Bài thu hoạch môn: Số học hiện đại

Bài thu hoạch môn: Số học hiện đại. Lớp 17A3 Cao học toán - Đại học Vinh Học viên: Trần Thanh Hải – Chuyên ngành: Giải tích 1 Lời Mở Đầu “Số học hiện đại” là một nghành khoa học tự nhiên ra đời cùng với sự ra đời của nghành toán học.Số Học ra đơi tư rất sớm trong lịch sử phát triên nghành toán và có vai trò quan trọng trong các nghành khoa học khác cũng như trong cuộc sống thực tế.Trong nền toán học hiện đại Số học có vai trò quan trọng,là nền tảng cho các nghanh toán đó. Tuy vậy khi tiếp cận với Số học hiện đại người học sẽ gặp rất nhiều khó khăn vì tính trừu tương và độ tư duy rất cao của nghành học.Để khắc phục vấn đề đó tôi đưa ra một số ít những gì mình đã học trong chương I và III của giáo trình “Số học hiện đại” của thầy Nguyễn Thành Quang.Thông qua một số kết quả và một số ví dụ để minh họa cho sự quan trọng đó và sự tương tự trong các nghiên cứu đó. Từ định lý Mason, người ta dễ dàng thu được định lý cuối cùng Fermat đối với đa thức trên hệ thức giữa các đa thức. Chẳng hạn một trong những hệ quả đó là định lý Davenport mà khẳng định tương tự của nó đối với số nguyên là giả thuyết Hall hoặc Giả thuyết “ABC” vẫn còn chưa được chứng minh.Số nguyên tố và số giả nguyên tố cùng những ứng dụng của nó trong khoa học và trong thực tiễn của cuộc sống. Cuối cùng tôi xin cám ơn Thầy giáo Nguyễn Thành Quang đã tận tình dạy bảo va giúp đỡ tôi trong quá trình học tập.Vì khả năng còn nhiêu hạn chế chắc chắn sẽ còn rất nhiều hạn chế và thiếu sót,vì vậy rất mong được sự góp ý chỉ dẫn của các thầy,cô và các bạn Tôi Xin Chân Thành Cám Ơn! Vinh,tháng 5 năm 2010 Bài thu hoạch môn: Số học hiện đại. Lớp 17A3 Cao học toán - Đại học Vinh Học viên: Trần Thanh Hải – Chuyên ngành: Giải tích 2 I.Trường định chuẩn I.1 Định nghĩa: Môt trường định chuẩn nếu trên K đã xác định một ánh xạ: RK →:ϕ , thỏa mãn các điều kiện sau: i. )(aϕ là số thực , Ka ∈∀ , ii. )0(ϕ = 0; )(aϕ > 0; với Ka ∈≠0 , iii. )(abϕ = )(aϕ )(bϕ , iv. ( ) ( ) ( )( )baba ϕϕϕ ,max≤+ ; ., Kba ∈∀ I.2 Ví dụ: Về trường định chuẩn ( )ϕ,K Giả sử Q là trường các số hữu tỉ, p là một số nguyên tố cố định nào đó. Khi đó với mỗi Qa ∈≠0 , ta có thể viết một cách duy nhất np t s a = , ( )Ζ∈n Trong đó các số nguyên s,t không chia hết cho p.Ta đặt ( ) ( ) npp pa −== ϕϕ ;00 .Khi đó trên Q sẽ xác định cho ta một sự định chuẩn.Chuẩn này được gọi là chuẩn p_adic . Với np t s a = ( ).;. ZnQapp t s a n p n p ∈∈==⇒ − Chẳng hạn: .77 5 1 7 1 5 1 35 1 7 1 77 =⋅=⋅= − .122 35 11 35 1 35 1 00 22 ==⋅=⋅= Nhận xét: Với p,q là hai số nguyên tố phân biệt thì chuẩn p_adic va chuẩn q_adic không tương đương nhau trên trường các số hữu tỉ Q. I.3 Định chuẩn không Ácsimet. Một chuẩn ϕ trên trường K là một định chuẩn không Ácsimet nếu ( ) ( ) ( )( ) KbabaMaxba ∈∀≤+ ,;,ϕϕϕ . II.Định lý Mason. II.1 Định lý: Cho K la một trường đóng đại số đặc số không.Giả sử a(t),b(t),c(t) là các đa thức khác hằng số với hệ số trong K, nguyên tố cùng nhau sao cho cba =+ .Khi đó nếu kí hiệu ( )fn0 là số nghiệm phân biệt của đa thức f thì ta có: Max(deg(a) ,deg(b), deg(c)) ( ) 10 −≤ abcn . II.2 Định lý Fermat Từ định lí trên ta suy ra được hệ quả sau: (Tương tự của định lí cuối cùng của Fermat trên đa thức) : Không tồn tại các đa thức a,b,c với hệ tử trong một trường đóng đại số đặc số không, khác hằng số, nguyên tố cùng nhau và thõa mãn phương trình: nnn cba =+ , với n .3≥ Chứng minh: Bài thu hoạch môn: Số học hiện đại. Lớp 17A3 Cao học toán - Đại học Vinh Học viên: Trần Thanh Hải – Chuyên ngành: Giải tích 3 Giả sử các đa thức a, b, c thoả mãn phương trình nói trên. Rõ ràng số nghiệm phân biệt của đa thức anbncn không vượt quá deg(a) + deg(b) + deg(c). Áp dụng định lý Mason, ta có: deg(an) = ndega ≤ no(anbncn) – 1 ≤ no(abc) – 1 ≤ deg(abc) – 1 = deg(a) + deg(b) + deg(c) - 1. Nên deg(an) = ndega ≤ deg(a) + deg(b) + deg(c) – 1 deg(bn) = ndegb ≤ deg(a) + deg(b) + deg(c) – 1 deg(cn) = ndegc ≤ deg(a) + deg(b) + deg(c) – 1 Cộng từng vế các bất phương trìng trên, ta có n(dega + degb + degc) ≤ 3(dega + degb + degc) – 3. Ta có mâu thuẫn vì n ≥ 3. II.3 Định lý Davenport Đặc biệt một trong những hệ quả của định lí Mason là định lý sau đây. Định lý Davenport: Giả sử f,g là các đa thức trên trường K, nguyên tố cùng nhau sao cho 23 gf ≠ .Khi đó ta có: ( ) 1deg 2 1deg 23 +≥− fgf . Chứng minh: Ta dùng định lý Mason với. a = g2, b = f3 – g2, c = g=f3. Khi đó a, b, c nguyên tố cùng nhau và thoả mãn phương trình a + b = c. Theo định lý Mason ta có dega ≤ no(abc) – 1 ≤ no(g2(f3 – g2)f3) – 1 ≤ no(g(f3 - g4)f) – 1 = deg(g(f3 - g4)f) – 1 = degg + deg(f3 – g2) + degf – 1 ⇒ 2degg ≤ degg + deg(f3 – g2) +deg(f) – 1 (1) Tương tự: ⇒ 3degf ≤ degg + deg(f3 – g2) +deg(f) – 1 (2) Cộng từng vế các bất phương trìng (1) và (2) trên, ta có: Bài thu hoạch môn: Số học hiện đại. Lớp 17A3 Cao học toán - Đại học Vinh Học viên: Trần Thanh Hải – Chuyên ngành: Giải tích 4 2degg + 3degf ≤ 2degg + 2deg(f3 – g2) + 2deg(f) – 2. ⇒ deg(f) ≤ 2deg(f3 – g2) - 2. ⇒ deg(f3 – g2) ≥ 2 1 deg(f) + 1. Suy ra đpcm II.4.Hệ quả: II.4.1.Hệ quả 1. (Tưong tự định lý Davenport) Giả sử f, g là các đa thức khác hằng số trên trường đóng đại số, đặc số không K, nguyên tố cùng nhau, sao cho f3 ≠ g4. Khi đó ta có: deg(f3 – g4) ≥ 4 5 degf + 1 (*) Chứng minh: +) Nếu 3deg(f) > 4deg(g) ⇒ deg(f3 - g4) = deg(f3) = 3deg(f). Khi đó hiển nhiên ta có (*),với chú ý rằng deg(f) ≥ 1. +) Nếu 3deg(f) < 4deg(g) ⇒ deg(f3 - g4) = deg(g4) = 4deg(g) khi đó ta cũng có (*), vì: deg(f3 - g4) = 4deg(g) > 3deg(f) > 4 5 degf + 1 +) Nếu 3deg(f) = 4deg(g) Sử dụng định lý Mason với: a = f3, b = g4 - f3, c = g4. Khi đó a, b, c nguyên tố cùng nhau và thoả mãn phương trình a + b = c. Theo định lý Mason ta có dega ≤ no(abc) – 1 Hay: 3deg(f) ≤ no(g4(f3 - g4)f3) – 1. Suy ra 3deg(f) ≤ no(g(f3 - g4)f) – 1. Do đó ta có 3deg(f) ≤ deg(g) + deg(f3 - g4) + deg(f) – 1. ⇒ deg(f3 - g4) ≥ 2deg(f) – deg(g) + 1 ⇒ deg(f3 - g4) ≥ 2deg(f) – 4 3 deg(f) + 1 ⇒deg(f3 - g4) ≥ 4 5 deg(g) + 1 II.4.2. Tổng quát của định ký Davenport Giả sử f,g là các đa thức khác hằng trên trường đóng đại số đặc số không K, nguyên tố cùng nhau , sao cho fn ≠ gm. Khi đó ta có deg(fn - gm) ≥ m mnnm −− degf + 1 (**) Bài thu hoạch môn: Số học hiện đại. Lớp 17A3 Cao học toán - Đại học Vinh Học viên: Trần Thanh Hải – Chuyên ngành: Giải tích 5 Chứng minh: +) Nếu ndeg(f) > mdeg(g) ⇒ deg(fn - gm) = deg(fn)= ndeg(f). Khi đó hiển nhiên ta có (**),vơi chú ý rằng deg(f) ≥ 1. +) Nếu ndeg(f) < mdeg(g) ⇒ deg(fn - gm) = deg(gm)= mdeg(g). Khi đó hiển nhiên ta có (**),với deg(fn - gm) = mdeg(g) > n deg(f) > m mnnm −− deg(f) + 1. +) Nếu ndeg(f) = mdeg(g) Sử dụng định lý Mason với: a = fn, b = gm – fn, c = gm. Khi đó a, b, c nguyên tố cùng nhau và thoả mãn phương trình a + b = c. Theo định lý Mason ta có dega ≤ no(abc) – 1. Hay: ndeg(f) ≤ no(gm(fn – gm)fn) – 1. Suy ra ndeg(f) ≤ no(g(fn – gm)f) – 1. Do đó ta có ndeg(f) ≤ deg(g) + deg(fn – gm) + deg(f) – 1. ⇒ deg(fn – gm) ≥ (n-1)deg(f) – deg(g) + 1 ⇒ deg(fn – gm) ≥ (n-1)deg(f) – m n deg(f) + 1 ⇒deg(fn – gm) ≥ m mnnm −− degf + 1. Ngoài định lí Mason ta còn có các giả thuyết: Hall, ’abc’, Fermat suy rộng, Pilai, Erdos_Mollon_Walsh. Ta có sự liên hệ giữa định lí Mason với các giả thuyết và các định lí khác như sau: ? Fermat Theorem Hall Conjecture Mason Theorem Davenport Theorem Analog of Fermat Theorem ( )3≥n ‘abc Conjecture Fermat Theorem ( )0nn ≥ Bài thu hoạch môn: Số học hiện đại. Lớp 17A3 Cao học toán - Đại học Vinh Học viên: Trần Thanh Hải – Chuyên ngành: Giải tích 6 III. Số nguyên tố. III.1. Định nghĩa: Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1.Không chia hết cho số nguyên dương nào ngoài 1 và chính nó (không có ước thực sự).Một số nguyên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số. Vd: 3,5,7,11,13,...... là số nguyên tố III.2.Số hoàn chỉnh (The perfect number) Số hoàn chỉnh là số nguyên dương mà tổng các ước số dương thực sự của nó bằng chính nó. Ta có kết quả sau:”Một số nguyên dương chẵn n là số hoàn chỉnh nếu và chỉ nếu: ( )122 1 −= − mmn . Trong đó 2≥m là số nguyên dương sao cho 12 −m là số nguyên tố. Vd: ( ) ( )12.212.27.428 31332 −=−== − : ( ) ( )12.212.231.16496 51554 −=−== − ; ( ) ( )12.212.2127.648128 71776 −=−== − , là các số hoàn chỉnh. III.3. Số nguyên tố Mersenner: Như ta đã thấy, ta có một số hoàn chỉnh chẵn khi có một số nguyên tố dạng 12 −m . Các số nguyên tố như vậy gọi là số nguyên tố Mersenner. Trong vd về số hoàn chỉnh ta thấy các số 7,31,127 là các số nguyên tố Mersenner. Số nguyên tố Mersenner có vai tro quan trọng trong cả lý thuyết và ứng dụng. Chẳng hạn vấn đề tìm ra các số nguyên tố lớn hơn để xây dựng hệ mật mã công khai. III.4. Số nguyên tố Fermat Fermat đã chi ra rằng,các số tự nhiên 122 += n nF , n=0,1,2,... là số nguyên tố. Các số nguyên tố nF được gọi là số nguyên tố Fermat. III.5.Định lý:(định lý cơ bản của số học) Mọi số tự nhiên lơn hơn 1 đều phân tích được một cách duy nhất thành tích các thừa số nguyên tố, trong đó các thừa số được viết với thứ tự không giảm.Số nguyên tố được coi như là “tích” chỉ gồm một thừa số là chính nó. III.6. Số nguyên tố sánh đôi. Định nghĩa: Nếu 1 là ước chung lớn nhất (ƯCLN) của các số nguyên naaa ,....,, 21 thì các số naaa ,....,, 21 được gọi là nguyên tố cùng nhau.Nếu ta còn có 1 là ƯCLN của mọi cặp số phân biệt ,1,, njiaa ji ≤≠≤ thì các số nguyên naaa ,....,, 21 được gọi là nguyên tố cùng nhau từng đôi một,hay nguyên tố sánh đôi. Chẵng hạn dãy số 3,5,17,257,65537,... là dãy số nguyên tố Fermat thõa mãn điều kiện là dãy số nguyên tố sánh đôi. III.7. Số giả nguyên tố. Giả sử b là một số nguyên dương cho trước.Nếu n là hợp số nguyên dương và ( )nbb n mod≡ ,thì n được gọi là số nguyên tố cơ sở b. Trong trường hợp (n,b)=1, ta thương dùng định nghĩa tương đương sau: ( )nb n mod11 ≡− . Vd: Số nguyên 561 là số giả nguyên tố cơ sở 2. Bài thu hoạch môn: Số học hiện đại. Lớp 17A3 Cao học toán - Đại học Vinh Học viên: Trần Thanh Hải – Chuyên ngành: Giải tích 7 Thật vậy: Ta có 561=3.11.17 và (3,2)=(11,2)=(17,2)=1,do đó áp dụng định lý Fermat, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )17mod122 11mod122 3mod122 3516560 5610560 2802260 ≡= ≡= ≡= Từ đó suy ra ( )561mod12560 ≡ hay ( )561mod22561 ≡ .Do đó 561 là số giả nguyên tố cơ sở 2. III.8. Số Carmichael. Hợp số n thỏa mãn đồng dư thức ( )nb n mod11 ≡− với mọi số nguyên dương b sao cho (n,b)=1 được gọi là số Carmichael. Vd: Số nguyên 561 là một số Carmichael. Thật vậy: Do 561=3.11.17 nên 561 là hợp số Với mọi số nguyên dương n thõa mãn: (b,n)= 1,ta thấy (b,3)= (b,11)= (b,17)= 1. Theo định lý Fermat bé, ta có: ( ) ( ) ( )    ≡ ≡ ≡ 17mod1 11mod1 3mod1 16 10 2 b b b ⇔ ( ) ( ) ( )     ≡= =≡ ≡= )17(mod1 )11(mod1 )3(mod1 3516560 5610560 2802560 bb bb bb ⇒ ( )561mod1560 ≡b ⇒ 561 là số carmichael. Một cách khác để ta nhận biết một số có phải là số Carmichael hay không nhờ vào định lý sau:” Số tự nhiên n là số Carmichael khi và chỉ khi kqqqn ...21= , trong đó ( )kjq j ,...2,1, = ,là các số nguyên tố khác nhau thỏa mãn 1−jq là ước của n-1.