Bài toán moment hausdorff và biến đổi laplace ngược

sinh bởi hệ các đa thức trực giao ( ) 0,1,2,...i n=iL , trong đĩ iL là đa thức Muntz (Phương pháp moment hữu hạn). Nội dung của luận văn này dựa trên kết quả bài báo của Dũng, Huy, Quân, Trọng ([18]), cĩ thêm phần tính số để minh họa cho kết quả của bài tốn (0.4). Tồn bộ luận văn này sẽ chia thành các chương sau đây: Chương mở đầu là phần giới thiệu tổng quát về bài tốn và điểm qua các kết quả trước đĩ, đồng thời giới thiệu bố cục của luận văn. Chương 1 là phần giới thiệu ký hiệu và các khơng gian hàm, các hệ trực chuẩn đặc biệt trong ( )2 0,1L như: đa thức Legendre, đa thức Muntz. 4 Chương 2 khảo sát chi tiết bài tốn (0.4), kết quả chính của chương này là định lý 2.1 và định lý 2.4 phương pháp xấp xỉ nghiệm u và đánh giá sai số. Chương 3 khảo sát bài tốn (0.1) dựa trên kết quả đã trình bày trong chương 2. Chương 4 là phần tính số minh họa cho bài tốn (0.4). Chương 5 là phần kết luận về các kết quả thu được trong luận văn. Sau cùng là tài liệu tham khảo. 5 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Khơng gian Hilbert 1.1.1. ðịnh nghĩa Cho H là khơng gian vectơ tuyến tính trên ℝ (hay trên ℂ ). Ta định nghĩa trên H một ánh xạ H H× → ℝ ( , ) , .x y x y〈 〉֏ Thỏa i) , 0,x x x H〈 〉 ≥ ∀ ∈ . ii) , 0 0.x x x〈 〉 = ⇔ = iii) , , , ,x y y x x y H〈 〉 = 〈 〉 ∀ ∈ . iv) , , , , , ,x y z x z y z x y z Hα α α〈 + 〉 = 〈 〉 + 〈 〉 ∀ ∈ ∈ℝ; . Khi đĩ ta nĩi .,.〈 〉 là một tích vơ hướng (dạng Hermite) trên H . Hơn nữa, trên H ta cĩ thể định nghĩa chuẩn của một vectơ thơng qua tích vơ hướng , ,x x x x H= 〈 〉 ∀ ∈ . Nếu với chuẩn định nghĩa như trên, mà H là khơng gian Banach thì H được gọi là khơng gian Hilbert. Khái niệm về tính trực giao , 0.x y x y⊥ ⇔ 〈 〉 = M H⊆ , ta kí hiệu : { }: ,M x H x y y M⊥ = ∈ ⊥ ∀ ∈ là khơng gian trực giao với M . M H⊆ là khơng gian vectơ con đĩng. Với mỗi x H∈ , tồn tại duy nhất ,y M z M ⊥∈ ∈ thỏa x y z= + và 6 ( , ) ,d x M x y z= − = Họ vectơ ( )i i Ix H∈ ⊂ được gọi là hệ trực giao nếu ( ), , .i jx x i j I i j I⊥ ∀ ∈ ≠ là tập đánh chỉ số. Họ vectơ ( )i i Ix H∈ ⊂ được gọi là hệ trực chuẩn nếu ( )i i Ix ∈ trực giao và 1,ix i I= ∀ ∈ . ðịnh lý 1.1 1) Cho họ 1,( )i i nx = là họ trực giao, ta cĩ 2 2 1 1 . n n i i i i x x = = =∑ ∑ 2) Cho họ 1,( )i i nx = là họ trực chuẩn, ( ) 1,i i nt = là n số thực hay phức, ta cĩ 2 2 1 1 . n n i i i i i t x t = = =∑ ∑ 3) ðặt 1 2, ,... .n nX x x x= Họ ( )i ix ∈ℕ là cơ sở trực chuẩn của H nếu H X ∞ ∪ n n=1 = Khi đĩ i) x H∀ ∈ , tồn tại duy nhất 1 : n n n i i ni x X x c x x⊥ = ∈ = +∑ , ii) 1 ( , )n i i n nix c x x d x X=− = =∑ , iii) 1 0n ni iix c x →∞ = − →∑ , iv) 22 1 n ii c x = ≤∑ (Bất đẳng thức Bessel), v) 2 2 1 ii x c ∞ = =∑ (đẳng thức Bessel–Parseval), với ,i ic x x= 〈 〉 là hệ số Fourier của x ứng với hệ trực chuẩn ( )i ix ∈ℕ . 1.1.2. Khơng gian pL Một số định lý của lý thuyết tích phân. 7 ðịnh lý 1.2 (ðịnh lý hội tụ đơn điệu). Cho ( )nf là dãy tăng các hàm khả tích Lesbesgue trên Ω ⊂ ℝ sao cho supn nf < ∞∫ . Khi đĩ, nf hội tụ h.k.n (hầu khắp nơi) trên Ω về một hàm khả tích trên Ω và ( ) ( )1 0n nf f f x f x dxΩ− = − →∫ khi n → ∞ ( 1. là chuẩn trong khơng gian ( )1L Ω ). ðịnh lý 1.3 (ðịnh lý hội tụ bị chặn Lesbesgue). Cho ( )nf là một dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên Ω . Giả sử i) ( ) ( )nf x f x→ h.k.n trên Ω , ii) tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi ( ) ( ), nn f x g x< h.k.n trên Ω . Khi đĩ f khả tích và ( ) ( )1 0n nf f f x f x dxΩ− = − →∫ khi n → ∞ Hệ quả: Cho f là hàm đo được và g khả tích trên Ω . Ta cĩ Nếu ( ) ( )f x g x< h.k.n trên Ω thì f khả tích trên Ω . Nếu f khả tích thì f khả tích và ngược lại. ðịnh lý 1.4 (Fubini). Cho F khả tích trên 1 2Ω × Ω . Khi đĩ, với hầu hết 1x ∈Ω ( ) ( ),. : ,F x y F x y֏ khả tích trên 2Ω và ( ) 2 ,x F x y dy Ω∫֏ khả tích trên 1Ω . Kết luận tương tự khi đổi vai trị x cho y , 1Ω cho 2Ω . Hơn nữa, ta cĩ ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 , , ,dx F x y dy dy F x y dx F x y dxdy Ω Ω Ω Ω Ω ×Ω = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . 8 Khơng gian ( ) ,1pL pΩ ≤ ≤ ∞ . Giả sử nΩ ⊂ ℝ là một tập đo được, ta cĩ các định nghĩa Với 1 p≤ < ∞ {( ) :pL f fΩ = đo được trên , pfΩ khả tích Lebesgue trên Ω }, Với p = ∞ {( ) :L f f∞ Ω = đo được trên Ω và tồn tại ( ) }: . .C f x C h k n≤ , và ký hiệu ( )( ) 1p ppf f x dxΩ= ∫ , ( ){ }inf ; . .f C f x C h k n ∞ = ≤ , là các chuẩn tương ứng. Khơng gian ( ) ,1pL pΩ ≤ ≤ ∞ là một khơng gian định chuẩn đầy đủ Trong khơng gian này ta đồng nhất ( ) ( ) . .f g f x g x h k n= ⇔ = . ðặc biệt 2p = , ta định nghĩa {2( ) :L f fΩ = đo được trên 2, fΩ khả tích Lebesgue trên Ω }, với tích trong được định nghĩa , ( ) ( )f g f x g x dx Ω 〈 〉 = ∫ và chuẩn ( )( )12 22f f x dxΩ= ∫ , thì 2 ( )L Ω là khơng gian Hilbert. ðịnh lý 1.5 (Bất đẳng thức Holder). Cho ( )pf L∈ Ω và ( )qg L∈ Ω , với 1 p≤ < ∞ và 1 1 1 p q + = . Khi đĩ ( )1f g L⋅ ∈ Ω và ( ) ( ) p qf x g x dx f gΩ ≤ ⋅∫ Tích chập Cho hai hàm số f và g xác định trên ℝ thì hàm số f g∗ định bởi ( ) ( ) ( )f g x f x y g y dy∗ = −∫ℝ , 9 với giả thiết là tích phân ở trên tồn tại, được gọi là tích chập của f và g . 1.1.3. Khơng gian Sobolev ( ) ( )1 ,H Ω Ω ⊆ ℝ . ( ) ( ){ :cC f f C∞ ∞Ω = ∈ Ω tức là f khả vi vơ hạn lần, }suppf ⊆ Ω . Với 1 p≤ < ∞ ( p ≠ ∞ ) thì ( )cC∞ Ω trù mật trong ( )pL Ω . ( )1H Ω = ( ){ 2u L∈ Ω : tồn tại duy nhất ( )2 ', ,g L u gϕ ϕ Ω Ω ∈ Ω = −∫ ∫ ( )}cCϕ ∞∀ ∈ Ω , trong đĩ g thỏa điều kiện trên được gọi là đạo hàm suy rộng của u , ký hiệu 'u g= . Ta định nghĩa trên ( )1H Ω tích trong và chuẩn tương ứng như sau 1 2 2 ' ' , , , H L L u v u v u v〈 〉 = 〈 〉 + 〈 〉 , ( )1 2 2 122 2' .H L Lu u u= + Khi đĩ, ( )1H Ω là một khơng gian Hilbert. Từ đây về sau nếu khơng sợ nhầm lẫn, ta quy ước sử dụng chuẩn ⋅ thay cho tất cả các chuẩn 2 1 1, ,L H L⋅ ⋅ ⋅ . 1.1.4. Quá trình trực giao hĩa Hilbert-Schmidt Cho họ ( )i ix H∈ ⊂ℕ là các vectơ độc lập tuyến tính, nghĩa là { }( ) 0 : 0 0, 0,1,2,..., , 0,1,2,..., ,... n i i i i n a x a i n n = ∀ ∈ = ⇔ = ∀ = =∑ℕ ℕ . ðặt 0 0 0 , xy x = 1 0 , , i i i i k k k i k i w w x x y y y w − = = − 〈 〉 =∑ . Thì ( )i iy ∈ℕ là hệ trực chuẩn và hơn nữa { } { }( ) ( )i i i ispan y span x∈ ∈=ℕ ℕ . 10 1.2. Các hệ trực chuẩn đặc biệt trong ( )2 0,1L 1.2.1. ða thức Legendre Ta trực giao hĩa trong ( )2 1,1L − hệ các hàm lũy thừa 21, , ,..., 1 1x x x− < < thì ta được hệ các đa thức trực giao. Các đa thức cùng bậc của các hệ này chỉ sai khác một thừa số hằng. Trong các hệ đa thức trực giao này, ta xét hệ sau đây, được gọi là hệ đa thức Legendre. 1.2.1.1. Dạng đa thức và dạng vi phân ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 0 1! 11 , 2 !! !2 n nn k n n nk k d tn k P t t n dtk n k= −+ = − = ⋅ − ∑ ( )0 1, .P t n= ∈ℕ Khi đĩ, ta cĩ các tính chất i) 1 1 ( ) ( ) 0,n mP t P t dt n m − = ≠∫ . ii) ( )1 2 1 2( ) , 2 1n P t dt n n− = ∀ ∈ +∫ ℕ . iii) ( )nP t thỏa phương trình vi phân cấp hai thuần nhất ( ) ( )'2 '1 1 0x y n n y − + + =  . Thực vậy, lấy vi phân n+1 lần đẳng thức ( )2 '1 2x u nxu− = Chú ý ( )2 1 nu x= − , ( ) ( )2 !n n nu n P x= , ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 12 ' 21 1 2 1n n n nx u n n u nxu x u− +− = − + + − , ( )( ) ( ) ( )( )12 2n n nnxu n nu xu−= + . iv) ( ){ }n nP t ∈ℕ là một cơ sở trực giao của khơng gian ( )2 1,1L − . 11 Nếu đổi biến 1 2t x= − và đặt ( ) ( )2 1 1 2n nL x n P x= + − , thì hệ ( ){ }n nL x ∈ℕ là một cơ sở trực chuẩn trong khơng gian ( )2 0,1L . 1.2.1.2 Dạng tích phân Theo tính chất iii) ( ) n P t là nghiệm của phương trình vi phân ( ) ( )'2 '1 1 0x y n n y − + + =  ( ) ( )2 " '1 2 1 0x y xy n n y− − + + = (1.1) ðặt ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 1 2 1 , p x x p x x p x n n n  = − +  = −  = + ∈ ℕ (1.2) Ta tìm nghiệm của (1.1) dưới dạng ( ) ( ) ( ) C y x x t v t dt µ = −∫ (1.3) với ,vµ sẽ xác định sau, trong đĩ v là hàm cĩ đạo hàm cấp hai trên C . Trong đĩC là đường lấy tích phân, điều kiện sẽ tìm sau. Từ (1.1) - (1.3) suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ 2 10 11C p x x t p x x tµ µµ µ µ− −− − + −∫ ( ) ( ) } ( )2 0.p x x t v t dtµ+ − ⋅ = (1.4) Biểu diễn 0 1 2, ,p p p thơng qua ( )x t− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2' "0 0 0 012p x p t p t x t p t x t= + − + − , ( ) ( ) ( ) ( )'1 1 1p x p t p t x t= + − , ( ) ( ) ( )2 2 1p x p t n n= = + . Thế vào (1.4) ( ) ( ) ( ){ ( ) ( ) ( ) ( )2 1'0 0 11 1C p t x t p t p t x tµ µµ µ µ µ µ− − − − + − + − ∫ 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )" '0 1 21 1 ( ) 02 p t p t p t x t v t dt µµ µ µ  + − + + − =    . Thu gọn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ' 0 0 12 1C x t x t p t p t p t v t dt t t µ µ µ  ∂ − ∂ −  − − +  ∂ ∂   ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )" '0 1 21 1 ( ) 02C p t p t p t x t v t dt µµ µ µ  + − + + − =    ∫ . (1.5) Trong (1.5) ta tìm µ thỏa ( ) ( ) ( ) ( )" '0 1 21 1 02 p t p t p tµ µ µ− + + = ( ) ( )1 2 1 0n nµ µ µ− − − + + = ( )2 1 0n nµ µ− − + + = . (1.6) ( )1 n n µ µ =  = − + Khi đĩ (1.5) tương đương ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 '0 0 12 1 0C x t x tp t v t p t p t v t dtt t µ µ µ  ∂ − ∂ −  − − + =  ∂ ∂   ∫ (1.7) Tích phân từng phần (1.7) ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 '0 0 11 C p t v tx t p t v t p t p t v t x t t t µ µµ   ∂∂ −  − + − + −    ∂ ∂    ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )'2 0 10 2 1 0 C p t p t v tp t v t x t dt t t µµ   ∂ − +∂   + + − = ∂ ∂     ∫ . (1.8) Trong (1.8) ta tìm ( )v t thỏa ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 '0 11 0p t v t p t p t v tt µ  ∂  + − + =   ∂  . (1.9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '0 0 1 0p t v t p t p t v tµ + + =  13 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ' ' 0 1 0 p t p t v t v t p t µ + = −     . ( ) ( )( ) ( ) ( ) ' 0 1 0 0 exp p t p t v t A dt p t p t µ      = ⋅ − +         ∫ ( ) ( )210 2 0 ( ) 2( ) exp 1 exp( ) 1 p t tA p t dt A t p t t µµ −−     = ⋅ − = ⋅ −    −   ∫ ∫ ( ) ( )( ) ( ) 12 2 21 exp ln 1 1A t t A tµ µ− − −= ⋅ − − − = ⋅ − . Vậy ( ) ( ) 121v t A t µ− −= ⋅ − . (1.10) Nếu µ thỏa (1.6), ( )v t thỏa (1.9) và chọn C sao cho ( ) ( ) ( )0 0 C x t p t v t t µ ∂ − =  ∂  và 1nµ = − − , thì ( ) ( ) ( )1 21 nn C y x A x t t dt− −= ⋅ − −∫ . là nghiệm của phương trình (1.1). Bây giờ chọn C là đường trịn tâm x , bán kính 1 2 21x − , [ ){ }2: 1 , ,iC t t x x e ϕ ϕ pi pi= = + − ∈ − . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 12 2 1 1 2 1 1 1 1 n i i i n n i n x x e x x e y x A x e id x e ϕ ϕ pi ϕ pi ϕ ϕ+ − + +   − − − − −   = − − − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 cos 2cos 2 1 1 1 n n in n n in e x x x A id x e ϕ pi pi ϕ ϕ ϕ ϕ − +   − − + −   = − − ∫ ( ) ( ) 2 22 2 2 2 1 1cos 1 n n n n x x x A id x pi pi ϕ ϕ −   − + −   = − − ∫ 14 22 1cos n n iA x x d pi pi ϕ ϕ −  = − + −  ∫ . (1.11) Mặt khác ( ) ( )( ) ( ) ( )12 2 1 1 11 2 .lim ! n nn n n nC t x t d t y x A dt A i n dtx t pi + + → − − − = = − ∫ ( )2 12 ! n n n d xiA n dx pi − = − (1.12) ( ) ( ) ( )2 11 2 ! n n n n n d x y x P x n dx − = = ⋅ (1.13) Từ (1.12)- (1.13) suy ra 1 2 2n A ipi − = . Thế vào (1.11) thì nghiệm của phương trình là ( ) 2 2 0 1 11cos 1cos 2 n n y x x x d x x d pi pi pi ϕ ϕ ϕ ϕ pi pi−     = + − = + −    ∫ ∫ . Vậy dạng tích phân của ( )nP x là ( ) 2 0 1 1cos , . n nP x x x d n pi ϕ ϕ pi   = + − ∈  ∫ ℕ 1.2.2. ða thức Muntz . Cho ( )i iα ∈ℕ là một dãy các số thực rời nhau từng đơi một. Ta định nghĩa đa thức Muntz (hệ số thực) thứ m xác định trên ( )0,∞ như sau 1 0 1 2 1( ) 2 tm m k m C k k m t x x dt i t t α α pi α α − = +  + + = ⋅  − −  ∏∫L . Trong đĩ C là một đường cong đĩng, đơn, định hướng dương và bao các cực điểm. Mệnh đề 1.6 Giả sử ( )i iα ∈ℕ rời nhau từng đơi một thì 15 ( ) 0 ( ) ; 0,k m m mk k x x x α = = ∈ ∞∑L C , (1.14) với 1 0 0, ( 1) 1 2 ( ) m k rr mk m m k rr r k α α α α α − = = ≠ + + = + − ∏ ∏C . Chứng minh Nhắc lại Thặng dư: Giả sử a là một điểm bất thường cơ lập của hàm giải tích ( )f z và C là một đường cong Jordan kín trơn từng khúc xác định dương, giới hạn một miền D chứa a . ( )f z giải tích trong D trừ a . Khi đĩ thặng dư của ( )f z tại a là [ ] 1Re ( ), ( ) 2 C s f z a f z dz ipi = ∫ . ðịnh lý thặng dư: Nếu ( )f z giải tích trong miền kín D giới hạn bởi đường cong C trừ một số điểm bất thường cơ lập 1 2, ,..., na a a nằm trong D thì [ ] 1 ( ) 2 Re ( ), n kC k f z dz i s f z api = = ∑∫ (1.15) Áp dụng (1.15) với 1 0 1 2 1( ) 2 tm m r r r m t xf z i t t α α pi α α − = + + + = ⋅ − − ∏ và n điểm bất thường 1 2, ,..., ma a a . ta suy ra được (1.14). ðịnh lý 1.7. (về tính trực chuẩn) Cho ( )i iα ∈ℕ là một dãy các số thực rời nhau từng đơi một và 1 ,2i iα > − ∀ ∈ℕ thì 1 0 ( ) ( )m n mnx x dx δ=∫L L , trong đĩ ,m n ∈ℕ , và 1 , 0,mn m n m n δ ==  ≠ là hằng số Kroneker. 16 Chứng minh Từ giả thiết 1 2i α > − ta cĩ thể chọn được một đường cong đơn, đĩng C nằm trong nửa mặt phẳng cĩ phần thực lớn hơn 1 2 − , tiếp xúc với đường thẳng 1Re( ) 2 z = − và bao 1n + cực điểm. Khi t C∈ thì Re( ) 1kt α+ > − nên 1 0 1 , 1 nt n x dx n t α α + = ∀ ∈ + +∫ ℕ . Theo định lý Fubini ta cĩ 11 1 0 0 0 1 2 1( ) 2 n n tm m k m C k k m t x x x dx x dt dx i t t α α α α pi α α − =  + + +  = ⋅  − −   ∏∫ ∫ ∫L 1 1 0 0 1 2 1 1 2 n m tm k C k k m t dt x dx i t t αα α pi α α − + = + + + = ⋅ − − ∏∫ ∫ ( ) ( ) 1 0 1 2 1 1 2 1 m m k C k k m n t dt i t t t α α pi α α α − = + + + = ⋅ − − + + ∏∫ Tích phân sau cùng cĩ thêm cực điểm mới ( )1mt α= − + nếu n m= . Cịn nếu n m< thì khơng cĩ thêm cực điểm mới, do tử số chứa thừa số ( )1nt α+ + . Xét { } 0,max 1i i mt R α == > + .Thì đường trịn này bao tất cả các cực điểm kể cả cực điểm mới . Khi đĩ ( ) ( ) 11 0 0 1 2 1 1( ) 2 1 n m m k m k k m nt R t x x dx dt i t t t α α α pi α α α − == + + + = ⋅ − − + + ∏∫ ∫L 1 0 11 2 m mn m k k m km δ α α α αα − = − + + ++ ∏ ðổi biến [ ), 0,2it Re ϕ ϕ pi= ∈ . Ta được 17 ( ) ( ) 2 11 0 00 1 2 1( ) 2 1 n i im m k mn m i i i k k mmm n R Re e d x x dx Re Re Re pi ϕ ϕ α ϕ ϕ ϕ α α ϕ δ pi α α α − = + + + = ⋅ + − − + + ∏∫ ∫L C . ðặt ( ) ( )( ) 1 0 1 21 1 iim mk i i i k k m n ReReF Re Re Re ϕϕ ϕ ϕ ϕ ααϕ α α α − = ++ + = ⋅ − − + + ∏ Do R trên tử số cĩ bậc nhỏ hơn mẫu số, nên 0RF →∞→ Áp dụng bất đẳng thức tam giác ( ) ( ) ( ) 3 1 2 2 20 0 2 2 2 11 1 1 m mm m mm n kn kk k R R R RF R R R R R R α αα α + + + = = ≤ ≤    + − − + − −        ∏ ∏ 1 2 0 2 1 1 1 1 m mn k k n k R α α α α + = ≤     − −    + +    ∏ 1 2 0 2 1 1 1 1 m m k n k R α α + = ≤         + +    ∏ ( ) ( ) 1 2 2 0 2 0,2 1 1 1 1 m m k n k g Lϕ pi α α + = ≤ = ∈         + +    ∏ Theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ( )( ) 2 1 00 1 2 1 0 2 1 i im Rm k i i i k k m n R Re e d Re Re Re pi ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ α α ϕ pi α α α − →∞ = + + + ⋅ → − − + + ∏∫ Suy ra 1 0 ( ) n mn m mm x x dxα δ=∫ L C (1.16) Trong phần chứng minh trên ta luơn giả sử n m≤ , ngược lại ta thay đổi vai trị của ,m n cho nhau. 18 Áp dụng (1.16). Ta suy ra 1 1 1 00 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n k m n m kn mm m mn k x x dx x x dx x x dxα δ = = = =∑∫ ∫ ∫L L L LC C . 1.3.Tính trù mật . ðịnh lý 1.8 { } [ ]21, , ,..., ,... 0,1nspan x x x C= . Chứng minh ðặt ( ) ( )21 , 1 1 0 , 1 n n n t tF t c t  −  − ≤ ≤ =   > với ( )1 2 1 1 n nc s ds − = −∫ , ta cĩ ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 0 0 0 22 1 2 1 1 1 1 n n n n n c s ds s s ds s ds n = − = − + ≥ − = +∫ ∫ ∫ Vì vậy ( )nF t thỏa i) ( ) 0, ,nF t n t≥ ∀ ∀ . ii) ( )( ) 21 1 1 2 1 1 1 1( ) ( ) 1 1 n n n n t F t dt F t dt dt s ds ∞ −∞ − − − − = = = − ∫ ∫ ∫ ∫ . iii) ( ) ( )1 1 21( ) ( ) 12 n n n n F t dt F t dt dt δ δ δ δ ∞ + = ≤ −∫ ∫ ∫ . ( ) ( ) ( )21 1 1 02 n nn δ δ →∞+≤ − − → (vì 20 1 1δ< − < ). Lấy [ ]0,1f C∈ ta cĩ thể giả sử (0) (1) 0f f= = (ngược lại ( )( ) ( ) (0) ( ) (0h x f x f x f x f= − − − ), và kéo dài f trên ℝ bằng cách 19 [ ] ( ), 0 1( ) 0, 0,1 f x xf x x ≤ ≤ =  ∉ . Khi đĩ f liên tục trên ℝ . Xét ( ) ( )1 0 ( ) ( ) ( )n n nf x f t F x t dt f t F x t dt ∞ −∞ = − = −∫ ∫ . (1.19) là một đa thức . Thật vậy ( )nF x t− là đa thức theo x ( ) 20 1 2( ) ( ) ... ( ) nn nF x t g t g t x g t x− = + + + trong đĩ 0 1 2, ,..., ng g g là các đa thức theo t . Thì 2 0 1 2( ) ... nn nf x a a x a x= + + + trong đĩ các hệ số của đa thức 1 0 ( ) ( ) , 0,1,...,2 .i ia f t g t dt i n= =∫ Mặt khác 1 0 ( ) ( ) ( ) n f x f x F t dt= ∫ (do ii)) Trong (1.19) đổi biến ( ) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n f x f x t F t dt f x t F t dt∞ −∞ = − = −∫ ∫ . Khi đĩ 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n f x f x f x t F t f x F t dt− = − −∫ ( )1 0 ( ) ( ) ( ) n n f x t f x F t dt= − −∫ 1 0 ( ) ( ) ( ) n n f x t f x F t dt≤ − −∫ Do tính liên tục đều của f trên [ ]0,1 . Nên [ ]0,1 , 0, 0 :x tε δ δ∀ ∈ ∀ > ∃ > < thì ( ) ( ) 2n f x t f x ε− − < Do [ ]0,1f C∈ nên tồn tại :M f M≤ 20 sao cho ( ) ( ) 2nf x t f x M− − ≤ . Khi đĩ, chúng ta chọn N sao cho nếu n N≥ , thì 1 ( ) 4n F t dt Mδ ε <∫ (do iii)) Suy ra 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n f x f x f x t f x F t dt f x t f x F t dtδ δ − ≤ − − + − −∫ ∫ 1 0 2 ( ) ( ) 2n n M F t dt F t dt δ δ ε≤ +∫ ∫ 2 2 ε ε ε≤ + = . Như vậy các hàm đa thức trù mật trong [ ]0,1C . ðịnh lý 1.9. (về tính trù mật của đa thức Muntz trong ( )2 0,1L ) Cho ( )i iα ∈ℕ là dãy các số thực rời nhau từng đơi một và 12iα > − ta cĩ điều kiện cần và đủ để { } ( )0 11 2, ,..., ,... 0,1nspan x x x Lα αα − = là ( )20 2 1 2 1 1 i i i α α ∞ = + = ∞ + + ∑ . (1.20) Chứng minh Ta sẽ xấp xỉ mx bởi { }0 11, ,..., nspan x x xα αα − trong ( )2 0,1L . Giả sử ( ); , 0,1,2,..., 1im N m i nα∈ ≠ = − . Xét hệ { }0 1 1, ,..., ,n mα α α − theo định nghĩa phần trước ta cĩ đa thức trực chuẩn Muntz thứ n như sau: 1 0 ( ) i n m m n i i x a x a x α − = = +∑L với 1 0 ( 1)2 1 0( ) n i n i i m a m m α α − = + + = + ≠ − ∏ . Ta cĩ 21 1 1 1 0 0 0 ( ) i i i n n n m m i i i i i in n x a x b x x b x a a α α α − − − = = = − = − −∑ ∑ ∑ L . Mà { }0 11( ) , ,..., nm x span x x xα αα −⊥L và { }0 111 1 0 0 , ,..., i i n n n i i i in a x b x span x x x a α α α αα − − − = = + ∈∑ ∑ Suy ra 1 1 0 0 ( ) 1 1 min 12 1 i i n n m m i ib R i in n i x m x b x a a mm α α α − − ∈ = = − − = = = + ++ ∑ ∏L . Do đĩ giả sử { }0 110 , , ,..., nmim x span x x xα ααα −< ≠ ∈ khi và chỉ khi 1 0 lim 0 1 n i n i i m m α α − →∞ = − = + + ∏ 1 0 2 1lim 1 0 1 n i n i im α α − →∞ = + − = + + ∏ 1 2 1 1 0 0 2 1 2 1lim 1 1 0 1 1 mi mi n n i n i ii i m m m α α α α α > − < < − − →∞ = = + + − − = + + + + ∏ ∏ 1 2 1 1 0 0 2 1 2 1lim exp 0 1 1 mi mi n n i n i ii i m m m α α α α α > − < < − − →∞ = =      + + − + =  + + + +      ∑ ∑ 1 2 1 1 0 0 2 1 2 1lim 1 1 mi mi n n i n i ii i m m m α α α α α > − < < − − →∞ = =    + + + = ∞ + + + +    ∑ ∑ ( )20 2 1 2 1 1 i i i α α ∞ = + = ∞ + + ∑ . Mặt khác ( ) ( )20,1 0,1C L= 22 Kết hợp với định lý 1.8. Suy ra { } ( )2 21, , ,..., ,... 0,1nspan x x x L= . Nên { } ( )0 11 2, ,..., ,... 0,1nspan x x x Lα αα − = . Nhận xét định lý 1.9. i ) Với điều kiện (1.20) thì hệ ( )( )n nx ∈ℕL là hệ trực chuẩn đầy đủ trong ( )2 0,1L . ii ) Giả sử ( )2 0,1u L∈ thỏa ( )1 0 0,nu x x dx nα⋅ = ∀ ∈∫ ℕ thì 0u = h.k.n trên ( )0,1 . Chứng minh nhận xét ii ) ( )1 0 0,ju x x dx jα⋅ = ∀ ∈∫ ℕ . Khi đĩ với mỗi n ∈ℕ , ta cĩ ( )1 0 0 0,j n nj j u x x dx nα = = ∀ ∈∑∫ ℕC ( )1 0 ( ) 0,nu x x dx n= ∀ ∈∫ ℕL Do hệ ( )( )n nx ∈ℕL là trực chuẩn đầy đủ trong ( )2 0,1L và ( )2 0,1u L∈ . Nên ( )1 22 0 0u u x dx= =∫ . suy ra 0 . .u h k n= trên ( )0,1 . 1.4. Bài tốn khơng chỉnh. Cho ,X Y là hai khơng gian định chuẩn. Xét tốn tử :K X Y→ , khi đĩ phương trình Kx y= được gọi là bài tốn chỉnh, nếu thỏa đồng thời ba tính chất sau: i ) Tồn tại nghiêm: , :y Y x X Kx y∀ ∈ ∃ ∈ = . ii ) Duy nhất nghiệm: y Y∀ ∈ tồn tại duy nhất :x X Kx y∈ = . iii ) Ổn định: x phụ thuộc liên tục vào y . Nghiệm phải phụ thuộc liên tục vào dữ liệu, nghĩa là ( )nx X∀ ⊂ thỏa nKx Kx→ thì nx x→ 23 Ngược lại bài tốn vi phạm một trong ba tính chất trên thì ta nĩi bài tốn đĩ khơng chỉnh. ðịnh lý sau đây cho ta một dấu hiệu nhận biết một bài tốn là khơng chỉnh. ðịnh lý 1.10 Cho ,X Y là hai khơng gian định chuẩn. Xét tốn tử :K X Y→ tuyến tính, compac với ( ) { }: 0Ker K x X Kx= ∈ = và ( )dim Ker K = ∞ , thì tồn tại ( ) : 0n nx X Kx⊂ → nhưng nx khơng hội tụ và ta cĩ thể chọn dãy ( )nx sao cho nx → ∞ . Hơn nữa nếu K là đơn ánh thì ánh xạ ngược ( )1 :K Y K X X− ⊃ → khơng bị chặn. 1.5. Biến đổi Laplace. Cho hàm số f thỏa các tính chất sau i) f đo được trên ( )0,∞ . ii) f tăng khơng nhanh hơn một hàm mũ khi t → ∞ , nghĩa là ( )0, 0, , 0tM f t Me tαα∃ > ∃ > ≤ ∀ > . Số 0 infα α= , với tất cả α thỏa (ii), được gọi là chỉ số tăng của f . Hàm f cĩ các tính chất (i)-(ii) được gọi là hàm gốc. Khi đĩ hàm biến phức F định bởi ( ) ( ) 0 ptF p e f t dt∞ −= ∫ , xác định trên miền 0Re p α> , được gọi là biến đổi Laplace của f . Bài tốn tìm hàm gốc F cĩ thể xem là biến đổi Laplace ngược hay bài tốn giải phương trình tích phân cấp một sau đây ( ) ( ) 0 pte f t dt F p∞ − =∫ . (1.21) Bài tốn tìm hàm f thỏa phương trình ( 1.21 ) là bài tốn khơng chỉnh, vì cĩ thể vơ nghiệm, hoặc nghiệm khơng phụ thuộc liên tục vào vế phải, nghĩa là sự nhiễu rất nhỏ của vế phải cĩ thể dẫn đến sự nhiễu lớn của f . 24 Chương 2 BÀI TỐN MOMENT HAUSDORFF VÀ PHƯƠNG PHÁP MOMENT HỮU HẠN Trong chương này chúng tơi khảo sát bài tốn tìm hàm 2(0,1)u L∈ thỏa 1 0 ( ) , 0,1,2,...k ku x x dx kα µ= =∫ (2.1) Trong đĩ ( )kα là dãy các số thực phân biệt thỏa : 1 2k α −> với mọi 0,1,2,...k = và ( )kµ là dãy các số thực bị chặn. 2.1. Tính khơng chỉnh của bài tốn. Ta xét bài tốn trong trường hợp dãy ( )kα là các số thực phân biệt dương thỏa 2 0 1 k k k α α ∞ = = ∞ + ∑ . (2.2) Khi đĩ theo nhận xét i) và ii) của định lý 1.9 thì bài tốn (2.1) cĩ nghiệm duy nhất hoặc xem phần chứng minh tính duy nhất nghiệm trong định lý 2.1. Sau đây ta xét hai ví dụ để minh họa tính khơng chỉnh của bài tốn (2.1). (Tính duy nhất nghiệm được thỏa nếu nghiệm tồn tại). 2.1.1.Ví dụ 1. Tồn tại nghiệm Xét bài tốn (2.1) với , 0,1,2,...k k kα = = ,và ( )k kµ là dãy số thực bị chặn, thỏa 1 , 2k kµ > ∀ ∈ℕ . Giả sử ( )2 0,1u L∈ là nghiệm của bài tốn. Nghĩa là 25 1 0 ( ) , 0,1,2,...k ku x x dx kµ= =∫ . Khi đĩ 1 1 0 0 ( ) ( )k kk u x x dx u x x dxµ = ≤∫ ∫ ( ) ( )1 11 12 2 220 0 1( ) ,2 1ku x dx x dx u kk≤ = ∀ ∈+∫ ∫ ℕ . Nên 2 1,ku k kµ≥ + ∀ ∈ℕ . Suy ra khơng tồn tại ( )2 0,1u L∈ nghiệm bài tốn. Ổn định Xét bài tốn (2.1) với 0, , 0,1,2,...k k k kµ α= = = tức là ( )1 0 0, 0,1,2,...ku x x dx k= =∫ thì 0u ≡ là nghiệm chính xác của bài tốn. Mặt khác xét bài tốn (2.1) với dữ liệu nhiễu là ,k kα = , 2 , ;1n k n k n k n µ = ∈ + + ℕ thì ( ) 2nnu x nx= là nghiệm duy nhất của bài tốn ( )1 20 , 0,1,2,..1 k nu x x dx k k n = = + +∫ Tuy nhiên , sup 0, n k k k nµ µ− → → ∞ . Nhưng 2 212 2 2 20 1 2 1 2 nn n n u u n x dx n →∞ − = = → +∫ . Suy ra bài tốn (2.1) khơng thoả tính ổn định. Vậy bài tốn (2.1) khơng chỉnh. 26 2.1.2. Ví dụ 2. Tồn tại nghiệm Ta xét bài tốn (2.1) với ( )kα là dãy các số thực dương tùy ý thỏa (2.2) và dãy 1 1 2 k k µ α = + , khi đĩ ( ) 1u x x = là nghiệm bài tốn ( )1 0 1 , 0,1,2,...1 2 k k u x x dx kα α = = + ∫ Nhưng ( ) 2 1 0 0 1 lim lndx x δ δ →   = − = ∞    ∫ . Suy ra ( )2 0,1u L∉ . Ổn định Xét ( )kα là dãy các số thực dương thỏa (2.2). Với 0, 0,1,2,...k kµ = = ta thấy 0u ≡ là nghiệm duy nhất của bài tốn 2.1. Mặt khác với dữ liệu nhiễu , 2 ,1n k k n n n µ α = ∈ + + ℕ . Khi đĩ , sup 0µ µ− →n k k k khi n→ ∞ . và ( ) 2nnu x nx= là nghiệm duy nhất của bài tốn nhiễu tương ứng ( )1 20 , 0,1,2,...1k k n u x x dx k n α α = = + +∫ Tuy nhiên 2 212 2 2 20 1 2 1 2 nn n n u u n x dx n →∞ − = = → +∫ . Suy ra bài tốn (2.1) khơng thỏa tính ổn định. Vậy bài tốn (2.1) khơng chỉnh. 27 2.2. Chỉnh hĩa bằng phương pháp moment hữu hạn. Cho 0 ( ) j m m mj j x x α = =∑L C Trong đĩ 1 0 0, ( 1) 2 1 ( ) m j rr mj m m j rr r j α α α α α − = = ≠ + + = + − ∏ ∏C (2.3) Nếu , 0,1,2,...k k kα = = thì ta cĩ đa thức Legendre 0 ( ) m j m mj j L x C x = =∑ , với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ... 2 1( 1) ... 1 1 ...( )mj j j j m C m j j j j j m j + + + = + − − + − − − ( )!2 1 ! !( )!( 1)m j m j m j j m j − + = + − − 2 ( )!2 1( 1) ( !) ( )! m j m jm j m j − + = + − − . (2.4) Với mỗi dãy ( )kµ µ= , chúng ta định nghĩa dãy ( ) ( )kλ λ µ λ= = , 0 ( ) k k k j j λ λ µ µ = = =∑ kjC . ðặt 1 1 0 0 0 ( ) ( ) j n n k n n k k k k k j p p x xαµ λ λ − − = = =   = = =     ∑ ∑ ∑L kjC . (2.5) Khi đĩ bài tốn (2.1) tương đương với bài tốn tìm hàm 2(0,1)u L∈ thỏa 1 0 ( ) ( ) , 0,1,2,...k ku x x dx kλ= =∫ L (2.6) Chú ý (2.6) đúng với mọi 0,1,2,...k = 28 Ký hiệu : ,n nP ρ là các tốn tử chiếu trực giao tương ứng lên các khơng gian { }2 11, , ,..., mspan x x x − và { }0 11, ,..., nspan x x xα αα − . ðịnh lý 2.1. cho ( )kµ µ= là dãy các số thực bị chặn và ( )kα là dãy các số thực phân biệt thỏa 2 0 2 1 (2 1) 1 k k k α α ∞ = + = ∞ + + ∑ (2.7) Thì bài tốn (2.1) cĩ nhiều nhất là một nghiệm . Nghiệm đĩ tồn tại khi và chỉ khi 2 2 0 0 0 k k j k k j λ µ ∞ ∞ = = =   = ∞    ∑ ∑ ∑ kjC < (2.8) với mjC như trong (2.3) nếu j k≤ . Nếu u là nghiệm của (2.1) thì 2( ) (0,1) .np u trong L khi nµ → → ∞ Hơn nữa , nếu nghiệm 1(0,1)u H∈ và lim 0 , 0 2 1 ,k kk kα α δ α→∞ = + ∀< < < (δ là hằng số), (2.9) thì với mỗi 1n δ> , ta cĩ ( ) ( ) n np uµ ρ= và ( ) 1 1 1 32( ) 1 ( ) , 3 n n r np u F u c u q r µ − −  − ≤ − +    (2.10) trong đĩ r và q là những số thực tùy ý thỏa 1 2 0 ln(3 2 2) , (3 2 2) , ( ) (1 ) '( ) .rr q e F u x x u x dxδδ − + = + = −∫> (2.11) và . là chuẩn trong 2(0,1)L . 29 Chú ý : Nếu lim 0kk α α→∞ = ≥ , chúng ta đặt 1 4 1( ) ( ) , . 4 k k kw x u x x α β α α+= = − − Khi đĩ bài tốn (2.1) tương đương với bài tốn tìm 2 (0,1)Lω ∈ thỏa mãn 1 ,0 ( ) 0,1,2,...,k kw x x dx kβ µ= =∫ trong đĩ 1lim 0 4kk β →∞ = − < . Chứng minh Tính duy nhất nghiệm . Giả sử ( )21 2, 0,1u u L∈ là hai nghiệm của bài tốn (2.1). Nghĩa là 1 10 ( ) ,k ku x x dx kα µ= ∀ ∈∫ ℕ , 1 20 ( ) ,k ku x x dx kα µ= ∀ ∈∫ ℕ . Suy ra ( )1 2 10 ( ) ( ) 0, .ku x u x x dx kα− = ∀ ∈∫ ℕ ( )1 2 10 ( ) ( ) 0, , .ku x u x x dx k nα− = ∀ ∈∫ ℕnkC ( )1 2 10 0 ( ) ( ) 0, , .k n k u x u x x dx k nα =   − = ∀ ∈    ∑∫ ℕnkC ( ) ( )1 2 10 ( ) ( ) 0, .nu x u x x dx n− = ∀ ∈∫ ℕL Vì ( )k k Nα ∈ thỏa điều kiện (2.7). Do đĩ theo định lý 1.9 thì hệ ( )n n∈ℕL là hệ trực chuẩn đầy đủ trong ( )2 0,1L và ( ) ( )22 1 0,1u u L− ∈ . 30 Do đĩ ( )2 1 0 n n n u u δ ∞ = − =∑ L . Nên chúng ta cĩ 12 2 2 1 2 10 ( ) ( ) 0u u u x u x dx− = − =∫ . Suy ra ( )2 1 0u u− ≡ h.k.n. Vậy bài tốn 2.1 cĩ nhiều nhất một nghiệm. Tồn tại nghiệm. Do tính đầy đủ của hệ ( )k k N∈L trong ( )2 0,1L và 2 2 0 0 0 k k j k k j λ µ ∞ ∞ = = =   = ∞    ∑ ∑ ∑ kjC < thì chuỗi ( )2 0 0,1k k k u Lλ ∞ = = ∈∑ L là nghiệm của bài tốn 2.1. Ngược lại, nếu ( )2 0,1u L∈ là nghiệm của bài tốn 2.1 thì do hệ ( )k k∈ℕL là hệ trực chuẩn đầy đủ trong ( )2 0,1L , nên chúng ta cĩ ( ) 1 1 0 0 0 ( ) ( ) j n n k n n k k k k k j p u x xαµ ρ λ λ − − = = =   = = =     ∑ ∑ ∑L kjC , ( ) 0 0 0 ( ) j k k k k k k j u x x x αλ λ ∞ ∞ = = =   = =     ∑ ∑ ∑L kjC . Suy ra 2 2 2 0 0 0 k k j k k j u λ µ ∞ ∞ = = =   = = ∞    ∑ ∑ ∑ kjC < và ( ) 2 2 2 2 0 0 k nn n k j k n k n j p u u uµ ρ λ µ ∞ ∞ →∞ ≥ ≥ =   − = − = = →    ∑ ∑ ∑ kjC . 31 Các kết quả đánh giá. Dưới đây ta xét trường hợp ( )1 0,1u H∈ . Do ( ) { }0 11, ,..., nn mP u span x x xα ααρ −∈ , ta cĩ ( ) ( )n n n mu p u u u P uµ ρ ρ− = − ≤ − ( )m m n mu P u P u P uρ≤ − + − . Do đĩ, việc chứng minh phần cịn lại của định lý được thực hiện thơng qua ba bước như sau: Bước 1: a ) j j n x xρ− . b) m n mL Lρ− . c) ( )m n mP u P uρ− . Bước 2: mu P u− . Bước 3: nu uρ− . Bước 1 a) Ước lượng j j n x xρ− . Vì lim 0kk α α→∞ = < , nên ta cĩ thể giả sử 1 , . 2 k kα− ∀< <0 Do đĩ 2 1 < 1 1 k kj α α + + + và từ 0 ∀ . Chúng ta cĩ 1 1 0 0 1 2 1 1 2 11 exp 1 12 1 2 1 n n j j k k n k kk k x x j jj j α αρ α α − − = =  + + − = − ≤ − + + + ++ +   ∏ ∑ ( )1 0 1 1 exp 2 1 2 12 1 n k kjj α − =  ≤ − + ++   ∑ . 32 Do đĩ từ (2.9) suy ra 2 11 . 2 1 n j j j nx x ej δ ρ − + − ≤ + Bổ đề 2.2 .Cho mjC là hệ số của đa thức Legendre trong (2.4) thì ( ) 0 3 2 22 3 2 2 . 2 m m mj j C pi= +≤ +∑ Chứng minh ðặt ( )20 ( )!( ) ( 1) .( !) !2 m j m j j m jP t tj m j = + = − − ∑ ( )20 0 ( )! (1 2 1)( ) 2 1( 1) ( !) ! 2 jm m j m m mj j j j m j xL x C x m j m j = = + − − = = + − ⋅ − ∑ ∑ 2 1( 1) (1 2 )m mm P x= + − − . Suy ra 0 ( 1) ( 1) 2 1 (3) . m m mj m m j C L m P = = − ⋅ − = +∑ Ta cĩ ( )2 0 1( ) 1cos m mP x x x d pi φ φ pi = + −∫ , (là dạng tích phân của ( )mP x ). ( ) 0 1(3) 3 2 2 cos mmP d pi φ φ pi = +∫ ( ) ( ){ }201 3 2 2 cos 3 2 2 cosm m dpi φ φ φpi= + + −∫ ( )202 3 2 2 cos md pi φ φ pi ≤ +∫ . ðổi biến cost φ= ( ) ( )1 1 20 0 3 2 2 3 2 22 2(3) 11 m m m t t P dt dt ttpi pi + + ≤ ≤ − − ∫ ∫ . 33 ðổi biến 1 s t= − ( )( )1 204(3) 3 2 2 1 .mmP s dspi≤ + −∫ ðổi biến 2 2= s 3 2 2 ξ + . Chúng ta cĩ ( )( )2 2 23 2 204 3 2 2(3) 3 2 2 3 2 22 2 m m P dξ ξ pi + +≤ + − +∫ ( ) ( )1 204 3 2 2 3 2 2 12 2 m m dξ ξ pi +≤ + −∫ . ðổi biến cosξ ϕ= . ( ) 1 2 104 3 2 2(3) 3 2 2 sin2 2 m m m P dϕ ϕ pi ++≤ + ∫ . (2.12) Xét tích phân 2 0 sin , 1.n n I d n pi ϕ ϕ= ≥∫ ( )1 2 222 0 0 cos sin 1 sin cosn nn d pipi ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− −= − + − ∫ ( ) ( ) ( ) ( )2 22 201 sin 1 sin 1 1n n nn d n I n I pi ϕ ϕ ϕ− − = − − = − − −∫ . ( ) ( ) ( )2 4 1 31 ... 2n n n n nnI I I n n n − − − − − = = = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 2 1 2 3 ...3.1 2 1 2 3 ...3.1 2 2 2 ...4.2 2 2 2 ...4.2 2k k k k k I I k k k k pi− − − − = = ⋅ − − , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 2 2 4 ...4.2 2 2 2 4 ...4.2 . 2 1 2 3 ...3.1 2 1 2 3 ...3.1k k k k k I I k k k k− − − − − = = − − − − Suy ra 1 , 1.2n n I I n n pi − = ∀ ≥ Ta lại cĩ 34 12 2 1 0 0 sin sin .n n n n I d d I pi pi ϕ ϕ ϕ ϕ− − = ≥ =∫ ∫ Nên 2 1 2 2n n n n I I I I n n pi pi − ≤ = ⇒ ≤ . (2.13) Từ (2.12) và (2.13) ta được ( ) ( )4 3 2 2(3) 3 2 2 2 2 12 2 m mP m pi pi +≤ + + ( )3 2 2 12 3 2 2 .2 2 1 m mpi + = + + Suy ra ( ) 0 3 2 22 1 (3) 2 3 2 2 2 m m mj m j C m P pi= + = + ≤ +∑ . (2.14) b) Ước lượng m n mL Lρ− . 1 0 0 0 , m n m j j n n n mj mj k k j k j L C x C xρ ρ − = = =   = = 〈 〉    ∑ ∑ ∑ L L 1 1 0 0 0 0 0 , , . m n m n m j j j mj k k mj k k mj n j k j k j C x C x C xρ − − = = = = = = 〈 〉 = 〈 〉 =∑∑ ∑ ∑ ∑L L L L Ta cĩ ( ) 2 2 2 0 0 0 m m m j j j j m n m mj mj n mj n j j j L L C x C x C x xρ ρ ρ = = = − = − = −∑ ∑ ∑ 22 2 1 0 0 1 2 1 nm m j j j mj n mj j j C x x C ej δ ρ − + = =     ≤ − ≤    +     ∑ ∑ 2 2 2 1 00 1 max . 2 1 nm j mj j mj C ej δ− + ≤ ≤ =   ≤   +  ∑ ( ) 22 2 1 0 3 2 2 14 3 2 2 max . 2 12 n m j j m ej δ pi − + ≤ ≤  +≤ +  +  (2.15) 35 Chú ý ( ) 21 ,1 2 1. n tf t e t m t δ− = ≤ ≤ + ( ) 2 2 ' 2 2 1 1 2n nt t nf t e e t t t δ δ δ− − = − + ⋅ 2 2 1 2 1 > 0, 0 < t < 2n n t ne t t δ δ δ −   = −    . Do đĩ f la hàm tăng trên ( ]0,2nδ . 2 2 1 0 1 1 max , : 2 1 2 , > . 2 1 n m j m f e m m n n m δ δ δ − + ≤ ≤ = ∀ + ≤ + (2.16) Từ (2.15) và (2.16) ta suy ra ( ) 2 13 2 2 12 3 2 2 ,2 2 1 n m m m n mL L e m δ ρ pi − + + − ≤ + + (2.17) 1 :2 1 2 , > .m m n nδ δ∀ + ≤ c) Ước lượng ( )m n mP u P uρ− . ðặt 1 0 m m j j j P u a L − = =∑ , với 1 0 , ( ) ( )j j ja u L u x L x dx= 〈 〉 = ∫ và mP u là ảnh của phép chiếu trực giao của u lên { }2 11, , ,..., mspan x x x − . Chúng ta cĩ ( ) ( )( ) 2 2 1 1 12 0 0 0 m m m m n m j j n j j j j n j j j j P u P u a L a L a L Lρ ρ ρ − − − = = =   − = − = −    ∑ ∑ ∑ ( )( ) ( )( )1 1 12 22 2 0 0 0 . m m m j j n j j n j j j j a L L u L Lρ ρ − − − = = =   ≤ ⋅ − ≤ −    ∑ ∑ ∑ Kết hợp với (2.17) suy ra 36 ( ) ( )12 2 0m n m m n m P u P u P u P u dxρ ρ− = −∫ ( )( ) ( )1 1 2212 20 0 0 m m j n j j n j j j u L L dx u L Lρ ρ − − = = ≤ − = −∑ ∑∫ ( ) ( )2 22 2 14 3 2 2 3 2 2 . 2 12 m n m m u e m δ pi − + + + ≤ ⋅ + (2.18) Bước 2 : Ước lượng ( )mu P u− Bổ đề 2.3 ( ) ( )1mu P u F u m − ≤ . Với ( )F u như trong (2.11). Chứng minh ðặt 1 0 ( ) ( ) , 0,1,2,...k kl u x L x dx k= =∫ Do hệ đa thức Legendre { }kL là hệ trực chuẩn đầy đủ trong ( )2 0,1L , nên 1 0 0 , m m k k k k k k P u l L u l L − ∞ = = = =∑ ∑ và 2 2 0 ,k k u l ∞ = =∑ ( ) 2 212 2 0 0 . m m k k k k k k k k k k m k m u P u l L l L l L l ∞ − ∞ ∞ = = = = − = − = =∑ ∑ ∑ ∑ (2.19) Và từ tính chất của nP ( ) ( ) ( ) ( )'2 '1 1 0.m mt P t m m P t − + + =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 2 "2 1 1 0m m mt P t t P t m m P t− ⋅ + − + + = . (2.20) ðổi biến 1 2t x= − . (2.21) Ta cĩ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 1 2 1 .m mm m mL x m P x m P t= − + ⋅ − = − + ⋅ (2.22) 37 ( ) ( ) ( )' '1 1 2 1 . 2 m m mL x m P t   − = − + ⋅    (2.23) ( ) ( ) ( )" "1 1 2 1 . 4 m m mL x m P t   = − + ⋅    (2.24) Thế (2.21)-(2.24) vào (2.20) ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' "1 2 1 1 0m m mx L x x x L x m m L x− + − + + = ( ) ( ) ( ) ( )''1 1 0 .m mx x L x m m L x − + + =  (2.25) Do đĩ ( ) ( ) ( ) ( )1 12' ' ' 0 0 0 1 ( ) 1 ( ) k k k F u x x u x dx x x u x l L x dx ∞ =   = − = −     ∑∫ ∫ ( ) ( )( )1 ' ' 0 0 1 ( )k k k l x x L x u x dx ∞ =   = −    ∑∫ . ðặt ( ) ( ) ( )2'1 ( ) , 0,1G x x x u x x= − ∀ ∈ , ( ) ( ) ( )' ' 0 1 ( ) , 0,1,2,... k k j j j G x x x u x l L x k =   = − =    ∑ thì ( )1 0,1u H∀ ∈ thỏa i) ( ) ( ) , . .kkG x G x h k n→∞→ trên ( )0,1 . ii) ( ) ( )< , . .kG x G x h k n trên ( )0,1 , với k∀ ∈ℕ . Mà ( ) ( )1 1 2 2' 0 0 11 ( ) ' 4 G x dx x x u x dx u= − ≤∫ ∫ . Suy ra G khả tích. Theo định lí hội tụ bị chặn, ( )1 0,1u H∈ và (2.25) ta cĩ ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1' ' ' ' 0 0 0 0 1 ( ) 1 ( )k k k k k k l x x L x u x dx l x x L x u x dx ∞ ∞ = =   − = −    ∑ ∑∫ ∫ ( ) ( )( )1 '' 0 0 1 ( )k k k l x x L x u x dx ∞ = = − −∑ ∫ ( ) ( ) 1 0 0 1 ( )k k k l k k L x u x dx ∞ = = +∑ ∫ 38 ( ) ( ) ( )1 0 0 0 1k m m k k m l k k l L x L x dx ∞ ∞ = = = +∑ ∑∫ ( ) ( )2 1 0 1 , 0,1 .k k k k l u H ∞ = = + ∀ ∈∑ Suy ra ( ) ( ) ( )2 1 0 1 , 0,1 .k k F u k k l u H ∞ = = + ∀ ∈∑ Vì vậy ( ) ( )2 2 2 2 21k k k k m k m k m m l k l k k l F u ∞ ∞ ∞ = = = ≤ ≤ + ≤∑ ∑ ∑ . Kết hợp với (2.18) ( ) ( )2 21 .mu P u F u m − ≤ Bước 3: Ước lượng nu uρ− Vì ( ) { }0 11, ,..., nn mP u span x x xα ααρ −∈ . Nên từ bổ đề 2.3 và ( 2.18 ) ta cĩ ( ) ( ) ( )n n m m m n mu u u P u u P u P u P uρ ρ ρ− ≤ − ≤ − + − ( ) ( ) ( ) 2 13 2 21 2 3 2 22 12 n m m mF u u e m m δ pi − + + ≤ + ⋅ + + , (2.26) 1 :2 1 2 , > .m m n nδ δ∀ + ≤ (2.27) Với m thỏa (2.27) . Chọn r thỏa ( ) ( ) ln 3 2 2 1 < < 2 1 n r m mδ + ≤ + , ( )k0 < < 2 1 < 1δ α + . ðặt ( )3 2 2 < 1rq e δ−= + và ( )3 2 22 2c pi + = . 39 Thì ( )1 mnu u F u c u q m ρ− ≤ + , với mọi ,m n thỏa ( ) ( ) 1 ln 3 2 2 n rm m r δ ≥ +   +  >  . Ví dụ chọn 3 n m r   =     là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn 3 n r , và n đủ lớn thì ta cĩ ( ) ( ) ( ) 1 1 31 . 3 n n r n n u p u u F u c u q r µ ρ − −  − = − ≤ − +    Trong định lý 2.1 ở trên kết quả (2.10) đạt được trong trường hợp bài tốn 2.1 tồn tại nghiệm. Trong trường hợp dữ liệu khơng chính xác thì 2 2 0 0 0 k k kj j k k j λ µ ∞ ∞ = = =   =     ∑ ∑ ∑C chưa chắc hữu hạn, nên bài tốn cĩ thể vơ nghiệm. Khi đĩ định lý sau đây cho ta một ước lượng hữu ích trong trường hợp này. ðịnh lý 2.4 ðặt 2 1 0 0 max , n k n kj k j A n − = =     =        ∑ ∑ C , và f là một hàm số tăng ngặt thỏa ( ) ( ) [ ]1 1( ) 1 , , 1 .n n n nf t A A t n A nA t n n+ += − + + − ∀ ∈ + Cho ( )20 0,1u L∈ là nghiệm duy nhất của bài tốn (2.1) tương ứng với dữ liệu chính xác ( )0 0kµ µ= . Với mỗi 0ε > , đặt ( ) ( )1 1n fε ε− − =   . Với [ ]x là số nguyên lớn nhất khơng lớn hơn x . 40 Thì tồn tại một hàm ( )η ε sao cho ( ) 0 0εη ε →→ và mọi dãy ( )µ thỏa 0 0 , sup kl kl k l µ µ µ µ ε ∞ − = − < . Khi đĩ ta cĩ ( ) ( )0np uµ η ε− < . Hơn nữa, nếu ( )10 0,1u H∈ và ( )k kα ∈ℕ thỏa (2.9) trong định lý 2.1, thì ( ) ( ) ( ) ( )1 1 3 0 0 013 n n r n p u F u c u q r εεµ ε − −   − ≤ + − +      , (2.28) với ,F q và r như trong (2.11). Chứng minh Do hệ { }k k∈ℕL là hệ trực chuẩn đầy đủ trong ( )2 0,1L , nên ta cĩ ( ) ( ) 2 2 20 0 0 0 0 k n k kj j k n k n j p uµ λ µ µ ∞ ∞ ≥ ≥ =   − = =     ∑ ∑ ∑C . (2.29) Ta cũng cĩ ( ) ( ) ( ) ( )( )10 0 0 n n n k k k k p pµ µ λ µ λ µ − = − = − ⋅∑ L ( )1 0 0 0 n k kj j j k k j µ µ − = =   = − ⋅    ∑ ∑ LC . Do đĩ ( ) ( ) ( ) 2120 0 0 0 n k n n kj j j k j p pµ µ µ µ − = =   − = −    ∑ ∑C . Theo giả thiết 2 1 0 0 0 , max , n k n kj k j A nµ µ ε − ∞ = =     − < =        ∑ ∑ C . Nên 41 ( ) ( ) 2120 2 2 0 0 n k n n kj n k j p p Aµ µ ε ε − = =   − ≤ ≤    ∑ ∑C . Mặt khác ( ) ( ) ( )1 11n n n n nf n A A n n A nA A+ += − + + − = , và f là song ánh, là hàm tăng ngặt trên ( )0,∞ nên tồn tại 1f − , và lấy ( ) 1 1n fε ε −    =      , ta được ( ) ( ) ( )20 2 2n n np p A f nµ µ ε ε− ≤ = ( )( ) ( )( )2 2 1 1f n f fε ε ε ε ε− −≤ = = . (2.30) ðặt ( ) ( ) 1 2 2 0 k kj k n jε η ε ε ∞ ≥ =     = +        ∑ ∑ C , Do đĩ từ (2.29)-(2.30) ta cĩ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 0n n n np u p p p uε ε ε εµ µ µ µ− = − + − (2.31) ( ) ( ) 1 2 2 0 k kj k n jε ε η ε ∞ ≥ =    ≤ + =       ∑ ∑ C . Khi 0ε → thì ( )( )1 1 1f f ε ε − − = → ∞ và do f là hàm tăng ngặt, liên tục trên ( )0,∞ . Nên ( )1 1f ε− − → ∞ suy ra ( )n ε → ∞ . Mặt khác do (2.8) suy ra ( ) 2 0 0 0 k kj k n j ε ε ∞ → ≥ =   →    ∑ ∑ C . ( ) ( ) ( ) 00 0np uε εµ η ε →− ≤ → . 42 Hơn nữa, nếu ( )10 0,1u H∈ và kết hợp với (2.9) trong định lý 2.1 được thỏa, thì theo định lý 2.1 ta cĩ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 10 3 0 0 013 n n r n p u F u c u q r ε ε εµ − −   − ≤ − +      . (2.32) với ,F q và r như trong (2.11). Khi đĩ kết hợp với (2.30), (2.31) và (2.32) suy ra ( ) ( ) ( ) ( )1 1 3 0 0 013 n n r n p u F u c u q r εεµ ε − −   − ≤ + − +      . 43 Chương 3 BÀI TỐN MOMENT TỪ BIẾN ðỔI LAPLACE Trong chương này, chúng tơi xét bài tốn xấp xỉ ( )20 0,u L∈ ∞ thỏa ( ) 00 0 , 0,1,2,...k x ku x e dx k β µ ∞ − = =∫ (3.1) trong đĩ ( )kβ là dãy số thực rời nhau. Bài tốn (3.1) là biến đổi Laplace của hàm u , xác định tại từng điểm ( )0,1,2,...β =k k rời rạc. Là bài tốn khơng chỉnh (mục 1.5 chương 1). Ta cĩ thể đưa bài tốn (3.1) về bài tốn (2.1) và thu được kết quả tương tự như sau ðặt xs e−= và ( ) ( )( )0 0 lnw s u s= − . Thì ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0ln , . kk kx x u x u s w s e e s ββ β− −  = − =  = = Từ (3.1) ta cĩ ( ) ( )1 00 00 0k kx ku x e dx w s s dsβ α µ ∞ − = =∫ ∫ , với 1, 0,1,2,...k k kα β= − = và chú ý rằng ( ) ( )1 2 20 00 0 xw s ds u x e dx ∞ − =∫ ∫ . Do ( )20 0,u L∈ ∞ ( ) ( )2 22 20 0 0 00 0xw u x e dx u x dx u ∞ ∞ − = ≤ = < ∞∫ ∫ . Nên ( )20 0,1w L∈ . Vậy bài tốn (3.1) trở thành bài tốn xấp xỉ ( )20 0,1w L∈ thỏa 44 ( )1 000 , 0,1,2,...k kw s s ds kα µ= =∫ (3.2) Từ kết quả trên cho ta thấy tính khơng chỉnh của bài tốn (3.1) được rõ hơn. Suy ra từ tính khơng chỉnh của bài tốn (3.2) đã đề cập trong mục 2.1 của chương 2. ðịnh lý 3.1 Cho ( )20 0,u L∈ ∞ là nghiệm của bài tốn ứng với ( )0 0 2k lµ µ= ∈ và ( )kβ thỏa 1 , 2k β > và ( )20 2 1 , 2 1 1 k k k kββ ∞ = − = ∞ ∀ ∈ − + ∑ ℕ . Nghĩa là 1, 0,1,2,...k k kα β= − = thỏa điều kiện (2.7) trong định lý 2.1. Với ( )n ε như trong định lý 2.4 và ( )np µ như trong (2.9). Ta đặt ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n xx p eε εµ µ −=∏ . Khi đĩ, tồn tại một hàm ( )η ε sao cho ( ) 0 0εη ε →→ và mọi dãy ( )µ thỏa 0 0 , sup kl kl k l µ µ µ µ ε ∞ − = − < . Chúng ta cĩ ( )( ) ( )0n uε ρ µ η ε− ≤∏ , trong đĩ ( )( )12 20 xh h x e dxρ ∞ −= ∫ . Hơn nữa, nếu ( )10 0,u H∈ ∞ và dãy ( ) , 1k k kα α β= − thỏa điều kiện (2.7) và (2.9) trong định lý 2.1, thì ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 3 0 0 013 n n r n u u c u q r ε ε ρ εµ ε − −    − ≤ + − Φ +     ∏ , trong đĩ ( ) ( ) 2'0 00 1 xu e u dx∞ −Φ = −∫ , r và q như trong (2.11). 45 Chứng minh ðổi biến ( ) ( )( ) ( )0 0 0, lnxs e u x u s w s−= = − = . và chú ý rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 210 00n np w p s w s dsε εµ µ− = −∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 200 n x xp e u x e dxε µ∞ − −= −∫ ( )( ) 20n uε ρ µ= −∏ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2' '0 0 00 01 1 xF w s s w s ds e u dx u∞ −= − = − = Φ∫ ∫ . Trong đĩ ( )( )12 20 xh h x e dxρ ∞ −= ∫ là một chuẩn. Vì thỏa định nghĩa về chuẩn, ( )2, 0,h g L∀ ∈ ∞ và Rλ∀ ∈ , ta cĩ i) ( )12 20 0xh h e dxρ ∞ −= ≥∫ , và 0 0h hρ = ⇔ = . ii) ( ) ( ) 22 0 xh g h x g x e dxρ ∞ −+ = +∫ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 0 0 0 2x x xh x e dx g x e dx h x g x e dx ∞ ∞ ∞ − − − = + +∫ ∫ ∫ ( )( ) ( )( )1 12 22 2 2 20 0x xh g h x e dx g x e dxρ ρ ∞ ∞− −≤ + + ⋅∫ ∫ ( )22 2 2h g h g h gρ ρ ρ ρ ρ ρ= + + ⋅ = + . iii) ( )( ) ( )( )1 12 22 20 0x xh h x e dx h x e dx hρ ρλ λ λ λ∞ ∞− −= = =∫ ∫ . Do đĩ chứng minh của định lý này giống như chứng minh định lý 2.4. 46 Chương 4 VÍ DỤ SỐ Trong chương này, ta trình bày chi tiết cách tính số một bài tốn cụ thể cho bài tốn 2.1 của chương 2. Cho dữ liệu 1 1 4 3k k α = − + và ( )3 41 , 0,1,2,... 3 8 35k k k k k µ α + = = = + + Xét bài tốn (2.1) ta thấy ( ) ( )2 2 0,1u x x L= ∈ là nghiệm chính xác của bài tốn. Và nghiệm xấp xỉ ( )np µ theo phương pháp moment của bài tốn được xây dựng như sau: Bước 1. Tính các hệ số của đa thức Munzt thứ m là , ;k m m≤ ∈ℕmkC . 0m = 1m = 2m = 3m = 4m = 47 5m = 6m = 7m = ; 8m = 9m = 48 10m = Các hệ số của đa thức Munzt tiếp theo được tính tương tự. Bước 2. Tính , 0,1,2,... m mλ = Theo cơng thức 0 ( ) m m m j j j λ λ µ µ = = =∑ mC . Ta được 49 Bước 3. Tính hệ các đa thức Munzt ( )m m∈ℕL .Theo cơng thức 0 ( ) , 0,1,2,...k m m mk k x x m α = = =∑L C Ta được 50 51 Bước 4. Nghiệm xấp xỉ và sai số so với nghiệm chính xác. Sau đây ta minh họa kết quả với 5,6,7,10n = . ( ) 25p uµ − = ( ) 26p uµ − = 52 ( ) 27p uµ − = ( ) 210p uµ − = Bây giờ ta nhiễu dữ liệu kµ một lượng 10 -5 như sau ( ) 510 , 0,1,2,...mk k kµ µ −= + = với 1 100000 mµ µ ∞ − = , thì ta được nghiệm xấp xỉ tương ứng là ( )( )mnp µ . Sau đây bằng cách tính tương tự như trên. Ta được ( ) 25 mp uµ − = 53 ( ) 26 mp uµ − = = ( ) 27 mp uµ − = ( ) 210 mp uµ − = Thuật tốn tính số của bài tốn (3.1) được thực hiện tương tự. 54 Chương 5 KẾT LUẬN Luận văn sử dụng phương pháp moment hữu hạn: sử dụng hệ các đa thức Muntz để chính quy bài tốn (0.1), cho kết quả đánh giá sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác. Phương pháp này khơng những cho ta cách tính số dễ dàng cho bài tốn (0.1) và (0.4). Phần chính của luận văn là đi vào chứng minh chi tiết các kết quả đã cơng bố trong [18] và cĩ thêm phần tính số để minh họa cho phương pháp moment. Kết quả chính của luận văn nằm trong chương 2,chương 3 và chương 4. Ở chương 2, chúng tơi sử dụng đa thức Muntz và phép chiếu trực giao để xây dựng nghiệm xấp xỉ cho bài tốn (0.4) và sai số đánh giá. Cũng trong chương 2, chúng tơi cũng đã chỉ ra điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài tốn (0.4). Chương 3 là chứng minh sự liên hệ của hai bài tốn (0.1) và bài tốn (0.4). Chương 4 thơng qua phần tính số, cho thấy phương pháp sử dụng trong luận văn là khả thi. Do thời gian thực hiện luận văn cĩ hạn nên chúng tơi khơng thể tránh khỏi những thiếu sĩt. Kính mong quý thầy cơ cùng các bạn học viên cho những ý kiến, gĩp ý cho luận văn. 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] ðặng ðình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân (2001), Biến đổi tích phân, NXB Giáo Dục. [2] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, NXB Giáo Dục. [3] TS Nguyễn Thành Long, Giải tích số. [4] Võ ðăng Thảo (2005), Hàm biến phức và tốn tử laplace, NXB ðại Học Quốc Gia TPHCM. [5] PGS.TS ðặng ðức Trọng, Giải tích thực. [6] Hồng Tụy (2002), Hàm thực và Giải tích hàm, NXB ðại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà nội. [7] Trần ðức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB ðại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội. Tiếng Anh [8] Al-Shuaibi (1997), A., A regularization method for approximating the inverse Laplace transform, Approx. Theory Appl. (N.S.) 13 , no 1 ,58-65. [9] Amano, K., Saitoh,S. and Yamamoto,M.(2000), Error estimates of the real inversion formulas of the Laplace transform, Integral Transforms and Special Functions 10, pp.165-178. [10] D.D.Ang, R.Gorenflo and D.D.Trong (1999), A multidimensional Hausdorff moment problem: regularization by finite moments, Z.Anal. Anwendungen 18, No. 1, 13-25. [11] D.D.Ang, R.Gorenflo, L.K.Vy and D.D.Trong (2002), Moment theory and some inverse problem potential theory and heat conduction, Springer - Verlag, Berlin – Heidelberg. 56 [12] Ang, D.D., Lund,J. and Stenger, F.(1989), Comlex variables and regularizatoin method of inversion of the Laplace transform, Math. Computation 54, No 188, pp.589-608. [13] Andreas Kirsch (1997), An introduction to the Mathematical theory of inverse problem, Springer-Verlag. [14] Borwein,P. and Erdélyi,T. (1995), Polynomials and polynomial inequalities, Springer - Verlag, Berlin - Heidelberg. [15] Boumenir,A. and Al-Shuaibi,A.(1998), The inverse Laplace transform and analytic pseudo-differential operators, J.Math. Anal. Appl. 288, no.1, pp.16-36. [16] Byun,D.-W. and Saitoh,S.(1993), A real inversion formula for the Laplace transform, Z. Anal. Anwendungen 12, 597-603. [17] paul DuChateau, David W. Zachmann (1986), Theory and problem of partial differential equations, MaGraw-Hill. [18] Nguyen Dung, Nguyen Vu Huy, Pham Hoang Quan and D.D.Trong (2006), A Hausdorff - like problem and the inversion of the Laplace transform, Math. Nachr.279, No. 11,1147-1158. [19] Nguyen Vu Huy and D.D.Trong (2004), A Hausdorff moment problems with non – integer power: Approximation by finite moments, Vietnam J.math.32:4, 371-377. [20] Lien, T.N.,Trong, D.D. and Alain Pham Ngoc Dinh (2007), Laguerre polynomials and the inverse Laplace transform using discrete data, Math. AP. [21] Saitoh, S.(1997), Integral transforms, Reproducing kernels and their Application, Pitman, Res. Notes in Math. Series, Addison Wesley Longman Ltd., U.K.. [22] Saitoh, S., Vu Kim Tuan, Yamamoto, M.(2001), Conditional stability of a real inverse formulas for the Laplace transform, Z. Anw. 20, pp. 193-202. [23] Serge Lang (1968), Analysis I, Columbia University, New York, New York. [24] Talenti, G.(1987), Recovering a function from a finite number of moments, Inverse Problem 3, pp. 501-517. [25] Widder, D.V.(1946), The Laplace transform, Princeton University Press.