Đề tài Bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương (hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu) đểxấp xỉhàm trong thực nghiệm

----------------------------------------------------------------------------- - 29 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 Chứng minh Từ (5 – 3) ta có: . (5 – 13) Từ (5 – 10) ta lại có = = = . (5 – 14) Nhưng Vậy từ (5 – 14) suy ra . (5 – 15) Kết hợp (5 – 13) và (5 – 15) ta có . [ ] [ ] [ ]             −−= −−= ∑ ∑ ∑ ∑ = − = − + = = + )125( )( )()( )115( )( )( 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 n i ir n i iriri r n i ir n i iri r xR xRxRx xR xRx γ β [ ] 0)()(, 1 1111 ==∑ = +−+− n i irirrr xRxRRR [ ] { }∑ = −++−+− =++= n i irrirriirrr xRxRxxRRR 1 111111 )()()()(, γβ ∑∑∑ = −−+ = −+ = − ++ n i irirr n i irirr n i iriri xRxRxRxRxRxRx 1 111 1 11 1 1 )()()()()()( γβ 2 1 11 1 11 1 1 ])([)()()()( ∑∑∑ = −+ = −+ = − ++ n i irr n i irirr n i iriri xRxRxRxRxRx γβ [ ] 0,)()( 1 1 1 == − = −∑ rr n i irir RRxRxR [ ] [ ]∑∑ = −+ = −+− += n i irr n i iririrr xRxRxRxRR 1 2 11 1 111 )()()(, γ [ ] 0)()()( 1 2 11 1 1 =+ ∑∑ = −+ = − n i irr n i iriri xRxRxRx γ Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 30 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 Hay (*) Từ (5 – 3) ta cũng có . (5 – 16) Từ (5 – 10) ta cũng có = = = . (5 – 17) Nhưng . Nên từ (5 – 17) suy ra . (5 – 18) Kết hợp (5 – 16) và (5 – 18) ta có: . Hay . (* *) Từ (*) và (* *) thì bổ đề 1 được chứng minh hoàn toàn. [ ]∑ ∑ = − = − + −= n i ir n i iriri r xR xRxRx 1 2 1 1 1 1 )( )()( γ [ ] 0)()(, 1 11 ==∑ = ++ n i irirrr xRxRRR [ ] { }∑ = −+++ =++= n i irrirriirrr xRxRxxRRR 1 1111 )()()()(, γβ ∑∑∑ = −+ = + = ++ n i irirr n i irirr n i iriri xRxRxRxRxRxRx 1 11 1 1 1 )()()()()()( γβ ∑∑∑ = −+ = + = ++ n i irirr n i irr n i iri xRxRxRxRx 1 11 1 2 1 1 2 )()()]([)]([ γβ [ ] 0,)()( 1 1 1 == − = −∑ rr n i irir RRxRxR [ ] [ ]∑∑ = + = + += n i irr n i irirr xRxRxRR 1 2 1 1 2 1 )()]([, β [ ] 0)()]([ 1 2 1 1 2 =+ ∑∑ = + = n i irr n i iri xRxRx β [ ]∑ ∑ = = + −= n i ir n i iri r xR xRx 1 2 1 2 1 )( )]([ β Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 31 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 Tuy nhiên để đơn giản các tử số và mẫu số của các công thức và ta sẽ chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2: Các tử và mẫu số của các công thức (5 – 11) và (5 – 12) có thể khai triển thành tổng những lũy thừa có dạng: 1 ν = =∑ n v i i S x . (5 – 19) Cụ thể là + = = . (5 – 20) + . (5 – 21) + (5 – 22) trong đó , , … , là các hệ số của đa thức ( )rR x cho dưới dạng (5 – 2). Chứng minh Từ (5 – 2) ta có thể viết lần lượt các đa thức 0 1( ), ( ),..., ( ),..., ( )k rR x R x R x R x dưới dạng 1+rβ 1+rγ [ ]∑ ∑ = = = n i n i ir r iir xRxxR 1 1 2 )()( ∑∑∑∑ == +− = − = ++++ n i r i r r n i r i r r n i r ir n i r i xxxx 1 )( 1 1)1( 1 12)1( 1 2 ... ααα ∑∑ == − = n i ir r i n i iriri xRxxRxRx 11 1 )()()( ∑∑∑∑∑ == + == + = ++++= n i ir r ir n i r i r r n i r ir n i r i n i iri xRxxxxxRx 1 )1( 1 1)( 1 2)1( 1 12 1 2 )(...)]([ ααα )1( rα )2( rα )(r rα Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 32 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 (5 – 23) Ta có (1)1 1 1 1 0 1 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )α α= − = − = +x R x R x R x R x a R x . 2 (1) (2) (1) (2) 2 2 2 2 2 1 1 0 2( ) ( ) ( ( ) ( ))α α α α α= − − = − − − =x R x x R x R x R x (1) (1) (2) 2 2 1 2 1 2 0( ) ( ) ( ) ( )α α α α= − + − =R x R x R x (2) (2) 2 1 1 0 0( ) ( ) ( )= + +R x a R x a R x . Tổng quát ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0( ) ( ) ... ( ) ( )− −= + + + +k k k kk k kx R x a R x a R x a R x . Hay ta có thể thu được (5 – 24) Với k < r và dựa trên (5 – 24) ta có = = = =            ++++= ++++= ++= += = −− −− )()1(1)1( )()1(1)1( )2( 2 )1( 2 2 2 11 0 ...)( ............................................................. ...)( ............................................................. )( )( 1)( r r r r r r r r k k k k k k k k xxxxR xxxxR xxxR xxR xR ααα ααα αα α           ++++= ++++= ++= += −− −− )()(...)()( ................................................................................. )()(...)()( ...................................................... )()()( )()( 0 )( 01 )( 11 )( 1 0 )( 01 )( 11 )( 1 0 )2( 01 )2( 12 2 0 )1( 01 xRaxRaxRaxRx xRaxRaxRaxRx xRaxRaxRx xRaxRx rr r r rr r kk k k kk k [ ] ==∑ = n i r k ir k xRxRx 1 )(, { }∑ = −− ++++ n i iri k i k ik k kik xRxRaxRaxRaxR 1 0 )( 01 )( 11 )( 1 )()()(...)()( ∑∑∑ == −− = +++ n i iri k n i irik k k n i irik xRxRaxRxRaxRxR 1 0 )( 0 1 1 )( 1 1 )()(...)()()()( Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 33 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 = = = + … + . Từ đó dựa trên (5 – 3) ta có (với k < r) = 0 + .0 + …+ .0 = 0. (5 – 25) Giả sử ( ) s xψ là đa thức bậc s < r 0 ( ) s k s k k x a xψ = =∑ . Khi đó = = = . Từ đó dựa trên (5 – 25) ta có . (5 – 26) Ngoài ra dựa trên (5 – 2) ta có ∑∑∑ == −− = +++ n i iri k n i irik k k n i irik xRxRaxRxRaxRxR 1 0 )( 0 1 1 )( 1 1 )()(...)()()()( [ ]+rk RR , )( 1kka − [ ]rk RR ,1− )(0ka [ ]rRR ,0 [ ] ==∑ = n i r k ir k xRxRx 1 )(, )( 1 k ka − )( 0 ka [ ] ∑ = = n i irisrs xRxR 1 )()(, ψψ ∑ ∑ = =      n i ir s k k ik xRxa 1 0 )( ∑ ∑ = =      s k n i ir k ik xRxa 0 1 )( [ ]∑ = s k r k k Rxa 0 , [ ] )(00., 0 rsaR s k krs <==∑ = ψ [ ] { }∑∑ = −− = ++++= n i r r r r r r r ir n i ir xxxxRxR 1 )()1(1)1( 1 2 ...)()( ααα Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 34 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 = = = . Kết hợp với (5 – 25) ta có = . (5 – 27) Dựa trên (5 – 2) ta có = = . (5 – 28) Kết hợp (5 – 27) và (5 – 28) ta suy ra (5 – 20) Mặt khác vì 1( )−rR x là đa thức bậc r – 1 với hệ số của 1−rx là 1 nên 1. ( )−rx R x là đa thức bậc r với hệ số của rx là 1. Do đó ta có thể viết 1 1. ( ) ( )ψ− −= +rr rx R x x x . (5 – 29) Trong đó 1( )ψ −r x là đa thức bậc r – 1. Từ (5 – 29) suy ra ∑∑∑∑ == − = − = ++++ n i ir r r n i iri r r n i ir r ir n i ir r i xRxRxxRxxRx 1 )( 1 )1( 1 1)1( 1 )()(...)()( ααα ∑∑∑∑ == − = − = ++++ n i ir r r n i iri r r n i ir r ir n i ir r i xRxRxxRxxRx 1 )( 1 )1( 1 1)1( 1 )()(...)()( ααα [ ] [ ] [ ] r r rr r rr r r n i ir r i RxRxRxxRx ,,...,)( 0)(1)1(1)1( 1 ααα ++++ −− = ∑ [ ] 0.0....0.)()( )()1()1( 11 2 r r r rr n i ir r i n i ir xRxxR ααα ++++= − == ∑∑ ∑ = n i ir r i xRx 1 )( { }∑∑ = −− = ++++= n i r ri r r r ir r i r i n i ir r i xxxxxRx 1 )()1(1)1( 1 ...)( ααα ∑∑∑∑ == − = − = ++++ n i r i r r n i i r i r r n i r i r ir n i r i xxxxxx 1 )( 1 )1( 1 1)1( 1 2 ... ααα ∑∑∑∑ == − = − = ++++ n i r i r r n i i r i r r n i r i r ir n i r i xxxxxx 1 )( 1 )1( 1 1)1( 1 2 ... ααα [ ]∑ = = n i ir xR 1 2)( ∑∑∑∑ == +− = − = ++++ n i r i r r n i r i r r n i r ir n i r i xxxx 1 )( 1 1)1( 1 12)1( 1 2 ... ααα Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 35 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 = = . (5 – 30) Nhưng dựa trên (5 – 26) ta có = 0. Do đó từ (5 – 30) ta thu được (5 – 21) . Cuối cùng từ (5 – 2) ta có (1) 1 2( ) ( )α ψ− −= + +r rr r rR x x x x . (5 – 31) Trong đó 1( )ψ −r x là một đa thức cấp r – 2 Từ (5 – 31) suy ra 1 (1) 1. ( ) ( )α ψ+ −= + +r rr r rx R x x x x . (5 – 32) Trong đó 1( )ψ −r x là đa thức bậc r – 1. Từ (5 – 32) ta có [ ] { } { }2 1 (1) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )r rr i r r r r rx R x xR x R x x x x R xα ψ+ −= = + + . Do đó suy ra = = { } )()(x + x)()(. 1 i1-r r i 1 1 ir n i n i iriri xRxRxRx ∑∑ == − = ψ ∑∑ = − = + n i irir n i ir r i xRxxRx 1 1 1 )()()( ψ [ ]rr n i ir r i RxRx ,)( 1 1 − = +∑ ψ [ ]rr R,1−ψ ∑∑ == − = n i ir r i n i iriri xRxxRxRx 11 1 )()()( [ ] { }∑ ∑ = = − + ++= n 1i 1 1 )1(12 ri )()()(Rx n i irir r ir r ii xRxxxx ψα ∑∑∑ = − == + ++ n i irir n i r r ir n i ir r i xRxxRxxRx 1 1 1 )1( 1 1 )()()()( ψα Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 36 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 = . (5 – 33) Nhưng dựa trên (5 – 26) ta có . (5 – 34) Mặt khác dựa trên (5 – 2) ta có = = = . (5 – 35) Thay (5 – 34), (5 – 35) vào (5 – 33) ta thu được (5 – 22) tức là . Từ đó bổ đề 2 hoàn toàn được chứng minh. Từ bổ đề 1 và bổ đề 2 ta nhận thấy rằng: Để thu được các đa thức trực giao của hệ (5 – 1), từ các công thức (5 – 10) và (5 – 12) ta cần tính tất cả các tổng những lũy thừa có dạng 1 n i i S xνν = =∑ ( 1,2,...,2 1)mν = − . Ngoài ra khi áp dụng công thức (5 – 5) để tìm các hệ số 0 1, ,..., ma a a của (5 – 4) lại cần tính các tổng , …, ở mẫu số của công thức. Nghĩa là dựa trên (5 – 20) cần tính các tổng những lũy thừa ∑∑∑ = − == + ++ n i irir n i r r ir n i ir r i xRxxRxxRx 1 1 1 )1( 1 1 )()()()( ψα [ ] 0,)()( 1 1 1 == − = −∑ rr n i irir RxRx ψψ { }∑ ∑ = = −−++ ++++= n i n i r ri r r r ir r i r iir r i xxxxxRx 1 1 )()1(1)1(11 ...)( ααα ∑ = ++−+ ++++ n i r i r r r i r r r ir r i xxxx 1 1)(2)1(2)1(12 ... ααα ∑ ∑∑∑ = = + = +− = + ++++ n i n i r i r r n i r i r r n i r ir r i xxxx 1 1 1)( 1 2)1( 1 2)1(12 ... ααα ∑ ∑∑∑ = = + = +− = + ++++ n i n i r i r r n i r i r r n i r ir r i xxxx 1 1 1)( 1 2)1( 1 2)1(12 ... ααα ∑∑∑∑∑ == + == + = ++++= n i ir r ir n i r i r r n i r ir n i r i n i iri xRxxxxxRx 1 )1( 1 1)( 1 2)1( 1 12 1 2 )(...)]([ ααα ∑ = n i ixR 1 2 1 )]([ ∑ = n i im xR 1 2)]([ Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 37 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 1 n i i S xνν = =∑ ( 1,2,...,2 )mν = . Còn các tử số của công thức (5 – 5) lần lượt là [ ] [ ] [ ]0 1, , , ,..., , my R y R y R . Để tính mỗi tử số này ta dựa vào (5 – 2) và dựa vào khai triển ( 0,1,..., )r m= . = = . (5 – 36) Tóm lại: Để tìm hàm xấp xỉ ( ) m M x ta cần tìm 2m tổng Sν ( 1,2,...,2 )mν = và m tổng ( 0,1,..., )r m= . Khi đó trong bảng tính toán giải bài toán mỗi tổng nói trên được lập theo một cột. 2.3.4 Sai số của phương pháp Cuối cùng để tính sai số trung bình phương một cách thuận lợi ta dùng công thức (5 – 6) . Nên khi tính toán ta cần tính thêm tổng . Khi sai số trung bình phương tìm được chưa đủ bé (nghĩa là m chưa đủ lớn) ta cần tăng dần cấp m của hàm xấp xỉ ( ) m M x . Khi đó trong bảng tính cũ cần [ ] { }∑∑ = −− = ++++== n i r ri r r r ir r ii n i irir xxxyxRyRy 1 )()1(1)1( 1 ...)(, ααα ∑ ∑∑∑ = == − = − ++++ n i n i i r r n i ii r r n i r iir r ii yxyxyxy 1 1 )( 1 )1( 1 1)1( ... ααα ∑ ∑∑∑ = == − = − ++++ n i n i i r r n i ii r r n i r iir r ii yxyxyxy 1 1 )( 1 )1( 1 1)1( ... ααα ∑ = n i r ii xy 1 [ ] [ ] [ ]       −=       −= ∑∑∑ === m j jj n i i m j jjn Ryay n Ryayy n 01 2 0 , 1 ,, 1 σ ∑ = n i iy 1 2 Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 38 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 bổ xung những cột tính Sν và mới nhưng kết quả cũ vẫn được sử dụng. 2.4 Xấp xỉ hàm bằng đa thức lượng giác ∑ = n i r ii xy 1 Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 39 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 2.4.1 Định nghĩa đa thức lượng giác Trong thực tế khi tính toán ta gặp những hàm ( )f x có tính chất tuần hoàn. Ta tìm cách xấp xỉ một hàm để phản ánh được đặc điểm riêng của nó. Khi đó từ đa thức suy rộng tổng quát ( ) 1 ( ) m m i i i x a xφ ϕ = =∑ . (6 – 1) Lấy hệ hàm lượng giác làm hàm cơ sở. Ta giả thiết rằng các hàm ( )f x xét trên đoạn pi≤ ≤0 2x . Trên đoạn có độ dài pi2 thì hệ hàm lượng giác { } { }φ =( ) 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cosmx,sinmxi x . Là tuần hoàn và độc lập tuyến tính. Khai triển hàm ( )f x theo cơ sở (6 – 1) gọi là khai triển lượng giác hay khai triển Fourier. Tức là hàm xấp xỉ là một đa thức lượng giác có dạng ( )0 1 ( ) cos sin k k r r r T x rx rxα α β = = + +∑ . (6 – 2) Trong đó α β,r r là những hằng số và k là số tự nhiên nào đó. 2.4.2 Thuật toán 2.4.2.1 Trường hợp hàm cho bằng bảng Cụ thể biết n giá trị iy của hàm ( )f x tại các điểm ix ( 1,2,..., )i n= và giả sử ≥ + = +1 2 1n m k ở đây ta coi ϕ ϕ ϕ − = = = = 0 2 1 2 ( ) 1, ( ) cos , ( ) sin ( 1, 2, ..., ) r r x x rx x rx r n . (6 – 3) Khi đó [ ] [ ]0 0 0 1 , , , n i i n y yϕ ϕ ϕ = = = ∑ . (6 – 4) Với 1,2,...,2 ; 1,2,...,2i k j k= = thì Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 40 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 ϕ ϕ = =  = −    =    =  ∑ ∑ 1 0 1 coss ( 2 1) , sin ( 2 ) n i i j n i i x j s sx j s (6 – 5) ϕ ϕ = = =  = − = −     = = = −    = =  ∑ ∑ ∑ 1 1 1 cos cos ( 2 1, 2 1) , sin cos ( 2 , 2 1) sin sin ( 2 , 2 ) n i i i n i j i i i n i i i rx rx i r j s rx sx i r j s rx sx i r j s (6 – 6) ϕ = =  = −    =    =  ∑ ∑ 1 1 cos ( 2 1) , sin ( 2 ) n i i i j n i i i y sx j s y y sx j s (6 – 7) Dựa trên các công thức (6 – 4) ÷ (6-7) ta thấy hệ phương trình chuẩn (3 – 5) để xác định các hệ số α β, của đa thức xấp xỉ (6 – 1) có dạng α α β α α β α α β = = = = = = = = = = = = =   + + =      + + =      + + =    ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 cos sin cos cos cos sin cos cos sin cos sin sin sin sin n n n n r i r i i i i i i n n n n n i r i i r i i i i i i i i i n n n n i r i i r i i i i i i i i n rx rx y sx rx sx rx sx y sx sx rx sx rx sx y sx =          ∑ ∑ 1 n i (6 – 8) Trong giải tích người ta chứng minh rằng: Hệ hàm lượng giác cơ bản (6 – 1) là hệ hàm độc lập tuyến tính trên toàn trục số −∞ < < +∞( )x . Nghĩa là hệ phương trình chuẩn (6 – 8) luôn và có duy nhất nghiệm. Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 41 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 Sai số trung bình phương của đa thức ( )kT x với hàm ( )f x có dạng tổng quát là [ ]σ = = −∑ 2 1 1 ( ) n n i k i i y T x n . (6 – 9) Hoặc tỉ mỉ hơn nếu sử dụng (3-11) và (6-7) ta thu được 2 0 1 1 1 1 1 1 cos sin n n k n n n i i r i i r i i i i r i i y y y rx y rx n σ α α β = = = = =    = − − +      ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ . (6 – 10) Các hằng số ,α β trong (6 – 10) là nghiệm của (6 – 8). Trên đây đã trình bày một phương pháp để xây dựng một đa thức lượng giác ( )kT x xấp xỉ với hàm ( )f x trong đó các điểm ix có vị trí bất kỳ. Bây giờ ta xét trường hợp các điểm ix nằm trên khoảng ( )0,2pi và cách đều nhau. Nghĩa là: 1 20 ... 2nx x x pi< < < < = . Trong đó ix ih= 2( 1,2,..., ; )i n h n pi = = . (6 – 11) Để chỉ ra tính trực giao của hệ lượng giác (6-1) trên tập hợp { }= 1 2, ,..., nX x x x nói trên ta sẽ chứng minh bổ đề sau Bổ đề 3 Với 2 1n k≥ + và ix là những điểm của tập hợp X , ta có các đẳng thức sau 1 1 cos sin 0 ( 1,2,..., ) n n i i i i rx rx r k = = = = =∑ ∑ (6 – 12) 1 cos sin 0 ( 1,2,..., ; 1,2,..., ) n i i i rx sx r k s k = = = =∑ (6 – 13) Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 42 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 1 1 cos cos sin sin 0 ( 1,2,..., ; 1,2,..., ; ) n n i i i i i i rx sx rx sx r k s k r s = = = = = = ≠∑ ∑ (6 – 14) 2 2 1 1 cos sin ( 1,2,..., ) 2 n n i i i i n rx rx r k = = = = =∑ ∑ . (6 – 15) Chứng minh Như ta đã biết công thức Ole sau đây cos sin ixe x i x= + . (6 – 16) Trong đó x là một số thực còn i là đơn vị ảo (nghĩa là 2i =-1) Bằng cách đồng nhất thức các phần thực và các phần ảo với nhau ta nhận thấy 1ixe = khi và chỉ khi 2x ppi= (p là một số nguyên). Từ đó ta nhận thấy khi 2 ,..., 2, 1,1,2,...,2 (2 1 )q k k k n= − − − + ≤ thì 2 1 h i iqh ne e pi = ≠ . Và áp dụng công thức tính tổng n từ một chuỗi số nhân (công bội là 1iqhe ≠ ) ta có ( 1) 2 1 1 ( 1) 1 1 i iq n h iqh i q iqhn n iqx iqih iqh iqh i i e e e e e e e e pi+ = = − − = = = − − ∑ ∑ . (6 – 17) Vì 2 ,..., 2, 1,1,2,...,2 (2 1 )q k k k n= − − − + ≤ (nghĩa là một số nguyên) nên theo nhận xét rút ra từ công thức ơle (6 – 16) ta có 2 1i qe pi = . Từ đó dựa trên (6 – 17) ta có 1 0i n iqx i e = =∑ 2 ,..., 2, 1,1,2,...,2q k k= − − − .(6 – 18) Từ (6 – 16) và (6 – 18) ta lại có 1 1 1 1 cos sin (cos sin ) 0i n n n n iqx i i i i i i i i qx i qx qx i qx e = = = = + = + = =∑ ∑ ∑ ∑ . (6 – 19) Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 43 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 Đồng nhất các phần thực và phần ảo từ vế đầu tiên và vế sau cùng của (6 – 19) ta được 1 1 cos sin 0 ( 2 ,...., 1,1,...,2 ) n n i i i i qx qx i k k = = = = = − −∑ ∑ . (6 – 20) Trong (6 – 20) lấy q = r (r = 1, 2, …, k) ta thu được (6 – 12) và lấy q = r + s (r = 1, …, k; s = 1, …, k) ta có 1 cos( ) 0 ( 1,..., ; 1,..., ) n i i r s x r k s k = + = = =∑ . (6 – 21) 1 sin( ) 0 ( 1,..., ; 1,..., ) n i i r s x r k s k = + = = =∑ . (6 – 22) Trong (6 – 20) lấy q = r - s (r = 1, …,k; s = 1, …,k; r ≠ s). Ta có 1 cos( ) 0 ( 1,..., ; 1,..., ; ) n i i r s x r k s k r s = − = = = ≠∑ . (6 – 23) 1 sin( ) 0 ( 1,..., ; 1,..., ; ) n i i r s x r k s k r s = − = = = ≠∑ . (6 – 24) Nhưng khi r = s thì sin( ) 0ir s x− = ( 1,2,..., )i n= nên đẳng thức (6 – 24) dùng trong cả hai trường hợp r=s nghĩa là 1 sin( ) 0 ( 1,..., ; 1,..., ) n i i r s x r k s k = − = = =∑ . (6 - 24’) Theo biến đổi lượng giác ta lại có 1 1 1 1 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 2 n n n i i i i i i i rx sx r s x r s x = = = = + + −∑ ∑ ∑ . (6 – 25) 1 1 1 1 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 2 n n n i i i i i i i rx sx r s x r s x = = = = − − +∑ ∑ ∑ . (6 – 26) 1 1 1 1 1 cos sin sin( ) sin( ) 2 2 n n n i i i i i i i rx sx r s x r s x = = = = + − −∑ ∑ ∑ . (6 – 27) Dựa trên (6 – 21), (6 – 23) từ (6 – 25) và (6 – 26) ta thu được (6 – 14) Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 44 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 Dựa trên (6 – 22), (6 – 24) từ (6 – 27) ta thu được (6 – 13) Ta xét biến đổi lượng giác [ ]2 1 1 1 1 cos 1 cos2 cos2 2 2 n n n i i i i i i n rx rx rx = = = = + = +∑ ∑ ∑ . (6 – 28) [ ]2 1 1 1 1 sin 1 cos2 cos2 2 2 n n n i i i i i i n rx rx rx = = = = − = −∑ ∑ ∑ . (6 – 29) Từ (6 – 20) ta lại có 1 cos2 0 ( 1,..., ) n i i rx r k = = =∑ . (6 – 30) Từ (6 – 28), (6 – 29) và (6 – 30) ta suy ra (6 – 15). Vậy bổ đề hoàn toàn được chứng minh. Và ta rút ra các hệ số của đa thức là: 0 1 1 n i i y n α = = ∑ ; 1 2 cos n r i i i y rx n α = = ∑ 1 2 sin n r i i i y rx n β = = ∑ (r = 1, …, k). 2.4.2.2 Trường hợp hàm cho bằng biểu thức Ta vẫn xét các hàm trên đoạn [ ]0,2pi và dùng hàm cơ sở như dạng hàm cho bằng bảng. Theo định nghĩa tích vô hướng [ ] piϕ ϕ = ∫ 2 0 0 0 , dx , [ ] 20 0 ,y ydx pi ϕ = ∫ . (6 – 31) Với 1,2,...,2 ; 1,2,...,2i k j k= = thì: 2 0 0 2 0 cos ( 2 1) , sin ( 2 ) j sx dx j s sx dx j s pi pi ϕ ϕ  = −   =    =  ∫ ∫ (6 – 32) Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 45 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 2 0 2 0 2 0 cos cos ( 2 1, 2 1) , sin cos ( 2 , 2 1) sin sin ( 2 , 2 ) i j rx sx dx i r j s rx sx dx i r j s rx sx dx i r j s pi pi pi ϕ ϕ  = − = −     = = = −    = =  ∫ ∫ ∫ (6 – 33) 2 0 2 0 cos ( 2 1) , sin ( 2 ) j y sx dx j s y y sx dx j s pi pi ϕ  = −   =    =  ∫ ∫ (6 – 34) Trên đoạn có độ dài 2pi thì hệ cơ sở (6 – 1) là cơ sở trực giao. Do đó ta tính các hệ số , r r α β theo công thức: 2 0 0 1 2 y dx pi α pi = ∫ 2 0 1 cos r y rx dx pi α pi = ∫ 2 0 1 sin r y rx dx pi β pi = ∫ Sai số trung bình phương của đa thức 2 2 2 2 2 0 10 1 ( ) 2 ( ) 2 k n r r r f x dx pi σ pi α α β pi =    = − + +     ∑∫ Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 46 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 CHƯƠNG III: CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 3.1 Đa thức đại số 3.1.1 Ví dụ 1 Bài toán: Sử dụng phương pháp binh phương tối thiểu tìm đa thức bậc 2: 2 2 0 1 2( )P x a a x a x= + + xấp xỉ với hàm cho bởi bảng 5 sau Bảng 5 x 0.78 1.56 2.34 3.12 3.81 y 2.50 1.20 1.12 2.25 4.28 Ở đây m = 2, n = 5 và từ bảng 1 ta thu được bảng 6 để tính các hệ số của phương trình chuẩn. (Quá trình tính toán thực hiện với 3 chữ số sau dấu phẩy). Bảng 6 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x y xy 2x y 1 1 1 1 1 0.78 1.56 2.34 3.12 3.81 0.608 20434 5.476 9.734 14.516 0.475 3.796 12.813 30.371 55.306 0.370 5.922 29.982 94.759 210.717 2.50 1.20 1.12 2.25 4.28 1.950 1.872 2.621 7.020 16.307 1.520 2.921 6.133 21.902 62.128 5 11.61 32.768 102.761 341.750 11.35 29.770 94.604 Từ đó suy ra các hệ số : 0 1 2, ,a a a của đa thức xấp xỉ 2 ( )P x cho từ hệ phương trình Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 47 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 (4 – 6) Giải hệ phương trình (4 – 6), ta có 0 1 25,045; 4,043; 1,009a a a= = − = . Do đó đa thức xấp xỉ cần tìm có dạng 2 2 ( ) 5,045 4,043 1,009P x x x= − + . Để so sánh các iy với P và chuẩn bị tính sai số trung bình phương ta thực hiện tính toán trên bảng 7. Bảng 7 x y P P -y [P -y] 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28 2,505 1,194 1,110 2,252 4,288 0,005 -0,006 -0,010 0,002 0,008 0,000025 0,000036 0,000100 0,000004 0,000064 Suy ra =0,000229. Và sai số trung bình phương = =0,007. 3.1.2 Ví dụ 2 Bài toán: Áp dụng phương pháp bình phương tối thiểu để tìm đa thức bậc 3: 2 3 3 0 1 2 3( )P x a a x a x a x= + + + xấp xỉ với hàm cho theo bảng ở thí dụ 1.      =++ =++ =++ 604,94750,341761,102768,32 770,29761,102768.3261,11 35,11768,3261,115 210 210 210 aaa aaa aaa )(2 ix 5σ )(2 x )(2 x )(2 x 2 [ ]∑ − 5 1 2 2 )( yxP 5σ )000229,0(5 1 Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 48 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 Trong thí dụ này ta có m = 3, n = 5 và từ bảng 1 ta thu được bảng 8 để tính các hệ số của phương trình chuẩn. (Quá trình tính toán được thực hiện với 3 chữ số sau dấu phẩy). Bảng 8 x 0 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 y xy x 2 y x 3 y 1 1 1 1 1 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 0,608 2,434 5,476 9,734 14,516 0,475 3,796 12,813 30,371 55,306 0,370 5,922 29,982 94,759 210,717 0,289 9,239 70,158 295,647 802,832 0,225 14,413 164,171 922,418 3058,791 2,50 1,20 1,12 2,25 4028 1,950 1,872 2,621 7,020 16,307 1,520 2,921 6,133 21,902 62,128 1,186 4,556 14,350 68,335 236,711 5 11,61 32,768 102,761 341,750 1178,165 4160,017 11,35 29,770 94,604 305,139 Như vậy các hệ số 0 1 2 3, , ,a a a a của đa thức xấp xỉ 3( )P x là nghiệm của hệ phương trình sau 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 5 11,61 32,768 102,761 11,35 11,61 32,768 102,761 341,750 29,770 32,768 102,761 341,750 1178,165 94,604 102,761 341,750 1178,165 4160,017 325,139 a a a a a a a a a a a a a a a a + + + =  + + + =  + + + =  + + + = (4 – 7) Giải hệ phương trình (4 – 7) ta có: 0 5,002a = ; 1 3,978a = − ; 2 0,984a = ; 3 0,003a = . Do đó đa thức xấp xỉ cần tìm có dạng 2 3 3( ) 5,002 3,978 0,984 0,003P x x x x= − + + . (4 – 8) Để so sánh các iy với 3( )P x và tính sai số trung bình phương 5σ ta thực hiện tính toán trên bảng 9. Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 49 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 Bảng 9 x y 3( )P x 3( )P x y− 23[ ( ) ]P x y− 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28 2,504 1,195 1,114 2,251 4,286 0,004 -0,005 -0,006 0,001 0,006 0,000016 0,000025 0,000036 0,000001 0,000036 Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 50 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 3.2 Đa thức trực giao 3.2.1 Ví dụ 1 Bài toán: Xấp xỉ hàm cho trong cột (2) và (3) của bảng 10 sao cho sai số trung bình phương của công thức xấp xỉ không vượt quá 0,1. Với n = 11 Bảng 10 i i x i y 2 i x 3 i x 4 i x i i x y 2 i i x y 2 i y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0,15411 0,19516 0,22143 0,28802 0,32808 0,38183 0,45517 0,57012 0,57930 0,91075 0,13895 19,47 21,83 23,11 26,11 27,60 28,89 33,17 33,38 32,31 31,88 25,46 0,02375 0,03809 0,04903 0,08296 0,10764 0,14579 0,20718 0,32504 0,57654 0,82947 1,29721 0,00366 0,00743 0,01086 0,02389 0,03531 0,05567 0,09430 0,18531 0,43776 0,75544 1,47745 0.00056 0,00145 0,00240 0,00688 0,01159 0,02126 0,04292 0,10565 0,33239 0,68801 1,68275 3,00052 4,26034 5,11725 7,52020 9,05501 11,03107 15,09799 19,03061 24,53298 29,03471 28,99767 0,46241 0,83150 1,13308 2,16609 2,97086 4,21187 6,87216 10,84984 18,62801 26,44350 33,02697 379,08 476,55 534,07 681,73 761,76 824,63 1100,25 1114,22 1043,94 1016,33 648,21 ∑ 5,40292 303,21 3,68270 3,08708 2,89586 156,67835 107,59629 8590,77 Xét m = 1 và tìm hàm xấp xỉ có dạng 1 0 0 1 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )M x a R x a R x a a R x= + = + . (2 – 1) Để tính 1 ( )M x ta lập các cột (2), (3), (4), (7) của bảng 10, từ đó ta có Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 51 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 11 1 1 1 1 1 ( ) 5,40292 0,49117 11 11i R x x x x x = = − = − = −∑ . Nghĩa là 1 0,49117α = − . Khi đó [ ] 11 11 0 1 1 110 2 0 1 ( ) 303,21 27,5645 11 11( ) i i i i i i y R x y a R x = = = = = = = ∑ ∑ ∑ . Và [ ]11 11 112 21 1 1 1 1 ( ) 3,68270 0,49117.5,40292 1,02895 i i i i i i R x x xα = = = = + = − =∑ ∑ ∑ . 11 11 11 1 1 1 1 1 ( ) 156,67835 49117.303,21 7,75069 i i i i i i i i y R x y x yα = = = = + = − =∑ ∑ ∑ . [ ] 11 1 1 111 2 1 1 ( ) 7,75069 7,5315 1,02895( ) i i i i i y R x a R x = = = = = ∑ ∑ . Thay kết quả bằng số 0 a , 1 a , 1 ( )R x vào (2 – 1) 1( ) 275645 7,5315( 0,49117) 23,8653 7,5315M x x x= + − = + . Sai số trung bình phương là 11 1 .174,57 3,39 11 σ = = . Theo yêu cầu của bài toán thì sai số còn lớn ( 0,1σ ≤ ). Bởi vậy chúng ta cần tăng cấp của đa thức xấp xỉ ( )mM x lên một đơn vị. Cụ thể ta cần lập hàm xấp xỉ 2 0 0 1 1 2 2 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M x a R x a R x a R x M x a R x= + + = + . (2 – 2) Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 52 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 Để tìm 2 ( )M x trong dạng (2 – 2) ta chỉ cần tìm thêm 2a và 2 ( )R x . Trong quá trình này ta thực hiện tính toán ở cột (5), (6) và (8). Và ta có [ ]11 11 21 1 1 1 ( ) ( ) 1,02895.i i i i x R x R x = = = =∑ ∑ [ ]11 11 11 112 3 21 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 3,08708 0,49117.3,68270 0, 49117.1,02895 0,77286. i i i i i i i i i i x R x x x x R xα α = = = = = + + = = − − = ∑ ∑ ∑ ∑ Vậy dựa vào các công thức (5 – 11) và (5 – 12) ta có: [ ] [ ] 11 2 1 1 2 11 2 1 1 ( ) 0,77286 0,75112. 1,02895( ) i i i i i x R x R x β = = = − = − = − ∑ ∑ [ ] 11 1 1 2 11 2 0 1 ( ) 1,02895 0,09354. 11( ) i i i i i x R x R x γ = = = − = − = − ∑ ∑ Từ đó áp dụng (5 – 10) ta suy ra 2 2 1 2 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0,75112)( 0, 49117) 0,09354 1, 24229 0, 27539. R x x R x R x x x x x β γ= + + = = − − − = − + Nghĩa là (1)2 1, 24229α = − ; (2)2 0, 27539α = . Để tính 2a trước hết ta dựa trên (5 – 36) ta có Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 53 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 11 11 11 11 2 (1) (2) 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 107,59629 ( 1, 24229).156,67835 0, 27539.303, 21 3,54263. i i i i i i i i i i i y R x y x y x yα α = = = = = + + = = + − + = − ∑ ∑ ∑ ∑ Dựa trên (5 – 20) ta có [ ]11 11 11 112 4 (1) 3 (2) 22 2 2 1 1 1 1 ( ) 2,89586 1, 24229.156,67835 27539.3,68270 0,07498. i i i i i i i i R x x x xα α = = = = = + + = − + = ∑ ∑ ∑ ∑ Từ đó áp dụng công thức (5 – 5) ta được [ ] 11 2 1 1 2 11 2 2 1 ( ) 3,54263 47, 24767 0,07498( ) i i i i y R x a R x = = = = = − ∑ ∑ . Từ 2a và 2 ( )R x mới tìm được, trở lại (5 – 38) ta có 2 2 2 ( ) 23,8653 7,5315 47,24767( 1,24229 0,27539) 10,8537 66,2226 47,24767 . M x x x x x x = + − − + = = + − Để tính sai số trung bình phương của đa thức xấp xỉ 2 ( )M x ta tính [ ] [ ] [ ]11 2 0 0 1 1 2 2 1 11 2 2 1 , , , 174,57 ( ) 174,57 ( 47,24767).( 3,54263) 7,19. i i i i i y a y R a y R a y R a y R x = =   − − − =    = − = − − − = ∑ ∑ Áp dụng công thức (5 – 6) ta tìm được sai số trung bình phương đối với đa thức xấp xỉ 2 ( )M x là Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 54 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 11 1 .7,19 0,08 11 σ = = . Ta nhận thấy rằng sai số này đã thỏa mãn điều kiện bài toán ( 0,1σ ≤ ). Do đó ta có thể dùng đa thức bậc hai 2 ( )M x để xấp xỉ hàm đã cho. Vởy hàm xấp xỉ tìm được là: 210,8537 66, 2226 47, 24767 .y x x= + − Trong trường hợp nếu yêu cầu bài toán cần nhỏ hơn nữa thì ta tiếp tục tăng cấp của đa thức lên rồi tính. Ở đây ta xét m = 3 tức là ta tìm hàm xấp xỉ 3 0 0 1 1 2 2 3 3 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M x a R x a R x a R x a R x M x a R x= + + + = + . Để tìm 3( )M x ta chỉ cần tính thêm 3a và 3( )R x . Trong quá trình tính toán này ta thực hiện quá trình tính toán ở các cột (7), (8) và (11) của bảng 11. Bảng 11 i ix i y 2 i x 3 i x 4 i x 5 i x 6 i x i i x y 2 i i x y 3 i i x y 2 i y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,15411 0,19516 0,22143 0,28802 0,32808 0,38183 0,45517 0,57012 0,57930 19,47 21,83 23,11 26,11 27,60 28,89 33,17 33,38 32,31 0,02375 0,03809 0,04903 0,08296 0,10764 0,14579 0,20718 0,32504 0,57654 0,00366 0,00743 0,01086 0,02389 0,03531 0,05567 0,09430 0,18531 0,43776 0.00056 0,00145 0,00240 0,00688 0,01159 0,02126 0,04292 0,10565 0,33239 0,00009 0,00028 0,00053 0,00198 0,00380 0,00812 0,01954 0,06023 0,25239 0,00001 0,00006 0,00012 0,00057 0,00125 0,00310 0,00889 0,03434 0,19164 3,00052 4,26034 5,11725 7,52020 9,05501 11,03107 15,09799 19,03061 24,53298 0,46241 0,83150 1,13308 2,16609 2,97086 4,21187 6,87216 10,84984 18,62801 0,07126 0,16227 0,25091 0,62384 0,97465 1,60827 3,12800 6,18565 14,14416 379,08 476,55 534,07 681,73 761,76 824,63 1100,25 1114,22 1043,94 Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 55 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 10 11 0,91075 0,13895 31,88 25,46 0,82947 1,29721 0,75544 1,47745 0,68801 1,68275 0,62661 1,91565 0,57068 2,18287 29,03471 28,99767 26,44350 33,02697 24,08329 37,88129 1016,33 648,21 ∑ 5,40292 303,21 3,68270 3,08708 2,89586 2,98023 2,99353 156,67835 107,59629 89,114 8590,77 Thực hiện tính toán tương tự cuối cùng ta thu được kết quả như sau = − + −3 2 3 ( ) 1,90486 1,02568 0,14671R x x x x . = − 3 81,15472a . Vậy hàm xấp xỉ là = + − +2 3 3 ( ) 7,80766 87,58329 87,13260 21,11428M x x x x . Sai số trung bình phương là: 0,06543. 3.2.2 Ví dụ 2 Bài toán: Trong sách “Hoá học cơ sở” của Menđêlêep, khi nghiên cứu sự phụ thuộc giữa độ hoà tan y của muối NaCO 3 trong nước với nhiệt độ t của hỗn hợp tác giả đã đưa ra 9 thí nghiệm về sự phụ thuộc giữa lượng NaCO 3 hoà tan trong 100g nước (cột 2 và cột 3 của bảng 11), từ đó kết luận rằng sự phụ thuộc giữa y và t cho bởi công thức: 67,5 0,87Y t= + . Bây giờ ta sẽ làm lại quá trình tính toán dùng phương pháp xấp xỉ hàm đa thức trực giao để kiểm tra kết luận nói trên. Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 56 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 Ta sẽ dùng đa thức trực giao để xây dựng hàm xấp xỉ ( )mM x ở đây n = 9 và m = 1 và hàm xấp xỉ cần tìm có dạng 1 0 0 1 1 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )M x a R x a R x a a R x= + = + . Từ bảng 12 ta có 9 1 1 1 1( ) .234 26 9 9ii R x x x x x = = − = − = −∑ . Nghĩa là: 1 26α = − , [ ] 9 9 0 1 1 0 9 2 0 1 ( ) 811,3 90,1444 9 9( ) i i i i i i i i y R x y a y R x = = = = = = = ∑ ∑ ∑ . [ ]9 9 92 21 1 1 1 1 ( ) 10144 26.234 4060i i i i i i R x x xα = = = = + = − =∑ ∑ ∑ . 9 9 9 1 1 1 1 1 ( ) 24628,6 26.811,3 3534,8i i i i i i i i y R x y x yα = = = = + = − =∑ ∑ ∑ . [ ] 9 1 1 1 9 2 0 1 ( ) 3534,8 0,87064 4060( ) i i i i i i y R x a y R x = = = = = ∑ ∑ . Thay kết quả bằng số của 0 1 1, , ( )a a R x ta có 1( ) 90,1444 0,87064( 26) 0,87064 67,50776M x x x= + − = + . Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 57 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 (Như vậy kết luận của Menđêlêep về hàm phụ thuộc y(t) là đúng). Sai số trung bình phương của đa thức xấp xỉ là 9 1 .6,48 0,864 9 σ = = . Bảng 12 i i x i y 2 i x i i x y 2 i y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 10 15 21 29 36 51 68 66,7 71,0 76,3 80,6 85,7 92,9 99,4 112,6 125,1 0 16 100 225 441 841 1296 2601 4624 0 284 763 1209 1799,7 2694,1 3578,4 5793,6 8506,8 4448,890 5041,000 5821,690 6496,360 7344,490 8630,410 9880,360 2904,960 5650,010 ∑ 234 811,3 10144 24628,6 6218,170 Sai số như trên còn quá lớn, để làm giảm sai số ta cần tăng cấp của đa thức lên một đơn vị (m = 2). = + + = + 2 0 0 1 1 2 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M x a R x a R x a R x M x a R x . Để tìm 2 ( )M x ta cần tính thêm 2 2 , ( )a R x . Trong quá trình này ta thực hiện những tính toán (5), (6), (8) ở bảng 13. Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 58 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 Bảng 13 i i x i y 2 i x 3 i x 4 i x i i x y 2 i i x y 2 i y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 10 15 21 29 36 51 68 66,7 71,0 76,3 80,6 85,7 92,9 99,4 112,6 125,1 0 16 100 225 441 841 1296 2601 4624 0 64 1000 3375 9261 24389 46656 132651 314432 0 256 10000 50625 194481 707281 1679616 6765201 21381376 0 284 763 1209 1799,7 2694,1 3578,4 5793,6 8506,8 0 1136 7630 18135 37793,7 78128,9 128822,4 295473,6 578462,4 4448,890 5041,000 5821,690 6496,360 7344,490 8630,410 9880,360 2904,960 5650,010 ∑ 234 811,3 10144 531828 30788836 24628,6 1145582 76218,170 Thực hiện tính toán tương tự như ở thí dụ trước, cuối cùng ta sẽ thu được kết quả như sau Các hệ đa thức trực giao: = 0 ( ) 1R x ; = − 1 ( ) 26R x x ; = − +2 2 ( ) 66,03054 589,68298R x x x . Hàm xấp xỉ Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 59 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 = + − 2 2 ( ) 66,70619 0,96040 0,00136M x x x . Sai số trung bình phương: 0,61343. Tiếp tục làm giảm sai số ta lại tăng cấp của đa thức lên một đơn vị để tính toán. 3.3 Đa thức lượng giác Bài toán: Tìm đa thức lượng giác cấp 2: 2 ( )T x xấp xỉ hàm cho trên các cột (2), (3) của bảng 12 dưới đây Bảng 12 i ix o iy cos ix sin ix cos2 ix sin 2 ix cosi iy x sini iy x cos2i iy x sin2i iy x (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 30 o 60 o 90 o 120 o 150 o 180 o 210 o 240 o 270 o 300 o 330 o 360 o 2,611 3,120 2,912 2,105 0,612 -1,321 -1,906 -2,412 -2,802 -2,703 -1,610 0,866 0,500 0,000 -0,500 -0,866 -1,000 -0,866 -0,500 0,000 0,500 0,866 0,500 0.866 1,000 0,866 0,500 0,000 -0,500 -0,866 -1,000 -0,866 -0,500 0,500 -0,500 -1,000 -0,500 0,500 1,000 0,500 -0,500 -1,000 -0,500 0,500 0,866 0,866 0,000 -0,866 -0,866 0,000 0,866 0,866 0,000 -0,866 -0,866 2,261 1,551 0,000 -1,052 -0,530 1,321 1,651 1,206 0,000 -1,351 -1,394 1,305 2,686 2,912 1,823 0,306 0,000 0,953 2,089 2,802 2,341 0,805 1,305 -1,551 -2,912 -1,052 0,306 -1,321 -0,953 1,206 2,802 1,351 -0,805 2,261 2,686 0,000 -1,823 -0,530 0,000 -1,651 -2,089 0,000 2,341 1,394 Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 60 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 12 1,500 1,000 -0,000 1,000 0,000 1,500 0,000 1,500 0,000 ∑ 0,088 5,163 18,022 -0,124 2,589 Quá trình tính các hệ số 0α , 1α , 2α , 1β , 2β của 2 ( )T x lần lượt cho trong các cột (3), (8), (9), (10), (11). Vậy ta có 12 0 1 1 0,088 0,007 12 12ii yα = = = =∑ . 12 1 1 1 5,136 cos 0,860 6 6i ii y xα = = = =∑ . 12 2 1 1 0,124 cos 2 0,021 6 6i ii y xα = − = = = −∑ . 12 1 1 1 18,022 sin 3,004 6 6ii xβ = = = =∑ . 12 2 1 1 2.859 sin 2 0, 432 6 6i ii y xβ = = = =∑ . Như vậy ta thu được hàm xấp xỉ là 2 ( ) 0,007 0,860.cos 3,004.sin 0,021.cos 2 0, 432.sin 2T x x x x x= + + − + . Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 61 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 CHƯƠNG IV SƠ ĐỒ KHỐI BIỂU DIỄN THUẬT TOÁN VÀ CHƯƠNG TRÌNH VIẾT BẰNG NGÔN NGỮ C 4.1 SƠ ĐỒ KHỐI BIỂU DIỄN THUẬT TOÁN 4.1.1 Trường hợp dạng đa thức đại số Bắt đầu Nhập m, n i = 1…n Tính Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 62 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 4.1.2 Trường hợp dùng đa thức trực giao Sai Đúng Đặt i = 1.. m , j = 1.. n+1 Giải hệ phương trình A.X=Y Tính sai số: Kết thúc Bắt đầu Nhập m, n i = 1…n Đặt k < m Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 63 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 4.1.3 Trường hợp dùng đa thức lượng giác Kết thúc Bắt đầu Nhập m, n i = 1…n Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 64 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 4.2 CÁC KẾT QUẢ CHẠY CHƯƠNG TRÌNH 4.2.1 Trường hợp đa thức đại số Nhập mẫu quan sát n =5. Nhập các giá trị ,i ix y , X 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 Y 2,5 1,20 1,12 2,25 4,28  Nhập m = 2 thì kết quả chạy chương trình: Hàm xấp xỉ: 1,02341x 2 - 4,01426x + 5,022148 . Sai số : 0,002724.  Nhập m = 3 thì kết quả chạy chương trình: Hàm xấp xỉ: 0,002645x 3 + 0,984154x 2 - 3,97771x + 5,002113. Sai số : 0,00190. 4.2.2 Trường hợp đa thức trực giao Kết thúc Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 65 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 Nhập số mẫu quan sát n = 9 (Thí nghiệm trong sách hoá học cơ sở của Menđêlêep nghiên cứu về sự phụ thuộc giữa độ hoà tan của NaCO 3 trong nước với nhiệt độ của hỗn hợp). Nhập các giá trị ,i ix y . X 0 4 10 15 21 29 36 51 68 Y 66,7 71,0 76,3 80,6 85,7 92,9 99,4 113,6 125,1  Nhập m =1 thì kết quả chạy chương trình: Hàm hệ trực giao cơ sở là: 0 ( ) 1R x = . 1( ) 26R x x= − . Hàm xấp xỉ: 0,87064x + 67,507794. Sai số : 0,846073.  Nhập m = 2 thì kết quả chạy chương trình: Hàm hệ trực giao cơ sở là: 2 2( ) 6603054 589,68298R x x x= − + Hàm xấp xỉ: - 0,001359x 2 + 0,960401x + 66,706187 Sai số : 0,613428 4.2.3 Trường hợp đa thức lượng giác Nhập số mẫu quan sát n = 12. Nhập các giá trị ,i ix y . x 30 0 60 0 90 0 120 0 150 0 180 0 210 0 240 0 270 0 300 0 330 0 360 0 y 2,611 3,102 2,912 2,105 0,612 -1,321 -1,906 -2,412 -2,802 -2,703 -1,610 1,500  Nhập m =2 thì kết quả chạy chương trình: Hàm xấp xỉ Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 66 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 0,00733 +0,68025cosx +3,0377sinx – 0,02058cos2x +0,43171sin2x. Sai số : 0,44192.  Nhập m = 3 thì kết quả chạy chương trình: Hàm xấp xỉ 0,00733 + 0,68025cosx +3,0377sinx – 0,02058cos2x +0,43171sin2x + 0,35250cos3x + 0,17083sin3x. Sai số: 0,31921. KẾT LUẬN Phương pháp bình phương tối thiểu lập công thức từ thực nghiệm là một bài toán cơ bản hay gặp trong toán học cũng như trong thực tế đời sống. Thông qua phương pháp này ta có thể tìm ra được gần như chính xác đa thức ban đầu. Thông qua chương trình cụ thể viết trên ngôn ngữ lập trình C thì ta có thể thấy phần nào tính ưu việt của phương pháp này. Tuy nhiên do sự hạn chế về thời gian và kinh nghiệm nên đồ án tốt nghiệp của em khó tránh khỏi còn có những thiếu sót trong cách trình bày cũng như chương trình. Do đó em rất mong sự thông cảm của các thầy cô giáo và mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp quý báu từ các thầy cô giáo và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn! Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 67 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Phạm Kỳ Anh, Giải tích số. Nhà xuất bản đại học quốc gia , 1996. 2. Tạ Văn Đĩnh, Lê Trọng Vinh, Phương pháp tính, Nhà xuất bản đại học và trung học chuyên nghiệp, 1983. 3. Phan Văn Hạp, Nguyễn Quý Hỷ, Hồ Thuần, Nguyễn Công Thúy, Cơ sở phương pháp tính, Nhà xuất bản Đại học và trung học chuyên nghiệp. 4. Lê Trọng Vinh, Giải tích số, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật, 2000. 5. Dương Thủy Vỹ, Giáo trình phương pháp tính, Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật , 2005. Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 68 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48