6. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi // víi nhau lµ h×nh b×nh hµnh 7. Hai c¹nh ®èi h×nh b×nh hµnh 8. Theo ®Þnh lý ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c vµ 1. 9. Thay 7 vµo 8 10. Chøng minh gièng tõ 7 ®Õn 9. Chó ý: B¹n thö nèi CG lÊy ®iÓm gi÷a lµ M, t¹o nªn ®o¹n th¼ng míi b»ng 1/2 BG lµ FM, xem cã thÓ chøng minh ®­îc bµi nµy kh«ng ? 4. T¹o nªn nh÷ng ®¹i l­îng míi (®o¹n th¼ng hoÆc gãc) b»ng nhau; thªm vµo nh÷ng ®¹i l­îng b»ng nhau mµ bµi ra d· cho ®Ó gióp cho viÖc chøng minh. VÝ dô 6: Trung tuyÕn trªn c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng b»ng mét nöa c¹nh huyÒn. A GT: Trong DABC, C = 900 DA = DB. D E KL: DC = DA. B C Suy xÐt: Trong bµi chØ cã mét cÆp ®¹i l­îng b»ng nhau lµ DA = DB, nh­ vËy kh«ng chøng minh ®­îc DC = DA. Ta lÊy ®iÓm gi÷a cña AC lµ E, nèi DE, th× cã thªm mét cÆp ®¹i l­îng míi b»ng nhau lµ AE = CE. Vµ tõ ®Þnh lý “§­êng trung b×nh cña mét tam gi¸c song song víi c¹nh thø ba”; “Gãc ®ång vÞ cña hai ®­êng th¼ng // hîp thµnh víi mét c¸t tuyÕn th× b»ng nhau” vµ “Gãc bï víi gãc vu«ng còng lµ gãc vu«ng”, ta sÏ cã DE//BC; 1 = C = 900 = 2, nh­ vËy, l¹i ®­îc thªm mét cÆp ®¹i l­îng b»ng nhau. Ta cã thÓ chøng minh DADE = DCDE ®Ó rót ra DC = DA. Chøng minh: Lý do: 1. LÊy ®iÓm gi÷a cña AC lµ E, nèi DE 2. Nªn DE//BC 3. Nªn 1 = C = 900 4. vµ 2 = 900 5. 1 = 2 6. AE = EC 7. DE = DE 8. VËy DADE = DCDE 9. DC = DA 1. Mçi ®o¹n th¼ng ®Òu cã mét ®iÓm gi÷a; qua hai ®iÓm kÎ ®­îc mét ®­êng th¼ng duy nhÊt. 2. §o¹n th¼ng nèi liÒn ®iÓm gi÷a hai c¹nh cña tam gi¸c th× // víi c¹nh thø ba. 3. Gãc ®ång vÞ; theo gi¶ thiÕt 4. Gãc bï víi gãc vu«ng còng lµ gãc vu«ng. 5. Gãc vu«ng b»ng nhau. 6. Theo 1. 7. Kh«ng ®æi. 8. cgc 9. Hai tam gi¸c b»ng nhau th× c¸c yÕu tè t­¬ng øng còng b»ng nhau. 5. T¹o nªn mét h×nh míi, ®Ó cã thÓ ¸p dông mét ®Þnh lý ®Æc biÖt nµo ®ã. VÝ dô 7. Tõ ba ®Ønh cña mét tam gi¸c h¹ c¸c ®­êng vu«ng gãc xuèng mét ®­êng th¼ng ë ngoµi tam gi¸c ®ã. Chøng minh r»ng tæng ®é dµi cña ba ®­êng vu«ng gãc ®ã gÊp 3 lÇn ®é dµi cña ®o¹n th¼ng vu«ng gãc h¹ tõ träng t©m cña tam gi¸c xuèng cïng ®­êng th¼ng ®ã. A GT: D ABC, trung tuyÕn AD, BE, CF F GÆp nhau t¹i 0. AG, BH, CK, OL M O E ®Òu xy B y KL: AG + BH + CK = 3 OL. D Suy xÐt: Bµi nµy nÕu muèn ¸p dông x (3) ®Ó t¹o nªn mét ®o¹n th¼ng b»ng tæng ba H N L G P K ®o¹n th¼ng kia th× kh«ng sao lµm ®­îc, ta ph¶i nghÜ c¸ch kh¸c. Tõ ®Þnh lý nh÷ng ®­êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng cho tr­íc th× // víi nhau, ta biÕt bèn ®­êng th¼ng ®ã // víi nhau vµ tõ ®Þnh lý “Träng t©m cña mét tam gi¸c c¸ch ®Ønh mét ®o¹n b»ng 2/3 trung tuyÕn h¹ tõ ®Ønh ®ã xuèng c¹nh ®èi diÖn”. BiÕt BO = 2OE, ta cã thª lÊy ®iÓm gi÷a cña BO lµ M, dùng MN ! xy, EP ! xy, t¹o nªn h×nh thang MNPE, BHLO, AGKC, cã OL, MN, EP lÇn l­ît // lµ ®­êng trung b×nh cña c¸c h×nh thang trªn. Ta cã thÓ øng dông ®Þnh lý “§­êng trung b×nh cña h×nh thang b»ng 1/2 tæng hai ®¸y” vµ chøng minh ®­îc bµi trªn. Chøng minh: Lý do: 1. LÊy ®iÓm gi÷a cña BO lµ M, dùng MN xy; EP xy. 2. V× BH//MN//OL//AG//EP//CK 3. BM = MO = OE; AE = EC 4. Nªn HN = NL = LP 5. MN + EP = 2OL 6. 2MN+2EP = 4OL 7. Nh­ng 2MN = BH + OL 2EP = AG + CK 8. AG + BH + CK + OL = 4OL 9. VËy AG + BH + CK = 3OL 1. Mçi ®o¹n th¼ng ®Òu cã ®iÓm gi÷a; tõ mét ®iÓm ngoµi ®­êng th¼ng cã thÓ h¹ ®­êng vu«ng gãc xuèng ®­êng th¼ng ®ã. 2. Nh÷ng ®­êng th¼ng cïng víi mét ®­êng th¼ng kh¸c th× // víi nhau. 3. Theo ®Þnh lý vÒ träng t©m tam gi¸c vµ gi¶ thiÕt. 4. Theo ®Þnh lý nh÷ng ®­êng th¼ng // c¸ch ®Òu. 5. Theo ®Þnh lý ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c. 6. Suy ra tõ 5 7. Gièng 5 8. Thay 7 vµo 6. 9. ChuyÓn vÕ vµ ­íc l­îc. 6. BiÕn ®æi h×nh vÏ, lµm cho bµi trë lªn dÔ chøng minh h¬n tr­íc. D G E VÝ dô 8: Mét tam gi¸c cã hai c¹nh ®èi A kh«ng b»ng nhau, th× tæng cña c¹nh lín vµ ®­êng cao trªn c¹nh Êy, lín h¬n tæng cña F c¹nh bÐ vµ ®­êng cao trªn c¹nh ®ã. H GT: Cho DABC; AB > AC; B C BD, CE lµ ®­êng cao. KL: AB + CE > AC + BD Suy xÐt: NÕu t¹o nªn mét ®o¹n th¼ng b»ng AB + CE vµ mét ®o¹n kh¸c b»ng AC + BD th× kh«ng chøng minh ®­îc. Do ®ã ta ph¶i biÕn ®æi kÕt luËn cña bµi ra: ChuyÓn vÕ bÊt ®¼ng thøc cña kÕt luËn, ta sÏ ®­îc AB – AC > BD – CE. Trªn c¹nh lín AB lÊy AF = AC, th× BF = AB – AC; Dùng FG AC, FH BG t¹o nªn mét ®o¹n BH = BD – HD = BD – CE. Nh­ vËy ta ®· ®æi bµi tËp trªn trë thµnh mét bµi tËp kh¸c ph¶i chøng minh BF > BH. Chøng minh: Lý do: 1. Trªn AB lÊy AF = AC. Nèi FC, dùng FG AC, FH BD. 2. V× FG//BD, FH//AC 3. Nªn tø gi¸c FHDG lµ hbh 4. FG = HD 5. FG = CE. 6. HD = CE 7. BH = BD – HD = BD – CE. 8. BF = AB – AF = AB - AC 9. V× ^FHB = 900 10. Nªn ta cã BF > BH 11. Hay AB – AC > BD – CE. 12. VËy AB + CE > AC + BD. 1. Trªn ®o¹n lín cã thÓ lÊy mét ®o¹n b»ng ®o¹n nhá h¬n; Qua hai ®iÓm kÎ ®­îc mét ®­êng th¼ng; tõ mét ®iÓm ngoµi ®­êng th¼ng h¹ ®­îc ®­êng xuèng ®­êng th¼ng ®ã. 2. Hai ®­êng th¼ng cïng víi ®­êng th¼ng thø ba th× // víi nhau. 3. Tø gi¸c cã c¸c cÆp c¹nh ®èi // víi nhau lµ hbh 4. C¹nh ®èi h×nh b×nh hµnh th× b»ng nhau. 5. §­êng cao h¹ ®Õn hai c¹nh bªn cña tam gi¸c c©n th× b»ng nhau. 6. Suy ra tõ 4 vµ 5 7. Suy tõ 6 8. Suy tõ 1 vµ gi¶ thiÕt 9. Theo c¸ch dùng ë 1. 10. Trong tam gi¸c vu«ng, c¹nh huyÒn lín nhÊt 11. Thay 7, 8 vµo 10. 12. ChuyÓn vÕ c¸c sè h¹ng. Chó ý: B¹n thö tõ trªn AB lÊy BK = AC, tõ K dùng KL AC, KM BD, xem cã chøng minh ®­îc bµi nµy kh«ng ? HoÆc trªn CA kÐo dµi lÊy mét ®iÓm P sao cho AP = AB xem cã chøng minh ®­îc kh«ng ? II. C¸c lo¹i ®­êng phô: §­êng phô th­êng cã 10 lo¹i d­íi ®©y: (1) KÐo dµi mét ®o¹n th¼ng cho tr­íc víi ®é dµi tuú ý, hoÆc b»ng ®é dµi cho tr­íc hoÆc c¾t mét ®o¹n th¼ng kh¸c. Nh­ vÝ dô 4 vµ 5. (2) Nèi hai ®iÓm cho tr­íc hoÆc hai ®iÓm cè ®Þnh (gåm c¶ ®iÓm chÝnh gi÷a cña ®o¹n th¼ng cè dÞnh), ®iÓm n»m trªn mét ®o¹n th¼ng cho tr­íc vµ c¸ch ®Çu ®o¹n th¼ng ®ã mét kho¶ng cho tr­íc). Nh­ trong vÝ dô 3 ; 5; 6; vµ 8. (3) Tõ mét ®iÓm cho tr­íc dùng ®­êng song song víi mét ®­êng th¼ng cho tr­íc, hoÆc dùng ®­êng song song víi ®­êng mµ ta cÇn chøng minh ®­êng nµy s«ng song víi mét ®­êng nµo ®ã. Nh­ trong vÝ dô 1 vµ 2. (4) Tõ mét ®iÓm cho tr­íc h¹ ®­êng vu«ng gãc xuèng mét ®­êng th¼ng cho tr­íc. Nh­ trong vÝ dô 7 vµ 8. (5) Dùng ®­êng ph©n gi¸c cña mét gãc cho tr­íc. Nh­ trong vÝ dô 9 (c¸ch gi¶i I) (6) Dùng ®­êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cho tr­íc hîp thµnh víi mét ®­êng th¼ng kh¸c mét gãc b»ng gãc cho tr­íc, nh­ trong c¸ch gi¶i II cña vÝ dô 9 d­íi ®©y: VÝ dô 9: Gãc xen gi÷a c¹nh ®¸y vµ ®­êng cao cña c¹nh bªn trong mét tam gi¸c c©n b»ng nöa gãc ë ®Ønh. A GT: Trong DABC, AB = AC CD AB. D KL: DCB = 1/2 A. C¸ch gi¶i I: B E C Chøng minh: Lý do: 1. Dùng ph©n gi¸c cña A lµ AE. 2. Th× AE BC 3. 3 = 4 4. B = B 5. 1 = 2. 6. 2 = 1/2 A 7. VËy 1 = 1/2 A 1. Mèi gãc ®Òu cã mét ®­êng ph©n gi¸c. 2.Trong tam gi¸c c©n, ®­êng ph©n gi¸c ë ®Ønh võa lµ ®­êng cao. 3. Gãc vu«ng b»ng nhau 4. Kh«ng ®æi. 5. Hai tam gi¸c cã hai gãc t­ng øng b»ng nhau tõng ®«i mét th× cÆp gãc thø ba còng b»ng nhau. 6. Theo 1 7. Thay 5 vµo 6. C¸ch gi¶i II: . A E D B C Chøng minh: Lý do: 1. Tõ C dùng CE sao cho 1 = 2 2. 3 = 4; CD = CD 3. DBCD = DECD 4. 5 = B 5. Mµ B = C. 6. BCE = A 7. 21 = A 8. VËy 1 = 1/2 A 1. Tõ mét ®iÓm cã thÓ dùng mét ®­êng th¼ng hîp thµnh víi mét ®­êng th¼ng cho tr­íc mét gãc b»ng 1 gãc cho tr­íc. 2.Gãc vu«ng b»ng nhau; kh«ng ®æi. 3. gcg 4. Hai gãc t­¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau th× b»ng nhau. 5. Gãc ®¸y cña tam gi¸c c©n b»ng nhau. 6. Hai tam gi¸c cã hai gãc t­ng øng b»ng nhau tõng ®«i mét th× cÆp gãc thø ba còng b»ng nhau. 7. Thay 1 vµo 6. 8. ChyÓn vÕ 7. (7) Tõ mét ®iÓm cho tr­íc, dùng tiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn cho tr­íc. VÝ dô 10: BD vµ CE lµ ®­êng cao F cña tam gi¸c ABC, O lµ t©m ®­êng A trßn ngo¹i tiÕp. Chøng minh AO ED. Suy xÐt: C Dùng tiÕp tuyÕn AF , t¹i A; th× B FAB = ACB (cïng ch¾n cung AB cña (O)); chøng minh ®­îc tø gi¸c BEDC néi tiÕp; do ®ã ACB = AED (cïng bï víi gãc DEB) suy ra FAB = AED hai gãc nµy ë vi trÝ so le trong b»ng nhau nªn AF//ED; mµ AF OA (B¸n kÝnh vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn t¹i tiÕp ®iÓm) nªn DE OA. B¹n h·y tù chøng minh. (8) Bµi ra cho hai ®­êng trßn giao nhau, th× kÎ ®­îc d©y cung chung. (9) Bµi ra cho hai ®­êng trßn tiÕp xóc nhau, ta cã thÓ dùng ®­îc tiÕp tuyÕn chung hoÆc ®­êng nèi t©m. (10) NÕu 4 ®iÓm cïng n»m trªn mét ®­êng trßn, th× qua 4 ®iÓm ®ã cã thÓ dùng thªm ®­êng trßn phô. III. Nh÷ng ®iÓm cÇn chó ý khi vÏ ®­êng phô: (1) Muèn ®­êng phô gióp Ých cho viÖc chøng minh th× vÏ ®­êng phô ph¶i cã môc ®Ých, kh«ng nªn vÏ tuú tiÖn. NÕu kh«ng th× ch¼ng gióp ®­îc g× cho viÖc chøng minh, l¹i cßn lµm cho h×nh vÏ rèi ren, hoa m¾t, khã mµ t×m ®­îc c¸ch gi¶i ®óng. Ta nªn ®Æc biÖt l­u ý phÇn nµy. (2) VÏ ®­êng phô ph¶i tu©n theo phÐp dùng h×nh c¬ b¶n. nh÷ng ®­êng kh«ng cã trong phÐp dùng h×nh c¬ b¶n tuyÖt ®èi kh«ng ®­îc dùng. Trong vÝ dô 6: c¨n cø vµo phÐp dùng h×nh c¬ b¶n, ta thÊy “T×m ®iÓm gi÷a cña mét ®o¹n th¼ng” vµ nèi hai ®iÓm cho tr­íc” lµ c¸c b­íc lµm hîp lý. NÕu kh«ng nãi “lÊy ®iÓm gi÷a cña AC lµ E, nèi DE” mµ thay b»ng c¸ch nãi sau: a) Dùng ®­êng trung trùc cña AC lµ DE. b) Tõ D dùng DE//BC, sao cho AE = EC. c) Tõ D dùng DE AC, sao cho AE = EC. Th× ®Òu kh«ng hîp lý. ë a, ®­êng trung trùc cña AC ch­a ch¾c ®· ®i qua D. trong b, c, qua D dùng ®­êng song song víi BC, hoÆc tõ D h¹ ®­êng vu«ng gãc xuèng AC, ®Òu ch­a thÓ x¸c ®Þnh ®­êng ®ã cã chia ®«i AC hay kh«ng, nªn tr¸i víi phÐp dùng h×nh. (3) Cã khi ®­êng phô vÏ thªm còng lµ mét ®­êng nµo ®ã, nh­ng v× c¸ch dùng kh¸c nhau, nªn c¸ch chøng minh còng kh¸c nhau. Nh­ trong vÝ dô 6, phÇn chøng minh, nÕu thay “tõ D dùng DE//BC” th× ph¶i dïng ®Þnh lý “ ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm gi÷a cña mét c¹ch cña tam gi¸c mµ song song víi c¹nh thø hai th× ph¶i ®i qua ®iÓm gi÷ cña c¹nh thø ba” ®Ó chøng minh AE = EC. Hay nÕu thay b»ng “Tõ D h¹ DE AC” th× ph¶i dïng ®Þnh lý “hai ®­êng th¼ng hîp thµnh víi mét c¸t tuyÕn mét cÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau th× song song víi nhau” ®Ó chøng minh DE//BC, råi l¹i ph¶i chøng minh ®­êng trung b×nh ë trªn ®Ó chøng minh AE = EC. D KÕt luËn: H ×nh häc lµ m«n häc suy diÔn b»ng lý luËn chÆt chÏ, tõ nh÷ng nguyªn nh©n nµo ®ã nhÊt thiÕt ph¶i suy ra ®­îc nh÷ng kÕt qu¶ nµo ®Êy, kh«ng m¬ hå mét tý nµo. Mçi c©u nãi trong lóc chøng minh ®Òu ph¶i cã lý do x¸c ®¸ng, tuyÖt ®èi kh«ng qua loa ®­îc. VÏ thªm ®­êng phô trong chøng minh h×nh häc còng vËy, ph¶i hÕt søc c©n nh¾c t×m cho ra ®­îc mèi liªn hÖ gi÷a c¸c yÕu tè trong h×nh vµ nh÷ng yÕu tè ®· cho cña gi¶ thiÕt. Nh÷ng ®­êng phô vÏ thªm ®ã, khi b¾t ®Çu chøng minh cÇn ghi ngay vµo ®Çu bµi lµm, nãi râ ®· vÏ nh­ thÕ nµo. Qua viÖc vËn dông kinh nghiÖm trªn trong gi¶ng d¹y, nhiÒu häc sinh ®· biÕt vËn dông ®Ó gi¶i c¸c bµi tËp h×nh häc. Thµnh phè Lµo Cai, Th¸ng 01 n¨m 2005 Ng­êi viÕt §ç M¹nh Th¾ng