Giải một số phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi

tổng hợp để trình bày rõ ràng, hợp logic các vấn đề. 4. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN Nhận đề tài. Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài. Lập đề cương chi tiết. Nghiên cứu, khai thác, phân tích đề tài. Thực hiện đề tài. Trình bày và thông qua GVHD. Chỉnh sửa và hoàn chỉnh luận văn. Báo cáo luận văn. 5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Với thời gian và kiến thức có hạn, trong luận văn này em chỉ trình bày các khái niệm, thừa nhận các định lý liên quan đến đề tài mà không chứng minh. Đề tài tập trung vào phương pháp chuỗi lũy thừa và mở rộng là phương pháp Frobenius. 6. NỘI DUNG LUẬN VĂN Luận văn được chia làm 3 chương như sau: Chương 1: Kiến thức cơ bản Chương này chủ yếu trình bày các khái niệm và định lý cơ bản về chuỗi lũy thừa và phương trình vi phân làm nền tảng cho các chương sau. Chương 2: Giải phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi Chương này trình bày các vấn đề phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp Frobenius. Đây là nội dung chính của luận văn. Chương 3: Các bài toán Chương này trình bày các bài toán với lời giải vận dụng từ các phương pháp được trình bày trong chương 2. PHẦN NỘI DUNG Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. CHUỖI LŨY THỪA 1.1 Định nghĩa 1 Chuỗi lũy thừa theo x  x0 (hoặc chuỗi luỹ thừa tâm tại x0) là chuỗi hàm có dạng: (1.1) ở đó các a ( n = 0, 1, 2, ...) là các hằng số và được gọi là các hệ số của chuỗi. Đặc biệt, khi ta được chuỗi (1.2) và được gọi là chuỗi MacLaurin. 1.2 Khoảng hội tụ Chuỗi (1.1) luôn hội tụ tại . Tập hợp tất cả các điểm tại đó chuỗi lũy thừa hội tụ là một khoảng có tâm tại . Khoảng này được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa. ∆ Định lý 1 Đối với chuỗi luỹ thừa , chỉ có một trong 3 khả năng sau: Chuỗi hội tụ chỉ tại Chuỗi hội tụ với mọi x. (iii) Chuỗi hội tụ trong một khoảng tâm tại : , hoặc , hoặc , hoặc Số trong trường hợp (iii) được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Trong trường hợp (i) ta nói , trường hợp (ii) ta nói * Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa được tính bởi một trong hai công thức sau: , (1.3) (1.4) 1.3 Các tính chất của chuỗi lũy thừa Để đơn giản, ta xét các chuỗi lũy thừa với , tức là chuỗi có dạng Một chuỗi lũy thừa xác định một hàm số trên khoảng hội tụ của nó. Tính chất 1. Giả sử và . Khi đó f(x) + g(x) = Tính chất 2. Với c là hằng số và n là số nguyên, ta có: cxm . Tính chất 3. Nếu với R < x < R thì f '(x) = = a1 + 2a2x + . . . với R < x < R. Bằng cách lặp lại tính chất này , ta được: f(k)(x) = 1.4 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa Nếu một chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ thì tổng của chuỗi này xác định một hàm số trên . Khi đó, được gọi là khai triển được thành chuỗi lũy thừa. Hàm số và các hệ số của chuỗi này có liên hệ với nhau như thế nào ? Định lý sau sẽ trả lời cho câu hỏi này. ∆ Định lý 2 Giả sử chuỗi (1.5) hội tụ về với Khi đó: với * Nếu có đạo hàm mọi cấp tại thì chuỗi (1.6) được gọi là chuỗi Taylor của theo các lũy thừa của ∆ Định lý 3 (Điều kiện khai triển thành chuỗi Taylor) Giả sử khả vi vô hạn lần và tồn tại : Khi đó, ta có: □ Định nghĩa hàm giải tích Một hàm số là giải tích tại nếu là tổng của chuỗi lũy thừa theo các lũy thừa của và chuỗi này có bán kính hội tụ . Nếu là giải tích tại mọi điểm trong khoảng mở thì được nói là giải tích trên khoảng I này. 1.5 Một vài khai triển cơ bản Sau đây là khai triển một số hàm sơ cấp đơn giản và thông dụng nhất: 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2.1 Khái niệm về phương trình vi phân □ Định nghĩa 2 Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó. Phương trình vi phân có dạng: . (1.7) trong đó, là hàm cần tìm và nhất thiết phải có đạo hàm (đến cấp nào đó) của ẩn . Cấp của phương trình vi phân là nếu là cấp lớn nhất của đạo hàm của ẩn có mặt trong phương trình. Nghiệm của phương trình vi phân là hàm thay vào thỏa phương trình. 2.2 Phương trình vi phân cấp một □ Định nghĩa 3 Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng: (1.8) hay (1.9) ∆ Định lý 4 (Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm) Cho phương trình Giả sử các hàm liên tục trên hình chữ nhật và là điểm trong của . Khi đó, tồn tại nghiệm duy nhất của (1.9) xác định và liên tục trong khoảng ( nào đó ) sao cho . □ Định nghĩa 4 Nghiệm của phương trình vi phân (1.9) là hàm thay vào thỏa (1.9). Nghiệm tổng quát của (1.9) là hàm thỏa (1.9) với mọi hằng số . Nghiệm riêng của (1.9) là nghiệm duy nhất thỏa điều kiện ban đầu . Nghiệm riêng có thể thu được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho . Bài toán tìm nghiệm riêng được gọi là Bài toán Cauchy. 2.3 Phương trình vi phân cấp hai □ Định nghĩa 5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng (1.10) trong đó là các hàm của biến độc lập . Nếu thì (1.10) trở thành (1.11) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng của (1.10). Nếu thì (1.10) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất. 2.4 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất Tìm một nghiệm riêng . Tìm một nghiệm riêng độc lập tuyến tính với bằng công thức sau: Khi đó, nghiệm tổng quát của (1.20) là: với là các hằng số bất kỳ. ◙ Chú ý Công thức cho nghiệm y2(x) được tìm từ phương pháp sau: Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai: trên khoảng mở mà trong đó các hàm và là các hàm số liên tục. Giả sử ta đã biết nghiệm của phương trình này. Ta sẽ tìm nghiệm , sao cho và tạo thành hệ nghiệm độc lập tuyến tính. Đặt . Nếu ta biết thì sẽ tìm theo công thức: Thay biểu thức vào phương trình đã cho với và . Ta được: . Do là nghiệm phương trình đã cho nên: . Đặt với giả thiết không triệt tiêu trên I. Khi đó, phương trình trên trở thành . Giải phương trình này ta nhận được . Chọn ta có: chính là nghiệm độc lập tuyến tính với nghiệm y1(x). ∆ Định lý 5 Nếu là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình: thì và . 2.5 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (1.11) Tìm nghiệm riêng của phương trình (1.10) có dạng: với thỏa mãn hệ phương trình: Khi đó, nghiệm tổng quát của (1.10) có dạng: 2.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi 2.6.1 Phương trình thuần nhất *Dạng: (1.12) trong đó, p, q là hằng số. *Cách giải: Giải phương trình đặc trưng: (1.13) * Nếu (1.13) có hai nghiệm thực phân biệt thì nghiệm tổng quát của (1.12) là: (là hằng số tùy ý) * Nếu (1.13) có nghiệm kép thì nghiệm tổng quát của (1.12) là: * Nếu (1.13) có hai nghiệm phức liên hợp thì nghiệm tổng quát của (1.12) là: 2.6.2 Phương trình không thuần nhất *Dạng: (1.14) trong đó, p, q là hằng số. * Cách giải: - Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng. - Tìm một nghiệm riêng của (1.14) a/ Trường hợp: trong đó, là một đa thức bậc và là hằng số. (i) Nếu không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm nghiệm riêng dạng: là một đa thức cùng bậc với có hệ số được xác định bằng phương pháp hệ số bất định. (ii) Nếu là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm nghiệm riêng dạng: với được xác định như trên. (iii) Nếu là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (1.13) thì nghiệm riêng: là một đa thức cùng bậc với có các hệ số được xác định bằng phương pháp hệ số bất định). b/ Trường hợp: : trong đó , là các đa thức bậc n và m; là các hằng số. (i) Nếu không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm một nghiệm riêng dạng: . (ii) Nếu là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm một nghiệm riêng: trong đó là các đa thức bậc có các hệ số được tìm bằng phương pháp hệ số bất định. - Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất là: . 2.7 Phương trình Cauchy-Euler □ Định nghĩa 6 Phương trình Cauchy-Euler là phương trình có dạng: (1.15) trong đó, là các hằng số. ■ Cách giải: Đổi biến , (1.16) Suy ra: (1.17) (1.18) và (1.19) Thế (1.18) và (1.19) vào (1.15) ta được: (1.20) là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng số. Giải (1.20) tìm được nghiệm Kết hợp (1.16) và (1.17), suy ra nghiệm của phương trình đã cho. Chương 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI 1. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA Một số phương trình vi phân có dạng rất đơn giản nhưng rất khó tìm nghiệm ở dạng tổ hợp của các hàm số sơ cấp. Ví dụ như phương trình . Phương trình này liên quan đến phương trình Schrödinger trong cơ học lượng tử và một số phương trình vi phân khác nảy sinh từ các vấn đề, các bài toán của vật lý nên việc giải các phương trình như dạng trên là rất quan trọng. Vì vậy, cần thiết phải xây dựng các phương pháp để tìm nghiệm cho các phương trình nói trên. Trong đó, phương pháp ứng dụng lý thuyết chuỗi để tìm nghiệm dưới dạng chuỗi lũy thừa là phương pháp thông dụng nhất. * Phương pháp chuỗi lũy thừa: Phương pháp chuỗi lũy thừa là một phương pháp cơ bản để giải các phương trình vi phân tuyến tính với hệ số là hàm số. Ý tưởng về phương pháp chuỗi lũy thừa cho việc giải phương trình vi phân là đơn giản và tự nhiên. Phương pháp này cho nghiệm của phương trình vi phân ở dạng lũy thừa: Cơ sở toán học của phương pháp này là thay biểu thức trên cùng với các đạo hàm , . . . vào phương trình vi phân và từ đó xác định giá trị của các hằng số . 1.1 Phương pháp hệ số bất định Phương pháp này được minh họa qua các ví dụ sau. ▪ Ví dụ 1 Sử dụng phương pháp chuỗi để tìm nghiệm riêng của phương trình sau: với . Một nghiệm theo các lũy thừa của sẽ có dạng là: với : cũng hội tụ với mọi . Thế vào phương trình đã cho, ta được: Sắp xếp các số hạng theo cùng lũy thừa của , ta được: . Do một chuỗi bằng 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của chuỗi đều bằng 0 nên ta có: Ta có: Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta được: Suy ra: Vậy, nghiệm chuỗi cần tìm là: ▪ Ví dụ 2 Dùng chuỗi lũy thừa giải phương trình: . Giả sử phương trình có nghiệm dạng: y = . Lấy vi phân từng số hạng chuỗi này, ta được: y' = c1 + 2c2x + 3c3x2 + . . . = , y'' = 2c2 + 2.3c3x + . . . = . Thay vào phương trình đã cho, ta có: Sắp xếp vế những số hạng trên theo số mũ tăng dần của x, ta được: Vì phương trình này thỏa với mọi x nên: Từ đó: Ta thấy: biểu diễn qua , biểu diễn qua . Và biểu diễn qua nhưng biểu diễn qua . Do đó: Tương tự: Nếu ta thế các giá trị từ đến vào y = và đặt , làm nhân tử chung ta được: ◙ Chú ý Phương pháp này cho phép ta tìm được nhiều số hạng của nghiệm. * Phương pháp sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều nếu ta tìm được dạng tổng quát cho các hệ số . Công việc này được tiến hành như sau: Ta giải phương trình vi phân đã cho, nhưng lần này ta sử dụng ký hiệu tổng và để thuận tiện cho việc so sánh các hệ số của y' , y'' dễ dàng hơn, ta đặt n’ = n – 2, nghĩa là n = n’ + 2. Ta được : Theo lý thuyết chuỗi lũy thừa, hai chuỗi và là như nhau. Nên . Kỹ thuật này rất quan trọng trong việc sử dụng phương pháp chuỗi. Thay y, y' và y'' vào phương trình vi phân đã cho, ta được: . Một chuỗi lũy thừa đồng nhất bằng không khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng không. Do đó, các hệ số của phải bằng 0: Suy ra: n = 0, 1, 2, 3, . . . Nếu biết c0 và c1 thì các hệ số còn lại sẽ được xác định. Với Với Với Với Với Với Theo quy luật trên, ta có: Với các hệ số chẵn: Với các hệ số lẻ: Do đó, nghiệm của phương trình đã cho là: y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + . . . = c0 ( 1  +  + . . . + + . . . ) +c1 ( x  ) = c0 + c1, với c0 và c1 là hai hằng số tùy ý. ► Nhận xét * Chúng ta nhận thấy hai chuỗi tìm được ở trên chính là các chuỗi Maclaurin của và . Do đó, nghiệm của phương trình là: * Tuy nhiên, có một số trường hợp khó có thể biểu diễn các nghiệm dạng chuỗi luỹ thừa của các phương trình vi phân dưới dạng các hàm số sơ cấp đã biết. Ví dụ sau minh họa điều này. ▪ Ví dụ 3 Giải phương trình: . Giả sử nghiệm của phương trình có dạng: Khi đó: Thếvào phương trình và rút gọn, ta được: = 0 . Do đó: (n+2)(n+1)cn+2  (2n1)cn = 0. Vậy: cn+2 = , n = 0, 1, 2, . . . Với Với Với Với Với . . . . . . . . . . . . . Tổng quát, các hệ số được cho bởi: Do đó, nghiệm của phương trình là: ► Nhận xét Trong ví dụ này, hai chuỗi lũy thừa trong công thức nghiệm không thể được biểu diễn dưới dạng các hàm số sơ cấp đã biết. □ Định nghĩa 1 Hệ thức truy hồi giữa là một phương trình có dạng nghĩa là cm+n được xác định bởi m số hạng trước nó. * Số nguyên dương m là bậc của hệ thức truy hồi. Ví dụ: là hệ thức truy hồi bậc hai. * Không có phương pháp tổng quát để tìm hệ thức truy hồi. Tuy nhiên, kỹ thuật đơn giản thường làm là viết lại một cách khéo léo hệ thức truy hồi. Điều này được minh hoạ qua các ví dụ sau: * Hệ thức truy hồi có thể được viết lại dưới dạng: , nên Do đó, * Hệ thức truy hồi có thể được viết lại dưới dạng: , nên Do đó, cn = c0 / 2n . * Hệ thức truy hồi có thể được giải như sau: Nếu là số chẵn, , hệ thức truy hồi trên có thể được viết là : , nên Do đó, Nếu n là số lẻ, n = 2m +1, hệ thức truy hồi trên có thể được viết là , nên Do đó, 1.2 Phương pháp đạo hàm liên tiếp Để đơn giản ta trình bày phương pháp này cho các phương trình cấp hai. Các phương trình cấp khác được trình bày tương tự. * Xét phương trình (2.1) , (2.2) trong đó, hàm số và các đạo hàm riêng của nó liên tục trong miền mở chứa điểm . Vấn đề trước tiên là tìm với , đã biết. Để tìm chỉ việc cho , , vào (2.1) ta được (2.3) Tiếp theo để tìm , ta đạo hàm (2.1) (2.4) rồi cho , , , ( theo (2.3)) vào (2.4) ta được Tiếp tục quá trình đó ta lần lượt tìm được , với mọi . Tiếp đến thiết lập chuỗi Taylor rồi tìm khoảng hội tụ của nó. Cuối cùng là kiểm tra xem chuỗi đó có phải là nghiệm hay không. Phương pháp này được minh họa qua các ví dụ sau: ▪ Ví dụ 4 Xét phương trình , Ta có ngay , dễ thấy rằng Từ đấy, ta được Vậy ta có chuỗi lũy thừa quanh là: Ta có: Vậy là nghiệm của phương trình. ▪ Ví dụ 5 Sử dụng phương pháp chuỗi để tìm một nghiệm riêng của phương trình sau: , với . Bài toán này đã được giải bằng phương pháp hệ số bất định. Ta có: . Vì các hàm này đều là các đa thức, nên nghiệm chuỗi nhận được sẽ hội tụ với mọi . Điều kiện ban đầu cho ta giá trị của nghiệm và đạo hàm tại nên ta sẽ tìm nghiệm dưới dạng chuỗi Maclaurin là: . Thế vào phương trình đã cho, ta được: hay . Để tìm , ta lấy đạo hàm hai vế của phương trình đã cho, ta được: . Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế của phương trình này ta được: . Kết hợp với , ta suy ra: , . Từ đó, ta được: là nghiệm chuỗi với năm số hạng đầu tiên thỏa yêu cầu bài toán. ◙ Chú ý trong ví dụ trên được trình bày trong định lý sau đây. 1.3 Điều kiện tồn tại nghệm dạng chuỗi □ Định nghĩa điểm chính qui Điểm được gọi là điểm chính qui ( điểm thông thường) của phương trình vi phân tuyến tính nếu các hàm và đều giải tích tại . ∆ Định lý 1 Cho phương trình vi phân tuyến tính có dạng: Nếu mỗi hàm trong phương trình trên đều giải tích tại thì phương trình trên luôn có nghiệm cũng giải tích tại và thỏa điều kiện ban đầu là: , . 1.4 Cách tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa của phương trình vi phân tuyến tính Để dễ hình dung, phần sau đây nêu cách tìm nghiệm dạng chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai. * Để tìm nghiệm chuỗi lũy thừa của phương trình (2.5) quanh , trong đó là các đa thức của và , ta thực hiện theo các bước sau: * Giả sử nghiệm chuỗi có dạng: . * Thay y và các đạo hàm thích hợp vào phương trình đã cho. * Kết hợp các số hạng và đưa về cùng một dạng của số mũ trong mỗi chuỗi sau khi đổi các chỉ số của tổng * Để chỉ số dưới của tất cả các chuỗi bắt đầu với cùng một số nguyên. * Cho hệ số của mỗi lũy thừa của x bằng không, từ đó nhận được hệ thức truy hồi. * Tìm các số hạng trong nghiệm chuỗi hoặc tìm một công thức tổng quát cho cn . * Kiểm tra sự hội tụ của các chuỗi. ◙ Chú ý Nếu điều kiện ban đầu được cho với một giá trị đặc biệt của x thì giá trị này được sử dụng cho x0, nghĩa là ta sẽ dùng chuỗi . Trong trường hợp này có hai cách để làm: Cách 1: Theo kỹ thuật trước, ta dùng chuỗi để thay cho chuỗi . Cách này thuận lợi khi biểu diễn các hệ số thành những đa thức của . Cách 2: Đổi biến . Theo cách này điểm tương ứng với điểm, và sẽ trở thành . Sau đó, ta làm theo tiến trình ở trên. ▪ Ví dụ 6 Sử dụng phương pháp chuỗi để tìm nghiệm riêng của phương trình sau đây: với Một nghiệm chuỗi theo các lũy thừa của sẽ có dạng là: với các đạo hàm: Nhân vào hai vế của phương trình đã cho, sau đó thế vào phương trình đã cho. Ta được: Ta cần biểu diễn và theo các lũy thừa của . Ta có: Thế vào phương trình trên, ta được: . Cho các hệ số theo các lũy thừa của bằng 0. Ta được: Ta có: Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta được: Từ đó suy ra: Vậy nghiệm cần tìm là: 1.5 Ứng dụng phương pháp chuỗi lũy thừa vào giải một số phương trình vi phân đặc biệt 1.5.1 Phương trình Airy Phương trình Airy là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có dạng: trong đó là các hàm số của . Ta dùng phương pháp chuỗi lũy thừa để giải một số phương trình Airy sau. ▪ Ví dụ 7 Tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa của phương trình: Giả sử nghiệm phương trình trên có dạng: Khi đó, Thế vào phương trình đã cho, ta được: Đặt , thế vào chuỗi thứ hai, sau đó thay bằng , ta được: hay: Theo phương pháp hệ số bất định, hai chuỗi số muốn bằng nhau thì từng hệ số tương ứng phải bằng nhau. Do đó, ta được: Ta tính một vài hệ số đầu: , , , , , , Từ các kết quả trên ta thấy: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: ▪ Ví dụ 8 Tìm nghiệm chuỗi lũy thừa quanh của phương trình sau: (2.6) Giả sử nghiệm phương trình có dạng: Đặt , bài toán đã cho trở thành bài toán: Tìm nghiệm chuỗi lũy thừa quanh của phương trình: (2.7) Thế vào phương trình (2.7), ta được: . hay: Từ đó, ta được: Ta được hệ thức truy hồi: Nên: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 1.5.2 Phương trình Legendre Phần này chúng ta sẽ xét một phương trình quan trọng xuất hiện trong nhiều bài toán vật lý, đó là phương trình Legendre. * Phương trình Legendre là phương trình vi phân tuyến tính tuyến tính cấp hai: với tham số l là một số thực. Các nghiệm của phương trình này được gọi là các hàm Legendre. Đây là những hàm số mới, những hàm đặc biệt, khác với các hàm ta thường gặp như sin, cos, logarit. . . Các hệ số của phương trình Legendre là giải tích tại x = 0 và (1- x2 )  0 tại x = 0 . Do đó, mỗi nghiệm của phương trình là một chuỗi luỹ thừa * Dùng phương pháp chuỗi lũy thừa để giải phương trình Legendre. Giả sử nghiệm của phương trình trên có dạng: Thế vào phương trình, ta được: hay: Từ đó, ta được: Vì vậy,  Tương tự: Vậy nghiệm phương trình Legendre: y(x) = c0 y1(x) + c1y2(x) ▪ Ví dụ 9  Tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa tại của phương trình sau: Giả sử nghiệm của phương trình trên có dạng: Khi đó, các đạo hàm Thế vào phương trình đã cho, ta được: hay: Từ đó, ta được: Nên: ,,,,, , ,… Ta thấy: và với Vậy nghiệm của phương trình đã cho: Không có điều kiện cho nên là hằng số tùy ý. ▪ Ví dụ 10 Tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa tại của phương trình sau: (2.8) Giả sử nghiệm của phương trình trên có dạng: Khi đó, các đạo hàm Thế vào (2.8) ta được: hay: Ta được: Vì nên: Từ đó: ,,,,, , ,… Ta thấy: và với Vậy nghiệm của phương trình đã cho: Không có điều kiện cho nên là hằng số tùy ý. 1.5.3 Phương trình Hermite * Phương trình Hermite cấp là phương trình vi phân cấp hai có dạng: trong đó, là một số nguyên không âm. * Ta dùng phương pháp chuỗi lũy thừa để giải phương trình Hermite. Giả sử nghiệm chuỗi cần tìm có dạng: Ta cần xác định các hệ số (an). Lấy đạo hàm: Thế vào phương trình ta được: hay: Chuyển tổng thứ nhất lên 2 đơn vị, ta được: Vì nên: Các kết quả trên cho ta: Do đó, Vì nên: Xét trường hợp đặc biệt: và điều kiện đầu . Trong trường hợp này tất cả các hệ số chẵn bằng không. Vì , nên và nhưng Vì dẫn đến các hệ số lẻ tiếp theo cùng bằng không: Vậy nghiệm cần tìm là một đa thức: (hoặc là bội của đa thức này) gọi là đa thức Hermite bậc 5. Phương trình Hermite bậc k nguyên dương luôn có nghiệm là một đa thức bậc k. Khi k lẻ, thì có nghiệm đa thức. Khi k chẵn, thì có nghiệm là một đa thức. ▪ Ví dụ 11 Tìm đa thức Hermite bậc 1 và 3. Ta có: với Khi , Do đó, tất cả các hệ số lẻ đều bằng không trừ . Vì nên tất cả các hệ số chẵn bằng không. Vậy: Khi , và Do đó, tất cả hệ số lẻ trừ đều bằng không. Vì , nên tất cả các hệ số chẵn bằng không. Vậy: ▪ Vì dụ 12 Xét phương trình Hermite bậc 5: Tìm nghiệm thỏa . Vì , nên các hệ số lẻ bằng không. Ta tính: Tổng quát ta có: Vậy nghiệm cần tìm là: 2. PHƯƠNG PHÁP FROBENIUS Phương pháp chuỗi lũy thừa giải được một lớp những phương trình vi phân với nghiệm có dạng: như đã được giới thiệu ở các phần trước. Đối với phương trình như: với nghiệm tổng quát là hay trong đó là các hằng số tùy ý, vì số mũ của tổng thứ hai là phân số nên phương pháp chuỗi lũy thừa không thể áp dụng được với phương trình này. 2.1 Phương pháp Frobenius Tương tự như phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp Frobenius là phương pháp để giải lớp phương trình vi phân tuyến tính với hệ số là hàm số, tuy nhiên phương pháp Frobenius áp dụng được cho nhiều phương trình mà phương pháp chuỗi lũy thừa không làm được. Phương pháp Frobenius là mở rộng của phương pháp chuỗi lũy thừa bao gồm cả số mũ là các phân số hay là số âm nên phương pháp này có tầm quan trọng về ứng dụng nhiều hơn. Phương pháp Frobenius là phương pháp xác định nghiệm có dạng trong đó là hằng số. Chuỗi có dạng trên được gọi là chuỗi Frobenius. Sau đây, ta sẽ nghiên cứu những lớp phương trình vi phân có thể áp dụng được phương pháp Frebenius để giải. 2.2 Lý thuyết về phương pháp Frobenius Phương trình vi phân có điểm kỳ dị * Đặt vấn đề: - Xét phương trình vi phân tuyến tuyến tính: (2.9) Vấn đề là tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa quanh của phương trình trên. Thay vào phương trình, ta được: hay: Một chuỗi lũy thừa đồng nhất bằng không khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng không, nghĩa là . Vì không có điều kiện cho nên là một nghiệm với là một hằng số tùy ý. Nhưng ta không tìm được nghiệm thứ hai theo phương pháp này. - Ta xét tiếp phương trình sau: Áp dụng phương pháp chuỗi luỹ thừa để tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa quanh . Ta thấy tất cả hệ số trong chuỗi đều bằng không. Cả hai phương trình nêu trên đều không thỏa giả thiết của định lý tồn tại nghiệm dạng chuỗi luỹ thừa: Ở phương trình đầu và trong phương trình kế tiếp đều không là các hàm giải tích tại x = 0. □ Định nghĩa điểm chính quy - Điểm kỳ dị * Nếu cả hai hàm số p(x), q(x) trong phương trình y'' + p(x)y' + q(x)y = 0. là giải tích tại x = thì điểm x = gọi là điểm chính quy của phương trình trên. * Điểm chính quy x = x0 của phương trình h(x)y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 là điểm mà tại đó h(x), p(x), q(x) là giải tích và h(x0)  0 . * Một điểm không là điểm chính quy được gọi là điểm kỳ dị của phương trình. * Nếu x0 là điểm chính quy của một phương trình thì phương pháp chuỗi luỹ thừa sẽ cho nghiệm dạng chuỗi theo luỹ thừa của x - x0. Tuy nhiên, nếu x0 là điểm kỳ dị thì phương pháp chuỗi luỹ thừa không áp dụng được. * Hai phương trình ở trên là các phương trình Cauchy-Euler có dạng: lần lượt có các nghiệm là: và . Chỉ một trong bốn hàm của các nghiệm tổng quát này là chuỗi lũy thừa tại . Điều này giải thích tại sao ta không tìm được nghiệm tổng quát của các phương trình dưới dạng: . Tuy nhiên, tất cả các nghiệm này đều có dạng lũy thừa của. Ta giả sử nghiệm có dạng chuỗi lũy thừa nhân với một lũy thừa của , tức là ở dạng: (2.10) trong đó là một hằng số và không nhất thiết là một số nguyên. Để dễ dàng hơn khi lấy đạo hàm, ta viết: Thế vào phương trình x2y'' - 2y = 0, ta được: hay Từ đó ta được: (2.11) Vì, phương trình đầu cho ta: hay (2.12) Ta được: hoặc Hai giá trị nhận được của sẽ dẫn đến nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là ○ Với , kết hợp với (2.11) ta được: . Khi đó, (2.10) trở thành trong đó là hằng số tùy ý. Nên với là một nghiệm của (2.9). ○ Với , kết hợp (2.11) ta được: . Khi đó, (2.10) trở thành trong đó là hằng số tùy ý. Nên với là một nghiệm thứ hai của (2.9). Vì và là hai nghiệm độc lập tuyến tính nên nghiệm tổng quát của x2y'' - 2y = 0 là: □ Định nghĩa phương trình chỉ định Giả sử là một điểm kỳ dị của phương trình vi phân . Sau khi thay vào phương trình này, sắp xếp các lũy thừa của và cho hệ số của lũy thừa thấp nhất của bằng 0 thì phương trình nhận được được gọi là phương trình chỉ định và đây là phương trình bậc hai theo . * Phương pháp Frobenius Xét phương trình: có điểm kỳ dị tại , trong đó và là các đa thức của . Để giải phương trình trên ta thực hiện các bước sau: Giả sử nghiệm của phương trình trên có dạng: trong đó . Tính các đạo hàm rồi thế vào phương trình đã cho, sắp xếp lại theo lũy thừa của . Cho các hệ số của các lũy thừa của bằng không. Xác định phương trình chỉ định. Giải phương trình chỉ định. Ứng với mỗi nghiệm suy ra các hệ số để tìm hai nghiệm độc lập tuyến tính và của phương trình đã cho. Kết luận nghiệm tổng quát có dạng: Áp dụng Xét phương trình: (2.13) Phương trình này có điểm kỳ dị tại . Ta áp dụng phương pháp Frobenius để giải phương trình này. Giả sử nghiệm cần tìm có dạng: Khi đó, Thế vào phương trình (2.13) ta được: hay: Luỹ thừa thấp nhất của x là xs Cho các hệ số lần lượt bằng không: (2.14) Phương trình chỉ định: hay: Phương trình này có nghiệm là: ○ Với , kết hợp với (2.14) ta được: . Khi đó, (2.10) trở thành trong đó là hằng số tùy ý. Nên với là một nghiệm của (2.13). ○ Với , kết hợp (2.14) ta được: . Khi đó, (2.10) trở thành trong đó là hằng số tùy ý. Nên với là một nghiệm thứ hai của (2.13). Vì và là hai nghiệm độc lập tuyến tính nên nghiệm tổng quát của (2.13) là: 2.3 Phương trình vi phân có điểm kỳ dị chính quy Đặt vấn đề: Xét phương trình: (2.15) có điểm kỳ dị tại . Nếu vẫn dùng phương pháp đã đề cập ở trên để giải phương trình này thì ta có: hay: Nhận xét: hệ số của lũy thừa thấp nhất của không phụ thuộc vào s và khi cho các hệ số bằng không, ta phải có: . Nhưng , nên phương trình (2.15) không có nghiệm ở dạng: Vậy tại sao phương pháp Frobenius giải được phương trình (2.9) và (2.13) ở trên nhưng không giải được phương trình (2.15). Ta đã biết rằng, nếu và là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình: thì và Vậy nếu nghiệm phương trình có dạng đó là: và thì: Điều này đòi hỏi và phải giải tích tại . Vì vậy, các điểm kỳ dị được chia thành hai loại: Một loại gọi là chính quy nếu và đều giải tích tại , các trường hợp khác gọi là không chính quy. □ Định nghĩa điểm kỳ dị chính quy: Xét phương trình vi phân dạng có là điểm kỳ dị. Nếu các hàm và đều giải tích tại thì được gọi là điểm kỳ dị chính quy. ▪ Ví dụ 13 Chứng minh là các điểm kỳ dị chính quy của phương trình Chia hai vế của phương trình trên cho , ta được: Ta có: . Ta thấy là các điểm kỳ dị của phương trình đã cho. * Trước hết, ta chứng minh là điểm kỳ dị chính quy của phương trình đã cho. Từ các kết quả trên, ta có: Đây là các hàm giải tích tại . Thật vậy: Nên là điểm kỳ dị chính quy của phương trình đã cho. * Ta chứng minh là điểm kỳ dị chính quy của phương trình đã cho. Ta có: Đây là các hàm giải tích tại . Thật vậy: Các chuỗi Taylor của các hàm này là: và . Do đó, là điểm kỳ dị chính quy của phương trình đã cho. □ Định nghĩa điểm kỳ dị không chính quy Điểm kỳ dị của phương trình nếu không là điểm kỳ dị chính quy thì nó được gọi là điểm kỳ dị không chính quy. ▪ Ví dụ 14 Chứng minh là các điểm kỳ dị không chính quy của phương trình Chia hai vế của phương trình trên cho , ta được: Ta có: . Ta thấy là các điểm kỳ dị của phương trình đã cho. Trước hết, ta chứng minh là điểm kỳ dị không chính quy của phương trình đã cho. Từ các kết quả trên, ta có: Đây là hàm không giải tích tại . Nên là điểm kỳ dị không chính quy của phương trình đã cho. Ta sẽ chứng minh là điểm kỳ dị không chính quy của phương trình đã cho. Ta có: . Đây là các hàm không giải tích tại . Nên là điểm kỳ dị không chính quy của phương trình đã cho. ∆ Định lý 2 Xét phương trình vi phân có dạng trong đó, là điểm kỳ dị chính quy, là bán kính hội tụ nhỏ nhất giữa hai hàm và , là nghiệm lớn nhất của phương trình chỉ định. Khi đó, phương trình trên có nghiệm dạng và nghiệm này hội tụ trong khoảng . ◙ Chú ý. Nếu phương trình chỉ định có hai nghiệm () thì theo định lý trên với chắc chắn là một nghiệm của phương trình vi phân. Đôi khi nghiệm còn lại có được từ sẽ là một nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính với nghiệm y(x). * Cách tìm phương trình chỉ định Phương trình chỉ định được tìm theo định nghĩa và đã được minh họa qua ví dụ. Định lý sau sẽ giúp xác định được phương trình chỉ định một cách đơn giản hơn. ∆ Định lý 3 Nếu là một điểm kỳ dị chính quy của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thì khi thay vào phương trình trên ta sẽ nhận được phương trình chỉ định bằng cách cho hệ số của lũy thừa thấp nhất của bằng không. ▪ Ví dụ 15 Tìm nghiệm của phương trình chỉ định liên kết với nghiệm chuỗi của phương trình: . Phương trình đã cho có x = 0 là điểm kỳ dị chính quy. Để tìm phương trình chỉ định ta thay vào phương trình đã cho, ta được: Vì lũy thừa thấp nhất của là nên ta được phương trình chỉ định là: hay Phương trình trên có hai nghiệm là . Ứng với nghiệm lớn của phương trình chỉ định là ta được một nghiệm dạng chuỗi quanh x = 0 của phương trình vi phân đã cho. ▪ Ví dụ 16 Tìm nghiệm của phương trình chỉ định liên kết với nghiệm chuỗi của phương trình . Phương trình trên có x = 3 là điểm kỳ dị chính quy. Để tìm phương trình chỉ định, ta thay vào phương trình đã cho, ta được: Để tìm hệ số của lũy thừa thấp nhất của ta cần biểu diễn mỗi số hạng của tổng trên thành các lũy thừa của . Để làm điều này, ta thay vào tổng trên, ta nhận được: Vì lũy thừa thấp nhất của là nên phương trình chỉ định là: hay Phương trình này có hai nghiệm là . Ứng với nghiệm lớn , ta được một nghiệm dạng chuỗi của phương trình vi phân đã cho. Vấn đề tiếp theo là làm thế nào tìm được nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính với nghiệm thứ nhất thu được từ nghiệm lớn của phương trình chỉ định. ∆ Định lý 4 Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với là điểm kỳ dị chính quy, là hai nghiệm phương trình chỉ định, . Trong mọi trường hợp, ta luôn có một nghiệm là Nghiệm còn lại được xác định như sau: (a) Nếu không là một số nguyên thì (2.16) (b) Nếu thì (2.17) (c) Nếu là một số nguyên thì (2.18) trong đó, là một hằng số và có bằng không hay không là phụ thuộc vào phương trình vi phân đã cho. ◙ Chú ý Nếu là điểm kỳ dị chính quy, ta dùng biến đổi . Khi đó phương trình vi phân nhận được sẽ nhận là điểm kỳ dị chính quy. 2.4 Cách thực hiện phương pháp Frobenius Để tìm nghiệm chuỗi của phương trình (2.19) có dạng trong đó, là điểm kỳ dị chính quy, ta làm các bước như sau: i) Kiểm tra là điểm kỳ dị chính quy của phương trình . ii) Xác dịnh phương trình chỉ định và tìm 2 nghiệm s1, s2 của phương trình này. iii) Xác định hệ thức truy hồi bằng cách thế chuỗi vào phương trình (2.19) và cho các hệ số của các lũy thừa của bằng không. iv) Sử dụng hệ thức truy hồi để tìm công thức tổng quát cho . Từ đó suy ra nghiệm thứ nhất của phương trình (2.19) là . v) Tìm nghiệm thứ hai theo các trường hợp: (a) Nếu không là một số nguyên thì giả sử một nghiệm có dạng (2.16) sau đó thực hiện như bước 3, bước 4, sử dụng (2.16) thay cho và thay cho . (b) Nếu thì giả sử một nghiệm có dạng (2.17) sau đó thực hiện như bước 3, 4 sử dụng (2.17) thay cho . (c) Nếu là một số nguyên thì giả sử một nghiệm có dạng (2.18) sau đó thực hiện như các bước 3, 4, sử dụng (2.18) thay cho . ◙ Chú ý Khi chỉ có một nghiệm dạng chuỗi Frobenius là y1(x) của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai, ta có thể tìm nghiệm y2(x) độc lập tuyến tính với nghiệm y1 (x) bằng cách sử dụng công thức: đã được trình bày ở chương 1. Áp dụng: *Phương trình Bessel: Phương trình Bessel bậc p là phương trình vi phân cấp hai có dạng (2.20) trong đó, là một số thực không âm. Nghiệm của phương trình này được gọi là hàm Bessel bậc Ta dùng phương pháp Frobenius để tìm nghệm của phương trình Bessel. ▪ Ví dụ 17 Tìm nghiệm của phương trình Bessel bậc với là điểm kỳ dị chính quy. Để tìm phương trình chỉ định, ta thế vào phương trình đã cho, sau đó cho hệ số của lũy thừa thấp nhất của là bằng không ta được: Phương trình này có hai nghiệm . Với ta có một nghiệm của phương trình đã cho có dạng . Tính rồi thế vào phương trình đã cho ta được: hay (2.21) Ta có: . Nên (2.21) trở thành: . hay . Từ đó, ta được: Vì nên Và các hệ số chẵn: hay Ta có thể viết: Từ đó, ta được: . Nên: Vậy ta được một nghiệm của phương trình đã cho là: . (2.22) Tiếp theo, ta cần tìm nghiệm sao cho và tạo thành hệ độc lập tuyến tính. Nghiệm có dạng: . Tính rồi thế vào phương trình đã cho ta được: . hay . (2.23) Ta có: . . Nên (2.23) trở thành: . hay . Từ đó, ta được: Vì nên Và các hệ số chẵn: hay Ta có thể viết: Từ đó, ta được: . Nên:  Suy ra: . Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: ▪ Ví dụ 18 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (2.24) dưới dạng chuỗi tại bằng cách sử dụng phương pháp Frobenius. Nếu chia hai vế của (2.24) cho ta được . Ta thấy và đều giải tích tại nên là điểm kỳ dị chính quy của phương trình đã cho. Để tìm phương trình chỉ định, ta thay vào vế trái của (2.24), ta được: . Do đó, phương trình chỉ định là: . hay . Từ đó ta được nghiệm kép . Thay chuỗi vào (2.24) ta được: . hay . Kết hợp hai chuỗi đầu tiên lại với nhau, ta được: . hay . (2.25) Thế vào chuỗi thứ hai, sau đó thay chỉ số thành , ta được: Ta có: Từ đó, (2.25) trở thành: hay Từ đó, ta được: Nên, hệ thức truy hồi là: Vì nên tất cả các hệ số lẻ đều bằng 0. Từ hệ thức truy hồi ở trên cho ta: hay Ta có thể viết: Điều này cho ta: Nên ta có kết quả sau: Từ kết quả trên ta có một nghiệm của phương trình đã cho là: , () hay . (2.26) Vì nên nghiệm thứ hai của phương trình đã cho có dạng: . Tính các đạo hàm: . . Thế vào phương trình đã cho, ta được: . (2.27) Vì là một nghiệm của (2.24) nên . Ta có: . Thế vào chuỗi thứ ba của (2.27), sau đó thay chỉ số bằng chỉ số ta được: . Từ các kết quả trên, ta được: . (2.28) Từ (2.26) tính sau đó thay vào (2.28), ta được: . hay . Cho các hệ số của các lũy thừa giống nhau của bằng 0, ta được: và Từ đó, ta có tất cả các hệ số lẻ đều bằng 0, và các hệ số chẵn đầu tiên là: Ta được nghiệm thứ hai là: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: , trong đó, được cho bởi (2.26), là các hằng số tùy ý. Chương 3: CÁC BÀI TOÁN 1. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA Bài 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: (3.1) với hai điều kiện như sau: , (1) và , . (2) Giải Trước tiên, ta giải bài toán với điều kiện ban đầu (1). Thế , , vào phương trình ta được . Lấy đạo hàm phương trình đã cho Từ đó, Vậy ta có một nghiệm riêng Bây giờ giải bài toán với điều kiện ban đầu (2), cũng lấy đạo hàm lần lượt ta được Kết hợp với điều kiện (2) ta được Vậy Ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: Bài 2: Giải phương trình (3.2) với , . Giải Giả sử nghiệm của phương trình đã cho có dạng: . Khi đó: Thế vào phương trình đã cho, ta được: . Từ đó, ta có hệ phương trình đại số các hệ số là: Như vậy, Với điều kiện ban đầu , , ta sẽ có: suy ra các hệ số tiếp theo và ta được: là ngiệm của phương trình đã cho. Bài 3 : Giải phương trình (3.3) với . Giải Giả sử nghiệm của phương trình đã cho có dạng . Khi đó: Thế vào phương trình đã cho, ta được: hay (3.4) Vì nên (3.4) trở thành: Cân bằng hệ số hai vế ta được: (3.5) Điều kiện ban đầu cho ta . Vì nên (3.5) cho ta Và các hệ số lẻ là: Tổng quát, ta có: . Xét . Do đó: . Từ các kết quả trên, ta được: . Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: . Bài 4: Tìm ba số hạng khác không đầu tiên trong hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân sau: . (3.6) Giải Vì là một điểm kỳ dị của phương trình đã cho nên ta không tìm nghiệm ở dạng . Ta tìm nghiệm có dạng: . Đây là chuỗi lũy thừa có tâm tại và không là điểm kỳ dị của phương trình. Ta tính các đạo hàm: Thế vào phương trình đã cho, ta được: . Ta cần biến đổi vế trái của phương trình trên thành các lũy thừa của . Để làm điều đó, ta thế vào phương trình trên ta được: (3.7) Vì , nên (3.7) trở thành: . Kết hợp hai chuỗi của phương trình trên, ta được: . Cân bằng hệ số hai vế ta được: hay (3.8) Ta muốn tìm hai nghiệm độc lập tuyến tính. Để làm điều đó, ta có thể chọn hai số hạng đầu tiên của chuỗi. Cách chọn đơn giản nhất là: và . Với , (3.8) cho ta: , , Suy ra nghiệm thứ nhất của phương trình đã cho là: Với , (3.8) cho ta: , Suy ra nghiệm thứ hai của phương trình đã cho là: Khi đó, và là hai nghiệm độc lập tuyến tính thỏa yêu cầu bài toán. Bài 5: Giải phương trình . (3.9) Giải Ta sử dụng phương pháp chuỗi số để giải phương trình trên. Giả sử nghiệm của phương trình đã cho có dạng . Khi đó: Thế vào phương trình đã cho, ta được: hay . (3.10) Vì nên (3.10) trở thành: . Cân bằng hệ số hai vế ta được: hay và , , , , Tiếp tục tính các hệ số với theo quy luật trên thì: Nếu thì = Nếu thì Nếu thì Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: , với là các hằng số tùy ý. ◙ Chú ý Trong công thức nghiệm tổng quát, phần ứng với là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng, phần còn lại là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. Bài 6: Tìm bốn số hạng đầu tiên trong mỗi phần của nghiệm chuỗi quanh của phương trình sau: . (3.11) Giải Ta tìm nghiệm có dạng: . (3.12) Khi đó, Thế vào phương trình đã cho, ta được: . Ta cần biến đổi vế trái của phương trình trên thành các lũy thừa của . Để làm điều đó, ta thế vào phương trình trên ta được: . hay . (3.13) Vì , , nên (3.13) trở thành: . Kết hợp hai chuỗi của phương trình trên, ta được: . Cân bằng hệ số hai vế, ta được: hay Ta tính các hệ số đầu tiên là: , , , Thay các hệ số vừa tìm được ở trên vào (3.13), ta được: Sắp xếp các số hạng phụ thuộc vào , ta được: là nghiệm thỏa yêu cầu bài toán. Bài 7: Tìm bốn số hạng đầu tiên trong mỗi phần của nghiệm chuỗi quanh của phương trình sau: . (3.14) Giải Ta tìm nghiệm có dạng: . Khi đó: Thế vào phương trình đã cho, ta được: hay Vì nên phương trình trên trở thành: . Điều này cho ta: . hay . Từ đó, ta được hệ thức truy hồi là: Ta tính vài hệ số đầu tiên là: , , , Tiếp tục tính các hệ số tiếp theo, ta thấy: Từ các kết quả trên, ta được nghiệm của phương trình đã cho là: . Vì không có điều kiện cho nên là các hằng số tùy ý. Bài 8: Giải phương trình bằng phương pháp chuỗi lũy thừa: . (3.15) Giải Giả sử nghiệm của phương trình đã cho có dạng . (3.16) Khi đó: Thế vào phương trình đã cho, ta được: Kết hợp hai chuỗi trong phương trình trên, ta được: . Từ đó, ta được: . Ta tìm được hệ thức truy hồi là: . Ta tính vài hệ số đầu tiên là: , , , Tiếp tục tính các hệ số tiếp theo, ta thấy: . Thế các hệ số vừa tìm được vào (3.17), ta được: . hay là nghiệm của phương trình đã cho. Bài 9: Giải phương trình . (3.17) Giải Ta sử dụng phương pháp chuỗi lũy thừa để giải phương trình trên. Giả sử nghiệm của phương trình đã cho có dạng . Khi đó: Thế vào phương trình đã cho, ta được: hay . Cho các hệ số của các lũy thừa của trong vế trái phương trình này bằng 0, ta được: Vì nên ta được hệ thức truy hồi là: Ta tính vài hệ số đầu tiên là: , , , , , , , Tiếp tục tính các hệ số theo quy luật trên, ta có kết quả: Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: . hay . Vì không có điều kiện cho nên là các hằng số tùy ý. Bài 10: Giải phương trình bằng phương pháp chuỗi lũy thừa: (3.18) Giải Giả sử nghiệm của phương trình đã cho có dạng . (3.19) Khi đó: Thế vào phương trình đã cho, ta được: Kết hợp hai chuỗi trong vế trái của phương trình trên, ta được: . Từ đó, ta được: Vì nên ta được hệ thức truy hồi là: Ta tính một vài hệ số đầu tiên là: , , , Tiếp tục tính các hệ số theo quy luật trên ta được kết quả sau đây: Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: . Vì không có điều kiện cho nên là hằng số tùy ý. Bài 11: Dùng phương pháp chuỗi lũy thừa để giải phương trình sau: . (3.20) Giải Giả sử nghiệm của phương trình đã cho có dạng . Khi đó: Thế vào phương trình đã cho, ta được: hay Cho các hệ số của các lũy thừa của trong vế trái phương trình này bằng 0, ta được: Vì nên ta có hệ thức truy hồi là: Ta tính vài hệ số đầu tiên là: , , , , , Tổng quát, ta có: và . (3.21) Xét Do đó: . (3.22) Thế (3.21) vào (3.22), ta được: . Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: . Vì không có điều kiện cho nên là hằng số tùy ý. Bài 12: Dùng phương pháp chuỗi lũy thừa để giải phương trình sau: . (3.23) Giải Giả sử nghiệm của phương trình đã cho có dạng . Khi đó: Thế vào phương trình đã cho, ta được: hay . Cho các hệ số của các lũy thừa của trong vế trái phương trình này bằng 0, ta được: Vì nên ta có hệ thức truy hồi là: Ta tính vài hệ số đầu tiên là: , , , , , Tổng quát, ta có: và , Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: . hay . Vì không có điều kiện cho nên là hằng số tùy ý. Bài 13: Tìm một nghiệm chuỗi lũy thừa của phương trình sau tại . (3.24) Giải Nghiệm chuỗi lũy thừa cần tìm có dạng là: . (3.25) Ta có hai cách để tìm các hệ số của chuỗi lũy thừa trên: Cách thứ nhất: Thế chuỗi lũy thùa trên vào phương trình đã cho, sắp xếp theo các lũy thừa giống nhau của lại, các các hệ số bằng không. Từ đó suy ra hệ thức liên hệ và nghiệm cần tìm. Cách thứ hai: Đặt , phương trình đã cho trở thành: (3.26) Theo cách này, để thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta cần tìm một nghiệm chuỗi theo các lũy thừa của tại của phương trình (3.27), đó là: . Khi đó: Thế vào phương trình (3.26), ta được: hay . Cho các hệ số ở vế trái phương trình này bằng 0, ta được: Vì nên ta được hệ thức truy hồi là: . (3.27) Suy ra nghiệm của phương trình (3.26) là: . Từ các kết quả trên ta được nghiệm cần tìm của phương trình đã cho là: trong đó, là các hằng số tùy ý. 2. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP FRONENIUS Bài 1: Tìm nghiệm tổng quát ở dạng chuỗi tại của phương trình sau: (3.28) Giải Trước hết ta thấy là điểm kỳ dị chính quy của phương trình trên vì đều là các đa thức. Nghiệm chuỗi ta tìm được sẽ hội tụ với mọi . Để tìm phương trình chỉ định, ta thế vào phương trình đã cho, ta được: Ta cho hệ số thấp nhất của là bằng 0, ta được phương trình chỉ định là: hay Phương trình này có hai nghiệm là: và . Ta được một nghiệm của phương trình đã cho có dạng là: Ta tính các đạo hàm , sau đó thế vào phương trình đã cho, ta được: Kết hợp các số hạng có cùng lũy thừa của lại với nhau, ta được: Vì nên phương trình trên trở thành: Cho tất cả hệ số trong vế trái của phương trình này bằng 0, ta đươc: Vì , nên ta được hệ thức truy hồi là: Từ hệ thức trên ta thấy . Do đó, . Vì không có điều kiện cho nên là hằng số tùy ý. Chọn , ta được nghiệm thứ nhất là: Ta cần tìm một nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính có dạng là: Các đạo hàm cấp một, cấp hai của là: Thế vào phương trình đã cho, ta được: Kết hợp các lũy thừa giống nhau của ta được: hay Ta có thể viết: Từ đây, ta được: Suy ra: là hằng số tùy ý, và hệ thức truy hồi: Điều này tương đương với Ta thấy: Nên Cho , ta được nghiệm thứ hai là: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trong đó là các hằng số tùy ý. Bài 2: Tìm nghiệm tổng quát là chuỗi tại của phương trình sau: (3.29) Giải Chia hai vế của phương trình trên cho , ta được: Từ đây, ta có: và đều giải tích tại , nên là điểm kỳ dị chính quy. Vì bán kính hội tụ của cả hai hàm và là , nên nghiệm của phương trình sẽ hội tụ trên . Để tìm phương trình chỉ định, ta thế vào phương trình đã cho, ta được: Ta cho hệ số thấp nhất của là bằng 0, ta được phương trình chỉ định là: hay Phương trình này có hai nghiệm là: và . Ta được một nghiệm của phương trình đã cho có dạng là: Ta tính các đạo hàm , sau đó thế vào phương trình đã cho, ta được: Kết hợp các số hạng có cùng lũy thừa của lại với nhau, ta được: hay Vì nên phương trình trên trở thành: Cho tất cả hệ số trong vế trái của phương trình này bằng 0, ta được hệ thức truy hồi là: Ta có thể viết: Ta thấy: Nên: Vì không có điều kiện cho nên là hằng số tùy ý. Chọn , ta được nghiệm thứ nhất là: Ta có: , với . Lấy đạo hàm hai vế, ta được: Nên nghiệm thứ nhất là: Ta cần tìm một nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính. Ta có thể tìm bằng công thức: . Ta tính: , với , ( là hằng số). Nghĩa là hay Từ các kết quả trên, ta có nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: Bài 3: Tìm nghiệm chuỗi Frobenius của phương trình sau: . Giải Nhận xét: là điểm kỳ dị chính quy của phương trình đã cho. Nên ta sẽ tìm nghiệm chuỗi Frobenius có dạng sau: . Để tìm phương trình chỉ định, ta thế vào phương trình đã cho, ta được: Cho hệ số của lũy thừa thấp nhất của là bằng 0, ta được phương trình chỉ định là: hay Phương trình này có hai nghiệm là: . Ta được một nghiệm của phương trình đã cho có dạng là: Ta tính các đạo hàm , sau đó thế vào phương trình đã cho, ta được: hay Kết hợp các số hạng có cùng lũy thừa của lại với nhau, ta được: Vì nên phương trình trên trở thành: hay Ta suy ra: hay và hệ thức truy hồi: Ta tìm vài hệ số đầu tiên là: Vậy nghiệm thứ nhất là: Ta sẽ tìm nghiệm thứ hai. Với , nghiệm thứ hai sẽ có dạng là: Thực hiện các bước tương tự như trên, ta được: và Khi đó: Nên nghiệm thứ hai cần tìm là: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: + Bài 4: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Bessel bậc sau: Giải Nhận xét: là điểm kỳ dị chính quy của phương trình đã cho. Để tìm phương trình chỉ định, ta cho thế vào phương trình đã cho, rồi cho hệ số thấp nhất của là bằng 0, ta được: hay Phương trình này có hai nghiệm là: và . Thế vào phương trình đã cho, ta được: hay Nếu ta xét nghiệm nhỏ của phương trình chỉ định, ta thấy hệ số nhân với bằng 0 và hệ số nhân với cũng bằng 0. Nên và là các hằng số tùy ý. Và các hệ số tiếp theo được cho bởi hệ thức truy hồi là: hay Ta có thể viết: Ta tìm một vài hệ số đầu tiên là: , , , Theo quy luật trên, một cách tổng quát ta được kết quả: và Ta được nghiệm của phương trình là: Hay ta có thể viết: Vì , không được xác định và độc lập tuyến tính nên nghiệm tìm được ở trên là nghiệm tổng quát của phương trình đã cho. Bài 5: Tìm vài số hạng đầu tiên trong nghiệm chuỗi quanh của phương trình sau Giải Nhận xét: là điểm kỳ dị chính quy của phương trình đã cho và nghiệm chuỗi sẽ hội tụ ít nhất trên , ngoại trừ . Vì nên phương trình đã cho trở thành: Thế vào phương trình này, ta được: hay (3.30) Từ đây, ta suy ra phương trình chỉ định là: hay Phương trình này có hai nghiệm là: và . Ta có nghiệm thứ nhất ứng với có dạng . Cho các hệ số trong (3.30) bằng 0, ta được: Thế vào các phương trình trên, ta được: Nên bốn số hạng đầu tiên của nghiệm thứ nhất là: Ta tìm nghiệm thứ hai ứng với . Nghiệm thứ hai có dạng: . Tương tự như trên, ta tìm được nghiệm thứ hai là . Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: Bài 6: Tìm nghiệm tổng quát dưới dạng chuỗi quanh của phương trình sau Giải Điểm là điểm kỳ dị chính quy của phương trình đã cho. Nghiệm chuỗi nhận được sẽ hội tụ với mọi , ngoại trừ . Ta thế vào phương trình đã cho, ta được: hay Vì nên phương trình trên trở thành: (3.31) Để tìm phương trình chỉ định, ta cho hệ số thấp nhất của bằng 0. Vì nên phương trình chỉ định là: hay Phương trình này có hai nghiệm là: . Nghiệm thứ nhất có dạng: Cho các hệ số còn lại trong (3.31) bằng 0, ta được hệ thức truy hồi là: Suy ra nghiệm thứ nhất ứng với có các hệ số là: hay Ta có thể viết: Ta thấy: Suy ra: Nên nghiệm thứ nhất là: Ta nhận ra: . Ta tìm nghiệm thứ hai như sau: hay Suy ra: Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: ◙ Chú ý Ta có thể tìm nghiệm còn lại . Khi đó, ta thực hiện tương tự như phương pháp để tìm, với hệ thức truy hồi là: hay Điều này cho ta: Và nghiệm thứ hai là: PHẦN KẾT LUẬN Luận văn đã trình bày về phương pháp chuỗi lũy thừa và phương pháp Frobenius và vận dụng của phương pháp này vào giải một số lớp phương trình vi phân. Tuy nhiên đề tài chỉ dừng lại ở mức độ giới thiệu và mô tả hai phương pháp, đưa ra các khái niệm, các định lý, chú trọng vào kỹ thuật, không đi sâu vào việc chứng minh các định lý có liên quan.. Vì khuôn khổ của bài luận văn có giới hạn nên đề tài này chưa nghiên cứu đến việc vận dụng chuỗi Fourier để giải lớp phương trình vi phân khác,.... Nếu có điều kiện em sẽ tiếp tục nghiên cứu việc ứng dụng chuỗi Fourier để giải lớp phương trình vi phân có nghiệm tuần hoàn. Trong quá trình thực hiện đề tài, mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng nhưng sẽ không tránh khỏi những sai lầm thiếu sót. Kính mong quý thầy cô đóng góp ý kiến để đề tài này được hoàn thiện hơn. Sinh viên thực hiện. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Alex Himonas, Alan Howard, Calculus- Ideas and Application, John Willey & Sons, Inc. [2] James Steward ,McMaster University, Calculus, Brooks/ Cole Publishing Company. [3] Nguyễn Đình Phư, Phương trình vi phân, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Tp. HCM, 2002. [4] Nguyễn Hữu Khánh, Vi tích phân A2, Đại học Cần Thơ, 1999. [5] N.Piskunov, English Translation, Differential and Integral Calculus II, Mir Publisher 1981. [6] Phan Tuấn Kiệt, Về nghiệm dạng chuỗi của phương trình vi phân, Luận văn Thạc sĩ Toán học, 2007. [7] Professor of Mathematics: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, John Willey & Sons, Inc, printed in Singapore. [8] Vavid Lomen , David LoveLock – NewYork, Differential Equation, John Willey & Sons, Inc. [9] Series Methods_( Tài liệu trên mạng). [10]  HYPERLINK "" Frobenius Series Solution of a Differential Equation _ ( Tài liệu trên mạng). [11] Solutions of Differential Equations_ ( Tài liệu trên mạng). [12] Series Solution of Differential Equation_ ( Tài liệu trên mạng). Và một số trang web có địa chỉ là: http:// college.cengage.com/mathematics/larson/calculas analytic. http:// www.jistor.org/pss. http://  HYPERLINK "" www.trakya.edu.tr/Enstituler/Fen Bilimleri.  HYPERLINK "" notes.com/wiley CDA/cliffs Reiview Topic/solutions-of-Differental-Equation.topic.  HYPERLINK " Differential Equation.html"  Differential Equation.html.  HYPERLINK "" .  HYPERLINK "" .  HYPERLINK "" .  HYPERLINK "" .  HYPERLINK "" .