Đề tài Một số dạng phương trình tích phân tuyến tính

ij , 1 ( , ) ( ) ( )∞ = Κ =∑ i ji jt s a e t e s . Điều này cho ta: Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 45 2 ij1 1( , ) ( ) ( ) 0= =Κ − →∑ ∑∫∫ b b m n i ji j a a t s a e t e s dtds , khi m,n→ ∞ (25) Vậy ( , )Κ t s là giới hạn trong [ ] [ ]2 , ,×a b a bL của dãy hạch thoái hóa: , ij1 1( , ) ( ) ( )= =Κ =∑ ∑ m m m n i ji jt s a e t e s (26) Gọi ,m nA là toán tử sinh bởi hạch , ( , )Κ m n t s , tức: ( ), ij ,1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( , )ϕ ϕ= == = Κ∑ ∑∫ ∫b bm nm n i j m ni j a a A t a e t e s s ds t s ds Khi ñó ta có: 1 22 , , ( , ) ( , ) − = Κ − Κ    ∫ ∫ b b m n m n a a A A t s t s dtds Từ (25) và (26) suy ra , 0− →m nA A , khi , →m n ∞ Điều này chứng tỏ rằng A là giới hạn của một dãy các toán tử thoái hóa nên A hoàn toàn liên tục. Định lý 1.2.10.2. Toán tử tích phân sinh bởi hạch ñối xứng là một toán tử ñối xứng. Thật vậy: , ( , ) ( ) ( )ϕ ψ ϕ ψ = Κ    ∫ ∫ b b a a A t s s ds t dt ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) b b b b a a a a s t s t ds s s t t dt dsϕ ψ ϕ ψ    = Κ = Κ        ∫ ∫ ∫ ∫ ,ϕ ψ= A Ở ñây ñịnh ký Fubini áp dụng ñược vì ( ) ( )ϕ ψ ∈s t [ ] [ ]2 , ,×a b a bL và [ ] [ ]2 , ,( , ) ×Κ ∈ a b a bt s L cho nên tích phân sau ñây tồn tại: ( , ) ( ) ( ) .)ϕ ψΚ∫ ∫ b b a a t s s t dtds 1.2.11. Phương trình tích phân ∗ Các ñịnh nghĩa Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 46 ∗ Định nghĩa 1.2.11. Phương trình tích phân là phương trình mà ẩn hàm chưa biết nằm trong dấu tích phân. ∗ Ví dụ: với ,≤ ≤a s t b ta có các phương trình tích phân: ( ) ( , ) ( )λ= Κ∫ b a f t t s g s ds (27) ( ) ( , ) ( )λ= Κ∫ b a g t t s g s ds (28) ( )2( ) ( , ) ( )λ= Κ∫ b a g t t s g s ds (29) ( ) ( ) ( , ) ( )λ= + Κ∫ t a g t f t t s g s ds (30) Thấy rằng: - Hàm ẩn ( )g t phải tìm có thể chỉ nằm trong dấu tích phân có thể nằm cả ở ngoài dấu tích phân. - Một phương trình tích phân ñược gọi là tuyến tính nếu hàm phải tìm là bậc một ( ví dụ như các phương trình (27) và (28) là tuyến tính còn phương trình (29) không phải. - Bằng biến ñổi thích hợp, một phương trình tích phân bao giờ cũng ñưa ñược về dạng ( )λ− =A I g f trong ñó A là toán tử tích phân, khi ñó nếu A là toán tuyến tính thì phương trình tích phân ñó là tuyến tính. Sau ñây ta chỉ quan t©m tới phương trình tích phân tuyến tính. ∗ Định nghĩa 1.2.11.2. - Phương trình tích phân có dạng: ( ) ( ) ( , ) ( )λ= + Κ∫ b a g t f t t s g s ds ñược gọi là phương trình Fredholm loại 2, trong ñó ( )g t là hàm chưa biết, ( )f t và ( , )Κ t s là những hàm cho trước, λ là tham số. - Phương trình tích phân có dạng: Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 47 ( ) ( , ) ( )λ= Κ∫ b a f t t s g t ds ñược gọi là phương trình Fredhlom loại 1, trong ñó ( )g t là hàm chưa biết, ( , )Κ t s và ( )f t là những hàm cho trước, λ là tham số. 1.2.12. Bài toán dẫn tới phương trình tích phân Xét bài toán: Một sợi dây vật chất ñàn hồi có ñộ dài l , có thể uốn tự do nhưng chống lại sự giãn. Giả sử các ñầu mút của sợi dây bị giữ chặt tại các ñiểm 0,= =x x l . Khi ñó ở vị trí cân bằng sợi dây trùng với ñoạn thẳng 0l của trục 0x. Giả sử tại vị trí ϕ=x , (0 ϕ< < l ) ta ñặt một lực thẳng ñứng ϕ=p p . Dưới tác dụng của lực p dây bị lệch khỏi vị trí cân bằng và có dạng như hình vẽ: Bây giờ yêu cầu là hãy tìm ñộ lệch σ tại ñiểm ϕ của sợi dây dưới tác dụng của lực p . Nếu lực p nhỏ hơn so với lức căng oT của dây không tải (tức dây ở vị trí cân bằng) thì hình chiếu của lực căng của dây có tải có thể coi bằng oT như trước, khi ñó từ ñiều kiện cân bằng của dây ta có 1 2(tan tan )ϕ α α= + op T Góc 1 2,α α rất nhỏ nên có thể coi: 1 1tan sin ,α α= 2 2tan sinα α= ⇒ ( )1 2sin sin .ϕ α α≈ + op T 1sin σ α ϕ = , 2sin σ α ϕ = −l Suy ra ϕ σ σ ϕ ϕ = + − o op T T l . Do vậy ( ) ϕ ϕ ϕ σ − = o l p T l Bây giờ ta ký hiệu u(x) là ñộ lệch của dây tại ñiểm x nào ñó dưới tác dụng của ϕ 0 x lx pϕ ( )u xσ1α 2α ϕ 0 x l Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 48 lực ϕp , khi ñó: u(x) = ( , )ϕ ϕp G x trong ñó: ( ) , 0 ( , ) ( ) , ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − ≤ ≤  =  − ≤ ≤  o o l x x T l G x l x x l T l Rõ ràng ( , ) ( , )ϕ ϕ=G x G x Bây giờ giả sử rằng trên dây tác dụng một lực phân bố liên tuc dọc trên nó với mật ñộ ( )ϕp , nếu lực ñó nhỏ thì sự biến dạng phụ thuộc tuyến tính vào lực và sợi dây có tải ñược mô tả bởi hàm: ( ) =u x 0 ( , ) ( )ϕ ϕ ϕ∫ l G x p d Nếu dây cho có dạng ( )u x , yêu cầu tìm phân bố tải trọng ( hàm ( )ϕp ) lên sợi dây sao cho sợi dây có dạng ( )u x . Bài toán này có nghĩa là xác ñịnh hàm p dưới dấu tích phân dạng (28), tức là tìm nghiệm của phương trình tích phân Fredhlom loại 1. Sau ñây ta sẽ ñi vận dụng lý thuyết toán tử trong không gian Hilbert vào việc khảo sát một số phương trình tích phân tuyến tính thường gặp nhất. Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 49 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TR×nh tÝch ph©n TuyÕn tÝnh 2.1. Phương trình tích phân với hạch ñối xứng 2.1.1. Định nghĩa 2.1. Phương trình Fredholm loại 2: ( ) ( ) ( , ) ( )ϕ λ ϕ= + Κ∫ b a t f t t s s ds (31) Trong ñó ( )f t , ( , )Κ t s cho trước, giả thiết [ ]2 ,( ) ∈ a bf t L , ( , )Κ t s ñối xứng và có bình phương môñun khả tích tức thỏa mãn: 1, 2( , )Κ < +∞∫ ∫ b b a a t s dsdt 2, ( , ) ( , )Κ = Κt s s t ñược gọi là phương trình tích phân có hạch ñối xứng. 2.1.2. Xét sự tồn tại nghiệm Phương trình này có thể viết lại dưới dạng trừu tượng: ϕ ϕ= +f A (32) trong ñó A là một toán tử ñối xứng hoàn toàn liên tục. Như ñã biết [ ] 2 ,a bL là tách ñược, toán tử A có một hệ trực chuẩn ñầy ñủ vectơ riêng { }ne ứng với các giá trị riêng λn và 0λ →n , khi n→ ∞ . Giả sử rằng bằng cách nào ñó ta ñã biết { }ne và { }λn , khi ấy muốn xác ñịnh ϕ chỉ cần biết các hệ số , ieϕ của nó ñối với hệ { }ie vì 1 , i ii e eϕ ϕ∞==∑ . Vậy ta ñi xác ñịnh các , ieϕ . Với mỗi i ta có: , , , , , , , ϕ ϕ ϕ λ ϕ = + = + = + i i i i i i i i e f e A e f e Ae f e e Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 50 (1 ) , ,i i ie f eλ ϕ− = . (*) Thành thử nếu 1λ ≠i thì: , , 1 ϕ λ= − i i i f e e Còn nếu 1λ =i thì (*) cho thấy rằng hàm f cho trước phải thỏa mãn , 0=if e nhưng khi ấy (*) không ñặt ñiều kiện nào cho ,ϕ ie cả. Bây giờ với giả thiết , 0=if e cho mọi ie ứng với 1λ =i , nghiệm của phương trình (32) là: ' " , 1 ϕ ελ= +−∑ ∑ i i j j i f e e e (33) Trong ñó ε j là những số tùy ý, '∑ chỉ tổng số lấy theo các ie có 1λ ≠i và "∑ chỉ tổng số lấy theo các je có 1jλ = . Vì 0jλ → khi j→ ∞ nên tồn tại: M = 1sup 1 λ < +∞−i i , và 2 2 2 ' 2 ' 2, , 1 λ ≤ ≤ < +∞−∑ ∑ i i i f e M f e M f Do ñó chuỗi thứ nhất trong (33) hội tụ, chẳng hạn ñặt ,ϕ là tổng của chuỗi ấy, còn tổng của chuỗi thứ hai trong (33) thì chỉ gồm một số hữu hạn hạng tử, vì theo tính chất của toán tử hoàn toàn liên tục thì chỉ có thể có một số hữu hạn je với 1λ =j . Vậy tổng ấy bao giờ cũng xác ñịnh và bằng một phần tử trong không gian [ ] 2 ,a bL mà ta gọi là ,,ϕ , ta có: , ' ' " ' , , , 1 1 , , i i i i i i i i i i i f e f e A Ae e f e e f e e f ϕ λλ λ ϕ = = − − = − + = − + ∑ ∑ ∑ ∑ ,, ' " ,, i i i iA Ae eϕ ε ε ϕ= = =∑ ∑ Cho nên: , ,, , ,,A A A fϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + = − + + Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 51 Hay: f Aϕ ϕ= + Điều này chứng tỏ (33) là nghiệm của (32). ∗ Nhận xét. ,,ϕ thuộc không gian con riêng ứng với giá trị riêng 1 nên ta có phát biểu sau: - Nếu A không có giá trị riêng nào bằng 1, thì phương trình (32) có một nghiệm duy nhất ( , 1 ϕ λ= −∑ i ii i f e e ) với mọi f cho trước. - Nếu A có giá trị riêng bằng 1 thì phương trình (32) chỉ có nghiệm khi f trực giao với không gian con riêng ứng với giá trị riêng 1, và khi ñó nghiệm ñược xác ñịnh xê xích một phần tử tùy ý của không gian con riêng này. Qua những ñiều trên thấy rằng việc giải phương trình tích phân (31) hoặc (32) trong trường hợp hạch ñối xứng ñược quy về tìm các vectơ riêng của toán tử A tương ứng. 2.2. Phương trình tích phân với hạch thoái hóa 2.2.1. Định nghĩa 2.2. Phương trình tích phân Fredholm loại 2: ( ) ( ) ( , ) ( )ϕ λ ϕ= + Κ∫ b a t f t t s s ds (34) trong ñó ( , )Κ t s có dạng: 1 ( ) ( ) = ∑ m i ii p t q s , [ ] 2 , , ∈i i a bq p L (35) Được gọi là phương trình tích phân có nhân thoái hóa (hay nhân suy biến). 2.2.2. Xét sự tồn tại nghiệm Bây giờ ta sẽ ñi khảo sát phương trình này. Trước hết chú ý rằng, ở ñây ta có thể giả thiết các ( )ip t ñộc lập tuyến tính, cũng như các ( )iq s . Vì rằng, nếu chẳng hạn các ( )ip t không ñộc lập tuyến tính thì có một ( )oip t là tổ hợp tuyến tính của các ( )ip t còn lại, khi ñó ta ñem thay tổ hợp này vào ( )oip t trong ( , )Κ t s thì vẫn ñược một biểu thức có dạng (35), nhưng trong ñó sẽ bớt ñi ñược ( ) oi p t , lặp lại phép toán ñó một số lần cần thiết cuối cùng ta sẽ ñược một biểu Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 52 thức có dạng (35) trong ñó các ( )ip t , cũng như ( )iq s ñều ñộc lập tuyến tính. Với hạch ( , )Κ t s xác ñịnh bởi (35) ta có: 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϕ λ ϕ = − =∑ ∫ b m i ii a t p t q s s ds f t (36) Hay viết trừu tượng sẽ là: 1 ϕ λ = − =∑ m i ii c p f (37) trong ñó: ( ) ( )ϕ= ∫ b i i a c q s s ds , 1,=i m Từ (37) suy ra 1 ϕ λ = = + ∑ m i ii f c p ñem thay biểu thức này vào ϕ ở phương trình (36) ñược: 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0λ = =    − + =     ∑ ∑∫ b m m i i i k ki k a p t c q s f s c p s ds Từ nhận xét ở trên biết rằng các ( )ip t ñôc lập tuyến tính, do vậy: 1 ( ) ( ) ( ) 0λ =   − + =  ∑∫ b m i i k kk a c q s f s c p s ds , với 1,=i m (38) Thực hiện tách tích phân, ñặt: ( ) ( )= ∫ b i i a f q s f s ds ; ( ) ( )= ∫ b ik k i a a p s q s ds ; , 1,=i k m . Khi ñó (5) trở thành: 1 1, λ =  − =  = ∑ m i ik k ii c a c f i m Đây là hệ phương trình ñại số bậc nhất chứa m ẩn số, hay hệ ñược viết là ( ) 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1 ) ... (1 ) ... ... ... ... ... ... 1 λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − =  − − − =    − − − = m m m m m mm m m a c a c a c f a c a c a f a c a c a c f (39) Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 53 Định thức ( )λD của hệ là 11 12 1 21 22 2 1 2 (1 ) ... (1 ) ...( ) ... ... ... ... ... (1 ) λ λ λ λ λ λλ λ λ λ − − − − − − = − − − m m m m mm a a a a a a D a a a ( )λD xác ñịnh một ña thức biến λ bậc không quá m và ña thức ấy không ñồng nhất bằng 0, vì tại 0λ = có (0) 1=D . - Với những λ mà ( ) 0λ ≠D thì hệ (39) có nghiệm duy nhất. - Với những λ mà ( ) 0λ =D thì hệ (39) hoặc là vô số nghiệm hoặc là vô nghiệm. Vì việc tìm nghiệm ϕ của phương trình (36) ñược ñưa về việc tìm các ic theo hệ phương trình ñại số (39), với giả thiết ñã có xác lập một phép tương ứng giữa tập các nghiệm ϕ của phương trình (36) với tập các nghiệm 1( ,..., )= mc c c của hệ (39). Thật vậy, với mỗi nghiệm ϕ của (36) thì do tính ñộc lập của các ( )ip t và cách ñặt các ic ta hoàn toàn có thể xác ñịnh các ic , và các ic nghiệm ñúng (39), và ngược lại từ (37) ta hoàn toàn có thể xác ñịnh ñược g , từ cách ñặt các ic ta suy ra ϕ này nghiệm ñúng (36). Do ñó việc khảo sát phương trình (36) hoàn toàn tương ñương với việc khảo sát phương trình (39). Hơn nữa khi 0=f thì hệ thức (37) trở thành 1 ϕ λ = = ∑ m i ii c p , khi ñó có một phép ñẳng cấu giữa không gian tuyến tính tạo bởi các nghiệm của phương trình thuần nhất: 1 0ϕ λ = − =∑ m i ii c p (40) trong ñó ( ) ( )ϕ= ∫ b i i a c q s s ds , với không gian tuyến tính các nghiệm của hệ thuần nhất: 1 0λ = − =∑ m i ik ki c a c , ( 1,=i m ) (41) Cùng với phương trình (34) ta hãy xét phương trình liên hợp của nó: Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 54 ( ) ( , ) ( ) ( )ψ λ ψ− Κ =∫ b a t s t s ds g t (42) có hạch ( , )Κ s t thay cho ( , )Κ t s . ( , ) ( )ψ ψ= Κ∫ b a B s t s ds là liên hợp của toán tử ( , ) ( )ϕ ϕ= Κ∫ b a A t s s ds , tức là ∗=B A , Thật vậy: , ( , ) ( ) ( )ϕ ψ ϕ ψ = Κ =    ∫ ∫ b b a a A t s s ds t dt ( ) ( , ) ( )ϕ ψ Κ =    ∫ ∫ b b a a t s t s ds dt ( ) ( , ) ( ) , b b a a t s t s ds dt Bϕ ψ ϕ ψ = Κ =    ∫ ∫ Trong trường hợp ñang xét, hạch ( , )Κ t s có dạng thoái hóa thì phương trình liên hợp là: 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ψ λ ψ = − =∑ ∫ b m i ii a t q t p s s ds g t Hay là dưới dạng trừu tượng: 1 ψ λ η = − =∑ m i ii q g (43) Bằng lập luận tương tự như trước ta cũng thấy rằng việc khảo sát (43) hoàn toàn tương tự với việc khảo sát phương trình ñại số: 1 η λ η = − =∑ m i ik k ii a g , với 1,=i m (44) Trong ñó ( ) ( )= ∫ b ik i k a a p t q t dt , ( ) ( )= ∫ b i i a g p t g t dt Cụ thể là hệ thức 1 ψ λ η = = + ∑ m i ii g q xác lập một phép tương ứng 1-1 giữa tập các nghiệm ψ của phương trình (43) với tập các nghiệm 1( ,..., )η η η= m của hệ (44), Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 55 và khi 0=g xác lập một phép ñẳng cấu giữa không gian tuyến tính tạo thành bởi các nghiệm của phương trình thuần nhất: 0 0ψ λ η = − =∑ m i ii q (45) Với không gian tuyến tính các nghiệm của hệ thuần nhất: 1 0η λ η = − =∑ m i ik kk a , với 1,=i m (46) Trong ñại số nếu hệ thuần nhất (41) không có nghiệm nào 0≠ thì với mỗi 1( ,..., )= mb f f cho trước hệ (39) có một nghiệm duy nhất, và do ma trận của hệ (46) cũng không có nghiệm khác 0 với mỗi 1( ,..., )= md g g cho trước hệ (44) cũng có một nghiệm duy nhất. Còn nếu hệ thuần nhất (41) có nghiệm khác 0 thì hệ (46) cũng có nghiệm khác 0 và số nghiệm ñộc lập tuyến tính của hai hệ (41) và (46) bằng nhau. Khi ấy muốn cho hệ (39) có nghiệm ñiều kiện cần và ñủ là vectơ 1( ,..., )= mb f f phải trực giao với mọi nghiệm 1( ,..., )η η η= m của hệ thuần nhất (46). Thật vậy cho ie là vectơ m chiều mà thành phần thứ i là 1 λ− iia còn thành phần thứ ≠j i là λ− jia ta thấy rằng vế thứ nhất của (46) chính là tích vô hướng 1( ,..., )η η η= m trực giao với mọi với mọi vectơ 1 2, ,..., me e e . Do vËy ®Æt { }1,...,=nM e e thì N = M ⊥ , víi N lµ kh«ng gian con sinh bëi c¸c nghiÖm 1( ,..., )η η η= m cña ph−¬ng tr×nh (46). Nếu hệ (37) có nghiệm thì vectơ 1( ,..., )= ∈mb f f M , do ñó ⊥b N . Ngược lại nếu ⊥b N thì ∈b M , tức là tồn tại những số 1,..., mc c nghiệm ñúng (37), do ñó hệ (37) có nghiệm. Tương tự như thế muốn cho hệ (44) có nghiệm ñiều kiện cần và ñủ là vectơ ( )1,...,= md g g trực giao với mọi nghiệm của hệ (45). Nhưng ñể ý rằng ñiều kiện 1( ,..., )= mb f f trực giao với các nghiệm η của (46) có nghĩa là f trùc giao với các nghiệm ψ của (45), cũng như ñiều kiện 1( ,..., )= md g g trực giao với các nghiệm ϕ của (37) vì chẳng hạn , , ,ψ η η η= = =∑ ∑ ∑i i i i i i i i i f f q f q f Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 56 Dựa vào nhận xét ñó và dựa vào liên hệ nói trên giữa tập các nghiệm của (34) hoặc (43) với tập các nghiệm của (37) hoặc (46) ta suy ra “ ñịnh lý hai khả năng” sau ñây cho các phương trình tích phân có hạch thoái hóa. 2.2.3. Định lý Fredholm. Đối với các phương trình: ϕ ϕ− =A f (47) 0ϕ ϕ− =A (48) ψ ψ∗− =A g (49) 0ψ ψ∗− =A (50) Trong ñó ,A ∗A là các toán tử tích phân với hạch: ( , )Κ t s , ( , ) ( , )∗Κ = Κt s s t Chỉ có hai khả năng: 1, Hoặc là phương trình thuần nhất (48) không có nghiệm khác 0, thì khi ấy phương trình thuần nhất (50) cũng không có nghiệm khác 0, và với mọi ,f g cho trước , mỗi phương trình (47) và (49) ñều có nghiệm duy nhất. 2, Hoặc là phương trình thuần nhất (48) có nghiệm khác 0, thì khi ấy phương trình thuần nhất (50) cũng có nghiệm khác 0. Số nghiệm ñộc lập tuyến tính của (48) và (50) bằng nhau, và phương trình (47) có nghiệm khi và chỉ khi f trực giao với mọi nghiệm của (50), phương trình (49) có nghiệm khi và chỉ khi g trực giao với mọi nghiệm của (48). 2.3. Phương trình tích phân với hạch không ñối xứng 2.3.1. Định nghĩa 2.3. Phương trình Fredholm loại 2: ( ) ( , ) ( ) ( )ϕ ϕ= Κ +∫ b a t t s s ds f t (51) trong ñó nhân ( , )Κ t s thỏa mãn: 2( , )Κ < +∞∫ ∫ b b a a t s dtds (52) Còn ngoài ra không ñòi hỏi ñiều kiện gì khác 2.3.2. Xét sự tồn tại nghiệm Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 57 Một cách tổng quát hơn ta xét phương trình: ϕ ϕ− =A f (53) Trong ñó A là một toán tử hoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert H. Ta sẽ chứng minh ñịnh lý Fredholm vẫn ñúng cho trường hợp này. Bằng cách ñặt T= I - A ta có thể viết (53) dưới dạng: ϕ =T f (54) Cùng với phương trình (54) ta còn xét các phương trình sau: 0ϕ =T ( phương trình thuần nhất) (55) ϕ∗ =T g (phương trình liên hợp không thuần nhất) (56) 0ϕ∗ =T (phương trình liên hợp thuần nhất) (57) Khi ñó ta có phát biểu của ñịnh lý Fredholm như sau: 2.3.3. Định l ý Fredholm (trong trường hợp hạch không ñối xứng) (i) Phương trình không thuần nhất (54) giải ñược khi và chỉ khi f trực giao với mọi nghiệm của phương trình thuần nhất liên hợp (57). (ii) Hoặc là phương trình (54) có một và chỉ một nghiệm với mỗi f∈H cho trước hoặc là phương trình thuần nhất (55) có nghiệm khác. (iii) Các phương trình thuần nhất (55) và (57) có cùng số nghiệm ñộc lập tuyến tính như nhau. Chứng minh.trước hết ta chứng minh: Bổ ñề 1. ImT là tập ñóng. Thậy vậy, giả sử Im∈ny T , 1,2,...=i và →ny y ta phải chứng minh Im∈y T , do Im∈ny T nên ∃ ∈Ηnx sao cho: = = −n n n ny Tx x Ax , 1,2,...=n Ta có thể giả thiết ( )⊥nx N T , 1≥n vì nếu cần thì trừ ñi hình chiếu của nx trên ( )N T , hơn nữa ta có thể giả thiết các nx bị chặn, vì nếu ngược lại sẽ tồn tại một dãy con { }knx sao cho: ≥ Κknx ñể thuận tiện ta cũng ký hiệu dãy con này là { }nx với ≥nx n , với mọi n ta có: 1   = − =           n n n n n n n n x x x T A y x x x x Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 58 Do dãy { }ny hội tụ nên tồn tại số M sao cho ≤ny M , ∗∀ ∈ℕn suy ra : 0   − →     n n n n x xA x x , khi → ∞n Do A là toán tử hoàn toàn liên tục nên dãy       n n xA x có dãy con hội tụ vì thế nên dãy         n n x x cũng có dãy con hội tụ, chẳng hạn hội tụ về ∈z H . Vì 1=n n x x nên 1z = và vì lim lim 0    = − = − =        n n n n n n Tx x xA z Az x x x cho nên 0zΤ = hay ( )∈z N T Tuy nhiên, do ( )⊥nx N T nên ( )⊥z N T , do tiếp ( )N T là không gian Hilbert nên: 0=z 0⇒ =z (mâu thuẫn). Vậy dãy { }nx bị chặn, do A hoàn toàn liên tục nên dãy { }nAx có dãy con hội tụ, không giảm tổng quát ta cũng ký hiệu dãy con hội tụ ñó là { }nAx , tức { }nAx hội tụ. Từ ñó có = +n n nx y Ax hội tụ (tổng hai dãy hội tụ là một dãy hội tụ).Ta ký hiệu giới hạn của dãy này là x thì có =y Tx vậy Im∈y T . Suy ra ImT là tập ñóng. Bổ ñề 2: Không gian Hilbert H là tổng trực tiếp của các không gian con ñóng erTK và Im ∗T , tức là: erT Im ∗⊕ = ΗK T Và erT Im∗ ⊕ = ΗK T Chứng minh. Ta biết T là toán tử hoàn toàn liên tục thì toán tử liên hợp ∗T cũng hoàn toàn liên tục, do vậy theo bổ ñề 1 ta có Im ∗Τ và erΤK ñóng, ñồng thời nếu er∈ Τh K thì Im ∗⊥h T và vì: , , 0, 0∗ = = =h T x Th x x Ngược lại cũng vậy, nếu Im ∗∈k T thì er⊥ Τk K , do ñó tổng er Im ∗Τ ⊕ = ΗK T là tổng trực giao. Ta còn phải chứng minh dấu “=” xảy ra, tức là không tồn tại vectơ 0≠ nào ñång thời trực giao với erΤK và Im ∗T , thật vậy vì nếu ∈Ηz , Im ∗⊥z T và er⊥ Τz K thì: Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 59 , 0,∗ = ∀ ∈Ηz T x x , 0 0 ker⇔ = ⇒ = ⇒ ∈ ΤTz x Tz z . erK Τ là không gian Hilbert cho nên z = 0. Vậy: er Im .K T ∗Τ ⊕ = Η Đổi vai trò của T và ∗T ta có: er Im∗Τ ⊕ = ΗK T Từ bổ ñề này ta suy ra kết luận (i) của phát biểu trên, vì từ er Im∗Τ ⊕ = ΗK T Suy ra : Im∈f T er ∗⇔ ⊥ Τf K Tức là phương trình ϕ =T f có nghiệm ⇔ f trực giao với mọi nghiệm của phương trình 0ϕ∗ =T . ∗ Nhận xét. Với mỗi k nguyên dương, ñặt ( )ImΗ =k kT , 1 ImΗ = T rõ ràng 1 2 ...Η ⊃ Η ⊃ ⊃ Ηk và các Ηk là ñóng, ñồng thời ( )1+Η = Ηk kT Bổ ñề 3: Tồn tại k guyên dương ñể 1+ =k kH H Chứng minh. Giả sử không tồn tại k có tính chất như trên, khi ñó tất cả các Ηk ñều khác nhau, do vậy có thể xây dựng một dãy trực chuẩn { }nx sao cho ∈Ηkkx và 1+⊥ Ηkkx . Giả sử l > k khi ñó: ( )− = − + + −l k k l k lAx Ax x x Tx Tx 2 2 2 1l k k l k lAx Ax x x Tx Tx− = − + + − ≥ Vậy dãy { }nAx không có dãy con nào hội tụ, mâu thuẫn với tính hoàn toàn liên tục của A. Bổ ñề 4: Nếu { }erT 0Κ = thì Im = ΗT và nếu Im = ΗT thì { }er 0Κ Τ = Kết luận (ii) của phát biểu suy ra từ bổ ñề này, vì chỉ có thể xảy ra hai trường hợp là { }er 0Κ Τ = hoặc { }er 0Κ Τ ≠ . Do vậy khi { }er 0Κ Τ = tương ñương với Im = ΗT , tức là phương trình ϕ =T f có nghiệm với mọi ∈Ηf còn khi erΚ Τ kh¸c 0 thì phương trình 0ϕ =T có nghiệm khác 0. Bây giờ ta chứng minh kết luận (iii). Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 60 Giả sử erΚ Τ có vô số chiều, khi ñó trong erΚ Τ , tồn tại một dãy trực chuẩn { }nx , có 0 , 1 , 1n n n n nTx x Ax n x Ax n= = − ∀ ≥ ⇒ = ∀ ≥ . Do ñó: 2,− = − = ∀ ≠n m n mAx Ax x x n m suy ra dãy { }nAx không có dãy con nào hội tụ, mâu thuẫn với giả thiết A là toán tử hoàn toàn liên tục suy ra erΚ Τ hữu hạn chiều. Tương tự, er ∗Κ Τ hữu hạn chiều. §ặt dim er ,µ = Κ Τ erν ∗= Κ Τ và giả sử { }1,..., µϕ ϕ là cơ sở trực chuẩn của erΚ Τ , { }1,..., νψ ψ là cơ sở trực chuẩn của er ∗Κ Τ , xét toán tử S xác ñịnh bởi 1 , µ ϕ ψ = = +∑ j jjSx Tx x (giả sử µ ν< ) Nhận xét rằng S có ñầy ñủ các tính chất của T. Xét phương trình: Sx 0= 1 , 0µ ϕ ψ = ⇔ + =∑ j jjTx x (58) Do 1 , µ ϕ ψ = ∈∑ j jj x er ∗Κ Τ , Im∈Tx T , theo bổ ñề 2 có er Im∗Κ Τ ⊥ T , từ (58) suy ra 1 , 0µ ϕ ψ = = =∑ j jjTx x , do { }ψ j ñộc lập tuyến tính nªn: , 0,0jx jϕ µ= ≤ ≤ . , 1,ϕ µ⇒ ⊥ =jx j er⇒ ⊥ Κ Τx . Mặt khác, er∈Κ Τx cho nên 0=x suy ra erSΚ 0= , tức phương trình 0=Sx có nghiệm duy nhất 0=x theo (ii) suy ra phương trình S x f= có nghiệm với mọi f ∈Η cho trước. Chọn 1f µψ += , khi ñó tồn tại y ∈Η sao cho 1µψ +=Sy hay: 11 , µ µϕ ψ ψ + = + =∑ j jjTy y 1 1 11 , , , 1µ µ µ µϕ ψ ψ ψ ψ+ + + = ⇒ + = =∑ j jjTy y Vì 1µψ +⊥Ty , 1µψ ψ +⊥j , với 1 µ≤ ≤j : 11 , , 0µ µϕ ψ ψ + = + =∑ j jjTy y 0 1⇒ = , Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 61 Vậy µ ν≥ , ñổi vai trò của T và ∗T ta có ν µ≥ , vậy ν µ= . Tức er ∗Κ Τ và erΚ Τ có cùng số chiều, hay phương trình (55) và (57) có cùng số nghiệm ñộc lập tuyến tính như nhau. Như vậy là (iii) ñược chứng minh. Qua chứng minh trên cho thấy ñịnh lý Fredholm ñúng trong trường hợp tổng quát (A là toán tử hoàn toàn liên tục dù ñối xứng hay không). 2.4. Phương trình Volterra. Phương trình tích phân có dạng: ( ) ( ) ( , ) ( )ϕ λ ϕ= + Κ∫ t a t f t t s s ds , hoặc ( ) ( , ) ( )λ ϕ= Κ∫ t a f t t s s ds Được gọi là phương trình Volterra, trong ñó ( )ϕ t là hàm chưa biết, ( ), ( , )Κf t t s là những hàm cho trước λ lµ tham sè Phương trình này là một trường hợp riêng của phương trình Fredholm, vì có thể xem như ( , ) 0Κ =t s , với ≥b t , khiến cho tích phân ñáng lấy cận từ a ñến b nhưng chỉ lấy từ a ñến t. 2.5. Một số cách giải phương trình tích phân tuyến tính 2.5.1. Phương pháp ñại số hoá Ph−¬ng ph¸p nµy ®ược sử dụng khi giải những phương trình tích phân có hạch thoái hoá , Xét phương trình tích phân Fredholm loại 2 ( ) ( ) ( , ) ( )ϕ λ ϕ= + Κ∫ b a t f t t s s ds Trong ñó ( , )Κ t s có dạng: 1 ( ) ( ) = ∑ m i ii p t q s , [ ] 2 , , ∈i i a bq p L Bây giờ ta giải phương trình trên, ñặt ( ) ( )ϕ= ∫ b i i a c q s s ds , 1,=i m . Suy ra: 1 ϕ λ = = + ∑ m i ii f c p ( )∗∗ Đem thay biểu thức này vào g ở phương trình ban ñầu ñược: Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 62 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0λ = =    − + =     ∑ ∑∫ b m m i i i k ki k a p t c q s f s c p s ds Các ( )ip t ñéc lập tuyến tính, do vậy: 1 ( ) ( ) ( ) 0λ =   − + =  ∑∫ b m i i k kk a c q s f s c p s ds , với 1,=i m Đặt ( ) ( )= ∫ b i i a f q s f s ds ; ( ) ( )= ∫ b ik k i a a p s q s ds ; , 1,=i k m Khi ñó (5) trở thành: 1 1, λ =  − =  = ∑ m i ik k ii c a c f i m Hay ñược hệ phương trình ñại số bậc nhất chứa m ẩn số, hay hệ ñược viết là: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1 ) ... (1 ) ... ... ... ... ... ...(1 ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − =  − − − =    − − − = m m m m m mm m m a c a c a c f a c a c a f a c a c a c f Giải hệ phương trình này tìm ñược các giá trị 1 2, ,..., mc c c ( phụ thuộc vào giá trị của λ ) thay vào phương trình ( )∗∗ ta ñược nghiệm của phương trình cần tìm. 2.5.2. Phương pháp xấp xỉ Phương pháp này nhằm xấp xỉ nhân của phương trình tích phân bởi một nhân suy biến sau ñó tìm nghiệm của phương trình tích phân với nhân suy biến, ta sẽ ñược hàm nghiệm gần ñúng của phương trình tích phân ban ñầu.Ta thường phư¬ng pháp này ñể giải phương trình tích phân có nhân không suy biến. ∗ Ví dụ. Giải phương trình tích phân: 1 0 ( ) ( 1) ( )= − − −∫s stg s e s s e g t dt Giải: Ở ñây ( ) = −sf s e s ; ( , ) 1Κ = −stt s se , với [ ], 0,1∈s t .Ta xấp xỉ ( , )Κ t s bởi Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 63 3 2 4 3 2( , ) ( 1) 2 6 Κ = − ≈ + +st s t s tt s s e s t Ta tìm nghiệm của phương trình 1 3 2 4 3 2 0 ( ) ( ) 2 6   = − − + +    ∫ s s t s tg s e s s t g t dt (**) Đặt 1 1 0 ( ) ,= −∫c tg t dt 1 2 2 0 ( ) , 2 = −∫ t c g t dt 1 3 3 0 ( ) 6 = −∫ t c g t dt Suy ra 2 3 4 1 2 3( ) ≈ − + + +sg s e s c s c s c s Thay vào phương trinh (**) ta có 2 3 4 1 2 3 1 3 2 4 3 2 2 3 4 1 2 3 0 ( ) 2 6 − + + + =   = − − + + − + + +    ∫ s s t e s c s c s c s s t s t e s s t e t c t c t c t dt Từ tình ñộc lập tuyến tính của hệ { }2 3 4, ,s s s ta có ñược hệ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5 1 1 2 4 5 6 3 1 13 1 9 5 6 7 4 1 1 41 292 6 7 8 5  + + = −   + + = −   + + = −  c c c c c c e c c c e Nghiệm gần ñúng của hệ trên là 1 0,50010= −c ; 2 0,1671= −c ; 3 0,0422= −c Vậy nghiệm xấp xỉ của phương trình tích phân ñã cho là 2 3 4( ) 0,5010 0,1671 0,0422= − − − −sg s e s s s s ∗ Nhận xét: Ta có thể kiểm tra hàm ( ) 1=g s là nghiệm chính xác của phương trình ñã cho, xét tại các ñiểm 0; 0,5; 1= = =s s s ta có: (0) 1;=g (0,5) 1,0;=g (1) 1,008=g Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 64 Qua ñây thấy nghiệm xấp xỉ của phương trình ñã cho tương ñối gần với nghiệm chính xác. 2.5.3. Phương pháp lặp liên tiếp Xét phương trình Fredholm loại 2: ( ) ( ) ( , ) ( )λ= + Κ∫ b a g s f s s t g t dt , [ ],∈s a b Trong ñó [ ] 2 , ∈ a bf L , ( , )Κ s t thỏa mãn: 2( , )Κ < +∞∫ ∫ b b a a s t dtds Hơn nữa với mỗi [ ],∈s a b , 2( , )Κ < +∞∫ b a s t dt , và với mỗi [ ],∈t a b thì: 2( , )Κ < +∞∫ b a s t ds chọn =og f , ñặt 1( ) ( ) ( , ) ( )λ= + Κ∫ b a g s f s s t f t dt 1g là hàm bậc một của xấp xỉ liên tiếp. Đặt 2 1( ) ( ) ( , ) ( )λ= + Κ∫ b a g s f s s t g t dt , gọi 2g là hàm bậc hai của xấp xỉ, cứ như vậy bậc n+1 của xấp xỉ là hàm: 1( ) ( ) ( , ) ( ) ,λ+ = + Κ∫ b n n a g s f s s t g t dt 1,2,...=n Khi ñó ta có dãy ng xác ñịnh trên ñoạn [ ],a b , nếu dãy này hội tụ ñều trên ñoạn [ ],a b về hàm g nào ñó, thì qua giới hạn tích phân ñi ñến: ( ) ( ) ( , ) ( )λ= + Κ∫ b a g s f s s t g t dt . Tức g là một nghiệm của phương trình ñã cho. Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 65 1 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) λ λ = + Κ = + Κ ∫ ∫ b a b a g s f s s t f t dt g s f s s t g t dt 1( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )λ λ   = + Κ + Κ    ∫ ∫ b b a a f s s t f t s x g x dx dt 2 2( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )λ λ= + Κ + Κ∫ ∫ b b a a f s s t f t dt s t f t dt Trong ñó: 2 ( , ) ( , ) ( , )Κ = Κ Κ∫ b a s t s x x t dx Tương tự ta có 2 3 3 2 3( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )λ λ λ= + Κ + Κ + Κ∫ ∫ ∫ b b b a a a g s f s s t f t dt s t f t dt s t f t dt Trong ñó: 3 2( , ) ( , ) ( , )Κ = Κ Κ∫ b a s t s x x t dx Cứ làm liên tiếp quá trình này ta ñược kết quả: 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) , 1,2,...λ = = + Κ =∑ ∫ b n m n mm a g s f s s t f t dt n Trong ñó 1( , ) ( , ) ( , ) ,−Κ = Κ Κ∫ b m m a s t s x x t dx ( , ) 1Κ =o x t . Cho → ∞n , ta có chuỗi gọi là chuỗi newmann: 1 ( ) ( ) ( , ) ( )λ∞ = = + Κ∑ ∫ b m mm a g s f s s t f t dt (59) Bây giờ ta khảo sát sự hội tụ của chuỗi (59). Theo bất ñẳng thức holder: 2 2 2( , ) ( ) ( , ) ( )  Κ ≤ Κ      ∫ ∫ ∫ b b b m m a a a s t f t dt s t dt f t dt (60) Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 66 Đặt D 22 ( )= ∫ b a f t dt và 2mc là cận trên của tích phân 2( , )Κ∫ b m a s t dt , từ ñó: 2 2 2( , ) ( )Κ ≤∫ b m m a s t f t dt c D Ta ñánh giá 2mc qua 2 1c : 2 2 22 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . − − − − −    Κ = Κ Κ ≤ Κ Κ      Κ ≤ Κ = Β ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ b b b m m m a a a b b b m m m a a a s t s x x t dx s x dx x t dx s t dt x t dxdt c c Với 2Β = 2( , )Κ∫ ∫ b b a a x t dtdx . Như vậy 2 2 2 2 2 2 1 1... − − ≤ Β ≤ ≤ Β mm mc c c Từ ñó bất ñẳng thức (60) có ước lượng 2 2 2 2 2 1( , ) ( ) −Κ ≤ Β∫ b m m a s t f t dt c D Suy ra số hạng tổng quát của chuỗi (59) có ước lượng 1 1( , ) ( ) , 1λ λ −Κ ≤ Β ≥∫ b m m m m a s t f t dt c D m Do ñó nếu chuỗi số dương có số hạng tổng quát ( ){ }λ Β m hội tụ thì chuỗi (59) hội tụ tuyệt ñối và ñều ( Định lý về sự hội tụ theo chuỗi trội ). Như vậy với λ mà 1λ Β < thì chuỗi (58) xác ñịnh hàm g làm nghiệm chính xác của phương trình ñã cho. Xét tính duy nhất của nghiệm g, giả sử có 1 2,g g là nghiệm của phương trình tức Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 67 1 1 2 2 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) λ λ = + Κ = + Κ ∫ ∫ b a b a g s f s s t g t dt g s f s s t g t dt Đặt 1 2( ) ( ) ( )Φ = −s g s g s , hàm Φ thỏa mãn ( )1 2( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) λ λ Φ = Κ − = Κ Φ ∫ ∫ b a b a s s t g t g t dt s t t dt Đánh giá 2 2 2 2 2 2( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )λ λ  Φ = Κ Φ ≤ Κ Φ      ∫ ∫ ∫ b b b a a a s s t t dt s t dt t dt 2 2 2 2( ) ( , ) ( )λ   ⇒ Φ ≤ Κ Φ      ∫ ∫ ∫ ∫ b b b b a a a a s ds s t dt t dt ( )2 2 22 2 1 1 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) ( ). λ  ⇒ − Β Φ ≤ ⇒ Φ = ⇒ Φ =    ⇒ = ∫ ∫ b b a a s ds s ds g s g s 2.5.4. Một số bài tập áp dụng 2.5.4.1. Giải bằng phương pháp ñại số hoá Bµi tËp 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( ) ( ) ( )1 2 2 0 λ= + +∫g s s st s t g t dt Gi¶i: ĐÆt ( ) =f s s ; ( )1 ;=a s s ( ) 22 ;=a s s ( ) 2 2, = +k s t st s t ( ) 21 ;=b s t ( )2 =b s t , [ ], 0;1∀ ∈t s Khi ®ã { }1 2,a a lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. ThËt vËy: 2 1 2 0,λ λ+ =s s [ ]0;1∀ ∈s , lÊy 1s = suy ra 1 2 0λ λ+ = , lÊy Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 68 1 21 0 2 2 4 λ λ = ⇒ + =s HÖ 1 2 1 2 0 0 2 4 λ λ λ λ + =   + = cho ta 1 2 0 0 λ λ =  = ®Æt ( ) 1 2 1 0 = ∫c t g t dt ; ( ) 1 2 0 = ∫c tg t dt Ph−¬ng tr×nh ®c cho trë thµnh: ( ) ( )2 21 2 1 2λ λ λ= + + = + +g s s c s c s s c s c s Thay g vµo ph−¬ng tr×nh ®c cho ta ®−îc: ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 20 5 4 54 4 5 4 12 3 41 1 1 3 3 4 λ λ λ λ λ λλ λ  = + +  − − = ⇔  − + − = = + +  c c c c c c c c c c ( ) 220 5 4 120 240 4 12 3 λ λλ λ λλ λ − − ⇒ = = − − + − − D Víi nh÷ng λ mµ ( ) 0λ ≠D , hÖ trªn cã nghiÖm: ( )1 60 λ λ + =c D ; ( )2 80 λ=c D ( ) ( ) ( ) 260 80λλ λλ λ + ⇒ = + +g s s s s D D Quy ®ång mÉu sè ta ®−îc : ( ) ( ) 2 2 240 60 80 240 120 λ λ λ λ − + = − − s s g s Bµi tËp 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 λ= + +∫g s f s s t g t dt Gi¶i: Đặt ( )1 ;=a s s ( )2 1;=a s ( ), = +k s t s t ( )1 1;=b t ( )2 =b t t Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 69 DÔ thÊy { }1 2,a a ®éc lËp tuyÕn tÝnh, ®Æt ( ) 1 1 0 = ∫c g t dt ; ( ) 1 2 0 = ∫c tg t dt Ph−¬ng tr×nh ®c cho trë thµnh: ( ) ( ) 1 2λ λ= + +g s f s c s c Đặt: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 1 2 0 1 1 1 1 1 2 0 0 1 1 2 2 2 2 1 0 0 1 . 1 ; 1 2 1 1 ; 2 3 = = = = = = = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ f f t d t f t d t f t f t d t a t d t a d t a t d t a t d t Ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh: 1 2 11 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 11 1 22 1 1 1 11 3 2 3 2 λ λλ λ λ λ λ λ    − − == + +      ⇔     = + + − + − =     c c fc f c c c f c c c c f ( ) 2 11 12 122 1 1 121 3 2 λ λ λ λλ λ λ − − − − + ⇒ = = − − D ( ) 1 1 1 1 2 2 1 21 2 λ λλ λ λ −   = = − +  −   f D f f ff ( ) 12 1 2 1 2 11 12 1 2 3 3 λ λλ λ λ −   = = − +    − f D f f f f XÐt nh÷ng λ mµ ( ) 0λ ≠D ta cã: Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 70 ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 12 2 12 12 λ λλ λ λ λ    − +      = = − − + f f f D c D ( ) ( ) 2 1 2 2 2 12 1 2 12 12 λ λλ λ λ λ    − +      = = − − + f f D c D Suy ra nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ: ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 2 12 12 1 2 2 12 12 12 12 λ λλ λ λ λλ λ λ λ        − + − +              = + + − − + − − + f f f f f g s f s s Hay: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 0 6 2 12 4 12 12 λ λλ λ λ − + − − = + + −∫ s t st g s f s f t dt Bµi tËp 3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 sin cos pi λ= + ∫g s f s s t g t dt Gi¶i: §Æt. ( )1 sin ;=a s s ( ), cos sin=k s t t s ( )1 cos ;=b t t ( ) 2 1 0 cos pi = ∫c tg t dt ( ) ( ) 1sinλ⇒ = +g s f s sc Thay g vµo ph−¬ng tr×nh ®c cho ®−îc: ( )( )21 1 0 sin cos sin 0 pi λ λ − + =    ∫s c t tc f t dt ( )( )21 1 0 cos sin 0 pi λ⇒ − + =∫c t tc f t dt , víi 0λ ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 cos sin pi λ⇒ = + ∫g s f s t t f t dt Khi 0λ = th× ( ) ( )=g s f s . Bµi tËp 4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau: ( ) ( ) 1 0 λ= ∫ s tg s e e g t dt (1) Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 71 Gi¶i: Ta cã hÖ { }se ®éc lËp tuyÕn tÝnh víi mäi [ ]0;1∈s , khi ®ã ®Æt ( )1 0 = ∫ tc e g t dt Ph−¬ng tr×nh ®c cho cã d¹ng ( ) 0 λ= + sg s e c , b©y giê ta ®i x¸c ®Þnh c. Thay (2) vµo (1) ta ®−îc: 1 0 0λ − =    ∫ s t t e c e e cdt , [ ]0;1∀ ∈s . Do { }se ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn suy ra: 1 0 0λ − =    ∫ t t c e e cdt 1 2 0 λ= ∫ tc e cdt , 2 1 0 2 2 λ λ  − + =    e c §Õn ®©y ta cã hai tr−êng hîp x¶y ra: - NÕu 0=c th× λ∀ ∈Κ ta cã ( ) 0 .0λ= + sg s e , [ ]0;1∀ ∈s . Hay 0=g lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph−¬ng tr×nh ®c cho. - NÕu 0≠c , th× 2 2 21 0 2 2 1 λ λ λ− + = ⇔ = − e e , thay vµo (2) ta ®−îc ( ) 220 1= + − sg s e c e , víi mäi 0≠c V× r»ng víi ( ) 22 1= − se cg s e , ( ) ( ) ( )λ− =∫ x a y x ty t dt f x ta cã ( ) 22 1= − te cg t e kh«ng ®ång nhÊt b»ng 0 víi [ ]0;1∀ ∈t . Do vËy ( ) 1 0 0λ= ≠∫ tc e g t dt tho¶ mcn. VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ: ( ) 22 1 λ = − seg s e , λ∀ ∈Κ . Bµi tËp 5. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 72 1 1 2 0 0 ( ) [ sin( ) ( ) 2 sin(2 ) ( ) ] ( ) (*)φ λ pi pi φ pi pi φ− + =∫ ∫x x y y dy x y y dy f x Gi¶i. §Æt 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 0 0 sin( ) ( ) , sin( ) sin(2 ) ( ) , sin(2 ) pi φ pi pi φ pi = ( ) = = ( ) = ∫ ∫ ∫ ∫ y y dy z y f y dy f y y dy z y f y dy f Ph−¬ng tr×nh (*) trë thµnh: 1 2 12 4(1 ) 2(1 )λ λ pi − − − =z z f 1 2 2(1 )2 λ λ+ − =z z f NÕu 2 2 4 piλ ≠ th× ta t×m ®ù¬c 1 22 1 2 2 4(1 ) 2(1 ) 41 λ λ pi λ pi + + − = − f f z 1 2 2 2 2 ( ) (1 ) 2 41 λ λ λ pi − + − = − f f z v× thÕ 21 2( ) ( ) 2φ pi piλ= + +x f x z x z x NÕu 2 piλ = . Chóng ta cã ph−¬ng tr×nh ®¹i sè liªn hîp: 1 2(1 ) 02 4 pi pi ε ε− + = 1 22 4(1 ) (1 ) 0 2 pi pi ε ε pi − − + + = cã nghiÖm 1 2( ) , (1 )4 2 pi pi ε ε= = − −C C , trong ®ã C lµ h»ng sè tïy ý. Khi ®ã chóng ta còng cã: 1 2(1 ) 04 2 pi pi − − =f f Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 73 NÕu hai ®iÒu kiÖn trªn tháa mcn th× ph−¬ng tr×nh: 21 2( ) ( ) 2(1 ) 2 1 ( / 2) piφ pi pi pi   = + − + +  −  f x f x Cx Cx ( C - h»ng sè) kh«ng cã nghiÖm duy nhÊt. 2.5.4.2. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p lÆp Bài tËp 1. Giải phương trình [ ] 0 ( ) 1 sin( ) ( ) pi λ= + +∫g s s t g t dt Giải: Phương trình ñã cho tương ñương với phương trình ( ) 0 ( ) 1 sin cos sin scos ( ) pi λ= + +∫g s t s t g t dt Ta ñặt ( ) 1=og s ( )1 0 ( ) 1 sin cos sin scos .1. pi λ= + +∫g s t s t dt 0 0 1 cos sin s ins cos 1 2 cos . pi pi λ λ λ = + + = + ∫ ∫s tdt tdt s ( ) ( )2 1 0 1 (sin cos sin scos ) pi λ= + +∫g s t s t g t dt ( ) 0 1 (sin cos sin scos ) 1 cos pi λ λ= + + +∫ t s t t dt 2 0 0 2 0 2 1 (sin cos sin scos ) 2 (sin cos sin scos )cos 1 2 cos 2 (sin cos sin scos )cos 1 2 cos sins pi pi pi λ λ λ λ λ piλ = + + + + = + + + = + + ∫ ∫ ∫ t s t dt t s t tdt s t s t tdt s ( ) ( )3 2 0 1 (sin cos sin scos ) pi λ= + +∫g s t s t g t dt Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 74 ( )2 0 1 (sin cos sin scos ) 1 2 cos sin pi λ λ piλ= + + + +∫ t s t t t dt 2 3 2 cos1 2 cos sin 2 pi λλ piλ= + + + ss s ( ) ( )4 3 0 1 (sin cos sin scos ) pi λ= + +∫g s t s t g t dt 2 3 2 0 2 3 3 4 2 cos1 (sin cos sin scos ) 1 2 cos sin 2 cos sins1 2 cos sin 2 4 pi pi λλ λ piλ pi λ pi λλ piλ   = + + + + +    = + + + + ∫ t t s t t t dt s s s cứ làm liên tiếp quá trình này ta ñược kết quả: ( ) ( ) ( )2 220 1 01 2 cos sins2 2 piλ piλλ piλ∞ ∞ = =     = + +        ∑ ∑ i i i g s s = 1+( ) 22 1 2 cos sin 2 piλλ piλ ∞ =   +     ∑ i i s s =1+ ( )2 2 212 cos sin 1 4 λ piλ pi λ    +   −  s s , víi 2 2 1 4 pi λ < Hay ta cã thÓ viÕt: ( ) ( )22 241 2 cos sin4 λ λ piλ pi λ= + +−g s s s , víi 2λ pi < Bµi tËp 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau: ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 3λ= + −∫g s st g t dt Gi¶i: ( ) 1,=f s ( ), 1 3= −k s t st ®Æt ( ) 1=og s ( ) ( ) 1 1 0 1 1 3g s st dtλ= + −∫ ( )31 1 2 tλ= + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 12 1 0 0 31 1 3 1 1 3 1 1 2g s st g t dt st t dtλ λ λ = + − = + − + − ∫ ∫ Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 75 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 3 2 0 3 11 1 2 4 1 33 11 1 3 1 1 12 4 4 2 t g s st g t dt t s λ λ λ λ λ λ = + − +   = + − = + − + + −    ∫ ( ) 2 4 2 4 2 4 31 1 ... 1 ... 2 2 2 2 2 31 ... 1 1 2 2 2 λ λ λ λλ λ λ λ              ⇒ = − + + + + + + +                                    = + + + + −                g s s s ( ) ( )24 4 64 λ λ + − ⇒ = − s g s , víi 2λ < Bµi tËp 3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh ( ) ( ) ( ) 0 ϕ λ ϕ= + −∫ x x x s x s ds Gi¶i: §Æt ( )ϕ =o x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 3 5 2 1 0 3! 3! 5! ϕ λ ϕ ϕ λ ϕ = + − = − = + − = − + ∫ ∫ x o x x x x s x s ds x x x x x s x s ds x Cuèi cïng ta ®−îc ( ) ( ) ( ) 3 5 7 2 1 ... 1 ... 3! 5! 7! 2 1 ! ϕ + = − + − + + − + + n nx x x x x x n ( )× VÕ ph¶i cña ( )× lµ khai triÓn Taylor cña hµm sin x t¹i 0=x . Do vËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ: ( ) sinϕ =x x . Bµi tËp 4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau: ( ) ( ) ( ) 0 1ϕ ϕ= + −∫ x x s x s ds Gi¶i: §Æt ( ) 1ϕ =o x Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 76 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 0 2 2 4 2 1 0 0 1 1 1 2! 1 1 1 1 2! 2! 4! ϕ ϕ ϕ ϕ = + − = + − = −   = + − = + − − = − +    ∫ ∫ ∫ ∫ x x o x x x x s x s ds s x sds s x x x s x s ds s x ds Cuèi cïng ta ®−îc ( ) ( ) ( ) 3 4 2 ... 1 ... 2! 4! 2 ! ϕ = − + + + − + n nx x x x x n VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ: ( ) cosϕ =x x Bµi tËp 5. Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau ( ) ( ) 0 1ϕ ϕ= + ∫ x x s ds Gi¶i: §Æt ( ) 1ϕ =o x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 2 2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 ϕ ϕ ϕ ϕ = + = + = + = + = + + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ x x o x x x s ds ds x x x s ds s ds x Cuèi cïng ta ®−îc ( ) 2 1 ... .... 2! ! ϕ = + + + + + nx x x x n Suy ra nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ: ( )ϕ = xx e . 2.5.4.3. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p xÊp xØ Bµi tËp 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau: ( ) ( ) 1 1ϕ ϕ= + ∫ e xx s s ds , ( )1 ≤ ≤s e Gi¶i: §©y lµ ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n cã nh©n kh«ng tho¸i ho¸, ta xÊp xØ nh©n ( ),Κ = xs x s bëi mét nh©n tho¸i ho¸. Khai triÓn Taylor cña hµm xs theo biÕn x t¹i 0=x lµ: ( ) ( ) ( ) 2 32 3ln ln 1 ln ... 2 6 = + + + +x s x s x s s x Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 77 Ta lÊy xÊp xØ: ( ),Κ = xs x s ( ) ( ) 2 2ln 1 ln 2 ≈ + + s x s x , Giê t×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 ln 1 1 ln 2 ϕ ϕ    = + + +     ∫ e s x x s x s ds ( )3.1 ®Æt ( )1 1 ϕ= ∫ e c s ds ; ( ) ( )2 1 ln ϕ= ∫ e c s s ds ; ( ) ( ) 2 3 1 ln 2 ϕ= ∫ e s c s ds Thay vµo ( )3.1 ®−îc ph−¬ng tr×nh: ( ) 21 2 31ϕ = + + +x c c x c x ( )3.2 Thay ( )3.2 vµo ph−¬ng tr×nh ( )3.1 ®−îc: 2 1 2 3+ + =c c x c x ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 1 ln 1 ln 2    + + + +     ∫ e s x s x c c s c s ds Do tÝnh ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña hÖ { }21, ,x x ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 12 6 3 3 2 2 6 1 36 27 9 8 8 36 72 36 9 9 76 4 36 2  − − − − − = −   − + − − + =  − − − + − = − e c e c e c e c e c e c e c e c e c e Gi¶i ph−¬ng tr×nh nµy ®−îc: 5 4 3 2 1 5 4 3 2 3 34 16 49 20 5 4 26 61 42 119 − + − − + + = − − + − − + e e e e e c e e e e e 5 3 2 5 4 3 2 2 2 2 15 5 4 26 61 42 119 − + + = − − + − − + e e e c e e e e e 3 2 3 5 4 3 2 9 27 63 5 4 26 61 42 119 − + − = − − + − − + e e c e e e e e Thay vµo ph−¬ng tr×nh ( )3.2 ®−îc nghiÖm xÊp xØ cña ph−¬ng tr×nh ®c cho ( ) 5 4 3 2 5 4 3 2 3 34 16 49 201 5 4 26 61 42 119 e e e e e x e e e e e ϕ − + − − + += + + − − + − − + 5 3 5 4 3 2 2 2 2 15 5 4 26 61 42 119 e e e x e e e e e − + + + + − − + − − + 3 2 2 5 4 3 2 9 27 63 5 4 26 61 42 119 e e x e e e e e − + − − − + − − + Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 78 2.5.4.4. Mét vµi bµi tËp cã thÓ ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh Bµi tËp 1. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n sau a) ( ) ( ) ( )λ− =∫ x a y x ty t dt f x Gi¶i: LÊy ®¹o hµm theo biÕn x hai vÕ ®−îc ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng: ( ) ( ) ( )' 'λ− =y x xy x f x ®©y lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp mét ®èi víi ( )y x . Ta gi¶i ®−îc nghiÖm cña nã lµ: ( ) ( ) 2 2' 2 2λ λ− =    ∫ x x y x f x e dx e b) ( ) ( ) ( )+ + =∫ x a Ax Bt C y t dt f x Gi¶i: Ph−¬ng tr×nh ®c cho t−¬ng ®−¬ng víi ph−¬ng tr×nh: ( ) ( ) ( ) ( )+ + =∫ ∫ ∫ x x x a a a Ax y t dt B ty t dt C y t dt f x LÊy ®¹o hµm hai vÕ theo biÕn x ta ®−îc: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' + + + = ⇔ + + + =   ∫ ∫ x a x a A y t dt Axy x Bxy x Cy x f x A B x C y x A y t dt f x ®Æt ( ) ( )'=y x z x thay vµo ph−¬ng tr×nh trªn ta cã ( ) ( ) ( ) ( )' '+ + + =  A B x C z x Az x f x (1*) ®©y lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp mét ®èi víi ( ) ( )'=y x z x . Ta gi¶i ph−¬ng tr×nh nµy. Tr−íc hÕt gi¶i ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt: ( ) ( ) ( )' 0+ + + =  A B x C z x Az x (2*) - NÕu 0+ =A B th× ph−¬ng tr×nh (1*) trë thµnh: Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 79 ( ) ( ) ( )' '+ =Cz x Az x f x (3*) +) 0=C , th× (3*) trë thµnh ( ) ( )'=Az x f x 0⇒ = = =A B C th× thay vµo ph−¬ng tr×nh ®c cho ta cã ( ) 0=f x 0⇒ ≠A th× ( ) ( ) ' = f x z x A ( ) ( ) " ⇒ = f x y x A +) 0≠C ph−¬ng tr×nh (3*) trë thµnh ( ) ( ) ( ) ' ' + = f xA z x z x C C (4*) Gi¶i ph−¬ng tr×nh ( ) ( )' 0+ =Az x z x C ta ®−îc ( ) ε − ∫ = A dx Cz x e (5*), (ε lµ h»ng sè tuú ý). B©y giê coi ε lµ hµm cña x ta cã ( )' 'ε ε − − ∫ ∫ = − A Adx dx C CAz x e e C thay vµo ph−¬ng tr×nh (4*) ®−îc: ( ) ( ) ' ' ' ' 1 1 ε ε ε ε − − − − ∫ ∫ ∫ − + = ∫⇒ = A A Adx dx dx C C C Adx C A A e e e f x C C C e f x C ( )'1ε ∫⇒ = + Κ∫ A dx Cf x e C , thay vµo (5*) ®−îc: ( ) ( )'1 − ∫ ∫ = + Κ    ∫ A Adx dx C Cz x f x e dx e C Suy ra nghiÖm cña (1*) lµ: ( ) ( )'1 −   ∫ = + Κ       ∫ A Adx dx C Cdy x e f x e dx dx C , K lµ h»ng sè tuú ý. - NÕu 0+ ≠A B , chia c¶ hai vÕ cña (2*)biÓu thøc ( )+ +A B x C ®−îc: Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 80 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' + = + + + + f xA z x z x A B x C A B x C (6*) ®©y còng lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp mét ®èi víi ( )z x , gi¶i t−¬ng tù trªn cã ( ) ( )ε − + +∫ = A dx A B x C z x e , coi ε lµ hµm cña biÕn x ®−îc: ( ) ( ) ( )' 'ε ε − − + + + +∫ ∫ = − A Adx dx A B x C A B x CAz x e e C thay vµo ph−¬ng tr×nh (6*) ®−îc ( ) ( ) ( ) ' 'ε − + +∫ = + + A dx A B x C f x e A B x C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ' ' ' ε + + − + + + + ∫ ⇒ = + Κ + +  ∫ ∫ ⇒ = + Κ   + +  ∫ ∫ A dx A B x C A Adx dx A B x C A B x C f x e dx A B x C f x z x e e dx A B x C ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ln ln − + + + + − + + + + + +   ∫ ∫  ⇒ = + Κ =   + +        = + Κ   + +    ∫ ∫ Adx Adx A B x C A B x C A AA B x C A B x C A B A B f xdy x e e dx dx A B x C f xd e e dx dx A B x C Bµi tËp 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau: a) ( ) ( ) ( )2− =∫ x a x t y t dt f x b) ( ) ( ) ( )2 2− =∫ x a x t y t dt f x c) ( ) ( ) ( )2 2+ =∫ x a Ax Bt y t dt f x H−íng dÉn gi©i: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ' 2− = ⇒ = −∫ ∫ x x a a x t y t dt f x f x x t y t dt Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 81 ( ) ( ) ( ) ( )" "'2 2⇒ = ⇒ =∫ x a f x y t dt y x f x ( ) ( ) "' . 2 ⇒ = f x y x b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2− = ⇔ − =∫ ∫ ∫ x x x a a a x t y t dt f x x y t dt t y t dt f x ( ) ( ) ( )2 2⇔ − =∫ ∫ x x a a x y t dt t y t dt f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' ' 2 2 ⇒ + − = ⇒ = ∫ ∫ x a x a x y t dt x y x x y x f x x y t dt f x ®Æt ( ) ( )'=y x z x th× ph−¬ng tr×nh ngay trªn cho ta: ( ) ( ) ' 2 = f x z x x ( ) ( ) ' 2 ⇒ = f x z x x , víi 0≠x ( ) ( ) ( ) ( ) " ' ' 22 − ⇒ = = xf x f x y x z x x c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2+ = ⇔ + =∫ ∫ ∫ x x x a a a Ax Bt y t dt f x Ax y t dt B t y t dt f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 2 ' 2 2 ⇒ + + = ⇒ + + = ∫ ∫ x a x a xA y t dt Ax y x Bx y x f x xA y t dt A B x y x f x ®Æt ( ) ( )'=y x z x khi ®ã ta co ph−¬ng tr×nh: ( ) ( ) ( ) ( )2 ' '2 + + =xAz x A B x z x f x ®©y lµ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp mét ®èi víi ( )z x . Gi¶i ph−¬ng tr×nh nµy ta ®−îc: +) NÕu 0+ =A B Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 82 - khi 0=A th× nÕu ( ) 0=f x ph−¬ng tr×nh ®c cho tho¶ mcn víi mäi hµm sè ( )y x - khi 0≠A th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ ( ) ( ) ( ) " ' 22 2 = − f x f x y x Bx Bx +) NÕu 0+ ≠A B ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 ln2 ln ( ) + +    −  = + + Κ   + +    ∫ A A B x A B f xd By x e A B x e dx dx A B A B x . 2.5.4.5. Bµi tËp lµm thªm Bµi tËp 1. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a) ( ) ( ) ( )λ − =∫ x x t a e y t dt f x b) ( ) ( ) ( )ln ln− =∫ x a x t y t dt f x c) ( ) ( ) ( )cos .λ − =∫ x a x t y t dt f x §¸p sè : a) ( ) ( ) ( )' λ= −y x f x f x b) ( ) ( ) ( )' ''= +y x f x xf x c) ( ) ( ) ( )' 2λ= + + Κ∫y x f x f x dx , Κ lµ h»ng sè tuú ý. Bµi tËp 2. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a) ( ) ( ) 1 0 3 3 2= + −∫y x xsy s ds x b) ( ) ( ) ( ) 0 cos 1 pi = + +∫y x x s y s ds c) ( ) ( ) ( ) ( )22 0 1 2 4 3 6 4 = − − + + − − −  ∫ x y x x x x s x s y s ds Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 83 d) ( ) ( ) ( ) 0 29 6 6 6 5= + + − +∫ x y x x x s y s ds §¸p sè: a) ( ) 2,= −y x Cx C lµ h»ng sè tuú ý. b) ( ) 2sin1 1 2 pi = − − xy x c) ( ) = xy x e d) ( ) 2 3= −x xy x e e Bµi tËp 3. ( ) ( ) ( )sin ,λ − =∫ b a x t y t dt f x ( )−∞ < < < +∞a b §¸p Sè: ( ) ( ) ( )'' 21 2 λλ  = + y x f x f x Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 84 KÕT LUËn Trªn ®©y lµ toµn bé néi dung cña khãa luËn em tr×nh bµy vÒ ®Ò tµi “ Mét sè d¹ng Ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh” .C¨n cø vµo nhiÖm vô mµ ®Ò tµi ®Æt ra kho¸ luËn ®c ®−a ra ®−îc bèn d¹ng ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh cô thÓ: Ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n víi h¹ch ®èi xøng, ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n víi h¹ch tho¸i ho¸, ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n víi h¹ch kh«ng ®èi xøng, ph−¬ng tr×nh Volterra. Ba ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n gåm: Ph−¬ng ph¸p ®¹i sè ho¸, ph−¬ng ph¸p lÆp liªn tiÕp, ph−¬ng ph¸p xÊp xØ vµ 11 bµi tËp cã lêi gi¶i theo ba ph−¬ng kÓ trªn, 3 bµi tËp chØ cho ®¸p sè. Qua qu¸ tr×nh nghiªn cøu vµ hoµn thµnh luËn v¨n d−íi sù h−íng dÉn tËn t×nh cña thÇy gi¸o TrÇn Anh TuÊn b−íc ®Çu gióp em lµm quen víi c«ng viÖc nghiªn cøu khoa häc vµ t×m hiÓu s©u h¬n vÒ Gi¶i tÝch hµm, ®Æc biÖt vÒ mét sè ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian Hilbert. MÆc dï cã nhiÒu cè g¾ng, song cßn h¹n chÕ v× thêi gian vµ kiÕn thøc nªn khãa luËn kh«ng tr¸nh khái thiÕu sãt. Em mong nhËn ®−îc sù gãp ý cña thÇy c« gi¸o vµ c¸c b¹n. Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 85 Tµi liÖu tham kh¶o [1] NguyÔn Phô Hy (2006), Gi¶i tÝch hµm, NXB Khoa häc vµ KÜ thuËt Hµ Néi. [2] NguyÔn Xu©n Liªm (2000), Gi¶i tÝch hµm, NXB Gi¸o dôc. [3] Hoµng Tôy (2003), Hµm thùc vµ Gi¶i tÝch hµm, NXB §¹i häc Quèc gia Hµ Néi. [4] A.N. Kolmogorov, S.V. Fomine (1983), C¬ së lý thuyÕt hµm vµ gi¶i tÝch hµm (b¶n dÞch tiÕng ViÖt), tËp III, NXB G¸o dôc. [5] Lokenath Debnath, Piotr Mikusinski (1990), Introduction to Hilbert Space and Applications, Acadimic Press, USA. [6] Harry Hochstadt (1973), Integral Equations, A Wiley-Interscience Publication, Canada.