Đề tài Một lớp bài toán biên cho phương trình vi phân hàm

{1,...,n} hàm fi :[a,b] x R n→R thỏa điều kiện Caratheodory, Φi là phiếm hàm tuyến tính không giảm trên không gian C([a,b]) và tập trung trên đoạn [ai,bi] [a,b] (có nghĩa là giá trị của hàm Φi chỉ phụ thuộc vào hàm số thu hẹp với đoạn [ai,bi] và đoạn này có thể suy biên thành một điểm) và φi là hàm số liên tục trên không gian Cn([a,b]). Trƣờng hợp đặc biệt của điều kiện (2) là: Điều kiện biên nhiều điểm hay đặc biệt hơn là điều kiện biên dạng Cauchy-Nicoletti 9 Các bài toán (1), (5) đã đƣợc nghiên cứu trong [16], [17],... Bài toán (1), (3) đã đƣợc nghiên cứu trong [16], [17]. Tƣơng tự bài toán (1), (4) đã đƣợc nghiên cứu trong [17],.... Các kết quả chính cho bài toán biên (1), (2) đƣợc đăng tải trong các bài báo [14], [15]. Sau đây ta nhắc lại một số kết quả chính mà tác giả đạt đƣợc trong bài báo [14]. Định nghĩa 1. Giả sử G= (gi) n i=1 : C([a,b]) → R n , là toán tử thuần nhất dƣơng không giảm. Ta nói nếu hệ bất phƣơng trình vi phân với điều kiện biên chỉ có nghiệm tầm thƣờng. Định lý 1. Giả sử và các bất đẳng thức sau đƣợc thực hiện Và Với mọi 10 Trong đó ωi: [a, b] xR+→ R+ là hàm số đo đƣợc đối với biến thứ nhất và không giảm đối với biên thứ hai,ri : R+ → R+ là hàm số không giảm và thỏa: Khi đó bài toán (1), (2) có ít nhất một nghiệm. Định lý 2. Giả sử các bất đẳng thức sau đƣợc thực hiện : với với Trong đó thỏa điều kiện (6). Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm. Để chứng minh các định lý 1, 2 ta dựa vào bổ đề đánh giá tiệm cận sau: Bổ đề 1. Giả sử điều kiện (6) đƣợc thực hiện. Khi đó với mỗi hằng số dƣơng ro > 0, ωo ∈ L([a,b],R+) và với mỗi X ∈ ACn ([a,b]) thỏa các bất đẳng thức sau : với điều kiện biên 11 đều tồn tại hằng số dƣơng p > 0 sao cho đánh giá sau xẩy ra: Trong bài báo [15] ta sẽ xây dựng các tiêu chuẩn hiệu quả đề bài toán (1), (2) là giải đƣợc. Các kết quả chính của bài báo gồm các định lý sau: Định lý 3. Giả sử trên [a,b] x Rn ta có: và trên Cn ([a,b]) ta có Trong đó ωi: [a, b] x R+ → R+, ri :R+ → R+ (i=1,... ,n) thỏa các điều kiện trong định lý l. và bán kính phổ của ma trận S=(Sij) n i,j=1’ bé hơn 1. Khi đó bài toán (1), (2) có ít nhất một nghiệm. Định lý 4. Giả sử trên [a,b] x Rn các bất đẳng thức sau đƣợc thực hiện: 12 và trên Cn([a,b]) có Trong đó thỏa các điều kiện của định lý 3. Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm. Định lý 5. Giả sử trên [a,b] x Rn ta có: và trên Cn ([a,b]) ta có Trong đó thỏa các điều kiện trong định lý 1 và là các phiếm hàm không giảm, thuần nhất dƣơng. Hơn nữa bán kính phổ của các ma trận 13 và có bán kính bé hơn 1. Trong đó. (i=1,...,n). Khi đó bài toán (1), (2) có ít nhất một nghiệm. Định lý 6. Giả sử trên [a, b] x Rn các bất đẳng thức sau đƣợc thực hiện: và trên Cn([a,b]) có Trong đó hij, Ψij,gi (i,j=1,...,n) thỏa các điều kiện của định lý 5. Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm. Trong phần hai của đề tài chúng ta nghiên cứu tính giải đƣợc của phƣơng trình vi phân hàm bậc cao với điều kiện biên nhƣ trên. Xét phƣơng trình vi phân hàm bậc cao sau : 14 với điều kiện biên dạng hàm: Trong đó toán tử f: C(n-1)([a,b]) →L([a,b]) , (i = l,2,...,n) thỏa mãn điều kiện Carathéodory. Với mỗi i ∈ {l,....,n} phiếm hàm Φi trong (2) là tuyến tính, liên tục, không giảm trong không gian C([a, b]) và tập trung trong đoạn [ai,bi] [a,b] (có nghĩa là giá trị của phiếm hàm Φi chỉ phụ thuộc vào hàm số thu hẹp đối với đoạn [ai, bi] và đoạn này có thể suy biến thành một điểm). Ta luôn có thể giả thiết Φi (1) = 1. Trong điều kiện (2) các phiếm hàm φi. (i= 1, 2,..., n) là liên tục trong không gian Cn-1 ([a, b]). Các trƣờng hợp riêng của điều kiên biên (25) là: Điều kiện biên dạng Cauchy-Nicoleti hay điều kiện biên dạng tuần hoàn Nghiệm của bài toán (24), (25) là hàm số có đạo hàm đến cấp (n-1) liên tục tuyệt đối trên đoạn [a,b] và thỏa phƣơng trình (24) hầu khắp nơi trên đoạn [a,b] và thỏa điều kiện biên (25). Định nghĩa 2 : Giả sử là các toán tử không giảm, liên tục và thuần nhất dƣơng, g(t) ∈ L([a,b]) Nếu hệ bất phƣơng trình vi phân với điều kiện chỉ có nghiệm tầm thƣờng, chúng ta nói rằng: Sản phẩn chính của phần này là các kết quả sau đây: 15 Định lý 7: Giả sử (g,fo, Ψ1, , Ψn) ∈ Nic ([a, b], a1,...,an, b1,..., bn) và f,φ1,...,φn của bài toán (24), (25) thực hiện các điều kiện sau : với mọi an ≤ t ≤ b, u ∈ C n-1 ([a,b]) với mọi a < t < bn, u ∈ C n-1 ([a,b]) với mọi u ∈ Cn-1 ([a,b]) , (i = 1,2 ...n). Trong đó hàm số ω : [a, b] x R+ →R+ là đo đƣợc đối với biến thứ nhất và không giảm đối với biến thứ hai, hàm số r: R+→R+ là không giảm và thỏa Khi đó bài toán biên (24), (25) có ít nhất một nghiệm. Định lý 8: Giả sử điều kiện (28) đƣợc thực hiện và f,φ1,...,φn của bài toán (24), (25) thỏa các điều kiện sau : với an ≤ t ≤ b , u,v ∈ C n-1 ([a,b]) (321) với a ≤ t ≤ bn, u,v ∈ C n-1 ([a,b]) (322) 16 với mọi u,v ∈ Cn-1([a, b]) (33) Khi đó bài toán (24), (25) có duy nhất một nghiệm. Định lý 9 . Giả sử các điều kiện sau là đƣợc thực hiện: và Trên C (n-l)([a,b]) điều kiện sau đƣợc thực hiện Trong đó r , rij (i,j=l,2,...,n) là các số thực không âm ω:[a,b] x R+ → R+ là hàm đo đƣợc đo đối với biến thứ nhất và không giảm đối với biến thứ hai và thỏa điều kiện (31). (i=l,2,...,..n) là đơn điệu và 17 Trong đó Và Khi đó bài toán (24), (25) có ít nhất một nghiệm. Định lý 10. Giả sử các bất đẳng thức sau đƣợc thực hiện: và trong C (n-1) ([a,b]) 18 Trong đó các hàm số hi, ki và các hằng số rịj ,Si Và δi (i,j=l,2,...,n) thỏa các điều kiện trong định lý 9. Khi đó bài toán (24), (25) có duy nhất một nghiệm. Các kết quả trên đƣợc chứng minh đầy đủ trong hai bài báo sau [12], [13] đƣợc đăng trên tạp chí khoa học của trƣờng.Tuy nhiên các kết quả còn đúng hay không cho bài toán biên dạng vall-Pussil hay bài toán biên không chính qui đến nay vẫn còn chƣa đƣợc tiếp tục xem xét. Các kết quả trên cho phƣơng trình vi phân cũng đƣợc tác giả xem xét trong [10], [11]. 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. I.Kiguradze and B.Puza, On boundary value problems for systems of linear functional differential equations. Czechslovak. Math, J, 47 (1997) , No.2, 341- 373. 2. I.Kiguradze and B.Puza, Conti -Opial type theorems for systems of functional differential equations (Russian). Differentsialnye Uravneniya, 33 (1997), No.2, 185 - 194. 3. I.Kiguradze and B. Puza, On the sovability of nonlinear boundary value problems for fuctional differential equations .Georgian Math, J, 5 (1998) No. 3251- 262. 4. E.Barvyi, A.Lomtatidze, B.Puza. A not on the theorem on dịfferential inequalities, Georgian Math, J, 7(2000), No.4, 627 - 631. 5. R.Hakl, On bounded solutions of systems of linear functional differential equations, Georgian Math, J, (1999), No.5, 429 - 440. 6. R.Hakl, On some boundary value problems for systems of linear functional differential equations, E.LQualitative Theory of Diff. Equ. (1999) No.10, 1-16. 7. R.Hakl, I.Kiguradze, B.Puza, Upper and lower solutions of boundary value problems for functional differenial equatons and theorems on functional differential inequalities, Georgian Math, J, 7(2000), No.3. 489 - 512. 8. R.Hakl, A.Lomatatidze, B.Puza, On periodic solutions of first order linear functional differential equations, Nolin.Anal: Theory, Meth & Appl. 49(2002), 929 - 945. 9. I.Kiguradze, B.Puza, On boundary value problems for functional differential equations. Mem. Differential Equutions Math. Phy. 12 (1997), 106 -113. 10. Nguyễn Anh Tuấn, On one class of sovable boundary value problems for ordinary differential equation of n-th order, Comment. Univ. Carolin. 35, 2. (1994), 299 - 309. 11. Nguyễn Anh Tuấn, On an effective criterion of solvability of boundry value problems for ordinary differential equation of n-th order. Arch. Math 41 (2005). No. 451- 460. 20 12. Nguyễn Anh Tuấn, Một lớp bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao, Tạp chí Khoa học Trƣờng ĐHSP Tp.HCM số 4(38), 2004. 13. Nguyễn Anh Tuấn, Một tiêu chuẩn hiệu quả về tính giải đƣợc của bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao, Tạp chí Khoa học Trƣờng ĐHSP Tp.HCM số 8 (42), 2005. 14. B. Puza and Nguyen Anh Tuan, On a boundary value problem for system of ordinary differential equations, East-west Journal of Matematics, Vol 6 No.2 (2004), 139- 151. 15. Nguyen Anh Tuan, An effective criterion of solvability of boundary value problems for a system of ordinary differential equations. East-west Journal of Matematics,Vol.7. No. 1 (2005), 69-77. 16. I.Kiguradze, Some singular boudary value problem for ordinary dif-ferential equations, (in Russian), Tbilisi Univ. Press, 1975. 17. I.Kiguradze, Boundary value problems for systems of ordinary differential equations. (in Russian), Sovremennye Problemy matem., T30 (Itogi nauki I tech.,VINITI, ANSSR, Moskva, 1987, 3-203). 21 PHỤ LỤC EAST - WEST JOURNAL 0F MATHEMATICS Volume 6 • Number 2 • December 2004 Executive Editors: SOMPONG DHOMPONGSA DINH VAN HUYNH Chiang Mai University Ohio University Chiang Mai 50200 Thailand Athens, OH 45701, USA sompongd@ chiangmai.ac.th huynh@bing.math.ohiou.edu SURENDER K. JAIN MARION SCHEEPERS Ohio University Boise State Uniyersity Athens, OH 45701, USA Boise, Idaho, USA jain@oucsace.cs.ohiou.edu marion@diainond.idbsu.edu Managing Editor: NGUYEN VAN SANH Mahidol Univerity Bangkok 10400,Thailand frnvs @ mahidol. ac. th BANGKOK - KHON KAEN THAI LAND ISSN 1513-489X East - West J.of Mathematics : Vol. 6, No 2 (2004)pp. 139-151 139 ON A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A SYSTEM OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS ̇ ̌ Department of Mathematics Masaryk University. JanáCkovo nám. Sa, 662950 Brno, Czech Republic. Department of Mathematics University of Education 280 An Duong Vuong, Ho Chi Minh City, Viet Nam. Abstract New sufficient conditions of the existence and uniqueness of the so-lution of a boundary problem for a system of ordinaxy differential equa-tions with certain functional boundary conditions are constructed by the method of a priori estimates. Introduction In this paper we give new sufficient conditions for the existence and the unique-ness of the solution of the problem where for each i ∈{1,,n} fi: xR n → R satisfies the Carathéodory conditions, Φoi - the linear nondecreasing continuous functional on C((a,b)) is concentrated on ai, bi (i.e. the value of Φoi depends only on functions Key words: boundary value problem with functional condition, functional differential equation, method of priori estimates, differential inequalities. 2000 AMS Mathematics Subject Classification: 34A15, 34B10. 140 On a boundary problem for a system of ODE’s restricted to ai, bi and the segment can be degenerated to a point) and φi is a continuous functional on Cn( ). In general Φ0i(1) = Ci (i = 1,... ,n). Without loss of generality we can suppose Φ0i=1(i=1,...,n), which simplifies the notation. Special cases of the conditions (2) are presented by the series of formerly investigated problems e.g. and more specialised - Cauchy-Nicoletti problem or periodical problem Problems (1), (5) and (1), (6) were studied in the papers [4], [5]. Problem (1), (3) was studied in [5], [6], [8] and [9], problem (1), (4) in [2], [3], similar results are also published in [1]. Main result We adopt the following notation: (a, b)-a segment, then-dimensional real space with points normed by, Cn( ) and ACn( ) are, respectively, the spaces of continuous and ab-solutcly continuous n-dimensional vector-valued functions on with the norm L p ( ) is space of functions integrablc on in p-th power with the norm ̇ ̌ 141 If x= (Xi(t))ni=1 ∈ Cn( ) and y = (yi(t))ni=1 ∈ Cn( ), then x ≤ y if and only if xi(t) ≤ yi(t) for all t ∈ and i = 1,...,n. K( ) is the set of functions g : R n →R satisfying local Carathédory conditions, i.e. if g ∈ K( ),g(.,x) is measurable on for each x ∈ n, g(t,.) is continuous in rn for almost all t ∈ , and Let us consider the problem (1), (2). Under the solution we understand abso-lutely continuous n-dimensional vector-valued function on (a, b), which satisfies the equation (1) for almost all t. ∈ and fulfils the boundary conditions (2). Definition Let G = : C → n, H = : → and Ψ = : Cn( ) → is a positively homogeneous nondecreasing operator. We say that if the system of differential inequalities with boundary conditions has only trivial solution Theorem 1. Let the inequalities 142 On a boundary problem for a system of ODE’s hold, where G = (gi) n i=1, H=(hij) n i,j=1 and Ψ = (Ψi) n i=1 satisfy the condition (7), the functions ωi : (a, b) x R+→R+ (i = 1,2,...,n) are measurable with regard to the first and nondecreasing to the second argument,ri: R+ → R+ are nondecreasing and then the problem (1), (2) has at least one solution. For the proof of the Theorem 1 we need two following assertions and the first is similar to lemma 4.1 from [4] about differential inequality with boundary conditions of Cauchy type. Lemma 1. Let g * i(t,y1,...,yn)∈K( ), g * i(t,y1,...,yn) sign (t-ti) be nondecreasing to arguments y1, y2 ,...,yi-1 ,yi+1,...,yn and each solution of the problem Where ti ∈ ,ci ∈ R i 1 can be extended in the whole segment . Then for each solution (xi(t)) n i=1 ∈ ACn( ) of the problem (15),(16) there exists o .solution (yi) n i=1 defined in the segment (a,b) of the problem (13), (14) such that. Lemma 2. Let the condition (7) be satisfied. Then there exists a constant > 0 such that the estimate ̇ ̌ 143 holds for each constant ro > 0, ω0 ∈ L( ,R+) and for each solution x ∈ ACn((a, b)) of the differential inequalities with boundary conditions Proof. By contradiction let rk ∈R+,ωk ∈ L( ,R+) and xk= (xik) n i=1 ∈ ACn( ) exist for any natural k, such that and We denote 144 On a boundary problem for a system of ODE’s We get On the other hand according to (21), (22) And Now for any i ∈ {1,... , n} and a natural k we choose a point tik ∈ ai, bi such that then from (24), (25) and (26), we have and Let be the solution of the Cauchy-Nicolotti problem ̇ ̌ 145 then according to Lemma 1 and to the condition (27) Formulae (29), (30) and (31) yield According to (23), (29) and (32), we obtain and where and Formulae (23), (28), (30) and (31) imply, that 146 On a boundary problem for a system of ODE’s From (34) and (35), it follows that the sequences {yik}k=1 ∞ (i = 1,...,n) are uniformly bounded and unifonnly continuous. According to the Lemma of Arzela-Ascoli, we can suppose without the loss of generality that these se-quences uniformly converge. The sequences of points {yik}k=1 ∞ (i=1,...,n) can be taken convergent as well. Denoting and Clearly ti0 ∈ (ai, bi) (i = l,...,n) (39) Passing to the limit in the inequalities (33) and (37), using (23) we obtain Let us introduce the functions Then and ̇ ̌ 147 From (39) - (43) it follows that (yi(t)) n i=1 is a solution of the problem (8), (9). Therefore according to the condition (7) yi(t) ≡ 0(i=1,,n) On the other hand, (36) and (40) imply ||(yi(t)) n i=1 ||Cm( a,b ) ≥1 which is a contradiction and the lemma is proved. □ Proof of Theorem 1. Let be a constant from Lemma 1. Firstly, we want to show that there exists a constant o>0 such that where for any η ∈ (0, +∞) Suppose (44) is not valid, then for any η ∈ (0, +∞) On the other hand,(12) implies that for any k≥0 there exists a constant ηo >k such that [ ∫ ] < for all η ≥ηo , which is a contradiction and (44) is valid. Now we put 148 On a boundary problem for a system of ODE’s We consider the problem From (45) and (46), it follows immediately that ̅: a,b R n → R(i= 1,... , n) satisfy the local Carathéodory conditions, ̅i: Cn( a,b ) → R (i=1,... , n) are continuous functionals, and We want to show that the homogeneous problem has only trivial solution. Let ̅= ( ̅i ) n i=1 be an arbitrary solution of this problem. Then ̅i(t) =Ci exp ( ∫ ) where Ci =const (i =1,...,n). According to (48o) However, if Φ0i (i =1,...,n) are nondecroasing functionals and Φ0i(l) = 1(i=1,...,n), we have Consequently ̅i(t) ≡0 (i=1,,n) ̇ ̌ 149 Using Lemma 2.1 from [3], we obtain that the conditions (49) and (50) and the unicity of trivial solution of the problem (47o), (48o) guarantee the existence of solutions of the problem (47), (48). Let (yi(t)) n i=1 be the solution of the problem (47), (48), then and From here taking into consideration (101,2) and (11), we obtain inequalities (191,2) and (20), where and Therefore by Lemma 2 and the inequality (44) we get Consequently Putting these equalities into (45) - (48), we obtain that (yi)ni=1 is a solution of the problem (1), (2). The Theorem 1 is proved. □ Theorem 2. Let the inequalities 150 On a boundary problem for a system of ODE’s hold, where G =(gi) n i=1, H=(hij) n i,j=1 and Ψ = (Ψi) n i=1 satisỊy the condition (7). Then the problem (1), (2) has unique solution. Proof From (511,2) and (52) the conditions (101,2) and (11) follow, where ωi{t, ) = |fi(t,0,...,0)| and ri( ) = |φi(0,... ,0)| (i =1,...,n). There - fore, by Theorem 1 the problem (1), (2) has a solution. We shall prove its uniqueness. Let be arbitrary solutions of the problem (1), (2). Let us put The assumptions (511,2) guarantee that vector function is a solution of the system of the differential inequalities (8) satisfying the conditions However Consequently the inequalities (9) are satisfied and atcording to the condition (7) the equalities yi(t)≡ 0 (i=l,...,n) hold, i.e Theorem is proved. □ References [1] Kakabadze M.A., On a boundary value problem wit.h integral conditions for systems of ordinary differential equations, (in Russian) Mat. cas 24, 1974, No. 3, 225 - 237. [2] Kakabadzc M.A., On a singular boundary value problem for a system of ordinary differential equations, (in Russian), Soobsc. AN Gruz, SSR, 70, No. 3, 1973, 548- 552. ̇ ̌ 151 [3] Kakabadze M.A., Kiguradze I.T., On a boundary value problem for a sys-tem of ordinary differential equations, (in Russian), Diff. Uravnẻnija 7 (1971), No. 9, 1161-1616. [4] Kiguradze I.T., Some singular boundary value problems for ordinary dif-ferential equations, (in Russian), Tbilisi Univ. Press, 1975. [5] Kiguradze I.T., Boundary value problems for systems of ordinary differen-tial equations, (in Russian), Sovremennye problemy matem., T 30 (Itogi nauki i tech., VINITI, AN SSSR, Moskva, 1987, 3-203.) [6] Kiguradze I.T., Puia B., Some boundary value problems for a system of ordinary differential equations, (in Russian), Diff. Uravnẽnija 12 (1976), No. 12, 2138-2148. [7] Levin V.I., On inequalities II, (in Russian), Mat. sbornik, 1938, 4 (46), No. 2, 309- 324. [8] puza B., A singular boundary value problem for a system of ordinary differential equations, (in Russian), Arch. Math. (Brno), 13 (1977), No. 4, 207-226. [9] puza B., On solvability of some boundary value problems for a system of ordinary differential equation, Scripta fac. sci. mat. UP (Brno), 10 (1980), No. 8, 411-426. EAST-WEST JOURNAL OF MATHEMATICS Volume 6 ★ Number 2 ★ December 2004 Implementable quadratic regularization methods for solving pseudomonotone equilibrium problems 101 Tran Dinh Quoc and Le Dung Muu Direct sums of relative (quasi-)continuous modules 125 Chaehoon Chang, Kiyoichi Oshiro Semidirect Product of a Monoid and a r-Semigroup 131 M.K. Sen and S. Chattopadhyay On a boundary problem for a system of 0DE's 139 B. Puza and Nguyen Anh Tuan A result on the instability of solutions of certain non-autonomuous vector differential equations of fourth order 153 Cemil Tunc and Ercan Tunc Ideal co-transforms of linearly compact modules 173 Tran Tuan Nam Choquet Theorem for the space of continuous real-valued functions 185 Le Xuan Son, Vu Hong Thanh and Nguyen Nhuy Structure of certain periodic rings and near rings 195 Asma Ali Commuting mappings on right ideals in prime rings 201 Vincenzo De Fiiippis EAST - WEST JOURNAL OF MATHEMATICS Volume 7 • Number 1 • June 2005 Executive Editors SOMPONG DHOMPONGSA DINH VAN HUYNH Chiang Mai University Ohio University Chiang Mai 50200, Thailand Athens, OH45701, USA sompongd@chiangmai. ac. th huynh@bing. math. ohiou. edu SURENDER K.JAIN MARION SCHEEPERS Ohio University Boise State University Athens, Ohio 45701, USA Boise, Idaho. USA jain@oucsacc. cs. ohiou. edu marion@diamond. idbsu. edu Managing Editor NGUYEN VAN SANH Mahidol University Bangkok 10200, Thailand frnvs@mahidol. ac.th BANGKOK - KHON KAEN THAILAND ISSN 1513-489X East - West J.of Mathematics : Vol. 7, No 1 (2005)pp. 69-77 AN EFFECTIVE CRITERION OF SOLVABILITY OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR A SYSTEM OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS Nguyen Anh Tuan Mathematics - Computer Science Department University of Education of Ho Chi Minh city 280 An Duong Vuong, Ho Chi Minh City, Viet Nam Abstract New criterion of solvability of boundary value problem for system of ordinary differential equations with functional boundary conditions are constructed by method of a priori estimates. Introduction In this paper we will apply our result in [1] to get a new effective criterion for the existence and the uniqueness of the solutions of the following problem A: where, for each i ∈ {1,...,n} fi : [x, b] R n → Rn satisfies the Carathéodory conditions, Φ0i - the linear nondecreasing continuous functional on C ([a,b]) -is concentrated on [ai, bi] [a,b] (i.e., the value of Φ0i depends only on func- tions restricted to [ai, bi] and the segment can be degenerated a point) and φ i is a continuous functional on Cn([a,b]). In general Φ0i( 1 ) = C i (i = 1,..., n). Without loss of generality we can suppose that Φ0i(l) =1(i =1,...,n) to Key words: boundary value problem, priory estimate, continuous functional. 2000 AMS Mathematics Subject Classification: 34K10 70 An effective criterion of solvability... simplify the notation. We adopt the following notations: [a,b]- a segment, -∞ < a ≤ a i ≤ b i ≤ b < +∞, (i = 1,. . . , n ) , R n -n-dimensional real space with point Cn([a,b]) is the spaces of continuous n-dimensional vector-valued functions on [a,b] with the norm L p ([a,b]) is the space of integrable functions on [a,b] in p-power with the norm Let us consider the Problem A. By a solution we mean an absolutely contin-uous n- dimensional vector-valued function on [a, b], which satisfies the equation (1) for almost t ∈ [a,b] and fulfills the boundary conditions (2) of Problem A. 2. Results Definition Let and is a positively homogeneous nondecreasing oper- ator. We say that if the system of differential inequalities (we call the Problem B) N.ANH TUAN 71 with boundary conditions has only one trivial solution. The following Theorem 1 and Theorem 2 have been proved in [1] and we state here for the convenience of the readers. Theorem 1. Suppose that the following inequalities hold: where G = (gi) n i=1, H = (hij) n ij=1 and Ψ = (Ψi) n i=1satisịy the condition (3), the functions ωi : [a, b] x R n → R+ are measurable with regard to the first and nondecreasing to the second argument, ri : R+ →R+ are nondecreasing an Then the problem (1), (2) has át least one solution. Theorem 2. Suppose thát the ỊollovAng inequalities hold: 72 An effective criterion of solvability... and where satisỊy the condition (3). Then the Problem A has a unique solution. The main results in our note are Theorems 3, 4, 5 and 6. For clarity, we state our theorems first before sketching their proofs. Theorem 3. Consider [a, b] X R n and for each i = 1, . . . , n , let and in cn ( [ a , b ] ) , where 1 , . . . , n ), ω i : [a,b] R+ → R+ and ri : R+ → R+, satisfy the conditions o f Theorem 1, and the spectral radius of the matrix S= ( ) is less than 1. Then the Problem A has at least one solution. Theorem 4. Consider [a, b] Rn and for each i = 1,..., n, let N.ANH TUAN 73 and in cn([a, b]), where [ ] ∈ R i 1 satisfy the conditions of Theorem 3. Then the Problem A has a unique solution. The following theorem shows the existence of our problem. Theorem 5. Let in [a, b] xR n and for each i = 1,..., n and in Cn([a, b]), i = 1, . . . , n where gi ∈ L([a,b]) (i =1, . . . , n ) , ωi: [a,b] R+→R+ and ri: R+→R+, (i= 1, . . . , n ) satisfy the conditions of Theorem 1, the continuous functionals Ψij : C + ( [ a , b]) →R+ are sublinear non-decreasing and the spectral radius of the matrices and are less than 1 where 74 An effective criterion of solvability... Then Problem A has a solution. And now for the uniqueness, we get Theorem 6. Consider [a, b] Rn and for each i = 1,..., n, let and in cn([a, b ] ) , ( i = 1,..., n) where gi, hij and i 1 satisỊy the conditions in Theorem 5. Then the Problem A has a unique solution. The proofs of our Theorems are based on the followoing two lemmas. Lemma 7 Let (i , j =1 , . . . , n ) where each i 1 and the spectral radius of the matrix S with elements defined in Theorem 3 is less than 1. Then (3) holds for ( G , H ,Ψ ) . Proof Let the vector function x(t) = be the solution of the problem (4), (5). We shall prove that this solution is zero. Choose ti [ai,bi] such that N.ANH TUAN 75 Then by intergrating relations (4) and using relations (5), (20) and Holder inequality, we obtain and By a lemma of Levin (see [2] lemma 4.7) Consequently we obtain from (23) that where the E-matrix unit s = (Sij) n i,j=1...n is defined in Theorem 3. Since the spectral radius of the matrix is less than 1, it follows from (25) that Therefore x i = 0 (i = 1,..., n), proving our Lemma 7. Lemma8 Let gi : [a,b] →R, gi ∈ L([a,b]) (i = 1,.. . ,n), h i j ∈ L pij {[a,b],R+), where each Ψij : C + ( [ a , b ] ) → R+ ( i =1,...,n) are sublinear nondecreasing continuous functionals and the spectral radius of the matrices Ψ*and S defìned in (17) is less than 1. Then (3) holds for (G, H, Ψ). 76 An effective criterion of solvability... Proof Let the vector function x(t) = be the solution of the Problem B. We shall prove that this solution is zero. Choose such that The by integrating (4) and using (5), Hõlder inequality and Lemma of Levin (see [3], Lemma 1.7) we obtain and Substituting the inequality (28) into boundary condition (5) and using (26), (27) we have N.ANH TUAN 77 Since the spectral radius of the matrix Ψ* is less than 1, we get Consequently, from (29), (30) we obtain Since spectral of radius of the matrix s is less than 1, we obtain and our Lemma has been proved Proofs of our Theorems We now can sketch the proofs of our results. By the above two Lemmas and using Theorem 1 and Theorem 2, we can get Theorem 3 and Theorem 4 easily. Applying Theorem 3 and Theorem 4, we can get Theorem 5 and Theorem 6 immediately as corollaries of Theorem 3 and Theorem 4. References [1] B.Puza and Nguyen Anh Tuan, On a boundary value problems for systems of ordinary differential equations, East-West Journal of Mathematics, Vol 6, No 2 (2004), 139-151. [2] Kiguradeze.I.T, Some singluar boundary value of problems for ordinary differential equations (in Russian), Tbilisi Univ. Press, 1975. [3] Levin V.I, On inequalities II (in Russian) Mat. sbornik, 1938, 4 (46), No.2,309 - 324 EAST-WEST JOURNAL OF MATHEMATICS Volume 7 * Number 1 * June 2005 Principally quasi-Baer rings and generalized principally quasi-Baer rings Tai Keun Kwak 1 On a subclass of 5-dimensional Lie algebras which have 3-dimensional commutative derived ideals Le Anh Vu 13 Self-similar Measures and Harmonic Analysis Tian-you Hu 23 Inclusions among Multipliers from L p t to lq S. K. Gupta 45 Annihilator of Tensor Product of S-acts 51 Lili Ni and Yuqun Chen 51 Bounded p-variation in the mean Rene Erlin Castillo 61 An effective criterion of solvability of boundary value problem for a system of ordinary differential equations Nguyen Anh Tuan 69 Normality conditions and commutativity Theorems for rings Takasi Nagahara and Adil Yaqub 79 On Lie ideals and generalized derivations of prime rings Asma AH, Shakir Ali and Rekha Rani 93 The lifting condition and fully invariant submodules M. Tamer Kosan 99 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn 51 MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO NGUYỄN ANH TUẤN* Trong bài báo [1] tôi đã đƣa ra một số kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của một lớp bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao. Song các kết quả đó chƣa đƣợc chứng minh đầy đủ và chính xác, do thiếu các kết quả về bài toán biên cho hệ phƣơng trình hàm. Gần đây nhờ các kết quả trong [2] tôi có điều kiện hoàn thiện các kết quả nêu trên. Do đó mục đích chính của bài báo là chứng minh đầy đủ các kết quả trong [1]. Trƣớc hết ta nhắc lại bài toán. Xét phƣơng vi phân hàm bậc cao (1) Với điều kiện biên dạng hàm (2) Trong đó f : thỏa mãn điều kiện Carathéodory. Với mỗi i ∈{l, 2,..., n} phiếm hàm trong (2) là tuyến tính, liên tục, không giảm trong không gian C () và tập trung trong đoạn ai bi a, b (có nghĩa là giá trị của phiếm hàm Φi chỉ phụ thuộc vào hàm số thu hẹp đối với đoạn ai ,bi và đoạn này có thể suy biến thành một điểm). Ta luôn có thể giả thiết Φi(1) = 1. Trong điều kiện (2) các phiếm hàm (φi(i= 1, 2, ...,n) là liên tục trong không gian Cn-1 ( a, b ). Đinh nghĩa 1: Giả sử f0: là các toán tử không giảm, liên tục và thuần nhất dƣơng, g(t) L ()Nếu hệ bất phƣơng trình vi phân | (t) | | |, a t b, ( i=1,..., n - 1) | (t) - g(t) . | f0 (| |....,| |) (t), a t b (3) * Tiến sĩ Khoa Toán - Tin Trƣờng ĐHSP TP.HCM. Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 4 năm 2004 52 với điều kiện chỉ có nghiệm tầm thƣờng, chúng ta nói rằng: Định lý 1: Giả sử φ1,..., φn của bài toán (1), (2) thực hiện các điều kiện sau: với an ≤ t ≤ b, u ∈ C n-1 (), với mọi a ≤ t ≤ bn, u ∈ C n-1 ()’ với mọi u ∈ C n-1 (), (i = 1,2 ...n). Trong đó hàm số ω: X R + → R+ là đo đƣợc đối với biến thứ nhất và không giảm đối với biến thứ hai. Hàm số r: R + -> R+ là không giảm và Khi đó bài toán biên (1), (2) có ít nhất một nghiệm Để chứng minh định lý 1 ta cần bổ đề sau: Bổ đề 1: Giả sử điều kiện (5) đƣợc thực hiện. Khi đó tồn tại một số p >0 sao cho đánh giá sau xảy ra: với mỗi hằng số r0 > 0, hàm số h0 ∈ L (, R + ) và mỗi nghiệm u ∈ ACn-1 () của bất đẳng thức vi phân Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn 53 thỏa mãn điều kiện: min {|u (i-l) (t) |: ai ≤ t ≤ b i } ≤ Ψi (|u|,...,|u (n-1) |) + r0 , (i=1,...,n) (11) Chứng minh: Ta chứng minh bằng phản chứng, khi đó với mỗi số tự nhiên m, tồn tại rm ∈ R+, hom ∈ L () và um ∈ AC n-1 () sao cho: và Đặt khi đó ta có: Mặt khác từ (12), (13), (14), (15) ta nhận đƣợc: và Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 4 năm 2004 54 với mỗi i∈{ 1,2 . ., n} và với mỗi số tự nhiên m ≥ 1 ta chọn một điểm tim ∈ sao cho: (19) Giả sử pn,m(t)là nghiệm của bài toán Cauchy Khi đó từ các bất đẳng thức (171), (172) và theo bổ đề 4.1 trong [3] ta có: Nếu ta đặt Khi đó Từ (20), (21) và (24) ta có: Với a ≤ t ≤ b và Cùng với (16), (20) và (25) ta có: và với Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn 55 Từ (16), (18), (23), (24) kéo theo và |Pim(tim)|≤ 1 , (i = 1, . . . , m = l ,2,...) (31) . Các đẳng thức (19), (27), (28) và (31) chỉ ra rằng dãy hàm { } (i=l,2,...,n) là bị chặn đều và đồng liên tục đều. Do đó theo bổ đề Arzela-Ascoli và không mất tổng quát ta có thể giả sử rằng dãy đó là hội tụ đều. Ngoài ra ta có thể giả sử rằng dãy là hội tụ. Đặt: và Khi đó Chuyển qua giới hạn đẳng thức (23) và các bất đẳng thức (26), (30) ta nhận đƣợc) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 4 năm 2004 56 Ta lại đặt Khi đó từ (33) và (34) ta có Pio (t) ≤ Pi ( t ) , a ≤ t ≤ b và i 1 i 1 (38) Đạo hàm hai vế của (35) cho ta Các bất đẳng thức (32), (36), (37), (38) (39) chỉ ra rằng là nghiệm của bài toán (3), (4). Do đó theo giả thiết (5) ta có: Mặt khác từ (29) và (38) ta nhận đƣợc mâu thuẫn này chỉ ra rằng bổ đề đƣợc chứng minh. Bây giờ ta á p dụng bổ đề 1 để chứng minh định lý 1. Chứng minh định lý 1: Giả sử p là hằng số trong bổ đề 1. Theo (8) khi đó tồn tại số Po > 0 sao cho đặt Chúng ta xét bài toán Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn 57 Từ (41), (42) suy ra thỏa điều kiện Carathéodory và là liên tục và Bây giờ ta chỉ ra rằng bài toán biên thuần nhất Φ i (v ( i -1 ) ) = 0, (i= l,. . .n) (44o) chỉ có nghiệm tầm thƣờng Thậ t vậy giả sử v là một nghiệm tuy ý của bài toán này. Khi đó Thay vào (440) ta có: C. Φn (w) = 0 Tuy nhiên do Φn là hàm không giảm và Φn (1) = 1 nên chúng ta có: Do đó v(n-l) 0. Tiếp tục lập lại quá trình này ta nhận đƣợc v(t) = 0. Vậy bài toán thuần nhất (430), (440) chỉ có nghiệm tầm thƣờng. Theo định lý 1.1 Irong [2] thì khẳng định trên và các bất đẳng thức (45), (46) suy ra rằng bài toán (43), (44) có ít nhất một nghiệm. Giả sử u là một nghiệm tùy ý của (43), (44). Chúng ta sẽ chỉ ra rằng Từ (6) ta nhận đƣợc Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 4 năm 2004 58 Với a ≤ t ≤ bn Mặt khác từ (7) ta có: Theo bổ đề 1 và (40) ta nhận đƣợc (47) khi đó cùng với (41), (42) ta nhận đƣợc u là nghiệm của bài toán (1), (2). Định lý đƣợc chứng minh. Cuối cùng ta nhắc lại định lý về sự duy nhất nghiệm của bài toán (1), (2) Định lý 2: Giả sử điều kiện (5) đƣợc thực hiện và f, φ1, . . . , φ 2 của bài toán (1), (2) thỏa các điều kiện sau: với mọi u, v ∈ Cn-1 () khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Anh Tuấn, Một lớp bài toán biên cho phƣơng trình hàm bậc cao, Thông tin khoa học số 16 ( 11-1996) Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp. Hồ Chí Minh. [2] I. Kiguradze, B.Puza (19-97), On boudary value problems for functional differential equations. Mem. Differential Equations Math. Phys.12, 106-113. [3] p. Hartman (1964), Ordinary differential equations, John Wiley & Sons. Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn 59 Tóm tắt: Một lớp bài toán biên cho phƣơng trình vi phân bậc cao Tác giả chứng minh một điều kiện đủ cho sự tồn tạ i và duy nhất nghiệm cho phƣơng trình hàm bậc n với điều kiện biên dạng hàm đƣợc thiết lập bằng phƣơng pháp đánh giá ti ệm can. Abstract: A class of boundary value problems for high order differential equations New sufficient conditions of the existence and uniqueness of the solutions of the boundary problem for a functional differential equations o f n-th order with certain functional boundary conditions are constructed by a method of a priori estimates. Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 8 năm 2006 62 MỘT TIÊU CHUẨN HIỆU QUẢ VỀ TÍNH GIẢI ĐƢỢC CỦA BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO NGUYỄN ANH TUẤN 1 Trong bài báo này tác giả sử dụng các kết quả trong [1] để đƣa ra các tiêu chuẩn hiệu quả cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình vi phần hàm bậc cao. Xét phƣơng trình vi phân hàm bậc cao : với điều kiện biên dạng hàm : Trong đó toán tử thỏa mãn điều kiện Carathéodory. Với mỗi i ∈ {1, 2,..., n} phiếm hàm Φ i trong (2) là tuyến tính, liên tục, không giảm trong không gian C ( [ a , b]) và tập trung trong đoạn [ a i , bi] ∈ [ a , b] (có nghĩa là giá trị của phiếm hàm Φ i chỉ phụ thuộc vào hàm số thu hẹp đối với đoạn [ai, bi] và đoạn này có thể suy biến thành một điểm). Ta luôn có thể giả thiết Φ i (1) = 1. Trong điều kiện (2) các phiếm hàm Φ i (i = 1 , 2 , . . . , n ) là liên tục trong không gian C n - 1 ( [ a , b ] ) . Các trƣờng hợp riêng của điều kiện biên (2) là : Điều kiện biên dạng Cauchy-Nicoleti hay điều kiện biên dạng tuần hoàn Cho r: [a, b] → K ta định nghĩa toán tử ST nhƣ sau : 1 T S , Khoa Toán - Tin học, Trƣờng ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh. Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn 63 Nghiệm của bài toán (1), (2) là hàm số có đạo hàm đến cấp (n - 1) liên tục tuyệt đối trên đoạn [ a , b ] , thỏa phƣơng trình (1) hầu khắp nơi trên đoạn [ a b] và thỏa điều kiện biên (2). Trƣớc hết ta nhắc lại các kết quả đã đạt đƣợc trong [1]. Định nghĩa 1. Giả sử là các toán tử không giảm, liên tục và thuần nhất dƣơng, g( t ) ∈ L( [ a b ] ) . Nếu hệ bất phƣơng trình vi phân : với điều kiện : chỉ có nghiệm tầm thƣờng, chúng t a nói rằng : Định lí 1. Giả sử của bài toán ( 1 ) , (2) thục hiện các điều kiện sau : với với mọi với mọi Trong dó hàm số ω : [ a , b] R+ → R+ là đo đƣợc đối với biến thứ nhất và không giảm đối với biến thứ hai. Hàm số r : R+ → R+ là không giảm và Khi đ ó bài toán biên (1), (2) có ít nhất một nghiệm. Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 8 năm 2006 64 Định lí 2. Giả sử điều kiện (5) đƣợc thực hiện và f,φu...,φn của bài toán (1), (2) thỏa các điều kiện sau : Với an ≤ t ≤b ,u,v ∈C n-1 ([a,b]) Với an≤ t≤b ,u,v ∈C n-1 ([a,b]) với mọi u,v ∈Cn-1([a,b]). Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm. Từ các kết quả trên và bổ đề dƣới đây ta thu đƣợc các kết quả sau. Định lí 3. Giả sử các điều kiện sau là đƣợc thực hiện : với a≤ t≤b ,u ∈Cn-1([a,b]) Trên C n-1 ([a,b]) điều kiện sau đƣợc thực hiện Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn 65 Trong dó r, rij (i, j = 1, 2,..., n) là các số thực không âm. ω [a, b} R+ → m+ là hàm đo đƣợc đối với biến thứ nhất, không giảm đối với biến thứ hai và thỏa điều kiện (8) là đơn điệu và (i=1,2,. . . ,n). Trong đó : và Khi đó bài toán (1), (2) có ít nhất một nghiệm. Định lí 4. Giả sử các bất đẳng thức sau đựơc thực hiện : Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 8 năm 2006 66 với a ≤ t ≤ bn, u,v ∈ C (n-1) ([a, b]) và trong C (n-1) ([a, b]) (i = l,2,...,n). Trong đó các hàm số hi,ki và các hằng số rij, si và δi (i. j = 1,2,... ,n) thỏa các điều kiện trong định lý 3. Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm. Để chứng minh Định lí 3, 4 ta cần đến bổ đề sau : Bổ đề 1. Giả sử hi, ki ∈ Lp ([a, b], R+) , Ti ∈ AC ([a, b]) (i = 1, 2,..., n), p ≥ và với (x1,x2,. . . ,xn) ∈ Cn ([a,b]), (i = 1,2,...,n). với (x1, x2,..., xn) ∈ cn ([a, b]), (z = 1,2,...,n). Trong đó hi , ki,rij , Ti,(i,j = 1,2, ...,n) thỏa các điều kiện trong Định lí 3. khi đó điều kiện (5) đƣợc thực hiện. Chứng minh Bổ đề. Giả sử các điều kiện của Bổ đề đƣợc thực hiện. Để chứng minh điều kiện (5) thỏa ta chỉ cần chỉ ra rằng nếu véctơ (pi (t) ,p2 (t) , ...,Pn (t)) là nghiệm của bài toán (3), (4), thì véctơ đó phải là véctơ không. Trƣớc hết ta chọn điểm ti thuộc đoạn [ai, bi] sao cho : Tích phân bất đẳng thức (3) và áp dụng bất đẳng thức Honđer ta có : Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn 67 và Lấy chuẩn hai vế của bất đẳng thức trên và áp dụng bất Wirtinger (bổ đề 4.7 trong [2]) ta nhận đƣợc : và Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 8 năm 2006 68 Theo (14) ta có : Thay (21) vao (20) t a có : (i = l , 2 , . . . , n ) . Thay (5), (18) và (19) vào bất đẳng thức trên ta nhận đƣợc Dặt o = max{||pi||Lp(|a,b|):i=1,2,...,n} ta nhận đƣợc: o ≤ o max {Si: i = 1, 2,..., n} Vì Si < 1 nên po = 0. Do đó Pi ≡ 0 (i = 1, 2,... ,n). Bổ đề đƣợc chứng minh. □ Chứng minh các Định lí 3, 4 dễ dàng nhận đƣợc từ Định lí 1. 2 và bổ đề trên. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn A n h . Tuấn, Một lớp bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao, Tạp chí khoa học số 4 (12-2004). Trƣờng Dại học Sƣ phạm Tp.Hồ Chí Minh. [2] Kiguradze.I.T, Some singỉuar boudary value of problem for ordinary equations (in Russian), Tbilisi Univ. Press 1975. [3] Levin.V.I, On inequlities II, (in Russian) Mat. Sbornik, 1938,(46), No.2, 309-324. Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Anh Tuấn 69 Tóm tắt: Một tiêu chuẩn hiệu quả về tính giải đƣợc của bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao Trong bài báo này chúng ta trình bày một tiểu chuẩn hiệu quả mới cho sự tồn tại và duyh nhất nghiệm của bài toán biên cho pơhuowng trình hàm bậc cao với điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng bằng phƣơng pháp đánh giá tiệm cận. Abstract: An effective criterion on solvability of a boundary value problem for a differential equation of high degree In this paper we present a new effective criterion for the existence and uniqueness of solution of boundary value problem for a functional-differential equation of higher degree with functional boundary conditions that are con-structed by the method of the asymptote estimates. Mẫu 1.02 1 BỘ GIÁO DỰC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐH SƢ PHẠM TP.HCM THUYẾT MINH ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ 1.TÊN ĐỀ TÀI: MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM 3. LĨNH VỰC NGHIỆ CỨU 4. LOẠI HÌNH NGHIÊN CỨU Tự nhiên Xã hội nhân văn Giáo dục Kỹ thuật Nông Lâm-Ngƣ Y dƣợc Môi trƣờng Cơ bản ứng dụng Triển khai           5. THỜI GIAN THỰC HIỆN Từ 24 tháng 4 năm 2007 đến 20 tháng 4 năm 2009 6. CƠ QUAN CHỦ TRÌ Tên cơ quan : Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp.HCM Địa chỉ: 280, An Dƣơng Vƣơng, Q.5, Tp.HCM Điện thoại: 08 8 352 020 Fax : E-mail : 7. CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI Họ và tên : NGYỄN ANH TUẤN Học vị, chức danh KH :PGS.TS Chức vụ :Phó trƣởng khoa Địa chỉ NR .-220/150/35 Lê văn Sỹ . Q.3.Tp. Hồ Chí Minh Địa chỉ CQ :280 An Dƣơng Vƣơng. Q.5.Tp Hồ Chí Minh Điện thoại CQ .08.8330124 Fax : Di động : 0908651144 Điện thoại NR :08.8437519 E-mail : 8. NHỮNG NGƢỜI THAM GIA THỰC HIỆN ĐỂ TÀI Họ và tên Đơn vị công tác và lĩnh vực chuyên môn Nội dung nghiên cứu cụ thể đƣợc giao Chữ ký GS. TS Bedrich Puza Masazyk university, Czech Republic Cùng hợp tác nghiên cứu và viết bài chung. 9. ĐƠN VỊ PHÔI HỢP CHÍNH Tên đơn vị trong và ngoài nƣớc Nội dung phối hợp Họ và tên ngƣời đại diện Department of Mathematics Masaryk University Cùng phối hợp nghiên cứu các vấn đề nêu trên. GS.TS. Bedrich.Puza 10. TÌNH HÌNH NGHIÊN cứu TRONG VÀ NGOÀI NƢỚC 10.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài Lý thuyết bài toán biên cho phƣơng trình vi phân thƣờng ra đời từ thế kỷ 18 nhƣ một công cụ để giải quyết các bài toán vật lý, cơ học. Tuy nhiên cho đến nay nó vẫn còn phát triển mạnh nhờ các ứng dụng rộng rãi và to lớn trong các lĩnh vực của cuộc sống nhƣ vật lý, cơ học. kỹ thuật nông nghiệp, kinh tế và sinh học,... Song nghiên cứu và phát triển theo hƣớng này thực sự phát triển mạnh và thu đƣợc nhiều kết quả mới bắt đầu từ năm 1997 do một nhóm các nhà toán học Grudia và Czech dƣới sự dẫn dắt của giáo sƣ viên sỹ Ivan Kiguradze, viện trƣởng viện toán học Tbilisi. Trong những năm gần đây vấn đề này càng đạt đƣợc nhiều kết quả trong các công trình của các tác giả nhƣ: I.Kigurade, B.Puza. R.Hakl, A.Lomatatidze,..., trong các bài báo ví dụ nhƣ [4], [5],[8],[9],.... 10.2 Danh mục các công trình liên quan (Họ và tên tác giả ; Nhan đề bài báo, ấn phẩm ; Các yếu tố về xuất bản) a) Của chủ nhiệm đề tài và những ngƣời tham gia thực hiện đề tài 1.Nguyễn Anh Tuấn, On one class of sovable boundary value problems for ordinary differential equation of n-th orcler, Comment. Univ. Carolin. 35, 2. (1994), 299-309. 2. Nguyễn Anh Tuấn, Một lớp bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao, Tạp chí Khoa học Trƣờng ĐHSP Tp.HCM số 4(38), 2004. 3. Nguyễn Anh Tuấn, On an effective criterion of solvability oịboundry value problems for ordinary differential equation of n-th order. Arch. Math. 41 (2005). No. 451- 460. 4. Nguyễn Anh Tuấn. Điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm của hệ phƣơng trình vi phân với điều kiện biên dạng hàm. Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP.TP.HCM. số 20,1998. 5. I.Kisurade and B.Puza. On boandary value problems for systems ọf linear functional differential equations. Czechslovak . Math. J , 47 (1997). No.2, 341-373. b) Của những ngƣời khác 6. I.Kigurade and B. Puza, On the sovability of nonlinear boundary value problems for fuctional differential equations .Georgian Math. J. 5 (1998) No.3, 251 -262. 7. E.Barvyi, A.Lomtatidze, B.Puza. A not on the theorem on differential inequalities, Georgian Math, J, 7(2000), No.4, 627-631. 8. R.Hakl, On bounded solutions of systems of linear functional differential equations, Georgian Math J (1999). No.5. 429-440. 9. R.Hakl, On some boundary value problems for systems of linear functional differential equations, E.IQualitative Theory of Diff.Equ. (1999) No. 10. 1-16. 10. R.Hakl I.Kigurade.B.Puza, Upper and lower solutions of boundary valueproblems for functional differenial equatons and theorems on functional clifferential inequalities, Georgian Math , J, 7(2000),No.3.489-512. 11. R.Hakl, A.Lomatatidze, B.Puza, On periodic solutions of first order linear functional dịfferential equations, Nolin.Anal: Theory, Meth&Appl. 49(2002) 929-945 12. I.Kigurade, B.Puza, On boundary value problems for functional differential equations. Mem. Differential Equutions Math.Phy.12 (1997) 106-113. 2. TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI Bài toán biên nhiều điểm cho phƣơng trình vi phân đƣợc nghiên cứu từ lâu đã đƣợc nghiên cứu bởi các tác giả nhƣ Kigurade, Puza, Bắt đầu từ năm 1989 các tác giả nhƣ Puza, Tuan, bắt đầu có các kết quả cho bài toán biên với điều kiện biên dạng hàm, ví dụ nhƣ trong các bài báo [1] [2] [3] [4] .... Đặc biệt từ năm l998 các tác giả nhƣ I. Kigurade, B.Puza, có các kết quả mới cho lý thuyết các bài toán biên cho hệ phƣơng trình hàm tuyến tính và phi tuyến, thì việc mở rộng các kết quả trên cho bài tuyến biên nhiều điểm hay bài toán biên với điều kiện biên dạng hàm là cần thiết và lý thú. Từ đó chúng ta sẽ có các kết quả mới cho phƣơng trình vi phân với đối số chậm hay đối số lệch. MỤC TIÊU ĐỀ TÀI: Mục tiêu của đề tài : Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của một lớp phƣơng trình vi phân hàm với điều kiện biên dạng hàm. Ngoài ra còn xem xét tính xấp xỉ nghiệm của các bài toán này. Nội dung gồm ba vấn đề chính sau đây: a. Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình vi phân hàm bậc cao phi tuyến mạnh với điều kiện biên dạng hàm đặc biệt (tiếp tục các bài toán đang nghiên cứu) b. Nghiên cứu các điều kiện đủ cho Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho hệ phƣơng trình hàm dạng tổng quát từ đó áp dụng các kết quả cho hệ phƣơng trình vi phân với đối số chậm hay đối số lệch với các điều kiện biên khác nhau. c. Xem xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho một lớp hệ phƣơng trình vi phân với điều kiện biên dạng hàm đặc biệt.Từ đó xây dựng dƣợc các tiêu chuẩn hiệu quả cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Tiếp tục xem xét tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này. 3. CÁCH TIẾP CẬN, PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, PHẠM VI NGHIÊN CỨU . Áp dụng các kết quả mới nhất của các tác giả nhƣ: I. Kigurade.B Puza,A.Lomatizace,... cho phƣơng trình vi phân hàm tuyến tính hay phi tuyên tính để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phƣơng trình vi phân hàm hay phƣơng trình vi phân hàm bậc cao với các điều kiện biên dạng hàm. Từ đó xây dụng các tiêu chuẩn hiệu quả cho phƣơng trình vi phân với đối số chậm hay đối số lệch. Áp dụng các phƣơng pháp đánh giá tiệm cận. phƣơng pháp điểm bất động cho các vấn đề trên. 4. NỘI DUNG NGHIÊN cứu VÀ TIẾN ĐỘ THỰC HIỆN STT Các nội dung, công việc thực hiện chủ yếu Sản phẩm phải đạt Thời gian (bắt đầu - kết thúc) Ngƣời thực hiện 1 Bài toán biên cho hệ phƣơng trình vi phân với điều kiện biên dạng hàm Hai bài báo đăng tại tạp chí có uy tín trong hoặc ngoài nƣớc 2007-2008 GS.TS. B.Puza PGS.TS.Nguyễn Anh Tuấn 2 Bài toán biên cho hệ phƣơng trình vi phân hàm hay phƣơng trình vi phân hàm bậc cao với điều kiện biên danh hàm Hai bài báo đăng tại tạp chí có uy tín trong hoặc ngoài nƣớc 2008-2009 PGS.TS.Nguyễn Anh Tuấn 5. SẢN PHẨM VÀ ĐỊA CHỈ ỨNG DỤNG Mẫu  Vật liệu  Thiết bị máy móc  Dây chuyền công nghệ  Giống cây trồng  Giống gia súc  Qui trình công nghệ  Phƣơng pháp  Tiêu chuẩn  Qui phạm  Sơ đồ  Báo cáo phân tích  Tài liệu dự báo  Đề án  Luận chứng kinh tế  Chƣơng trình máy tính  Bản kiến nghị  Sản phẩm khác: Bài báo đăng trên các tạp trí • Tên sản phẩm, số lƣợng và yêu cầu khoa học đối với sản phẩm STT Tên sản phẩm Số lƣợng Yêu cầu khoa học Bài báo đã đƣợc đăng hay có giấy nhận đăng 04 Đăng trên tạp chí chuyên ngành có uy tín • Số học viên cao học và nghiên cứu sinh đƣợc đào tạo : hai hoặc ba học viên cao học • Số bài báo công bố: 4 • Địa chỉ có thể ứng dụng (tên địa phƣơng, đơn vị ứng dụng): Dùng làm đề tài nghiên cứu cho học viên cao học và nghiên cứu sinh của khoa Toán - Tin trƣờng Đại học sƣ phạm Tp.Hồ Chí Minh. 6. KINH PHÍ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Tống kinh phí: 40.000.000 đ (Bốn mƣơi triệu đồng Việt Nam). Trong đó : Kinh phí sự nghiệp khoa học : 40.000.000 đ (Bốn mƣơi triệu đồng Việt Nam). Các nguồn kinh phí khác (cơ sở hỗ trợ, tài trợ của cá nhân, tổ chức): Không có Nhu cầu kinh phí từng năm : - Năm 2007 :25.000.000 đồng - Năm 2008 : 15.000.000 đồng Dự trù kinh phí theo các mục chi Kinh phí viết bài: 20.000.000 đ Kinh phí cho in ấn: 3.000.000 đ Kinh phí cho bảo vệ: 5.000.000 đ Kinh phí cho :Seminare: 7.000.000 đ Kinh phí văn phòng phẩm, photo : 1 .600.000 đ Kinh phí gửi bài, bƣu điện : 1.000.000 đ Phụ cấp chủ nhiệm đề tài : 2.400.000 đ Ngày 13 tháng 04 năm 2007 Chủ nhiệm đề tài Ngày 16 tháng 5 năm 2007 Cơ quan chủ quản duyệt TL. BỘ TRƢỞNG BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VỤ TRƢỞNG VỤ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ