Tìm tập hợp điểm trong chương trình THCS

Mục lục Mục lục A. Lời nói đầu . B. Nội dung . Phần I. Những vấn đề cơ bản về bài toán tập hợp điểm . 1. Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích) . 2. Phương pháp chủ yếu giải bài toán tập hợp điểm . 3. Phương pháp giới hạn tập hợp điểm 4. Một vài phương pháp khác giải bài toán quỹ tích . Phần II. Các tập hợp điểm cơ bản I. Tập hợp điểm là đường thẳng hoặc một phần đường thẳng 1.Tập hợp điểm là đường trung trực hoặc một phần đường trung trực . 2. Tập hợp điểm là tia phân giác 3. Tập hợp điểm là hai đường thẳng song song . 4. Tập hợp điểm là một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước 5. Tập hợp điểm là đường thẳng hợp với đường thẳng cố định một góc không đổi II. Tập hợp điểm là đường tròn hoặc một phần của đường tròn . 1. Tập hợp điểm là đường tròn . 2. Tập hợp điểm là cung tròn . Phần III. Ứng dụng quỹ tích vào thực tế và giải toán . Phần IV. Một số bài toán chọn lọc về tập hợp điểm . I. Các bài toán tập hợp điểm là đường thẳng hoặc một phần của đoạn thẳng II. Các bài toán tập hợp điểm là đường tròn hoặc một phần của đường tròn. C. Thực nghiệm . Phần IV. Kết luận . Phần V. Phụ lục . trang 2 trang 3 trang 5 trang 5 trang 5 trang 5 trang 6 trang 6 trang 8 trang 8 trang 8 trang 11 trang 15 trang 17 trang 20 trang 22 trang 22 trang 27 trang 32 trang 34 trang 34 trang 38 trang 42 trang 60 trang 61 A. LỜI NÓI ĐẦU Môn toán là môn học có tính thực tế rất cao. Nó ảnh hưởng lớn đến đời sống con người, ảnh hưởng đến các môn khoa học khác. Một nhà tư tưởng Anh đã nói: “Ai không hiểu biết Toán học thì không thể hiểu biết bất cứ khoa học nào khác và cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình”. Vì thế dạy học môn toán luôn được mọi ngành giáo dục và mọi quốc gia coi trọng. Nhất là trong thời đại ngày nay. Trong dạy và học toán ở cấp học THCS có lẽ dạy và học môn hình học là khó hơn cả. Đa phần học sinh khi được hỏi: “Em có thích học môn hình học không? Vì sao? ”, đều trả lời: “ em không thích, vì môn này khó hiểu, khó học”. Đặc biệt khi đứng trước yêu cầu giải bài toán về tìm tập hợp điểm (quỹ tích) thì nhiều học sinh có tâm trạng lo sợ, ngại vì khó. Khái niệm quỹ tích của hình học phẳng là cơ sở quan trọng của toán cao cấp nhưng đối với học sinh THCS khái niệm này trừu tượng, số lượng sách nói về quỹ tích không nhiều, không đủ cho học sinh hiểu, nếu có cũng chỉ là giới thiệu vì cho rằng đây là vấn đề dành cho học sinh khá và giỏi. Hơn nữa, nếu như ở bài toán chứng minh hình học thông thường đề bài đã cho biết kết luận rồi, chẳng hạn như bài toán yêu cầu chứng minh : tứ giác nội tiếp, hai đường thẳng song song, hai góc bằng nhau vì thế học sinh đã biết được cái đích cần đạt được, chỉ cần tìm con đường đi tới đích là được. Trái lại, ở bài toán tìm tập hợp điểm học sinh như người đi trong bóng tối, mù mịt, băn khoăn, chưa biết tập hợp điểm cần tìm là gì, nên hướng về đâu, đi theo con đường nào và đi đến kết luận nào mới đúng. Tuy nhiên, bài toán về tập hợp điểm (quỹ tích) góp phần không nhỏ vào việc phát triển tư duy logic, rèn óc sáng tạo, hình thành và phát triển nhân cách cho học sinh, rèn luyện cho học sinh khả năng phán đoán chính xác, khả năng phân tích, tổng hợp . góp phần tích cực vào việc thực hiện mục tiêu mà ngành giáo dục đặt ra cho môn toán và mục tiêu chung của giáo dục. Vì thế tập hợp điểm là vấn đề thường gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9 ở cấp huyện, thành phố và quốc gia, thi tuyển vào lớp 10 ở các trường chuyên, trường năng khiếu. Chính vì những lẽ đó mà tôi chọn chủ đề: “ Tìm tập hợp điểm trong chương trình THCS ”. Đề tài gồm các nội dung chính sau: Phần I. Những vấn đề cơ bản về bài toán tập hợp điểm Phần II. Các tập hợp điểm cơ bản Phần III. Ứng dụng quỹ tích vào thực tế và giải toán Phần IV. Một số bài toán chọn lọc về tập hợp điểm Phần IV. Kết luận Đề tài được viết dựa trên những kết quả học tập, những kinh nghiệm thực tế dạy học của bản thân có sự đóng góp, bổ sung của các đồng nghiệp trong và ngoài trường, tuy nhiên không tránh khỏi sai sót của người viết. Dẫu vậy, tôi hy vọng các quan điểm được nêu ra trong đề tài góp phần thuận lợi cho việc dạy và học toán đồng thời đáp ứng phần nào nguyện vọng của một số thày cô và học sinh, phụ huynh yêu thích môn toán và nhằm góp phần nhỏ bé giúp thày và trò hoàn thành mục tiêu mà ngành giáo dục đề ra.

doc49 trang | Chia sẻ: lvcdongnoi | Ngày: 05/02/2013 | Lượt xem: 2290 | Lượt tải: 5download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Tìm tập hợp điểm trong chương trình THCS, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
nªn SD MOA / SD MOB =. d. KÕt luËn TËp hîp ®iÓm M cÇn t×m lµ tia ph©n gi¸c Oz cña gãc xOy, lo¹i trõ ®iÓm a M M d d’ h 3. TËp hîp ®iÓm lµ hai ®­êng th¼ng song song a. Tãm t¾t lý thuyÕt: §Þnh lý: TËp hîp c¸c ®iÓm M c¸ch ®­êng th¼ng h cho tr­íc mét kho¶ng b»ng a ( a > 0) cho tr­íc lµ hai ®­êng th¼ng song song víi ®­êng th¾ng ®· cho vµ c¸ch ®­êng th¼ng ®ã b»ng a. b. C¸c bµi to¸n: Bµi to¸n 1: Cho D ABC, ®iÓm D chuyÓn ®éng trªn BC. VÏ DE song song víi AC; DF song song víi AB (E Î AB; F Î AC). T×m tËp hîp ®iÓm O lµ trung ®iÓm cña EF. A M E N O B K H F C D a H­íng dÉn gi¶i: a. PhÇn thuËn: V× DE // AB; DF // AC Þ tø gi¸c AEDF lµ h×nh b×nh hµnh suy ra trung ®iÓm O cña ®­êng chÐo EF còng lµ trung ®iÓm cña ®­êng chÐo AD. VÏ ®­êng cao AH, vÏ OK ^ BC (K Î BC) V× OK // AH, O lµ trung ®iÓm cña AD nªn OK lµ ®­êng trung b×nh cña D ADH Þ OK = AH ( kh«ng ®æi). §iÓm O c¸ch ®­êng th¼ng BC mét kho¶ng kh«ng ®æi AH nªn O n»m trªn ®­êng th¼ng a // BC vµ c¸ch BC mét kho¶ng AH b. Giíi h¹n: Khi D º B th× O º M ; khi D º C th× O º N VËy ®iÓm O di ®éng trªn ®­êng trung b×nh MN cña D ABC c. PhÇn ®¶o: LÊy O bÊt kú thuéc ®­êng trung b×nh MN cña D ABC, khi ®ã O lµ trung ®iÓm cña AD. KÎ AO c¾t BC t¹i D. Tõ D kÎ DE // AC, DF // AC (E Î AB; F Î AC), ta cã tø gi¸c AEDF lµ h×nh b×nh hµnh. V× O lµ trung ®iÓm cña ®­êng chÐo AD nªn O còng lµ trung ®iÓm cña ®­êng chÐo EF cña h×nh b×nh hµnh AEDF. d. KÕt luËn: TËp hîp trung ®iÓm O cña EF lµ ®­êng trung b×nh MN cña D ABC víi M, N thuéc c¸c c¹nh AB vµ AC. Bµi to¸n 2: Cho ®­êng th¼ng a. T×m tËp hîp t©m cña c¸c ®­êng trßn cã b¸n kÝnh R (R > 0) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng a. O y H x a H­íng dÉn gi¶i a. PhÇn thuËn: Gäi O lµ t©m ®­êng trßn b¸n kÝnh R tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng a, ta cã kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn ®­êng th¼ng a lu«n b»ng R. Do ®ã, O thuéc ®­êng th¼ng x vµ ®­êng th¼ng y s«ng song víi ®­êng th¼ng a vµ c¸ch ®­êng th¼ng a mét kho¶ng b»ng R. b. Giíi h¹n: O lµ ®iÓm tuú ý trªn hai ®­êng th¼ng x hoÆc y ®Òu vÏ ®­îc ®­êng trßn (O,R) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng a. c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm O bÊt kú thuéc ®­êng th¼ng x hoÆc ®­êng th¼ng y. VÏ OH ^ a (H Î a), ta cã OH = R. VÏ ®­êng trßn (O; OH). V× OH = R nªn ®­êng trßn (O; OH) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng a d. KÕt luËn: TËp hîp t©m O cña c¸c ®­êng trßn cã b¸n kÝnh R tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng a lµ hai ®­êng th¼ng x vµ y song song víi ®­êng th¼ng a vµ c¸ch ®­êng th¼ng a mét kho¶ng b»ng R. 4. TËp hîp ®iÓm lµ mét ®­êng th¼ng song song víi ®­êng th¼ng cho tr­íc a. Tãm t¾t lý thuyÕt: §Þnh lÝ: TËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu a M d d’ hai ®­êng th¼ng song song cho tr­íc lµ mét ®­êng th¼ng song song vµ n»m c¸ch ®Òu hai ®­êng th¼ng ®· cho b. C¸c bµi to¸n: Bµi to¸n 1: Cho hai ®­êng th¼ng song song d vµ d’ c¸ch nhau mét kho¶ng b»ng h (h>0). T×m tËp hîp t©m O cña c¸c ®­êng trßn tiÕp xóc víi c¶ hai ®­êng th¼ng d vµ d’. H­íng dÉn gi¶i: O d B A a d’ a. PhÇn thuËn: KÎ OA ^ d ( A Î d); OB ^ d’ ( B Î d’) Ta cã: d // d’ ( gt), OA ^ d Þ OA ^ d’ OA ^ d’, OB ^ d’ Þ A, O, B th¼ng hµng Þ OA = OB = R Þ OA = OB = R = AB= h Þ O c¸ch ®Òu hai ®­êng th¼ng d vµ d’ Þ O thuéc ®­êng th¼ng a n»m gi÷a hai ®­êng th¼ng d vµ d’ c¸ch mçi ®­êng th¼ng ®ã mét kho¶ng h. b. Giíi h¹n: O lµ ®iÓm tuú ý trªn ®­êng th¼ng a ®Òu vÏ ®­îc ®­êng trßn tiÕp xóc víi hai ®­êng th¼ng d vµ d’. c. PhÇn ®¶o: LÊy O bÊt k× thuéc ®­êng th¼ng a, kÎ OA ^ d; OB ^ d’ ( A Î d; B Î d’) Khi ®ã ta cã: OA = OB = h . VÏ (O; h) Þ A Î (O; h); B Î (O; h) Þ (O; h) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng d vµ d’.VËy O thuéc ®­êng th¼ng a. d. KÕt luËn: TËp hîp c¸c ®iÓm O t©m cña c¸c ®­êng trßn tiÕp xóc víi hai ®­êng th¼ng d vµ d’ song song c¸ch nhau mét kho¶ng b»ng h ( h > 0) lµ mét ®­êng th¼ng a n»m gi÷a hai ®­êng th¼ng d vµ d’ c¸ch mçi ®­êng th¼ng mét kho¶ng b»ng h. Bµi to¸n 2: Cho mét ®­êng th¼ng d vµ mét ®iÓm A kh«ng n»m trªn d cïng cè ®Þnh. Gäi (O) lµ mét ®­êng trßn di ®éng qua A vµ tiÕp xóc víi d t¹i B. T×m tËp hîp h×nh chiÕu M cña t©m O xuèng AB. H­íng dÉn gi¶i: O H N B d D A M a. PhÇn thuËn: KÎ OM ^ AB, khi ®ã M lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm O trªn AB, vµ MA = MB ( ®­êng kÝnh vµ d©y cung) KÎ AH ^ d , do Avµ d cè ®Þnh nªn AH cè ®Þnh . KÎ MN ^ d, do MA = MB nªn MN = AH VËy ®iÓm M di ®éng nh­ng lu«n c¸ch ®­êng th¼ng d mét kho¶ng kh«ng ®æi b»ng AH vµ M lu«n n»m cïng phÝa víi A so víi ®­êng th¼ng d. VËy ®iÓm M thuéc ®­êng th¼ng D // d c¸ch ®­êng th¼ng d mét kho¶ng AH, ®i qua trung ®iÓm cña AH. b. Giíi h¹n: Víi M lµ ®iÓm tuú ý trªn D lu«n lµ h×nh chiÕu cña mét ®iÓm O lµ t©m cña mét ®­êng trßn qua A vµ tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng d. c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm M bÊt kú thuéc D, nèi A víi M c¾t d t¹i B; dùng O lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M vµ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi d t¹i B. V× ®­êng th¼ng D // d vµ ®i qua trung ®iÓm cña AH Þ M lµ trung ®iÓm cña AB. Mµ OM ^ AB Þ OM lµ ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB Þ OA=OB . VÏ ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh OA, khi ®ã B Î (O; OA). V× OB ^ d, B Î d, B Î (O; OA) Þ (O; OA) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng d. d. KÕt luËn: TËp hîp h×nh chiÕu t©m O cña ®­êng trßn ®i qua ®iÓm A vµ tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng d cè ®Þnh lµ ®­êng th¼ng D // d n»m cïng mét nöa mÆt ph¼ng víi ®iÓm A bê lµ ®­êng th¼ng d, c¸ch ®­êng th¼ng a mét kho¶ng b»ng nöa kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A ®Õn d. 5. TËp hîp ®iÓm lµ ®­êng th¼ng hîp víi ®­êng th¼ng cè ®Þnh mét gãc kh«ng ®æi Bµi to¸n 1: Cho gãc xOy = 900 cè ®Þnh, ®iÓm A cè ®Þnh trªn tia Ox, ®iÓm B chuyÓn ®éng trªn tia Oy, vÏ D ABC ®Òu ( C vµ O kh¸c phÝa ®èi víi AB). T×m tËp hîp trung ®iÓm M cña BC. y x z C M D O E A B H­íng dÉn gi¶i: a. PhÇn thuËn: D ABC ®Òu, AM lµ trung tuyÕn Þ AM ^ BC Þ Ð AOB = Ð AMB = 900 Þ tø gi¸c OBMA néi tiÕp ®­îc trong mét ®­êng trßn Þ Ð AOM = Ð ABM, mµ Ð AOM = 600 MÆt kh¸c, do OA cè ®Þnh, nªn M thuéc ®­êng th¼ng hîp víi Ox mét gãc b»ng 600 b. Giíi h¹n: Khi B º O th× Cº D, nªn M º E ( E lµ trung ®iÓm cña OD) Khi B ch¹y xa v« tËn trªn tia Oy th× C ch¹y xa v« tËn trªn tia Dz nªn M ch¹y xa v« tËn trªn tia ED. VËy M chuyÓn ®éng trªn tia ED c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm M bÊt kú thuéc tia ED vÏ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AM t¹i M, c¾t tia Oy t¹i B, vÏ D ABC ®Òu. Ð AOB = Ð AMB = 900 Þ tø gi¸c OAMB néi tiÕp ®­îc trong mét ®­êng trßn Þ Ð ABM = Ð AOM mµ Ð AOM = 600 Þ Ð ABM = 600 . Ð ABM = 600, ÐABC =600 Þ M, B, C th¼ng hµng. D ABC ®Òu, AM ^ BC Þ M lµ trung ®iÓm cña BC. d. KÕt luËn : TËp hîp c¸c ®iÓm M lµ trung ®iÓm cña BC lµ tia ED thuéc ®­êng th¼ng hîp víi Ox mét gãc b»ng 600. Bµi to¸n 2: Cho gãc xOy = 900 cè ®Þnh, ®iÓm A cè ®Þnh trªn tia Ox, ®iÓm B chuyÓn ®éng trªn tia Oy, vÏ D ABC ®Òu ( C vµ O kh¸c phÝa ®èi víi AB). T×m tËp hîp c¸c ®iÓm C. H­íng dÉn gi¶i: y x z C D O A B a. PhÇn thuËn: VÏ D OAD ®Òu cã O n»m trong gãc xOy. V× O, A cè ®Þnh nªn D cè ®Þnh XÐt D OAB vµ D DAC cã: OA = AD ( do D OAD ®Òu) Ð OAB = Ð DAC ( Ð OAB +Ð BAC = = Ð DAC + Ð BAD = 600) L¹i cã AB = AC ( D ABC ®Òu), Do ®ã DOAB = D DAC (c.g.c) Þ Ð AOB = Ð ADC. Mµ Ð AOB =900, ®­êng th¼ng AD cè ®Þnh. VËy C thuéc ®­êng th¼ng cè ®Þnh Dz vu«ng gãc víi AD t¹i D b. Giíi h¹n: Khi B º O th× C º D Khi B ch¹y xa v« tËn trªn tia Oy th× C ch¹y xa v« tËn trªn tia Dz. VËy C chuyÓn ®éng trªn tia Dz vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng AD c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm C bÊt kú thuéc tia Dz vÏ ®­êng th¼ng AB ( B Î Oy ) sao cho ÐCAB = 600. XÐt D OAB vµ D DAC cã: + Ð AOB = Ð ADC ( = 900 ) + OA = AD ( D OAD ®Òu) + Ð OAB = Ð DAC ( Ð OAB + Ð BAD = Ð DAC + Ð BAD = 600) Do ®ã D OAB = D DAC ( g.c.g) Þ AB = AC Þ D ABC c©n t¹i A, mµ ÐBAC=600 nªn D ABC ®Òu. d. KÕt luËn: TËp hîp c¸c ®iÓm C lµ tia Dz cña ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AD. II/ TËp hîp ®iÓm lµ ®­êng trßn hoÆc mét phÇn cña ®­êng trßn 1. TËp hîp ®iÓm lµ ®­êng trßn a. Tãm t¾t lý thuyÕt: + TËp hîp c¸c ®iÓm M c¸ch ®iÓm O cho tr­íc mét kho¶ng kh«ng ®æi r ( r >0) lµ ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh r. + TËp hîp c¸c ®iÓm nh×n ®o¹n th¼ng cè ®Þnh AB d­íi gãc 900 lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. b. C¸c bµi to¸n: 1- TËp hîp c¸c ®iÓm M c¸ch ®iÓm O cho tr­íc mét kho¶ng kh«ng ®æi r ( r >0) lµ ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh r. Bµi to¸n 1: Mét ®­êng th¼ng AB = h chuyÓn ®éng sao cho hai mót cña nã chuyÓn ®éng trªn hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau. T×m tËp hîp trung ®iÓm M cña AB. H­íng dÉn gi¶i B A y x O M a. PhÇn thuËn: Gi¶ sö x vµ y lµ hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau t¹i O, hai ®iÓm A, B lÇn l­ît n»m trªn x, y. Do DAOB vu«ng t¹i O, OM lµ ®­êng trung tuyÕn nªn: OM = AB = h ( kh«ng ®æi). VËy ®iÓm M lu«n c¸ch O mét kho¶ng kh«ng ®æi AB Þ M thuéc ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh AB b. Giíi h¹n: Khi A hoÆc B trïng víi O th× OM vÉn b»ng AB Þ M thuéc ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh AB. c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm M tuú ý trªn ®­êng trßn (O; h). Trªn Ox lÊy ®iÓm A sao cho OA = OM. KÎ MA c¾t Oy t¹i B, ta cÇn chøng minh AB = h. V× M Î (O; h) Þ OM = OA =h. D MOA c©n t¹i M Þ Ð MOA = Ð MAO (1) D AOB cã Ð AOB = 900 Þ Ð OBA + Ð OAB = 900 (2) Mµ Ð BOM + Ð MOA = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) Þ Ð MBO = Ð MOB Þ MB = MO Þ MA = MB = MO Þ MA + MB = AB = h d. KÕt luËn: VËy tËp hîp trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB lµ ®­êng trßn (O; AB) Bµi to¸n 2: Cho ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB; C lµ mét ®iÓm di ®éng trªn ®­êng trßn; trªn tia BC lÊy ®iÓm D sao cho CD = CB. T×m tËp hîp ®iÓm D. H­íng dÉn gi¶i: a.PhÇn thuËn Ð ACB = 900 ( Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) Þ AC ^ BD, mµ CD = CB (gi¶ thiÕt) Þ D ABD c©n t¹i A Þ AD = AB = 2R D C A O B Mµ 2R kh«ng ®æi, nªn AD kh«ng ®æi. §iÓm A cè ®Þnh do ®ã D thuéc ®­êng trßn (A; 2R) b. Giíi h¹n: Khi C chuyÓn ®éng trªn (O;R), D chuyÓn ®éng trªn ®­êng trßn (A; 2R) c. PhÇn ®¶o: LÊy D bÊt kú thuéc ®­êng trßn (A; 2R), ta cã AD = 2R, BD c¾t (O;R) t¹i C. Ta cã AD = AB =2R Þ D ABD c©n t¹i A. MÆt kh¸c Ð ACB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) D ABD c©n t¹i A, AC ^ BD Þ AC lµ trung tuyÕn cña D ABD. VËy C lµ trung ®iÓm cña BD. d. KÕt luËn: TËp hîp c¸c ®iÓm D cÇn t×m lµ ®­êng trßn (A; 2R) 2- TËp hîp c¸c ®iÓm nh×n ®o¹n th¼ng cè ®Þnh AB d­íi gãc 900 lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Bµi to¸n 1: Cho nöa ®­êng trßn t©m O, ®­êng kÝnh AB, C lµ mét ®iÓm n»m trªn nöa ®­êng trßn ®ã, kÎ CD vu«ng gãc víi AB. Nèi O víi C, trªn OC lÊy ®iÓm E sao cho OE = CD. T×m tËp hîp ®iÓm E. C A F E E’ O D’ C’ B D H­íng dÉn gi¶i: a. PhÇn thuËn: KÎ b¸n kÝnh OF ^ AB th× ®iÓm F cè ®Þnh vµ OF// CD nªn Ð OCD = Ð EOF ( so le trong). Do OE = CD (gt) vµ OF = OC ( b¸n kÝnh cña ®­êng trßn t©m O), v× thÕ D OEF = D CDO ( c. g. c) Þ Ð OEF = Ð ODC = 900 . §iÓm E lu«n nh×n OF d­íi mét gãc kh«ng ®æi 900 nªn E thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh OF. b. Giíi h¹n: V× ®iÓm C chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB nªn khi C º A hoÆc Cº B th× D trïng víi A hoÆc B lóc ®ã ®iÓm E trïng víi O, cßn khi C trïng víi F th× D trïng víi O, lóc ®ã E º F . VËy E ch¹y trªn c¶ ®­êng trßn ®­êng kÝnh OF. c. PhÇn ®¶o: Trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh OF lÊy ®iÓm E’ kh«ng trïng víi O vµ F. Tia OE’ c¾t ®­êng trßn (O) ë C’ kÎ C’D’ ^ AB . Ta ph¶i chøng minh OE’=C’D’. ThËt vËy, Ð OE’F = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh OF); C’D’ ^ AB nªn Ð C’D’O = 900, OF = OC’. Do ®ã D C’D’O = D OE’F nªn C’D’ = OE. d. KÕt luËn TËp hîp c¸c ®iÓm E lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh OF. Bµi to¸n 2: Cho ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB . Gäi d lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i A, M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn ®­êng th¼ng d, BM c¾t (O) t¹i C. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N lµ trung ®iÓm cña BC. H­íng dÉn gi¶i: a. PhÇn thuËn B M N O A C d N lµ trung ®iÓm cña d©y cung BC cña ®­êng trßn (O) nªn Þ ON ^ BCÞ Ð BNO =900, mµ OB cè ®Þnh do ®ã N thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh OB. b. Giíi h¹n: M chuyÓn ®éng trªn c¶ ®­êng th¼ng d, N chuyÓn ®éng trªn c¶ ®­êng trßn ®­êng kÝnh OB.c. PhÇn ®¶o: LÊy N bÊt k× thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh OB, BN c¾t ®­êng trßn (O) vµ ®­êng th¼ng d lÇn l­ît t¹i C vµ M. Ta cã Ð BNO = 900, mµ BC lµ d©y cung cña (O; R) vµ ON ^ BC Þ N lµ trung ®iÓm cña BC . d. kÕt luËn: TËp hîp c¸c ®iÓm N cÇn t×m lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh BO. Bµi tËp 3: Cho ®iÓm A cè ®Þnh n»m trong ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh R (A kh«ng trïng víi O). T×m tËp hîp c¸c trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB khi B di chuyÓn trªn ®­êng trßn ®ã. H­íng dÉn gi¶i a. PhÇn thuËn B1 M1 A N O M2 B M B2 Gäi N lµ trung ®iÓm cña OA. Trong tam gi¸c OAB, MN lµ ®­êng trung b×nh, nªn MN = OB = R kh«ng ®æi. Khi A, O, B th¼ng hµng ®iÓm M1 lµ trung ®iÓm cña AB1 vµ M2 lµ trung ®iÓm cña AB2 ta ®Òu tÝnh ®­îc NM1= NM2= R. Do ®ã M n»m trªn ®­êng trßn t©m N b¸n kÝnh R. b. Giíi h¹n: Khi B º B1 th× Mº M1; khi Bº B2 th× Mº M2. VËy ®iÓm M thuéc ®­êng trßn (N; R). c. PhÇn ®¶o Trªn ®­êng trßn (N; R) lÊy ®iÓm M . VÏ ®iÓm B ®èi xøng A qua M. Trong tam gi¸c OAB ta cã nªn MN // OB Þ Hay OB = 2 MN = 2. R = R, khi A, O, B th¼ng hµng. VËy B Î (O; R). d. KÕt luËn TËp hîp c¸c trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB khi B di chuyÓn trªn ®­êng trßn (O; R) lµ ®­êng trßn (N; R). 2. TËp hîp ®iÓm lµ cung trßn: a. tãm t¾t lý thuyÕt: TËp hîp c¸c ®iÓm M t¹o thµnh víi hai mót cña ®o¹n th¼ng AB cho tr­íc mét gãc AMB cã sè ®o kh«ng ®æi lµ a (00 < a < 1800) lµ hai cung trßn ®èi xøng nhau qua AB. Chó ý: Khi a = 900 th× tËp hîp ®iÓm M lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB (®· nãi ë trªn) b. C¸c bµi to¸n: Bµi to¸n 1: Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Hai ®iÓm C vµ D trªn nöa ®­êng trßn sao cho OC ^ OD (C thuéc cung AD). AD c¾t BC ë I; hai tia AC vµ BD c¾t nhau ë P. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm I vµ P khi hai ®iÓm C vµ D chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn. P P2 y x P1 C I K D A O B H­íng dÉn gi¶i: a. PhÇn thuËn: Ð ADB = 900, suy ra Ð ADP = 900 Ð CAD = Ð COD = 450. Tam gi¸c ADP vu«ng c©n t¹i D nªn Ð APD = 450. Tam gi¸c ACI vu«ng c©n ë C nªn Ð AIC = 450, suy ra Ð AIB = 1350 C¸c ®iÓm P vµ I nh×n AB cè ®Þnh d­íi mét gãc 450 vµ 1350 nªn P vµ I lÇn l­ît n»m trªn cung chøa gãc 450 vµ 1350 vÏ trªn AB . b. Giíi h¹n: Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa hai cung chøa gãc nãi trªn, kÎ hai tia Ax vµ By vu«ng gãc víi AB, hai tia nµy c¾t cung chøa gãc 450 theo thø tù t¹i P1 vµ P2. Tõ O kÎ b¸n kÝnh OK vu«ng gãc víi AB. - NÕu C º A th× D º K, khi ®ã P º P1 cßn I º B - NÕu C º K th× D º B, khi ®ã P º P2 cßn I ºB VËy P ch¹y trªn cung P1PP2 cßn I ch¹y trªn cung AIB thuéc c¸c cung chøa gãc nãi trªn. c. PhÇn ®¶o: Trªn cung P1PP2 lÊy ®iÓm P’ bÊt k× kh¸c P1 vµ P2 nèi P’ víi A vµ P’ víi B c¾t nöa ®­êng trßn t©m O t¹i C’ vµ D’, BC’ c¾t AD’ t¹i I’. Ta ph¶i chøng minh I’ thuéc cung AIB vµ OC’ ^ OD’. ThËt vËy, tam gi¸c vu«ng AD’P’ cã Ð AP’D’ = 450 nªn lµ tam gi¸c c©n Þ Ð P’AD’ =450. V× Ð C’OD’ = 2Ð C’AD’ = 900, suy ra CO’ ^ O’D. MÆt kh¸c tam gi¸c AC’I’ còng lµ tam gi¸c vu«ng c©n nªn Ð AI’C’ = 450, suy ra Ð AI’B =1350, vËy I thuéc cung AIB. d. KÕt luËn: TËp hîp ®iÓm P lµ cung PP1P2 thuéc cung chøa gãc 450, tËp hîp ®iÓm I lµ cung AIB chøa gãc 450, c¸c cung nµy ®Òu dùng trªn ®o¹n AB vµ trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng chøa ®­êng trßn t©m O. Bµi to¸n 2: Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh. C lµ mét ®iÓm trªn nöa ®­êng trßn, trªn d©y AC kÐo dµi lÊy ®iÓm D sao cho CD = CB. T×m quü tÝch c¸c ®iÓm D khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®· cho Trªn tia CA lÊy ®iÓm E sao cho CE = CB. T×m quü tÝch c¸c ®iÓm E khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®· cho. A B B0 x E C D H­íng dÉn gi¶i: C©u a) Quü tÝch ®iÓm D a. PhÇn thuËn: Ta cã: AB cè ®Þnh, Ð ADB = 450 ( v× tam gi¸c BCD vu«ng c©n). VËy khi C chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB th× D chuyÓn ®éng trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh. b. Giíi h¹n quü tÝch: D©y AC thay ®æi phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm C trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh; AC lín nhÊt, b»ng ®­êng kÝnh nöa ®­êng trßn, khi C trïng víi B, khi ®ã D còng trïng víi B, vËy B còng thuéc quü tÝch. AC nhá nhÊt b»ng 0 khi C º A, khi ®ã D trïng víi B0 ( B0 lµ giao cña cung chøa gãc 450 vµ tia tiÕp tuyÕn Ax t¹i A cña nöa ®­êng trßn).VËy ®iÓm D chuyÓn ®éng trªn cung BB0 thuéc cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB. c. PhÇn ®¶o LÊy ®iÓm D tuú ý trªn cung BB0 thuéc cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB, nèi AD c¾t nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB t¹i C. Khi ®ã ta dÔ dµng chøng minh ®­îc CD = CB. ThËt vËy: + ta cã Ð ADB = 450 (v× D thuéc cung chøa gãc 450). +Ð ACB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB) +Mµ Ð BCD kÒ bï víi Ð ACB nªn Ð BCD = 900 Þ Ð CBD = Ð ADB = 450 Þ CD = CB. d. KÕt luËn : Quü tÝch c¸c ®iÓm D khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn lµ cung BB0 n»m trªn cung chøa cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB, trong nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C ( bÞ giíi h¹n bëi tiÕp tuyÕn Ax). C©u b) Quü tÝch c¸c ®iÓm E: a. PhÇn thuËn: Ta cã AB cè ®Þnh ; Ð AEB =1350 ( gãc ngoµi cña tam gi¸c vu«ng c©n BCE). VËy khi C chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB th× E chuyÓn ®éng trªn cung chøa gãc 1350 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh. b. Giíi h¹n: Khi C º A Þ E º B; khi C º B th× E º B; Khi C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB th× E º A. VËy ®iÓm E chuyÓn ®éng trªn cung chøa gãc 1350 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB. c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm E bÊt kú trªn cung chøa gãc 1350. Tia AE c¾t nöa ®­êng trßn t¹i C. V× Ð AEB lµ gãc ngoµi ®Ønh E cña tam gi¸c vu«ng BCE, mµ Ð AEB = 1350, do ®ã Ð CBE = 450, tõ ®ã Þ tam gi¸c BCE lµ tam gi¸c vu«ng c©n vµ CE = CB. d. KÕt luËn: Quü tÝch c¸c ®iÓm E khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn lµ cung chøa gãc 1350 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh n»m cïng mét nöa mÆt ph¼ng víi nöa ®­êng trßn bê lµ ®­êng th¼ng AB. Bµi to¸n 3: M lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n AM lÊy ®iÓm N sao cho AN = BM. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N. H­íng dÉn gi¶i a. PhÇn thuËn Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê lµ ®­êng th¼ng AB chøa nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB, dùng tia Ax ^ AB, trªn ®ã lÊy ®iÓm B’ sao cho AB’ =AB, x B’ I M B A N ta cã ®iÓm B’ cè ®Þnh D AMB = D B’NA v× cã AB = AB’ , Ð ABM = Ð B’AN vµ AN =MB, nªn Ð ANB’ = Ð AMB = 900. vËy ®iÓm N thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’. b. Giíi h¹n: Khi M º B th× N º A. Khi M º I ( lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB ) th× N º I . Khi M º A th× N º B’ . VËy N ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’ = AB . c. PhÇn ®¶o Trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB lÊy ®iÓm N bÊt k× kh¸c A, kh¸c B’. Tia AN c¾t nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB t¹i M . Ta ph¶i chøng minh AN = BM. ThËt vËy, hai tam gi¸c vu«ng AMB vµ B’NA cã AB = AB’, Ð NAB’ = Ð ABM nªn D MAB = D NB’A, do ®ã AN = MB. d. KÕt luËn: TËp hîp ®iÓm N lµ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’ ( víi B’ lµ giao cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’ = AB vµ tia Ax ^ AB t¹i A). PhÇn III. øng dông quü tÝch vµo Thùc tÕ vµ gi¶i to¸n Khi nghiªn cøu vÒ quü tÝch c¸c ®iÓm, ta cã thÓ thÊy rÊt nhiÒu c¸c øng dông cña gi¶i to¸n quü tÝch vµo viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n kh¸c, còng nh­ c¸c øng dông cña nã trong khoa häc kü thuËt. Ch¼ng h¹n, trong khoa häc øng dông quü tÝch ®Ó nghiªn cøu c¸c c¬ cÊu biÕn ®æi chuyÓn ®éng : biÕn chuyÓn ®éng th¼ng thµnh chuyÓn ®éng cong ( trßn) hoÆc biÕn chuyÓn ®éng th¼ng thµnh chuyÓn ®éng cong (trßn)... ®ã lµ øng dông cña quü tÝch ®iÓm di ®éng trªn ®­êng th¼ng vµ ®iÓm di ®éng trªn ®­êng trßn. Trong to¸n häc øng dông quü tÝch ®Ó gi¶i nhiÒu bµi to¸n kh¸c, song cã lÏ ®iÓn h×nh nhÊt lµ bµi to¸n dùng h×nh b»ng quü tÝch t­¬ng giao. V× lÝ do khu«n khæ cña ®Ò tµi cã h¹n, ë ®©y t«i xin tr×nh bµy hai bµi to¸n dùng h×nh ®· øng dông quü tÝch vµo ®Ó gi¶i ( ë d¹ng tãm t¾t, h­íng dÉn). Bµi to¸n 1; Dùng h×nh thang, biÕt ®­êng cao, c¹nh ®¸y lín vµ hai ®­êng chÐo cña nã Gîi ý gi¶i: a. Ph©n tÝch: A m B D dCB C H h n a Gi¶ sö dùng ®­îc h×nh thang tho¶ m·n yªu cÇu cña bµi to¸n - §o¹n th¼ng AB dùng ®­îc ngay. - §iÓm C c¸ch AB kho¶ng c¸ch b»ng ®­êng cao h Þ thuéc quü tÝch ®­êng th¼ngd // AB c¸ch AB mét kho¶ng h. §iÓm C c¸ch ®iÓm A mét kho¶ng b»ng m (kh«ng ®æi ) cho tr­íc Þ C thuéc quü tÝch ®­êng trßn (A; m) Þ C lµ giao cña hai quü tÝch trªn. - §iÓm D thuéc d vµ c¸ch ®iÓm B mét kho¶ng n cho tr­íc Þ D lµ giao cña quü tÝch ®­êng trßn ( B; n) vµ ®­êng th¼ng d. b. C¸ch dùng: - Dùng AB = a ®· cho - Dùng ®iÓm C thuéc ®­êng th¼ng d, d // AB vµ c¸ch AB mét kho¶ng CH = h cho tr­íc ®ång thêi C n»m trªn ®­êng trßn (A; m) ( trong ®ã AC =m ®· cho) - Dùng D : D thuéc ®­êng th¼ng d vµ ®­êng trßn (B; n) víi n = BD lµ ®é dµi ®· cho. Bµi to¸n 2: Dùng ®­êng trßn t©m (O; 2cm ) sao cho ®­êng trßn ®ã tiÕp xóc víi mét ®­êng th¼ng xy vµ víi ®­êng trßn (O’) cã b¸n kÝnh 2,5 cm ( cho kho¶ng c¸ch tõ O’ tíi xy lµ3 cm. d O O’ y x Gîi ý gi¶i a. Ph©n tÝch: Gi¶ sö dùng ®­îc ®­êng trßn (O; 2cm) tho¶ m·n yªu cÇu. Do (O) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng xy nªn t©m O cña ®­êng trßn ®ã thuéc quü tÝch ®­êng th¼ng d // xy c¸ch xy mét kho¶ng 2 cm MÆt kh¸c OO’ = 2 + 2,5 = 4,5 (cm) nªn O thuéc quü tÝch ®­êng trßn (O’;4,5cm) VËy t©m O cña ®­êng trßn cÇn dùng lµ giao cña cña (O’;4,5cm) vµ ®­êng th¼ng d b. C¸ch dùng: - Dùng ®­êng trßn (O’;4,5cm) - D­ng ®­êng th¼ng d // xy c¸ch xy mét kho¶ng 2cm - Giao cña d vµ (O’;4,5cm) lµ ®iÓm O. Tõ ®ã dùng ®­îc ®­êng trßn (O;2cm). PhÇn iv. Mét s« bµi to¸n chän läc vÒ tËp hîp ®iÓm I/ c¸c bµi to¸n tËp hîp ®iÓm lµ ®­êng th¼ng hoÆc mét phÇn cña ®o¹n th¼ng Bµi 1: Cho ®iÓm A n»m ngoµi ®­êng th¼ng d vµ cã kho¶ng c¸ch ®Õn d b»ng 2cm. LÊy ®iÓm B bÊt k× thuéc ®­êng th¼ng d. Gäi C lµ ®iÓm ®èi xøng víi ®iÓm A qua ®iÓm B. T×m tËp hîp quü tÝch ®iÓm C khi ®iÓm B di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d. H­íng dÉn gi¶i C H d 2cm A B K C H d’ a. PhÇn thuËn: KÎ AH ^ d; CK ^ d; khi ®ã ta cã: AH = 2cm (gt), CK //AH Þ Ð HAB =Ð KCB Þ D AHB = D CKB Þ AH = CK Þ CK = 2cm Þ C c¸ch ®­êng th¼ng d mét kho¶ng cè ®Þnh 2cm , nªn C thuéc ®­êng th¼ng d’ song song víi d c¸ch d mét kho¶ng 2cm vµ kh«ng cïng mét nöa mÆt ph¼ng víi ®iÓm A bê lµ ®­êng th¼ng d. b. Giíi h¹n: Khi ®iÓm B di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d th× C lu«n c¸ch d mét kho¶ng 2cm , C thuéc d’//d ( d’ c¸ch d 2cm) c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm C bÊt kú trªn ®­êng th¼ng d’, kÎ CK ^ d ( K Î d), kÎ AH ^ d (H Î d); nèi AC c¾t d t¹i B. Ta cÇn chøng minh AB = BC. ThËt vËy, xÐt D ABH vµ D CBK cã: AH = CK ( = 2cm) Ð AHB =Ð CKB (=900) Ð ABH = Ð CBK ( hai gãc ®èi ®Ønh) Þ D ABH = D CBK ( c¹nh gãc vu«ng vµ gãc nhän) Þ AB = BC d. KÕt luËn: TËp hîp ®iÓm C ®èi xøng víi ®iÓm A c¸ch ®­êng th¼ng d mét kho¶ng 2cm qua ®iÓm B ( B Î d), lµ mét ®­êng th¼ng d’ // d c¸ch ®­êng th¼ng d 2cm kh«ng cïng mét nöa mÆt ph¼ng víi ®iÓm A bê lµ ®­êng th¼ng d. Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC. Mét ®iÓm D di ®éng trªn c¹nh BC. Tõ D vÏ c¸c ®­êng th¼ng song song víi AB, AC c¾t AB, AC lÇn l­ît t¹i M vµ N. T×m tËp hîp trung ®iÓm I cña MN. H­íng dÉn gi¶i a. PhÇn thuËn: V× I lµ trung ®iÓm cña MN nªn IM = IN XÐt tø gi¸c AMDN, ta cã: AM // DN; AN // DM Þ AMDN lµ h×nh b×nh hµnh Do ®ã ®­êng chÐo AD ®i qua trung ®iÓm I cña MN, nªn IA = ID . Tõ A kÎ AH ^ BC khi ®ã AH cã ®é dµi kh«ng ®æi, tõ I vÏ IJ ^ BC th× IJ //AH vµ IJ lµ ®­êng trung b×nh cña D DHA. Do ®ã: IJ = AH kh«ng ®æi. A C B D H d I1 M N I2 I §iÓm I c¸ch ®­êng th¼ng BC mét kho¶ng kh«ng ®æi AH nªn I lu«n n»m trªn ®­êng th¼ng d //BC c¸ch BC mét kho¶ng AH b. Giíi h¹n: V× D chØ ch¹y trªn ®o¹n BC nªn I chØ ch¹y trªn ®o¹n I1I2 víi I1,I2 lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng d víi c¹nh AB vµ c¹nh AC. VËy I thuéc ®­êng trung b×nh cña D ABC. c. PhÇn ®¶o LÊy ®iÓm I bÊt k× trªn ®o¹n III2, AI c¾t BC t¹i D. C¸c ®­êng th¼ng kÎ tõ D song song víi AB, AC c¾t AB, AC lÇn l­ît t¹i M vµ N, khi ®ã ta cã AMDN lµ h×nh b×nh hµnh. Do ®ã IM = IN d. KÕt luËn TËp hîp ®iÓm I lµ ®o¹n III2 lµ ®­êng trung b×nh cña D ABC (III2 // BC). Bµi 3: Cho gãc xOy vu«ng, trªn tia Ox lÊy mét ®o¹n cè ®Þnh OA, trªn tia Oy lÊy mét ®iÓm B di ®éng. Dùng h×nh vu«ng ABCD víi hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i I. T×m tËp hîp ®iÓm I khi B ®i ®éng. H­íng dÉn gi¶i a. PhÇn thuËn: Gäi I lµ mét ®iÓm thuéc tËp hîp th× I lµ t©m cña h×nh vu«ng ABCD nªn cã: IA = IB = IC = ID. Tõ I kÎ IH ^ Ox, IK ^ Oy, xÐt hai tam gi¸c vu«ng IHA vµ IKB ta cã: IA = IB; Ð AIH = Ð BIK ( gãc cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc) A D t H I D1 K C1 B deO y C x I1 Þ D IHA = D IKB Þ IH =IK do ®ã ®iÓm I c¸ch ®Òu hai c¹nh cña gãc xOy cè ®Þnh. VËy I thuéc tia ph©n gi¸c cña gãc xOy. b. Giíi h¹n: Khi B º O th× I º I1 ( I1 lµ t©m h×nh vu«ng giíi h¹n AOC1D1) Khi B ch¹y trªn tia Oy th× I ch¹y trªn tia I1t n»m trªn tia ph©n gi¸c cña gãc xOy c PhÇn ®¶o: LÊy mét ®iÓm I’ tuú ý trªn tia I1t, vÏ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AI’ t¹i I’ c¾t Oy t¹i B’. Dùng I’H’ ^ Ox, I’K’ ^ Oy th× ta cã hai tam gi¸c vu«ng b»ng nhau: D I’AH’ = D I’B’K’ Þ I’A = I’B lóc ®ã ta dùng ®­îc h×nh vu«ngAB’C’D’ víi I’ lµ giao ®iÓm hai ®­êng chÐo theo yªu cÇu cña cña thiÕt. d. KÕt luËn: TËp hîp ®iÓm I khi B di ®éng trªn tia Oy lµ tia I’t n»m trªn tia ph©n gi¸c Ot cña gãc xOy. Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC cã c¹nh BC cè ®Þnh vµ ®Ønh A di ®éng trªn mét ®­êng th¼ng xy cè ®Þnh song song víi BC. T×m tËp hîp träng t©m G cña tam gi¸c ABC. H­íng dÉn: C’ C B M G I y’ x’ y x A Gäi G lµ mét ®iÓm thuéc tËp hîp th× G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC Nèi A víi G c¾t BC t¹i M th× M cè ®Þnh vµ MB = MC. Theo tÝnh chÊt träng t©m cña tam gi¸c ta cã Tõ C vÏ CC’ ^ xy khi ®ã CC’ cè ®Þnh. Gäi I lµ mét ®iÓm sao cho: th× I còng cè ®Þnh. Do ®ã Þ GI // xy //BC VËy G n»m trªn ®­êng th¼ng x’y’ // xy vµ ®i qua ®iÓm I cè ®Þnh ( I Î CC’ vµ C’I = 2CI) Khi A chuyÓn ®éng trªn xy th× G chuyÓn ®éng trªn x’y’. VËy tËp hîp träng t©m G lµ mét ®­êng th¼ng x’y’ // xy vµ ®i qua ®iÓm I cè ®Þnh Bµi 5: A M M1 d M2 B N I Cho (O) cã ®­êng kÝnh AB = 4, cã d©y cung AN. Trªn d©y cung AN ta lÊy M sao cho AN . AM = 5. T×m tËp hîp ®iÓm M. H­íng dÉn Tõ M kÎ ®­êng th¼ng d ^ AB t¹i I. ta cã hai tam gi¸c vu«ng ®ång d¹ng: D AMI ®ång d¹ng D ANB Þ Þ AM . AN = AI . AB Þ AI = Þ I cè ®Þnh Do ®ã ®­êng th¼ng d ^ AB t¹i I cè ®Þnh VËy tËp hîp ®iÓm M lµ ®o¹n th¼ng M1M2 n»m trªn ®­êng th¼ng d Ii/ c¸c bµi to¸n tËp hîp ®iÓm lµ ®­êng trßn hoÆc mét phÇn cña ®­êng trßn Bµi 1 D A O B P Q C Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB, BC lµ mét d©y cung bÊt kú. KÐo dµi BC mét ®o¹n CD = BC; DO c¾t AC t¹i P. T×m quü tÝch ®iÓm P H­íng dÉn a. PhÇn thuËn KÎ PQ // CO ( Q Î AB ). Trong D ABD, AC vµ DO lµ hai ®­êng trung tuyÕn nªn P lµ träng t©m. Bëi vËy Tõ ®ã suy ra PQ = AQ = CO Þ PQ = AO §iÒu nµy chøng tá Q lµ ®iÓm cè ®Þnh vµ P n»m trªn ®­êng trßn ( Q; R), ( R lµ b¸n kÝnh cña ®­êng trßn (O)). b. Giíi h¹n: Khi C di ®éng trªn ®­êng trßn (O) thi P chuyÓn ®éng trªn (Q; R) c. PhÇn ®¶o: LÊy P bÊt kú thuéc ®­êng trßn (Q; R) ; ta cã PQ = R = CO => Þ P lµ träng t©m cña D ABD Þ CD = CB d. KÕt luËn: TËp hîp ®iÓm P lµ ®­êng trßn (Q; R), víi Q thuéc AB sao cho AQ = AO Bµi 2: Cho D ABC cã c¹nh BC cè ®Þnh vµ ¢ = a kh«ng ®æi. T×m quü tÝch giao ®iÓm cña ba tia ph©n gi¸c trong cña tam gi¸c ®ã. H­íng dÉn a. PhÇn thuËn: Gäi I lµ giao ®iÓm cña 3 ®­êng ph©n gi¸c cña D ABC, ta cã: Ð BIC = 180 – (Ð B1- Ð C1) = 1800 – (Ð B +Ð C) : 2 = 1800 – ( 1800 – Ð A): 2= 900 + a kh«ng ®æi. B 1 1 A I C VËy I thuéc cung chøa gãc 900 + a dùng trªn ®o¹n th¼ng BC b. Giíi h¹n khi Aº B hoÆc A º C th× kh«ng cã I. VËy ®iÓm I thuéc cung chøa gãc 900 + a dùng trªn ®o¹n th¼ng BC trõ c¸c ®iÓm B,C. c. PhÇn ®¶o LÊy ®iÓm I bÊt k× thuéc cung chøa gãc 900 + a dùng trªn ®o¹n th¼ng BC vµ I kh¸c A, kh¸c B. kÎ tia Bx, Cy sao cho c¸c gãc Ð xBC; Ð yBC lÇn l­ît nhËn BI, CI lµm ph©n gi¸c. Bx c¾t Cy t¹i A. Ð BAC = 1800 – ( Ð ABC + Ð ACB) = 1800 – 2( Ð IBC +Ð ICB) = = 1800 – 2( 1800 – Ð BIC) = 1800 – 2.1800 +2 ( 900 +a ) =a . d. KÕt luËn: TËp hîp ®iÓm I lµ c¸c cung chøa gãc 900 +a dùng trªn ®o¹n th¼ng BC, trõ c¸c ®iÓm B; C. Bµi 3 M lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n AM lÊy ®iÓm N sao cho AN = BM. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N. H­íng dÉn a. PhÇn thuËn Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê lµ ®­êng th¼ng AB chøa nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB, dùng tia Ax ^ AB, trªn ®ã lÊy ®iÓm B’ sao cho AB’ =AB, ta cã ®iÓm B’ cè ®Þnh D AMB = D B’NA v× cã AB = AB’ , x B’ I M B A N Ð ABM = Ð B’AN vµ AN =MB, nªn Ð ANB’ = Ð AMB = 900. VËy ®iÓm N thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’. b. Giíi h¹n: Khi M º B th× N º A. Khi M º I ( lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB ) th× N º I . Khi M º A th× N º B’ . VËy N ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’ = AB . c. PhÇn ®¶o Trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB lÊy ®iÓm N bÊt k× kh¸c A, kh¸c B’. Tia AN c¾t nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB t¹i M . Ta ph¶i chøng minh AN = BM. ThËt vËy, hai tam gi¸c vu«ng AMB vµ B’NA cã AB = AB’, Ð NAB’ = Ð ABM nªn D MAB = D NB’A, do ®ã AN = MB. d. KÕt luËn: TËp hîp ®iÓm N lµ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’ ( víi B’ lµ giao cña ®­êng trßn ®­êng AB’ = AB vµ tia Ax ^ AB t¹i A). Bµi 4 Tõ hai ®Çu cña mét ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh kÎ hai tia song song Ax vµ By (thuéc cïng mét nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ ®­êng th¼ng AB). T×m quü tÝch giao ®iÓm cña hai ®­êng ph©n gi¸c c¸c gãc xAB; yAB. x y M A B H­íng dÉn Gäi giao ®iÓm cña hai ®­êng ph©n gi¸c c¸c gãc xAB; yAB lµ M Khi ®ã ta cã: Ð MAB + Ð MBA = ( Ð xAB +Ð yBA) = .1800 = 900. VËy ®iÓm M n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB Khi Ax, By trïng víi AB th× kh«ng x¸c ®Þnh ®­îc M. Nh­ vËy M thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB trõ hai ®iÓm A, B. Bµi 5: Cho h×nh thoi ABCD cã c¹nh AB cè ®Þnh. T×m quü tÝch giao diÓm O cña hai d­êng chÐo cña h×nh thoi ®ã. O B A C D H­íng dÉn Do hai ®­êng chÐo cña h×nh thoi vu«ng gãc víi nhau Nªn ta cã: AC ^ BD Bëi vËy O n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB ( trõ hai ®iÓm A, B) C. thùc nghiÖm Trong phÇn nµy xin ®­îc tr×nh bµy hai gi¸o ¸n vÒ gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ quü tÝch mµ trong nh÷ng n¨m c«ng t¸c võa qua b¶n th©n ®· ¸p dông ®Ò tµi vµo gi¶ng d¹y båi d­ìng cho häc sinh kh¸ giái t¹i tr­êng THCS Gia Phong ®¹t hiÖu qu¶. Gi¸o ¸n sè 1: TËp hîp ®iÓm lµ ®­êng ph©n gi¸c cña mét gãc A. Môc tiªu: 1.KiÕn thøc : Sau khi häc xong bµi häc häc sinh : - BiÕt c¸ch nhËn biÕt quü tÝch lµ ®­êng ph©n gi¸c - §­îc cñng cè thªm vÒ tÝnh chÊt ®­êng ph©n gi¸c cña mét gãc - BiÕt gi¶i bµi to¸n quü tÝch thuéc ®­êng ph©n gi¸c 2. Kü n¨ng: RÌn cho häc sinh kü n¨ng vÏ h×nh; c¸ch t×m lêi gi¶i vµ tr×nh bµy lêi gi¶i bµi to¸n quü tÝch ®iÓm. 3.T­ duy: RÌn luyÖn cho häc sinh c¸c thao t¸c t­ duy: ph©n tÝch,dù ®o¸n, tæng hîp... 4.Th¸i ®é: RÌn luyÖn tÝnh cÈn thËn; chÝnh x¸c, nghiªm tóc trong nghiªn cøu häc tËp B. ChuÈn bÞ Thµy: ®å dïng d¹y häc + nghiªn cøu tµi liÖu Trß: «n l¹i vÒ tÝnh chÊt tia ph©n gi¸c cña mét gãc; c¸ch gi¶i bµi to¸n quü tÝch. C. TiÕn tr×nh d¹y vµ häc I. KiÓm tra bµi cò: Nh¾c l¹i vÒ tÝnh chÊt tia ph©n gi¸c cña mét gãc? Vµ c¸ch gi¶i bµi to¸n quü tÝch? II. Bµi míi: Néi dung Ho¹t ®éng cña thµy vµ trß a. Tãm t¾t lý thuyÕt: §Þnh lÝ: TËp hîp c¸c ®iÓm n»m trong gãc xOy (kh¸c gãc bÑt) vµ c¸ch ®Òu hai c¹nh cña gãc lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ®ã. z y x O HÖ qu¶: TËp hîp c¸c ®iÓm M c¸ch ®Òu hai ®­êng th¼ng c¾t nhau xOx’ vµ yOy’ lµ bèn tia ph©n gi¸c cña bèn gãc t¹o thµnh, bèn tia nµy t¹o thµnh hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau t¹i O x’ x y’ y giao ®iÓm O cña hai ®­êng th¼ng ®ã. b. C¸c bµi tËp: Bµi to¸n 1: Cho mét gãc vu«ng xOy, trªn tia Ox lÊy ®iÓm A cè ®Þnh, B lµ ®iÓm chuyÓn ®éng trªn tia Oy. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm C sao cho D ABC vu«ng c©n t¹i C. H­íng dÉn gi¶i: a.PhÇn thuËn: VÏ CH ^ Ox ( H ÎOx), CK ^ Oy ( K Î Oy) y O K B z x C H A C’ XÐt D CAH ( Ð H = 900), vµ D CBK ( Ð K = 900 ) Cã: CA = BC ( D ABC vu«ng c©n t¹i C) Ð CAH = Ð CBK ( hai gãc nhän cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc). Do ®ã D CAH = D CBK( c¹nh huyÒn – gãc nhän) Þ CH = CK; Ð xOy cè ®Þnh, do ®ã C thuéc tia ph©n gi¸c Oz cña gãc vu«ng xOy. b. Giíi h¹n: Khi B º O th× C º C’; C’ lµ ph©n gi¸c Oz vµ D C’OA vu«ng c©n t¹i C’ Khi B ch¹y xa O v« tËn trªn tia Oy th× C ch¹y xa O v« tËn trªn tia Oz VËy C chuyÓn ®éng trªn tia C’z cña tia ph©n gi¸c Oz cña gãc xOy c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm C bÊt kú thuéc tia C’z . VÏ ®­êng th¼ng vu«ng gãc CA t¹i C c¾t tia Oy t¹i B. VÏ CH ^ Ox ( H Î Ox); CK ^ Oy (K Î Oy), ta cã CH = CK, Ð KHC =900 . XÐt D CAH vµ D CBK cã: Ð CHA = Ð BKC ( = 900 ); CH = CK ; Ð ACH= Ð BCK ( hai gãc nhän cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc), do ®ã D CAH = D CBH (gãc- c¹nh – gãc) Þ CA = CB D ABC vu«ng t¹i C, cã CA = CB Þ D ABC vu«ng c©n t¹i C. d. KÕt luËn: TËp hîp c¸c ®iÓm C lµ tia C’z cña tia ph©n gi¸c Oz cña gãc xOy. Bµi to¸n 2: Cho hai ®­êng th¼ng c¾t nhau t¹i ®iÓm A. T×m tËp hîp t©m c¸c ®­êng trßn tiÕp xóc víi hai ®­êng th¼ng ®ã. H­íng dÉn gi¶i: A x y x’ y’ t t’ z z’ B C O a. PhÇn thuËn: Gäi xx’ vµ yy’ lµ hai ®­êng th¼ng c¾t nhau t¹i A. §­êng trßn (O, R) tiÕp xóc víi hai ®­êng th¼ng t¹i B vµ C ( B Î xx’, C Î yy’) Ta cã OB ^ xx’; OC ^ yy’; OB = OC (= R) Þ O thuéc hai ®­êng th¼ng c¾t nhau zAz’ vµ tAt’, lµ bèn tia ph©n gi¸c cña bèn gãc t¹o thµnh bëi hai ®­êng th¼ng xAx’ vµ yAy’ b. Giíi h¹n: O lµ ®iÓm tuú ý trªn hai ®­êng th¼ng zAz’ vµ tAt’ ®Òu vÏ ®­îc ®­êng trßn (O) tiÕp xóc víi hai ®­êng th¼ng xAx’ vµ yAy’ c. PhÇn ®¶o: LÊy O bÊt kú thuéc ®­êng th¼ng zAz’, kÎ OB ^ xx’ ; OC ^ yy’ Ta cã: OB = OC Þ ®­êng trßn (O, OB) tiÕp xóp víi hai ®­êng th¼ng xAx’ vµ yAy’. Chøng minh t­¬ng tù khi lÊy O bÊt k× thuéc ®­êng th¼ng tAt’. d. KÕt luËn: TËp hîp c¸c t©m O cña c¸c ®­êng trßn tiÕp xóc víi hai ®­êng th¼ng xx’ vµ yy’ c¾t nhau t¹i A lµ hai ®­êng th¼ng zAz’ vµ tAt’ chøa bèn tia ph©n gi¸c cña bèn gãc t¹o thµnh bëi hai ®­êng th¼ng xAx’ vµ yAy’. Bµi tËp 3: Cho gãc xOy, trªn Ox lÊy ®iÓm A, trªn Oy lÊy ®iÓm B sao cho = T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M n»m trong gãc xOy sao cho tØ sè diÖn tÝch gi÷a tam gi¸c MOA vµ tam gi¸c MOB lµ . H­íng dÉn gi¶i: a. PhÇn thuËn: KÎ MI ^ Oy; MJ ^ Ox. DiÖn tÝch D MOA: SD MOA = MJ. OA DiÖn tÝch D MOB: SD MOB = MI. OB SD MOA = MJ. OA = MJ. OA SD MOB MI. OB MI. OB O y x z M I J A B Theo gi¶ thiÕt = Þ SD MOA / SD MOB =. Þ = 1 Þ MJ = MJ Þ M thuéc tia ph©n gi¸c Oz cña gãc xOy. b. Giíi h¹n §Ó tån t¹i tØ sè th× OB , OA kh¸c 0 Þ M kh¸c O. Khi A, B ch¹y xa O v« tËn trªn hai tia Ox, Oy th× M ch¹y xa v« tËn trªn tia Oz. VËy ®iÓm M thuéc tia ph©n gi¸c Oz cña gãc xOy ( trõ ®iÓm O) c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm M bÊt kú thuéc tia ph©n gi¸c cña gãc xOy M kh¸c O; trªn Ox lÊy ®iÓm A; trªn tia Oy lÊy ®iÓm B sao cho OB = 2OA; kÎ MI ^ Oy; MJ ^ Ox (JÎ Ox; IÎ Oy) DiÖn tÝch D MOA: SD MOA = MJ. OA DiÖn tÝch D MOB: SD MOB = MI. OB Suy ra: SD MOA = MJ. OA = MJ. OA SD MOB MI. OB MI. OB Mµ MI = MJ ( M thuéc tia ph©n gi¸c cña gãc xOy) , OB = 2 OA, nªn SD MOA / SD MOB =. d. KÕt luËn TËp hîp ®iÓm M cÇn t×m lµ tia ph©n gi¸c Oz cña gãc xOy, lo¹i trõ ®iÓm Ho¹t ®éng 1: nh¾c l¹i vÒ tia ph©n gi¸c cña mét gãc ? Nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt cña tia ph©n gi¸c cña mét gãc? HS: tr¶ lêi- GV chÝnh x¸c ho¸ vµ ghi b¶ng. ? TËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu hai ®­êng th¼ng c¾t nhau lµ g×? GV: cã thÓ gîi ý b»ng c¸ch vÏ hai ®­êng th¼ng xOx’ vµ yOy’ lªn b¶ng cho HS quan s¸t. HS: tr¶ lêi – GV chÝnh x¸c ho¸ Ho¹t ®éng 2: C¸c bµi to¸n luyÖn tËp: Bµi to¸n 1: Cho mét gãc vu«ng xOy, trªn tia Ox lÊy ®iÓm A cè ®Þnh, B lµ ®iÓm chuyÓn ®éng trªn tia Oy. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm C sao cho D ABC vu«ng c©n t¹i C. GV:- ®äc ®Ò – Ghi b¶ng -VÏ h×nh ? Bµi to¸n cho g×, hái g×? HS: ...... GV: Nªu dù ®o¸n cña em vÒ quü tÝch ®iÓm cña bµi to¸n trªn? HS: ( nªu dù ®o¸n) GV: ? §iÓm C cã quan hÖ thÕ nµo víi c¸c c¹nh cña gãc xOy ? VÏ CH ^ Ox ( H ÎOx), CK ^ Oy ( K Î Oy) so s¸nh CH vµ CK ? HS: .... CH = CK ? Tõ ®ã nªu quü tÝch cña ®iÓm C? GV: ? Nªu nhËn xÐt vÒ vÞ trÝ cña ®iÓm C khi B º O? khi B ch¹y xa O v« tËn trªn tia Oy? VËy em cã kÕt luËn g× vÒ quü tÝch cña C? GV? LÊy ®iÓm C bÊt kú thuéc tia C’z VÏ ®­êng th¼ng vu«ng gãc CA t¹i C c¾t tia Oy t¹i B. VÏ CH ^ Ox ( H Î Ox); CK ^ Oy (K Î Oy), ta cã CH = CK h·y chøng minh CA = CB? HS: tr¶ lêi – GV: chÝnh x¸c GV:? VËy quü tÝch cña ®iÓm C lµ g×? Bµi to¸n 2: Cho hai ®­êng th¼ng c¾t nhau t¹i ®iÓm A. T×m tËp hîp t©m c¸c ®­êng trßn tiÕp xóc víi hai ®­êng th¼ng ®ã. GV: vÏ h×nh GV:? Bµi to¸n cho g×? yªu cÇu ta lµm g×? ? Nªu dù ®o¸n cña em vÒ quü tÝch trong bµi to¸n trªn? HS: tr¶ lêi... GV: Gäi xx’ vµ yy’ lµ hai ®­êng th¼ng c¾t nhau t¹i A. §­êng trßn (O, R) tiÕp xóc víi hai ®­êng th¼ng t¹i B vµ C ( B Î xx’, C Î yy’) ? NhËn xÐt OB vµ OC víi c¸c ®­êng th¼ng xx’, yy’? ? VËy quü tÝch c¸c ®iÓm O lµ g×? HS: O thuéc hai ®­êng th¼ng c¾t nhau zAz’ vµ tAt’, lµ bèn tia ph©n gi¸c cña bèn gãc t¹o thµnh bëi hai ®­êng th¼ng xAx’ vµ yAy’ GV:? Nªu giíi h¹n quü tÝch ®iÓm O? GV: Em nµo chøng minh ®­îc phÇn ®¶o? HS: lªn b¶ng tr×nh bµy- GV chÝnh x¸c ho¸ ? VËy quü tÝch cña ®iÓm O lµ g×? Bµi tËp 3: O y x z M I J A B Cho gãc xOy, trªn Ox lÊy ®iÓm A, trªn Oy lÊy ®iÓm B sao cho = T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M n»m trong gãc xOy sao cho tØ sè diÖn tÝch gi÷a tam gi¸c MOA vµ tam gi¸c MOB lµ . GV: VÏ h×nh ? Nªu gi¶ thiÕt, kÕt luËn cña bµi to¸n ? Em nµo chøng minh ®­îc phÇn thuËn? HS: lªn b¶ng gi¶i HS : líp nhËn xÐt- GV chÝnh x¸c ho¸. ? Em nµo nªu ®­îc phÇn giíi h¹n quü tÝch? HS: M thuéc tia ph©n gi¸c Oz cña gãc xOy ( trõ ®iÓm O) ? LÊy ®iÓm M bÊt kú thuéc tia ph©n gi¸c cña gãc xOy M kh¸c O; trªn Ox lÊy ®iÓm A; trªn tia Oy lÊy ®iÓm B sao cho OB = 2OA; kÎ MI ^ Oy; MJ ^ Ox (JÎ Ox; IÎ Oy) em nµo chøng minh ®­îc SD MOA / SDMOB =? ?VËy quü tÝch cÇn t×m lµ g×? Ho¹t ®éng 3: Cñng cè ? Nh¾c l¹i c¸c b­íc gi¶ bµi to¸n quü tÝch? ? Nh¾c l¹i quü tÝch ®iÓm lµ tia ph©n gi¸c vµ hÖ qu¶ cña nã? III. H­íng dÉn häc ë nhµ: ¤n l¹i vÒ quü tÝch cung chøa gãc Lµm c¸c bµi tËp sau: 1/ Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Hai ®iÓm C vµ D trªn nöa ®­êng trßn sao cho OC ^ OD (C thuéc cung AD). AD c¾t BC ë I; hai tia AC vµ BD c¾t nhau ë P. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm I vµ P khi hai ®iÓm C vµ D chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn. 2/ Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh. C lµ mét ®iÓm trªn nöa ®­êng trßn, trªn d©y AC kÐo dµi lÊy ®iÓm D sao cho CD = CB. T×m quü tÝch c¸c ®iÓm D khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®· cho Trªn tia CA lÊy ®iÓm E sao cho CE = CB. T×m quü tÝch c¸c ®iÓm E khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®· cho. 3/ M lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n AM lÊy ®iÓm N sao cho AN = BM. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N. Gi¸o ¸n sè 2: TËp hîp ®iÓm lµ cung trßn (cung chøa gãc) A. Môc tiªu: 1.KiÕn thøc : Sau khi häc xong bµi häc häc sinh : - BiÕt c¸ch nhËn biÕt quü tÝch lµ cung chøa gãc - §­îc cñng cè thªm vÒ cung chøa gãc dùng trªn mét ®o¹n th¼ng cè ®Þnh - BiÕt gi¶i bµi to¸n quü tÝch thuéc cung chøa gãc 2. Kü n¨ng: RÌn cho häc sinh kü n¨ng vÏ h×nh; c¸ch t×m lêi gi¶i vµ tr×nh bµy lêi gi¶i bµi to¸n quü tÝch ®iÓm. 3.T­ duy: RÌn luyÖn cho häc sinh c¸c thao t¸c t­ duy: dù ®o¸n, ph©n tÝch, tæng hîp... 4.Th¸i ®é: RÌn luyÖn tÝnh cÈn thËn; chÝnh x¸c, nghiªm tóc trong nghiªn cøu häc tËp B. ChuÈn bÞ Thµy: ®å dïng d¹y häc + nghiªn cøu tµi liÖu Trß: «n l¹i vÒ quü tÝch cung chøa gãc; c¸ch gi¶i bµi to¸n quü tÝch. C. TiÕn tr×nh d¹y vµ häc I. KiÓm tra bµi cò: Nh¾c l¹i vÒ quü tÝch cung chøa gãc ? Vµ c¸ch gi¶i bµi to¸n quü tÝch? II. Bµi míi: Néi dung Ho¹t ®éng cña thµy vµ trß a. tãm t¾t lý thuyÕt: TËp hîp c¸c ®iÓm M t¹o thµnh víi hai mót cña ®o¹n th¼ng AB cho tr­íc mét gãc AMB cã sè ®o kh«ng ®æi lµ a (00 < a < 1800) lµ hai cung trßn ®èi xøng nhau qua AB. Chó ý: Khi a = 900 th× tËp hîp ®iÓm M lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. b. C¸c bµi tËp : Bµi to¸n 1: Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Hai ®iÓm C vµ D trªn nöa ®­êng trßn sao cho OC ^ OD (C thuéc cung AD). AD c¾t BC ë I; hai tia AC vµ BD c¾t nhau ë P. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm I vµ P khi hai ®iÓm C vµ D chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn. H­íng dÉn gi¶i: a. PhÇn thuËn: Ð ADB = 900, suy ra Ð ADP = 900 Ð CAD = Ð COD = 450. Tam gi¸c ADP vu«ng c©n t¹i D nªn Ð APD = 450. Tam gi¸c ACI vu«ng c©n ë C nªn Ð AIC = 450, suy ra Ð AIB = 1350 C¸c ®iÓm P vµ I nh×n AB cè ®Þnh d­íi mét gãc 450 vµ 1350 nªn P vµ I lÇn l­ît n»m trªn cung chøa gãc 450 vµ 1350 vÏ trªn AB . b. Giíi h¹n: Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa hai cung chøa gãc nãi trªn, kÎ hai tia Ax vµ By vu«ng gãc víi AB, hai tia nµy c¾t cung chøa gãc 450 theo thø tù t¹i P1 vµ P2. Tõ O kÎ b¸n kÝnh OK vu«ng gãc víi AB. - NÕu C º A th× D º K, khi ®ã P º P1 cßn I º B - NÕu C º K th× D º B, khi ®ã P º P2 cßn I ºB VËy P ch¹y trªn cung P1PP2 cßn I ch¹y trªn cung AIB thuéc c¸c cung chøa gãc nãi trªn. c. PhÇn ®¶o: Trªn cung P1PP2 lÊy ®iÓm P’ bÊt k× kh¸c P1 vµ P2 nèi P’ víi A vµ P’ víi B c¾t nöa ®­êng trßn t©m O t¹i C’ vµ D’, BC’ c¾t AD’ t¹i I’. Ta ph¶i chøng minh I’ thuéc cung AIB vµ OC’ ^ OD’. ThËt vËy, tam gi¸c vu«ng AD’P’ cã Ð AP’D’ = 450 nªn lµ tam gi¸c c©n Þ Ð P’AD’ =450. V× Ð C’OD’ = 2Ð C’AD’ = 900, suy ra CO’ ^ O’D. MÆt kh¸c tam gi¸c AC’I’ còng lµ tam gi¸c vu«ng c©n nªn Ð AI’C’ = 450, suy ra Ð AI’B =1350, vËy I thuéc cung AIB. d. KÕt luËn: TËp hîp ®iÓm P lµ cung PP1P2 thuéc cung chøa gãc 450, tËp hîp ®iÓm I lµ cung AIB chøa gãc 450, c¸c cung nµy ®Òu dùng trªn ®o¹n AB vµ trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng chøa ®­êng trßn t©m O. Bµi to¸n 2: Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh. C lµ mét ®iÓm trªn nöa ®­êng trßn, trªn d©y AC kÐo dµi lÊy ®iÓm D sao cho CD = CB. a/ T×m quü tÝch c¸c ®iÓm D khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®· cho b/ Trªn tia CA lÊy ®iÓm E sao cho CE = CB. T×m quü tÝch c¸c ®iÓm E khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®· cho. H­íng dÉn gi¶i: C©u a) Quü tÝch ®iÓm D a. PhÇn thuËn: Ta cã: AB cè ®Þnh, Ð ADB = 450 ( v× tam gi¸c BCD vu«ng c©n). VËy khi C chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB th× D chuyÓn ®éng trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh. b. Giíi h¹n quü tÝch: D©y AC thay ®æi phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm C trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh; AC lín nhÊt, b»ng ®­êng kÝnh nöa ®­êng trßn, khi C trïng víi B, khi ®ã D còng trïng víi B, vËy B còng thuéc quü tÝch. AC nhá nhÊt b»ng 0 khi C º A, khi ®ã D trïng víi B0 ( B0 lµ giao cña cung chøa gãc 450 vµ tia tiÕp tuyÕn Ax t¹i A cña nöa ®­êng trßn).VËy ®iÓm D chuyÓn ®éng trªn cung BB0 thuéc cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB c. PhÇn ®¶o LÊy ®iÓm D tuú ý trªn cung BB0 thuéc cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB, nèi AD c¾t nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB t¹i C. Khi ®ã ta dÔ dµng chøng minh ®­îc CD = CB. ThËt vËy: + ta cã Ð ADB = 450 (v× D thuéc cung chøa gãc 450). +Ð ACB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB) +Mµ Ð BCD kÒ bï víi Ð ACB nªn Ð BCD = 900 Þ Ð CBD = Ð ADB = 450 Þ CD = CB. d. KÕt luËn : Quü tÝch c¸c ®iÓm D khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn lµ cung BB0 n»m trªn cung chøa cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB, trong nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C ( bÞ giíi h¹n bëi tiÕp tuyÕn Ax). C©u b) Quü tÝch c¸c ®iÓm E: a. PhÇn thuËn: Ta cã AB cè ®Þnh ; Ð AEB =1350 ( gãc ngoµi cña tam gi¸c vu«ng c©n BCE). VËy khi C chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB th× E chuyÓn ®éng trªn cung chøa gãc 1350 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh. b. Giíi h¹n Khi C º A Þ E º B; khi C º B th× E º B; Khi C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB th× E º A. VËy ®iÓm E chuyÓn ®éng trªn cung chøa gãc 1350 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB. c. PhÇn ®¶o: LÊy ®iÓm E bÊt kú trªn cung chøa gãc 1350. Tia AE c¾t nöa ®­êng trßn t¹i C. V× Ð AEB lµ gãc ngoµi ®Ønh E cña tam gi¸c vu«ng BCE, mµ Ð AEB = 1350, do ®ã Ð CBE = 450, tõ ®ã Þ tam gi¸c BCE lµ tam gi¸c vu«ng c©n vµ CE = CB. d. KÕt luËn: Quü tÝch c¸c ®iÓm E khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn lµ cung chøa gãc 1350 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh n»m cïng mét nöa mÆt ph¼ng víi nöa ®­êng trßn bê lµ ®­êng th¼ng AB. Bµi to¸n 3: M lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n AM lÊy ®iÓm N sao cho AN = BM. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N. H­íng dÉn gi¶i a. PhÇn thuËn Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê lµ ®­êng th¼ng AB chøa nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB, dùng tia Ax ^ AB, trªn ®ã lÊy ®iÓm B’ sao cho AB’ =AB, ta cã ®iÓm B’ cè ®Þnh D AMB = D B’NA v× cã AB = AB’ , Ð ABM = Ð B’AN vµ AN =MB, nªn Ð ANB’ = Ð AMB = 900. vËy ®iÓm N thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’. b. Giíi h¹n: Khi M º B th× N º A. Khi M º I ( lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB ) th× N º I . Khi M º A th× N º B’ . VËy N ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’ = AB . c. PhÇn ®¶o Trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB lÊy ®iÓm N bÊt k× kh¸c A, kh¸c B’. Tia AN c¾t nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB t¹i M . Ta ph¶i chøng minh AN = BM. ThËt vËy, hai tam gi¸c vu«ng AMB vµ B’NA cã AB = AB’, Ð NAB’ = Ð ABM nªn D MAB = D NB’A, do ®ã AN = MB. d. KÕt luËn: TËp hîp ®iÓm N lµ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’ ( víi B’ lµ giao cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB’ = AB vµ tia Ax ^ AB t¹i A). Ho¹t ®éng 1: Nh¾c l¹i vÒ cung chøa gãc ? Nh¾c l¹i tËp hîp ®iÓm lµ cung chøa gãc? ? Khi gãc a = 900 th× quü tÝch ®ã lµ g×? Ho¹t ®éng 2: Gi¶i bµi tËp Bµi to¸n 1: Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Hai ®iÓm C vµ D trªn nöa ®­êng trßn sao cho OC ^ OD (C thuéc cung AD). AD c¾t BC ë I; hai tia AC vµ BD c¾t nhau ë P. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm I vµ P khi hai ®iÓm C vµ D chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn. P P2 y x P1 C I K D A O B GV : vÏ h×nh ? Nªu gi¶ thiÕt, kÕt luËn cña bµi to¸n? ? Nªu dù ®o¸n cña em vÒ quü tÝch ®iÓm trong bµi to¸n trªn? HS: lµ c¸c cung chøa gãc 450 vµ 1350 vÏ trªn AB ? Em nµo chøng minh ®­îc phÇn thuËn? HS: lªn b¶ng gi¶i- GV uèn n¾n, chÝnh x¸c ho¸ ? Quü tÝch cña ®iÓm P ch¹y trªn cung nµo? V× sao? ? Quü tÝch cña ®iÓm I ch¹y trªn cung nµo? V× sao? Trªn cung P1PP2 lÊy ®iÓm P’ bÊt k× kh¸c P1 vµ P2 nèi P’ víi A vµ P’ víi B c¾t nöa ®­êng trßn t©m O t¹i C’ vµ D’, BC’ c¾t AD’ t¹i I’. Ta ph¶i chøng minh I’ thuéc cung AIB vµ OC’ ^ OD’. Em nµo chøng minh ®­îc? HS: lªn b¶ng gi¶i GV: ChÝnh x¸c ho¸ ? Nªu kÕt luËn vÒ quü tÝch cña bµi to¸n trªn? Bµi to¸n 2: Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh. C lµ mét ®iÓm trªn nöa ®­êng trßn, trªn d©y AC kÐo dµi lÊy ®iÓm D sao cho CD = CB. a/ T×m quü tÝch c¸c ®iÓm D khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®· cho b/ Trªn tia CA lÊy ®iÓm E sao cho CE = CB. T×m quü tÝch c¸c ®iÓm E khi C ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®· cho. A B B0 x E C D GV: VÏ h×nh ? Bµi to¸n cã nh÷ng yªu cÇu g×? ? Em nµo tr×nh bµy ®­îc lêi gi¶i cña c©u a)? HS: lªn b¶ng gi¶i- Líp nhËn xÐt GV: ChÝnh x¸c ho¸ ? Em nµo tr×nh bµy ®­îc lêi gi¶i cña c©u a)? HS: lªn b¶ng gi¶i- Líp nhËn xÐt GV: cã thÓ gîi ý: + Ð ADB = ? + D chuyÓn ®éng trªn ®­êng nµo? GV: ChÝnh x¸c ho¸ ? LÊy ®iÓm D tuú ý trªn cung BB0 thuéc cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n th¼ng AB, nèi AD c¾t nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB t¹i C. Khi ®ã chøng minh CD = CB? ? Qua hai phÇn chøng minh( thuËn vµ ®¶o) H·y kÕt luËn vÒ quü tÝch trªn? Khi C chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB th× E chuyÓn ®éng trªn ®­êng nµo? HS: Tr¶ lêi Líp nhËn xÐt GV: ChÝnh x¸c ho¸ ? LÊy ®iÓm E bÊt kú trªn cung chøa gãc 1350. Tia AE c¾t nöa ®­êng trßn t¹i C. Chøng minh CE = CB? ? Qua hai phÇn chøng minh( thuËn vµ ®¶o) H·y kÕt luËn vÒ quü tÝch trªn? Bµi to¸n 3: M lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n AM lÊy ®iÓm N sao cho AN = BM. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N. x B’ I M B A N GV: VÏ h×nh vµ h­íng dÉn nhanh häc sinh gi¶i bµi tËp nµy. NÕu cßn thêi gian GV cã thÓ gîi ý lµm bµi nµy: ? + Nªu dù ®o¸n cña em vÒ quü tÝch trªn? ? + Khi M º B th× N º ? M º I ( lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB ) th× Nº? Khi M º A th× N º ? VËy N ch¹y trªn ®­êng nµo? ? + Trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB lÊy ®iÓm N bÊt k× kh¸c A, kh¸c B’. Tia AN c¾t nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB t¹i M . H·y chøng minh AN = BM. ? Qua hai phÇn chøng minh( thuËn vµ ®¶o) H·y kÕt luËn vÒ quü tÝch trªn? Ho¹t ®éng 3: Cñng cè ? Nh¾c l¹i c¸c b­íc gi¶ bµi to¸n quü tÝch? ? Quü tÝch nh÷ng ®iÓm nh×n ®o¹n th¼ng AB d­íi mét gãc a kh«ng ®æi (00 < a < 1800) lµ g×? III. H­íng dÉn häc ë nhµ: 1. ¤n l¹i vÒ quü tÝch cung chøa gãc Lµm c¸c bµi tËp sau: Bµi 1: M lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n AM lÊy ®iÓm N sao cho AN = BM. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N. Bµi 2: Cho D ABC cã c¹nh BC cè ®Þnh vµ ¢ = a kh«ng ®æi. T×m quü tÝch giao ®iÓm cña ba tia ph©n gi¸c trong cña tam gi¸c ®ã. PhÇn IV. KÕt luËn §Ò tµi “ T×m tËp hîp ®iÓm trong ch­¬ng tr×nh THCS ” lµ mét ®Ò tµi khã, rÊt réng vµ hay. Qua qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, t×m hiÓu tham kh¶o tµi liÖu trong c¸c n¨m häc qua t«i nhËn thÊy ®©y lµ mét vÊn ®Ò rÊt bæ Ých, rÊt cÇn cho viÖc gi¶ng d¹y to¸n ë phæ th«ng ®Æc biÖt lµ ®èi víi häc sinh kh¸ giái. C¸c bµi tËp trong ®Ò tµi ®­îc ph¸t triÓn trªn c¸c bµi tËp cña s¸ch gi¸o khoa vµ c¸c s¸ch tham kh¶o, cã khi lÊy nguyªn c¶ bµi. Nã gióp c¸c em häc sinh hiÓu s©u s¾c h¬n c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ bµi to¸n tËp hîp ®iÓm, gióp c¸c em cã ®­îc hÖ thèng bµi tËp t­¬ng ®èi ®Çy ®ñ. §Ò tµi nµy t«i ®· ¸p dông t¹i tr­êng THCS x· Gia Phong ®èi víi c¸c ®èi t­îng häc sinh kh¸ giái. Sau khi ¸p dông t«i nhËn thÊy khi ®øng tr­íc bµi to¸n quü tÝch c¸c em kh«ng cßn cã t©m tr¹ng lo sî, ng¹i gi¶i; còng nh­ kh«ng cßn c¶m gi¸c nh­ ng­êi ®i trong bãng tèi...nã ®· ®em l¹i lîi Ých thiÕt thùc cho häc sinh vµ gi¸o viªn trong d¹y vµ häc. §©y lµ mét ®Ò tµi khã, réng, trõu t­îng, phøc t¹p, mang tÝnh khoa häc cao ®ßi hái ph¶i cã nhiÒu thêi gian cã nhiÒu tµi liÖu vµ ®ãng gãp. Víi ®iÒu kÞªn hiÖn nay b¶n th©n t«i nhËn thÊy nh÷ng yÕu tè trªn cã nh­ng ch­a ®ñ. V× vËy ch¾c ch¾n cßn cã nhiÒu thiÕu sãt. RÊt mong sù gãp ý cña c¸c thµy c«, c¸c ®ång nghiÖp T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thµy c« gi¸o, c¸c ®ång nghiÖp vµ ®Æc biÖt lµ thµy Ph¹m Hoµng Hµ, thµy NguyÔn V¨n Trµo ®· gióp ®ì t«i hoµn thµnh ®Ò tµi nµy! Ninh B×nh, ngµy 05 th¸ng 7 n¨m 2008 Ng­êi viÕt ®Ò tµi. §inh V¨n T­íc PhÇn V. Phô lôc Tµi liÖu tham kh¶o 1/ To¸n 9 Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 2005 2/ H×nh häc 7 Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 1996 (NguyÔn Gia Cèc; Ph¹m Gia §øc) 3/ To¸n 8 Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 2004 4/ Bµi tËp to¸n 9 Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 2005 (T«n Th©n; Ph¹m Gia §øc; NguyÔn Duy ThuËn) 5/ To¸n häc vµ tuæi trÎ sè 332- 2005 6/ Gióp häc tèt h×nh häc 9 Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 1994 (NguyÔn B¸ Kim; NguyÔn TiÕn Quang; Vò Kim Thuû) 7/ Gi¸o tr×nh thùc hµnh gi¶i to¸n s¬ cÊp NguyÔn V¨n Hµ- Tr­êng §HSPHN2 8/ To¸n n©ng cao vµ c¸c chuyªn ®Ò h×nh häc 9 Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 1997 (NguyÔn Ngäc §¹m; NguyÔn ViÖt H¶i; Vò D­¬ng Thuþ) 9/ N©ng cao vµ ph¸t triÓn to¸n 8 Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 2006 ( Vò H÷u B×nh) 10/ Bµi tËp n©ng cao vµ mét sè chuyªn ®Ò to¸n 8 Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 2004 (Bïi V¨n Tuyªn)

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • docTìm tập hợp điểm- Quỹ tích chuan.doc
Luận văn liên quan