Luận văn Đối tượng và phương pháp trong toán học cổ điển

Thang Long University Libraty 14 Con đường suy diễn hệ thống và chặt chẽ của bộ cơ bản làm cho tập sách được chép tay và truyền đi các nước. Tuy nhiên, các định đề và tiên đề của Euclid còn quá ít, đặc biệt là không có các tiên đề về liên tục, nên trong nhiều chứng minh, ông phải dựa vào trực giác hoặc thừa nhận những điều mà ông không nêu thành tiên đề. Euclid đã phát triển theo phương pháp suy luận các tính chất của “Yếu tố toán học” trong suy nghĩ của Plato và Aristotle. Khái niệm của ông trong quyển I đến VI đã liệt kê các đối tượng thuộc hình học phẳng: điểm, đường thẳng, góc, hình tròn, hình đa giác. Từ những khái niệm, tiên đề và định đề này, Euclid chứng minh một chuỗi các định lý, và thông thường có kèm theo những hình vẽ hoặc sơ đồ để giúp cho người đọc dễ hình dung. Và điều này cũng có thể tìm thấy ở hình học của Ấn Độ, Trung Quốc khi họ vẽ biểu đồ và sau đó nói đơn giản là “nhìn” vào ta thấy điều cần chứng minh. Ví dụ để chứng minh định lý Pythagore thì họ có thể nói rằng nhìn vào hình số 5, có thể thấy rằng (b-c)2 = b2- 2bc + c2, và trong hình số 6, ở tam giác góc bên phải có cạnh huyền a và hai cạnh bên b, c ta có a2 = (b-c)2 +2bc= b2 + c2, theo hình 6, từ đó chứng minh định lý Pythagore. Hình 5 Hình 6 c c b b b - c a a c c b - c b 15 Trong quyển III, 17; quyển VI, 13 Euclid cho là hiển nhiên rằng đường thẳng đi qua một điểm nằm bên trong một hình tròn giao với hình tròn này; theo cách thức tương tự, thì nếu hình tròn C có một điểm nằm bên trong và một điểm nằm bên ngoài hình tròn 'C , thì C và 'C giao nhau (quyển I, 1 và 22). Việc xem xét các đối tượng “có thể nhìn thấy” được trình bày rõ ràng hơn trong Cuốn sách III, 8, mà Euclid nghiên cứu các đoạn thẳng nối một điểm nằm ngoài hình tròn với một điểm trên hình tròn (Hình số 7), và phân biệt trên đường tròn này “chu vi mặt lồi” (trong hệ thức với điểm bên ngoài) từ chu vi mặt lõm (khái niệm mà Plato đã gặp khó khăn trong xác định “số tuyệt đối”). Những ví dụ này có thể tìm được rất nhiều, chúng chỉ ra những khó khăn ông phải khắc phục để tạo ra một bảng từ vựng phù hợp với bản chất của các đối tượng chỉ “có thể thấy được trong tư tưởng” và cắt nghĩa các tính chất phù hợp với bản chất của chúng, nghĩa là không có sơ đồ. Hơn nữa, Euclid công nhận sự “hiển nhiên” dựa trên việc nghiên cứu một số ít trường hợp, và một số ít các “lược đồ”. Những người đi sau ông thời cổ đại đã làm phong phú thêm lĩnh vực hình học bằng việc khám phá và nghiên cứu những đường và mặt mới, và như vậy đã chuẩn bị nền tảng cho bước nhảy vọt trong lĩnh vực toán học sau thời kỳ Phục hưng. Nhưng nếu chúng ta xem xét nó kỹ càng chúng ta thấy rằng tiến bộ này, khác với trường hợp của Euclid, có được nhờ một số lớn các tính chất, chúng không được phát biểu, mà chỉ được gợi ý bởi những hình vẽ ít nhiều chính xác hơn. O M P M' Hình 7 Thang Long University Libraty 16 Tuy nhiên, do sự hiểu biết của chúng ta về tính chính xác trong hệ tiên đề hiện đại làm chúng ta chú ý đến những khuyết điểm này. Một phần từ câu hỏi hóc búa về định đề đường thẳng song song - “định đề” thứ năm của Euclid “Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có không quá một đường thẳng cùng nằm trong mặt phẳng với đường thẳng đã cho và không cắt đường thẳng ấy” - không thật sự hiển nhiên, nhưng trước thế kỉ 16 chưa có nhiều phản biện về các công trình của Euclid. Nhận thức như vậy có thể là rõ ràng với Plato và Aristotle, nhưng thật đáng ngạc nhiên khi những nhà tư tưởng sâu sắc như Descartes và Pascal – những người không hề do dự tấn công trực diện vào triết học kinh viện – cũng tuyên bố mạnh mẽ về “chân lý hiển nhiên” của các tiên đề hình học! Hơn thế nữa, họ bày tỏ quan điểm chung của các nhà toán học ở cùng thời,và quan điểm đó vẫn tiếp tục được nhấn mạnh trong thế kỷ tiếp theo.Ở thời điểm đó các nhà toán học Gauss và Cauchy đã cổ động cho “tính chặt chẽ hình học” như là mô hình cho các lĩnh vực khác của toán học. Những chỉ trích các cấu trúc của Euclid ngày càng nhiều, đặc biệt suốt thế kỷ XIX trong phong trào tiến đến sự “chặt chẽ” lớn hơn trong toán học, tuy nhiên không nhằm mục đích sửa những suy luận của Euclid trong quá trình chứng minh của ông, mà chủ yếu chỉnh sửa sự kiện rằng các chứng minh không dựa ở mức độ đầy đủ vào các định nghĩa và tiên đề đã được phát biểu tường minh. Cảm nhận chung là nếu chúng ta có thể hoàn thiện một cách thích hợp những cơ sở của lý luận, thì ta có thể đi đến một tình hình hoàn toàn thỏa mãn. Điều đó không thực hiện được cho đến cuối thế kỷ 19, với việc nghiên cứu sâu sắc về số thực, người ta có thể thực hiện phép toán của hố phân cách “hình học trực giác” từ những tiên đề được cho là đưa ra cơ sở hợp lý. Đó là sứ mệnh được Pasch và Hilbert thực hiện vào cuối thế kỷ 19, khi họ liệt kê ra hệ thống tiên đề hoàn toàn tường minh (23 tiên đề, trong trường hợp của Hilbert), nhờ đó, tất cả các định lý của Euclid có thể được chứng minh mà không cần tới lược đồ. 17 Giống như Euclid, Hilbert bắt đầu với những khái niệm không định nghĩa được, nhưng danh sách của ông là vét cạn. Có ba loại “đối tượng nguyên thủy”: các điểm, các đường thẳng và các mặt phẳng, và ba “quan hệ nguyên thủy”: thuộc vào (ví dụ, điểm thuộc một đường thẳng hay một mặt phẳng), “nằm giữa” (như là một điểm đối với hai điểm khác, khi cả ba điểm nằm trên cùng đường thẳng), và “bằng nhau” (như hai đoạn thẳng hay hai góc). Một câu hỏi ngay lập tức nảy sinh là làm thế nào chúng ta có thể suy luận một cách chính xác khi từ chối định nghĩa những điều được xem xét, và vì thế tránh được một phép hồi quy vô hạn các định nghĩa. Câu trả lời rất đơn giản: chỉ cần không bao giờ cố tình đưa ra bất cứ mệnh đề nào về các đối tượng hình học và những quan hệ của chúng mà không phải là hệ quả logic của hệ tiên đề kiểm soát chúng (cũng có nghĩa là các định nghĩa đã được liệt kê một cách vét cạn). Poincare đã viết [9], có thể nói rằng những tiên đề này làm nên những “định nghĩa trá hình” về các đối tượng và quan hệ của chúng: những quan hệ này theo một nghĩa nào đó là không xuất hiện, mà được thay thể bởi các bản chất “tiên đề”. Hilber, tiếp theo Pascal, đã chỉ ra phương pháp lọai bỏ những kết luận mà có thể được gợi ý bằng trực giác hình học, mà không suy ra từ các tiên đề: điều này có thể sẽ làm thay đổi tên gọi thông thường của các đối tượng hình học và các quan hệ của chúng. Hilbert đã đề nghị nói “cái bàn” “cái ghế” và “cái cốc” thay vì “điểm”, “đường thẳng” và “mặt phẳng” Ví dụ, hai tiên đề đầu tiên trong danh mục của Hilbert: 1) “Hai điểm phân biệt thuộc một và chỉ một đường thẳng” 2) “Có ít nhất hai điểm phân biệt thuộc cùng một đường thẳng” sẽ thành 1) “Hai cái bàn phân biệt thuộc một và chỉ một cái ghế” 2) “Có ít nhất hai cái bàn phân biệt thuộc cùng một cái ghế” Thang Long University Libraty 18 Rõ ràng không có nguy cơ gặp sai sót trong các mệnh đề như vậy, vì chúng không có nghĩa trong đời thường. Điều này giống như nói đùa, nhưng thực ra điều này tách biệt giữa ý nghĩa và tên gọi, đối với hình học sơ cấp, là một quá trình cơ bản, nó giải phóng toán học khỏi việc gắn quá gần với thực tiễn. Điều này làm nên những thắng lợi không ngờ trong thế kỷ XIX, và những ứng dụng đáng kinh ngạc trong vật lý. 1.5. Số và đại lượng Số là công cụ luôn gắn liền với nền văn minh của loài người, là khái niệm cơ bản và là cơ sở của toán học. Xuất hiện đơn giản nhất ngay trong xã hội nguyên thủy, khái niệm số và kho tàng số của loài người từng bước được làm giàu thêm. Thành tựu đó có được , một mặt là do phạm vi hoạt động thực tiễn của con người ngày càng mở rộng và mặt khác là do những yêu cầu nội tại của bản thân toán học. Lịch sử khoa học chỉ ra rằng sự phát triển khái niệm đầu tiên về số tự nhiên đã đi theo sau sự phát triển và hoàn thiện những phép đếm thô sơ. Nói cách khác nhu cầu đếm các vật đã dẫn đến sự hình thành khái niệm số tự nhiên. Sự mở rộng đầu tiên đối với khái niệm số là việc ghép thêm các phân số vào tập hợp số tự nhiên. Việc đưa ra các phân số vào là để đo đạc các đại lượng như đo độ dài, thời gian, diện tích... và nó được biết đến sớm hơn các số âm. Trong khi các nhà toán học Hy Lạp đang cố gắng đưa hệ thống “giả thiết - suy diễn” vào các trường học triết học, thì nhu cầu trong đời sống hàng ngày ở các thành phố Hy Lạp, cũng như ở các nền văn minh khác, là cần một tầng lớp những nhà “tính toán chuyên nghiệp”. Trong cuốn Republic (VII, 525), Plato nói rằng, trong khi những người được gọi là “logisticians” biết tính toán các phân số, thì những nhà toán học quan tâm không gì khác hơn ngoài các số tự nhiên. Trong các tài liệu toán học của Hy Lạp cổ đại, người ta thường dùng hai thuật ngữ khác nhau : logistic – tức là nghệ thuật tính toán và số học là khoa học 19 về các tính chất của các số. Thuật ngữ đầu chỉ phần thực tiễn, thuật ngữ sau chỉ phần lí thuyết, trong đó không có phần kĩ thuật tính toán. Sự phân chia ấy được du nhập vào châu Âu thời kỳ trung cổ. Chỉ tới thời kì Phục Hưng, hai phần trên mới được hòa nhập lại với tên gọi chung là số học. Vấn đề này được tìm thấy trong Quyển thứ VII Cơ sở của Euclid (Euclid ký hiệu các số tự nhiên bằng các chữ cái, và miêu tả chúng bằng các đoạn thẳng), trong tác phẩm đó chúng ta đã thấy những lý thuyết cơ bản về phép chia hết của các số tự nhiên, số nguyên, và phân tích số tự nhiên thành các tích các số nguyên tố. Nói đến số học thời kì Hy Lạp cổ đại, ta không thể không đề cập đến bộ “Số học” của Diophantus (Khoảng thế kỷ 4 sau Công nguyên). Đó là bộ sách chứa đựng bản sắc phương đông nhất và cũng là một trong những bộ sách hấp dẫn nhất còn lưu giữ được. Phương pháp “Logistic” của ông đã phát triển để làm rõ hơn những điều trong những viên gạch của người Babylon. Chúng được thiết kế để tìm ra một hoặc nhiều “ẩn số”, là nghiệm của một hệ phương trình mà ngày nay chúng ta có thể viết dưới dạng một đẳng thức giữa những đa thức với các hệ số xác định. Các phương trình này có bậc cao nhất là sáu đối với các ẩn. Ví dụ (quyển VI, 19), bài toán là tìm ra ba số mà tích của hai số trong ba số đã cho cộng thêm 1 thì bằng một số chính phương. Chúng ta có thể viết bài này dưới dạng ba phương trình sau. xy + 1= u2 yz + 1= v2 zx + 1 = w2 Chúng ta không đi vào chi tiết các phương pháp của Diophantus, chúng rất ít khi dựa trên một lý thuyết tổng quát. Chúng ta chỉ muốn nhấn mạnh rằng ông chỉ tìm một nghiệm cho mỗi bài toán (ngay cả khi bài đó có nhiều nghiệm), trong đó các đại lượng chưa biết là những số tự nhiên, hoặc phân số dạng p/q ( p và q là các số tự nhiên), những cái mà ta gọi là số hữu tỉ dương. Lúc bấy giờ trong một số bài toán cụ thể ông ấy đã nêu lên những điều không thể giải quyết Thang Long University Libraty 20 được vì ông quan niệm rằng nghiệm âm hay nghiệm vô tỉ là nghiệm “không thể có được”, điển hình là hai ví dụ sau: 4 = 4x + 20 (Quyển V, 2) 3x +18 = 5x2 (Quyển IV, 31) Trong những trường hợp này Diophantus chỉ nói rằng bài toán là vô lý.. Tầm quan trọng của những điều không thể này là ở chỗ chúng đã được vượt qua - lần thứ hai trong thời đại cổ điển, lần đầu tiên vào thời Trung cổ - với việc tạo ra những đối tượng toán học mới, xa hơn rất nhiều những hình ảnh thực tiễn, so với những gì của trường phái Pythagore. Đối với Euclid và những người đi trước ông, những người không muốn tính các phân số, thì các phân số được thay thế bằng khái niệm về tỷ lệ giữa độ dài hai đoạn thẳng hay đường gấp khúc, hoặc hai diện tích của đa giác, hay hai thể tích của vật rắn. Người Hy Lạp đã nói đến chiều dài, diện tích và thể tích, khối lượng theo khái niệm chung về “đại lượng” (trong đó hình thành ba loại khác nhau), và những “khái niệm chung” của Euclid có thể được xem là khởi đầu của mô tả tiên đề kiểu Hilbert. Thật vậy, Euclid không định nghĩa khái niệm đại lượng hoặc khái niệm hai quan hệ “nguyên thủy” giữa các đại lượng cùng loại, là “lớn hơn” (mà chúng ta viết A > B) và “tổng của hai đại lượng ” (mà ta viết là C=A+B). Những gì ông làm là liệt kê (nhưng không vét cạn) một số tính chất liên hệ những khái niệm đó, ví dụ, “khái niệm chung” số 4 của ông có thể được viết bằng những ký hiệu của chúng ta như: Nếu A>B, thì A + C > B + C Tích pA của một đại lượng A đạt được bằng cách cộng các đại lượng A p lần. Sau đó Euclid đã nói rằng hai đại lượng cùng loại A và B là thông ước nếu tồn tại một đại lượng C thứ ba cùng loại, sao cho A = pC và B = qC với p, q là 21 hai số tự nhiên, và ông nói trong (Quyển X, 5) rằng A và B có “cùng tỷ lệ” như số tự nhiên p và q (điều mà chúng ta viết là A/B = p/q). Trong trường hợp này, thay vì nói giống như Diophantus, rằng đường chéo của hình vuông không “tỷ lệ” với cạnh của hình vuông, thì các nhà toán học Hy Lạp theo trường phái Plato đã tuyên bố rằng, hai đại lượng cùng loại luôn luôn có một tỷ lệ, ngay cả khi chúng vô ước. Sau đó họ đã thành công, trong việc định nghĩa tổng quát quan điểm về bất đẳng thức và phép cộng bằng phép dựng hình, điều mà vẫn còn chưa được hiểu hết cho đến thế kỷ 19. Tuy nhiên, hệ thống tính toán đối với những “tỷ số” tổng quát này chưa sử dụng được đối với người Hy Lạp vì quan niệm của họ về tích các tỷ số. Thực vậy, khi Euclid tính toán tích của hai tỷ số giữa các chiều dài A/B và C/D (Quyển VI, 23), thì ông chỉ ra rằng đó là tỷ số giữa diện tích hai hình chữ nhật (AxC)/ (BxD). Hơn thế nữa, Euclid không định nghĩa về tổng hai tỷ số bất kỳ, và trong những trường hợp cụ thể mà ông xem xét, thì các tỷ số có cùng mẫu (quyển V, 24). Trong hệ thống này, các phép tính của Diophantus (và thậm chí là của những người Babylon đi trước đó) là không khả thi. Tuy nhiên, nếu chúng ta bỏ qua các tư tưởng triết học, thì hoàn toàn không khó để dung hòa hai quan điểm, trong khi vẫn trung thành với các ý tưởng của Euclid. Sau khi xem xét lại các nghiên cứu khoa học, đầu tiên ở thế giới Hồi giáo, sau đó là ở phương Tây, nhiều nhà toán học đã nhận thấy một cách độc lập khả năng đó: Nhà thơ - nhà toán học Omar Khayyam ở thế kỷ 11, R. Bombelli người Italy ở thế kỷ 16, cuối cùng là Descartes, người mà uy tín của ông đã giúp cho cuộc cải cách được dứt khoát thừa nhận. Điều này bao gồm việc chỉ xét tỷ số giữa các chiều dài, và đưa tất cả chúng về dạng OX/OU, trong đó OU là một đoạn thẳng chọn cố định, và X là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường thẳng  kéo dài OU. Điều này làm được theo một mệnh đề Euclid, khẳng định sự tồn tại “theo tỷ lệ thức thứ 4” trong (quyển VI, 12). Thay vì tiếp tục nói “tỷ số”, bây giờ đơn giản là nói rằng ta xét các điểm X thuộc  , và Thang Long University Libraty 22 những gì chúng ta phải làm là xác định mối quan hệ giữa hai điểm X<Y, và các phép toán X+Y và XY, chúng cũng phải xác định các điểm, mà không phải là những đối tượng kiểu khác, như trong Euclid. Định nghĩa X<Y có thể cho ngay: X phải nằm “giữa” O và Y, và khác Y. Với X+Y và XY, có rất nhiều cách để làm. Cách đơn giản nhất theo tôi là một phương án thay đổi chút ít cách của Hilbert, nó chỉ đòi hỏi dựng các đường song song, và chỉ dựa trên định lý Euclid về các tam giác đồng dạng hoặc bằng nhau. Xét nửa đường thẳng thứ hai không là kéo dài của nửa đường thẳng  và một điểm A nằm trên  . Việc dựng Z=X + Y và W = XY được chỉ ra trong hình 8 và 9. (Chúng có thể được mô tả mà không cần biểu đồ). Việc dựng  = Y + X và W=YX được chỉ ra bằng các đường chấm chấm. Các phép dựng hình này chứng minh hai tính chất cơ bản của các phép toán của các điểm thuộc  . Y + X = X + Y YX = XY O A A'' X Y Z A' O A'' X A U W A' Y Hình 8: AA //  , YA’// OA, A’Z // AX Hình 9: YA’ // AU, A’W // AX Hình 10 chỉ ra sự tồn tại điểm  là “nghịch đảo” của điểm X thuộc  , như vậy có: Chúng ta cũng có thể viết 1/X hay X-1 (U cũng được viết như 1, nếu tính đến các phương trình hiển nhiên UX = XU= X).   XX XX U '  '  23 O A X U A' X' O AA' Z = X - Y X Y Hình 10: A’U // AX, A’X’ // AU Hình 11: A’X // AY, A’Z // OA. Lưu ý rằng trong biểu diễn trên đây không cần phải phân biệt giữa các tỷ số thông ước và vô ước. Việc mở rộng hiển nhiên những phép dựng này cũng cho phép tránh được tính không thể xảy ra mà Diphantus đã tính đến. Chính vấn đề này đã dẫn các nhà toán học Ấn Độ ở thế kỷ 4 sau công nguyên đưa ra “số âm”. Chúng được phổ biến chậm chạp và vẫn gặp phải sự cản trở cho đến cuối thế kỷ 18. Thực vậy, tất cả những gì đòi hỏi là kéo dài phép dựng đến tất cả các điểm của đường thẳng  chứa  , và không chỉ đối với các điểm thuộc  . Phương trình Z + Y = X, khi đó luôn có nghiệm, ngay cả nếu X < Y (Hình 11), và chúng ta viết nghiệm đó là X – Y. Đặc biệt 0- X được viết là –X, dẫn đến X + (-X)= 0. Ngày nay chúng ta nói rằng các điểm thuộc  được đưa ra theo công thức này là các số thực, những điểm thuộc  là dương và thuộc  là âm. Lưu ý rằng các công thức này “giải thích” ngay “các quy tắc về dấu”. (-X)Y= -(XY). và cụ thể hơn thì tích của hai số âm là số dương, điều đó dường như khó hiểu đối với các nhà phi toán học (Hình 12). '  '   Thang Long University Libraty 24 O A UX A' Y Z = XY Hình 12: 25 CHƯƠNG II. MỘT SỐ TƯ TƯỞNG TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH. Suốt một nghìn năm của thời kì trung cổ, trong toán học đã không có một bước ngoặt cơ bản nào mặc dù các chân lí toán học và logic luôn luôn là đối tượng được quan tâm. Đến thế kỉ thứ XIV-XVI ở Châu Âu là “thời đại Phục Hưng” với ý nghĩa là phục hưng nền văn hóa cổ đại, chuẩn bị cho một nền văn hóa mới ra đời. Đặc biệt tư duy sáng tạo toán học đã bắt đầu phục hưng trong các lĩnh vực số học, đại số, hình học. Hai thế kỉ sau đó được đánh dấu bởi sự xuất hiện và phát triển của những tư tưởng hoàn toàn mới mà ngày nay ta gọi là phép tính vi phân – tích phân. Những tư tưởng mới xuất hiện là do những nhu cầu của khoa học mà đặc biệt là nghành thiên văn học, cơ học và các nghành khoa học tự nhiên. Điều này đã dẫn đến các ý tưởng đề cập đến bản chất của đại lượng vô cùng bé được đưa vào cuối thế kỉ XVII, trong đó chuẩn mực mà các nhà toán học dựa vào là “tính chặt chẽ thời Hy Lạp”. Cuộc tranh luận cuốn hút gần như tất cả các nhà toán học nổi tiếng thời bấy giờ, trong đó mỗi người đều có quan điểm riêng của mình và đều nhằm trả lời câu hỏi: Đại lượng vô cùng bé là gì? Vấn đề này đã dẫn đến một cuộc khủng hoảng thứ hai trong lịch sử toán học, nảy sinh trong quá trình đảm bảo cơ sở lý luận cho phép tính vô cùng bé. Lí thuyết đó đã được đưa ra vào thế kỉ XVII. Chính Descartes đã mở đầu cho giai đoạn “bước ngoặt” này trong lịch sử phát triển của toán học. Không những ông đã đưa vào trong toán học phương pháp tọa độ mà còn đưa ra đại lượng biến thiên, và do đó đặt nền móng cho môn hình học giải tích. 2.1. Tư tưởng về xấp xỉ. Trong ứng dụng của toán học, một số thực Y hầu như luôn được thay bằng một số hữu tỷ X, là một giá trị xấp xỉ của Y. Điều đó có nghĩa là hiệu của Y – X nằm ở đâu đó giữa - và + , trong đó  là một số dương, được gọi là sự Thang Long University Libraty 26 xấp xỉ của Y bởi X, hoặc sai số gắn với Y; X được gọi là một giá trị xấp xỉ đến Y với lân cận  , ở đó chính Y được lấy là “giá trị chính xác” của nó. Người Babylon đã biết cách tìm ra các giá trị xấp xỉ hữu tỷ cho 2 , và người Hy Lạp đã sáng tạo ra các phương thức tổng quát để có được giá trị xấp xỉ đối với tất cả các căn bậc hai a (a là một số tự nhiên), với một sai số tuỳ ý. Sự tồn tại những giá trị gần đúng như vậy được suy ra từ một tiên đề tổng quát do Acximet phát biểu , thường được ông sử dụng, và được mang tên ông: Nếu Y và X là hai số dương, luôn tồn tại một số tự nhiên m sao cho Y < mX. Nếu p là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho Y < (p+1)X, ta có pX ≤ Y < (p+1)X, từ đó pX xấp xỉ Y với cận X. Một dạng tương đương của tiên đề Acximet nói rằng luôn có một số tự nhiên m sao cho 1 Y X m  . Vì thế không tồn tại số Z nhỏ hơn tất cả các số dương còn lại (không tồn tại số “vô cùng bé”). Tiện thể chúng ta có thể nhận xét một tiên đề như vậy khác với kinh nghiệm chủ quan đến mức nào: không thể vẽ bằng hình ảnh phép toán đặt các đoạn thẳng trên đường thẳng có đầu mút trùng với đầu mút X, cho đến ki được Y, ngoại trừ trường hợp X và Y đều không quá to hoặc quá nhỏ. Vì X có thể được chia nhỏ ra thành một số tuỳ ý các phần bằng nhau (Euclid, Sách VI, 10), một khi giá trị xấp xỉ pX đã nhận được, ta lập các số 10 X pX m với 0 ≤ m ≤ 9. Nếu q+1 là số nhỏ nhất trong các số đó thì ( 1) 10 X Y pX q   , do đó 10 X pX q 27 là một giá trị xấp xỉ Y với lân cận X/10. Chúng ta tiếp tục với , 10 100 X X pX q r  và cứ tiếp tục như vậy. Quá trình này cho các giá trị xấp xỉ đến Y với lân cận bé tùy ý, bởi vì đối với bất kỳ số Z > 0 nào, luôn tồn tại một số n sao cho X/10n < Z. Tuy nhiên, có vẻ như quy trình này áp dụng được cho một số X “chính xác”, đã biết. Tuy nhiên khi Z > 0 là một số đã biết, liệu có thể nói rằng X= Z cũng đã biết? Việc dựng “giá trị trung bình của tỉ lệ thức” do Euclid đưa ra trong (Cuốn VI, 13) (xem Hình 13) đã trả lời câu hỏi này bằng cách lấy giao nửa đường tròn và một đường thẳng. Hình 13 Từ thế kỷ thứ 15, người Hy Lạp đã đối mặt với một vấn đề tương tự liên quan đến cái mà chúng ta gọi là “căn bậc ba”. Chúng ta sẽ xem trong mục 2.3 làm cách nào để “dựng” được chúng, và tại sao các quan điểm hình học của họ đã ngăn cản họ làm những phép dựng tương tự cho “căn bậc n” trong trường hợp n ≥ 4 . Sau Diophantus, hầu như không phát sinh thêm bất kỳ sự nghi ngờ nào nữa. Vào thế kỷ thứ 14, Oresme đã ngầm thừa nhận rằng, với số tự nhiên n và số X 1 X Thang Long University Libraty 28 thực X>0, luôn tồn tại số Z>0 sao cho Zn=X. Chúng ta viết số này là X1/n. Ông thậm chí còn xuất phát từ quan điểm này để đưa ý tưởng về lũy thừa Xp/q, với số mũ phân số, và có những nhận định táo bạo về lũy thừa với số mũ vô tỉ, như 2X . Trong công trình của S.Stevin vào thế kỷ thứ 16, đã xuất hiện một phương pháp xấp xỉ tổng quát hóa quá trình được mô tả ở trên, và vào thời điểm đó nó có thể được coi như một chứng minh sự tồn tại. Ông sử dụng phương trình,   0P t  , ở đó  P t là một đa thức, mà ta viết như sau:   10 1 ,... n n nP t a t a t a     ở đó 0 0a  và 0na . Từ đó chúng ta có (0) 0P  , và dễ dàng chỉ ra rằng tồn tại số tự nhiên 0A đủ lớn để   0P A  . Stevin thay biến số t trong  P t liên tiếp bởi các số 1,2,3, và dừng lại ở số tự nhiên cuối cùng q sao cho   0P q  , và  1P q  ≥0. Sau đó ông thay thế t bằng những số 1 2 9 , ,...., , 10 10 10 q q q   và dừng ở số tự nhiên cuối cùng 1 9q  sao cho 1 0 10 q P q        . Ông tiếp tục theo cách tương tự với các số 1 11 9,..., 10 100 10 100 q q q q    ,vân vân. Như vậy, ông thu được dãy các đoạn thắt  0 0,b c ,  1 1,b c ,,  ,k kb c , (1) (Hình 14), mà ông có thể kéo dài vô hạn, mà ở đó độ dài 1/10 .kk kc b  Hơn nữa ta có   0kP b  và   0kP c  29 Hình 14 Sau đó ông mặc nhiên thừa nhận rằng có một số Z được chứa trong tất cả các khoảng. Hơn nữa, không thể có hai số như vậy Z’<Z, vì khi đó chúng ta sẽ có 0 < Z - Z’ < 1/10k với mọi số tự nhiên k, mâu thuẫn với tiên đề Acsimet. Tiếp đó ông giả sử rằng chúng ta có   0P Z  , điều có thể chứng minh được theo cách sơ cấp. Quá trình này cho ông thêm một phương pháp nhận được các giá trị xấp xỉ 0 1, ,..., ,...kb b b của Z, với lân cận nhỏ tùy ý của sai số. Việc ứng dụng phương pháp này đối với đa thức   nP t t X  cho một quy trình để tính xấp xỉ X1/n . Các nhà toán học trong nhiều thế kỷ tiếp theo đã sử dụng và khái quát hóa phương pháp này, nhưng định mệnh đã dành cho Cauchy việc rút ra từ đó Tiên đề các dãy đoạn thắt, khẳng định sự tồn tại của một số thực nằm trong tất cả các khoảng của dãy (1), trong đó mỗi khoảng chứa khoảng tiếp theo. Trong lý thuyết tiên đề về số thực, tiên đề này là tiên đề cuối cùng được liệt kê, và không nghi ngờ gì nữa, là tiên đề quan trọng nhất, chứa đựng cốt lõi của toàn bộ giải tích. 2.2. Những tiến bộ trong đại số Việc có thể thực hiện tính toán sử dụng các số chưa biết như thể chúng đã được biết không phải là điều hiển nhiên, và đó là điều mà các bạn trẻ thấy khó hiểu. Đó thực sự là một điểm khởi đầu của môn đại số, là cái ngưỡng mà chúng ta đã thấy các nhà thông thái người Babylon vượt qua vào thiên niên kỷ thứ hai trước công nguyên. Tuy nhiên trong khi không mất quá một thế kỷ để hình học đạt đến một hình thức cơ bản cuối cùng, thì phải mất đến mười ba thế kỷ sau Diophantus, đại số mới trở thành như ta thấy ngày hôm nay. c2 b0 b1 b2 c1 c0 Thang Long University Libraty 30 Trở ngại chính cản trở sự phát triển của đại số là cách những nhà toán học dùng ngôn ngữ hàng ngày để mô tả các phép tính trong đại số, sử dụng các phép toán cơ bản, tổng và tích. Ví dụ, sau đây là cách mô tả việc giải phương trình bậc hai do al-Khwarizmi (thế kỷ thứ 9), người nổi tiếng vào thời trung cổ đến mức tên ông, với một chút biến đổi, đã trở thành thuật ngữ “algorithm” (thuật toán) của chúng ta. Bài toán: Hình vuông phải như thế nào để khi ta cộng vào diện tích của nó mười lần độ dài cạnh của nó, thì được 39? (trong ký hiệu hiện đại 2 10 39x x  ). Lời giải: Chia 2 số lần mà cạnh được cộng vào, sẽ ra 5. Nhân số này với chính nó, được tích là 25. Cộng số này với 39 được 64. Lấy căn bậc hai của số này sẽ được 8, và trừ nó cho một nửa số bội của các cạnh, còn lại 3. Đây là cạnh của hình vuông cần tìm, như vậy hình vuông bằng 9. Dễ dàng hình dung được rằng, một khi bài toán phức tạp hơn một chút, việc mô tả lời giải của nó viết theo cách như vậy sẽ trở thành khó hiểu như thuật ngữ pháp lý. Khó khăn này đã dần dẫn đến việc công nhận nhu cầu viết tắt để làm cho chuỗi các phép toán trở nên dễ hiểu: ở đây chúng ta có vấn đề về ký hiệu, điều mà lại một lần nữa nảy sinh mỗi khi đưa vào thêm đối tượng mới, và có lẽ sẽ không bao giờ ngừng dày vò các nhà toán học. Diophantus,không nghi ngờ gì nữa, là nhà toán học đầu tiên sử dụng những ký hiệu viết tắt. Trong một bài toán liên quan đến đại lượng chưa biết, ông sử dụng ký hiệu đặc biệt để biểu thị sáu luỹ thừa đầu tiên của nó. Các nhà toán học vào Thời trung cổ đã làm theo gương ông, viết: co hoặc c (cosa) ẩn số x 31 ce (censo) 2x cu (cubo) 3x cece (censo di censo) 4x Tuy nhiên, Diophantus và hầu hết những người sau ông không có ký hiệu cho ẩn số thứ hai, khi bài toán có ẩn như vậy. Vào cuối thế kỷ thứ 15, Luca Pacioli đã viết p và m để thay cho “cộng” và “trừ”, và sử dụng kí hiệu R hoặc R2, R3, R4 hoặc RR để biểu thị căn bậc 2,3,4. Ví dụ, ông viết: ~ 40 320RV mR để biểu thị 40 320 (chữ V thay cho dấu ngoặc đơn của biểu thức đi sau nó). Trong công trình của R.Bombelli, chúng ta thấy L và ┘thay cho ngoặc đơn). Các dấu + và – chỉ được xuất hiện vào khoảng năm 1480, dấu = xuất hiện vào năm 1557, và các dấu bất đẳng thức xuất hiện vào năm 1631. Một bước tiến quan trọng trong ký hiệu có được là nhờ Viète: ông đã sử dụng các chữ cái để ký hiệu không chỉ các ẩn số mà còn các đại lượng đã cho trong một bài toán mà việc cho các giá trị bằng số là không cần thiết. Điều này đã rút ngắn đáng kể việc mô tả các phép tính. Chẳng hạn, công thức mà chúng ta viết là 2bx dx z  được Viete ghi thành B in A Quadratum, plus D plano in A, equari Z solido . Ký hiệu cho số mũ (dương và âm) được sử dụng vào thế kỷ 15 bởi N.Chuquet và M.Stifel, sau đó là Stevin vào thế kỷ thứ 16 (không phải Viete), đã trở nên phổ biến với công trình của Descartes. Cuối cùng còn phải đưa ra các chỉ số cho các dãy số, khi chúng ta không muốn chỉ rõ dãy có bao nhiêu số hạng. Ý tưởng này nảy sinh trong công trình của Newton và Leibniz, tuy nhiên đến cuối thế kỷ thứ 19, rất nhiều nhà toán học thích viết: Thang Long University Libraty 32 , , ,...,a b c l , hơn là các ký hiệu hiện đại 0, 1,..., ,na a a chúng cho phép ta tính với n+1 số hạng mà không có bất kỳ sự bất tiện nào. Như vậy, chỉ khi kết thúc của một quá trình tiến hóa lâu dài, người ta mới có thể viết một “đa thức tổng quát” 1 0 1 0 ... n n n n j n j j a x a x a a x       , và điều này làm cho ta có thể phát biểu và chứng minh những định lý tổng quát trong đại số. 2.3. Phương pháp tọa độ Chúng ta biết rằng một trong ba phát kiến quan trọng nhất trong toán học ở thế kỉ 17 có được là nhờ nhà toán học Descartes (và đồng thời là cả Fermat), đó là việc đưa vào hình học phương pháp tọa độ (cũng được biết đến như “ứng dụng của đại số trong hình học”, và sau đó là “hình học giải tích”). Tuy nhiên, các phương pháp đó sẽ không có được nếu không có những bậc tiền bối, bởi vì ví dụ đầu tiên về đường cong phẳng xác định bởi các phương trình xuất hiện ngay từ thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên. Chúng ta đã thấy trong mục 1.2 rằng việc dựng một hình vuông có diện tích gấp đôi hình vuông khác là dễ dàng, một vấn đề tương tự “ gấp đôi thể tích của khối lập phương” , không nghi ngờ gì nữa, xuất hiện khá sớm, nhưng dường như vấn đề này đã trở nên khó hơn nhiều đối với các nhà toán học Hy Lạp. Việc gấp đôi hình vuông dẫn đến dựng chiều dài x có “tỷ lệ trung bình” giữa hai chiều dài a và 2a, tức là sao cho 2  a x x a bởi vì, theo định nghĩa tích của hai tỷ số (mục 1.4) 33 2 2 2 2 x a x a x a     Đó là cách đặt vấn đề giúp Hippocrates của xứ Chio (ở thế kỷ 5) đưa việc gấp đôi khối lập phương về việc dựng hai “tỷ lệ trung bình” giữa a và 2a, tức là nói rằng, hai chiều dài x và y thỏa mãn phương trình. 2   a x y x y a (2) Thật vậy, đối với các nhà toán học Hy Lạp thì tích của ba chiều dài A, B và C là thể tích hình hộp với các cạnh là A, B, C và như vậy hệ thức (2) kéo theo: (Euclid, Book VIII, 12, với các tỷ lệ thông ước). 3 3 2 2 y a x y a x y a       Cách xây dựng này dường như không dễ nhớ như vấn đề gốc ban đầu. Nhưng Menaechmus, một học trò của Eudoxus, nhận thấy rằng (2) cũng có thể viết dưới dạng hai phương trình đồng thời: 2 2x ay (3) 22xy a (4) Sau đó ông có ý tưởng lấy hai nửa đường thẳng vuông góc, OX và OY trên cùng một mặt phẳng, và xem xét riêng rẽ hệ thức (3) và (4) giữa đoạn x=OP trên OX và đoạn y = OQ trên OY. Nhưng đối với mỗi điểm Q trên OY với OQ = y, trên đường thẳng song song với OX qua Q (Hình 15), ta có điểm M1 sao cho x1= OP1= QM1 thỏa mãn 2 1 2x ay (một “tỷ lệ trung bình” giữa 2a và y), và điểm M2 sao cho x2 = OP2= QM2 thỏa mãn x2y = 2a2 (một “tỷ lệ thứ tư giữa 2a, y và a). Thang Long University Libraty 34 14 12 10 8 6 4 2 15 10 5 5 10 15 (2a.a)/xM1 N O M P2 K H Q P Q M2 x2x1 C2 Hình 15 Khi Q thay đổi trên OY, thì M1 và M2 vẽ nên hai đường cong C1 và C2 . Chính Menaechmus sau đó ít lâu đã phát hiện ra rằng các đường cong có thể nhận được như những thiết diện phẳng của một nón tròn xoay. Sau Euclid và Archimedes , các thiết diện phẳng này, được biết với tên gọi thiết diện conic, đã được Apollonius (thế kỷ 3 trước công nguyên) nghiên cứu sâu hơn, ông đặt tên cho C1 là parabola và C2 là hyperbola. Nếu N là giao điểm của hai đường cong, thì các đoạn OH = NK = x và OK = NH = y cho lời giải của (2). Những câu chuyện dân gian lưu truyền rằng Plato không thích lời giải này bởi vì nó sử dụng các đường cong mà không phải là đường thẳng và đường tròn; nhưng kiểu “dựng” nhờ giao điểm của các đường cong lại trở nên khá phổ biến ở những người kế tục của Euclid (phương pháp dựng này đã suy ra các tính chất “nhìn thấy” nhưng không chứng minh được), và điều này được Descartes và Newton đánh giá cao. Tầm quan trọng của phương pháp được Descartes và Fermat sử dụng là ở chỗ nó cho phép chuyển bất cứ vấn đề nào trong hình học phẳng thành vấn đề tương tự trong đại số. Điều này có được là vì các đối tượng và các quan hệ trong 35 hệ thống tiên đề của Hilbert có thể được diễn dịch như là các đối tượng và quan hệ của lý thuyết số thực, tuân theo “từ điển” sau đây: Điểm M cặp số (x, y) ta viết M =(x, y) đường thẳng phương trình ax +by + c= 0 với a2 + b2 ≠ 0 điểm thuộc... cặp thỏa mãn.... điểm giữa A= (x1, y1) cặp (tx1 + (1-t)x2, ty1 + (1-t)y2 và B=(x2, y2) với 0<t<1 độ dài đoạn AB 2 2 1/21 2 1 2(( ) ( ) )x x y y   đường tròn phương trình x2 + y2 +ax + by +c =0 với 4c < a2 + b2 Cuối cùng, công thức cho góc α giữa các đường thẳng AB và AC là 1 0 2 0 1 0 2 0 2 2 1/2 2 2 1/2 1 0 1 0 2 0 2 0 ( )( ) ( )( ) cos (( ) ( ) ) (( ) ( ) ) x x x x y y y y x x y y x x y y              trong đó A=(x0, y0) , B= (x1, y1) ; C=(x2, y2) “Hình học không gian” có thể được “ dịch” theo cách tương tự, bằng cách thay thế một điểm bởi bộ ba số (x,y,z), mặt phẳng bởi phương trình ax + by + cz + d= 0 với a2 + b2 + c2 ≠ 0, v.v Vào thế kỷ 19, khi cơ sở toán học trở nên sâu sắc hơn, có thể nói rằng hình học sơ cấp có một mô hình trong lý thuyết số thực. Đây là “cây cầu” đầu tiên trong một loạt các cây cầu nối hai phần đối lập của toán học. Thang Long University Libraty 36 Hơn thế nữa, sự kiện các đường thẳng, đường tròn và đường conic trong mặt phẳng được xác định bởi các phương trình dạng P(x,y)=0, trong đó P là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với hệ số thực, một cách tự nhiên dẫn các nhà toán học tới việc nghiên cứu các đường cong được xác định bởi những phương trình cùng loại nhưng không có hạn chế về bậc . Đó là điểm khởi đầu của một lĩnh vực mới của toán học, hình học đại số, nó bổ sung một cách to lớn vào danh sách các đường cong mà các nhà toán học Hy Lạp biết đến, và ngày nay nó vẫn là một trong những lĩnh vực sôi động nhất, sau 300 năm nghiên cứu và vô vàn kết quả. Phương pháp tọa độ cũng là cơ sở của hai tiến bộ tuyệt vời khác trong thế kỷ 17: đưa ra ý tưởng về hàm số và phép tính vô cùng bé. Người ta thường nói rằng các khái niệm toán học của các nhà toán học Hy Lạp về cơ bản là tĩnh, và điều này trái ngược ý tưởng biến thiên chi phối tư tưởng khoa học hiện đại. Rõ ràng Cơ sở của Euclid tập trung nghiện cứu các hình mà vị trí và kích thước là cố định. Tuy nhiên, ngay từ khi bắt đầu của toán học Hy Lạp, những cố gắng để tìm hiểu sự chuyển động và thay đổi về hình dạng hay bản chất luôn luôn xâm chiếm ý nghĩ của các nhà triết học, và khái niệm về chuyển động đều - thẳng hay tròn- được chỉ ra rõ ràng ngay khi biết cách đo thời gian. Chúng ta biết rằng, trong hệ thiên văn của họ, bằng việc kết hợp những chuyển động này mà các nhà toán học Hy Lạp cố gắng tính quỹ đạo của các hành tinh. Mặc dù khái niệm về thời gian không được tính đến trong hình học Hy Lạp, ít nhất hai đường cong phẳng, đường quadratrix (Hình 16) của Hyppias và đường xuắn ốc (Hình 17) của Acsimet, đã được định nghĩa bởi tổ hợp các chuyển động đều. 37 Có vẻ như về nguyên tắc cần nghiên cứu các chuyển động thẳng không nhất thiết đều- đặc biệt chuyển động của các vật rơi, chủ đề nổi bật trong các trường phái triết học vào thời trung cổ. Loạichuyển động mà Oresme (người đầu tiên ) trong thế kỷ 14 có ý tưởng biểu diễn sự thay đổi độ lớn theo thời gian bằng đồ thị. Ông đã dùng hoành độ của một điểm để biểu thị thời gian và tung độ biểu thị giá trị của sự thay đổi độ lớn tại thời điểm đó (Hình 18); tọa độ các điểm nhận được lập nên đồ thị. Oresme cũng cho rằngcó thể lấy trục hoành làm trục thời gian và với bất cứ “giá trị” nào đều biểu thị được bằng con số. Ngày nay phương pháp trở lên phổ biến và thường bị lạm dụng. Hình 17 Hình 18 M O Q Hình 16 2 osc     r t O x y D r  r=c x y Thang Long University Libraty 38 Vào thế kỷ 17 ý tưởng này được kết hợp với phương pháp tọa độ, và làm cho người ta quen dần với ý tưởng về số y “phụ thuộc” vào số x biến đổi trên khoảng I. Vào cuối thế kỷ này người ta nói rằng y là một hàm số của x: đồ thị của nó là một đường cong giao tại chỉ một điểm với mỗi đường thẳng đi qua một điểm thuộc I và song song với OY. Tuy nhiên, ngược lại, mỗi đường cong có tính chất này xác định một hàm số: ví dụ, nửa đường tròn tâm O và bán kính 1 nằm phía trên OX (Hình 13) xác định trong khoảng -1 ≤ x ≤ 1 hàm số 21y x  Chính sự tương ứng này mà vào thế kỷ 19 đã có thể định nghĩa được khái niệm tổng quát về hàm số như một đối tượng toán học. Nhưng cho đến lúc đó người ta vẫn còn ít quan tâm về cơ sở lý thuyết. Khái niệm về hàm số, mặc dù có thể là “trực giác” , đã mở ra một kỷ nguyên tiến bộ không ngừng, trong toán học cũng như trong những ứng dụng của nó, và tất cả các nhà toán học cùng nhau đưa nó phát triển. Đó trước hết là do khái niệm hàm số là cơ sở cho phát minh thứ ba của thế kỷ 17 - và có lẽ phát minh quan trọng nhất trong toàn bộ lịch sử toán học - phép tính vô cùng bé. 2.4. Quan điểm về giới hạn và phép tính vô cùng bé. Ví dụ đầu tiên về việc xác định một số theo phương pháp “dãy đoạn thắt” (2.1) mà ta biết cho đến nay là việc tính xấp xỉ diện tích hình tròn, được Euclid đưa ra (Cơ sở, Quyển XII, 2). Ông vẽ nội tiếp trong hình tròn một hình vuông P1, sau đó bằng cách lấy liên tiếp các trung điểm của các cung chắn các cạnh của đa giác, ông nhận được các đa giác đều P2, P3, ....Pn,..... có 8, 16....2n+1 cạnh. Đồng thời, ông xét các đa giác ngoại tiếp Q2, Q3, ....Qn, các cạnh của chúng tiếp xúc đường tròn tại các đỉnh của đa giác nội tiếp (Hình 19). Giả sử pn là diện tích đa giác Pn và qn là diện tích đa giác Qn . Khi đó các số này là những đầu mút của dãy các đoạn thắt [p1, q1], [p2, q2], ......, [pn, qn], ...., 39 và Euclid chỉ ra, bằng một lập luận hình học đẹp đẽ, rằng 1 1 1 ( ) 2 n n n nq p q p    Hình 19 Như vậy ông có thể kết luận rằng số duy nhất được chứa trong tất cả các đoạn này cho ta “diện tích hình tròn”. Cấu trúc trên đây đơn giản là một ví dụ về cái được gọi là “phương pháp vét cạn”, có thể là được Eudoxus phát minh ra. Ít nhất thì chính ông là người đã áp dụng nó để chúng minh rằng thể tích của hình nón tròn xoay bằng 1/3 thể tích của hình trụ có cùng đáy và chiều cao (Euclid, Quyển XII, 10). Archimedes đã tạo ra hàng loạt những kết quả mới: diện tích một đoạn thuộc parabon, diện tích và thể tích hình cầu, thể tích một đoạn thuộc parabon tròn xoay... Vào thế kỷ 17, việc sử dụng tọa độ đã cho phép mở rộng được phương pháp vét cạn. Ví dụ, nếu trong đoạn I: a ≤ x ≤ b “ Phần tô đậm là diện tích 2 2q p ” Thang Long University Libraty 40 y = f(x) là hàm dương tăng, chúng ta có thể ước lượng theo phương pháp này diện tích S bao hàm giữa đồ thị và trục OX: chúng ta chia I liên tiếp thành 2,4,8,...,2n,......phần bằng nhau, và đối với mỗi đoạn [tk, tk+1], xét diện tích ( ) . ( ) 2 kn b a f t  của hình chữ nhật có đáy đoạn này được và nằm bên “ dưới” đường cong, và diện tích    1. 2   kn tf ab của hình chữ nhật cùng đáy và nằm bên “trên” đường cong. Nếu 'nS là tổng tính diện các hình chữ nhật loại thứ nhất, và ''nS là tổng diện tích các hình chữ nhật loại thứ hai, thì ta có 'nS ≤ S ≤ '' nS và '' ' ( ) ( ( ) ( )) 2 n n n b a S S f b f a     (Hình 20) Số S được định nghĩa là số duy nhất có trong tất các đoạn lồng nhau [ 'nS , '' nS ]. Đây là cách mà Fermat tiến hành từ năm 1636 liên quan đến đường cong y=xm (trong đó m là số tự nhiên với m>1), bởi một công thức đại số đơn giản cho 'nS và '' nS một cách tường minh, và ông đã nhận được công thức 1 1 1 m mb a S m     41 Hình 20 Về sau, bằng việc lựa chọn tốt hơn việc chia I thành các khoảng ngày càng nhỏ hơn, ông đã mở rộng những kết quả này đến trường hợp mà /m p q là phân số bất kỳ (khác với -1) Phương pháp này (với một vài cải tiến nhỏ để có thể chia nhỏ hơn “các đoạn thắt”) vẫn là một trong những dạng cơ bản của tính toán diện tích bằng máy tính. Điều này có lẽ sẽ không gợi lên được nhiều sự quan tâm nếu không phải vì sự kiện những nhà toán học đó tại thời điểm đó cùng tấn công bài toán tưởng chừng rất khác ( đó là bài toán về cách xác định các tiếp tuyến cho đường cong phẳng đã được đề cập trong thời cổ điển). Đối với người Hy Lạp, tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M là một đường thẳng D đi qua M sao cho các điểm của đường cong (C) gần M nằm cùng một phía so với đường thẳng D (Hình 21): đường thẳng D chạm đường cong tại điểm M. Euclid đã chỉ ra rằng tiếp tuyến tại điểm M của đường tròn tâm O là vuông góc với OM (Quyển III, trang 16), và việc mô tả các đường conic như là những thiết diện phẳng của hình nón với các đáy tròn đã giúp cho việc tìm các tiếp tuyến của những đường cong này. Tuy nhiên, ngoài các đường conic, trong thời cổ điển, người ta chỉ biết một đường cong mà tiếp tuyến được xác định, đó “Phần tô đậm là diện tích 2 1S S ” a b y x O Thang Long University Libraty 42 là đường xoắn ốc của Ác xi mét 2.3), và chúng ta không biết làm thế nào ông đoán được việc dựng những tiếp tuyến này . Fermat chính là người,vào năm 1636, lại sử dụng phương pháp toạ độ để tấn công bài toán một cách có hệ thống đối với các đường cong my x (Ở đó m là một số tự nhiên 2 ). Câu hỏi đặt ra là liệu đường thẳng D, cho bởi phương trình Y ax b  đi qua điểm ( , )M x y của đường cong my x , có “chạm” với đường cong này tại điểm đó hay không.Với điểm P của đường thẳng OX , mà hoành độ x h với h đủ nhỏ, thì cần biết dấu của đoạn thẳng có hướng RS (Hình 22). Vì đường thẳng D đi qua điểm M, chúng ta có mx ax b  và Hình21 ( ) ( ( ) )     mRS x h a x h b 1 2 1 ( , ) ( ( , )) (*)         m m mhx h Q x h ah h mx a hQ x h bởi công thức nhị thức, trong đó Q(x,h) là đa thức của x và h, và tồn tại số A sao cho |Q(x, h)| ≤ A, với |h| ≤ 1. C M D 43 S M O Y X R P Hình 22 Nếu số 1mmx a   khác không, thì dấu ngoặc đơn cuối cùng trong biểu thức (*) có cùng dấu như  khi mà: h <1 và h < / ,A và điều này xẩy ra khi 0h  hoặc 0h  ; dấu của RS thay đổi cùng với dấu của h khi h trở thành lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0. Nói cách khác, đường thẳng D đi qua đường cong tại điểm M . Do đó, chỉ một đường “tiếp xúc” là đường thẳng 0D mà với 1ma mx  . Nhìn chung đường thẳng này thực ra không đi qua đường cong, nhưng với trường hợp 3,m và tại x = 0 thì điều này tỏ ra là không luôn đúng (Hình 23). Tuy nhiên, sẽ thuận tiện nếu nói rằng đường thẳng Do mà phương trình của nó là 1( )m mY x mx X x   tiếp xúc với đường cong tại M. x + hn x + h x D Thang Long University Libraty 44 Hình 23 Phép tính này, cũng như mọi lý luận về “phép vét cạn” đều không thể thể hiện thỏa đáng, ngoại trừ dùng ngôn ngữ mà, về mặt lịch sử, chưa rõ ràng cho đến giữa thế kỷ mười tám, và phải mất đến 80 năm nữa mới trở thành tổng quát: đó là, ngôn ngữ giới hạn. Phép dựng hình của Euclid ở trên đã làm “rõ ràng về trực quan” rằng một đa giác đều 2n cạnh vẽ bên trong một đường tròn “tiến đến” đường tròn khi n tiến ra vô hạn. Vào thế kỷ thứ năm, nhà ngụy biện Antiphon đi xa đến mức nói rằng khi n đủ lớn, đa giác trở thành chính đường tròn, xúc phạm sâu sắc đến hình học của trường phái Plato. Trường phái này đã đưa ra ví dụ khác, là các tiệm cận hyperbol (Hình 15), chúng có thể kể đã được Maenachmus biết đến: khoảng cách từ điểm ( ,1/ )x x tới đường thẳng OX nhỏ hơn 1/ n khi x n , nhưng không bao giờ bằng không, điều này tất nhiên chỉ có thể thừa nhận đối với “hình tuyệt đối” của Plato. Ngày nay chúng ta nói rằng y = x3 O X Y 45 dãy ( nh ) các số thực có giới hạn bằng 0, hoặc có tiến đến 0, khi với mỗi số 0  , tất cả các nh nằm trong khoảng x    với mọi, n từ số 0n nào đó trở đi (ở đó tất nhiên 0n phụ thuộc vào  ). Tổng quát hơn, ( )nh tiến đến một số thực a , hoặc có giới hạn a nếu dãy ( )nh a tiến đến 0. Khi đó ta viết: lim n n h a   Sử dụng ngôn ngữ này, tiên đề về dãy đoạn thắt (2.1) được thể hiện bằng cách nói, nếu lim( ) 0,k k k c b    thì các dãy ( kb ) và ( )kc có cùng giới hạn, là số Z duy nhất được chứa trong tất cả các khoảng. Quay lại với phép tính của Fermat nhằm xác định tiếp tuyến của đường cong my x , chúng ta có thể nói rằng “hệ số góc” 1ma mx  của tiếp tuyến tại điểm M là giới hạn của “hệ số góc” 1 (( ) )m mn n x h x h   (5) của một “ cát tuyến”, đường thẳng nối điểm M tới điểm trên đường cong với hoành độ nx h (và được xác định chỉ khi 0nh  ), đối với mỗi dãy ( nh ) các số khác không tiến đến 0. Trong dạng này, định nghĩa có thể áp dụng cho mỗi đường cong với phương trình ( )y f x , với điều kiện giới hạn của dãy 1 ( ( ) ( ))n n f x h f x h   (6) tồn tại và luôn bằng nhau, với mọi dãy ( nh ) các số khác không mà tiến đến 0. Người ta đã nhanh chóng nhận ra vào thế kỷ thứ 17, rằng phương pháp của Fermat có thể áp dụng được cho nhiều đường cong khác được biết lúc đó, ví dụ, cho đường cong 3 2 1x y  , sin , tan ,y x y x  v.v Đối với động hình học và Thang Long University Libraty 46 động lực học hiện đại ( được hình thành vào thời điểm đó nhờ các công trình của Galileo và Kepler), dựa vào cách “tiếp cận đến giới hạn” đã cung cấp một định nghĩa về “vận tốc tức thời” – một khái niệm cho đến lúc này mới chỉ được biết đến bằng trực quan, nhưng không được phát biểu chính xác. Không thể cho rằng bản đúc kết ngắn gọn này phản ánh được con đường mà tư tưởng toán học đã trải qua trong việc sáng tạo ra phép tính vô cùng bé trong suốt thế kỷ thứ 17: con đường chậm chạp, quanh co và dễ lạc lối. Trong biểu thức (5), cả tử số và mẫu số đều trở thành 0 khi chúng ta cho 0nh  , và biểu thức 0/0 là vô nghĩa. Các nhà toán học đã cố gắng tìm một lối thoát bằng cách, như Leibniz đã làm, nói về các “số vô cùng bé”, hoặc như Newton đã làm, về “giá trị cuối cùng của đại lượng triệt tiêu”, nhưng việc này chỉ để che đậy bằng lời nói thiếu sự chính xác của ý tưởng. Tuy nhiên, cho đến cuối thế kỷ, sự gia tăng việc quen với loại lý luận này và tính có lợi hiển nhiên của nó đã dẫn đến việc xây dựng cơ sở lý luận thông qua việc đưa ra những khái niệm và thuật toán chung. Giới hạn của biểu thức (6) xác định, khi x thay đổi, một hàm mới mà Newton gọi là “fluxion” của hàm số ( )y f x ( ông biến đổi từ chữ “fluent”) và ông đưa ra ký hiệu y ’ cho hàm số này, mà Leibniz đến lượt mình viết thành /dy dx . Về sau giới hạn của (6) được viết là '( )f x , và gọi là đạo hàm tại điểm x của hàm số ( )y f x . Đối với diện tích S của hình 20, người ta dùng thuật ngữ tích phân hàm số ( )y f x giữa a và b , và ký hiệu ( ) b a f t dt được sử dụng từ thời Fourier, lấy trực tiếp từ thuật ngữ do Leibniz sử dụng. Hơn nữa, thuật ngữ và ký hiệu đã được áp dụng cho các hàm số không nhất thiết dương trong khoảng I bằng coi là âm những phần diện tích nằm phía dưới trục OX . 47 Bước nhảy vọt lớn trong phép tính vô cùng bé đã được thực hiện nhờ một khám phá quan trọng về mối liên hệ giữa đạo hàm và tích phân. Điều này đã được rất nhiều nhà toán học thực hiện độc lập vào những năm 1660, bằng cách ít nhiều gây nhầm lẫn. Khi điểm x thay đổi trên khoảng I , công thức: ( ) ( ) x a F x f t dt  xác định một hàm số của x ; và, với những giả thiết đề ra ở trên, hàm số ( )y F x có tại mọi điểm x một đạo hàm bằng ( )f x (chúng ta nói rằng ( )F x là nguyên hàm của hàm số ( )f x ). Dễ dàng chứng minh được với 0h  , ta có (Hình 24) . ( ) ( ) . ( ) x h x h f x f t dt h f x h     ta có thể viết thành 1 0 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ),F x h F x f x f x h f x h        và do giả thuyết ( ) ( )f x h f x  nhỏ tuỳ ý cùng với h . Lập luận tương tự với trường hợp 0h  . Một khi một nguyên hàm ( )F x của một hàm số ( )f x được biết, thì tất cả những nguyên hàm khác là hàm số ( )F x C , ở đó C là một hằng số bất kỳ. Leibniz viết: ( )f x dx đối với một nguyên hàm tùy ý của ( )f x . Thang Long University Libraty 48 Hình 24 Kết quả cơ bản này cho phép chuyển từ tính chất của đạo hàm đến tính chất của tích phân, và ngược lại. Tóm lại, chúng ta nhận thấy rằng tất cả những ý tưởng hình học được mô tả ở trên, cũng giống như tất cả những ứng dụng hình học khác của giải tích cho đến tận giữa thế kỷ thứ 19, đều được dựa trên giả thiết không phát biểu được về độ dài của đường cong, diện tích của mặt và thể tích của một vật rắn. Chúng được gợi ý bởi “trực giác hình học”, mà trên thực tế là bởi những lược đồ đơn giản. Việc chuyển những khái niệm này thành “các đối tượng toán học” (theo quan điểm của Plato) đã gặp nhiều vấn đề khó khăn mà mãi tới thế kỉ thứ 19 và thế kỉ thứ 20 mới khắc phục được. Y X x + h h x f(x + h) f(x) 49 KẾT LUẬN Luận văn đã cố gắng trình bày lại sự phát triển của những tư tưởng toán học cơ bản: - Tư tưởng về chứng minh, bắt đầu từ những trường phải của Hy Lạp cổ đại - Phương pháp tiên đề: trong số học và hình học, từ Euclid đến Hilbert. - Quan niệm về số vô tỷ, sự hình thành việc xây dựng chính xác tập hợp số thực. - Phương pháp toạ độ. - Tư tưởng về xấp xỉ, sự ra đời của khái niệm vô cùng bé. - Phép tính giới hạn - Phép tính vi phân và tích phân. Việc tìm hiểu sự hình thành và phát triển của nhữn tư tưởng và phương pháp trong toán học giúp ta nhận thức rõ hơn về ý nghĩa, vai trò của toán học trong sự phát triển của xã hội loài người . Thang Long University Libraty 50 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Hà Huy Khoái – Bài giảng về Lịch sử và Triết học của toán học, ĐH Thăng Long 2014. 2) J.Dieudonné. Mathematics – the music of reason. Springer, 1992. 3) A. Irvine. Philosophy of Mathematics. North Holland Publishing House, 2009