Trực quan hoá một số bài toán quỹ tích là đường tròn bằng lập trình mô phỏng nhằm phát triển tư duy trừu tượng

I. ĐẶT VẤN ĐỀ. 1. Cơ sở lý luận. Ở trường THCS, Hình học là một môn học có tính trừu tượng cao, có những dạng toán khó trong đó phải kể đến dạng toán "Quỹ tích". Chính vì thế bên cạnh trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản cần phải hình thành cho các em những cách thức sơ khai cần thiết để tiếp cận và từng bước giải loại toán này. Là người dạy học chắc ai cũng biết V.I.Lênin khẳng định: "Con đường nhận thức là đi từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng". Cái trực quan mà Lênin nói ở đây không phải là trực quan thông thường mà phải là "trực quan sinh động". 2. Cơ sở thực tiễn. Hiện nay, ở các trường (nhất là các trường ở nông thôn) tỉ lệ học sinh học kém toán rất cao. Trong đó phần lớn các em ngại học phân môn Hình học đặc biệt là dạng toán quỹ tích. Dạng toán này được đưa vào các lớp cuối cấp THCS với thời lượng không nhiều lắm. Nhưng nó lại có mặt khá nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các các cấp. Toán quỹ tích không những khó học đối với học sinh mà còn khó dạy đối với giáo viên vì các dụng cụ trực quan hỗ trợ giảng dạy hầu như không có mà các dụng cụ thủ công tự tạo của giáo viên thì lại thiếu chính xác, thiếu thẫm mỹ, thao tác khó khăn, thậm chí nhiều khi mâu thuẫn với lý thuyết làm mất lòng tin của học sinh. Do đó mà nhiều khi các em ngộ nhận trong giải toán. Qua khảo sát thực tế ở trường tôi giảng dạy bằng hai bài toán sau đây: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi. Bài 2: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. P là một điểm chuyển động trên đường tròn. Gọi M là một điểm thuộc đoạn AP sao cho AM = k.AP (với k >0). Tìm quỹ tích điểm M. Kết quả thu được: Tổng số Số HS chỉ ra được quỹ tích ở bài 1 Số HS chỉ ra được quỹ tích ở bài 2 Lớp 9/3 39 5 (13%) 1 (2,5%) Lớp 9/4 40 4 (10%) 0 Nhìn vào kết quả điều tra trên chắc bất cứ giáo viên dạy toán nào cũng trăn trở: tại sao HS lại không giải được toán quỹ tích. Chỉ thị 40- CT của Ban bí thư có yêu cầu: "Tích cực áp dụng một cách sáng tạo các phương pháp tiên tiến hiện đại, ứng dụng công nghệ thông tin vào hoạt động dạy học". Hiện tại, một số trường THCS trong huyện đã được trang bị phòng máy vi tính nhưng hiệu quả sử dụng chưa cao. Chủ yếu các trường thường dùng để đánh văn bản hay rải rác dạy tin học văn phòng cho học sinh. Chưa thấy trường nào sử dụng công nghệ thông tin nói chung và máy tính nói riêng như một đồ dùng dạy học. Trước đây trong lúc dạy nghề tin học lớp 9, tôi đã thử giới thiệu một số bài toán quỹ tích và dựng hình cơ bản bằng phần mềm The Geometer's Sketchpad. Sau khi xem các em rất thích và hiểu bài toán rất nhanh. Gần đây tôi được tiếp xúc với phần mềm dạy học Violet của người việt có giao diện thân thiện, mang tính sư phạm cao và tương đối dễ sử dụng. Trong bộ phần mềm này có môđun lập trình mô phỏng cho phép trình bày các bài toán quỹ tích cũng như dựng hình giúp giáo viên dễ dàng trong quá trình giảng dạy và mang lại những hiệu quả không ngờ tới. Chính vì thế tôi mạo muội trao đổi với các thầy cô và các bạn đồng nghiệp sáng kiến nhỏ: "Trực quan hoá một số bài toán quỹ tích là đường tròn bằng lập trình mô phỏng nhằm phát triển tư duy trừu tượng". 3. Giới hạn đề tài.

doc17 trang | Chia sẻ: lvcdongnoi | Ngày: 06/02/2013 | Lượt xem: 2725 | Lượt tải: 2download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Trực quan hoá một số bài toán quỹ tích là đường tròn bằng lập trình mô phỏng nhằm phát triển tư duy trừu tượng, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
I. §Æt vÊn ®Ò. 1. C¬ së lý luËn. ë tr­êng THCS, H×nh häc lµ mét m«n häc cã tÝnh trõu t­îng cao, cã nh÷ng d¹ng to¸n khã trong ®ã ph¶i kÓ ®Õn d¹ng to¸n "Quü tÝch". ChÝnh v× thÕ bªn c¹nh trang bÞ cho häc sinh nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n cÇn ph¶i h×nh thµnh cho c¸c em nh÷ng c¸ch thøc s¬ khai cÇn thiÕt ®Ó tiÕp cËn vµ tõng b­íc gi¶i lo¹i to¸n nµy. Lµ ng­êi d¹y häc ch¾c ai còng biÕt V.I.Lªnin kh¼ng ®Þnh: "Con ®­êng nhËn thøc lµ ®i tõ trùc quan sinh ®éng ®Õn t­ duy trõu t­îng". C¸i trùc quan mµ Lªnin nãi ë ®©y kh«ng ph¶i lµ trùc quan th«ng th­êng mµ ph¶i lµ "trùc quan sinh ®éng". 2. C¬ së thùc tiÔn. HiÖn nay, ë c¸c tr­êng (nhÊt lµ c¸c tr­êng ë n«ng th«n) tØ lÖ häc sinh häc kÐm to¸n rÊt cao. Trong ®ã phÇn lín c¸c em ng¹i häc ph©n m«n H×nh häc ®Æc biÖt lµ d¹ng to¸n quü tÝch. D¹ng to¸n nµy ®­îc ®­a vµo c¸c líp cuèi cÊp THCS víi thêi l­îng kh«ng nhiÒu l¾m. Nh­ng nã l¹i cã mÆt kh¸ nhiÒu trong c¸c ®Ò thi häc sinh giái c¸c c¸c cÊp. To¸n quü tÝch kh«ng nh÷ng khã häc ®èi víi häc sinh mµ cßn khã d¹y ®èi víi gi¸o viªn v× c¸c dông cô trùc quan hç trî gi¶ng d¹y hÇu nh­ kh«ng cã mµ c¸c dông cô thñ c«ng tù t¹o cña gi¸o viªn th× l¹i thiÕu chÝnh x¸c, thiÕu thÉm mü, thao t¸c khã kh¨n, thËm chÝ nhiÒu khi m©u thuÉn víi lý thuyÕt lµm mÊt lßng tin cña häc sinh. Do ®ã mµ nhiÒu khi c¸c em ngé nhËn trong gi¶i to¸n. Qua kh¶o s¸t thùc tÕ ë tr­êng t«i gi¶ng d¹y b»ng hai bµi to¸n sau ®©y: Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, cã c¹nh BC cè ®Þnh. Gäi I lµ giao ®iÓm cña ba ®­êng ph©n gi¸c trong. T×m quü tÝch ®iÓm I khi A thay ®æi. Bµi 2: Cho ®­êng trßn (O; R) vµ mét ®iÓm A n»m ngoµi ®­êng trßn. P lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn ®­êng trßn. Gäi M lµ mét ®iÓm thuéc ®o¹n AP sao cho AM = k.AP (víi k >0). T×m quü tÝch ®iÓm M. KÕt qu¶ thu ®­îc: Tæng sè Sè HS chØ ra ®­îc quü tÝch ë bµi 1 Sè HS chØ ra ®­îc quü tÝch ë bµi 2 Líp 9/3 39 5 (13%) 1 (2,5%) Líp 9/4 40 4 (10%) 0 Nh×n vµo kÕt qu¶ ®iÒu tra trªn ch¾c bÊt cø gi¸o viªn d¹y to¸n nµo còng tr¨n trë: t¹i sao HS l¹i kh«ng gi¶i ®­îc to¸n quü tÝch. ChØ thÞ 40- CT cña Ban bÝ th­ cã yªu cÇu: "TÝch cùc ¸p dông mét c¸ch s¸ng t¹o c¸c ph­¬ng ph¸p tiªn tiÕn hiÖn ®¹i, øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo ho¹t ®éng d¹y häc". HiÖn t¹i, mét sè tr­êng THCS trong huyÖn ®· ®­îc trang bÞ phßng m¸y vi tÝnh nh­ng hiÖu qu¶ sö dông ch­a cao. Chñ yÕu c¸c tr­êng th­êng dïng ®Ó ®¸nh v¨n b¶n hay r¶i r¸c d¹y tin häc v¨n phßng cho häc sinh. Ch­a thÊy tr­êng nµo sö dông c«ng nghÖ th«ng tin nãi chung vµ m¸y tÝnh nãi riªng nh­ mét ®å dïng d¹y häc. Tr­íc ®©y trong lóc d¹y nghÒ tin häc líp 9, t«i ®· thö giíi thiÖu mét sè bµi to¸n quü tÝch vµ dùng h×nh c¬ b¶n b»ng phÇn mÒm The Geometer's Sketchpad. Sau khi xem c¸c em rÊt thÝch vµ hiÓu bµi to¸n rÊt nhanh. GÇn ®©y t«i ®­îc tiÕp xóc víi phÇn mÒm d¹y häc Violet cña ng­êi viÖt cã giao diÖn th©n thiÖn, mang tÝnh s­ ph¹m cao vµ t­¬ng ®èi dÔ sö dông. Trong bé phÇn mÒm nµy cã m«®un lËp tr×nh m« pháng cho phÐp tr×nh bµy c¸c bµi to¸n quü tÝch còng nh­ dùng h×nh gióp gi¸o viªn dÔ dµng trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vµ mang l¹i nh÷ng hiÖu qu¶ kh«ng ngê tíi. ChÝnh v× thÕ t«i m¹o muéi trao ®æi víi c¸c thÇy c« vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp s¸ng kiÕn nhá: "Trùc quan ho¸ mét sè bµi to¸n quü tÝch lµ ®­êng trßn b»ng lËp tr×nh m« pháng nh»m ph¸t triÓn t­ duy trõu t­îng". 3. Giíi h¹n ®Ò tµi. §Ò tµi nµy chØ giíi thiÖu c¸ch m« pháng trùc quan mét sè bµi to¸n quü tÝch lµ ®­êng trßn (®Æc biÖt lµ bµi: "Cung chøa gãc" - H×nh häc 9 - TiÕt 46, Bµi 6) b»ng c¸ch dïng ng«n ng÷ Violet Script nh»m h×nh thµnh cho häc sinh nh÷ng kiÕn thøc vµ kü n¨ng c¬ b¶n khi lµm to¸n quü tÝch. Nãi c¸ch kh¸c lµ t¹o cho häc sinh nh÷ng "lèi mßn" trªn con ®­êng nhËn thøc ®Ó c¸c em cã thªm tù tin gi¶i to¸n khi kh«ng cã thÇy c« bªn c¹nh. §Ó bµi viÕt ®­îc gän h¬n, t«i xin nªu c¸ch h­íng dÉn t×m ra quü tÝch vµ m« pháng quü tÝch chø kh«ng tr×nh bµy lêi gi¶i chi tiÕt. II. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò. 1. KiÕn thøc c¬ b¶n. 1.1. Quü tÝch lµ g×? Quü tÝch lµ tËp hîp nh÷ng ®iÓm cã mét sè tÝnh chÊt chung nµo ®ã vµ chØ nh÷ng ®iÓm cã tÝnh chÊt ®ã mµ th«i. 1.2. C¸ch gi¶i bµi to¸n quü tÝch: Khi gi¶i bµi to¸n quü tÝch ta th­êng ph¶i chøng minh c¶ hai phÇn: phÇn thuËn vµ phÇn ®¶o. PhÇn thuËn: Nh÷ng ®iÓm cã tÝnh chÊt T th× n»m trªn h×nh H. (NÕu bµi to¸n quü tÝch cã xÐt giíi h¹n th× ë phÇn nµy cã thªm phÇn Giíi h¹n quü tÝch). PhÇn ®¶o: Nh÷ng ®iÓm n»m trªn h×nh H th× cã tÝnh chÊt T. 1.3. Hai yÕu tè chÝnh trong bµi to¸n quü tÝch: Trong bµi to¸n quü tÝch cã hai lo¹i yÕu tè chÝnh ®ã lµ: yÕu tè cè ®Þnh vµ yÕu tè chuyÓn ®éng. ViÖc t×m ra mèi liªn hÖ gi÷a hai lo¹i yÕu tè nµy lµ kh©u cèt yÕu ®Ó gi¶i bµi to¸n quü tÝch. 2. Mét sè bµi to¸n minh ho¹. Bµi to¸n quü tÝch "cung chøa gãc". AMB Cho ®o¹n th¼ng AB vµ gãc a (00 < a < 900). T×m quü tÝch (tËp hîp) c¸c ®iÓm M tho· m·n = a. Tr­íc hÕt GV cho HS lµm bµi to¸n cô thÓ sau: Bµi to¸n 1: AMB Cho ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh, t×m quü tÝch (tËp hîp) c¸c ®iÓm M n»m trong mÆt ph¼ng sao cho = 900. C¸ch lµm: §Çu tiªn GV h­íng dÉn häc sinh vÏ mét sè vÞ trÝ cña ®iÓm M. Ch¼ng h¹n: M1, M2, M3... nh­ bªn. Ta ®­îc h×nh vÏ nh­ sau: Sau ®ã ®Æt c©u hái: a) C1: Em cã nhËn xÐt g× vÒ c¸c vÞ trÝ cña ®iÓm M (chóng th¼ng hµng hay kh«ng)? TL: Chóng kh«ng th¼ng hµng. C2: C¸c vÞ trÝ cña M cã thÓ n»m trªn ®­êng th¼ng hay ®­êng trßn? TL: M cã thÓ n»m trªn ®­êng trßn. C3: M c¸ch ®Òu ®iÓm nµo? GV cã thÓ gîi ý (nÕu HS kh«ng tr¶ lêi ®­îc): M cã c¸ch ®Òu trung ®iÓm O cña AB kh«ng? b) Råi yªu cÇu häc sinh nèi O víi c¸c vÞ trÝ cña M. c) d) e) H×nh 1 g) C4: So s¸nh c¸c ®o¹n th¼ng võa vÏ? TL: Chóng b»ng nhau v× ®Òu b»ng mét n÷a c¹nh huyÒn AB. VËy ®iÓm M n»m trªn ®­êng nµo? TL: M n»m trªn ®­êng trßn (§­êng trßn ®­êng kÝnh AB). AMB Kh«ng nh÷ng 3 ®iÓm nãi trªn mµ mäi ®iÓm M tho¶ m·n = 900 ®Òu thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Sau ®ã GV cho HS xem m« pháng quü tÝch võa t×m ®­îc ®Ó ghi nhí l©u h¬n (trªn m¸y h×nh ¶nh sÏ sinh ®éng h¬n). a) b) c) d) e) f) H×nh 2 Khi M º A hoÆc M º B th× gãc AMB lµ gãc t¹o bëi ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB lÇn l­ît t¹i A hoÆc B. *L­u ý: trong bµi to¸n trªn nÕu yªu cÇu t×m quü tÝch nh÷ng ®iÓm M sao cho tam gi¸c AMB vu«ng t¹i M th× ph¶i trõ hai ®iÓm A vµ B (v× khi M º A hoÆc M º B th× kh«ng tån t¹i tam gi¸c AMB). a) b) c) d) e) f) Sau khi häc sinh n¾m ®­îc quü tÝch ë bµi to¸n trªn th× GV cho HS quan s¸t sù m« pháng trªn m¸y (nh­ mét sè h×nh chôp ®­îc d­íi ®©y) H×nh 3 g) h) i) C1: Theo quan s¸t, em cã nhËn xÐt g× vÒ quü ®¹o chuyÓn ®éng cña ®iÓm M? TL: §iÓm M chuyÓn ®éng trªn hai cung trßn. GV h­íng dÉn HS chøng minh nhËn ®Þnh trªn. * PhÇn thuËn: (Tr­íc hÕt, xÐt mét n÷a mÆt ph¼ng bê lµ ®­êng th¼ng AB). AMB GV (nãi ®ång thêi tr×nh diÔn trªn m¸y): Gi¶ sö M tho· m·n = a vµ n»m trong n÷a mÆt ph¼ng ®ang xÐt. H·y chøng minh cung trßn ®i qua ba ®iÓm A, M, B lµ cè ®Þnh (kh«ng phô thuéc vµo M). x y a a a b) a) Trªn n÷a mÆt ph¼ng bê lµ ®­êng th¼ng AB kh«ng chøa ®iÓm M kÎ tia tiÕp tuyÕn Ax cña §.Trßn ®i qua 3 ®iÓm A, M, B Khi ®ã ÐBAx =a do ®ã tia Ax cè ®Þnh T©m O ph¶i n»m trªn ®­êng th¼ng Ay vu«ng gãc víi Ax t¹i A VËy O cè ®Þnh, kh«ng phô thuéc vµo M MÆt kh¸c O ph¶i n»m trªn ®­êng trung trùc d cña AB a a a a a H×nh 4 c) d) e) n m y x y x x a d) c) y O cè ®Þnh v× Ay vµ d cè ®Þnh. e) H×nh 4 Chó ý: GV cÇn gi¶i thÝch cho häc sinh lµ tia Ay lu«n c¾t d (v× 00 < a < 900 nªn Ax kh«ng thÓ trïng víi ®­êng th¼ng AB do ®ã Ay kh«ng vu«ng gãc víi AB). VËy M thuéc cung trßn AmB cè ®Þnh. * PhÇn ®¶o: AM'B LÊy bÊt k× ®iÓm M' thuéc cung AmB. Ta cÇn chøng minh = a. m (PhÇn nµy do HS tù chøng minh - sö dông kiÕn thøc vÒ gãc néi tiÕp vµ gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung). a) GV (nãi vµ m« pháng trªn m¸y): trªn n÷a mÆt ph¼ng ®èi cña mÆt ph¼ng ®ang xÐt, ta cßn cã cung Am'B ®èi xøng víi cung AmB còng cã tÝnh chÊt nh­ cung AmB. Mçi cung nh­ thÕ ®­îc gäi lµ cung chøa gãc a dùng trªn ®o¹n AB. m' H×nh 5 b) * KÕt luËn: AMB Víi ®o¹n th¼ng AB vµ gãc a (00 < a < 900) cho tr­íc th× quü tÝch c¸c ®iÓm M tho· m·n = a lµ hai cung chøa gãc a dùng trªn ®o¹n AB. Sau khi gi¶i xong GV nªu mét sè chó ý: Hai cung chøa gãc nãi trªn lµ hai cung trßn ®èi xøng nhau qua AB. Hai ®iÓm A, B ®­îc coi lµ thuéc quü tÝch. Khi a = 900 th× hai cung nãi trªn lµ hai n÷a ®­êng trßn (Bµi to¸n 1). ë h×nh 4e) AmB lµ cung chøa gãc a th× AnB lµ cung chøa gãc 180-a. GV h­íng dÉn dùng cung chøa gãc a trªn ®o¹n AB theo c¸c b­íc d­íi ®©y: (PhÇn nµy còng ®­îc m« pháng trªn m¸y) Dùng ®­êng trung trùc d cña AB H×nh 6 a) b) c) d) e) f) Dùng ®­êng th¼ng Ay ^ Ax Dùng tia Ax sao cho = a. ABx Dùng cung trßn t©m O b¸n kÝnh OA (hoÆc OB) Gäi O lµ giao ®iÓm cña Ay vµ d Bµi to¸n 2: Cho ®­êng trßn (O; R) vµ mét ®iÓm A n»m ngoµi ®­êng trßn. P lµ mét ®iÓm bÊt k× trªn ®­êng trßn. T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña AP khi P chuyÓn ®éng trªn ®­êng trßn. T­¬ng tù bµi to¸n 1, ë bµi nµy GV còng cho HS vÏ tr­íc mét sè vÞ trÝ cña ®iÓm M. Ch¼ng h¹n: M1, M2, M3... nh­ h×nh d­íi ®©y: Sau ®ã cho HS nhËn xÐt vÒ c¸c vÞ trÝ cña M. TL: M cã thÓ n»m trªn ®­êng trßn nµo ®ã (v× chóng - M1, M2, M3 kh«ng th¼ng hµng). B©y giê yªu cÇu HS chØ ra c¸c yÕu tè cè ®Þnh vµ yÕu tè chuyÓn ®éng vµ sù liªn hÖ gi÷a chóng. H×nh 7 TL: -YÕu tè cè ®Þnh: §­êng trßn (O; R) cè ®Þnh nªn O cè ®Þnh vµ R kh«ng ®æi; ®iÓm A cè ®Þnh. -YÕu tè chuyÓn ®éng: P chuyÓn ®éng nªn trung ®iÓm M cña AO còng chuyÓn ®éng. Do M lµ trung ®iÓm cña AP nªn ta nghÜ ®Õn ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c AOP. Gäi N lµ trung ®iÓm cña AO - N cè ®Þnh. Do MN lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c AOP nªn (kh«ng ®æi) VËy M n»m trªn ®­êng trßn Lêi gi¶i: ............. Sau khi gi¶i xong GV cho HS xem l¹i m« pháng quü tÝch trªn m¸y: H×nh 8 Bµi to¸n 2': Cho ®­êng trßn (O; R) vµ mét ®iÓm A n»m trong ®­êng trßn. P lµ mét ®iÓm bÊt k× trªn ®­êng trßn. T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña AP khi P chuyÓn ®éng trªn ®­êng trßn. (C¸ch lµm bµi to¸n nµy hoµn toµn t­¬ng tù bµi to¸n 2 ë trªn) 2. §Ò tµi nµy cã kÌm theo mét ®Üa CD - Tr×nh bµy trªn nÒn cña phÇn mÒm t¹o bµi gi¶ng Violet. Môc lôc I. §Æt vÊn ®Ò. 1 1. C¬ së lý luËn. 1 2. C¬ së thùc tiÔn. 1 3. Giíi h¹n ®Ò tµi. 2 II. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò. 3 1. KiÕn thøc c¬ b¶n. 3 1.1. Quü tÝch lµ g×? 3 1.2. C¸ch gi¶i bµi to¸n quü tÝch: 3 1.3. Hai yÕu tè chÝnh trong bµi to¸n quü tÝch: 3 2. Mét sè bµi to¸n minh ho¹. 3 F Bµi to¸n 1: 3 F Bµi to¸n 2: 8 F Bµi to¸n 2': 10 F Bµi to¸n 2*: 10 F Bµi to¸n 3: 10 F Bµi to¸n 4: 11 3. KÕt qu¶ ®¹t ®­îc. 13 III. KÕt luËn - KiÕn nghÞ. 13 1. KÕt luËn. 13 2. KiÕn nghÞ. 13 Phô lôc 14 Môc lôc 14

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • docTrực quan hoá một số bài toán quỹ tích là đường tròn bằng lập trình mô phỏng nhằm phát triển tư duy trừu tượng.doc