Đề tài Tích hợp mờ trong hệ trợ giúp đa mục tiêu

o cuối thập kỷ 70, các định nghĩa mới bắt đầu xuất hiện. Alter năm 1980 định nghĩa DSS bằng cách so sánh chúng với các hệ thống EDP (Xử lý dữ liệu tương tác) truyền thống trên 5 khía cạnh, như thể hiện trong bảng sau: Khía cạnh DSS EDP Sử dụng Chủ động Bị động Người sử dụng Người quản lý Văn phòng Mục tiêu Tính hiệu quả Hiệu quả máy móc Phạm vi thời gian Hiện tại và tương lai Quá khứ Mục đích Tính linh hoạt Phi mâu thuẫn Ba định nghĩa khác về DSS được đưa ra bởi Moore và Chang năm 1980, Bonczek, Holsapple và Whinston năm 1980 và Keen năm 1980. Moore và Chang chỉ ra rằng khái niệm “có cấu trúc (Structured)”, không đủ ý nghĩa trong trường hợp tổng quát. Một bài toán có thể được mô tả như là có cấu trúc hoặc không có cấu trúc chỉ liên quan đến người ra quyết định. Do vậy DSS có thể là: - Hệ thống có khả năng mở rộng. - Có khả năng trợ giúp phân tích dữ liệu và mô hình hóa quyết định. - Hướng tới lập kế hoạch cho tương lai. - Được sử dụng trong những hoàn cảnh và thời gian bất thường. Bonczek định nghĩa DSS như một hệ thống dựa trên máy tính bao gồm ba thành phần tương tác là: - Một hệ ngôn ngữ, là cơ chế cho phép truyền thông giữa người sử dụng và các thành phần khác của DSS. - Một hệ tri thức, chứa các tri thức về lĩnh vực được DSS xử lý, gồm cả dữ liệu và các loại thủ tục. - Một hệ xử lý các bài toán, liên kết các thành phần trên, bao gồm 1 hoặc nhiều khả năng xử lý các bài toán tổng quát mà quá trình ra quyết định cần đến. Keen áp dụng DSS “cho những tình huống trong đó hệ thống có thể được phát triển qua quá trình học thích nghi và hoàn thiện từng bước”. Do đó, ông định nghĩa DSS “như là sản phẩm của quá trình phát triển, trong đó người sử dụng DSS, người tạo ra DSS, và chính bản thân DSS có khả năng ảnh hưởng, tác động đến sự phát triển của hệ thống và các thành phần sử dụng nó”. Kết quả của các định nghĩa này là một quần thể các hệ thống mà từng tác giả một sẽ xác định như là một DSS. Ví dụ Keen sẽ loại trừ các hệ thống xây dựng taih khoảng thời gian định trước , theo qui tắc để hỗ trợ quyết định về các hoạt động hiện tại. Các định nghĩa DSS không nhất quán, bởi vì từng DSS một cố gắng thu hẹp sự khác biệt theo một cách khác nhau, hơn thế nữa. chúng đều bỏ qua vấn đề trung tâm trong DSS: đo là hỗ trợ và cải tiến việc ra quyết định, chỉ tập trung đầu vào mà coi nhẹ đầu ra. Do đó cần nhấn mạnh sự khó khăn của việc đo các đầu ra của một DSS (có nghĩa là chất lượng quyết định). Tóm lại DSS là một “Hệ thống thông tin hỗ trợ bằng máy tính” có thể thích nghi, linh họat và tương tác lẫn nhau, đặc biệt được phát triển để hỗ trợ giải quyết bài toán của một số vấn đề quản lý không có cấu trúc nhằm cải tiến việc ra quyết định. Nó tập hợp dữ liệu, cung cấp cho người sử dụng một giao diện thân thiện và cho phép tự ra quyết định một cách sáng suốt. Nó hỗ trợ cho tất cả các giai đoạn của việc ra quyết định, và bao gồm cả một cơ sở tri thức. Các đặc tính và khả năng của DSS: Theo phần trên ta đã biết không có định nghĩa cụ thể nào về DSS. Dưới đây, đưa ra một danh sách như là một tập các ý tưởng. Hầu hết các DSS chỉ có một vài đặc điểm sẽ được liệt kê đưới đây: DSS 1.QuyÕt ®Þnh b¸n cÊu tróc 8.DÓ sö dông 2.Cho c¸c nhµ qu¶n lý ë c¸c møc ®é kh¸c nhau 7.Kh¶ n¨ng thÝch øng vµ linh ho¹t 3.Cho c¸c nhãm vµ c¸c c¸ nh©n 5.Hæ trî trÝ tuÖ, thiÕt kÕ, lùa chän 4.C¸c quyÕt ®Þnh ®éc lËp hoÆc liªn tiÕp 6.Hæ trî mét sè lo¹i quyÕt ®Þnh vµ xö lý 14.Tri thøc 9.HiÖu qu¶ vµ kh«ng hiÖu qu¶ 10.Con ng­êi ®iÒu khiÓn m¸y mãc 11.C¸ch sö dông tiªn tiÕn 12.DÓ dµng x©y dùng 13.M« h×nh hãa 1. DSS hỗ trợ cho những người ra quyết định trong các tình huống không có cấu trúc hoặc bán cấu trúc. Những vấn đề như vậy không giải quyết được bằng các hệ thống tính toán khác. 2. Trợ giúp các mức độ quản lý khác nhau từ người thực thi đến nhà quản lý. 3. Việc hỗ trợ được cung cấp cho các cá nhân cũng cũng như các nhóm, nhiều vấn đề về tổ chức liên quan đến việc ra quyết định của nhóm. Các vấn đề ít cấu trúc, thường yêu cầu sự liên quan của một số cá nhân từ các bộ phận khác nhau và các cấp tổ chức khác nhau. 4. DSS cung cấp hỗ trợ cho một số quyết định liên tục và/hoặc độc lập. 5. DSS hỗ trợ tất cả các quá trình của quy trình ra quyết định: Thu thập thông tin, thiết kế lựa chọn và thực hiện. 6. DSS trợ giúp một cách đa dạng với quá trình ra quyết định và các kiểu quyết định, như từ vựng và kiểu ra quyết định. Tạo ra sự phù hợp giữa DSS và tính chất cá nhân của từng người ra quyết định, như từ vựng và kiểu ra quyết định. 7. DSS là hệ thống linh hoạt vì vậy người sử dụng có thể thêm vào, xóa đi, kết hợp, thay đổi hoặc sắp xếp lại các thành phần chính của DSS, cung cấp câu trả lời nhanh chóng cho các tình huống bất chợt. Khả năng này có thể được tạo ra thường xuyên và nhanh chóng. 8. DSS dễ sử dụng. Những người sử dụng phải cảm thấy “thoải mái” với hệ thống. Các khả năng về đồ họa, linh hoạt, thân thiện với người sử dụng. 9. DSS góp phần nâng cao hiệu quả của việc ra quyết định (chính xác, đúng lúc, chất lượng). 10. Người ra quyết định có thể không quan tâm đến những gợi ý của máy tính ở bất kỳ giai đoạn nào trong quá trình xử lý. 11. DSS dẫn đến tri thức, tri thức này lại dẫn đến những yêu cầu mới và sự cải tiến hệ thống dẫn đến việc học thêm …, trong quá trình cải tiến và phát triển liên tục của DSS. 12. Những người sử dụng cuối cùng phải tự minhg xây dựng được những hệ thống đơn giản. Khả năng mô hình hóa cho phép thử nghiệm các chiến lược khác nhau theo các cấu hình khác nhau. Những thử nghiệm như vậy có thể cung cấp những hiểu biết và kiến thức mới. 14. Một DSS tiên tiến được trang bị một thành phần tri thức cho phép việc giải quyết hiệu quả các vấn đề khó. Những lợi ích của DSS: 1. Khả năng hỗ trợ giải quyết các vấn đề phức tạp. 2. Trả lời nhanh cho các tình huống không định trước. Một DSS cho phép tính toán trong một khoảng thời gian rất ngắn, thậm chí thường xuyên thay đổi đầu vào để có thể được ước lượng khách quan một cách đúng lúc. 3. Có khả năng thử một loạt các chu kỳ khác nhau theo các cấu hình khác nhau một cách nhanh chóng và khách quan. 4. Người sử dụng có thể thêm được những hiểu biết mới thông qua sự kết hợp của một mô hìn và một sự phân tích mở rộng “What - If”. 5. DSS có thể tăng khả năng quản lý và giảm chi phí vận hành của hệ thống. 6. Các quyết định của DSS thường là khách quan và phù hợp hơn so với quyết định bằng trực giác của con người. 7. Cải tiến việc quản lý, cho phép các nhà quản lý thực hiện công việc với ít thời gian hơn và/hoặc ít công sức hơn. 8. Năng suất phân tích được cải thiện. Các thành phần của DSS: Suy cho cùng, phân biệt rõ ràng DSS với các hệ thống xử lý thông tin khác cũng không quan trọng bằng việc xác định rằng hệ thống có khả năng hỗ trợ một quá trình xử lý cụ thể nào đó hay không. Có thể nói việc hỗ trợ quản lý thể hiện bằng hai cách: giúp người quản lý xử lý thông tin và giúp người ra quyết định biến đổi thông tin để rút ra kết luận cần thiết. Như vậy hoạt động hỗ trợ quản lý bao gồm: Quản lý thông tin: làm các chức năng lưu trữ, biến đổi, kết xuất thông tin trong dạng thuận tiện cho người sử dụng. Lượng hóa dữ liệu: khối lượng lớn dữ liệu được cô đặc, được biến đổi một cách toán học thành những chỉ số đánh giá mức độ chân lý của thông tin. Việc phân chia giữa DSS và MIS (Management Information Systems) không rõ ràng. Các phạm vi ứng dụng của DSS tập trung ở các bài toán có độ phức tạp xử lý lớn. Những quá trình này thường được đặc trưng bởi: Các thao tác của hệ thống bao gồm nhiều hoạt động có ràng buộc qua lại. Có nhiều yếu tố phức tạp ảnh hưởng đến hệ thống. Quan hệ giữa hệ thống và các yếu tố tác động là phức tạp. Trong thực tế, một hệ DSS bao gồm không chỉ một hệ máy tính hóa mà gồm bốn thành phần cơ bản tương tác chặt chẽ với nhau: Các ứng dụng DSS Con người Thông tin Bộ phận tự động hóa Các qui trình Các thành phần của hệ hỗ trợ quyết định Con người tham gia vào ứng dụng. Thông tin mô tả bài toán. Các quá trình để xử lý thông tin. Bộ phận tự động (máy tính…). Bộ phận tự động của DSS có thể tách làm hai phần: phần cứng và phần mềm. Như vậy DSS có thể tách làm năm phần chính: Cơ sở dữ liệu, các chức năng quản trị cơ sở dữ liệu, mô hình lượng hóa, bộ phận sinh báo cáo và giao diện người sử dụng. Nói chung DSS cũng bao gồm các thành phần như một hệ xử lý thông tin bất kỳ. Sự khác nhau thực sự ở các các điểm sau: Phương pháp sử dụng cho giao diện người dùng (dùng ngôn ngữ tự nhiên, tương tác). Có mặt thành phần lượng hóa để biểu diễn toán học các cấu trúc phức tạp và quan hệ giữa các thành phần khác nhau của bài toán. Công cụ lượng hóa của ứng dụng có thể tách thành bốn phần: mô hình hóa, mô hình toán học, kỹ thuật lượng hóa và quy trình giải thuật. Cấu trúc và đặc điểm của phần mềm. Tích phân mờ trong ra quyết định đa tiêu chuẩn Ra quyết định đa tiêu chuẩn Khuôn mẫu chung Một bài toán ra quyết định bao gồm sự lựa chọn khả năng thay thế tốt nhất theo một vài tiêu chuẩn, biết một lượng tri thức nhất định, và được mô hình hóa dưới dạng sau. Định nghĩa 1: Một bài toán quyết định là một bộ 5 phần tử , với: A: Tập các khả năng thay thế hoặc hành động, giữa những cái mà người ra quyết định phải chọn. X: Tập các hệ quả hoặc các kết quả. Các hệ quả này xuất phát từ sự lựa chọn một khả năng thay thế. : Tập các trạng thái của vũ trụ. Theo trạng thái của vũ trụ (ẩn số thông thường), các hệ quả của sự lựa chọn một khả năng thay thế có thể khác biệt. chỉ rõ với mỗi trạng thái của và mỗi sự lựa chọn khả năng thay thế a dẫn đến : Quan hệ thứ tự yếu trên X , quan hệ hai ngôi thỏa mãn (i) hoặc , (ii) là bắc cầu, ví dụ. , là quan hệ ưu tiên. Bởi phép loại suy quan hệ thứ tự thông thường trên số học, x>y nghĩa là đúng nhưng không có nghĩa (ưu tiên ngặt), và nghĩa là ta có cả và (sự không phân biệt). Ý tưởng cơ bản đằng sau lý thuyết thỏa dụng là biến đổi thứ tự yếu trên X thành thứ tự thông thường trên số thực theo nghĩa được gọi là hàm lợi ích , tính chất cơ bản của nó là . Ta nói rằng u cho thấy khi tính chất này được thỏa mãn. Sự tồn tại của hàm như vậy là bài toán cơ bản trong lý thuyết thỏa dụng. Ra quyết định đa tiêu chuẩn Tiếp theo, ta nói rằng bài toán quyết định đặc trưng, được gọi là quyết định đa tiêu chuẩn: ở đây trạng thái của vũ trụ luôn được biết (do vậy được định nghĩa trên A), nhưng X là nhiều chiều, kết quả x là bộ n phần tử trong đó tương ứng với các tiêu chuẩn hoặc các thuộc tính. Nhận thấy rằng khi trạng thái của vũ trụ được biết, ta có thể xử lý các khả năng thay thế hoặc các kết quả như nhau, với kết quả là quan hệ ưu tiên có thể được định nghĩa hoặc trên X hoặc trên A. Rõ ràng là u bây giờ là hàm nhiều chiều, và vấn đề là tìm các cách thức đơn giản để tính u. Một giải pháp dễ dàng là biểu diễn u với sự trợ giúp của các hàm lợi ích đơn chiều theo mỗi tiêu chuẩn. . được gọi là toán tử kết hợp. nếu ta giả định rằng u1 cho trước, vấn đề chính là tìm toán tử kết hợp phù hợp cái mà biểu diễn quan hệ ưu tiên của sự ra quyết định. Một giải pháp đơn giản nhất là phép toán tổng số học: Như vậy u được gọi là thỏa dụng phụ trợ, và hàng loạt công việc được thực hiện để tìm các điều kiện trên quan hệ ưu tiên để một hàm lợi ích cộng tính tồn tại. Ở khía cạnh này, định lí của Debreu đưa ra một điều kiện cần và đủ, nhưng nó ít được ứng dụng trong thực tế do nó khó. Tất nhiên, ta có thể sử dụng toán tử kết hợp bất kỳ, với điều kiện là sự lựa chọn có thể được thỏa mãn bài toán được xem xét. Mục đích của đề tài chính xác là để khảo sát nếu các tích phân mờ tạo thành một giải pháp cần thiết và thú vị cho bài toán này. Độc lập ưu tiên Độc lập ưu tiên là một khái niệm quan trọng trong ra quyết định đa tiêu chuẩn, có liên quan mật thiết tới sự tồn tại của hàm lợi ích cộng tính. Đầu tiên chúng ta đưa ra chú thích sau: Cho . Khi đó , và các thành phần của được biểu thị thành . Do vậy, mọi có thể được viết thành , trong đó cho biết phần bù của J. Định nghĩa 2. Cho . Không gian các thuộc tính được nói là độc lập ưu tiên của nếu và chỉ nếu, với mọi cặp của các phần tử , đối với một vài đối với tất cả . Toàn bộ tập thuộc tính được nói là độc lập ưu tiên tách rời nếu là độc lập ưu tiên của đối với mọi. Đại khái, sự ưu tiên của hơn không bị chi phối bởi các giá trị còn lại. Ta đưa ra đây một ví dụ minh họa, mượn từ Murofushi. Ta hãy xem xét vấn đề của các công việc đánh giá, cho các thuộc tính = income, = working hours và = {like,dislike}. Hầu hết mọi người cho rằng là độc lập ưu tiên từ {,}, tức là nếu (high salary, average working hours, like) được ưu tiên hơn (low salary, average working hours, like), thì với mọi a,b (high salary, a, b) sẽ được ưu tiên hơn (low salary, a, b). Theo một hướng, high salary được ưu tiên hơn low salary, các thuộc tính còn lại tương đương nhau. Dễ dàng kiểm chứng rằng sự tồn tại của hàm lợi ích cộng tính chỉ sự độc lập ưu tiên tương tác, nhưng điều ngược lại không đúng. Thực tế, bất kỳ toán tử kết hợp liên đới, nói đúng ra chỉ sự độc lập ưu tiên lẫn nhau, như được nhận xét bởi Dubois và Prade. Các khuôn mẫu khác Lý thuyết thỏa dụng đa thuộc tính không chỉ là khuôn mẫu để giải quyết các vấn đề quyết định đa tiêu chuẩn. Đại khái, theo cách tiếp cận này ta cộng các số (các monodimensional utility) tương ứng với một định giá tuyệt đối của một khả năng thay thế đã cho đối với một tiêu chuẩn đã cho. Đây được gọi là cách tiếp cận chính. Trái lại, trong cách tiếp cận tương phản, ta so sánh các khả năng thay thế cặp đối cặp, và ta biểu diễn với một số lượng của mức độ ưu tiên của một khả năng thay thế hơn các khả năng thay thế khác, theo một tiêu chuẩn (định giá tương đối). Tất cả các quan hệ ưu tiên này khi đó được gộp (cộng tất cả) lại để tính vào tất cả các tiêu chuẩn. Trong quá trình kết hợp, tính chất bắc cầu (theo nghĩa thông thường hoặc nghĩa max-min) thường bị bỏ qua nhiều nhất, vì vậy kết quả là một thứ tự không hoàn chỉnh của các khả năng thay thế. Cách tiếp cận này được phát triển về cơ bản bởi Roy (các phương pháp ELECTRE) với các quan hệ rõ thông thường, và sau đó bởi Fodor và Roubens với các quan hệ ưu tiên mờ. Tuy nhiên, cũng trong cách tiếp cận thứ hai, chúng ta cần một công cụ cho việc kết hợp mà mặc dù có thể có một vài đặc trưng, đại khái đòi hỏi các tính chất như nhau giống các toán tử kết hợp của cách tiếp cận chính. Do chủ đề chính của ta ở đây là sự kết hợp, ta có thể tiến hành như nhau theo một hoặc nhiều cách tiếp cận, nhưng ta lựa chọn ở đây cách tiếp cận lý thuyết thỏa dụng đa thuộc tính. Một lí do là để các kết quả quan trọng đã sẵn sàng đưa vào khuôn mẫu này, liên quan đến sự độc lập ưu tiên và tính cộng tính của độ đo mờ. Các tích phân mờ và các độ đo mờ Trong phần này, ta trình bày các định nghĩa cơ bản cần thiết. Các định nghĩa của các độ đo mờ và các tích phân sẽ được trình bày trong các trường hợp giới hạn của không gian hữu hạn, ta đề cập ở đây các không gian tiêu chuẩn mà hữu hạn (theo cách thông thường). Các định nghĩa sau đây lợi dụng khái niệm của không gian đo được mà một cặp (X, X), trong đó X thông thường là một - algebra (đại số) trong một không gian X. Do ta đề cập đến các không gian hữu hạn, ta sẽ xem xét để X đơn giản là tập mạnh X. Ta giả định rằng . 2.1 Các độ đo mờ Định nghĩa 3. Một độ đo mờ định nghĩa trên không gian đo được (X, X) là một hàm thiết lập thỏa mãn các tiên đề sau: (i). Đây là qui ước thông thường, mặc dù nói chung có thể là con số hữu hạn (không hữu hạn) dương bất kỳ. (ii) (monotonicity). Tính đơn điệu coi là một không gian có độ đo mờ. Chú ý rằng tiên đề cộng tính thông thường đối với các độ đo xác suất , đã được thay thế bởi một tiên đề yếu hơn: tính đơn điệu. Các độ đo mờ bao gồm như là các độ đo xác suất các trường hợp riêng, các độ đo xác suất và cần thiết, các hàm tin cậy và đáng tin cậy... Một lớp đáng quan tâm của độ đo mờ được xem xét sau đây. Định nghĩa 4: (Weber). Cho là một t-conorm và một độ đo mờ. coi là -decomposable (phân tích được) nếu mỗi khi . Một độ đo khả năng là -một độ đo phân tích được, và một độ đo xác suất là -một độ đo phân tích được, trong đó cho biết tổng chặn . Khi là Archimedean với tiền đề g, Weber phân biệt giữa ba loại độ đo phân tích được , cụ thể là: (S): là một t-conorm ngặt, do đó là một độ đo cộng tính vô hạn ( là hữu hạn). (NSA): là một t-conorm không ngặt (lũy linh) và là một độ đo cộng tính hữu hạn ( là hữu hạn). (NSP): là một t-conorm không ngặt và là một độ đo giả cộng tính hữu hạn theo nghĩa mà = có thể xảy ra đối với một họ của các tập con tách rời. 2.2 Các tích phân mờ Lúc này, ta đưa ra khái niệm của các tích phân mờ. Ta xem xét các tích phân mờ với các toán tử trên , ta thu hẹp các định nghĩa tới đoạn -các hàm trị số. Định nghĩa 5. Cho là một không gian có độ đo mờ. Tích phân Sugeno của một hàm theo được định nghĩa: , trong đó cho thấy các chỉ số đã được hoán vị để , và . Định nghĩa cơ bản của dựa trên min và max được mở rộng bởi một vài tác giả, sử dụng các t-conorm. Một định nghĩa thông dụng được đề cập tiếp theo. Định nghĩa 6. Cho là một không gian có độ đo mờ. Tích phân tựa Sugeno của một hàm theo được định nghĩa: T, với T là t-norm bất kỳ. Định nghĩa này do Weber khỏi xướng. Một nghiên cứu kỹ lưỡng của Murofushi và Sugeno cho thấy định nghĩa này là sự tổng hợp chung có ý nghĩa nhất của cả max và các toán tử khác. Để phân biệt với các định nghĩa hệ quả, nó được gọi là tích phân tựa Sugeno. Một định nghĩa khác biệt hoàn toàn được Murofushi và Sugeno đưa ra sử dụng một hàm định nghĩa bởi Choquet trong lý thuyết sức chứa (functional defined by Choquet in capacity theory). Định nghĩa 7. Cho là một không gian có độ đo mờ. Tích phân Choquet của một hàm theo được định nghĩa: với các chú giải tương tự như trên, và . Lúc này ta tiến tới để định nghĩa các tích phân t-conorm mờ, một khái niệm tổng quát hơn bao gồm hầu hết tất cả các loại của các tích phân mờ. Để tránh các khai triển không cần thiết và để tập trung vào vấn đề phân tích đa tiêu chuẩn, ta sẽ giới hạn đôi chút định nghĩa các tích phân t-conorm mờ. Định nghĩa 8. Cho là một cặp của các t-conorm Archimedean các hàm tiền đề của nó lần lượt là h,g,với g(1)=1, ví dụ một t-conorm lũy linh, và một không gian có độ đo mờ. Tích phân t-conorm mờ của hàm f dựa trên F theo được định nghĩa: Nhận thấy rằng tích phân Choquet được bù lại với . Chú ý rằng khi không là Archimedean, các tích phân tựa-Sugeno (quasi-Sugeno) không được bù lại theo định nghĩa này, nhưng điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng định nghĩa tổng quát. 2.3 Các tính chất của các tích phân mờ Lúc này ta đưa ra một vài tính chất của các tích phân mờ, có tác dụng đối với sự suy diễn logic. Tính chất 1 (tính lũy đẳng). Mọi , bao gồm cả tích phân tựa Sugeno, Tính chất 2. Cho độ đo riêng định nghĩa theo cách X, , và ( định nghĩa theo cách X, , và ), quy về toán tử cực tiểu (cực đại) (tính chất giống nhau với tích phân tựa Sugeno) Tính chất 3 (Tính đơn điệu đối với hàm dưới dấu tích phân). Cho hai hàm f, f’ trên X và một độ đo trên . Khi đó với mọi , bao gồm cả tích phân tựa Sugeno, với mọi . Tính chất 4 (Tính đơn điệu đối với độ đo). Cho là hai độ đo trên . Khi đó với mọi , bao gồm cả tích phân tựa Sugeno, với mọi . Tính chất 5. Sử dụng các tính chất 2 và 4, ta có thể suy ra . Tính chất 6. Với mọi độ đo cộng tính, tích phân Choquet quy về tích phân Lebesgue thông thường, ví dụ . Tính chất 7. Tích phân Sugeno là một trung vị (xem định nghĩa 10): với như trước. Kết quả này được thiết lập bởi Kandel và Byatt. Tính chất 8 (Tính liên tục). Với mọi độ đo mờ, các tích phân mờ là các hàm liên tục, ví dụ với mọi dãy của hàm trên X ta có . Tính chất 9 (Tính đối ngẫu, những người khác Grabisch). Mọi mà là lũy linh cả hai, , trong đó là một toán tử sai phân định nghĩa theo cách , trong đó h là tiền đề của là đối ngẫu của , định nghĩa theo cách . Tính chất 10 (Tính đối ngẫu, những người khác Grabisch). Tích phân Sugeno thỏa mãn quan hệ đối ngẫu sau đây: , trong đó là độ đo đối ngẫu (thông thường) của , ví dụ . Chú ý rằng các tích phân tựa Sugeno với không thỏa mãn tính chất này. Khảo sát các toán tử kết hợp phổ biến. Ta trở lại bài toán lựa chọn một toán tử kết hợp phù hợp H. . Trước khi liệt kê toán tử phổ biến nhất ta cố gắng để thể hiện tất cả các tính chất kỳ vọng của các toán tử như vậy, trong ngữ cảnh của ra quyết định đa tiêu chuẩn, sử dụng cách tiếp cận chính như giải thích ở trên. Điều này cần phải nhớ, do các tính chất yêu cầu có thể khác theo những cái được kết hợp: các mức độ ưu tiên, các ước lượng tuyệt đối, các ràng buộc, các ý kiến chuyên gia,… Trước khi bàn kỹ hơn, ta đưa ra nhận xét về miền của số học được kết hợp. Trong lý thuyết thỏa dụng, là các số thực, hoặc dương hoặc âm, nhưng nó được hiểu rằng được định nghĩa theo một phép biến đổi tuyến tính dương. Do vậy ta có thể cho rằng miền trong đoạn [0,1] không mất tính tổng quát. Điều này là sự giả định cần thiết khi đề cập đến các toán tử định nghĩa trên khoảng đơn vị, như các t-norm, tựa Sugeno hoặc các tích phân t-conorm mờ. Liên quan đến trường hợp tích phân Choquet, hàm dưới dấu tích phân có thể là hàm số thực bất kỳ, do định nghĩa của nó có thể dễ dàng được mở rộng cho các hàm âm. 3.1 Các yêu cầu trên các toán tử kết hợp Ta nghĩ rằng nó có lợi để nhấn mạnh là tính chất đáng xem xét nhất mà thực tế yêu cầu , trong đó x, y là các vector của X, các thành phần của nó lần lượt là . Các tính chất khác đơn thuần chỉ là hệ quả của tiên đề cơ bản này. Ở đây là sức mạnh của khuôn mẫu lý thuyết thỏa dụng. Ta đưa ra danh sách các thăm dò sau. (1) Các tính chất toán học sơ cấp. Các thứ sau đây là các quy tắc chung: Nếu 0 và 1 là các giá trị cực trị, thì , . Một quy tắc mạnh là tính lũy đẳng (I): . Tính liên tục Tính đơn điệu (M) (thường không giảm) đối với mỗi đối số. Tính giao hoán (hoặc tính chất trung lập) (N) có thể cần đến nếu tiêu chuẩn là khác nhau. Tuy nhiên, điều này là tự nhiên trong thủ tục biểu quyết hơn trong ra quyết định đa mục tiêu. Chú ý rằng tính đơn điệu và tính lũy đẳng đơn giản để nằm giữa min và max: như vậy, các t-norm và các t-conorm bị loại trừ. Tính kết hợp có thể cần đến, nhưng điều này mâu thuẫn với tính lũy đẳng: Các toán tử kết hợp và lũy đẳng tốt nhất là các trung vị (xem ở dưới). (2) Các tính chất toán học phức tạp hơn. Một vài thứ thuộc về chúng thông thường được yêu cầu trong các bài toán đo lường và định giá. Tính phân tích được (D): , trong đó đối với tất cả . Chỉ số trên (n) cho biết số các đối số của . Tính chất liên kết theo thứ tự (OL): Tính chất này được những người khác Fodor đưa ra là H (n+1)( H (n)(), H (n)(),…, H (n)()) = H (n)( H (n+1)(), H (n+1)(),…, H (n+1)()) Tính chất nối kết theo thứ tự với phép hoán vị (OLP): Tính chất này Grabisch đưa ra là H (n+1)( H (n)(), H (n)(),…, H (n)()) = H (n)( H (n+1)(), H (n+1)(),…, H (n+1)()), G. là một chú thích có nghĩa , ví dụ một phép hoán vị của các chỉ số. G biểu thị tập tất cả phép hoán vị trên một tập đã cho. Nhận xét rằng OLP hàm ý chỉ OL. Hệ số ổn định theo phép biến đổi tuyến tính dương giống nhau (SPL): H H . Tính chất này cho thấy thay đổi thang tỷ lệ không thay đổi kết quả. Nó là yếu tố cần thiết trong lý thuyết thỏa dụng vì ui được định nghĩa theo một phép biến đổi tuyến tính dương. Hệ số ổn định theo phép biến đổi tuyến tính với đơn vị giống nhau, comonotonic zeroes (SPLUC): H H G Nhân xét rằng SPLUC hàm ý chỉ SPL. (3) Khả năng biểu diễn các trọng số quan trọng trên các tiêu chuẩn nếu điều này là cần thiết. (4) Khả năng biểu diễn hành vi của người ra quyết định. Đương nhiên đây là điều đã đề cập đến, nhưng một cách cụ thể hơn, ở đây ta nói về khuynh hướng của ra quyết định, ví dụ nếu anh là định hướng hội hoặc tuyển. Thực tế, hai người ra quyết định với các hàm lợi ích đơn chiều giống nhau ui, các trọng số như nhau trên các tiêu chuẩn, có thể vẫn có các cách xử lý khác nhau. Ta có thể đưa ra ví dụ hai cách xử lý đặc trưng: tolerant và intolerant. Những người ra quyết định tolerant có thể thừa nhận rằng chỉ một vài tiêu chuẩn (ít nhất một) là được đáp ứng (điều này tương đương tính chất tuyển, ví dụ cực trị của nó là max). Theo cách khác, người ra quyết định intolerant yêu cầu tất cả tiêu chuẩn cũng phải được thỏa mãn (tính chất hội, ví dụ cực trị của nó là min). (5) Khả năng biểu diễn một hiệu ứng bù, hoặc một sự tương tác giữa các tiêu chuẩn. Sự bù tồn tại nếu một điểm xấu trên một tiêu chuẩn có thể được bù bởi một điểm tốt trên các tiêu chuẩn khác. Khả năng tương tác khác giữa các tiêu chuẩn là dư thừa (hai tiêu chuẩn là dư thừa nếu chúng biểu diễn tương đối giống nhau)và trợ giúp hoặc củng cố (hai tiêu chuẩn không quá quan trọng khi mà chúng tách rời nhau và trở lên rất quan trọng khi chúng kết hợp với nhau) (6) Khả năng diễn giải một ngữ nghĩa dễ dàng. Các toán tử kết hợp phổ biến Lúc này ta trình bày các giải pháp thông thường cho bài toán kết hợp. Các toán tử lấy trung bình: Chúng được định nghĩa như sau. Định nghĩa 9. Một toán tử lấy trung bình hoặc toán tử trung bình là một toán tử thỏa mãn tính lũy đẳng, tính giao hoán, và tính không giảm tại mỗi vị trí. Giả sử nhận xét rằng các tính chất này hàm ý là các toán tử trung bình nằm giữa min và max. Một vài tác giả yêu cầu cả tính liên tục, và thực tế là min và max bị loại trừ ra khỏi họ. Các ví dụ thông thường của các toán tử trung bình là trung bình cộng , trung bình nhân , trung bình điều hòa , và họ Dyckhoff-Pedrycz . Một họ quan trọng của các toán tử trung bình mà bao gồm tất cả các ví dụ ở trên, được thiết lập phù hợp với tựa các trung bình cộng: , trong đó f là hàm đơn điệu ngặt liên tục bất kỳ. Họ này được Kolmogoroff mô tả, như là lớp của tất cả các toán tử trung bình liên tục phân tích được. Các trung vị: Chúng là các trường hợp riêng của các toán tử trung bình, định nghĩa như sau. Định nghĩa 10. Xét một dãy của một số lẻ thuộc tập số thực trong đoạn . Khi đó, trung vị của dãy được định nghĩa theo cách , như trước, trong đó . Tức là, số trung bình là giá trị giữa của một dãy sắp thứ tự. Các trung vị là các toán tử trung bình kết hợp đáng xem xét nhất. Dubois và Prade chứng minh rằng một toán tử trung bình kết hợp tất yếu rút ra dạng , trong đó . Do tính kết hợp và tính lũy đẳng là các tính chất có phần đối lập. Phép toán đối xứng: Chúng được định nghĩa như sau. Định nghĩa 11. coi là một tổng đối xứng nếu và chỉ nếu S là liên tục, không giảm đối với mỗi đối số, giao hoán, thỏa mãn và là tự đối ngẫu,… . Họ này của các toán tử được Siilvert đưa ra, và chúng không là các toán tử trung bình theo nghĩa tổng quát. Phép toán đối xứng có tính chất mà một nghịch đảo của thang tỷ lệ không tác động tới sự định giá. Các toán tử bù: Zimmermann và Zysno, trong một nghiên cứu sử dụng thí nghiệm trên sự ước lượng các kiểu xếp cạnh nhau, đã cho thấy thực tế rằng thủ tục kết hợp có tính người là bù (và do vậy, các t-norm, bao gồm cả min không phù hợp). Ngoài ra, chúng cho thấy trung bình cộng dẫn đến một ước lượng chệch, bởi vì toán tử này không tính vào sự tương tác giữa các tiêu chuẩn. Bởi vậy, Zimmermann và Zysno đã đưa ra cái gọi là - các toán tử là bù được định nghĩa theo cách H trong đó biểu thị tổng xác suất, định nghĩa theo cách . Đại khái, toán tử này là một sự tổ hợp của một t-norm với một t-conorm, cho một tỷ lệ . Ở đây tồn tại nhiều định nghĩa khác nhau của các toán tử bù, phần lớn dựa trên một hỗn hợp các t-norm và các t-conorm, như ví dụ một người khác Hayashi đưa ra, cái này là sự tổ hợp tuyến tính của một t-norm T và t-conorm đối ngẫu của nó S: H , trong đó là một loại toán trung bình định nghĩa theo cách , là các tham số trong [0,1] thỏa mãn Nhiều ví dụ khác có thể thấy ở. Nếu các toán tử bù bị yêu cầu bằng trực giác, chúng bị chậm do một định nghĩa không được dự tính trước, không dựa trên hệ tiên đề của các tính chất. Ta không biết chính xác các tính chất của chúng (trừ sự bù), cũng như trạng thái của chúng trong tập các toán tử; cụ thể, chúng không là các t-norm, các t-conorm, mà cũng không là các toán tử trung bình, mà cũng không là phép toán đối xứng,… Các toán tử trọng số, OWA: Hầu hết các ứng dụng trong quyết định đa tiêu chuẩn yêu cầu các trọng số quan trọng trên các tiêu chuẩn, theo đó, hàm ý một mở rộng của các toán tử không trọng số thông thường mà có thể được thực hiện theo một vài cách thức phần nào không bị bó buộc (mũ hóa,…). Các toán tử cực đại và cực tiểu được mở rộng bởi Dubois và Prade, theo một cách mà phù hợp với lý thuyết khả năng. , trong đó các trọng số được bình thường hóa để . Họ tựa các trung bình cộng có thể được tổng quát hóa dễ dàng không bỏ qua các tính chất của nó (trừ tính giao hoán): , trong đó các trọng số được bình thường hóa để . Một lớp đáng quan tâm của các toán tử trọng số là các toán tử (OWA) trung bình trọng số theo thứ tự được Yager đưa ra. Chúng được định nghĩa như sau: Định nghĩa 12. Cho là một tập các trọng số mà . Toán tử OWA trên được định nghĩa theo cách . Điều này đơn giản là một tổng trọng số với các đối số sắp thứ tự. Như nó được thực hiện với trung bình cộng, ta có thể khái quát hóa định nghĩa: các toán tử tựa OWA được định nghĩa theo cách , trong đó f là hàm đơn điệu. Các toán tử OWA gồm cả min và max (đơn giản lấy đối với max và đối với min). Lợi ích chính của chúng xuất phát từ thực tế là chúng có thể biểu diễn các phép lượng hóa không rõ ràng, như ví dụ: “ít nhất một vài tiêu chuẩn phải được thỏa mãn”, điều này có thể được mô hình bằng khi n = 5. Gần đây, những người khác Foder mô tả các toán tử OWA theo hai cách khác nhau. Chúng biểu diễn như sau. Định lý 1. Lớp các toán tử OWA tương đương các toán tử mà thỏa mãn tính chất trung lập, tính đơn điệu, tính lũy đẳng, tính ổn định và liên kết theo thứ tự đối với phép biến đổi tuyến tính dương giống nhau. Định lý 2. Lớp các toán tử OWA tương đương các toán tử mà thỏa mãn tính chất trung lập, tính đơn điệu, tính lũy đẳng và tính ổn định đối với phép biến đổi tuyến tính dương, đơn vị giống nhau, các số không độc lập (independent zeroes) và các giá trị theo thứ tự (ví dụ SPLUC với duy nhất ). Tích phân mờ như một công cụ kết hợp mới Có thể thấy rằng các giải pháp hiện tại để kết hợp các tiêu chuẩn gặp nhiều trở ngại. Tóm tắt, chúng có thể dễ dàng giải thích được trên một quan điểm về ngữ nghĩa, như tổng (trọng số), min và max (trọng số), OWA, và trong trường hợp này chúng quá giới hạn, quá cụ thể, hoặc chúng bao trùm một phạm vi rộng hơn nhưng ta không thể giải thích chúng (tựa trung bình cộng, các toán tử bù, …), ví dụ, mối liên hệ các tham số của các toán tử với kiểu hành vi (the kind of behaviour). Thứ hai là không ai có vẻ có khả năng trong việc trình bày vài cách dễ hiểu một sự tương tác giữa các tiêu chuẩn. Để khắc phục những điểm yếu này, ta đưa ra giá trị của các tích phân mờ. Toàn bộ mục này được dành hết cho sự chứng minh là đúng của một đề xuất như vậy, theo các quan điểm khác nhau: các tính chất của các tích phân mờ tuân theo sự kết hợp, sự mô tả, các quan hệ với các toán tử kết hợp hiện tại, và các toán tử tương đương, theo một hướng mà sẽ được định nghĩa dưới đây. Một cách cụ thể, ta cho , trong đó là tích phân mờ bất kỳ, hoặc tựa Sugeno, Choquet hoặc tích phân t-conorm mờ. là độ đo mờ bất kỳ, định nghĩa trên tập các tiêu chuẩn . Độ đo mờ đại diện cho các trọng số trên các tiêu chuẩn, hoặc trên các tiêu chuẩn riêng lẻ (theo nghĩa ), hoặc trên nhóm các tiêu chuẩn bất kỳ (ví dụ ): đây là điểm then chốt về các tích phân mờ, mà có thể chúng biểu diễn tương tác giữa các tiêu chuẩn. Điểm này sẽ được nói đến trong phần cuối của mục này. Các tính chất đối với sự kết hợp Ta khảo sát lần lượt các tính chất yêu cầu đối với sự kết hợp. Tính lũy đẳng: Đây là tính chất 1. Tính liên tục: Đây là tính chất 8. Tính không giảm: Đây là tính chất 3. Tính giao hoán: Không tổng quát, do các tích phân mờ là các toán tử trọng số. Những điều sau đây có thể được chứng minh. Định lý 3. Cho hoặc là một tích phân tựa Sugeno hoặc là một tích phân t-conorm mờ. Khi đó, là giao hoán nếu và chỉ nếu thỏa mãn như là , trong đó cho biết lực lượng của A. Tính kết hợp: Nó có thể được chứng minh là chỉ tích phân Sugeno với một độ đo mờ với là kết hợp (xem thêm mục 5.3.1). Tính phân tích được: Với mọi tích phân t-conorm mờ hoặc tích phân Choquet theo một độ đo cộng tính (xem mục 5.3.3). Liên kết theo thứ tự với phép hoán vị: Nó có thể được biểu diễn để tích phân t-conorm mờ bất kỳ và tích phân tựa Sugeno bất kỳ thỏa mãn tính chất này (và như vậy cũng liên kết theo thứ tự). Hệ số ổn định theo phép biến đổi tuyến tính dương với đơn vị giống nhau, comonotonic zeroes: Tích phân Choquet bất kỳ thỏa mãn tính chất này. Các tích phân mờ khác thỏa mãn các tính chất giống nhau: Tích phân tựa Sugeno thỏa mãn SPLUC với T và max thay cho tích số và min, và các tích phân t-conorm mờ với là lũy linh với tiền đề h, xác minh tính chất với thay cho tích số và tổng số. là phân phối t-conorn duy nhất với , định nghĩa theo cách . Các trọng số trên các tiêu chuẩn: Rõ ràng. Cách hoạt động của ra quyết định: Các tích phân mờ có thể trải rộng tự do giữa min và max (xem tính chất 5). Hiệu ứng bù, sự tương tác: Các tích phân mờ rõ ràng là bù vì chúng trải rộng giữa min và max, xem ở dưới. Liên quan đến tương tác giữa các tiêu chuẩn, Giải thích ngữ nghĩa: Các tính chất có trước, plus characterization (xem mục 5.2), mối quan hệ với các toán tử hiện tại (xem mục 5.3), và cách thức của mô hình các tương tác (xem 5.5) cho thấy các dấu hiệu rõ ràng trong việc làm thế nào để lựa chọn kiểu tích phân mờ, và kiểu độ đo mờ (cộng tính, phân tích được, cộng tính dưới hoặc siêu cộng tính, bất biến trên các tập hợp với lực lượng như nhau,…). Đặc điểm của các tích phân mờ Ngay từ đầu, tác giả đã nghiên cứu tỉ mỉ bài toán về đặc điểm các tích phân mờ, ví dụ tìm tập các tính chất tối thiểu thỏa mãn phù hợp với các tích phân mờ và chỉ thỏa mãn chúng, nhờ vào đặc điểm của các toán tử OWA xây dựng bởi những người khác Fodor. Ta chỉ trình bày ở đây các kết quả, một vài chi tiết và bằng chứng. Định lý 4. (Đặc điểm 1). Lớp các tích phân Choquet tương đương các toán tử mà thỏa mãn các tính chất gồm tính đơn điệu, tính lũy đẳng, liên kết theo thứ tự với phép hoán vị (OLP), và tính ổn định đối với phép biến đổi tuyến tính dương giống nhau (SPL) với số không dương (positive zero). Định lý 5. (Đặc điểm 2). Lớp các tích phân Choquet tương đương các toán tử thỏa mãn các tính chất của tính đơn điệu, tính lũy đẳng, và tính ổn định đối với phép biến đổi tuyến tính dương với đơn vị như nhau và các số không dương comonotonic (comonotonic positive zeroes) (SPLUC). Định lý 6. Lớp các tích phân tựa Sugeno S tương đương các toán tử mà thỏa mãn các tính chất gồm tính đơn điệu, tính lũy đẳng, liên kết theo thứ tự với phép hoán vị (OLP), và TTT. Định lý 7. Lớp các tích phân t-conorm mờ với là một t-conorm lũy linh, tương đương các toán tử mà thỏa mãn các tính chất gồm tính đơn điệu, tính lũy đẳng, và tính ổn định đối với phép biến đổi giả tuyến tính dương với đơn vị như nhau và các số không dương comonotonic (comonotonic positive zeroes) (SPLUC),… G. Trong đó là t-norm kết hợp định nghĩa theo , với h là tiền đề của . Định lý 8. Lớp các tích phân tựa Sugeno S tương đương các toán tử mà thỏa mãn các tính chất gồm tính đơn điệu, tính lũy đẳng, và TT T, G. 4.3 Thiết lập các quan hệ giữa các tích phân mờ và các liên kết khác 4.3.1 Thiết lập các quan hệ với các toán tử trung bình và các trung vị Nó là dễ dàng để thấy từ định nghĩa của các toán tử và các tính chất 1 và 3 của các tích phân mờ, mà tất cả các tích phân mờ giao hoán là các toán tử trung bình, trừ F , F . Định lý 9. Mọi toán tử trung bình kết hợp M là một tích phân Sugeno giao hoán , với . Nó là dễ dàng để kiểm chứng rằng kết quả nghịch đảo cũng đúng, tức là, mọi tích phân Sugeno với là một toán tử trung bình kết hợp. 4.3.2 Thiết lập các quan hệ với các tổng đối xứng Các kết quả sau đây đã cho thấy Định lý 10. Tập các tích phân mờ là tổng đối xứng được mô tả như sau: (i) , hoặc tích phân Sugeno. (ii) là tự đối ngẫu , ví dụ (trường hợp F ), or , hoặc (trường hợp tích phân Sugeno). (iii) , mỗi khi . Do một trường hợp riêng, nó là dễ dàng để cho thấy mọi - độ đo phân tích được của kiểu NSA thỏa mãn điều kiện (ii). 4.3.3 Thiết lập các quan hệ với các toán tử trọng số Lúc này, ta chuyển tới các toán tử trọng số. Nó có thể được biểu diễn để một lớp có phạm vi rộng của tựa trung bình cộng trọng số là các tích phân mờ. Định lý 11. Ta hãy xét một tựa trung bình cộng trọng số trên , với f bị ràng buộc tới lớp các hàm tăng dần hoàn toàn dương. Khi đó , với là cộng tính, định nghĩa theo sự phân loại của nó và , với có f là tiền đề. Do vậy, một lớp có phạm vi rộng của các toán tử trung bình và kiểu trọng số (weighted version) của chúng là các tích phân mờ thực tế với độ đo cộng tính (điều này cho thấy các tích phân mờ còn là một lớp lớn hơn nhiều). Cho ví dụ, tất cả các toán tử trung bình của họ Dyckhoff-Pedrycz với là các tích phân mờ . Nhưng quan sát thấy trung bình nhân , trung bình điều hòa không là các tích phân mờ. Một kết quả gần đây nhất liên quan tới mối liên lạc giữa các toán tử OWA và tích phân Choquet. Những người khác Fodor đã cho thấy rằng tất cả OWA là các tích phân Choquet. Định lý 12. Với mọi tập các trọng số mà , ta có , với định nghĩa theo cách mà . Một kết quả tổng quát hơn xem định lý 14. Diễn tả quan hệ tương hỗ, ta có các kết quả sau đây, bằng một ứng dụng trực tiếp của các định lý 3 và 12. Định lý 13. Bất kỳ tích phân Choquet giao hoán là một toán tử OWA, các trọng số của nó là , và . là tập con bất kỳ của X với . Kết quả như nhau đúng với toán tử tựa OWA: Chúng là các trường hợp riêng của các tích phân t-conorm mờ với ,cho f là tiền đề của , mỗi khi f là dương và tăng dần ngặt. Các lớp tương đương của các tích phân mờ Khi ai đó phải đối mặt với việc lựa chọn một toán tử kết hợp trong bài toán ra quyết định, một câu hỏi cơ bản đưa ra: cái nào là các toán tử mà dẫn tới quyết định như nhau, ví dụ cho các khả năng thay thế như nhau? Vấn đề này được đưa ra đầu tiên bởi tác giả trong, và sau đó nghiên cứu kỹ lưỡng hơn. Do vấn đề này là một trong những vấn đề quan trọng trong ra quyết định, ta trình bày ở đây các kết quả chính. Đầu tiên, ta định nghĩa hai quan hệ tương đương giữa các toán tử, để tìm ra giải pháp cho bài toán. Định nghĩa 13. Hai toán tử và từ tới là tương đương mạnh nếu và chỉ nếu . Chú ý. : Nó là dễ dàng để kiểm chứng rằng thực sự là một quan hệ tương đương, tức là phản xạ, đối xứng, và bắc cầu. Định nghĩa 14. Hai toán tử và từ tới là tương đương yếu nếu và chỉ nếu . Chú ý. : Quan hệ này là phản xạ, đối xứng, nhưng không bắc cầu. Tương đương mạnh sẽ đảm bảo rằng các toán tử trong lớp tương đương giống nhau sẽ mang lại các quyết định chính xác như nhau, ví dụ các khả năng thay thế như nhau và tập như nhau các khả năng thay thế không theo quy tắc gì (không thể quyết định được), trong khi quan hệ yếu sẽ chỉ đảm bảo là các quyết định không mâu thuẫn sẽ được thực hiện, ví dụ, đó là không cho cái mà quyết định và nghịch đảo. Nhưng một vài khả năng thay thế có thể bị bỏ quên không được phân loại bởi một vài toán tử và tính chất được xếp loại bởi các tính chất khác trong cùng lớp tương đương (yếu) giống nhau. Nó là một vấn đề của ứng dụng liên quan mà có thể quyết định kiểu của quan hệ tương đương phải được dùng. Một vài kết quả chung được cho thấy, để tìm các lớp tương đương, hoặc theo chiều mạnh hoặc theo chiều yếu. Về bản chất: Liên quan đến tương đương mạnh, ta có thể tạo ra tất cả các toán tử tương đương của một H đã cho bằng cách đơn giản lấy H, trong đó u là một song ánh tăng dần từ [0,1] đến [0,1]. Tính chất cơ bản của hai toán tử tương đương là để chúng có các mặt không phân biệt như nhau. Các mặt không phân biệt hoặc các mặt mức đơn giản là các hình ảnh nghịch đảo của một toán tử, ví dụ, tập tất cả . Ngoài ra, nếu là đơn điệu, thì điều kiện của đẳng thức giữa các mặt không phân biệt là cần và đủ. Liên quan đến tương đương yếu, và là tương đương yếu nếu và chỉ nếu ở đây tồn tại một phép ánh xạ đa giá trị không giảm riêng biệt như là trong đó “không giảm” có nghĩa . Hai toán tử tương đương yếu có các mặt không phân biệt là các phân hoạch dưới của mỗi cái khác, ví dụ, có và tương tự với tất cả y2 trong đoạn [0,1]. Điều kiện này là cần và đủ nếu các toán tử là đơn điệu. Các kết quả này đã được ứng dụng cho các tích phân mờ. Những điều sau đây đã cho thấy. Định lý 14. Xét một độ đo mờ đã cho . Lớp tương đương (theo chiều ngặt) của tích phân Choquet theo được định nghĩa như sau cho thấy: u: Song ánh tăng dần ngặt bất kỳ định nghĩa trên [0,1], G, : Phép hoán vị như là Nhận xét rằng việc cho ta tính ra biểu thức chung của tất cả các toán tử là các tích phân mờ. Điều này gần như cho thấy tất cả các toán tử OWA là các tích phân Choquet, mà (xem định nghĩa OWA), và tương đương được định nghĩa theo như (xem thêm định lý 12). Liên quan đến tích phân Sugeno, ta có kết quả tương tự với tương đương mạnh. Cuối cùng, ta chuyển tới các tích phân t-conorm mờ, và cho các kết quả với tương đương yếu, điều mà đáng quan tâm hơn. Định lý 15. Cho là một t-conorm. Lúc này, là tương đương yếu để tích phân t-conorm mờ hữu hạn , với các tiền đề của nó lần lượt là h, g, và là một độ đo mờ cộng tính. Hơn nữa, nếu là ngặt thì tương đương là mạnh. Điều này cho thấy toàn bộ lớp các t-conorm được bao gồm trong lớp tương đương của các tích phân mờ. Trong định lý, chú ý rằng -độ đo phân tích được của kiểu NSA bất kỳ với sẽ được thực hiện. Tương tự nhưng kết quả yếu hơn đúng với các t-norm. Ta cần định nghĩa sau đây. Định nghĩa 15. Xét một t-conorm lũy linh . Biểu thị , t-norm đối ngẫu- của , được định nghĩa bởi quan hệ: a với giả sai phân định nghĩa theo như (11). Khi đó, những điều sau đây đúng. Định lý 16. Cho là một t-conorm lũy linh, và t-norm đối ngẫu- của nó. Khi đó, là tương đương yếu tới tích phân t-conorm mờ hữu hạn , với , và một độ đo mờ cộng tính, phân phối của nó là t-conorm lũy linh bất kỳ với tiền đề g. Khi trước, nhận xét rằng mọi -độ đo phân tích được của kiểu NSA mà sẽ thực thi. Hai định lý này tổng quát hóa thực tế là tổng bị chặn và tích bị chặn là tương đương yếu đối với tích phân Choquet. Tính chất cộng tính của các độ đo mờ và sự độc lập ưu tiên Lúc này, ta chuyển tới bài toán khó về việc làm thế nào biểu diễn sự phụ thuộc hoặc sự độc lập của các tiêu chuẩn bằng một độ đo mờ. Từ khi bắt đầu ứng dụng các độ đo mờ và các tích phân mờ cho các bài toán ước lượng đa tiêu chuẩn, ta cảm thấy rằng tính không cộng tính của các độ đo mờ có thể làm mô hình phụ thuộc giữa các tiêu chuẩn, nhưng cho đến gần đây, điểm này không được nghiên cứu tỉ mỉ theo một cách khắt khe, vì không ai định nghĩa được chính xác cái mà ứng dụng các độ đo mờ và các tích phân mờ cho các bài toán ước lượng đa tiêu chuẩn có mục đích gì do “phụ thuộc”. Lý thuyết thỏa dụng đa thuộc tính đưa ra đầy đủ khuôn mẫu có tính lý thuyết để giải quyết bài toán này : Ta định nghĩa trong mục 2.3 khái niệm của sự độc lập ưu tiên giữa các tiêu chuẩn. Gần đây, Murofushi và Sugeno đã chứng minh một kết quả cơ sở nhờ vào sự độc lập ưu tiên và tính cộng tính của độ đo mờ. Định lý 17. Cho là không gian các hệ quả, với n số thuộc tính, và ta giới hạn tập các hàm lợi ích tới tích phân Choquet, ví dụ, . Nếu ít nhất có ba thuộc tính cần thiết, thì các mệnh đề sau đây tương đương: (i) Các thuộc tính là độc lập ưu tiên lẫn nhau. (ii) là cộng tính. Xi được coi là một thuộc tính cần thiết nếu ở đây tồn tại và mà . Rõ ràng, điều này cho thấy các thuộc tính là phụ thuộc trong một vài ngữ cảnh khi độ đo không cộng tính thêm, nhưng ta vẫn thấy phương thức chính xác của việc phụ thuộc vào tính không cộng tính và sự phụ thuộc. Tất nhiên, một vài kiến thức thuộc về trực giác đã tồn tại về quan điểm này, như ta sẽ cho biết ở dưới, cùng với một ví dụ minh họa. Các cơ sở lập luận phổ biến sau đây được thừa nhận rộng rãi. Một độ đo mà cộng tính dưới đối với hai tiêu chuẩn i và j biểu diễn một sự phụ thuộc yếu giữa các tiêu chuẩn này, theo nghĩa mà i và j là không cần thiết (dư thừa). Tức là, sự thỏa mãn một tiêu chuẩn phần nào đó kế thừa sự thỏa mãn các tiêu chuẩn khác. Bởi vậy, trọng số quan trọng gắn kèm là thấp hơn tổng các trọng số riêng lẻ. Một độ đo mà là siêu cộng tính đối với hai tiêu chuẩn i và j biểu diễn một phụ thuộc mạnh giữa chúng, theo nghĩa mà các tiêu chuẩn i và j hỗ trợ mỗi tiêu chuẩn khác. Tức là, nếu sự thỏa mãn các tiêu chuẩn i và j độc lập nhau là không ảnh hưởng nhiều (không quan trọng lắm), sự thỏa mãn đồng thời các tiêu chuẩn này được xem là ảnh hưởng lớn (rất quan trọng). Bởi vậy, trọng số quan trọng kèm theo lớn hơn tổng các trọng số riêng lẻ. Nhận xét rằng, một độ đo mờ có thể là siêu cộng tính đối với một vài tập con các tiêu chuẩn và siêu cộng tính đối với tập khác. Ở đây là lũy thừa có ý nghĩa của các độ đo mờ: các độ đo mờ phân tích được (ví dụ, độ đo khả năng, các độ đo- Sugeno) không có khả năng này vì chúng là cộng tính dưới hoặc siêu cộng tính trên toàn bộ tập các tiêu chuẩn. Do đã nói ở trên, điều này đơn thuần chỉ là một cách hiểu thuộc về trực giác, và nhiều thao tác được thực hiện để hình thức hóa và đưa ra các kết quả này theo một khuôn mẫu nghiêm ngặt. Minh họa các độ đo siêu cộng tính và cộng tính dưới, ta đưa ra ví dụ sau đây của định giá đa tiêu chuẩn: IV. Ứng dụng tích phân mờ trong đánh giá học sinh trường Trung học 1. Một ví dụ Người quản lý của một trường trung học phải định giá các học sinh của anh ta theo trình độ của chúng theo môn toán, môn lý và môn văn. Do trường trung học này, định hướng có tính khoa học hơn tính văn học, tầm quan trọng lớn hơn được quy cho môn toán và môn lý, nhưng cặp môn toán lý coi như có tầm quan trọng ngang nhau. Do vậy, người quản lý quyết định đặt một hệ số 3 cho môn toán, 3 cho môn lý và 2 cho môn văn. Tính toán ước lượng trung bình của các học sinh bằng cách sử dụng một trung bình có trọng số đơn, người quản lý xem xét ba học sinh sau đây (các tiêu chuẩn được cho theo một thang tỷ lệ từ 0 tới 20). Học sinh Toán Vật lý Văn học Ước lượng chung (trung bình theo trọng số) A 18 16 10 15.25 B 10 12 18 12.75 C 14 15 15 14.62 và không được thỏa mãn với kết quả, bởi theo anh ta, học sinh C là giỏi đều nhau ở các môn tự nhiên và môn văn, và do vậy, thích hợp hơn học sinh A, người xuất sắc trong môn toán và môn lý nhưng quá kém môn văn. Sau đó, người quản lý cố gắng thay đổi các trọng số trên các môn học, nhưng không thành công: cho trọng số giống nhau trên cả ba môn học dẫn đến định giá giống nhau đối với A và C (điều này vẫn không thỏa mãn), và anh ta không thể đặt trên môn văn một trọng số lớn hơn các môn tự nhiên, cho nên anh ta không có giải pháp. Làm thế nào ta có thể giúp đỡ người quản lý? Đơn giản bằng tích phân Choquet. Thực tế, người quản lý nghĩ rằng: 1. Các môn tự nhiên (toán, lý) quan trọng hơn. 2. Các môn tự nhiên có phần tương đối giống nhau, và các học sinh giỏi môn toán (môn lý) nói chung giỏi cả môn lý (môn toán), do đó mà các học sinh giỏi cả hai môn không quá tốt. 3. Các học sinh giỏi toán (hoặc lý) và văn là hiếm thấy hơn và tốt hơn. Những điều này có thể trực tiếp tịnh tiến trong giới hạn của độ đo mờ theo đúng cách: 1. ({toán}) = ({lý}) = 0.45, ({văn}) = 0.3 (sự tương đối quan trọng của các môn tự nhiên so với môn văn) Chú ý rằng tỷ lệ ban đầu của các trọng số (3,3,2) được giữ nguyên. 2. ({toán, lý}) = 0.5 < ({toán}) + ({lý}) (sự dư thừa giữa toán và lý) 3. ({toán, văn })=({lý, văn }) = 0.9 >0.45 +0.3 (sự tương hỗ qua lại giữa môn văn và các môn tự nhiên). 4. , ({toán, văn, lý }) = 1 theo định nghĩa. Áp dụng tích phân Choquet với độ đo mờ ở trên tính toán cho mỗi học sinh dẫn tới ước lượng chung mới sau đây: Công thức tích phân Choquet: trong đó cho thấy các chỉ số đã được hoán vị để , và và Học sinh Toán Vật lý Văn học Ước lượng chung (tích phân Choquet với độ đo mờ) A 18 16 10 13.9 B 10 12 18 13.6 C 14 15 15 14.9 Ở đây, các học sinh được xếp loại đúng cách theo quan hệ ưu tiên của người quản lý. Đặc biệt là, nhận xét rằng học sinh B vẫn ở vị trí thấp nhất như yêu cầu bởi khuynh hướng khoa học của trường trung học này. 2. Xây dựng ứng dụng V. Đánh giá 1. Lý thuyết - Các kết quả nghiên cứu cho thấy khả năng của các tích phân mờ trong ra quyết định đa tiêu chuẩn. - Có nhiều toán tử kết hợp có thể áp dụng trong việc kết hợp các tiêu chuẩn. Mỗi toán tử đều có ưu nhược điểm, tùy vào bài toán đang xét mà ta sử dụng những toán tử kết hợp cho phù hợp. Ứng dụng - Là ứng dụng tốt phục vụ trong đánh giá học sinh trường Trung học. - Chưa hoàn chỉnh ứng dụng thử nghiệm với mô hình thực tế. VI. Hướng phát triển - Hoàn thiện ứng dụng thử nghiệm với mô hình thực tế. - Nghiên cứu khả năng của các tích phân mờ trong các bài toán khác. - Nghiên cứu các phương pháp khác áp dụng cho bài toán ra quyết định. MỤC LỤC Tập mờ. Khái niệm tập mờ. Các phép toán trên tập mờ. Các tính chất của tập mờ. Các hệ trợ giúp quyết định. Giới thiệu DSS là gì? Những lợi ích của DSS Các thành phần của DSS Tích phân mờ trong hệ trợ giúp quyết định đa tiêu chuẩn Ra quyết định đa tiêu chuẩn Khuôn mẫu chung Ra quyết định đa tiêu chuẩn Độc lập ưu tiên Các khuôn mẫu khác Các tích phân mờ và các độ đo mờ 2.1 Các độ đo mờ 2.2 Các tích phân mờ 2.3 Các tính chất của các tích phân mờ Các toán tử kết hợp phổ biến 3.1 Các yêu cầu trên các toán tử kết hợp 3.2 Các toán tử kết hợp phổ biến Tích phân mờ như một công cụ kết hợp mới 4.1 Các tính chất đối với sự kết hợp 4.2 Đặc điểm của các tích phân mờ 4.3 Thiết lập quan hệ giữa các tích phân mờ và các liên kết khác 4.3.1 Thiết lập quan hệ với các toán tử trung bình và các trung vị 4.3.2 Thiết lập quan hệ với các tổng đối xứng 4.3.3 Thiết lập quan hệ với các toán tử trọng số 4.4 Các lớp tương đương của các tích phân mờ 4.5 Tính chất cộng tính của các độ đo mờ và sự độc lập ưu tiên IV. Ứng dụng Một ví dụ Xây dựng ứng dụng V. Đánh giá 1. Lý thuyết 2. Ứng dụng VI. Hướng phát triển TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Fuzzy Sets and System ( trên Internet) 2. Các tài liệu liên quan tới tích phân mờ, ra quyết định đa mục tiêu, các toán tử kết hợp, các độ đo mờ … (trên Internet)