Phương pháp stein và định hướng ứng dụng vào xử lý tín hiệu radar

MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN 1 MỤC LỤC 2 LỜI MỞ ĐẦU . 4 Chương I. PHƯƠNG PHÁP STEIN 1.1 Giới thiệu. 7 1.2 Toán tử sinh. 9 Chương II. PHƯƠNG PHÁP STEIN CHO XẤP XỈ POISSON 2.1 Đặt vấn đề. 12 2.2 Phương trình Stein cho và nghiệm của nó. 14 2.3 Ước lượng sai số trong xấp xỉ Poisson. 19 Chương III. PHƯƠNG PHÁP STEIN CHO XẤP XỈ POISSON PHỨC HỢP 3.1 Phân bố CP(). 27 3.2 Tại sao phải xấp xỉ Poisson Phức hợp. 27 3.3 Phương trình Stein cho và nghiệm của nó. 28 3.4 Ước lượng sai số trong xấp xỉ Poisson phức hợp. 35 Chương IV. PHƯƠNG PHÁP STEIN CHO XẤP XỈ CHUẨN 4.1 Giới thiệu. 42 4.2 Những kiến thức cơ bản của phương pháp Stein. 46 4.2.1 Đặc trưng của phân bố chuẩn. 46 4.2.2 Tính chất nghiệm của phương trình Stein. 49 4.2.3 Cấu trúc của đồng nhất Stein. 50 4.3 Xấp xỉ chuẩn của những hàm trơn. 52 4.3.1 Những biến ngẫu nhiên độc lập. 55 4.3.2 Những biến ngẫu nhiên phụ thuộc địa phương. 62 4.3.3 Những cặp hoán đổi được. 65 Chương V. PHƯƠNG PHÁP STEIN CHO XẤP XỈ MŨ 5.1 Phương trình Stein. 72 5.2 Nghiệm của phương trình Stein : Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 73 5.3 Tốc độ hội tụ của một phân phối mũ cụt 74 5.4 Hướng đến một cận tổng quát 75 5.5 Phương pháp Stein cho xấp xỉ hình học. 77 Chương VI. ĐỊNH HƯỚNG ỨNG DỤNG TRONG RADAR 6.1 Đánh giá xấp xỉ của thống kê nhiễu xạ trong việc dò tìm 79 6.2 Thời gian dò tìm trong sơ đồ CFAR 81 6.3 Mô hình vết đốm trong khẩu độ mở nghịch đảo Radar (Inverse Synthetic Aperture Radar) 82 KẾT LUẬN . 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO . 86 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết xác suất trong nửa đầu thế kỷ 20 đã có những thành tựu vượt bậc trong việc lập công thức và chứng minh các định lý giới hạn cổ điển như: Luật số lớn, Định lý giới hạn trung tâm, Luật loga lặp cho tổng các biến ngẫu nhiên độc lập. Phương pháp cổ điển chủ yếu dựa vào phép biến đổi Fourier. Tất cả các định lý đều liên quan đến tổng các biến ngẫu nhiên độc lập. Tuy nhiên quan hệ phụ thuộc thường xuất hiện nhiều hơn trong áp dụng và bắt đầu được nghiên cứu nhiều từ năm 1950. Trong trường hợp không độc lập thì phương pháp Fourier rất khó áp dụng và sự chính xác của xấp xỉ rất khó tìm ra. Trong hoàn cảnh đó, Charler Stein đã giới thiệu một phương pháp mới được gọi là phương pháp Stein (1970). Mục đích của phương pháp Stein nhằm xấp xỉ một phân bố này bằng một phân bố khác và đánh giá sai số ước lượng. Phương pháp này mang lại ước lượng tường minh của sai số xấp xỉ với điều kiện có tính độc lập hoặc không độc lập. Với những ưu điểm của phương pháp này mà nó ngày càng có tầm quan trọng và được phát triển hơn nữa. Đây là một phương pháp mới, hiện đại và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Radar (viết tắt của Radio direction and ranging – Định hướng và định tầm bằng vô tuyến) là thiết bị để định vị các vật thể trong không gian, tìm hướng và điều khiển bằng các sóng vô tuyến tần số cao phát ra và phản xạ trở lại. Hướng của một vật thể được xác định bằng cách truyền đi một chùm sóng vô tuyến bước sóng ngắn và thu lại chùm phản xạ. Khoảng cách được xác định bằng cách đo thời gian đi của sóng vô tuyến (theo tốc độ ánh sáng) đến vật thể và quay trở lại. Radar về cơ bản được dùng để dò tìm trong bóng đêm, mây và sương mù, và được sử dụng rộng rãi trong quốc phòng để phát hiện, theo dõi máy bay và tên lửa của kẻ địch. Trong phân tích xử lý tín hiệu radar, nhiều xấp xỉ đã được đưa vào để làm đơn giản phân tích hệ thống. Trong phạm vi dò tìm của radar, tín hiệu nhận vào thường xảy ra sự nhiễu phản xạ và tạp âm, sự nhiễu phản xạ này được thể hiện qua những vết đốm trên màn hình hiển thị. Những phân phối xác suất như phân phối Rayleigh, phân phối Weibull đã được thiết lập để thích hợp với mô hình nhiễu phản xạ radar trong những viễn cảnh môi trường khác nhau. Những xấp xỉ cho sự nhiễu phản xạ như thế có thể được kiểm định qua những nghiên cứu thí nghiệm thông qua những phép thử. Có thể giả định rằng một độ đo nhiễu phản xạ trong một môi trường được đưa ra có một phân phối thống kê đặc biệt. Nếu một xấp xỉ cho các phân phối đó được xác lập thì nó có thể cải thiện được ước lượng của những độ đo hiệu ứng radar chẳng hạn như là những xác suất dò tìm và cảnh báo lỗi. Những xấp xỉ này có thể được ước lượng một cách chính xác bằng phương pháp Stein. Phương pháp này cho phép một cận được xác định trên xấp xỉ phân phối của một biến ngẫu nhiên bởi một biến ngẫu nhiên khác. Phương pháp Stein được trình bày trong trường hợp xấp xỉ Poisson và xấp xỉ Gauss của những biến ngẫu nhiên. Một bước phát triển mới của phương pháp Stein trong việc đo phân bố xấp xỉ của một biến ngẫu nhiên bằng một phân phối mũ được đưa ra. Công việc này có ứng dụng trực tiếp tới một số phân phối liên quan đến radar. Đặc biệt, thời gian dò tìm trong sơ đồ định vị radar có thể được xấp xỉ bởi một phân phối như thế. Những phân phối này thường xuyên được sử dụng trong radar, vì thế những kết quả này có thể được ứng dụng để phân tích hiệu ứng radar. Mục đích nghiên cứu của luận văn là trình bày phương pháp Stein và định hướng ứng dụng vào một số vấn đề liên quan đến radar ở dạng tổng quát. Luận văn gồm 6 chương: Chương 1 giới thiệu phương pháp Stein tổng quát. Chương 2 nghiên cứu về phương trình Stein cho xấp xỉ Poisson và nghiệm của nó. Cách xây dựng toán tử Stein và toán tử A của Louis Chen. Đặc biệt là giới thiệu phương pháp xấp xỉ địa phương và phương pháp ghép cặp. Chương 3 nghiên cứu về phương trình Stein cho xấp xỉ Poisson phức hợp và nghiệm của nó. Đánh giá sai số ước lượng. Chương 4 giới thiệu những kiến thức cơ bản của phương pháp Stein cho xấp xỉ chuẩn, tính chất nghiệm của phương trình Stein, cấu trúc của phương trình đồng nhất Stein, xấp xỉ chuẩn đối với những hàm trơn. Chương 5 giới thiệu phương pháp Stein cho xấp xỉ mũ Chương 6 đưa ra định hướng ứng dụng của phương pháp Stein vào một số vấn đề liên quan đến xử lý tín hiệu radar.

doc87 trang | Chia sẻ: lvcdongnoi | Ngày: 20/08/2013 | Lượt xem: 1801 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Phương pháp stein và định hướng ứng dụng vào xử lý tín hiệu radar, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
g ta sẽ giới hạn phần bên phải trong (2.8). Với mỗi ta có Với mỗi , ta có bất đẳng thức sơ cấp sau: (1) (2) (3) *Chứng minh (1): Ta có *Chứng minh (2): Ta có Nếu thì Nếu thì *Chứng minh (3): Ta có: (do ) Vì vậy: Vậy định lý đã được chứng minh. Chúng ta xét 2 ví dụ áp dụng định lý 2.4 trong trường hợp độc lập. Ví dụ 1 (Chỉ tiêu độc lập) Cho độc lập. Chọn với mỗi . Theo định lý 2.4 ta có: (2.9) Trong trường hợp độc lập, có thể sử dụng phương pháp khác phương pháp Stein để suy ra cận của biến phân toàn phần. (LeCam 1960 [15]) đã sử dụng phương pháp Fourier chứng minh rằng: Và nếu thì Hằng số 8 trong cận thứ 2 có thể thay thế bằng 1.05 bởi (Kerstan 1964 [13]) hoặc 0.71 bởi (Daley và Verse-Jones (1988) [11]). Chú ý rằng cận (2.9) nhỏ hơn cận đầu tiên trong các cận và không cần điều kiện . Hơn nữa, (2.9) còn bị chặn dưới bởi: Nếu biến chỉ tiêu là phụ thuộc thì rất khó để tính cận của sai phân toàn phần khoảng cách bằng cách khác phương pháp Stein. Tuy nhiên, một phương pháp khác đã làm được điều này, trong đó phương pháp Stein chỉ ra độ dài thực của nó. Chúng ta xét ví dụ sau. Ví dụ 2 (Bài toán ngày sinh cổ điển) n quả bóng được ném độc lập vào d cái hộp với xác xuất như nhau. Cho W là số cặp bóng vào cùng một cái hộp. Thì trong đó Chứng minh. Lấy là tập tất cả 2- tập con của như vậy ta có = Cho Xi với là biến chỉ tiêu trong trường hợp “các quả bóng và nằm cùng một hộp”. Rõ ràng và {Xi; } là tách được, có nghĩa là với hai tập con bất kì và thì , tập các biến ngẫu nhiên và là độc lập. Chúng ta chọn , sao cho số hạng cuối trong cận của định lý 2.4 bằng 0. Do E(Xi) = d với mọi và với mọi ta có: = = trong đó Sau đây, chúng ta xét phương pháp ghép cặp để giới hạn phần bên tay phải trong (2.8). Phương pháp này rất tốt trong trường hợp cấu trúc phụ thuộc của biến chỉ tiêu là không địa phương. Việc liên kết phương trình Stein với cặp ghép được giới thiệu tổng quát lần đầu tiên trong (Stein 1986 [25]). Định lý 2.5 (Phương pháp ghép cặp) Cho trong đó {} là các biến chỉ tiêu. Với mỗi , chia \{i} thành hai tập con và . Cho và . Cho hai biến ngẫu nhiên và sao cho: và được xác định trên cùng một không gian xác suất. Thì: trong đó được định nghĩa như trong (2.7). Chứng minh Ta chứng minh như định lý 2.4. Trừ đại lượng được chặn khác. Bây giờ chúng ta sử dụng cặp ghép, với mỗi : Suy ra: Do đó Trong định lý 2.5, trường hợp các biến chỉ tiêu {} là độc lập bằng cách chọn và chúng ta lại có cận như trong (2.9). Ví dụ 3 (Bài toán chiếm chỗ cổ điển) r quả bóng được ném một cách độc lập vào n cái hộp với xác suất như nhau. Cho W là số hộp rỗng thì: Nếu r = nan với thì khi Nếu thì: Chứng minh Với mỗi , cho Xi là biến chỉ tiêu trong trường hợp “hộp thứ i là hộp rỗng” thì . Xét định lý 2.5 với và Xác định theo cách như sau: lấy những quả bóng ở hộp thứ i ném chúng một cách độc lập vào những hộp khác, và lấy là biến chỉ tiêu trong trường hợp “sau khi ném hộp thứ j là rỗng”. Thì Do với mỗi quả bóng, xác suất rơi vào một hộp cụ thể được cho bởi Suy ra, với mỗi ta có: Lấy và . Ta thấy với mỗi chỉ số .Ta có: Sau đây là một mở rộng nhỏ rất có ích của phương pháp ghép cặp (không chứng minh) Định lý 2.6 (Phương pháp ghép cặp chi tiết) Cho , trong đó là các biến chỉ tiêu. Với mỗi , chia thành hai tập con và . Cho và . Cho một biến ngẫu nhiên xác định trên cùng một không gian xác suất giống như và . Với mỗi lấy hai biến ngẫu nhiên và sao cho: và được xác định trên cùng một không gian xác suất. Thì trong đó được định nghĩa như trong (2.7). Chương III PHƯƠNG PHÁP STEIN CHO XẤP XỈ POISSON PHỨC HỢP 3.1 Phân bố CP() Trong phần này ta xét phương pháp Stein cho xấp xỉ Poisson phức hợp. Đây là lĩnh vực nghiên cứu mới mẻ nhưng có tốc độ phát triển rất nhanh trong vài năm gần đây. Đầu tiên ta nhắc lại định nghĩa phân bố Poisson phức hợp kí hiệu là CP. CP là phân bố xác suất trên có hàm đặc trưng: trong đó là độ đo thỏa mãn: Nếu , thì CP , với tất cả các biến ngẫu nhiên độc lập. với mọi và . Chúng ta gọi là độ đo phức hợp và là phân bố phức hợp. Chúng ta chỉ xét trường hợp khi . Tương tự như vậy, nội dung định lý 3.1-3.2 chỉ xét trong trường hợp được coi là số nguyên dương. Chúng ta có thể xem CP() như là , với là độc lập và với mỗi 3.2 Tại sao phải xấp xỉ Poisson Phức hợp CP là sự khái quát hóa của phân bố Poisson, nhưng nó có phải là sự khái quát hóa thú vị cho mục đích xấp xỉ hay không? Khi nào chúng ta sử dụng xấp xỉ Poisson phức hợp tốt hơn xấp xỉ Poisson đơn giản? Để trả lời câu hỏi này ta xét một ví dụ. Cho là một dãy các biến chỉ tiêu độc lập, cùng phân bố sao cho . Cho là biến chỉ tiêu với và r chạy liên tục từ chỉ số . Cho . Nếu r lớn thì sẽ nhỏ, xấp xỉ Poisson dường như là . Sử dụng định lý 2.5 có thể chỉ ra rằng: Đây là trường hợp đặc biệt trong định lý 8.H của (Barbour, Holst và Janson 1992 [6]). Kết quả này không làm chúng ta bằng lòng bởi vì sai số ước lượng là của cấp p, và do vậy lớn hơn sai số xấp xỉ lớn nhất , trong trường hợp các biến chỉ tiêu Xi độc lập; xem (2.9). Xấp xỉ Poisson dường như không thích hợp trong trường hợp này. Mặc dù xác suất là nhỏ nhưng điều kiện xác suất là lớn. Do đó, mặc dù biến cố là hiếm, khi chúng xuất hiện thì chúng xuất hiện tập trung thành một khối hơn là xuất hiện từng cái riêng biệt. Điều này làm cho xấp xỉ Poisson không chính xác, và do đó khối biến cố hiếm là một hiện tượng phổ biến, chúng ta sẽ chấp nhận điều này xảy ra khá thường xuyên. Xấp xỉ Poisson được thay thế một cách tự nhiên trong trường hợp sau. Chúng ta không xét số các biến cố hiếm, nhưng xét số biến cố hiếm khi xấp xỉ phân bố Poisson. Chúng ta xét cỡ của khối khi biến cố độc lập cùng phân bố. Phân bố của số biến cố hiếm xấp xỉ với là số trung bình của khối và là phân bố của cỡ khối. Thỉnh thoảng ý tưởng này được gọi là “Poisson clumping heuristic”. Chúng ta sẽ tiếp phát triển làm theo hướng đó. 3.3 Phương trình Stein cho và nghiệm của nó Sau đây, chúng ta sẽ nghiên cứu toán tử Stein cho phân bố phức hợp và nghiệm tương ứng của phương trình Stein. Hai định lý đầu là trong trường hợp tổng quát, còn các kết quả sau chỉ xét trong trường hợp rời rạc, với được coi là số nguyên dương. Cho , trong đó là tập các số thực không âm được trang bị -đại số Borel. Cho là tập các hàm đo được . Cho , với . Cho ta định nghĩa toán tử Stein như sau: (3.1) Định lý 3.1 Nếu bị chặn, phương trình Stein: có một nghiệm . Nghiệm là duy nhất trừ có thể chọn tùy ý. Với mỗi thì cho bởi: Chứng minh Cho là không gian thương của trên tập các hàm { trên R+} và kí hiệu lớp tương đương chứa h là Định nghĩa là không gian Banach được trang bị chuẩn supremum . Định nghĩa các không gian tuyến tính: tương ứng được trang bị các chuẩn và Ta thấy rằng Z là không gian Banach. Định nghĩa các ánh xạ tuyến tính và qua phương trình: và Định nghĩa các ánh xạ và bởi: và Ta chứng minh được rằng là một đẳng cự và là một song ánh trên không gian Banach . Hơn nữa, trong bổ đề 3 của (Barbour, Chen và Loh 1992 [7]) đã chỉ ra rằng toán tử tuyến tính là một song ánh bị chặn với ánh xạ nghịch đảo cho bởi: sao cho Định nghĩa ánh xạ tuyến tính bởi: Rõ ràng, là ánh xạ 1-1, từ Z lên {} . Do đó, toán tử là ánh xạ 1-1 từ lên {}. Vì vậy, phương trình Stein có nghiệm duy nhất. Thay biểu diễn của nghiệm f vào phương trình Stein, ta có f thỏa mãn phương trình Stein, mà nghiệm là duy nhất. Suy ra, phương trình Stein có nghiệm f được biểu diễn như trên. Định lý sau không chứng minh trong (Barbour, Chen và Loh 1992 [7]) Định lý 3.2 Cho là nghiệm của phương trình Stein với h = IA trong đó thì: Từ bây giờ, chúng ta tập trung vào trường hợp rời rạc. Cho với là tập các số nguyên không âm được trang bị - đại số, và lấy với Cho là tập tất cả các hàm và cho (tập con của tập các hàm bị chặn). Định nghĩa toán tử Stein bởi: (3.2) Định lý 3.3 Nếu bị chặn, phương trình Stein: có nghiệm f bị chặn. Nghiệm f là duy nhất, trừ f(0) có thể chọn tùy ý. f được cho bởi: (3.3) trong đó và Chứng minh Chứng minh tương tự định lý 3.1, chúng ta thấy rằng, tồn tại duy nhất nghiệm Do đó, giả thiết , chúng ta có thể chứng minh không tồn tại nghiệm bị chặn khác. Giả thiết rằng tồn tại hai nghiệm bị chặn f1 và f2, thì là một nghiệm của phương trình Stein với và Do đó nên hay . Vậy nghiệm bị chặn của phương trình Stein là duy nhất. Định lý 3.4 Một độ đo xác suất trên là khi và chỉ khi : với mọi hàm bị chặn . Chứng minh Điều kiện cần: Với thì tích phân 2 vế của phương trình Stein ta có: Điều kiện đủ: Gọi là nghiệm duy nhất bị chặn của phương trình Stein với h = IA. Tích phân 2 vế của phương trình Stein theo ta có: = = =0 Do đó Trong phần 2.3, chúng ta đã biết nhân tử kì diệu “magic factor” là cận tốt của chuẩn supremum sai phân cấp một nghiệm của phương trình Stein và chuẩn supremum của bản thân nghiệm. Những cận đó là cần thiết cho sự thành công của phương pháp Stein đối với xấp xỉ Poisson. Điều này cũng đúng đối với xấp xỉ Poisson phức hợp. Tuy nhiên, trong trường hợp xấp xỉ Poisson phức hợp để tìm những cận như vậy phải cần nhiều điều kiện và cận tốt nhất nếu phân bố phức hợp thỏa mãn những điều kiện nhất định. Định lý 3.5 Cho là nghiệm bị chặn duy nhất của phương trình Stein với h bị chặn. Cho , (3.4) trong đó là nghiệm bị chặn duy nhất của phương trình Stein với h = IA thì (3.5) Hơn nữa, nếu (3.6) thì ; (3.7) Chứng minh Cận (3.5) được chứng minh bằng cách sử dụng biểu diễn (3.3) như trong (Barbour, Chen và Loh 1992 [7]). Tuy nhiên, (3.5) chỉ có ích khi khá nhỏ. Cận (3.7) với điều kiện (3.6) thì tốt hơn. Ta chứng minh bằng cách sử dụng biểu diễn nghiệm của phương trình Stein tương tự như định lý 2.4 trong trường hợp xấp xỉ Poisson. Cho và giả thiết rằng g không tăng quá nhanh. Ta có: = trong đó, toán tử A là toán tử sinh của một nhóm quá trình nhập cư-chết trên với mỗi , tỉ lệ nhập cư của nhóm cỡ i là trong khi tỉ lệ chết của cá thể riêng lẻ là 1. Không khó khăn chứng minh rằng phân bố dừng của là CP(). Phương trình Poisson tương ứng với toán tử A là : Nếu h bị chặn, thì chứng minh tương tự định lý 2.4, phương trình có nghiệm: và f là nghiệm bị chặn duy nhất của phương trình Stein; chú ý chúng ta giả thiết Để chứng minh (3.7) chúng ta định nghĩa bốn cặp quá trình nhập cư-chết với mỗi bắt đầu từ k và: , , ở đây và độc lập với nhau và với nên: Chúng ta có thể viết , với là số người nhập cư riêng lẻ trong một nhóm cỡ 1 sau thời gian 0 và vẫn còn sống đến thời điểm t, Yt và Wt là độc lập. Sử dụng bất đẳng thức trong (Barbour (1988) [3]) ta có: Lấy tích phân 2 vế ta được cận đầu tiên trong (3.7). Cận thứ 2 được chứng minh trong (Barbour, Chen và Loh 1992 [7]). 3.4 Ước lượng sai số trong xấp xỉ Poisson phức hợp Để xây dựng ước lượng sai số cho xấp xỉ Poisson phức hợp, chúng ta tập trung vào trường hợp: khi phân bố được xấp xỉ là phân bố của một tổng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên không âm với giá trị trung bình hữu hạn. Chúng ta sử dụng các kí hiệu sau (tương tự phần 2.3): * là tập chỉ số hữu hạn. Trong hầu hết các trường hợp * là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên không âm, với giá trị trung bình hữu hạn. * và =CP() trong đó là độ đo phức hợp chính tắc, định nghĩa bởi (3.8) Mục đích của chúng ta là giới hạn sai phân toàn phần khoảng cách giữa và. Như trong phần 2.3, sử dụng phương trình Stein chúng ta đạt được biểu diễn: (,) = = = trong đó là nghiệm bị chặn duy nhất của phương trình Stein h=IA. Như trong phân bố Poisson, phương pháp xấp xỉ địa phương và phương pháp ghép cặp được dùng để giới hạn phần trên. Định lý 3.6 (phương pháp xấp xỉ địa phương). Cho , trong đó các biến ngẫu nhiên là không âm, nhận giá trị nguyên và có giá trị trung bình hữu hạn. Với mỗi i, chia thành ba tập con và sao cho: =; Xj phụ thuộc rất mạnh vào =; Xj phụ thuộc yếu vào . Cho và . Định nghĩa bởi: (3.8) thì trong đó và được định nghĩa như trong (3.4). Chứng minh Ta có: Do đó, với mỗi và Ví dụ 4 (Các biến ngẫu nhiên độc lập) Cho độc lập. Chọn với mỗi , theo định lý 3.6 ta có: (3.9) trong đó độ đo phức hợp chính tắc là Chúng ta có thể so sánh cận đạt được theo phương pháp khác với phương pháp Stein. (LeCam 1965 [16]) chứng minh rằng: Cận trên lúc thì tốt hơn (3.9), lúc thì kém hơn, phụ thuộc vào . Trong trường hợp đặc biệt khi thì hai cận trên là như nhau với mọi . (Michel (1988) [19]) đã chứng minh rằng: (3.10) Cận trên tốt hơn hai cận trước. Tuy nhiên, phản ví dụ sau đây chỉ ra rằng cận (3.10) không có giá trị trong trường hợp tổng quát: Nếu được cho phép có các phân bố khác nhau. Với mỗi , cho thì cận (3.10) là p. Tuy nhiên, từ phần 3.1 chúng ta biết rằng biến ngẫu nhiên có phân bố , với độc lập cùng phân bố . Hơn nữa, được xác định trên tập các số nguyên không âm, biểu diễn bậc 3 của nó không chứa 2s. Từ định nghĩa biến phân toàn phần khoảng cách: Áp dụng qui tắc L’Hospital hai lần ta có với mỗi p > 0 cố định, . Ta thấy rằng cận cho trong (3.10) sẽ quá bé, điều này là đúng khi chọn p rất nhỏ và n rất lớn. Ta xét ví dụ sau, trong đó các biến ngẫu nhiên độc lập. Ví dụ 5 (head run). Cho là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố với . Cho , trong đó để tính toán đơn giản, ta đồng nhất i + kn với i . Cho . Chọn độ đo phức hợp chính tắc là: Hơn nữa, hạng tử cuối cùng trong cận của định lý 3.6 bị triệt tiêu. Do đó: Tiệm cận của cận này khi n → ∞ nếu p = pn và r = rn là gì? Chú ý rằng . Chúng ta có thể chỉ ra: (i) Nếu , thì cận là (ii) Nếu và thì cận là (iii) Nếu và thì cận là Để làm điều này, chúng ta sử dụng định lý 3.5 cho (i) và (ii) Định lý 3.9 (phương pháp ghép cặp) Cho , trong đó là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên không âm với giá trị trung bình hữu hạn. Với mỗi , chia thành ba tập con , và . Cho và . Định nghĩa bởi (3.8). Với mỗi , cho hai biến ngẫu nhiên và sao cho: được xác định trên cùng một không gian xác suất. Thì: trong đó (.) được định nghĩa như trong (3.4). Chứng minh Tương tự như định lý 3.6 thay cho bất đẳng thức cuối cùng trong chứng minh, sử dụng cặp ghép chúng ta đạt được: với mỗi và Suy ra: Trong trường hợp, khi các biến ngẫu nhiên độc lập, bằng việc chọn và với mỗi . Theo định lý 3.9, ta lại có (3.9) Sau đây là một mở rộng nhỏ của phương pháp ghép cặp, đôi khi rất hữu dụng (không chứng minh) Định lý 3.10 (Phương pháp ghép cặp chi tiết) Cho , trong đó là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên không âm với giá trị trung bình hữu hạn. Với mỗi , chia thành ba tập con và . Cho và . Định nghĩa bởi (3.8). Cho một biến ngẫu nghiên được xác định trên cùng một không gian xác suất như và . Với mỗi , cho hai biến ngẫu nhiên và sao cho: được xác định trên cùng một không gian xác suất. Thì: trong đó được định nghĩa như trong (3.4). Chương IV PHƯƠNG PHÁP STEIN CHO XẤP XỈ CHUẨN 4.1Giới thiệu Phương pháp Stein là một phương pháp dùng để suy ra ước lượng một cách chính xác xấp xỉ của một phân bố xác suất này bởi một phân bố xác suất khác. Vậy làm thế nào để xác định khoảng cách giữa hai phân bố bất kỳ? Một cận trên được xác định bằng sự sai khác kì vọng của một họ (mở) bất kỳ những hàm kiểm tra qua hai phân bố, với mỗi họ hàm kiểm tra xác định một metric liên kết. Những cận trên như vậy tương ứng xác định cận trên cho sự sai khác (hay khoảng cách) giữa hai phân bố, đo được với việc chú ý tới metric liên kết. Vì vậy: + Nếu họ hàm kiểm tra gồm những hàm chỉ tiêu của tất cả những tập con (đo được), thì sự sai khác kì vọng của họ hàm kiểm tra qua hai phân bố được biểu diễn một cách chính xác bằng sự biến thiên khoảng cách dTV giữa hai phân bố đó: H = {1A, A đo được} – Họ hàm kiểm tra với P,Q tương ứng là hai hàm phân bố + Nếu những hàm phân bố xác định trên thì họ hàm kiểm tra là tất cả những hàm chỉ tiêu xác định trên tất cả những nửa đường thẳng. Ta xây dựng được khoảng cách Kolomogorov - Họ hàm kiểm tra = + Nếu những hàm kiểm tra thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều, bị chặn bởi hằng số 1. Tức là: trong đó được định nghĩa: với hàm thì khi đó ta có khoảng cách Wasserstein: + Nếu những hàm kiểm tra thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều và bị chặn đều thì ta có khoảng cách Wasserstein, bị chặn: - Họ hàm kiểm tra Phương pháp Stein ứng dụng tất cả những khoảng cách như vậy. Cho xấp xỉ chuẩn trên , Stein bắt đầu với việc quan sát thấy rằng: (4.1.1) với f là hàm bị chặn bất kỳ, có đạo hàm bị chặn và Z có phân bố chuẩn tắc: Thật vậy, ta có thể kiểm tra lại bằng phép lấy tích phân từng phần. Ta có: (do f(x) bị chặn và , khi ) (4.1.1) Tuy nhiên, tích phân từng phần như vậy cũng có thể sử dụng để giải phương trình vi phân. Với g là hàm bị chặn bất kỳ (4.1.2) Xét tích phân: Mặt khác: Thật vậy: do Tương tự: Vậy khi f là hàm bị chặn Vì vậy, lấy hàm h bị chặn bất kỳ và cho , xác định hàm (4.1.3) (4.1.3) thỏa mãn điều kiện (4.1.2). Thay x trong (4.1.2) bởi biến ngẫu nhiên W bất kỳ: và lấy kỳ vọng ta được: (4.1.4) Vì vậy, phương trình đặc trưng (4.1.1) của phân bố chuẩn tắc cũng xác định một chặn trên cho xấp xỉ chuẩn với việc áp dụng bất kỳ khoảng cách nào đã được giới thiệu ở trên. Cho là lớp hàm kiểm tra (bị chặn) h, có: (4.1.5) Trên thực tế, lấy sup ở vế phải của (4.1.5) chỉ gồm biến ngẫu nhiên W thì việc xác định cận dễ dàng hơn ở vế trái. Phương trình (4.1.1) của phân bố chuẩn dễ dàng chỉ ra được đại lượng là tương đối nhỏ, khi cấu trúc của W làm cho xấp xỉ chuẩn hợp lý. Giả thiết là những biến ngẫu nhiên độc lập, có phân bố giống nhau, có và , sao cho Cho Mục đích: đánh giá với hàm f là hàm trơn và biến thiên tốt. Do W là tổng của những biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố nên: và , ở đây độc lập với Áp dụng khai triển Taylor ta có: (4.1.6) với Tiếp tục khai triển Taylor với: (4.1.7) với Mặt khác: và độc lập với nhau với f là hàm có đạo hàm riêng bị chặn. Vì vậy, nếu là lớp hàm kiểm tra bất kỳ, xác định: (4.1.8) Bất đẳng thức (4.1.8) cho ta xấp xỉ chuẩn của W với sai số với khoảng cách trên được định nghĩa: , với điều kiện là: Do vậy để ước lượng tốt (4.1.8) thì ta phải ước lượng tốt 4.2 Những kiến thức cơ bản của phương pháp Stein 4.2.1 Đặc trưng của phân bố chuẩn Cho Z: biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn tắc : tập những hàm liên tục và khả vi liên tục từng khúc với Phương pháp Stein dựa trên những đặc trưng sau: Bổ đề 4.2.1 Cho W là biến ngẫu nhiên thực. Khi đó, W có phân bố chuẩn tắc khi và chỉ khi (4.2.1) Chứng minh Cần: Giả sử thì có . Với có: Theo Fubini ta có: Vậy . Đủ: Giả sử có cần chứng minh Lấy, cố định Cho là nghiệm của phương trình: (4.2.2) Nhân cả hai vế của (4.2.2) với ta được: Tích phân hai vế: +) Nếu : +) Nếu : Vậy (4.2.3) Theo bổ đề (4.2.2) ta có là hàm liên tục, bị chặn, khả vi liên tục từng khúc . Do (4.2.1) đúng nên đúng với Z có phân bố chuẩn tắc. Do vậy W có phân bố chuẩn tắc. Kết luận: Phương trình Stein tổng quát dạng: (4.2.4) với h là hàm đo được nhận giá trị thực và có nghiệm tổng quát: Trường hợp đặc biệt phương trình Stein có dạng: có nghiệm: (4.2.5) 4.2.2 Tính chất nghiệm của phương trình Stein Sau đây ta đưa ra một số tính chất cơ bản của nghiệm (4.2.3) và (4.2.5) của phương trình Stein (4.2.2) và (4.2.4). Lý do vì sao ta cần xét tính chất nghiệm đã được chỉ ra ở công thức (4.1.8), ở đây ước lượng của , được yêu cầu để tìm ra độ sai số giữa những xấp xỉ khác nhau. Bổ đề 4.2.2 Hàm được xác định bởi (4.2.3): Thì là hàm tăng theo (4.2.6) Hơn nữa, thực, thì: (4.2.7) (4.2.8) (4.2.9) (4.2.10) Bổ đề 4.2.3 Cho hàm h bất kỳ, liên tục tuyệt đối, Nghiệm tổng quát của phương trình Stein được cho ở (4.2.5) thỏa mãn: (4.2.11) (4.2.12) (4.2.13) Có thể xem chứng minh 2 bổ đề này trong [21] 4.2.3 Cấu trúc của đồng nhất Stein Phần này ta sẽ thấy được ý tưởng chính trong cách tiếp cận của Stein. Đó là cách tiếp cận trực tiếp từ phép tính vi phân. Cho là những biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn , với , sao cho , ở đây không yêu cầu phải có phân bố giống nhau. và (4.2.14) , (4.2.15) Ta có . Thật vậy: và Vậy: (4.2.16) Cho h là hàm đo được, , và là nghiệm của phương trình Stein (4.2.4): Mục đích: ước lượng Vì độc lập với với mỗi , nên: (4.2.17) Mặt khác ta có: (4.2.18) Từ (4.2.17) và (4.2.18) (4.2.19) Phương trình (4.2.17) và (4.2.19) có vai trò chính trong chứng minh xấp xỉ chuẩn tốt. (4.2.17) và (4.2.19) đúng cả với tất cả những hàm f liên tục tuyệt đối, bị chặn. Xấp xỉ chuẩn của những hàm trơn Mục đích: ước lượng Với: + các lớp biến ngẫu nhiên W khác nhau + + h: là hàm trơn, thỏa mãn: (4.3.1) Định lý tiếp theo là một định lý nổi bật, nó cho thấy cận của xấp xỉ thu được bằng khoảng cách yếu hơn là với khoảng cách . Định lý 4.3.1 Giả sử tồn tại sao cho, với hàm h bất kỳ thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều (4.3.2) thì: (4.3.3) (4.3.4) Chứng minh: + (4.3.3): Theo định nghĩa của ta có: + (4.3.4): Giả thiết , vì nếu không (4.3.4) là tầm thường. , (*) Với z cố định ta xác định: với A: tuyến tính Khi đó có Mặt khác có với là hàm trơn nên (**) Ngược lại, với z cố định ta xác định: với B: tuyến tính Khi đó ta vẫn có nên mà Do vậy: Vậy từ chứng minh (*) và (**) ta có (4.3.4) Trong phần tiếp theo ta chỉ ra rằng có thể thỏa mãn với đủ nhỏ khi: W là tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập Hoặc W là tổng của các biến ngẫu nhiên phụ thuộc địa phương (iii) Hoặc W là biến ngẫu nhiên sao cho cặp hoán đổi được có tính chất hồi quy tuyến tính với (4.3.5) 4.3.1 Những biến ngẫu nhiên độc lập Mục đích: sử dụng công thức (4.2.19) để chứng minh (4.3.2) với W là tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trung bình bằng 0, moment cấp 3 hữu hạn. Đây là trường hợp mở rộng của công thức (4.1.18) khi những biến ngẫu nhiên độc lập phân bố không giống nhau. Định lý 4.3.2 Cho là những biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn: và với mỗi , và sao cho . Khi đó định lý (4.3.1) có thể áp dụng với: (4.3.6) Trường hợp đặc biệt, ta có Chứng minh Theo bổ đề (4.2.3) ta có Từ công thức (4.2.19): Do vậy Trường hợp đặc biệt, khi Khi đó ta có và Do vậy : (đpcm) Chứng minh (a): Để chứng minh (a) ta đi chứng minh bài toán tổng quát sau đây: Bài toán: cho là những biến ngẫu nhiên độc lập, cho hàm f, g là hàm tăng. Khi đó với CM: ta chứng minh bằng quy nạp + cho f và g là hai hàm tăng, với x,y bất kỳ có (do hai thừa số hoặc cùng dấu không âm khi hoặc cùng không dương khi ) Vì vậy cho X,Y là hai biến ngẫu nhiên bất kỳ. Ta có (#) Tuy nhiên, nếu chúng ta giả định là X,Y độc lập cùng phân bố, thì (do X, Y độc lập) Do vậy: Suy ra được chứng minh. + Giả sử bài toán đúng với n-1 biến ngẫu nhiên độc lập Ta cần chứng minh đúng với n biến ngẫu nhiên độc lập. Với giả thiết f, g là những hàm tăng. Khi đó (do độc lập) (do giả thiết quy nạp) Vậy Lấy kỳ vọng hai vế được (bất đẳng thức cuối suy từ , vì và tăng theo . Tiếp theo ta chỉ ra rằng giả thiết moment cấp 3 hữu hạn là không cần thiết. Định lý 4.3.3 Cho là những biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn: với mỗi và sao cho . Khi đó định lý (4.3.1) có thể áp dụng với (4.3.7) với và (4.3.8) Chứng minh: Chúng ta sử dụng công thức (4.2.12) và (4.2.13) Hơn nữa, ở đây Mặt khác từ công thức (4.2.19) ta có (4.3.9) (*) Tính ? +Nếu +Nếu Đặt Vậy, thay vào biểu thức trên ta có (4.3.10) Vì cả hai hàm và là hàm tăng theo , với biến ngẫu nhiên ta có (4.3.11) KL: hay định lý (4.3.1) đúng với . Tuy định lý (4.3.1) và (4.3.3) chưa cho ta thấy hình ảnh rõ ràng của bất đẳng thức Berry-Esseen nhưng nó đủ cho chứng minh định lý giới hạn trung tâm Lindeberg. Cho là những biến ngẫu nhiên độc lập, có và , với mỗi và và Khi đó là những biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn và biến ngẫu nhiên Xác định và như trong định lý 4.3.3. Thấy rằng, với bất kỳ thì (**) Nếu điều kiện Lindeberg đúng, nghĩa là , khi thì từ (**) khi (vì bất kỳ nên chọn nó nhỏ gần 0). Theo định lý (4.3.1) và (4.3.3) ta có khi Điều này chứng minh định lý giới hạn trung tâm Lindeberg. 4.3.2 Những biến ngẫu nhiên phụ thuộc địa phương + Một dãy ngẫu nhiên m-phụ thuộc là một dãy có tính chất: với mỗi i, tập những biến ngẫu nhiên và là độc lập. + Một dãy những biến ngẫu nhiên độc lập là 0-phụ thuộc. + Phụ thuộc địa phương là tổng quát hoá của khái niệm m-phụ thuộc những biến ngẫu nhiên trong trường hợp tập chỉ số là bất kỳ. Chẳng hạn cho những biến ngẫu nhiên được đánh số bởi các đỉnh của một hình, sao cho tập và độc lập với nhau bất cứ khi nào và trong hình đó không chứa cạnh nào nối đỉnh với. Cho : tập chỉ số hữu hạn của những số đếm n Tập : một trường ngẫu nhiên thỏa mãn và và giả sử Cho : Bây giờ, ta đưa ra thêm hai giả thiết để thấy được đặc tính vượt trội của phụ thuộc địa phương. (LD1) Cho mỗi sao cho và là độc lập. (LD2) Cho mỗi sao cho độc lập với và độc lập với . Xác định và Định lý 4.3.4 Định lý (4.3.1) có thể áp dụng với: 1, Nếu (LD1) thỏa mãn (4.3.12) 2, Nếu (LD2) thỏa mãn (4.3.13) Chứng minh Cho là nghiệm của phương trình Stein (4.2.4): 1, Nếu (LD1) thỏa mãn có do và độc lập, . Vì vậy (4.3.14) Mặt khác, do , (LD1) thỏa mãn Do vậy: (4.3.15) Mặt khác, theo (4.2.12) và (4.2.13) có và Khai triển Taylor Do vậy (4.3.12) 2, Nếu (LD2) thỏa mãn: và độc lập với nhau độc lập với nên: Sử dụng công thức (4.3.15) và khai triển Taylor hàm ta có (4.3.13) Sau đây ta đưa ra ví dụ về trường biến ngẫu nhiên phụ thuộc địa phương. Ví dụ (Đồ thị phụ thuộc) Cho : 1 tập những biến ngẫu nhiên được chỉ số bằng các đỉnh của đồ thị , với : tập các đỉnh, : tập các cạnh. được gọi là đồ thị phụ thuộc nếu +thỏa mãn + + không tồn tại sao cho và hoặc ngược lại. thì tập những biến ngẫu nhiên và độc lập. Cho D là bậc lớn nhất của đồ thị hay là số lớn nhất những cạnh ngẫu nhiên tới 1 đỉnh đơn. Cho : có 1 cạnh nối j với i} Ta có + + không tồn tại độc lập với Tương tự, độc lập với Vậy thỏa mãn (LD2) nên (4.3.13) đúng. 4.3.3 Những cặp hoán đổi được + Cho W là biến ngẫu nhiên (không nhất thiết là tổng của những biến ngẫu nhiên độc lập) Giả sử W có xấp xỉ chuẩn. + Mục đích: muốn xét độ chính xác của xấp xỉ đó. + Phương pháp Stein: đưa ra một biến ngẫu nhiên thứ hai là trong cùng một không gian xác suất, sao cho cặp có thể hoán đổi được, nghĩa là cặp và có cùng phân bố. + Nếu là cặp hoán đổi được thì với là hàm phản xứng, tồn tại kỳ vọng. Thật vậy, {với } {đổi biến x thành y} {do phản xứng} (4.3.16) Bổ đề 4.3.1 Cho là một cặp hoán đổi được của những biến ngẫu nhiên thực có phương sai hữu hạn, thỏa mãn tính chất hồi quy tuyến tính (4.3.17) với . Khi đó và (4.3.18) và, với mọi hàm liên tục từng khúc thỏa mãn điều kiện tăng, tức là , ta có (4.3.19) Chứng minh: a) ? Xét . Khi đó, hàm là hàm phản xứng, đo được, tồn tại kỳ vọng. Theo (4.3.16) có b) ? Xét . Khi đó hàm là hàm đo được, phản xứng, tồn tại kỳ vọng. Ta có Theo (4.3.16) có c) ? Xét , với tồn tại, và hàm f như trong giả thiết. Theo (4.3.16) (4.3.20) Ta sử dụng định lý này để chứng minh định lý sau Định lý 4.3.5 Nếu là cặp hoán đổi được,thỏa mãn tính chất hồi quy tuyến tính (4.3.17) thì định lý (4.3.1) có thể áp dụng với (4.3.21) Chú ý: (để sử dụng cận trên thì phải gần 1) Chứng minh: Cho là nghiệm (4.2.5): của phương trình Stein Mặt khác, dễ thấy (4.3.22) và (*) Theo (4.3.19) có và Từ đó: Mặt khác, theo bổ đề (4.2.3) có và (đpcm) Ví dụ: (ứng dụng cận trong định lý trên) Cho : những biến ngẫu nhiên độc lập, với và Cho + + là một copy một cách độc lập của + I: biến ngẫu nhiên phân bố đều trên tập , độc lập với + Do đó là cặp hoán đổi được và có thỏa mãn (4.3.17) với Mặt khác, tính toán trực tiếp có Hơn nữa: (4.3.23) Do vậy ta có: Theo Liapunov có Do các độc lập nên nên Mặt khác: Do vậy, nếu có moment cấp 3 hữu hạn thì định lý 4.3.1 có thể áp dụng với KL: nếu là cặp hoán đổi được và thỏa mãn tính chất hồi quy tuyến tính thì có (4.3.24) Chương V PHƯƠNG PHÁP STEIN CHO XẤP XỈ MŨ Mục đích của mục này là đề cập đến sự phát triển của phương pháp Stein cho các xấp xỉ mũ của những biến ngẫu nhiên bằng một phân phối mũ. Có nhiều quá trình quan tâm có thể được xấp xỉ bởi một phân phối như thế. Ví dụ như thời gian cho một quá trình ngẫu nhiên để có một tập các trạng thái đặc biệt (Aldous 1989 [2]), và thời gian đến của một sự kiện trong một quá trình ngẫu nhiên (Ross 1983 [24]). Trong nội dung rađa, có một số các phân phối quan tâm được xấp xỉ mũ. Thời gian cho một sự dò tìm trong quá trình dò tìm CFAR là có phân phối mũ, có thể phụ thuộc vào các giả thiết nhiễu. Trong những hệ thống tạo ảnh rađa chẳng hạn như SAR (Synthetic Aperture Radar - khẩu độ mở của rađa), một số mô hình vết đốm (Speckle) cũng được xấp xỉ mũ. Sau đây ta trình bày phương trình Stein cho xấp xỉ mũ. 5.1 Phương trình Stein Một biến ngẫu nhiên liên tục được gọi là có phân phối mũ với tham số nếu hàm mật độ của nó là , . Hàm phân bố tích luỹ là, có thể thấy được giá trị kỳ vọng của là trong khi hiệp phương sai là . Ta tìm một phương trình đặc trưng cho phân phối này. Giả sử là một lớp tất cả các hàm khả vi liên tục từng khúc, . Ta sẽ tìm nghiệm của các phương trình vi phân, ta định nghĩa một tập con , của tất cả các hàm thuộc có miền xác định là không âm trên đường thẳng thực và thỏa mãn hai điều kiện biên là và khi . Khi đó nếu là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ, thì với tham số và , (5.1) Suy ra, với mọi , nếu , thì . Nếu (5.1) thỏa mãn với tất cả các hàm thì suy ra rằng có phân phối mũ. Để minh hoạ điều này, xét phương trình : (5.2) ở đây hàm chỉ tiêu được định nghĩa và là một phân phối xác suất tích luỹ của một biến ngẫu nhiên mũ, với kì vọng trên đoạn , cho . Do đó . Phương trình vi phân (5.2) là phương trình Stein cho xấp xỉ mũ . Ta cần chỉ ra có một nghiệm tốt và duy nhất trong (5.2). Khi đó nếu là biến ngẫu nhiên trên đường thẳng thực không âm thì (5.3) Tiếp theo ta sẽ đề cập đến sự tồn tại và duy nhất nghiệm của (5.2) Nghiệm của phương trình Stein : Sự tồn tại và duy nhất nghiệm Ta biết rằng phương trình khả vi tuyến tính bậc một của dạng , với k là một hàm số, và các điều kiện biên , và có một nghiệm duy nhất (Kreyszig 1988, định lý 1, mục 2.9 [14]). Để xác định nghiệm cho (5.2), nhân hai vế của phương trình Stein (5.2) cho , và ta có (5.4) Do đó , bằng phép lấy tích phân và áp dụng (5.4) cho (5.2) ta được (5.5) Chú ý rằng (5.5) thỏa mãn và . Để chỉ ra rằng g được định nghĩa bởi (5.5) là xác định tốt, ta chỉ ra nó bị chặn bởi cận trên các số thực không âm. Ta có (5.6) Ở đây là cực tiểu của x và a. Bằng việc xét hai trường hợp với và , ta thấy (5.6) tương đương với (5.7) Do đó, (5.8) Điều này cho thấy nghiệm (5.5) của phương trình Stein (5.2) là xác định tốt. Vì vậy hàm g trong (5.7) là nghiệm được xác định tốt duy nhất của phương trình Stein (5.2). Hàm g là khả vi liên tục từng khúc và do đó , nó thỏa mãn các điều kiện biên thích hợp. Chỉ có một điểm duy nhất trên đường thẳng thực không âm mà nó không khả vi là tại . Thật vậy, dễ dàng chỉ ra rằng (5.9) Cho một biến ngẫu nhiên , để đánh giá tính chính xác của nó trong phân phối tới một biến ngẫu nhiên mũ, ta có thể ước lượng kì vọng và xem nó tiến gần tới 0 như thế nào. Ta minh họa điều này trong mục tiếp theo sử dụng một ứng dụng rất đơn giản. Tốc độ hội tụ của một phân phối mũ cụt (truncated Exponential distribution) Xét phân phối mũ cụt với hàm mật độ , cho , và . Rõ ràng, khi thì hàm mật độ này hội tụ tới một biến ngẫu nhiên mũ. Ta sử dụng ví dụ đơn giản này để minh họa ứng dụng của phương pháp Stein cho xấp xỉ mũ. Về cơ bản ta cần ước lượng kì vọng , với có hàm mật độ f ở trên. Chú ý rằng, bằng một ứng dụng của tích phân từng phần (5.10) Suy ra (5.11) Áp dụng ước lượng trơn (5.8) cho (5.11) ta được (5.12) Cận (5.12) cho tốc độ hội tụ của phân phối mũ cụt, tới một phân phối mũ chuẩn. Cận này sẽ giảm xuống 0 khi tăng không giới hạn. Hướng đến một cận tổng quát Mục này đưa ra cách mà phương trình Stein cho xấp xỉ mũ (5.2) có thể được sử dụng để suy ra một cận tổng quát trên xấp xỉ mũ của một biến ngẫu nhiên liên tục . Ta quan tâm đến xấp xỉ phân phối của bằng một biến ngẫu nhiên mũ với tham số . Ở đây, ta giả sử . Trước tiên, như trong phép lấy đạo hàm của (4.2.17) cho trường hợp xấp xỉ chuẩn, ta có thể viết (5.13) (Billingsley 1986 [8]) cho thấy rằng, cho một biến ngẫu nhiên liên tục , Vì thế, áp dụng của các kết quả trên Lấy kì vọng ta được (5.14) Do đó, bằng việc kết hợp (5.13) và (5.14) ta được (5.15) Điều cần thiết bây giờ là một cận trên sao cho nó không phụ thuộc vào t . Giả sử ta có một cận của dạng (5.16) Với là một số hàm ,và là một cận trên các moment của . Khi đó, một áp dụng của (5.16) vào (5.15) sẽ cho (5.17) Hàm có thể là một cận đều trên sự sai khác các đạo hàm của phương trình Stein (5.7). Cụ thể, dựa vào (5.9), nó có thể thiết lập một cận trên . Ví dụ, có thể thấy rằng (5.18) Với là hàm khởi tạo moment của (Billingsley 1986 [8]). Nó có thể sử dụng các thuộc tính của hàm khởi tạo moment để đưa ra một cận có ích. Nó cũng sẽ cần thiết để rút ra các cận dưới, của một dạng tương tự, để thu được cận trên một chuẩn của . Ý tưởng này sẽ được thực hiện trong tương lai. 5.5 Phương pháp Stein cho xấp xỉ hình học Cho W là số thất bại trước thành công đầu tiên trong một dãy các phép thử Becnulli phụ thuộc với . Kết quả chính dưới đây cho ta giới hạn sai số xấp xỉ hình học cho phân phối W. Đặt 1+V có phân phối W, với , và đặt có một phân phối hình học (bắt đầu tại 0) với tham số p sao cho, với , . Định lý Với các định nghĩa ở trên (a) và (b) , với . Để chứng minh định lý trước hết ta cần bổ đề sau. Cho tập B bất kỳ và , ta xây dựng hàm được xác định bởi và cho , , có thể dễ dàng kiểm tra nghiệm của các phương trình trên được cho bởi . Bổ đề Với bất kỳ , , thì . Chứng minh Ta có , và ở đây không có số hạng nào ở vế phải có thể lớn hơn . Chứng minh định lý 1 Thay trong quan hệ phép truy toán cho , lấy kỳ vọng, và chú ý rằng , ta được Từ bổ đề 1 cho Chương VI ĐỊNH HƯỚNG ỨNG DỤNG TRONG RADAR Mục đích của mục cuối cùng này là xác định một số biến ngẫu nhiên và những quá trình ngẫu nhiên quan tâm trong nội dung radar, và để chỉ ra làm thế nào phương pháp Stein có thể được sử dụng để đánh giá các xấp xỉ phân bố. Hy vọng rằng những định hướng ứng dụng này sẽ tạo ra một số nghiên cứu thú vị trong việc phân tích xử lý tín hiệu radar. Những ứng dụng này được đưa vào hai dạng chính trong việc định vị radar (radar detection) và khẩu độ mở nghịch đảo của radar (Inverse Synthetic Aperture Radar – ISAR). Có nhiều vấn đề để sử dụng phương pháp Stein, đặc biệt là trong các vùng thống kê nhiễu xạ và nguyên lý dò tìm. 6.1 Đánh giá xấp xỉ của thống kê nhiễu xạ trong việc dò tìm Noisy, clutter (tạp âm, nhiễu) - tín hiệu vọng lại không mong muốn. Có hai loại nhiễu chính là nhiễu điện từ và nhiễu do môi trường xung quanh. Nhiễu điện từ được gây ra bởi tín hiệu vô tuyến hay từ trường khác. Nhiễu do môi trường xung quanh là nhiễu được gây ra bởi sự dịch chuyển ngẫu nhiên của điện tử trong mạch điện tử khi tắt nguồn hay bởi sự dịch chuyển ngẫu nhiên của không khí. Giao thoa (Interference)-thông thường, đó là năng lượng bên ngoài, từ các nguồn tự nhiên hoặc do con người tạo ra, làm cản trở việc nhận tín hiệu mong muốn. Nguyên lý dò tìm radar giải quyết những vấn đề liên quan đến việc quyết định liệu có mục tiêu hiện tại trong một môi trường nhiễu xạ hay không. Một hệ thống dò tìm quan trọng là sơ đồ CFAR (Constant False Alarm Rate) (Levanon 1988 [17]). CFAR là một dạng phổ biến của giải thuật thích nghi được dùng trong các hệ thống radar để dò tìm mục tiêu chống lại tạp âm, nhiễu và giao thoa. Trong radar tín hiệu vọng lại được thu nhận bởi an-ten, bộ khuyếch đại, bộ đổi tần số sau đó chuyển qua bộ dò để thu được các tín hiệu video. Tín hiệu video này tương xứng với năng lượng của tín hiệu vọng lại thu được bao gồm cả tín hiệu vọng lại mong muốn và không mong muốn do nhiễu và giao thoa. Vai trò của CFAR là xác định ngưỡng năng lượng mà trên đó bất cứ tín hiệu vọng trở về nào cũng có thể xét sự xuất hiện của mục tiêu. Nếu ngưỡng này quá thấp sẽ có nhiều mục tiêu được phát hiện và do đó làm tăng số cảnh báo lỗi. Ngược lại, nếu ngưỡng này quá cao thì các mục tiêu được phát hiện ít hơn nhưng số cảnh báo lỗi cũng sẽ thấp đi. Trong hầu hết các sơ đồ CFAR đơn giản, mức ngưỡng được tính bằng ước lượng mức độ tầng nhiễu xung quanh tế bào thử (cell under test - CUT), bằng cách lấy một khối các tế bào xung quanh CUT và tính mức năng lượng trung bình. Để tránh làm sai lệch ước lượng này với chính CUT đó, các tế bào kề CUT thường được bỏ qua (và được gọi là các tế bào bảo vệ (guard cells)). Một mục tiêu được thông báo xuất hiện trong CUT nếu nó lớn hơn tất cả các tế bào kề và lớn hơn mức năng lượng trung bình. Đôi khi ước lượng mức năng lượng này có thể được gia tăng lên chút ít cho kích cỡ mẫu giới hạn. Cách tiếp cận đơn giản này gọi là cell-averaging CFAR (CA-CFAR). Tại mỗi giai đoạn, một tập các thống kê nhiễu xạ được rút ra, từ đó thu được một độ đo nhiễu xạ trung bình. Độ đo này sau đó được đem so sánh với một tế bào thử, nếu tế bào thử này vượt quá ngưỡng nhiễu xạ chuẩn thì thông báo có mục tiêu xuất hiện, ngược lại thì sẽ không có mục tiêu nào. Việc thực thi độ đo của một sơ đồ như thế là xác suất của cảnh báo lỗi. Sơ đồ CFAR có thể ước lượng xác suất này. Việc này thường được thực hiện bằng việc trực tiếp áp dụng kỹ thuật Monte Carlo (Weinberg 2004 [26]). Trong nhiều trường hợp, ước lượng Monte Carlo còn mơ hồ, và vì vậy ước lượng này có thể hữu ích để xấp xỉ thống kê nhiễu xạ đầu tiên. Để minh hoạ cho ý tưởng này, ta giả sử có m thống kê nhiễu xạ độc lập cùng phân phối và tế bào qua thống kê kiểm định là. Nếu là tham số ngưỡng của CFAR thì xác suất cảnh báo lỗi là (6.1) trong đó f xác định mức độ nhiễu xạ, và có cùng phân bố như thống kê nhiễu (Weinberg 2004 [26]). Có nhiều cách chọn f. Trong trường hợp cell-averaging CFAR, . Cách chọn phổ biến khác là chọn tế bào nhỏ nhất của CFAR, với , . Trong ước lượng Monte Carlo ở (6.1) đã tìm ra một ước lượng mẫu quan trọng thích hợp vì ước lượng Monte Carlo chuẩn của một xác suất như (6.1) đòi hỏi một lượng lớn các mô hình hoá (Weinberg 2004 [26]). Trong một vài trường hợp, mẫu quan trọng cũng có thể là mơ hồ. Một giải pháp có thể cho trường hợp này là xấp xỉ phân phối thống kê nhiễu xạ và sau đó sử dụng xấp xỉ này cùng với ước lượng Monte Carlo ở (6.1). Ý tưởng này được sử dụng trong (Weinberg 2004 [26]) ở một mức độ nhất định. Thắc mắc về tính hiệu lực của xấp xỉ phân phối của nảy sinh một cách tự nhiên. Hàm nhiễu f có thể được viết, trong nhiều trường hợp, là một tổng của những biến ngẫu nhiên. Trong trường hợp độ đo nhiễu trung bình tế bào, điều này là hiển nhiên. Trong trường hợp nhỏ nhất của thống kê nhiễu, ta có thể viết (6.2) Tổng biến ngẫu nhiên trong (6.2) chỉ là một tổng của những biến ngẫu nhiên phụ thuộc. Do đó, cho một viễn cảnh nhiễu xạ đặc biệt và độ đo nhiễu xạ đặc biệt f, ta quan tâm đến xấp xỉ phân phối của tổng những biến ngẫu nhiên. Như đã được mô tả, phương pháp Stein thích hợp cho những vấn đề như thế, và có nhiều cận chính xác cho những xấp xỉ phân phối như vậy. Vì thế phương pháp Stein có thể được dùng để đánh giá tính hiệu lực của những xấp xỉ làm dễ dàng ước lượng Monte Carlo trong việc thực hiện các độ đo trong radar. 6.2 Thời gian dò tìm trong sơ đồ CFAR Thời gian dò tìm trong CFAR, hay cụ thể hơn, thời gian giữa hai lần dò tìm là phần quan trọng trong vấn đề định vị radar bởi vì đó là sự tương quan giữa các sự kiện để chỉ ra sự xuất hiện của một mục tiêu. Theo quan điểm thống kê, đó là một biến ngẫu nhiên khá phức tạp với phân phối đuôi. Do đó, việc dò tìm cũng giống như các biến cố hiếm, thời gian chờ là giống như thời gian chờ tới một biến cố hiếm. Một quá trình Poisson (Ross 1983 [24]) có thể được sử dụng như là một mô hình cho việc tính sự xuất hiện của các biến cố hiếm, và thời gian chờ trong một quá trình như thế có một phân phối mũ. Do đó, phân phối mũ có thể được sử dụng cho thời gian chờ tới một sự dò tìm. Để minh họa ý tưởng này một cách toán học, giả sử ta có một quá trình ngẫu nhiên thời gian rời rạc , với mỗi là một biến ngẫu nhiên chỉ tiêu, xác định tại mỗi quyết định dò tìm CFAR, được định nghĩa bởi (6.3) Với mỗi là ngưỡng CFAR, và là tế bào qua thống kê kiểm định. Do đó là 1 nếu ở đó không có sự dò tìm nào tại thời điểm thứ j. Sau đó ta định nghĩa một biến ngẫu nhiên W (6.4) Biến ngẫu nhiên W là thời điểm đầu tiên quá trình ngẫu nhiên đạt đến trạng thái 0, và vì thế tính được thời gian rời rạc cho một sự dò tìm. Mặc dù W là một biến ngẫu nhiên tương đối đơn giản nhưng nó có phân phối phức tạp. Tuy nhiên, một số xấp xỉ có thể được thực hiện. Chú ý rằng W là số lần thất bại trước thành công đầu tiên trong một loạt các phép thử Becnulli phụ thuộc, với xác suất thành công khác nhau. Phương pháp Stein có thể được dùng để đánh giá xấp xỉ này, sử dụng công việc của (Pekoz 1996 [22]) (mục 5.5). 6.3 Mô hình vết đốm trong khẩu độ mở nghịch đảo Radar (Inverse Synthetic Aperture Radar) Inverse Synthetic Aperture Radar (ISAR) là một kỹ thuật hữu ích cho việc thu nhận những hình ảnh có độ phân giải cao hai chiều của một mục tiêu quan tâm. Vết đốm (Speakle) là một hiện tượng được tìm thấy trong những hệ thống tạo ảnh kết hợp như ISAR. Trong ISAR, cả biên độ và pha của sự bức xạ tán sắc ngược (backscatter - Sự lan truyền của sóng vô tuyến mà trong đó hướng của sóng ban đầu và sóng tán sắc, xác định theo một hướng chuẩn (thường là đường nằm ngang), là ngược nhau. Tín hiệu sinh ra do tán sắc ngược thường được gọi là "backscatter") được ghi lại. Do đó, một hạt nhiễu đặc trưng được đưa ra. Hạt nhiễu đó được gọi là vết đốm. Mỗi tế bào phân giải của hệ thống chứa nhiều sự tán xạ (scatter - Hiện tượng hướng, tần số hoặc phân cực của sóng bị thay đổi khi sóng lan truyền trong môi trường mà một số tham số thay đổi không liên tục (tức môi trường gián đoạn) hoặc tương tác với vật liệu ở mức nguyên tử hoặc phân tử. Sự tán xạ gây ra một thay đổi lộn xộn hoặc ngẫu nhiên trong phân bố năng lượng sóng). Pha của mỗi tín hiệu phản hồi từ mỗi sự tán xạ là ngẫu nhiên, và sự tương quan giữa chúng gây ra vết đốm. (Daba and Bell 1994 [10]) nghiên cứu từng phần phát triển vết đốm, mô hình hóa bề mặt thống kê nhiễu xạ như là một quá trình điểm (Daley and Vere-Jones 1988 [11]). Vì vậy, những xấp xỉ được đưa ra cho những phân phối của mật độ vết đốm single-look và multi-look, sử dụng đa thức trực chuẩn Laguerre. Trong mô hình đó, giả định rằng một tế bào phân giải chứa một số cố định n điểm tán xạ, được phân bố ngẫu nhiên trong suốt các tế bào phân giải, sao cho mỗi vị trí tán xạ là độc lập với các tán xạ khác. Mỗi thành phần trường điện từ tán xạ ngược đều có một biên độ hằng và một pha ngẫu nhiên , được phân bố đều trên đoạn . Độ đo mật độ vết đốm single-look tổng thể là (6.5) Vết đốm multi-look được mô phỏng như là một tổng rời rạc của L thống kê độc lập của mật độ vết đốm single-look (6.6) Trong (Daba and Bell 1994 [10]), (6.5) có một phân phối mũ tiệm cận, trong khi (6.6) có phân phối Gamma tiệm cận. Ứng dụng lý thuyết trình bày trong chương 5 phối hợp với nghiên cứu trong [Luk 1994 and Reinert 2003] có thể cho những điều kiện mà qua đó các phân phối giới hạn tồn tại và tốc độ hội tụ của (6.5) và (6.6) tới những phân phối tiệm cận tương ứng. Các quá trình điểm (Daley and Vere-Jones 1988 [11]) là một công cụ tự nhiên để sử dụng trong việc nghiên cứu các vấn đề tạo ảnh, chúng mô hình phân phối các điểm trong một miền không gian. Phương pháp Stein đã được phát triển rộng rãi cho xấp xỉ quá trình điểm Poisson (Holst and Janson 1992 [6]), và vì một quá trình điểm Poisson là một mô hình của các điểm tán xạ hoàn toàn ngẫu nhiên, xấp xỉ Poisson của những quá trình như (6.6) cũng có thể được nghiên cứu. Ngoài ra, vì (6.6) có một phân phối Gamma giới hạn, ý tưởng về quá trình điểm Gamma có thể được phát triển, cùng với phương trình Stein cho những xấp xỉ quá trình điểm trong việc thiết lập này. Điều này sẽ giới thiệu một quá trình hoàn toàn mới vào trong lớp các quá trình điểm, cũng như là sự phát triển mới của phương pháp Stein. KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu phương pháp Stein cho xấp xỉ Poisson , xấp xỉ Poisson phức hợp, xấp xỉ chuẩn để ước lượng sai số cho tổng những biến ngẫu nhiên. Một bước phát triển mới của phương pháp Stein cho xấp xỉ mũ cũng được đưa ra. Đồng thời luận văn nêu ra định hướng ứng dụng phương pháp Stein vào hai phạm vi nghiên cứu radar trong vấn đề dò tìm và khẩu độ mở nghịch đảo radar. Hướng phát triển của luận văn là đưa ra được ứng dụng cụ thể của phương pháp Stein vào việc phân tích hệ thống radar với những số liệu thực tế, không chỉ ứng dụng trong radar mà trong các lĩnh vực khác. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Abadi, M. (2001), “Exponential approximation for hitting times in mixing pro- -cesses”, Math.Phys.Elec.Journ, (7), 1—19. [2] Aldous, D., (1989), Probability Approximations via the Poisson Clumping Heuristic, Springer—Verlag, New York. [3] Barbour (1988), “Stein’s method and Poisson process convergence”, Ann. Prob. 15, 175-184. [4] Barbour and Louis Chen (2004), An introduction to Stein’s method, Vol.4, Lecture Notes Series, Institute for Mathematical Sciences, Natinal University of Singapore. [5] Barbour, A. D. and Brown, T. C. (1992), “Stein’s method and point process approximation”, Stoch. Proc. Appl., 43, 9—31. [6] Barbour, L. Holst, and S.Janson (1992), Poisson Approximation, Oxford Univer -sity Press, Oxford. [7] Barbour, Chen and Loh (1992), “Compound Poisson approximation for nonnegative random variables via Stein’s method”, Ann. Probab. 20, 1843-1866. [8] Billingsley, P. (1986), Probability and Measure, John Wiley and Sons. [9] Chen (1998), Stein’s method: some perspectives with applications, Vol.128, 97-122, Springer, New York. [10] Daba, J. S. and Bell, M. R. (1994), “Statistical Distributions of Partially Developed Speckle Based on a Small Number of Constant Scatterers with Random Phase. Geo science and Remote Sensing Symposium, IGARSS ’94: Surface and Atmospheric Remote Sensing: Technologies, Data Analysis and Interpretation”, 4, 2338 – 2341. [11] Daley and Vere Jones (1988), An introduction to the theory of point process, Springer, New York. [12] Hippenstiel, R. D. (2002), Detection Theory: Applications and Digital Signal Processing, CRC Press, New York. [13] Kerstan (1964), “Verallgemeinerung eines Satzes von Prochorow und Le Cam”, Z.Wahrsch. Verw. Gebiete 2, 173-179. [14] Kreyszig, E. (1988), Advanced Engineering Mathematics, Wiley, New York. [15] LeCam (1960), “An approximation theorem for the Poisson binomial distribution”, Pacific J. Math. 10, 1181-1197. [16] LeCam (1965), “ On the distribution of sums of independent random variables” in J.Neyman and Lecam (eds), Becnoulli, Bayes, Laplace, Springer, New York. [17] Levanon, N. (1988), Radar Principles, John Wiley & Sons, New York. [18] Luk, M. (1994), Stein’s method for the gamma distribution and related statistical applications, PhD. Thesis, University of Southern California. [19] Michel (1988), “An improved error bound for the compound Poisson approximation of a nearly homogenous portfolio”, Astin Bull. 17, 165-169. [20] Oliver, C. and Quegan, S. (1998), Understanding synthetic aperature radar images, Artech House, Boston. [21] Paditz, (1996), Uber eine globale Fehlerabschatzung im zentralen Grenzwertsatz, Wiss. Z. Hochsch. Verkehrswesen “Friedrich List” Dresden, 33, pp.399-404. [22] Pekoz, (1996), “Stein’s method for geometric application”, J.Appl. Prob., 33, 707-713. [23] Reinert, G. (2003), Stein’s method for χ2 Approximations, Weak Law of Large Numbers, and Discrete Distributions from a Gibbs View Point, Tutorial notes for the Workshop on Stein’s Method and Applications. [24] Ross, Sheldon (1983), Stochastic Processes, Wiley, New York. [25] Stein (1986), Approximation computation of expectations, IMS Lecture Notes Vol 7, Hayward, California. [26] Weinberg, G. V. (2004), “Estimation of False Alarm Probabilities in Cell Averaging Constant Rate False Alarm Detectors via Monte Carlo Methods”, DSTO-TR-1624. [27] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên (2003), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo Dục.

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • docPhương pháp stein và định hướng ứng dụng vào xử lý tín hiệu radar.doc
Luận văn liên quan