Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor

Mục lục Trang Mục lục 1 Lời cảm ơn 2 Mở đầu 3 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . 6 1.1. Môđun Artin và đối ngẫu Matlis . 6 1.2. Biểu diễn thứ cấp . 8 1.3. Chiều Noether của môđun Artin 10 1.4. Hàm tử mở rộng và hàm tử xoắn 12 1.5. Dãy chính quy và độ sâu của môđun . 15 Chương 2. Dãy đối chính quy với chiều > s .17 2.1. Dãy đối chính quy 17 2.2. Dãy đối chính quy với chiều > s . 19 Chương 3. Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor .29 3.1. Độ rộng với chiều > s 29 3.2. Kết quả hữu hạn .34 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40

pdf43 trang | Chia sẻ: lvcdongnoi | Ngày: 26/01/2013 | Lượt xem: 1953 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
phÐp nh©n bëi s cho ta mét tù ®¼ng cÊu cña Γmj(A). Do ®ã Γmj(A) cã cÊu tróc tù nhiªn cña mét Rmj -m«®un vµ víi cÊu tróc nµy, mét tËp con cña Γmj(A) lµ mét R-m«®un con nÕu vµ chØ nÕu nã lµ Rmj -m«®un con. §Æc biÖt Amj ∼= Γmj(A), víi mäi j = 1, . . . , r. Cho (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng. Nh¾c l¹i r»ng ®Çy ®ñ theo t« p« m-adic cña R, ký hiÖu bëi R̂, lµ tËp c¸c líp t­¬ng ®­¬ng cña c¸c d·y Cauchy theo quan hÖ t­¬ng ®­¬ng x¸c ®Þnh bëi c¬ së l©n cËn cña phÇn tö 0 lµ c¸c i®ªan mt, t = 0, 1, 2, . . . R̂ ®­îc trang bÞ hai phÐp to¸n hai ng«i: phÐp céng, phÐp nh©n c¸c d·y Cauchy vµ cïng víi hai phÐp to¸n nµy, R̂ lµm thµnh mét vµnh. Mçi phÇn tö r ∈ R cã thÓ ®ång nhÊt víi líp t­¬ng ®­¬ng cña d·y Cauchy mµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö trong d·y ®Òu lµ r. MÖnh ®Ò 1.1.2. [18, Bæ ®Ò 1.11, HÖ qu¶ 1.12] Cho A lµ R-m«®un Artin kh¸c kh«ng trªn vµnh ®Þa ph­¬ng (R,m). Khi ®ã, A cã cÊu tróc tù nhiªn cña R̂-m«®un, trong ®ã R̂ lµ vµnh ®Çy ®ñ theo t«p« m-adic cña R vµ mäi tËp con cña A lµ R-m«®un con cña A nÕu vµ chØ nÕu nã lµ R̂-m«®un con cña A. Do ®ã, A cã cÊu tróc tù nhiªn cña R̂-m«®un Artin. Do cã cÊu tróc ®Æc biÖt nh­ vËy nªn ng­êi ta cã thÓ chuyÓn viÖc nghiªn cøu m«®un Artin trªn mét vµnh giao ho¸n bÊt k× vÒ viÖc nghiªn cøu trªn vµnh ®Þa ph­¬ng. H¬n n÷a, viÖc nghiªn cÊu tróc cña m«®un Artin trong mét sè tr­êng hîp cã thÓ chuyÓn vÒ nghiªn cøu trªn m«®un Noether nhê lý thuyÕt ®èi ngÉu Matlis. D­íi ®©y lµ mét sè tÝnh chÊt ®èi ngÉu Matlis hay ®­îc sö dông trong luËn v¨n. Cho (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, ®Çy ®ñ. §Æt E = E(R/m) lµ bao néi x¹ cña tr­êng thÆng d­ R/m. KÝ hiÖu D() = HomR(, E) tõ ph¹m trï CR c¸c R-m«®un vµ R-®ång cÊu vµo chÝnh nã. Víi mçi R-m«®unM , ®Æt µM : M −→ DD(M) = HomR(HomR(M,E), E) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 10 lµ R-®ång cÊu tù nhiªn cho bëi µM(x)(f) = f(x), víi mäi x ∈ M, vµ f ∈ Hom(M,E). Khi ®ã ta cã kÕt qu¶ sau (xem [18, §Þnh lý 2.1]). MÖnh ®Ò 1.1.3. (i) R-m«®un E lµ Artin. Víi mçi f ∈ HomR(E,E), tån t¹i duy nhÊt af ∈ R : f(x) = afx,∀x ∈ E. (ii) NÕu N lµ R-m«®un Noether, th× D(N) lµ Artin. (iii) NÕu A lµ R-m«®un Artin, th× D(A) lµ Noether. (iv) AnnM = AnnD(M), vµ nÕu M lµ R-m«®un sao cho `R(M) < ∞, th× `R(D(M)) = `R(M). Bæ ®Ò 1.1.4. Cho N lµ R-m«®un Noether, A lµ R-m«®un Artin vµ j ∈ N. Khi ®ã (i) D(N/IjN) ∼= (0 :D(N) Ij) vµ D(Ij−1N/IjN) ∼= (0 :D(N) Ij)/(0 :D(N) Ij−1); (ii) D(0 :A I j) ∼= D(A)/IjD(A) vµ D((0 :A I j)/(0 :A I j−1)) ∼= Ij−1D(A)/IjD(A). 1.2 BiÓu diÔn thø cÊp Lý thuyÕt biÓu diÔn thø cÊp ®­îc ®­a ra bëi I. G. Macdonald [9] ®­îc xem nh­ lµ ®èi ngÉu víi lý thuyÕt ph©n tÝch nguyªn s¬ quen biÕt cho c¸c m«®un Noether. §Þnh nghÜa 1.2.1. (i) Mét R-m«®un M ®­îc gäi lµ thø cÊp nÕu M 6= 0 vµ nÕu víi mäi x ∈ R, phÐp nh©n bëi x trªnM lµ toµn cÊu hoÆc luü linh. Trong tr­êng hîp nµy Rad(AnnRM) lµ i®ªan nguyªn tè, ch¼ng h¹n lµ p, vµ ta gäi M lµ p-thø cÊp. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 11 (ii) Cho M lµ R-m«®un. Mét biÓu diÔn thø cÊp cña M lµ mét ph©n tÝch M = N1 + . . .+Nn thµnh tæng h÷u h¹n c¸c m«®un con pi-thø cÊp Ni. NÕu M = 0 hoÆcM cã mét biÓu diÔn thø cÊp th× ta nãi M lµ biÓu diÔn ®­îc. BiÓu diÔn thø cÊp nµy ®­îc gäi lµ tèi thiÓu nÕu c¸c i®ªan nguyªn tè pi lµ ®«i mét kh¸c nhau vµ kh«ng cã h¹ng tö Ni nµo lµ thõa, víi mäi i = 1, . . . , n. DÔ thÊy r»ng mäi biÓu diÔn thø cÊp cña M ®Òu cã thÓ ®­a ®­îc vÒ d¹ng tèi thiÓu. Khi ®ã tËp hîp {p1, . . . , pn} lµ ®éc lËp víi viÖc chän biÓu diÔn thø cÊp tèi thiÓu cñaM vµ ®­îc gäi lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cñaM , kÝ hiÖu bëi AttRM . C¸c h¹ng tö Ni, i = 1, . . . , n, ®­îc gäi lµ c¸c thµnh phÇn thø cÊp cñaM . §Þnh lý 1.2.2. TËp AttRA chØ phô thuéc vµo A mµ kh«ng phô thuéc vµo biÓu diÔn thø cÊp tèi thiÓu cña A. H¬n n÷a ta cã c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t­¬ng ®­¬ng víi p lµ i®ªan nguyªn tè. (i) p ∈ AttRA. (ii) A cã m«®un th­¬ng lµ p-thø cÊp. (iii) A cã m«®un th­¬ng Q sao cho Rad(Q) = p. (iv) A cã m«®un th­¬ng Q sao cho p lµ phÇn tö tèi thiÓu trong tËp c¸c i®ªan nguyªn tè chøa AnnRQ. (v) A cã m«®un th­¬ng Q sao cho AnnRQ = p. MÖnh ®Ò 1.2.3. i) Cho M lµ mét R-m«®un biÓu diÔn ®­îc. Khi ®ã M 6= 0 khi vµ chØ khi AttRM 6= ∅. Trong tr­êng hîp nµy tËp c¸c i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu cña R chøa Ann(M) chÝnh lµ tËp c¸c phÇn tö tèi thiÓu cña AttRM. (ii) Cho 0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0 lµ d·y khíp c¸c R-m«®un biÓu diÔn ®­îc. Khi ®ã ta cã AttRM ′′ ⊆ AttRM ⊆ AttRM ′ ∪ AttRM ′′. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 12 Cho A lµ mét R-m«®un Artin. Khi ®ã, A lµ biÓu diÔn ®­îc vµ tËp AttRA lµ h÷u h¹n (xem [9, §Þnh lý 5.3]). H¬n n÷a, theo MÖnh ®Ò 1.1.2, A cã cÊu tróc tù nhiªn cña R̂-m«®un vµ víi cÊu tróc nµy mçi tËp con cñaA lµR-m«®un con nÕu vµ chØ nÕu nã lµ R̂-m«®un con. §iÒu nµy cho thÊy c¸c dµn m«®un con cña A xÐt nh­ R-m«®un vµ R̂-m«®un lµ nh­ nhau. Tõ ®ã ta cã c¸c kÕt qu¶ sau (xem [18, HÖ qu¶ 1.12, HÖ qu¶ 2.7]). MÖnh ®Ò 1.2.4. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ ®óng. (i) AttRA = {p̂ ∩R : p̂ ∈ AttR̂A}. (ii) NÕu R lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, ®Çy ®ñ, th× ta cã a) NÕu N lµ R-m«®un Noether, th× AttR(D(N)) = AssR(N). b) NÕu A lµ R-m«®un Artin, th× AssR(D(A)) = AttR(A). 1.3 ChiÒu Noether cña m«®un Artin Nh¾c l¹i r»ng mét d·y c¸c i®ªan nguyªn tè p0 ⊆ p1 ⊆ . . . ⊆ pn, trong ®ã pi 6= pi+1 ®­îc gäi lµ d·y nguyªn tè cã ®é dµi n. Khi ®ã chiÒu Krull cña vµnh R, ký hiÖu lµ dimR lµ cËn trªn cña ®é dµi cña c¸c d·y i®ªan nguyªn tè trong R. ChiÒu Krull cña m«®unM , ký hiÖu lµ dimM lµ cËn trªn cña c¸c sè n sao cho cã mét d·y nguyªn tè cã ®é dµi n trong SuppM . V×M lµ m«®un h÷u h¹n sinh nªn ta cã SuppM = V (AnnRM), do ®ã dimM = dimR/AnnRM = sup p∈AssM dim(R/p). Kh¸i niÖm ®èi ngÉu víi chiÒu Krull cho mét m«®un Artin ®­îc ®­a ra bëi R. N. Roberts [16] vµ sau ®ã D. Kirby [8] ®æi tªn thµnh chiÒu Noether ®Ó tr¸nh nhÇm lÉn víi chiÒu Krull ®· ®­îc ®Þnh nghÜa cho c¸c m«®un Noether. C¸c thuËt ng÷ vÒ chiÒu Noether ®­îc dïng trong luËn v¨n lµ theo [8]. §Þnh nghÜa 1.3.1. ChiÒu Noether cña m«®un ArtinA, ký hiÖu bëiN-dimRA, ®­îc ®Þnh nghÜa b»ng quy n¹p nh­ sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 13 Khi A = 0, ®Æt N-dimRA = −1. Víi A 6= 0, cho mét sè nguyªn d ≥ 0, ta ®Æt N-dimRA = d nÕu N-dimRA < d lµ sai vµ víi mçi d·y t¨ng A0 ⊆ A1 ⊆ . . . c¸c m«®un con cña A, tån t¹i sè nguyªn n0 sao cho N-dimR(An+1/An) < d, víi mäi n > n0. Tõ ®Þnh nghÜa trªn, ta thÊy r»ng mäi R-m«®un kh¸c kh«ngM lµ Noether khi vµ chØ khi N-dimRM = 0. Ta ®· biÕt r»ng ®èi víi mçi m«®un h÷u h¹n sinh M th× dimM = 0 nÕu vµ chØ nÕu M 6= 0 vµ `R(M) < ∞. Tõ §Þnh nghÜa 1.3.1 ta cã mét sè tÝnh chÊt sau vÒ chiÒu Noether. Bæ ®Ò 1.3.2. (i) N-dimRA = 0 nÕu vµ chØ nÕu A 6= 0 vµ `R(A) <∞. Trong tr­êng hîp nµy AttRA = {m}. H¬n n÷a, nÕu 0 −→ A′ −→ A −→ A′′ −→ 0 lµ d·y khíp c¸c R-m«®un Artin th× N-dimRA = max{N-dimRA′,N-dimRA′′}. (ii) N-dimRA 6 dimR/AnnRA = max{dimR/p : p ∈ AttRA} vµ tån t¹i m«®un Artin A sao cho N-dimRA < dimR/AnnRA. (iii) N-dimR̂A = dim R̂/AnnR̂A = max{dim R̂/p̂ : p̂ ∈ AttR̂A}. (iv) Cho (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng vµ A lµ R-m«®un Artin. Khi ®ã A cã cÊu tróc tù nhiªn cña R̂-m«®un Artin vµ ta cã N-dimRA = N-dimR̂A. ChÝnh v× vËy, ta cã thÓ viÕt N-dimA thay cho N-dimRA hoÆc N-dimR̂A. §· cã nhiÒu t¸c gi¶ nghiªn cøu cÊu tróc cña c¸c m«®un Artin A th«ng qua chiÒu Noether cña chóng vµ mét sè tÝnh chÊt cña chiÒu Noether cho m«®un Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 14 Artin ®­îc xem lµ ®èi ngÉu víi mét sè tÝnh chÊt cña chiÒu Krull cho m«®un h÷u h¹n sinh ®· ®­îc ®­a ra (xem [4], [8], [16],...). §Æc biÖt lµ kÕt qu¶ sau ®­îc R. N. Roberts [16, §Þnh lý 6] chøng minh cho tr­êng hîp vµnh tùa ®Þa ph­¬ng vµ sau ®ã ®­îc NguyÔn Tù C­êng vµ Lª Thanh Nhµn [4, §Þnh lý 2.6] chøng minh cho tr­êng hîp vµnh giao ho¸n bÊt kú. MÖnh ®Ò 1.3.3. `R(0 :A J n A) lµ mét ®a thøc víi hÖ sè h÷u tû khi n 0 vµ N-dimA = deg(`(0 :A J n A)) = inf{t : ∃x1, . . . , xt ∈ JA sao cho `(0 :A (x1, . . . , xt)R) <∞}, trong ®ã JA = ⋂ m∈SuppA m. 1.4 Hµm tö më réng vµ hµm tö xo¾n Môc nµy dµnh ®Ó nh¾c l¹i kh¸i niÖm vµ c¸c tÝnh chÊt cña m«®un Ext vµ Tor th­êng ®­îc dïng trong luËn v¨n (xem [10]). §Þnh nghÜa 1.4.1. Cho M,N lµ c¸c R-m«®un vµ n ≥ 0 lµ mét sè tù nhiªn. M«®un dÉn xuÊt ph¶i thø n cña hµm tö Hom(−, N) øng víi M ®­îc gäi lµ m«®un më réng thø n cñaM vµ N vµ ®­îc kÝ hiÖu lµ ExtnR(M,N). Cô thÓ, ®Ó x©y dùng ExtnR ta lÊy mét gi¶i x¹ ¶nh cñaM . . . −→ P2 u2−→ P1 u1−→ P0 −→M −→ 0. T¸c ®éng hµm tö Hom(−, N) vµo d·y khíp trªn ta cã ®èi phøc 0 −→ Hom(P0, N) u ∗ 1−→ Hom(P1, N) u ∗ 2−→ Hom(P2, N) −→ . . . Khi ®ã ExtnR(M,N) = Keru ∗ n+1/ Imu ∗ n lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu thø n cña ®èi phøc trªn (m«®un nµy kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän gi¶i x¹ ¶nh cña M ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 15 §Þnh nghÜa 1.4.2. Cho M,N lµ c¸c R-m«®un vµ n ≥ 0 lµ mét sè tù nhiªn. M«®un dÉn xuÊt tr¸i thø n cña hµm tö −⊗N øng víiM ®­îc gäi lµ m«®un xo¾n thø n cñaM vµN vµ ®­îc kÝ hiÖu lµ TorRn (M,N). Cô thÓ, ®Ó x©y dùng TorRn ta lÊy mét d¶i x¹ ¶nh cñaM . . . −→ P2 v2−→ P1 v1−→ P0 −→M −→ 0. T¸c ®éng hµm tö −⊗N vµo d·y khíp trªn ta cã phøc . . . −→ P2 ⊗N v ∗ 2−→ P1 ⊗N v ∗ 1−→ P0 ⊗N −→ 0. Khi ®ã TorRn (M,N) = Ker v ∗ n/ Im v ∗ n+1 lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu thø n cña phøc trªn (m«®un nµy kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän gi¶i x¹ ¶nh cñaM ). Sau ®©y lµ mét sè tÝnh chÊt c¬ së cña c¸c m«®un Ext vµ Tor th­êng ®­îc dïng trong luËn v¨n nµy. MÖnh ®Ò 1.4.3. (a)Ext0R(M,N) ∼= Hom(M,N) vµTorR0 (M,N) ∼= M⊗N . (b) NÕuM hoÆc N lµ x¹ ¶nh th× TorRn (M,N) = 0 víi mäi n ≥ 1. (c) NÕuM lµ x¹ ¶nh hoÆc N lµ néi x¹ th× ExtnR(M,N) = 0 víi mäi n ≥ 1. (d) NÕu 0 −→ N ′ −→ N −→ N ′′ −→ 0 lµ d·y khíp ng¾n th× tån t¹i c¸c ®ång cÊu nèi ExtnR(M,N ′′) −→ Extn+1R (M,N ′) víi mçi n ≥ 0 sao cho ta cã d·y khíp dµi 0 −→ Hom(M,N ′) −→ Hom(M,N) −→ Hom(M,N ′′) −→ Ext1R(M,N ′) −→ Ext1R(M,N) −→ Ext1R(M,N ′′) −→ Ext2R(M,N ′) −→ . . . (e) NÕu 0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0 lµ d·y khíp ng¾n th× tån t¹i c¸c ®ång cÊu nèi ExtnR(M ′, N) −→ Extn+1R (M ′′, N) víi mçi n ≥ 0 sao cho ta cã d·y khíp dµi 0 −→ Hom(M ′′, N) −→ Hom(M,N) −→ Hom(M ′, N) −→ Ext1R(M ′′, N) −→ Ext1R(M,N) −→ Ext1R(M ′, N) −→ Ext2R(M ′′, N) −→ . . . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 16 (g) NÕu 0 −→ N ′ −→ N −→ N ′′ −→ 0 lµ d·y khíp ng¾n th× tån t¹i c¸c ®ång cÊu nèi TorRn (M,N ′′) −→ TorRn−1(M,N ′) víi mçi n ≥ 0 sao cho ta cã d·y khíp dµi . . . −→ TorRn (M,N ′) −→ TorRn (M,N) −→ TorRn (M,N ′′) −→ TorRn−1(M,N ′) −→ TorRn−1(M,N) −→ TorRn−1(M,N ′′) . . . −→ TorR1 (M,N ′′) −→ (M ⊗N ′) −→ (M ⊗N) −→ (M ⊗N ′′) −→ 0. HÖ qu¶ 1.4.4. NÕu M,N h÷u h¹n sinh th× ExtnR(M,N) vµ Tor R n (M,N) lµ h÷u h¹n sinh víi mäi n. KÕt qu¶ d­íi ®©y cho ta tÝnh chÊt giao ho¸n gi÷a m«®un Ext, Tor víi hµm tö ®Þa ph­¬ng hãa vµ sù t­¬ng ®­¬ng gi÷a hai hµm tö Ext vµ Tor trªn vµnh ®Þa ph­¬ng ®Çy ®ñ. MÖnh ®Ò 1.4.5. (i) NÕu S lµ tËp ®ãng nh©n cña R th× ta cã c¸c ®¼ng cÊu S−1(ExtnR(M,N)) ∼= ExtnS−1R(S−1M,S−1N), S−1(TorRn (M,N)) ∼= TorS −1R n (S −1M,S−1N), trong ®ã S−1 lµ hµm tö ®Þa ph­¬ng hãa. §Æc biÖt, (ExtnR(M,N))p ∼= ExtnRp(Mp, Np), (TorRn (M,N))p ∼= TorRpn (Mp, Np) víi mäi i®ªan nguyªn tè p cña R. (ii) Cho I lµ i®ªan cña R. Khi ®ã Exti R̂ (R̂/IR̂,D(A)) ∼= TorR̂i (R̂/IR̂, A), víi mäi sè nguyªn i ≥ 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 17 1.5 D·y chÝnh quy vµ ®é s©u cña m«®un D·y chÝnh quy lµ mét trong nh÷ng d·y c¬ b¶n cña ®¹i sè giao ho¸n mµ th«ng qua ®ã ng­êi ta cã thÓ ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm ®é s©u - mét bÊt biÕn rÊt quan träng ®Ó nghiªn cøu cÊu tróc cña m«®un (xem [10]). §Þnh nghÜa 1.5.1. Cho R lµ vµnh giao ho¸n Noether vµM lµ R-m«®un kh¸c 0. Mét phÇn tö 0 6= a ∈ R ®­îc gäi lµ phÇn tö M - chÝnh quy nÕu M 6= aM vµ a kh«ng lµ ­íc cña 0 trong M . D·y c¸c phÇn tö (a1, . . . , an) ∈ R ®­îc gäi lµM - d·y chÝnh quy nÕu (a)M/(a1, . . . , an)M 6= 0. (b) ai lµ phÇn töM/(a1, . . . , ai−1)M -chÝnh quy, víi mäi i = 1, . . . , n. D·y c¸c phÇn tö (a1, . . . , an) ∈ R ®­îc gäi lµ M - d·y chÝnh quy nghÌo nÕu nã chØ tháa m·n ®iÒu kiÖn (b) trong ®Þnh nghÜa trªn. Cho I lµ i®ªan cña R sao cho M 6= IM . Khi ®ã mçi d·y chÝnh quy cña M trong I ®Òu cã thÓ më réng thµnh d·y chÝnh quy tèi ®¹i trong I , vµ c¸c d·y chÝnh quy tèi ®¹i cñaM trong I cã chung ®é dµi. §é dµi chung nµy ®­îc gäi lµ ®é s©u cñaM trong I vµ ®­îc kÝ hiÖu lµ depth(I,M). NÕuM = IM th× ta quy ­íc depth(I,M) =∞. Chó ý 1.5.2. (i) Gi¶ sö M lµ h÷u h¹n sinh. Khi ®ã (a1, . . . , an) ∈ R lµ M -d·y chÝnh quy khi vµ chØ khi ai /∈ p,∀p ∈ AssRM/(a1, . . . , ai−1)M. (ii) NÕu R lµ vµnh ®Þa ph­¬ng víi i®ªan cùc ®¹i m th× theo bæ ®Ò Nakayama mäi d·y (a1, . . . , an) ∈ m ®Òu tháa m·n ®iÒu kiÖn M/(a1, . . . , an)M 6= 0, do ®ã nã lµM -d·y chÝnh quy khi vµ chØ khi nã tháa m·n ®iÒu kiÖn (b) trong ®Þnh nghÜa trªn. Trong tr­êng hîp nµy, ®é s©u cña M trong m gäi lµ ®é s©u cñaM vµ kÝ hiÖu lµ depthM. (iii) NÕu (a1, . . . , an) lµ M -d·y chÝnh quy trong I th× (a t1 1 , . . . , a tn n ) còng lµ M -d·y chÝnh quy trong I víi mäi sè nguyªn d­¬ng t1, . . . , tn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 18 TiÕp theo ta ®­a ra mét sè tÝnh chÊt cña depth(I,M) hay ®­îc dïng trong luËn v¨n. §Þnh lÝ sau chØ ra quan hÖ gi÷a ®é s©u cña m«®un vµ chiÒu cña nã. §Þnh lý 1.5.3. Cho (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng Noether vµ M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh. Khi ®ã ta cã depth(M) 6 dim(M). Ta ®· biÕt r»ng víi I lµ i®ªan cña R th× m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng thø i H iI(M) cñaM øng víi i®ªan I ®­îc ®Þnh nghÜa bëi H iI(M) = R i(ΓI(M)), trong ®ã ΓI(M) lµ m«®un con I-xo¾n cña M . MÖnh ®Ò sau ®©y cho ta ®Æc tr­ng cña ®é s©u qua tÝnh kh«ng triÖt tiªu cña m«®un Ext vµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng. MÖnh ®Ò 1.5.4. Cho I lµ i®ªan cña R. (i) Ta cã c¸c ®¼ng thøc sau depth(I,M) = inf{i | ExtiR(R/I,M) 6= 0} = inf{i | H iI(R/I,M) 6= 0}. (ii) Gi¶ sö depth(I,M) = t. Khi ®ã AssR(Ext t R(R/I,M)) = AssR(H t I(M)). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 19 Ch­¬ng 2 D·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s Trong toµn bé ch­¬ng nµy, ta vÉn gi¶ thiÕt (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, I lµ i®ªan cña R vµ A lµ R-m«®un Artin víi chiÒu Noether N-dimRA = d. Kh¸i niÖm A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s ®· ®­îc ®­a ra bëi L. T. Nhan vµ N. V. Hoang trong [14] nh­ lµ mét sù më réng cña kh¸i niÖm d·y ®èi chÝnh quy ®­a ra bëi A. Ooishi [15] vµ th«ng qua kh¸i niÖm nµy hä ®· chøng minh mét kÕt qu¶ h÷u h¹n cho tËp c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Artin. Trong ch­¬ng nµy, kh¸i niÖm A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s còng ®­îc tiÕp tôc sö dông ®Ó ®Æc tr­ng cho chiÒu Krull cña c¸c m«®un TorRi (R/I,A) cña A. 2.1 D·y ®èi chÝnh quy Kh¸i niÖm d·y ®èi chÝnh quy cho mét m«®un tuú ý ®­îc nghiªn cøu bëi A. Ooishi [15], ë ®ã «ng ®· ®­a ra mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña d·y ®èi chÝnh quy khi m«®un lµ Artin. C¸c kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt nµy theo mét nghÜa nµo ®ã ®èi ngÉu víi c¸c kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña d·y chÝnh quy cho m«®un h÷u h¹n sinh trªn vµnh Noether. §Þnh nghÜa 2.1.1. Cho M lµ mét R-m«®un tuú ý. Mét d·y c¸c phÇn tö x1, . . . , xr trong R ®­îc gäi lµ d·y ®èi chÝnh quy cña M (hay M -d·y ®èi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 20 chÝnh quy) nÕu tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau. (i) (0 :M (x1, . . . , xr)R) 6= 0. (ii) xi(0 :M (x1, . . . , xi−1)R) = (0 :M (x1, . . . , xi−1)R), víi 1 6 i 6 r. §Æc biÖt, phÇn tö x ∈ R ®­îc gäi lµ phÇn töM -®èi chÝnh quy nÕu 0 :M x 6= 0 vµ xM = M. Cho A lµ R-m«®un Artin vµ I lµ mét i®ªan cña R sao cho (0 :A I) 6= 0. Khi ®ã ®é dµi cña mçi A-d·y ®èi chÝnh quy trong I lµ h÷u h¹n vµ hai d·y ®èi chÝnh quy tèi ®¹i trong I cã chung ®é dµi. V× thÕ ta cã ®Þnh nghÜa sau. §Þnh nghÜa 2.1.2. §é réng cña A trong I , ký hiÖu lµ WidthI A (hoÆc Width(I, A) ), lµ ®é dµi cña mét A-d·y ®èi chÝnh quy tèi ®¹i trong I . §Æc biÖt, nÕu I = m th× ta gäiWidthmA lµ ®é réng cña A trong m vµ ký hiÖu lµ WidthA. Chó ý 2.1.3. (i) §èi víi m«®un Artin A kh¸c kh«ng trªn vµnh giao ho¸n R, nÕu c¸c phÇn tö x1, . . . , xr ∈ m, th× theo tÝnh chÊt cña m«®un Artin ®iÒu kiÖn (0 :A (x1, . . . , xr)R) 6= 0 trong §Þnh nghÜa 2.1.1 lu«n ®­îc tho¶ m·n. (ii) NÕu x ∈ m lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy th× ta cã c«ng thøc vÒ chiÒu Noether N-dim(0 :A xR) = N-dimA− 1. Do ®ã, mçi A-d·y ®èi chÝnh quy lµ mét phÇn hÖ tham sè cña A vµ v× thÕ Width(A) 6 N-dimA. (iii) Mét d·y c¸c phÇn tö (x1, . . . , xr) ∈ R lµ A-d·y ®èi chÝnh quy nÕu vµ chØ nÕu xi /∈ p,∀p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) víi mäi i = 1, . . . , r. MÖnh ®Ò 2.1.4. Cho I lµ i®ªan cña R. Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (1) Tån t¹i phÇn tö A-®èi chÝnh quy trong I. (2) A⊗R R/I = 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 21 C¸c kÕt qu¶ sau ®©y cho thÊy ®èi víi mçi m«®un Artin A, sù tån t¹i cña mét A-d·y ®èi chÝnh quy cã liªn quan chÆt chÏ ®Õn c¸c m«®un con xo¾n cña chóng. MÖnh ®Ò 2.1.5. Cho I lµ i®ªan cñaR vµ (x1, . . . , xn) lµ métA-d·y ®èi chÝnh quy trong I . Khi ®ã (1) TorRi (R/I,A) = 0 víi mäi i < n. (2) TorRn (R/I,A) ∼= 0 :A (x1, . . . , xn)⊗R R/I. §Þnh lý 2.1.6. Cho I lµ i®ªan cña R vµ A lµ R-m«®un Artin. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (1) TorRi (R/I,A) = 0 víi mäi i < n. (2) Tån t¹i A-d·y ®èi chÝnh quy (x1, . . . , xn) trong I. Gi¶ sö I lµ i®ªan cña R sao cho (0 :A I) 6= 0. Tõ c¸c kÕt qu¶ trªn ta cã ngay tÝnh chÊt lµ ®é réng cña A trong I lu«n h÷u h¹n vµ ®­îc tÝnh b»ng c«ng thøc WidthI(A) = inf{n ≥ 0 | TorRn (R/I,A) 6= 0}. 2.2 D·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s Cho I lµ i®ªan cña R vµ s ≥ −1 lµ mét sè nguyªn. Tr­íc hÕt ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s ®­îc ®­a ra trong [14]. §Þnh nghÜa 2.2.1. [14, §Þnh nghÜa 2.4], mét d·y c¸c phÇn tö (x1, . . . , xk) trong m ®­îc gäi lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s nÕu xi /∈ p víi mäi i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) tho¶ m·n dim(R/p) > s, víi mäi i = 1, . . . , k. Chó ý r»ng A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > −1 chÝnh lµ A-d·y ®èi chÝnh quy ®· ®­îc ®Þnh nghÜa bëi A. Ooishi [15]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 22 Bæ ®Ò 2.2.2. Gi¶ sö x lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. Khi ®ã dim(A/xA) 6 s. Chøng minh. Cho A = A1 + · · · + At lµ biÓu diÔn thø cÊp tèi thiÓu cña A, trong ®ã Ai lµ pi-thø cÊp. Theo gi¶ thiÕt x lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s nªn x /∈ pi víi mäi i tho¶ m·n dim(R/pi) > s. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, ta cã thÓ ®¸nh sè l¹i sao cho c¸c m«®un con thø cÊp A1, . . . , Ai−1 tháa m·n dim(R/pk) 6 s vµ Ai, . . . , At tháa m·n dim(R/pj) > s, víi mäi k = 1, . . . , i− 1 vµ j = i, . . . , t. Khi ®ã xAj = Aj víi mäi j = i, . . . , t. V× thÕ ta cã ®¼ng cÊu sau A/xA = (A1 + · · ·+ At)/xA1 + · · ·+ xAt ∼= (A1 + · · ·+ Ai−1)/(xA1 + · · ·+ xAi−1) ∩ (Ai + · · ·+ At). Suy ra dim(A/xA) 6 s. Bæ ®Ò 2.2.3. Gi¶ sö r»ng dim(A/IA) 6 s. Khi ®ã tån t¹i mét A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I. Chøng minh. Gi¶ sö tån t¹i p ∈ AttRA sao cho I ⊆ p vµ dim(R/p) > s. V× p ∈ AttRA, nªn theo §Þnh lÝ 1.2.2 tån t¹i m«®un th­¬ng A/B 6= 0 cña A lµ p-thø cÊp. Do A/B lµ p-thø cÊp vµ p lµ i®ªan h÷u h¹n sinh nªn theo §Þnh lÝ 1.2.2 ph¶i tån t¹i sè nguyªn n sao cho pn(A/B) = 0. V× I ⊆ p, nªn suy ra In(A/B) = 0. Nh­ng l¹i do A/B 6= 0 vµ In(A/B) = 0, nªn ta ph¶i cã I(A/B) 6= A/B, v× nÕu ng­îc l¹i I(A/B) = A/B th× I(I(A/B)) = I(A/B) = A/B, do ®ã I2(A/B) = A/B, . . . , In(A/B) = A/B 6= 0, v« lý. VËy suy ra A 6= IA + B. Do ®ã m«®un th­¬ng A/(B + IA) cña A/B còng kh¸c 0, nªn còng lµ p-thø cÊp. Theo Bæ ®Ò 1.3.2 ta cã dim(A/(B + IA)) = dim(R/p) > s. §iÒu nµy dÉn ®Õn dim(A/IA) ≥ dim(A/(B + IA) > s, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 23 m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. V× vËy I 6⊆ p víi mäi p ∈ AttRA tho¶ m·n dim(R/p) > s. Do ®ã tån t¹i x ∈ I sao cho x /∈ p víi mäi p ∈ AttRA tháa m·n dim(R/p) > s. Suy ra x lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I . Nh­ ®· biÕt, nÕu R̂ lµ vµnh ®Þa ph­¬ng ®Çy ®ñ th× ®èi ngÉu Matlis cho ta mét t­¬ng ®­¬ng gi÷a ph¹m trï c¸c m«®un Artin vµ ph¹m trï c¸c m«®un Noether. Ch¼ng h¹n, AttR̂A = AssR̂D(A), N-dimA = dimR̂D(A) vµ WidthRA = depthR̂D(A). Tuy nhiªn, nÕu R kh«ng lµ vµnh ®Çy ®ñ th× viÖc chøng minh ®ßi hái ph¶i hÕt søc cÈn thËn. KÕt qu¶ sau ®©y, ®· ®­îc chøng minh trong [14, Bæ ®Ò 2.5] mµ kü thuËt chÝnh lµ chuyÓn lªn vµnh ®Çy ®ñ, sau ®ã sö dông ®èi ngÉu Matlis vµ ®Þa ph­¬ng ho¸ lµ bæ ®Ò cã tÝnh chÊt kü thuËt cho viÖc chøng minh c¸c kÕt qu¶ tiÕp theo cña ch­¬ng. Bæ ®Ò 2.2.4. Mét d·y (x1, . . . , xk) c¸c phÇn tö cña m lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s nÕu vµ chØ nÕu (x1, . . . , xk) lµD(A)p̂-d·y chÝnh quy nghÌo víi mäi p̂ ∈ Var(AnnR̂A) tho¶ m·n dim(R/p̂∩R) > s, trong ®ã xi lµ ¶nh cña xi trong R̂p̂ víi i = 1, . . . , k. Chøng minh. Cho (x1, . . . , xk) lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. Gi¶ sö r»ng tån t¹i p̂ ∈ Var(AnnR̂A) tho¶ m·n dim(R/p̂ ∩ R) > s sao cho (x1, . . . , xk) kh«ng lµ d·y chÝnh quy nghÌo cña (D(A))p̂. Khi ®ã, theo §Þnh nghÜa 1.5.1 tån t¹i j ∈ {1, . . . , k} sao cho xj ∈ q̂R̂p̂ víi q̂R̂p̂ ∈ AssR̂p̂(D(A))p̂/(x1, . . . , xj−1)(D(A))p̂). Chó ý r»ng theo Bæ ®Ò 1.1.4, ta cã (D(A))p̂/((x1, . . . , xj−1)D(A))p̂ ∼= ( D(A)/(x1, . . . , xj−1)D(A) ) p̂ ∼= ( D(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) ) p̂ (∗) lµ R̂p̂-m«®un h÷u h¹n sinh. V× thÕ q̂ ∈ AssR̂ ( D(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) ) vµ v× vËy xj ∈ q̂ ∈ AttR̂(0 :A (x1, . . . , xj−1)R). Theo MÖnh ®Ò 1.2.4 ta cã Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 24 xj ∈ q̂ ∩ R ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) . Chó ý r»ng qˆ ⊆ pˆ cho nªn dim(R/q̂ ∩ R) ≥ dim(R/p̂ ∩ R) > s. §iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt (x1, . . . , xk) lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. Ng­îc l¹i, cho (x1, . . . , xk) lµ d·y chÝnh quy nghÌo cña (D(A))p̂, víi mäi p̂ ∈ Var(AnnR̂A) tho¶ m·n dim(R/p̂ ∩ R) > s. Gi¶ sö r»ng (x1, . . . , xk) kh«ng lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. Theo §Þnh nghÜa 2.1.1 ph¶i tån t¹i chØ sè j sao cho xj ∈ p víi p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) tháa m·n dim(R/p) > s. Tõ MÖnh ®Ò 1.2.4, tån t¹i q̂ ∈ AttR̂(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) sao cho q̂∩R = p. Suy ra q̂ ∈ AssR̂ ( D(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) ) (theo MÖnh ®Ò 1.2.4). L¹i theo Bæ ®Ò 1.1.4 ta cã ®¼ng cÊu (*) nh­ ë trªn, ®iÒu nµy dÉn ®Õn xj ∈ q̂R̂q̂ ∈ AssR̂q̂ ( (D(A))q̂/(x1, . . . , xj−1)(D(A))q̂ ) . Do ®ã theo ®Þnh nghÜa th× x1, . . . , xk kh«ng lµ d·y chÝnh quy nghÌo cña (D(A))q̂ víi dim(R/q̂∩R) = dim(R/p) > s, ®iÒu nµy dÉn ®Õn m©u thuÉn, v× vËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. KÕt qu¶ tiÕp theo lµ sù më réng cña [15, MÖnh ®Ò 3.6], [15, §Þnh lý 3.9] víi kü thuËt chÝnh ®Ó chøng minh lµ sö dông kÕt qu¶ cña Bæ ®Ò 2.2.4 vµ tÝnh chÊt δ-hµm tö ®ång ®iÒu cña hµm tö xo¾n Tor, tÝnh chÊt chiÒu Krull cña d·y khíp c¸c m«®un céng víi mèi liªn hÖ gi÷a tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña m«®un më réng Ext vµ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un xo¾n Tor trªn vµnh ®Þa ph­¬ng ®Çy ®ñ. Bæ ®Ò 2.2.5. Cho n ≥ 0 lµ mét sè nguyªn. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (i) dim(TorRi (R/I,A)) 6 s víi mäi i < n. (ii) Tån t¹i A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã ®é dµi n. Chøng minh. (i)⇒(ii). Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 25 Cho n = 1. Khi ®ã dim(TorR0 (R/I,A)) 6 s. Tõ ®¼ng cÊu TorR0 (R/I,A) ∼= A/IA nªn dim(A/IA) 6 s. Theo Bæ ®Ò 2.2.3 tån t¹i phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I . Cho n > 1 vµ gi¶ sö r»ng kÕt qu¶ ®· ®óng cho tr­êng hîp n− 1. Khi ®ã tån t¹i phÇn tö x1 ∈ I lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s theo Bæ ®Ò 2.2.3. Tõ hai d·y khíp 0 −→ 0 :A x1 −→ A x1−→ x1A −→ 0 0 −→ x1A −→ A −→ A/x1A −→ 0, ¸p dông tÝnh chÊt δ-hµm tö ®ång ®iÒu cña hµm tö Tor ta cã c¸c d·y khíp sau TorRi+1(R/I, x1A) −→ TorRi (R/I, 0 :A x1) −→ TorRi (R/I,A); TorRi+1(R/I,A/x1A) −→ TorRi (R/I, x1A) −→ TorRi (R/I,A) −→ TorRi (R/I,A/x1A). V× x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s nªn theo Bæ ®Ò 2.2.2 ta cã dim(A/x1A) 6 s. Do ®ã dim(TorRi (R/I,A/x1A)) 6 s víi mäi i. V× thÕ tõ d·y khíp thø hai ta cã dim(TorRi (R/I, x1A)) 6 s, ¸p dông kÕt qu¶ nµy vµo d·y khíp thø nhÊt vµ tõ gi¶ thiÕt (i) ta cã dim(TorRi (R/I, 0 :A x1)) 6 s víi mäi i < n−1. Theo gi¶ thiÕt quy n¹p, ph¶i tån t¹i d·y c¸c phÇn tö x2, . . . , xn lµ 0 :A x1-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã ®é dµi n− 1. V× vËy x1, . . . , xn lµ mét A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã ®é dµi n. (ii)⇒(i). Cho x1, . . . , xn lµA-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu> s trong I. Ta cÇn chøng minh r»ng dim(TorRi (R/I,A)) 6 s víi mäi i < n. Gi¶ sö tån t¹i k s. Khi ®ã, theo Bæ ®Ò 1.3.2, tån t¹i c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt p ∈ AttR(TorRk (R/I,A)) sao cho dim(R/p) > s. Theo MÖnh ®Ò 1.2.4, tån t¹i p̂ ∈ AttR̂(TorRk (R/I,A)) sao cho p̂∩R = p. V× p ∈ AttR(TorRk (R/I,A)), ta cã p ⊇ AnnR(TorRk (R/I,A)) theo MÖnh ®Ò 1.2.3. Do ®ã IR̂ ⊆ p̂. V× dim(R/(p̂ ∩ R)) = dim(R/p) > s vµ x1, . . . , xn lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I , nªn theo Bæ ®Ò 2.2.4 ta cã Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 26 x1, . . . , xn lµ D(A)p̂-d·y chÝnh quy nghÌo, trong ®ã xi lµ ¶nh cña xi trong R̂p̂. V× vËy, theo MÖnh ®Ò 1.5.4, ta cã Exti R̂p̂ (R̂p̂/IR̂p̂, D(A)p̂) = 0 víi mäi i < n. Do ®ã, theo MÖnh ®Ò 1.4.5 p̂ /∈ SuppR̂ ExtiR̂(R̂/IR̂,D(A)) = Var(AnnR̂(ExtiR̂(R̂/IR̂,D(A))) = Var(AnnR̂(Tor R̂ i (R̂/IR̂, A))) = Var(AnnR̂(Tor R i (R/I,A))) víi mäi i < n. Theo MÖnh ®Ò 1.2.3 ta cã p̂ /∈ AttR̂(TorRk (R/I,A)), ®iÒu nµy v« lý. V× vËy, dim(TorRi (R/IR,A)) 6 s víi mäi i < n. Nh¾c l¹i r»ng ®èi víi mçi R-m«®un h÷u h¹n sinh M ta xÐt mét tÝnh chÊt c¬ b¶n sau: Gi¶ sö p lµ i®ªan nguyªn tè cña R chøa AnnRM . Khi ®ã p ∈ SuppRM vµ do ®ãMp 6= 0. Theo Bæ ®Ò Nakyama ta suy ra (M/pM)p = Mp/pMp 6= 0. Do ®ã p ∈ Supp(M/pM), nghÜa lµ p ⊇ AnnR(M/pM). V× vËy ta lu«n cã tÝnh chÊt AnnR(M/pM) = p, víi mäi i®ªan nguyªn tè chøa AnnRM . Mét c©u hái tù nhiªn ®­îc ®Æt ra lµ liÖu cã mét tÝnh chÊt t­¬ng tù nh­ vËy cho mäi m«®un Artin trªn vµnh giao ho¸n bÊt kú hay kh«ng, nghÜa lµ nÕu ký hiÖu V (AnnRA) lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè cña R chøa AnnRA th× liÖu r»ng cã ®¼ng thøc AnnR(0 :A p) = p,∀p ∈ V (AnnRA) hay kh«ng. C©u tr¶ lêi cho c©u hái nµy nh×n chung kh«ng ®óng víi mäi p ∈ Var(AnnRA), (xem [4, VÝ dô 4.3]), vµ líp m«®un tho¶ m·n tÝnh chÊt trªn ®­îc gäi lµ tÝnh chÊt (∗) hay tÝnh chÊt linh ho¸ tö. Bæ ®Ò sau cho ta tÝnh chÊt linh ho¸ tö cña c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Artin. Bæ ®Ò 2.2.6. Cho p ∈ AttRA. Khi ®ã AnnR(0 :A p) = p. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 27 Chøng minh. V× p ∈ AttRA nªn theo MÖnh ®Ò 1.2.4, tån t¹i p̂ ∈ AttR̂A sao cho p̂ ∩ R = p. H¬n n÷a, tõ p̂ ∈ Var(AnnR̂A), ta suy ra p̂ ⊇ AnnR̂A. Mµ ta l¹i cã AnnR̂A = AnnR̂D(A) theo MÖnh ®Ò 1.1.3 nªn p̂ ⊇ AnnR̂D(A). Do ®ã p̂ ⊇ Var(AnnR̂D(A)) suy ra AnnR̂ ( D(A)/p̂D(A) ) = p̂. Theo Bæ ®Ò 1.1.4 ta cã AnnR̂(0 :A p̂) = p̂. Do ®ã p ⊆ AnnR(0 :A p) ⊆ AnnR̂(0 :A p̂) ∩R = p̂ ∩R = p. V× vËy, Ann(0 :A p) = p §Þnh lý sau lµ kÕt qu¶ chÝnh cña ch­¬ng cho ta mét tÝnh chÊt thó vÞ vÒ sù lu«n tån t¹i A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s vµ sù më réng chóng thµnh d·y cã ®é dµi tèi ®¹i, ®Æc biÖt ®Æc tr­ng ®­îc ®é dµi tèi ®¹i cña A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s th«ng qua chiÒu Krull cña m«®un xo¾n Tor cña A. §Ó chøng minh ®Þnh lý nµy, ngoµi viÖc ¸p dông c¸c tÝnh chÊt cña d·y ®èi chÝnh quy vµ chiÒu Krull th× tÝnh chÊt linh ho¸ tö trong Bæ ®Ò 2.2.6 còng ®ãng mét vai trß rÊt quan träng. §Þnh lý 2.2.7. Cho I lµ mét i®ªan cña R. (i) NÕu dimR(0 :A I) 6 s th× víi mçi sè nguyªn n > 0 lu«n tån t¹i mét A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã ®é dµi n. (ii) NÕu dimR(0 :A I) > s th× mçi A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã thÓ më réng ®­îc thµnh d·y cã ®é dµi tèi ®¹i vµ tÊt c¶ c¸c A-d·y ®èi chÝnh quy tèi ®¹i víi chiÒu > s trong I ®Òu cã chung ®é dµi, h¬n n÷a ®é dµi chung ®ã chÝnh lµ sè nguyªn i nhá nhÊt sao cho dimR(Tor R i (R/I,A)) > s. Chøng minh. (i). Cho n > 0 lµ mét sè nguyªn. Ta sÏ chøng minh b»ng quy n¹p theo n r»ng tån t¹i mét d·y c¸c phÇn tö trong i®ªan I lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s cã ®é dµi n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 28 Cho n = 1 vµ p ∈ AttRA sao cho dim(R/p) > s. Khi ®ã theo Bæ ®Ò 2.2.6 ta cã AnnR(0 :A p) = p. V× thÕ nÕu I ⊆ p th× (0 :A I) ⊇ (0 :A p) vµ do ®ã dimR(0 :A I) ≥ dimR(0 :A p) = dim(R/AnnR(0 :A p)) = dim(R/p) > s, (theo Bæ ®Ò 1.3.2) m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt dimR(0 :A I) 6 s. VËy suy ra I 6⊆ p víi mäi p ∈ AttRA tho¶ m·n dim(R/p) > s. Do ®ã tån t¹i phÇn tö x1 ∈ I sao cho x1 /∈ p víi mäi p ∈ AttRA tho¶ m·n dim(R/p) > s hay nãi c¸ch kh¸c x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I. Cho n > 1 vµ gi¶ sö r»ng tån t¹i d·y x1, . . . , xn−1 c¸c phÇn tö trong I lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. Cho i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) sao cho dim(R/p) > s. Khi ®ã theo Bæ ®Ò 2.2.6 ta cã AnnR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R p) = p. V× vËy nÕu I ⊆ p th× dimR(0 :A I) = dimR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R I) ≥ dimR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R p) = dim(R/AnnR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R p)) = dim(R/p) > s, m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. Do ®ã tån t¹i xn ∈ I sao cho xn /∈ p víi mäi p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) tho¶ m·n dim(R/p) > s, vµ d·y x1, . . . , xn lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã ®é dµi n. (ii). §Æt dimRA = dim(R/AnnRA) = d. V× (0 :A I) ⊆ A nªn ta cã thÓ gi¶ sö r»ng dimR(0 :A I) = d−k > s, trong ®ã k ≥ 0 lµ mét sè nguyªn. Ta sÏ chØ ra r»ng mçiA-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu> s trong I cã ®é dµi nhiÒu nhÊt lµ k. ThËt vËy, gi¶ sö ®iÒu ng­îc l¹i. Khi ®ã tån t¹i d·y x1, . . . , xk+1 c¸c phÇn tö trong I lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. Tr­íc hÕt, ta chøng minh b»ng quy n¹p theo n = 1, . . . , k+1 r»ng dimR(0 :A (x1, . . . , xn)R) 6 d−n. Cho n = 1 vµ p ∈ Var(AnnRA) sao cho dim(R/p) = d. Khi ®ã p ∈ AttRA theo MÖnh ®Ò 1.2.3. V× d ≥ d− k > s vµ x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 29 chiÒu > s, nªn suy ra x1 /∈ p theo §Þnh nghÜa 2.2.1. Do ®ã theo Bæ ®Ò 1.3.2 dimR(0 :A x1) = dim(R/Ann(0 :A x1)) 6 dim(R/(x1R+AnnRA)) = d−1, v× thÕ kh¼ng ®Þnh ®óng cho tr­êng hîp n = 1. Cho n > 1 vµ gi¶ sö r»ng kh¼ng ®Þnh ®· ®óng cho tr­êng hîp n− 1, nghÜa lµ dimR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) = t 6 d− n+ 1. V× dimR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) ≥ dimR(0 :A I) nªn ta cã t ≥ d − k > s. V× xn lµ phÇn tö 0 :A (x1, . . . , xn−1)R-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s, nªn theo MÖnh ®Ò 1.2.3 suy ra xn /∈ p víi mäi p ∈ Var(AnnR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R)) tho¶ m·n dim(R/p) = t. V× thÕ dimR(0 :A (x1, . . . , xn)R) = dim ( R/Ann(0 :A (x1, . . . , xn)R) ) 6 dim ( R/(xnR + AnnR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R)) ) = t− 1 6 d− n, vµ kh¼ng ®Þnh ®­îc chøng minh. B©y giê, dïng kh¼ng ®Þnh trªn cho tr­êng hîp n = k + 1 ta cã d− k = dimR(0 :A I) 6 dimR(0 :A (x1, . . . , xk+1)R) 6 d− k − 1. §iÒu nµy v« lý. V× vËy, ®é dµi cña mét A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I nhiÒu nhÊt lµ k. Do ®ã, mçi mét A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã thÓ më réng ®­îc thµnh d·y tèi ®¹i. Cho x1, . . . , xm vµ y1, . . . , ym′ lµ hai A-d·y ®èi chÝnh quy tèi ®¹i víi chiÒu > s trong I . Gi¶ sö r»ng m 6= m′ vµ m < m′. Theo Bæ ®Ò 2.2.5 ta cã dimR(Tor R i (R/I,A)) 6 s víi mäi i < m′. Ta sÏ chøng minh b»ng quy n¹p theo n = 1, . . . ,m r»ng dimR(Tor R i (R/I, 0 :A (x1, . . . , xn)R)) 6 s víi mäi i < m′ − n. Cho n = 1. Nh­ chøng minh trong Bæ ®Ò 2.2.5, ta cã c¸c Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 30 d·y khíp TorRi+1(R/I, x1A) −→ TorRi (R/I, 0 :A x1) −→ TorRi (R/I,A); TorRi+1(R/I,A/x1A) −→ TorRi (R/I, x1A) −→ TorRi (R/I,A) −→ TorRi (R/I,A/x1A). Do x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s, ta cã dimR(A/x1A) 6 s theo Bæ ®Ò 2.2.2. V× thÕ dimR(Tor R i (R/I,A/x1A)) 6 s víi mäi i. Do ®ã tõ c¸c d·y khíp trªn ta nhËn ®­îc dimR(Tor R i (R/I, 0 :A x1)) 6 s víi mäi i < m′ − 1. V× vËy kh¼ng ®Þnh ®óng cho tr­êng hîp n = 1. Cho n > 1 vµ gi¶ sö r»ng mÖnh ®Ò ®· ®óng cho tr­êng hîp n − 1, nghÜa lµ dimR(Tor R i (R/I,A ′)) 6 s víi mäi i < m′ − n + 1, trong ®ã A′ = 0 :A (x1, . . . , xn−1)R. Chó ý r»ng xn lµ phÇn tö A′-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. V× vËy b»ng lý luËn t­¬ng tù nh­ chøng minh ë trªn, ta cã dimR(Tor R i (R/I, 0 :A′ xn)) 6 s, ®iÒu nµy t­¬ng ®­¬ng víi dimR(Tor R i (R/I, 0 :A (x1, . . . , xn)R)) 6 s víi mäi i < m′ − n, hay kh¼ng ®Þnh ®­îc chøng minh. Do m′ > m, nªn ¸p dông kh¼ng ®Þnh trªn cho tr­êng hîp n = m th× dimR(Tor R 0 (R/I, 0 :A (x1, . . . , xm)R)) 6 s. Theo Bæ ®Ò 2.2.3, tån t¹i phÇn tö trong I lµ phÇn tö 0 :A (x1, . . . , xm)R-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. §iÒu nµy m©u thuÉn víi tÝnh tèi ®¹i cña d·y (x1, . . . , xm). V× thÕ, tÊt c¶ c¸c A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I ®Òu cã chung ®é dµi, ®ã chÝnh lµ sè nguyªn nhá nhÊt i sao cho dimR(Tor R i (R/I,A)) > s. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 31 Ch­¬ng 3 Mét kÕt qu¶ h÷u h¹n cho tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Tor VÉn ký hiÖu nh­ c¸c ch­¬ng tr­íc, ch­¬ng nµy dµnh ®Ó tr¶ lêi mét phÇn vÊn ®Ò ®­îc ®Æt ra bëi L. Melkerson vµ P. Schenzel [11], ®ã lµ t×m ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c tËp⋃ n>0 AttR ( TorRi (R/I n, A) ) vµ ⋃ n>0 AssR ( ExtiR(R/I n,M) ) lµ h÷u h¹n. Mét phÇn cña vÊn ®Ò trªn ®· ®­îc tr¶ lêi bëi M. Brodmann vµ L. T. Nhan n¨m 2008. B»ng viÖc ®­a ra kh¸i niÖm ®é réng víi chiÒu > s, kÕt qu¶ chÝnh cña ch­¬ng nµy lµ chøng minh ®­îc tËp ⋃ n>0 AttR ( TorRi (R/I n, A) ) lµ h÷u h¹n khi n ®ñ lín. 3.1 §é réng víi chiÒu > s NÕu nh­ kh¸i niÖm d·y ®èi chÝnh quy dÉn tíi kh¸i niÖm ®é réng cña m«®un Artin th× tõ kh¸i niÖm A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s vµ §Þnh lý 2.2.7 cho phÐp ta ®­a ra kh¸i niÖm ®é réng víi chiÒu > s nh­ sau. §Þnh nghÜa 3.1.1. NÕu dimR(0 :A I) > s th× ®é dµi cña mét A-d·y ®èi chÝnh quy tèi ®¹i víi chiÒu > s trong I ®­îc gäi lµ ®é réng víi chiÒu > s Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 32 trong I øng víi A vµ ®­îc ký hiÖu bëi Width>s(I, A). Trong tr­êng hîp dimR(0 :A I) 6 s ta ®ÆtWidth>s(I, A) =∞. Chó ý 3.1.2. NÕu s = −1 th×Width>−1(I, A) = Width(I, A), chÝnh lµ ®é réng cña A trong I theo nghÜa cña A. Ooshi [15]. Sau ®©y ta nh¾c l¹i mét kÕt qu¶ ®· ®­îc chøng minh trong [14]. Bæ ®Ò 3.1.3. [14, HÖ qu¶ 2.6] NÕu x1, . . . , xk lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s th× xn11 , . . . , x nk k còng lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s víi mäi sè nguyªn d­¬ng n1, . . . , nk. Chøng minh. Cho (x1, . . . , xk) lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s vµ n1, . . . , nk lµ c¸c sè nguyªn. Theo Bæ ®Ò 2.2.4 ta cã (x1, . . . , xk) lµ (D(A))p̂- d·y chÝnh quy nghÌo víi mäi i®ªan p̂ ∈ Var(AnnR̂A) tho¶ m·n tÝnh chÊt dim(R/p̂∩R)) > s. Do ®ã (xn11 , . . . , xnkk ) lµ (D(A))p̂-d·y chÝnh quy nghÌo víi mäi p̂ ∈ Var(AnnR̂A) tho¶ m·n dim(R/p̂∩R)) > s theo Chó ý 1.5.2. V× vËy xn11 , . . . , x nk k lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s theo Bæ ®Ò 2.2.4. Tõ kÕt qu¶ trªn, nÕu (a1, . . . , ak) lµ c¸c phÇn tö sinh cña I th× víi mäi bé c¸c sè nguyªn d­¬ng n, n1, . . . , nk ta cã Width>s(I, A) = Width>s(I n, A) = Width>s((a n1 1 , . . . , a nk k )R,A). Ta cã nhËn xÐt r»ng víi mçi sè nguyªn i, R-m«®un TorRi (R/I,A) = 0 nÕu vµ chØ nÕu nã còng lµ R̂-m«®un 0. H¬n n÷a, dimR(Tor R i (R/I,A)) > 0 nÕu vµ chØ nÕu dimR̂(Tor R i (R/I,A)) > 0. Do ®ã ta cã hÖ qu¶ sau. HÖ qu¶ 3.1.4. Víi mçi i®ªan I cña R ta cã (i)Width(I, A) = Width(IR̂, A). (ii)Width>0(I, A) = Width>0(IR̂, A). (iii)Width>s(I, A) 6Width>s(IR̂, A). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 33 Chøng minh. Theo §Þnh lý 2.2.7, Width>s(I, A) chÝnh lµ sè nguyªn i nhá nhÊt ®Ó dim(TorRi (R/I,A)) > s. (i) Gi¶ söWidth(I, A) = n. Khi ®ã n chÝnh lµ ®é dµi cña A-d·y ®èi chÝnh quy tèi ®¹i trong I theo nghÜa cña A. Ooishi [15] trong tr­êng hîp s = −1. V× thÕ, theo §Þnh lý 2.1.6, ta cã TorRi (R/I,A) = 0 víi mäi i < n. Theo nhËn xÐt trªn, ®iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi TorR̂i (R̂/IR̂, A) = 0 víi mäi i < n, khi vµ chØ khiWidth(IR̂, A) = n. (ii) Cho x1, . . . , xn lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > 0 trong I , theo ®Þnh nghÜa ta cã xi /∈ p, víi mäi p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) tho¶ m·n dimR/p > 0, nghÜa lµ xi tr¸nh tÊt c¶ c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt p trong tËp AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) trõ i®ªan cùc ®¹i m. Do ®ã n chÝnh lµ sè nguyªn d­¬ng nhá nhÊt ®Ó dim(TorRn (R/I,A)) > 0. Theo nhËn xÐt trªn, khi vµ chØ khi n còng chÝnh lµ sè nguyªn d­¬ng nhá nhÊt sao cho dim(TorR̂n (R̂/IR̂, A)) > 0, khi vµ chØ khi n = Width>0(IR̂, A). (iii) Gi¶ sö x1, . . . , xn lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I . Ta cÇn chøng minh r»ng x1, . . . , xn còng lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong IR̂. B»ng quy n¹p ta chØ cÇn chøng minh cho tr­êng hîp n = 1. V× x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I nªn theo ®Þnh nghÜa, x1 /∈ p, víi mäi p ∈ AttRA tho¶ m·n dimR/p > s. Gi¶ sö x1 kh«ng lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong IR̂. Khi ®ã tån t¹i q̂ ∈ AttR̂A sao cho x1 ∈ q̂ vµ dim(R̂/q̂) > s. Theo MÖnh ®Ò 1.2.4, ta cã q̂ ∩ R = q ∈ AttRA. Suy ra x1 ∈ q vµ s < dim(R̂/q̂) 6 dim(R̂/qR̂) = dimR/q̂ ∩R = dimR/q. §iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I . Do ®ã x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong IR̂. Theo hÖ qu¶ trªn, ta cã bÊt ®¼ng thøcWidth>s(I, A) 6Width>s(IR̂, A) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 34 vµ dÊu ®¼ng thøc chØ x¶y ra trong tr­êng hîp s 6 0. Tuy nhiªn, trong tr­êng hîp s > 0, dÊu ®¼ng thøc kh«ng cßn ®óng n÷a. Lý do lµ nh×n chung ta cã {p ∈ AttRA | dim(R/p) > s} 6⊆ {p̂ ∩R | p̂ ∈ AttRA, dim(R̂/p̂) > s}. V× thÕ, cã thÓ cã nh÷ng d·y (x1, . . . , xk) c¸c phÇn tö trong I lµ d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s cña R̂-m«®un A nh­ng kh«ng lµ d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s cña R-m«®un A, dÉn tíiWidth>s(I, A) s(IR̂, A). V× vËy, cÇn ph¶i cÈn thËn khi chuyÓn qua ®Çy ®ñ vµ dïng ®èi ngÉu Matlis. VÝ dô sau minh häa cho ®iÒu nµy. VÝ dô 3.1.5. Tån t¹i mét vµnh Noether ®Þa ph­¬ng (S, n), i®ªan I cña S vµ S-m«®un Artin A sao cho dimS A = 3, dimŜ A = 2 vµ Width>1(I, A) 1(IŜ, A), trong ®ã Ŝ lµ n-adic ®Çy ®ñ cña S. Chøng minh. Cho (R,m) lµ miÒn ®Þa ph­¬ng Noether chiÒu 2 ®­îc x©y dùng bëi D. Ferrand vµ M. Raynaud [5] sao cho tån t¹i nh÷ng i®ªan nguyªn tè nhóng p̂ ∈ Ass R̂ tháa m·n dim(R̂/p̂) = 1. V× H1m(R) ∼= H1mR̂(R̂) nh­ R̂-m«®un, theo [1, §Þnh lý 11.3.3] ta cã {p̂ ∈ Ass R̂ | dim(R̂/p̂) = i} = AttR̂H imR̂(R̂) nªn suy ra p̂ ∈ AttR̂H1m(R). V× thÕ dimR̂(H 1 m(R)) = dim R̂/AnnR̂(H 1 m(R)) = max{dim R̂/p̂, p̂ ∈ AttR̂(H1m(R))} ≥ dim(R̂/p̂) = 1 theo Bæ ®Ò 1.3.2. MÆt kh¸c, ta lu«n cã dimR̂(H 1 m(R)) 6 1 theo [17, MÖnh ®Ò 3.8]. V× thÕ dimR̂(H 1 m(R)) = 1. V× p̂ ∈ Ass R̂, nªn p̂∩R ∈ AssR. Do R lµ miÒn nguyªn nªn AnnR = 0, dÉn ®Õn AssR = 0. Suy ra p̂ ∩ R = 0. V× p̂ ∈ AttR̂(H1m(R)), nªn theo MÖnh ®Ò 1.2.4 ta cã p̂∩R = 0 ∈ AttR(H1m(R)). Do ®ã, theo Bæ ®Ò 1.3.2, dimR(H 1 m(R)) = 2. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 35 B©y giê, cho R[[x]] lµ vµnh c¸c chuçi lòy thõa h×nh thøc mét biÕn x víi hÖ sè trong R. Khi ®ã theo §Þnh lý c¬ së Hilbert, R[[x]] lµ miÒn nguyªn Noether chiÒu 3, depthR[[x]] = 2 v× R lµ miÒn nguyªn vµ m /∈ AssR, i®ªan cùc ®¹i duy nhÊt cña R[[x]] lµ (m, x)R[[x]] vµ R̂[[x]] lµ vµnh ®Çy ®ñ theo t« p« (m, x)R[[x]]-adic cña R[[x]]. V× p̂ ∈ Ass R̂, nªn theo ®Þnh nghÜa tån t¹i phÇn tö a ∈ R̂ sao cho p̂ = AnnR̂ a. §Æt p̂[[x]] = { ∞∑ i=0 aix i ∈ R̂[[x]] | ai ∈ p̂,∀i } . Khi ®ã ta cã thÓ kiÓm tra ®­îc r»ng p̂[[x]] lµ i®ªan nguyªn tè cña R̂[[x]] vµ AnnR̂[[x]] a = { ∞∑ i=0 aix i ∈ R̂[[x]] | ∞∑ i=0 (aai)x i = 0 } = p̂[[x]]. Do ®ã p̂[[x]] ∈ Ass(R̂[[x]]) vµ dim(R̂[[x]]/p̂[[x]]) = dim(R̂/p̂)[[x]]) = 2. Theo [1, §Þnh lý 11.3.3] suy ra p̂[[x]] ∈ AttR̂[[x]] ( H2 (m,x)R̂[[x]] (R̂[[x]]) ) = AttR̂[[x]] ( H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) ) . VËy, l¹i theo [17, MÖnh ®Ò 3.8] vµ Bæ ®Ò 1.3.2 ta cã dimR̂[[x]] ( H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) ) = 2. V× p̂[[x]] ∈ Ass(R̂[[x]]) ∩ AttR̂[[x]] ( H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) ) , nªn ta cã p̂[[x]] ∩R[[x]] ∈ Ass(R[[x]]) ∩ AttR[[x]] ( H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) ) . V× thÕ p̂[[x]] ∩ R[[x]] = 0 vµ dimR[[x]] ( H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) ) = 3 theo Bæ ®Ò 1.3.2. V× depthR[[x]] = 2 vµ dimR[[x]] = 3 nªn H i(m,x)R[[x]](R[[x]]) = 0 víi i 3. Do ®ã, tõ d·y khíp ng¾n 0 −→ R[[x]] x−→ R[[x]] −→ R[[x]]/xR[[x]] −→ 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 36 ta cã d·y khíp dµi . . . −→ 0 −→ H1(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) −→ H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) x−→ H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) −→ H2(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) −→ 0 . . . V× thÕ ta cã ®¼ng cÊu gi÷a c¸c R[[x]]-m«®un H1(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) ∼= (0 :H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) x). Chó ý r»ng H1(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) cã cÊu tróc tù nhiªn lµ R-m«®un vµ nã ®¼ng cÊu víi H1m(R). Do ®ã dimR[[x]] ( 0 :H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) x ) = 2 vµ dimR̂[[x]] ( 0 :H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) x ) = 1. B©y giê, ta chän S = R[[x]], I = xR[[x]] vµ A = H2(m,x)R[[x]](R[[x]]). Khi ®ã A lµ S-m«®un Artin, dimS A = 3, dimŜ A = 2, dimS(0 :A I) = 2, dimŜ(0 :A I) = 1. Theo §Þnh lý 2.2.7 ta cã: 1. V× dimŜ(0 :A I) = 1 nªn víi mçi sè nguyªn n, ®Òu tån t¹i A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > 1 trong IR̂ nªnWidth>1(IŜ, A) =∞. 2. V× dimS(0 :A I) = 2 > 1, nªn lu«n tån t¹i A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > 1 trong I . Do dimŜ A = 2 = N-dimRA nªn theo [15] ta cã 0 1(I, A) < N-dimA = 2 nªn suy raWidth>1(I, A) = 1. VËy ta cãWidth>1(I, A) 1(IR̂, A). 3.2 KÕt qu¶ h÷u h¹n Tr­íc hÕt ta chøng minh bæ ®Ò sau ®©y b»ng kü thuËt t­¬ng tù nh­ chøng minh c¸c kÕt qu¶ cña ch­¬ng 2. §ã lµ chuyÓn lªn vµnh ®Çy ®ñ, sö dông ®èi ngÉu Matlis, ®¼ng cÊu gi÷a c¸c m«®un Ext, Tor trªn vµnh ®Çy ®ñ vµ tÝnh chÊt giao ho¸n cña hµm tö ®Þa ph­¬ng hãa víi c¸c hµm tö Ext, Tor. KÕt qu¶ nµy ®ãng vai trß then chèt trong viÖc chøng minh ®Þnh lý chÝnh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 37 Bæ ®Ò 3.2.1. Cho t lµ mét sè nguyªn. §Æt Pt = t−1⋃ i=0 Var(AnnR ( TorRi (R/I,A) ) . Khi ®ã AttR ( TorRt (R/I n, A) ) ∪ Pt = AttR (TorRt (R/(an11 , . . . , ankk ), A)) ∪ Pt = AttR ( TorRt (R/I,A) ) ∪ Pt víi mçi hÖ sinh (a1, . . . , ak) cña I vµ mäi sè nguyªn d­¬ng n, n1, . . . , nk. Chøng minh. Cho p ∈ AttR ( TorRt (R/I n, A) ) ∪ Pt sao cho p /∈ Pt. Khi ®ã theo MÖnh ®Ò 1.2.4, tån t¹i i®ªan nguyªn tè p̂ ∈ AttR̂ ( TorRt (R/I n, A) ) sao cho p̂ ∩R = p. V× p /∈ Pt, nªn theo c¸ch x¸c ®Þnh Pt ta cã p̂ /∈ Var (AnnR̂ (TorRi (R/I,A))) = Var (AnnR̂ (TorR̂i (R̂/IR̂, A))) víi mäi i < t. Do ®ã theoMÖnh ®Ò 1.4.5 ta cã p̂ /∈ SuppR̂ ( Exti R̂ (R̂/IR̂,D(A)) ) víi mäi i < t. V× thÕ MÖnh ®Ò 1.4.5 Exti R̂p̂ ( R̂p̂/IR̂p̂, D(A)p̂ ) ∼= (Exti R̂ (R̂/IR̂,D(A)) ) p̂ = 0 víi mäi i < t. Do ®ã depth(IR̂p̂, D(A)p̂) ≥ t theo MÖnh ®Ò 1.5.4. §iÒu nµy suy ra depth(InR̂p̂, D(A)p̂) ≥ t theo Chó ý 1.5.2. NÕu depth(InR̂p̂, D(A)p̂) > t th× l¹i ¸p dông MÖnh ®Ò 1.5.4 ta suy ra ®­îc Extt R̂p̂ (R̂p̂/I nR̂p̂, D(A)p̂) = 0 hay p̂ /∈ SuppR̂ ( Extt R̂ (R̂/IR̂,D(A)) ) . V× vËy, p̂ /∈ Var (AnnR̂(ExttR̂(R̂/InR̂,D(A)))) = Var (AnnR̂ (TorR̂t (R̂/InR̂, A))). V× thÕ p̂ /∈ AttR̂ ( TorRt (R/I n, A) ) theo MÖnh ®Ò 1.2.3, ®iÒu nµy m©u thuÉn víi c¸ch chän p̂. Do ®ã, depth(InR̂p̂, D(A)p̂) = t = depth(IR̂p̂, D(A)p̂). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 38 V× vËy, tõ rad(I) = rad(In) vµ theo MÖnh ®Ò 1.5.4 ta cã AssR̂p̂ ( Extt R̂p̂ (R̂p̂/I nR̂p̂, D(A)p̂) ) = AssR̂p̂ ( H t InR̂p̂ (D(A)p̂) ) = AssR̂p̂ ( H t IR̂p̂ (D(A)p̂) ) = AssR̂p̂ ( Extt R̂p̂ (R̂p̂/IR̂p̂, D(A)p̂) ) . V× p̂ ∈ AttR̂ ( TorRt (R/I n, A) ) , nªn suy ra p̂ ∈ AssR̂ ( Extt R̂ (R̂/InR̂,D(A)) ) , vµ v× vËy p̂R̂p̂ ∈ AssR̂p̂ ( Extt R̂p̂ (R̂p̂/I nR̂p̂, D(A)p̂) ) . Theo kÕt qu¶ trªn ta suy ra p̂R̂p̂ ∈ AssR̂p̂ ( Extt R̂p̂ (R̂p̂/IR̂p̂, D(A)p̂) ) . V× vËy p̂ ∈ AssR̂ ( Extt R̂ (R̂/IR̂,D(A)) ) = AttR̂ ( TorRt (R/I,A) ) . Suy ra ta cã AttR ( TorRt (R/I n, A) ) ∪ Pt ⊆ AttR (TorRt (R/I,A)) ∪ Pt. Chó ý r»ng ta lu«n cã c¸c ®¼ng thøc depth(IR̂p̂, D(A)p̂) = depth(I nR̂p̂, D(A)p̂) = depth((an11 , . . . , a nk k )R̂p̂, D(A)p̂). nªn c¸c bao hµm thøc cßn l¹i cña bæ ®Ò còng ®­îc chøng minh t­¬ng tù. Víi viÖc ®­a ra ®Þnh nghÜa ®é réng víi chiÒu > s vµ chøng minh ®­îc tÝnh chÊt æn ®Þnh cña hîp c¸c tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un xo¾n Tor trong Bæ ®Ò trªn ®· gióp ta chøng minh ®­îc kÕt qu¶ quan träng vµ còng lµ kÕt qu¶ chÝnh cña luËn v¨n, ®ã lµ tÝnh chÊt h÷u h¹n cña tËp c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un xo¾n Tor khi n ®ñ lín. §Ó tiÖn cho viÖc theo dâi ta kÝ hiÖu (AttRA)≥s = {p ∈ AttRA | dim(R/p) ≥ s}. §Þnh lý 3.2.2. ChoWidth>s(I, A) = r. Khi ®ã (i) TËp ( ⋃ n∈N AttR(Tor R t (R/I n, A)) ) >s lµ h÷u h¹n víi mäi t 6 r. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 39 (ii) TËp ( ⋃ n1,...,nk∈N AttR(Tor R t (R/(a n1 1 , . . . , a nk k )R,A ) ≥s lµ h÷u h¹n víi mäi t 6 r, trong ®ã (a1, . . . , ak) lµ hÖ sinh cña I . Chøng minh. §Æt Pt = t−1⋃ i=0 Var ( AnnR(Tor R i (R/I,A)) ) víi mçi sè nguyªn t sao cho t 6 r. Cho n ≥ 0 lµ mét sè nguyªn vµ p ∈ ⋃ n ( AttR(Tor R t (R/I n, A)) ) ≥s. V× t 6 r = Width>s(I, A), nªn theo §Þnh lý 2.2.7 suy ra dimR(Tor R i (R/I n, A)) 6 s víi mäi i < t. NÕu dim(R/p) > s th× ¸p dông Bæ ®Ò 1.3.2 ta cã p /∈ Pt. Do ®ã, p ∈ AttR(TorRt (R/I,A)) theo Bæ ®Ò 3.2.1. NÕu dim(R/p) = s th× p ∈ AttR(TorRt (R/I,A)) ∪ Pt theo Bæ ®Ò 3.2.1. Gi¶ sö r»ng p /∈ AttR(TorRt (R/I,A)). Khi ®ã p ∈ Pt. V× vËy p ∈ Var(AnnR(TorRh (R/I,A))) víi h s(I, A), nªn ta cã dim(TorRh (R/I n, A)) 6 s theo §Þnh lý 2.2.7. Do ®ã p lµ phÇn tö tèi thiÓu cña tËp Var(AnnR(Tor R h (R/I,A))), vµ v× vËy p ∈ AttR(TorRh (R/I,A)) theo Bæ ®Ò 1.2.3. V× vËy, ta ®· chøng minh ®­îc ⋃ n ( AttR Tor R t (R/I n, A) ) ≥s ⊆ t⋃ i=0 AttR ( TorRi (R/I,A) ) , vµ v× thÕ ⋃ n ( AttR Tor R t (R/I n, A) ) ≥s lµ tËp h÷u h¹n. Mét c¸ch hoµn toµn t­¬ng tù ta còng chøng minh ®­îc ⋃ n1,...,nk (AttR Tor R t (R/(a n1 1 , . . . , a nk k )R,A) ) ≥s ⊆ t⋃ i=0 AttR(Tor R i (R/I,A)), vµ ®Þnh lý ®­îc chøng minh. KÕt qu¶ sau ®©y lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña §Þnh lý chÝnh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 40 HÖ qu¶ 3.2.3. Gi¶ sö r»ng s 6 1. Cho Width>s(I, A) = r. Khi ®ã tËp⋃ n ( AttR Tor R t (R/I n, A) ) vµ tËp ⋃ n1,...,nk ( AttR Tor R t (R/(a n1 1 , . . . , a nk k )R,A) ) lµ tËp h÷u h¹n víi mçi sè nguyªn t 6 r vµ mçi hÖ sinh (a1, . . . , ak) cña I. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 41 KÕt luËn Tãm l¹i, trong luËn v¨n nµy chóng t«i ®· tr×nh bµy vµ chøng minh chi tiÕt c¸c kÕt qu¶ trong bµi b¸o: "A finiteness result for attached primes of certain Tor-modules" cña L. T. Nhan vµ N. T. Dung (2010). KÕt qu¶ chÝnh cña luËn v¨n gåm c¸c néi dung sau. 1. HÖ thèng mét sè tÝnh chÊt cña m«®un Artin cã liªn quan ®Õn néi dung cña luËn v¨n: cÊu tróc cña m«®un Artin, biÓu diÔn thø cÊp, chiÒu Noether, d·y ®èi chÝnh quy vµ ®é réng cña m«®un Artin. Tr×nh bµy kh¸i niÖm vµ mét sè tÝnh chÊt cña hµm tö më réng vµ hµm tö xo¾n, kh¸i niÖm vµ mét sè tÝnh chÊt cña d·y chÝnh quy vµ ®é s©u cña m«®un. 2. Nghiªn cøu vÒ d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s: ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt, ®iÒu kiÖn lu«n tån t¹i cña d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s vµ ®Æc tr­ng ®é dµi tèi ®¹i cña d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s th«ng qua chiÒu Krull cña m«®un con xo¾n Tor. 3. §­a ra kh¸i niÖm ®é réng víi chiÒu > s vµ tõ ®ã chøng minh kÕt qu¶ h÷u h¹n cña tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Tor. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 42 Tµi liÖu tham kh¶o [1] M. Brodmann, and R. Y. Sharp (1998), Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications, Cambridge University Press, Cambridge. [2] M. Brodmann, Asymptotic stability of Ass(M/InM), Proc., America Math. Soc., (1) 74 (1979), 16-18. [3] M. Brodmann and L.T. Nhan, A finiteness result for associated primes, J. Al., (4) 87 (2008), 596-600. [4] N. T. Cuong and L. T. Nhan (2002), "On Noetherian dimension of Artinian modules", Vietnam J. Math., 30, pp. 121-130. [5] Ferrand D. and M. Raynaud (1970), "Fibres formelles d'un anneau local Noetherian," Ann. Sci. E'cole Norm. Sup., 3 (4), pp. 295-311. [6] M. Katzman, An example of an infinite set of associated primes of local cohomology module, J. Alg., 252 (2002), 161-166. [7] Kirby D. (1973), "Artinian modules and Hilbert polynomials", Quart. J. Math. Oxford (Ser. 2) 24 (2), pp. 47-57. [8] Kirby, D. (1990), "Dimension and length for Artinian modules", Quart. J. Math. Oxford, (Ser. 2) 41 (2), pp. 419-429. [9] Macdonald, I. G. (1973), "Secondary representation of modules over a commutative ring", Symposia Mathematica. 11, pp. 23-43. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 43 [10] Matsumura, H. (1986), "Commutative ring theory", Cambridge Univer- sity press. [11] L. Melkersson and P. Schenzel Asymptotic prime ideals related to drived funtors Proc. Ame. Math. Soc. 4 117 (1993), 935-938. [12] Nagata M., (1962), Local ring, Interscience, New York. [13] L. T. Nhan and N. T. Dung, "A finiteness property for attached primes of certain Tor-modules", Algebra Colloquium, to appear, (2010). [14] L. T. Nhan and N. V. Hoang, A finiteness result for attached primes of local cohomology, Submit in Commutative Algebra, (2008). [15] A. Ooishi, Matlis duallity and the width of a module, Hiroshima Math. J. 6 (1976), 573-587. [16] Roberts, R. N. (1975), "Krull dimension for Artinian modules over quasi-local commutative rings", Quart. J. Math. Oxford, (Ser. 2) 26, pp. 269-273. [17] R. Y. Sharp, Asymptotic behaviour of certain sets of attached prime ideals, J. London Math. Soc., (2) 34 (1986), 212-218. [18] Sharp, R. Y. (1989) "A method for the study of Artinian modules with an application to asymptotic Behaviour," in: Commutative Algebra, Math. Sci. Res. Inst. Publ. No. 15, Spinger-Verlag, New York, pp. 443-465. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfMột kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor.pdf