Luận văn Bảo hộ trong thị trường không đầy đủ

Luận văn tìm hiểu về phương pháp định giá và bảo hộ cho các sản phẩm tài chính. Nếu thị trường là đầy đủ thì giá và chiến lược bảo hộ là duy nhất. Xét với mô hình Black-Scholes ta có công thức giá và chiến lược bảo hộ tường minh và luận văn cũng chạy thử một bộ số liệu thật. Còn đối với thị trường không đầy đủ trước một số điều kiện đặc biệt, chiến lược bảo hộ tối ưu theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình được mô tả dưới dạng công thức liên hệ ngược. Và luận văn cũng áp dụng cho một số mô hình cụ thể có nhiều ứng dụng trong thực tế. Một hạn chế của luận văn là chưa thực hành được các kiến thức lý thuyết về định giá và bảo hộ trong thị trường không đầy đủ, chạy trên các bộ số liệu thật. Hướng nghiên cứu tiếp theo hướng này là tìm các điều kiện mạnh hơn có thể đưa ra một công thức dễ dàng hơn để mô tả chiến lược tối ưu cho thị trường không đầy đủ.

pdf57 trang | Chia sẻ: tienthan23 | Ngày: 17/02/2016 | Lượt xem: 978 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Bảo hộ trong thị trường không đầy đủ, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ạn của chứng khoán được ghi trong hợp đồng và VT (φ) là quá trình giá đầu tư bởi chiến lược φ) Nói chung tính đầy đủ là một đòi hỏi khá cao của thị trường. Vì với tính đầy đủ thì mọi tài sản phái sinh kiểu châu Âu đều có thể định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá. Định nghĩa 2.2. Ta nói rằng tài sản phái sinh X được đáp ứng một cách duy nhất trong thị trường M nếu tồn tại một quá trình đáp ứng duy nhất đối với X. Ví dụ 2.1. Mô hình Black-Scholes trong thị trường đầy đủ Giả sử một tài sản tài chính S tuân theo mô hình Black-Scholes tức là thỏa 13 mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính sau: dSt = µStdt+ σStdBt, với µ , σ là những hằng số và B là chuyển động Brown hình học. Giá tài sản S tuân theo mô hình Black- Scholes như trên thỏa mãn thị trường đầy đủ tức là mọi tài sản phái sinh đều được đáp ứng bởi một chiến lược tự tài trợ. Tính đầy đủ sẽ được chỉ ra ở phần sau. 2.1 Bảo hộ trong thị trường đầy đủ Cho (Ω,F , P ) là không gian xác suất, T là một thời điểm cố định. Cho F = {Ft; 0 ≤ t ≤ T} là một bộ lọc với F0 chứa Ω và những tập có độ đo 0 theo P với FT = F. Cho X = {Xt; 0 ≤ t ≤ T} là quá trình ngẫu nhiên có giá trị véctơ với thành phần là X0, X1, ..., Xd thích nghi liên tục phải, giới hạn trái và dương thực sự. Hơn nữa X0 là nửa martingale thoả mãn X00 = 1 và Xkt biểu diễn giá trị của chứng khoán thứ k tại thời điểm t, đặt βt = 1/X 0 t . Ta xác định một quá trình giá chiết khấu Z = (Z 1, Z2, ..., Zd) với Zkt = βtX k t ; k = 1, ..., d. Kí hiệu P = {Q ∈ (Ω;F)|Q tương đương P và Z là martingale theo Q }. Giả sử P khác rỗng (dẫn tới không có sự chênh thị giá) ta có X và Z là các nửa martingale theo P. Một phần tử tuỳ ý P ∗ ∈ P được gọi là độ đo quy chiếu và E∗ là kì vọng toán học tương ứng. Kí hiệu L(Z) = {H = (H1, H2, ..., Hd) = {Ht, 0 ≤ t ≤ T} khả tích đối với Z} Một chiến lược giao dịch đáp ứng là một quá trình ngẫu nhiên khả đoán Φ = (Φ0, ...,Φd) = {Φt, 0 ≤ t ≤ T} sao cho: i) (Φ1, ...,Φd) ∈ L(Z), ii) V ∗(Φ) ≥ 0 trong đó V ∗(Φ) = βΦX = β∑dk=0 ΦkXk, iii)V ∗(Φ) = V ∗0 (Φ) +G ∗(Φ) trong đó 14 G∗(Φ) = ∫ ΦdZ = d∑ k=1 ∫ ΦkdZk và iv) V ∗(Φ) là một martingale theo P ∗. Trong đó Φkt mô tả số tài sản hoặc số đơn vị chứng khoán thứ k được giữ bởi nhà đầu tư tại thời điểm t, V ∗(Φ) là quá trình giá chiết khấu mô tả giá chiết khấu của danh mục đầu tư và G∗(Φ) mô tả quá trình lãi chiết khấu hoặc lỗ thông qua chiến lược giao dịch bởi nhà đầu tư. Trong đó (ii) nói lên rằng những chiến lược giao dịch đáp ứng không cho phép giá trị của phương án đầu tư âm. (iii) nói rằng tất cả sự thay đổi trong giá trị của phương án đầu tư đều phụ thuộc vào sự đầu tư mà không cần thêm hoặc bớt vốn. Điều kiện (iv) khẳng định quá trình giá chỉ phụ thuộc vào việc chọn độ đo quy chiếu. Một quyền phái sinh S được coi như biến ngẫu nhiên dương. Một quyền phái sinh S được đáp ứng nếu tồn tại chiến lược đáp ứng ψ sao cho V ∗T (ψ) = βTS. Một quyền phái sinh S được gọi là khả tích nếu E∗βTS < ∞. Sau đây ta sẽ tìm hiểu một định lí nói về mối quan hệ giữa thị trường đầy đủ và sự duy nhất của chiến lược đầu tư đáp ứng. Định lý 2.1. Các mệnh đề sau là tương đương: (a) Mô hình thị trường đầy đủ theo độ đo P ∗. (b) Mỗi martingale Mt được biểu diễn dưới dạng. Mt = M0 + ∫ t 0 HdZ với H ∈ L(Z). (c) P có duy nhất một phần tử. Chứng minh. (a) ⇒ (b) Cho M là một martingale tuỳ ý. Từ martingale bất kì có thể được biểu diễn dưới dạng hai martingale dương khác nhau do 15 vậy không giảm tổng quát có thể giả sử là M dương. Đặt S = X0TMT khi đó tồn tại chiến lược đáp ứng Φ sao cho V ∗T (Φ) = MT . Hơn nữa theo định nghĩa chiến lược đáp ứng, martingale V ∗T (Φ) = V ∗ 0 (Φ) + ∫ T 0 HdZ, trong đó H = (Φ1, ...,Φd). Do đó M có cùng biểu diễn hay Mt = E ∗(βTS|Ft) = V ∗t (Φ). (b)⇒ (a) Cho S là một tài sản phái sinh khả tích tuỳ ý. Định nghĩa một độ đo martingale M bằng cách đặt Mt = E ∗(βTS|Ft) và cho H ∈ L(Z) sao cho Mt = M0 + ∫ t 0 HdZ đặt Φ 1 = H1, ...,Φd = Hd trong đó Φ0 = M0 + ∫ HdZ −HZ. Điều này dẫn tới chiến lược giao dịch đáp ứng với V ∗t (Φ) = Mt do đó V ∗T (Φ) = βTS. Hay S được đáp ứng, suy ra thị trường là đầy đủ. Trước khi chứng minh (b)⇒ (c) ta có một số định nghĩa Kí hiệuM(Z) = {Q|Z là martingale địa phương theo Q} và ta có P là tập con của M(Z) Một phần tử Q ∈M(Z) được gọi là điểm vô cùng nếu nó không thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi thực sự của hai martingale trong M(Z). Kí hiệu Me(Z) là tập hợp tất cả các điểm vô cùng trong M(Z). Ta có kết quả : Q ∈Me(Z) nếu và chỉ nếu Z chỉ có thể là martingale địa phương theo Q. Hệ quả của nó là Q ∈ Me(Z) nếu và chỉ nếu tính chất biểu diễn trong b) được thỏa mãn. (b)⇒ (c) Nếu P ∗ ∈Me(Z) thì không thể tồn tại Q ∈M(Z) với Q tương đương với P ∗. (c) ⇒ (b) Ta chỉ ra P ∗ ∈ Me(Z). Thật vậy giả sử ngược lại. Khi đó tồn tại α ∈ (0, 1) và Q′, Q′′ ∈ M(Z) sao cho P ∗ = αQ′ + (1 − α)Q′′. Ta có Q′ ≤ P ∗/α và chỉ ra Z là martingale theo Q′ tương tự cho Q′′ do đó Z là martingale theo Qβ = βQ ′ + (1 − β)Q′′ với mỗi β ∈ (0, 1). Từ Qβ tương đương với P ∗ với mọi β ∈ (0, 1) tức là Qβ ∈ P với mọi β ∈ (0, 1). Nhưng điều này là mâu thuẫn do P có duy nhất một phần tử. Tiếp theo ta sẽ đi mô tả về chiến lược duy nhất trong thị trường đầy đủ. 16 2.1.1 Chiến lược bảo hộ quyền phái sinh trong thị trường đầy đủ. Chiến lược giao dịch Φ = (K,H) được gọi là chiến lược giao dịch tự tài trợ nếu nó thỏa mãn : dVt(Φ) = KtdBt +HtdXt chiến lược Φ được hiểu như liên tục tự cân bằng các danh mục đầu tư mà không rút vốn hoặc thêm vốn vào. Ta có một chiến lược giao dịch tự tài trợ được gọi là đáp ứng quyền phái sinh h nếu VT (Φ) = h và quá trình giá chiết khấu V X0 t (Φ) là PX0− martingale tức là V X 0 t (Φ) = EPX0 [h/X 0 T |Ft], với t ∈ [0, T ], và đặt Vt(Φ) = X 0 tEPX0 [h/X 0 T |Ft] với t ∈ [0, T ]. Định lý 2.2. Nếu quyền phái sinh h là PX0− khả tích thì nó được đáp ứng. Chứng minh. ĐặtMt = EPX0 [h/X 0 T |Ft] cho Φ = (K,H) là một chiến lược giao dịch và đặt Vt = Vt(Φ). Khi đó Φ đáp ứng h nếu và chỉ nếu Kt +HtX X0 t = V X0 t = Mt với t ∈ [0, T ]. Ta cần xác định Ht với điều kiện tự tài trợ cho Φ là dV X0 t = HtdX X0 t tức dạng tích phân V X 0 t = V0 + ∫ t 0 HsdX X0 s = Mt với t ∈ [0, T ]. Gọi (Ft) là bộ lọc tăng sinh bởi chuyển động Brown hình học W X0 t . Theo định lí III.5.d.0 [11] ta có Ft−martingale Mt có thể biểu diễn Mt = M0 + ∫ t 0 JsdW X0 s , t ∈ [0, T ], 17 với quá trình khả đoán J ∈ L(WX0). Ta lại có dXX0s = σXX0s dWX0s suy ra Mt = M0 + ∫ t 0 Js/(σX X0 s )dX X0 s , ta cần M0 + ∫ t 0 Js/(σX X0 s )dX X0 s = Mt = V0 + ∫ t 0 HsdX X0 s , với mọi t ∈ [0, T ]. Suy ra M0 = V0, Hs = Js/(σX X0 s ), Ks = Ms −HsXX 0 s . Khi đó Mt = M0 + ∫ t 0 HsdX X0 s . Sau đây ta sẽ chỉ ra Φ là một chiến lược giao dịch tức là K ∈ L(X0) và H ∈ L(X). Từ dXt = Xt(µdt + σdWt) chúng ta thu được duX(s) = µXsds (uX(s) là compensator của X ) và d〈X〉s = σ2X2sds. Quá trình khả đoán J ∈ L(WX 0 ) thoả mãn ∫ T 0 J2sds <∞, PX0 − as. Do đó ∫ T 0 d〈S〉s = ∫ T 0 J 2 sX 02 sds <∞ và ∫ T 0 |Hs||duX(s)| = ∫ T 0 |σ−1µJs|X0sds < ∞, P − as. Suy ra H ∈ L(X), Ks = Ms −HsXX0s = Ms − Js/σ. Suy ra J ∈ L(X0) theo tính liên tục của M suy ra K ∈ L(X0). Vậy ta có chiến lược giao dịch Φ thoả mãn V X 0 t (Φ) = Mt, t ∈ [0, T ]. Hơn nữa với t = T suy ra VT (Φ) = X 0 TMT = h. Phần còn lại ta sẽ chỉ ra chiến lược Φ là tự tài trợ. Thực vậy, từ Mt = M0 + ∫ t 0 HsdX X0 s suy ra dV X 0 t (Φ) = dMt = HtdX X0 t Suy ra Ht = dV X 0 t dXt Vậy ta có điều phải chứng minh. Như vậy chiến lược tối ưu đầu tư để đáp ứng quyền phái sinh h là: Φs = (Ms −HsXX0s ; dV X0 s dXX0s ) Xét trong trường hợp rời rạc ta có H = ∆V X0 t ∆XX 0 t . Điều này sẽ được minh họa bởi ví dụ mục sau đây. 18 2.1.2 Công thức Black-Scholes về định giá quyền chọn Châu Âu trong thị trường đầy đủ. Xét mô hình Black-Scholes đơn giản được cho bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính sau: dXt = µXtdt+ σXtdBt, với µ , σ là những hằng số và B là chuyển động Brown hình học. Giá chứng khoán Xt tuân theo mô hình Black-Scholes như trên là một trường hợp của thị trường đầy đủ. Gọi V0 là giá của quyền chọn vào thời điểm t=0. Ta có công thức Black-Scholes để định giá của một hợp đồng quyền chọn như sau : V0 = X0N(d1)− Se−rTN(d2), d1 = 1 σ √ T [ ln X0 S + (r + σ2 2 )T ] , d2 = d1 − σ √ T . Sau đây ta sẽ đi xây dựng công thức trên. Thật vậy, ta có V0 được tính theo công thức V0 = e −rTE[(XT − S)+]. trong đó XT là giá chứng khoán tại thời điểm đáo hạn T và S là giá thực thi hợp đồng tại thời điểm T. Nếu XT ≥ S thì lợi nhuận là XT − S ≥ 0 nhà đầu tư sẽ mua quyền chọn với giá thực thi S. Nếu XT < S thì nhà đầu tư không cần thực thi hợp đồng vì không bắt buộc phải mua. Lợi nhuận sẽ là : (XT − S)+ = { XT − S nếu XT − S ≥ 0, 0 nếu XT − S < 0 , Ta tính giá trị trung bình của nó bởi kì vọng toán E[(XT − S)+] giá cả trên thị trường thường thay đổi theo một hệ số là hàm mũ eγt của thời 19 gian, nhà đầu tư xem rằng giá Quyền Chọn Mua có thể bị chiết khấu với tốc độ r nên giá trị thực sự của Quyền Chọn Mua thời điểm hiện tại t = 0 là : V0 = e −rTE[(XT − S)+]. Giả sử giá chứng khoán Xt tuân theo mô hình Black-Scholes, do đó giá trị XT là giá trị của một chuyển động Brown hình học XT = X0exp { σBT + (r − σ 2 2 )T } . Vì BT là một biến ngẫu nhiên với kỳ vọng 0 và phương sai T nên ta có thể đặt BT = √ TZ trong đó Z là biến ngẫu nhiên chuẩn N(0, 1) khi đó XT sẽ viết thành XT = X0exp { σBT + (r − σ 2 2 )T } . Suy ra V0 = e −rTE [ X0exp ( σ √ TZ + (r − σ 2 2 )T )− S]+. Do đó V0 = e−rT√ 2pi ∫ ∞ −∞ [ X0e σ √ Tx+((r−σ22 )T − S]+e−x22 dx. Ta xác định x để X0exp σ √ Tx+(r−σ22 )T − S = 0. Ta rút ra x = a = ln( SX0 )− (r − σ 2 2 )T σ √ T . Do đó V0 = e−rT√ 2pi ∫ ∞ a [ X0e σ √ Tx+((r−σ22 )T − S)]+e−x22 dx. Từ đó ta có V0 = X0Φ(−(a− σ √ T ))− Se−rTΦ(−a). 20 Đặt d2 = −a và d1 = −a+ σ √ T thì d1 = 1 σ √ T [ ln( X0 S ) + (r + σ2 2 )T ] và d2 = d1 − σ √ T . Ta có V0 = X0Φ(d1)− e−rTΦ(d2). Đây là công thức Black-Scholes để định giá V0 Quyền Chọn Mua kiểu châu Âu tại thời điểm 0 trên cơ sở giá cổ phiếu Xt tuân theo mô hình Black-Scholes. Nếu thời điểm đáo hạn là T, còn thời điểm ban đầu là t thì giá chứng khoán ban đầu sẽ là Xt còn khoảng thời gian từ lúc đầu đến lúc đáo hạn sẽ là T − t khi đó công thức Black-Scholes sẽ là Vt = XtΦ(d1)− Se−r(T−t)Φ(d2). d1 = 1 σ √ (T − t) [ ln( Xt S ) + (r + σ2 2 )(T − t)]và d2 = d1 − σ√(T − t). Giá của một Quyền Chọn Mua châu Âu có liên hệ với giá của một Quyền Chọn Bán châu Âu. Giả sử ta mua một cổ phiếu với giá Xt và bán một Quyền Chọn Mua với giá Ct (thời hạn và giá thực thi là tùy ý) Quyền Chọn Mua. Lo rằng giá cổ phiếu có thể bị sụt giảm ta mua một Quyền Chọn Bán với giá Pt với cùng một thời hạn và giá thực thi như Quyền Chọn Mua. Như vậy giá của vị thế ngày hôm nay là: Xt + Pt − Ct. Gọi giá thực thi chung của Quyền Bán và Quyền Mua là S. Khi đó giá của vị thế vào ngày đáo hạn sẽ như thế nào? Nếu Xt ≥ S thì giá đó bằng S. Ta đem giao cổ phiếu cho người mua còn Quyền Bán không có giá trị. Nếu Xt < S thì giá đó cũng vẫn bằng S. Ta đem giao cố phiếu cho người bán Quyền Bán còn quyền mua thì không có giá trị. Vậy dù xảy ra tình huống nào thì giá của vị thế của ta là như nhau và bằng S. Vì ta ở vào một vị thế tất định, nên suy ra: (Xt + Pt − Ct)erτ = S 21 trong đó r là lãi xuất không rủi ro ; τ = T − t. Nếu chọn t = 0 thì τ = T do đó Ct − Pt = Xt − e−rτS gọi là hệ thức cặp đôi Mua-Bán. Ta có Pt = Ct −Xt + e−rτS Tính C bằng công thức Black-Scholes ta được Pt = XtΦ(d1)− e−rτSΦ(d2)−Xt + e−rτS. Vì Φ(d1) + Φ(−d1) = 1 và Φ(d2) + Φ(−d2) = 1 nên ta có Pt = −XtΦ(−d1) + e−rτSΦ(−d2). Là công thức Black-Scholes với Quyền Chọn Bán. Sau đây ta sẽ minh họa việc bảo hộ tài sản phái sinh bởi một chiến lược đầu tư vào cổ phiếu: Giá cổ phiếu của công ty cổ phần nhựa và môi trường xanh An Phát có mã là AAA trong sàn giao dịch HOSE từ ngày 15/7/2010 đến ngày 24/9/2010 như sau: 48.7 46.5 46.3 45.2 45.1 45.1 46 45.1 46.1 45 49 50.5 48.8 49.2 50 48 49 47 45.1 44.4 42 44.5 46.7 47.2 44.5 47.7 50.3 53.3 56.8 55.8 58.5 62.4 70.8 75.6 80 83.2 89 85 91 90.3 91.7 91 91.8 91.4 90.4 84.4 78.7 73.2 68.1 63.4 Ta cần bảo hộ cho 1000 quyền mua cổ phiếu của công ty này với giá thực thi là 48.7 vào ngày đáo hạn là 24/9/2010. Giả sử giá cổ phiếu của AAA là thỏa mãn thị trường đầy đủ, tuân theo mô hình Black-Scholes đơn giản. Ta ước lượng các tham số của phương trình Black-Scholes theo công thức : Trung bình mẫu Uˆ = 1n ∑n i=1(ln(xi+1)− lnxi), Ui = ln(xi+1)− lnxi. Phương sai mẫu S2 = 1n−1 ∑n i=1(Ui − Uˆ)2. Ta có σ = S√ ∆t . Ta giả sử σ không đổi là một hằng số. Số liệu được xử lí trong bảng sau: 22 Chương 3 Định giá và bảo hộ trong thị trường không đầy đủ 3.1 Bài toán bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình Trong chương 2 ta đã chỉ ra trong thị trường đầy đủ thì mọi tài sản phái sinh đều được đáp ứng bởi một chiến lược đầu tư duy nhất. Tuy nhiên trong thị trường không đầy đủ thì nói chung các quyền phái sinh không được đáp ứng một cách chính xác mà chỉ được xấp xỉ bởi việc dùng chiến lược đầu tư đáp ứng theo nghĩa bình phương trung bình nhỏ nhất. Trong chương này sẽ đi nghiên cứu về chiến lược đầu tư đó. Trước hết chúng ta làm rõ hơn về nghĩa của bảo hộ bình phương trung bình. Cho X là quá trình ngẫu nhiên liên tục mô tả giá chiết khấu của một cổ phiếu trong thị trường tài chính với điều kiện không có độ chênh thị giá. X phải là nửa martingale, giả sử nó có dạng X = X0 +M + ∫ d〈M〉λˆ với quá trình khả đoán λˆ và chúng ta gọi Kˆ := ∫ λˆtrd〈M〉λˆ là quá trình cân bằng bình phương trung bình của X. Nếu martingale địa phương Zˆ := E(− ∫ λˆdM) là dương thực sự (điều này là hiển nhiên với X liên tục) và là một martingale chính qui thì đặt dPˆdP := ZˆT xác định một độ đo xác suất Pˆ tương đương với P được gọi là độ đo martingale nhỏ nhất của X. Độ đo này sẽ đóng một vai trò rất quan trọng trong phần chứng minh. Quyền phái sinh là một biến ngẫu nhiên H bình phương khả tích FT đo 23 được. Nó mô phỏng giá phải trả của một sản phẩm phái sinh mà ta quan tâm. Một chiến lược ϑ là quá trình khả đoán sao cho tích phân ngẫu nhiên Gt(ϑ) := ∫ t 0 ϑdX xác định tốt và là một nửa martingale khả tích. Thực vậy, Gt(ϑ) mô tả tiền lãi giao dịch được tạo ra bởi chiến lược đầu tư tự tài trợ tương ứng ϑ và H − c−GT (ϑ) là tổng tài sản thâm hụt của người bảo hộ bắt đầu với vốn ban đầu là c. Sử dụng chiến lược ϑ và tài khoản ngẫu nhiên phải trả là H vào ngày đáo hạn T . Việc bảo hộ bình phương trung bình nghĩa là tìm lời giải của bài toán tối ưu sau: min E[(H − c−GT (ϑ))2] trên tất cả các chiến lược ϑ (3.1) nghiệm của bài toán sẽ được kí hiệu là ξ(c) nếu nó tồn tại. Trong phần sau chúng ta sẽ chỉ rõ những điều kiện của X, định nghĩa không gian Θ chiến lược giao dịch và tìm hiểu kĩ về bài toán bảo hộ giá trị bình phương trung bình. Từ mục 3.3 ta giả sử quá trình cân bằng bình phương trung bình Kˆ bị chặn và liên tục.Ta cũng chứng minh rằng không gian GT (Θ) là đóng trong L 2(P ) và mỗi H ∈ L2(P ) nhận một phân tích Fo¨llmer- Schweizer là H = H0 + ∫ T 0 ξHs dXs + L H T . với H0 ∈ R; ξH ∈ Θ và martingale bình phương khả tích LH trực giao mạnh với M những kết quả này thực sự rất nổi tiếng, nhưng đòi hỏi thêm bởi tính liên tục của Kˆ. Tính đóng của GT (Θ) dĩ nhiên bảo đảm rằng bài toán (3.1) quả thực có nghiệm với mọi H; c. Hơn thế nữa tính bị chặn của Kˆ dẫn tới ZˆT ∈ L2(P ) và do đó có phân tích Fo¨llmer- Schweizer là : ZˆT = E[Zˆ 2 T ]− E[ZˆT LˆT ] + ∫ T 0 ζˆsdXs + LˆT . Trong mục 3.4 chúng ta chỉ ra rằng với H ∈ L2+ε(P ), nghiệm ξ(c) của (3.1) được cho bởi dạng công thức liên hệ ngược 24 ξ (c) t = ξ H t − ζˆt Eˆ[ZˆT/Ft] (H0 + ∫ t 0 ξHs dXs + L H t − c− ∫ t 0 ξ(c)s dXs) với X liên tục, Kˆ bị chặn và LˆT = 0 trong phân tích Fo¨llmer- Schweizer của ZˆT . (3.2) Sau đây ta sẽ tìm hiểu kĩ về hai định nghĩa quan trọng. 3.2 Quá trình cân bằng bình phương trung bình và không gian các chiến lược đầu tư Cho (Ω, F,P) là một không gian xác suất với bộ lọc F = (Ft)0≤t≤T thỏa mãn điều kiện đủ và liên tục phải, ở đó T ∈ [0,∞) cố định. Tất cả quá trình xem xét được biểu thị bởi t ∈ [0;T ]. Cho X là nửa martingale liên tục phải và có giới hạn trái (RCLL) nhận giá trị trong Rd, X ∈ S2loc (không gian các nửa martingale địa phương bình phương khả tích) tức là X là một nửa martingale với phân tích chính tắc X = X0 + M + A;M ∈ M20;loc với A khả đoán và |A| bình phương khả tích địa phương. Chúng ta cũng giả sử rằng Ai  〈M i〉 với i = 1, ..., d. và ta cố định quá trình Bt khả đoán tăng RCLL triệt tiêu tại 0 sao cho 〈 M i,M j 〉 t = t∫ 0 σijsdBs , 0 ≤ t ≤ T, At i = t∫ 0 γs idBs , 0 ≤ t ≤ T i; j = 1, ..., d. Với giả sử rằng X thỏa mãn điều kiện cấu trúc tức là có một quá trình λˆ khả đoán nhận giá trị trong Rd giá trị sao cho σt λˆt = γt (P −h.c.c) với t ∈ [0;T ] và Kˆt := ∫ t 0 λˆtrs γsdBs = ∫ t 0 λˆtrs σsλˆsdBs = ∫ t 0 λˆtrs d〈M〉λˆs <∞ 25 P − h.c.c với t ∈ [0;T ], giữ nguyên tính liên tục của Kˆ và gọi nó là quá trình cân bằng bình phương trung bình ( MVT) của X. 3.2.1 Định nghĩa 3.2.1 Cho quá trình liên tục phải giới hạn trái Y , kí hiệu Y ∗ là quá trình Y ∗t := sup s∈[0;t] | Ys | , 0 ≤ t ≤ T, kí hiệu R2(P ) không gian quá trình Y thích nghi RCLL sao cho ‖Y ‖R2(P ) := ‖Y ∗T ‖L2(P ) <∞. 3.2.2 Định nghĩa 3.2.2 Cho p > 1, Lp(M) không gian tất cả quá trình khả đoán nhận giá trị trong Rd sao cho ‖ϑ‖Lp(M) := ∥∥∥∥∥∥∥ ( T∫ 0 ϑtrs σsϑsdBs ) 12∥∥∥∥∥∥∥ Lp(P ) = ∥∥∥∥∥( 〈∫ ϑdM 〉 T ) 1 2 ∥∥∥∥∥ Lp(P ) <∞. Lp(A) không gian các quá trình khả đoán ϑ nhận giá trị trong Rd sao cho ‖ϑ‖Lp(A) := ∥∥∥∥(∫ T 0 ϑtrs γsdBs) ∥∥∥∥ Lp(P ) = ∥∥∥∥∣∣∣∫ ϑtrdA∣∣∣ T ∥∥∥∥ Lp(P ) <∞. Đặt Θ := L2(M) ∩ L2(A) là không gian tất cả quá trình X-khả tích ϑ nhận giá trị trong Rd sao cho tích phân ngẫu nhiên Gt(ϑ) := ∫ t 0 ϑsdXs thuộc không gian S2 các nửa martingale. Nếu K bị chặn thì theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có 26 ‖ϑ‖L2(A) ≤ ‖ϑ‖L2(M) . ∣∣∣KˆT ∣∣∣ 12 do đó Θ = L2(M) cho hằng số c ∈ R và biến ngẫu nhiên H ∈ L2(FT , P )). Xét bài toán tối ưu sau: Tìm giá trị nhỏ nhất của E[(H − c−GT (ϑ)]2 với mọi ϑ ∈ Θ. Kí hiệu nghiệm của bài toán là ξ(c) nếu nó tồn tại. Bài toán này được nảy sinh một cách rất tự nhiên trong toán tài chính khi nghiên cứu về chiến lược bảo hộ tối ưu giá trị bình phương trung bình. Xem Xt như giá chiết khấu tại thời điểm t của một tài sản rủi ro và ϑt như diễn biến chiến lược đầu tư với ý nghĩa ϑit mô tả số cổ phần của tái sản i được giữ ở thời điểm t. Giả sử về sự tồn tại của tài sản an toàn (tài khoản ngân hàng hoặc trái phiếu lãi xuất 0) với giá chiết khấu là 1 tại mọi thời điểm. Với mỗi ϑ ∈ Θ xác định duy nhất chiến lược giao dịch tự tài trợ với đòi hỏi rằng quá trình giá trị được cho bởi c + ∫ t 0 ϑdX với c ∈ R vốn được cho ban đầu tại thời điểm 0. Biến ngẫu nhiên H như một tài sản phái sinh tức là khi bản giao ước được đưa ra tại thời điểm T tài khoản phải thanh toán ngẫu nhiên là H. Kết quả thua lỗ thực tế sử dụng cặp (c;ϑ) được xác định bởi H − c− T∫ 0 ϑsdXs và chiến lược tối ưu bình phương trung bình đưa ra sự xấp xỉ tốt nhất của H với nghĩa bình phương trung bình bởi tài sản cuối cùng có thể thu được bởi chiến lược tự tài trợ. Điều kiện cấu trúc là một hệ quả của giả sử yếu không có độ chênh thị giá và bởi vậy rất tự nhiên cho bài toán được xem xét dưới đây. Quá trình cân bằng bình phương trung bình Kˆ như rủi ro của giá thị trường bình phương khả tích liên quan tới X. Chẳng hạn mô hình Black-Scholes về chuyển động Brown hình học với độ lệch b, độ dao động ϑ và tỉ lệ lãi xuất an toàn là r thì chẳng hạn cho Kˆt = ( b−r ϑ ) 2t. 27 3.3 Tính đóng của GT (Θ) và phân tích Fo¨llmer-Schweizer Bài toán tối ưu (3.1) lập tức nảy sinh câu hỏi liệu khi nào có nghiệm? Tức là không gian GT (Θ) các tích phân ngẫu nhiên của X khi nào là đóng trong L2(P )? Câu trả lời chắc chắn rằng nếu quá trình MVT Kˆ bị chặn là điều kiện cần và đủ. Trong phần này luận văn đưa ra một chứng minh khác về tính đóng của GT (Θ) với giả sử thêm rằng Kˆ bị chặn và liên tục. Qua đó cũng thu được chứng minh đơn giản về sự tồn tại của phân tích Fo¨llmer-Schweizer và một số kết quả sáng sủa về tính khả tích của nó. Ta xét một mệnh đề rất quan trọng cho việc áp dụng nó để chứng minh một số định lí và hệ quả sau này: 3.3.1 Mệnh đề 3.3.1 Cho ϑ;ψ ∈ Θ;V0 ∈ L2(F0, P ) và L ∈ M2(P ) trực giao mạnh với M và định nghĩa quá trình V bởi Vt := V0 + t∫ 0 ϑtrs dAs + t∫ 0 ψtrs dMs + Lt; 0 ≤ t ≤ T. Cho C là quá trình tăng không âm khả đoán RCLL. Nếu C là bị chặn khi đó E [ CTV 2 T ] ≥ E[ T∫ 0 V 2s−dCs − µ2 T∫ 0 V 2s−CsdKˆs + T∫ 0 Csψ tr s σsψsdBs − 1 µ2 T∫ 0 Csϑ tr s σsϑsdBs] với µ khác 0. Chứng minh. Từ C là tăng, khả đoán theo công thức Ito và định nghĩa 28 của V chúng ta thu được CTV 2 T − C0V 20 = T∫ 0 V 2s−dCs + T∫ 0 Csd(V 2 s ) = T∫ 0 V 2s−dCs + 2 T∫ 0 CsVs−dVs + T∫ 0 Csd[Vs] = T∫ 0 V 2s−dCs + 2 T∫ 0 CsVs−ϑtrs dAs+ T∫ 0 Csd[ ∫ ϑtrdA]s + T∫ 0 Csd[ ∫ ψdM ] s + T∫ 0 Csd[L]s + 2 T∫ 0 Csd[ ∫ ψdM,L]s +2 ∫ T 0 CsVs−ψsdMs + 2 T∫ 0 CsVs−dLs + 2 T∫ 0 Csd[ ∫ ϑtrdA, ∫ ψdM + L]s =: 9∑ i=1 term(i). Xét đẳng thức trên với các hạng tử dưới kì vọng ta có L ∈ M2(P ) và V ∈ R2(P ), quá trình ∫ V−dL là martingale địa phương có supremum trong L1(P ) theo bất đẳng thức Burkholder-Davis-Gundy ta có [ ∫ V−dL] 1 2 T ≤ V ∗T .[L] 1 2 T ∈ L1(P ). Vì C là khả đoán bị chặn, ∫ CV−dL là martingale do đó hạng tử thứ (8) khả tích với kì vọng 0. Hạng tử thứ (7) lấy kì vọng cũng triệt tiêu từ∫ ψdM ∈M20(P ) với ψ ∈ Θ hạng tử (6) triệt tiêu vì tính trực giao mạnh của ∫ ψdM và L trongM20(P ) hạng tử (9) cũng triệt tiêu. Ta lại có [F,N ] là martingale khi N ∈ M2(P ) và F là khả đoán có biến phân bậc 2 khả tích. Vì ψ ∈ Θ và C khả đoán bị chặn hạng tử (4) khả 29 tích và có cùng kì vọng là T∫ 0 Csd 〈∫ ψdM 〉 s = T∫ 0 Csψ tr s σsψsdBs. Hạng tử (3) và (5) thì không âm và hạng tử (2) có thể đánh giá như sau: 2 T∫ 0 CsVs−ϑtrs dAs = 2 T∫ 0 CsVs−ϑtrs σsλˆsdBs ≥ −2( T∫ 0 Csϑ tr s σsϑsdBs) 1 2 ( T∫ 0 CsV 2 s−dKˆs) 1 2 , (theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Sử dụng bất đẳng thức cơ bản −2 √ ab ≥ − 1 µ2 a− µ2b. ta thu được [ CTV 2 T ] ≥ T∫ 0 V 2s−dCs − µ2 T∫ 0 V 2s−CsdKˆs + T∫ 0 Csψ tr s σsψsdBs − 1 µ2 T∫ 0 Csϑ tr s σsϑsdBs +NT , với N là martingale triệt tiêu tại 0. Nhưng V ∈ R2(P );ϑ, ψ ∈ Θ và tính bị chặn của C dẫn tới kì vọng vế phải xác định tốt trong [−∞,+∞) do đó lấy kì vọng 2 vế ta có điều phải chứng minh. 3.3.2 Bổ đề 3.3.2 Cho F là quá trình tăng khả đoán RCLL triệt tiêu tại 0 với bước nhảy bị chặn bởi hằng số b. Với mỗi β ∈ (0, 1b) quá trình Cβt := 1 E(−βF )t = e βFt ∏ 0<s≤t e−β∆Fs 1− β∆Fs 30 là nghiệm RCLL khả đoán tăng duy nhất của phương trình Ct = 1 + ∫ t 0 βCsdFs với 0 ≤ t ≤ T. Nếu F bị chặn thì Cβ cũng bị chặn. Chứng minh. Quá trình βF là nửa martingale đặc biệt và những bước nhảy của quá trình khả đoán trong phân tích chính tắc của nó lớn hơn 1. Cβ là nghiệm duy nhất của phương trình Ct = 1 + t∫ 0 pCsβdFs; 0 ≤ t ≤ T, với pC là hình chiếu F -khả đoán của C. Từ Cβ là khả đoán ta có Cβt là nghiệm của phương trình trên. Hơn thế nữa với ∑ s ∆Fs ≤ b ta có đánh giá sau. Cβt = 1 E(−βF )t = eβFt ∏ 0<s≤t e−β∆Fs 1− β∆Fs ≤ 1 (1− βb)e βFt ∏ 0<s≤t e−β∆Fs, do đó Cβ bị chặn. Nhận xét : Nếu quá trình F là liên tục thì dễ dàng ta có Cβ = eβF với mỗi β > 0 từ đó ta có kết quả sau. 3.3.3 Mệnh đề 3.3.3 Cho ϑ, ψ ∈ Θ;V0 ∈ L2(F0, P ) và L ∈ M2(P ) trực giao mạnh với M và định nghĩa quá trình V như sau Vt := V0 + t∫ 0 ϑtrs dAs + t∫ 0 ψsdMs + Lt, 0 ≤ t ≤ T. 31 Nếu quá trình Kˆ là liên tục bị chặn thì E[eβKˆTV2T ] ≥ (β−µ2)E[ T∫ 0 eβKˆsV 2s−dKˆs] + E[ T∫ 0 eβKˆψtrs σsψsdBs]− 1 µ2 E[ T∫ 0 eβKˆsϑtrs σsϑsdBs], với mọi β > 0 và µ 6= 0. Chứng minh. Áp dụng mệnh đề 1 với C = eβKˆ ta có điều phải chứng minh. Từ định lí này ta rút ra một hệ quả rất quan trọng có liên quan tới sự tồn tại nghiệm của bài toán bảo hộ tối ưu 3.3.4 Hệ quả 3.3.4 Nếu quá trình Kˆ là liên tục bị chặn thì không gian GT (Θ) = { T∫ 0 ϑsdXs ∣∣∣∣ϑ ∈ Θ} là đóng trong L2(P ) và biểu diễn ‖ϑ‖L2(M) và |ϑ|2 := ∥∥∥∥∥∥ T∫ 0 ϑsdXs ∥∥∥∥∥∥ L2(P ) xác định hai chuẩn tương đương trên Θ. 32 Chứng minh. : Từ Kˆ bị chặn ta có ngay Θ = L2(M) và theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có |ϑ|2 = || ∫ T 0 ϑsdAs + ∫ T 0 ϑsdMs||L2(P ) ≤ || ∫ T0 ϑsσsλˆsdBs||L2(P ) + ||(〈∫ ϑsdMs〉T ) 12 ||L2(P ) ≤ (1 + ∥∥∥KˆT∥∥∥ 12∞) ‖ϑ‖L2(M) . Áp dụng mệnh đề 3.3.3 với ψ = ϑ, V0 = 0, L ≡ 0 và β > µ2 > 1 dẫn tới ( 1− 1 µ2 )||ϑ||2L2(M) ≤ (1− 1µ2)E[ ∫ T0 eβKˆsϑtrs σsϑsdBs] ≤ E [ eβKˆT ( ∫ T 0 ϑsdXs )2] ≤ eβ||KˆT ||∞|ϑ|22. Suy ra hai chuẩn tương đương. Mà cứ mỗi dãy ϑn hội tụ tới ϑ trong Θ thì kéo theo dãy ∫ T 0 ϑ n sdXs cũng hội tụ tới ∫ T 0 ϑsdXs trong GT (Θ) dẫn tới tính đóng của GT (Θ). Tiếp theo ta sẽ tìm hiểu thêm một hệ quả thú vị của mệnh đề 3.3.3: 3.3.5 Hệ quả 3.3.5 Nếu quá trình MVT Kˆ là liên tục và bị chặn thì với H ∈ L2(FT , P ) có phân tích Fo¨llmer-Schweizer là H = H0 + T∫ 0 ξHs dXs + L H T P − a.s với Ho ∈ R, ξH ∈ Θ và LH ∈ M2 (P) trực giao mạnh với M và E[LH0 ] = 0 . Chứng minh. Từ Kˆ bị chặn ta có Θ = L2 (M ). Xét ánh xạ J : Θ → Θ trong đó ánh xạ biến ϑ thành hàm dưới dấu tích phân ψ của M trong phân 33 tích Galtchouk-Kunita-Wantanabe của H − T∫ 0 ϑtrs dAs tức là H − T∫ 0 ϑtrs dAs = E[H − ∫ T 0 ϑtrs dAs] + ∫ T 0 ψsdMs + LT (ϑ) := H0(ϑ) + ∫ T 0 ψsdMs + LT (ϑ). Việc tìm phân tích Fo¨llmer-Schweizer tương đương với việc tìm điểm bất động của J . Cho β > 0 đặt ||ϑ||β := ||( ∫ T 0 eβKˆsϑtrs σsϑsdBs) 1 2 ||L2(P ) xác định một chuẩn trên Θ tương đương với ||.||L2(M)(theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Bây giờ ta sẽ áp dụng mệnh đề 3 với β > µ2 > 1, ϑ = ϑ1 − ϑ2, ψ = J (ϑ1 )− J (ϑ2 ),V0 = H0 (ϑ1 )− H0 (ϑ2 ),L = L(ϑ1 )− L(ϑ2 ) dẫn tới VT = 0 do đó ta có : ||J (ϑ1 )− J (ϑ2 )||2β = E [ ( ∫ T 0 eβKˆsψtrs σsψsdBs ] ≤ 1 µ2 E [ ( ∫ T 0 eβKˆsψtrs σsψsdBs ] = 1 µ2 ||ϑ1 − ϑ2||2β. Do đó J là ánh xạ co trên (Θ, ||.||β). Suy ra J có điểm bất động hay H có phân tích Fo¨llmer- Schweizer. Vận dụng cách chứng minh của hệ quả 3.3.5 ta có bổ đề sau: 3.3.6 Bổ đề 3.3.6 Giả sử X là liên tục. Khi đó nếu Kˆ bị chặn thì với H ∈ Lp(FT , P ) (với p ≥ 2 ) có phân tích Fo¨llmer-Schweizer với ξH ∈ Lp(M) và LH ∈Mp(P ). 34 Chứng minh. Từ Kˆ bị chặn và liên tục theo chứng minh của hệ quả 3.3.5 ta có J là ánh xạ co trên (Θ, ||.||β) do đó ξH = lim n→∞ J n(ϑ) với ϑ ∈ Θ = L2 (M ). Để chứng minh ξH ∈ Lp(M ) ta chỉ ra J là ánh xạ Lp(M) vào chính nó điều này được suy ra từ Kˆ bị chặn và Lp(M) ⊆ Lp(A) theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Cố định ϑ ∈ Lp(M ) và xét phân tích Galtchouk-Kunita-Wantanabe sau H − ∫ T 0 ϑtrs dAs = H0 (ϑ) + ∫ T 0 ψsdMs + LT (ϑ). Từ H ∈ Lp(M ) và ϑ ∈ Lp(A) ta lấy kì vọng có điều kiện 2 vế với M ∈ M20,loc suy ra H0 (ϑ) + L0 (ϑ) = E [H − ∫ T 0 ϑtrs dAs |F0 ] ∈ Lp(F0 ,P). Hơn thế nữa do X liên tục và tính trực giao mạnh của L và M nên suy ra [ ∫ ψdM,L(ϑ)] = 〈 ∫ ψdM ,L(ϑ)〉 = 0 . Cũng từ bất đẳng thức Burkholder-Davis-Gundy và bất đẳng thức Doob ta thu được∣∣∣∣∣∣∣∣( ∫ T 0 ψtrs σsψsdBs ) 1 2 + [L(ϑ)] 1 2 T ∣∣∣∣∣∣∣∣ Lp(P) = ||[∫ ψdM ] 12T + [L(ϑ)]12T ||Lp(P) ≤ √2 ∣∣∣∣∣∣∣∣[∫ ψdM + L(ϑ)]12T ∣∣∣∣∣∣∣∣ Lp(P) ≤ const.||(∫ ψdM + L(ϑ))∗T ||Lp(P) ≤ const. ∣∣∣∣∣∣ ∫ T0 ψsdMs + LT (ϑ)∣∣∣∣∣∣Lp(P) ≤ const. ∣∣∣∣∣∣∣∣H − ∫ T0 ϑtrs dAs∣∣∣∣∣∣∣∣ Lp(P ) < ∞. Do đó ψ ∈ Lp(M ) và L(ϑ) ∈Mp(P) ta có điều phải chứng minh. Sau đây ta sẽ đi mô tả chiến lược bảo hộ tối ưu trong thị trường không đầy đủ. 35 3.4 Mô tả chiến lược tối ưu Trong thực tế sự tồn tại dạng hiển của một chiến lược tối ưu bình phương trung bình thường không được như ý. Bởi vậy trong mục này luận văn đưa ra một mô tả của ξ(c) dưới dạng công thức liên hệ ngược nếu X liên tục và thỏa mãn điều kiện giả sử đặc biệt. Trong trường hợp mô hình khuyếch tán với bộ lọc Brown chúng tôi đã đưa ra cách chứng minh cho trường hợp tổng quát ở đó X là nửa martingale liên tục với quá trình cân bằng bình phương trung bình bị chặn. Cho X là nửa martingale liên tục thỏa mãn điều kiện cấu trúc (SC) và kí hiệu bởi Zˆ := E(− ∫ λˆdM) là hàm mật độ martingale nhỏ nhất. Nếu E [ZˆT ] = 1 thì khi đó theo định lí Girsanov ta có dPˆ dP := ZˆT xác định một độ đo martingale địa phương tương đương Pˆ của X tức là xác suất Pˆ ≈ P với X là martingale địa phương theo Pˆ . Pˆ là độ đo martingale địa phương nhỏ nhất của X. Nếu KˆT bị chặn thì ta có dPˆ dP ∈ Lr(P ) với mỗi r <∞ (3.3) và dP dPˆ ∈ Lr(Pˆ ) với mỗi r <∞. (3.4) Theo bổ đề 3.3.6 và (3.3) ta có phân tích Fo¨llmer-Schweizer như sau: dPˆ dP = E[Zˆ2T ]− E[ZˆT LˆT ] + T∫ 0 ζˆsdXs + LˆT (3.5) với Lˆ ∈Mr(P ) với mỗi r <∞ và ζˆ ∈ Lr(M) với mỗi r <∞. Sau đây ta sẽ trình bày một định lý rất quan trọng có nhiều ứng dụng, trong đó chiến lược bảo hộ tối ưu được mô tả dưới dạng công thức liên hệ ngược. 36 3.4.1 Định lí 3.3.7 Giả sử X là liên tục và Kˆ là bị chặn. Giả sử rằng X thỏa mãn điều kiện đặc biệt : LˆT = 0 trong phân tích (3.5). Khi đó với mỗi H ∈ L2+ε(FT , P ) với ε > 0, nghiệm ξ(c) của (3.1) được cho bởi ξ (c) t = ξ H t − ζˆ Zˆ0t ( Vˆt− − c− ∫ t 0 ξ(c)s dXs ) , (3.6) trong đó Zˆ0t := Eˆ[ZˆT |Ft] = E[Zˆ2T ] + ∫ t 0 ζˆsdXs, 0 ≤ t ≤ T và Vˆt := Eˆ[H|Ft] = H0 + ∫ t 0 ξHs dXs + L H t , 0 ≤ t ≤ T. Trước khi chứng minh định lí ta xét bổ đề sau: Bổ đề 3.3.8 : Cho quá trình N được xác định bởi Nt := H0 − c+ LH0 E[Zˆ2T ] + ∫ t 0 1 Zˆ0s dLHs . Khi đó N ∈M2+η(P ) với η < ε (3.7) và N là Pˆ -martingale Pˆ -trực giao mạnh với X và N−ξˆ ∈ L2(M). Chứng minh. Theo định nghĩa quá trình Zˆ0 là dương thực sự bởi vậy N xác định tốt. Hơn thế nữa theo bất đẳng thức Jensen ta có 1 Zˆ0t = 1 Eˆ[ZˆT |Ft] ≤ Eˆ [ 1 ZˆT |Ft ] . Do đó sup 0≤t≤T 1 Zˆ0t ∈ Lr(P ) với mỗi r <∞, 37 theo (3.4) và bất đẳng thức Doob và (3.3). Từ LH ∈M2+ε(P ) theo bổ đề 3.3.6 ta thu được [N ]T = ∫ T 0 1 (Zˆ0s ) 2 d[LH ]s ≤ [LH ]T sup 0≤t≤T 1 (Zˆ0t ) 2 ∈ L1+δ(P ) với mỗi δ < ε2 theo bất đẳng thức Burkholder-Davis-Gundy ta có E|N |2+2δT ≤ const.E|[N ]T |1+δ. Suy ra (3.7 ). Từ LH là P -trực giao mạnh với M, với N và (3.7) và tính nhỏ nhất của Pˆ dẫn tới N là Pˆ trực giao mạnh Pˆ -martingale với X, theo định lí (3.5) của [10]. Sử dụng ζˆ ∈ Lr(M) với mỗi r <∞ cuối cùng ta thu được∫ T 0 Ns−ζˆ trs σsζˆsNs−dBs ≤ ∫ T 0 ζˆ trs σsζˆsdBs ( sup 0≤s≤T |Ns|2 ) ∈ L1+δ(P ) với mỗi δ < ε2 từ đó suy ra N−ζˆ thuộc L 2(M). Sau đây ta sẽ đi chứng minh định lí 3.3.7: Chứng minh. Theo định lí hình chiếu, chiến lược tối ưu ξ(c) được đặc trưng bởi tính chất rằng E [( H − c−GT (ξ(c)) ) GT (ϑ) ] = Eˆ [ H − c−GT (ξ(c)) ZˆT GT (ϑ) ] = 0 với mỗi ϑ ∈ Θ. Từ Pˆ là độ đo martingale của X và Eˆ[NTGT (ϑ)] = 0 với mỗi ϑ ∈ Θ bị chặn. Với N ∈M2(Pˆ ) Pˆ trực giao mạnh với X. Điều này gợi cho ta việc tìm N với tính chất đặc biệt H − c−GT (ξ(c)) = NT ZˆT = NT Zˆ0T . (3.8) 38 Bây giờ ta áp dụng quy tắc tích và sử dụng phân tích Fo¨llmer- Schweizer của H và ZˆT cùng với giả sử đặc biệt LˆT = 0 suy ra H − c−−GT (ξ(c))−NT Zˆ0T = H0−c−N0E[Zˆ2T ]+ ∫ T 0 (ξHs −ξ(c)s −Ns−ζˆs)dXs+LHT − ∫ T 0 Zˆ0sdNs−[N, Zˆ0], với H = H0 + ∫ T 0 ξ H s dXs + L H T ;GT (ξ (c)) = ∫ T 0 ξ (c) s dXs; Zˆ 0 T = EZˆ 2 T +∫ T 0 ζˆsdXs. Nhưng theo giả sử LˆT = 0 và tính liên tục của X, [N, Zˆ0] = ∫ ζˆ trd[N,X] = ∫ ζˆ trd〈N,X〉Pˆ = 0 với N là Pˆ trực giao mạnh với X. Do đó ta chọn được Nt theo công thức như bổ đề 3.3.8 sẽ thỏa mãn và ξ(c) := ξH −N−ξˆ Suy ra LH là P- trực giao mạnh với M. Vì tính nhỏ nhất của Pˆ suy ra N được yêu cầu như một Pˆ - martingale Pˆ - trực giao mạnh với X. Theo bổ đề 3.3.6 ta có LH ∈ M2+ε(P ) và P trực giao mạnh với M. Từ Pˆ s là độ đo martingale nhỏ nhất và X liên tục nên theo định lí (3.5) trong [10] dẫn tới LH là Pˆ - martingale Pˆ - trực giao mạnh với X. Điều này được khẳng định cụ thể trong biểu diễn thứ hai của Vˆ . Theo (3.4) chúng ta có LH ∈M2+η(Pˆ ) với mỗi η < ε. Từ K bị chặn ta có Θ = L2(M) và ξ(c) = ξH − N−ζˆ ∈ Θ (theo bổ đề 3.3.8). Tiếp theo ta sẽ chỉ ra ξ(c) là tối ưu và thỏa mãn (3.5). Theo bổ đề 3.3.8 N là Pˆ - martingale Pˆ trực giao mạnh với X. Giả sử đặc biệt LˆT = 0 và tính liên tục của X dẫn tới [N, Zˆ0] = ∫ ζˆ trd[N,X] = ∫ ζˆ trd〈N,X〉Pˆ = 0 39 dẫn tới NZˆ0 = N0E[Zˆ 2 T ] + ∫ N−ζˆdX + ∫ Zˆ0dN (3.9) = H0 − c+ ∫ (ξH − ξ(c))dX + LH = Vˆ − c− ∫ ξ(c)dX. Từ Zˆ0 liên tục ta thu được ξ(c) = ξH −N−ζˆ = ξH − ζˆ Zˆ0 N−Zˆ0− thỏa mãn (3.6) trong định lí 3.3.7. Từ (3.9) và định nghĩa của Zˆ0; Vˆ ta có H − c−GT (ξ(c)) = NT Zˆ0T = NT dPˆ dP . (3.10) Với mỗi ϑ ∈ Θ tính Pˆ trực giao mạnh của N và X dẫn tới NG(ϑ) là Pˆ -martingale triệt tiêu tại 0. Hơn nữa với mỗi δ < ε2 theo (3.8) và bất đẳng thức Holder ta có sup 0≤t≤T |NtGt(ϑ)| ∈ L1+δ(P ). Theo (3.3) và NG(ϑ) là Pˆ -martingale do đó sup 0≤t≤T |NtGt(ϑ)| ∈ L1(P ). Từ đó suy ra E[(H − c−GT (ξ(c)))GT (ϑ)] = Eˆ[NTGT (ϑ)] = 0 (3.11) với mỗi ϑ ∈ Θ. Do đó tính tối ưu của ξ(c) được chứng minh. 40 3.4.2 Hệ quả 3.4.9 Với giả thiết của định lí 3.4.7 thì rủi ro toàn phương nhỏ nhất được cho bởi J0 = E [ ((H − c−GT (ξ(c)))2 ] = (H0 − c)2 + E[(LH0 )2] E[Zˆ2T ] +Eˆ [∫ T 0 1 Zˆ0s d[LH ] ] s . Chứng minh. Theo (3.10) và (3.11) ta có J0 = Eˆ[NT (H − c−GT (ξ(c)))] = Eˆ[NT (H0 − c+GT (ξH − ξ(c)) + LHT )] = Eˆ[NT (H0 − c)] + Eˆ[NTLHT ]( vì Eˆ[NTGT (ξH − ξ(c))] = 0). Theo như bổ đề 8 ta có N là Pˆ -martingale suy ra Eˆ[NT (H0 − c)] = (H0 − c)Eˆ[N0] = 1 E[Zˆ2T ] ( (H0 − c)2 + (H0 − c)Eˆ[LH0 ] ) = 1 E[Zˆ2T ] (H0 − c)2. Từ Eˆ[LH0 ] = E[L H 0 ] = 0 bởi vậy Pˆ = P trên F0. Ta lại có LH và N ∈M2(Pˆ ). Do đó Eˆ[NTL H T ] = Eˆ[N0L H 0 ] + Eˆ[[N,L H ]T ] = Eˆ[(LH0 ) 2] E[Zˆ2T ] + Eˆ [∫ T 0 1 Zˆ0s d[LH ]s ] . Sau đây ta sẽ áp dụng các kết quả trên vào một số ví dụ cụ thể để thấy được ý nghĩa thú vị của chúng. 3.5 Xấp xỉ một tài sản phi rủi ro Trong ví dụ đầu tiên ta xét là trường hợp đơn giản cho H =1 và c=0. Xét về khía cạnh toán học là tìm hình chiếu của 1 trong L2(P ) trên GT (Θ) 41 tương ứng với X. Theo tài chính chúng ta muốn xấp xỉ bản thanh toán an toàn 1 bởi giá trị cuối cùng của một chiến lược tự tài trợ với vốn ban đầu 0 bởi việc đầu tư vào tài sản rủi ro là X1, ..., Xd; chất lượng xấp xỉ có thể đo được bởi hàm lỗ toàn phương. Dưới giả sử của định lí 3.3.7 nghiệm của bài toán tối ưu bình phương trung bình được cho bởi ξ (0) t = −E( ∫ ζˆ Zˆ0 dX)t ζˆt Zˆ0t ; 0 ≤ t ≤ T. (3.12) Vì với Vˆ ≡ 1 và ξH ≡ 0 và công thức (3.6) trong định lí 3.3.7 thêm 1 vào 2 vế suy ra 1− ∫ ξ(0)dX = 1 + ∫ ζˆ Zˆ(0) (1− ∫ ξ(0)dX)dX, do đó 1 − ∫ ξ(0)dX = E(∫ ζˆ Zˆ0 dX) thay vào công thức định lí 3.3.7 ta có (3.12) và với rủi ro toàn phương nhỏ nhất J0 = 1 E[Zˆ2T ] (H0 = 1;L H = 0). Ví dụ 3.1. Giả sử H thỏa mãn điều kiện đặc biệt LHT = 0 trong phân tích F o¨llmer-Schweizer của H H = H0 + ∫ T 0 ξHs dXs (3.13) với H0 ∈ R và ξH ∈ Θ. Nếu chúng ta không những được tự do lựa chọn ϑ mà còn chọn được vốn ban đầu c trong bài toán tối ưu. Nghiệm tầm thường sẽ được cho bởi c = H0 và ξ (H0) = ξH với rủi ro toàn phương bằng 0. Cho ngoại sinh c bất kì theo định lí hình chiếu và chiến lược tối ưu ξ(c) của bài toán (3.1) là hàm tuyến tính của H. Hơn nữa theo (3.2) phần GT (ξ H) có thể được bảo hộ hoàn hảo bởi ξH và phần dư H0− c là một hằng số có thể được xấp xỉ như phần trên ta có nghiệm là : ξ (c) t = ξ H t − (H0 − c)E( ∫ ζˆ Zˆ0 dX)t ζˆt Zˆ0t = ξHt + (H0 − c)ξ(0)t , 0 ≤ t ≤ T. 42 3.6 Bảo hộ trong trường hợp quá trình cân bằng mean-variance tất định Sau đây ta sẽ xét đến những ví dụ mà định lí 3.3.7 được thỏa mãn. Giả sử X là nửa martingale liên tục thỏa mãn điều kiện cấu trúc. Tính liên tục của Kˆ dẫn tới Zˆ = E(− ∫ λˆdM) = E(− ∫ λˆdX + Kˆ) = E(− ∫ λˆdX)eKˆ , cụ thể ta có dPˆ dP = ZˆT = e KˆTE(− ∫ λˆdX)T = e KˆT (1− ∫ T 0 E(− ∫ λˆdX)sλˆsdXs). Nếu ta giả sử rằng giá trị của quá trình MVT KˆT là tất định khi đó Kˆ bị chặn và ZˆT = e KˆT + ∫ ζˆdX với ζˆ := −eKˆTE(− ∫ λˆdX)λˆ. (3.14) Suy ra giả sử đặc biệt LˆT = 0 được thỏa mãn theo công thức (3.5), từ tính bị chặn của Kˆ suy ra rằng ζˆ ∈ Θ. Hơn thế nữa, E(− ∫ λˆdX) là Pˆ −martingale, do đó ta có Zˆ0t = Eˆ[ZˆT |Ft] = eKˆTE(− ∫ λˆdX)t, 0 ≤ t ≤ T và điều này dẫn tới − ζˆt Zˆ0t = λˆt, 0 ≤ t ≤ T. (3.15) Cho biến ngẫu nhiên H nghiệm của bài toán tối ưu được cho bởi ξ (c) t = ξ H t + λˆt ( Vˆt− − c− ∫ t 0 ξ(c)s dXs ) , 0 ≤ t ≤ T. (3.16) 43 với rủi ro toàn phương nhỏ nhất là J0 = e −KˆT ((H0 − c)2 + E[(LH0 )2] + E[ ∫ T 0 eKˆsd[LH ]s ) = e−KˆT ( (H0 − c)2 + E[(LH0 )2] + E [ ∫ T 0 eKˆsd〈LH〉Ps ]) . 3.7 Mô hình khuyếch tán hầu đầy đủ Cho X thỏa mãn dX it X it = (bit − rt)dt+ n∑ j=1 vijt dW j t = m i tdt+ n∑ j=1 vijt dW j t với chuyển động Brownian W trong Rn. Quá trình b và v mô tả tỉ lệ tăng giá và độ dao động của d chứng khoán S1, ..., Sd trong đó r là lãi xuất an toàn được trả bởi trái phiếu S0. Giá chiết khấu được cho bởi X i = S i S0 . Bài toán này đã được khái quát hóa từ mô hình Black-Scholes. Nếu chúng ta giả sử rằng d ≤ n và ma trận vt có hạng đầy đủ tại mọi thời điểm t với P − h.c.c so sánh các công thức ta có∫ λˆdM = ∫ dA d〈M〉dM = ∫ (b− r1)tr(vvtr)−1vdW, (3.17) với dA = Xtmtdt, d〈M〉 = (vvtr)Xtdt, dM = XtvdW và Kˆ = 〈 ∫ λˆdM〉 = [ ∫ λˆdM ] = ∑ s ∆ ( ∫ λˆdM )2 s = ∑ s d∑ i=1 λˆtrs λˆs(∆M i)2s = ∫ (bs − rs1)tr(vsvtrs )−1(bs − rs1)ds (3.18) 44 với 1 := (1...1)tr ∈ Rd. Do đó chúng ta sẽ nhận được quá trình MVT bị chặn được bảo toàn theo tiêu chuẩn rủi ro của giá thị trường là vtrs (vsv tr s ) −1(bs − rs1); 0 ≤ s ≤ T bị chặn. Trong trường hợp một chiều d=1 suy ra điều kiện rằng bs − rs vs = ms vs ; 0 ≤ s ≤ T bị chặn. Nếu ta chọn P - tăng FW là bộ lọc được sinh bởi W và d=n thì nó được biết đến mô hình kết quả là đầy đủ và mỗi biến ngẫu nhiên khả tích đầy đủ có thể được viết như tổng của hằng số và tích phân ngẫu nhiên tương ứng với X. Thực vậy, theo định lí biểu diễn Ito dẫn tới biểu diễn bởi hằng số cộng với tích phân ngẫu nhiên của W và có thể được viết lại trong các thành phần của X với việc sử dụng quy tắc Bayes và nghịch đảo của vt. Tuy nhiên, sự đầy đủ thì hạn chế như một giả sử và chúng ta không yêu cầu sự đầy đủ của nó để thu được LˆT = 0. Giả sử cho d=n nhưng bộ lọc FW ⊆ F tùy ý. Nếu chúng ta giả sử rằng giá rủi ro của thị trường vtr(vvtr)−1(b− r1) = vtr(vvtr)−1m (3.19) là thích nghi với FW khi đó (3.7) dẫn tới ZˆT = E(− ∫ λˆdM)T là FWT - đo được và do đó có thể biểu diễn như một hằng số cộng với một tích phân ngẫu nhiên của X theo lập luận như trên. Do đó giả sử LˆT = 0 được thỏa mãn và chúng ta có thể áp dụng định lí 3.3.7 và hệ quả 3.4.9 để xác định chiến lược tối ưu và rủi ro toàn phương nhỏ nhất cho biến ngẫu nhiên bất kì H. Chú ý rằng tính không đầy đủ trong mô hình này suy ra từ thực tế rằng bộ lọc F chứa đựng nhiều thông tin hơn là được cho bởi giá chiết khấu X hoặc giá S. 45 Ví dụ 3.2. Lấy d=1 và cho X là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên dXt Xt = m(t;Xt)dt+ v(t,Xt)dWt (3.20) với giả sử thích hợp đối với hàm m, v (3.20) có nghiệm mạnh duy nhất thích nghi được với bộ lọc FW . Điều này dẫn tới điều kiện (3.19) được thỏa mãn do đó LˆT = 0 cũng thỏa mãn với bộ lọc bất kì F thu được từ FW và chúng ta có thể áp dụng kết quả của định lí 3.3.7 và hệ quả 3.4.9. Ví dụ 3.3. Trong trường hợp tổng quát hơn, giả sử đặc biệt LˆT = 0 thì cũng thỏa mãn nếu ZˆT là FXT - đo được và nếu X có tính chất biểu diễn khả đoán cho chính bộ lọc của nó chẳng hạn X được cho bởi dXi X it = mitdt+ d∑ j=1 vij(Xt)dW j t với mi bị chặn và thích nghi với FX và vij chính tắc đủ. ZˆT là FXT - đo được từ biểu diễn ZˆT = e KˆTE(− ∫ λˆdX)T , biểu diễn rõ ràng cho ∫ λˆdX và Kˆ và giả sử đo được của m và v. Ví dụ 3.4. Chúng ta xét trường hợp d = 1 và bộ lọc F được sinh bởi W và chuyển động Brownian W ′ độc lập. Một P-martingale trực giao bất kì với M là tích phân ngẫu nhiên của W ′ do đó thành phần trực giao trong phân tích Fo¨llmer-Schweizer của H có dạng LH = LH0 + ∫ ηHdW ′ với η bất kì. Hơn thế nữa F0 là tầm thường và L H 0 = E[L H 0 ] = 0. Khi đó rủi ro toàn phương nhỏ nhất được cho bởi J0 = (H0 − c)2 E[Zˆ2T ] + Eˆ [∫ T 0 1 Zˆ0s (ηHs ) 2ds ] . 46 3.8 Mô hình biến động ngẫu nhiên có tính Marko- vian Bây giờ chúng ta sẽ áp dụng định lí 3.3.7 cho mô hình biến động ngẫu nhiên. Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên sau: dXt Xt = m(t,Xt, Yt)dt+ v(t,Xt, Yt)dWt. (3.21) Trong đó Y là thừa số ngẫu nhiên được thêm vào nhận giá trị trong Y bị ảnh hưởng theo sự phát triển của X. Chúng ta giả sử rằng m, v, Y như (3.21) có nghiệm mạnh duy nhất và coi F như P-tăng của bộ lọc sinh bởi X và Y. Từ đó Y sẽ đặc trưng cho một định lượng phi mậu dịch. Mô hình (3.21) không đầy đủ trong trường hợp tổng quát. Hơn thế nữa chúng ta giả sử rằng (X,Y) là quá trình markov theo P. Nếu ta hạn chế sự quan tâm của chúng ta tới tài sản phái sinh dạng H = h(Xt, Yt). Việc tìm phân tích Fo¨llmer-Schweizer của H thì dễ dàng. Từ λˆt = dA d〈M〉 = Xtm(t,Xt, Yt)dt X2t .v 2(t,Xt, Yt)dt = m(t,Xt, Yt) Xtv2(t,Xt, Yt) , 0 ≤ t ≤ T. (3.22) và dPˆ dP = ZˆT = E(− ∫ m(s,Xs, Ys) v(s,Xs, Ys) dWs)T . (3.23) Theo công thức Bayes và tính Markov của (X,Y) với P suy ra Vˆt = Eˆ[H|Ft] = Eˆ[h(XT , YT )|Ft] = vˆ(t,Xt, Yt) với hàm vˆ : [0, T ].R+.Y → R điều này có thể sử dụng để đưa ra biểu diễn rõ ràng cho ξH , LH như ví dụ sau được minh họa. 47 Ví dụ 3.5. Cho Y là nghiệm mạnh của phương trình vi phân ngẫu nhiên dYt = a(t,Xt, Yt)dt+ b(t,Xt, Yt)dW ′ t (3.24) với chuyển động Brownian W ′ độc lập theo P. Với giả sử chính tắc đối với các hàm hệ số m, v, a, b, hàm vˆ là C1,2,2 trên [0, T )× (0,∞)×R và nghiệm duy nhất của phương trình vi phân thông thường ∂vˆ ∂t + a vˆ ∂y + 1 2 ( b2 ∂2vˆ ∂y2 + x2v2 ∂2vˆ ∂x2 ) = 0, (0, T )× (0,∞)× R với điều kiện bị chặn vˆ(T, x, y) = h(x, y) với mọi x, y ∈ R+×R . Áp dụng công thức Ito cho vˆ ta có : dvˆ = ∂vˆ ∂t dt+ ∂vˆ ∂x Xmdt+ ∂vˆ ∂x XvdW + ∂vˆ ∂y adt + ∂vˆ ∂y bdW ′ + 1 2 ∂2vˆ ∂x∂y xvbdWdW ′ + 1 2 x2v2 ∂2vˆ ∂x2 dt+ 1 2 ∂2vˆ ∂2y b2dt + 1 2 ∂2vˆ ∂y∂x xvbdWdW ′. Khi đó dẫn tới ξHt = ∂vˆ ∂x (T,Xt, Yt) với 0 ≤ t ≤ T và LHt = ∫ t 0 ∂vˆ ∂x (T,Xs, Ys)b(s,Xs, Ys)dW ′ s, 0 ≤ t ≤ T. Từ đó áp dụng công thức định lí 3.4.7 ta có chiến lược ξ(c) để đáp ứng. Mệnh đề 3.8.10. Giả sử m và v trong (3.21) không phụ thuộc vào y. Khi đó giả sử đặc biệt thỏa mãn và biểu thức dưới dấu tích phân ζˆ trong (3.5) thì rõ ràng được cho bởi ζˆ = Zˆt (∂g ∂x (t,Xt)− λˆtg(t,Xt) ) , 0 ≤ t ≤ T. (3.25) Trong đó g : [0, T ] × R+ → R là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân thường ∂g ∂t + 1 2 x2v2 ∂2g ∂x2 − xm∂g ∂x + m2 v2 g = 0 trên (0, T )× (0,∞) (3.26) 48 với điều kiện biên g(T, x) = 1 với mọi x ∈ R+. Hơn thế nữa ta có − ζˆt Zˆ0t = λˆt − ∂g ∂x(t,Xt) g(t,Xt) , 0 ≤ t ≤ T. (3.27) Chứng minh. Điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất của g chẳng hạn như cả m và v bị chặn và Lipschitz đều theo (t,x) kết hợp với bị chặn đều dưới theo v. Nếu m và v không phụ thuộc vào y. Phương trình vi phân ngẫu nhiên (3.20) của X và giả sử đặc biệt cũng như ví dụ 3.2. Áp dụng công thức Ito với tích Ut := Zˆtg(t,Xt) viết . , cho vi phân thường tương ứng với t và x . Sử dụng (3.22) ,(3.23) và (3.26) thu được dUt = Zˆt ( g˙+ 1 2 g′′X2t v 2−λˆg′X2t v2 ) dt+Zˆtg ′dXt−ZˆtgλˆtdMt = Zˆt(g′−λˆtg)dXt. Do đó U la Pˆ− martingale với UT = ZˆT = Zˆ0T suy ra Zˆ0 ≡ U. Vậy ta có (3.25) và (3.27). Ví dụ 3.6. Trong trường hợp đặc biệt hơn với m và v cũng không phụ thuộc vào x ta có thể dễ dàng viết nghiệm của (3.26) như sau g(t, x) = g(t) = exp (∫ T t m2(s) v2(s) ds ) và do đó từ (3.27) thu được (3.15). Điều này hiển nhiên vì quá trình Kˆ = ∫ m2(s) v2(s) ds là tất định trong trường hợp đó. Nếu m và v không phụ thuộc vào những biến ngẫu nhiên sinh bởi Y. Ta thấy giả sử đặc biệt vẫn thỏa mãn. Trong trường hợp đối xứng thì giả sử đặc biệt không thỏa mãn. Định lí 3.8.11. Giả sử rằng m, v, a, b trong (3.24) và (3.21) không phụ thuộc vào x. Nếu KˆT là bị chặn và không tất định khi đó giả sử đặc biệt là không thỏa mãn. 49 Chứng minh. Từ m, v, a, b không phụ thuộc vào x và (3.10) (3.13) dẫn tới KˆT = ∫ T 0 m2(s,Ys) v2(s,Ys) ds là FW ′ T − đo được. Do đó theo định lí biểu diễn Itô ta có eKˆT = E[eKˆT ] + ∫ T 0 νsdW ′ s P − a.s. Áp dụng quy tắc tích cho quá trình E( − ∫ λˆdX) và UT := E[eKˆT ] +∫ T 0 νdW ′ dẫn tới dPˆ dP = E(− ∫ λˆdX) T UT = E[eKˆT ]− ∫ T 0 UsE (− ∫ λˆdX) s λˆsdXs + ∫ T 0 E(− ∫ λˆdX) s νsdW ′ s (3.28) vì [W ′, X] = 0. Từ KˆT bị chặn, U cũng bị chặn kết hợp với (3.3) suy ra (3.17) trong phân tích Fo¨llmer- Schweizer của dPˆdP cả hai biểu thức dưới dấu tích phân đều khả tích và biểu thức cuối cùng là một P-trực giao mạnh P- martingale với M. Nhưng KˆT không tất định và v khác 0 do đó nó cũng trực giao mạnh với số hạng trong (3.28) suy ra giả sử đặc biệt không thỏa mãn. 3.9 Mô hình Black - Scholes trong môi trường ngẫu nhiên Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên sau dXt Xt = mtdt+ vtdWt (3.29) với quá trình m và v là độc lập với chuyển động Brownian W và giả sử rằng (3.29) có nghiệm mạnh duy nhất đối với hầu hết m và v. Mô hình này cũng như mô hình Black-Scholes trong môi trường ngẫu nhiên được mô tả bởi các quá trình ngẫu nhiên m và v. Bộ lọc sẽ được sinh bởi W và tăng ở thời điểm 0 theo sự đầy đủ về m và v. Thực vậy, môi trường ngẫu nhiên 50 được chọn ở thời điểm 0 và khi đó X được khai triển như một chuyển động Brownian hình học thông thường với hệ số ngẫu nhiên được xác định bởi sự tác động của môi trường. Đây là một mô tả rõ ràng về một mô hình mà toàn bộ các biến ngẫu nhiên trong các hệ số là ngoại sinh chứ không phải từ chính X trong (3.20). Xét định lí sau Định lí 3.9.12. Giả sử rằng quá trình m và v trong (3.29) là độc lập với chuyển động Brownian W và mv là bị chặn. Nếu KˆT không tất định thì giả sử đặc biệt là không thỏa mãn. Chứng minh. Theo trên ta có Kˆ = ∫ m2s v2s ds và Zˆ = E(− ∫ mv dW ) do đó ZˆT = exp ( − ∫ T 0 ms vs dWs − 1 2 KˆT ) . Từ m và v là độc lập với W phân phối điều kiện của log ZˆT được cho bởi m và v là phân phối chuẩn với kì vọng −12KˆT và phương sai KˆT . Từ đó ta có thể so sánh E[Zˆ2T ] = E[e KˆT ] theo điều kiện của m và v. Từ m và v là F0−đo được, quá trình Zt := e−KˆT E[e−KˆT ] Zˆt là P-martingale dương thực sự với kì vọng 1. Từ Pˆ là độ đo martingale theo X, tích ZX cũng là P-martingale và ta cũng có thể định nghĩa được một độ đo martingale tương đương Q cho X như sau dQdP := ZT . Theo lập luận như trên ta có E[Z2T ] = E[e−2KˆT Zˆ2T ] (E[e−KˆT ])2 = 1 E[e−KˆT ] . Do đó theo bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi dưới 1x và KˆT không tất định suy ra ∣∣∣∣∣∣dQ dP ∣∣∣∣∣∣ L2(P ) < ∣∣∣∣∣∣dPˆ dP ∣∣∣∣∣∣ L2(P ) 51 hay EZ2 < EZˆ2 Do đó Pˆ không là độ đo phương sai tối ưu và theo bổ đề 1 của [6] suy ra giả sử đặc biệt không được thỏa mãn. 52 Kết Luận Luận văn tìm hiểu về phương pháp định giá và bảo hộ cho các sản phẩm tài chính. Nếu thị trường là đầy đủ thì giá và chiến lược bảo hộ là duy nhất. Xét với mô hình Black-Scholes ta có công thức giá và chiến lược bảo hộ tường minh và luận văn cũng chạy thử một bộ số liệu thật. Còn đối với thị trường không đầy đủ trước một số điều kiện đặc biệt, chiến lược bảo hộ tối ưu theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình được mô tả dưới dạng công thức liên hệ ngược. Và luận văn cũng áp dụng cho một số mô hình cụ thể có nhiều ứng dụng trong thực tế. Một hạn chế của luận văn là chưa thực hành được các kiến thức lý thuyết về định giá và bảo hộ trong thị trường không đầy đủ, chạy trên các bộ số liệu thật. Hướng nghiên cứu tiếp theo hướng này là tìm các điều kiện mạnh hơn có thể đưa ra một công thức dễ dàng hơn để mô tả chiến lược tối ưu cho thị trường không đầy đủ. 53 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đặng Hùng Thắng (2005), Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội. [2] Trần Hùng Thao(2009), Nhập môn toán học tài chính, NXB Khoa Học và Kĩ Thuật, Hà Nội. [3] Trần Hùng Thao(2000), Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên , NXB Khoa Học Và Kĩ Thuật, Hà Nội. [4] Nguyễn Duy Tiến(1999), Các mô hình xác suất và ứng dụng(phần III), NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội. Tiếng Anh [5] Huyên Pham, Thorsten Rheinla¨nder, Martin Schweizer(1998), "Mean- Variance Hedging for Continuous Process: New Proofs and Examples", Finance and Stochastic 2, 173-198. [6] Martin Schweizer(1996), "Approximation Pricing and the Variance- Optimal Martingale Measure", Annals of Probability 24, 206-236. [7] Martin Schweizer(1995), "On the Minimal Martingale Measure and the Fo¨llmer-Schweizer Decomposition",Stochastic Analysis and Applica- tions 13 , 573 -599. [8] J. Michael Harrison, Stanley R. Pliska(1983), "A stochastic calculus model of continuous trading :complete markets ", Stochastic Processes and their Applications 15 , 313-316. North-Holland. [9] Martin Schweizer(2001), "A Guided Tour through Quadratic Hedging Approaches", Cambridge University Press , 538-574. 54 [10] H. Fo¨llmer and M. Schweizer (1991), "Hedging of Contingent Claims under Incomplete Information", Applied Stochastic Analysis,Gordon and Breach, London/New York, 389-414. [11] Michael Meyer (2001), " Continuous Stochastic Calculus with Appli- cations to Finance", Chapman and Hall/CRC.Boca Raton. 55

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfluan_van_toan_tai_chinh_9924.pdf
Luận văn liên quan