Góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học một số nội dung phương trình

h thức dạy học phân hoá (nội tại) nhằm kích thích mỗi học sinh học tập với sự nỗ lực trí tuệ phù hợp với trình độ và năng lực nhận thức của bản thân. Dạy học phân hoá xuất phát từ sự biện chứng của thống nhất và phân hoá, từ yêu cầu đảm bảo thực hiện tốt các mục tiêu dạy học đối với tất cả mọi học sinh là đào tạo con người lao động tự chủ, năng động, sáng tạo, tạo điều kiện cho mỗi thành viên hoạt động trong một lĩnh vực phù hợp với năng lực cá nhân, khai thác tiềm năng, tạo điều kiện tối ưu cho sự phát triển năng lực của họ. Phân hoá nội tại (còn gọi là phân hoá trong), tức là dùng những biện pháp phân hoá thích hợp trong một lớp học thống nhất với cùng một kế hoạch học tập, cùng một chương trình và sách giáo khoa. Để việc dạy học phân hoá theo hướng phát triển tư duy thuật giải đạt hiệu quả cao đòi hỏi phải xác định được mức độ tập luyện sát sao với trình độ học sinh. Muốn vậy cần phải thực hiện phân bậc hoạt động tư duy thuật giải. Sự phân bậc hoạt động dựa vào các căn cứ sau: Phân bậc theo bình diện nhận thức Đặc tính cụ thể hay trừu tượng của đối tượng là một căn cứ để phân bậc hoạt động tư duy thuật giải. Bậc thấp: Tiến hành hoạt động trên những đối tượng cụ thể. Ví dụ 1. Giải các phương trình: a. x2 – x – 6 = 0; b. 2x2 – 3x + 5 = 0; c. 4x2 + 12x + 9 = 0 Bậc cao: Tiến hành hoạt động tư duy thuật giải trên đối tượng trừu tượng hơn. Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình bậc hai với hệ số chứa tham số. Chẳng hạn: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: mx2 – 2(m + 3)x + m + 1 = 0 (*). Giải: Hệ số a = m, nên ta xét hai trường hợp: + Trường hợp 1. Nếu m = 0. Khi đó phương trình có dạng: 6x + 1 = 0 + Trường hợp 2. Nếu m 0. Ta có : * Nếu phương trình vô nghiệm. * Nếu phương trình có nghiệm kép. * Nếu phương trình có 2 nghiệm phân biệt Kết luận: + m = 0 ị phương trình có nghiệm + phương trình vô nghiệm. + phương trình có nghiệm kép. + phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Phân bậc theo nội dung của hoạt động tư duy thuật giải Các hoạt động tư duy thuật giải có thể được phân bậc dựa trên nội dung của hoạt động. Nội dung của hoạt đọng là những tri thức liên quan tới hoạt động và những điều kiện khác của hoạt động. Bậc thấp: Mô tả thuật giải bằng ngôn ngữ toán học: Chẳng hạn trong sách giáo khoa đại số 10 (năm 2000) đã nêu thuật giải giải phương trình: ax2 + bx + c = 0 và : ax + b = 0. Sách giáo khoa đại số - Giải tích 11 nêu thuật giải giải các phương trình: phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: phương trình asinx + bcosx = c; asin2x + bsinxcosx + c.cos2x = 0; a (sinx+cosx) + bsinxcosx = c; phương trình mũ cơ bản; phương trình logarit cơ bản. Bậc cao: Mô tả thuật giải bằng ngôn ngữ sơ đồ khối hoặc ngôn ngữ phỏng trình. Bắt đầu Nhập các hệ số a, b, c, a, b ẻR; k ẻZ Hệ số a, b không thoả mãn giả thiết PT có 2 nghiệm là: x:=x1; x:=x2 a 0 b 0 a: = ; b: = c: = a: = cosa ; b: = sina a: = 1; b: = 0; x: = x + a Thoát + |c| > 1 sinb: = c x1: = b - a + k2p; x2: = p - b - a + k2p + Bậc cao hơn nữa: Mô tả thuật giải bằng ngôn ngữ lập trình. 2.2.3.3. Phân bậc theo sự phức hợp của hoạt động tư duy thuật giải Sự phức hợp của hoạt động cũng là một căn cứ để phân bậc các hoạt động tư duy thuật giải. Bậc thấp: Xây dựng một thuật giải. Bậc cao: Xây dựng thuật giải tối ưu hơn. Ví dụ 1. Giải phương trình: sinx + cosx = 1. Có thể giải phương trình này theo thuật giải đã có ở sách giáo khoa. Tuy nhiên, ta cần hướng dẫn học sinh tìm thuật giải tối ưu hơn để giải phương trình này như sau: Bước 1. Đánh giá: (1) (2) Bước 2. thực hiện cộng hai vế (1) và (2) ta có: Hay sinx + cosx 1. Dấu “=” xảy ra Chúng ta cần cho học sinh so sánh thuật giải này với thuật giải đã biết ở sách giáo khoa khi áp dụng vào giải phương trình. Thuật giải trên tối ưu hơn ở chỗ ngắn gọn và đặc biệt là có thể áp dụng cho bài toán tổng quát giải phương trình: sinnx + cosnx = 1 Cách giải: Bước 1. Nhập n; Bước 2. Nếu n < 2 thì: Bước 2.1. Nhận xét: sinn x ³ sin2 x (1) cosn x ³ cos2x (2) Bước 2.2. Thực hiện cộng theo hai vế bất đẳng thức (1), (2). Ta được: . Bước 2.3. Dấu “=” xảy ra Ngược lại. Bước 3. Nếu n 2 thì: Bước 3.1. Nhận xét: sinn x Ê sin2 x (1) cosn x Ê cos2x (2) Bước 3.2. Thực hiện cộng theo hai vế bất đẳng thức (1), (2). Ta được: . Bước 3.3. Dấu “=” xảy ra Ngược lại: Có thể phân bậc sự phức hợp của hoạt động tư duy thuật giải theo căn cứ: b. Bậc thấp: Biết cách làm trên một loạt trường hợp tương tự với trường hợp đã làm. Bậc cao: Khái quát hoá cách làm trên các trường hợp cụ thể thành cách làm cho trường hợp tổng quát. Ví dụ 2. Giải các phương trình: Từ cách giải các phương trình trên, ta đưa ra thuật giải phương trình tổng quát như sau: Bước 1. Biến đổi phương trình thành dạng: Bước 2. Đặt điều kiện Bước 3. Khử căn thức bằng cách bình phương hai vế. Bước 4. Giải phương trình Bước 5. Tìm nghiệm thoả mãn điều kiện bước 2 Bước 6. Trả lời. 2.2.3.4. Phân bậc theo chất lượng của hoạt động tư duy thuật giải Sự phân bậc các hoạt động tư duy thuật giải còn dựa trên chất lượng của hoạt động. Bậc thấp: Biết tiến hành hoạt động tư duy thuật giải. Bậc cao: Có kỹ năng tiến hành hoạt động tư duy thuật giải. Bậc cao hơn nữa: Có kỹ xảo tiến hành hoạt động tư duy thuật giải. Cách khác. b. Bậc thấp: Tiến hành hoạt động tư duy thuật giải với sự giúp đỡ của giáo viên. Bậc cao: Độc lập tiến hành hoạt động tư duy thuật giải. Bảng sau đây cho biết mỗi hoạt động tư duy thuật giải thường được phân bậc theo khả năng nào. Hoạt động tư duy thuật giải Khả năng phân bậc T1 3.1; 3.4 T2 3.1; 3.3a; 3.4a; 3.4b T3 3.1; 3.3b; 3.4a; 3.4b T4 3.1; 3.2; 3.4a; 3.4b T5 3.1; 3.3a; 3.4a; 3.4b Sự phân bậc các hoạt động tư duy thuật giải giúp cho giáo viên nắm bắt được tình hình hoạt động toán học của học sinh trong quá trình dạy học giải toán phương trình. Trên cơ sở nhận thức của học sinh để giáo viên lựa chọn các hoạt động phát triển tư duy thuật giải phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh. Rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình cho học sinh Biến đổi phương trình đã cho về phương trình đã có thuật giải là việc rất quan trọng. Hầu hết các phương trình đều cho ở dạng phức tạp, gây khó khăn cho học sinh trong quá trình giải. Do đó để giải phương trình đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng biến đổi phương trình. Kỹ năng biến đổi phương trình được hiểu là khả năng thực hiện các phép biến đổi cơ sở để đưa phương trình về dạng đơn giản nhất một cách có định hướng. Chúng ta có thể chia việc rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình theo hai cấp độ. Kỹ năng biến đổi các tri thức liên quan đến việc giải phương trình Ví dụ 1. Sau khi dạy xong các phép biến đổi tương đương hai phương trình, giáo viên có thể ra bài tập để học sinh tập luyện và nắm vững các phép biến đổi tương đương. Giải các phương trình sau: Đồng thời tập luyện cho học sinh phát hiện các sai lầm khi áp dụng. Ví dụ 2. Giải phương trình: Ta cho học sinh kiểm tra lời giải sau, yêu cầu học sinh tìm sai lầm của lời giải và cách khắc phục sai lầm. Lời giải. Điều kiện xác định: Phương trình 2x – 2 = 4 x =3. Vậy phương trình có nghiệm: x = 3. Ví dụ 3. Khi dạy về công thức lượng giác, phần công thức biến đổi tích thành tổng, giáo viên yêu cầu học sinh làm các bài tập. 1.Tính: 2. Biến đổi thành tổng các biểu thức: a. A = cos5x.cos3x b. B = 4sinx.sin2x.sin3x Bài tập (1) giúp học sinh tập luyện hoạt động thứ nhất của tư duy thuật giải. Bài tập (2) tập luyện hoạt động quy lạ về quen, giúp học sinh củng cố được kiến thức một cách bền vững. Trong quá trình dạy học các công thức liên quan đến đến việc giải phương trình, cần chú ý đến hoạt động nhận dạng và thể hiện công thức nhằm khắc phục tình trạng học một cách máy móc, thuộc vẹt công thức mà không hiểu đúng bản chất của công thức. Chẳng hạn khi học công thức: , tađưa ra công thức và hỏi học sinh bằng bao nhiêu, thì học sinh có thể trả lời: Hay khi dạy công thức nhân đôi: sin2a = 2sinacosa nhưng học sinh lại không biết biểu diễn sin a theo và Để khắc phục điều này, giáo viên cần cho học sinh tập luyện các hoạt động nhận dạng và thể hiện công thức theo hai chiều xuôi và ngược. Giáo viên có thể cho học sinh: (1). Nhận xét và rút ra dấu hiệu bản chất của công thức. (2). Đối chiếu chính xác, chắc chắn mọi chi tiết của công thức. (3). Biến đổi và tập sử dụng thành thạo đồng nhất thức. Ví dụ. Giáo viên hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh công thức: sin2x + cos2x = 1 theo các hoạt động sau. Các công thức nào cho dưới đây là đúng? a. cos22x + sin22x = 1 (Đúng) b. (Sai) c. (Sai) d. sin2(a-b)+ cos2(a-b) =1 (Đúng) e. cos2x + sin2x = 1 (Sai) g. sin4x – cos4x = 1 (Sai) Ta căn cứ vào hoạt động (1) để nhận biết (a) và (d). Hoạt động (2) nhận được (b), (c), (e) và hoạt động (3) nhận được (g). Từ hoạt động (2), giáo viên yêu cầu học sinh rút ra 4 dấu hiệu để nhận biết công thức là: * Trong công thức phải có hai hàm số sin và cos. * Các hàm sin và cos của cùng một góc (hoặc cùng một cung) * Số mũ là 2. * Tổng bằng 1. Để tăng cường khả năng nhận dạng và thể hiện công thức, giáo viên yêu cầu học sinh: Số “1” có thể được viết dưới dạng công thức lượng giác nào? 1 = sin2x + cos2x cos2x = 1 – sin2x sin2x = 1 – cos2x Như vậy, việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi các tri thức liên quan đến phương trình một mặt phát triển các hoạt động của tư duy thuật giải (sử dụng đúng phép biến đổi tương đương, vận dụng thành thạo công thức chính là phát triển hoạt động (T1) của tư duy thuật giải), đồng thời có kỹ năng biến đổi thì học sinh mới hiểu và thực hiện tốt các dạng phương trình đã có thuật giải cũng như xây dựng thuật giải để giải các dạng phương trình chưa có thuật giải. Ví dụ 3. Nếu trong quá trình dạy học công thức biến đổi tổng thành tích, giáo viên cho học sinh vận dụng để biến đổi: sinx + cosx thành và tập luyện cho học sinh nắm vững công thức nhân đôi, công thức hạ bậc... thì sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc thực hiện các thuật giải 5, 6, 7 (mục 2.2.2.) Ví dụ 4. Giải phương trình. Bước 1. Hạ bậc vế trái: Bước 2. Tiếp tục hạ bậc vế trái ta có: Bước 3. Đưa phương trình về dạng: Û cos6x + cos4x = 0 Bước 4. Đưa phương trình về dạng tích. 2cos5x.cosx = 0 Bước 5. Giải các phương trình cơ bản đặc biệt. Rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình Không phải phương trình nào cũng có thể nhìn ra ngay được cần sử dụng phép biến đổi hay công thức nào để biến đổi mang lại kết quả. Do đó, rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình chính là rèn luyện cách nhìn nhận phương trình dưới nhiều góc độ khác nhau. Một số cách biến đổi phương trình thường áp dụng. Biến đổi phương trình từ dạng phức tạp thành dạng đơn giản hơn. Đặc biệt hoá để dự đoán kết quả bài toán. Rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình vừa là mục đích của dạy học nội dung phương trình vừa góp phần phát triển tư duy thuật giải của học sinh. Truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp về tư duy thuật giải trong khi tổ chức, điều khiển tập luyện các hoạt động thông qua dạy học giải phương trình Trong khi dạy học sinh xây dựng thuật giải cụ thể cho một dạng phương trình nào đó, giáo viên cần phải truyền thụ cho học sinh những kinh nghiệm và nghệ thuật trong phương pháp suy nghĩ, giúp học sinh tự xây dựng được thuật giải trong những tình huống mới. Quá trình xây dựng một thuật giải cũng là quá trình giải một bài toán chưa có thuật giải. Vì vậy, những tri thức phương pháp về tư duy thuật giải phải là bộ phận hợp thành tri thức phương pháp giải bài toán nói chung và phải phản ánh được nét đặc thù riêng biệt của quá trình này. Sau đây là những tri thức phương pháp cần truyền thụ cho học sinh: + Tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp, phát hiện những đặc thù, dấu hiệu riêng biệt của bài toán. + Phân tích bài toán để thấy rõ giả thiết và kết luận của bài toán. + Phân tích bài toán thành từng bộ phận hoặc thành những bài toán đơn giản hơn. + Mò mẫm và dự đoán bằng cách phân chia thành các trường hợp. Xem xét các trường hợp (kết hợp với suy luận) bằng cách xét các trường hợp đặc biệt, tương tự, khái quát.... + Quy lạ về quen. + Kiểm tra và nghiên cứu lời giải, tìm cách giải hợp lý hơn bằng cách khắc phục điều chưa hợp lý của lời giải cũ hoặc thay đổi cách nhìn đối với bài toán; sử dụng kết quả hay cách giải bài toán cho bài toán khác; đề xuất bài toán mới. Tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp Tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp, phát hiện những đặc điểm, dấu hiệu riêng biệt của bài toán. Ví dụ 1. Giải phương trình. x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24. Mới nhìn ta thấy phương trình có dạng không bình thường. Tuy nhiên, nếu để ý kỹ hơn ta thấy phương trình có đặc điểm đặc biệt là: Vế trái = x(x + 3)(x + 1)(x + 2) = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 3) Từ đặc điểm này ta đặt: t = x2 + 3x, với điều kiện thì phương trình đưa về dạng: t( t2 + 3) = 24 Hay t2 + 3t - 24 = 0 Ví dụ 2. Giải phương trình: Thoạt nhìn thì có lẽ ai cũng hoảng sợ vì trước mắt chúng ta là một phương trình mũ vô tỷ với cơ số phức tạp. Nhưng nếu ta xem xét kỹ hai cơ số thì thấy chúng có mối liên hệ đặc biệt: Từ đặc điểm này, ta thấy có thể biểu diễn và ta đưa phương trình về dạng với t =, t > 0. hay t2 - 14t + 1 = 0. Như vậy, một số phương trình chúng ta sẽ tìm được thuật giải nếu xem xét kỹ để phát hiện ra những đặc điểm riêng biệt của chúng. Phân tích giả thiết và kết luận của bài toán Trong một số bài toán thì giả thiết và kết luận bao giờ cũng có mối liên hệ với nhau. ở một số bài toán mối liên hệ ấy dễ dàng thấy được nhưng cũng có nhiều bài toán mới nhìn qua khó có thể thấy dược mối liên hệ ấy. Vì vậy, việc phân tích bài toán để thấy ró giả thiết và kết luận để từ đó tìm ra mối liên hệ giữa chúng sẽ góp phần xây dựng thuật giải. Ví dụ: Cho phương trình: x2 + 5x + 2 = 0 có 2 nghiệm x1, x2. Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức: M = x13 + x23. Phân tích: Ta thấy biểu thức M chứa hai nghiệm x1, x2 của phương trình đã cho. Để tính giá trị của biểu thức M ta cần phải tính giá trị cụ thể 2 nghiệm x1, x2. Nhưng yêu cầu bài toán là không giải phương trình có nghĩa là không được tính cụ thể x1, x2 bằng bao nhiêu thì ta cũng phải tính được giá trị của biểu thức M. Ta để ý đến đặc điểm của biểu thức M dẫn đến chúng ta biến đổi biểu thức M như sau: M =(x1 + x2)(x12 - x1x2 + x22). Mặt khác theo giả thiết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình nên: . Điều này gợi ý cho ta biến đổi biểu thức M về chỉ chứa (x1+ x2) và (x1.x2). Từ đó, ta tiếp tục biến đổi Từ sự phân tích trên, ta đưa ra thuật giải tính giá trị biểu thức M như sau: Bước 1: Biến đổi biểu thức M về chỉ chứa tổng (x1 + x2) và tính x1.x2: M = (x1 + x2)(x12 - x1x2 + x22) = (x1 + x2)[(x1 + x2)2 - 3x1x2] Bước 2: Tính tổng (x1 + x2) và x1.x2 theo Viet: . Bước 3: Thay vào biểu thức M và rút gọn. Phân tích bài toán thành từng bộ phận Đối với những phương trình phức tạp (chứa căn thức, chứa dấu giá trị tuyệt đối, chứa nhiều hàm số lượng giác, số mũ lớn...) thường gây rất nhiều khó khăn cho học sinh trong quá trình giải. Vì vậy, trong quá trình dạy học giải phương trình, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh cách đơn giản hoá bài toán hoặc phân chia thành các bài toán riêng lẻ để dễ tìm cách giải. Ví dụ. Giải phương trình: Khi gặp bài toán này, cách giải học sinh thường dùng là quy đồng mất mẫu hai vế. Với cách làm này dẫn đến học sinh cùng một lúc thực hiện nhiều phép biến đổi và áp dụng nhiều công thức lượng giác. Cách làm này đưa học sinh gặp nhiều khó khăn và dễ mắc sai lầm trong biến đổi. Giáo viên có thể tách thành nhiều bài toán nhỏ từ bài toán này để với mỗi bài toán đó học sinh thực hiện ít phép tính, phép biến đổi đơn giản, áp dụng ít công thức và cuối cùng đưa ra biểu thức đơn giản. Với định hướng đó, giáo viên yêu cầu học sinh giải lần lượt như sau: Bước 1: Đặt điều kiện: Bước 2: Rút gọn biểu thức: Bước 3: Giải phương trình: 5cosx = cos2x + 3 Û 2cos2x – 5cosx + 2 = 0 Với cosx =2 ( loại) Với + Đối chiếu với điều kiện: . Tìm nghiệm thích hợp. Vậy nghiệm của phương trình là: Rèn luyện năng lực phán đoán Mò mẫm và dự đoán cách giải bài toán bằng cách phân chia thành các trường hợp, hoặc xét trường hợp đặc biệt, tương tự, khái quát,... Ví dụ 1. Giải phương trình: sin2nx + cos2m x = 1 , (m, n ) Ta xét một số trường hợp đặc biệt của n và m. + Nếu m = n = 1. Phương trình có dạng: sin2x + cos2x =1. Vậy phương trình có nghiệm với mọi x. + Nếu m = n = 2. Phương trình có dạng: sin4x + cos4x = 1. Ta có nhận xét: sin4x sin2x cos4x cos2x sin4x + cos4x sin2x + cos2x = 1. Dấu “ = ” xảy ra + Ta xét các trường hợp tổng quát: m = n > 2, phương trình có dạng: sin2nx + cos2mx = 1. Lập luận tương tự, phương trình có nghiệm Từ đó ta có thể khái quát cho trường hợp tổng quát m, n bất kỳ với m, n ẻN*. Rèn luyện năng lực “quy lạ về quen” Phần lớn các phương trình đều không có dạng có thể sử dụng các thuật giải quen thuộc ngay mà đòi hỏi người giải phải biết phân tích, biến đổi, biết nhận ra một số đặc điểm đặc biệt của phương trình để có thể đưa phương trình về phương trình đã biết thuật giải. Đối với các phương trình dạng này, trong quá trình dạy học giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng huy động các thuật giải đã biết. Để đạt được mục đích này, phương pháp quen thuộc hay sử dụng là xây dựng hệ thống bài toán gốc cho từng dạng phương trình. (Vấn đề này sẽ được đề cập kỹ hơn ở mục 2.3 của chương). Sau đây là một số ví dụ minh hoạ đơn giản: Ví dụ 1. Giải phương trình: Đây là phương trình chưa có thuật giải nhưng chúng ta có thể chuyển về phương trình đã có thuật giải như sau: (1) Đặt t = , điều kiện: t > 0. Phương trình có dạng: t2 – t - 12 = 0. (Đây là phương trình đã có thuật giải). Với t = - 3 (loại) Với t = 4 Ví dụ 2. Giải phương trình; Mới nhìn, ta thấy phương trình chưa có dạng quen thuộc nào, nhưng chúng ta có thể đưa nó về dạng quen thuộc nếu trong quá trình dạy học giáo viên cho học sinh tập luyện tốt các yêu cầu của biện pháp 4. Giáo viên làm như thế chính là đã truyền cho học sinh tri thức phương pháp quy lạ về quen. Theo định hướng đó, chúng ta đưa phương trình về dạng: (Quy về phương trình dạng gần cơ bản: sinx = sina) Ví dụ 3. Giải phương trình: 52x+1- 3x+1 = 52x + 3x (3) Đây cũng là một phương trình không có dạng quen thuộc. Tuy nhiên chúng ta có thể đưa về phương trình dạng quen thuộc. (3) Û 5.52x - 3.3x = 52x + 3x Û 4.52x = 4.3x Û 25x = 3x (Quy về phương trình dạng: ax = c) Û x = 0. Kiểm tra kết quả và phát hiện thuật giải tối ưu Kiểm tra lại kết quả, tìm cách giải hợp lý hơn bằng cách khắc phục chỗ chưa hợp lý của lời giải cũ hoặc thay đổi cách nhìn đối với bài toán. Sử dụng kết quả hay cách giải bài toán này cho bài toán khác, đề xuất bài toán mới. Việc nhận ra và khắc phục chỗ chưa hợp lý của một lời giải để tìm ra cách giải hợp lý hơn sẽ góp phần phát triển hoạt động (T5) của tư duy thuật giải (hoạt động tìm thuật giải tối ưu). Ví dụ 1. Sau khi dạy thuật giải giải phương trình: asinx + bcosx = c. Giáo viên có thể nêu câu hỏi. ? Với điều kiện nào của a, b, c, thì phương trình có nghiệm? Phương trình có nghiệm Từ điều kiện nêu trên, ta có: . Giáo viên có thể cho học sinh nhìn nhận bài toán: asinx + bcosx = c dưới góc độ khác như: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = asinx + bcosx. Giáo viên còn có thể hướng dẫn học sinh áp dụng bài toán trên để giải bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = Asin2x + Bsinxcosx + Ccos2x Như vậy đề xuất bài toán mới từ một bài toán đã có thuật giải là một cách để nắm vững thuật giải, biết biến đổi linh hoạt trong khi thực hiện thuật giải. Do đó, ngay sau khi dạy một thuật giải nào đó (có thể là một quy tắc, một công thức...), giáo viên có thể ra cho học sinh một số bài toán mới được suy ra từ thuật giải đã biết hoặc hướng dẫn học sinh đề xuất bài toán mới. việc làm này sẽ là một biện pháp tốt để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh. Ví dụ 2. Giải phương trình: cos2x + cos22x + cos23x =1. Đứng trước bài toán này, học sinh có thể giải như sau: Û 1 + cos2x + cos4x + cos6x = 0 Û 2cos2x + 2cos5xcosx = 0 cosx (cos5x + cosx) = 0 2cosxcos2x.cos3x = 0 Đối với học sinh, cách giải trên là phù hợp với nhận thức của họ khi đứng trước bài toán này. Tuy nhiên, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm cách giải tối ưu hơn và có thể áp dụng để giải cho bài toán tổng quát hơn như sau: Sau khi biến đổi đưa phương trình về dạng: 1 + cos2x + cos4x + cos6x = 0. Giáo viên gợi động cơ để học sinh hoạt động biến đổi phưong trình thành dạng tích theo cách sau: Nhân cả hai vế của phương trình với 2sinx 0 ta được: 2sinx + 2 cos2xsinx + 2cos4xsinx + 2cos6xsinx = 0. Û 2sinx + sin3x – sinx + sin5x – sin3x + sin7x – sin5x = 0 Û sinx + sin7x = 0. Từ cách giải này, học sinh có thể xây dựng thuật giải cho bài toán tổng quát hơn (xem thuật giải 9, mục 2.3). Xây dựng thuật giải cho một số dạng phương trình Trong quá trình dạy học giải phương trình, có những phương trình thuộc dạng phương trình đã có thuật giải. Nhưng đa số phương trình chúng ta gặp chưa có ngay thuật giải. Để giải những dạng phương trình này, chúng ta phải biến đổi để đưa về phương trình đã có thuật giải. Đối với những phương trình này có thể hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải và hướng đến xây dựng thuật toán cho bài toán đó nếu có thể. Theo A.N. Kolmogrov (Xô viết bách khoa toàn thư tập 2) thì: “Trong mọi trường hợp có thể được, việc đi tìm các algôrit giải là một mục đích thực sự của toán học”. Do đó, việc phát hiện ra và xây dựng các algôrit là một trong những vấn đề quan trọng nhất của việc tìm các algôrit ngày càng tổng quát để giải lớp các bài toán ngày càng rộng theo một cách thống nhất. Trong khuôn khổ của luận văn, dù rất muốn có một thuật giải tổng quát để giải mọi phương trình nhưng điều đó là ảo tưởng. Vì vậy chúng tôi chỉ đề xuất hướng xây dựng một số quy trình có tính chất thuật giải cho một số dạng toán giải phương trình. Thông qua việc rèn luyện cho học sinh biết cách xây dựng và vận dụng các quy trình đó thì tư duy thuật giải của các em sẽ được phát triển. Sau đây, chúng tôi đưa ra thuật giải một số dạng phương trình thường gặp ở chương trình toán phổ thông. Xây dựng thuật giải cho một số phương trình quy về bậc hai Khi dạy nội dung Phương trình, bất phương trình quy về bậc hai, dạng phương trình chứa căn thức bậc hai là dạng phương trình gây cho học sinh rất nhiều khó khăn. Tuy nhiên sách giáo khoa đã nêu hai phương pháp khử căn là bình phương hai vế và đặt ẩn phụ. Cách nói của sách giáo khoa mang tính chung chung, chưa hướng dẫn cho học sinh cụ thể dạng phương trình nào thì bình phương hai vế, dạng phương trình nào thì đặt ẩn phụ. Trong qúa trình dạy, giáo viên có thể cho học sinh nhận dạng từng loại và từ đó hướng dẫn học sinh tìm thuật giải cho dạng phương trình đó. Chẳng hạn: Ví dụ 1. Giải phương trình: Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải phương trình này như sau: Bước 1: Đặt điều kiện: x – 1 0 Û x 1. Bước 2: Bình phương hai vế của phương trình: 2x2 – 3x + 1 = (x – 1)2 Bước 3: Biến đổi phương trình về dạng: x2 – x = 0 Bước 4: Giải phương trình: x2 – x = 0 Bước 5: Đối chiếu với điều kiện: x = 1 là nghiệm. Bước 6: Kết luận: Phương trình có nghiệm: x = 1. Tương tự, giáo viên yêu cầu học sinh giải bài tập sau: Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các phương trình trên: Từ hướng dẫn giải các phương trình trên, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh đưa ra thuật giải giải phương trình dạng: . Thuật giải 1: Bước 1: Đặt điều kiện: g(x) 0. Bước 2: Bình phương hai vế của phương trình: f(x) = g2(x) Bước 3: Biến đổi phương trình về dạng: h(x) = 0 Bước 4: Giải phương trình: h(x) = 0 Bước 5: Tìm nghiệm thoả mãn bước 1. Bước 6: Kết luận. Với thuật giải 1, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh đưa ra thuật giải phương trình tổng quát hơn, dạng: nếu f(x), g(x), h(x) là các biểu thức bậc nhất. Thuật giải 2. Bước 1: Đặt điều kiện: Bước 2: Bình phương hai vế: Bước 3: Biến đổi phương trình về dạng: Bước 4: áp dụng thuật giải 1. Ví dụ 3. Giải phương trình: Ví dụ 4: Giải phương trình: Giáo viên huớng dẫn giải theo trình tự sau: Bước 1. Đặt điều kiện: x2 – 6x + 6 0 Bước 2. Đặt ẩn phụ: , ( t 0) Bước 3. Giải phương trình: t2 – 4t + 3 = 0 Bước 4: Đối chiếu với điều kiện của t ở bước 2: t = 1 và t = 3 thoả mãn. Bước 5: Giải các phương trình: + + Bước 6: Tìm nghiệm thoả mãn điều kiện bước 1. x = 1, x = 5, x =3 thoả mãn. Bước 7: Kết luận: Vậy phương trình có các nghiệm: x = 1, x = 5, x =3 Giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải các bài toán sau: Ví dụ 5: Giải các phương trình sau: c. Từ các ví dụ này, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh đưa ra thuật giải cho phương trình tổng quát dạng: Af(x) + B + C = 0 Thuật giải 3: Bước 1: Đặt điều kiện: f(x) 0 Bước 2: Đặt ẩn phụ: t = , (t 0) Bước 3: Giải phương trình: At2 + Bt + C = 0 Bước 4: Tìm nghiệm thích hợp t0 thoả mãn bước 2. Bước 5: Giải phương trình: f(x) = t02 Bước 6: Tìm nghiệm thoả mãn điều kiện bước 1. Bước 7: Trả lời. Như vậy, nếu trong quá trình dạy học giải phương trình, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh nhận dạng phương trình để từ đó học sinh tìm ra thuật giải phương trình. Đây là biện pháp tốt để rèn luyện và phát triển tư duy thuật giải cho học sinh. Khi dạy học sinh giải phương trình - bất phương trình quy về bậc hai thì một số dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu gây cho học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Đối với những phương trình dạng này, chúng ta cần cho học sinh theo một trình tự và trên các ví dụ tương tự. Trên cơ sở đó cho học sinh nhận dạng của phương trình và quy trình giải phương trình, từ đó rút ra thuật giải cho dạng phương trình tổng quát. Chẳng hạn: Ví dụ 1: Giải phương trình: Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải phương trình như sau: Bước 1: Tìm tập xác định của phương trình. Điều kiện: 3x2+5x+2 ≠ 0 Bước 2: Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho x ≠ 0 ta được. Bước 3: Đặt Bước 4: Giải phương trình: với t ≠ 1 và t ≠ -5. Phương trình Bước 5: Giải các phương trình. + , phương trình vô nghiệm. + Bước 6: Trả lời, phương trình có nghiệm Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: a.; b. Từ hai ví dụ trên ta hướng dẫn học sinh đưa ra bài toán tổng quát và thuật giải cho bài toán đó như sau: Thuật giải 4. Thuật giải phương trình: , với p ≠ 0 Bước 1: Tìm tập xác định của phương trình. Bước 2: Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm, chia cả hai vế cho x ≠ 0 ta được. Bước 3: Đặt , phương trình có dạng: Bước 4: Giải phương trình: tìm nghiệm t0. Bước 5: Giải phương trình: Bước 6: Đối chiếu nghiệm x0 với điều kiện ở Bước 1. Bước 7: Trả lời. Xây dựng thuật giải cho một số phương trình lượng giác Khi dạy nội dung: các phương trình lượng giác thường gặp, học sinh đã biết thuật giải phương trình: asinx + bcosx = c. Giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải bài toán sau: Ví dụ 1. Giải phương trình: 3sinx + 4cosx = 4sin3x – 3cos3x. Đây là phương trình chưa có thuật giải. Tuy nhiên giáo viên hướng dẫn học sinh quy về giải phương trình dạng quen thuộc như sau: Ta thấy: 32 + 42 = 42 + (-3)2 = 25, nên chia cả hai vế của phương tình cho ta được: Nhận thấy: Đặt và Thay vào phương trình ta được: (Đây là phương trình gần cơ bản). Với cách giải ví dụ trên, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh đưa ra thuật toán giải phương trình tổng quát hơn sau: asin(kx) + bcos(kx) = csin(mx) + dcos(mx) Thuật toán 5: Bước 1: Kiểm tra điều kiện: a2 + b2 = c2 + d2 Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho: Bước 3: Đặt và Bước 4: Giải phương trình: sin(kx + a) = sin(mx + b) Ví dụ 2: Giải các phương trình: a. cosxcos2x = b. cosx.cos2x.cos4x = Giải: Đứng trước phương trình: cosxcos2x = , học sinh có thể giải như sau: (a) Û 2cosxcos2x = 2 Û cos3x + cosx – 2 =0 4cos3x – 2cosx – 2 = 0 Đặt t = cosx, 4t3 – 2t -2 = 0 (t – 1)(4t2 + 4t + 2) = 0 Với t – 1 = 0 t = 1. Với 4t2 + 4t + 2 = 0 ị phương trình vô nghiệm. Với t = 1 ị cosx = 1 Cách giải này phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh. Tuy nhiên, nếu áp dụng cách giải này để giải phương trình (b) thì học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Chúng ta có thể hướng dẫn học sinh cách giải phương trình (a) đơn giản hơn, từ đó có thể áp dụng cho phương trình (b). + Nếu sinx = 0, phương trình (a) vô nghiệm. + Nhân cả hai vế của phương trình với 2sinx 0, ta được: Û 2sinxcosx.cos2x = sinx. Û 2sin2xcos2x = sinx. sin4x = sinx Đây là phương trình đã có thuật giải, học sinh dễ dàng áp dụng thuật giải để giải phương trình. Làm tương tự như trên, học sinh dễ dàng giải được phương trình (b). Từ đó chúng ta có thể hướng dẫn học sinh đưa ra thuật giải giải phương trình tổng quát: cosx.cos2x.cos4x....cos2n-1x = Thuật giải 6: Bước 1: Nhận xét sinx = 0 không thoả mãn phương trình. Bước 2: Nhân cả hai vế của phương trình với 2sinx 0. Bước 3: Biến đổi phương trình về dạng: Bước 4: Giải phương trình: sin2nx = sinx Bước 5: Trả lời. ở phần trước, chúng ta đã biết thuật giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x = 0. Dựa vào thuật giải phương trình này, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh đưa ra thuật giải cho bài toán tổng quát. Thuật giải 7: Giải phương trình: asinx + bsin2x + csin3x = 0 như sau: Bước 1: Biểu diễn sin2x, sin 3x qua sinx. Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng tích. sinx(4c.cos2x + 2b.cosx + a – c ) = 0 Bước 3: Giải các phương trình lượng giác cơ bản. + sinx = 0 (1) + 4c.cos2x + 2b.cosx + a – c ) = 0 (2) Bước 4: Lấy hợp của hai họ nghiệm (1) và (2) Chúng ta đã hướng dẫn cho học sinh đưa ra thuật giải phương trình trên. Thế nhưng chúng ta không thể áp dụng thuật giải này để giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0. Bởi vì khi ta tăng số hạng của phương trình lên thì việc biến đổi phương trình về dạng tích càng phức tạp và càng không thể thực hiện được khi phương trình ở dạng tổng quát. Điều đó có nghĩa là khi n > 3, chúng ta cần tìm thuật giải phù hợp cho phương trình: = 0 Để xây dựng thuật giải cho phương trình này, chúng ta có thể hướng dẫn học sinh giải các bài toán sau: Bài toán: Rút gọn biểu thức sau: A = sinx + sin2x + sin3x + ... + sinnx Rút gọn biểu thức A thực chất là tính tổng của A. Vì biểu thức A chứa n số hạng nên chúng ta không thể biến đổi thông thường mà ta phải đưa ra một quy luật hoặc biến đổi để các số hạng của tổng có thể khử được lẫn nhau. Bằng kỹ thuật nhân và chia cho 2sin0, chúng ta biến đổi biểu thức A như sau: A = Vậy A = Từ kết quả bài toán trên, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh đưa ra được thuật giải giải phương trình sau: Thuật giải 8: Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x+ ... + sinnx = 0. Bước 1: Xét sin = 0 Û x = k2p có là nghiệm của phương trình không Với x = k2p ị sinnx = 0 ị phương trình có nghiệm x = k2p Bước 2: Với sin 0 Û x ạ k2p Biến đổi phương trình về dạng: = 0 Bước 3: Giải các phương trình: Bước 4: Kết luận: Phương trình có các nghiệm là: và Bằng cách làm tương tự, ta tính được tổng: * cosx + cos2x + cos3x + ...+ cosnx = * 1 + cosx + cos2x + cos3x + ...+ cosnx = Và hướng dẫn học sinh tìm được thuật giải giải các phương trình: * cosx + cos2x + cos3x + ...+ cosnx = 0. * sinx + sin2x + sin3x +... + sinnx = cosx + cos2x + cos3x + ... + cosnx * 1 + cosx + cos2x + cos3x + ...+ cosnx = 0 Dựa vào tổng thứ 3, giáo viên hướng dẫn học sinh nêu các bước giải phương trình: 1 + cos2x + cos4x + cos6x = 0, (1) như sau: Bước 1: Nhận xét: sinx = 0 không phải là nghiệm của (1) Bước 2: Nhân cả hai vế của phương trình với 2sinx 0, ta được: Û 2sinx + 2cos2xsinx + 2cos4xsinx + 2cos6xsinx = 0 Û 2sinx = sin3x – sinx + sin5x – sin3x + sin7x – sin5x = 0 Û sinx + sin7x = 0 2sin4xcos3x = 0 Bước 3: Giải các phương trình: * sin4x = 0 cos3x = 0 Bước 4: Đối chiếu với điều kiện ở bước 2: Phương trình có nghiệm: x = k với k 4m, m Z và x = Từ cách giải phương trình (1), chúng ta xây dựng thuật giải giải phương trình tổng quát hơn như sau: Thuật giải 9. Giải phương trình: cos2x + cos22x + ... + cos2nx = Bước 1: Hạ bậc đối với từng hạng tử: cos2ix = Phương trình tương đương với: Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng: 1 + cos2x + cos4x + ... + cos2nx = 0 Bước 3: Nhận xét: sinx = 0 thì phương trình vô nghiệm. Bước 4: Nhân hai vế của phương trình với 2sinx ạ 0. Biến đổi thu được phương trình: sinx + sin(2n + 1)x = 0 Bước 5: Đưa phương trình về dạng tích: sin(n + 1)x cosnx = 0 Bước 6: Giải các phương trình: + sin(n + 1) = 0 + cosnx = 0. Bước 7: Đối chiếu nghiệm với điều kiện ở bước 4. Bước 8: Kết luận. Để rèn luyện kỹ năng áp dụng thuật giải và xây dựng thuật giải, giáo viên yêu cầu học sinh giải bài toán sau: 1. Giải các phương trình sau: a. cos2x + cos22x = b. cos2x + cos22x + cos23x = 1 c. cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2. Hãy xây dựng thuật giải giải các phương trình sau: a. sin2x + sin22x + ... + sin2nx = b.sin2x + sin22x + ... + sin2(n + 1)x = cos2x + cos22x + cos22nx. 3. Các phương trình sau có thể giải theo thuật giải trên hay không. a. cos2x + cos22x + cos23x = 0 b. cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3. 2.3.3. Xây dựng thuật giải cho một số phương trình mũ Trong các tình huống dạy học thì dạy học giải phương trình là tình huống tốt nhất để phát triển tư duy thuật giải của học sinh. Thông qua hệ thống bài tập tương tự, học sinh có thể khái quát hoá thành thuật giải tổng quát cho dạng phương trình đó, đồng thời rèn luyện các hoạt động thành phần của tư duy thuật giải của học sinh. Ví dụ: Giải các phương trình sau: a. b. Từ đặc điểm của phương trình và cách giải các phương trình trên, chúng ta đưa ra thuật giải giải phương trình như sau: Thuật giải 10. Giải phương trình: A.af(x) + C.bf(x) = B Bước 1: Kiểm tra: ab = 1. Bước 2: Đặt t = af(x), t > 0. Bước 3: Giải phương trình: At + = B hay: At2 – Bt + C = 0 Bước 4: Tìm nghiệm t0 thoả mãn bước 2. Bước 5: Giải phương trình: af(x) = t0 Bước 6: Kết luận. Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: a. b. 2.4. Kết luận chương 2 Trong chương này chúng tôi đã đưa ra các nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải và dựa trên hệ thống các nguyên tắc đó đề ra 5 định hướng phát triển tư duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy học nội dung phương trình. Để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh đạt hiệu quả cao đòi hỏi người giáo viên phải có kỹ năng sư phạm, có nghệ thuật biến quá trình dạy học nói chung thành một hệ thống làm việc định hình, có tổ chức, kiểm soát chặt chẽ các hoạt động Toán học của học sinh mang tính thuật giải cũng như xây dựng thuật giải. Một trong những yếu tố hình thành và phát triển tư duy thuật giải cho học sinh có hiệu quả là trong quá trình dạy học giáo viên phải xây dựng được các quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải, cho học sinh hoạt động tích cực trong các tình huống dạy học đó. Như vậy, việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong quá trình dạy học môn Toán nói chung và dạy học nội dung phương trình nói riêng là hết sức quan trọng. Nó giúp chúng ta đạt được mục đích của giáo dục và yêu cầu của xã hội đặt ra. Chương 3 Thực nghiệm sư phạm 3.1. Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm nhằm mục đích kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của việc sử dụng các định hướng phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong quá trình dạy học nội dung phương trình. (Đặc biệt là các quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải). 3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 3.2.1. Tổ chức thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường trung học phổ thông Diễn Châu 3, huyện Diễn Châu. Lớp thực nghiệm: 11A3. Lớp đối chứng: 11A4. Cả hai lớp này đều học theo Ban khoa học tự nhiên. Thời gian thực nghiệm được tiến hành từ 15 tháng 9 đến 20 tháng 10 năm 2007. Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: Thầy Nguyễn Văn Dũng. Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: Thầy Nguyễn Đăng Quảng. Được sự đồng ý của Ban giám hiệu trường Trung học phổ thông Diễn Châu 3, chúng tôi đã tìm hiểu kết quả học tập của các lớp khối 11 của trường và nhận thấy trình độ chung về môn Toán của hai lớp 11A3 và 11A4 là tương đương nhau. Trên cơ sở đó, chúng tôi được thực nghiệm tại lớp 11A3 và lấy lớp 11A4 làm đối chứng. Ban giám hiệu nhà trường, các thầy (cô) trong tổ toán, thầy tổ trưởng và các thầy dạy hai lớp 11A3, 11A4 chấp nhận đề xuất này và tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi tiến hành thực nghiệm. Việc dạy thực nghiệm và đối chứng thực hiện đúng kế hoạch giảng dạy của nhà trường. 3.2.2. Nội dung thực nghiệm Thực nghiệm được tiến hành trong bài 2 và bài 3. Chương1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (Sách Đại số & Giải tích 11, Nâng cao). Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra. Sau đây là nội dung đề kiểm tra. Đề kiểm tra thực nghiệm: (Thời gian 60 phút). Câu 1: (4 điểm). Hãy nêu các bước giải các phương trình sau. 2sin2x - 3cosx = 2 Câu 2: (3 điểm). Giải phương trình. Sin2x + sin22x + sin23x = Câu 3: (3 điểm). a. Giải phương trình: cosx.cos2x.cos4x = b. Hãy nêu bài toán tổng quát và thuật giải cho bài toán đó. 3.2.3. ý định sư phạm của đề kiểm tra Đề kiểm tra được ra với dụng ý kiểm tra tímh hiệu quả của các định hướng phát triển tư duy thuật giải cho học sinh và sự thể hiện tư duy thuật giải của học sinh trong giải toán. Câu 1 nhằm kiểm tra kỹ năng vận dụng các thuật giải đã biết đồng thời kiểm tra kỹ năng thực hiện các hoạt động (T1), (T2) và (T4) của học sinh. Tuy nhiên, học sinh phải biết biến đổi phương trình về phương trình đã biết thuật giải. Câu 2 nhằm mục đích kiểm tra kỹ năng biến đổi phương trình, kỹ năng quy lạ về quen. Câu 3 nhằm kiểm tra kỹ năng thực hiện các hoạt động (T3), (T4) và (T5) của học sinh. 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 3.3.1. Đáp án đề kiểm tra Câu 1a. Bước1: Biểu diễn sin2x theo cos2x. sin2x = 1 - cos2x Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng. cosx(2cosx + 3) = 0 Bước 3: Giải các phương trình cơ bản. + cosx = 0 + phương trình vô nghiệm. Bước 4: Trả lời. Phương trình có nghiệm Câu 1b. Bước 1: Biểu diễn theo cosx. Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng. Bước 3: Kiểm tra các hệ số a, b, c. Các hệ số a, b, c thoả mãn a2 + b2 ≥ c2. Bước 4: Chia cả hai vế cho Bước 5: Đặt Bước 6: Giải phương trình. Bước 7: Trả lời. Phương trình có nghiệm. Câu 2. Û (1- 2sin2x) + (1- 2sin22x) + (1- 2sin23x) = 0 Û cos2x + cos4x + cos6x = 0 2cos4x.cos2x + cos4x = 0 cos4x(2cos2x + 1) = 0 Û Kết luận: phương trình có nghiệm và Câu 3a. Cách 1: cosx.cos2x.cos4x = Û 2(cos3x + cosx)cos4x = cos7x Û 2cos3x.cos4x + 2cosx.cos4x = cos7x Û cos7x + cosx + 2cosx.cos4x = cos7x Û cosx(2cos4x + 1) = 0 Û Cách 2: Nhận xét. sinx = 0 thì phương trình vô nghiệm. Nhân cả hai vế phương trình với 2sinx 0, ta được. 8sinx.cosx.cos2x.cos4x = 2sinx.cos7x Û 4sin2x.co2x.co4x = 2sinx.cos7x Û 2sin4x.cos4x = 2sinx.cos7x Û sin8x = sin8x – sin6x Û sin6x = 0 Đối chiếu với điều kiện sinx 0 ị m ạ 6k. Phương trình có nghiệm với m ạ 6k Câu 3b. Bài toán tổng quát. Giải phương trình: cosx.cos2x.cos4x...cos2n-1x = Thuật giải: Bước 1: Nhận xét. sinx = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Bước 2: Nhân cả hai vế của phương trình với 2sinx 0, ta được. 2nsinx.cosx.cos2x.cos4x...cos2n-1x = 2sinx.cos(2n-1)x Û sin(2n-2)x = 0 Bước 3: Giải phương trình. sin(2n-2)x = 0 Bước 4: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện ở Bước 2. Bước 5: Trả lời. 3.3.2. Đánh giá kết quả thực nghiệm Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm (TN) và học sinh lớp đối chứng (ĐC) được thống kê thông qua bảng sau: Điểm Lớp 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tổng số HS TN 0 0 0 0 1 12 16 10 5 3 1 48 ĐC 0 0 0 2 4 18 14 8 2 0 0 48 Lớp TN: Yếu (2,1%); Trung bình (58,3%); Khá (31,3%); Giỏi (8,3%). Lớp ĐC: Yếu (12,5%); Trung bình (66,7%); Khá (20,8%); Giỏi (0%). Nhận xét. Kết quả thống kê ở bảng cho ta thấy số học sinh lớp thực nghiệm làm bài kiểm tra tốt hơn hẳn học sinh lớp đối chứng. Sự hơn hẳn đó là hợp lý vì những lý do sau: Thứ nhất: nội dung bài kiểm tra phản ánh đầy đủ các yêu cầu dạy học theo quy định của chương trình. Thứ hai: Các phương trình được ra theo hướng phát triển tư duy thuật giải. Thứ ba: Học sinh đã được làm quen với các dạng bài tập nêu trong các đề kiểm tra. Việc làm quen với các dạng bài tập mới không hề làm giảm kỹ năng giải toán mà trái lại củng cố phát triển kỹ năng này cùng với các thành tố của tư duy thuật giải. Thứ tư: Bên cạnh thực hiện các yêu cầu toán học, học sinh lớp thực nghiệm còn được khuyến khích phát triển các yếu tố của tư duy thuật giải. Học sinh được học giải toán theo một quy trình hợp lý...v.v... 3.4. Kết luận chung về thực nghiệm Quá trình thực nghiệm cùng với những kết quả thu được từ thực nghiệm cho thấy mục đích của thực nghiệm đã được hoàn thành, tính khả thi và hiệu quả của việc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải đã được khẳng định. Điều đó góp phần quan trọng vào việc nâng cao hiệu quả dạy học nội dung phương trình trong môn toán ở trường phổ thông. Kết luận Các kết quả chính của luận văn là: 1. Góp phần làm sáng tỏ nội dung khái niệm tư duy thuật giải và vai trò, vị trí của việc phát triển tư duy thuật giải trong dạy học toán. 2. Xác định được các nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải. 3. Xác định được một số định hướng dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải thông qua dạy học nội dung phương trình. 4. Xây dựng được một số thuật giải để giải một số dạng phương trình. 5. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ tính khả thi và hiệu quả của các nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải cũng như các định hướng dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải. Như vậy có thể khẳng định mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã hoàn thành và giả thiết khoa học đã nêu trong phần mở đầu là chấp nhận được. Tài liệu tham khảo 1. Nguyễn Thị Thanh Bình (2002), Góp phần phát triển tư duy thuật giải của học sinh THPT thông qua dạy học nội dung lượng giác, Luận văn thạc sỹ giáo dục học. 2. Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (2002), Sai lầm phổ biến khi giải toán, NXB giáo dục. 3. Phan Đức Chính, Phạm Tấn Dương, Lê Đình Thịnh (1988) Tuyển tập các bài toán sơ cấp (tập 2), NXBGD. 4. Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất (1999), Các bài giảng luyện thi môn toán, Tập 1, 2, NXB Giáo dục. 5. Hoàng Chúng (1978), Phương pháp dạy học toán học, NXBGD. 6. Doãn Minh Cường (1997), Nhận dạng trong hoạt động dạy học giải phương trình lượng giác, NCGD số 10/1997. 7. Doãn Minh Cường (1997), Về các sai lầm của học sinh khi giải bài tập phương trình lượng giác, NCGD. 8. Ngô Viết Diễn (2000), Phương pháp chọn lọc giải toán hàm số mũ và lôgarit, NXBĐHQG. 9. Lê Mạnh Dũng (12/2001), Nói chuyện với bạn trẻ yêu toán, Tin học và nhà trường. 10. Hồ Sỹ Đàm, Hồ Cẩm Hà, Trần Đỗ Hùng, Nguyễn Xuân My, Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Thanh Tùng, Ngô ánh Tuyết (2006), Tin học 10, NXBGD. 11. Hồ Sỹ Đàm, Hồ Cẩm Hà, Trần Đỗ Hùng, Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Thanh Tùng, Ngô ánh Tuyết (2006), Tin học 11, NXBGD. 12. Nguyễn Đức Đồng (2000), Tuyển tập 599 bài toán lượng giác chọn lọc, NXB Hải Phòng. 13. Phạm Gia Đức, Nguyễn Mạnh Cảng, Bùi Huy Ngọc, Vũ Dương Thụy (2001), Phương pháp dạy học môn toán, Tập 1,2, NXBGD. 14. Trịnh Thanh Hải (8/2000), Hỗ trợ hình học 10 bằng giải bài tập thông qua ngôn ngữ lập trình Pascal, NCGD. 15. Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ (2000), Đại số 10, NXBGD. 16. Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh, Ngô Xuân Sơn, Vũ Tuấn (2000), Đại số và Giải tích 11, NXBGD. 17. Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh, Ngô Xuân Sơn, Vũ Tuấn (2000), Bài tập Đại số và Giải tích 11, NXBGD. 18. Nguyễn Thái Hòe (1998), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, NXBGD. 18. Nguyễn Xuân Huy (1988), Thuật toán, NXB thống kê. 20. Nguyễn Xuân Huy (4/1992), Thuật toán và máy turing, THTT. 21. Hoàng Kiếm (2001), Giải một bài toán trên máy tính như thế nào (T1), NXBGD. 22. Nguyễn Bá Kim, Lê Khắc Thành (1993), Dạy học một số yếu tố của toán học tính toán và tin học (dùng cho lớp 10 THPT), H. GD. 23. Nguyễn Bá Kim (2006), Phương pháp dạy học môn toán, NXBĐHSP. 24. Nguyễn Bá Kim (1999), Lập trình giải toán THPT (Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên chu kỳ 1997-2000), H. GD. 25. Nguyễn Bá Kim (1999), Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, NXBGD. 26. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (2000), Phương pháp dạy học môn toán (Tập 1), NXBGD. 27. Nguyễn Bá Kim (2001), Giáo trình giáo dục tin học, NXBGD. 28. Phan Huy Khải (1997), Toán nâng cao cho học sinh, Đại số 10, NXB ĐHQG Hà Nội. 29. Hà Huy Khoái (1997), Nhập môn số học thuật toán, H. KHKT. 30. Trần Văn Kỷ (1996), Phương pháp giải toán lượng giác, NXBTPHCM. 31. Nguyễn Văn Lộc (1997), Quy trình giải các bài toán bằng phương pháp vectơ, NXBGD. 32. Trương Quang Linh (2001), Phương pháp mới giải toán lượng giác, NXBGD. 33. Đỗ Xuân Lôi (2000), Cấu trúc dữ liệu và giải thuật, NXBGD. 34. Vương Dương Minh (20/1990), Những yếu tố nội dung và phương pháp phát triển tư duy thuật giải trong dạy học toán ở trường phổ thông, Tạp chí thông tin KHGD, Viện KHGD. 35. Vương Dương Minh (1/1991), TDTG và quan điểm hoạt động, Thông báo khoa học, ĐHSP 1 Hà Nội. 36. Vương Dương Minh, Oukchiêng (11/1998), Phát triển TDTG trong môn toán, NCGD. 37. Vương Dương Minh (1996), Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trường phổ thông, Luận án PTS khoa học sư phạm - tâm lý. 38. V. M. Mônakhốp (1978), Hình thành văn hóa thuật giải cho học sinh trong khi dạy học môn toán, NXB “Tia sáng”, MOSKAVA. 39. Phan Trọng Ngọ (2005), Dạy học và phương pháp dạy học trong nhà trường, NXBĐHSP. 40. Quách Tuấn Ngọc (1993), Ngôn ngữ lập trình Pascal, Trường ĐHBKHN. H. 41. G.Polia (1968), Toán học và những suy luận có lý, NXBGD. 42. G.Polia (1975), Giải một bài toán như thế nào, NXBGD. 43. G.Polia (1975), Sáng tạo toán học, NXBGD. 44. Nguyễn Đạo Phương, Phan Huy Khải, Lê Thống Nhất (1999), Các phương pháp giải toán lượng giác, NXB Hà Nội. 45. Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2004), Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán, NXB Hà Nội. 46. Nguyễn Văn Quý, Nguyễn Tiến Dũng, Nguyễn Việt Hà (1998), Giải toán trên máy vi tính, NXB Đà Nẵng. 47. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông (2006), Đại số 10 nâng cao, NXBGD. 48. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông (2006), Đại số và Giải tích 11 nâng cao, NXBGD. 49. Lê Văn Tiến (12/2000), Vai trò của giải gần đúng các phương trình trong dạy học toán ở trường phổ thông, NCGD. 50. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận duy vật biện chứng trong việc học, dạy, nghiên cứu toán học, NXBĐHQG Hà Nội. 51. Nguyễn Cảnh Toàn (10/1995), Thế nào là hiện đại trong dạy và học toán, NCGD. 52. Nguyễn Cảnh Toàn (1998), Những vấn đề chiến lược trong thời kỳ CNH - HĐH, H. GD. 53. Nguyễn Thị Hương Trang (7/1998), Giải bài tập lượng giác theo hướng phát huy tính sáng tạo của học sinh PTTH, NCGD. 54. Nguyễn Thị Hương Trang (1/2000), Một số vấn đề rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THPT, NCGD. 55. Nguyễn Thị Hương Trang (11/2001), Mối liên hệ giữa tư duy sáng tạo và tư duy thuật toán trong dạy học giải toán THPT, NCGD. 56. Trần Thúc Trình (1998), Tư duy và hoạt động toán học, Viện KHGD. 57. Đào Văn Trung (2001), Làm thế nào để học tốt môn toán phổ thông, NXBĐHQG Hà Nội. 58. Ngô Việt Trung (4/1992), Sử dụng máy tính để giải quyết các vấn đề số học, THTT số 184. 59. Đinh Hải Truyền (1998), Hình Thành và phát triển TDTG của học sinh thông qua dạy học các phân môn toán, Luận văn thạc sỹ khoa học giáo dục. Mục lục Trang Mở đầu 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 3 3. Giả thuyết khoa học 3 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 3 5. Phương pháp nghiên cứu 4 6. Đóng góp của luận văn 4 7. Cấu trúc luận văn 5 Chương 1: Tư duy thuật giải và vấn đề phát triển tư duy thuật giải cho học sinh thông qua môn Toán 6 1.1. Cơ sở lý luận 6 1.1.1. Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học 6 1.1.2. Một số quan điểm khác 7 1.2. Khái niệm thuật toán 7 1.2.1. Nghiên cứu khái niệm thuật toán 8 1.2.2. Các đặc trưng của thuật toán 11 1.2.3. Các phương pháp biểu diễn thuật toán 13 1.2.4. Độ phức tạp của thuật toán 19 1.3. Khái niệm tư duy thuật giải 20 1.3.1. Khái niệm thuật giải 20 1.3.2. Khái niệm tư duy thuật giải 21 1.3.3. Một số ví dụ dạy học phát triển tư duy thuật giải khi dạy nội dung phương trình 22 1.4. Vấn đề phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán 30 1.4.1. Vai trò của việc phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán ở trường phổ thông 30 1.4.2. Những tư tưởng chủ đạo để phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán 32 1.5. Kết luận chương 1 33 Chương 2: Một số định hướng góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy học một số nội dung phương trình 34 2.1. Một số nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải cho học sinh 34 2.2. Một số định hướng sư phạm góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy học nội dung phương trình 36 2.2.1. Xây dựng quy trình dạy học phương trình theo hướng phát triển tư duy thuật giải 37 2.2.2. Tổ chức luyện tập cho học sinh giải các phương trình đã biết thuật giải 61 2.2.3. Sử dụng hợp lý hình thức dạy học phân hoá 66 2.2.4. Rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình cho học sinh 73 2.2.5. Truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp về tư duy thuật giải trong khi tổ chức, điều khiển các hoạt động thông qua dạy học giải phương trình 77 2.3. Xây dựng thuật giải cho một số dạng phương trình 85 2.3.1. Xây dựng thuật giải cho một số phương trình quy về bậc hai 86 2.3.2. Xây dựng thuật giải cho một số phương trình lượng giác 91 2.3.3. Xây dựng thuật giải cho một số phương trình mũ 97 2.4. Kết luận chương 2 98 Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 100 3.1. Mục đích thực nghiệm 100 3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 100 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 101 3.4. Kết luận chung về thực nghiệm 105 Kết luận 106 Tài liệu tham khảo 107