Cơ sở logic toán của các phép chứng minh toán học cơ bản và áp dụng chứng minh các bài toán phổ thông

PAGE  PAGE 43 ®¹i häc Th¸i Nguyªn tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m khoa to¸n trÇn thÞ thu lan C¬ së logic to¸n cña c¸c phÐp chøng minh to¸n häc c¬ b¶n vµ ¸p dông chøng minh c¸c bµi to¸n phæ th«ng Chuyªn ngµnh: §¹i sè luËn v¨n t«t nghiÖp ®¹i häc Ng­êi h­íng dÉn khoa häc Th. s. N«ng §×nh Tu©n Th¸i Nguyªn – 2007 Ch­¬ng 1: C¬ së chøng minh to¸n häc. 1.1. VÞ tõ n ng«i. Gi¶ sö M  , B ={0,1} *VÞ tõ n ng«i x¸c ®Þnh trªn M lµ ¸nh x¹ f: Mn B sao cho a = (a1,a2,...,an)Mn f(a) cã gi¸ trÞ b»ng 1 th× f(a) lµ mÖnh ®Ò ®óng; f(a) cã gi¸ trÞ b»ng 0 th× f(a) lµ mÖnh ®Ò sai. KÝ hiÖu: f(x1,x2,...,xn) VÞ tõ n ng«i x¸c ®Þnh trªn M cho ta mét quan hÖ n ng«i trªn M. * VÝ dô: f(x1,x2,...,xn) = “, xiR” lµ mét vÞ tõ n ng«i trªn R. * VÞ tõ thõa nhËn ®­îc trªn tËp M: Cho f(x1,x2,...,xn) x¸c ®Þnh trªn M, ta gäi: Df ={a = (a1,a2,...,an)Mn | f(a) = 1} Df =  th× ta nãi f kh«ng thõa nhËn ®­îc trªn M. Df   th× ta nãi f lµ vÞ tõ n ng«i thõa nhËn ®­îc trªn M. Df = Mn Khi ®ã vÞ tõ f(x1,x2,...,xn) lµ h»ng ®óng trªn M. f gäi lµ mét luËt logic trªn M. * Hai vÞ tõ f(x1,x2,...,xn) vµ g(x1,x2,...,xn) x¸c ®Þnh trªn cïng tËp M gäi lµ t­¬ng ®­¬ng c«ng thøc. KÝ hiÖu: f(x1,x2,...,xn)  g(x1,x2,...,xn) nÕu vµ chØ nÕu chóng cïng nhËn mét gi¸ trÞ nh­ nhau víi mäi a = (a1,a2,...,an) Mn.. Tøc lµ: f | a = g | a  a  Mn.. * VÝ dô: C¸c vÞ tõ “ x2 + y20” vµ “(x + y)20” lµ t­¬ng ®­¬ng trªn R. 1.2.C«ng thøc trong logic vÞ tõ. Gi¶ sö x,y,z,…,x1,y1,z1,.., lµ kÝ hiÖu cña c¸c biÕn ®èi t­îng f, g, h,…, lµ kÝ hiÖu cña c¸c vÞ tõ. C¸c kÝ hiÖu cña vÞ tõ cßn gäi lµ c¸c biÕn vÞ tõ. 1.2.1.C¸c c«ng thøc cña logic vÞ tõ ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ sau. C¸c biÕn mÖnh ®Ò, c¸c h»ng lµ nh÷ng c«ng thøc. NÕu f lµ mét biÕn vÞ tõ n ng«i vµ x1,…,xn lµ c¸c biÕn ®èi t­îng th× f(x1,x2,...,xn) lµ mét c«ng thøc. NÕu f, g lµ nh÷ng c«ng thøc th× ,f  g, f  g, f  g, fg lµ nh÷ng c«ng thøc. NÕu f lµ mét c«ng thøc chøa biÕn tù do x th×  xf,  xf lµ nh÷ng c«ng thøc. f gäi lµ miÒn t¸c dông cña c¸c l­îng tõ  vµ . ChØ nh÷ng biÓu thøc ®­îc x¸c ®Þnh theo (i), (ii), (iii) vµ (iv) lµ nh÷ng c«ng thøc. * VÝ dô: (  y(x f(x)  g(y))  h) lµ mét c«ng thøc. MiÒn t¸c dông cña l­îng tõ  theo biÕn x lµ f(x), cßn miÒn t¸c dông cña l­îng tõ  theo biÕn y lµ x f(x)  g(y). 1.2.2.Gi¸ trÞ cña c«ng thøc vÞ tõ. B¶ng gi¸ trÞ c«ng thøc cña lµ: f | a| a0110 B¶ng gi¸ trÞ c«ng thøc cña f  g lµ: f | ag | af  g | a000010100111 B¶ng gi¸ trÞ c«ng thøc cña f  g lµ: f | ag | af  g | a000011101111 B¶ng gi¸ trÞ c«ng thøc cña f g lµ: f | ag | af  g | a001011100111 B¶ng gi¸ trÞ c«ng thøc cña f g lµ: f | ag | af g | a001010100111 1.2.3.C«ng thøc h»ng ®óng, h»ng sai. Gi¶ sö f = f(x1,x2,…,xn) lµ c«ng thøc mÖnh ®Ò phô thuéc n biÕn. NÕu  a = (a1,a2,…,an)  Mn mµ f | a = 1 th× ta nãi f lµ mét c«ng thøc h»ng ®óng. KÝ hiÖu: |= f. NÕu  a = ( a1,a2,…,an)  Mn mµ f | a = 0 th× ta nãi f lµ mét c«ng thøc h»ng sai. 1.2.4. C¸c l­îng tõ. 1.2.4.1. §Æt l­îng tõ phæ biÕn tr­íc vÞ tõ n ng«i. Gi¶ sö f(x1,x2,...,xn) lµ vÞ tõ n ng«i trªn M. NÕu ta ®Æt l­îng tõ phæ biÕn tr­íc biÕn x1 ta ®­îc mét vÞ tõ n – 1 ng«i trªn M. KÝ hiÖu: x1 f(x1,x2,...,xn). (a2,...,an)Mn – 1 ta cã x1 f(x1,a2,...,an) lµ mÖnh ®Ò. nÕu  a1M: f(a1,a2,...,an) = 1 nÕu  a1M: f(a1,a2,...,an) = 0 x1 f(x1,a2,...,an) = BiÕn x1 gäi lµ biÕn r»ng buéc, c¸c biÕn cßn l¹i gäi lµ biÕn tù do. * Cho 1i n ,xi f(x1,x2,...,xn) lµ mét vÞ tõ n – 1 ng«i trªn M cña c¸c biÕn x1, x2,..., xi-1, xi+1,..., xn.  (a1,a2,...,ai-1, ai+1,...,an)Mn – 1 ta cã f(a1,a2,...,ai-1, xi,ai+1,...,an) lµ vÞ tõ mét ng«i trªn M. xi f(a1,a2,...,ai-1 ,xi,ai+1,...,an) lµ mÖnh ®Ò. nÕu  aiM: f(a1,a2,...,ai,...,an) = 1 nÕu  aiM: f(a1,a2,...,ai,...,an) = 0 xi f(a1,a2,...,ai-1 ,xi,ai+1,...,an) = * Cho 1k n x1x2...xk f(x1,x2,...,xn) lµ vÞ tõ n – k ng«i trªn M. nÕu  (a1,a2,...,ak) Mk: f(a1,...,an) = 1 nÕu  (a1,a2,...,ak) Mk: f(a1,...,an) = 0  (ak+1,...,an)Mn – kta cã x1x2...xk f(x1,x2,...,xk,ak+1,...,an) lµ mÖnh ®Ò. x1x2...xk f(x1,x2,...,xk,ak+1,...,an) = 1.2.4.2. §Æt l­îng tõ tån t¹i tr­íc vÞ tõ n ng«i. Cho f = f(x1,x2,...,xn) x¸c ®Þnh trªn M. §Æt l­îng tõ tån t¹i tr­íc biÕn xi cña vÞ tõ f ta cã mét vÞ tõ ( n – 1) ng«i x¸c ®Þnh trªn M. KÝ hiÖu:  xi f(x1,x2,...,xn). Víi mäi bé (a1,a2,...,ai-1 ,ai+1,...,an)Mn – 1, ta cã f(a1,a2,...,ai-1, xi, ai+1,...,an) lµ vÞ tõ mét ng«i trªn M. xi f(a1,a2,...,ai-1 ,xi,ai+1,...,an) lµ mÖnh ®Ò. nÕu  aiM: f(a1,...,an) = 1 nÕu  aiM: f(a1,...,an) = 0 xi f(a1,a2,...,ai-1 ,xi,ai+1,...,an) = * Cho 1k n x1x2... xk f(x1,x2,...,xn) lµ vÞ tõ n – k ng«i trªn M.  (ak+1,...,an)Mn – kta cã x1x2... xk f(x1,x2,...,xk,ak+1,...,an) lµ mÖnh ®Ò. nÕu  (a1,a2,...,ak) Mk: f(a1,...,an) = 1 nÕu  (a1,a2,...,ak) Mk: f(a1,...,an) = 0 x1x2... xk f(x1,x2,...,xk,ak+1,...,an) = 1.2.4.3. TËp hçn hîp c¸c l­îng tõ tån t¹i vµ phæ biÕn tr­íc vÞ tõ n ng«i. Gi¶ sö = {,} k = 1,...,n. Khi ®ã: f(x1,x2,...,xn) (1) lµ vÞ tõ n – k ng«i trªn M. Víi mäi bé (ak+1,...,an) th× f(x1,x2,...,xk,ak+1,...,an) lµ mét mÖnh ®Ò. Trong vÞ tõ (1) thø tù c¸c l­îng tõ lµ x¸c ®Þnh. NÕu thay ®æi thø tù c¸c l­îng tõ sÏ cho ta mét l­îng tõ míi. NÕu = , {,} th× thay ®æi vÞ trÝ gi÷a c¸c l­îng tõ th× néi dung vÞ tõ ®ã kh«ng thay ®æi. 1.2.5.C«ng thøc t­¬ng ®­¬ng. Gi¶ sö f = f(x1,x2,…,xn), g = g(x1,x2,…,xn) lµ c«ng thøc mÖnh ®Ò phô thuéc n biÕn. Ta nãi f t­¬ng ®­¬ng víi g nÕu  a = ( a1,a2,…,an)  Mn mµ f | a = g | a. KÝ hiÖu: f  g. *C¸c t­¬ng ®­¬ng c«ng thøc: LuËt nuèt: f 1 1; f  0  0. LuËt ®ång nhÊt: f  1 f; f  0  f. LuËt luü linh: f  f  f; f  f  f. LuËt giao ho¸n: f  g  g  f; f  g  g  f. LuËt kÕt hîp: f  (g  h )  (f  g)  h; (f  g)  h  f  (g  h). LuËt ph©n phèi: f  (g  h )  (f  g)  (f  h); f  (g  h)  (f  g)  (f  h). LuËt ®ªmoocg¨ng: ; LuËt t­¬ng ®­¬ng: fg  (f  g)  (g  f) LuËt phñ ®Þnh kÐp: 10) LuËt m©u thuÉn: f   0 11)LuËt bµi chung: f  1 12) LuËt kÐo theo: f  g  1.3. HÖ qu¶ c«ng thøc vµ t­¬ng ®­¬ng c«ng thøc trªn M. 1.3.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö f , g lµ c¸c vÞ tõ n ng«i x¸c ®Þnh trªn M. Khi ®ã: * f ®­îc gäi lµ t­¬ng ®­¬ng c«ng thøc víi g trªn M nÕu vµ chØ nÕu  aMn ta cã: f | a = g | a, hay f | a g | a = 1. KÝ hiÖu: f | a  g | a * g ®­îc gäi lµ hÖ qu¶ c«ng thøc cña f trªn M nÕu vµ chØ nÕu:  aMn ta cã: f  g | a = 1. KÝ hiÖu: f  g * VÝ dô: Cho f(x) = “”; g(x) = “ x + 3 = (x – 1)2 ” h(x) = “ x+30; x - 10; x + 3 = (x – 1)2 ” lµ c¸c vÞ tõ x¸c ®Þnh trªn R. Ta cã: f(x)  g(x) vµ f(x)  h(x) trªn R. *C¸ch ®Þnh nghÜa kh¸c: Gi¶ sö f lµ mét c«ng thøc. f = f(x1,x2,...,xn); g = g(x1,x2,...,xn). Ta nãi g lµ hÖ qu¶ cña c«ng thøc f . KÝ hiÖu: f  g. NÕu  a Mn th× f | a = 1  g | a = 1. 1.3.2. C¸c hÖ qu¶ logic. Ta quy ­íc: 0 lµ c«ng thøc h»ng sai; 1 lµ c«ng thøc h»ng ®óng. 0  f . c«ng thøc f. f  1. H»ng ®óng lµ hÖ qu¶ cña mäi c«ng thøc.   fi , i = 1,...,n. Trong ®ã  = {f1, f2,..., fn} lµ tËp hîp n c«ng thøc.  = {f1, f2,..., fn}; f, g bÊt k×. NÕu   f th× {, g} f. f lµ hÖ qu¶ cña  th× f lµ hÖ qu¶ cña mäi hÖ qu¶ c«ng thøc chøa . , f, g bÊt k×. NÕu   f th×  (g  f).   f khi vµ chØ khi f1  (f2  (... (fn  f))) lµ h»ng ®óng. (  f tøc lµ: f1 f2 ...  fn  f lµ h»ng ®óng).  = {f1, f2,..., fn}; g bÊt k×. NÕu ,  0 th×   g. 1.4. L­îc ®å chøng minh c«ng thøc. Gi¶ sö f lµ mét c«ng thøc,  = {f1, f2,..., fn} lµ d·y c¸c c«ng thøc sao cho víi mäi c«ng thøc fi (i  2)®Òu ®­îc suy ra tõ c«ng thøc ®øng tr­íc theo mét quy t¾c nµo ®ã vµ f ®­îc suy ra tõ fn th× ta nãi  lµ l­îc ®å chøng minh c«ng thøc f. f1  f2 f2  f3 ... fn-1 fn fn  f th× {f1, f2,..., fn} lµ l­îc ®å chøng minh c«ng thøc f. * VÝ dô: Ta cã c«ng thøc f  g .Ta gi¶ thiÕt f ®óng cÇn chøng minh g ®óng. Ta ph¶i chØ ra {f1, f2,..., fn} sao cho f  f1, f1 f2,... , fn  g lµ c¸c c«ng thøc h»ng ®óng th× f  g. 1.5. Mét sè luËt logic sö dông trong chøng minh c«ng thøc. Ta kÝ hiÖu: thay cho f  g lµ h»ng ®óng. VËy f  g viÕt lµ: ( f lµ gi¶ thiÕt, g lµ kÕt luËn). 1) 2) ; 3) , 4) , 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) * VÝ dô: Chøng minh: a2 + b2 + c2  ab + bc + ca,  a, b, c  R. Gi¶i: Ta cã: f = “ a, b, c  R”, g = “a2 + b2 + c2  ab + bc + ca” f g lµ bµi to¸n ®Æt ra. §Æt f1 = “ (a – b)2  0;  a, b  R ” f2 = “ a2 + b2  2ab ” f3 =“ b2 + c2  2bc ” f4 = “ a2 + c2  2ca ” g = f5 = “ a2 + b2 + c2  ab + bc + ca ” Ta cã: f1 f2  f3  f5. VËy f g hay a2 + b2 + c2  ab + bc + ca,  a, b, c  R. Ch­¬ng 2:VËn dông c«ng thøc vµo chøng minh to¸n häc 2.1. §Þnh lý to¸n häc. 2.1.1. §Þnh nghÜa. * §Þnh lý to¸n häc lµ mét vÞ tõ h»ng ®óng trªn mét tËp M víi M lµ mét tËp hîp c¸c ®èi t­îng nghiªn cøu cña to¸n häc. §Þnh lý to¸n häc th­êng ®­îc biÓu diÔn d­íi d¹ng mét mÖnh ®Ò kÐo theo hoÆc mét mÖnh ®Ò t­¬ng ®­¬ng. * Chøng minh ®Þnh lý to¸n häc lµ chøng minh mét c«ng thøc mÖnh ®Ò. Do ®ã xuÊt ph¸t tõ mét tiÒn ®Ò (gi¶ thiÕt A) ®óng vµ c¸c c¨n cø suy luËn (c¸c kiÕn thøc ®· cã, c¸c quy t¾c suy luËn logic) còng ph¶i ®óng.Khi ®ã kÕt luËn B suy ra ®­îc sÏ ch¾c ch¾n ®óng. Ta cã: A A1, A1 A2,..., An  B th× A  B. * C¸c d¹ng kh¸c nhau cña ®Þnh lý: a. §Þnh lý cÇn: A  B. b. §Þnh lý cÇn vµ ®ñ: A  B hay (A  B)  (B  A). c. C¸c mÖnh ®Ò t­¬ng ®­¬ng: A1 A2…  An. 2.1.2. C¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh ®Þnh lý to¸n häc. 2.1.2.1. Chøng minh trùc tiÕp. Mäi ®Þnh lý ®Òu cã d¹ng A  B hay A  B. Chøng minh trùc tiÕp lµ xuÊt ph¸t tõ gi¶ thiÕt A dùa vµo c¸c quy t¾c suy luËn ta kh¼ng ®Þnh B ®óng. Hay ta t×m c¸c mÖnh ®Ò: A1, A2,…, An sao cho A  A1, A1 A2,..., An  B th× A  B. Khi ®ã: (A1, A2,…, An) lµ l­îc ®å chøng minh A  B. * VÝ dô: Chøng minh n kh«ng chia hÕt cho 3 th× n2 kh«ng chia hÕt cho 3 (n  Z). Gi¶i §Æt A = “ n kh«ng chia hÕt cho 3 ”; B = “ n = 3k  1 ” C = “ n2 = 9k2  6k + 1 ” ; H = “ n2 = 3(3k2  2k) + 1 ” E = “ n2 kh«ng chia hÕt cho 3 ”. DÔ thÊy: A  B, B  C, C  H, H  E lµ ®óng. VËy A  E tøc lµ n kh«ng chia hÕt cho 3 th× n2 kh«ng chia hÕt cho 3 (n  Z). *D¹ng chøng minh trùc tiÕp th­êng gÆp: a.Ph­¬ng ph¸p suy luËn liªn tiÕp: XuÊt ph¸t tõ gi¶ thiÕt ta suy luËn liªn tiÕp ®Õn kÕt luËn ®Ó kh¼ng ®Þnh kÕt luËn ®óng. A  A1  A2 …  An B ®óng th× A B ®óng. * VÝ dô: Cho p lµ sè nguyªn tè. Chøng minh: ,. Gi¶i: = = = Theo gi¶ thiÕt p nguyªn tè, suy ra (p, k) = 1, . Ta cã: (p, 2) = (p, 3) = … = (p, p – 1) = 1  (p, k!) = 1 , Do ®ã: =  N §Æt = A  N  = p. A  ,1 Gi¶i: Gi¶ sö b2 – 4ac lµ mét sè chÝnh ph­¬ng: b2 – 4ac = k2, k  Z+ Ta cã: 4a. = 4a(100a + 10b + c) = 400a2 + 40ab + 4ac = 400a2 + 40ab + b2 – (b2 – 4ac) = (20a + b)2 – k2 = (20a + b + k)(20a + b – k) V× b2 – 4ac = k2 nªn b > k. Do ®ã 20a + b + k > 20a + b – k > 20a V× lµ sè nguyªn nªn (20a + b + k)(20a + b – k) 4a. (*) Do mçi thõa sè cña (*) ®Òu lín h¬n 20a nªn ta cã: = m .n , n, m  N vµ n, m > 1. Suy ra lµ hîp sè ( tr¸i gi¶ thiÕt). VËy b2 – 4ac kh«ng ph¶i lµ mét sè chÝnh ph­¬ng. Bµi to¸n 2: Cho d·y sè : 13, 25, 43,... cã sè h¹ng tæng qu¸t lµ: an = 3(n2 + n) + 7 , víi n  Z+. Chøng minh trong d·y sè ®· cho, kh«ng cã sè h¹ng nµo lµ lËp ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn. Gi¶i: Gi¶ sö tån t¹i mét sè tù nhiªn k sao cho víi mét trÞ sè nµo ®ã cña n ta cã: 3(n2 + n) + 7 = k3 (1) víi n  Z+. n(n + 1) ch½n nªn 3(n2 + n) + 7 lÎ, suy ra k lÎ: k = 2t + 1 (t  N) Do ®ã: (1)  3n2 + 3n + 7 = (2t + 1)3  3n2 + 3n + 7 = 8t3 + 12t2 + 6t +1  3n2 + 3n + 6 = 8t3 + 12t2 + 6t (2) Suy ra 8t3 3  t 3  t = 3m (m  N) Thay vµo (2) ta cã: 3n2 + 3n + 6 = 8(3m)3 + 12(3m)2 + 6.3m  n2 + n + 2 = 72m3 + 36m2 + 6m (v« lý v× VT kh«ng chia hÕt cho 3, VP chia hÕt cho 3) suy ra gi¶ sö sai . VËy trong d·y sè ®· cho, kh«ng cã sè h¹ng nµo lµ lËp ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn. Bµi to¸n 3: Chøng minh ph­¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiÖm nguyªn: 15x2 – 7y2 = 9 (1) Gi¶i: Gi¶ sö (1) cã nghiÖm nguyªn: x = n; y = m; víi x,y  Z. Do ®ã: 15n2 – 7m2 = 9 (2) (2)  7m2 3  m2 3  m 3  m = 3k (k  Z) Do ®ã ta cã: 15n2 – 7.9k2 = 9  5n2 – 21k2 = 3 (3) (3)  5n2 3  n2 3  n 3  n = 3t (t  Z) Ta cã: 5.9t2 – 21k2 = 3  15t2 – 7k2 = 1 (4)  7k2 + 1 = 15t2  7k2 + 1 5 (5)  k  Z : k2 tËn cïng lµ: 0,1, 4, 5, 6, 9. Suy ra 7k2 tËn cïng lµ: 0, 2, 3, 5, 7, 8. Suy ra (7k2 + 1) tËn cïng lµ 1, 3, 4, 6, 8, 9.( m©u thuÉn víi (5)). VËy gi¶ sö sai hay ph­¬ng tr×nh 15x2 – 7y2 = 9 kh«ng cã nghiÖm nguyªn. Bµi to¸n 4: Chøng minh: n2 +3n + 5 kh«ng chia hÕt cho 121 , n  N. Gi¶i: Gi¶ sö  n  N ®Ó n2 +3n + 5 121  n2 +3n + 5 112 (1)  4(n2 +3n + 5) 112 (2) Tõ (1) suy ra: n2 +3n + 5 11  4n2 + 12n + 20 11  4n2 + 12n + 9 11  (2n + 3)2 11  (2n + 3) 11  (2n + 3)2 121 (3) Tõ (2) vµ (3) suy ra 11 121 ( v« lý). VËy n2 +3n + 5 kh«ng chia hÕt cho 121 , n  N. 3.1.2.C¸c bµi to¸n trong ®¹i sè. * Chøng minh b»ng ph¶n chøng th­êng dïng trong c¸c lo¹i to¸n: - Chøng minh bÊt ®¼ng thøc. - Chøng minh hÖ ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. - Chøng minh ®a thøc cã tÝnh chÊt H nµo ®ã.(®a thøc lµ bÊt kh¶ quy, ®a thøc nguyªn b¶n...) *C¸c bµi to¸n: Bµi to¸n 1: Cho ba sè d­¬ng a, b, c tho¶ m·n: abc = 1. Chøng minh r»ng : a + b + c 3 . Gi¶i: Gi¶ sö tån t¹i ba sè d­¬ng a, b, c tho¶ m·n: abc = 1vµ a + b + c 0  f(x) = ax2 + (a2 – 3a)x + 1 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Do ®ã: = (a2 – 3a)2 – 4a > 0  a4 – 6a3 + 9a2 – 4a > 0 a(a – 1)2(a – 4) > 0  a > 4  a +b + c > 4 ( m©u thuÉn víi (*)) VËy ta lu«n cã ba sè d­¬ng a, b, c tho¶ m·n: abc = 1 th× a + b + c 3. Bµi to¸n 2: Chøng minh: Ta lu«n cã: a2 + b2 + c 2 ab + bc + ca, a, b, c  R. . Gi¶i: Gi¶ sö tån t¹i ba sè a, b, c  R: a2 + b2 + c 2 . Gi¶i: Gi¶ sö (a) cã nghiÖm lµ (x0, y0) th× (1) Tõ (1) suy ra x0 > 0 , y0 > 0 . ¸p dông B§T Cauchy, ta cã: (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra ( v« lý) VËy gi¶ sö hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm sai. Do ®ã hÖ ®· cho v« nghiÖm. Bµi to¸n 4: Chøng minh hÖ ph­¬ng tr×nh (b) v« nghiÖm víi a  0 vµ (b – 1)2 – 4ac . Gi¶i: Do a  0 nªn ta cã thÓ gi¶ thiÕt a > 0. Gi¶ sö (b) cã nghiÖm lµ (x0, y0, z0) th× Suy ra: [] + [] + [] = 0 (1) §Æt f(t) = at2 + (b – 1)t + c th× tõ (1) ta cã: f(x0) + f(y0) + f(z0) = 0 (2) Do a > 0 vµ (b – 1)2 – 4ac 0 ( t)  f(x0) > 0 ; f(y0) > 0 ; f(z0) > 0 ( m©u thuÉn víi (2)). VËy gi¶ sö sai hay hÖ ®· cho v« nghiÖm. Bµi to¸n 5: Gi¶ sö f(x) = a0 + a1x + ... + anxn  Z [x] ( an  0, n  1). Chøng minh nÕu tån t¹i p nguyªn tè tho¶ m·n : i) an kh«ng chia hÕt cho p. ii) ai chia hÕt cho p ( i Gi¶i: Gi¶ sö f(x) kh¶ quy trªn Q th× f(x) còng kh¶ quy trªn Z. Khi ®ã tån t¹i h(x) = b0 + b1x + ... + brxr ; g(x) = c0 + c1x + ... + csxs  Z [x] sao cho f(x) = h(x).g(x). VËy n = r + s vµ a0 = b0c0 a1 = b1c1 ... ak = ... an = brcs V× a0 = b0c0 p vµ a0 = b0c0 kh«ng chia hÕt cho p2 suy ra b0, c0 kh«ng ®ång thêi chia hÕt cho p. Ta gi¶ sö b0 p vµ c0 kh«ng chia hÕt cho p. (1) V× an = brcs kh«ng chia hÕt cho p nªn kh«ng ph¶i mäi hÖ sè b0, b1, ..., br ®Òu chia hÕt cho p. Gi¶ sö bk lµ hÖ sè ®Çu tiªn kh«ng chia hÕt cho p tøc lµ b0, b1, ..., bk-1 ®Òu chia hÕt cho p; bk kh«ng chia hÕt cho p. XÐt ak = b0ck + b1ck-1 + ... + bk-1c1 + bkc0, v× k  r Gi¶i: f(x) = a0 + a1x + ... + anxn ; g(x) = b0 + b1x + ... + bmxm f(x)g(x) = c0 + c1x + ... + cn+mxn+m Gi¶ sö f(x)g(x) kh«ng nguyªn b¶n. Ta cã: (c0, c1, ..., cn+m) = d > 1 suy ra tån t¹i p nguyªn tè p | d. Khi ®ã p | ci  i = 1, ..., n + m. V× f(x), g(x) nguyªn b¶n. Do ®ã (a0, a1, ..., an) = 1; (b0, b1, ..., bn) = 1; Suy ra kh«ng ph¶i mäi ai(i = 1, ..., n), mäi bj(j = 1, ..., m) ®Òu chia hÕt cho p. Gi¶ sö ak lµ hÖ sè ®Çu tiªn cña f(x) kh«ng chia hÕt cho p, tøc lµ a0, a1, ..., ak-1 ®Òu chia hÕt cho p; ak kh«ng chia hÕt cho p, vµ bs lµ hÖ sè ®Çu tiªn cña g(x) kh«ng chia hÕt cho p. XÐt ck+s = = = a0bk+s + a1bk+s-1+ ... + ak-1bs+1 + akbs + ak+1bs-1 + ... + ak+sb0 V× b0, b1, ..., bs-1, a0, a1, ..., ak-1, vµ ck+s p. Do ®ã: akbs p suy ra akp hoÆc bs p (v« lý v× ak kh«ng chia hÕt cho p, bs kh«ng chia hÕt cho p). VËy f(x), g(x) nguyªn b¶n. 3.1.3.C¸c bµi to¸n trong h×nh häc. ( Th­êng dïng ®Ó chøng minh c¸c ®Þnh lý to¸n häc). Bµi to¸n 1: Cho ba mÆt ph¼ng c¾t nhau tõng ®«i mét vµ kh«ng cã ®iÓm chung cho c¶ ba mÆt ph¼ng. Chøng minh: C¸c giao tuyÕn cña chóng lµ c¸c ®­êng th¼ng song song. Gi¶i:    Gi¶ sö: = a = b = c Gi¶ sö a, b c¾t nhau t¹i O. Suy ra O  a  O  vµ O  . O  b  O  vµ O  . Suy ra O lµ ®iÓm chung cña ba mÆt ph¼ng ( tr¸i gi¶ thiÕt) VËy a // b (1) Chøng minh t­¬ng tù ta cã b // c (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra a // b // c. VËy c¸c giao tuyÕn cña chóng lµ c¸c ®­êng th¼ng song song. Bµi to¸n 2: Cho mÆt ph¼ng (P),(Q) ph©n biÖt . (P) // (R), (Q) // (R). Chøng minh: (P) // (Q). Gi¶i: Gi¶ sö (P),(Q) c¾t nhau theo mét giao tuyÕn lµ a’ th× tõ ®iÓm A trªn a’ ta l¹i cã hai mÆt ph¼ng (P),(Q) cïng song song víi mÆt ph¼ng. (*) A a’ Q P R MÆt kh¸c,theo ®Þnh lý vÒ hai mÆt ph¼ng song song: Qua mét ®iÓm A bÊt kú cho tr­íc kh«ng n»m trªn mÆt ph¼ng (P) cho tr­íc, tån t¹i duy nhÊt mét mÆt ph¼ng (Q) song song víi mÆt ph¼ng (P). Suy ra (*) m©u thuÉn víi ®Þnh lý trªn. VËy gi¶ sö sai hay (P) // (Q). Bµi to¸n 3: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng, SB(ABCD). LÊy trªn SA mét ®iÓm M. Gi¶ sö SD giao víi (BCM) t¹i N. Chøng minh: 6 ®iÓm A, B, C, D, M, N kh«ng thÓ cïng n»m trªn mét mÆt cÇu. Gi¶i: Do BC // AD  BC // (SAD)  (MBC) (SAD) = MN Trong ®ã N thuéc SD; vµ MN // BC tøc lµ MN // AD. Ta cã: AD AB ( gi¶ thiÕt) vµ SB AD ( do SB(ABCD)) suy ra AD (SAB)  AD SA  MADN lµ h×nh thang vu«ng ( víi c¹nh ®¸y AD > MN). Do MADN lµ h×nh thang vu«ng thùc sù. Suy ra MADN kh«ng thÓ néi tiÕp trong h×nh trßn. (1) Gi¶ thiÕt ph¶n chøng: 6 ®iÓm A, B, C, D, M, N cïng n»m trªn mét mÆt cÇu (S). Khi ®ã: (S) ph¶i c¾t (SAD) theo giao tuyÕn lµ ®­êng trßn (C1) nµo ®ã. V× A, M, N, D ®ång thêi n»m trªn (S) vµ trªn (SAD). Suy ra A, M, N, D  (C1). §iÒu ®ã nghÜa lµ: AMND lµ tø gi¸c néi tiÕp trong ®­êng trßn (C1). (m©u thuÉn víi (1))  gi¶ thiÕt ph¶n chøng sai. VËy 6 ®iÓm A, B, C, D, M, N kh«ng thÓ cïng n»m trªn mét mÆt cÇu. Bµi to¸n 4: Cho ®­êng th¼ng a kh«ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P). Chøng minh: cã mét vµ chØ mét mÆt ph¼ng (Q) ®i qua a vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P). Gi¶i: Tõ ®iÓm O n»m trªn a ta kÎ ®­êng th¼ng b (P). Hai ®­êng th¼ng ph©n biÖt a, b c¾t nhau t¹i O, t¹o nªn (Q) (P). a P Q b O Gi¶ sö cã hai mÆt ph¼ng ®i qua a vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) lµ (Q) vµ (Q’) Suy ra (Q’) ®i qua a vµ (Q’) (P). Theo ®Þnh lý: “ Hai mÆt ph¼ng c¾t nhau vµ cïng vu«ng gãc víi mét mÆt ph¼ng thø ba th× giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng ®ã cïng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng thø ba”. Suy ra: a = (Q) (Q’) ; a (P) ( tr¸i gi¶ thiÕt: “ a kh«ng vu«ng gãc (P)”). VËy . 3.2.C¸c bµi to¸n chøng minh trùc tiÕp. 3.2.1.C¸c bµi to¸n trong sè häc. (C¸c bµi to¸n chøng minh chia hÕt, chøng minh ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm, chøng minh mét sè, mét biÓu thøc cã tÝnh chÊt H (lµ sè chÝnh ph­¬ng, sè nguyªn tè, ...)). Bµi to¸n 1: Cho c¸c sè A = ; B = ; C = . Chøng minh: A +B + C + 8 lµ mét sè chÝnh ph­¬ng. Gi¶i: Ta cã: A = =  A = B = =  B = C = = 6. Do ®ã: A +B + C + 8 = = = 62 VËy A +B + C + 8 lµ mét sè chÝnh ph­¬ng. Bµi to¸n 2: Chøng minh: a) (m5 – m) 30,  m  Z. b) NÕu ab (mod pn) víi p, n  Z+ vµ p, n > 1 th× ta cã: ap bp (mod pn +1). Gi¶i: a) Ta cã: m5 – m = m5 + 5 m3 –5m3 – 5m + 4m = m5–5m3 + 4m + 5m (m +1)(m – 1) = m(m4–5m2 + 4) + 30.k (k  Z) = m(m2– 1)(m2- 4) + 30.k =m(m – 2)(m – 1)(m + 1)( m + 2) + 30.k = 30.t + 30.k (t, k  Z) VËy (m5 – m) 30,  m  Z. b) Ta cã: ab (mod pn)  a – b 0 (mod pn)  a = b + pnt (t  Z). Do ®ã ap = (b + pnt)p = bp + bp-1pnt + ... + b(pnt)p-1 + (pnt)p  ap - bp = bp-1pnt + ... + b(pnt)p-1 + (pnt)p Ta cã: = 1  bp-1pnt pn+1 bp-k(pnt)k = bp-k(pnt)k pn+1  ap - bp pn+1  ap - bp 0 (mod pn+1)  ap bp (mod pn+1). Bµi to¸n 3: Chøng minh trong 8 sè tù nhiªn mçi sè cã 3 ch÷ sè bao giê còng chän ®­îc 2 sè mµ khi viÕt liÒn nhau ta ®­îc mét sè cã 6 ch÷ sè vµ chia hÕt cho 7. Gi¶i: LÊy 8 sè ®· cho chia cho 7 th× 2 sè cã cïng sè d­, gi¶ sö lµ vµ chia cho 7 cã d­ lµ r. Khi ®ã: = 1000 + = 1000(7k + r) + 7t + r = 7(1000k + 1 + 143r ) 7 (®pcm) Bµi to¸n 4: Chøng minh ph­¬ng tr×nh sau cã ®óng hai nghiÖm. T×m hai nghiÖm ®ã. Gi¶i: XÐt c¸c kh¶ n¨ng sau: NÕu x1 = 1998 vµ x2 = 1999, th× x1 vµ x2 tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh ®· cho. NÕu x 1   VT > 1   x 1999    VT > 1   x > 1999 kh«ng lµ nghiÖm. 4. XÐt 1998 0 th× . Gi¶i: a) (a + b + c)2  3(a2 + b2 + c2) (1)  a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac  3a2 + 3b2 + 3c2  2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc -2ac  0  (a- b)2 + (b – c)2 + (c – a)2  0 (2) BÊt ®¼ng thøc (2) lu«n ®óng nªn bÊt ®¼ng (1) ®óng. b) Tõ vµ b, d > 0 , suy ra ad 0. Ta cã: VËy . Bµi to¸n 2: Chøng minh:  A, B ta cã: sin2(A + B) = sin2A + sin2B + 2sin Asin B cos(A +B). Gi¶i: sin2(A + B) = (sin Acos B + sin B cos A)2 = sin2A cos2B + sin2B cos2A + 2sin A cos Asin B cosB = sin2A (1 - sin2B) + sin2B (1- sin2A) + 2sin A cos Asin B cosB = sin2A + sin2B - 2sin2A sin2B + 2sin A cos Asin B cosB = sin2A + sin2B + 2sinA sinB (cos AcosB - sin Asin B) = sin2A + sin2B + 2sin Asin B cos(A +B). Bµi to¸n 3: Chøng minh nÕu m lµ mét sè tù nhiªn ch½n vµ a lµ mét sè lín h¬n 3 th× ph­¬ng tr×nh: (n + 1)xn + 2 – 3(n + 2)xn +1 + an + 2 = 0 v« nghiÖm. Gi¶i: §Æt f(x) = (n + 1)xn + 2 – 3(n + 2)xn +1 + an + 2 ta cã: f’(x) = (n +2)(n + 1)xn + 1 – 3(n +1)(n + 2)xn = (n +1)(n + 2)xn (x – 3) f’(x) = 0  Do n ch½n nªn f’(x) chØ ®æi dÊu qua x = 3. Suy ra min f(x) = f(3) = an + 2 – 3n +2 > 0 ( do a > 0). VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm. Bµi to¸n 4: Cho ph­¬ng tr×nh: f(x) = x3 – 3x2 + (2m – 2 )x + m – 3 = 0. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh nãi trªn cã ba nghiÖm ph©n biÖt x1, x2, x3tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x1 Gi¶i: §iÒu kiÖn cÇn: Gi¶ sö f(x) = 0 cã ba nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n.Khi ®ã dÔ thÊy: f(x) = (x - x1)(x- x2)(x- x3). V× x1 0  - m – 5 > 0  m 0 ( do m 0 sao cho f(b) > 0. Ta cã: f(a) 0, f(0) 0 víi a Gi¶i: V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn: SABG = SBCG = SCAG Suy ra VSABG = VSBCG = VSCAG =V  VSABG = 3V. Ta cã:  T­¬ng tù ta cã: Mµ VSA’B’G’ + VSB’C’G’ + VSA’C’G’ = VSA’B’C’ nªn ta cã:  Bµi to¸n 2: a) Cho tø gi¸c ABCD.Chøng minh: AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = 2. b) Cho tam gi¸c ABC ®Òu, M lµ ®iÓm n»m miÒn trong tam gi¸c ABC. C¸c ®iÓm D, E, F lµ h×nh chiÕu cu¶ ®iÓm M trªn BC, CA, AB. Chøng minh: (G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC). Gi¶i: a) Ta cã: AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = = = = = = == = =2. b) Qua M kÎ c¸c ®­êng th¼ng song song víi c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC. Gi¶ sö lµ: KH; PL; NQ nh­ h×nh vÏ. Suy ra: MKQ; LMH; NMP ®Òu. Ta cã: = = = = . VËy 3.3. C¸c bµi to¸n chøng minh b»ng quy n¹p. 3.3.1. C¸c bµi to¸n trong sè häc vµ ®¹i sè. *Chøng minh b»ng quy n¹p th­êng dïng trong c¸c lo¹i to¸n: - Bµi to¸n vÒ d·y (®¼ng thøc tÝnh tæng, tÝnh tæng) mµ c«ng thøc chøa biÕn tù nhiªn. - Chøng minh ®¼ng thøc, bÊt ®¼ng thøc phô thuéc vµo sè nguyªn d­¬ng n. - Chøng minh tÝnh chia hÕt hoÆc kh«ng chia hÕt phô thuéc vµo sè nguyªn d­¬ng n. - TÝnh tÝch ph©n cña c¸c ®a thøc cã bËc n. - T×m ®¹o hµm cña hµm sè cho tr­íc. 3.3.1.1. Sö dông nguyªn lý chøng minh quy n¹p to¸n häc thø nhÊt. Bµi to¸n 1: Chøng minh r»ng: (1)  n  Z+ Gi¶i: Khi n = 1, ta cã: (®óng) Do ®ã ®¼ng thøc (1) ®óng víi n = 1 Gi¶ sö ®¼ng thøc (1) ®óng víi n = k, k  Z+, nghÜa lµ ta cã: (2) Ta chøng minh (1) ®óng khi n = k + 1 nghÜa lµ ta chøng minh: (3) Céng vµo hai vÕ cña (2) ta cã: = = (3) ®· ®­îc chøng minh. VËy: ,  n  Z+ Bµi to¸n 2: Chøng minh tõ 2n +1 – 1 sè nguyªn bÊt kú cã thÓ t×m ®­îc 2n mµ tæng cña chóng chia hÕt cho 2n. Gi¶i: a) Víi n = 1, ta cã: 22  (1) ®óng. Gi¶ sö (1) ®óng víi n = k, tøc lµ ta cã: (k +1)(k + 2)...(k +k) 2k ,  k  1 Ta ph¶i chøng minh (1) ®óng víi n = k + 1. Tøc lµ: (k +2)(k + 3)...(2k +2) 2k +1 ThËt vËy: A = (k +2)(k + 3)...2k(2k +2) = (k +1)(k + 2)...(k +k).2 Theo gi¶ thiÕt quy n¹p: (k +1)(k + 2)...(k +k) 2k Suy ra: A 2k +1 . Hay (k +2)(k + 3)...(2k +2) 2k + 1.  (1) ®óng víi n = k + 1. VËy (n +1)(n + 2)...(n +n) 2n ,  n  1 b) Víi n = 1: 31  13  (2) Gi¶ sö (2) ®óng víi n = k, tøc lµ ta cã: 3k  k3,  k  Z+ Ta ph¶i chøng minh (2) ®óng víi n = k + 1, tøc lµ 3k + 1  (k +1)3 (*) Ta cã: (2)  3k + 1  3k3 = k3 + 3k2 + 3k + (k – 3)k2 +(k2 – 3)k  3k + 1  k3 + 3k2 + 3k + 1 = (k +1)3 ( v× (k – 3)k2 > 1,(k2 – 3)k > 1)  (*) ®­îc chøng minh. VËy 3n  n3,  n  Z+ 3.3.1.1. Sö dông nguyªn lý chøng minh quy n¹p to¸n häc thø hai. Bµi to¸n 1: Chøng minh r»ng sè nguyªn tè thø n nhá h¬n Gi¶i: Gäi pn lµ sè nguyªn tè thø n, n  Z+ . Ta chøng minh r»ng: pn pk Gäi d lµ mét ­íc sè nguyªn tè cña A  d  A. NÕu d  pk th× d | p1 p2 p3... pk Do ®ã d |1, v« lý. Ta suy ra : d |pk  d > pk+1. Ta cã: pk+1  d  A = p1 p2 p3... pk + 1  pk+1 Gi¶i: Khi n = 0, ta cã: u 1 Gi¶i: Khi n = 1: víi ®a gi¸c cã 3 c¹nh ta lu«n cã mét tam gi¸c. VËy bµi to¸n ®óng víi n = 1. Gi¶ sö bµi to¸n ®óng khi n = k ( k  N) vµ k  1: ®a gi¸c (k + 2) c¹nh chia ®­îc thµnh k tam gi¸c. Ta chøng minh bµi to¸n ®óng khi n = k +1. NghÜa lµ: ®a gi¸c (k + 3) c¹nh chia ®­îc thµnh (k + 1) tam gi¸c. Ta nèi hai ®Ønh cßn l¹i cña hai c¹nh cã chung ®Ønh nµo ®ã cña ®a gi¸c (k + 3) c¹nh, ta ®­îc mét ®a gi¸c (k + 2) c¹nh vµ mét tam gi¸c. Theo gi¶ thiÕt quy n¹p, ®a gi¸c (k + 2) c¹nh chia ®­îc thµnh k tam gi¸c. Do ®ã ta ®· chia ®­îc ®a gi¸c (k + 3) c¹nh thµnh (k +1) tam gi¸c. VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. Bµi to¸n 2: Cho ABC, qua C vÏ n – 1 ®­êng th¼ng CM1, CM2,..., CMn – 1 chia tam gi¸c thµnh n tam gi¸c nhá h¬n ACM1, M1CM2,..., Mn – 1CB. Gäi r1, r2,..., rn vµ l1, l2,..., ln lÇn l­ît lµ b¸n kÝnh c¸c ®­êng trßn néi tiÕp vµ bµng tiÕp cña c¸c tam gi¸c nµy.(TÊt c¶ c¸c ®­êng trßn bµng tiÕp ®Òu n»m trong gãc C cña tam gi¸c). Gäi r, l lÇn l­ît lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp vµ bµng tiÕp (gãc C) cña ABC. Chøng minh r»ng: . Gi¶i: A B C r1 r2 r3 l1 l2 l3 M1 M2 Gäi S lµ diÖn tÝch ABC vµ p lµ nöa chu vi. Khi ®ã ta cã: S = p.r MÆt kh¸c nÕu O lµ t©m ®­êng trßn bµng tiÕp cña ABC (h×nh vÏ) th×: S = SOAC + SOCB - SOAB = b.l + a.l - c.l = (b + a - c).l = (p – c).l Do ®ã: p.r = (p – c).l  (*) Mµ S = p.(p – a) tg= p.(p – b) tg= p.(p – c) tg vµ S = (c«ng thøc Hªr«ng)  tg= = vµ tg= Ta cã: tgtg= Theo (*) suy ra: tgtg= (1) * Chøng minh: Víi n = 1, hiÓn nhiªn : Víi n = 2, ®­êng th¼ng CM chia ABC thµnh 2 tam gi¸c nhá h¬n lµ ACM vµ CMB. Theo c«ng thøc (1) ta cã: tgtg tgtg= tgtg tgtg= tgtg= Gi¶ sö mÖnh ®Ò ®óng víi n ®­êng th¼ng tøc lµ ta cã n + 1 tam gi¸c nhá vµ Ta ph¶i chøng minh bµi to¸n ®óng víi n + 1. ThËt vËy: Qua C vÏ n + 1 ®­êng th¼ng CM1, CM2,..., CMn + 1 chia tam gi¸c thµnh n + 2 tam gi¸c nhá h¬n ACM1, M1CM2,..., Mn + 1CB. XÐt 2 trong c¸c tam gi¸c trªn, ch¼ng h¹n ACM1, M1CM2. Theo chøng minh trªn ta cã: Víi r12, l12 lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp vµ bµng tiÕp (gãc C) cña ACM2. Nh­ng víi n + 1 tam gi¸c ACM2, M2CM3,..., Mn + 1CB, ta cã hÖ thøc: Do ®ã: Suy ra bµi to¸n ®óng víi n + 1. VËy bµi to¸n ®­îc chøng minh. Bµi to¸n 3: Cho n h×nh vu«ng bÊt kú. Chøng minh r»ng: cã thÓ c¾t chóng (b»ng nh¸t c¾t th¼ng) lµm mét sè m¶nh ®a gi¸c ®Ó tõ ®ã cã thÓ ghÐp l¹i thµnh mét h×nh vu«ng míi. Gi¶i: Víi n = 1, hiÓn nhiªn ®óng. Ta chøng minh víi n = 2, bµi to¸n còng ®óng. A1 C1 (h.2) B1 D1 M1 N1 P1 Q1 (b) (a) ThËt vËy: LÇn l­ît gäi ®é dµi c¸c c¹nh cña 2 h×nh vu«ng cho tr­íc ABCD vµ A’B’C’D’ lµ x vµ y (x  y). Trªn c¸c c¹nh cña h×nh vu«ng ABCD (h.2a) ta lÊy c¸c ®o¹n: AM = BN = CP =DQ = C¾t h×nh vu«ng däc theo c¸c ®­êng th¼ng MP vµ NQ. Giao cña MP vµ NQ lµ O. Tõ M, Q kÎ QK BC, ML DC, cã: tam gi¸c vu«ng QKN b»ng tam gi¸c vu«ng MLP. Suy ra QN = MP (*) vµ cã QNML =I , . Mµ:   MP NQ Nèi QM, MN cã: QM = MN  QO = ON (**) QN = QP  OP = OM Tõ (*) vµ (**) suy ra QO = OP = OM = ON  AMOQ; BNOM; CPON; DQOP lµ 4 m¶nh b»ng nhau, O lµ t©m cña h×nh vu«ng MNPQ. Ta cã: MP NQ vµ chia h×nh vu«ng thµnh 4 m¶nh b»ng nhau t¹i t©m O cña nã. GhÐp c¸c m¶nh nµy víi h×nh vu«ng thø 2 nh­ h×nh 2.b, ta ®­îc mét h×nh vu«ng.V× t¹i M1, N1, P1, Q1 c¸c gãc bï nhau; A1, B1, C1, D1 lµ c¸c gãc vu«ng vµ A1B1 = B1C1= C1D1 = D1A1 ( lµ tæng cña 2 c¹nh b»ng nhau). Gi¶ sö bµi to¸n ®­îc chøng minh víi n h×nh vu«ng. Ta ph¶i chøng minh bµi to¸n ®óng víi n + 1 h×nh vu«ng. Ta cã: n + 1 h×nh vu«ng K1, K2,..., Kn, Kn +1. LÊy ra 2 h×nh bÊt kú, ch¼ng h¹n Kn vµ Kn +1. Theo chøng minh trªn ta cã thÓ c¾t mét trong 2 h×nh vu«ng nµy vµ ghÐp c¸c m¶nh víi h×nh vu«ng thø 2 ®Ó cã h×nh vu«ng míi K’. Khi ®ã nhê gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã thÓ c¾t n h×nh vu«ng K1, K2,..., Kn, Kn –1,K’ ®Ó t¹o nªn mét h×nh vu«ng míi tõ nh÷ng m¶nh c¾t nµy.