Đề tài Ứng dụng của đạo hàm để tìm cực trị hàm số

hàm số một biến. Đồng thời chương này cũng ñưa ra hệ thống, phân loại các dạng bài tập theo các lớp hàm, giúp cho việc giải quyết các bài tập một cách thuận lợi hơn và là cơ sở ñể giúp cho việc nghiên cứu hàm nhiều biến ở chương sau. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 42 CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 3.1. Cực trị của hàm số hai biến số 3.1.1. Định nghĩa
) Định nghĩa cực trị ñịa phương: Cho hàm số: ( ),u f x y= xác ñịnh trong miền mở D và ñiểm ( )0 0 0,P x y D∈ . Ta nói rằng: ( )0 0 0,P x y là một ñiểm cực ñại (cực tiểu) ñịa phương của hàm số u nếu tồn tại một lân cận ( )0 ,S P R ⊂ D sao cho: ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 0 0, , , , ,f x y f x y f x y f x y , ( ) ( )0, ,P x y S P R∀ ∈ , 0P P≠ . Điểm cực ñại ñịa phương và cực tiểu ñịa phương ñược gọi chung là ñiểm cực trị ñịa phương.
) Định nghĩa ñiểm dừng: Ta sẽ gọi ñiểm ( ),P x y D∈ là ñiểm dừng của hàm số ( ),u f x y= nếu tại ñiểm ñó các ñạo hàm riêng ,f f x y ∂ ∂ ∂ ∂ bằng không.
) Định nghĩa ñiểm tới hạn: Ta sẽ gọi ñiểm ( ),P x y D∈ là ñiểm tới hạn của hàm số ( ),u f x y= nếu tại ñó cả ,f f x y ∂ ∂ ∂ ∂ ñều triệt tiêu hoặc những ñiểm ở ñó f x ∂ ∂ hoặc f y ∂ ∂ không tồn tại. 3.1.2. Định lý Nếu hàm ( ),f x y xác ñịnh trên D có cực trị ñịa phương tại ñiểm M0 cả hai ñạo hàm riêng của hàm f (nếu tồn tại) ñều bằng 0 hoặc ít nhất một trong hai ñạo hàm riêng không tồn tại. (ñó là những ñiểm tới hạn hoặc ñiểm dừng của hàm ( ),f x y )
) chú ý: + không phải mọi ñiểm dừng ñều là ñiểm tới hạn. + Việc tìm cực trị của hàm ba biến hoặc nhiều hơn ba biến ñược tiến hành tương tự như hàm hai biến. 3.1.3. Quy tắc dùng ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số hai biến ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 43 ) Quy tắc 1: Giả sử hàm số ( ),u f x y= có các ñạo hàm riêng ñến cấp hai liên tục trong một lân cận nào ñó của ( )0 0 0,M x y . Giả sử tại 0M ta có: 0 0 0, 0. x x y y f f x y = = ∂ ∂ = = ∂ ∂ Khi ñó tại M0, ñặt ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 02 2; ; ; . f f fM A M B M C B AC x x y y ∂ ∂ ∂ = = = ∆ = − ∂ ∂ ∂ ∂ +) Nếu 0∆ < thì hàm số ( ),f x y ñạt cực trị tại 0M . Đó là ñiểm cực ñại nếu A 0). +) Nếu 0∆ > thì hàm số ( ),f x y không ñạt cực trị tại 0M . +) Nếu 0∆ = thì hàm số ( ),f x y có thể ñạt cực trị tại 0M , cũng có thể không ñạt cực trị tại 0M . 2 0B AC∆ = − 0 ⇒u có cực tiểu. A < 0 ⇒u có cực ñại. 2 0B AC∆ = − > u không có cực trị. 2 0B AC∆ = − = Không có kết luận. ) Quy tắc 5: Bài toán: Tìm cực trị của hàm số: z = f [ ( , )x yϕ ] trong ñó các hàm số f, ϕ là những hàm khả vi liên tục. Bước 1: Tìm các ñiểm tới hạn: (hay ñiểm dừng) - Coi ( , )t x yϕ= . - Giải hệ: ( ) ( ){ ' ' ' ' ' '. ... 0; . ... 0x x y yt tz f t z f t= = = = = = { ( ){' ' '0 0 0...x y tt t f⇔ = ∧ = ∨ = ⇔ Các ñiểm tới hạn … Bước 2: Kiểm tra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '' '' ' 2 ' '' '' '' ' ' ' '' '' '' ' 2 ' '' .( ) . ; . . . ; .( ) . ; xx x xx xy x y xy yy y yyt t t t t tz f t f t z f t t f t z f t f t= + = + = + Ứng với từng ñiểm tới hạn, tính A, B, C. Kiểm tra 2B AC− ⇒ Kết luận. 3.1.4. Bài tập Bµi to¸n 1. Tìm cực trị của hàm số: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 44 2 2 3 26 24 6 24 4 15 36 1.f x y xy x x y y y= − − + + − + + Giải: Miền xác ñịnh của hàm số là toàn mÆt phẳng 2ℝ . Tìm các ñiểm dừng qua việc giải hệ phương trình: 2 2 0 12 24 12 24 0 6 24 12 30 36 00 f xy y xx f x x y y y ∂ = − − + =∂ ⇔ ∂ − + − + = = ∂ 2 1 2 2 1 1 3 x y y y x x  =   = =⇔   =  =  = . Vậy hàm số có 4 ñiểm dừng: M1(2;2), M2(2;1/2), M3(1;1), M4(3;1). Các ñạo hàm riêng cấp hai: 2 2 2 2 212 12; 12 24; 24 30 f f fA y B x C y x x y y ∂ ∂ ∂ = = − = = − = = − ∂ ∂ ∂ ∂ Xét tại M1 (2; 2) ta có: A = 12, B = 0, C = 18 và ∆ = B2 – AC < 0, mặt khác: A = 12 > 0 do ñó M1 (2; 2) là ñiểm cực tiểu của hàm số và fmin = 21. Xét tại M2 (2;1/2) ta có: A = -6, B = 0, C = -18 và ∆ = B2 – AC =-108 < 0, mặt khác A = -6 < 0, do ñó M2 (2;1/2) là ñiểm cực ñại của hàm số và fmax = 1114 . Xét tại M3 (1;1) ta có: A = 0, B = -12, C = -6 và ∆ = B2 – AC =144 > 0, do ñó M3 (1;1) không là cực trị của hàm số. Xét tại M4 (3;1) ta có: A = 0, B = 12, C=-18 và ∆ = B2 – AC =144 > 0, do ñó M4 (3;1) không là cực trị của hàm số. Ta có ñồ thị hàm số: (hình 16) (H.16) ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 45 Bµi to¸n 2. Tìm cực trị của hàm số: f = xy.ln(x2+ y2). Giải: Miền xác ñịnh của hàm số là: 2( ; ) \ (0;0)x y∀ ∈ℝ . Tìm các ñiểm dừng qua việc giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 n 0 0 12 n 0 00 2 n 020 n 0 2 n 0 2 n 0 y yl x y y x y xxf y l x y x x yx xf l x yy x yx l x yy x y xl x y x y yl x y x y   =  + + = =  + = ±  ∂ + + = ==    +∂     ⇔ ⇔ ⇔  ∂ + + =    = ++ + =   ∂  +    + + = +   + + =  + 0 1 1 2 1 2 x y x e y e        =  = ±  = ±   = ±  Vậy ta ñược các ñiểm tới hạn sau: ( ) ( )1 2 3(1;0), 1;0 , 0;1 ,M M M− ( )4 0; 1 ,M − 5 1 1 ; , 2 2 M e e   =     6 7 8 1 1 1 1 1 1 ; , ; , ; . 2 2 2 2 2 2 M M M e e e e e e       − − − −            Các ñạo hàm riêng cấp hai: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3 22 2 2 2 2 6 4 4 ; ln x 2 ; x x x 6 4 x x f xy x y f x yA B y x y x yy y f xy xyC y y y ∂ ∂ = = − = = + + − ∂ + ∂ ∂+ + ∂ = = − ∂ + + Xét tại M1 (1;0), M2 (-1;0), M3 (0;1), M4 (0;-1), tại các ñiểm này ñều có: A = 0, B = 2, C = 0 và ∆ = B2 – AC = 4 > 0, do ñó M1 (1;0), M2 (-1;0), M3 (0;1), M4 (0;-1) ñều không là cực trị của hàm số. Xét tại 5 8 1 1 1 1 ; , ; 2 2 2 2 M M e e e e     − −        , tại các ñiểm này ñều có A = C = 2, B = 0 v à ∆ = B2 – AC = -4 0, do ñó: 5 1 1 ; , 2 2 M e e       8 1 1 ; 2 2 M e e   − −    ñều là ñiểm cực tiểu của hàm số và: fmin = f (M5) = f (M8) = 12e− . ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 46 Xét tại 6 7 1 1 1 1 ; , ; 2 2 2 2 M M e e e e     − −        , tại hai ñiểm này ñều có: A = C = -2, B = 0 v à ∆ = B2 – AC = -4 < 0, mặt khác A = -2 < 0, do ñó: 6 1 1 ; , 2 2 M e e   −    7 1 1 ; 2 2 M e e   −    ñều là ñiểm cực tiểu của hàm số và: fmin = f (M5) = f (M8) = 12e . Đồ thị hàm số: (hình 17) (H.17) Bµi to¸n 3. Tìm cực trị của hàm số: ( ) ( )2 2 33 3 62 2 33 3 2 . x y xz x y x e− + −= + − Giải: Ở bµi to¸n này ta sẽ sử dụng quy tắc 5: Miền xác ñịnh của hàm số này là toàn mặt phẳng 2ℝ . Bước 1: Tìm các ñiểm tới hạn: Coi t = 2 2 33 3 2x y x+ − ; f(t) = t.e-t.Giải hệ: { { ( ){' ' ' ' ' ' ' '. 0; . 0 0; 0 . 1 0( ) ( ) ( ) tz f t z f t t t f e tx x y y x yt t t −= = = = ⇔ = = ∨ = − = {{ {{{2 2 2 36 6 0;6 0 1 0; 0 1; 0 3 3 2 1x x y t x y x y x y x⇔ − = = ∨ = ⇔ = = ∨ = = ∨ + − = Các ñiểm tới hạn là: (0;0) và các ñiểm M0(x0;y0) thoả mãn phương trình: 2 2 33 3 2x y x+ − = 1. Bước 2: kiểm tra: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 22 2 2 '' '' ' 2 ' '' .( ) . 2 6 6 1 6 12 ;( ) ( ) '' '' ' ' ' '' . . . 2 6 6 6 ;( ) ( ) '' '' ' 2 ' '' .( ) . 2 6 1 6;( ) ( ) t t t t t z f t f t e t x x e t xxx x xxt t z f t t f t e t x x yxy x y xyt t z f t f t e t y e tyy y yyt t − − − − − = + = − + − + − − = + = − + − = + = − + + − Tại (0;0), do x =0, y =0, t =0 suy ra A = 6, B = 0, C = 6 và B2–AC =-36 <0, mặt khác A > 0, do ñó hàm z ñạt cực tiểu tại P(0;0), ñồng thời zmin = 0. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 47 Tại các ñiểm M0(x0;y0) thoả mãn phương trình 2 2 33 3 2x y x+ − = 1. Xét ( ) ( )' 0 1 0 0tf t e t t−= ⇔ − = ⇔ = . ( ) ( ) ( ) 1'' 2 '' 1 0tf t e t f e− −= − + ⇒ = − < . Suy ra hàm f(t) ñạt cực ñại tại t = 1.Do ñó hàm z = f (3x2 + 3y2 – 2x3) ñạt cực ñại tại các ñiểm M0(x0,y0) thoả mãn phương trình: 2 2 33 3 2x y x+ − = 1. Đồ thị hàm số: (hình 18) (H.18) Ở cuối ví dụ này chúng ta ñã sử dụng một mệnh ñề sau: Mệnh ñề: Nếu hàm số f(t) ñạt cực ñại (cực tiểu) tại ñiểm t = t0 thì hàm hai biến ( )( ),f x yϕ ñạt cực ñại (cực tiểu) tại các ñiểm M0 thuộc ñường: ( ) 0: ,L x y tϕ = . Chứng minh: Giả sử cụ thể f(t) ñạt cực ñại tại t= t0. Khi ñó f(t0) ≥ f(t) khi xét tại các ñiểm t gần t0.(1) Lấy ñiểm M0 thuộc ñường ( ) 0: ,L x y tϕ = . Mọi M gần M0 ta có: ( ) ( ),M x y tϕ ϕ= = nào ñó ở gần t0. Do (1) Ta có: ( )( ) ( ) ( ) ( )( )0 0f M f t f t f Mϕ ϕ= ≥ = Tóm lại: ( )( ) ( )( )0 ,f M f M Mϕ ϕ≥ ∀ gần M0. Suy ra: ( )( ),f x yϕ ñạt cực ñại tại ñiểm M0. Tương tự với trường hợp ñạt cực tiểu. Bài toán 4. Tìm cực trị của hàm số sau: ( ) ( ) ( )2 2 2 2, 2 3x yf x y e x y− += + . Giải: Miền xác ñịnh của hàm số là toàn mặt phẳng 2ℝ . Hàm số ( ) ( ) ( )2 2 2 2, 2 3 .x y uf x y e x y e v− + −= + = , với 2 2u x y= + , 2 22 3v x y= + . ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 48 Ta có: ( ) ( )2 .4 2 2u u uf e x v e x xe v x − − − ∂ = − + = − ∂ ; ( ) ( )2 .6 2 3u u uf e y v e y ye v y − − − ∂ = − + = − ∂ . Tìm các ñiểm dừng qua việc giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 0 2 2 0 0 0 002 3 00 3 2 3 3 u u v x yf xe v x xx f yyye v y v x y − −  = + =∂ =   − = = =∂    ⇔ ⇔ ⇔   ∂ ==− =    =  ∂   = + =  . Giải hệ trên ta dược 4 ñiểm dừng: M1 (0;0), M2 (0;1), M3 (0;-1), M5 (-1;0). Các ñạo hàm riêng cấp hai: ( ) 2 2 2 2 2 4 2 ; ufA e x v v x − ∂  = = − − + − ∂ ( ) ( ) 2 2 2 24 5 ; 2 2 6 3 u uf fB xye v C e y v v x y y − − ∂ ∂  = = − = = − − + − ∂ ∂ ∂ . Xét tại ñiểm M1 (0;0) ta có: A = 4, B = 0, C = 6 và ∆ = B2 – AC = -24 < 0, mặt khác A = 4 > 0. Do ñó M1(0;0) là ñiểm cực tiểu của hàm số, ñồng thời f(M1) = 1. Xét tại ñiểm M2 (0; 1), M3 (0; -1), tại hai ñiểm này ñều có: A = -2 e-1, B = 0, C = -6 e-1 và ∆ = B2 – AC = -12 e-1 < 0, mặt khác A < 0, do ñó M2 (0;1), M3 (0;1) ñều là ñiểm cực ñại của hàm số, ñồng thời fmax = f (M2) = f (M3) = 3 e-1. Xét tại ñiểm M4 (1;0), M5 (-1;0), tại hai ñiểm này ñều có: A = -8e-1, B = 0, C = 2e-1 vµ ∆ = B2 – AC = 16e-1 > 0, do ñó M4 (1;0), M5 (-1;0) ®Òu không là cực trị của hàm số. Đồ thị hàm số: (hình 19) (H.19) ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 49 Bài toán 5. Tìm cực trị của hàm số sau: ( ) 2 2 2 2 1 , 1 x yf x y x y + + = + + Giải: Miền xác ñịnh của hàm số là toàn mặt phẳng 2ℝ . Tìm các ñiểm dừng qua việc giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( )( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 22. 0 0 1 1 20 2. 0 1 1 2 0 2 2 0 1 2 0 1 2 0 2 2 1 0 2 2 1 0 1 2 0 x y xy xf x yx f x y xy y y x y x y xy x x y x y x y xy y x y xy y x y x y x y x y x y xy y  − + + − − =∂  = + +∂  ⇔ ∂ − + − − = =∂  + +  − + + − − = − + − =  ⇔ ⇔  − + − − = − + − − =   =  − + + = + + =⇔ ⇔ − + − − = ( )*2 2 1 2 0x y xy y     − + − − = Với x = y thì phương trình (*) trở thành: 2x2 + x -1 = 0 1 1 2 x y x y = = − ⇒  = = 1 1 2 x x = − ⇔  = Với 2x + 2y + 1 = 0 1 2 x y⇔ = − − ,thay vào (*) ta ñược: 28 2 5 0y y+ + = vô nghiệm. Vậy ta ñược hai ñiểm dừng: M0(-1;-1), M2(1/2;1/2). Các ñạo hàm riêng cấp hai: ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 52 2 2 2 1 2 2 1 3 1 2 2. ; 1 x y x y x x y xy xfA x x y + + + + + − + + − −∂ = = − ∂ + + ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 22 5 2 2 2 2 2 2 22 52 2 2 2 2 2 1 3 1 2 2. ; 1 1 2 2 1 3 1 2 2. . 1 x y x y y x y xy xfB x y x y x y x y y x y xy yfC y x y − + + + − + + − −∂ = = − ∂ ∂ + + + + + + + − + − −∂ = = − ∂ + + Xét tại ñiểm M0 (-1;-1) ta có: 2 2, 0, , 3 3 A B C= = = và 2 4 0 3 B AC∆ = − = − < , ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 50 mặt khác 2 0 3 A = > .Do ñó: M0 (-1;-1) là ñiểm cực tiểu của hàm số và fmin=- 3 . Xét tại ñiểm 1 1 1 ; 2 2 M      , ta có: 32 32, 0, 3 3 A B C= − = = − và 2 32 0 3 B AC∆ = − = − < , mặt khác 32 0 3 A = − < , do ñó 1 1 1 ; 2 2 M      là ñiểm cực ñại của hàm số, ñồng thời x 6maf = . Đồ thị hàm số: (hình 20) (H.20) Bài toán 6. Tìm cực trị của hàm số: a) ( ) 2 2, 1f x y x y= − + b) ( ) ( ) ( )2 2, 1 1f x y x y= − + − Giải: a) ( ) 2 2, 1f x y x y= − + . Miền xác ñịnh của hàm số là toàn mặt phẳng 2ℝ . Dễ dàng chứng tỏ rằng hàm số ñã cho không có ñiểm dừng. Nhưng tại ñiểm M(0;0) các ñạo hàm riêng cấp một không tồn tại vì các tỉ số: ( ) ( ) ( ) ( ),0 0,0 0, 0,0 ; x yf x f f y f x x y y ∆ ∆∆ − ∆ − = = ∆ ∆ ∆ ∆ không có giới hạn. Vì vậy ñiểm M(0;0) có thể là ñiểm cực trị. Bởi vì số gia ( ) ( ) 2 2, 0;0 0f x y f x y− = − + < nên tại ñiểm này hàm số có cực ñại và fmax = 1. Ta có ñồ thị hàm số: (hình 21) (H.21) ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 51 b) ( ) ( ) ( )2 2, 1 1f x y x y= − + − . Miền xác ñịnh của hàm số là toàn mặt phẳng 2ℝ . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 ; 1 1 1 1 f x f y x yx y x y ∂ − ∂ − = = ∂ ∂ − + − − + − Các ñạo hàm riêng không tồn tại ở ñiểm M1 (1;1), do ñó M1 (1;1) là ñiểm tới hạn. Để xác ñịnh xem hàm có cực trị tại ñiểm M1(1;1) hay không ta khảo sát dấu của f∆ tại lân cận nào ñó của ñiểm M1 (1;1). Ta có: ( ) ( ) 2 21 ,1 1,1f f x y f x y∆ = + ∆ + ∆ − = ∆ + ∆ Hiển nhiên f∆ > 0 tại lân cận bất kì của ñiểm M1 (1;1). Do ñó hàm có cực tiểu ñịa phương tại ñiểm M1 (1;1) và fmin = 0. Đồ thị hàm số: (hình 22) (H.22) Chú ý:
) Nếu tại ñiểm M0 ta có: 2 2 2 2 2 f f f f f x y x x y y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ thì ta phải khai triển hàm số f (x) theo công thức Taylor ñến các số hạng cấp ba.Ta không xét trường hợp ñó trong ñề tài này.
) Trong trường hợp hàm số n biến số, ta phải xét dấu các số hạng cấp hai trong khai triển Taylor, tức là phần xét dấu một dạng toàn phương n biến số. Đề tài này cũng không xét trường hợp ñó. 3.2. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền ñóng bị chặn 3.2.1. Định nghĩa
) ( )0 0 0,M x y là ñiểm cực tiểu toàn cục (giá trị nhỏ nhất) của f trên D nếu ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 52 ( )0 0 0,M x y là ñiểm thấp nhất của f trên D, nghĩa là : ( ) ( ) ( )0 0, , , ,f x y f x y M x y D≥ ∀ ∈ .
) ( )0 0 0,M x y là ñiểm cực ñại toàn cục (giá trị lớn nhất) của f trên D nếu ( )0 0 0,M x y là ñiểm cao nhất của f trên D, nghĩa là : ( ) ( ) ( )0 0, , , ,f x y f x y M x y D≤ ∀ ∈ . Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất ta tìm tất cả các ñiểm dừng của chúng trong miền D, tính giá trị của hàm f tại những ñiểm này và so sánh giá trị của chúng với giá trị của hàm trên biên của D. 3.2.2. Bài tập Bài toán 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: ( ) ( )22 2 2 2, 8 3 1 2 1f x y x y x y= + + − + + trong miền tròn ñóng D xác ñịnh bởi x2 + y2 ≤ 1. Giải. Ta có hàm số liên tục với mọi x, y nên nó ñạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên miền D. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 16 2 2 1 4 0 8 1 2 0 6 2 2 1 4 0 2 1 4 2 00 f x x y x x x yx f y x y y y x y y ∂ =   − + + = − − =∂   ⇔ ⇔  ∂ − + + = − − =  =  ∂ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 53 2 2 2 2 2 2 0, 0 00,1 2 0 10,1 2 0 0, 2 1 2 0 1(*) , 01 4 2 0 2 x y x yx y y x x y x y x yx y = =  = = = − =   = − =⇔ ⇔ = = ±  − − =  = ± = − − =   Vậy ta có năm ñiểm tới hạn là: ( )0 1 10;0 , 0; ,2M M       2 10; , 2 M  −    3 1 ;0 , 2 M      4 1 ;0 2 M  −    cả năm ñiểm này ñều nằm trong miền D. Tính giá trị của f(x,y) tại các ñiểm ấy, ñược: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10, , 10 1 2 3 44f M f M f M f M f M= = = = = . Bây giờ ta xét giá trị của f(x,y) trên miền D. Trên biên ấy x2 + y2 = 1, vậy y2 = 1- x2, do ñó: ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2, 8 3 1 1 2 1 1 1f x y x x x x x x= + − + − + − + = − Ta phải tìm giá trị của hàm số ấy với -1 ≤ x ≤ 1. Rõ ràng hàm số ấy bằng 0 khi x = ± 1 và ñạt giá trị lớn nhất khi : 2 2 2 11 2 1 ; 2 x x x x= − ⇒ = ⇒ = ± giá trị lớn nhất ấy bằng 1 4 . So sánh tất cả các giá trị ñã tính, ta thấy rằng hàm số f(x,y) ñã cho ñạt giá trị nhỏ nhất m = 0 tai M0 (0;0) và ñạt giá trị lớn nhất M = 1 tại các ñiểm M3, M4. Đồ thị hàm số: (hình 23) (H.23) Bài toán 2. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số: a) ( ) 2 2,f x y x y xy x y= + − + + trong miền ( ){ }, : 0; 0; 3D x y x y x y= ≤ ≤ + ≥ − . b) ( )sin .sin .sin xz x y y= + trong hình vuông 0 ;0 .x ypi pi≤ ≤ ≤ ≤ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 54 Giải: a) Miền D ñã cho là tam giác OAB với O(0;0), A(-3,0), B(0,-3). Tìm ñiểm dừng qua việc giải hệ phương trình: 0 2 1 0 1 2 1 0 10 f x y xx f y x y y ∂ = − + = = − ∂ ⇔ ⇔  ∂ − + = = −  = ∂ Vậy ta có ñiểm dừng M(-1;-1). Tại ñiểm M(-1;-1) ta có: f(M) = 1, A = 2, B = -1, C = 2 và 2 3 0B AC∆ = − = − < . Do ñó tại ñiểm M(-1;-1) hàm có cực tiểu ñịa phương và fmin = -1. Khảo sát hàm trên biên của miền D. Khi x = 0 ta có 2f y y= + . Đối với hàm một biến 2f y y= + , 3 ≤ y ≤ 0 ta có: fmax = 6 tại ñiểm (0;-3), fmin = 14− tại ñiểm 10; 2   −    . Khi y = 0 ta có 2f x x= + . Đối với hàm một biến 2f x x= + , 3 ≤ x ≤ 0 ta có: fmax = 6 tại ñiểm (-3;0), fmin = 14− tại ñiểm 1 ;0 2   −    . Khi 3x y− = − 3y x⇒ = − − ta c ó: 23 9 6f x x= + + và tương tự ta có : x 6 ma f = tại ñiểm (-3;0) v à (0;-3), min 3 4 f = − tại ñiểm 3 3; 2 2   − −    . So sánh các giá trị ta thu ñược ñối với f ta có kết luận: x 6 ma f = tại ñiểm (-3;0) và (0;-3), min 1f = − tại ñiểm M(-1;-1). Đồ thị hàm số: (hình 24) (H.24) b) ( )sin .sin .sin xz x y y= + . Tìm ñiểm dừng qua việc giải hệ phương trình: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 55 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 sin . sx.sin x sinx. s x 0 sin .sin 2 0 sin x.sin 2 0sin x. sy.sin x sin . s x 00 f y co y co y y x yx f y xco y y co y y ∂ =  + + + =  + =∂   ⇔ ⇔  ∂ + =+ + + =   = ∂ Từ hệ phương trình trên kết hợp với ñiều kiện trong hình vuông 0 ;0x ypi pi≤ ≤ ≤ ≤ ta có các ñiểm dừng 1 2 2 2 ; , ; 3 3 3 3 M Mpi pi pi pi           . Giá trị của hàm số trên biên của hình vuông ñều bằng 0. Còn ( )1 3 3 ,8z M = ( )2 3 3 .8z M = − Vậy trong hình vuông nói trên hàmcó giá trị lớn nhất là 3 3 8 ñạt ñược tại 1 ;3 3 M pi pi     , có giá trị nhỏ nhất là 3 3 8 − ñạt ñược tại 2 2 2 ; 3 3 M pi pi     . Đồ thị hàm số: (hình 25) (H.25) Bài toán 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: ( ) ( )2 2 2 22 3x yz e x y− += + trong miền D xác ñịnh bởi 2 2 1x y+ ≤ . Giải: Hàm ( ) ( )2 2 2 22 3x yz e x y− += + liên tục ( ) 2,x y∀ ∈ℝ . Tìm ñiểm dừng qua việc giải hệ phương trình: 0 0 f x f y ∂ =∂ ∂ = ∂ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 .2 2 2 3 0 .2 2 2 3 0 x y x y e x x y e y x y − + − +  − − = ⇔   − − = . ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 56 Giải hệ phương trình trên ta ñược các nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0;0 , 0;1 , 0; 1 , 1;0 , 1;0− − . Các ñiểm ( ) ( ) ( ) ( )0;1 , 0; 1 , 1;0 , 1;0− − nằm trên biên của miền D. Do ñó chỉ cần so sánh giá trị của z ở trên biên của miền D. Ta có: z (0;0) = 0 và biên của miền D có phương trình 2 2 1x y+ = . Trên biên ấy ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 22 3 2 , 1 1.x yz e x y e y y− + −= + = + − ≤ ≤ Với ( )1 21 1, 2y z e y−− ≤ ≤ = + ñạt giá trị nhỏ nhất bằng 12e− tại y = 0, ñạt giá trị lớn nhất bằng 13e− tại y = 1, y = -1. Vậy trong miền D hàm số z ñạt giá trị bé nhất bằng 0 tại ñiểm (0;0), ñạt giá trị lớn nhất bằng 13e− tại các ñiểm ( ) ( )0;1 , 0; 1− . Ta có ñồ thị hàm số: (hình 26) (H.26) 3.3.Cực trị có ñiều kiện Trong trường hợp ñơn giản nhất, cực trị có ñiều kiện của hàm f(x,y) là cực ñại hoặc cực tiểu của hàm ñó ñạt ñược với ñiều kiện các biến x và y thoả mãn phương trình ( ), 0x yϕ = (phương trình ràng buộc). Để tìm cực trị có ñiều kiện với ñiều kiện ràng buộc ( ), 0x yϕ = ta lập hàm Lagrange: ( ) ( ) ( ), , , ,F x y f x y x yλϕ= + trong ñó λ là hằng số nhân chưa ñược xác ñịnh và ñi tìm cực trị thông thường của hàm bổ trợ này. Đây là phương pháp thừa số bất ñịnh Lagrange.Tìm ñiều kiện cần ñể tồn tại cực trị có ñiều kiện chung quy là giải hệ phương trình : ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 57 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 0 , , 0 , 0 F f f x y x y x x x F f f x y x y y y y x y λ λ ϕ ∂ ∂ ∂ = + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = ∂ ∂ ∂  =  (1) Từ hệ này ta có thể xác ñịnh x, y, λ . Vấn ñề tồn tại và ñặc tính của cực trị ñịa phương ñược minh ñịnh trên cơ sở xét dấu của vi phân cấp hai của hàm bổ trợ: 2 2 2 2 2 2 2 22 F F Fd F dx dxdy dy x x y y ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ (ñược tính ñối với các giá trị x, y, λ thu ñược khi giải hệ (1) với ñiều kiện là: ( )2 20 0dx dy dx dy x y ϕ ϕ∂ ∂ + = + ≠ ∂ ∂ ). Cụ thể là: Nếu d2F < 0 thì hàm ( ),f x y có cực ñại có ñiều kiện . Nếu d2F > 0 thì hàm ( ),f x y có cực tiểu có ñiều kiện. Nếu d2F = 0 thì hàm ( ),f x y cần phải khảo sát thêm. Nhận xét: Tương tự như hàm hai biến, ta có thể tìm cực trị có ñiều kiện của hàm ba biến hoặc nhiều hơn với một hoặc nhiều phương trình ràng buộc (số phương trình ràng buộc phải ít hơn số biến). Khi ñó cần lập hàm bổ trợ với thừa số chưa xác ñịnh bằng số phương trình ràng buộc. Ngoài phương pháp thừa số bất ñịnh Lagrange người ta còn dùng phương pháp khử biến số ñể tìm cực trị có ñiều kiện (Ta không sử dụng phương pháp ñó trong ñề tài này). Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số: 2 21z x y= − − với ñiều kiện 1 0x y+ − = . Giải: Từ ñiều kiện trên rút ra 1y x= − . Thế vào biểu thức của z ta nhận ñược: ( )22 21 1 2. .z x x x x= − − − = − Đó là một hàm một biến xác ñịnh khi 2 0x x− ≥ tức là khi 0 ≤ x ≤ 1. Ta có: 2 2 1 2 1 . ; 0 . 2 2 dz x dz x dx dxx x − = = ⇔ = − ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 58 Bảng biến thiên: (hình 27) (H.27) Vậy z ñạt cực ñại có ñiều kiện tại 1 1 1 ; 2 2 M      và x 2 . 2ma z = (H.27) Bài toán 2. Tìm cực trị của hàm số: ( ), 6 4 3f x y x y= − − với ñiều kiện x và y liên hệ với nhau bởi phương trình 2 2 1x y+ = . Giải: Theo phương pháp nhân tử Lagarange, ñể tìm cực trị của hàm số ( ), 6 4 3f x y x y= − − với ñiều kiện 2 2 1x y+ = ta chỉ việc tìm cực trị của hàm số: ( ) ( )2 2, , 6 4 3 1F x y x y x yλ λ= − − + + − (Hàm Lagarnge). Giải hệ phương trình: 2 2 4 2 0 3 2 0 1 x y x y λ λ − + =  − + =  + = . Ta ñược : 1 1 1 2 2 2 5 4 3 5 4 3 , , ; , , 2 5 5 2 5 5 x y x yλ λ= = = = − = − = − . x 0 1 2 1 dz dx + 0 - z 2 2 0 0 z x O y ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 59 Vì 2 2 2 2 22 , 0, 2 F F F x x y y λ λ∂ ∂ ∂= = = ∂ ∂ ∂ ∂ nên ( )2 2 22 .F dx dyλ∂ = + Với 1 1 1 5 4 3 , , 2 5 5 x yλ = = = thì d2F > 0 nên tại ñiểm 4 3; 5 5       hàm có cực tiểu có ñiều kiện. Với 2 2 2 5 4 3 , , 2 5 5 x yλ = − = − = − thì d2F < 0 nên tại ñiểm 4 3; 5 5   − −    hàm có cực ñại có ñiều kiện. Như vậy x min 16 9 16 96 11, 6 1 5 5 5 5ma f f= + + = = − − = . Đồ thị hàm số: (hình 28) (H.28) Bài toán 3. Tìm cực trị của hàm số: 1 1z x y = + với ñiều kiện 2 2 2 1 1 1 x y a + = . Giải: Theo phương pháp nhân tử Lagarnge, ñể tìm cực trị của hàm số: ( ) 1 1,z x y x y = + với ñiều kiện : ( ) 2 2 21 1 1, 0g x y x y a= + − = , ta chỉ việc tìm cực trị của hàm số: ( ) ( ) ( ) 2 2 21 1 1 1 1, , , ,F x y z x y g x y x y x y a λ λ λ  = + = + + + −    . Trong ñó λ là nhân tử Lagarnge. Ta có: ( ) ( )2 3 2 31 2 1 2, , ; , , .F Fx y x yx x x y y y λ λλ λ∂ ∂= − − = − − ∂ ∂ Cho F F; x y ∂ ∂ ∂ ∂ ñồng thời triệt tiêu, ta ñược 2x y λ= = − . Thế các giá trị ấy vào ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 60 ñiều kiện g(x,y) = 0, ta ñược: 2 2 1 1 2 2 a a λλ = ⇔ = ± . Vậy ta ñược hai ñiểm tới hạn: ( ) ( )1 22 ; 2 , 2 ; 2M a a M a a− − . Để xét xem M1 có là ñiểm cực trị không,ta xét dấu của số gia của F tại M1. Ta có: ( ) ( )2 ; 2 ; 2 ; 2 ;F a h a k F a aλ λ∆ = − + − + − − − . Tại ñiểm 1 , 0. F FM x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ Do ñó theo công thức Taylor, khi các số gia h, k rất bé, dấu của ∆ ñược xác ñịnh bởi dấu của: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 12 2, 2 , , F F FM h M hk M k x x y y λ λ λ∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂ ∂ . Nhưng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 2 3 4 2 6 2 6 , , , , , 0, , ,F F Fx y x y x y x x x x y y y y λ λλ λ λ∂ ∂ ∂= + = = + ∂ ∂ ∂ ∂ . Tại M1, ta có: ,2 2 x yλ = − = − do ñó : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 12 3 2 3 1 1 , , , 0, ,F F FM M M x a x y y a λ λ λ∂ ∂ ∂= − = = − ∂ ∂ ∂ ∂ . Vậy số gia ∆ cùng dấu với biểu thức ( )2 231 ,h ka− + tức là ∆ < 0 với h, k khá bé. Do ñó M1 là ñiểm cực ñại, ( )x 1 2 .maz z M a = = Tương tự như vậy , ta có: M2 là ñiểm cực tiểu, ( )min 2 2 .z z M a − = = 3.4. Cực trị hàm số phụ thuộc tham số Khi gặp các bài toán cực trị hàm số trong ñó hàm số có chứa tham số thì ta sử dụng quy tắc 1, kết hợp với việc biện luận các trường hợp xảy ra của tham số ñể tìm lời giải cho bài toán. Trong trường hợp 0∆ = (tức là quy tắc 1 chưa cho ta kết luận gì về sự tồn tại cực trị tại các ñiểm tới hạn) thì ta phải sử dụng ñịnh nghĩa ñể tìm cực trị của hàm số ñó. Cụ thể, ta ñi xét các bài toán sau: Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số: ( ) 2 2, , 0.f x y x yλ λ= + ≠ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 61 Giải: Miền xác ñịnh của hàm số là toàn mặt phẳng 2ℝ . Tìm các ñiểm dừng qua việc giải hệ phương trình: 0 2 0 0 2 0 00 f x xx f y y y λ ∂ = = = ∂ ⇔ ⇔  ∂ = =  = ∂ . Vậy M(0,0) là ñiểm dừng duy nhất của hàm số f. Các ñạo hàm cấp hai: 2 2 2 2 22; 0; 2 f f fA B C x x y y λ∂ ∂ ∂= = = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ . Xét tại ñiểm M(0,0) ta có: 2 4B AC λ∆ = − = − và có A = 2 > 0, do ñó: +) Nếu 0λ > thì 4 0λ∆ = − < , khi ñó hàm số f ñạt cực tiểu tại ñiểm M(0,0), ñồng thời min 0f = . +) Nếu 0λ , khi ñó hàm số f không có cực trị tại ñiểm M(0,0). Bài toán 2. Tìm cực trị của hàm số: ( ) 2 2, , 0.f x y x yλ λ= ≠ Giải: Miền xác ñịnh của hàm số là toàn mặt phẳng 2ℝ . Tìm các ñiểm dừng qua việc giải hệ phương trình: 2 2 0 2 0 0 02 00 f xy xx f yx y y λ λ ∂ =  = =∂  ⇔ ⇔  ∂ ==  = ∂ . Vậy các ñiểm ( )0, y và ( ),0x , ,x y ∈ℝ là các ñiểm dừng của hàm số f. Các ñạo hàm cấp hai: 2 2 2 2 2 2 22 ; 4 ; 2 f f fA y B xy C x x x y y λ λ λ∂ ∂ ∂= = = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ . Xét tại ñiểm ( )0, y và ( ),0x , ,x y ∈ℝ ta ñều có: 2 0B AC∆ = − = nên chưa thể nói gì về sự tồn tại cực trị của hàm số tại ñiểm ( )0, y và ( ),0x . Tuy nhiên vì ( ) 2 2, , 0f x y x yλ λ= ≠ nên: +) Nếu 0λ > thì ( ) ( ) ( ) 20, 0 ,0 , ,f x y f x x y≥ = ∀ ∈ℝ và ( ) ( )0, 0, ,f x y f y≥ ( ) 2,x y∀ ∈ℝ là những số thực cho trước bất kì. Vậy hàm số f ñạt cực tiểu tại các ñiểm ( )0 ,0x và ( )0 0 00, , ,y x y R∀ ∈ , ñồng thời min 0f = . ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 62 +) Nếu 0λ < thì ( ) ( ) ( ) 20, 0 ,0 , ,f x y f x x y≤ = ∀ ∈ℝ và ( ) ( )0, 0, ,f x y f y≤ ( ) 2 0 0, ; ,x y x y∀ ∈ℝ là những số thực cho trước bất kì. Vậy hàm số f ñạt cực ñại tại các ñiểm ( )0 ,0x và ( )0 0 00, , ,y x y∀ ∈ℝ , ñồng thời max 0f = . Bài toán 3. Cho 1 11, 1, 1.p q p q > > + = Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : ( ) 1 1, p qf x y x y p q = + , trên tập hợp: ( ){ }2, : 1, 0, 0D x y xy x y= ∈ = > >ℝ . Giải: Với ( ) 1, , , 0x y D y x x ∀ ∈ = > . Do ñó: ( ) 1lim 0; lim , lim , . x x x y f x y f x x→+∞ →+∞ →+∞   = = = +∞    Vì vậy hàm số f không ñạt giá trị lớn nhất trên D. Dễ dàng chứng minh ñược rằng f ñạt giá trị nhỏ nhất trên D. ta tìm cực trị của hàm số f với ràng buộc: ( ) (1), 1 0, 0, 0g x y xy x y= − = > > Vì ( ) ( ), , 0,0 , 0, 0g g y x x y x y  ∂ ∂ = ≠ ∀ > > ∂ ∂  nên ñể cực tiểu có ñiều kiện của hàm số f với ràng buộc (1) thỏa mãn hệ phương trình: ( ) 1 1 1 , 0 0, 0 0, 0 p q f g x yx x f g y x y y xy g x y x y x y λ λ λλ − − ∂ ∂ =  =∂ ∂  ∂ ∂ = = ⇔ ∂ ∂ =  =  > > > > . Từ hai phương trình ñầu của hệ suy ra: p qx y= . Kết hợp với phương trình cuối của hệ, ta ñược 1, 1.x y= = Vậy: ( ) ( ) ( ), 1 1 , 1,1 1 x y D Min f x y f p q∈ = = + = . Bài toán 4. Tìm cực trị của hàm số: ( ) 2 2 , 1 ax by cf x y x y + + = + + , ( )2 2 2 0a b c+ + ≠ . Giải: Miền xác ñịnh của hàm số là toàn mặt phẳng 2ℝ . Tìm ñiểm dừng qua việc giải hệ phương trình: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 63 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 ax 0 0 1 1 ax0 0 1 a x y x by c f x yx f b x y y by c y x y  + + − + + =∂ =  + +∂  ⇔ ∂ + + − + + = =∂  + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ax 0 1 ax 0 1 ax 0 1 a ax 0 a x y x by c ab x y bx by c b x y y by c ab x y y by c  + + − + + = − + + + + + =  ⇔ ⇔  + + − + + = + + − + + =   ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 *2 2 0 0 1 ax 0 1 ax 0 bx ay bx ay ax by c ax by c a x y x by c a x y x by c  = − + + =  + + =⇔ ⇔   + + − + + =  + + − + + = Với x xba by y a = ⇔ = thay vào (1) ñược: , , 0a bx y c c c = = ≠ (nếu c = 0 thì 2 2 2 0a b c+ + ≠ hàm không có ñiểm dừng). Với x+ 0a by c+ = ( )0ax cy b b + ⇔ = − ≠ thay vào (*) ta ñược: ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 0 2 0 0 2 0 aa a b x acx b c a a b x acx b cb =  + + + + = ⇔ ⇔ =  + + + + = (Vì phương trình:( )2 2 2 2 22 0a b x acx b c+ + + + = vô nghiệm). Với a = 0 thì khi 2 2 2 0a b c+ + ≠ hàm số không có ñiểm dừng. Với b = 0 thì khi 2 2 2 0a b c+ + ≠ hàm số không có ñiểm dừng. Vậy hàm số có ñiểm dừng duy nhất là: 0 ; a bM c c       . Các ñạo hàm cấp hai: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 3 52 2 2 2 22 2 3 1 ; 1 1 x a x y x ax by cf by cA x x y x y  + + − + +∂ +   = = − − ∂ + + + + ( ) ( ) ( ) 2 3 5 2 2 2 22 2 3 ; 1 1 xy ax by cf ay bxB x y x y x y + +∂ + = = − − ∂ ∂ + + + + ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 64 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 3 52 2 2 2 22 2 3 1ax ; 1 1 y b x y y ax by cf cC y x y x y  + + − + +∂ +   = = − − ∂ + + + + Xét tại ñiểm 0 ; a bM c c       t a có: 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 ; ; 1 1 1 b c ab a cA B C a b a b a b c c c c c c c c c + + = − = − = −       + + + + + +            ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 6 2 3 22 2 2 2 2 2 2 2 0 1 a b b c a c cB AC a b a b c c c c − + + ⇒ ∆ = − = = − <   + + + +    . Mặt khác: A < 0, do ñó 0 ; a bM c c       là ñiểm cực ñại của hàm số, ñồng thời: 2 2 2 xmaf a b c= + + . 3.5. Hàm số ẩn Mở ñầu: Ví dụ 1. Ta biết phương trình tổng quát của ñường thẳng là: 0Ax By C+ + = ( )1 , ( )2 2 0A B+ ≠ . Nếu 0,B ≠ giải (1) theo y ta ñược: A Cy x ax bB B= − − = + ( )2 . Rõ ràng thay (2) vào (1) ta thấy (1) ñược thoả mãn ( tức là trở thành ñồng nhất thức). Ta nói hàm số y xác ñịnh bởi phương trình (1) là một hàm số ẩn. Ví dụ 2. Vòng tròn tâm O có bán kính r có phương trình: 2 2 2.x y r+ = ( )3 Giải theo y ta ñược: 2 2y r x= − hoặc 2 2y r x= − − ( )4 (ñồ thị hàm số thứ nhất là nửa trên của vòng tròn, ñồ thị hàm số thứ hai là nửa dưới của vòng tròn). Thay phương trình (4) vào (3), dĩ nhiên (3) ñược thoả mãn. Các hàm số ñược xác ñịnh bởi (3) ñều gọi là hàm số ẩn. Như vậy ta có khái niệm về hàm số ẩn và nhận thấy: • Một phương trình ( ), 0F x y = có thể cho một hoặc nhiều hàm ẩn, thậm chí chỉ biểu diễn một ñiểm, ví dụ: 2 2 0.x y+ = ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 65 • Không phải hàm ẩn nào cũng có thể biểu diễn ñược dưới dạng hiện ( )y y x= . Ví dụ, có những phương trình rất khó giải ra y như: ( )2 2sin 0.y xx y x y+ + + = Bài toán của lý thuyết hàm ẩn ñặt ra là: Khi nào phương trình ( ), 0F x y = xác ñịnh một và chỉ một hàm ẩn và nghiên cứu tính chất của các hàm ẩn ñó (không cần phải giải ra dạng hiện). Dưới ñây ta sẽ phát biểu ñịnh nghĩa, ñịnh lý của hàm số ẩn và minh họa chúng mà không chứng minh. 3.5.1. Định nghĩa Cho phương trình ( ), 0F x y = ( )1 . Ở ñây hàm ( ),F x y xác ñịnh trên tập X Y× (kí hiệu X Y× là tập hợp các cặp sắp thứ tự ( ),x y , với ,x X y Y∈ ∈ ). Kí hiệu E là tập hợp những giá trị x X∈ , mà mỗi x E∈ cố ñịnh phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thực y Y∈ . Khi ñó trên tập E có thể xác ñịnh một hàm ( )y f x= ñơn trị hay ña trị, ñặt tương ứng với mỗi x X∈ cố ñịnh giá trị y là nghiệm của phương trình (1) với x cố ñịnh. Hàm ñược xác ñịnh như trên ñược gọi là hàm ẩn. Do ñịnh nghĩa của hàm ( )y f x= , ñẳng thức ( )( ), 0F x f x = thỏa mãn với tất cả giá trị x E∈ . Tương tự nhờ hệ phương trình ( ) ( )1 2 1 2, ,..., , , ,..., 0 1,2,...,i m nF x x x y y y i n= = ta xác ñịnh hệ các hàm ẩn ( )( )1 2, ,..., 1,2,...,i i my f x x x i n= = ñể: ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 2 1 2 1 21, ,..., , , ,..., , , ,..., ,..., , ,..., 0 1,2,...,i m m m n mF x x x f x x x f x x x f x x x i n= = . 3.5.2. Định lý
) Định lý 1 (ñịnh lý tồn tại): Giả sử hàm ( ),F x y liên tục theo các biến x và y trong hình chữ nhật 0 0: ,R x x a y y b− ≤ − ≤ và ( )0 0, 0.F x y = Sau nữa, giả sử hàm ( ),F x y có ñạo hàm riêng ( )' ,yF x y trong R, liên tục tại ñiểm ( )0 0,x y , ñồng thời ( )' , 0yF x y ≠ . Khi ñó tồn tại các số 0, 0α β> > ñể trong hình chữ nhật 0 0 0: ,R x x y yα β− ≤ − ≤ phương trình (1) xác ñịnh duy nhất hàm liên ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 66 tục ( )y f x= , nhận giá trị 0y , khi 0x x= .
) Định lý 2 (ñạo hàm hàm ẩn): Giả sử các ñiều kiện của ñịnh lý 1 ñược thoả mãn, ngoài ra tại ñiểm ( )0 0,x y tồn tại ñạo hàm ( )' 0 0,xF x y . Khi ñó hàm ( )y f x= xác ñịnh bởi phương trình (1) có ñạo hàm tại ñiểm 0x x= ñồng thời: ( ) ( ) ( ) ' 0 0 0 ' 0 0 , , x y dy x F x y dx F x y = − . Tương tự, ta có ñịnh lý mở rộng sau ñây:
) Định lý 3. Giả sử : 1) Hàm số ( )1 2, ,..., ,nF x x x y liên tục và có ñạo hàm riêng liên tục trên miền ñóng: ( )10 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 2 2 2 2, ,..., ,n n n n nR x a x x a x a x x a x a x x a y b x y b− ≤ ≤ + − ≤ ≤ + − ≤ ≤ + − ≤ ≤ + 2) ( )0 0 0 01 2, ,..., , 0;nF x x x y = 3) ( )' 0 0 0 01 2, ,..., , 0;y nF x x x y ≠ Thế thì: a) Tồn tại một hàm số duy nhất ( )1 2, ,..., ny f x x x= thoả mãn phương trình ( )1 2, ,..., , 0nF x x x y = trên một miền nào ñó 10 01 1 1 1( ,x a x x a∆ − ≤ ≤ + 02 2x a x− ≤ ≤ 0 0 0 2 2 ,..., )n n n n nx a x a x x a≤ + − ≤ ≤ + và ( )0 0 0 01 2, ,..., ;nf x x x y= b) Hàm số ( )1 2, ,..., nf x x x liên tục trên miền ∆ ; c) Hàm số ( )1 2, ,..., nf x x x có các ñạo hàm riêng liên tục trên miền ∆ và ta có: ( ) ( )1 2, ,..., , 1,2,..., .n i i F f x x x x i nFx y ∂ ∂ ∂ = − =∂∂ ∂ Ví dụ 3. (Bài toán tổng quát): Cho hệ phương trình: ( )( ) 1 2 , , 0 . , , 0 F x y z F x y z =  = (5) Nếu với x thuộc miền xác ñịnh nào ñó mà tồn tại một cặp hàm số ( )1y f x= ; ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 67 ( )2z f x= duy nhất sao cho: ( ) ( )( )( ) ( )( ) 1 1 2 2 1 2 , , 0 , , 0 F x f x f x F x f x f x  =  = thì cặp hàm số ( )1y f x= ; ( )2z f x= ñược gọi là các hàm số ẩn xác ñịnh bởi hệ phương trình (5). Bài toán ñặt ra là: Các hàm số ( )1 , ,F x y z , ( )2 , ,F x y z phải thoả mãn những ñiều kiện nào ñể hệ phương trình (5) xác ñịnh một cặp hàm số ẩn liên tục, khả vi?
) Định lý 4. Giả sử : 1) Các hàm số ( )1 , ,F x y z , ( )2 , ,F x y z liên tục và có các ñạo hàm riêng liên tục trong một lân cận nào ñó của ñiểm ( )0 0 0, ,M x y z , 2) ( ) ( )1 0 0 0 2 0 0 0, , , , 0,F x y z F x y z= = 3) ( )( ) 1 1 1 2 2 2 , 0 , F F y zD F F J F FD y z y z ∂ ∂ ∂ ∂ = = ≠∂ ∂ ∂ ∂ , tại ñiểm ( )0 0 0, ,M x y z Thế thì: a) Tồn tại một cặp hàm số duy nhất ( )1y f x= , ( )2z f x= thỏa mãn (5) trong một lân cận ∆ nào ñó của ñiểm 0x và ( )1 0 0f x y= , ( )2 0 0f x z= ; b) Các hàm số ( )1f x , ( )2f x liên tục trong ∆ ; c) Các hàm số ( )1f x , ( )2f x có ñạo hàm liên tục trong ∆ và ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 21 2, ,1 1 . ; . , , D F F D F Fdf df dx J D x z dx J D y x = − = − . Tương tự, ta có ñịnh lý mở rộng sau:
) Định lý 5. Giả sử: 1) Các hàm số ( ) ( )1 2 1 2, ,..., , , ,..., 0 1,2,...,i n mF x x x y y y i m= = liên tục và có các ñạo hàm riêng liên tục trong một lân cận nào ñó của ñiểm ( )0 0 0 0 0 01 2 1 2, ,..., , , ,..., ;n mM x x x y y y 2) ( ) ( )0 0 0 0 0 01 2 1 2, ,..., , , ,..., 0 1,2,...,i n mF x x x y y y i m= = ; ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 68 3) Tại ñiểm M ta có: ( )( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ... ..., ,..., 0 , ,..., ........................... ... m m m m m m m m F F F y y y F F F D F F F y y yJ D y y y F F F y y y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = ≠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Thế thì: a) Tồn tại một bộ duy nhất m hàm số ( )1 2, ,...,i i ny f x x x= ( )1,2,...,i m= thỏa mãn hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , ,..., , , ,..., 0 , ,..., , , ,..., 0 .................................................. , ,..., , , ,..., 0 n m n m m n m F x x x y y y F x x x y y y F x x x y y y  =  =    = trong một lân cận nào ñó ∆ của ñiểm ( )0 0 01 2, ,..., nx x x và ( )0 0 0 01 2, ,...,i n if x x x y= ( )1,2,..., ;i m= b) Các hàm số ( )1 2, ,...,i nf x x x liên tục trong ∆ ; c) Các hàm số ( )1 2, ,...,i nf x x x có các ñạo hàm riêng liên tục trong ∆ và ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 11 1 2 1 21 1 1 2 1 2 , ,..., , ,..., , ,..., , ,..., ,.............., , ,..., , ,..., , ,..., , ,..., m m m m m m m m D F F F D F F F D x y y D y y xy y D F F F D F F Fx x D y y y D y y y ∂ ∂ = − = − ∂ ∂ . Tương tự cho ñạo hàm riêng của các hàm số 1 2, ,..., my y y ñối với các biến số của chúng. 3.5.3. Cực trị của hàm ẩn Nếu hàm ẩn ( ) ( )1 2 1 2, ,..., , , ,...,n n nu u x x x x x x E E= ∈ ⊂ ñược xác ñịnh bởi phương trình : ( )1 2, ,..., , 0nF x x x u = thì ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,..., , , ,..., 0, , ,...,n n nF x x x u x x x x x x E= ∈ . Giả sử hàm u khả vi liên tục hai lần trong E. Khi ñó tại ñiểm dừng ( )0 0 00 1 2, ,... nM x x x thỏa mãn các ñẳng thức: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 69 ( )1 2 (1)' ' '0 1 21 ... 0 ' nx x x n u du M F dx F dx F dx F = − + + + = và ( )0 0 0 01 2, ,... , 0nF x x x u = Ở ñây ( )0 0 0 01 2, ,... nu u x x x= . Do mệnh ñề ngược cũng thỏa mãn, nên các ñiểm dừng có thể tìm ñược từ hệ: ( )' 0 1,2,..., , 0 ix F i n F= = = . Ta vi phân một lần nữa ñẳng thức ñầu tiên của (1) và chú ý rằng 0ud = , ta nhận ñược : 2 2 1 2' , 1 1 2 1 n i ju Fd u dx dx F x x = ∂ = − ∂ ∂∑ Nếu 2 0d u > tại ñiểm 0M thì hàm u có cực tiểu, nếu như tại ñiểm này 2 0d u < thì hàm u có cực ñại. 3.5.4. Bài tập Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm ẩn ( ),z z x y= , ñược xác ñịnh bởi phương trình: 2 2 2 2 2 4 10 0x y z x y z+ + − + − − = . Giải: Miền xác ñịnh của hàm số là toàn mặt phẳng 2ℝ . Đặt 2 2 2 2 2 4 10 0F x y z x y z= + + − + − − = . Tìm các ñiểm dừng qua việc giải hệ phương trình: ' ' 2 2 2 2 2 0 1, 1, 2 2 2 0 1, 1, 6 2 2 4 10 0 x y F x x y z F y x y z F x y z x y z  = − =  = = − = − = + = ⇔  = = − = = + + − + − − = Để thử lại ñiều kiện ñủ, ta tìm các ñạo hàm 2 2' '' '' ''2 4; 2, 2, 0z xyx yF z F F F= − = = = và tính vi phân cấp hai tại các ñiểm dừng. Do: ( ) ( )2 2 211, 1, 2 04d F dx dy− − = + > ( ) ( )2 2 211, 1,6 04d F dx dy− = − + < . Nên min ax2, 6mz z= − = khi 1, 1x y= = − . Đồ thị hàm số: (hình 29) ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 70 (H.29) Bài toán 2. Tìm cực trị của hàm ẩn ( ),z z x y= , ñược xác ñịnh bởi phương trình: 2 2 2 2 2 2 2 0x y z xz yz x y z+ + − − + + + − = Giải: Miền xác ñịnh của hàm số là toàn mặt phẳng 2ℝ . Đặt: 2 2 2 2 2 2 2 0F x y z xz yz x y z= + + − − + + + − = . Tìm các ñiểm dừng qua việc giải hệ phương trình: ' ' 2 2 2 2 2 0 3 6, 3 6, 4 2 6 2 2 0 3 6, 3 6, 4 2 6 2 2 2 2 0 x y F x z x y z F y z x y z F x y z xz yz x y z  = − + =  = − + = − + = − + = − + = ⇔  = − − = − − = − −  = + + − − + + + − = . Vậy có các ñiểm dừng: ( ) ( )1 23 6, 3 6, 4 2 6 , 3 6, 3 6, 4 2 6M M− + − + − + − − − − − − . Ta tìm các ñạo hàm 2 2' '' '' ''2 2, 2, 2, 0z xyx yF z x y F F F= − − + = = = và tính vi phân cấp hai 2d z tại các ñiểm dừng ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 21 1;6 6d z M dx dy d z M dx dy= − + = + . Vì vậy: ax 4 2 6mz = − + khi 3 6, 3 6x y= − + = − + min 4 2 6z = − − khi 3 6, 3 6x y= − − = − − . Ta có ñồ thị hàm số: (hình 30) (H.30) ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 71 Bài toán 3. Tìm cực trị của hàm ẩn ( ),z z x y= , ñược xác ñịnh bởi phương trình: 2 22 2 8 8 0x y yz z+ + − + = . Giải: Miền xác ñịnh của hàm số là toàn mặt phẳng 2ℝ . Đặt 2 22 2 8 8 0F x y yz z= + + − + = . Tìm các ñiểm dừng qua việc giải hệ phương trình: ' ' 2 2 0 4 0 1 2574 8 0 8 2 2 8 8 0 1 257 16 x y x F F y z y F x y yz z z   =  = =   ± = + = ⇔ =    = + + − + =  − =  ∓ . Để thử lại ñiều kiện ñủ, ta tìm các ñạo hàm 2 2' '' '' ''8 1; 4, 4, 0z xyx yF y F F F= − = = = và tính vi phân cấp hai tại các ñiểm dừng. Do: ( )2 2 21 257 1 257 40, , 08 16 257d F dx dy   − − + = + >     và ( )2 2 21 257 1 257 40, , 08 16 257d F dx dy  + − − − = + <     . Nên min 1 257 16 z − + = khi 1 2570, 8 x y −= = ; ax 1 257 16m z − − = khi 1 2570, 8 x y += = . Đồ thị hàm số: (hình 31) (H.31) ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 72 Bài toán 4. Tìm cực trị của hàm ẩn ( ),z z x y= , ñược xác ñịnh bởi phương trình: ( )4 4 4 2 2 22 0( 0)x y z a x y z a+ + − + + = > . Giải: Miền xác ñịnh của hàm số là toàn mặt phẳng 2ℝ . Đặt: ( )4 4 4 2 2 22 0( 0)F x y z a x y z a= + + − + + = > . Tìm các ñiểm dừng qua việc giải hệ phương trình: ( ) ' 3 2 ' 3 2 4 4 4 2 2 2 4 4 0 4 4 0 2 0 x y F x a x F y a y F x y z a x y z  = − =  = − =  = + + − + + = . Từ ñó ta có ñiểm bất thường 0x y z= = = và 6 ñiểm dừng khác : 1 2 3,4 5,6 : , , 2; : 0, 0, 2, : , , 1 3 , : , , 1 3 M x o y o z a M x y z a M x a y a z a M x a y a z a = = = = = = − = ± = ± = + = ± = ± = − + Tiếp theo ta tìm các ñạo hàm: 2 2 ' 3 2 '' 2 2 '' 2 2 ''4 4 , 12 4 , 12 4 , 0z xyx yF z a z F x a F y a F= − = − = − = . Và tại các ñiểm ( )0,1,...,6iM i = tính vi phân cấp hai 2d z : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3,4 5,6 ; 2 2 2 2 ; 3 3 3 3 3 3 dx dy dx dyd z M d z M a a dx dy dx dy d z M d z M a a + + = = − − + + = = + + Vậy tại ñiểm 1M hàm ñạt cực tiểu ñịa phương min 2z a= . Tại 2M ñạt cực ñại max 2z a= − . Tại các ñiểm 3,4M ñạt cực ñại max 1 3z a= + . Tại các ñiểm 5,6M ñạt cực tiểu min 1 3z a= − + . Ta có ñồ thị hàm số: (hình 32) (H.32) ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 73 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Xác ñịnh các ñiểm dừng của hàm số và áp dụng ñịnh nghĩa cực trị, tìm cực trị của hàm số (nếu có): a) ( ) 2 2, 3 1f x y x xy y x= + + + + c) ( ) 4 2 2, 2 3 7f x y x xy x= − + − b) ( ) ( ) 2 2 2 2 , x yf x y x y + = + d) ( ) ( )2 2 11, ln 1 2f x y xy x= + + + Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) ( ) 2 2, 2 7 10f x y x y xy x= + − − + c) ( ) 2, 1xyf x y e= − b) ( ) 1 1,f x y xy x y = − − d) ( ), . os2 5yf x y e c x= − . Bài 3. Trong tất cả các hình hộp chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa ñộ và nội tiếp trong mặt elipxôit 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = . Tìm các kích thước của hình hộp có thể tích lớn nhất. Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f trên một tập hợp D cho trước. a) ( ) ( ){ }2 2 2, 3, , : 1 1, 1 1f x y x y xy D x y x y= + + + = − ≤ ≤ − ≤ ≤ . b) ( ), 4 3 7f x y x y= − + , D là hình tam giác có ba ñỉnh ( ) ( ) ( )0,0 , 0,4 , 5,4 . Bài 5. Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrăng, xác ñịnh hình chiếu vuông góc của ñiểm gốc O trên mặt phẳng ( )2 2 2, 0ax by cz d a b c+ + = + + > và tìm khoảng cách từ ñiểm O ñến mặt phẳng. Bài 6. Chứng minh rằng trong tất cả các tam giác có chu vi 2p cho trước, tam giác ñều có diện tích lớn nhất. Bài 7. Tìm cực trị của hàm số: ( ), 2f x y x y= + với ñiều kiện x và y liên hệ với nhau bởi phương trình 2 2 5x y+ = . Bài 8. Tìm cực trị của hàm số: ( ) 2 2, 4f x y x y xy x y= + − + + − với ñiều kiện x và y liên hệ với nhau bởi phương trình 3 0x y+ + = . ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 74 Bài 9. Tìm cực trị của hàm số: ( ) 2,f x y xy= với ñiều kiện x và y liên hệ với nhau bởi phương trình 2 1x y+ = . Bài 10. Tìm cực trị của hàm ẩn ( ),z z x y= , ñược xác ñịnh bởi phương trình: 2 2 2 4 2 4 7 0x y z x y z+ + + − − − = . ******************************* KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 Chương 3 trình bày phương pháp ứng dụng của ñạo hàm ñể giải quyết các bài toán tìm: - Cực trị của hàm số hai biến số. - Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền ñóng bị chặn. - Cực trị có ñiều kiện. - Cực trị hàm số phụ thuộc tham số. Hơn nữa, ứng dụng ñạo hàm ñể nghiên cứu các tính chất của hàm số ẩn, ñây là phần kiến thức tương ñối khó, tuy nhiên nó hỗ trợ rất ñắc lực cho việc tìm cực trị của hàm số nhiều biến và ñặc biệt trong việc tìm cực trị của hàm ẩn. Ở trong chương này chúng ta cũng có hệ thống các dạng bài tập tương ứng, bám sát các kiến thức, các quy tắc ñã ñược trình bày, giúp người ñọc hiểu sâu sắc hơn các kiến thức ñã học và ghi nhớ các quy tắc sử dụng ñạo hàm ñể giải quyết các bài toán trên. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 75 KẾT LUẬN CHUNG Qua các nội dung nghiên cứu ở trên, khóa luận “Ứng dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị của hàm số” ñã giải quyết về cơ bản những mục ñích ñã ñặt ra. Theo hướng nghiên cứu chi tiết về ứng dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị của hàm số ta thu ñược một số kết quả sau: 1) Hệ thống các kiến thức cơ bản về ñạo hàm và trình bày ý nghĩa của ứng dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số. 2) Hệ thống các kiến thức về cực trị của hàm số một biến, hai biến và các quy tắc tìm cực trị của hàm số. 3) Hệ thống các dạng toán thường gặp trong các bài toán ứng dụng ñạo hàm tìm cực trị của hàm số một biến, cụ thể cho các lớp hàm: + Hàm ña thức và hàm hữu tỉ + Hàm số vô tỉ + Hàm lượng giác và siêu việt Hơn nữa, còn có các dạng bài toán cực trị trong hình học và các bài toán cực trị không mẫu mực ñược trình bày rõ ràng, cụ thể làm tăng thêm phần phong phú và ña dạng cho khóa luận. 4) Tr×nh bµy hệ thống bài tập ứng dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị của hàm số hai biến: + Cực trị của hàm số hai biến + Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền ñóng bị chặn + Cực trị có ñiều kiện + Cực trị hàm số phụ thuộc tham số 5) Nghiên cứu các tính chất của hàm số ẩn nhằm hỗ trợ cho việc tìm cực trị của hàm số nhiều biến, ñặc biệt trong việc tìm cực trị của hàm ẩn. Hy vọng rằng, với các nội dung ñã ñược trình bày trong khóa luận, khóa luận sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh, sinh viên và các giáo viên mới ra trường, góp phần giúp cho việc học, nghiên cứu các bài toán về tìm cực trị của hàm số một biến cũng như nhiều biến sẽ ñược thuận lợi . ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. PTS. Nguyễn Cam, Giải toán ñạo hàm và khảo sát hàm số, NXBĐH Quốc Gia Hà Nội, 1999. [2]. Phan Đức Chính, Một số phương pháp giải toán sơ cấp, tập2, NXBGD,1997. [3]. Lê Hồng Đức, Phương pháp giải toán hàm số, NXB Hà Nội,2000. [4]. Trần Đức Huyên, Lê Mậu Thống, Lê Mậu Thảo, Phân Loại và phương pháp giải toán giải tích, Nhà xuất bản trẻ, 2002. [5]. Trần Văn Kí, Toán chọn lọc giải tích 12, NXBĐH Quốc Gia TPHCM, 2002. [6]. Nguyễn Bá Kim (chủ biên) - Vũ Dương thuỵ, Phương pháp dạy học môn toán, NXBGD, 2006. [7]. Nguyễn Mạnh Quý - Nguyễn Xuân Liêm, Phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số, NXBĐHSP, 2005. [8]. Nguyễn Mạnh Quý - Nguyễn Xuân Liêm, Bài tập phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số, NXBĐHSP, 2005. [9]. Vũ Dương Thuỵ, Các bài giảng luyện thi môn toán tập 3, NXBGD, 1999. [10]. Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập toán học cao cấp, tập 2, NXBGD, 2005. [11]. Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp, tập 3, NXBGD, 2006. [12]. Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập toán học cao cấp, tập 3, NXBGD, 2000. [13]. Vũ Tuấn - Phan Đức Thành - Ngô Xuân Sơn, Giải tích toán học, tập 1, NXBGD, 1981. [14]. Vũ Tuấn - Phan Đức Thành - Ngô Xuân Sơn, Giải tích toán học, tập 3, NXBGD, 1977. [15]. Y.Y.LIASKÔ, A.C.BOOIATRUC, IA.G.GAI, G.P.GÔLÔVAC, Giải tích toán học các ví dụ và các bài toán, Phần I (tập II), NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, 1979.