Báo cáo Phương pháp đại số giải phương trình Schrodinger cho nguyên tử hydro trong từ trường với cường độ bất kỳ

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HCM KHOA VẬT LÝ BÁO CÁO TỔNG KẾT Đề tài nghiên cứu khoa học và công nghệ cấp cơ sở PHƢƠNG PHÁP ĐẠI SỐ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƢỜNG VỚI CƢỜNG ĐỘ BẤT KỲ Mã số: CS.2004.23.59 Chủ nhiệm đề tài: TSKH. Lê Văn Hoàng Bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý, ĐHSP tp.. HCM Công tác viên: Lê Trần Thế Duy Khoa Vật lý: ĐHSP tp. HCM Thời gian thực hiện: tháng 5 năm 2003 đến tháng 5 năm 2004 2 Algebraic method for solving the Schrodinger equation of Hydrogen-like atom in a magnetic field with arbitrary strength Abstract: The connection between anharmonic oscillator and two - dimensinal hydrogenic donor states in a magnetic field is established via Levi-Civita transformation that permits us to use the operator method for obtaining exact numerical solutions (energy levels and wave functions) for the last system. New analytical solution is obtained too for the ground stale by using the asymptotic behaviour of wave functio ns. We also establish the basis formulations to extend the obtained results both for the case of three dimensional Hydrogen-like atom in a magnetic field and the case of presence of screening potential. Tóm tắt: Bằng phép biến đổi Levi -Civita mối liên hệ giữa bài toán tƣơng tác điện tử lỗ trống trong từ trƣờng với dao động tử điều hòa đƣợc xây dựng. Trên cơ sở đó phƣơng pháp toán tử đƣợc áp dụng để nhận đƣợc lời giải chính xác bằng số (năng lƣợng và hàm sóng) cho bài toán này. Nghiệm giải tích cũng đƣợc xây dựng cho trạng thái cơ bản dựa vào biểu hiện t iệm cận c ủa hàm sóng. Ngoài ra chúng tôi còn xây dựng các công thức cơ bản cho việc phát triển các kết quả thu đƣợc cho trƣờng hợp có thể màn ch ắn và trong trƣờng hợp nguyên tử Hydro ba chiều trong từ trƣờng. 3 MỤC LỤC I . GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ .................................................................................................... 4 II. TRẠNG THÁI EXCITON NHƢ MÔ HÌNH NGUYÊN TỬ HYDRO ............................ 6 III . PHƢƠNG PHÁP TOÁN TỬ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER .................. 10 IV. NGHIỆM GIẢI TÍCH.................................................................................................... 18 V. TRƢỜNG HỢP CÓ TÍNH ĐẾN THẾ MÀN CHẮN ..................................................... 21 VI . PHÁT TRIỂN CHO NGUYÊN TỬ HYDRO BA CHIỀU: ......................................... 22 VII. KẾT LUẬN .................................................................................................................. 23 VIII. TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 24 4 I . GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ Nguyên tử Hydro trong từ trƣờng là vấn đề rất cơ bản trong vật lý nguyên tử nói riêng và trong cơ học lƣợng tử nói chung. Trong tất cả các sách giáo khoa về cơ học lƣợng tử, hiệu ứng Zeeman bình thƣờng hay dị thƣờng đã đƣợc nêu ra nhƣ một ví dụ kinh điển v ề bài toán chuyển động của điện tử trong trƣờng Coulomb và từ trƣờng đều [I] . Tuy nhiên các công trình nghiên cứu về vấn đề này vẫn xuất hiện đều đặn cho đến hiện nay trên các tạp chí vật lý hàng đầu của thế giới (ví dụ [2-10]). Điều này liên quan đến các phát kiến mới trong lĩnh vực vật lý học thiên thể, kỹ thuật đo đạ c quang phổ, vật lý các hệ thấp chiều, công nghệ Nano, công nghệ vật liệu mới .. . (xem bài tổng quan [11]). Các số liệu đo đạc quang phổ từ các sao lùn trắng [12], nơi mà từ trƣờng rất lớn, lên đến cờ 10 l0 testla, cần những nghiên cứu lý thuyết về chuyển động nguyên tử trong từ trƣờng cực mạnh. Việc tạo ra các hệ thấp chiều trong công nghệ vật liệu mới (khí điện từ hai chiều trong bán dẫn nhiều lớp GaAs/AIGaAs, ống carbon kích cỡ nano [13 -14]) đòi hỏi giải quyết bài toán trạng thái kích thích exiton trong trƣờng từ nhƣ một hệ hai chiểu. Đặt biệt khi mà kích cỡ cấu trúc vật chất ở mức nano thì tƣơng tác Coulomb trở nên có thể so sánh đƣợc với năng lƣợng từ trƣờng. Lúc này không thể sử dụng lý thuyết nhiễu loạn truyền thống cho bài toán này đƣợc, mặt dù không ít công trình vẫn sử dụng gần đúng trong đó trƣờng từ đƣợc xem là rất mạnh so với tƣơng tác Coulomb (ví dụ[15]). Nhu cầu về phƣơng pháp tính toán mới đáp ứng cho bài toán này vì vậy rất lớn. Công trình này có mục đích là xây dựng phƣơng pháp đại số cho các tính toán l iên quan đến bài toán nguyên tử hydro trong từ trƣờng đều với cƣờng độ bất kỳ. Phƣơng pháp đại số đƣợc xây dựng còn l iên quan đến sự phát triển của các công cụ tính toán dựa trên biểu tƣợng trong thập niên gần đây. Khởi đầu là ngôn ngữ Reduee đƣợc biên soạn cho các tính toán phức tạp và đồ sộ trong vật lý năng lƣợng cao , bƣớc phát triển tiếp theo là Mable và hiện nay, thế hệ thứ ba là Matlav và đặc biệt là Mathematica [16]. Đây là một trong ngôn ngữ lập trình bậc cao cho phép ta thiết lập các tính toán giữa các biểu thức, đặt biệt là các tính toán đồ sộ và lập đi lập lại. Matheinatica cho phép ta đ ịnh nghĩa các phép toán trên các đối tƣợng không có t ính giao hoán và vì vậy rất thuận tiện cho việc lập các quy tắc tính toán đại số. Nhƣ vậy ta 5 có thể cho máy tính làm một phần các công việc của nhà nghiên cứu chứ không đơn thuần là xử lý các số liệu bằng số cuối cùng. Đề tài cấp cơ sở này là một phần trong công trình nghiên cứu của tác giả: tự động hóa các tính toán vật lý nguyên tử (xem công trình tổng quan mới nhất của tác giả về đề tài này [17]). Với phạm vi của một đề tài cấp cơ sở, bài toán vật lý cụ thể đƣa ra giải quyết là trạng thái Exiton của khí điện tử hai chiều tạo ra trong hệ bán dẫn nhiều lớp GaAs/AlGaAs với sự có mặt của từ trƣờng đều. Cơ sở quan trọng của phƣơng pháp đại số sử dụng trong công trình này là mối liên hệ giữa bài toán nguyên tử đồng dạng Hydrô hai chiều với bài toán dao động tử điều hòa [18 -19]. Chính nhờ phép biến đổi Levi -Civita [18] mà phƣơng trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa có thể chuyển về phƣơng trình này cho nguyên tử đồng dạng Hydro hai chiều. Nhƣ vậy bài toán nguyên tử Hydro hai chiều trong từ trƣờng có thể đƣa về bài toán dao động từ phi điều hòa. Từ đây biểu diễn biến động lực qua các toán tử sinh hủy Dirac có thể đƣợc áp dụng một cách thuận t iện cho bài toán đang xét. Cân nhắc lại là với bài toán dao động tử điều hòa chúng ta có thể tìm thấy trong hầu hết các sách giáo khoa về cơ học lƣợng tử, trong đó có một phƣơng pháp giải bằng cách đƣa về dạng biểu diễn thông qua các toán tử sinh hủy mà trạng thái cơ bản chính là trạng thái chân không, còn các trạng thái kích thích ứng với tác dụng của toán tử sinh lên hàm chân không. Biểu diễn toán tử sinh hủy của bài toán Hydro trong từ trƣờng cho phép ta ứng dụng phƣơng pháp toán tử [20] để giải phƣơng trình Schrodinger. Phƣơng pháp toán tử này đƣợc xây dựng từ những năm 80 và đã chứng tỏ hiệu quả trong rất nhiều bài toán vật lý nguyên tử (xem ví dụ [21]). Các nét cơ bản của phƣơng pháp sẽ đƣợc trình bày thông qua bài toán cụ thể trong phần III của đề tài . Trong phần IV sẽ phát triển phƣơng pháp toán tử để nhận đƣợc nghiệm giải tích cho bài toán với độ chính xác ổn định trong toàn miền biến đồi từ trƣờ ng. Phần V và phần VI dành để trình bày các bƣớc cơ bản để sử dụng kết quả thu đƣợc cho trƣờng hợp có t ính đến thế màn chắn và để phát triển cho trƣờng hợp ba chiều. Phần kết luận dành để trình bày các kết quả thu đƣợc và nêu hƣớng phát triển của đề tài. 6 II. TRẠNG THÁI EXCITON NHƢ MÔ HÌNH NGUYÊN TỬ HYDRO Một trong những hƣớng nghiên cứu quan trọng trong việc chế tạo vật liệu mới với các t ính chất định sẵn là vấn đề tạo ra các hệ thấp chiều. Trong mối liên quan đó, bài toán chuyển động của khí điện tử trong cấu trúc tinh thể hai chiều đƣợc nghiên cứu rộng rãi ở những năm gần đây [7 -10, 22-24]. Trong các nghiên cứu này, đƣợc sử dụng nhiều nhất là loại tinh thể nhiều lớp bán dẫn, trong đó vùng chứa GaAs hoạt động nhƣ là hố thế năng trong khi vùng AlxGax-1As (x 045) đóng vai trò các bức tƣờng thế. Những thành tựu mới trong kỹ thuật cấy t inh thể hiện nay cho phép tạo ra các lớp bán dẫn GaAs rất mỏng, đủ để khí điện tử chuyển động trong hố thế có thể đƣợc mô tả với giới hạn hai chiều [8]. Nhiều hiện tƣợng v ật lý mới liên tục đƣợc phát hiện liên quan đến chuyển động của khí điện tử hai chiều trong từ trƣờng [23-24]. Vì vậy một trong những bài toán đƣợc quan tâm rất nhiều cho đến hiện nay và có ứng dụng thực tiễn là chuyển động khí điện tử hai chiều trên mặt phẳng x-y, trong đó điện tử dẫn tƣơng tác Coulomb với lỗ trống, trong từ trƣờng với véctơ cƣờng độ hƣớng theo chiều z. Phƣơng trình Schrodinger : Bỏ qua tƣơng tác giữa các điện tử, phƣơng trình Schrodinger cho trạng thái liên kết điện tử -lỗ trống trong từ trƣờng đƣợc viết nhƣ sau: H (r) E (r)     (1)   2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 H iy x x y 2 x y 2 y x 8 r                          (2) trong hệ đơn vị nguyên tử. Ký hiệu m* , lần lƣợt là khối lƣợng hiệu dụng của điện tử và hằng số điện môi, khi đó đơn vị năng lƣợng sẽ làhằng số Rydberg hiệu dụng R* = m* e 4 / 2h22 , đơn vị độ dài là bán kính Bohr hiệu dụng a* = h2 / e2m*. Cƣờng độ từ trƣờng không thứ nguyên đƣợc xác định bằng biểu thức  = hc/2R* , t rong đó c= B/m*c là tần số chuyển động xoáy ốc với B là cƣờng độ từ trƣờng,. Để đánh giá độ lớn tƣơng đối của từ trƣờng so với tƣơng tác Coulomb ta đƣa ra phép so sánh nhƣ sau. Thang năng lƣợng từ trƣờng đƣợc đặc trƣng bởi giá trị hc = heB/ m*c trong khi thang năng lƣợng tƣơng tác Coulomb đƣợc đặc trƣng bởi hằng số Rydberg hiệu dụng 7 R* . Nhƣ vậy hệ số so sánh giữa hai thang năng lƣợng là  = hc /2R* . Từ đây ta có thể gọi từ trƣờng yếu ứng với giá trị  > 1. Trong phần lớn các thí nghiệm với việc sử dụng chất bán dẫn GaAs/AlxGa1-x As và từ trƣờng ở điều kiện phòng thí nghiệm thì hai thang năng lƣợng sẽ nằm trong vùng so sánh đƣợc với nhau. Nói khác hơn, ngay từ đầu cho đến bây giờ đối tƣợng đang đƣợc nghiên cứu rộng rãi [7-10] là trƣờng hợp trƣờng có giá trị trung bình  l. Nhƣ vậy, để mô tả các thí nghiệm thực tế, xuất hiện nhu cầu giải phƣơng trình Schrodinger (l)-(2) cho miền biến đổi giá trị  rộng hơn, không chỉ giới hạn trong miền từ trƣờng yếu. Rõ ràng là các phƣơng pháp truyền thống trên cơ sở sử dụng lý thuyết nhiễu loạn khó có thể sử dụng trực tiếp. Thời gian gần đây, nhiều tác giả quan tâm đến việc giải phƣơng trình (l) -(2) cho toàn miền biến đổi cƣờng độ từ trƣờng bằng các phƣơng pháp khác nhau. Trong số đó cần kể đến là phƣơng pháp biến phân, phƣơng pháp phân tích theo chuỗi 1 /N với N là số chiều của không gian, phƣơng pháp đánh giá xấp xỉ hai điểm Pade [7-10]. Tuy nhiên, theo quan điểm của tác giả thì vấn đề này còn cần đƣợc nghiên cứu triệt để hơn nữa. Vì vậy, trong công trình này ở phần III chúng tôi sẽ đƣa ra lời giải chính xác phƣơng trình (l)-(2) bằng phƣơng pháp toán tử (OM). Phƣơng pháp này đƣợc đƣa ra đầu tiên trong công trình [20] nhƣ là một phƣơng pháp không nhiễu loạn giải phƣơng trình Schrodinger, cho phép xét các bài toán cơ học lƣợng tử với cƣờng độ trƣờng ngoài có giá trị bất kỳ và đã đƣợc sử dụng hiệu quả cho một loạt các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau của lý thuyết nguyên tử, vật lý chất rắn, lý thuyết trƣờng lƣợng tử (xem bài viết tổng quan [21]). Việc sử dụng phƣơng pháp toán tử giải phƣơng trình (l)-(2) còn chỉ ra một thế mạnh nữa. Đó là phƣơng pháp này không những cho phép tìm giá trị năng lƣợng mà còn có thể xây dựng hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số từ trƣờng. Mối liên hệ với bài toán dao động tử phi điều hòa hai chiều . Bài toán (I)-(2) sẽ trở thành đơn giản hơn nhiều qua cách biếu diễn mới, đƣợc đƣa ra trong công trình [19]. 8 Thật vậy, qua phép biến đổi Levi -Civita [18]: 𝑥 = 𝑢2 − 𝑣2 𝑦 = 2𝑢𝑣 (3) Ta có dxdy=4(u 2 + v 2 )dudv, r= 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑢2 + 𝑣2. Từ đây suy ra tích vô hƣớng vectơ trạng thái trong không gian (x,y) liên quan đến tích vô hƣớng vectơ trạng thái trong không gian (u,v) thông qua biểu thức liên hệ sau: 𝜓 𝑥, 𝑦 |𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝜓 𝑥, 𝑦 𝜑 𝑥, 𝑦 = 𝑑𝑢𝑑𝑣4(𝑢2 + 𝑣2)𝜓(𝑢,𝑣)𝜑(𝑢, 𝑣) (4) Sự xuất hiện trọng số 4(u 2 + v2) trong (4) dẫn đến hệ quả: nếu  là toán tử hermit trong không gian (x,y) thì sẽ tƣơng ứng với à = 4(u 2 + v2)  là toán tử hermite trong không gian (u,v). Nhƣ vậy, để bảo toàn tính hermit của Hamiltonian khi chuyển về không gian (u,v), phƣơng trình ( 1 ) cần viết lại nhƣ sau: 𝑟 𝐻 − 𝐸 𝜓 𝑟 = 0 Sau phép biến đổi Levi -Civita, phƣơng trình này có dạng: 𝐻 𝜓 𝑢, 𝑣 = 𝜓(𝑢, 𝑣) (5) với Hamiltonian 𝐻 = − 1 8 𝛿2 𝛿𝑢2 + 𝛿2 𝛿𝑣2 − 𝐸 + 𝛾 2 𝐿2 𝑢 2 + 𝑣2 + 𝛾 8 (𝑢2 + 𝑣2)3 (6) hermit trong không gian (u,v). Dễ dàng nhận thấy (6) có dạng toán tử Hamilton cho bài toán dao dộng tử phi điều hòa trong không gian hai chiều (uv). Nhƣ vậy từ bài toán chuyển động của điện tử trong điện từ trƣờng phức tạp ta đã đƣa về bài toán đơn giản và đƣợc nghiên cứu nhiều trong cơ học lƣợng tử. Trong phƣơng trình (5) -(6), năng lƣợng E chỉ đóng vai trò tham số. Vì vậy để có 9 dạng phƣơng trình tìm trị riêng ta viết lại (5) nhƣ sau : 𝑯 𝝍 𝒖,𝒗 = 𝒁 𝝍 (𝒖,𝒗) (5) với Z đóng vai trò trị riêng của phƣơng trình Schrodinger (5’)-(6). Sau khi giải phƣơng trình này ta tìm đƣợc Z nhƣ một hàm phụ thuộc vào tham số E. Vì giá trị của Z luôn bằng đơn vị nên phƣơng trình: Z(E) = 1 (7) cho ta nghiệm chính xác E Để tìm nghiệm hoàn chỉnh của một phƣơng trình động học chúng ta cần xác định các bất biến của hệ. Trong trƣờng hợp phƣơng trình (5') ta dễ dàng kiểm chứng rằng toán tử hình chiếu mô men xung lƣợng lên trục z: 𝑳 𝒛 giao hoán với Hamiltonian (6). Điều này tƣơng ứng với việc hình chiếu mô-men quỹ đạo là đại lƣợng bảo toàn với chuyển động trong trƣờng Coulomb và trƣờng từ. Nhƣ vậy hàm sóng cần tìm thỏa mãn phƣơng trình. 𝑳 𝒛𝚿 𝒖,𝒗 = 𝒎𝚿(𝒖,𝒗) (8) Với 𝑳 𝒛 = 𝒖 𝝏 𝝏𝒗 − 𝒗 𝝏 𝝏𝒖 đƣợc viết trong không gian (u,v) và trị giá riêng của nó sẽ tìm đƣợc các phần tiếp theo nhƣ sau: m = 0 ± 1, ± 2, Dựa vào đây, chúng ta sẽ giải phƣơng trình ( 5 * ) cùng với điều kiện (8). Ngoài ra, chúng ta có thể thay thế toán tử Lz bằng trị riêng của nó trong các phƣơng trình tƣơng ứng. 10 III . PHƢƠNG PHÁP TOÁN TỬ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER Phƣơng pháp luận : Nhìn chung (5)-(6) là dạng phƣơng trình Schrodinger cho chuyển động điện tử trong trƣờng Coulomb và trƣờng từ, Hamiltonian có thể viết dƣới dạng tổng quát sau: 𝐻 = 𝑇 + 𝑉 𝐶 + 𝑉 𝑀 Trƣờng hợp trƣờng từ yếu <<1 dựa vào lý thuyết nhiễu loạn ngƣời ta chọn 𝐻 𝑜 = 𝑇 + 𝑉 𝐶 Còn tƣơng tác từ trƣờng 𝑉 𝑀 có thể xem nhƣ nhiễu loạn. Vì bài toán chuyển động trong trƣờng Coulomb có nghiệm chính xác ta có thể tìm nghiệm riêng của 𝐻 𝑜 và sau đó dung lý thuyế t nhiễu loạn để tính các bổ chỉnh bậc cao. Tƣơng tự nhƣ vậy, trong trƣờng hợp từ trƣờng mạnh 𝛾 ≫ 1 ngƣời ta chọn 𝐻 𝑜 = 𝑇 + 𝑉 𝑀 còn nhiễu loạn sẽ là 𝑉 𝐶. Trƣờng hợp khó nhất là khi từ trƣờng không mạnh cũng không yếu 𝛾 ≈ 1. Lúc này phƣơng pháp chủ yếu là biến phân và vì phƣơng pháp này chỉ hiệu quả cho trạng thái cơ bản cho nên để sử dụng cho các trạng thái kích thích thấp cũng đòi hỏi những cải tiến đáng kể [8 -10]. Ý tƣởng chủ yếu của phƣơng pháp toán tử là làm sao tách Hamiltonian thành hai phần: 𝐻 = 𝐻 𝑜 + 𝑉 I Sao cho: 1) 𝐻 𝑜 chứa một phần tƣơng tác Coulomb và một phần tƣơng tác từ . (2) 𝐻 𝑜 có trị riêng chính xác. (3) 𝑉 “đủ nhỏ” để có thể xem nhƣ là nhiễu loạn vớ i mọi giá tr ị 𝛾. Chúng ta sẽ thực hiện các ý tƣởng trên qua việc giải phƣơng trình (5') - (6) bằng phƣơng pháp toán tử. Ta cần thực hiện các bƣớc sau. Bƣớc một : Trƣớc hết chúng ta chuyển phƣơng trình (5') -(6) từ biểu diễn tọa độ (u,v) qua biểu diễn bằng các toán tử sinh hủy. Các toán tử này đƣợc định nghĩa bằng các 11 biểu thức: trong đó tọa độ phức đƣợc định nghĩa 𝜉 = 𝑢 + 𝑖𝑣. 𝜉′ = 𝑢 − 𝑖𝑣. Dễ dàng kiểm chứng các toán tử sinh hủy (9) thỏa mãn hệ thức giao hoán (các giao hoán tử khác bằng không). Kh i định nghĩa các toán tử sinh hủy (9) chúng ta đƣa vào một tham số tự do 𝜔 (𝜔 > 0). Tham số này tạm thời chƣa xác định và chúng ta sẽ thấy ở phần tiếp theo rằng việc đƣa tham số tự do này vào sơ đồ OM là để tối ƣu hóa tốc độ hội tụ của quá trình t ính toán. Sau phép biến đổi (9), phƣơng trình (5 ’)-(6) có dạng Bƣớc hai: Ta tách Hamiltonia ở phƣơng trình (11) thành hai thành phần nhƣ sau: 𝐻 = 𝐻 𝑜 + 𝛽𝑉 Trong đó Hamiltonian 𝐻 𝑜 chỉ chứa thành phần giao hoán với các toán tử 𝑎 +𝑎 và 𝑏 +𝑏 Còn 𝑉 = 𝐻 − 𝐻 𝑜 có thể xem nhƣ toán tử "nhiễu loạn". Nghiệm gần đúng bậc zero của phƣơng trình ( 1 1 ) chính là nghiệm riêng chính xác của toán tử 𝐻 𝑜 , còn các bổ 12 chính bậc cao hơn ta có thể t ính theo chuỗi của toán tử 𝛽𝑉 dựa vào lý thuyế t nhiễu loạn. Thừa số 𝛽 đƣa vào trƣớc toán tử 𝑉 trong (12) để chỉ rằng toán tử này "nhỏ" hơn toán tử 𝐻 𝑜 một bậc; ta gọ i là tham số nhiễu loạn và trong kết quả cuối cùng ta sẽ cho 𝛽 = 1. Chúng ta có thể chọn tham số 0) sao cho đƣợc thỏa mãn, đây chính là điều kiện để phƣơng pháp lý thuyế t nhiễu loạn có thể sử dụng hiệu quả. Nghĩa là tham số tự do 𝜔 đƣợc chọn sao cho việc tách Hamiltonian ra hai thành phần nhƣ (12) là có ý nghĩa. Bƣớc ba: Tìm nghiệm gần đúng bậc zero bằng cách giảiphƣơng trình 𝐻𝑜 |𝜓 (𝑜) = 𝑍𝑜 |𝜓(𝑜) (14) Dễ dàng nhận thấy rằng nghiệm riêng của 𝐻 𝑜 cũng là nghiệm riêng của các toán tử 𝑎 +𝑎 và 𝑏 +𝑏 . Hay nói khác hơn nghiệm của (14) là hàm song của dao động từ điều hòa hai chiều với các véc tơ trạng thái có dạng chuẩn hóa nhƣ sau: |𝑛1𝑛2 = 1 𝑛1!𝑛2! 𝑎 + 𝑛1 𝑎 + 𝑛1 𝑏 + 𝑛2 |0(𝜔) (15) Ở đây n1 , n2 là hai số nguyên không âm, còn trạng thái chân không đƣợc xác định bởi các phƣơng trình: 𝑎 𝜔 | 0 (𝜔) = 0, 𝑏 𝜔 | 0 (𝜔) = 0. (16) Chú ý rằng hệ đang xét bảo toàn hình chiếu mô men quỹ đạo, nghĩa là cần đòi hỏi (15) thỏa mãn phƣơng trình (8). Mà phƣơng trình này khi chuyển về biểu diễn toán tử có dạng nhƣ sau: 𝑎 +𝑎 − 𝑏 +𝑏 | = 2𝑚|𝜓 cho nên dễ dàng nhận thấy rằng chỉ có các trạng thái |𝑛(𝑚) = 1 𝑛−𝑚 !(𝑛+𝑚) 𝑎 + 𝑛−𝑚 𝑏 + 𝑛+𝑚 |0(𝜔) (17) 13 Thỏa mãn yêu cầu của chúng ta với n = 0, 1, 2 là số lƣợng từ chính và là số lƣợng tử từ - n ≤ m ≤ n. Để sử dụng trong các tính toán cụ thể ta có thể chứng minh các công thức sau: Dựa vào các hệ thức giao hoán (10) và các phƣơng trình định nghĩa trạng thái chân không (16). Thế vec tơ trạng thái (17) vào (11) đồng thời bỏ các thành phần không giao hoán với toán tử trung hòa trong phƣơng trình (11), từ điều kiện 𝑍(𝑜) 𝐸𝑛𝑚 (0) = 1 ta thu đƣợc biểu thức để xác định năng lƣợng riêng tƣơng ứng: Tham số 𝜔 trong biểu thức năng lƣợng có thể xác định từ điều kiện: 𝜕𝐸𝑛𝑚 (0) |𝜕𝜔 = 0 (20) Tiêu chí để chọn giá trị 𝜔 theo phƣơng pháp toán tử đã đƣợc thảo luận trong một loạt các công trình (xem [25] và đã chỉ ra rằng điều kiện (2) cho ta kết quả tƣơng đối chính xác ở gần đúng bậc zero đối với nhiều bài toán khác nhau. Với bài toán chúng ta đang xét, điều kiện (2) dẫn tới phƣơng trình để xác định 𝜔 nhƣ sau: Phƣơng trình (21) có một nghiệm thực dƣơng. Thế nghiệm thực dƣơng này vào (19) ta có thể tìm đƣợc nghiệm giải tích gần đúng cho bài toán đang xét. Để minh họa cho sự hính xác lời giải ở gần đúng bậc thấp của OM, trong bảng 1 đƣa ra kết quả 𝐸𝑛𝑚 𝑜 𝛾 + ∆𝐸𝑛𝑚 2 (𝛾) và so sánh với lời giải chính xác OM cho trạng thái cơ bản và một vài trạng thái kích thích. Ở đây ta ký hiệu các mức năng lƣợng nhƣ sau: ns - ứng với m=0, np+  m = 1; np-  m = 2; nd -  m = -2; Đối với các trạng 14 thái kích thích bậc cao và với trƣờng hợp từ trƣờng cực mạnh, điều kiện chọn tham số 03 theo (20) cho kết quả bậc zero OM tƣơng đối không đƣợc chính xác. Lúc này ta có thể sử dụng điều kiện hội tụ chuỗi gần đúng nhiễu loạn |𝑬𝒏𝒎 (𝒐) | >> |𝑬𝒏𝒎 (𝒐) | (22) để xác định tham số 𝝎. Ở đây ∆𝑬𝒏𝒎 (𝟐) = 𝟐𝝎 𝟐𝒏+𝟏 𝑯 𝒏𝒌 𝟐+𝒙 𝒌= 𝒎 𝒌≠𝒏 /𝑯 𝒌𝒌 là bố chính bậc hai vào năng lƣợng (bố chính bậc một ∆𝑬𝒏𝒎 (𝟏) = 0 ) với các yếu tố ma trận đƣợc đƣa ra trong công thức (26). Bảng 1: So sánh năng lượng gần đúng bậc hai OM với giá trị chính xác Cần chú ý là trong biểu thức của các yếu tố ma trận (26) có chứa số hạng năng lƣợng vì vậy ta cần thay các số hạng này bằng giá trị năng lƣợng ở gần đúng bậc zero (19). Điều kiện (22) nâng cao đáng kể độ chính xác của kết quả. Cũng trong bảng 1 ta thấy rằng: trong miền từ trƣờng yếu và trung bình kết quả thu đƣợc bằng OM ở gần đúng bậc hai rất chính xác tuy nhiên với cƣờng độ từ trƣờng cực lớn độ chính xác này giảm đi đáng kể. Trong khi đó phƣơng pháp biến phân đƣa ra trong công trình [8] cho kết quả với độ chính xác ở cả trƣờng yếu và trƣờng từ mạnh là nhƣ nhau. Do vậy, để có thề thu đƣợc kết quả tƣơng đối chính xác một cách đều đặn trong toàn miền thay đổi từ trƣờng ở gần đúng bậc thấp, ta cần xét đến biểu hiện tiệm cận của hàm sóng khi từ trƣờng lớn 𝜸 ≫ 𝟏 nghĩa là ta cần đƣa thêm vào hàm sóng thừa số: 𝒆−∝(𝒙 𝟐+𝒚𝟐) 15 Với a là tham số biến phân. Lời giải nhƣ thế ta sẽ thảo luận ở phần IV, trong phần tiếp theo ở bƣớc bốn. chúng ta sẽ đƣa ra sơ đồ OM trên cơ sở lý thuyếtt nhiễu loạn để tìm lời giải bằng số với độ chính xác cho trƣớc bất kỳ. Bƣớc 4: Phƣơng pháp toán tử tìm nghiệm hằng số. Vì các vectơ trạng thái (17) tạo thành một bộ hàm số cơ sở đầy đủ nên lời giải chính xác của hàm sóng có thể viết dƣới dạng chuỗi của các vectơ trạng thái đó nhƣ sau: |𝚿𝒏(𝒎) = 𝒏 𝒎) + 𝑪𝒌 𝟏 𝒌=𝒎,𝒌≠𝒏 |𝒌(𝒎) (23) Với các hệ số thực Ck )k = |m|, |m| + 1,; k ≠ 𝑛). Đem (23) thế vào phƣơng trình (11) sau đó so sánh các hệ số trƣớc mỗi vec tơ trạng thái với nhau, ta đƣợc hệ phƣơng trình: Zn = 𝐻 𝑚 + 𝑪𝒌𝜷𝑯 𝒏𝒌 +𝒙 𝒌=𝒎,𝒌≠𝒏 (Zn - 𝐻 𝑛)𝐶1 = 𝜷𝑯 𝒎 + 𝑪𝒌𝜷𝑯 𝒋𝒌 +𝒙 𝒌=𝒎,𝒌≠𝒏 )j = |m|, |m| + 1,; j ≠ 𝒏 (25) Ở đây yếu tố ma trận 𝑯 𝒌𝒋 (k≠ 𝒋) trong (2$) – (25) ta đƣa tham số nhiễu loạn 𝜷 vào. Điều này dựa trên cơ sở là 𝑯 𝒌𝒌 = (𝑯 𝟎)kk với mọi k, 𝑯 𝒌𝒋 = 𝑽 𝒌𝒋 với mọi k≠ 𝒋 trong khi đó Hamiltonian (12) hệ số 𝜷 chỉ có trƣớc thành phần toán tử nhiễu loạn. Bằng các phép biến đổi đại số dựa vào các công thức (18), các yếu tố ma trận của toán tử 𝑯 đối với chuyển đổi giữa các trạng thái (17) dễ dàng tính đƣợc nhƣ sau: 𝐻 𝑚 = 𝜔 4 − 2𝐸 + 𝑚𝑦 4𝜔 2𝑛 + 1 + 𝛾2 32𝜔3 (2𝑛 + 1)(5𝑛2 + 5𝑛 + 3 − 3𝑚2) 𝐻 𝑛 .𝑚−1 = − 𝜔 4 − 2𝐸 + 𝑚𝑦 4𝜔 + 3𝛾2 64𝜔3 (5𝑛2 + 10𝑛 + 6 − 3𝑚2) (𝑛 + 1)2 −𝑚2 𝐻 𝑛 .𝑚 .2 = 3𝛾2 64𝜔3 2𝑛 + 3 𝑛 + 2 2 −𝑚2. (𝑛 + 1)2 −𝑚2 (26) 𝐻 𝑛 .𝑚 ,2 = 𝛾2 64𝜔3 (𝑛 + 1)2 −𝑚2. (𝑛 + 3)2 −𝑚2 16 Dựa vào tính đối xứng 𝐻 𝑛𝑘 = 𝐻 𝑘𝑛 , ta tính đƣợc tất cả các yếu tố ma trận khác không còn lại. Bây giờ ta giải hệ phƣơng trình (24)-(25) bằng cách phân tích theo chuỗi tham số nhiễu loạn 𝛽. 𝑍𝑛 = 𝑍𝑛 (𝑜) + 𝛽𝑥∆𝑍𝑛 (𝑥)+𝑥 𝑥−1 (27) C1 = 𝐶1 −(𝑜) + 𝛽𝑥∆𝐶𝑗 (𝑥)+𝑥 𝑥−1 (j= |m|, |m|+1,; j≠ n) (28) Thế (27)-(28) vào (24) – (25), sau đó tách ra và so sánh các hệ số theo từng bậc 𝛽𝑥 với nhau, ta thu đƣợc: 𝑍𝑛 (0) = 𝐻 𝑚 ; ∆𝑍𝑛 (1) = 0 ; ∆𝑍𝑛 (0) = ∆𝐶𝑘 (𝑥−1)𝑛+3 𝑘=|𝑚 |𝑘≠𝑛 𝐻 𝑛𝑘 (𝑠 ≥ 2) (29) Với: 𝐶𝑗 +(0) = 0 ; ∆𝐶𝑗 +(1) = 𝐻 𝑗𝑛 𝑍𝑛 (0) − 𝐻 𝑗𝑖 ∆𝐶1 + 𝑥 = 𝐻 𝑗𝑘 𝑍𝑛 (0) −𝐻 𝑖𝑗 𝑖−3 𝑘=𝑛𝑖 ,𝑘≠𝑛 ,𝑘≠𝑗 − ∆𝐶𝑘 + 𝑥−1 − ∆𝑍𝑛 𝑥−𝑖−1 𝑍𝑛 0 −𝐻 𝑖𝑗 𝑥−1 𝑖=1 ∆𝐶𝑗 1 ; (𝑠 ≥ 2) (30) Từ (29) ta suy ra đƣợc năng lƣợng 𝐸𝑛𝑚 (0) ở gần đúng bậc zero nhƣ kết quả (19). Hệ thức truy toán (29) và 930) cho phép ta xác định giá trị riêng và hàm sóng ở bậc gần đúng (s) bất kỳ (cho 𝛽 = 1): 𝑍𝑛 (𝑠) = 𝐻 𝑛𝑚 + ∆𝑍𝑛 (𝑘)𝑥 𝑘=2 ; 𝐶𝑘 (𝑥) = ∆𝐶𝑘 +(𝑘)𝑥 𝑘=1 Với mỗi bậc gần đúng s thế 𝑍𝑛 (𝑘) vào phƣơng trình (7) ta tìm ra giá trị năng lƣợng 𝐸𝑛𝑚 (𝑥) tƣơng ứng. Chú ý rằng mặc dù phƣơng trình (7) đa nghiệm chúng ta có thể chọn một giá trị thực duy nhất theo quy trình sau. Với trƣờng hợp  = 0, 7) với điều kiện (29) là phƣơng trình đơn giản có một nghiệm thực E duy nhất. Với ≠0, trƣớc tiên ta chọn dãy số: 0 <  <  < <M = , trong đó M đủ lớn để các giá trị I (I = 1, 2.., M) tƣơng đối gần nhau. Sau đó giải phƣơng trình (7) bằng phƣơng pháp vòng lặp ứng với các giá trị i này để tìm nghiệm E(i) tƣơng ứng. Chú ý rằng chỉ chọn nghiệm thực E(i) gần nhất với nghiệm đã có trƣớc đó E(i 1). Lần lƣợt giải nhƣ vậy cho đến khi 17 i = M ta sẽ thu đƣợc nghiệm thực E ứng với giá trị  ≠ 0. Các kết quả cụ thể đƣợc đƣa ra trong các bảng 2 cho ta thấy dãy các giá trị thu đƣợc: 𝐸𝑛𝑚 (𝑜) ; 𝐸𝑛𝑚 (1) ; 𝐸𝑛𝑚 (2) ; 𝐸𝑛𝑚 (𝑥) Hội tụ rất nhanh về giá trị 𝐸𝑛𝑚 𝑇 , giá trị này vì thế chính là nghiệm bằng số chính xác của phƣơng trình đang xét. Các kết quả bằng số đƣợc đƣa ra qua bảng 2 nhằm mục đích minh họa phƣơng pháp. Bảng 2 : Năng lượng chính xác t ính bằng OM Các số liệu cũng đƣợc đƣa ra dƣới dạng đồ thị sau: Đồ thị:Phụ thuộc mức năng lượng chính xác vào cường độ từ t rường a) trạng thái 1s và 2s (đường chấm chỉ kết quả gần đúng bậc hai OM) b) các t rạng thái 1s, 2s, 2p, 2p’ và 3s vào cường độ từ t rường c ) các t rạng ngái 3s, 3p, 3d và 3d. 18 N h ƣ v ậy, p h ƣ ơn g p h áp đƣ a r a t ro n g cô n g t r ì nh n ày c h o p h ép t a đã t hu đ ƣợ c lờ i g i ả i ch ín h x ác ch o b à i t oán t r ạn g t h á i l ỗ t rốn g d ạn g h yd r ô t r on g từ t r ƣờ n g v ớ i cƣờn g đ ộ b ấ t k ỳ. Đ i ều đ án g k ể l à k ế t qu ả đ ƣ a ra k h ôn g n hữ n g l à s ố l i ệu ch ín h x ác củ a các m ứ c n ăn g lƣ ợng m à m à còn l à h àm s ón g ch í nh x ác ch o b à i t o án d ƣớ i d ạn g ( 23 ) ch o p h ép s ử d ụ n g t hu ần t ú y p h ƣ ơn g p háp đạ i s ố t r on g t í nh toán các đ ặc t r ƣn g củ a h ệ . C ần n h ấn m ạnh r ằn g k h i t í n h t o án các m ứ c n ăng l ƣ ợ n g k í ch th í ch b ậc cao ch ún g t a kh ôn g n h ấ t t h i ế t p h ả i s ử dụ n g đ i ều k i ện ( 20 ) ho ặc ( 22 ) đ ể x ác đ ị nh  m à đ ơn g i ản có t hể ch ọ n b ằn g p h ƣơ ng p h áp t hử s ao ch o q u á t r ì nh t í nh t o án có tố c đ ộ hộ i t ụ c ao n h ấ t . IV. NGHIỆM GIẢI TÍCH T r on g p h ần I I I l ờ i g i ả i gần đ ún g b ậc zero t h u đ ƣợ c b ằng p h ƣ ơn g p h áp t o án t ử tƣ ơn g đ ố i ch í nh x ác v à t hự c r a kh i c ần t h i ế t ch ún g t a có t h ể s ử dụ n g nó nh ƣ l à n g h i ệm g i ả i t í ch . Tu y n h i ên p h ân t í ch ch o t h ấ y t ừ t r ƣờ n g càn g lớn n gh i ệm n ày l ạ i c àn g có s a i số lớ n . T ro ng k h i chú n g t a m uố n có m ộ t n gh i ệm gần đ ú n g m à s a i s ố củ a nó kh ôn g ph ụ t hu ộ c n h i ều v ào s o s ánh g i ữa năn g l ƣợ n g t ừ t r ƣờ ng v à t ƣơ n g t á c C ou lo mb . Đ ể đạ t đ ƣ ợc đ i ều đ ó t a hã y x em t i ệm cận củ a h à m s ón g t r o n g t r ƣ ờn g h ợ p t ừ t r ƣờ n g m ạn h . C ụ t h ể l à kh i  » 1 h àm só n g có d ạn g t i ệm cận : ~ 𝑬− 𝟏 𝟒 𝜸 𝒙𝟐+𝒚𝟐 (31) t r on g kh i n gh i ệm gần đú n g bậc z e ro ( 19 ) kh ôn g c ó ch ứ a th ành ph ần n ày. M ặ t k h ác q ua ph ép b i ến đổ i Lev i -C i v i t a t a có x2 + y2 = (u2 + v2)2 , , v ì v ậ y n gh i êm củ a phƣ ơ n g t r ì n h ( 1) có t í nh đ ến b i ểu h i ệ n t i ệm c ậ n đ ƣợ c x é t nh ƣ s au : 𝚿(𝒖,𝒗) = 𝒆−𝜶(𝒖 𝟐+𝒗𝟐)𝟐 𝚿(𝒖,𝒗) v ớ i 𝜶 l à t h am s ố s ẽ đƣ ợ c x ác đ ịn h s au t h eo n gu y ên l ý p h ƣ ơn g ph áp p h i ếm h àm . C h ú n g t a có t h ể x em 𝚿(𝒖,𝒗) l à hàm só n g , n gh i ệm r i ên g củ a ph ƣơ ng t r ì nh : 𝒆−𝜶 𝒖 𝟐+𝒗𝟐 𝟐 𝑯 − 𝒁 𝒆−𝜶 𝒖 𝟐+𝒗𝟐 𝟐 𝝍(𝒖,𝒗) ( 3 2 ) S auk h i b i ến đ ổ i t a t h u đ ƣợ c ph ƣơ n g t r ì nh : 𝒆𝟐𝜶 𝒖 𝟐+𝒗𝟐 𝟐 𝑯 − 𝒁 𝝍(𝒖,𝒗) ( 3 3 ) 19 Ở đây ta chú ý rằng do thừa số (31) giao hoán với toán tử hình chiếu mômen quỹ đạo, cho nên hàm sóng 𝝍 𝒖,𝒗 v ẫn t hỏ a m ãn l à là nghiệm riêng của toán tử này: 𝐿 𝑧 𝝍 𝒖,𝒗 = 𝒎𝝍 𝒖,𝒗 v ớ i g i á t r ị r i ên g m = 0± 1 ,± 2 , C hí nh v ì vậ y t r o n g p h ƣơ n g t r ì nh p ( 33 ) t a đ ã th a y t h ế t t o án t ử 𝐋 𝐳 bằng trị riêng của nó. Ngoài ra, ta đã nhân thừa số (31) vế phía bên trái hai vế phƣơng trình (1) để nhận đƣợc phƣơng trình (32). Điều này nhằm thu đƣợc (33) có dạng phƣơng trình tìm trị riêng với toán tử vế trái có tính chất hermit. Bản thân Hamiltonian dễ dàng đƣa về dạng toán tử H (a +, a b+, b ) ta chỉ cần xét thừa số dạng hàm mũ: 𝐴 = 𝒆−𝜶 𝒖 𝟐+𝒗𝟐 𝟐 = 𝟏 𝟐 𝟐𝜶𝝅 𝒅𝒌𝒆 𝒌𝟐 𝟖𝒂 𝒆𝒕𝒌 𝒖 𝟐+𝒗𝟐 𝟐 +𝜶 −𝜶 Ở đây ta đã dùng phân tích Furier để có thể đƣa về dạng chuẩn thừa số có chứa các toán tử sinh hủy dạng mũ, nghĩa là đƣa về dạng mà toán tử sinh bên trái , toán tử hủy bên phải, thuận tiện cho các tính toán đại số. Ta có Trên nguyên tắc, chúng ta có thể khảo sát phƣơng trình (33) bằng các phƣơng pháp khác nhau. Trong phần tiếp theo sau phƣơng pháp toán tử sẽ đƣợc ứng dụng và nghiệm gần đúng bậc zero có thể xem nhƣ là nghiệm giải tích cần tìm E(; α; ). Nghiệm này sẽ có độ chính xác đều trong toàn miền thay đổi từ trƣờng bởi vì tính chất tiệm cận đã đƣợc tính đến khi xây dựng phƣơng trình (33). Năng lƣợng thu đƣợc tấ t nhiên sẽ phụ thuộc vào tham số 𝛼, ta sẽ xác định tham số này từ điều kiện 𝜕𝐸 𝛾; 𝛼,𝜔 / 𝜕𝜔 = 0 (34) 20 Đây là phƣơng trình đa ngh iệm nhƣng từ điều kiện tiệm cận khi 𝛾 ≫ 1 thì 𝛾 = 4𝛼, ta có thể xác định giá trị thực dƣơng duy nhất. Ngoài ra nhƣ trong phần III đã đề cập tớ i tham số 𝜔 đƣợc xác định bằng phƣơng trình: Phƣơng trình (34) xuất phát từ chuyện tham số 𝛼 tƣơng tự nhƣ tham số trong phƣơng pháp biến phân, trong khi phƣơng trình (35) xuất phát từ suy nghĩ rằng năng lƣợng của hệ không thể phụ thuộc vào một tham số mang ý nghĩa thuần túy biểu diễn. Kết quả cụ thể cho trạng thái cơ bản : Để minh họa, xét rạng thái cơ bản ta thu đƣợc: trong đó ta thay tham số mới bằng định nghĩa x = 2 / α, còn I(x) là tích phân có thể đƣa về dạng tích phân sai số (error integral) nhƣ sau: 𝐼 𝑥 = 1 𝜋 𝑑𝑙 𝑒 𝑖 2 𝑥+𝑙2 = 1 2 +𝑥 0 𝜋 𝑥 𝑒𝑥𝑒𝑟𝑓𝑐 𝑥 Đem thế vào (34) và (35) ta thu đƣợc hai phƣơng trình: Dùng để xác xác định hai tham số x,. (36)-(37)-(38) là biểu thức giải tích cho năng lƣợng của exciton trong từ trƣờng ở trạng thái cơ bản. Giải bằng số các phƣơng trình trên và so sánh với kết quả chính xác bằng số cho thấy độ chính xác của nghiệm giải tích của chúng ta là rất cao tro ng toàn miền biến đổi từ trƣờng. 21 Nhƣ vậy trong phần này chúng ta đã đƣa ra đƣợc cách tính yếu tố tiệm cận của hàm sóng để phát triển phƣơng pháp toán tử tìm nghiệm giải tích. Kết quả cụ thể nhận đƣợc cho trạng thái cơ bản có độ chính xác cao trong toàn miền thay đổi từ trƣờng. Các công thức cơ bản cho phép về nguyên tắc tìm nghiệm giải tích cho bất cứ trạng thái kích thích nào. Lời giải cụ thể cho các trạng thái kích thích sẽ đƣợc đƣa ra trong các công trình nghiên cứu tiếp theo. Bảng 3 . So sánh nghiệm giải t ích gần đúng với nghiệm chính xác V. TRƢỜNG HỢP CÓ TÍNH ĐẾN THẾ MÀN CHẮN Trong bán dẫn trạng thái exciton thƣờng có bán kính lớn hơn nhiều lần hằng số mạng, ngƣời ta gọi loại exciton này là Mott -Wannier [26]. Lúc này thế năng của mạng tinh thể sẽ tác động đáng kể lên chuyển động của điện tử vì vậy khối lƣợng hiệu dụng của điện tử sẽ giảm và năng lƣợng tƣơng tác Coulomb rất nhỏ so với nguyên tử hydro, khoản chừng 0.1 eV. Đặt biệt , lúc này thế màn chăn không thể bỏ qua đối với tƣơng tác Coulomb. Hamiltonian của hệ sẽ có dạng nhƣ sau: với  là là hằng số dƣơng. Hằng số này có thể xác định sao cho phổ năng lƣợng thu đƣợc bằng tính toán lý thuyết phù hợp tốt nhất với số liệu thực nghiệm. Chúng ta có thể sử dụng phƣơng pháp nhƣ trình bày trong chƣơng III để khảo sát trƣờng hợp này. Điểm khác biệt và có thể gây khó khăn khi tính toán ở đây là toán tử dạng hàm mũ 𝐴 = 𝑒−𝜆𝑟 . 22 Tuy nhiênqua b iểu diễn toán tử ta có: Và có thể đƣa về dạng chuẩn nhƣ sau: Nghĩa là toán tử sinh bên trái và toán tử hủy bên phải, vì vậy rất thuận t iện cho việc tính toán đại số. Các yếu tố ma trận (26) lúc này sẽ có thêm thành phần Với 𝛼 =  /2; F1 (n,m, 𝛼) đƣợc định nghĩa nhƣ sau Dễ dàng kiểm chứng rằng j!F1(n, m, α)=2F1(-n+m, -n-m; j+1; α 2 ) là hàm suy biến [27]. Bài toán có thể màn chắn nhƣ vậy không làm phát sinh thêm khó khăn nguyên tắc nào và sẽ đƣợc khảo sát cụ thể trong những công trình tiếp theo. VI . PHÁT TRIỂN CHO NGUYÊN TỬ HYDRO BA CHIỀU: Nhƣ chúng ta đã thấy trong các phần trên, việc sử dụng hiệu quả phƣơng pháp đại số cho bài toán chính là nhờ phép biến đổi Le vi-Civita tạo ra mối liên hệ giữa bài toán nguyên tử hydro hai chiều và bài toán dao động tử điều hòa. Câu hỏi đƣợc đặt ra là có thể phát triển cho bài toán nguyên tử Hydro ba chiều trong từ trƣờng hay không? Câu trả lời nằm trong phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel [28]: (39) 23 với 𝜎𝜆 𝜆 = 1, 2, 3 là các ma trận Pauli; tọa độ phức 𝜉1 với chỉ số chạy s = 1,2 đƣợc dùng do thuận tiện trong ký hiệu để mô tả không gian thực 4 chiều. Phép biến đổi (39), khác với nguyên gốc bởi ký hiệu phức này và bởi có đƣa thêm vào tọa độ góc 𝜙 (xem thêm trong [29]), có thể sử dụng để đƣa phƣơng trình Schrodinger cho nguyên tử Hydro b a chiều về bài toán dao động từ hai chiều phức. Mối liên hệ này đƣợc nghiên cứu rất nhiều (xem công trình [30] và trích dẫn trong đó) và chúng ta có thể ứng dụng để đƣa bài toán nguyên tử hydro trong từ trƣờng về bài toán dao động tử phi điều hòa. Tiếp the o việc sử dụng phƣơng pháp toán tử hoàn toàn tƣơng tự nhƣ đã nêu trong phần III của công trình này. Nghiên cứu cụ thể sẽ công bố trong những công trình kế t iếp. VII. KẾT LUẬN Nhƣ vậy trong công trình này, bằng phƣơng pháp toán tử chúng tôi đã đƣa ra đƣợc lời giải chính xác bằng số cho bài toán nguyên tử hydro hai chiều trong từ trƣờng đều với cƣờng độ bất kỳ không nhũng cho trạng thái cơ bản mà cả cho các trạng thái kích thích. Ở đây lời giải chính xác bao gồm cả năng lƣợng và hàm sóng, còn bài toán Hydro hai chiều chính là mô hình tƣơng tác điện tử lỗ trống của khí điện tử hai chiều tạo ra do bán dẫn nhiều lớp GaAs/AIGaAs. Nghiệm giải tích cho trạng thái cơ bản cũng đƣợc đƣa ra và các công thức cần thiết để nhận đƣợc lời giải cho các trạng thái kích thích cũng đƣợc xây dựng. Trong công trình đƣa r a các yếu tố cơ bản để phát tri ển kết quả cho trƣờng hợp có thế màn chắn và cho nguyên tử h ydro ba chiều trong từ trƣờng. Các kết quả đã đƣợc công bố trên tạp chí khoa học của Viện hàn lâm khoa học Belarus [31], nơi mà tác giả có dịp tham gia vào xây dựng phƣơng pháp toán tử giải phƣơng trình Schrodinger; công bố trên tạp chí khoa học của trƣờng ĐH Sƣ Phạm Tp. HCM [32], báo cáo ở Hội nghị Vật Lý lý thuyết Việt nam lần thứ 29 [33] (báo cáo này đã đƣợc nhận đăng vào tạp chí Communication in Physics). Ngoài ra trong quá trình nghiên cứu đề tài này tác giả hƣớng dẫn 3 luận văn tốt nghiệp. Tác giả chân thành cám ơn các đồng nghiệp Khoa Lý ĐH Sƣ Phạm TP. HCM đã tham gia seminar thảo luận và góp ý về đề tài này. Tác giả xi n chân thành cám ơn Ban chủ nhiệm Khoa Lý, Phòng Khoa học và công nghệ trƣởng ĐH Sƣ Phạm TP,HCM đã tạo mọi điều kiện để đề tài đƣợc đăng ký và hoàn thành. 24 VIII. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Seigfried Flugge. Practical Quantum Mechanics , Springer-Verlag Pub., 1999. 2. Calvin Stubbins, Kunal Das, Y. Shiferaw, J. Phys. B 37 (2004) 2001-2209. Low-lying energy levels of the hydrogen atom in a strong magnetic field . 3. V. Yakhontov, Phys. Rev. Lett. 91 (2003)093001-4. Relalivistic linear response wave functions and dynamic scattering tensor for nsl/2 slates in hydrogenlike atom. 4. Jianguo Rao, K.T. Taylor, J. Phys. B 35 (2002)2627-2641. The closed orbits and the photo-excitation scaled spectrum of the hydrogen atom in crossed fields. 5. Saikat Ghosh, S.H. Patil, J. Phys. B 34 (2001) 3535-3542. Wavefunctions for a hydrogen atom in a magnetic field based on some local properties. 6. K. Nilsson, A. Blom, V.V. Shlyapin, Sol. Stat. Comm. 132 (2004) 187-191. Calculation of bound and resonant donor states of GaAs in a magnetic field . 7. M. Pacheco, A. Leon, Z. Barticevic, Phys. Stat. Sol. (b) 235 (2003) 146-150. Far-infrared optical spectrum of donor impurities in quantum dots in a magnetic field. 8. R. Pino, V.M. Villalba, Phys. Stat. Sol. (b) 211 (1999)641-649. Scales Variational Computation of the Energy Spectrum of a Two - dimensional Hydrogenic Donor in a Magnetic Field of Arbitrary Strength . 9. Victor M Villalba, R. Pino. Physica B 315 (2002) 289-296. Energy spectrum of a two-dimensional screened donor in a constant magnetic field of arbitrary strength. 10. 10.A.H. MacDonald, D. S. Ritchie, Phys. Rev. B 33 (1986) 8336-8344. Hydrogenic energy levels in two dimensions at arbitrary magnetic fields. 11. Mark A Torinka, Robert M Westervelt, Eric J Heller, Physics Today. December 2003, 47-52. Imaging Electron Flow. 12. S. Jordan, S. Friedrich.ArXiv:astro-ph/0201122, 1 (9 Jan 2002). 25 Search for variations in circular -polarization spectra of the magnetic white drarfLP 709-29*. 13. Ying-Zhong Ma, Leonas Valkimas, Sergei M. Bachilo, Graham R. lemina, J. Phys. Chem. B Lett. 109 (2005) 15671-15674. 14. Exciton binding energy in semiconducting single-walled carbon nanotube.Shik, Quantum wells physics and electronics of two dimensional systems, World Scientfic Pub. (1997). 15. Nguyen Manh Cuong, Nguyen Ai Viet. Proc" 28th Nat. Conf. Thcor. Phys." (Sam son, 12-14 Aug. 2004) 75-79. The binding energy of exciton in semi-conductor carbon nanolubes. 16. R. Maeder, Programming in Mathematical 2-nd edition, Addison-Wesley Pub. Co., (1991). 17. Le Van Hoang, In Etude on Theor. Phys. Ed. Feranchuk I. et al, World Scientific, Singapore (2004) 231-249. Algebraic method with the use of many-particle Coulomb Green function for atomic calculation. 18. T. Levi-Civita, Operc Matematiche 2 (1956) 1901-1907. Sur la resolution qualitative du problem restraint des trios corps. 19. Le Van Hoang, Nguyen Thu Giang. J. Phys. A 26 (1993)1409-1418. The algebraic method for two-dimensional quantum atomic systems. 20. I. D. Feranchuk, L. I. Komarov, Phys. Lett. A 88 (1982) 212-214. The operator method of approximate solution of the Schrodinger equation. 21. .I. D. Feranchuk, L. 1. Komarov, I. V. Nichipor, A. P. Ulyanenkov, Ann. Phys. 238 (1995) 370-440. Operator Method in the problem of Quantum Anharmonic Oscillator. 22. A. B. Dzubenko, Phys Rev. B 65 (2001) 035318. Charged hydrogen ic problem in a magnetic field: Noncommutative translations, unitary transformations, and coherent states. 9 23. .Zudov M.A., Du R.R., Simmons J.A., Reno J L. Phys. Rev. Lett B 90 (2003) 46807. Zudov M A. arXiv:cond-mat/0306508 . 1 (2003) 1-5. On the phase of oscillatory microwave pholoresistance and zero-resistance states. 24. Studenikin S A, Potemski M, Coleridge P T, Sachrajda A, Wasilewski Z R. arXiv:cond-mal/0310347. 1 (2003) 1-4. Microwave radiation induced magneto- 26 oscillations in the longitudinal and transverse resistance of a two dimensional electron gas. 25. Hoang Quoc Khanh, Le Van Hoang, Komarov L I . Proc. Acad. Sci. Belarus, Phys.Math. ser., 3 (1997) 71-75. Convergence of the operator method and the free constant choice problem. 26. Kittel C. Introduction to Solid State Physics.-J Wiley & sons, New York, 1996. 27. Korn G A, Korn T M. Mathematical Handbook for scientists and engineers. McGraw-Hill:1968 28. Kleinert H. In Lectures in Theor. Phys. Ed. Brittin W and Barut A., Gordon and Brach, N Y, 427 (1968). 29. Le Van Hoang, Tony V., Phys. Lett. A 171 (1992) 23 -25.: On the Interpretation of the "Extra" Variable in the KS Transformation. 30. Le Van Hoang, Proc. "28 lh Nat. Conf. Theor. Phys." (Sam son, 12-14 Aug. 2004) 1791-185 On the connection between harmonic oscillator and hydrogenlike atom in continuous spectrum. 31. Le Van Hoang, Le Tran The Duy, Le Thi Ngoc Anh. Proc. Acad. Sci. Belarus, Phys. Math. ser. 2 (2005) 74-79. Operator Method for Description of two-dimensional hydrogenic donor states in a magnetic field. 32. Hoang Do Ngoc Tram, Ngo Dinh Nguyen Thach, Le Thi Ng oc Anh, Le Tran The Duy, Le Van Hoang. Proc. "29 -th National Conf. on Theor. Phys." (HCMC 16-18 August 2004). 33. Exact solution of two dimensional screened donor states in a magnetic field 34. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, Ngô Đỉnh Nguyễn Thạch, Lê Thị Ngọc Anh, Lê Trần Thế Duy, Lê Văn Hoàng. Tạp chí khoa học, ĐH SP Tp. HCM, Phần khoa học tự nhiên, só 4, 2004, tr. 60-73. Phương pháp toán tử cho bài toán tương tác điện tử - lỗ trống của khí điện tử hai chiều với sự có mặt của từ trường và thế màn chắn. 27 Bộ Giáo dục và Đào đào tạo Trƣờng Đại Học Sƣ phạm TP.HCM Cộng hòa xã Hội Chủ Nghĩa Việt Nam Độc Lập -Tự Do - Hạnh Phúc ---------------- BÁO CÁO KINH PHÍ Đề tài nghiên cứu khoa học và công nghệ cấp c ơ sở PHƢƠNG PHÁP ĐẠI SỐ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER CHO NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƢỜNG VỚI CƢỜNG ĐỘ BẤT KỲ Mã số: cs.2004.23.59 1. Lập đề cƣơng nghiên cứu: 500.000 VNĐ 2. Chi phí tài liệu , internet 1 .500.000 VNĐ 3. Chi phí in ấn, viết bài báo, dịch thuật 2.500.000 VNĐ 4. Chi phí hoạt động chuyên môn 3.500.000 VNĐ 5. Chi phí lập trình t ính toán 2.000.000 VNĐ 6. Báo cáo tổng kết 1 .000.000 VNĐ 7. Nghiệm thu đề tài 1 .000.000 VNĐ 12.000.000 VNĐ (Mƣời hai triệu ViệtNam đồng) TP. HCM, ngày 26 tháng 08 năm 2005 Chủ nhiệm đề tài Xác nhận của cơ quan chủ trì Ký tên Trƣởng Khoa Lý ĐH SP Tp HCM TSKH. Lê Văn Hoàng TS. Thái Khắc Định