Bài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình vi phân bậc phân số

→∞, nhờ (3.59). Vì thế φ∞ = supt>0 φ(t) <∞. Bây giờ ta kiểm tra ϑ = supt>0 ∫ t 2 0 ‖Pα(t− s)‖m(s)ds <∞ (chọn δ = 12). Đặt ψ(t) = ∫ t 2 0 ‖Pα(t−s)‖m(s)ds. Ta sẽ chỉ ra limt→∞ ψ(t) = 0. Thật vậy, bởi ước lượng (3.57) và do m ∈ BC(R+;R+), ta có ψ(t) ≤ ‖B−1‖CP ∫ t 2 0 (t− s)−2αm(s)ds ≤ ‖B−1‖CP ( t 2 )−2α ∫ t2 0 m(s)ds ≤ ‖B−1‖CP ( t 2 )−2α+1 ‖m‖∞ → 0, t→∞. Một ví dụ của hàmm thỏa mãn (3.59) có thể chọn dạngm(t) = µ 1 + tα , t ≥ 0. Khi đó, Iα0m(t) = µ Γ(α) ∫ t 0 (t− s)α−1 ds 1 + sα = µ Γ(α) (∫ t 2 0 (t− s)α−1 ds 1 + sα + ∫ t t 2 (t− s)α−1 ds 1 + sα ) ≤ µ Γ(α) (( t 2 )α−1 ∫ t2 0 ds 1 + sα + 1 1 + ( t 2 )α ∫ t t 2 (t− s)α−1ds ) = µ Γ(α) ( t 2 )α−1 ∫ t2 0 ds 1 + sα + µ Γ(1 + α) ( t 2 )α 1 + ( t 2 )α . Vì thế lim t→∞ Iα0m(t) ≤ µ (1− α)Γ(α) + µ Γ(1 + α) . 60 Tóm lại, bài toán (3.52)-(3.56) có một tập compact các nghiệm hút toàn cục nếu ρ = (∫ b 0 ‖G˜(s, ·, ·)‖L2(Ω×Ω)ds+ ∞∑ k=1 ‖hk‖L2(Ω×Ω) ) S∞α + φ∞ < 1. 3.4. Kết luận chương 3 Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu về lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev trong không gian Banach vô hạn chiều dựa trên cách tiếp cận bằng định lí điểm bất động cho ánh xạ đa trị nén. Các kết quả đạt được bao gồm: 1. Chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân trên khoảng hữu hạn (Định lí 3.1.6). 2. Thiết lập các điều kiện và chứng minh sự tồn tại một tập compact khác rỗng các nghiệm hút toàn cục (Định lí 3.2.5). 3. Đưa ra một ví dụ áp dụng đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng bậc phân số để minh họa cho các kết quả lý thuyết (Mục 3.3). 61 Chương 4 ỔN ĐỊNH HÓA MỘT SỐ LỚP HỆ DƯƠNG BẬC PHÂN SỐ DẠNG KẾT NỐI BẰNG ĐIỀU KHIỂN PHÂN QUYỀN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa bằng điều khiển phân quyền đối với một số lớp hệ dương dạng kết nối mô tả bởi hệ phương trình vi phân bậc phân số. Trước hết, chúng tôi tìm các điều kiện đặc trưng cho tính dương của hệ (Mệnh đề 4.1.1, Mệnh đề 4.2.1). Sau đó, chúng tôi thiết lập các điều kiện cần và đủ (Định lí 4.1.3) và điều kiện đủ (Định lí 4.2.4) thông qua bài toán quy hoạch tuyến tính cho tính ổn định, ổn định bền vững của hệ đóng. Cuối cùng, chúng tôi tìm các biểu thức thiết kế điều khiển phản hồi phân quyền đảm bảo hệ đóng tương ứng là hệ dương và ổn định tiệm cận toàn cục (Định lí 4.1.4, Định lí 4.2.5, Hệ quả 4.2.6). Ba ví dụ (Mục 4.1.4, 4.2.5) để mô phỏng các kết quả lí thuyết. Nội dung của chương này dựa trên các bài báo [3] và [4] trong Danh mục công trình công bố. 4.1. Hệ dương bậc phân số dạng kết nối 4.1.1. Mô tả hệ Xét một hệ thống điều khiển được cấu thành từ N hệ địa phương (còn gọi là hệ con) liên kết với nhau mà hệ địa phương thứ i được mô tả bởi hệ phương trình vi phân bậc phân số sau đây Dα0 xi(t) = Aiixi(t) + N∑ j=1,j 6=i Aijxj(t) +Biui(t), t > 0, xi(0) = xi0 ∈ Rni , (4.1) ở đó α ∈ (0, 1), xi(t) ∈ Rni là vectơ trạng thái và ui(t) ∈ Rmi là điều khiển đầu vào địa phương, Aii ∈ Rni×ni, Aij ∈ Rni×nj và Bi ∈ Rni×mi là các ma trận cho 62 trước, xi0 là điều kiện ban đầu của hệ con thứ i. Kí hiệu x = (x⊤1 , x⊤2 , . . . , x⊤N ) ∈ Rn là vectơ tổng (trạng thái toàn hệ thống) và u = (u⊤1 , u⊤2 , . . . , u⊤N ) ∈ Rm, n = n1 + . . . + nN , m = m1 + . . . +mN . Hệ kết nối toàn phần của (4.1) được biểu diễn dưới dạng Dα0 x(t) = Ax(t) +Bu(t), t > 0, x(0) = x0 ∈ Rn (4.2) ở đó A =  A11 A12 . . . A1N A21 A22 . . . A2N ... ... . . . ... AN1 AN2 . . . ANN  ∈ Rn×n, B = diag(B1, . . . , BN ) ∈ Rn×m. Nhận xét 4.1.1. Cho trước vectơ ban đầu x0 và một hàm điều khiển u(t), nghiệm duy nhất x(t) = x(t, x0, u) của (4.1) được cho bởi xi(t) = Eα(Aiit α)xi0 + N∑ j=1,j 6=i ∫ t 0 (t− s)α−1Eα,α(Aii(t− s)α)Aijxj(s)ds + ∫ t 0 (t− s)α−1Eα,α(Aii(t− s)α)Biui(s)ds. (4.3) Hệ (4.2) được gọi là một hệ dương nếu với các điều khiển không âm, Rn+ là tập bất biến của hệ. Cụ thể, ta có định nghĩa sau. Định nghĩa 4.1.1. Hệ (4.2) được gọi là hệ dương nếu với bất kì vectơ ban đầu không âm, x0 ∈ Rn+, và điều khiển đầu vào không âm, u(t) ∈ Rm+ , quỹ đạo trạng thái tương ứng của hệ không âm, tức là x(t) ∈ Rn+ với mọi t ≥ 0. Mệnh đề sau đây đặc trưng cho tính dương của hệ điều khiển (4.2). Mệnh đề 4.1.1. Hệ (4.2) là hệ dương nếu và chỉ nếu Aii, i ∈ [N ], là các ma trận Metzler và Aij, i 6= j, Bi, i ∈ [N ], là các ma trận không âm. Chứng minh. Điều kiện cần: Với u(t) = 0 và x(0) = ek, ở đó ek là cột thứ k của ma trận đơn vị In, ta có xk(t) = Eα(Atα)ek  0. Do đó, Eα(Atα) = [x1(t) · · ·xn(t)]  0. Giả thiết phản chứng rằng tồn tại một phần tử aij < 0, i 6= j. Khi đó, 0  e⊤i Eα(Atα)ej = aijt α Γ(α + 1) + o(tα). 63 Vì limt↓0 o(tα) tα = 0, với ǫ = − aij 2Γ(α+1) > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho |o(t α)| tα < ǫ với mọi t ∈ (0, δ). Do đó, e⊤i Eα(At α)ej < aijt α 2Γ(α + 1) < 0, t ∈ (0, δ). Mâu thuẫn này chứng tỏ A là một ma trận Metzler, hay Aii, i ∈ [N ], là các ma trận Metzler và Aij, i 6= j, là ma trận không âm. Thêm vào đó, nếu B  0 thì với x0 = 0, ta có thể tìm được một vectơ đầu vào hằng số u ≻ 0 sao cho x(t)  0 với mọi t > 0 vì Eα,α(Atα)  0. Do đó, B  0, tức là Bi  0 với mọi i ∈ [N ]. Điều kiện đủ: Vì Aii là một ma trận Metzler, tồn tại một số thực σi > 0 thỏa mãn Aσiii , Aii + σiIni  0. Khi đó, từ (4.1) ta có xi(t) = Eα(−σitα)xi0 + ∫ t 0 ψi(t− s)Aσiii xi(s)ds + ∫ t 0 ψi(t− s) { N∑ j=1,j 6=i Aijxj(s) +Biui(s) } ds, (4.4) ở đó ψi(t) = ∞∑ k=0 −σki t(k+1)α−1 Γ(kα + α) = tα−1Eα,α(−σitα). Chú ý rằng, với α ∈ (0, 1), Eα(−σitα) > 0 và ψi(t) > 0 với mọi t > 0 do tính hoàn toàn đơn điệu của các hàm Eα(−z) và Eα,α(−z) trên [0,∞) [55]. Do đó, với x0 ∈ Rn+ và u(t) ∈ Rm+ , x(t) ∈ Rn+ với t > 0 đủ nhỏ. Giả sử tồn tại i ∈ [N ] và t0 > 0 sao cho xi(t0)  0 và xj(t)  0 với mọi t ∈ [0, t0), j ∈ [N ]. Khi đó, từ (4.4) suy ra xi(t)  Eα(−σitα)xi0, ∀t ∈ [0, t0). Cho t ↑ t0 suy ra xi(t0)  0. Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của t0. Chứng tỏ x(t)  0 với mọi t ≥ 0. Mệnh đề được chứng minh. Hệ quả 4.1.2. Với mọi A ∈ Rn×n và α ∈ (0, 1), Eα(Atα)  0 với mọi t ≥ 0 khi và chỉ khi A là ma trận Metzler. 4.1.2. Tính ổn định Đối với hệ điều khiển dạng kết nối, điều khiển đầu vào địa phương ui(t) của hệ con thứ i thường chỉ truy cập trực tiếp được tín hiệu trạng thái địa phương thứ i. Để ổn định hóa hệ toàn phần (4.2), một điều khiển phân quyền được thiết 64 kế dạng ui(t) = Kixi(t), t ≥ 0, (4.5) ở đó Ki ∈ Rmi×ni là ma trận đạt được của điều khiển của hệ con thứ i. Khi đó, hệ đóng tương ứng của (4.1) được cho bởi Dα0 x(t) = (A +BK)︸ ︷︷ ︸ Acl x(t) (4.6) ở đó K = diag(K1, K2, . . . , KN ). Nhận xét 4.1.2. Theo Mệnh đề 4.1.1, hệ đóng (4.6) là hệ dương khi và chỉ khi tồn tại các ma trận Ki, i ∈ [N ], sao cho Aii+BiKi, i ∈ [N ], là các ma trận Metzler và Aij, i 6= j, là các ma trận không âm. Định lí 4.1.3. Giả sử rằng hệ đóng (4.6) là hệ dương. Khi đó, hệ (4.6) ổn định tiệm cận toàn cục nếu và chỉ nếu tồn tại các vectơ vi ∈ Rni, vi ≻ 0, i ∈ [N ], thỏa mãn điều kiện sau (Aii +BiKi) vi + N∑ j=1,j 6=i Aijvj ≺ 0. (4.7) Chứng minh. Điều kiện cần: Do tính dương của hệ (4.6), Acl là một ma trận Metzler. Do đó, để Eα(Acltα) → 0 khi t→∞, điều kiện cần là Reλk(Acl) < 0 với mọi giá trị riêng λk(Acl) của Acl (xem [36]). Do đó, Acl là ma trận Hurwitz nên tồn tại một vectơ v ∈ Rn, v ≻ 0, sao cho Aclv ≺ 0. Ta phân tích vectơ v thành vectơ cột của các vectơ vi ∈ Rni, v = vec(vi). Khi đó Aclv ≺ 0 khi và chỉ khi điều kiện (4.7) được thỏa mãn với mọi i ∈ [N ]. Điều kiện đủ: Với x0 ∈ Rn, nghiệm x(t, x0) của hệ đóng (4.6) với điều kiện đầu x(0) = x0, được cho bởi công thức x(t, x0) = Eα(Aclt α)x0, t ≥ 0. (4.8) Giả sử tồn tại các vectơ vi ∈ Rni, vi ≻ 0, thỏa mãn (4.7). Khi đó, tồn tại một số dương δ sao cho |x0|  δv, với v = vec(vi). Vì Acl là ma trận Metzler (xem Hệ quả 4.1.2), Eα(Acltα)  0 với mọi t ≥ 0. Do đó ta có |x(t, x0)|  Eα(Acltα)|x0|  δEα(Acltα)v = δx(t, v). (4.9) 65 Ta sẽ chứng minh limt→∞ x(t, v) = 0. Thật vậy, vì (4.6) là hệ dương nên x(t, v)  0 với mọi t ≥ 0. Mặt khác, từ (4.7), tồn tại một số ǫ > 0 đủ bé sao cho Acl(v + ǫ1n) ≺ 0, ở đó 1n là vectơ trong Rn với mọi phần tử đều bằng 1. Đặt xˆ(t) = v + ǫ1n − x(t, v). Khi đó xˆ(t) là một nghiệm của hệ Dα0 xˆ(t) = Aclxˆ(t)− Acl (v + ǫ1n) (4.10) với điều kiện đầu xˆ(0) = ǫ1n. Theo Mệnh đề 4.1.1, hệ (4.10) là hệ dương và vì thế xˆ(t)  0 với mọi t ≥ 0. Điều này suy ra x(t, v)  v + ǫ1n. Bởi tính đơn điệu của x(t, v) trên [0,∞), tồn tại giới hạn hữu hạn x∞ = limt→∞ x(t, v). Từ (4.6) ta suy ra limt→∞Dα0 x(t, v) = Aclx∞. Mặt khác, áp dụng tính chất của biến đổi Laplace, ta có lim s→0 sX(s) = x∞, lim s→0 sL{Dα0 x(., v)}(s) = Aclx∞ ở đó X(s) = L{x(., v)}(s). Cũng chú ý rằng L{Dα0 x(., v)}(s) = sαX(s)− sα−1v. Vì thế, Aclx∞ = lim s→0 sL{Dα0 x(., v)}(s) = lim s→0 s ( sαX(s)− sα−1v) = lim s→0 sα (sX(s)− v) . Vì lims→0(sX(s)− v) = x∞− v, ta có Aclx∞ = 0. Điều này chứng tỏ x∞ = 0. Định lí được chứng minh. Nhận xét 4.1.3. Khác với kết quả đã công bố trước đó, chẳng hạn, trong [36, 46,47,53], Định lí 4.1.3 trong mục này cho một điều kiện cần và đủ cho tính ổn định tiệm cận của lớp hệ dương tuyến tính bậc phân số dựa trên cách tiếp cận bằng bài toán quy hoạch tuyến tính. Nói riêng, tính ổn định tiệm cận của hệ dương (4.6) được đặc trưng bởi tính khả dụng của LP (4.7), điều này cho phép ta có thể kiểm tra điều kiện ổn định bằng nhiều công cụ tính toán sẵn có. 4.1.3. Thiết kế điều khiển Dựa trên các điều kiện ổn định được đưa ra trong Định lí 4.1.3, mục này chúng tôi xét bài toán thiết kế một điều khiển phản hồi phân quyền dạng (4.5) sao cho hệ đóng tương ứng là hệ dương và ổn định tiệm cận toàn cục. 66 Định lí 4.1.4. Xét hệ điều khiển dạng kết nối cho bởi (4.1) và giả sử Aij  0 với mọi i 6= j. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: (a) Tồn tại một điều khiển phản hồi phân quyền dạng (4.5) sao cho hệ đóng (4.6) là hệ dương và ổn định tiệm cận toàn cục. (b) Tồn tại các vectơ vi ∈ Rni, vi ≻ 0, và các ma trận Ki ∈ Rmi×ni thỏa mãn (4.7) sao cho Aii +BiKi, i ∈ [N ] là các ma trận Metzler. (c) LP sau có nghiệm là các vectơ 0 ≺ vi ∈ Rni và ma trận Zi ∈ Rmi×ni Aiivi +BiZi1ni + N∑ j=1,j 6=i Aijvj ≺ 0 (4.11a) 1 vil b (i) k Z (i) l + [Aii]kl ≥ 0, i ∈ [N ], k, l ∈ [ni], k 6= l (4.11b) ở đó Bi = [ b (i)⊤ 1 b (i)⊤ 2 . . . b (i)⊤ ni ]⊤ , Zi = [ Z (i) 1 Z (i) 2 . . . Z (i) ni ] và vi = (vil). Các ma trận đạt được Ki, i ∈ [N ], được cho bởi Ki = ZiD −1(vi) = [ 1 vi1 Z (i) 1 1 vi2 Z (i) 2 . . . 1 vini Z (i) ni ] (4.12) ở đó D(vi) là ma trận đường chéo tạo bởi các phần tử của vectơ vi. Chứng minh. Sự tương đương giữa (a) và (b) đơn giản được suy ra từ Mệnh đề 4.1.1 và Định lí 4.1.3. Ta chứng minh (b) ⇔ (c). Giả sử (b) đúng. Khi đó tồn tại các vectơ vi ∈ Rni, vi ≻ 0, và các ma trận Ki ∈ Rmi×ni sao cho Aii+BiKi, i ∈ [N ] là các ma trận Metzler và điều kiện (4.7) được thỏa mãn. Xét phép đổi biến KiD(vi) = Zi ∈ Rmi×ni . (4.13) Để ý rằng vi = D(vi)1ni. Khi đó, điều kiện (4.7) được thỏa mãn do (4.11a). Ngoài ra, (4.13) tương đương với (4.12). Mặt khác, từ (4.12) ta thu được BiKi =  b (i) 1 ... b (i) ni [ 1vi1Z(i)1 . . . 1viniZ(i)ni ] =  1 vi1 b (i) 1 Z (i) 1 . . . 1 vini b (i) 1 Z (i) ni ... . . . ... 1 vi1 b (i) ni Z (i) 1 . . . 1 vini b (i) ni Z (i) ni  . 67 Vì thế, Aii +BiKi là ma trận Metzler khi và chỉ khi [Aii]kl + [BiKi]kl ≥ 0 với mọi k, l ∈ [ni], k 6= l điều này dẫn tới (4.11b). Vậy phép kéo theo (b)⇒ (c) được kiểm chứng. Chiều ngược lại (c) ⇒ (b) là hiển nhiên bởi các lập luận ở trên. Định lí được chứng minh. Nhận xét 4.1.4. Bài toán phân tích tính ổn định và thiết kế điều khiển đã được nghiên cứu cho hệ vi phân bậc phân số tuyến tính sử dụng phương pháp hàm Lyapunov và cách tiếp cận bằng LMIs [46, 47, 51, 53]. Cách tiếp cận này, một mặt, chỉ đưa ra các điều kiện phân tích và thiết kế dạng điều kiện đủ. Mặt khác, với các điều kiện đã đề xuất, việc tổng hợp điều khiển trở nên phức tạp hơn rất nhiều do sự liên kết giữa các tham số thiết kế và các biến của LMIs. Với hệ dương dạng kết nối, các điều kiện được đề xuất ở Định lí 4.1.3 và Định lí 4.1.4 được thiết lập sử dụng cách tiếp cận LP. Cách tiếp cận này hiệu quả hơn so với cách tiếp cận dùng LMIs không chỉ ở tính khả dụng mà còn giảm nhẹ độ phức tạp tính toán do số các biến quyết định trong điều kiện LP thường ít hơn nhiều so với trong điều kiện LMIs. Ví dụ, số các biến quyết định của Định lí 4.1.4 trong mục này là ∑N i=1(mi + 1)ni rõ ràng ít hơn nhiều so với số các biến quyết định = ∑N i=1(mi + ni+1 2 )ni của Định lí 3.1 trong [53]. 4.1.4. Ví dụ minh họa Xét một hệ điều khiển kết nối dạng (4.1) gồm hai hệ con bậc phân số trong lý thuyết mạch [38]. Các tham số hệ được cho bởi A11 = [ −1.246 1.325 0.874 −0.245 ] , A12 = [ 0.128 0 0.325 0.474 ] , A21 = [ 0 0.246 0.375 0.846 ] , A22 = [ −2.342 1.126 1.465 −0.596 ] , B1 = [ 0 0.28 ] , B2 = [ 0 0.47 ] . Rõ ràng, các ma trận A11 và A22 là không ổn định. Hơn nữa, vì A =[ A11 A12 A21 A22 ] không là ma trận Hurwitz, hệ mở của (4.1) không ổn định. Kết quả mô phỏng với α = 0.9 và điều kiện đầu x0 = (1.0, 1.2, 1.5, 0.8)⊤ được cho ở Hình 4.1. 68 Rõ ràng, các quỹ đạo trạng thái x1(t) = (x11(t), x12(t))⊤ và x2(t) = (x21(t), x22(t))⊤ ra vô cùng khi t dần tới vô cùng. Bây giờ ta áp dụng lược đồ thiết kế đề xuất trong Định lí 4.1.4. Giải LP (4.11a)-(4.11b) đối với các vectơ 0.0112  vi  212, i = 1, 2, và các ma trận Z1, Z2 ∈ R1×2, nghiệm tối ưu thu được là v1 = (1.9397, 0.2440) ⊤, v2 = (1.9593, 0.4330) ⊤ Z1 = [ −4.9270 −9.6282 ] , Z2 = [ −4.8985 −4.8985 ] . Thay vào (4.12) ta thu được các ma trận đạt được K1 = [ −2.5401 −39.4644 ] , K2 = [ −2.5002 −11.3135 ] . (4.14) Theo Định lí 4.1.4, hệ đóng (4.6) là hệ dương và ổn định tiệm cận. Hình 5.2 mô tả một quỹ đạo trạng thái của hệ (4.6) với điều khiển cho bởi (4.14), bậc α = 0.9 và điều kiện đầu x0 = (1.0, 1.2, 1.5, 0.8)⊤. Kết quả mô phỏng ở Hình 5.2 chỉ ra rằng hệ đóng (4.6) là ổn định tiệm cận. 0 5 10 15 20 0 100 300 500 700 time (s) R es po ns e x(t ) x11(t) x12(t) x21(t) x22(t) Hình 4.1: Hệ mở không ổn định 69 0 5 10 15 20 −0.5 0 0.5 1 1.5 time (s) R es po ns e x(t ) x11(t) x12(t) x21(t) x22(t) Hình 4.2: Một trạng thái quỹ đạo của hệ đóng (4.6) 4.2. Tính ổn định và ổn định hóa vững của hệ điều khiển bậc phân số dạng kết nối với nhiễu dạng khoảng và trễ không đồng nhất 4.2.1. Hệ điều khiển bậc phân số dạng kết nối có trễ Trong mục này chúng tôi phát triển kết quả nghiên cứu trình bày trong Mục 4.1 cho lớp hệ điều khiển quy mô lớn dạng kết nối mô tả bởi hệ phương trình vi phân bậc phân số chứa nhiễu dạng khoảng và trễ không đồng nhất. Cụ thể, xét lớp hệ điều khiển dạng kết nối gồm N hệ địa phương Σi, i ∈ [N ], Dα0 xi(t) = Aiixi(t) + N∑ j=1,j 6=i Aijxj(t) + N∑ j=1,j 6=i Gijxj(t− τij(t)) +Biui(t), t ≥ 0, xi(t) = φi(t) ∈ Rni , t ∈ [−τ+i , 0] (4.15) ở đó τij(t) là độ trễ giữa hệ con thứ i và hệ con thứ j, 0 ≤ τij(t) ≤ τ+ij , ở đó τ+ij là một hằng số, τ+i = max1≤j≤N τ + ij và φi(·) ∈ C([−τ+i , 0],Rni) là điều kiện ban đầu. Trong thực tế, các độ trễ đường truyền giữa các hệ địa phương khác nhau là khác nhau [78]. Vì vậy, trong hệ (4.15), các độ trễ được xét là không đồng nhất, tức là, τij(t) và τkl(t) nói chung là khác nhau khi i 6= k hoặc j 6= l. Các ma trận Aij, Gij và Bi, i, j ∈ [N ], trong (4.15) là các ma trận không biết chính xác, 70 và được giả thiết chứa nhiễu dạng khoảng Aij  Aij  Aij , i, j ∈ [N ], Gij  Gij  Gij , i, j ∈ [N ], i 6= j, Bi  Bi  Bi, i ∈ [N ], (4.16) ở đó Aij, Aij, Gij, Gij và Bi, Bi là các ma trận đã biết. Để thuận tiện, ta viết ∆lbAij = Aij − Aij và ∆ubAij = Aij − Aij. Các ký hiệu tương tự được định nghĩa cho các ma trận khác. Với điều khiển phản hồi phân quyền dạng ui(t) = Kixi(t), t ≥ 0, (4.17) ở đó Ki ∈ Rmi×ni là ma trận đạt được, hệ đóng của (4.15) được viết dưới dạng Dα0 xi(t) = A c iixi(t) + N∑ j=1,j 6=i Aijxj(t) + N∑ j=1,j 6=i Gijxj(t− τij(t)), (4.18) ở đó Acii = Aii +BiKi. 4.2.2. Điều kiện hệ dương Mệnh đề 4.2.1. Hệ (4.15) là hệ dương với mọi trễ biến thiên bị chặn τij(t) nếu và chỉ nếu Aii, i ∈ [N ], là ma trận Metzler và Aij, Gij, i, j ∈ [N ], i 6= j, và Bi, i ∈ [N ], là các ma trận không âm. Chứng minh. Điều kiện cần: Cho τij(t) = 0, hệ (4.15) được đơn giản thành Dα0 xi(t) = Aiixi(t) + N∑ j=1,j 6=i (Aij +Gij)xj(t) +Biui(t), t ≥ 0. (4.19) Với A là ma trận khối được định nghĩa bởi A =  A11 . . . A1N +G1N ... . . . ... AN1 +GN1 . . . ANN  ∈ Rn×n, hệ (4.19) được viết lại dạng Dα0 x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0, (4.20) 71 ở đó B = diag(B1, B2, . . . , BN ). Do đó, điều kiện suy từ Mệnh đề 4.1.1. Điều kiện đủ: Vì Aii là một ma trận Metzler, tồn tại một số thực ρi > 0 sao cho Âii , Aii + ρiIni  0. Cho x(t) = vec(xi(t)) là một nghiệm của (4.15) với điều kiện đầu φ(t) = vec(φi(t)), φi(t)  0, ∀t ∈ [−τ+i , 0]. Cho trước ǫ > 0, gọi xǫ(t) là nghiệm của (4.15) với điều kiện đầu φǫ(t) = vec(φǫi(t)), ở đó φ ǫ i(t) = φi(t)+ ǫ1ni . Từ (4.15) suy ra xǫi(t) = φ ǫ i(0)Eα(−ρitα) + ∫ t 0 ϕi(t− s)Âiixi(s)ds + ∫ t 0 ϕi(t− s) { N∑ j=1,j 6=i Aijxj(s) + N∑ j=1,j 6=i Gijxj(s− τij(s)) +Biui(s) } ds (4.21) ở đó ϕi(t− s) = (t− s)α−1Eα,α (−ρi(t− s)α). Lập luận tương tự trong chứng minh Mệnh đề 4.1.1, với ui(t) ∈ Rmi+ , i ∈ [N ], ta có xǫ(t) ≻ 0 với t > 0 đủ nhỏ. Giả sử tồn tại i ∈ [N ] và t0 > 0 sao cho xǫi(t0)  0 và xǫj(t)  0 với mọi t ∈ [0, t0), j ∈ [N ]. Khi đó, do Aij , Gij, i 6= j, và Bi không âm và từ (4.21), ta có xǫi(t)  φǫi(0)Eα(−ρitα), ∀t ∈ [0, t0). Cho t ↑ t0, ta được xǫi(t0)  0. Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của t0. Vậy, xǫ(t)  0 với mọi t ≥ 0. Do sự phụ thuộc liên tục vào điều kiện đầu , x(t) = limǫ→0 xǫ(t)  0. Nhận xét 4.2.1. Mệnh đề 4.2.1 cho một tiêu chuẩn cho tính dương của hệ (4.15). Tuy nhiên, vì các ma trận Aij , Gij và Bi chưa biết nên ta cần thiết lập các so sánh nghiệm của (4.15) với các “hệ mức” (4.22) và (4.23) dưới đây. Xét các hệ mức dưới và mức trên đối với (4.15) sau đây Dα0 x − i (t) = Aiix − i (t) + N∑ j=1,j 6=i Aijx − j (t) + N∑ j=1,j 6=i Gijx − j (t− τij(t)) +Biui(t), t ≥ 0, x−i (t) = θi(t), t ∈ [−τ+i , 0], i ∈ [N ] (4.22) 72 và Dα0 x + i (t) = Aiix + i (t) + N∑ j=1,j 6=i Aijx + j (t) + N∑ j=1,j 6=i Gijx + j (t− τij(t)) +Biui(t), t ≥ 0, x+i (t) = ψi(t), t ∈ [−τ+i , 0], i ∈ [N ]. (4.23) Bổ đề 4.2.2. Giả sử (4.22) là hệ dương và x(t), x−(t), x+(t) tương ứng là nghiệm của (4.15), (4.22) và (4.23) với cùng đầu vào ui(t) ∈ Rmi+ . Khi đó, nếu 0  θi(t)  φi(t)  ψi(t), ∀t ∈ [−τ+i , 0], ∀i ∈ [N ], thì x−i (t)  xi(t)  x+i (t) với mọi t ≥ 0. Chứng minh. Theo Mệnh đề 4.2.1, x−i (t)  0, ∀t ≥ 0. Kí hiệu xˆi(t) = xi(t)−x−i (t), t ≥ 0, và xˆi(t) = φi(t)− θi(t), t ∈ [−τ+i , 0]. Từ (4.15) và (4.22) suy ra Dα0 xˆi(t) = Aiixˆi(t) + N∑ j=1,j 6=i Aij xˆj(t) + N∑ j=1,j 6=i Gij xˆj(t− τij(t)) + χi(t) + ∆lbBiui(t), (4.24) ở đó χi(t) = ∑N j=1∆lbAijxj(t)+ ∑N j=1,j 6=i∆lbGijxj(t−τij(t)). Vì (4.22) là hệ dương nên, bởi Mệnh đề 4.2.1, Aii, i ∈ [N ], là các ma trận Metzler và Aij, Gij, i 6= j, Bi, i ∈ [N ], không âm. Theo (4.16), [Aii]kl ≥ [Aii]kl ≥ 0 với mọi k 6= l. Bởi vậy, Aii, i ∈ [N ], là các ma trận Metzler. Ngoài ra, Aij  Aij  0, Gij  Gij  0, i 6= j Bi  Bi  0, i ∈ [N ]. Do đó, (4.15) là hệ dương và x(t)  0 với mọi t ≥ 0 khi φi(t)  0. Điều này suy ra χi(t)  0 với mọi t ≥ 0 vì ∆lbAii  0 và ∆lbAij  0, ∆lbGij  0, i 6= j. Bây giờ ta áp dụng Mệnh đề 4.2.1 với hệ dương (4.24), ở đó χi(t), i ∈ [N ], có thể xem như là các vectơ đầu vào không âm. Vì xˆi(t)  0, t ∈ [−τ+i , 0], ta có xˆi(t)  0 với mọi t ≥ 0 suy ra x−i (t)  xi(t). Ước lượng xi(t)  x+i (t) với mọi t ≥ 0 được suy tương tự. Bổ đề được chứng minh. Nhận xét 4.2.2. Bổ đề 4.2.2 có thể coi là một tiêu chuẩn cho tính dương bền vững của hệ (4.15). Cụ thể hơn, hệ không chắc chắn (4.15) là dương với mọi ma trận không chắc chắn thỏa mãn (4.16) nếu và chỉ nếu (4.22) là hệ dương. 73 Nhận xét 4.2.3. Cần phải chỉ ra rằng ngay cả khi hệ mức dưới (4.22) là hệ dương, hệ đóng (4.18) có thể không dương vì nói chung dấu của ma trận đạt được Ki là không xác định. Bổ đề sau cho một tiêu chuẩn cho tính dương của hệ đóng (4.18). Bổ đề 4.2.3. Giả sử (4.22) là hệ dương. Khi đó, hệ đóng (4.18) là hệ dương nếu, với mỗi i ∈ [N ], Aˆci = Aii + BaiKi − Bgi |Ki| là ma trận Metzler, ở đó Bai = 1/2 ( Bi +Bi ) và Bgi = 1/2 ( Bi − Bi ) . Chứng minh. Vì (4.22) là hệ dương, các ma trận Aij, Gij, i, j ∈ [N ], i 6= j, và Bi, i ∈ [N ], là không âm. Theo Bổ đề 4.2.2, hệ đóng (4.18) là hệ dương nếu Aii +BiKi là ma trận Metzler với mỗi i ∈ [N ]. Từ (4.16), ta có biểu diễn sau [Bi]kl = λ i kl[Bi]kl + (1− λikl)[Bi]kl, k ∈ [ni], l ∈ [mi] (4.25) ở đó λikl ∈ [0, 1] với mọi k, l. Vì thế, [BiKi]kl = mi∑ s=1 ( λiks[Bi]ks + (1− λiks)[Bi]ks ) [Ki]sl. (4.26) Kí hiệu σikl = sgn([Ki]kl). Từ (4.25)-(4.26) suy ra [BiKi]kl ≥ mi∑ s=1 ( [Bai ]ks − [Bgi ]ksσisl ) [Ki]sl = [BaiKi]kl − [Bgi |Ki|]kl. (4.27) Rõ ràng, bất đẳng thức (4.27) dẫn tới BiKi  BaiKi−Bgi |Ki|, và như vậy, Aii+BiKi là Metzler nếu ma trận Aˆci là Metzler. Bổ đề được chứng minh. Nhận xét 4.2.4. Khi Bi, i ∈ [N ], là các ma trận đã biết, các điều kiện đưa ra trong Bổ đề 4.2.3 được đơn giản hóa thành điều kiện Aii +BiKi, i ∈ [N ], là ma trận Metzler và Aij, Gij, i, j ∈ [N ], i 6= j, và Bi, i ∈ [N ], là ma trận không âm. 4.2.3. Phân tích tính ổn định Định lí dưới đây cho các điều kiện ổn định vững của hệ đóng (4.18). Định lí 4.2.4. Cho trước các ma trận đạt được Ki, i ∈ [N ], và giả sử hệ đóng (4.18) là hệ dương. Khi đó, hệ (4.18) là ổn định tiệm cận vững nếu tồn tại các 74 vectơ vi ∈ Rni, vi ≻ 0, i ∈ [N ], thỏa mãn điều kiện sau:( Aii +B a iKi +B g i |Ki| ) vi + N∑ j=1,j 6=i ( Aij +Gij ) vj ≺ 0, ∀i ∈ [N ]. (4.28) Chứng minh. Cho x(t) = x(t;φ) là một nghiệm của (4.18) với điều kiện đầu tổng quát φ(s) = vec(φi(s)). Bằng lập luận tương tự trong chứng minh Bổ đề 4.2.2, ta có |x(t;φ)|  x(t; |φ|), t ≥ 0, ở đó x(t; |φ|) là nghiệm của (4.18) với điều kiện đầu |φ(s)|. Mặt khác, vì (4.18) là hệ dương, hệ đóng của (4.23) cũng là hệ dương. Bởi Bổ đề 4.2.2, x(t; |φ|)  x+(t) , x+(t; |φ|) với mọi t ≥ 0, ở đó x+(t) là nghiệm của hệ đóng của hệ (4.23) với điều kiện đầu ψi(t) = |φi(t)|. Bây giờ ta chứng minh x+(t) → 0 khi t → ∞ suy ra x(t;φ) → 0 khi t → ∞ vì |x(t;φ)|  x+(t) với mọi t ≥ 0. Để làm điều này, trước tiên ta lưu ý rằng BiKi  BaiKi + Bgi |Ki| bởi các lập luận tương tự trong chứng minh Bổ đề 4.2.3. Áp dụng Bổ đề 4.2.2 một lần nữa ta được x+(t)  xˆ+(t), t ≥ 0, ở đó xˆ+(t) là nghiệm của hệ sau đây Dα0 xˆ + i (t) = Aˇ c i xˆ + i (t) + N∑ j=1,j 6=i Aij xˆ + j (t) + N∑ j=1,j 6=i Gij xˆ + j (t− τij(t)), t ≥ 0, xˆ+i (t) = |φi(t)|, t ∈ [−τ+i , 0], i ∈ [N ], (4.29) với Aˇci = Aii +B a iKi +B g i |Ki|. Cho vi, i ∈ [N ], là các vectơ dương thỏa mãn (4.28). Khi đó, tồn tại η > 0 sao cho |φi(t)|  ηvi, ∀t ∈ [−τ+i , 0]. Vì vậy, xˆ+i (t)  xˆ+i (t; ηvi), ở đó xˆ+i (t; ηvi) là nghiệm của hệ (4.29) với điều kiện đầu ηvi. Do tính dương của hệ (4.29), xˆ+i (t; ηvi) là hàm không giảm trên [0,∞) và thỏa mãn xˆ+i (t; ηvi)  ηvi, ∀t ≥ 0. Vì thế, tồn tại giới hạn hữu hạn ξi = limt→∞ xˆ+i (t; ηvi). Ngoài ra, từ (4.29) suy ra lim t→∞ Dα0 xˆ + i (t; ηvi) = Aˇ c iξi + N∑ j=1,j 6=i (Aij +Gij)ξj . Do đó, sử dụng các tính chất của phép biến đổi Laplace, ta có lim s→0 sXi(s) = ξi lim s→0 sL{Dα0 xˆ+i (t, ηvi)} = Aˇciξi + N∑ j=1,j 6=i (Aij +Gij)ξj 75 với Xi(s) = L{xˆ+i (t, ηvi)}. Từ L{Dα0 xˆ+i (t, ηvi)} = sαXi(s)− ηsα−1vi suy ra Aˇciξi + N∑ j=1,j 6=i (Aij +Gij)ξj = lim s→0 s ( sαXi(s)− ηsα−1vi ) = lim s→0 sα (sXi(s)− ηvi) . Rõ ràng, |sα| = |s|α → 0 khi s→ 0 và lims→0(sXi(s)− ηvi) = ξi− ηvi. Vì thế, Aˇciξi + N∑ j=1,j 6=i (Aij +Gij)ξj = 0 điều này suy ra ξi = 0 với mọi i ∈ [N ]. Định lí được chứng minh. Nhận xét 4.2.5. Điều kiện (4.28) cũng là điều kiện cần cho tính ổn định tiệm cận của hệ dương (4.29) với bất kỳ trễ biến thiên bị chặn τij(t). Ngoài ra, khi Bi, i ∈ [N ], đã biết, điều kiện (4.28) trở thành điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ dương (4.18). Nhận xét 4.2.6. Ta xét hệ mở của (4.15) với hệ ma trận đã biết Aii, i ∈ [N ], Aij và Gij, i 6= j. Khi đó, ta có thể thấy trong chứng minh của Định lí 4.2.4 rằng hệ đã cho là dương và ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu ma trận A =  A11 . . . A1N +G1N ... . . . ... AN1 +GN1 . . . ANN  là Metzler và tồn tại một vectơ v = vec(vi) ≻ 0, vi ∈ Rni, thỏa mãn Av ≺ 0. Điều kiện sau có nghĩa A là ma trận Hurwitz. Khi ni = 1, i ∈ [N ], kết quả này suy ra kết quả của Định lí 2 trong [64]. Vì thế, Định lí 4.2.4 trong mục này mở rộng Định lí 2 trong [64] cho trường hợp hệ kết nối không chắc chắn với trễ không đồng nhất. 4.2.4. Thiết kế điều khiển Dựa trên Định lý 4.2.4 và Bổ đề 4.2.3, bài toán thiết kế điều khiển phản hồi phân quyền (4.17) được trình bày ở định lí sau đây. Định lí 4.2.5. Tồn tại một điều khiển phản hồi phân quyền dạng (4.17) sao cho hệ đóng (4.18) là hệ dương và ổn định tiệm cận bền vững nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: 76 (a) Các ma trận Aij, Gij, i, j ∈ [N ], i 6= j, và Bi, i ∈ [N ], không âm; (b) Tồn tại các vectơ vi ∈ Rni, vi ≻ 0, và các ma trận Zi ∈ Rmi×ni, i ∈ [N ], thỏa mãn bài toán LP sau Aiivi + ( Bai Zi +B g i |Zi| ) 1ni + N∑ j=1,j 6=i (Aij +Gij)vj ≺ 0 (4.30a) 1 vil { b (i) akZ (i) l − b (i) gk |Z (i) l | } + [Aii]kl ≥ 0, ∀k 6= l (4.30b) ở đó vi =  vi1 ... vini , Bai =  b (i) a1 ... b (i) ani , Bgi =  b (i) g1 ... b (i) gni  và Zi = [Z(i)1 Z(i)2 . . . Z(i)ni ]. Ma trận đạt được Ki, i ∈ [N ], được cho bởi Ki = ZiD −1(vi) = [ 1 vi1 Z (i) 1 1 vi2 Z (i) 2 . . . 1 vini Z (i) ni ] . (4.31) Chứng minh. Bởi Định lí 4.2.4, hệ dương (4.18) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại các vectơ vi ∈ Rni, vi ≻ 0, thỏa mãn điều kiện (4.28). Xét phép biến đổi sau KiD(vi) = Zi ∈ Rmi×ni . (4.32) Chú ý rằng vi = D(vi)1ni, từ (4.32), ta có( BaiKi +B g i |Ki| ) vi = ( Bai Zi +B g i |Zi| ) 1ni . Vì vậy, với phép biến đổi (4.32), điều kiện (4.28) tương đương với (4.30a). Mặt khác, từ (4.31) ta có BaiKi =  b (i) a1 ... b (i) ani [ 1vi1Z(i)1 . . . 1viniZ(i)ni ] =  1 vi1 b (i) a1Z (i) 1 . . . 1 vini b (i) a1Z (i) ni ... . . . ... 1 vi1 b (i) aniZ (i) 1 . . . 1 vini b (i) aniZ (i) ni  (4.33) và Bgi |Ki| =  1 vi1 b (i) g1 |Z(i)1 | . . . 1vini b (i) g1 |Z(i)ni | ... . . . ... 1 vi1 b (i) gni |Z(i)1 | . . . 1vini b (i) gni |Z(i)ni |  . (4.34) 77 Vì vậy, ma trận Aˆci = Aii + B a iKi − Bgi |Ki| là Metzler nếu và chỉ nếu điều kiện [Aii]kl+ [B a iKi]kl− [Bgi |Ki|]kl ≥ 0 đúng với mọi k, l ∈ [ni], k 6= l, điều này được cho bởi (4.30b). Định lí được chứng minh. Nhận xét 4.2.7. Trong trường hợp đặc biệt, khi các hệ ma trận Aii, Bi, i ∈ [N ], và Aij, Gij, i, j ∈ [N ], i 6= j, trong (4.15) đã biết, các điều kiện được đưa ra trong Bổ đề 4.2.3 và Định lí 4.2.4 là điều kiện cần và đủ cho tính dương và tính ổn định tiệm cận của hệ đóng (4.18). Trong trường hợp này, ta có hệ quả sau. Hệ quả 4.2.6. Giả sử các ma trận Aii, Bi, i ∈ [N ], và Aij, Gij, i, j ∈ [N ], i 6= j, trong (4.15) đã biết và Aij, Gij, i, j ∈ [N ], i 6= j, Bi, i ∈ [N ], không âm. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương. (a) Tồn tại một điều khiển phản hồi phân quyền dạng (4.17) sao cho hệ đóng (4.18) là hệ dương và ổn định tiệm cận toàn cục. (b) Tồn tại các vectơ χi ∈ Rni, χi ≻ 0, và các ma trận Ki ∈ Rmi×ni sao cho Aii+BiKi, i ∈ [N ] là ma trận Metzler và điều kiện sau đúng với mọi i ∈ [N ] (Aii +BiKi)χi + N∑ j=1,j 6=i (Aij +Gij)χj ≺ 0. (4.35) (c) Bài toán LP sau có nghiệm χi ∈ Rni, χi ≻ 0, và Wi ∈ Rmi×ni Aiiχi +BiWi1ni + N∑ j=1,j 6=i (Aij +Gij)χj ≺ 0 (4.36a) 1 χil b (i) k W (i) l + [Aii]kl ≥ 0, ∀k, l ∈ [ni], k 6= l (4.36b) ở đó χi =  χi1 ... χini , Bi =  b (i) 1 ... b (i) ni  và Wi = [W (i)1 W (i)2 . . . W (i)ni ]. Ma trận đạt được Ki, i ∈ [N ], được cho bởi Ki = [ 1 χi1 W (i) 1 1 χi2 W (i) 2 . . . 1 χini W (i) ni ] . (4.37) Chứng minh. Sự tương đương giữa (a) và (b) được suy ra từ Bổ đề 4.2.3 và Định lí 4.2.4. Sự tương đương giữa (b) ⇔ (c) được suy ra tương tự trong chứng minh của Định lí 4.2.5, và do đó chúng tôi bỏ qua ở đây. 78 4.2.5. Một số ví dụ minh họa Ví dụ 4.2.1. Xét hệ mở của (4.15) (ui(t) = 0) với các ma trận của hệ cho bởi A11 = [ −2.75 + δ1 0.35 + δ2 0.3 + δ3 −3.25 + δ4 ] , A12 = [ 0.56 0.45 0.37 0.72 ] , A21 = [ 0.25 0.33 0.75 0.86 ] , A22 = [ −3.15 + δ5 0.5 + δ6 0.85 + δ7 −2.6 + δ8 ] , G12 = [ 0.3 + σ1 0.29 0.26 0.35 + σ2 ] , G21 = [ 0.3 + σ3 0.36 0.25 + σ4 0.35 ] , ở đó δk, k ∈ [8], và σl, l ∈ [4], là các tham số không chắc chắn, |δk| ≤ 0.15 và |σl| ≤ 0.15. Rõ ràng, các ma trận của hệ thỏa mãn điều kiện (4.16) với A11 = [ −2.9 0.2 0.15 −3.4 ] , A11 = [ −2.6 0.5 0.45 −3.1 ] , A22 = [ −3.3 0.35 0.7 −2.75 ] , A22 = [ −3.0 0.65 1.0 −2.45 ] , G12 = [ 0.15 0.29 0.26 0.2 ] , G12 = [ 0.45 0.29 0.26 0.5 ] , G21 = [ 0.15 0.36 0.1 0.35 ] , G21 = [ 0.45 0.36 0.4 0.35 ] . Vì Aii, i = 1, 2, là các ma trận Metzler và Aij = Aij, Gij , i 6= j, không âm, theo Bổ đề 4.2.2, hệ đã cho là hệ dương. Sử dụng gói LP trong Matlab để giải điều kiện (4.28) với một ràng buộc 0.0112  vi  212, nghiệm tối ưu thu được là v1 = [ 1.1952 1.4624 ] , v2 = [ 1.0819 1.7299 ] . Theo Định lí 4.2.4, hệ (4.15) là ổn định tiệm cận vững. Để mô phỏng kết quả, chúng tôi lấy α = 0.9, τ12(t) = 2| sin(2πt)|, τ21(t) = 2| cos(2πt)| và δk = 0.1, σl = 0.1. Điều kiện đầu của hệ (4.15), (4.22) và (4.23) tương ứng được cho bởi (0.2, 0.3, 0.25, 0.15), (0.1, 0.15, 0.15, 0.1) và (0.4, 0.5, 0.5, 0.3). Như đã chỉ ra ở Bổ đề 4.2.2, các nghiệm tương ứng x(t) = (xi(t)), x+(t) = (x+i (t)) và x−(t) = (x−i (t)), i = 1, 2, của hệ (4.15), (4.22) và (4.23) thỏa mãn so sánh 79 x−i (t)  xi(t)  x+i (t), i = 1, 2, với mọi t ≥ 0. Điều này được minh họa trên Hình 4.3(a)-(d), ở đó quỹ đạo trạng thái xij(t), i, j = 1, 2, của hệ (4.15) bị giới hạn giữa x−ij(t) và x + ij(t). Hơn thế, x + ij(t), i, j = 1, 2, hội tụ tới không khi t→∞, điều này đảm bảo x(t) hội tụ tới không như được chỉ ra bởi các kết quả của lý thuyết. 0 1 2 3 4 5t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 x 11 (t) x11 + (t) x11(t) x11 - (t) (a) Các quỹ đạo x11(t), x + 11 (t) và x− 11 (t) 0 1 2 3 4 5t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x 12 (t) x12 + (t) x12(t) x12 - (t) (b) Các quỹ đạo x12(t), x + 12 (t) và x− 12 (t) 0 1 2 3 4 5t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x 21 (t) x21 + (t) x21(t) x21 - (t) (c) Các quỹ đạo x21(t), x + 21 (t) và x− 21 (t) 0 1 2 3 4 5t 0 0.1 0.15 0.2 0.3 x 22 (t) x22 + (t) x22(t) x22 - (t) (d) Các quỹ đạo x22(t), x + 22 (t) và x− 22 (t) Hình 4.3: Các quỹ đạo trạng thái của hệ (4.15) với α = 0.9, δk = 0.1, σl = 0.1 và hàm trễ τ12(t) = 2| sin(2pit)|, τ21(t) = 2| cos(2pit)| Ví dụ 4.2.2. Xét hệ hệ điều khiển dạng kết nối (4.15) với các ma trận sau A11 = [ −1.5 + δa 1.25 0.87 −0.35 + δa ] , A12 = [ 0.2 0 0.25 0.47 ] , A21 = [ 0 0.24 0.37 0.84 ] , A22 = [ −2.45 + δa 1.12 1.45 −0.6 + δa ] , G12 = [ 0.2 + δg 0 0.15 0.3 + δg ] , G21 = [ 0 0.15 + δg 0.21 0.25 + δg ] , B1 = [ 0 0.5 + δb ] , B2 = [ 0 0.6 + δb ] ở đó δa, δg và δb là các tham số không chắc chắn. Giả sử các tham số không chắc chắn được giới hạn trong khoảng [−0.1, 0.1]. 80 Khi đó, các ma trận của hệ (4.15) thỏa mãn điều kiện (4.16), ở đó A11 = [ −1.4 1.25 0.87 −0.25 ] , A11 = [ −1.6 1.25 0.87 −0.45 ] , A22 = [ −2.35 1.12 1.45 −0.5 ] , A22 = [ −2.55 1.12 1.45 −0.7 ] , G12 = [ 0.3 0 0.15 0.4 ] , G12 = [ 0.1 0 0.15 0.2 ] , G21 = [ 0 0.25 0.25 0.35 ] , G21 = [ 0 0.05 0.25 0.15 ] , B1 = [ 0 0.6 ] , B1 = [ 0 0.4 ] , B2 = [ 0 0.7 ] , B2 = [ 0 0.5 ] . Rõ ràng, các ma trận Aii là Metzler và Aij, Gij, i 6= j, Bi không âm. Theo Mệnh đề 4.2.1, hệ (4.22) là hệ dương với mọi trễ bị chặn τ12(t), τ21(t). Do đó, hệ (4.15) là hệ dương với mọi ma trận không chắc chắn (4.16). Mặt khác, vì M = [ A11 A12 +G12 A21 +G21 A22 ] là ma trận không ổn định (không Hurwitz), hệ mở của (4.22) không ổn định. Vì vậy, do Bổ đề 4.2.2, hệ mở của (4.15) là hệ không ổn định. Kết quả mô phỏng cho trên Hình 4.4 với α = 0.8, δa = 0.1, δg = −0.1, τ12(t) = 3| sin(4πt)|, τ21(t) = 3| cos(4πt)| và điều kiện đầu (0.25, 0.5, 0.75, 1). Hình 4.4 chỉ ra rằng hệ mở của (4.15) là không ổn định. 0 2 4 6 8 10t 0 100 200 300 400 x(t ) x11(t) x12(t) x21(t) x22(t) Hình 4.4: Một quỹ đạo trạng thái của hệ mở của (4.15) với α = 0.8 và các hàm trễ τ12(t) = 3| sin(4pit)|, τ21(t) = 3| cos(4pit)| 81 Giải các điều kiện (4.30a) và (4.30b) với ràng buộc 0.112  vi  12 và −212  Zi  0, ta thu được một nghiệm tối ưu v1 = [ 0.604 0.1078 ]⊤ , v2 = [ 0.5627 0.2171 ]⊤ , Z1 = [ −0.8473 −1.4191 ] , Z2 = [ −1.0071 −1.4258 ] . Thay vào (4.37) ta được K1 = [ −1.4028 −13.1639 ] , K2 = [ −1.79 −6.5683 ] . (4.38) Theo Định lí 4.2.5, hệ đóng (4.18) là hệ dương và ổn định tiệm cận vững. Kết quả mô phỏng với α = 0.8, δa = 0.1, δg = −0.1, δb = 0.1, hàm trễ τ12(t) = 3| sin(4πt)|, τ21(t) = 3| cos(4πt)| và điều kiện đầu (0.25, 0.5, 0.75, 1), được đưa ra trong Hình 4.5. Kết quả mô phỏng chỉ ra rằng, với ma trận đạt được (4.38), hệ đóng là ổn định tiệm cận bền vững. 0 1 2 3 4 5t 0 0.25 0.5 0.75 1 x(t ) x11(t) x12(t) x21(t) x22(t) Hình 4.5: Một quỹ đạo trạng thái của hệ đóng với α = 0.8 và các trễ τ12(t) = 3| sin(4pit)|, τ21(t) = 3| cos(4pit)| 4.3. Kết luận chương 4 Nội dung của chương này là trình bày các kết quả nghiên cứu của chúng tôi về bài toán thiết kế điều khiển phản hồi phân quyền ổn định hóa một số lớp hệ dương bậc phân số dạng kết nối. Các kết quả đạt được bao gồm: 1. Đưa ra các điều kiện cần và đủ để đảm bảo lớp hệ được xét là hệ dương. 82 2. Thiết lập các điều kiện cần và đủ thông qua bài toán quy hoạch tuyến tính cho tính ổn định, ổn định bền vững của hệ đóng. 3. Tìm được các biểu thức thiết kế điều khiển phản hồi phân quyền đảm bảo hệ đóng tương ứng là hệ dương và ổn định tiệm cận toàn cục. 83 KẾT LUẬN CHUNG Luận án nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm đối với một số lớp hệ phương trình vi phân bậc phân số trong không gian hữu hạn và vô hạn chiều. Cụ thể, luận án nghiên cứu ba vấn đề sau: (1) Tính đồng bộ và đánh giá tốc độ hội tụ của lớp mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ mô tả bởi hệ phương trình vi phân bậc phân số không dừng; (2) sự tồn tại nghiệm và nghiệm hút toàn cục đối với các bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev trong không gian Banach vô hạn chiều; và (3) tính ổn định và ổn định hóa bằng điều khiển phân quyền đối với một số lớp hệ dương bậc phân số dạng kết nối. Các kết quả đạt được Luận án đã đạt được các kết quả sau đây: 1. Thiết lập được các điều kiện đảm bảo tính đồng bộ toàn cục với tốc độ lũy thừa cho lớp hệ phương trình vi phân bậc phân số với hệ số biến thiên mô tả mô hình mạng nơron có trễ tỉ lệ. 2. Chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân trên các đoạn compact và sự tồn tại nghiệm hút toàn cục cho một lớp các bao hàm thức vi phân bậc phân số chứa xung với điều kiện đầu không cục bộ. 3. Đưa ra các điều kiện cần và đủ cho tính ổn định, ổn định hóa bằng điều khiển phân quyền đối với hai lớp hệ dương bậc phân số dạng kết nối có trễ và không có trễ. Các điều kiện ổn định và ổn định hóa đó được thiết lập thông qua các bài toán quy hoạch tuyến tính. Một số vấn đề nghiên cứu tiếp theo Bên cạnh các kết quả đạt được trong luận án, một số vấn đề mở liên quan cần được tiếp tục nghiên cứu như: 84 • Tính đồng bộ của mạng nơron khuếch tán có trễ mô tả bởi hệ phương trình vi phân bậc phân số. • Phát triển một số bài toán quan trọng trong lý thuyết điều khiển hệ thống như bài toán thiết kế điều khiển phản hồi theo đầu ra, điều khiển H∞, thiết kế bộ lọc, bộ quan sát v.v... đối với hệ điều khiển mô tả bởi các phương trình vi phân bậc phân số. 85 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [1] C.T. Kinh, L.V. Hien, T.D. Ke, Power-rate synchronization of fractional- order nonautonomous neural networks with heterogeneous proportional de- lays, Neural Processing Letters 47 (2018) 139–151. (SCIE) [2] Van Hien LE, Dinh Ke TRAN, Trong Kinh CHU, Globally attracting so- lutions to impulsive fractional differential inclusions of Sobolev type, Acta Mathematica Scientia 37 (2017) 1295–1318. (SCIE) [3] Le Van Hien, Chu Trong Kinh, Decentralised stabilization of positive fractional- order interconnected systems, IET Control Theory and Applications 11 (2017) 2391–2395. (SCI) [4] Le Van Hien and Chu Trong Kinh, Robust control of positive fractional- order interconnected systems with heterogeneous delays, Asian Journal of Control (2018). Doi: 10.1002/asjc.1739. (SCIE) 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskii, A.S. Potapov, A.E. Rodkina, B.N. Sadovskii, Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkha¨user, Boston, 1992. [2] N.T. Anh, T.D. Ke, Decay integral solutions for neutral fractional differ- ential equations with infinite delays, Math. Method. Appl. Sci. 38 (2015) 1601–1622. [3] J.P. Aubin, A. Cellina, Differential Inclusions: Set-Valued Maps and Via- bility Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1984. [4] L. Bakule, Decentralized control: An overview, Ann. Review. Control 32 (2008) 87–98. [5] K. Balachandran, V. Govindaraj, L.R. Germá, J.J. Trujillo, Stabilizability of fractional dynamical systems, Fract. Calc. Appl. Anal. 17 (2014) 511–531. [6] P. Baldi, A.F. Atiya, How delays affect neural dynamics and learning IEEE Trans. Neural Netw. 5 (1995) 612–621. [7] G. Barenblat, J. Zheltor, I. Kochiva, Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks, J. Appl. Math. Mech. 24 (1960) 1286–1303. [8] A. Berman, R.J. Plemmons, Nonnegative Matrices in the Mathematical Sci- ences, SIAM, Philadelphia, 1994. [9] D. Bothe, Multivalued perturbations of m-accretive differential inclusions, Israel J. Math. 108 (1998) 109–138. [10] S. Boyd, L.E. Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia, 1994. [11] T.A. Burton, Stability by Fixed Point Theory for Functional Differential Equations, Dover Publications, New York, 2006. 87 [12] T.A. Burton, T. Furumochi, Fixed points and problems in stability theory for ordinary and functional differential equations,Dyn. Syst. Appl. 10 (2001) 89–116. [13] L. Byszewski, Theorems about the existence and uniqueness of solutions of a semilinear evolution nonlocal Cauchy problem, J. Math. Anal. Appl. 162 (1991) 494–505. [14] N.A. Camacho, M.D. Mermoud, J.A. Gallegos, Lyapunov functions for frac- tional order systems, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 19 (2014) 2951–2957. [15] R. Caponetto, G. Dongola, L. Fortuna, I. Petrás, Fractional Order Systems: Modeling and Control Applications, World Scientific, Singapore, 2010. [16] A.N. Carvalho, J.A. Langa, J.C. Robinson, Attractors for Infinite- Dimensional Non-Autonomous Dynamical Systems, Springer, New York, 2013. [17] B. Chen, J. Chen, Global O(t−α) stability and global asymptotical periodic- ity for a non-autonomous fractional-order neural networks with time-varying delays, Neural Netw. 73 (2016) 47–57. [18] J. Chen, Z. Zeng, P. Jiang, Global Mittag-Leffler stability and synchroniza- tion of memristor-based fractional-order neural networks, Neural Netw. 51 (2014) 1–8. [19] Y.Chen, S. Fei, Y. Li, Robust stabilization for uncertain saturated time- delay systems: A distributed-delay-dependent polytopic approach, IEEE Trans. Autom. Control 62 (2017) 3455–3460. [20] N.M. Chuong, T.D. Ke, Generalized Cauchy problems involving nonlocal and impulsive conditions, J. Evol. Equ. 12 (2012) 367–392. [21] K. Deimling, Multivalued Differential Equations, de Gruyter, Berlin, 1992. [22] J. Diestel, W.M. Ruess, W. Schachermayer, Weak compactness in Ll(µ,X), Proc. Amer. Math. Soc. 118 (1993) 447–453. [23] I. Ekeland, R. Temam, Convex Analysis and Variational Problems, SIAM, Philadelphia, PA, 1999. [24] K.J. Engel, R. Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer-Verlag, New York, 2000. 88 [25] M. Feckan, J.R. Wang, Y. Zhou, Controllability of factional functional evo- lution equations of Sobolev type via characteristic solution operators, J. Optim. Theory Appl. 156 (2013) 79–95. [26] A. F. Filippov, Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1988. [27] M. Gong, J. Zhao, J. Liu, Q. Miao, J. Jiao, Change detection in synthesis aperture radar images based on deep neural networks, IEEE Trans. Neural Netw. Learn. Syst. 27 (2016) 125–138. [28] R. Gorenflo, A.A. Kilbas, F. Mainardi, S.V. Rogosin, Mittag-Leffler Func- tions, Related Topics and Applications, Springer-Verlag, Berlin, 2014. [29] G.M. N’Guérékata, A Cauchy problem for some fractional abstract differen- tial equation with nonlocal conditions,Nonlinear Anal. 70 (2009) 1873–1876. [30] L.V. Hien, D.T. Son, H. Trinh, On global dissipativity of nonautonomous neural networks with multiple proportional delays, IEEE Trans. Neural Netw. Learn. Syst. 27 (2018) 225–231. [31] L.V. Hien, H. Trinh, New finite-sum inequalities with applications to sta- bility of discrete time-delay systems, Automatica 71 (2016) 197–201. [32] R. Hilfer, Applications of Fractional Calculus in Physics, World Scientific, Singapore, 2000. [33] J.B. Hu, G.P. Lu, S.B. Zhang, L.D. Zhao, Lyapunov stability theorem about fractional system without and with delay, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 20 (2015) 905–913. [34] L. Hu, Y. Ren, R. Sakthivel, Existence and uniqueness of mild solutions for semilinear integro-differential equations of fractional order with nonlocal conditions, Semigroup Forum 79 (2009) 507–514. [35] S. Ji, S. Wen, Nonlocal Cauchy problem for impulsive differential equations in Banach spaces, Int. J. Nonlinear Sci. 10 (2010) 88–95. [36] T. Kaczorek, Necessary and sufficient stability conditions of fractional pos- itive continuous-time linear systems, Acta Mech. Autom. 5 (2011) 52–54. [37] T. Kaczorek, Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer- Verlag, Berlin, 2011. [38] T. Kacrozek, K. Rogowski, Fractional Linear Systems and Electrical Cir- cuits, Springer, Switzerland, 2015. 89 [39] M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca, Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, de Gruyter, Berlin, 2001. [40] T.D. Ke, D. Lan, Decay integral solutions for a class of impulsive fractional differential equations in Banach spaces, Fract. Calc. Appl. Anal. 17 (2014) 96–121. [41] T.D. Ke, N.V. Loi, V. Obukhovskii, P. Zecca, Topological methods for some classes of differential variational inequalities, J. Nonlinear Convex Anal. 17 (2016) 403–419. [42] A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applications of Frac- tional Differential Equations, Elsevier, Amsterdam, 2006. [43] A.W. Knapp, Basic Real Analysis, Birkha¨user, Berlin, 2005. [44] S. Kumar, N. Sukavanam, Approximate controllability of fractional order semilinear systems with bounded delay, J. Differ. Equ. 252 (2012) 6163– 6174. [45] V. Lakshmikantham, D.D. Bainov, P. S. Simeonov, Theory of Impulsive Differential Equations, World Scientific Publishing Co. Inc., Teaneck, NJ, 1989. [46] C.P. Li, F.R. Zhang, A survey on the stability of fractional differential equations, Eur. Phys. J. 193 (2011) 27–47. [47] J. Li, J.G. Lu, Y.Q. Chen, Robust decentralized control of perturbed fractional-order linear interconnected systems, Comput. Math. Appl. 66 (2013) 844–859. [48] X.G. Li, S.-I. Niculescu, A. Céla, L. Zhang, X. Li, A frequency-sweeping framework for stability analysis of time-delay systems, IEEE Trans. Autom. Control 62 (2017) 3701–3716. [49] Y. Li, Y.Q. Chen, I. Podlubny, Mittag-Leffler stability of fractional order nonlinear dynamic systems, Automatica 45 (2009) 1965–1969. [50] Y. Li, Y.Q. Chen, I. Podlubny, Stability of fractional-order non linear dy- namic systems: Lyapunov direct method and generalized Mittag-Leffler sta- bility, Comput. Math. Appl. 59 (2010) 1810–1821. [51] J. Lin, Robust resilient controllers synthesis for uncertain fractional-order large-scale interconnected system, J. Frankl. Inst. 351 (2014) 1630–1643. 90 [52] H. Liu, J.C. Chang, Existence for a class of partial differential equations with nonlocal conditions, Nonlinear Anal. 70 (2009) 3076–3083. [53] J.G. Lu, Y.A. Zhao, Decentralised robust H∞ control of fractional-order interconnected systems with uncertainties, Int. J. Control 90 (2017) 1221– 1229. [54] K. S. Miller, B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Frac- tional Differential Equations, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1993. [55] K.S. Miller, S. Samko, A note on the complete monotonicity of the gener- alized Mittag–Leffler function, Real Anal. Exchange, 23 (1999) 753–756. [56] C. Modi, D. Patel, B. Borisaniya, H. Patel, A. Patel, M. Rajarajan, A survey of intrusion detection techniques in Cloud, J. Netw. Comput. Appl. 36 (2013) 42–57. [57] J.S. Pang, D.E. Stewart, Differential variational inequalities, Math. Pro- gram. Ser. A 113 (2008) 345–424. [58] A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Dif- ferential Equations, Springer-Verlag, New York, 1983. [59] T.N. Pham, S. Nahavandi, L.V. Hien, H. Trinh, K.P. Wong, Static output feedback frequency stabilization of time-delay power systems with coordi- nated electric vehicles state of charge control, IEEE Trans. Power Syst. 32 (2017) 3862–3874. [60] T.N. Pham, H. Trinh, L.V. Hien, Load frequency control of power systems ưith electric vehicles and diverse transmission links using distributed func- tional observers, IEEE Trans. Smart Grid 7 (2016) 2238–252. [61] I. Podlubny, Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego, 1999. [62] A.M. Samoilenko, N.A. Perestyuk, Impulsive Differential Equations, World Scientific, Singapore, 1995. [63] T.I. Seidman, Invariance of the reachable set under nonlinear perturbations, SIAM J. Control Optim. 25 (1987) 1173–1191. [64] J. Shen, J. Lam, Stability and performance analysis for positive fractional- order systems with time-varying delays, IEEE Trans. Autom. Control 61 (2016) 2676–2681. 91 [65] R. Sipahi, S.-I. Niculescu, C.T. Abdallah, W. Michiels, K. Gu, Stability and stabilization of systems with time delay: Limitations and opportunities, IEEE Control Syst. Magaz. 31 (2011) 38–65. [66] A. Tolstonogov,Differential Inclusions in a Banach Space, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000. [67] G. Velmurugan, R. Rakkiyappan, Hybrid projective synchronization of fractional-order memristor- based neural networks with time delays, Non- linear Dyn. 83 (2016) 419–432. [68] P. Venketesh, R. Venkatesan, A survey on applications of neural networks and evolutionary techniques in web caching, IETE Tech. Rev. 26 (2009) 171–180. [69] H. Wang, Y. Yu, G. Wen, S. Zhang, J. Yu, Global stability analysis of fractional-order Hopfield neural networks with time delay, Neurocomputing 154 (2015) 15–23. [70] J. Wang, Y. Zhou, Complete controllability of fractional evolution systems, Commun. Nonlinear. Sci. Numer. Simul. 17 (2012) 4346–4355. [71] J. Wang, Y. Zhou, Existence and controllability results for fractional semi- linear differential inclusions, Nonlinear Anal. RWA 12 (2011) 3642–3653. [72] J.R. Wang, M. Feckan, Y. Zhou, On the new concept of solutions and exis- tence results for impulsive fractional evolution equations, Dyn. Partial Diff. Equ. 8 (2011) 345–361. [73] R.N. Wang, D.H. Chena, T.J. Xiao, Abstract fractional Cauchy problems with almost sectorial operators, J. Diff. Equ. 252 (2012) 202–235. [74] Z. Wang, D. Yang, T. Ma, N. Sun, Stability analysis for nonlinear fractional- order systems based on comparison principle, Nonlinear Dyn. 75 (2014) 387–402. [75] E. Witrant, E. Fridman, O. Sename, L. Dugard (Eds.), Recent Results on Time-Delay Systems: Analysis and Control, Springer, Basel, 2016. [76] A. Wu, Z. Zeng, X. Song, Global Mittag-Leffler stabilization of fractional- order bidirectional associative memory neural networks, Neurocomputing 177 (2016) 489–496. 92 [77] Z. Yang, J. Cao, Initial value problems for arbitrary order fractional equa- tions with delay, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 18 (2013) 2993– 3005. [78] L. Ying, G. Dullerud, R. Srikant, Global stability of internet congestion controllers with heterogeneous delays, IEEE Trans. Netw. 14 (2006) 579– 591. [79] H. Zhang, Z. Wang, and D. Liu, A comprehensive review of stability analysis of continuous-time recurrent neural networks, IEEE Trans. Neural Netw. Learn. Syst. 25 (2014) 1229–1262. [80] L. Zhou, Delay-dependent exponential stability of cellular neural networks with multi-proportional delays, Neural Process. Lett. 38 (2013) 347–359. [81] L. Zhou, Global asymptotic stability of cellular neural networks with pro- portional delays, Nonlinear Dyn. 77 (2014) 41–47. [82] Y. Zhou, F. Jiao, Existence of mild solutions for fractional neutral evolution equations, Comp. Math. Appl. 59 (2010) 1063–1077. [83] Y. Zhou, F. Jiao, Nonlocal Cauchy problem for fractional evolution equa- tions, Nonlinear Anal. RWA 11 (2010) 4465–4475. [84] T. Zhu, C. Song, G. Li, Existence of mild solutions for abstract semilinear evolution equations in Banach spaces, Nonlinear Anal. 75 (2012) 177–181. 93